De Continuüm-hypothese

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-05-24 11:17

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

De continuüm-hypothese

Voor het eerst gepubliceerd op woensdag 22 mei 2013

De continuümhypothesen (CH) is een van de meest centrale open problemen in de verzamelingenleer, een die zowel om wiskundige als filosofische redenen belangrijk is.

Het probleem ontstond eigenlijk met de geboorte van de verzamelingenleer; in veel opzichten stimuleerde het de geboorte van de verzamelingenleer. In 1874 had Cantor aangetoond dat er een één-op-één overeenkomst is tussen de natuurlijke getallen en de algebraïsche getallen. Meer verrassend genoeg liet hij zien dat er geen één-op-één overeenkomst is tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen. Uitgaande van het bestaan van een één-op-één correspondentie als criterium voor wanneer twee sets dezelfde grootte hebben (iets wat hij zeker deed in 1878), laat dit resultaat zien dat er meer dan één niveau van oneindigheid is en dus het hogere heeft gebaard oneindig in wiskunde. Cantor probeerde onmiddellijk te bepalen of er oneindige reeksen echte getallen waren van gemiddelde grootte, dat wil zeggen,of er een oneindig aantal reële getallen was die niet in een-op-een-correspondentie met de natuurlijke getallen konden worden geplaatst en niet in een-op-een-correspondentie met de echte getallen. De continuümhypothese (onder één formulering) is simpelweg de bewering dat een dergelijke set van reële getallen niet bestaat. Door zijn poging deze hypothese te bewijzen, ontwikkelde Cantor de verzamelingenleer tot een verfijnde tak van de wiskunde.^[1]

Ondanks zijn inspanningen kon Cantor CH niet oplossen. Het probleem bleef en werd zo belangrijk geacht door Hilbert dat hij geplaatst voor het eerst in zijn beroemde lijst van open problemen die moeten worden geconfronteerd met de 20 ^ste eeuw. Hilbert had ook moeite om CH op te lossen, opnieuw zonder succes. Uiteindelijk werd dit gebrek aan vooruitgang verklaard door de gecombineerde resultaten van Gödel en Cohen, die samen lieten zien dat CH niet kan worden opgelost op basis van de axioma's die wiskundigen gebruikten; in moderne termen is CH onafhankelijk van de verzamelingenleer van Zermelo-Fraenkel, uitgebreid met het Axiom of Choice (ZFC).

Dit onafhankelijkheidsresultaat werd snel gevolgd door vele anderen. De onafhankelijkheidstechnieken waren zo krachtig dat set-theoretici al snel in beslag werden genomen door de metatheoretische onderneming om te bewijzen dat bepaalde fundamentele verklaringen niet binnen ZFC konden worden bewezen of weerlegd. Vervolgens rees de vraag of er manieren waren om de onafhankelijke uitspraken te schikken. De gemeenschap van wiskundigen en filosofen van de wiskunde was grotendeels verdeeld over deze vraag. De pluralisten (zoals Cohen) hielden vol dat de onafhankelijkheidsresultaten de vraag effectief beantwoordden door te laten zien dat ze geen antwoord hadden. In deze visie zou men een systeem kunnen aannemen waarin,Stel dat CH een axioma was en men een systeem kon aannemen waarin ¬CH een axioma was en dat was het einde van de zaak - er was geen vraag welke van twee onverenigbare extensies de "juiste" was. De niet-pluralisten (zoals Gödel) waren van mening dat de onafhankelijkheidsresultaten slechts een indicatie waren van de schaarste aan onze middelen om de wiskundige waarheid te omschrijven. Volgens deze opvatting waren er nieuwe axioma's nodig, axioma's die zowel gerechtvaardigd als voldoende zijn voor de taak. Gödel ging zelfs verder door kandidaten voor te stellen voor nieuwe axioma's - grote kardinale axioma's - en hij vermoedde dat ze CH zouden regelen. Gödel ging zelfs verder door kandidaten voor te stellen voor nieuwe axioma's - grote kardinale axioma's - en hij vermoedde dat ze CH zouden regelen. Gödel ging zelfs verder door kandidaten voor te stellen voor nieuwe axioma's - grote kardinale axioma's - en hij vermoedde dat ze CH zouden regelen.

Het programma van Gödel voor grote hoofd axioma's bleek opmerkelijk succesvol. In de loop van de volgende 30 jaar werd aangetoond dat grote kardinale axioma's veel van de vragen oplossen die tijdens het tijdperk van onafhankelijkheid onafhankelijk bleken te zijn. CH bleef echter onaangeroerd. De situatie bleek nogal ironisch, aangezien uiteindelijk werd aangetoond (in een zin die nauwkeurig kan worden gemaakt) dat hoewel de standaard grote kardinale axioma's alle complexiteitskwesties strikt onder die van CH regelen, ze dat niet kunnen (door resultaten van Levy en Solovay en anderen) regelen CH zelf. Dus, bij het kiezen van CH als testcase voor zijn programma, legde Gödel zijn vinger precies op het punt waar het faalde. Daarom blijft CH een centrale rol spelen in de zoektocht naar nieuwe axioma's.

In deze bijdrage zullen we een overzicht geven van de belangrijkste benaderingen voor het regelen van CH en we zullen enkele van de belangrijkste fundamentele kaders bespreken die beweren dat CH geen antwoord heeft. Het onderwerp is groot en we hebben volledige volledigheid moeten opofferen in twee dimensies. Ten eerste hebben we de grote filosofische kwesties die op de achtergrond liggen niet kunnen bespreken. Hiervoor wordt de lezer verwezen naar de vermelding "Grote kardinalen en determinatie", die een algemene discussie bevat over de onafhankelijkheidsresultaten, de aard van axioma's, de aard van rechtvaardiging en de successen van grote kardinale axioma's in het rijk "onder CH". Ten tweede hebben we niet alle benaderingen van CH in de literatuur kunnen bespreken. In plaats daarvan hebben we ons beperkt tot die benaderingen die vanuit filosofisch oogpunt het meest veelbelovend lijken en waar de wiskunde tot een voldoende gevorderde staat is ontwikkeld. In de benaderingen die we zullen bespreken - dwingende axioma's, innerlijke modeltheorie, quasi-grote kardinalen - is de wiskunde in de loop van 40 jaar tot een zeer gevorderd stadium geduwd. En dit heeft onze taak enigszins moeilijk gemaakt. We hebben geprobeerd de discussie zo toegankelijk mogelijk te houden en we hebben de meer technische items in de eindnoten geplaatst. Maar de lezer moet in gedachten houden dat we een vogelperspectief presenteren en dat voor een hogere resolutie op elk moment de lezer zich moet verdiepen in de voorgestelde metingen die aan het einde van elke sectie verschijnen. In de benaderingen die we zullen bespreken - dwingende axioma's, innerlijke modeltheorie, quasi-grote kardinalen - is de wiskunde in de loop van 40 jaar tot een zeer gevorderd stadium geduwd. En dit heeft onze taak enigszins moeilijk gemaakt. We hebben geprobeerd de discussie zo toegankelijk mogelijk te houden en we hebben de meer technische items in de eindnoten geplaatst. Maar de lezer moet in gedachten houden dat we een vogelperspectief presenteren en dat voor een hogere resolutie op elk moment de lezer zich moet verdiepen in de voorgestelde metingen die aan het einde van elke sectie verschijnen. In de benaderingen die we zullen bespreken - dwingende axioma's, innerlijke modeltheorie, quasi-grote kardinalen - is de wiskunde in de loop van 40 jaar tot een zeer gevorderd stadium geduwd. En dit heeft onze taak enigszins moeilijk gemaakt. We hebben geprobeerd de discussie zo toegankelijk mogelijk te houden en we hebben de meer technische items in de eindnoten geplaatst. Maar de lezer moet in gedachten houden dat we een vogelperspectief presenteren en dat voor een hogere resolutie op elk moment de lezer zich moet verdiepen in de voorgestelde metingen die aan het einde van elke sectie verschijnen. We hebben geprobeerd de discussie zo toegankelijk mogelijk te houden en we hebben de meer technische items in de eindnoten geplaatst. Maar de lezer moet in gedachten houden dat we een vogelperspectief presenteren en dat voor een hogere resolutie op elk moment de lezer zich moet verdiepen in de voorgestelde metingen die aan het einde van elke sectie verschijnen. We hebben geprobeerd de discussie zo toegankelijk mogelijk te houden en we hebben de meer technische items in de eindnoten geplaatst. Maar de lezer moet in gedachten houden dat we een vogelperspectief presenteren en dat voor een hogere resolutie op elk moment de lezer zich moet verdiepen in de voorgestelde metingen die aan het einde van elke sectie verschijnen.^[2]

Er zijn eigenlijk twee soorten benaderingen van nieuwe axioma's: de lokale benadering en de globale aanpak. Bij de lokale benadering zoekt men axioma's die vragen beantwoorden over een specificeerbaar fragment van het heelal, zoals V _{ω + 1} of V _{ω + 2}, waar CH ligt. Bij de globale benadering zoekt men axioma's die proberen de hele structuur van het universum van verzamelingen te verlichten. De globale aanpak is duidelijk veel uitdagender. In deze bijdrage beginnen we met de lokale aanpak en tegen het einde zullen we kort ingaan op de globale aanpak.

Hier is een overzicht van de invoer: Sectie 1 onderzoekt de onafhankelijkheidsresultaten in hoofdrekenen, zowel in het geval van reguliere kardinalen (waar CH ligt) als enkelvoudige kardinalen. Sectie 2 behandelt benaderingen van CH waarbij men achtereenvolgens een hiërarchie van benaderingen van CH verifieert, die elk een "effectieve" versie van CH zijn. Deze benadering leidde tot de opmerkelijke ontdekking van Woodin dat het mogelijk is (in aanwezigheid van grote kardinalen) om effectief CH te falen, wat aantoont dat het effectieve falen van CH even hardnekkig is (met betrekking tot grote kardinaal axioma's) als CH zelf. Hoofdstuk 3 gaat verder met de ontwikkelingen die uit deze ontdekking voortkwamen. Centraal in de discussie staat de ontdekking van een 'canoniek' model waarin CH faalt. Dit vormde de basis van een netwerk van resultaten dat door Woodin gezamenlijk werd gepresenteerd als een argument voor het falen van CH. Om dit geval in de meest gestroomlijnde vorm te presenteren, introduceren we de sterke logische Ω-logica. Paragraaf 4 gaat in op de concurrerende fundamentele opvatting dat er geen oplossing is voor CH. Deze visie wordt aangescherpt in termen van de generieke multiversum-conceptie van waarheid en die visie wordt vervolgens onder de loep genomen. Sectie 5 zet de beoordeling van de zaak voor ¬CH voort door een parallelle zaak voor CH te onderzoeken. In de overige twee secties gaan we over op de globale benadering van nieuwe axioma's en hier zullen we veel korter zijn. Paragraaf 6 bespreekt de aanpak door middel van innerlijke model theorie. Sectie 7 bespreekt de aanpak door middel van quasi-grote kardinale axioma's. Om dit geval in de meest gestroomlijnde vorm te presenteren, introduceren we de sterke logische Ω-logica. Paragraaf 4 gaat in op de concurrerende fundamentele opvatting dat er geen oplossing is voor CH. Deze visie wordt aangescherpt in termen van de generieke multiversum-conceptie van waarheid en die visie wordt vervolgens onder de loep genomen. Sectie 5 zet de beoordeling van de zaak voor ¬CH voort door een parallelle zaak voor CH te onderzoeken. In de overige twee secties gaan we over op de globale benadering van nieuwe axioma's en hier zullen we veel korter zijn. Paragraaf 6 bespreekt de aanpak door middel van innerlijke model theorie. Sectie 7 bespreekt de aanpak door middel van quasi-grote kardinale axioma's. Om dit geval in de meest gestroomlijnde vorm te presenteren, introduceren we de sterke logische Ω-logica. Paragraaf 4 gaat in op de concurrerende fundamentele opvatting dat er geen oplossing is voor CH. Deze visie wordt aangescherpt in termen van de generieke multiversum-conceptie van waarheid en die visie wordt vervolgens onder de loep genomen. Sectie 5 zet de beoordeling van de zaak voor ¬CH voort door een parallelle zaak voor CH te onderzoeken. In de overige twee secties gaan we over op de globale benadering van nieuwe axioma's en hier zullen we veel korter zijn. Paragraaf 6 bespreekt de aanpak door middel van innerlijke model theorie. Sectie 7 bespreekt de aanpak door middel van quasi-grote kardinale axioma's. Sectie 5 zet de beoordeling van de zaak voor ¬CH voort door een parallelle zaak voor CH te onderzoeken. In de overige twee secties gaan we over op de globale benadering van nieuwe axioma's en hier zullen we veel korter zijn. Paragraaf 6 bespreekt de aanpak door middel van innerlijke model theorie. Sectie 7 bespreekt de aanpak door middel van quasi-grote kardinale axioma's. Sectie 5 zet de beoordeling van de zaak voor ¬CH voort door een parallelle zaak voor CH te onderzoeken. In de overige twee secties gaan we over op de globale benadering van nieuwe axioma's en hier zullen we veel korter zijn. Paragraaf 6 bespreekt de aanpak door middel van innerlijke model theorie. Sectie 7 bespreekt de aanpak door middel van quasi-grote kardinale axioma's.

• 1 Onafhankelijkheid in hoofdrekenen

  • 1.1 Gewone kardinalen
  • 1.2 Singuliere kardinalen

• 2 Definieerbare versies van de continuümhypothese en de ontkenning ervan

  • 2.1 Drie versies
  • 2.2 Het Foreman-Magidor-programma

• 3 De zaak voor ¬CH

  • 3,1 ℙ _max
  • 3,2 Ω-logica
  • 3.3 De zaak

• 4 Het multiversum

  • 4.1 Brede multiversumweergaven
  • 4.2 Het generieke multiversum
  • 4.3 Het Ω-vermoeden en het generieke multiversum
  • 4.4 Is er een uitweg?

• 5 The Local Case Revisited

  • 5.1 De zaak voor ¬CH
  • 5.2 De parallelle zaak voor CH
  • 5.3 Beoordeling
• 6 Het ultieme innerlijke model
• 7 De structuurtheorie van L (V _{λ + 1})
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Onafhankelijkheid in hoofdrekenen

In deze sectie bespreken we de onafhankelijkheidsresultaten in hoofdrekenen. Eerst behandelen we het geval van reguliere kardinalen, waar CH ligt en waar heel weinig wordt bepaald in de context van ZFC. Ten tweede zullen we omwille van de volledigheid het geval van enkelvoudige kardinalen bespreken, waar veel meer kan worden vastgesteld in de context van ZFC.

1.1 Gewone kardinalen

De toevoeging en vermenigvuldiging van oneindige kardinale getallen is triviaal: voor oneindige kardinalen κ en λ,

κ + λ = κ ⋅ λ = max {κ, λ}.

De situatie wordt interessant wanneer men zich wendt tot machtsverheffing en de poging om κ ^λ te berekenen voor oneindige kardinalen.

Tijdens het begin van de verzamelingenleer toonde Cantor aan dat voor elke kardinaal κ,

2 ^κ > κ.

Er is geen mysterie over de grootte van 2 ⁿ voor eindige n. De eerste natuurlijke vraag is dan waar 2 ^{ℵ ₀} zich in de alef-hiërarchie bevindt: is het ℵ ₁, ℵ ₂,…, ℵ ₁₇ of iets veel groters?

De kardinaal 2 ^{ℵ ₀} is belangrijk omdat het de grootte is van het continuüm (de reeks reële getallen). Cantors beroemde continuümhypothese (CH) is de stelling dat 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁. Dit is een speciaal geval van de gegeneraliseerde continuümhypothese (GCH) die stelt dat voor alle α, 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1}. Een deugd van GCH is dat het een complete oplossing biedt voor het probleem van het berekenen van κ ^λ voor oneindige kardinalen: Aangenomen dat GCH, als κ ≤ λ dan κ ^λ = λ ⁺; als cf (κ) ≤ λ ≤ κ dan κ ^λ = κ ⁺; en als λ <cf (κ) dan κ ^λ = κ.

Op CH en GCH is weinig vooruitgang geboekt. In feite was in het vroege tijdperk van de verzamelingenleer het enige andere stuk vooruitgang voorbij het resultaat van Cantor dat 2 ^κ > κ (en het triviale resultaat dat als κ ≤ λ dan 2 ^κ ≤ 2 ^λ) het resultaat van König was dat cf (2 ^κ) > κ. De verklaring voor het gebrek aan vooruitgang werd geleverd door de onafhankelijkheidsresultaten in de verzamelingenleer:

Stelling 1.1 (Gödel 1938a, 1938b).

Stel dat ZFC consistent is. Dan zijn ZFC + CH en ZFC + GCH consistent.

Om dit te bewijzen vond Gödel de methode van innerlijke modellen uit - hij toonde aan dat CH en GCH in het minimale binnenmodel L van ZFC bleven. Cohen vulde dit resultaat vervolgens aan:

Stelling 1.2 (Cohen 1963).

Stel dat ZFC consistent is. Dan zijn ZFC + ¬CH en ZFC + ¬GCH consistent.

Hij deed dit door het uitvinden van de methode van de buitenste modellen en waaruit blijkt dat CH gefaald in een generische extensie V ^B van V. De gecombineerde resultaten van Gödel en Cohen tonen dus aan dat het, uitgaande van de consistentie van ZFC, in principe onmogelijk is om CH of GCH in ZFC te regelen.

In de herfst van 1963 voltooide Easton het beeld door te laten zien dat voor oneindige regelmatige kardinalen κ de enige beperkingen op de functie κ ↦ 2 ^κ die aantoonbaar zijn in ZFC, de triviale beperking en de resultaten van Cantor en König zijn:

Stelling 1.3 (Easton 1963).

Stel dat ZFC consistent is. Stel dat F een (definieerbare klasse) functie is, gedefinieerd op oneindige regelmatige kardinalen, zodat

1. als κ ≤ λ dan F (κ) ≤ F (λ),
2. F (κ)> κ, en
3. cf (F (κ))> κ.

Dan is ZFC + "Voor alle oneindige reguliere kardinalen κ, 2 ^κ = F (κ)" consistent.

De theoretici van de set hadden dus de hoofdrekenen van reguliere kardinalen zover mogelijk gepusht binnen de grenzen van ZFC.

1.2 Singuliere kardinalen

Het geval van hoofdrekenen op enkelvoudige kardinalen is veel subtieler. Voor de volledigheid pauzeren we even om dit kort te bespreken voordat we verder gaan met de continuümhypothese.

Algemeen werd aangenomen dat, net als bij reguliere kardinalen, het gedrag van de functie κ 2 ^κ relatief beperkt zou zijn binnen de setting van ZFC. Maar toen bewees Silver het volgende opmerkelijke resultaat: ^[3]

Stelling 1.4 (zilver 1974).

Als ℵ _δ een enkelvoudige kardinaal is met een ontelbare cofinaliteit, dan, als GCH lager is dan holds _δ, dan houdt GCH at _δ.

Het blijkt dat (door een diep resultaat van Magidor, gepubliceerd in 1977) GCH voor het eerst kan falen op ℵ _ω (uitgaande van de consistentie van een supercompacte kardinaal). De stelling van Silver laat zien dat het niet eerst kan mislukken op ℵ _{ω 1 en dit is te bewijzen in ZFC.}

Dit roept de vraag op of men de grootte van 2 ^{ℵ _δ} kan “beheersen” met een zwakkere veronderstelling dan dat ℵ _δ een enkelvoudig kardinaal is van een ontelbare cofinaliteit, zodanig dat GCH onder ℵ _{δ houdt}. De natuurlijke hypothese om te overwegen is dat ℵ _δ een enkelvoudige kardinaal is met een ontelbare cofinaliteit die een sterke limiet is, dat wil zeggen dat voor alle α <ℵ _δ, 2 ^α <ℵ _δ. In 1975 bewezen Galvin en Hajnal (onder andere) dat er onder deze zwakkere veronderstelling inderdaad een grens is:

Stelling 1.5 (Galvin en Hajnal 1975).

Als ℵ _δ een enkelvoudige sterke limiet is, kardinaal met een ontelbare cofinaliteit, dan

2 ^{ℵ _δ} <ℵ _{(| δ | ^{cf (δ)}) ⁺}.

Het is mogelijk dat er een sprong is, Woodin toonde (opnieuw uitgaande van grote kardinalen) dat het mogelijk is dat voor alle κ, 2 ^κ = κ ⁺⁺. Wat de bovenstaande stelling laat zien, is dat er in ZFC een aantoonbare grens is aan hoe groot de sprong kan zijn.

De volgende vraag is of een vergelijkbare situatie de overhand heeft bij enkelvoudige kardinalen met telbare cofinaliteit. In 1978 liet Shelah zien dat dit inderdaad het geval is. Laten we ons concentreren op ℵ _ω om ideeën op te lossen.

Stelling 1.6 (Shelah 1978).

Als ℵ _ω een kardinaal met een sterke limiet is, dan

2 ^{ℵ _ω} <ℵ _{(2 ^{ℵ 0}) ⁺}.

Een nadeel van dit resultaat is dat de grens gevoelig is voor de werkelijke grootte van 2 ^{ℵ ₀}, wat alles onder ℵ _{ω kan zijn}. Opvallend was dat Shelah dit later kon verhelpen met de ontwikkeling van zijn pcf (mogelijke cofinaliteiten) theorie. Een zeer citeerbaar resultaat van deze theorie is het volgende:

Stelling 1.7 (Shelah 1982).

Als ℵ _ω een sterke limiet is, dan (ongeacht de grootte van 2 ^{ℵ ₀})

2 ^{ℵ _co} <ℵ _{co 4.}

Samenvattend: hoewel de continuümfunctie bij reguliere kardinalen relatief onbeperkt is in ZFC, wordt de continuümfunctie bij enkelvoudige kardinalen (aantoonbaar in ZFC) op significante manieren beperkt door het gedrag van de continuümfunctie op de kleinere kardinalen.

Verder lezen: zie Jech (2003) voor meer hoofdrekenen. Zie Abraham & Magidor (2010) en Holz, Steffens & Weitz (1999) voor meer informatie over de singuliere kardinalen en de pcf-theorie.

2. Definieerbare versies van de continuümhypothese en de ontkenning ervan

Laten we terugkeren naar de continuümfunctie op gewone kardinalen en ons concentreren op het eenvoudigste geval, de grootte van 2 ^{ℵ ₀}. Een van Cantors oorspronkelijke benaderingen van CH was door het onderzoeken van 'eenvoudige' reeksen reële getallen (zie Hallett (1984), pp. 3-5 en § 2.3 (b)). Een van de eerste resultaten in deze richting is de stelling van Cantor-Bendixson dat elke oneindig gesloten set ofwel telbaar is of een perfecte subset bevat, in welk geval het dezelfde kardinaliteit heeft als de set reals. Met andere woorden, CH geldt (in deze formulering) wanneer men zijn aandacht beperkt tot gesloten reals. In het algemeen zijn vragen over "definieerbare" realsets reikter dan vragen over willekeurige realsets en dit suggereert te kijken naar definieerbare versies van de continuümhypothese.

2.1 Drie versies

Er zijn drie verschillende formuleringen van de continuümhypothese: de interpolante versie, de goed geordende versie en de surjectieversie. Deze versies zijn allemaal gelijk aan elkaar in ZFC, maar we zullen een definieerbaarheidsbeperking opleggen en in dit geval kunnen er interessante verschillen zijn (onze discussie volgt Martin (1976)). Er is echt een hiërarchie van begrippen van definieerbaarheid die zich uitstrekt door de Borel-hiërarchie, de projectieve hiërarchie, de hiërarchie in L (ℝ) en, meer in het algemeen, de hiërarchie van universeel Baire-sets - en dus is elk van deze drie algemene versies eigenlijk een hiërarchie van versies, elk corresponderend met een bepaald niveau van de hiërarchie van definieerbaarheid (voor een bespreking van de hiërarchie van definieerbaarheid, zie §2.2.1 en §4.6 van de vermelding “Grote kardinalen en determinatie”).

2.1.1 Interpolant-versie

De eerste formulering van CH is dat er geen interpolant is, dat wil zeggen dat er geen oneindige verzameling A van reële getallen is, zodat de kardinaliteit van A strikt tussen die van de natuurlijke getallen en de reële getallen ligt. Om definieerbare versies te verkrijgen, stelt men simpelweg dat er geen "definieerbare" interpolant is en dit leidt tot een hiërarchie van definieerbare interpolante versies, afhankelijk van het begrip definieerbaarheid dat men hanteert. Om preciezer te zijn, voor een gegeven puntenklasse Γ in de hiërarchie van definieerbare reeksen stelt de corresponderende definieerbare interpolante versie van CH dat er geen interpolant is in Γ.

De stelling van Cantor-Bendixson laat zien dat er geen interpolant is in Γ in het geval dat Γ de puntklasse is van gesloten sets, waarmee deze versie van CH wordt geverifieerd. Dit werd verbeterd door Suslin die aantoonde dat deze versie van CH geldt voor Γ waarbij Γ de klasse is van Σ̰11 sets. Binnen ZFC kan men niet veel verder gaan - om sterkere versies te bewijzen moet men sterkere aannames doen. Het blijkt dat axioma's van definieerbare determinatie en grote kardinale axioma's dit bereiken. De resultaten van Kechris en Martin laten bijvoorbeeld zien dat als Δ̰1 n-determinacy geldt, deze versie van CH geldt voor de puntklasse van Σ̰1n + 1 sets. Verder gaan, als men uitgaat van AD ^{L (ℝ)}dan geldt deze versie van CH voor alle reeksen reële getallen die in L (ℝ) voorkomen. Aangezien deze hypothesen voortvloeien uit grote kardinale axioma's, heeft men ook dat sterkere en sterkere grote kardinale veronderstellingen zorgen voor sterkere en sterkere versies van deze versie van de effectieve continuümhypothese. Grote kardinale axioma's impliceren inderdaad dat deze versie van CH geldt voor alle reals in de definieerbaarheidshiërarchie die we overwegen; meer precies, als er een goede klasse Woodin-kardinalen is, geldt deze versie van CH voor alle universeel reeksen Baire.

2.1.2 Goed gerangschikte versie

De tweede formulering van CH stelt dat elke volgorde van de reals een ordertype heeft van minder dan ℵ ₂. Voor een gegeven puntenklasse Γ in de hiërarchie stelt de corresponderende definieerbare goed-ordenende versie van CH dat elke goed-ordening (gecodeerd door een set) in Γ een ordertype heeft van minder dan ℵ ₂.

Nogmaals, axioma's van definieerbare determinatie en grote kardinale axioma's impliceren deze versie van CH voor rijkere noties van definieerbaarheid. Als AD ^{L (ℝ) bijvoorbeeld} geldt, geldt deze versie van CH voor alle reeksen reële getallen in L (ℝ). En als er een goede klasse Woodin-kardinalen is, geldt deze versie van CH voor alle universeel reeksen Baire-reeksen.

2.1.3 Surjection-versie

De formulering van de derde versie van CH stelt dat er geen surjectie ρ: ℝ → ℵ _{2 is}, of, equivalent, dat er geen prewellordering is van ℝ met lengte ℵ ₂. Voor een gegeven puntklasse Γ in de hiërarchie van definieerbaarheid, stelt de corresponderende surjectieversie van CH dat er geen surjectie ρ: ℝ → ℵ _{2 is} zodat (de code voor) ρ in Γ zit.

Hier is de situatie interessanter. Axioma's van definieerbare determinatie en grote kardinale axioma's hebben invloed op deze versie omdat ze grenzen stellen aan hoe lang definieerbare voorbestellingen kunnen zijn. Laat δ̰1 n het supremum zijn van de lengtes van de Σ̰1 n-trekvolgorde van reals en laat Θ ^{L (ℝ)} het supremum zijn van de lengtes van de pre-preorder van reals waarbij het pre-ordenen definieerbaar is in de zin van in L (ℝ). Het is een klassiek resultaat dat δ̰11 = ℵ ₁. Martin toonde aan dat δ̰12 ≤ ℵ ₂ en dat als er een meetbare kardinaal is dan δ̰13 ≤ ℵ ₃. Kunen en Martin lieten ook zien onder PD, δ̰14 ≤ ℵ ₄ en Jackson lieten zien dat onder PD, voor elke n <ω, δ̰1 n <ℵ _ω. Ervan uitgaande dat er dus oneindig veel Woodin-kardinalen zijn, gelden deze grenzen. Bovendien blijven de grenzen behouden, ongeacht de grootte van 2 ^{ℵ ₀}. Het is natuurlijk de vraag of deze grenzen kunnen worden verbeterd om aan te tonen dat de voorbestellingen korter zijn dan ℵ ₂. Foreman en Magidor hebben in 1986 een programma opgezet om dit vast te stellen. In de meest algemene vorm wilden ze aantonen dat grote kardinale axioma's impliceerden dat deze versie van CH gold voor alle universeel reeksen Baire.

2.1.4 Potentiële peiling op CH

Merk op dat in de context van ZFC deze drie hiërarchieën van versies van CH allemaal opeenvolgende benaderingen van CH zijn en in het limietgeval, waar Γ de puntklasse is van alle realsets, ze gelijkwaardig zijn aan CH. Het is de vraag of deze benaderingen enig inzicht kunnen geven in CH zelf.

Er is een asymmetrie waar Martin op wees, namelijk dat een definieerbaar tegenvoorbeeld van CH een echt tegenvoorbeeld is, terwijl het niet uitmaakt hoe ver men verder gaat met het verifiëren van definieerbare versies van CH, hij zal CH zelf nooit hebben aangeraakt. Met andere woorden, de definieerbaarheidsbenadering zou CH kunnen weerleggen, maar het kon het niet bewijzen.

Toch zou men kunnen stellen dat, hoewel de definieerbaarheidsaanpak CH niet kon bewijzen, het daarvoor enig bewijs zou kunnen leveren. In het geval van de eerste twee versies weten we nu dat CH geldt voor alle definieerbare sets. Levert dit bewijs van CH op? Martin wees erop (voordat de volledige resultaten bekend waren) dat dit zeer twijfelachtig is, aangezien men in elk geval te maken heeft met sets die atypisch zijn. In de eerste versie beveiligt men bijvoorbeeld in elke fase de definieerbare versie van CH door te laten zien dat alle sets in de definieerbaarheidsklasse de perfecte set-eigenschap hebben; toch zijn dergelijke sets atypisch in die veronderstelling dat het gemakkelijk is om aan te tonen dat er sets zijn zonder deze eigenschap. In de tweede versie laat men in elk stadium niet alleen zien dat elke well-order van reals in de definieerbaarheidsklasse een ordertype heeft van minder dan ℵ ₂, maar ook dat het ordertype minder dan ℵ _{1 heeft}. Geen van deze versies verlicht dus echt CH.

De derde versie heeft in dit opzicht eigenlijk een voordeel, omdat niet alle sets waarmee het te maken heeft atypisch zijn. Terwijl alle Σ̰11-sets bijvoorbeeld een lengte hebben van minder dan ℵ ₁, zijn er Π̰11-sets met een lengte ℵ ₁. Het zou natuurlijk kunnen blijken dat zelfs als het Foreman-Magidor-programma zou slagen, de sets in een andere zin atypisch zouden kunnen zijn, in welk geval het weinig licht zou werpen op CH. Interessanter is echter de mogelijkheid dat het, in tegenstelling tot de eerste twee versies, feitelijk een tegenvoorbeeld zou zijn voor CH. Dit zou natuurlijk het falen van het Foreman-Magidor-programma vereisen.

2.2 Het Foreman-Magidor-programma

Het doel van het Foreman-Magidor-programma was om aan te tonen dat grote kardinale axioma's ook impliceerden dat de derde versie van CH gold voor alle sets in L (ℝ) en, meer in het algemeen, voor alle universeel Baire-sets. Met andere woorden, het doel was om aan te tonen dat grote kardinale axioma's impliceerden dat Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ en, meer in het algemeen, dat Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ voor elke universeel Baire set A.

De motivatie kwam van de gevierde resultaten van Foreman, Magidor en Shelah op Martin's Maximum (MM), waaruit bleek dat uitgaande van grote kardinale axioma's altijd kan worden gedwongen om een hoog ideaal te bereiken op ℵ ₂ zonder in te storten ℵ ₂ (zie Foreman, Magidor & Shelah (1988)). Het programma omvatte een tweedelige strategie:

1. Versterk dit resultaat om te laten zien dat uitgaande van grote kardinale axioma's men altijd kan forceren om een verzadigd ideaal te verkrijgen op obtain ₂ zonder in te storten ℵ ₂.
2. Laat zien dat het bestaan van zo'n verzadigd ideaal impliceert dat Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ en, meer in het algemeen, dat Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ every ₂ voor elke universeel Baire set A.

Dit zou aantonen dat that ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ en, meer algemeen, Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ voor elke universeel Baire set A. ^[4]

In december 1991 brak het volgende resultaat de hoop van dit programma aan.

Stelling 2.1 (Woodin).

Stel dat het niet-stationaire ideaal op ℵ ₁ verzadigd is en dat er een meetbare kardinaal is. Dan δ̰12 = ℵ ₂.

Het punt is dat de hypothese van deze stelling altijd kan worden afgedwongen, uitgaande van grote kardinalen. Het is dus mogelijk om Θ ^{L (ℝ)} > ℵ _{2 te hebben} (in feite δ̰13> ℵ ₂).

Waar ging het programma mis? Foreman en Magidor hadden een benadering van (B) en uiteindelijk bleek dat (B) waar is.

Stelling 2.2 (Woodin).

Stel dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is en dat er een verzadigd ideaal is op ideal ₂. Dan voor elke A ∈ Γ ^∞, Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂.

Dus het probleem is met (A).

Dit illustreert een interessant contrast tussen onze drie versies van de effectieve continuümhypothese, namelijk dat ze uit elkaar kunnen vallen. Hoewel grote kardinalen definieerbare tegenvoorbeelden van de eerste twee soorten uitsluiten, kunnen ze geen definieerbare tegenvoorbeelden van de derde soort uitsluiten. Maar nogmaals, we moeten benadrukken dat ze niet kunnen bewijzen dat er zulke tegenvoorbeelden zijn.

Maar er is een belangrijk punt: uitgaande van grote kardinale axioma's (AD ^{L (ℝ) is} voldoende), hoewel men buitenmodellen kan produceren waarin δ̰13> ℵ ₂ momenteel niet bekend is hoe buitenmodellen te produceren waarin δ̰13> ℵ ₃ of zelfs Θ ^{L (ℝ)} > ℵ ₃. Het is dus een open mogelijkheid dat men vanuit ZFC + AD ^{L (ℝ)} Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₃ kan bewijzen. Mocht dit het geval zijn, dan volgt daaruit dat, hoewel grote kardinalen het definieerbare falen van CH niet kunnen uitsluiten, ze het definieerbare falen van 2 ^{ℵ ₀} = ℵ _{2 kunnen} uitsluiten. Dit zou enig inzicht kunnen geven in de omvang van het continuüm, wat de centraliteit van ℵ ₂ onderstreept.

Verder lezen: Voor meer informatie over de drie effectieve versies van CH, zie Martin (1976); voor meer informatie over het Foreman-Magidor-programma, zie Foreman & Magidor (1995) en de inleiding tot Woodin (1999).

3. De zaak voor ¬CH

De bovenstaande resultaten brachten Woodin tot de identificatie van een "canoniek" model waarin CH faalt en dit vormde de basis van zijn argument dat CH vals is. In paragraaf 3.1 beschrijven we het model en in de rest van de paragraaf presenteren we de casus voor het falen van CH. In paragraaf 3.2 introduceren we Ω-logica en de andere begrippen die nodig zijn om de zaak te verdedigen. In paragraaf 3.3 presenteren we de case.

3,1 ℙ _max

Het doel is om een model te vinden waarin CH vals is en canoniek is in die zin dat de theorie niet kan worden veranderd door forcering in aanwezigheid van grote kardinalen. De achtergrondmotivatie is deze: Ten eerste weten we dat in aanwezigheid van grote kardinale axioma's de theorie van de tweede-orde rekenkunde en zelfs de hele theorie van L (ℝ) onveranderlijk is onder setforcering. Het belang hiervan is dat het aantoont dat onze belangrijkste onafhankelijkheidstechnieken niet kunnen worden gebruikt om de onafhankelijkheid van vragen over rekenkunde van de tweede orde (of over L (ℝ)) vast te stellen in aanwezigheid van grote kardinalen. Tweede,de ervaring heeft geleerd dat de grote kardinale axioma's in kwestie alle grote bekende open problemen lijken te beantwoorden met betrekking tot rekenkunde van de tweede orde en L (ℝ), en de set-invariantiestellingen geven een nauwkeurige inhoud aan de bewering dat deze axioma's "effectief compleet" zijn.^[5]

Hieruit volgt dat als ℙ een homogene deelorde is in L (ℝ), de generieke extensie L (ℝ) ^ℙ de generieke absoluutheid van L (ℝ) erft. Woodin ontdekte dat er een heel speciale deelbestelling ℙ _{max is} die deze functie heeft. Bovendien voldoet het model L (ℝ) ^{ℙ _max} aan ZFC + ¬CH. Het belangrijkste kenmerk van dit model is dat het "maximaal" (of "verzadigd") is met betrekking tot zinnen die van een bepaalde complexiteit zijn en waarvan aangetoond kan worden dat ze consistent zijn via setforcing over het model; met andere woorden, als deze zinnen kunnen blijven staan (door over het model te forceren), dan blijven ze in het model staan. Om dit preciezer te zeggen, zullen we een paar nogal technische begrippen moeten introduceren.

Er zijn twee manieren om het universum van sets te stratificeren. De eerste is in termen van ⟨V _α | α ∈ Op⟩ is de tweede in termen van ⟨H (κ) | κ ∈ Card⟩, waarbij H (κ) de verzameling is van alle sets met een kardinaliteit van minder dan κ en waarvan de leden een kardinaliteit hebben van minder dan κ, en waarvan de leden van de leden een kardinaliteit hebben van minder dan κ, enzovoort. H (ω) = V _ω en de theorieën van de structuren H (ω ₁) en V _{ω + 1}zijn onderling interpreteerbaar. Deze laatste structuur is de structuur van rekenkunde van de tweede orde en, zoals hierboven vermeld, geven grote kardinale axioma's ons een "effectief volledig" begrip van deze structuur. We zouden graag in dezelfde positie verkeren met betrekking tot grotere en grotere fragmenten van het universum en de vraag is of we verder moeten gaan in termen van de eerste of de tweede stratificatie.

De tweede stratificatie is in potentie fijnmaziger. Ervan uitgaande dat men heeft dat de theorieën van H (ω ₂) en V _{ω + 2} wederzijds interpreteerbaar zijn en uitgaande van steeds grotere fragmenten van GCH, gaat deze correspondentie verder. Maar als CH onwaar is, is de structuur H (ω ₂) minder rijk dan de structuur V _{ω 2. In dit geval legt de laatste structuur volledige rekenkunde van de derde orde vast, terwijl de eerste slechts een klein fragment van rekenkunde van de derde orde vastlegt, maar niettemin rijk genoeg is om CH uit te drukken. Gezien dit, is het verstandig om de potentieel meer verfijnde stratificatie te gebruiken om te proberen het universum van sets te begrijpen door er niveau voor niveau doorheen te werken.}

Onze volgende stap is daarom H (ω ₂) te begrijpen. Het blijkt eigenlijk dat we iets meer zullen kunnen begrijpen en dit is enigszins technisch. We zullen bezighouden met de structuur ⟨H (ω ₂) ∈, I _NS, A ^G ⟩ ⊧ φ, waar ik _NS is de niet-stationaire ideaal voor ω ₁ en A ^G is de interpretatie van (de canonieke representatie van) een set reals A in L (ℝ). De details zijn niet belangrijk en de lezer wordt gevraagd om alleen aan H (ω ₂) te denken, samen met wat "extra dingen", en zich geen zorgen te maken over de details met betrekking tot de extra dingen. ^[6]

We zijn nu in staat om het belangrijkste resultaat te noemen:

Stelling 3.1 (Woodin 1999).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ) en φ een Π _2- zin is (in de uitgebreide taal met twee extra predikaten) en er is een set dwingende extensie V [G] zodat

⟨H (ω ₂) ∈, I _NS, A ^G ⟩ ⊧ φ

(waarbij A ^G de interpretatie is van A in V [G]). Vervolgens

L (ℝ) ^{ℙ _max} ⊧ “⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A⟩ ⊧ φ”.

Er zijn twee hoofdpunten: Ten eerste is de theorie van L (ℝ) ^{ℙ _max} 'effectief voltooid' in die zin dat deze onveranderlijk is onder setforcering. Ten tweede is het model L (ℝ) ^{ℙ _max} "maximaal" (of "verzadigd") in de zin dat het voldoet aan alle Π _2- zinnen (over de relevante structuur) die mogelijk kunnen worden vastgehouden (in de zin dat ze kunnen worden getoond) consistent zijn door over het model te dwingen).

Men zou graag grip krijgen op de theorie van deze structuur door deze te axiomatiseren. Het relevante axioma is het volgende:

Definitie 3.2 (Woodin 1999).

Axioma (∗): AD ^{L (ℝ)} geldt en L (P (ω ₁)) is een ℙ _max- generieke extensie van L (ℝ).

Uiteindelijk stelt dit axioma CH vast:

Stelling 3.3 (Woodin 1999).

Neem aan (∗). Dan 2 ^ω = ℵ ₂.

3,2 Ω-logica

We zullen de bovenstaande resultaten nu herschikken in termen van een sterke logica. We zullen volledig gebruik maken van grote kardinale axioma's en in deze setting zijn we geïnteresseerd in logica's die "goed gedragen" zijn in de zin dat de vraag wat impliceert wat niet radicaal onafhankelijk is. Het is bijvoorbeeld algemeen bekend dat CH tot uitdrukking kan komen in volledige logica van de tweede orde. Hieruit volgt dat in aanwezigheid van grote kardinalen men altijd setforcing kan gebruiken om de waarheidswaarde van een vermeende logische validiteit van volledige tweede-orde logica om te draaien. Er zijn echter sterke logica-achtige ω-logica en β-logica - die deze functie niet hebben - ze gedragen zich goed in die zin dat in aanwezigheid van grote kardinale axioma's de vraag wat impliceert wat niet kan worden gewijzigd door set dwingen. We zullen een zeer sterke logica introduceren die deze functie-Ω-logica heeft. In feite,de logica die we zullen introduceren kan worden gekarakteriseerd als de sterkste logica met deze functie (zie Koellner (2010) voor verdere bespreking van sterke logica en voor een nauwkeurige verklaring van dit resultaat).

3.2.1 Ω-logica

Definitie 3.4.

Stel dat T een telbare theorie is in de taal van de verzamelingenleer en φ een zin is. Vervolgens

T ⊧ _Ω φ

als voor alle volledige Booleaanse algebra's B en voor alle rangtelwoorden α,

als VB α ⊧ T dan VB α ⊧ φ.

We zeggen dat een verklaring φ Ω-bevredigend is als er een ordinale α en een complete Booleaanse algebra B bestaat zodat VB α ⊧ φ, en we zeggen dat φ Ω-geldig is als ∅ ⊧ _Ω φ. Dus de bovenstaande stelling zegt dat (onder onze achtergrondveronderstellingen), de verklaring "φ is Ω-bevredigend" algemeen onveranderlijk is en in termen van Ω-validiteit is dit eenvoudig het volgende:

Stelling 3.5 (Woodin 1999).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat T een telbare theorie is in de taal van de verzamelingenleer en φ een zin is. Dan voor alle complete Booleaanse algebra's B,

T ⊧ _Ω φ iff V ^B ⊧ "T ⊧ _Ω φ."

Deze logica is dus robuust omdat de vraag wat impliceert wat onveranderlijk is onder setforcering.

3.2.2 Het Ω vermoeden

Overeenkomstig de semantische relatie ⊧ _{Ω is} er een quasi-syntactische bewijsrelatie ⊢ _Ω. De 'bewijzen' zijn bepaalde robuuste sets reals (universeel reeksen Baire-reals) en de teststructuren zijn modellen die onder deze proofs 'gesloten' zijn. De precieze begrippen "sluiting" en "bewijs" zijn enigszins technisch en daarom zullen we ze in stilte overslaan. ^[7]

Net als de semantische relatie is deze quasi-syntactische bewijsrelatie robuust onder grote kardinale veronderstellingen:

Stelling 3.6 (Woodin 1999).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat T een telbare theorie is in de taal van de verzamelingenleer, φ is een zin en B is een complete Booleaanse algebra. Vervolgens

T ⊢ _Ω φ alsf V ^B ⊧ 'T ⊢ _Ω φ'.

We hebben dus een semantische gevolgrelatie en een quasi-syntactische bewijsrelatie, die beide robuust zijn onder de veronderstelling van grote kardinale axioma's. Het is natuurlijk om te vragen of de stellingen over deugdelijkheid en volledigheid voor deze relaties gelden. Het is bekend dat de degelijkheidsstelling geldt:

Stelling 3.7 (Woodin 1999).

Stel dat ZFC. Stel dat T een telbare theorie is in de taal van de verzamelingenleer en φ een zin is. Als T ⊢ _Ω φ dan T ⊧ _Ω φ.

Het is open of de bijbehorende volledigheidsstelling geldt. Het Ω-vermoeden is simpelweg de bewering dat het doet:

Gissing 3.8 (Ω gissing).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Dan voor elke zin φ,

∅ ⊧ _Ω φ iff ∅ ⊢ _Ω φ.

We hebben een sterke vorm van dit vermoeden nodig die we het Strong Ω Conjecture zullen noemen. Het is een beetje technisch en daarom zullen we er in stilte overheen gaan. ^[8]

3.2.3 Ω-complete theorieën

Bedenk dat een belangrijke deugd van grote kardinale axioma's is dat ze de theorie van tweede-orde rekenkunde (en in feite de theorie van L (ℝ) en meer) 'effectief afwikkelen' in de zin dat in aanwezigheid van grote kardinalen één kan de methode van setforcing niet gebruiken om onafhankelijkheid vast te stellen met betrekking tot uitspraken over L (ℝ). Deze notie van invariantie onder setforcering speelde een sleutelrol in paragraaf 3.1. We kunnen dit begrip nu herformuleren in termen van Ω-logica.

Definitie 3.9.

Een theorie T is Ω- compleet voor een verzameling zinnen Γ indien voor elke φ ∈ Γ, T ⊧ _Ω φ of T ⊧ _Ω ¬φ.

De invariantie van de theorie van L (ℝ) onder setforcering kan nu als volgt worden geformuleerd:

Stelling 3.10 (Woodin 1999).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Dan is ZFC compleet voor het verzamelen van zinnen met de vorm “L (ℝ) ⊧ φ”.

Helaas volgt uit een reeks resultaten die zijn oorsprong vinden in het werk van Levy en Solovay dat traditionele grote kardinale axioma's geen Ω-complete theorieën opleveren op het niveau van Σ21, aangezien men altijd een "kleine" (en dus grote kardinaal behoudende) kracht kan gebruiken om de waarheidswaarde van CH te veranderen.

Stelling 3.11.

Neem aan dat L een standaard groot hoofd axioma is. Dan is ZFC + L niet Ω-compleet voor Σ21.

3.3 De zaak

Desalniettemin, als men grote kardinale axioma's aanvult, komen Ω-complete theorieën naar voren. Dit is het middelpunt van de zaak tegen CH.

Stelling 3.12 (Woodin).

Stel dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is en dat het Strong Ω Conjecture geldt.

1. Er is zo'n axioma A

   1. ZFC + A is Ω-tevredenstellend en
   2. ZFC + A is Ω-compleet voor de structuur H (ω ₂).

2. Elke axioma A heeft de eigenschap dat

   ZFC + A ⊧ _Ω 'H (ω ₂) ⊧ ¬CH'.

Laten we dit als volgt herformuleren: Voor elke A die voldoet (1), laten we

T _A = {φ | ZFC + A ⊧ _Ω 'H (ω ₂) ⊧ ¬φ'}.

De stelling zegt dat als er een goede klasse Woodin kardinalen en Ω Conjecture bezit, dan zijn er (niet-triviale) Ω aanvullen theorie T _A H (ω ₂) en al dergelijke theorieën bevatten ¬CH.

Het is natuurlijk om te vragen of er een grotere overeenkomst tussen de Ω-volledige theorieën T _A. Idealiter zou er maar één zijn. Een recent resultaat (voortbouwend op stelling 5.5) laat zien dat als er een dergelijke theorie is, er veel van dergelijke theorieën zijn.

Stelling 3.13 (Koellner en Woodin 2009).

Stel dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat A zo'n axioma is

ik. ZFC + A is Ω-tevredenstellend en

ii. ZFC + A is Ω-compleet voor de structuur H (ω ₂).

Dan is er een axioma B zodat

ik'. ZFC + B is Ω-tevredenstellend en

ii '. ZFC + B is Ω -compleet voor de structuur H (ω ₂)

en T _A ≠ T _B.

Hoe kan iemand dan kiezen uit deze theorieën? Woodins werk op dit gebied gaat veel verder dan Stelling 5.1. Naast het isoleren van een axioma dat voldoet aan (1) van Stelling 5.1 (uitgaande van Ω-bevrediging), isoleert hij een heel speciaal dergelijk axioma, namelijk het eerder genoemde axioma (∗) ("ster").

Dit axioma kan worden uitgedrukt in termen van (het bewijsbaarheidsbegrip van) Ω-logica:

Stelling 3.14 (Woodin).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Dan zijn de volgende equivalent:

1. (∗).

2. Voor elke Π _2- zin φ in de taal voor de structuur

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | EEN ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

   als

   ZFC + "⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

   is Ω-consistent, dan

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | EEN ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Hieruit volgt dat van de verschillende theorieën T _A betrokken bij Stelling 5.1, is er één die opvalt: De theorie T _(*) gegeven door (*). Deze theorie maximaliseert de Π ₂ -theorie van de structuur ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | EEN ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩.

De continuümhypothese faalt in deze theorie. Bovendien is in de maximale theorie T _(∗) gegeven door (∗) de grootte van het continuüm ℵ ₂. ^[9]

Samenvattend: Ervan uitgaande dat het sterke Ω-vermoeden bestaat, is er een 'goede' theorie van H (ω ₂) en al dergelijke theorieën impliceren dat CH faalt. Bovendien is (nogmaals, uitgaande van het sterke Ω-vermoeden) een dergelijke theorie maximaal en in die theorie 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.

Verder lezen: Voor de wiskunde met betrekking tot ℙ _max, zie Woodin (1999). Zie Bagaria, Castells & Larson (2006) voor een inleiding tot Ω-logica. Zie Koellner & Woodin (2009) voor meer informatie over incompatibele Ω-complete theorieën. Zie Woodin (2001a, b, 2005a, b) voor meer informatie over de zaak tegen CH.

4. Het multiversum

Het bovenstaande geval voor het falen van CH is het sterkste bekende lokale geval voor axioma's die CH bezinken. In deze sectie en de volgende zullen we van kant wisselen en de pluralistische argumenten beschouwen dat CH geen antwoord heeft (in deze sectie) en dat er een even goed geval is voor CH (in de volgende sectie). In de laatste twee sectie zullen we optimistische wereldwijde scenario's onderzoeken die hoop bieden om het probleem op te lossen.

De pluralist stelt dat de onafhankelijkheidsresultaten de onbesliste vragen effectief oplossen door aan te tonen dat ze geen antwoord hebben. Een manier om een fundamenteel kader voor een dergelijke visie te bieden, is in termen van het multiversum. Volgens deze opvatting is er geen enkel universum van verzamelingenleer, maar eerder een multiversum van legitieme kandidaten, waarvan sommige voor bepaalde doeleinden de voorkeur verdienen boven andere, maar geen van allen kan het "echte" universum zijn. De multiversum-opvatting van waarheid is de opvatting dat een verklaring van de verzamelingenleer alleen ware simpliciter kan zijn als hij waar is in alle universa van het multiversum. Ten behoeve van deze discussie zullen we zeggen dat een bewering volgens het multiversum-concept onbepaald is als het niet waar of onwaar is volgens het multiversum-concept. Hoe radicaal zo'n opvatting is, hangt af van de breedte van de opvatting van het multiversum.

4.1 Brede multiversumweergaven

De pluralist is over het algemeen een niet-pluralist over bepaalde domeinen van de wiskunde. Een strikte finitist kan bijvoorbeeld een niet-pluralist zijn over PA, maar een pluralist over verzamelingenleer en men zou een niet-pluralist kunnen zijn over ZFC en een pluralist over grote kardinale axioma's en uitspraken zoals CH.

Er is een vorm van radicaal pluralisme die pleit voor pluralisme op alle gebieden van de wiskunde. Volgens deze opvatting is elke consistente theorie een legitieme kandidaat en de overeenkomstige modellen van dergelijke theorieën zijn legitieme kandidaten voor het domein van de wiskunde. Laten we dit het breedste multiversum noemen. Het is moeilijk deze visie te verwoorden, die als volgt naar voren kan worden gebracht: om te beginnen moet men een achtergrondtheorie uitkiezen om de verschillende modellen te bespreken en dit leidt tot een moeilijke. Volgens de brede multiversum-opvatting zijn er, aangezien PA Con (PA) niet kan bewijzen (volgens de tweede onvolledigheidsstelling, ervan uitgaande dat PA consistent is), modellen van PA + ¬Con (PA) en deze modellen legitieme kandidaten zijn, dat is, het zijn universa binnen het brede multiversum. Om nu tot deze conclusie te komen, moet men (in de achtergrondtheorie) in staat zijn om Con (PA) te bewijzen (aangezien deze veronderstelling vereist is om de tweede onvolledigheidsstelling in dit specifieke geval toe te passen). Dus vanuit het perspectief van de achtergrondtheorie die wordt gebruikt om te beweren dat de bovenstaande modellen legitieme kandidaten zijn, voldoen de betreffende modellen aan een valse Σ01-zin, namelijk ¬Con (PA). Kortom, er is een gebrek aan harmonie tussen wat op metaniveau wordt vastgehouden en wat op objectniveau wordt vastgehouden. Kortom, er is een gebrek aan harmonie tussen wat op metaniveau wordt vastgehouden en wat op objectniveau wordt vastgehouden. Kortom, er is een gebrek aan harmonie tussen wat op metaniveau wordt vastgehouden en wat op objectniveau wordt vastgehouden.

De enige uitweg uit deze moeilijkheid lijkt te zijn om elk standpunt - elke articulatie van de multiversumconceptie - als voorlopig te beschouwen en, wanneer erop wordt gedrukt, het pluralisme met betrekking tot de achtergrondtheorie te omarmen. Met andere woorden, men zou een multiversum-conceptie van het multiversum moeten aannemen, een multiversum-conceptie van het multiversum-conceptie van het multiversum, enzovoort, tot in het oneindige. Hieruit volgt dat een dergelijke positie nooit volledig kan worden gearticuleerd - elke keer dat men probeert de brede multiversum-conceptie te verwoorden, moet men een achtergrondtheorie gebruiken, maar aangezien men pluralistisch is over die achtergrondtheorie, is deze pas bij het gebruik van het brede multiversum om de conceptie te articuleren wel niet de conceptie volledig recht doen. De positie is dus moeilijk te verwoorden. Men kan zeker het pluralistische standpunt innemen en proberen het standpunt dat men van plan is te gebaren of te vertonen door voorlopig een bepaalde achtergrondtheorie te kiezen, maar vervolgens pleiten voor pluralisme als dat nodig is. Het uitzicht is dus iets van een "bewegend doelwit". We zullen deze visie in stilte overslaan en ons concentreren op opvattingen die kunnen worden verwoord in een fundamenteel kader.

We zullen daarom kijken naar opvattingen die niet-pluralisme omarmen met betrekking tot een bepaald stuk wiskunde en om redenen van ruimte en omdat dit een inzending is over de verzamelingenleer, zullen we de lange debatten over strikt finitisme, finitisme, predicativisme overslaan en beginnen met opvattingen die niet-pluralisme met betrekking tot ZFC omarmen.

Laat het brede multiversum (gebaseerd op ZFC) de verzameling zijn van alle modellen van ZFC. De brede multiversum-conceptie van waarheid (gebaseerd op ZFC) is dan eenvoudigweg de opvatting dat een verklaring van verzamelingenleer de ware simpliciter is als deze in ZFC kan worden bewezen. In dit opzicht zijn de verklaring Con (ZFC) en andere onbesliste Π01-verklaringen geclassificeerd als onbepaald. Deze opvatting wordt dus geconfronteerd met een moeilijkheid die parallel loopt met de hierboven genoemde met betrekking tot radicaal pluralisme.

Dit motiveert de verschuiving naar opvattingen die de klasse van universa in het multiversum verkleinen door een sterke logica te gebruiken. Men kan zich bijvoorbeeld beperken tot universums die ω-modellen zijn, β-modellen (dwz goed gefundeerd), enz. Op het standpunt dat men ω-modellen neemt, wordt de verklaring Con (ZFC) geclassificeerd als waar (hoewel dit gevoelig is de achtergrondtheorie) maar de verklaring PM (alle projectieve sets zijn meetbaar voor Lebesgue) wordt geclassificeerd als onbepaald.

Voor degenen die overtuigd zijn door de argumenten (onderzocht in de vermelding “Grote kardinalen en determinatie”) voor grote kardinale axioma's en axioma's van definieerbare determinatie, zijn zelfs deze multiverse opvattingen te zwak. We zullen deze route volgen. Voor de rest van dit artikel zullen we het niet-pluralisme omarmen met betrekking tot grote kardinale axioma's en axioma's van definieerbare determinatie en focussen we op de kwestie van CH.

4.2 Het generieke multiversum

De motivatie achter het generieke multiversum is het pleiten voor grote kardinale axioma's en definieerbare determinatie, maar ontkennen dat uitspraken zoals CH een bepaalde waarheidswaarde hebben. Om specifiek te zijn over de achtergrondtheorie, laten we ZFC + nemen: "Er is een goede klasse van Woodin-kardinalen" en bedenk dat deze grote kardinale veronderstelling axioma's van definieerbare determiniteit zoals PD en AD ^{L (ℝ) verzekert}.

Laat het generieke multiversum the het resultaat zijn van het sluiten van V onder generieke extensies en generieke verfijningen. Een manier om dit te formaliseren is door een extern gezichtspunt te nemen en te beginnen met een telbaar transitief model M. Het generieke multiversum gebaseerd op M is dan de kleinste set ? _M zodat M ∈ ? _M en, voor elk paar telbare transitieve modellen (N, N [G]), zodat N ⊧ ZFC en G ⊆ ℙ N -generisch is voor sommige deelbestelling in ℙ ∈ N, indien een N of N [G] in ? _M dan zowel N en N [G] in ? _M.

Laat de generieke multiversum-opvatting van waarheid de opvatting zijn dat een bewering waar simpliciter is als het waar is in alle universa van het generieke multiversum. We zullen zo'n verklaring een generieke multiversum-waarheid noemen. Een bewering zou volgens het generieke multiversum-concept onbepaald zijn als het volgens de generieke multiversum-conceptie niet waar of onwaar is. Als we bijvoorbeeld onze grote ^{hoofdveronderstellingen} toekennen, beschouwt zo'n mening PM (en PD en AD ^{L (ℝ)}) als waar, maar acht CH onbepaald.

4.3 Het Ω-vermoeden en het generieke multiversum

Is de generieke multiversum-opvatting van waarheid houdbaar? Het antwoord op deze vraag hangt nauw samen met het onderwerp Ω-logica. De basisverbinding tussen generieke multiversumwaarheid en Ω-logica is belichaamd in de volgende stelling:

Stelling 4.1 (Woodin).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Vervolgens zijn voor elke Π _2- verklaring φ het volgende equivalent:

1. φ is een generieke multiversum-waarheid.
2. φ is Ω -geldig.

Bedenk nu dat volgens stelling 3.5, onder onze achtergrondveronderstellingen, Ω-validiteit algemeen onveranderlijk is. Hieruit volgt dat, gezien onze achtergrondtheorie, het idee van generieke multiversumwaarheid robuust is met betrekking tot Π _2- verklaringen. Met name voor Π _2- stellingen is de stelling “φ is onbepaald” zelf bepalend volgens de generieke multiversumconceptie. In die zin is de conceptie van waarheid niet "zelfondermijnend" en wordt men niet in een neerwaartse spiraal gezonden waarin men multiversums van multiversums onder ogen moet zien. Dus slaagt het voor de eerste test. Of het een meer uitdagende test doorstaat, hangt af van het Ω vermoeden.

Het Ω-vermoeden heeft ingrijpende gevolgen voor de generieke multiversum-conceptie van waarheid. Laat

? _Ω = {φ | ∅ ⊧ _Ω φ}

en, voor elke specificeerbare kardinaal K, laten we

? _Ω (H (κ ⁺)) = {φ | ZFC ⊧ _Ω “H (κ ⁺) ⊧ φ”},

waar herinneren dat H (κ ⁺) de verzameling sets van erfelijke kardinaliteit is kleiner dan κ ⁺. Dus, uitgaande van ZFC en dat er een goede klasse van Woodin-kardinalen is, is de set ? _Ω gelijk aan de set van Π ₂ generieke multiversumwaarheden en de set ? _Ω (H (κ ⁺)) is precies de set van generiek multiversum waarheden van H (κ ⁺).

Om de invloed van het Ω-vermoeden op de generieke multiverse conceptie van waarheid te beschrijven, introduceren we twee transcendentieprincipes die dienen als beperkingen voor elke houdbare conceptie van waarheid in verzamelingenleer - een waarheidsbeperking en een definieerbaarheidsbeperking.

Definitie 4.2 (waarheidsbeperking).

Elke houdbare multiversumconceptie van waarheid in verzamelingenleer moet zodanig zijn dat de Π _2- waarheden (volgens die opvatting) in het universum van verzamelingen niet recursief zijn in de waarheden over H (κ) (volgens die opvatting), voor elke specificeerbare kardinaal.

Deze beperking is in de geest van die principes van de verzamelingenleer - met name reflectieprincipes - die tot doel hebben het pretheoretische idee vast te leggen dat het universum van verzamelingen zo rijk is dat het niet 'van onderaf kan worden beschreven' meer in het bijzonder stelt het dat elke houdbare opvatting van waarheid het idee moet respecteren dat het universum van verzamelingen zo rijk is dat waarheid (of zelfs maar Π _2- waarheid) niet kan worden beschreven in een specifiek fragment. (Merk op dat volgens de stelling van Tarski over de ondefinieerbaarheid van waarheid, de waarheidsbeperking triviaal wordt bevredigd door de standaardconceptie van waarheid in verzamelingenleer die het multiversum nodig heeft om één enkel element te bevatten, namelijk V.)

Er is ook een gerelateerde beperking met betrekking tot de definieerbaarheid van waarheid. Voor een specificeerbare kardinaal κ is set Y ⊆ ω definieerbaar in H (κ ⁺) over het multiversum als Y definieerbaar is in de structuur H (κ ⁺) van elk universum van het multiversum (mogelijk door formules die afhankelijk zijn van het bovenliggende universum).

Definitie 4.3 (definieerbaarheidsbeperking).

Elke houdbare multiversum-conceptie van waarheid in verzamelingenleer moet zodanig zijn dat de Π _2- waarheden (volgens die conceptie) in het universum van verzamelingen definieerbaar zijn in H (κ) in het multiversum-universum, voor elke specificeerbare kardinaal κ.

Merk opnieuw op dat volgens de stelling van Tarski over de ondefinieerbaarheid van waarheid, de definieerbaarheidsbeperking triviaal wordt vervuld door de gedegenereerde multiversumconceptie die het multiversum nodig heeft om het enkele element V te bevatten. (Merk ook op dat als men de definieerbaarheidsbeperking wijzigt door de eis toe te voegen dat de definitie uniform is over het multiversum, dan zou automatisch aan de beperking worden voldaan.)

De invloed van het Ω-vermoeden op de houdbaarheid van de generieke multiversum-conceptie van waarheid is vervat in de volgende twee stellingen:

Stelling 4.4 (Woodin).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat het Ω-vermoeden geldt. Dan is ? _Ω recursief in ? _Ω (H (δ + 0)), waarbij δ ₀ de minste Woodin-kardinaal is.

Stelling 4.5 (Woodin).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat het Ω-vermoeden geldt. Dan is ? _Ω definieerbaar in H (δ + 0), waarbij δ ₀ de minste Woodin-kardinaal is.

Met andere woorden, als er een goede klasse van Woodin-kardinalen is en als het Ω-vermoeden geldt, dan schendt de generieke multiversum-conceptie van waarheid zowel de waarheidsbeperking (bij δ ₀) als de definieerbaarheidsbeperking (bij δ ₀).

Er zijn eigenlijk scherpere versies van de bovenstaande resultaten waarbij H (c ⁺) betrokken is in plaats van H (δ + 0).

Stelling 4.6 (Woodin).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat het Ω-vermoeden geldt. Dan is ? _Ω recursief in ? _Ω (H (c ⁺)).

Stelling 4.7 (Woodin).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat het Ω-vermoeden geldig is en dat het AD ⁺ -vermoeden geldt. Dan is ? _Ω definieerbaar in H (c ⁺).

Met andere woorden, als er een goede klasse van Woodin-kardinalen is en als het Ω-vermoeden geldt, dan schendt de generieke multiversum-opvatting van waarheid de waarheidsbeperking op het niveau van rekenkunde van de derde orde, en als daarnaast het AD ⁺ -vermoeden dan is de generieke multiversum-opvatting van waarheid in strijd met de definieerbaarheidsbeperking op het niveau van rekenkunde van de derde orde.

4.4 Is er een uitweg?

Er lijken vier manieren te zijn waarop de voorstander van het generieke multiversum bovenstaande kritiek zou kunnen weerstaan.

Ten eerste zou men kunnen volhouden dat het Ω-vermoeden net zo problematisch is als CH en daarom net als CH moet worden beschouwd als onbepaald volgens de generieke multiversum-conceptie van waarheid. Het probleem met deze aanpak is het volgende:

Stelling 4.8 (Woodin).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Dan, voor elke complete Booleaanse algebra ?,

V ⊧ Ω-vermoeden iff V ? ⊧ Ω-vermoeden.

Dus, in tegenstelling tot CH, kan niet worden aangetoond dat het Ω-vermoeden onafhankelijk is van ZFC + "Er is een goede klasse van Woodin-kardinalen" via forcering. In termen van de generieke multiversum-conceptie van waarheid, kunnen we het op deze manier zeggen: hoewel de generieke-multiversum-conceptie van waarheid CH onbepaald acht, acht het het Ω-vermoeden niet onbepaald. Dus de bovenstaande reactie is niet beschikbaar voor de voorstander van de generieke multiversum-conceptie van waarheid. De voorstander van die opvatting acht het Ω-vermoeden al bepalend.

Ten tweede zou men kunnen erkennen dat het Ω-vermoeden bepaald is, maar dat het niet waar is. Er zijn manieren waarop men dit zou kunnen doen, maar dat ondermijnt het bovenstaande argument niet. De reden is de volgende: Om te beginnen is er een nauw verwante Σ _2- verklaring die men kan vervangen door het Ω vermoeden in de bovenstaande argumenten. Dit is de bewering dat het Ω-vermoeden (niet-triviaal) Ω-bevredigend is, dat wil zeggen de bewering: er bestaat een ordinale α en een universum V 'van het multiversum zodat

V ' _α ⊧ ZFC + "Er is een goede klasse van Woodin-kardinalen"

en

V ' _α ⊧ “The Ω Conjecture”.

Deze Σ _2- stelling is onveranderlijk onder setforcering en daarom is men een aanhanger van het generieke multiversum dat de waarheid als bepalend moet worden beschouwd. Bovendien gaan de belangrijkste argumenten hierboven door met deze Σ _2- verklaring in plaats van het Ω-vermoeden. Degene die deze tweede antwoordregel volgt, moet dus ook volhouden dat deze bewering onjuist is. Maar er is substantieel bewijs dat deze bewering waar is. De reden is dat er geen bekend voorbeeld is van een Σ ₂-verklaring die onveranderlijk is onder setforcering ten opzichte van grote kardinale axioma's en die niet kan worden geregeld door grote kardinale axioma's. (Een dergelijke verklaring zou in aanmerking komen voor een absoluut onbesliste verklaring.) Het is dus redelijk om te verwachten dat deze verklaring wordt opgelost door grote kardinale axioma's. Recente ontwikkelingen in de theorie van het innerlijke model - in het bijzonder die in Woodin (2010) - leveren echter bewijs dat geen groot kardinaal axioma deze bewering kan weerleggen. Alles bij elkaar: Het is zeer waarschijnlijk dat deze bewering in feite waar is; dus deze manier van reageren is niet veelbelovend.

Ten derde zou men de waarheidsbeperking of de definieerbaarheidsbeperking kunnen afwijzen. Het probleem is dat als men de waarheidsbeperking verwerpt, op basis van deze visie (uitgaande van het Ω-vermoeden) Π _{2 de} waarheid in de verzamelingenleer reduceerbaar is in de zin van Turing reduceerbaarheid tot waarheid in H (δ ₀) (of, uitgaande van het sterke Ω-vermoeden) H (c ⁺)). En als men de definieerbaarheidsbeperking verwerpt, dan is in deze visie (uitgaande van het Ω-vermoeden) truth _{2 de} waarheid in de verzamelingenleer te herleiden in de zin van definieerbaarheid tot de waarheid in H (δ ₀) (of, uitgaande van het sterke Ω-vermoeden, H (c ⁺)). In beide opzichten staat de reductie in spanning met de aanvaarding van niet-pluralisme met betrekking tot de achtergrondtheorie ZFC + "Er is een goede klasse van Woodin-kardinalen".

Ten vierde zou men de kritiek kunnen omarmen, de generieke multiversum-conceptie van waarheid kunnen afwijzen en toegeven dat er enkele uitspraken zijn over H (δ + 0) (of H (c ⁺), die bovendien het AD ⁺ -conjectuur verlenen) die ware simpliciter maar niet waar in de zin van het generieke multiversum, en toch blijven volhouden dat CH onbepaald is. De moeilijkheid is dat een dergelijke zin φ kwalitatief net als CH is, omdat hij kan worden gedwongen om vast te houden en kan worden gedwongen te mislukken. De uitdaging voor de pleitbezorger van deze benadering is om de generieke multiversum-conceptie van waarheid zodanig te wijzigen dat deze φ als bepalend telt en toch CH als onbepaald telt.

Samenvattend: er zijn aanwijzingen dat de enige uitweg de vierde uitweg is en dit legt de last terug op het pluralistische - het pluralistische moet een aangepaste versie van het generieke multiversum bedenken.

Verder lezen: Voor meer informatie over het verband tussen Ω-logica en het generieke multiversum en de bovenstaande kritiek op het generieke multiversum, zie Woodin (2011a). Zie Woodin (2010) voor de verklaring van recente resultaten in de theorie van het innerlijke model over de status van het Ω-vermoeden.

5. De lokale zaak opnieuw bekeken

Laten we nu kijken naar een tweede manier waarop men zich zou kunnen verzetten tegen de lokale zaak voor het falen van CH. Dit betreft een parallel geval voor CH. In paragraaf 5.1 zullen we de belangrijkste kenmerken van de zaak voor ¬CH bekijken om het te vergelijken met het parallelle geval voor CH. In paragraaf 5.2 presenteren we de parallelle casus voor CH. In paragraaf 5.3 beoordelen we de vergelijking.

5.1 De zaak voor ¬CH

Bedenk dat er in het geval dat in paragraaf 3.3 wordt gepresenteerd, twee basisstappen zijn. De eerste stap betreft Ω-volledigheid (en dit geeft ¬CH) en de tweede stap betreft maximaliteit (en dit geeft de sterkere 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂). Voor een gemakkelijke vergelijking zullen we deze kenmerken hier herhalen:

De eerste stap is gebaseerd op het volgende resultaat:

Stelling 5.1 (Woodin).

Stel dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is en dat het Strong Ω Conjecture geldt.

1. Er is zo'n axioma A

   1. ZFC + A is Ω-tevredenstellend en
   2. ZFC + A is Ω-compleet voor de structuur H (ω ₂).

2. Elke axioma A heeft de eigenschap dat

   ZFC + A ⊧ _Ω “H (ω ₂) ⊧ ¬CH”.

Laten we dit als volgt herformuleren: Voor elke A die voldoet (1), laten we

T _A = {φ | ZFC + A ⊧ _Ω “H (ω ₂) ⊧ ¬φ”}.

De stelling zegt dat als er een goede klasse Woodin kardinalen en Sterk Ω Conjecture bezit, dan zijn er (niet-triviale) Ω aanvullen theorie T _A H (ω ₂) en al dergelijke theorieën bevatten ¬CH. Met andere woorden, onder deze veronderstellingen is er een "goede" theorie en alle "goede" theorieën impliceren ¬CH.

De tweede stap begint met de vraag of er meer overeenkomst tussen de Ω aanvullen theorie T _A. Idealiter zou er maar één zijn. Dit is echter niet het geval.

Stelling 5.2 (Koellner en Woodin 1999).

Stel dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat A zo'n axioma is

ik. ZFC + A is Ω-tevredenstellend en

ii. ZFC + A is Ω-compleet voor de structuur H (ω ₂).

Dan is er een axioma B zodat

ik'. ZFC + B is Ω-tevredenstellend en

ii '. ZFC + B is Ω -compleet voor de structuur H (ω ₂)

en T _A ≠ T _B.

Dit roept de vraag op hoe men uit deze theorieën moet kiezen? Het blijkt dat er een maximale theorie is onder de T _A en deze wordt gegeven door het axioma (∗).

Stelling 5.3 (Woodin).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Dan zijn de volgende equivalent:

1. (∗).

2. Voor elke Π _2- zin φ in de taal voor de structuur

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | EEN ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

   als

   ZFC + "⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

   is Ω-consistent, dan

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | EEN ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Dus, van de verschillende theorieën T _A betrokken bij Stelling 5.1, is er één die opvalt: De theorie T _(*) gegeven door (*). Deze theorie maximaliseert de Π ₂ -theorie van de structuur ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | EEN ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Het fundamentele resultaat is dat in deze maximale theorie

2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.

5.2 De parallelle zaak voor CH

Het parallelle geval voor CH heeft ook twee stappen, de eerste met Ω-volledigheid en de tweede met maximaliteit.

Het eerste resultaat in de eerste stap is het volgende:

Stelling 5.4 (Woodin 1985).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse meetbare Woodin-kardinalen is. Dan is ZFC + CH Ω-compleet voor Σ21.

Bovendien is CH, tot Ω-equivalent, de unieke Σ21-instructie die Ω-compleet is voor Σ21; dat is, omdat T _A als Ω-volledige theorie gegeven door ZFC + A waarbij A Σ21 al dergelijke T _A zijn Ω-equivalent aan T _CH en dus (triviaal) Alle dergelijke T _A bevatten CH. Met andere woorden, er is een "goede" theorie en alle "goede" theorieën impliceren CH.

Om de eerste stap te voltooien, moeten we bepalen of dit resultaat robuust is. Want het kan zijn dat wanneer men naar het volgende niveau kijkt, Σ22 (of verdere niveaus, zoals rekenkunde van de derde orde) CH niet langer deel uitmaakt van het plaatje, dat wil zeggen, misschien impliceren grote kardinalen dat er een axioma A is zodat ZFC + A is Ω-compleet voor Σ22 (of, verdergaand, alle derde-orde rekenkundige bewerkingen) en toch hebben niet al dergelijke A een bijbehorende T _A die CH bevat. We moeten dit uitsluiten als we de eerste stap willen veiligstellen.

Het meest optimistische scenario langs deze lijnen is dit: Het scenario is dat er een groot hoofd axioma L en axioma's A is → zodanig dat ZFC + L + A → Ω compleet is voor alle derdegraads rekenkunde en al dergelijke theorieën zijn Ω -equivalent en impliceert CH. Verdergaand, misschien is er voor elk specificeerbaar fragment V _λ van het universum van verzamelingen een groot kardinaal axioma L en axioma's A → zodanig dat ZFC + L + A → Ω-compleet is voor de hele theorie van V _λ en bovendien dat dergelijke theorieën zijn Ω-equivalent en impliceren CH. Mocht dit het geval zijn, dan zou dat betekenen dat voor elk van deze λ er een uniek Ω-compleet beeld is van V _λen we zouden een uniek Ω-compleet begrip hebben van willekeurig grote fragmenten van het universum van verzamelingen. Dit zou een sterk argument zijn voor nieuwe axioma's die de axioma's van ZFC en grote kardinaal axioma's voltooien.

Helaas mislukt dit optimistische scenario: Uitgaande van het bestaan van een dergelijke theorie kan men een andere construeren die verschilt van CH:

Stelling 5.5 (Koellner en Woodin 2009).

Stel dat ZFC en dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat V _λ een specificeerbaar fragment van het universum is (dat voldoende groot is) en veronderstel dat er een groot hoofd axioma L en axioma's A → is zodat

ZFC + L + A → is Ω-compleet voor Th (V _λ).

Dan zijn er axioma's B → zodat

ZFC + L + B → is Ω-compleet voor Th (V _λ)

en de eerste theorie Ω - impliceert CH als en slechts als de tweede theorie Ω - ¬CH impliceert.

Dit laat ons nog steeds met de vraag van het bestaan en het antwoord op deze vraag is gevoelig voor het Ω Conjecture en het AD ⁺ Conjecture:

Stelling 5.6 (Woodin).

Stel dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is en dat het Ω-vermoeden geldt. Dan is er geen recursieve theorie A → zodat ZFC + A → Ω -compleet is voor de theorie van V _{δ 0 +1}, waarbij δ ₀ de minste Woodin-kardinaal is.

Sterker nog, onder een sterkere aanname moet het scenario op een veel vroeger niveau mislukken.

Stelling 5.7 (Woodin).

Stel dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is en dat het Ω-vermoeden geldt. Stel dat het AD ⁺ Conjecture geldig is. Dan is er geen recursieve theorie A → zodat ZFC + A → Ω -compleet is voor de theorie van Σ23.

Het is open of zo'n theorie kan bestaan op het niveau van Σ22. Aangenomen wordt dat ZFC + ◇ Ω-compleet is (uitgaande van grote kardinale axioma's) voor Σ22.

Laten we aannemen dat het positief wordt beantwoord en terugkeren naar de kwestie van uniciteit. Laat voor elk van deze axioma A T _A de Σ22-theorie zijn, berekend door ZFC + A in Ω-logica. De vraag naar uniciteit vraagt eenvoudig of T _A uniek is.

Stelling 5.8 (Koellner en Woodin 2009).

Stel dat er een goede klasse Woodin-kardinalen is. Stel dat A zo'n axioma is

ik. ZFC + A is Ω-tevredenstellend en

ii. ZFC + A is Ω-compleet voor Σ22.

Dan is er een axioma B zodat

ik'. ZFC + B is Ω-tevredenstellend en

ii '. ZFC + B is Ω-compleet voor Σ22

en T _A ≠ T _B.

Dit is de parallel van Stelling 5.2.

Om de parallel te voltooien zou men nodig hebben dat CH tussen alle T _{A zit}. Dit is niet bekend. Maar het is een redelijk vermoeden.

Gissing 5.9.

Ga uit van grote kardinale axioma's.

1. Er is een Σ22 axioma A zodat

   1. ZFC + A is Ω-bevredigend en
   2. ZFC + A is Ω-compleet voor de Σ22.

2. Een dergelijke Σ22 axioma A heeft de eigenschap dat

   ZFC + A ⊧ _Ω CH.

Mocht dit vermoeden gelden, dan zou het een echte analoog van Stelling 5.1 opleveren. Dit zou de parallel met de eerste stap voltooien.

Er is ook een parallel met de tweede stap. Bedenk dat voor de tweede stap in de vorige subsectie we hadden dat hoewel de verschillende T _{A het} er niet mee eens waren, ze allemaal ¬CH bevatten en bovendien is er één die opvalt, namelijk de theorie gegeven door (∗), aangezien deze theorie de Π ₂ -theorie van de structuur maximaliseert ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | EEN ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. In de huidige context van CH hebben we weer (uitgaande van het vermoeden) dat hoewel de T _Aniet mee eens, ze bevatten allemaal CH. Het blijkt dat er wederom eentje opvalt, namelijk de maximale. Want het is bekend (door een resultaat van Woodin in 1985) dat als er een goede klasse van meetbare Woodin-kardinalen is, er een dwanguitbreiding is die aan alle sentences22 zinnen φ voldoet, zodat ZFC + CH + φ Ω-bevredigend is (zie Ketchersid, Larson, & Zapletal (2010)). Hieruit volgt dat als de vraag van het bestaan positief wordt beantwoord met een A die Σ22 is, T _A deze maximale Σ22-theorie moet zijn en dus alle T _{A het} erover eens zijn als A Σ22 is. Dus, in de veronderstelling dat er een T _A waarbij A Σ22, dan, hoewel niet alle T _A mee eens (als A willekeurig is) is er een die opvalt, namelijk degene die maximaal is voor Σ22 zinnen.

Dus, als het bovenstaande vermoeden geldt, dan komt het geval van CH overeen met dat van ¬CH, maar nu neemt Σ22 de plaats in van de theorie van H (ω ₂).

5.3 Beoordeling

Ervan uitgaande dat het vermoeden het geval is van CH-parallellen met dat van ¬CH, neemt now22 alleen nu de plaats in van de theorie van H (ω ₂): Onder de achtergrondaannames hebben we:

1. 1. er zijn A zodat ZFC + A Ω-compleet is voor H (ω ₂)
   2. voor elke dergelijke A de bijbehorende T _A bevat ¬CH, en
   3. er is een T _A die maximaal is, namelijk T _(∗) en deze theorie bevat 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.
2. 1. er zijn Σ22-axioma's A zodat ZFC + A Ω-compleet is voor Σ22
   2. voor elk dergelijk het bijbehorende T _A bevat CH en
   3. er is een T _A die maximaal is.

De twee situaties zijn evenwijdig wat betreft de maximaliteit, maar qua niveau van Ω-volledigheid is de eerste sterker. Want in het eerste geval krijgen we niet alleen Ω-volledigheid met betrekking tot de Π _2- theorie van H (ω ₂) (met de aanvullende predikaten), maar krijgen we Ω-volledigheid met betrekking tot heel H (ω ₂). Dit is misschien wel een argument in het voordeel van ¬CH, zelfs als het vermoeden wordt ingewilligd.

Maar er is een sterker punt. Er is bewijs afkomstig uit de innerlijke modeltheorie (die we in de volgende paragraaf zullen bespreken) dat de veronderstelling in feite onjuist is. Mocht dit het geval blijken te zijn, dan zou dit de parallel doorbreken, wat de zaak voor ¬CH zou versterken.

Men zou dit echter als volgt kunnen tegengaan: de hogere mate van Ω-volledigheid in het geval van ¬CH is echt een illusie omdat het een artefact is van het feit dat onder (∗) de theorie van H (ω ₂) in feite wederzijds is interpreteerbaar met die van H (ω ₁) (door een diep resultaat van Woodin). Dit laatste feit is bovendien in strijd met de geest van de transcendentiebeginselen die in paragraaf 4.3 worden besproken. Deze beginselen zijn ingeroepen in een argument dat CH geen antwoord heeft. Dus wanneer al het stof is opgelost, is de echte betekenis van Woodins werk aan CH (zo gaat het argument) niet dat CH vals is, maar eerder dat CH zeer waarschijnlijk een antwoord heeft.

Het lijkt redelijk om te zeggen dat in dit stadium de status van de lokale benaderingen voor het oplossen van CH enigszins onzeker is. Om deze reden zullen we in de rest van dit artikel focussen op globale benaderingen om CH te regelen. We zullen in het kort twee van dergelijke benaderingen bespreken: de benadering via innerlijke-modeltheorie en de benadering via quasi-grote kardinale axioma's.

6. Het ultieme innerlijke model

De theorie van het innerlijke model heeft tot doel “L-achtige” modellen te produceren die grote kardinale axioma's bevatten. Voor elk groot kardinaal axioma Φ dat is bereikt door innerlijke model theorie, heeft men een axioma met de vorm V = L ^Φ. Dit axioma heeft de verdienste dat het (net als in het eenvoudigste geval van V = L) een "effectief complete" oplossing biedt met betrekking tot vragen over L ^Φ (die, naar veronderstelling, V is). Helaas blijkt dat het axioma V = L ^Φ niet compatibel is met sterkere grote kardinaal axioma's Φ '. Om deze reden zijn axioma's van deze vorm nooit beschouwd als plausibele kandidaten voor nieuwe axioma's.

Maar recente ontwikkelingen in de innerlijke modeltheorie (dankzij Woodin) laten zien dat alles verandert op het niveau van een supercompacte kardinaal. Deze ontwikkelingen laten zien dat als er een innerlijk model N is dat een supercompacte kardinaal van V "erft" (op de manier waarop men zou verwachten, gezien het traject van de innerlijke modeltheorie), er dan twee opmerkelijke gevolgen zijn: ten eerste is N dicht bij V (in bijvoorbeeld de zin dat voor voldoende grote enkelvoudige kardinalen λ, N λ ⁺ correct berekent). Ten tweede erft N alle bekende grote kardinalen die in V bestaan. Dus in tegenstelling tot de tot dusver ontwikkelde innerlijke modellen, zou een innerlijk model op het niveau van een supercompact iemand een axioma verschaffen dat niet zou kunnen worden weerlegd door sterkere grote kardinale veronderstellingen.

De vraag is natuurlijk of men op dit niveau een “L-achtig” model kan hebben (een model dat een “effectief compleet” axioma oplevert). Er is reden om aan te nemen dat men dat kan. Er is nu een kandidaat-model L ^Ω dat een axioma V = L ^Ω oplevert met de volgende kenmerken: Ten eerste is V = L ^Ω "effectief voltooid". Ten tweede is V = L ^Ω compatibel met alle grote kardinale axioma's. Dus in dit scenario zou de ultieme theorie de (open-einde) theorie ZFC + V = L ^Ω + LCA zijn, waarbij LCA een schema is dat staat voor 'grote kardinale axioma's'. De grote kardinale axioma's zullen gevallen van Gödeliaanse onafhankelijkheid opvangen en het axioma V = L ^Ωzal de resterende gevallen van onafhankelijkheid vastleggen. Deze theorie zou CH impliceren en de resterende onbesliste verklaringen afhandelen. Onafhankelijkheid zou niet langer een probleem zijn.

Het blijkt echter dat er andere kandidaat-axioma's zijn die deze kenmerken delen, en zo verschijnt het spook van het pluralisme weer. Zo zijn er axioma's V = L Ω S en V = L Ω (∗). Deze axioma's zouden ook "effectief compleet" zijn en compatibel met alle grote hoofd axioma's. Toch zouden ze verschillende vragen anders oplossen dan het axioma V = L ^Ω. Het axioma, V = L Ω (∗) zou bijvoorbeeld ¬CH betekenen. Hoe moet men dan tussen hen oordelen?

Verder lezen: zie Mitchell (2010) en Steel (2010) voor een inleiding tot de theorie van het innerlijke model. Zie Woodin (2010) voor meer informatie over de recente ontwikkelingen op het niveau van één supercompact en daarbuiten.

7. De structuurtheorie van L (V _{λ + 1})

Dit brengt ons bij de tweede globale benadering, een die belooft om het juiste axioma te kiezen uit V = L ^Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) en hun varianten. Deze benadering is gebaseerd op de opmerkelijke analogie tussen de structuurtheorie van L (ℝ) onder de aanname van AD ^{L (ℝ)} en de structuurtheorie van L (V _{λ + 1}) onder de aanname dat er een elementaire inbedding is vanuit L (V _{λ + 1}) in zichzelf met kritiek punt onder λ. Deze inbeddingstoestand is het sterkste grote kardinale axioma dat in de literatuur voorkomt.

De analogie tussen L (ℝ) en L (V _{λ + 1}) is gebaseerd op de waarneming dat L (ℝ) gewoon L (V _{ω + 1}) is. Λ is dus het analoog van ω, λ ⁺ is het analoog van ω ₁, enzovoort. Als voorbeeld van de parallel tussen de structuurtheorie van L (ℝ) onder AD ^{L (ℝ)} en de structuurtheorie van L (V _{λ + 1}) onder het inbeddingsaxioma, vermelden we dat in het eerste geval ω ₁ is een meetbare kardinaal in L (ℝ) en, in het tweede geval, de analoog van ω _{1 -} namelijk λ ⁺ -is een meetbare kardinaal in L (V _{λ + 1}). Dit resultaat is te danken aan Woodin en is slechts een van de vele voorbeelden van de parallel die in zijn werk is vervat.

We hebben nu veel informatie over de structuurtheorie van L (ℝ) onder AD ^{L (ℝ)}. Zoals we hierboven opmerkten, is dit axioma inderdaad "effectief compleet" met betrekking tot vragen over L (ℝ). Daarentegen is het inbeddings axioma alleen niet voldoende om te suggereren dat L (V _{λ + 1}) een structuurtheorie heeft die volledig parallel loopt met die van L (ℝ) onder AD ^{L (ℝ)}. Het bestaan van een reeds rijke parallel is echter een bewijs dat de parallel zich uitstrekt en we kunnen het inbeddings axioma aanvullen door enkele belangrijke componenten toe te voegen. Dan gebeurt er iets opmerkelijks: de aanvullende axioma's worden kwetsbaar. Dit betekent dat ze de potentie hebben om onafhankelijkheid uit te wissen en niet-triviale informatie te geven over V _{λ + 1}. Deze aanvullende axioma's kunnen bijvoorbeeld CH regelen en nog veel meer.

De moeilijkheid bij het onderzoeken van de mogelijkheden voor de structuurtheorie van L (V _{λ + 1}) is dat we niet de juiste lenzen hebben gehad om deze te bekijken. Het probleem is dat het model L (V _{λ + 1}) een groot deel van het universum bevat - namelijk L (V _{λ + 1}) - en de theorie van deze structuur is radicaal onderontwikkeld. De hierboven besproken resultaten geven ons de juiste lenzen. Men kan de structuurtheorie van L (V _{λ + 1}) onderzoeken in de context van ultieme innerlijke modellen zoals L ^Ω, L Ω S, L Ω (∗) en hun varianten. Het punt is dat deze modellen het inbeddingsaxioom kunnen accommoderen en binnen elk model de structuurtheorie van L (V _{λ + 1}) kan berekenen.

Dit biedt een middel om het juiste axioma te kiezen uit V = L ^Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) en hun varianten. Men kijkt simpelweg naar de L (V _{λ + 1}) van elk model (waar het inbeddings axioma aanwezig is) en controleert om te zien welke het ware analoog heeft van de structuurtheorie van L (ℝ) onder de aanname van AD ^{L (ℝ)}. Het is al bekend dat bepaalde stukjes van de structuurtheorie niet in L ^{Ω kunnen blijven}. Maar het is open of ze L Ω S kunnen vasthouden.

Laten we een dergelijk (zeer optimistisch) scenario beschouwen: het ware analoog van de structuurtheorie van L (ℝ) onder AD ^{L (ℝ)} geldt voor de L (V _{λ + 1}) van L Ω S maar niet voor een van de varianten. Bovendien is deze structuurtheorie “effectief compleet” voor de theorie van V _{λ + 1}. Ervan uitgaande dat er een juiste klasse van λ is waar het inbeddings axioma geldt, geeft dit een "effectief complete" theorie van V. En opmerkelijk genoeg is een deel van die theorie dat V L Ω S moet zijn. Dit (weliswaar zeer optimistische) scenario zou een zeer sterk argument zijn voor axioma's die alle onbesliste verklaringen oplossen.

Men moet niet teveel gewicht toekennen aan dit specifieke scenario. Het is slechts een van de vele. Het punt is dat we nu in staat zijn om een lijst met definitieve vragen op te schrijven met de volgende kenmerken: Ten eerste zullen de vragen op deze lijst antwoorden hebben - onafhankelijkheid is geen probleem. Ten tweede, als de antwoorden samenkomen, dan zal men sterk bewijs hebben voor nieuwe axioma's die de onbesliste verklaringen (en dus niet-pluralisme over het universum van verzamelingen) beslechten; terwijl als de antwoorden schommelen, men het bewijs zal hebben dat deze uitspraken "absoluut onbeslist" zijn, en dit zal de pleidooi voor pluralisme versterken. Op deze manier krijgen de vragen van “absolute onbeslisbaarheid” en pluralisme wiskundige grip.

Verder lezen: Voor meer informatie over de structuurtheorie van L (V _{λ + 1}) en de parallel met determinatie, zie Woodin (2011b).

Bibliografie

• Abraham, U. en M. Magidor, 2010, "Cardinal arithmetic", in Foreman en Kanamori 2010.
• Bagaria, J., N. Castells en P. Larson, 2006, "An Ω-logic primer", in J. Bagaria en S. Todorcevic (eds), Verzamelingenleer, Trends in de wiskunde, Birkhäuser, Basel, blz. 1 –28.
• Cohen, P., 1963, "De onafhankelijkheid van de continuümhypothese I", Proceedings of the US National Academy of Sciemces, 50: 1143–48.
• Foreman, M. en A. Kanamori, 2010, Handbook of Set Theory, Springer-Verlag.
• Foreman, M. en M. Magidor, 1995, "Grote kardinalen en definieerbare tegenvoorbeelden van de continuümhypothese", Annals of Pure and Applied Logic 76: 47–97.
• Foreman, M., M. Magidor en S. Shelah, 1988, 'Martin's Maximum, verzadigde idealen en niet-reguliere ultrafilters. Deel i ', Annals of Mathematics 127: 1–47.
• Gödel, K., 1938a. 'De consistentie van het keuzeaxioma en van de gegeneraliseerde continuümhypothese', Proceedings of the US National Academy of Sciences, 24: 556–7.
• Gödel, K., 1938b. 'Consistentiebestendig voor de gegeneraliseerde continuümhypothese', Proceedings of the US National Academy of Sciemces, 25: 220–4.
• Hallett, M., 1984, Cantorian Set Theory and Limitation of Size, Vol. 10 van Oxford Logic Guides, Oxford University Press.
• Holz, M., K. Steffens en E. Weitz, 1999, Introduction to Cardinal Arithmetic, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser Verlag, Basel.
• Jech, TJ, 2003, Set Theory: Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer-Verlag, Berlijn.
• Ketchersid, R., P. Larson en J. Zapletal, 2010, "Regelmatige inbedding van de stationaire toren en Woodins Sigma-2-2 maximaliteitsstelling." Journal of Symbolische Logica 75 (2): 711-727.
• Koellner, P., 2010, 'Sterke logica's van eerste en tweede orde', Bulletin of Symbolische logica 16 (1): 1–36.
• Koellner, P. en WH Woodin, 2009, "Incompatibele Ω-complete theorieën", The Journal of Symbolic Logic 74 (4).
• Martin, DA, 1976, "Hilbert's eerste probleem: The Continuum Hypothesis," in F. Browder (red.), Mathematical Developments Arising from Hilbert's Problems, Vol. 28 of Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society, Providence, pp. 81–92.
• Mitchell, W., 2010, 'Beginning inner model theory', in Foreman en Kanamori 2010.
• Steel, JR, 2010, "An outline of inner model theory", in Foreman en Kanamori 2010.
• Woodin, WH, 1999, The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms, and the Nonstationary Ideal, Vol. 1 van de Gruyter Series in Logic and its Applications, de Gruyter, Berlijn.
• –––, 2001a, “De continuümhypothese, deel I”, Mededelingen van de American Mathematical Society 48 (6): 567–576.
• –––, 2001b, "De continuümhypothese, deel II", Kennisgevingen van de American Mathematical Society 48 (7): 681–690.
• –––, 2005a, "The continuum hypothesis", in R. Cori, A. Razborov, S. Todorĉević en C. Wood (eds), Logic Colloquium 2000, Vol. 19 of Lecture Notes in Logic, Association of Symbolic Logic, pp. 143–197.
• –––, 2005b, "Verzamelingenleer na Russell: de reis terug naar Eden", in G. Link (red.), Honderd jaar Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy, Vol. 6 van de Gruyter Series in Logic and Its Applications, Walter De Gruyter Inc, pp. 29–47.
• –––, 2010, “Geschikte extender-modellen I”, Journal of Mathematical Logic 10 (1–2): 101–339.
• –––, 2011a, "The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω-conjecture", in J. Kennedy en R. Kossak, (eds), Set Theory, Arithmetic, and Foundations of Mathematics: Theorems, Philosophies, Vol. 36 of Lecture Notes in Logic, Cambridge University Press.
• –––, 2011b, "Geschikte extender-modellen II", Journal of Mathematical Logic 11 (2): 115–436.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

[Neem contact op met de auteur voor suggesties.]