Curry's Paradox

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-05-24 11:17

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Curry's Paradox

Voor het eerst gepubliceerd op woensdag 6 september 2017; inhoudelijke herziening vr 19 jan.2018

'Curry's paradox', zoals de term tegenwoordig wordt gebruikt door filosofen, verwijst naar een grote verscheidenheid aan paradoxen van zelfreferentie of circulariteit die hun moderne afkomst herleiden tot Curry (1942b) en Löb (1955). ^[1]Het gemeenschappelijke kenmerk van deze zogenaamde Curry-paradoxen is de manier waarop ze gebruik maken van een idee van implicatie, gevolg of gevolg, hetzij in de vorm van een bindmiddel of in de vorm van een predikaat. De paradox van Curry ontstaat in een aantal verschillende domeinen. Net als de paradox van Russell kan het de vorm aannemen van een paradox van verzamelingenleer of de theorie van eigenschappen. Maar het kan ook de vorm aannemen van een semantische paradox, die nauw verwant is aan de leugenaarsparadox. De paradox van Curry verschilt van zowel de paradox van Russell als de leugenaarsparadox, omdat het in wezen niet het idee van ontkenning inhoudt. Gangbare waarheidstheoretische versies bevatten een zin die van zichzelf zegt dat als het waar is, een willekeurig gekozen bewering waar is, of - om een meer sinistere instantie te gebruiken - van zichzelf zegt dat als het waar is, elke onwaarheid waar is. De paradox is dat het bestaan van zo'n zin de waarheid lijkt te impliceren van de willekeurig gekozen claim, of - in het meer sinistere geval - van elke onwaarheid. In dit artikel laten we zien hoe de verschillende Curry-paradoxen kunnen worden geconstrueerd, onderzoeken we de ruimte van beschikbare oplossingen en leggen we enkele manieren uit waarop Curry's paradox significant is en onderscheidende uitdagingen met zich meebrengt.

• 1. Inleiding: twee gedaanten van de paradox

  • 1.1 Een informeel argument
  • 1.2 Een beperking op theorieën
  • 1.3 Overzicht

• 2. Curry-zinnen construeren

  • 2.1 Curry's eerste methode en set-theoretische curry-zinnen
  • 2.2 Curry's tweede methode en Truth-Theoretic Curry-zinnen

• 3. Het afleiden van de paradox

  • 3.1 De Curry-Paradox Lemma
  • 3.2 Alternatieve gebouwen

• 4. Reacties op Curry's Paradox

  • 4.1 Curry-onvolledigheidsreacties

  • 4.2 Antwoorden op Curry-volledigheid

    • 4.2.1 Samentrekkingsvrije reacties
    • 4.2.2 Ontkoppelingsvrije reacties
    • 4.2.3 Toepassing op het informele argument

• 5. De betekenis van Curry's Paradox

  • 5.1 Dashing Hopes voor oplossingen voor negatieparadoxen

    • 5.1.1 Paraconsistente oplossingen gefrustreerd
    • 5.1.2 Gefrustreerde Paracomplete-oplossingen
  • 5.2 Wijzend naar een algemene paradoxstructuur

• 6. Geldigheidscurry

  • 6.1 Connectief formulier
  • 6.2 Predikaatformulier
  • 6.3 Betekenis

• Bibliografie

  • Belangrijke historische bronnen
  • Andere referenties
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Inleiding: twee gedaanten van de paradox

1.1 Een informeel argument

Stel dat je vriend je vertelt: "Als wat ik zeg met deze zin waar is, dan is de tijd oneindig". Het blijkt dat er een kort en schijnbaar overtuigend argument is voor de volgende conclusie:

(P) Het enkele bestaan van de bewering van je vriend houdt in (of heeft als gevolg) dat de tijd oneindig is

Velen zijn van mening dat (P) niet te geloven is (en in die zin paradoxaal), zelfs als de tijd inderdaad oneindig is. Of, als dat nog niet erg genoeg is, overweeg dan een andere versie, dit keer met een claim waarvan bekend is dat deze onjuist is. Laat in plaats daarvan je vriend zeggen: "Als wat ik zeg met deze zin waar is, dan zijn alle getallen priemgetallen". Mutatis mutandis levert hetzelfde korte en schijnbaar overtuigende argument op (Q):

(V) Het enkele bestaan van de bewering van je vriend houdt in (of heeft als gevolg) dat alle getallen priemgetallen zijn

Hier is het argument voor (P). Laat (k) de zelfreferentiële zin zijn die uw vriend uitsprak, enigszins vereenvoudigd zodat er staat "Als (k) waar is, dan is de tijd oneindig". Gezien wat (k) zegt, weten we zoveel:

(1) Onder de veronderstelling dat (k) waar is, is het zo dat als k waar is, de tijd oneindig is

Maar we hebben natuurlijk ook

(2) Onder de veronderstelling dat (k) waar is, is het zo dat k waar is

Onder de veronderstelling dat (k) waar is, hebben we dus een conditioneel afgeleid samen met zijn antecedent. Gebruikmakend van modus ponens in het kader van de veronderstelling, leiden we nu de consequenties van de voorwaardelijke af onder dezelfde veronderstelling:

(3) Onder de veronderstelling dat (k) waar is, is het zo dat tijd oneindig is

De regel van voorwaardelijk bewijs geeft ons nu het recht om een voorwaarde te bevestigen met onze veronderstelling als antecedent:

(4) Als (k) waar is, is de tijd oneindig

Maar aangezien (4) gewoon (k) zelf is, hebben we dus

(5) (k) is waar

Tenslotte, het samenbrengen van (4) en (5) door modus ponens, krijgen we

(6) Tijd is oneindig

We lijken te hebben vastgesteld dat de tijd oneindig is zonder gebruik te maken van veronderstellingen die verder gaan dan het bestaan van de zelfreferentiële zin (k), samen met de ogenschijnlijk voor de hand liggende principes over de waarheid die ons naar (1) en ook van (4) naar (5). En hetzelfde geldt voor (Q), omdat we dezelfde redenering hadden kunnen gebruiken om tot de verkeerde conclusie te komen dat alle getallen priem zijn.

1.2 Een beperking op theorieën

Een uitdaging van Curry's paradox is om vast te stellen wat er misgaat in het voorgaande informele argument voor (P), (Q) of iets dergelijks. Maar beginnend met Curry's eerste presentatie in Curry 1942b (zie het aanvullende document over Curry over Curry's Paradox), heeft de bespreking van Curry's paradox meestal een andere focus gehad. Het heeft betrekking op verschillende formele systemen - meestal stellen ze theorieën of theorieën van de waarheid vast. In deze setting is wat de paradox vormt een bewijs dat het systeem een bepaalde functie heeft. Meestal is de functie in kwestie trivialiteit. Een theorie zou triviaal of absoluut inconsequent zijn, wanneer ze elke bewering bevestigt die in de taal van de theorie tot uitdrukking kan komen. ^[2]

Een argument dat vaststelt dat een bepaalde formele theorie triviaal is, zal een probleem opleveren als een van de volgende situaties het geval is: (i) we willen de formele theorie gebruiken in onze onderzoeken, zoals we verzamelingenleer gebruiken bij wiskunde, of (ii) we willen de formele theorie gebruiken om kenmerken van taal of denken te modelleren, in het bijzonder de beweringen waaraan sommige sprekers of denkers zich committeren. Hoe dan ook, de trivialiteit van de doeltheorie zou aantonen dat deze ontoereikend is voor het beoogde doel. Dit is dus een tweede uitdaging die wordt gevormd door Curry's paradox.

Om de betekenis te beschrijven waarin Curry's paradox theorieën beperkt, moeten we zeggen wat een Curry-zin is. Informeel is een Curry-zin een zin die door de lichten van een theorie gelijk staat aan een voorwaardelijke met zichzelf als antecedent. Je zou bijvoorbeeld het argument van paragraaf 1.1 kunnen zien als een beroep op een informele waarheidstheorie. Dan dient de zin "(k) is waar" als Curry-zin voor die theorie. Dat komt omdat, gegeven wat onze informele theorie ons vertelt over wat (k) 's waarheid inhoudt,' (k) waar 'gelijk zou moeten zijn aan' Als (k) waar is, dan is tijd oneindig”(Aangezien deze voorwaardelijke is (k) zelf).

In wat volgt wordt de notatie (vdash _ { mathcal {T}} alpha) gebruikt om te zeggen dat theorie (mathcal {T}) zin (alpha) en (Gamma bevat) vdash _ { mathcal {T}} alpha) wordt gebruikt om te zeggen dat (alpha) volgt uit de premissen die zijn verzameld in (Gamma) volgens (mathcal {T}) (dwz volgens (mathcal {T}) 's gevolg relatie (vdash _ { mathcal {T}})). ^[3] Behalve in paragraaf 4.2.1, zullen we ons echter alleen bezighouden met claims over wat volgt volgens de theorie vanuit een enkele premisse, dwz claims uitgedrukt in zinnen van vorm (gamma \ vdash _ { mathcal {T }} alpha). (We vertrouwen op de context om duidelijk te maken waar een dergelijke zin wordt gebruikt en waar deze alleen wordt genoemd.)

Twee zinnen (in de taal van de theorie (mathcal {T})) zullen onveranderlijk worden genoemd volgens (mathcal {T}), mits de waarheid van elke claim van de vorm (Gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) wordt niet beïnvloed door vervanging van de een door de ander binnen (alpha) of binnen een van de zinnen in (Gamma). Ten slotte gaan we ervan uit dat de taal een connectieve ({ rightarrow}) bevat die in zekere zin als voorwaardelijk dient. Voor doeleinden van de volgende definitie stellen we geen specifieke eisen aan het gedrag van deze voorwaardelijke. We kunnen nu het begrip van een Curry-zin definiëren voor een paar zins-theorie.

Definitie 1 (Curry-zin) Laat (pi) een zin zijn van de taal van (mathcal {T}). Een Curry-zin voor (pi) en (mathcal {T}) is elke zin (kappa) zodat (kappa) en (kappa { rightarrow} pi) zijn niet-substitueerbaar volgens (mathcal {T}). ^[4]

De verschillende versies van Curry's paradox komen voort uit het bestaan van argumenten voor de volgende zeer algemene bewering. (Deze argumenten, die gebaseerd zijn op aannames over de voorwaardelijke ({ rightarrow}), zullen in paragraaf 3 in detail worden besproken.)

Verontrustende claim Voor elke theorie (mathcal {T}) en elke zin (pi) in de taal van (mathcal {T}), als er een Curry-zin is voor (pi) en (mathcal {T}), dan (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Een argument dat de Troubling Claim lijkt te bevestigen, zal als paradoxaal worden beschouwd, mits er ook dwingende redenen zijn om aan te nemen dat deze claim onjuist is. Een tegenvoorbeeld van de verontrustende claim zou elke theorie (mathcal {T}) en zin (pi) zijn, zodat er een Curry-zin is voor (pi) en (mathcal {T}) maar dat is niet het geval (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Zoals hierboven opgemerkt, wordt Curry's paradox vaak begrepen als een uitdaging voor het bestaan van niet-triviale theorieën. Gezien de verontrustende claim, zal een theorie triviaal zijn wanneer een Curry-zin kan worden geformuleerd voor elke zin in de taal van de theorie. Trivialiteit vloeit inderdaad voort uit een zwakkere toestand, die de volgende definitie expliciet maakt.

Definitie 2 (Curry-complete theorie) Een theorie (mathcal {T}) is Curry-compleet, op voorwaarde dat er voor elke zin (pi) in de taal van (mathcal {T}), sommige (pi ') zodat (i) er een Curry-zin is voor (pi') en (mathcal {T}) en (ii) als (vdash _ { mathcal {T }} pi ') vervolgens (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Terwijl één instantie van (pi ') die aan de voorwaarde (ii) voldoet, zelf ((pi)) zou zijn, zou een andere instantie een "explosieve" zin (bot) zijn die alleen in een theorie is opgenomen als elke zin is vervat in de theorie. ^[5]

De verontrustende claim heeft nu een onmiddellijk gevolg: een Curry-complete theorie moet elke zin in zijn taal bevatten.

Verontrustend gevolg Elke Curry-complete theorie is triviaal.

Nogmaals, elk argument dat de Troubling Corollary lijkt te bevestigen, zal als paradoxaal worden beschouwd, op voorwaarde dat er dwingende redenen zijn om aan te nemen dat er niet-triviale theorieën (inderdaad ware theorieën) zijn die Curry-compleet zijn.

1.3 Overzicht

Voor de rest van dit artikel zal Curry's paradox worden opgevat als een paradoxale beperking van theorieën, namelijk die van de bovenstaande Troubling Corollary. Het presenteren van een versie van Curry's paradox, op deze manier begrepen, omvat twee dingen:

• met het argument dat (mathcal {T}) Curry-compleet is, voor sommige ogenschijnlijk niet-triviale doeltheorie (mathcal {T}), en
• een argument geven voor de verontrustende claim. ^[6]

In de secties 2 en 3 worden deze twee taken in die volgorde besproken. Voor nu kan het basisidee worden overgebracht met behulp van het voorbeeld van de zelfreferentiële zin (k) die luidt: "Als (k) waar is, dan is tijd oneindig". Ten eerste erkennen we, gezien ons begrip van de waarheid, dat de zin "(k) is waar" niet te vervangen is door "Als (k) waar is, dan is tijd oneindig". Ten tweede leidt het informele argument van paragraaf 1.1 een paradoxale conclusie uit deze gelijkwaardigheid. Lezers die vooral geïnteresseerd zijn in de logische principes die bij dat argument horen en verwante argumenten, en de mogelijkheden om dergelijke argumenten te weerstaan, willen misschien naar paragraaf 3 gaan.

2. Curry-zinnen construeren

Zoals het tegenwoordig standaard wordt gepresenteerd, beïnvloedt Curry's paradox 'naïeve' waarheidstheorieën (die met een 'transparant' waarheidspredikaat) en 'naïeve' theorieën (die met onbeperkte vaste abstractie). Deze sectie zal uitleggen hoe elk soort theorie Curry-zinnen kan veroorzaken. We beginnen echter met een versie die betrekking heeft op theorieën over eigenschappen, een versie die meer lijkt op Curry's formulering. (Het aanvullende document Curry on Curry's Paradox kenmerkt kort de doelen van Curry's eigen versies van de paradox.)

Een theorie van eigenschappen heeft een onbeperkte eigenschap-abstractie, op voorwaarde dat er voor elke toestand die in de taal van de theorie kan worden vermeld, een eigenschap bestaat die (volgens de theorie) wordt geïllustreerd door precies de dingen die aan deze voorwaarde voldoen. Overweeg een theorie (mathcal {T_P}) geformuleerd in een taal met een eigenschap-abstractieapparaat ([x: \ phi x]) en een voorbeeldrelatie (epsilon). Als (phi (t)) bijvoorbeeld zegt dat het object waar de term (t) voor staat driehoekig is, zegt (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) dat dit object is een voorbeeld van de eigenschap van driehoekigheid. Dan, gezien de onbeperkte abstractie van eigendom, zouden we het volgende principe moeten hebben.

(Eigenschap) Voor elke open zin (phi) met één vrije variabele en elke term (t), de zinnen (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) en (phi t) zijn niet-substitueerbaar volgens (mathcal {T_P}).

In feite schetst Curry (1942b) twee 'methoden voor het construeren' van Curry-zinnen met zijn tegenhanger van (Property). Hij zegt dat de eerste "gebaseerd is op de Russell-paradox", terwijl de tweede "gebaseerd is op de Epimenides-paradox". Hoewel beide methoden eigenschapstheoretisch zijn, levert de eerste methode een voorloper op van set-theoretische versies van Curry's paradox, terwijl de tweede een voorloper is van waarheidstheoretische versies.

2.1 Curry's eerste methode en set-theoretische curry-zinnen

De versie van Russell's paradox, waar Curry's eerste methode op lijkt, is degene die betrekking heeft op het illustreren van eigenschappen. Het onderwerp ervan is dat het zo is dat men zichzelf niet kan illustreren. We verkrijgen een eigenschapstheoretische Curry-zin door in plaats daarvan de eigenschap te beschouwen zodanig te zijn dat men zichzelf alleen kan illustreren als de tijd oneindig is. Stel dat we de naam (h) voor die eigenschap introduceren door (h = _ {def} [x: x \ \ epsilon \ x { rightarrow} pi]) te specificeren, waar de zin (pi) zegt dat tijd oneindig is. ^[7] Als we het principe (eigenschap) toepassen op de zin (h \ \ epsilon \ h), vinden we:

(h \ \ epsilon \ h) en (h \ \ epsilon \ h { rightarrow} pi) zijn niet-substitueerbaar volgens (mathcal {T_P}).

Met andere woorden, (h \ \ epsilon \ h) is een Curry-zin voor (pi) en (mathcal {T_P}).

De eerste methode van Curry leidde vervolgens tot set-theoretische Curry-zinnen. Een theorie van verzamelingen bevat onbeperkte verzameling-abstractie, op voorwaarde dat er voor elke toestand die in de taal van de theorie kan worden vermeld, een verzameling bestaat die (volgens de theorie) alle en alleen de dingen bevat die aan deze voorwaarde voldoen. Laat (mathcal {T_S}) onze theorie van sets zijn, geformuleerd in een taal die set abstractie uitdrukt met ({x: \ phi x }) en stel lidmaatschap in met (in). Dan is de tegenhanger van (Property)

(Set) Voor elke open zin (phi) met één vrije variabele en elke term (t), de zinnen (t \ in {x: \ phi x }) en (phi t) zijn niet-substitueerbaar volgens (mathcal {T_S}).

Om een set-theoretische Curry-zin te verkrijgen, moet je de set overwegen die bestaat uit alles dat een lid van zichzelf is, alleen als de tijd oneindig is. Stel dat we de naam (c) voor die set introduceren, door (c = _ {def} {x: x \ in x { rightarrow} pi }) te specificeren. Als we het principe (Set) toepassen op de zin (c \ in c), vinden we:

(c \ in c) en (c \ in c { rightarrow} pi) zijn niet-substitueerbaar volgens (mathcal {T_S}).

Met andere woorden, (c \ in c) is een Curry-zin voor (pi) en (mathcal {T_S}).

De set-theoretische versie van Curry's paradox werd geïntroduceerd in Fitch 1952 ^[8] en wordt ook gepresenteerd in Moh 1954 en Prior 1955.

2.2 Curry's tweede methode en Truth-Theoretic Curry-zinnen

Ondanks zijn opmerking over de 'Epimenides-paradox', een vorm van de leugenaarsparadox, is Curry's tweede methode een variant op een verwante semantische paradox, Grelling's paradox. ^[9]In zijn oorspronkelijke vorm beschouwt Grelling's paradox een eigenschap die door veel woorden wordt bezeten, namelijk de eigenschap die een woord heeft wanneer het niet de eigenschap weergeeft waar het voor staat (Grelling & Nelson 1908). Het woord 'aanstootgevend' heeft bijvoorbeeld die eigenschap: het geeft geen voorbeeld van de eigenschap waar het voor staat, omdat het niet aanstootgevend is (zie artikel over paradoxen en hedendaagse logica). In feite beschouwt Curry in plaats daarvan de eigenschap die een woord heeft gegeven, op voorwaarde dat het slechts een voorbeeld is van de eigenschap waarvoor het staat als de tijd oneindig is. Stel nu dat onze theorie een naam (u) voor deze eigenschap introduceert. Curry laat vervolgens zien hoe je een zin construeert die (informeel gesproken) zegt dat de naam (u) een voorbeeld is van de eigenschap waar het voor staat. Hij laat zien dat deze zin zal dienen als Curry-zin voor een theorie van eigenschappen en het benoemen van namen.^[10]

Hoewel deze methode voor het verkrijgen van een Curry-zin gebaseerd is op een semantisch kenmerk van uitdrukkingen, is het nog steeds afhankelijk van abstractie van eigendommen. Desalniettemin kan het worden gezien als een voorloper van een volledig semantische versie. (In plaats van de hierboven geïntroduceerde eigenschap te beschouwen, zou men het predikaat kunnen beschouwen "is alleen op zichzelf van toepassing als de tijd oneindig is".) Dienovereenkomstig, zoals Geach (1955) en Löb (1955) als eersten toonden, kunnen Curry-zinnen worden verkregen alleen semantische principes gebruiken, zonder afhankelijk te zijn van de abstractie van eigendommen. Hun route komt overeen met het informele argument in paragraaf 1.1, dat betrekking heeft op de zelfreferentiële zin (k) die luidt: "Als (k) waar is, dan is tijd oneindig."

Laat voor dit doel (mathcal {T_T}) een waarheidstheorie zijn, waarbij (T) het waarheidspredikaat is. Ga uit van het "transparantie" -principe

(Waarheid) Voor elke zin (alpha) zijn de zinnen (T \ langle \ alpha \ rangle) en (alpha) niet substitueerbaar volgens (mathcal {T_T}).

Om een Curry-zin volgens dit principe te verkrijgen, gaat u ervan uit dat er een zin (xi) is die (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi) is. ^[11] Dan volgt onmiddellijk uit (waarheid) dat

(T \ langle \ xi \ rangle) en (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi) zijn niet-substitueerbaar volgens (mathcal {T_T}).

Met andere woorden, (T \ langle \ xi \ rangle) is een Curry-zin voor (pi) en (mathcal {T_T}).

Geach merkt op dat de semantische paradox die resulteert uit een zin als (T \ langle \ xi \ rangle) lijkt op "de Curry-paradox in verzamelingenleer". Löb, die het werk van Curry niet vermeldt, schrijft de paradox toe aan de observatie van een scheidsrechter over het bewijs van wat nu bekend staat als de stelling van Löb met betrekking tot bewijsbaarheid (zie de vermelding over Gödel's onvolledigheidsstellingen). De scheidsrechter, nu bekend als Leon Henkin (Halbach & Visser 2014: 257), suggereerde dat de methode die Löb gebruikte in zijn bewijs “leidt tot een nieuwe afleiding van paradoxen in natuurlijke taal”, namelijk het informele argument van paragraaf 1.1 hierboven. ^[12]

3. Het afleiden van de paradox

Stel dat we een van de bovenstaande methoden hebben gebruikt om voor een bepaalde waarheidstheorie, verzamelingen of eigenschappen aan te tonen dat de theorie Curry-compleet is (omdat ze bijvoorbeeld een Curry-zin bevat voor elke zin van de taal, of voor een explosieve zin). Om te concluderen dat de theorie in kwestie triviaal is, volstaat het nu om een argument te geven voor de Troubling Claim. Dit is de bewering dat voor elke theorie (mathcal {T}), als er een Curry-zin is voor (pi) en (mathcal {T}), dan (vdash _ { mathcal {T}} pi). Een dergelijk argument maakt gebruik van aannames over het logische gedrag van de voorwaardelijke ({ rightarrow}) genoemd in definitie 1. Ervan uitgaande dat de verontrustende claim moet worden weerstaan, legt dit dienovereenkomstig beperkingen op aan het gedrag van deze voorwaardelijke.

3.1 De Curry-Paradox Lemma

Om te beginnen is hier een zeer algemeen beperkend resultaat, een nauwe variant van de Lemma in Curry 1942b. ^[13]

Curry-Paradox Lemma Stel dat theorie (mathcal {T}) en zin (pi) zodanig zijn dat (i) er een Curry-zin is voor (pi) en (mathcal {T}), (ii) alle instanties van de identiteitsregel (Id) (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) hold, en (iii) de voorwaardelijke ({ rightarrow}) voldoet aan beide van de volgende principes:

(tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {en} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Cont} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

Vervolgens (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Hier is MP een versie van modus ponens, en Cont is een samentrekkingsprincipe: twee gevallen van de zin (alpha) worden 'samengetrokken' tot één. (We zullen binnenkort verwante principes tegenkomen die vaker contractie worden genoemd. ^[14]) De Curry-Paradox Lemma houdt in dat elke Curry-complete theorie op straffe van trivialiteit een of meer van Id, MP of Cont moet schenden.

Om de Lemma te bewijzen laat men zien dat Id, MP en Cont, samen met de "Curry-intersubstitutivity" van (kappa) met (kappa { rightarrow} pi), voldoende zijn om (vdash_ { mathcal {T}} pi). De volgende afleiding lijkt op het informele argument van paragraaf 1.1. Dat argument bevatte ook een subargument voor het principe Cont, dat hieronder zal worden onderzocht.

(begin {array} {rll} 1 & \ kappa \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {Id} \ 2 & \ kappa \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm {2 Cont} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {3 Curry-intersubstitutivity} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3, 4 MP} end {array})

Sectie 4 bespreekt manieren waarop elk van de twee principes betreffende ({ rightarrow}) aangenomen in de Curry-Paradox Lemma gerechtvaardigd of verworpen zou kunnen worden.

3.2 Alternatieve gebouwen

Er zijn tegenhangers van de Curry-Paradox Lemma die alternatieve sets van logische principes aanroepen (zie bv. Rogerson & Restall 2004 en Bimbó 2006). Waarschijnlijk vervangt de meest voorkomende versie de regels Id en Cont door overeenkomstige wetten:

(tag {IdL} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} alpha) (tag {ContL} vdash _ { mathcal {T}} (alpha { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta)) { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta))

De afleiding gaat nu als volgt:

(begin {array} {rll} 1 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} kappa & \ textrm {IdL} \ 2 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} (kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi)) { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & \ textrm {2 ContL} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm { 2, 3 MP} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {4 Curry-intersubstitutivity} \ 6 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {4, 5 MP} \ \ end {array})

Een tweede gemeenschappelijke tegenhanger van de Curry-Paradox Lemma is te danken aan Meyer, Routley en Dunn (1979). ^[15] Het gebruikt twee principes met betrekking tot voegwoord: de wetsvorm van modus ponens en de onmacht van voegwoord.

(tag {MPL} vdash _ { mathcal {T}} ((alpha { rightarrow} beta) wedge \ alpha) { rightarrow} beta)

(Idem (_ { wedge})) De zinnen (alpha) en (alpha \ wedge \ alpha) zijn niet-substitueerbaar volgens (T)

Deze keer gaat de afleiding als volgt:

(begin {array} {rll} 1 & \ vdash _ { mathcal {T}} ((kappa { rightarrow} pi) wedge \ kappa) { rightarrow} pi & \ textrm {MPL} \ 2 & \ vdash _ { mathcal {T}} (kappa \ wedge \ kappa) { rightarrow} pi & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & \ textrm {2 Idem (_ { wedge})} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} kappa & \ textrm {4 Curry-intersubstitutivity} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3,4 MP} \ \ end {array})

Het formuleren van de Curry-Paradox Lemma met Cont, in plaats van ContL of MPL, zal het gemakkelijker maken om (in de volgende sectie) de aandacht te vestigen op significante verschillen binnen de klasse van reacties die beide laatste principes verwerpen. ^[16]

4. Reacties op Curry's Paradox

Antwoorden op Curry's paradox kunnen worden onderverdeeld in twee klassen, op basis van het feit of ze het verontrustende gevolg accepteren dat alle Curry-complete theorieën triviaal zijn.

• Curry-onvolledigheidsreacties accepteren het verontrustende gevolg. Ze ontkennen echter dat de doeltheorieën van eigenschappen, verzamelingen of waarheid Curry-compleet zijn. Curry-onvolledigheidsreacties kunnen, en doen dat meestal ook, klassieke logica omarmen.
• Curry-volledigheidsreacties verwerpen het verontrustende gevolg; ze staan erop dat er niet-triviale Curry-complete theorieën kunnen zijn. Elke dergelijke theorie moet in strijd zijn met een of meer van de logische principes die worden aangenomen in de Curry-Paradox Lemma. Aangezien klassieke logica die principes valideert, roepen deze reacties een niet-klassieke logica op. ^[17]

Er is ook de mogelijkheid om te pleiten voor een Curry-onvolledigheidsreactie op Curry-paradoxen die ontstaan in een bepaald domein, zeg maar verzamelingenleer, terwijl je een Curry-volledigheidsreactie bepleit op Curry-paradoxen die ontstaan in een ander domein, zeg maar voor eigenschapstheorie (bijv. Field 2008; Beall 2009).

4.1 Curry-onvolledigheidsreacties

Voorbeelden van prominente waarheidstheorieën die Curry's onvolledige reacties op Curry's paradox verschaffen, zijn Tarski's hiërarchische theorie, de revisie-theorie van de waarheid (Gupta & Belnap 1993) en de contextualistische benaderingen (Burge 1979, Simmons 1993 en Glanzberg 2001, 2004). Deze theorieën beperken allemaal het 'naïeve' transparantieprincipe (waarheid). Zie voor een overzicht de vermelding over de leugenaarsparadox. In de context van verzamelingenleer omvatten Curry-onvolledigheidsreacties Russelliaanse typetheorieën en verschillende theorieën die het 'naïeve' set-abstractieprincipe (Set) beperken. Zie de artikelen over Russell's paradox en alternatieve axiomatische theorieën.

Over het algemeen lijken de overwegingen die relevant zijn voor het evalueren van de meeste Curry-onvolledigheidsreacties niet specifiek voor Curry's paradox, maar hebben ze evenzeer betrekking op de Liar-paradox (in het waarheidstheoretische domein) en Russell's paradox (in de set- en property- theoretische domeinen). ^[18] Om die reden zal de rest van dit artikel zich richten op Curry-volledigheidsreacties, hoewel paragraaf 6.3 kort terugkeert op het onderscheid in de context van zogenaamde validiteit Curry-paradoxen.

4.2 Antwoorden op Curry-volledigheid

Curry-volledigheidsreacties op Curry's paradox houden in dat er theorieën zijn die Curry-compleet maar niet triviaal zijn; zo'n theorie moet een of meer van de logische principes schenden die in de Curry-Paradox Lemma worden aangenomen. Aangezien de regel Id over het algemeen onbetwist is gelaten (maar zie Frans 2016 en Nicolai & Rossi verschijnen), betekende dit het ontkennen dat de voorwaardelijke ({ rightarrow}) van een niet-triviale Curry-complete theorie zowel MP als Cont. Bijgevolg zijn de reacties in twee categorieën onderverdeeld.

(I) De meest gebruikelijke strategie was om te accepteren dat een dergelijke theorie aan de voorwaarden van MP voldoet, maar te ontkennen dat het aan Cont. Aangezien Cont een samentrekkingsprincipe is, kunnen dergelijke reacties samentrekkingsvrij worden genoemd. Deze strategie werd voor het eerst voorgesteld door Moh (1954), die goedkeurend wordt geciteerd door Geach (1955) en Prior (1955)

(II) Een tweede en veel recentere strategie is om te accepteren dat een dergelijke theorie voorwaardelijk aan Cont gehoorzaamt, maar te ontkennen dat het aan MP gehoorzaamt (ook wel de regel van "onthechting" genoemd). Dergelijke reacties kunnen detachementvrij worden genoemd. Deze strategie wordt op verschillende manieren bepleit door Ripley (2013) en Beall (2015)

Elke categorie van Curry-volledigheidsreacties kan op zijn beurt worden onderverdeeld volgens hoe het vermeende afleidingen van Cont en MP blokkeert.

4.2.1 Samentrekkingsvrije reacties

Het principe Cont dat wordt afgewezen door samentrekkingsvrije reacties volgt uit twee standaardprincipes. Dit zijn voorwaardelijke voorwaardelijke bewijzen en een iets algemenere versie van modus ponens, waarbij ten hoogste één premisse (gamma) is betrokken:

• (MP ') If (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) en (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) then (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta)
• (CP) Als (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta) dan (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

(begin {array} {rll} 1 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha & \ textrm {Id} \ 3 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {1, 2 MP '} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow } beta & \ textrm {3 CP} \ \ end {array})

Samentrekkingsvrije reacties moeten dus een of beide van deze twee principes verwerpen voor de conditionaliteit van een niet-triviale Curry-complete theorie. Dienovereenkomstig kunnen twee subcategorieën van theoretici in categorie (I) worden onderscheiden:

(Ia) Een sterk samentrekkingsvrij antwoord ontkent dat ({ rightarrow}) MP gehoorzaamt '(bijv. Mares & Paoli 2014; Slaney 1990; Weir 2015; Zardini 2011)

(Ib) Een zwak samentrekkingsvrij antwoord accepteert dat ({ rightarrow}) MP gehoorzaamt ', maar ontkent dat het CP gehoorzaamt (bijv. Field 2008; Beall 2009; Nolan 2016)

De reden waarom reacties in categorie (Ib) slechts als zwak contractievrij tellen, is dat, zoals uit de stappen 1-3 blijkt, ze het contractieprincipe accepteren volgens welke if (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) en dan (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta).

Voorstanders van sterk samentrekkingsvrije reacties zijn van mening dat MP 'de relevante vorm van modus ponens niet goed uitdrukt. Ze presenteren typisch hun eigen vorm van die regel in een "substructureel" raamwerk, met name een die ons onderscheid laat maken tussen wat volgt uit een premisse die eenmaal is genomen en wat volgt uit dezelfde premisse die tweemaal is genomen. (Zie vermelding op substructurele logica.) Dienovereenkomstig moet MP 'worden vervangen door

(MP ″) If (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) en (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) then (gamma, \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

en de regel van "structurele contractie" moet worden afgewezen:

(sCont) Als (Gamma, \ gamma, \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta) dan (Gamma, \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

Het is omdat ze structurele contractie verwerpen dat sterk contractievrije benaderingen kunnen claimen dat ze de modus ponens behouden ondanks het afwijzen van MP '(zie Shapiro 2011, Zardini 2013 en Ripley 2015a).

Sterk samentrekkingsvrije reacties moeten ook een afleiding van MP 'blokkeren met behulp van een paar principes die samenhangen:

(MP '(_ { land})) If (gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) en (delta \ vdash _ { mathcal {T} } alpha) vervolgens (gamma \ wedge \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

(Idem (_ { wedge})) De zinnen (alpha) en (alpha \ wedge \ alpha) zijn niet-substitueerbaar volgens (T)

(begin {array} {rll} 1 & \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & \ gamma \ wedge \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {1, 2 MP '(_ { wedge})} \ 4 & \ gamma \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {3 Idem (_ { wedge})} \ \ end {array})

Om deze afleiding van MP 'te vermijden, moet worden ontkend dat er een voegwoord (wedge) is dat zowel MP' (_ { wedge}) als Idem (_ { wedge}) gehoorzaamt. Volgens veel sterk samentrekkingsvrije reacties (bijv. Mares & Paoli 2014; Zardini 2011), is één soort conjunctie - de "multiplicatieve" soort, of "fusion" - gehoorzaamt aan MP '(_ { wedge}) maar niet Idem (_ { wedge}), terwijl een ander soort - het "additieve" soort Idem (_ { wedge}) gehoorzaamt, maar niet MP '(_ { wedge}) (zie vermelding op lineair logica en Ripley 2015a). Als het hierboven besproken substructurele raamwerk wordt gebruikt, komt het falen van MP '(_ { wedge}) erop neer dat voor additieve conjunctie (gamma, \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta) komt niet overeen met (gamma \ wedge \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta).

Wat betreft zwak samentrekkingsvrije reacties, is het falen van CP soms gemotiveerd met behulp van 'werelden'-semantiek van het soort waarbij een onderscheid wordt gemaakt tussen logisch mogelijke en onmogelijke werelden (bijv. Beall 2009; Nolan 2016). Om CP te weerleggen, hebben we de waarheid van (alpha \ vdash_ \ mathcal {T} beta) en de falsiteit van (vdash_ \ mathcal {T} alpha { rightarrow} beta) nodig. Op het doel "werelden" benaderingen is (vdash_ \ mathcal {T}) gedefinieerd als het behoud van de waarheid over een behoorlijke subset van werelden (in een model), namelijk de "mogelijke werelden" van het model. Daarom is het voor (alpha \ vdash_ \ mathcal {T} beta) waar dat er geen mogelijke wereld is (in welk model dan ook) waarin (alpha) waar is en (beta) niet waar. Om (vdash_ \ mathcal {T} alpha { rightarrow} beta) op zijn beurt te weerleggen, hebben we een mogelijke wereld nodig waarin (alpha { rightarrow} beta) niet waar is. Hoe komt dat? Omdat connectieven worden gedefinieerd op een manier die rekening houdt met alle (soorten) werelden in het model (mogelijk en, als die er zijn, onmogelijk), is er een optie voor (alpha { rightarrow} beta) om niet waar te zijn in een mogelijke wereld omdat (alpha) waar is en (beta) niet waar is in een onmogelijke wereld. En dat is precies wat er gebeurt bij de doelbenaderingen. (Precies hoe men de waarheid-bij-een-wereld en onwaarheid-bij-een-wereld voorwaarden voor de pijl definieert, hangt af van de exacte "werelden" -benadering in kwestie.)En dat is precies wat er gebeurt bij de doelbenaderingen. (Precies hoe men de waarheid-bij-een-wereld en onwaarheid-bij-een-wereld voorwaarden voor de pijl definieert, hangt af van de exacte "werelden" -benadering in kwestie.)En dat is precies wat er gebeurt bij de doelbenaderingen. (Precies hoe men de waarheid-bij-een-wereld en onwaarheid-bij-een-wereld voorwaarden voor de pijl definieert, hangt af van de exacte "werelden" -benadering in kwestie.)

4.2.2 Ontkoppelingsvrije reacties

Detachementvrije reacties moeten een rechtlijnige afleiding van MP blokkeren op basis van een transitiviteitsprincipe, samen met het tegenovergestelde van voorwaardelijke voorwaardelijke bewijzen:

• (Trans) Als (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta) en (vdash _ { mathcal {T}} alpha), dan (vdash _ { mathcal {T}} beta)
• (CCP) Als (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) dan (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta)

(begin {array} {rll} 1 & \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & \ vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & \ alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {1 CCP} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} beta & \ textrm {2, 3 Trans} \ \ end {array })

Er zijn twee subcategorieën van theoretici in categorie (II):

• (IIa) Een sterk detachementvrij antwoord ontkent dat ({ rightarrow}) CCP gehoorzaamt (Goodship 1996; Beall 2015).
• (IIb) Een zwak detachementvrij antwoord accepteert dat ({ rightarrow}) CCP gehoorzaamt, maar verwerpt Trans (Ripley 2013).

De reden waarom reacties in categorie (IIb) slechts zwak detachementvrij zijn, is dat CCP, die deze reacties accepteren, kan worden beschouwd als een soort detachementprincipe voor het voorwaardelijke.

Een strategie om te reageren op de beschuldiging dat detachementvrije reacties contra-intuïtief zijn, is het beroep doen op een verband tussen gevolg en onze aanvaarding en verwerping van zinnen. Volgens deze connectie betekent dit, wanneer het zo is dat (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta), (of in ieder geval impliceert) dat het incoherent is door de lichten van de theorie (mathcal {T}) om (alpha) te accepteren en (beta) te weigeren (zie Restall 2005). Veronderstel nu dat, door het licht van een theorie (mathcal {T}), het incoherent is om (alpha) te verwerpen en het ook incoherent is om (alpha) te accepteren terwijl het (beta afwijst)). Vervolgens stelt Ripley (2013) dat er niets onsamenhangends hoeft te zijn in de theorie over de afwijzing van (beta), zolang men (alpha) ook niet accepteert. Er is dus ruimte om Trans op te geven en een zwak detachementvrij antwoord op Curry's paradox aan te nemen. Beall's verdediging van de sterk detachementvrije benadering berust op verwante overwegingen. Hij stelt in feite dat een zwakker principe dan CCP de relevante rol kan spelen bij het beperken van de combinaties van aanvaarding en verwerping van zinnen, waaronder (alpha), (beta) en (alpha { rightarrow } beta).

4.2.3 Toepassing op het informele argument

De benaderingen van Curry's paradox die zojuist zijn onderscheiden, vinden hun fout in verschillende gevolgtrekkingen en subconclusies van het informele paradoxale argument in paragraaf 1.1. Een sterk samentrekkingsvrij antwoord komt overeen met blokkeerstap (3) van dat argument, aangezien het MP 'verwerpt. Een zwak contractie-vrije antwoord blokkeert in plaats daarvan stap (4), omdat het CP verwerpt. Geen van beide soorten onthechtingsvrije respons accepteert de redenering in stap (3). Aangezien ze Cont accepteren, stellen detachementvrije reacties ons in staat om de conclusie van (4) af te leiden, waardoor zwakke detachementvrije reacties ons verder in staat stellen om de conclusie van (3) door CCP af te leiden. Beide soorten detachementvrije respons vinden echter hun fout in de laatste zet van MP naar (6).

5. De betekenis van Curry's Paradox

In deze sectie leggen we enkele onderscheidende lessen uit die kunnen worden geleerd door de paradox van Curry te beschouwen. Voor bespreking van de soorten betekenis die versies van Curry's paradox delen met verwante paradoxen, zie de artikelen over Russell's paradox en de leugenaarsparadox.

5.1 Dashing Hopes voor oplossingen voor negatieparadoxen

Beginnend met Church (1942), Moh (1954), Geach (1955), Löb (1955) en Prior (1955), heeft de bespreking van Curry's paradox benadrukt dat deze verschilt van Russell's paradox en de Liar-paradox, omdat het niet ' t 'in wezen negatie [e]' (Anderson 1975: 128). ^[19] Een reden waarom de negatievrije status van Curry's paradox ertoe doet, is dat het de paradox resistent maakt tegen sommige resoluties die geschikt zouden kunnen zijn voor dergelijke "negatieparadoxen".

Geach stelt dat Curry's paradox een probleem vormt voor alle voorstanders van naïeve waarheidstheorie of naïeve verzamelingenleer die, geconfronteerd met negatieparadoxen,

misschien … hopen [deze paradoxen] te vermijden door een logisch systeem te gebruiken waarin '(p) als en alleen als niet - (p)' een stelling was voor sommige interpretaties van '(p)' zonder onze daaruit een willekeurige verklaring kunnen afleiden …. (Bereiken 1955: 71)

Het probleem, zegt hij, is dat Curry's paradox 'niet kan worden opgelost door alleen maar een systeem aan te nemen dat een vreemd soort negatie bevat'. Integendeel: "als we de naïeve kijk op waarheid willen behouden, of de naïeve kijk op klassen …, dan moeten we de elementaire regels van gevolgtrekking met betrekking tot 'als' wijzigen" (1955: 72). Geach's visie op de betekenis van Curry's paradox wordt door Escher, Meyer, Routley en Dunn, nauw bevestigd (1979: 127). Ze concluderen dat Curry's paradox diegenen frustreert die 'hadden gehoopt dat het verzwakken van klassieke negatieprincipes' de paradox van Russell zou oplossen. ^[20]

Kortom, het punt is dat er niet-klassieke logica's zijn met zwakke negatieprincipes die Russell's paradox en de leugenaar oplossen, maar toch kwetsbaar blijven voor Curry's paradox. Dit zijn logica met de volgende kenmerken:

• (a) Ze kunnen dienen als de basis voor een niet-triviale theorie volgens welke een zin onverenigbaar is met zijn eigen ontkenning.
• (b) Ze kunnen niet dienen als basis voor een niet-triviale theorie die Curry-compleet is.

Hoewel het niet duidelijk is welke logica Geach in gedachten had, zijn er inderdaad niet-klassieke logica die aan deze twee voorwaarden voldoen. Theorieën die op deze logica zijn gebaseerd, blijven daarom kwetsbaar voor Curry's paradox.

5.1.1 Paraconsistente oplossingen gefrustreerd

Meyer, Routley en Dunn (1979) vestigen de aandacht op één klasse logica die voldoet aan de voorwaarden (a) en (b). Ze behoren tot de paraconsistente logica, logica volgens welke een zin samen met de ontkenning ervan geen willekeurige zin met zich meebrengt. Paraconsistente logica kan worden gebruikt om theorieën te verkrijgen die de paradox van Russell en de leugenaar oplossen, door inconsistentie in negatie te omarmen zonder te bezwijken voor trivialiteit.

Volgens een dergelijke theorie (mathcal {T}) kunnen zinnen (lambda) en (lnot \ lambda) niet substitueerbaar zijn, zolang beide (vdash _ { mathcal {T} } lambda) en (vdash _ { mathcal {T}} lnot \ lambda). Dergelijke theorieën zijn "vraatzuchtig", in die zin dat ze een zin samen met de ontkenning ervan bevestigen (zie vermelding over dialetheïsme). Toch kunnen een aantal prominente paraconsistente logica niet als basis dienen voor Curry-complete theorieën over pijn van trivialiteit. Van dergelijke logica wordt soms gezegd dat ze niet "Curry-paraconsistent" zijn (Slaney 1989). ^[21]

5.1.2 Gefrustreerde Paracomplete-oplossingen

Veel van de niet-klassieke logica's die zijn voorgesteld om reacties op Russell's paradox en de leugenaarsparadox te ondersteunen, zijn paracomplete logica's, logica die de wet van uitgesloten midden verwerpen. Deze logica maakt 'gappy'-theorieën mogelijk. In het bijzonder waar (lambda) en (lnot \ lambda) volgens een dergelijke theorie (mathcal {T}) niet substitueerbaar zijn, zal het niet zo zijn dat (vdash _ { mathcal {T}} lambda \ lor \ lnot \ lambda). Sommige van deze paracomplete logica's voldoen eveneens aan de voorwaarden (a) en (b).

Een voorbeeld is de logische Ł (_ {3}) die is gebaseerd op de drievoudige waarheidstabellen van Łukasiewicz (zie bijvoorbeeld Priest 2008). Omdat het voldoet aan voorwaarde (a), biedt Ł (_ {3}) een mogelijk antwoord op Russell's paradox en in het bijzonder de leugenaar, een opgewekt antwoord. Maar denk eens aan de herhaalde voorwaardelijke (alpha { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta)), die we afkorten als (alpha \ Rightarrow \ beta). Stel dat een Curry-zin voor (pi) en een op Ł (_ {3}) gebaseerde theorie (mathcal {T}) opnieuw wordt gedefinieerd als elke zin (kappa) die niet kan worden vervangen door (kappa \ Rightarrow \ pi). Dan voldoet (mathcal {T}) aan alle voorwaarden van de Curry-Paradox Lemma, zoals voor het eerst werd opgemerkt door Moh (1954). Dus zolang er een (kappa) is die niet kan worden vervangen door (kappa \ Rightarrow \ pi) volgens (mathcal {T}), dan (vdash _ { mathcal { T}} pi). Daarom zal Ł (_ {3}) geen antwoord geven op Curry's paradox.^[22]

Samenvattend: Curry's paradox staat enkele anderszins beschikbare wegen in de weg om semantische paradoxen op te lossen door middel van vraatzuchtige of opgewekte theorieën. Als gevolg hiervan heeft de noodzaak om de paradox van Curry te ontwijken een belangrijke rol gespeeld bij de ontwikkeling van niet-klassieke logica (bijv. Priest 2006; Field 2008).

5.2 Wijzend naar een algemene paradoxstructuur

De negatievrije status van Curry's paradox is om een tweede reden van belang. Prior maakt het volgende belangrijke punt:

We kunnen … niet alleen zeggen dat Curry's paradox geen ontkenning inhoudt, maar dat zelfs Russell's paradox alleen die eigenschappen van negatie veronderstelt die hij impliciet deelt. (Voorafgaand aan 1955: 180) ^[23]

Wat hij in gedachten heeft, is dat Russell's paradox en Curry's paradox kunnen worden begrepen als het resultaat van dezelfde algemene structuur, die kan worden geïnstantieerd met behulp van ontkenning of met een voorwaardelijke. ^[24]

De algemene structuur kan expliciet worden gemaakt door een type unair connectief te definiëren dat aanleiding geeft tot Curry's paradox, en te laten zien hoe dit type wordt geïllustreerd door zowel ontkenning als door een unair connectief gedefinieerd in termen van een voorwaardelijk.

Definitie 3 (Curry connective) Laat (pi) een zin zijn in de taal van de theorie (mathcal {T}). De unaire connectief (odot) is een curry-connectief voor (pi) en (mathcal {T}), op voorwaarde dat het aan twee principes voldoet:

(tag {P1} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {en} vdash _ { mathcal {T}} odot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} pi.) (tag {P2} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} odot \ alpha.)

Gegeneraliseerde Curry-Paradox Lemma Stel dat (mathcal {T}) zo is dat Id geldt en dat voor een paar zinnen (pi) en (mu), (i) (mu) en (odot \ mu) zijn niet-substitueerbaar volgens (mathcal {T}) en (ii) (odot) is een Curry-verbinding voor (pi) en (mathcal { T}). In dat geval (vdash _ { mathcal {T}} pi). ^[25]

Bewijs:

(begin {array} {rll} 1 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {Id} \ 2 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {2 P2} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {3 Curry-intersubstitutivity} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3, 4 P1} \ \ end {array})

De gegeneraliseerde Curry-Paradox Lemma kan nu op twee verschillende manieren worden geïnstantieerd, om Curry's paradox of een negatieparadox op te leveren:

• Om Curry's paradox te verkrijgen, laat de unaire connectieve (odot) zodanig zijn dat (odot \ alpha) (alpha { rightarrow} pi) is, en laat (mu) een zin niet te vervangen door (mu { rightarrow} pi) volgens (mathcal {T}). Dan komt P1 overeen met het voorbeeld van MP dat wordt gebruikt in onze afleiding van de Curry-Paradox Lemma, terwijl P2 niets anders is dan onze regel Cont.

  (tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {en} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Cont} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

• Om een ontkenningsparadox te verkrijgen, laat (odot \ alpha) (lnot \ alpha) zijn en laat (mu) een zin zijn die niet kan worden vervangen door (lnot \ mu) volgens (mathcal {T}). ^[26] Dan komt P1 neer op een geval van ex contradictione quodlibet (of "explosie"), terwijl P2 een reductio-principe is.

  (tag {ECQ} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha \ textrm {en} vdash _ { mathcal {T}} lnot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Red} textrm {If} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} lnot \ alpha \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} lniet \ alpha)

Het punt van Prior is dat de kenmerken van negatie die relevant zijn voor Russell's paradox of de leugenaarsparadox uitgeput zijn door zijn status als curry-connectief. Dit maakt duidelijk waarom deze paradoxen niet afhangen van kenmerken van negatie, zoals uitgesloten eliminatie van middelste of dubbele negatie, die niet opgaan in niet-klassieke theorieën waar negatie een curry-connectiviteit blijft (bijv. In intuïtionistische theorieën, waar ECQ en Red beide gelden). ^[27]

Bovendien hoeft een Curry connective helemaal niet erg negatie-achtig te zijn. Het kan zijn dat het zelfs geen minimale ontkenning is (zie vermelding over ontkenning), omdat het niet hoeft te voldoen aan de wet van dubbele introductie:

(tag {DI} alpha \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ odot \ alpha.)

Stel dat (odot \ alpha) (alpha { rightarrow} pi) is. Om (odot) DI te kunnen gehoorzamen, zou het dan zo moeten zijn dat (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} (alpha { rightarrow} pi) { rightarrow} pi). Dat principe wordt geschonden door een aantal niet-klassieke theorieën waarvoor (odot), als het op deze manier wordt gedefinieerd, kwalificeert als een Curry-connectief. ^[28]

Samenvattend: Curry's paradox wijst op een algemene structuur die wordt geïnstantieerd door een breed scala aan paradoxen. Deze structuur brengt zelf geen ontkenning met zich mee, maar wordt ook weergegeven door paradoxen die (in tegenstelling tot Curry's paradox) in wezen ontkenning inhouden, zoals Russell's paradox en de leugenaarsparadox.

De kwestie van de paradoxen die een gemeenschappelijke structuur vertonen, wordt belangrijk in het licht van het 'principe van een uniforme oplossing' dat door Priest krachtig wordt bepleit (1994). Volgens dit principe zouden paradoxen die tot de "zelfde soort" behoren de "zelfde soort oplossing" moeten krijgen. Stel dat we één soort paradox als volgt afbakenen:

Definitie 4 (gegeneraliseerde curryparadox) We hebben in elk geval een gegeneraliseerde curryparadox waarin de veronderstellingen in de gegeneraliseerde curryparadox Lemma lijken te gelden.

Ervan uitgaande dat men het principe van uniforme oplossing accepteert, wordt de vraag wat telt als het voorstellen van een uniforme oplossing voor alle gegeneraliseerde Curry-paradoxen. Is het in het bijzonder voldoende om voor elk van de aldus begrensde gevallen aan te tonen dat wat een Curry-connectief lijkt, er in feite niet één is? Het lijkt erop dat dit inderdaad voldoende zou moeten zijn. Het is onduidelijk waarom uniformiteit bovendien zou vereisen dat alle ogenschijnlijke Curry-connectieven niet als zodanig kwalificeren vanwege het overtreden van dezelfde voorwaarde. Stel bijvoorbeeld dat ontkenning en onze unaire connectiviteit gedefinieerd met ({ rightarrow}) beide lijken te voldoen aan het gegeneraliseerde principe P2, in het eerste geval omdat ({ lnot}) Red lijkt te gehoorzamen en in het laatste geval geval omdat ({ rightarrow}) lijkt te voldoen aan Cont. Tenzij deze twee optredens een gemeenschappelijke bron delen (bijv.een impliciete afhankelijkheid van structurele contractie, zoals beweerd door Zardini 2011), er hoeft niets verwerpelijk niet-uniform te zijn aan het nemen van de ene verschijning tegen de nominale waarde, terwijl de andere als misleidend wordt afgedaan. (Voor een bespreking van de filosofische kwestie hier, toegepast op een andere klasse van paradoxen, zie de uitwisseling in Smith 2000 en Priest 2000.)

Als dat klopt, hoeft het desideratum dat gegeneraliseerde Curry-paradoxen uniform worden opgelost geen onderscheid te maken tussen de verschillende logisch herziene oplossingen die zijn nagestreefd. Deze omvatten de volgende drie opties:

• Men zou kunnen stellen dat het principe P1 alleen is dat faalt wanneer (odot \ alpha) wordt geïnstantieerd als (lnot \ alpha) (om een negatieparadox te krijgen), terwijl het alleen P2 is die faalt wanneer (odot \ alpha) wordt geïnstantieerd als (alpha { rightarrow} pi) (om een Curry-paradox te krijgen). Bij deze benadering falen ECQ en Cont, terwijl Red en MP vasthouden (Priest 1994, 2006).
• Men zou kunnen stellen dat P2 alleen faalt voor beide instantiaties van (odot). Bij deze benadering falen Red en Cont, terwijl ECQ en MP stand houden (Field 2008; Zardini 2011).
• Men zou kunnen stellen dat P1 alleen faalt voor beide instantiaties van (odot). Bij deze aanpak falen ECQ en MP, terwijl Red en Cont stand houden (Beall 2015; Ripley 2013).

Zo zou Priesters eigen benadering bijvoorbeeld meetellen als het oplossen van Curry's paradox en de leugenaarsparadox uniform als voorbeelden van gegeneraliseerde Curry-paradox. Dit zou het geval zijn ondanks het feit dat Priest Liar-zinnen als waar en onwaar beoordeelt, terwijl hij de bewering dat Curry-zinnen waar zijn, verwerpt.

Hoe dan ook, Curry's paradox roept uitdagingen op in verband met de vraag welk type uniformiteit vereist zou moeten zijn voor oplossingen voor verschillende paradoxen (zie ook Zardini 2015). Priest zelf vestigt de aandacht op een soort paradox die smaller is dan de gegeneraliseerde Curry-paradoxen, een soort waarvan de voorbeelden de negatieparadoxen omvatten maar Curry's paradox uitsluiten. Dit soort wordt uitgekozen door Priest's “Inclosure Schema” (2002); zie de vermelding over zelfreferentie. Een lopend geschil gaat over de vraag of er een versie van Curry's paradox kan zijn die geldt als een 'inclosure paradox', hoewel deze zich verzet tegen de uniforme dialetheïsche oplossing van Priest voor dergelijke paradoxen (zie de uitwisseling in Beall 2014b, Weber et al. 2014 en Beall 2014a), evenals Pleitz 2015).

6. Geldigheidscurry

Het laatste decennium (vanaf de datum van deze versie van deze inzending) is getuige geweest van een hausse in aandacht voor Curry-paradoxen, en misschien vooral voor de zogenaamde validiteit Curry- of v-Curry-paradoxen (Whittle 2004; Shapiro 2011; Beall & Murzi 2013). ^[29] V-Curry omvat Curry-zinnen die specifiek het gevolg of de "geldigheids" -relatie van een theorie aanroepen, door ofwel een voorwaardelijk of een predikaat te gebruiken dat beweert de theorie (mathcal {T}) 's relatie (vdash_ \ mathcal {T}) in de taal van (mathcal {T}) zelf.

6.1 Connectief formulier

Laat voor één vorm van v-Curry-paradox, de voorwaardelijke vermeld in de definitie van een Curry-zin (definitie 1) een gevolg zijn van connectief ({ Rightarrow}). Een zin met ({ Rightarrow}) als belangrijkste operator moet als volgt worden geïnterpreteerd: "Dat (p) inhoudt (volgens (mathcal {T})) dat (q)". We verkrijgen nu onmiddellijk eigenschapstheoretische, set-theoretische of waarheidstheoretische versies van Curry's paradox, op voorwaarde dat ({ Rightarrow}) voldoet aan de voorwaarden MP en Cont van de Curry-Paradox Lemma.

Wat dit exemplaar van de Curry-Paradox Lemma bijzonder lastig maakt, is dat het een obstakel vormt voor één gemeenschappelijke reactie op Curry's paradox, namelijk de zwak contractie-vrije reactie die wordt besproken in paragraaf 4.2.1. Die reactie was afhankelijk van het verwerpen van de regel CP van voorwaardelijk bewijs met één premisse, één richting van de 'deductiestelling' met één premisse. Maar dit is een regel die moeilijk te weerstaan leek vanwege een connectief gevolg (Shapiro 2011; Weber 2014; Zardini 2013). Als (beta) een gevolg is van (alpha) volgens de gevolgrelatie van theorie (mathcal {T}), waar deze theorie ({ Rightarrow}) als eigen gevolg heeft verbindend, dan moet (mathcal {T}) zeker de gevolgclaim (alpha { Rightarrow} beta) bevatten. Evenzo vormt deze variëteit van Curry-paradox een obstakel voor onthechtingsvrije reacties,waarvoor de regel MP moet worden verworpen. Als een theorie met zijn eigen consequentie connectief zowel (alpha) als de conditionele consequentie (alpha { Rightarrow} beta) bevat, dan moet deze zeker ook (beta) bevatten. Of zo leek het tenminste. Toegegeven, de voorstander van een zwak onthechtingsvrije reactie zal beweren dat MP voor ({ Rightarrow}) onrechtmatig transitiviteit opbouwt (zie paragraaf 4.2.2). Wat echter onontkoombaar lijkt, is het omgekeerde van CP, de CCP-regel die de andere richting is van de afleidingsstelling met één premisse. Als een theorie het gevolg voorwaardelijk (alpha { Rightarrow} beta) bevat, dan volgt zeker (beta) uit (alpha) volgens de theorie. Dat zou nog steeds een sterk detachementvrije reactie uitsluiten. Als een theorie met zijn eigen consequentie connectief zowel (alpha) als de conditionele consequentie (alpha { Rightarrow} beta) bevat, dan moet deze zeker ook (beta) bevatten. Of zo leek het tenminste. Toegegeven, de voorstander van een zwak onthechtingsvrije reactie zal beweren dat MP voor ({ Rightarrow}) onrechtmatig transitiviteit opbouwt (zie paragraaf 4.2.2). Wat echter onontkoombaar lijkt, is het omgekeerde van CP, de CCP-regel die de andere richting is van de afleidingsstelling met één premisse. Als een theorie het gevolg voorwaardelijk (alpha { Rightarrow} beta) bevat, dan volgt zeker (beta) uit (alpha) volgens de theorie. Dat zou nog steeds een sterk detachementvrije reactie uitsluiten. Als een theorie met zijn eigen consequentie connectief zowel (alpha) als de conditionele consequentie (alpha { Rightarrow} beta) bevat, dan moet deze zeker ook (beta) bevatten. Of zo leek het tenminste. Toegegeven, de voorstander van een zwak onthechtingsvrije reactie zal beweren dat MP voor ({ Rightarrow}) onrechtmatig transitiviteit opbouwt (zie paragraaf 4.2.2). Wat echter onontkoombaar lijkt, is het omgekeerde van CP, de CCP-regel die de andere richting is van de afleidingsstelling met één premisse. Als een theorie het gevolg voorwaardelijk (alpha { Rightarrow} beta) bevat, dan volgt zeker (beta) uit (alpha) volgens de theorie. Dat zou nog steeds een sterk detachementvrije reactie uitsluiten.het lijkt. Toegegeven, de voorstander van een zwak onthechtingsvrije reactie zal beweren dat MP voor ({ Rightarrow}) onrechtmatig transitiviteit opbouwt (zie paragraaf 4.2.2). Wat echter onontkoombaar lijkt, is het omgekeerde van CP, de CCP-regel die de andere richting is van de afleidingsstelling met één premisse. Als een theorie het gevolg voorwaardelijk (alpha { Rightarrow} beta) bevat, dan volgt zeker (beta) uit (alpha) volgens de theorie. Dat zou nog steeds een sterk detachementvrije reactie uitsluiten.het lijkt. Toegegeven, de voorstander van een zwak onthechtingsvrije reactie zal beweren dat MP voor ({ Rightarrow}) onrechtmatig transitiviteit opbouwt (zie paragraaf 4.2.2). Wat echter onontkoombaar lijkt, is het omgekeerde van CP, de CCP-regel die de andere richting is van de afleidingsstelling met één premisse. Als een theorie het gevolg voorwaardelijk (alpha { Rightarrow} beta) bevat, dan volgt zeker (beta) uit (alpha) volgens de theorie. Dat zou nog steeds een sterk detachementvrije reactie uitsluiten. Als een theorie het gevolg voorwaardelijk (alpha { Rightarrow} beta) bevat, dan volgt zeker (beta) uit (alpha) volgens de theorie. Dat zou nog steeds een sterk detachementvrije reactie uitsluiten. Als een theorie het gevolg voorwaardelijk (alpha { Rightarrow} beta) bevat, dan volgt zeker (beta) uit (alpha) volgens de theorie. Dat zou nog steeds een sterk detachementvrije reactie uitsluiten.

6.2 Predikaatformulier

Een tweede vorm van v-Curry-paradox ontstaat voor een theorie (mathcal {T} _V) waarvan het onderwerp de consequentie van één premisse omvat (vdash _ { mathcal {T} _ {V}}) die volgens diezelfde theorie tussen zinnen in haar taal komt. ^[30] Laat deze relatie uitgedrukt worden door het predikaat (Val (x, y)), en neem verder aan dat er een zin (chi) is die ofwel (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)), of is op zijn minst onverwisselbaar met de laatste volgens (mathcal {T} _V). Een vorm van v-Curry-paradox maakt gebruik van twee principes die gelden voor (Val), die we 'validity detachment' en 'validity proof' noemen volgens Beall & Murzi (2013).

(tag {VD} textrm {If} gamma \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ alpha \ rangle, \ langle \ beta \ rangle) textrm {en} gamma \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} alpha \ textrm {then} gamma \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta) (tag {VP} textrm {If } alpha \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta \ textrm {then} vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ alpha \ rangle, \ langle \ beta \ rangle))

Met behulp van deze principes krijgen we het volgende snelle argument voor (vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi).

(begin {array} {rll} 1 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {Id} \ 2 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {2 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & \ textrm {1, 2 VD} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {3 VP} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {4 Curry-intersubstitutivity} \ 6 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & \ textrm { 4, 5 VD} \ \ end {array})

Zoals toegepast op deze predikaatvorm van v-Curry, zou een zwak samentrekkingsvrije respons de "samentrekking" van stap 2 tot stap 4 weerstaan door de regel VP te verwerpen, en een ontkoppelingsvrije respons zou VD verwerpen, zelfs in de nul- uitgangsvorm gebruikt in stap 6. Maar nogmaals, zowel VP als nul-uitgang VD lijken onontkoombaar gelet op de beoogde interpretatie van het predikaat (Val) (Beall & Murzi 2013; Murzi 2014; Murzi & Shapiro 2015; Priest) 2015; Zardini 2014). ^[31] Tot slot, zelfs als VD wordt afgewezen omdat het onwettig is als het gaat om transitiviteit, lijkt het onvermijdelijke het omgekeerde van VP. Als dat zo is, zou dat in ieder geval een sterk detachementvrije reactie uitsluiten.

Shapiro (2013) en Field (2017: 7) presenteren een aantoonbaar krachtigere versie van v-Curry-redenering. Deze redenering kan zowel verbindend als predikaat zijn, maar is niet afhankelijk van CP of VP. Hier geven we het predikaatformulier met (Val). Zoals hierboven, leiden we eerst dat (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) af met VD. Gezien de betekenis van (Val), laat de conclusie dat (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) zien dat (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)) is waar, dat wil zeggen dat (chi) waar is. Maar als (chi) waar is en (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), dan lijkt het erop dat (pi) ook waar moet zijn. Aangezien zwak ontkoppelingsvrije (niet-transitieve) reacties op v-Curry de afleiding van (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) mogelijk maken, vormt deze redenering ook een bezwaar tegen dergelijke reacties.

6.3 Betekenis

Als v-Curry-paradoxen in feite niet vatbaar zijn voor zwakke samentrekkingsvrije of sterk losmaakvrije reacties, dan (aangenomen dat de regel Id behouden blijft), is de ruimte van Curry-volledige reacties beperkt tot sterk samentrekkingsvrij en zwak onthechtingsvrije reacties. De eerste reacties, zoals uitgelegd in paragraaf 4.2.1, worden typisch gepresenteerd door het herformuleren van modus ponens (of onthechting voor het geldigheids predikaat) in een substructureel aftrek systeem en het verwerpen van de structurele contractieregel sCont. De laatste reacties, zoals uitgelegd in paragraaf 4.2.2, verwerpen het structurele principe van transitiviteit. Om deze reden zijn soms v-Curry-paradoxen gebruikt om de relaties tussen substructurele consequenties te motiveren (bijv. Barrio et al. Aanstaande; Beall & Murzi 2013; Ripley 2015a; Shapiro 2011, 2015). ^[32]

Het levendige en brede debat over v-Curry-paradoxen heeft geresulteerd in echte vooruitgang in ons begrip van Curry-paradoxen. Wat uiteindelijk duidelijk is geworden, is dat hoewel v-Curry-paradoxen verschillende resoluties kunnen oproepen dan niet-v-Curry-paradoxen, ze binnen dezelfde vorm blijven als gegeneraliseerde Curry-paradoxen. In het bijzonder in het algemene sjabloon van sectie 5.2 kan men (odot) nemen om (hetzij als een predikaat of als een verbindend) gevolg uit te drukken in het licht van (vdash_ \ mathcal {T}) zelf. Dit is het hart van v-Curry. Voor zover er (veel) verschillende (formele) consequentieverhoudingen zijn die via onze taal kunnen worden gedefinieerd (bijv. Logisch gevolg op grond van logisch vocabulaire, epistemisch gevolg op grond van logisch plus-epistemisch vocabulaire, enzovoort), zijn er daardoor veel verschillende v -Curryparadoxen die kunnen ontstaan. Nog steeds,de ruimte van oplossingen voor deze paradoxen is de ruimte van oplossingen voor de algemene Curry-paradoxen die in deze inzending worden besproken.

Er blijven echter ten minste twee redenen waarom v-Curry-paradoxen aparte aandacht verdienen. Ten eerste zijn, zoals hierboven opgemerkt, twee categorieën Curry-complete oplossingen - de zwak samentrekkingsvrije en sterk detachementvrije opties - bijzonder problematisch gebleken in het geval van v-Curry-paradoxen. Ten tweede, stel dat men een gewone Curry-paradox (eigenschapstheoretisch, set-theoretisch of semantisch) op een Curry-complete manier behandelt. Er kan nog steeds reden zijn om de corresponderende (verbindende of predikaat) v-Curry-paradox op een Curry-onvolledige manier te behandelen, misschien omdat de gevolgrelatie van een theorie in wezen niet te vatten is door enig verbindend of predikaat in de taal van de theorie (zie bijvoorbeeld Myhill 1975; Whittle 2004). Dus,een "niet-uniforme" oplossing voor gewone Curry-paradoxen en hun tegenhangers van v-Curry kan - nogmaals - een gemotiveerde niet-uniformiteit zijn.^[33]

Bibliografie

Belangrijke historische bronnen

• Curry, Haskell B., 1942a, 'The Combinatory Foundations of Mathematical Logic', Journal of Symbolic Logic, 7 (2): 49–64. doi: 10.2307 / 2266302
• –––, 1942b, "De inconsistentie van bepaalde formele logica", Journal of Symbolische logica, 7 (3): 115–117. doi: 10.2307 / 2269292
• Curry, Haskell B. en Robert Feys, 1958, Combinatory Logic, volume 1, Amsterdam: Noord-Holland.
• Fitch, Frederic B., 1952, Symbolische logica: een inleiding, New York: Ronald Press Company.
• Geach, PT, 1955, 'On Insolubilia', analyse, 15 (3): 71–72. doi: 10.1093 / analys / 15.3.71
• Löb, MH, 1955, "Oplossing van een probleem van Leon Henkin", Journal of Symbolische logica, 20 (2): 115–118. doi: 10.2307 / 2266895
• Meyer, Robert K., Richard Routley en J. Michael Dunn, 1979, 'Curry's paradox', Analysis, 39 (3): 124–128. doi: 10.1093 / analys / 39.3.124
• Moh Shaw-Kwei, 1954, "Logical Paradoxes for Many-Valued Systems", Journal of Symbolic Logic, 19 (1): 37–40. doi: 10.2307 / 2267648
• Prior, AN, 1955, 'Curry's Paradox and 3-gewaardeerde logica', Australasian Journal of Philosophy, 33 (3): 177–82. doi: 10.1080 / 00048405585200201

Andere referenties

• Anderson, Alan Ross, 1975, "Fitch on Consistency", in Anderson, Marcus en Martin 1975: 123–141.
• Anderson, Alan Ross en Nuel D. Belnap, Jr., 1975, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, volume 1, Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Anderson, Alan Ross, Ruth Barcan Marcus en RM Martin (eds), 1975, The Logical Enterprise, New Haven, CT: Yale University Press.
• Ashworth, EJ, 1974, taal en logica in de post-middeleeuwse periode, Dordrecht: Reidel.
• Bacon, Andrew, 2015, "Paradoxes of Logical Equivalence and Identity", Topoi, 34 (1): 89–98. doi: 10.1007 / s11245-013-9193-8
• Barrio, Eduardo, Lucas Rosenblatt en Diego Tajer, te verschijnen, "Captive Naive Validity in the Cut-Free Approach", Synthese, voor het eerst online op 1 september 2016. doi: 10.1007 / s11229-016-1199-5
• Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199268733.001.0001
• –––, 2014a, “End of Inclosure”, Mind, 123 (491): 829–849. doi: 10.1093 / mind / fzu075
• –––, 2014b, “Tolerantie vinden zonder overmoed”, Mind, 123 (491): 791–811. doi: 10.1093 / mind / fzu081
• –––, 2015, “Vrij van afstandelijkheid: logica, rationaliteit en overmoed”, Noûs, 49 (2): 410–423. doi: 10.1111 / nous.12029
• Beall, Jc en Julien Murzi, 2013, 'Two Flavours of Curry's Paradox', Journal of Philosophy, 110 (3): 143–165. doi: 10.5840 / jphil2013110336
• Bimbó, Katalin, 2006, 'Curry-Type Paradoxes', Logique & Analyse, 49 (195): 227–240.
• Brady, Ross, 2006, Universal Logic, Stanford, CA: CSLI Publications.
• Bunder, MW, 1986, "Tautologieën die, met een onbeperkt begrip axioma, leiden tot inconsistentie of trivialiteit", Journal of Non-Classical Logic, 3 (2): 5–12.
• Burge, Tyler, 1979, "Semantical Paradox", Journal of Philosophy, 76 (4): 169–198. doi: 10.2307 / 2025724
• Carnap, Rudolf, 1934, "Die Antinomien und die Unvollständigkeit der Mathematik", Monatshefte für Mathematik, 41: 263–84.
• –––, 1937, The Logical Syntax of Language, Amethe Smeaton (trans), Londen: K. Paul Trench.
• Church, Alonzo, 1932, 'Een reeks postulaten voor de grondslag van de logica', Annals of Mathematics, 33 (2): 346–366. doi: 10.2307 / 1968337
• –––, 1942, "Review: The Inconsistance of Certain Formal Logics by Haskell B. Curry", Journal of Symbolic Logic, 7 (4): 170–71. doi: 10.2307 / 2268117
• Cook, Roy T., 2014, "Er is geen paradox van logische geldigheid!", Logica Universalis, 8 (3-4): 447-467. doi: 10.1007 / s11787-014-0094-4
• Curry, Haskell B., 1930, "Grundlagen der kombinatorischen Logik (Teile I & II)", American Journal of Mathematics, 52: 509–36, 789–834.
• –––, 1950, A Theory of Formal Deducibility, (Notre Dame Mathematical Lectures, 6), Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press. [Curry 1950 online beschikbaar]
• –––, 1952, “On the Definition of Negation by a Fixed Proposition in Inferential Calculus”, Journal of Symbolische Logica, 17 (2): 98–104. doi: 10.2307 / 2266240
• Curry, Haskell B., J. Roger Hindley en Jonathan P. Seldin, 1972, Combinatory Logic, volume 2, (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 65), Amsterdam: Noord-Holland.
• Field, Hartry, 2008, Saving Truth from Paradox, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199230747.001.0001
• –––, 2017, "Disarming a Paradox of Validity", Notre Dame Journal of Formal Logic, 58 (1): 1–19. doi: 10.1215 / 00294527-3699865
• Fitch, Frederic B., 1969, "A Method for Avoiding the Curry Paradox", in Nicholas Rescher (red.), Essays ter ere van Carl. G. Hempel, Dordrecht: Reidel, pp. 255–265.
• French, Rohan, 2016, 'Structural Reflexivity and the Paradoxes of Self-Reference', Ergo, 3 (5): 113–131. doi: 10.3998 / ergo.12405314.0003.005
• Glanzberg, Michael, 2001, "The Liar in Context", Philosophical Studies, 103 (3): 217–251. doi: 10.1023 / A: 1010314719817
• –––, 2004, “A Contextual-Hierarchical Approach to Truth and the Liar Paradox”, Journal of Philosophical Logic, 33 (1): 27–88. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000019227.09236.f5
• Goldstein, Laurence, 2000, 'A Unified Solution to Some Paradoxes', Proceedings of the Aristotelian Society, 100 (1): 53–74. doi: 10.1111 / j.0066-7372.2003.00003.x
• Goodship, Laura, 1996, "On Dialethism", Australasian Journal of Philosophy, 74 (1): 153–161. doi: 10.1080 / 00048409612347131
• Grelling, Kurt en Leonard Nelson, 1908, 'Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti', Abhandlungen der Fries'schen Schule, 2: 301–334.
• Gupta, Anil en Nuel Belnap, 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
• Halbach, Volker en Albert Visser, 2014, "The Henkin Zin", in Maria Manzano, Ildikó Sain en Enrique Alonso (eds), The Life and Work of Leon Henkin, (Studies in Universal Logic), Cham: Springer International, pp 249-264. doi: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_17
• Hanke, Miroslav, 2013, "Impliciete betekenisanalyse van de Currian Conditional", Geschiedenis en filosofie van de logica, 34 (4): 367–380. doi: 10.1080 / 01445340.2013.812832
• Hilbert, David en Paul Bernays, 1939, Grundlagen der Mathematik, volume II, Berlin: Springer.
• Humberstone, Lloyd, 2006, 'Variations on a Theme of Curry', Notre Dame Journal of Formal Logic, 47 (1): 101–131. doi: 10.1305 / ndjfl / 1143468315
• Kripke, Saul A., 1975, 'Outline of a Theory of Truth', Journal of Philosophy, 72 (19): 690–716. doi: 10.2307 / 2024634
• Mares, Edwin en Francesco Paoli, 2014, "Logical Consequence and the Paradoxes", Journal of Philosophical Logic, 43 (2–3): 439–469. doi: 10.1007 / s10992-013-9268-4
• Meadows, Toby, 2014, "Fixed Points for Consequence Relations", Logique & Analyse, 57 (227): 333–357.
• Murzi, Julien, 2014, "De onuitsprekelijkheid van geldigheid", Analyse, 74 (1): 65-81. doi: 10.1093 / analys / ant096
• Murzi, Julien en Lorenzo Rossi, te verschijnen, "Naïve Validity", Synthese, eerst online 27 september 2017. doi: 10.1007 / s11229-017-1541-6
• Murzi, Julien en Lionel Shapiro, 2015, 'Validity and Truth-Preservation', in Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández en Kentaro Fujimoto (eds), Unifying the Philosophy of Truth, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-017-9673-6_22
• Myhill, John, 1975, "Niveaus van implicatie", in Anderson, Marcus en Martin 1975: 179–185.
• Nicolai, Carlo en Lorenzo Rossi, aanstaande, "Principles for Object-Linguistic Consequence: from Logical to Irreflexive", Journal of Philosophical Logic, voor het eerst online op 20 juni 2017. doi: 10.1007 / s10992-017-9438-x
• Nolan, Daniel, 2016, 'Conditionals and Curry', Philosophical Studies, 173 (10): 2629–2649. doi: 10.1007 / s11098-016-0666-7
• Pleitz, Martin, 2015, "Curry's Paradox and the Inclosure Scheme", in Pavel Arazim en Michal Dančák (eds), Logica Yearbook 2014, London: College Publications.
• Priest, Graham, 1994, 'The Structure of the Paradoxes of Self-Reference', Mind, 103 (409): 25–34. doi: 10.1093 / mind / 103.409.25
• –––, 2000, “Over het principe van uniforme oplossing: een antwoord aan Smith”, Mind, 109 (433): 123–126. doi: 10.1093 / mind / 109.433.123
• –––, 2002, Beyond the Limits of Thought, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199254057.001.0001
• –––, 2006, In Contradiction, Oxford: Oxford University Press. Uitgebreide editie (voor het eerst gepubliceerd in 1987). doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199263301.001.0001
• –––, 2008, An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is, tweede editie, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511801174
• –––, 2015, “Fusion and Confusion”, Topoi, 34 (1): 55–61. doi: 10.1007 / s11245-013-9175-x
• Quine, WVO, 1953, 'Mr. Strawson on Logical Theory”, Mind, 62 (248): 433–451. doi: 10.1093 / mind / LXII.248.433
• Lees, Stephen, 2001, "Self-Reference and Validity Revisited", in Mikko Yrjönsuuri (red.), Medieval Formal Logic, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. 183–196. doi: 10.1007 / 978-94-015-9713-5_7
• Restall, Greg, 1993, "How to be Really Contraction Free", Studia Logica, 52 (3): 381–91. doi: 10.1007 / BF01057653
• –––, 1994, On Logics Without Contraction, proefschrift, The University of Queensland. [Restall 1994 online beschikbaar]
• –––, 2005, "Multiple Conclusions", in Petr Hájek, Luis Valdés-Villanueva en Dag Westerståhl (eds), Logic, Methodology and the Philosophy of Science: Proceedings of the Twelfth International Congress, London: College Publications, pp. 189–205. [Restall 2005 online beschikbaar]
• Ripley, David, 2013, 'Paradoxes and Failures of Cut', Australasian Journal of Philosophy, 91: 139–164. doi: 10.1080 / 00048402.2011.630010
• –––, 2015a, “Substructurele waarheidstheorieën vergelijken”, Ergo, 2 (13): 299–328. doi: 10.3998 / ergo.12405314.0002.013
• –––, 2015b, “Contractie en sluiting”, Gedachte, 4 (2): 131–138. doi: 10.1002 / tht3.166
• Rogerson, Susan, 2007, 'Natural Deduction and Curry's Paradox', Journal of Philosophical Logic, 36 (2): 155–179. doi: 10.1007 / s10992-006-9032-0
• Rogerson, Susan en Greg Restall, 2004, "Routes to Triviality", Journal of Philosophical Logic, 33 (4): 421–436. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000036853.44128.8f
• Rosenblatt, Lucas, 2017, 'Naive Validity, Internalization, and Substructural Approach to Paradox', Ergo, 4 (4): 93–120. doi: 10.3998 / ergo.12405314.0004.004
• Seldin, Jonathan P., 2006, "The Logic of Curry and Church", in Dov M. Gabbay en John Woods (eds), Handbook of the History of Logic, Volume 5: Logic from Russell to Church, Amsterdam: Elsevier, pp 819–873.
• Shapiro, Lionel, 2011, 'Deflating Logical Consequence', The Philosophical Quarterly, 61 (243): 320–42. doi: 10.1111 / j.1467-9213.2010.678.x
• –––, 2013, “Validity Curry Strengthened”, Thought, 2: 100–107. doi: 10.1002 / tht3.80
• –––, 2015, “Naïeve structuur, contractie en paradox”, Topoi, 34 (1): 75–87. doi: 10.1007 / s11245-014-9235-x
• Simmons, Keith, 1993, Universality and the Liar: An Essay on Truth and the Diagonal Argument, Cambridge: Cambridge University Press.
• Slaney, John, 1989, "RWX in Not Curry Paraconsistent", in Graham Priest, Richard Routley, en Jean Norman (eds), Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent, München: Philosophia, pp. 472–480.
• –––, 1990, "A General Logic", Australasian Journal of Philosophy, 68 (1): 74–88. doi: 10.1080 / 00048409012340183
• Smith, Nicholas JJ, 2000, 'The Principle of Uniform Solution (of the Paradoxes of Self-Reference)', Mind, 109 (433): 117–122. doi: 10.1093 / mind / 109.433.117
• Tajer, Diego en Federico Pailos, 2017, 'Validity in a Dialetheist Framework', Logique & Analyse, 60 (238): 191-202.
• van Benthem, Johan, 1978, "Four Paradoxes", Journal of Philosophical Logic, 7 (1): 49–72. doi: 10.1007 / BF00245920
• Wansing, Heinrich en Graham Priest, 2015, "External Curries", Journal of Philosophical Logic, 44 (4): 453–471. doi: 10.1007 / s10992-014-9336-4
• Weber, Zach, 2014, "Naïve validiteit", The Philosophical Quarterly, 64 (254): 99–114. doi: 10.1093 / pq / pqt016
• Weber, Zach, David Ripley, Graham Priest, Dominic Hyde en Mark Colyvan, 2014, "Tolerating Gluts", Mind, 123 (491): 813–828. doi: 10.1093 / mind / fzu057
• Weir, Alan, 2015, "A Robust Non-Transitive Logic", Topoi, 34 (1): 99–107. doi: 10.1007 / s11245-013-9176-9
• White, Richard B., 1979, "The Consistency of the Axiom of Comprehension in the Infinite-Valued Predicate Logic of Łukasiewicz", Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 509–534. doi: 10.1007 / BF00258447
• Whittle, Bruno, 2004, "Dialetheism, Logical Consequence and Hierarchy", Analysis, 64: 318–26. doi: 10.1093 / analys / 64.4.318
• Zardini, Elia, 2011, 'Truth Without Contra (di) ction', Review of Symbolische logica, 4 (4): 498–535. doi: 10.1017 / S1755020311000177
• –––, 2013, “Naive Modus Ponens”, Journal of Philosophical Logic, 42 (4): 575–593. doi: 10.1007 / s10992-012-9239-1
• –––, 2014, "Naïeve waarheid en naïeve logische eigenschappen", overzicht van symbolische logica, 7 (2): 351–384. doi: 10.1017 / S1755020314000045
• –––, 2015, “Een voor twee krijgen, of de slechte deal van de aannemer. Op weg naar een uniforme oplossing voor de semantische paradoxen”, in Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández en Kentaro Fujimoto (red.), Unifying the Philosophy of Truth, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-017-9673-6_23

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

[Neem contact op met de auteur voor suggesties.]