Definities

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-05-24 11:17

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Definities

Voor het eerst gepubliceerd op 10 april 2008; inhoudelijke herziening ma 20 apr. 2015

Definities zijn al sinds de oudheid interessant voor filosofen. Plato's vroege dialogen beelden Socrates uit met vragen over definities (bijv. In de Euthyphro, "Wat is vroomheid?") - vragen die tegelijk diepgaand en ongrijpbaar lijken. De belangrijkste stap in Anselms 'Ontologisch bewijs' voor het bestaan van God is de definitie van 'God', en hetzelfde geldt voor Descartes 'versie van het argument in zijn Meditatie V. Meer recentelijk hebben de Frege-Russell-definitie van aantal en Tarski's definitie van waarheid een vormende invloed uitgeoefend op een breed scala van hedendaagse filosofische debatten. In al deze gevallen - en vele andere kunnen worden aangehaald - zijn niet alleen bepaalde definities besproken; de aard van en eisen aan definities zijn ook besproken. Sommige van deze debatten kunnen worden opgelost door het vereiste onderscheid te maken,want definities zijn niet allemaal van dezelfde soort: definities hebben verschillende functies en hun algemene karakter varieert per functie. Sommige andere debatten zijn echter niet zo gemakkelijk te beslechten, omdat ze controversiële filosofische ideeën bevatten zoals essentie, concept en betekenis.

• 1. Enkele soorten definities

  • 1.1 Echte en nominale definities
  • 1.2 Woordenboekdefinities
  • 1.3 Stipulatieve definities
  • 1.4 Beschrijvende definities
  • 1.5 Explicatieve definities
  • 1.6 Ostensive definities
  • 1.7 Een opmerking

• 2. De logica van definities

  • 2.1 Twee criteria
  • 2.2 Grondslagen van het traditionele account
  • 2.3 Conservativiteit en eliminatie
  • 2.4 Definities in normale vorm
  • 2.5 Impliciete definities
  • 2.6 Principe van vicieuze cirkels
  • 2.7 Circulaire definities
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Enkele soorten definities

In het gewone betoog worden verschillende soorten dingen herkend als mogelijke objecten van definitie en worden verschillende soorten activiteiten herkend als iets dat een ding definieert. Om een paar voorbeelden te geven, we spreken van een commissie die de grens tussen twee naties definieert; van het Hooggerechtshof als definitie, door middel van zijn uitspraken, "persoon" en "burger"; van een chemicus die de definitie van goud ontdekt, en de lexicograaf die van 'cool' van een deelnemer aan een debat als omschrijving van het punt in kwestie; en van een wiskundige die de definitie van "groep" vaststelt. Verschillende soorten dingen zijn hier objecten van definitie: grens, juridische status, inhoud, woord, proefschrift en abstract soort. Bovendien hebben de verschillende definities niet allemaal hetzelfde doel: de grenscommissie kan streven naar precisie; het Hooggerechtshof, eerlijkheid;de chemicus en de lexicograaf, nauwkeurigheid; de debater, duidelijkheid; en de wiskundige, vruchtbaarheid. De normen waarop definities worden beoordeeld, kunnen dus van geval tot geval verschillen. De verschillende definities kunnen misschien ondergebracht worden onder de Aristotelische formule dat een definitie de essentie van een ding geeft. Maar dit benadrukt alleen het feit dat "de essentie van iets geven" geen unitaire vorm van activiteit is.

Ook in de filosofie spelen vaak verschillende soorten definities een rol, en definities kunnen verschillende functies vervullen (bijvoorbeeld om de precisie en duidelijkheid te verbeteren). Maar in de filosofie zijn definities ook ingeroepen om een zeer onderscheidende rol te vervullen: het oplossen van epistemologische problemen. De epistemologische status van wiskundige waarheden roept bijvoorbeeld een probleem op. Immanuel Kant dacht dat deze waarheden a priori synthetisch zijn en om hun status te verklaren, bood hij een theorie van ruimte en tijd aan, namelijk van ruimte en tijd als vormen van respectievelijk uiterlijke en innerlijke betekenis. Gottlob Frege en Bertrand Russell probeerden Kants theorie te ondermijnen door te stellen dat rekenkundige waarheden analytisch zijn. Meer specifiek probeerden ze een afleiding van rekenkundige principes te construeren uit definities van rekenkundige concepten,alleen logische wetten gebruiken. Om het Frege-Russell-project te laten slagen, moeten de gebruikte definities een speciaal karakter hebben. Ze moeten conceptueel of verklarend van betekenis zijn; ze kunnen niet synthetisch zijn. Het is dit soort definitie dat in de afgelopen eeuw of zo de meeste belangstelling en de meeste controverse heeft gewekt. En het is dit soort definitie dat onze belangrijkste zorg zal zijn. Laten we beginnen met het markeren van enkele voorlopige maar belangrijke verschillen. Laten we beginnen met het markeren van enkele voorlopige maar belangrijke verschillen. Laten we beginnen met het markeren van enkele voorlopige maar belangrijke verschillen.

1.1 Echte en nominale definities

John Locke onderscheidde in zijn essay 'echte essentie' van 'nominale essentie'. Nominale essentie is volgens Locke het 'abstracte idee waaraan de naam is gehecht (III.vi.2)'. Dus de nominale essentie van de naam 'goud', zei Locke, 'is dat complexe idee waar het woord goud voor staat, laat het bijvoorbeeld een lichaam geel zijn, van een bepaald gewicht, kneedbaar, smeltbaar en vast.' De echte essentie van goud daarentegen is 'de samenstelling van de ongevoelige delen van dat lichaam, waarvan die kwaliteiten [genoemd in de nominale essentie] en alle andere eigenschappen van goud afhankelijk zijn (III.vi.2).' Een ruwe manier om het onderscheid tussen reële en nominale definities te markeren, is na Locke te zeggen dat de eerste de werkelijke essentie vermeldt, terwijl de laatste de nominale essentie vermeldt. De chemicus streeft naar echte definitie,terwijl de lexicograaf streeft naar nominale definitie.

Deze karakterisering van het onderscheid is ruw omdat de definitie van "zoöloog" van een zoöloog als een echte definitie moet gelden, ook al levert het misschien niet "de samenstelling van de ongevoelige delen" van de tijger op. Bovendien zou een beschrijving van de betekenis van een woord als een nominale definitie moeten gelden, ook al mag het niet de Lockeaanse vorm aannemen om "het abstracte idee waaraan de naam is gehecht" uiteen te zetten. Misschien is het nuttig om het onderscheid tussen reële en nominale definities als volgt aan te geven: om de werkelijke definitie van een term (X) te ontdekken, moet men het ding of de dingen die worden aangegeven met (X) onderzoeken; om de nominale definitie te ontdekken, moet men de betekenis en het gebruik van (X) onderzoeken. Of het zoeken naar een antwoord op de socratische vraag 'Wat is deugd?' is een zoektocht naar echte definitie of een naar nominale definitie hangt af van iemands opvatting van deze specifieke filosofische activiteit. Proberen we, wanneer we de socratische vraag beantwoorden, een duidelijker beeld te krijgen van ons gebruik van het woord 'deugd', of proberen we verslag uit te brengen van een ideaal dat tot op zekere hoogte onafhankelijk is van dit gebruik? Bij de eerste opvatting streven we naar een nominale definitie; onder de laatste, op een echte definitie.we streven naar een nominale definitie; onder de laatste, op een echte definitie.we streven naar een nominale definitie; onder de laatste, op een echte definitie.

Zie Robinson 1950 voor een kritische bespreking van de verschillende activiteiten die zijn ondergebracht onder "echte definitie". Voor oude opvattingen over definities, zie de essays in Charles 2010.

1.2 Woordenboekdefinities

Nominale definities - definities die de betekenis van een term uitleggen - zijn niet allemaal van dezelfde soort. Een woordenboek legt de betekenis van een term uit, in één zin van deze zin. Woordenboeken zijn bedoeld om definities te geven die voldoende informatie bevatten om de term te begrijpen. Het is een feit over ons taalgebruikers dat we op de een of andere manier een oneindig aantal zinnen met een term gaan begrijpen en gebruiken zodra we een bepaalde kleine hoeveelheid informatie over de term hebben gekregen. Hoe dit precies gebeurt, is een groot mysterie. Maar het gebeurt wel, en woordenboeken maken daar misbruik van. Merk op dat woordenboekvermeldingen niet uniek zijn. Verschillende woordenboeken kunnen verschillende stukjes informatie geven en toch even effectief zijn in het uitleggen van de betekenis van termen.

Door filosofen gezochte definities zijn niet van het soort dat in een woordenboek wordt gevonden. Frege's definitie van nummer (1884) en Alfred Tarski's definitie van waarheid (1983, hoofdstuk 8) worden niet aangeboden als kandidaten voor woordenboekvermeldingen. Wanneer een epistemoloog een definitie van 'kennis' zoekt, zoekt ze geen goede woordenboekvermelding voor het woord 'weten'. De filosofische zoektocht naar definitie kan soms vruchtbaar worden gekarakteriseerd als een zoektocht naar een verklaring van betekenis. Maar de betekenis van 'uitleg van betekenis' is hier heel anders dan de betekenis waarin een woordenboek de betekenis van een woord uitlegt.

1.3 Stipulatieve definities

Een stipulatieve definitie geeft een betekenis aan de gedefinieerde term en houdt niet in dat de toegewezen betekenis overeenkomt met eerder gebruik (indien aanwezig) van de term. Stipulatieve definities zijn epistemologisch bijzonder. Ze leveren beoordelingen op met epistemologische kenmerken die elders raadselachtig zijn. Als men een "raimex" als een rationeel, fantasierijk, ervarend wezen op een bepaalde manier definieert, dan is het oordeel "raimexen zijn rationeel" verzekerd dat het noodzakelijk, zeker en a priori is. Filosofen vonden het verleidelijk om de raadselachtige gevallen van bijvoorbeeld aprioriciteit uit te leggen door een beroep te doen op stipulatieve definities.

Saul Kripke (1980) heeft de aandacht gevestigd op een speciaal soort stipulatieve definitie. We kunnen een nieuwe naam verplicht stellen (bijvoorbeeld 'Jack the Ripper') door middel van een beschrijving (bijvoorbeeld 'de man die (X, Y) en (Z)' heeft vermoord)). In een dergelijke bepaling, merkte Kripke op, dient de beschrijving alleen om de referentie van de nieuwe naam vast te stellen; de naam is niet synoniem met de beschrijving. Voor het oordeel

(1) Jack the Ripper is de man die (X, Y) en (Z) heeft vermoord, als een unieke man de moorden heeft gepleegd

is voorwaardelijk, ook al is het oordeel

Jack the Ripper is Jack the Ripper, als een unieke man de moorden pleegde

is noodzakelijk. Een naam als 'Jack the Ripper', betoogde Kripke, is rigide: het kiest dezelfde persoon uit over mogelijke werelden; de beschrijving daarentegen is niet rigide. Kripke gebruikte dergelijke referentiebepalingsbepalingen om te pleiten voor het bestaan van contingent a priori truths- (1) als voorbeeld. Referentiebepalende stipulatieve definities kunnen niet alleen voor namen worden gegeven, maar ook voor termen in andere categorieën, bijvoorbeeld zelfstandige naamwoorden.

Zie Frege 1914 voor een verdediging van de sobere opvatting dat, althans in de wiskunde, alleen stipulatieve definities in acht moeten worden genomen. ^[1]

1.4 Beschrijvende definities

Beschrijvende definities, zoals stipulatieve, omschrijven betekenis, maar ze zijn ook bedoeld om te passen bij het bestaande gebruik. Wanneer filosofen definities geven van bijvoorbeeld 'kennen' en 'vrij', zijn ze niet dwingend: een gebrek aan aansluiting bij bestaand gebruik is een bezwaar tegen hen.

Het is nuttig om drie graden van beschrijvende geschiktheid van een definitie te onderscheiden: extensief, intensief en zin. Een definitie is bij uitstek geschikt als er geen werkelijke tegenvoorbeelden voor zijn; het is opzettelijk voldoende als er geen mogelijke tegenvoorbeelden van zijn; en het is zinvol (of analytisch) als het de gedefinieerde term de juiste betekenis geeft. (De laatste graad van toereikendheid zelf is onderverdeeld in verschillende begrippen, want "zin" kan op verschillende manieren worden beschreven.) De definitie "Water is H ₂ O" is bijvoorbeeld opzettelijk toereikend omdat de identiteit van water en H ₂O is noodzakelijk (uitgaande van de visie van Kripke-Putnam over de starheid van natuurlijke termen); de definitie is dus ook in het verlengde van voldoende. Maar het is niet zinvol, want het gevoel van 'water' is helemaal niet hetzelfde als dat van 'H ₂ O'. De definitie 'George Washington is de eerste president van de Verenigde Staten' is alleen in het verlengde voldoende, maar niet in de andere twee graden, terwijl 'de mens is een lachend dier' niet in alle drie de klassen voldoende is. Wanneer definities worden gebruikt voor een epistemologisch gebruik, is intensieve toereikendheid in het algemeen onvoldoende. Dergelijke definities kunnen immers niet de rationaliteit of de prioriteit van een problematisch onderwerp onderschrijven.

Zie Quine 1951 & 1960 voor scepsis over analytische definities; zie ook de vermelding over het analytisch / synthetisch onderscheid. Horty 2007 biedt een aantal manieren om na te denken over zintuigen van gedefinieerde uitdrukkingen, vooral binnen een Fregese semantische theorie.

1.5 Explicatieve definities

Soms wordt een definitie niet beschrijvend noch stipulatief aangeboden, maar zoals, wat Rudolf Carnap (1956, §2) noemde, een verklaring. Een explicatie heeft tot doel een centraal gebruik van een term te respecteren, maar is voor andere een voorwaarde. De uitleg kan worden aangeboden als een absolute verbetering van een bestaand, imperfect concept. Of het kan worden aangeboden als een 'goede zaak' door de term in een specifieke context voor een bepaald doel. (De geciteerde zin is te danken aan Alan Ross Anderson; zie Belnap 1993, 117.)

Een eenvoudige illustratie van uitleg wordt gegeven door de definitie van geordend paar in verzamelingenleer. Hier wordt het paar (langle x, y \ rangle) gedefinieerd als de set ({ {x }, {x, y } }). Beschouwd als een verklaring, is deze definitie niet bedoeld om alle aspecten van het antecedente gebruik van 'geordend paar' in de wiskunde (en in het gewone leven) vast te leggen; in plaats daarvan probeert het de essentiële toepassingen vast te leggen. Het essentiële feit over ons gebruik van 'besteld paar' is dat het wordt bepaald door het principe dat paren identiek zijn als hun respectievelijke componenten identiek zijn:

(langle x, y \ rangle = \ langle u, v \ rangle \ text {iff} x = u \ amp y = v.)

En er kan worden geverifieerd dat de bovenstaande definitie aan het principe voldoet. De definitie heeft enkele gevolgen die niet stroken met het gewone begrip. De definitie houdt bijvoorbeeld in dat een object (x) lid is van een lid van het paar (langle x, y \ rangle), en deze implicatie maakt geen deel uit van het gewone begrip. Maar de discrepantie is geen bezwaar tegen de uitleg. Wat belangrijk is voor uitleg is niet de voorafgaande betekenis maar de functie. Zolang de laatste behouden is, kan de eerste losgelaten worden. Het is dit kenmerk van uitleg dat WVO Quine (1960, §53) ertoe bracht zijn deugden te verheerlijken en de definitie van "geordend paar" als een filosofisch paradigma te handhaven.

Het waarheidsfunctionele voorwaardelijke geeft nog een illustratie van de uitleg. Deze voorwaardelijke verschilt op enkele essentiële punten van de gewone voorwaardelijke. Niettemin kan de waarheidsfunctionele voorwaardelijke voor bepaalde doeleinden in bepaalde contexten worden voorgesteld als een uitleg van de gewone voorwaardelijke. Of het voorstel toereikend is, hangt in belangrijke mate af van de doeleinden en contexten in kwestie. Dat de twee voorwaarden verschillen in belangrijke, zelfs essentiële, aspecten, betekent niet automatisch dat het voorstel wordt gediskwalificeerd.

1.6 Ostensive definities

Ostensieve definities zijn doorgaans afhankelijk van context en ervaring. Stel dat de gesprekscontext één hond opvallend maakt tussen verschillende die zichtbaar zijn. Vervolgens kan men de naam 'Freddie' introduceren door de bepaling 'laat Freddie deze hond zijn'. Stel voor een ander voorbeeld dat u naar een tak van een struik kijkt en u de naam 'Charlie' zo introduceert en dus zegt: 'laat Charlie het insect op die tak zijn.' Deze definitie kan een referent op 'Charlie' vastzetten, zelfs als er veel insecten op de tak zitten. Als je visuele ervaring je slechts één van deze insecten voorstelt (bijvoorbeeld omdat de andere te klein zijn om zichtbaar te zijn), dan is dat insect de aanduiding van je gebruik van de beschrijving 'het insect op die tak'. We kunnen ervaring beschouwen als het onderwerp presenteren aan een beperkt deel van de wereld. Dit gedeelte kan dienen als een evaluatiepunt voor de uitdrukkingen in een ostensieve definitie.^[2] Bijgevolg kan de definitie met behulp van ervaring een referent vastleggen op de gedefinieerde term wanneer het zonder deze steun niet zou lukken. In het huidige voorbeeld geeft de beschrijving 'het insect op die tak' niet aan wanneer het wordt beoordeeld op de wereld als geheel, maar het geeft aan wanneer het wordt beoordeeld op dat deel ervan dat wordt gepresenteerd in je visuele ervaring. Zie Gupta 2019 voor een overzicht van de bijdrage van ervaring aan de betekenis van een ogenschijnlijk gedefinieerde term.

Een ostensieve definitie kan een essentiële verrijking van een taal tot stand brengen. De ostensieve definitie van 'Charlie' verrijkt de taal met een naam van een bepaald insect, en het zou goed kunnen dat de taal vóór de verrijking niet over de middelen beschikte om dat specifieke insect aan te duiden. In tegenstelling tot andere bekende definities, kunnen ostensieve definities termen introduceren die ondeelbaar zijn. (Ostensieve definities kunnen dus niet voldoen aan het hieronder beschreven Eliminability-criterium; ze kunnen ook niet voldoen aan het Conservativiteitscriterium, dat hieronder ook wordt uitgelegd.)

Het vermogen van ostensieve definities om in wezen nieuwe vocabulaire te introduceren, heeft sommige denkers ertoe gebracht ze te beschouwen als de bron van alle primitieve concepten. Russell beweert dus in Human Knowledge dat

alle nominale definities moeten, als ze ver genoeg worden teruggeduwd, uiteindelijk leiden tot termen met alleen ostensieve definities, en in het geval van een empirische wetenschap moeten de empirische termen afhangen van termen waarvan de ostensieve definitie in waarneming wordt gegeven. (Blz.242)

In “Betekenis en Ostensieve Definitie” neemt CH Whiteley het als een premisse aan dat ostensieve definities “het middel zijn waardoor mannen de betekenis leren van de meeste, zo niet alle, elementaire uitdrukkingen in hun taal waarmee andere uitdrukkingen worden gedefinieerd. " (332) Er moet echter worden opgemerkt dat niets in de logica en semantiek van ostensieve definities een fundamentationalistisch beeld van concepten of van het leren van talen rechtvaardigt. Dergelijke fundamentalistische afbeeldingen werden door Ludwig Wittgenstein doorslaggevend bekritiseerd in zijn Philosophical Investigations. Wittgensteins positieve opvattingen over ostensieve definitie blijven echter ongrijpbaar; voor een interpretatie, zie Hacker 1975.

Ostensive-definities zijn belangrijk, maar ons begrip ervan blijft op een rudimentair niveau. Ze verdienen meer aandacht van logici en filosofen.

1.7 Een opmerking

De soorten waarin we definities hebben gesorteerd, sluiten elkaar niet uit en zijn niet uitputtend. Een stipulatieve definitie van een term kan namelijk in het verlengde liggen van het antecedente gebruik van de term. Een woordenboek kan ostensieve definities bieden van sommige woorden (bijv. Van kleurenwoorden). Een ostensieve definitie kan ook verklarend zijn. Men kan bijvoorbeeld een verbetering bieden van een reeds bestaand concept "één voet", dus: "laat één voet de huidige lengte van die staaf zijn." In zijn reeds bestaande gebruik kan het concept "één voet" nogal vaag zijn; de ostensief geïntroduceerde explicatie kan daarentegen relatief nauwkeurig zijn. Bovendien, zoals we hieronder zullen zien, zijn er andere soorten definities dan tot nu toe overwogen.

2. De logica van definities

Veel definities - stipulatief, beschrijvend en verklarend - kunnen worden geanalyseerd in drie elementen: de term die is gedefinieerd ((X)), een uitdrukking die de gedefinieerde term ((ldots X \ ldots)) bevat en een andere expressie ((- - - - - - -)) die door de definitie wordt gelijkgesteld met deze expressie. Dergelijke definities kunnen als volgt worden weergegeven:

(tag {2} X: \ ldots X \ ldots \ eqdf - - - - - - - -.)

(We zetten ostensieve definities opzij, die duidelijk een rijkere representatie vereisen.) Wanneer de gedefinieerde term duidelijk is uit de context, kan de representatie worden vereenvoudigd tot

(ldots X \ ldots \ eqdf - - - - - - -.)

De uitdrukking aan de linkerkant van '(eqdf)' (dwz (ldots X \ ldots)) is het definiendum van de definitie en de uitdrukking aan de rechterkant is de definitie ervan - Aangenomen wordt dat het definiendum en de definiens tot dezelfde logische categorie behoren. Let op het onderscheid tussen gedefinieerde term en definiendum: de gedefinieerde term in dit voorbeeld is (X); het definiendum is de niet-gespecificeerde uitdrukking aan de linkerkant van '(eqdf)', die al dan niet identiek is aan (X). (Sommige auteurs noemen de gedefinieerde term 'het definiendum' sommige anderen gebruiken de uitdrukking verwarrend, soms om naar de gedefinieerde term te verwijzen en soms naar het eigenlijke definiendum.) Niet alle definities in de logische en filosofische literatuur passen onder schema (2). Gedeeltelijke definities vallen bijvoorbeeld buiten de regeling;een ander voorbeeld wordt gegeven door definities van logische constanten in termen van introductie- en eliminatieregels die daarop van toepassing zijn. Desalniettemin zijn definities die voldoen aan (2) de belangrijkste en zij zullen onze voornaamste zorg zijn.

Laten we ons concentreren op stipulatieve definities en nadenken over hun logica. Enkele van de belangrijke lessen hier dragen, zoals we zullen zien, over op beschrijvende en verklarende definities. Laten we voor de eenvoud eens kijken naar het geval waarin een enkele definitie een term introduceert. (Meerdere definities brengen de complexiteit van de notatie met zich mee, maar brengen geen nieuwe conceptuele problemen met zich mee.) Stel dat een taal (L), de grondtaal, wordt uitgebreid door de toevoeging van een nieuwe term (X) aan een uitgebreide taal (L ^ {+}), waar (X) wordt bepaald door een definitie (mathcal {D}) van vorm (2). Welke logische regels zijn van toepassing op (mathcal {D})? Aan welke eisen moet de definitie voldoen?

Voordat we op deze vragen ingaan, moeten we eerst een onderscheid opmerken dat niet is gemarkeerd in logische boeken, maar dat nuttig is bij het nadenken over definities. In één soort definitie - noem het homogene definitie - behoren de gedefinieerde term en het definiendum tot dezelfde logische categorie. Een singuliere term wordt dus gedefinieerd via een singuliere term; een algemene term via een algemene term; een zin via een zin; enzovoort. Laten we zeggen dat een homogene definitie regelmatig is als het definiendum identiek is aan de gedefinieerde term. Hier zijn enkele voorbeelden van regelmatige homogene definities:

(tag {3} begin {align *} 1: 1 & \ eqdf \ text {de opvolger van} 0, \\ \ text {man}: \ text {man} & \ eqdf \ text {rationeel dier}, \\ \ text {The True}: \ text {The True} & \ eqdf \ text {alles is identiek aan zichzelf}. \ end {align *})

Merk op dat 'The True', zoals hierboven gedefinieerd, tot de categorie van de zin behoort, en niet tot de enkelvoudige term.

Er wordt wel eens gezegd dat definities slechts recepten zijn voor afkortingen. Zo zeggen Alfred North Whitehead en Bertrand Russell over definities - in het bijzonder die gebruikt in Principia Mathematica - dat het 'strikt genomen typografische gerieflijkheden zijn (1925, 11)'. Dit standpunt is alleen aannemelijk voor regelmatige homogene definities, hoewel het zelfs hier niet echt houdbaar is. (Whitehead en Russell's eigen observaties maken duidelijk dat hun definities meer zijn dan alleen "typografische gerieflijkheden". ^[3]) Het idee dat definities slechts afkortingen zijn, is helemaal niet plausibel voor het tweede soort definitie, waar we nu naar toe gaan.

In het tweede soort definitie - noem het een heterogene definitie - behoren de gedefinieerde term en het definiendum tot verschillende logische categorieën. Zo kan bijvoorbeeld een algemene term (bijvoorbeeld 'man') worden gedefinieerd met behulp van een sentimenteel definiendum (bijvoorbeeld '(x) is een man'). Voor een ander voorbeeld kan een enkelvoudige term (bijvoorbeeld '1') worden gedefinieerd met een predikaat (bijvoorbeeld 'is identiek aan 1'). Heterogene definities komen veel vaker voor dan homogene. In bekende eerste-orde talen heeft het bijvoorbeeld geen zin om een predikaat van één plaats (G) te definiëren door een homogene definitie. Deze talen hebben geen middelen om samengestelde predikaten te vormen; vandaar dat de definities van een homogene definitie van (G) atoom moeten zijn. In een heterogene definitie kunnen de definiens echter gemakkelijk complex zijn; bijvoorbeeld, (tag {4} Gx \ eqdf x \ gt 3 \ amp x \ lt 10.)

Als de taal een apparaat voor abstractie heeft, bijvoorbeeld voor het vormen van sets, kunnen we een ander soort heterogene definitie van (G) geven:

(tag {5} text {de reeks} G \ text {s} eqdf \ text {de reeks cijfers tussen 3 en 10.})

Merk op dat een heterogene definitie zoals (4) niet zomaar een afkorting is. Als dat wel zo was, zou de uitdrukking (x) erin geen echte variabele zijn, en de definitie zou geen leidraad bieden voor de rol van (G) in andere contexten dan (Gx). Als dergelijke definities afkortingen zouden zijn, zouden ze bovendien onderworpen zijn aan de eis dat het definiendum korter moet zijn dan de definities, maar een dergelijke vereiste bestaat niet. Aan de andere kant zouden echte eisen aan definities weinig zin hebben. De volgende bepaling is geen legitieme definitie:

(tag {6} Gx \ eqdf x \ gt y \ amp x \ lt 10.)

Maar als het wordt gezien als een loutere afkorting, is er niets onwettigs aan.

Sommige stipulatieve definities zijn niets anders dan louter afkortingen (bv. De definities die het weglaten van haakjes in formules regelen; zie Church 1956, §11). Veel van deze definities zijn echter niet van deze aard; ze introduceren betekenisvolle items in ons betoog. Dus definitie (4) geeft (G) een zinvol unair predikaat: (G) drukt, op grond van (4), een bepaald concept uit. Daarentegen is onder bepaling (6) (G) geen betekenisvol predikaat en drukt het geen enkel concept uit. Maar wat is de oorzaak van het verschil? Waarom is (4) legitiem, maar niet (6)? Meer in het algemeen, wanneer is een definitie legitiem? Aan welke eisen moeten de definiens voldoen? En trouwens, het definiendum? Moet het definiendum bijvoorbeeld atomair zijn, zoals in (3) en (4)? Zo niet, welke beperkingen (indien van toepassing) zijn er op het definiendum?

2.1 Twee criteria

Het is aannemelijk dat bij elk antwoord op deze vragen aan twee criteria wordt voldaan. ^[4] Ten eerste mag een stipulatieve definitie ons niet in staat stellen om in wezen nieuwe claims vast te stellen - noem dit het criterium van conservativiteit. We zouden niet in staat moeten zijn om met een simpele bepaling nieuwe dingen vast te stellen over bijvoorbeeld de maan. Het is waar dat, tenzij dit criterium nauwkeurig wordt gemaakt, het onderhevig is aan triviale tegenvoorbeelden, want de introductie van een definitie heeft materiële gevolgen voor sommige feiten. Desalniettemin kan het criterium nauwkeurig en verdedigbaar worden gemaakt, en we zullen spoedig enkele manieren zien om dit te doen.

Ten tweede moet de definitie het gebruik van de gedefinieerde uitdrukking (X) fixeren - noem dit het gebruikscriterium. Dit criterium is aannemelijk, omdat alleen de definitie - en niets anders - beschikbaar is om ons te begeleiden bij het gebruik van (X). Er zijn hier echter complicaties. Wat geldt als gebruik van (X)? Zijn voorvallen binnen het bereik van 'zeggen' en 'weten' inbegrepen? Hoe zit het met het voorkomen van (X) binnen citaatcontexten en die binnen woorden, bijvoorbeeld 'Xenophanes'? De laatste vraag zou, zoals duidelijk is, het antwoord moeten krijgen: "Nee." Maar de antwoorden op de vorige vragen zijn niet zo duidelijk. Er is nog een complicatie: zelfs als we op de een of andere manier echte voorvallen van (X) kunnen onderscheiden, kan het zijn dat sommige van deze voorvallen door de definitie met recht worden genegeerd. Bijvoorbeeld,een definitie van quotiënt kan sommige gevallen van de term ongedefinieerd laten (bijvoorbeeld wanneer er een deling door 0 is). De orthodoxe opvatting is om definities als onwettig te regeren, maar de orthodoxie verdient het om hier te worden aangevochten. Laten we de uitdaging echter aan een andere gelegenheid overlaten en de complicaties door idealisatie omzeilen. Laten we ons beperken tot grondtalen die een duidelijk bepaalde logische structuur hebben (bijv. Een eerste-orde taal) en die geen voorkomen van de gedefinieerde term (X) bevatten. En laten we ons beperken tot definities die geen beperkingen opleggen aan legitieme gevallen van (X). Het gebruikscriterium schrijft nu voor dat de definitie het gebruik van alle uitdrukkingen moet fixeren in de uitgebreide taal waarin (X) voorkomt. De orthodoxe opvatting is om definities als onwettig te regeren, maar de orthodoxie verdient het om hier te worden aangevochten. Laten we de uitdaging echter aan een andere gelegenheid overlaten en de complicaties door idealisatie omzeilen. Laten we ons beperken tot grondtalen die een duidelijk bepaalde logische structuur hebben (bijv. Een eerste-orde taal) en die geen voorkomen van de gedefinieerde term (X) bevatten. En laten we ons beperken tot definities die geen beperkingen opleggen aan legitieme gevallen van (X). Het gebruikscriterium schrijft nu voor dat de definitie het gebruik van alle uitdrukkingen moet fixeren in de uitgebreide taal waarin (X) voorkomt. De orthodoxe opvatting is om definities als onwettig te regeren, maar de orthodoxie verdient het om hier te worden aangevochten. Laten we de uitdaging echter aan een andere gelegenheid overlaten en de complicaties door idealisatie omzeilen. Laten we ons beperken tot grondtalen die een duidelijk bepaalde logische structuur hebben (bijv. Een eerste-orde taal) en die geen voorkomen van de gedefinieerde term (X) bevatten. En laten we ons beperken tot definities die geen beperkingen opleggen aan legitieme gevallen van (X). Het gebruikscriterium schrijft nu voor dat de definitie het gebruik van alle uitdrukkingen moet fixeren in de uitgebreide taal waarin (X) voorkomt. Laten we ons beperken tot grondtalen die een duidelijk bepaalde logische structuur hebben (bijv. Een eerste-orde taal) en die geen voorkomen van de gedefinieerde term (X) bevatten. En laten we ons beperken tot definities die geen beperkingen opleggen aan legitieme gevallen van (X). Het gebruikscriterium schrijft nu voor dat de definitie het gebruik van alle uitdrukkingen moet fixeren in de uitgebreide taal waarin (X) voorkomt. Laten we ons beperken tot grondtalen die een duidelijk bepaalde logische structuur hebben (bijv. Een eerste-orde taal) en die geen voorkomen van de gedefinieerde term (X) bevatten. En laten we ons beperken tot definities die geen beperkingen opleggen aan legitieme gevallen van (X). Het gebruikscriterium schrijft nu voor dat de definitie het gebruik van alle uitdrukkingen moet fixeren in de uitgebreide taal waarin (X) voorkomt. Het gebruikscriterium schrijft nu voor dat de definitie het gebruik van alle uitdrukkingen moet fixeren in de uitgebreide taal waarin (X) voorkomt. Het gebruikscriterium schrijft nu voor dat de definitie het gebruik van alle uitdrukkingen moet fixeren in de uitgebreide taal waarin (X) voorkomt.

Een variantformulering van het gebruikscriterium is deze: de definitie moet de betekenis van het definiendum bepalen. De nieuwe formulering is minder vastberaden en meer omstreden, omdat ze berust op 'betekenis', een dubbelzinnig en theoretisch omstreden begrip.

Merk op dat de twee criteria alle bepalende definities beheersen, ongeacht of ze enkelvoudig of meervoudig zijn, of ze wel of niet van vorm zijn (2).

2.2 Grondslagen van het traditionele account

Het traditionele definitieverslag is gebaseerd op drie ideeën. Het eerste idee is dat definities gegeneraliseerde identiteiten zijn; de tweede, dat de sentential primair is; en de derde, die van reductie. Het eerste idee - dat definities gegeneraliseerde identiteiten zijn - motiveert de inferentiële regels van de traditionele rekening voor definities. Deze zijn, grof gezegd, dat (i) elk optreden van het definiendum kan worden vervangen door een optreden van de definiens (Generalized Definiendum Elimination); en, omgekeerd, (ii) kan elk voorkomen van de definiens worden vervangen door een optreden van het definiendum (Generalized Definiendum Introduction).

Het tweede idee - het primaat van het sentimentele - heeft zijn wortels in de gedachte dat de fundamentele toepassingen van een term in bewering en argument liggen: als we het gebruik van een gedefinieerde term in bewering en argument begrijpen, dan begrijpen we de term volledig. Het sentiment is echter primair in argumentatie en bewering. Daarom, om het gebruik van een gedefinieerde term (X) uit te leggen, stelt het tweede idee, is het noodzakelijk en voldoende om het gebruik van sententiële items die (X) bevatten uit te leggen. (Sententiële items worden hier opgevat als zinnen en zinachtige dingen met vrije variabelen, bijv. De definities van (4); voortaan worden deze items formules genoemd.) De problemen die het tweede idee opwerpt, zijn natuurlijk groot en belangrijk, maar ze kunnen niet worden behandeld in een korte enquête. Laten we het idee gewoon als een gegeven accepteren.

De derde idee-reductie-is dat het gebruik van een formule (Z) die de gedefinieerde term bevat, wordt uitgelegd door (Z) te reduceren tot een formule in de grondtaal. Wanneer dit idee samengaat met het primaat van het sentimentele, leidt het tot een sterke versie van het gebruikscriterium, het eliminatiecriterium genoemd: de definitie moet elke formule die de gedefinieerde term bevat, terugbrengen tot een formule in de grondtaal, dwz een die vrij is van de gedefinieerde term. Uitschakelbaarheid is de onderscheidende stelling van het traditionele verslag en, zoals we hieronder zullen zien, kan het worden aangevochten.

Merk op dat het traditionele account niet de reductie van alle uitdrukkingen van de uitgebreide taal vereist; het vereist alleen de reductie van formules. De definitie van een predikaat (G) hoeft bijvoorbeeld geen manier te bieden om (G), afzonderlijk genomen, terug te brengen tot een predikaat van de grondtaal. Het traditionele verslag komt dus overeen met de gedachte dat een stipulatieve definitie een nieuwe conceptuele bron aan de taal kan toevoegen, want niets in de grondtaal drukt het predicatieve concept uit dat (G) uitdrukt in de uitgebreide taal. Dit wil niet ontkennen dat er in de uitgebreide taal geen nieuwe propositie - althans in de zin van waarheidstoestand - wordt uitgedrukt.

2.3 Conservativiteit en eliminatie

Laten we nu eens kijken hoe conservativiteit en elimineerbaarheid nauwkeurig kunnen worden gemaakt. Overweeg eerst talen met een nauwkeurig bewijssysteem van het bekende soort. Laat de grondtaal (L) zo zijn. Het bewijssysteem van (L) kan klassiek zijn, of drievoudig, of modaal, of relevant, of een ander; en het kan al dan niet enkele niet-logische axioma's bevatten. Alles wat we aannemen is dat we de begrippen "stelling van (L)" en "aantoonbaar equivalent in (L)" beschikbaar hebben, en ook de begrippen "stelling van (L ^ {+})" en " aantoonbaar equivalent in (L ^ {+})”dat het resultaat is wanneer het bewijssysteem van (L) wordt aangevuld met een definitie (mathcal {D}) en de logische regels voor definities. Nu kan het criterium Conservativiteit als volgt nauwkeurig worden gemaakt.

Conservativiteitscriterium (syntactische formulering): Elke formule van (L) die aantoonbaar is in (L ^ {+}) is aantoonbaar in (L).

Dat wil zeggen dat elke formule van (L) die kan worden bewezen met behulp van definitie (mathcal {D}), ook kan worden bewezen zonder gebruik te maken van (mathcal {D}): de definitie stelt ons niet in staat om iets nieuws te bewijzen in (L). Het eliminatiecriterium kan als volgt nauwkeurig worden gemaakt:

Eliminabiliteitscriterium (syntactische formulering): voor elke formule (A) van (L ^ {+}) is er een formule van (L) die aantoonbaar equivalent is in (L ^ {+}) naar een).

(Folklore dankt de Poolse logicus S. Leśniewski voor het formuleren van de criteria van conservativiteit en eliminatie, maar dit is een vergissing; zie Dudman 1973, Hodges 2008, Urbaniak en Hämäri 2012 voor discussie en verdere referenties.) ^[5]

Laten we nu (L) uitrusten met een model-theoretische semantiek. Dat wil zeggen, we associëren met (L) een klasse van interpretaties en we stellen de begrippen "geldig in (L) in de interpretatie (M)" (ook bekend als: "true in (L)" ter beschikking. in (M) ") en" semantisch equivalent in (L) ten opzichte van (M). " Laat de begrippen "geldig in (L ^ {+}) in (M)" en "semantisch equivalent in (L ^ {+}) ten opzichte van (M)" resulteren wanneer de semantiek van (L) wordt aangevuld met die van definitie (mathcal {D}). De criteria van conservativiteit en eliminatie kunnen nu nauwkeurig worden gemaakt, dus:

Conservativiteitscriterium (semantische formulering): Voor alle formules (A) van (L) en alle interpretaties (M), als (A) geldig is in (L ^ {+}) in (M) dan is (A) ook geldig in (L) in (M).

Eliminabiliteitscriterium (semantische formulering): Voor elke formule (A) van (L ^ {+}) is er een formule (B) van (L) zodat, relatief aan alle interpretaties (M, B) is semantisch equivalent in (L ^ {+}) tot (A).

De syntactische en semantische formuleringen van de twee criteria lopen duidelijk parallel. Maar zelfs als we aannemen dat sterke volledigheidsstellingen gelden voor (L) en (L ^ {+}), zijn de twee formuleringen niet equivalent. Er zijn inderdaad verschillende, niet-equivalente formuleringen van de twee criteria mogelijk binnen elk raamwerk, de syntactische en de semantische.

Merk op dat de voldoening aan de conservativiteits- en eliminatiecriteria, of het nu in semantische of syntactische formulering is, geen absolute eigenschap van een definitie is; de tevredenheid is relatief ten opzichte van de grondtaal. Verschillende grondtalen kunnen verschillende bewijssystemen en verschillende interpretatieklassen hebben geassocieerd. Daarom kan een definitie aan de twee criteria voldoen wanneer ze aan één taal worden toegevoegd, maar kan ze dat niet doen wanneer ze aan een andere taal worden toegevoegd. Zie Suppes 1957 en Belnap 1993 voor een verdere bespreking van de criteria.

2.4 Definities in normale vorm

Laten we voor de concreetheid de grondtaal (L) fixeren om een klassieke eerste-orde taal met identiteit te zijn. Het bewijssysteem van (L) kan enkele niet-logische axioma's (T) bevatten; de interpretaties van (L) zijn dan de klassieke modellen van (T). Zoals eerder is (L ^ {+}) de uitgebreide taal die ontstaat wanneer een definitie (mathcal {D}) van een niet-logische constante (X) wordt toegevoegd aan (L); daarom kan (X) een naam, een predikaat of een functiesymbool zijn. Noem twee definities equivalent als ze dezelfde stellingen opleveren in de uitgebreide taal. Vervolgens kan worden aangetoond dat als (mathcal {D}) voldoet aan de criteria van conservativiteit en eliminatie, (mathcal {D}) equivalent is aan een definitie in normale vorm zoals hieronder gespecificeerd. ^[6] Aangezien definities in normale vorm voldoen aan de eisen van conservativiteit en eliminatie, impliceert het traditionele verslag dat we niets wezenlijks verliezen als we eisen dat definities in normale vorm zijn.

De normale vorm van definities kan als volgt worden gespecificeerd. De definities van namen (a, n) - ary-predikaten (H) en (n) - ary-functiesymbolen (f) moeten respectievelijk de volgende vormen hebben:

(begin {align} tag {7} a = x & \ eqdf \ psi (x), \\ \ tag {8} H (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & \ eqdf \ phi \, (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \\ \ tag {9} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = y & \ eqdf \ chi (x_ { 1}, \ ldots, x_ {n}, y), \ end {align})

waarbij de variabelen (x_ {1}),…, (x_ {n}), (y) allemaal verschillend zijn, en de definiens in elk geval voldoen aan voorwaarden die kunnen worden gescheiden in een algemene en een specifieke een deel. ^[7] De algemene voorwaarde voor definiens is in elk geval hetzelfde: het mag niet de gedefinieerde term of andere vrije variabelen bevatten dan die in het definiendum. De algemene voorwaarden blijven hetzelfde wanneer het traditionele definitie-verslag wordt toegepast op niet-klassieke logica (bijvoorbeeld op veelwaardige en modale logica). De specifieke voorwaarden zijn variabeler. In de klassieke logica is de specifieke voorwaarde op de definiens (psi (x)) van (7) dat het voldoet aan een voorwaarde van bestaan en uniekheid: dat het aantoonbaar is dat iets voldoet aan (psi (x)) en dat hoogstens één ding voldoet aan (psi (x)). ^[8]Er zijn geen specifieke voorwaarden op (8), maar de voorwaarde op (9) loopt parallel met die op (7). Een bestaan en een unieke claim moet gelden: de universele sluiting van de formule

(bestaat y \, \ chi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, y) amp \ forall u \ forall v (chi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u) amp \ chi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, v) rightarrow u = v])

moet aantoonbaar zijn. ^[9]

In een logica die lege namen mogelijk maakt, zou de specifieke voorwaarde op de definities van (7) zwakker zijn: de bestaansvoorwaarde zou vervallen. Daarentegen zou, in een modale logica die vereist dat namen niet-leeg en star zijn, de specifieke voorwaarde worden versterkt: niet alleen moet het bestaan en het unieke karakter noodzakelijk blijken te zijn, het moet worden aangetoond dat de definiens wordt voldaan door een en de hetzelfde object in mogelijke werelden.

Definities die voldoen aan (7) - (9) zijn heterogeen; het definiendum is sentimenteel, maar de gedefinieerde term is dat niet. Een bron van de specifieke voorwaarden op (7) en (9) is hun heterogeniteit. De specifieke voorwaarden zijn nodig om ervoor te zorgen dat de definiens, hoewel niet van de logische categorie van de gedefinieerde term, het juiste logische gedrag eraan verlenen. De voorwaarden zorgen er dus voor dat de logica van de uitgebreide taal dezelfde is als die van de grondtaal. Dit is de reden waarom de specifieke voorwaarden op normale vormen kunnen variëren met de logica van de grondtaal. Merk op dat, ongeacht deze logica, er geen specifieke voorwaarden nodig zijn voor regelmatige homogene definities.

Het traditionele account maakt eenvoudige logische regels voor definities mogelijk en ook een eenvoudige semantiek voor de uitgebreide taal. Stel dat definitie (mathcal {D}) een sentimenteel definiendum heeft. (In de klassieke logica kunnen alle definities gemakkelijk worden getransformeerd om aan deze voorwaarde te voldoen.) Laat (mathcal {D}) zijn

(tag {10} phi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) eqdf \ psi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),)

waar (x_ {1}), …, (x_ {n}) alle variabelen vrij zijn in (phi) of (psi). En laat (phi (t_ {1}, \ ldots, t_ {n})) en (psi (t_ {1}, \ ldots, t_ {n})) resulteren door de gelijktijdige vervanging van termen (t_ {1}), …, (t_ {n}) voor (x_ {1}), …, (x_ {n}) in respectievelijk (phi (x_ { 1}, \ ldots, x_ {n})) en (psi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})); het zo nodig wijzigen van gebonden variabelen. Dan zijn de inferentieregels voor (mathcal {D}) gewoon deze:

(begin {align *} frac { phi (t_1, \ ldots, t_n)} { psi (t_1, \ ldots, t_n)}, \, & \ textbf {Definiendum Elimination} & \\ \ frac { psi (t_1, \ ldots, t_n)} { phi (t_1, \ ldots, t_n)}, \, & \ textbf {Definiendum Introduction} end {align *})

De semantiek voor de uitgebreide taal is ook eenvoudig. Stel dat (mathcal {D}) een definitie is van een naam (a) en stel dat deze in normale vorm equivalent is aan (7). Vervolgens wordt elke klassieke interpretatie (M) van (L) uitgebreid tot een unieke klassieke interpretatie (M ^ {+}) van de uitgebreide taal (L ^ {+}). De aanduiding van (a) in (M ^ {+}) is het unieke object dat voldoet aan (psi (x)) in (M); de voorwaarden op (psi (x)) zorgen ervoor dat zo'n object bestaat. De semantiek van gedefinieerde predikaten en functiesymbolen is vergelijkbaar. De logica en semantiek van definities in niet-klassieke logica krijgen, volgens het traditionele verhaal, een parallelle behandeling.

Merk op dat de inferentiële kracht van het toevoegen van definitie (10) aan de taal dezelfde is als die van het toevoegen als een axioma, de universele sluiting van

(tag {11} phi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) leftrightarrow \ psi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}).)

Deze gelijkenis in het logische gedrag van (10) en (11) mag de grote verschillen tussen de biconditionele ('(leftrightarrow)') en de definitieve gelijkwaardigheid ('(eqdf)') niet verhullen. De eerste is een sentimentele connectiviteit, maar de laatste is trans-categorisch: niet alleen formules, maar ook predikaten, namen en items van andere logische categorieën kunnen voorkomen aan de twee kanten van '(eqdf)'. Bovendien kan de biconditioneel worden herhaald - bijv. (((Phi \ leftrightarrow \ psi) leftrightarrow \ chi)) - maar niet de definitie-equivalent. Ten slotte kan een term worden geïntroduceerd door een stipulatieve definitie in een grondtaal waarvan de logische bronnen zich beperken tot bijvoorbeeld klassieke conjunctie en disjunctie. Dit is perfect mogelijk, ook al is de biconditioneel niet in de taal uit te drukken. In dergelijke gevallen,de inferentiële rol van de stipulatieve definitie wordt niet weerspiegeld door enige formule van de uitgebreide taal.

De traditionele beschrijving van definities mag niet worden opgevat als een eis dat definities in normale vorm zijn. De enige vereisten die het oplegt zijn (i) dat het definiendum de gedefinieerde term bevat; (ii) dat het definiendum en de definiens tot dezelfde logische categorie behoren; en (iii) de definitie voldoet aan conservativiteit en eliminatie. Zolang aan deze vereisten wordt voldaan, zijn er geen verdere beperkingen. Het definiendum kan, net als de definiens, complex zijn; en de definiens, zoals het definiendum, kunnen de gedefinieerde term bevatten. Er is dus bijvoorbeeld formeel niets mis als de definitie van de functionele uitdrukking 'het aantal' als definiendum de formule heeft 'het aantal (F) s is het aantal (G) s'. De rol van normale vormen is alleen om een gemakkelijke manier te bieden om ervoor te zorgen dat definities voldoen aan conservativiteit en eliminatie; ze bieden niet het enige legitieme formaat voor het verplicht introduceren van een term. Dus de reden waarom (4) wel, maar (6) niet is, is een legitieme definitie niet dat (4) in normale vorm is en (6) niet.

(begin {align *} tag {4} Gx & \ eqdf x \ gt 3 \ amp x \ lt 10. \\ \ tag {6} Gx & \ eqdf x \ gt y \ amp x \ lt 10. \ end {align *})

De reden is dat (4) de twee criteria respecteert, maar (6) niet. (De grondtaal wordt hier verondersteld gewone rekenkunde te bevatten; onder deze veronderstelling impliceert de tweede definitie een tegenstrijdigheid.) De volgende twee definities zijn ook niet in normale vorm:

(begin {align *} tag {12} Gx & \ eqdf (x \ gt 3 \ amp x \ lt 10) amp y = y. \\ \ tag {13} Gx & \ eqdf [x = 0 \ amp (G0 \ vee G1)] vee [x = 1 \ amp ({ sim} G0 \ amp { sim} G1)]. \ end {align *})

Maar beide moeten volgens het traditionele verslag als legitiem worden beschouwd, omdat ze voldoen aan de criteria voor conservativiteit en eliminatie. Hieruit volgt dat de twee definities in normale vorm kunnen worden gesteld. Definitie (12) is duidelijk gelijk aan (4) en definitie (13) is gelijk aan (14):

(tag {14} Gx \ eqdf x = 0.)

Merk op dat de definities van (13) niet logisch gelijk zijn aan een (G) - vrije formule. Desalniettemin heeft de definitie een normale vorm.

Evenzo is het traditionele account perfect compatibel met recursieve (ook bekend als: inductieve) definities zoals die in logica en wiskunde. In Peano-rekenkunde kan bijvoorbeeld machtsverheffen worden gedefinieerd door middel van de volgende vergelijkingen:

(tag {15} begin {align *} m ^ {0} & = 1, \\ m ^ {n + 1} & = m ^ {n} cdot m. \ end {align *})

Hier definieert de eerste vergelijking - de basisclausule genoemd - de waarde van de functie wanneer de exponent 0. En de tweede clausule, de recursieve clausule genaamd, gebruikt de waarde van de functie wanneer de exponent (n) is om de waarde wanneer de exponent (n + 1) is. Dit is volkomen legitiem, volgens het traditionele verslag, omdat een stelling van Peano Arithmetic aantoont dat de bovenstaande definitie equivalent is aan een definitie in normale vorm. ^[10] Recursieve definities zijn circulair in hun formaat, en het is juist deze circulariteit die ze opvallend maakt. Maar de circulariteit ligt volledig aan de oppervlakte, zoals het bestaan van normale vormen aantoont. Zie de bespreking van circulaire definities hieronder.

2.5 Impliciete definities

Bovenstaande zienswijze stelt het traditionele verslag in staat om ideeën binnen te brengen die op het eerste gezicht ermee in tegenspraak lijken. Soms wordt gesuggereerd dat een term (X) axiomatisch kan worden geïntroduceerd, dat wil zeggen door als axioma bepaalde zinnen van de uitgebreide taal (L ^ {+}) vast te leggen. De axioma's zouden dan impliciet (X) definiëren. Dit idee is gemakkelijk ondergebracht in het traditionele account. Laat een theorie een reeks zinnen zijn van de uitgebreide taal (L ^ {+}). Zeggen dat een theorie (T ^ *) een impliciete (stipulatieve) definitie van X is, betekent dat (X) wordt beheerst door de definitie

(phi \ eqdf \ text {The True},)

waar (phi) de samenstand is van de leden van (T ^ *). (Als (T ^ *) oneindig is, dan is een bepaling van het bovenstaande formulier nodig voor elke zin (psi) in (T ^ *).) ^[11] De definitie is legitiem, volgens het traditionele verslag, zolang het voldoet aan de criteria voor conservativiteit en eliminatie. Als het aan deze criteria voldoet, noemen we (T ^ *) toelaatbaar (voor een definitie van X). Het traditionele verhaal past dus in het idee dat theorieën nieuwe termen kunnen introduceren, maar het stelt een sterke eis: de theorieën moeten toelaatbaar zijn. ^[12]

Overweeg voor de concreetheid het speciale geval van klassieke eerste-orde talen. Laat de grondtaal (L) er een zijn, en laat de interpretaties ervan modellen zijn van enkele zinnen (T). Stel dat een interpretatie (M ^ {+}) van (L ^ {+}) een uitbreiding is van een interpretatie (M) van (L) iff (M) en (M ^ {+}) hebben hetzelfde domein en ze wijzen dezelfde semantische waarden toe aan de niet-logische constanten in (L). Laten we dat bovendien zeggen

(T ^ *) is een impliciete semantische definitie van X iff, voor elke interpretatie (M) van (L) is er een uniek model (M ^ {+}) van (T ^ *) zodat (M ^ {+}) een uitbreiding is van (M).

Dan is de volgende claim onmiddellijk:

Als (T ^ *) toelaatbaar is, dan is (T ^ *) een impliciete semantische definitie van (X).

Dat wil zeggen, een toelaatbare theorie legt de semantische waarde van de gedefinieerde term vast in elke interpretatie van de grondtaal. Deze waarneming biedt een natuurlijke methode om aan te tonen dat een theorie niet toelaatbaar is:

Padoa's methode. Om te laten zien dat (T ^ *) niet toelaatbaar is, volstaat het om twee modellen van (T ^ *) te construeren die uitbreidingen zijn van een en dezelfde interpretatie van de grondtaal (L). (Padoa 1900)

Hier is een eenvoudige en filosofisch nuttige toepassing van de methode van Padoa. Stel dat het bewijssysteem van (L) Peano Arithmetic is en dat (L) wordt uitgebreid met de toevoeging van een unair predikaat (Tr) (voor "Gödel nummer van een echte zin van (L)"). Laat (mathbf {H}) de theorie zijn die bestaat uit alle zinnen (de "Tarski-biconditionals") met de volgende vorm:

[Tr (s) leftrightarrow \ psi,)

waarbij (psi) een zin is van (L) en (s) de canonieke naam is voor het Gödel-nummer (psi). De methode van Padoa houdt in dat (mathbf {H}) niet toelaatbaar is voor het definiëren van (Tr). For (mathbf {H}) lost de interpretatie van (Tr) niet op in alle interpretaties van (L). In het bijzonder doet het dit niet in het standaardmodel, want (mathbf {H}) legt geen beperkingen op aan het gedrag van (Tr) op die getallen die geen Gödel-getallen zijn. (Als de codering elk natuurlijk getal een Gödel-nummer van een zin geeft, dan biedt een niet-standaardmodel van Peano-rekenkunde het vereiste tegenvoorbeeld: het heeft oneindig veel uitbreidingen die modellen zijn van (mathbf {H}).) A variant van dit argument laat zien dat Tarski's waarheidstheorie, zoals geformuleerd in (L ^ {+}), niet toelaatbaar is voor het definiëren van (Tr).

Hoe zit het met het omgekeerde van Padoa's methode? Stel dat we kunnen aantonen dat in elke interpretatie van de grondtaal een theorie (T ^ *) een unieke semantische waarde voor de gedefinieerde term fixeert. Kunnen we concluderen dat (T ^ *) toelaatbaar is? Deze vraag krijgt een negatief antwoord voor sommige semantische systemen en een positief antwoord voor andere. (Daarentegen werkt de methode van Padoa zolang het semantische systeem niet erg gekunsteld is.) Het omgekeerde faalt voor bijvoorbeeld klassieke tweede-orde talen, maar het geldt voor eerste-orde talen:

Beth's definieerbaarheidsstelling. Als (T ^ *) een impliciete semantische definitie is van (X) in een klassieke eerste-orde taal, dan is (T ^ *) toelaatbaar.

Merk op dat de stelling ook geldt als (T ^ *) een oneindige verzameling is. Voor een bewijs van de stelling, zie Boolos, Burgess en Jeffrey 2002; zie ook Beth 1953.

Het idee van impliciete definitie is dus niet in strijd met het traditionele verhaal. Waar conflict ontstaat, is in de filosofische toepassingen van het idee. Het falen van strikte reductionistische programma's van de late negentiende en vroege twintigste eeuw zette filosofen ertoe aan om lossere vormen van reductionisme te onderzoeken. Zo bleek Frege's definitie van nummer inconsistent en dus niet in staat om de logische stelling te handhaven dat de principes van rekenen analytisch zijn. Het blijkt echter dat de rekenkundige principes kunnen worden afgeleid zonder Frege's definitie. Het enige dat nodig is, is daar een gevolg van, namelijk het principe van Hume:

Hume's principe. Het aantal (F) s = het aantal (G) s als er een één-op-één-overeenkomst is tussen de (F) s en (G) s.

Als we het principe van Hume toevoegen aan logica van de tweede orde, dan kunnen we (tweede orde) Peano-rekenkunde analytisch afleiden. (De essentie van het argument is al gevonden in Frege 1884.) Het is een centrale stelling van het neo-fregeanisme dat Hume's Principle een impliciete definitie is van de functionele uitdrukking 'het aantal' (zie Hale en Wright 2001). Als deze stelling verdedigd kan worden, dan kan de logica over rekenkunde worden gehandhaafd terwijl Frege's expliciete (en inconsistente) definitie wordt genegeerd. De neo-Fregeïsche stelling is echter in strijd met de traditionele beschrijving van definities, want het principe van Hume schendt zowel conservativiteit als eliminatie. Het principe laat toe om voor willekeurige (n) te bewijzen dat er tenminste (n) objecten zijn.(Een verwante toepassing heeft tot doel de analyticiteit van een geometrie te ondersteunen door het idee dat de axioma's van geometrie impliciete definities zijn van geometrische concepten zoals "punt" en "lijn". Ook hier is er een conflict met het traditionele verslag, voor conservativiteit en eliminatie worden geschonden.)

Een ander voorbeeld: het reductionistische programma voor theoretische concepten (bijv. Die van de natuurkunde) was gericht op het oplossen van epistemologische problemen die deze concepten opleveren. Het programma had tot doel de theoretische zinnen te reduceren tot (klassen van) observationele zinnen. De verlagingen bleken echter moeilijk, zo niet onmogelijk, vol te houden. Zo ontstond de suggestie dat misschien de niet-observationele component van een theorie, zonder enige claim op reductie, kan worden beschouwd als een impliciete definitie van theoretische termen. De precieze karakterisering van de niet-observationele component kan variëren met het specifieke epistemologische probleem dat voorhanden is. Maar er zal ongetwijfeld een schending zijn van een of beide van de twee criteria, conservativiteit en eliminatie. ^[13]

Een laatste voorbeeld: We weten door een stelling van Tarski dat geen enkele theorie een toelaatbare definitie kan zijn van het waarheidspredikaat (Tr), voor de taal van Peano Arithmetic die hierboven is besproken. Desalniettemin kunnen we theorie (mathbf {H}) misschien nog steeds beschouwen als een impliciete definitie van (Tr). (Paul Horwich heeft een nauw verwant voorstel gedaan voor de gewone notie van waarheid.) Ook hier wordt druk uitgeoefend op de grenzen die door het traditionele verslag worden opgelegd. (mathbf {H}) voldoet aan het conservativiteitscriterium, maar niet dat van eliminatie.

Om de uitdaging van deze filosofische toepassingen voor het traditionele verslag te kunnen beoordelen, moeten we problemen oplossen die onder het huidige filosofische debat vallen. Enkele van de problemen zijn de volgende. (i) Het is duidelijk dat sommige schendingen van conservativiteit onwettig zijn: men kan het niet waar maken door een bepaling dat bijvoorbeeld Mercurius groter is dan Venus. Als een filosofische toepassing vereist dat sommige schendingen van conservativiteit legitiem zijn, hebben we een verklaring nodig van het onderscheid tussen de twee soorten gevallen: de legitieme schendingen van conservativiteit en de niet-legitieme. En we moeten begrijpen wat de ene legitiem maakt, maar de andere niet. (ii) Een vergelijkbaar probleem doet zich voor met betrekking tot eliminatie. Het lijkt erop dat geen enkele oude theorie een impliciete definitie kan zijn van een term (X).(De theorie kan alleen tautologieën bevatten.) Zo ja, dan hebben we opnieuw een afbakening van theorieën nodig die kunnen dienen om impliciet een term te definiëren van die welke dat niet kunnen. En we hebben een reden nodig voor het onderscheid. (iii) De filosofische toepassingen berusten cruciaal op het idee dat een impliciete definitie de betekenis van de gedefinieerde term fixeert. We hebben daarom een verslag nodig van wat deze betekenis is en hoe de impliciete definitie deze oplost. Onder het traditionele verslag kunnen formules die de gedefinieerde term bevatten, worden opgevat als het verkrijgen van hun betekenis uit de formules van de grondtaal. (Gezien het primaat van het sentimentele, fixeert dit de betekenis van de gedefinieerde term.) Maar deze beweging is niet beschikbaar onder een geliberaliseerde opvatting van impliciete definitie. Hoe dan,moeten we denken aan de betekenis van een formule onder het beoogde vertrek van het traditionele verslag? (iv) Zelfs als de voorgaande drie kwesties op bevredigende wijze worden aangepakt, blijft er een belangrijke zorg bestaan. Stel dat we toestaan dat een theorie (T) van de natuurkunde de theoretische termen ervan definitief kan definiëren, en dat ze de termen een bepaalde betekenis geeft. Het blijft de vraag of de betekende betekenissen identiek zijn aan (of vergelijkbaar genoeg zijn met) de betekenissen die de theoretische termen hebben in hun daadwerkelijke gebruik in de natuurkunde. Deze vraag moet positief worden beantwoord als impliciete definities hun filosofische functie dienen. Het doel van het aanroepen van impliciete definities is om rekenschap te geven van de rationaliteit, of de prioriteit, of de analyticiteit van onze gewone oordelen,niet van een aantal buitengewone oordelen die op de een of andere manier zijn toegewezen aan gewone tekens.

Voor verdere bespreking van deze kwesties, zie Horwich 1998, vooral hoofdstuk 6; Hale en Wright 2001, vooral hoofdstuk 5; en de daar aangehaalde werken.

2.6 Principe van vicieuze cirkels

Een andere afwijking van de traditionele theorie begint met het idee niet dat de theorie te streng is, maar dat ze te liberaal is, dat het definities toelaat die onwettig zijn. De traditionele theorie staat dus de volgende definities toe van respectievelijk "leugenaar" en de klasse van natuurlijke getallen (mathbf {N}):

• (16) (z) is een leugenaar (eqdf) alle beweringen van (z) zijn onjuist;
• (17) (z) behoort tot (mathbf {N}) (eqdf) (z) behoort tot elke inductieve klasse, waarbij een klasse inductief is wanneer deze 0 bevat en is gesloten onder de opvolger operatie.

Russell betoogde dat dergelijke definities een subtiel soort vicieuze cirkel inhouden. De definities van de eerste definitie beroept zich, meende Russell, op de totaliteit van alle stellingen, maar als de definitie legitiem zou zijn, zou ze resulteren in stellingen die alleen kunnen worden gedefinieerd door verwijzing naar deze totaliteit. Evenzo probeert de tweede definitie de klasse (mathbf {N}) te definiëren door te verwijzen naar alle klassen, waaronder de klasse (mathbf {N}) die wordt gedefinieerd. Russell hield vol dat dergelijke definities onwettig zijn. En hij legde de volgende vereiste, het 'vicieuze-cirkelprincipe', op aan definities en concepten. (Henri Poincaré had ook een soortgelijk idee voorgesteld.)

Principe van vicieuze cirkel. 'Wat een hele collectie betreft, mag niet tot de collectie behoren (Russell 1908, 63).'

Een andere formulering die Russell van het principe gaf, is deze:

Vicious-Circle Principle (variantformulering). 'Als een bepaalde collectie een totaal zou hebben, dan zouden leden alleen definieerbaar zijn in termen van dat totaal, dan heeft die collectie geen totaal (Russell, 1908, 63).'

In een bijgevoegde voetnoot legde Russell uit: "Als ik zeg dat een collectie geen totaal heeft, bedoel ik dat uitspraken over al haar leden onzin zijn."

De belangrijkste motivatie van Russell voor het vicieuze-cirkelprincipe waren de logische en semantische paradoxen. Begrippen als 'waarheid', 'propositie' en 'klasse' genereren, onder bepaalde ongunstige omstandigheden, paradoxale conclusies. Dus de bewering "Cheney is een leugenaar", waar "leugenaar" wordt opgevat als in (16), levert paradoxale conclusies op, als Cheney heeft beweerd dat hij een leugenaar is, en alle andere door hem beweerde stellingen zijn in feite onjuist. Russell nam het vicieuze-cirkelprincipe om te impliceren dat als "Cheney is een leugenaar" een stelling uitdrukt, deze niet binnen de reikwijdte van de kwantificator in de definities van (16) kan vallen. Meer in het algemeen was Russell van mening dat kwantificering over alle stellingen en over alle klassen in strijd is met het vicieuze-cirkelprincipe en dus onwettig is. Bovendienhij beweerde dat uitdrukkingen als 'waar' en 'onwaar' geen uniek concept uitdrukken - in de terminologie van Russell, een unieke 'propositionele functie' - maar uit een hiërarchie van propositionele functies van verschillende ordes. Dus de les die Russell uit de paradoxen trok, is dat het domein van het betekenisvolle beperkter is dan het normaal lijkt, dat het traditionele verslag van concepten en definities restrictiever moest worden gemaakt om de wil van (16) en (17).dat het traditionele verslag van concepten en definities restrictiever moest worden gemaakt om de wil van (16) en (17) uit te sluiten.dat het traditionele verslag van concepten en definities restrictiever moest worden gemaakt om de wil van (16) en (17) uit te sluiten.

In toepassing op gewone, informele definities biedt het vicieuze-cirkelprincipe, naar het moet worden gezegd, geen duidelijke methode om het betekenisvolle van het betekenisloze af te bakenen. Definitie (16) wordt verondersteld onwettig te zijn, omdat de kwantificator in zijn definitie over het geheel van alle proposities gaat. En ons wordt verteld dat dit verboden is omdat, indien het zou worden toegestaan, de totaliteit van de stellingen 'leden alleen zou kunnen definiëren in termen van het totaal'. Maar tenzij we meer weten over de aard van proposities en de beschikbare middelen om ze te definiëren, is het onmogelijk om te bepalen of (16) het Principe schendt. Het kan zijn dat een voorstel als "Cheney is een leugenaar" -of, om een minder controversieel voorbeeld te nemen,'Ofwel Cheney is een leugenaar of hij is het niet' - kan een definitie krijgen die niet in het geheel van alle stellingen aanspreekt. Als proposities bijvoorbeeld sets van mogelijke werelden zijn, dan lijkt zo'n definitie haalbaar.

Het vicieuze-cirkelprincipe dient echter als een effectieve motivatie voor een bepaald verslag van legitieme concepten en definities, namelijk die belichaamd in Russells Ramified Type Theory. Het idee hier is dat men begint met een aantal niet-problematische bronnen die geen kwantificering van proposities, concepten en dergelijke vereisen. Deze middelen stellen ons in staat om bijvoorbeeld verschillende unaire concepten te definiëren, die er zeker van zijn dat ze voldoen aan het vicieuze-cirkelprincipe. Kwantificering over deze concepten is dus ongetwijfeld legitiem en kan aan de taal worden toegevoegd. Hetzelfde geldt voor proposities en voor concepten die onder andere typen vallen: voor elk type kan een kwantor worden toegevoegd die zich uitstrekt over items (van dat type) die definieerbaar zijn met behulp van de initiële probleemloze bronnen. De nieuwe kwantificeringsbronnen maken het mogelijk om verdere items van elk type te definiëren; ook deze respecteren het Principe, en nogmaals, kwantificatoren die zich uitstrekken over de uitgebreide totaliteiten kunnen legitiem aan de taal worden toegevoegd. De nieuwe middelen maken de definitie van nog meer items mogelijk. En het proces herhaalt zich. Het resultaat is dat we een hiërarchie hebben van proposities en van concepten van verschillende ordes. Elk type in de typehiërarchie vertaalt zich in een veelvoud van orden. Deze vertakking zorgt ervoor dat definities die zijn geformuleerd in de resulterende taal, gebonden zijn aan het vicieuze-cirkelprincipe. Concepten en klassen die binnen de grenzen van dit schema kunnen worden gedefinieerd, worden predicatief genoemd (in één zin van dit woord); de anderen, bedrog.kwantificatoren die zich uitstrekken over de uitgebreide totaliteiten kunnen legitiem aan de taal worden toegevoegd. De nieuwe middelen maken de definitie van nog meer items mogelijk. En het proces herhaalt zich. Het resultaat is dat we een hiërarchie hebben van proposities en van concepten van verschillende ordes. Elk type in de typehiërarchie vertaalt zich in een veelvoud van orden. Deze vertakking zorgt ervoor dat definities die zijn geformuleerd in de resulterende taal, gebonden zijn aan het vicieuze-cirkelprincipe. Concepten en klassen die binnen de grenzen van dit schema kunnen worden gedefinieerd, worden predicatief genoemd (in één zin van dit woord); de anderen, bedrog.kwantificatoren die zich uitstrekken over de uitgebreide totaliteiten kunnen legitiem aan de taal worden toegevoegd. De nieuwe middelen maken de definitie van nog meer items mogelijk. En het proces herhaalt zich. Het resultaat is dat we een hiërarchie hebben van proposities en van concepten van verschillende ordes. Elk type in de typehiërarchie vertaalt zich in een veelvoud van orden. Deze vertakking zorgt ervoor dat definities die zijn geformuleerd in de resulterende taal, gebonden zijn aan het vicieuze-cirkelprincipe. Concepten en klassen die binnen de grenzen van dit schema kunnen worden gedefinieerd, worden predicatief genoemd (in één zin van dit woord); de anderen, bedrog. Het resultaat is dat we een hiërarchie hebben van proposities en van concepten van verschillende ordes. Elk type in de typehiërarchie vertaalt zich in een veelvoud van orden. Deze vertakking zorgt ervoor dat definities die zijn geformuleerd in de resulterende taal, gebonden zijn aan het vicieuze-cirkelprincipe. Concepten en klassen die binnen de grenzen van dit schema kunnen worden gedefinieerd, worden predicatief genoemd (in één zin van dit woord); de anderen, bedrog. Het resultaat is dat we een hiërarchie hebben van proposities en van concepten van verschillende ordes. Elk type in de typehiërarchie vertaalt zich in een veelvoud van orden. Deze vertakking zorgt ervoor dat definities die zijn geformuleerd in de resulterende taal, gebonden zijn aan het vicieuze-cirkelprincipe. Concepten en klassen die binnen de grenzen van dit schema kunnen worden gedefinieerd, worden predicatief genoemd (in één zin van dit woord); de anderen, bedrog.

Voor verdere bespreking van het vicieuze-cirkelprincipe, zie Russell 1908, Whitehead en Russell 1925, Gödel 1944 en Chihara 1973. Voor een formele presentatie van de Ramified Type Theory, zie Church 1976; voor een meer informele presentatie, zie Hazen 1983. Zie ook de inzendingen over typetheorie en Principia Mathematica, die verdere referenties bevatten.

2.7 Circulaire definities

De paradoxen kunnen ook worden gebruikt om een conclusie te motiveren die precies het tegenovergestelde is van die van Russell. Overweeg de volgende definitie van een predikaat met één plaats (G):

(tag {18} begin {align *} Gx \ eqdf x = \ text {Socrates} & \ vee (x = \ text {Plato} amp Gx) & \ vee (x = \ text {Aristoteles } amp { sim} Gx). \ end {align *})

Deze definitie is in wezen circulair; het is niet herleidbaar tot een in normale vorm. Toch biedt het intuïtief substantiële begeleiding bij het gebruik van (G). De definitie schrijft bijvoorbeeld voor dat Socrates onder (G) valt, en dat niets anders dan de drie genoemde oude filosofen dat doet. De definitie laat de status van slechts twee objecten onzeker, namelijk Plato en Aristoteles. Als we veronderstellen dat Plato onder (G) valt, geeft de definitie op dat Plato onder (G) valt (aangezien Plato aan de definiens voldoet), wat onze veronderstelling bevestigt. Hetzelfde gebeurt als we het tegenovergestelde veronderstellen, namelijk dat Plato niet onder (G) valt; opnieuw wordt onze veronderstelling bevestigd. Met Aristoteles brengt elke poging om te beslissen of hij onder (G) valt ons in een nog precairere situatie terecht:als we veronderstellen dat Aristoteles onder (G) valt, leiden we tot de conclusie dat hij niet onder (G) valt (aangezien hij niet voldoet aan de definiens); en, omgekeerd, als we veronderstellen dat hij niet onder (G) valt, worden we tot de conclusie gebracht dat hij dat wel doet. Maar zelfs bij Plato en Aristoteles is het gedrag van (G) niet onbekend: (G) gedraagt zich hier in de manier waarop het concept van waarheid zich gedraagt bij de waarheidsteller ("Wat ik nu zeg is waar") en de leugenaar ("Wat ik nu zeg is niet waar"). Meer in het algemeen is er een sterke parallel tussen het gedrag van het concept van waarheid en dat van concepten die worden gedefinieerd door circulaire definities. Beide zijn doorgaans goed gedefinieerd in een reeks gevallen en beide vertonen een verscheidenheid aan ongebruikelijk logisch gedrag in de andere gevallen. Inderdaad,alle verschillende soorten perplex logisch gedrag gevonden met het concept van waarheid worden ook gevonden in concepten gedefinieerd door circulaire definities. Dit sterke parallellisme suggereert dat aangezien waarheid duidelijk een legitiem concept is, dat ook concepten zijn die worden gedefinieerd door circulaire definities zoals (18). De paradoxen werpen volgens dit standpunt geen twijfel op over de legitimiteit van het begrip waarheid. Ze laten alleen zien dat de logica en semantiek van circulaire concepten anders is dan die van niet-circulaire. Dit standpunt is ontwikkeld in de revisietheorie van definities.twijfel niet aan de legitimiteit van het concept van waarheid. Ze laten alleen zien dat de logica en semantiek van circulaire concepten anders is dan die van niet-circulaire. Dit standpunt is ontwikkeld in de revisietheorie van definities.twijfel niet aan de legitimiteit van het concept van waarheid. Ze laten alleen zien dat de logica en semantiek van circulaire concepten anders is dan die van niet-circulaire. Dit standpunt is ontwikkeld in de revisietheorie van definities.

In deze theorie geeft een circulaire definitie aan de gedefinieerde term een hypothetische betekenis; de semantische waarde van de gedefinieerde term is een herzieningsregel, niet zoals bij niet-circulaire definities, een toepassingsregel. Overweeg (18) opnieuw. Zoals elke definitie, (18) fixeert de interpretatie van het definiendum (als) de interpretaties van de niet-logische constanten in de definiens worden gegeven. Het probleem met (18) is dat de gedefinieerde term (G) voorkomt in de definiens. Maar stel dat we willekeurig een interpretatie toewijzen aan (G) - laten we zeggen dat we het de set (U) laten zijn van alle objecten in het spraakuniversum (dwz we veronderstellen dat (U) de set is van objecten die voldoen aan (G)). Dan is het gemakkelijk te zien dat de definiens precies waar zijn voor Socrates en Plato. De definitie schrijft dus voor dat, volgens onze hypothese,de interpretatie van (G) moet de set ({ text {Socrates}, \ text {Plato} }) zijn. Een vergelijkbare berekening kan worden uitgevoerd voor elke hypothese over de interpretatie van (G). Als de hypothese bijvoorbeeld ({ text {Xenocrates} }) is, levert de definitie het resultaat ({ text {Socrates}, \ text {Aristoteles} }) op. Kortom, hoewel (18) niet scherp vaststelt welke objecten onder (G) vallen, levert het wel een regel of functie op die, wanneer deze een hypothetische interpretatie als input krijgt, een andere als output oplevert. Het fundamentele idee van de revisietheorie is om deze regel als een revisieregel te zien: de outputinterpretatie is beter dan de input (of het is minstens zo goed; deze kwalificatie wordt als gelezen beschouwd). De semantische waarde die de definitie aan de gedefinieerde term verleent, is geen uitbreiding - een afbakening van het discoursuniversum in objecten die onder de gedefinieerde term vallen en objecten die dat niet doen. De semantische waarde is een revisieregel.

De revisieregel verklaart het gedrag, zowel gewoon als buitengewoon, van een circulair concept. Laat (delta) de revisieregel zijn die wordt opgeleverd door een definitie, en laat (V) een willekeurige hypothetische interpretatie zijn van de gedefinieerde term. We kunnen proberen onze hypothese (V) te verbeteren door herhaalde toepassingen van de regel (delta). De resulterende reeks, [V, \ delta (V), \ delta (delta (V)), \ delta (delta (delta (V))), \ ldots,)

is een revisievolgorde voor (delta). Het geheel van revisiereeksen voor (delta), voor alle mogelijke initiële hypothesen, is het revisieproces dat wordt gegenereerd door (delta). De revisieregel voor (18) genereert bijvoorbeeld een revisieproces dat onder meer bestaat uit de volgende revisiereeksen:

[U, { text {Socrates}, \ text {Plato} }, { text {Socrates}, \ text {Plato}, \ text {Aristoteles} }, { text {Socrates}, \ text {Plato} }, \ ldots) ({ text {Xenocrates} }, { text {Socrates}, \ text {Aristoteles} }, { text {Socrates} }, { text {Socrates}, \ text {Aristoteles} }, \ ldots)

Observeer het gedrag van onze vier oude filosofen in dit proces. Na enkele beginfasen van herziening valt Socrates altijd in de herziene interpretaties en valt Xenocrates altijd buiten. (In dit specifieke voorbeeld wordt het gedrag van de twee vastgesteld na de beginfase; in andere gevallen kan het vele stadia van herziening duren voordat de status van een object vaststaat.) Het herzieningsproces levert een categorisch oordeel op over de twee filosofen: Socrates valt categorisch onder (G) en Xenocrates valt categorisch buiten (G). Objecten waarover het proces geen categorisch oordeel oplevert, zijn pathologisch (relatief aan de revisieregel, de definitie of het gedefinieerde concept). In ons voorbeeld zijn Plato en Aristoteles pathologisch ten opzichte van (18). De status van Aristoteles is in geen enkele revisievolgorde stabiel. Het is alsof het herzieningsproces geen besluit over hem kan nemen. Soms wordt Aristoteles bepaald als vallend onder (G), en dan keert het proces zichzelf om en verklaart dat hij niet onder (G) valt, en dan keert het proces zichzelf weer om. Wanneer een object zich in alle revisiereeksen op deze manier gedraagt, wordt het paradoxaal genoemd. Plato is ook pathologisch ten opzichte van (G), maar zijn gedrag in het revisieproces is anders. Plato krijgt in elke revisievolgorde een stabiele status, maar de status die hij krijgt, hangt af van de oorspronkelijke hypothese. Wanneer een object zich in alle revisiereeksen op deze manier gedraagt, wordt het paradoxaal genoemd. Plato is ook pathologisch ten opzichte van (G), maar zijn gedrag in het revisieproces is anders. Plato krijgt in elke revisievolgorde een stabiele status, maar de status die hij krijgt, hangt af van de oorspronkelijke hypothese. Wanneer een object zich in alle revisiereeksen op deze manier gedraagt, wordt het paradoxaal genoemd. Plato is ook pathologisch ten opzichte van (G), maar zijn gedrag in het revisieproces is anders. Plato krijgt in elke revisievolgorde een stabiele status, maar de status die hij krijgt, hangt af van de oorspronkelijke hypothese.

Revisieprocessen bieden een semantiek voor circulaire definities. ^[14] Ze kunnen worden gebruikt om semantische begrippen zoals "categorische waarheid" en logische begrippen zoals "geldigheid" te definiëren. De kenmerken van de logische begrippen die we verkrijgen, zijn cruciaal afhankelijk van één aspect van revisie: het aantal fasen voordat objecten tot rust komen in hun normale gedrag in het revisieproces. Een definitie zou eindig zijn als, grofweg, het herzieningsproces noodzakelijkerwijs slechts eindig veel van dergelijke fasen vereist. ^[15] Voor eindige definities is er een eenvoudige logische calculus, (mathbf {C} _ {0}), die deugdelijk en compleet is voor de revisie-semantiek. ^[16] Met niet-eindige definities strekt het herzieningsproces zich uit tot in het transfinite. ^[17]En deze definities kunnen de taal aanzienlijk expressief maken. (Wanneer ze aan de eerste-orde rekenkunde worden toegevoegd, maken deze definities alle (Pi ^ {1} _ {2}) sets van natuurlijke getallen definieerbaar.) Vanwege de expressieve kracht, de algemene notie van validiteit voor niet-eindige circulaire definities zijn niet axiomatiseerbaar (Kremer 1993). We kunnen hoogstens een degelijke logische calculus geven, maar geen volledige. De situatie is analoog aan die met logica van de tweede orde.

Laten we enkele algemene kenmerken van de herzieningstheorie van definities bekijken. (i) Volgens deze theorie blijven de logica en semantiek van niet-circulaire definities - dwz definities in normale vorm - hetzelfde als in het traditionele verslag. De introductie- en eliminatieregels zijn onbeperkt geldig en revisiefasen zijn overbodig. De afwijkingen van het traditionele account komen alleen voor bij circulaire definities. (ii) Volgens de theorie verstoren circulaire definities de logica van de grondtaal niet. Zinnen die gedefinieerde termen bevatten, zijn onderworpen aan dezelfde logische wetten als zinnen van de grondtaal. (iii) Conservativiteit geldt. Geen definitie, hoe vicieus de circulariteit erin ook is, iets nieuws in de grondtaal. Zelfs de volkomen paradoxale definitie

[Gx \ eqdf { sim} Gx)

respecteert de eis van conservativiteit. (iv) De eliminatie houdt niet stand. Zinnen van de uitgebreide taal zijn in het algemeen niet herleidbaar tot die van de grondtaal. Deze storing heeft twee oorzaken. Ten eerste stelt de revisietheorie het gebruik vast, in bewering en argumentatie, van zinnen van de uitgebreide taal, maar zonder de zinnen te beperken tot die van de grondtaal. De theorie voldoet dus aan het gebruikscriterium, maar niet aan het sterkere van eliminatie. Ten tweede kan een definitie in deze theorie een logische en expressieve kracht toevoegen aan een grondtaal. Het toevoegen van een circulaire definitie kan leiden tot de definieerbaarheid van nieuwe sets. Dit is een andere reden waarom de eliminatie mislukt.

Men kan tegenwerpen dat elk concept een uitbreiding moet hebben, dat er een definitieve totaliteit moet zijn van objecten die onder het concept vallen. Als dit juist is, dan is een predikaat alleen zinvol - het drukt een concept uit - alleen als het predikaat de wereld noodzakelijkerwijs scherp afbakent in die objecten waarop het van toepassing is en die waarop het niet van toepassing is. Daarom concludeert het bezwaar dat geen enkel predikaat met een in wezen circulaire definitie zinvol kan zijn. Het bezwaar is duidelijk niet doorslaggevend, want het berust op een premisse die veel gewone en schijnbaar betekenisvolle predikaten (bv. 'Kaal') uitsluit. Desalniettemin is het opmerkelijk omdat het illustreert hoe algemene kwesties over betekenis en concepten het debat betreden over de vereisten voor legitieme definities.

De belangrijkste motivatie voor de herzieningstheorie is beschrijvend. Er wordt beweerd dat de theorie ons helpt onze gewone begrippen zoals waarheid, noodzaak en rationele keuze beter te begrijpen. Zowel het gewone als het verwarrende gedrag van deze concepten, zo wordt betoogd, heeft zijn wortels in de circulariteit van de concepten. Als dit juist is, is er geen logische vereiste voor beschrijvende en expliciete definities dat ze niet-circulair zijn.

Voor meer gedetailleerde behandelingen van deze onderwerpen, zie Gupta 1988/89, Gupta en Belnap 1993 en Chapuis en Gupta 1999. Zie ook de vermelding over de revisie-theorie van de waarheid. Voor kritische discussies over de herzieningstheorie, zie de artikelen van Vann McGee en Donald A. Martin en het antwoord van Gupta in Villanueva 1997. Zie ook Shapiro 2006.

Bibliografie

• Belnap, N., 1993, 'On Rigorous Definitions', Philosophical Studies, 72: 115–146.
• Beth, EW, 1953, 'Over de methode van Padoa in de theorie van definities', Indagationes Mathematicae, 15: 330–339.
• Boolos, GS, Burgess, JP en Jeffrey, RC, 2002, Computability and Logic, vierde editie, Cambridge: Cambridge University Press.
• Carnap, R., 1956, Betekenis en noodzaak: A Study in Semantics and Modal Logic, vergrote editie, Chicago: University of Chicago Press.
• Chapuis, A., en Gupta, A. (red.), 1999, Circularity, Definition, and Truth, New Delhi: Indian Council of Philosophical Research.
• Charles, D. (red.), 2010, definitie in de Griekse filosofie, Oxford: Oxford University Press.
• Chihara, CS, 1973, Ontology and the Vicious-Circle Principle, Ithaca: Cornell University Press.
• Church, A., 1956, Inleiding tot de wiskundige logica, Princeton: Princeton University Press.
• –––, 1976, "Vergelijking van Russell's resolutie van de semantische antinomieën met die van Tarski", Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
• Demopoulos, W., 2003, "Over de rationele reconstructie van onze theoretische kennis", British Journal for the Philosophy of Science, 54: 371–403.
• Dudman, VH, 1973, "Frege on Definitions", Mind, 83: 609–610.
• Frege, G., 1879, Begriffschrift, in From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, onder redactie van J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), pp. 1–82.
• –––, 1884, The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Inquiry into the Concept of Number, tweede herziene editie (1980), Evanston: Northwestern University Press.
• –––, 1914, "Logic in Mathematics", in Gottlob Frege: Posthumous Writings, onder redactie van H. Hermes, F. Kambartel en F. Kaulbach, Chicago: University of Chicago Press (1979), pp. 203–250.
• Gödel, K., 1944, 'Russells Mathematical Logic', herdrukt in zijn Collected Works: Volume II: Publications 1938–1974, New York: Oxford University Press (1990), pp. 119–141
• Gupta, A., 1988/89, 'Opmerkingen over definities en het concept van waarheid', Proceedings of the Aristotelian Society, 89: 227–246.
• –––, 2006, "Finite Circular Definitions", in Self-Reference, onder redactie van T. Bolander, VF Hendricks en SA Andersen, Stanford: CSLI Publications, pp. 79–93.
• –––, 2019, Conscious Experience: A Logical Inquiry, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Gupta, A. en Belnap, N., 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge MA: MIT Press.
• Hacker, PMS, 1993, "Wittgenstein on Ostensive Definitions", Onderzoek, 18: 267–287.
• Hale B. en Wright C., 2001, The Reason's Proper Study: Essays towards a Neo-Fregean Philosophy of Mathematics, Oxford: Clarendon Press.
• Hazen, A., 1983, "Predicative Logics", in Handbook of Philosophical Logics: Volume I: Elements of Classical Logic, onder redactie van D. Gabbay en F. Guenthner, Dordrecht: Reidel, pp. 331–407.
• Hodges, W., 1993, "Tarski's Theory of Definition", in New Essays on Tarski and Philosophy, onder redactie van D. Patterson, Oxford: Oxford University Press, pp. 94–132.
• Horty, J., 2007, Frege on Definitions: A Case Study of Semantic Content, New York: Oxford University Press.
• Horwich, P., 1998, Betekenis, Oxford: Clarendon Press.
• Kremer, P., 1993, "De Gupta-Belnap-systemen (mathbf {S} ^ { #}) en (mathbf {S} ^ {*}) zijn niet axiomatiseerbaar", Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
• Kripke, SA, 1980, naamgeving en noodzaak, Cambridge MA: Harvard University Press.
• Locke, J., 1689, An Essay betreffende Human Understanding, uitgegeven door PH Nidditch, Oxford: Oxford University Press (1975).
• Martinez, M., 2001, "Enkele sluitingseigenschappen van eindige definities", Studia Logica, 68: 43–68.
• Moschovakis, Y., 1974, Elementaire inductie op abstracte structuren, Amsterdam: Noord-Holland.
• Padoa, A., 1900, 'Logical Introduction to Any Deductive Theory', in From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, onder redactie van J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), pp. 118–123.
• Quine, WVO, 1951, 'Two Dogmas of Empiricism', herdrukt in zijn From a Logical Point of View, Cambridge MA: Harvard University Press (1953), pp. 20–46.
• –––, 1960, Word and Object, Cambridge MA: MIT Press.
• Robinson, R., 1950, Definition, Oxford: Clarendon Press.
• Russell, B., 1908, "Mathematical Logic as Based on the Theory of Types", herdrukt in zijn Logic and Knowledge: Essays 1901–1950, London: George Allen & Unwin (1956), pp. 59–102.
• –––, 1948, Human Knowledge: Its Scope and Limits, New York: Simon en Schuster.
• Shapiro, L., 2006, 'The Rationale Behind Revision-Rule Semantics', Philosophical Studies, 129: 477–515.
• Suppes, P., 1957, Introduction to Logic, New York: Van Nostrand Reinhold.
• Tarski, A., 1983, Logic, Semantics, Metamathematics: Papers van 1923 tot 1938, tweede editie, onder redactie van J. Corcoran, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
• Urbaniak, R., en Hämäri, KS, 2012, 'Busting a Myth about Leśniewski and Definitions', History and Philosophy of Logic, 33: 159–189.
• Villanueva, E., (red.), 1997, Truth (Philosophical Issues 8), Atascadero: Ridgeview Publishing Company.
• Whitehead, AN, en Russell, B., 1925, Principia Mathematica, vol. 1, tweede editie, Cambridge: Cambridge University Press.
• Whiteley, CH, 1956, 'Betekenis en Ostensive Definition', Mind, 65: 332–335.
• Wittgenstein, L., 1953, Philosophical Investigations, New York: Macmillan.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen