Diagrammen

Inhoudsopgave:

Diagrammen
Diagrammen

Video: Diagrammen

Video: Diagrammen
Video: Hoe teken je een cirkeldiagram en hoe gebruik je hem? (havo/vwo 2) - WiskundeAcademie 2024, Maart
Anonim

Toegang navigatie

  • Inhoud van het item
  • Bibliografie
  • Academische hulpmiddelen
  • Vrienden PDF-voorbeeld
  • Info over auteur en citaat
  • Terug naar boven

Diagrammen

Voor het eerst gepubliceerd op 28 augustus 2001; inhoudelijke herziening do 13 dec.2018

We houden ons allemaal bezig met en gebruiken geldige redeneringen, maar de redenering die we daadwerkelijk uitvoeren verschilt op verschillende manieren van de gevolgtrekkingen die door de meeste (formele) logici zijn bestudeerd. Redenering zoals uitgevoerd door mensen omvat doorgaans informatie verkregen via meer dan één medium. De formele logica daarentegen was tot dusver vooral gericht op een geldige redenering die is gebaseerd op informatie in slechts één vorm, dat wil zeggen in de vorm van zinnen. Onlangs zijn veel filosofen, psychologen, logici, wiskundigen en computerwetenschappers zich steeds meer bewust geworden van het belang van multimodaal redeneren en bovendien is er veel onderzoek gedaan op het gebied van niet-symbolische, vooral schematische, representatiesystemen. [1] Dit artikel schetst de algemene richting van dit nieuwe onderzoeksgebied en richt zich op de logische status van diagrammen in bewijzen, hun representatieve functie en toereikendheid, verschillende soorten schematische systemen en de rol van diagrammen in de menselijke cognitie.

  • 1. Inleiding
  • 2. Diagrammen als representatieve systemen

    • 2.1 Euler-diagrammen
    • 2.2 Venn-diagrammen
    • 2.3 Peirce's extensie
    • 2.4 Diagrammen als formele systemen
    • 2.5 Euler-kringen opnieuw bekeken
  • 3. Gevolgen van ruimtelijke eigenschappen van diagrammen

    • 3.1 Beperkingen op schematische weergave en redenering
    • 3.2 Werkzaamheid van diagrammen
  • 4. Diagrammatic Systems in Geometry

    • 4.1 Visies op schema Euclides 's vanaf 4 e eeuw voor Christus tot de 20 ste eeuw CE
    • 4.2 Het exacte / co-exacte onderscheid van Manders en het algemeenheidsprobleem

      • 4.2.1 Het exacte / co-exacte onderscheid
      • 4.2.2 Het algemeen probleem met de constructies van Euclid
    • 4.3 De formele systemen FG en Eu
  • 5. Diagrammen en cognitie, toepassingen

    • 5.1 Enkele andere schematische systemen
    • 5.2 Diagrammen als mentale representaties
    • 5.3 De cognitieve rol van diagrammen
  • Overzicht
  • Bibliografie

    • Referenties
    • Relevante literatuur
  • Academische hulpmiddelen
  • Andere internetbronnen
  • Gerelateerde vermeldingen

1. Inleiding

Diagrammen of afbeeldingen behoren waarschijnlijk tot de oudste vormen van menselijke communicatie. Ze worden niet alleen gebruikt voor representatie, maar kunnen ook worden gebruikt om bepaalde soorten redeneringen uit te voeren en spelen daarom een bijzondere rol in logica en wiskunde. Systemen voor sentimentele representatie (bijv. Logica van de eerste orde) zijn echter dominant geweest in de moderne geschiedenis van de logica, terwijl diagrammen grotendeels werden beschouwd als slechts van marginaal belang. Diagrammen worden meestal gebruikt als een heuristisch hulpmiddel bij het verkennen van een proef, maar niet als onderdeel van een proef. [2] Het is een vrij recente beweging onder filosofen, logici, cognitieve wetenschappers en computerwetenschappers om zich te concentreren op verschillende soorten representatiesystemen, en veel onderzoek is vooral gericht op schematische representatiesystemen.

Degenen die werken aan multimodaal redeneren, die een al lang bestaand vooroordeel tegen schematische representatie uitdagen, hebben verschillende soorten benaderingen gevolgd die we in drie verschillende groepen kunnen indelen. Een tak van onderzoek is te vinden in de filosofie van de geest en de cognitieve wetenschappen. Aangezien de grenzen van taalvormen duidelijk zijn voor degenen die hebben gewerkt aan mentale representatie en redenering, hebben sommige filosofen en cognitieve wetenschappers deze nieuwe richting van multimodaal redeneren met enthousiasme omarmd en hebben ze menselijke redenering en mentale representatie met niet-linguïstische vormen verkend (Cummins 1996; Chandrasekaran et al. 1995). Een ander werkstuk op het gebied van schematisch redeneren laat zien dat er geen intrinsiek verschil is tussen symbolische en schematische systemen wat betreft hun logische status. Sommige logici hebben casestudy's gepresenteerd om te bewijzen dat schematische systemen in dezelfde zin als symbolische systemen gezond en compleet kunnen zijn. Dit type resultaat weerlegde direct de wijdverbreide veronderstelling dat diagrammen inherent misleidend zijn en schafte de theoretische bezwaren tegen het gebruik van diagrammen in bewijzen (Shin 1994; Hammer 1995a) af. Een derde richting in multimodaal redeneren is ingeslagen door informatici, wier interesse veel praktischer is dan die van de andere groepen. Het is niet zo verrassend dat degenen die op veel gebieden in de informatica werken, bijvoorbeeld kennisrepresentatie, systeemontwerp, visuele programmering, GUI-ontwerp, enzovoort, nieuwe en opwindende kansen hebben gevonden in dit nieuwe concept van 'heterogeen systeem' en schematisch hebben geïmplementeerd representaties in hun onderzoeksgebieden.

We hebben de volgende doelen voor dit item. Allereerst willen we de lezer kennis laten maken met de details van enkele specifieke schematische systemen. Tegelijkertijd zal de inzending theoretische kwesties behandelen, door de aard van schematische representatie en redenering in termen van expressieve kracht en correctheid te onderzoeken. De casestudy van de tweede sectie zal niet alleen ons eerste doel bereiken, maar ons ook voorzien van solide materiaal voor de meer theoretische en algemene discussie in de derde sectie. De vierde sectie presenteert een andere casestudy en beschouwt deze in het licht van de algemene discussie van de derde sectie. Zoals hierboven vermeld, heeft het onderwerp diagrammen veel aandacht gekregen met belangrijke resultaten uit veel verschillende onderzoeksgebieden. Vandaar,ons vijfde deel is bedoeld om verschillende benaderingen van schematisch redeneren op verschillende gebieden te introduceren.

Voor verdere discussie moeten we twee gerelateerde maar verschillende toepassingen van het woord 'diagram' verduidelijken: diagram als interne mentale representatie en diagram als externe representatie. Het volgende citaat van Chandrasekaran et al. (1995: p. Xvii) vat het onderscheid tussen interne en externe schematische representaties beknopt samen:

  • Externe schematische voorstellingen: Deze zijn door de agent geconstrueerd in een medium in de buitenwereld (papier, etc), maar zijn bedoeld als representaties door de agent.
  • Interne diagrammen of afbeeldingen: Deze omvatten de (controversiële) interne representaties waarvan wordt gesteld dat ze enkele picturale eigenschappen hebben.

Zoals we hieronder zullen zien, richten logici zich op externe diagrammatische systemen, gaat het beelddebat tussen filosofen van de geest en cognitieve wetenschappers voornamelijk over interne diagrammen, en onderzoek naar de cognitieve rol van diagrammen raakt beide vormen aan.

2. Diagrammen als representatieve systemen

De dominantie van sentimentele representatiesystemen in de geschiedenis van de moderne logica heeft verschillende belangrijke feiten over schematische systemen verdoezeld. Een daarvan is dat er vóór het tijdperk van de moderne logica verschillende bekende schematische systemen beschikbaar waren als heuristisch hulpmiddel. Euler-cirkels, Venn-diagrammen en Lewis Carroll-vierkanten worden veel gebruikt voor bepaalde soorten syllogistische redeneringen (Euler 1768; Venn 1881; Carroll 1896). Een ander interessant, maar verwaarloosd verhaal is dat een grondlegger van de moderne symbolische logica, Charles Peirce, niet alleen Venn-diagrammen heeft herzien, maar ook een grafisch systeem heeft uitgevonden, Existential Graphs, waarvan is bewezen dat het equivalent is van een predikaattaal (Peirce 1933; Roberts 1973; Zeman 1964).

Deze bestaande diagrammen hebben de onderzoekers geïnspireerd die onlangs onze aandacht hebben gevestigd op multimodale representatie. Logici die aan het project deelnemen, hebben het onderwerp op twee verschillende manieren onderzocht. Ten eerste was hun interesse uitsluitend gericht op extern getrokken representatiesystemen, in tegenstelling tot interne mentale representaties. Ten tweede was het hun doel om de logische status van een systeem vast te stellen, in plaats van de heuristische kracht ervan uit te leggen, door de correctheid en de expressieve kracht van selectieve representatiesystemen te testen. Als een systeem zijn degelijkheid niet rechtvaardigt of als zijn expressieve kracht te beperkt is, zal de interesse van een logicus voor die taal vervagen (Sowa 1984; Shin 1994).

In deze sectie onderzoeken we de historische ontwikkeling van Euler- en Venn-diagrammen als een casestudy om de volgende aspecten te illustreren: Ten eerste zal dit proces ons laten zien hoe de eenvoudige intuïtie van een wiskundige over het diagrammen van syllogistisch redeneren geleidelijk is ontwikkeld tot een formeel representatiesysteem. Ten tweede zullen we verschillende accenten zien die worden gegeven aan verschillende stadia van uitbreiding en aanpassing van een schematisch systeem. Ten derde en aanverwant illustreert deze historische ontwikkeling een interessante spanning en wisselwerking tussen de expressieve kracht en visuele helderheid van diagrammatische systemen. Het belangrijkste is dat de lezer getuige zal zijn van logici die zich bezighouden met de vraag of er een intrinsieke reden is dat sententiële systemen, maar geen schematische systemen, ons rigoureuze bewijzen zouden kunnen bieden,en hun succes bij het ontkennen van deze vraag.

Daarom zal de lezer niet verrast zijn door de volgende conclusie van Barwise en Etchemendy, de eerste logici die een onderzoek naar schematische bewijzen in logica op touw zetten,

er is geen principieel onderscheid tussen inferentie-formalismen die tekst gebruiken en die die diagrammen gebruiken. Men kan beschikken over rigoureuze, logisch correcte (en complete) formele systemen gebaseerd op diagrammen. (Barwise & Etchemendy 1995: 214)

Deze overtuiging was nodig voor de geboorte van hun innovatieve computerprogramma Hyperproof, dat zowel eerste-orde talen als diagrammen (in een multimodaal systeem) gebruikt om elementaire logische cursussen te geven (Barwise & Etchemendy 1993 en Barwise & Etchemendy 1994).

2.1 Euler-diagrammen

Leonhard Euler, een wiskundige uit de 18e eeuw, gebruikte gesloten curven om syllogistisch redeneren te illustreren (Euler 1768). De vier soorten categorische zinnen worden door hem weergegeven, zoals weergegeven in figuur 1.

Vier gevallen: het eerste met het label 'Alle A zijn B' heeft een binnenste cirkel met het label 'A' volledig binnen een buitenste cirkel met het label 'B' de tweede met het label 'No A is B' heeft twee niet-overlappende cirkels, één met de label 'A' en de andere met 'B' het derde label 'Some A is B' heeft twee overlappende cirkels, de overlap is gelabeld 'A' en het niet-overlappende bit van één cirkel heeft het label 'B' het vierde geval met het label 'Sommige A is niet B' heeft twee overlappende cirkels, het niet-overlappende bit van het ene heeft het label 'A' en het niet-overlappende bit van het andere heeft het label 'B'
Vier gevallen: het eerste met het label 'Alle A zijn B' heeft een binnenste cirkel met het label 'A' volledig binnen een buitenste cirkel met het label 'B' de tweede met het label 'No A is B' heeft twee niet-overlappende cirkels, één met de label 'A' en de andere met 'B' het derde label 'Some A is B' heeft twee overlappende cirkels, de overlap is gelabeld 'A' en het niet-overlappende bit van één cirkel heeft het label 'B' het vierde geval met het label 'Sommige A is niet B' heeft twee overlappende cirkels, het niet-overlappende bit van het ene heeft het label 'A' en het niet-overlappende bit van het andere heeft het label 'B'

Figuur 1: Euler-diagrammen

Voor de twee universele verklaringen neemt het systeem op een intuïtieve manier ruimtelijke relaties tussen cirkels over: als de cirkel met het label 'A' is opgenomen in de cirkel met het label 'B', dan vertegenwoordigt het diagram de informatie dat alle A B is. Als er geen overlappend deel tussen twee cirkels is, geeft het diagram de informatie weer dat geen A B is.

Deze vertegenwoordiging wordt beheerst door de volgende conventie: [3]

Elk object x in het domein krijgt een unieke locatie toegewezen, zeg l (x), in het vlak zodat l (x) in gebied R is, en alleen als x een lid is van de verzameling die het gebied R vertegenwoordigt.

De kracht van deze voorstelling ligt in het feit dat een object dat lid is van een set, gemakkelijk kan worden geconceptualiseerd als het object dat binnen de set valt, net zoals wordt gedacht dat locaties op de pagina binnen of buiten getekende cirkels vallen. De kracht van het systeem ligt ook in het feit dat er geen aanvullende conventies nodig zijn om de betekenis van diagrammen vast te stellen die meer dan één cirkel omvatten: relaties tussen sets worden bevestigd door middel van dezelfde relaties tussen de cirkels die ze vertegenwoordigen. De representaties van de twee universele uitspraken 'Alle A zijn B' en 'Nee A is B' illustreren deze kracht van het systeem.

Als we verdergaan met twee existentiële verklaringen, blijft deze duidelijkheid niet behouden. Euler rechtvaardigt het diagram van "Sommigen A is B" en zegt dat we visueel kunnen afleiden dat iets in A ook in B is opgenomen, aangezien een deel van gebied A zich in gebied B bevindt (Euler 1768: 233). Het is duidelijk dat Euler zelf geloofde dat dezelfde soort visuele insluitingsrelatie tussen gebieden zowel in dit geval als in het geval van universele verklaringen kan worden gebruikt. De overtuiging van Euler is echter niet correct en deze voorstelling roept een schadelijke dubbelzinnigheid op. In dit diagram maakt niet alleen deel uit van cirkel A in gebied B (zoals Euler beschrijft), maar het volgende is waar: (i) een deel van cirkel B bevindt zich in gebied A (ii) een deel van cirkel A is niet opgenomen in cirkel B (iii) deel van cirkel B zit niet in cirkel A. Dat wil zeggen, het derde diagram kan worden gelezen als "Sommige B is A," Sommige A is geen B "en" Sommige B is geen A "en" Sommige A is B ". Om deze dubbelzinnigheid te voorkomen, moeten we nog een aantal conventies opstellen.[4]

Eulers eigen voorbeelden illustreren mooi de sterke en zwakke punten van zijn schematisch systeem.

Voorbeeld 1. Alle A zijn B. Alle C zijn A. Daarom zijn alle C B.

Drie concentrische cirkels, de binnenste met het label 'C', de volgende met de label 'A' en de buitenste met de label 'B'
Drie concentrische cirkels, de binnenste met het label 'C', de volgende met de label 'A' en de buitenste met de label 'B'

Voorbeeld 2. Nee A is B. Alle C zijn B. Daarom is geen C A.

Links een cirkel met het label 'A' en rechts twee concentrische cirkels, de binnenste met de label 'C' en de buitenste met de label 'B'
Links een cirkel met het label 'A' en rechts twee concentrische cirkels, de binnenste met de label 'C' en de buitenste met de label 'B'

In beide voorbeelden kan de lezer gemakkelijk de conclusie afleiden, en dit illustreert visueel krachtige kenmerken van Euler-diagrammen. Wanneer existentiële verklaringen worden weergegeven, wordt het echter ingewikkelder, zoals hierboven uitgelegd. Bijvoorbeeld:

Voorbeeld 3. Nee A is B. Sommige C is A. Daarom is sommige C geen B.

Geen enkel diagram kan de twee premissen vertegenwoordigen, omdat de relatie tussen sets B en C niet volledig in één diagram kan worden gespecificeerd. In plaats daarvan stelt Euler de volgende drie mogelijke gevallen voor:

Drie gevallen: Geval 1 heeft links twee overlappende cirkels, de overlapping heeft het label 'C' en het niet-overlappende gedeelte van de eerste cirkel heeft het label 'A' aan de rechterkant en apart is een derde cirkel met het label 'B'. Geval 2 heeft drie cirkels, twee van de cirkels overlappen elkaar en het overlappende gedeelte heeft het label 'C' en het niet-overlappende gedeelte van de eerste cirkel heeft het label 'A' in het niet-overlappende gedeelte van de tweede cirkel staat de derde cirkel met het label 'B'. Geval 3 is vergelijkbaar met Geval 2, behalve dat de derde cirkel niet volledig binnen het niet-overlappende gedeelte van de tweede cirkel valt; het gedeelte van de derde cirkel buiten de tweede cirkel heeft het label 'B'
Drie gevallen: Geval 1 heeft links twee overlappende cirkels, de overlapping heeft het label 'C' en het niet-overlappende gedeelte van de eerste cirkel heeft het label 'A' aan de rechterkant en apart is een derde cirkel met het label 'B'. Geval 2 heeft drie cirkels, twee van de cirkels overlappen elkaar en het overlappende gedeelte heeft het label 'C' en het niet-overlappende gedeelte van de eerste cirkel heeft het label 'A' in het niet-overlappende gedeelte van de tweede cirkel staat de derde cirkel met het label 'B'. Geval 3 is vergelijkbaar met Geval 2, behalve dat de derde cirkel niet volledig binnen het niet-overlappende gedeelte van de tweede cirkel valt; het gedeelte van de derde cirkel buiten de tweede cirkel heeft het label 'B'

Euler stelt dat uit al deze diagrammen de stelling 'Sommige C is geen B' af te lezen is. Het is echter verre van visueel duidelijk hoe de eerste twee gevallen een gebruiker ertoe brengen deze stelling voor te lezen, aangezien een gebruiker "Nee C is B" uit geval 1 en "Alle B is C" uit geval 2 kan aflezen.

Vandaar dat de weergave van existentiële verklaringen niet alleen de visuele helderheid van Euler-cirkels verdoezelt, maar ook ernstige interpretatieproblemen voor het systeem oproept. Euler zelf leek dit potentiële probleem te herkennen en introduceerde een nieuw syntactisch apparaat, '*' (dat staat voor niet-leegte) als een poging om deze fout te herstellen (1768: Brief 105).

Er is echter een ernstiger nadeel wanneer dit systeem bepaalde compatibele (dat wil zeggen consistente) stukjes informatie niet in één diagram weergeeft. Het systeem van Euler verhindert ons bijvoorbeeld om een enkel diagram te tekenen dat de volgende paren uitspraken voorstelt: (i) "Alle A zijn B" en "Nee A is B" (die consistent zijn als A een lege verzameling is). (ii) "Alle A zijn B" en "Alle B zijn A" (die consistent zijn wanneer A = B). (iii) "Sommige A is B" en "Alle A zijn B". (Stel dat we een Euler-diagram hebben gemaakt voor de eerste propositie en proberen een nieuw compatibel stuk informatie toe te voegen, dwz de laatste, aan dit bestaande diagram.) Deze tekortkoming hangt nauw samen met Venn's motivatie voor zijn eigen diagramsysteem (zie Paragraaf 3.1) voor andere tekortkomingen van het Euler-systeem).

2.2 Venn-diagrammen

Venn's kritiek op Euler Circles wordt samengevat in de volgende passage:

Het zwakke punt in deze [Euler-diagrammen], en in alle vergelijkbare schema's, is dat ze alleen de werkelijke relatie van klassen met elkaar strikt illustreren, in plaats van de onvolmaakte kennis van deze relaties die we misschien bezitten of kunnen hebben willen overbrengen door middel van de propositie. (Venn 1881: 510)

Vanwege de striktheid slaagt het Euler-systeem er soms niet in om consistente stukjes informatie in één diagram weer te geven, zoals hierboven weergegeven. Naast deze expressieve beperking, lijdt Euler's systeem ook aan andere soorten expressieve beperkingen met betrekking tot niet-lege sets, als gevolg van topologische beperkingen op vlakke figuren (zie paragraaf 3.1).

Venn's nieuwe systeem (1881) moest deze expressieve beperkingen overwinnen, zodat gedeeltelijke informatie kan worden weergegeven. De oplossing was zijn idee van 'primaire diagrammen'. Een primair diagram geeft alle mogelijke set-theoretische relaties tussen een aantal sets weer, zonder daar enige existentiële toezeggingen over te doen. Figuur 2 toont bijvoorbeeld het primaire diagram over sets A en B.

twee overlappende cirkels, de eerste met het label 'A' en de tweede met de label 'B'
twee overlappende cirkels, de eerste met het label 'A' en de tweede met de label 'B'

Figuur 2: Venn's primaire diagrammen

Volgens het systeem van Venn geeft dit diagram geen specifieke informatie over de relatie tussen deze twee sets. Dit is het grootste verschil tussen Euler- en Venn-diagrammen.

Voor de weergave van universele uitspraken, in tegenstelling tot de visueel duidelijke ruimtelijke insluitingsrelaties in het geval van Euler-diagrammen, is de oplossing van Venn 'om ze [de juiste gebieden] af te schermen' (Venn 1881: 122). Door dit syntactische apparaat te gebruiken, verkrijgen we diagrammen voor universele verklaringen zoals weergegeven in figuur 3.

Twee Venn-diagrammen. De eerste heeft de titel 'Alle A zijn B' en bestaat uit twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B', het gedeelte van A dat niet overlapt met B is gearceerd. De tweede is getiteld 'No A is B' en bestaat ook uit twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B', de overlapping van de twee cirkels is gearceerd
Twee Venn-diagrammen. De eerste heeft de titel 'Alle A zijn B' en bestaat uit twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B', het gedeelte van A dat niet overlapt met B is gearceerd. De tweede is getiteld 'No A is B' en bestaat ook uit twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B', de overlapping van de twee cirkels is gearceerd

Figuur 3: Venn's schaduw

Venn's keuze voor arcering is misschien niet absoluut willekeurig, omdat een arcering kan worden geïnterpreteerd als een visualisatie van ingestelde leegte. Er moet echter worden opgemerkt dat een arcering een nieuw syntactisch apparaat is dat Euler niet heeft gebruikt. Deze herziening gaf het systeem flexibiliteit, zodat bepaalde compatibele stukjes informatie in één diagram kunnen worden weergegeven. Hieronder combineert het diagram aan de linkerkant twee stukjes informatie, "Alle A zijn B" en "Nee A is B", om de informatie "Niets is A" visueel over te brengen. Het diagram aan de rechterkant, dat zowel "Alle A zijn B" als "Alle B zijn A" vertegenwoordigt, laat duidelijk zien dat A hetzelfde is als B:

Twee Venn-diagrammen: de eerste heeft twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B' cirkel A is gearceerd. De tweede is ook twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B', beide cirkels zijn gearceerd, behalve waar ze elkaar overlappen
Twee Venn-diagrammen: de eerste heeft twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B' cirkel A is gearceerd. De tweede is ook twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B', beide cirkels zijn gearceerd, behalve waar ze elkaar overlappen

In feite vermijdt het gebruik van primaire diagrammen ook enkele andere expressiviteitsproblemen (die te maken hebben met ruimtelijke eigenschappen van diagramobjecten) die hieronder worden besproken, in sectie 3. Verrassend genoeg zweeg Venn over de weergave van existentiële verklaringen, wat een ander probleem was van Euler-diagrammen. We kunnen ons alleen voorstellen dat Venn een ander soort syntactisch object heeft geïntroduceerd dat existentiële toewijding vertegenwoordigt. Dit is wat Charles Peirce ongeveer twintig jaar later deed.

2.3 Peirce's extensie

Peirce wijst erop dat het systeem van Venn de volgende soorten informatie niet kan vertegenwoordigen: existentiële verklaringen, disjunctieve informatie, waarschijnlijkheden en relaties. Peirce wilde het systeem van Venn uitbreiden in expressieve kracht met betrekking tot de eerste twee soorten stellingen, namelijk existentiële en disjunctieve verklaringen. Deze uitbreiding is gerealiseerd met de volgende drie apparaten. (i) Vervang Venn's schaduw die leegte vertegenwoordigt door een nieuw symbool, 'o'. (ii) Introduceer een symbool 'x' voor existentiële import. (iii) Voer voor disjunctieve informatie een lineair symbool '-' in dat 'o' en 'x' symbolen verbindt.

Figuur 4 vertegenwoordigt bijvoorbeeld de verklaring: 'Alle A zijn B of sommige A is B', die noch het systeem van Euler, noch Venn in één diagram kunnen weergeven.

Twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B' binnen de overlap is een label 'x' en binnen het niet-overlappende deel van cirkel A is een label 'o' een lijn verbindt 'x' met 'o'
Twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B' binnen de overlap is een label 'x' en binnen het niet-overlappende deel van cirkel A is een label 'o' een lijn verbindt 'x' met 'o'

Figuur 4: een Peirce-diagram

De reden dat Peirce de schaduw van Venn voor leegte heeft vervangen door het symbool 'o' lijkt voor de hand te liggen: het zou niet eenvoudig zijn om schaduwen of schaduwen en 'x's' aan elkaar te koppelen om disjunctieve informatie weer te geven. Op deze manier verhoogde Peirce de expressieve kracht van het systeem, maar deze verandering was niet zonder kosten.

Het volgende diagram geeft bijvoorbeeld de stelling weer 'Alle A zijn B en sommige A is B, of geen A is B en sommige B is geen A':

twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B' ten eerste is binnen het niet-overlappende gedeelte van cirkel A een 'o' verbonden door een lijn met een 'o' binnen de overlap; ten tweede is ook in het niet-overlappende gedeelte van cirkel A een andere 'o' verbonden door een lijn met een 'x' in het niet-overlappende gedeelte van cirkel 'B' derde in het overlappende gedeelte van de twee cirkels zijn een 'x en een' o 'verbonden door een lijn; vierde een 'x' in het overlappende gedeelte verbonden door een lijn met een 'x' in het niet-overlappende gedeelte van cirkel B
twee overlappende cirkels met het label 'A' en 'B' ten eerste is binnen het niet-overlappende gedeelte van cirkel A een 'o' verbonden door een lijn met een 'o' binnen de overlap; ten tweede is ook in het niet-overlappende gedeelte van cirkel A een andere 'o' verbonden door een lijn met een 'x' in het niet-overlappende gedeelte van cirkel 'B' derde in het overlappende gedeelte van de twee cirkels zijn een 'x en een' o 'verbonden door een lijn; vierde een 'x' in het overlappende gedeelte verbonden door een lijn met een 'x' in het niet-overlappende gedeelte van cirkel B

Het aflezen van dit diagram vereist meer dan het aflezen van visuele insluiting tussen cirkels (zoals in Euler-diagrammen) of schaduwen (zoals in Venn-diagrammen), maar vereist ook extra conventies voor het lezen van combinaties van de symbolen 'o', 'x' en lijnen. Peirce's nieuwe conventies verhoogden de expressieve kracht van afzonderlijke diagrammen, maar de willekeur van de conventies en meer verwarrende representaties (bijvoorbeeld het bovenstaande diagram) hebben de visuele helderheid opgeofferd die het oorspronkelijke systeem van Euler geniet. Op dit punt bekent Peirce zelf dat 'er een grote complexiteit is in de uitdrukking die essentieel is voor de betekenis' (Peirce 1933: 4.365). Dus toen de herziening van Peirce was voltooid, gingen de meeste oorspronkelijke ideeën van Euler over visualisatie verloren, behalve dat een geometrisch object (de cirkel) wordt gebruikt om (mogelijk lege) verzamelingen weer te geven.

Een andere belangrijke bijdrage die Peirce heeft geleverd aan de studie van diagrammen, begint met de volgende opmerking:

'Regel' wordt hier gebruikt in de zin waarin we spreken van de 'regels' van algebra; dat wil zeggen als toestemming onder strikt gedefinieerde voorwaarden. (Peirce 1933: 4.361)

Peirce was waarschijnlijk de eerste persoon die regels voor transformatie besprak in een niet-sentimenteel representatiesysteem. Op dezelfde manier als de regels van de algebra ons vertellen welke transformaties van symbolen zijn toegestaan en welke niet, zo ook de regels van diagrammanipulatie. Sommige van de zes regels van Pierce hadden meer uitleg nodig en bleken onvolledig te zijn - een probleem waar Peirce zelf op anticipeerde. Wat nog belangrijker is, Peirce had geen theoretische tool - een duidelijk onderscheid tussen syntaxis en semantiek - om de lezer ervan te overtuigen dat elke regel correct is of om te bepalen of er meer regels nodig zijn. Dat wil zeggen, zijn belangrijke intuïtie (dat er transformatieregels voor diagrammen zouden kunnen zijn) moest nog worden gerechtvaardigd.

2.4 Diagrammen als formele systemen

Shin (1994) volgt Peirce's werk in twee richtingen op. De ene is om Peirce's versie van Venn-diagrammen te verbeteren, en de andere is om de degelijkheid en de volledigheid van dit herziene systeem te bewijzen.

Het werk van Shin verandert Peirce's aanpassingen van Venn-diagrammen om een toename van expressieve kracht te bereiken zonder zo'n ernstig verlies van visuele helderheid. Deze herziening gebeurt in twee fasen: (i) Venn-I: behoudt de schaduwen van Venn (voor leegte), Peirce's 'x' (voor existentiële import) en Peirce's verbindingslijn tussen 'x's (voor disjunctieve informatie). (ii) Venn-II: dit systeem, waarvan bewezen is dat het logisch equivalent is aan monadische predikaatlogica, is hetzelfde als Venn-I, behalve dat er een nieuwe verbindingslijn tussen diagrammen wordt geïntroduceerd om disjunctieve informatie weer te geven.

Als we terugkeren naar een van de voorbeelden van Euler, zullen we het contrast tussen deze verschillende versies duidelijk zien:

Voorbeeld 3. Nee A is B. Sommige C is A. Daarom is sommige C geen B.

Euler geeft toe dat er geen enkel Euler-diagram kan worden getekend om het pand weer te geven, maar dat er drie mogelijke gevallen moeten worden getekend. Het systeem van Venn zwijgt over existentiële uitspraken. De systemen van Peirce en Shin vertegenwoordigen deze twee premissen als volgt in één diagram:

Twee diagrammen die beide bestaan uit drie overlappende cirkels met het label 'A', 'B' en 'C'. Het eerste diagram, getiteld 'Peirce', heeft in de overlap van alle drie de cirkels een 'x' verbonden met een 'x' in de overlap van alleen de cirkels A en C; het heeft ook in de overlap van alle drie de cirkels een 'o' en ook een 'o' in de overlap van alleen de cirkels A en B. Het tweede diagram, getiteld 'Shin', heeft in de overlap van alle drie de cirkels een 'x' 'verbonden met een' x 'in de overlap van alleen cirkels A en C; de overlap van A en B is gearceerd
Twee diagrammen die beide bestaan uit drie overlappende cirkels met het label 'A', 'B' en 'C'. Het eerste diagram, getiteld 'Peirce', heeft in de overlap van alle drie de cirkels een 'x' verbonden met een 'x' in de overlap van alleen de cirkels A en C; het heeft ook in de overlap van alle drie de cirkels een 'o' en ook een 'o' in de overlap van alleen de cirkels A en B. Het tweede diagram, getiteld 'Shin', heeft in de overlap van alle drie de cirkels een 'x' 'verbonden met een' x 'in de overlap van alleen cirkels A en C; de overlap van A en B is gearceerd

In het geval van Shins diagram leidt Venn's schaduwconventie voor leegte, in tegenstelling tot Peirce's 'o', veel natuurlijker de lezer tot de conclusie 'Sommige C is geen B' dan in het geval van Peirce's diagram.

Venn-I kan echter geen disjunctieve informatie uitdrukken tussen universele uitspraken of tussen universele en existentiële uitspraken. Met behoud van de expressieve kracht van Venn-I, maakt Venn-II het mogelijk om diagrammen met elkaar te verbinden via een lijn. Peirce's verwarrend ogende diagram hierboven komt overeen met het volgende Venn-II-diagram:

Twee rechthoeken verbonden door een lijn met elk twee overlappende cirkels; in de eerste rechthoek bevat de overlap van de twee cirkels een 'x' en is het niet-overlappende gedeelte van de eerste cirkel gearceerd; in de tweede rechthoek is het overlappende gedeelte van de twee cirkels gearceerd en staat er een 'x' in het niet-overlappende gedeelte van de tweede cirkel
Twee rechthoeken verbonden door een lijn met elk twee overlappende cirkels; in de eerste rechthoek bevat de overlap van de twee cirkels een 'x' en is het niet-overlappende gedeelte van de eerste cirkel gearceerd; in de tweede rechthoek is het overlappende gedeelte van de twee cirkels gearceerd en staat er een 'x' in het niet-overlappende gedeelte van de tweede cirkel

Naast deze herziening presenteerde Shin (1994) elk van deze twee systemen als een standaard formeel representatiesysteem, uitgerust met een eigen syntaxis en semantiek. De syntaxis vertelt ons welke diagrammen acceptabel zijn, dat wil zeggen, goed gevormd, en welke manipulaties in elk systeem zijn toegestaan. De semantiek definieert logische consequenties tussen diagrammen. Met behulp van deze tools is het bewezen dat de systemen degelijk en compleet zijn, in dezelfde zin als sommige symbolische logica's.

Deze benadering vormde een fundamentele uitdaging voor enkele van de veronderstellingen over representatiesystemen. Sinds de ontwikkeling van moderne logica zijn belangrijke concepten, zoals syntaxis, semantiek, gevolgtrekking, logisch gevolg, validiteit en volledigheid, alleen toegepast op systemen voor sentimentele representatie. Geen van deze bleek echter alleen intrinsiek te zijn aan deze traditionele symbolische logica. Voor elk representatiesysteem, of het nu sentimenteel of schematisch is, kunnen we twee niveaus bespreken, een syntactisch en een semantisch niveau. Wat gevolgtrekkingsregels ons vertellen, is hoe we een bepaalde eenheid, symbolisch of schematisch, naar een andere kunnen manipuleren. De definitie van logisch gevolg is ook vrij van elke specifieke vorm van een representatiesysteem. Hetzelfde argument geldt voor de deugdelijkheid en de volledigheidsbewijzen. Als bewezen is dat een systeem gezond is,we moeten het in bewijzen kunnen opnemen. Veel huidig onderzoek onderzoekt in feite het gebruik van diagrammen in geautomatiseerde stellingen (zie Barker-Plummer & Bailin 1997; en Jamnik et al. 1999).

2.5 Euler-kringen opnieuw bekeken

Het is interessant en belangrijk op te merken dat de geleidelijke veranderingen die van Euler Circles tot en met Shins systemen worden doorgevoerd, één gemeenschappelijk thema delen: zowel de expressieve als de logische kracht van het systeem vergroten, zodat het degelijk, volledig en logisch equivalent is aan monadische predikaatlogica. De belangrijkste revisie van Euler naar Venn-diagrammen, waarbij primaire diagrammen worden geïntroduceerd, stelt ons in staat om gedeeltelijke kennis over relaties tussen sets weer te geven. De uitbreiding van Venn- naar Peirce-diagrammen is gemaakt zodat existentiële en disjunctieve informatie effectiever kan worden weergegeven.

Zowel Venn als Peirce kozen voor hetzelfde soort oplossing om deze verbeteringen te bereiken: om nieuwe syntactische objecten te introduceren, dat wil zeggen schaduwen van Venn, en 'x's,' o's en lijnen van Peirce. Aan de negatieve kant lijden deze herziene systemen echter aan verlies van visuele helderheid, zoals hierboven te zien, voornamelijk door de introductie van meer willekeurige conventies. De aanpassingen van Peirce naar Shin-diagrammen concentreren zich op het herstellen van de visuele helderheid, maar zonder verlies van expressieve kracht.

Hammer en Shin volgen een ander pad dan deze revisies: om Euler's homomorfe relatie tussen cirkels en sets-insluiting tussen cirkels nieuw leven in te blazen, vertegenwoordigt de subset-relatie tussen sets, en niet-overlappende regio's vertegenwoordigt de onsamenhangende relatie - en tegelijkertijd aan te nemen Venn's primaire diagrammen standaard. Aan de andere kant is dit herziene Euler-systeem geen zelfvoorzienend hulpmiddel voor syllogistisch redeneren, aangezien het geen existentiële verklaringen kan vertegenwoordigen. Voor meer details over dit herziene systeem, zie (Hammer & Shin 1998).

Deze casestudy werpt een interessante vraag op voor verder onderzoek naar schematisch redeneren. Door de verschillende ontwikkelingen van Euler-diagrammen lijken het vergroten van de expressieve kracht en het verbeteren van de visuele helderheid complementair aan elkaar. Afhankelijk van de doeleinden moeten we prioriteit geven aan de een boven de ander. Het alternatieve systeem van Hammer en Shin biedt een eenvoudig model voor de ontwikkeling van andere efficiënte niet-sententiële representatiesystemen, een onderwerp dat steeds meer aandacht krijgt in de informatica en de cognitieve wetenschappen.

3. Gevolgen van ruimtelijke eigenschappen van diagrammen

Hoewel het vaak mogelijk is om diagrammen dezelfde logische status te geven als formules (zoals hierboven betoogd), zijn er nog steeds belangrijke verschillen (die gevolgen kunnen hebben voor de juistheid van het systeem) tussen diagrammen en traditionele lineaire proefberekeningen. Een belangrijk punt om op te merken over diagrammen (vgl. Russell 1923) is dat ruimtelijke relaties tussen objecten in een diagram gebruikt kunnen worden om relaties tussen objecten in een ander domein weer te geven. Opeenvolgende talen (bijv. Symbolische logica, natuurlijke talen) gebruiken echter alleen de relatie van aaneenschakeling om relaties tussen objecten weer te geven. Het bijzondere representatieve gebruik van ruimtelijke relaties in het geval van diagrammen is direct en intuïtief, zoals te zien in de ontwikkeling van Euler-diagrammen hierboven, maar heeft ook zijn gevaren, zoals we zullen bespreken. Ruimtelijke beperkingen, eigen aan schematische systemen,kan naar verwachting een belangrijke bron zijn van zowel hun sterke als zwakke punten. Psychologische overwegingen met betrekking tot menselijke capaciteiten voor visuele verwerking van informatie en vaardigheid in kwalitatief ruimtelijk redeneren, hebben ook gevolgen voor de effectiviteit van redeneren met diagrammen, maar we zullen ze hier niet onderzoeken.

Een bijzonder onderscheidend kenmerk van diagrammen is dat ze voldoen aan bepaalde "nomische" of "intrinsieke" beperkingen vanwege het gebruik van vlakke oppervlakken als representatiemiddel. Het idee is dat sentimentele talen zijn gebaseerd op akoestische signalen die sequentieel van aard zijn en dus een compenserend complexe syntaxis moeten hebben om bepaalde relaties uit te drukken - terwijl diagrammen, omdat ze tweedimensionaal zijn, in staat zijn om sommige relaties weer te geven zonder tussenkomst van een complexe syntaxis (Stenning & Lemon 2001). Diagrammen benutten deze mogelijkheid - het gebruik van ruimtelijke relaties om andere relaties weer te geven. De vraag is; hoe goed kunnen ruimtelijke relaties en objecten andere (mogelijk abstractere) objecten en relaties vertegenwoordigen?

Logisch redeneren met diagrammen wordt vaak uitgevoerd vanwege hun weergave van alle mogelijke modellen van een situatie, tot topologische gelijkwaardigheid van de diagrammen (dit hangt natuurlijk af van het specifieke schematische systeem dat wordt gebruikt). Een enkel diagram is vaak een abstractie over een hele reeks situaties, en als er eenmaal een geschikt diagram is geconstrueerd, kunnen gevolgtrekkingen eenvoudig worden afgelezen zonder verdere manipulatie. In sommige schematische systemen (bijv. Euler-cirkels) wordt de gevolgtrekking uitgevoerd door diagrammen correct te construeren en informatie af te lezen. De complexiteit van het gebruik van inferentieregels in een symbolische logica wordt in deze gevallen vervangen door het probleem van het correct tekenen van bepaalde diagrammen. [5]Een Euler Circles-diagram waagt zich bijvoorbeeld aan het vastleggen van relaties tussen sets met behulp van topologische relaties tussen vlakke regio's op een zodanige manier dat het alle mogelijke manieren weergeeft waarop een bepaalde verzameling set-theoretische uitspraken waar zou kunnen zijn. Dit heeft twee belangrijke gevolgen: (1) als een bepaald diagram niet kan worden getekend, moet de beschreven situatie onmogelijk zijn (genaamd "zelfconsistentie"), en (2) als een bepaalde relatie tussen diagramobjecten moet worden getekend, dan is de bijbehorende relatie kan worden afgeleid als logisch geldig. (Zie de talrijke voorbeelden in paragraaf 2.) Dit fenomeen wordt vaak een "free-ride" genoemd (Barwise & Shimojima 1995). Deze stijl van schematisch redeneren is dus afhankelijk van een bepaald representatief gebruik van diagrammen - dat ze klassen van modellen vertegenwoordigen. Als een bepaalde klasse van modellen niet kan worden weergegeven door een schematisch systeem, worden die gevallen niet in aanmerking genomen bij gevolgtrekkingen die het systeem gebruiken en kunnen onjuiste gevolgtrekkingen worden gemaakt. Dit feit maakt de representatieve geschiktheid van schematische systemen, beperkt door hun ruimtelijke aard, van het grootste belang, zoals we nu zullen onderzoeken.

3.1 Beperkingen op schematische weergave en redenering

Het representatieve gebruik van de ruimtelijke relaties in het vlak beperkt de schematische representatie, en dus de redenering met diagrammen, op bepaalde belangrijke manieren. In het bijzonder zijn er topologische en geometrische (laten we ze samenvoegen als "ruimtelijke") eigenschappen van schematische objecten en relaties die de expressieve kracht van schematische systemen beperken. Zo is het in de grafentheorie bekend dat sommige eenvoudige structuren niet in het vlak kunnen worden getekend. Bijvoorbeeld de grafiek K 5is de grafiek die bestaat uit 5 knooppunten, elk met elkaar verbonden door een boog. Deze grafiek is niet vlak, wat betekent dat hij niet kan worden getekend zonder dat ten minste twee van de bogen elkaar kruisen. Dit is precies het soort beperking op mogelijke diagrammen dat de expressieve kracht van diagrammatische systemen beperkt. Aangezien schematisch redeneren kan plaatsvinden door opsomming van alle mogelijke modellen van een situatie, maakt deze representatieve ontoereikendheid (een soort onvolledigheid) veel schematische systemen onjuist als ze worden gebruikt voor logisch redeneren (zie bijvoorbeeld de kritiek van Englebretsen 1992 in Lemon & Pratt 1998).

Misschien is het eenvoudigste voorbeeld hiervan te danken aan Lemon en Pratt [6] (zie bv. 1997). Overweeg Euler-cirkels, waarbij convexe gebieden van het vlak sets vertegenwoordigen, en overlapping van de regio's staat voor een niet-leeg snijpunt van de overeenkomstige sets. Een resultaat van de convexe topologie die bekend staat als de stelling van Helly stelt (voor het tweedimensionale geval) dat als elke drievoudige van de vier convexe gebieden een niet-leeg snijpunt heeft, alle vier de gebieden een niet-leeg snijpunt moeten hebben.

Overweeg het volgende probleem om de gevolgen hiervan te begrijpen:

Voorbeeld 4. Gebruik Euler-cirkels voor de volgende premissen:

  • A ∩ B ∩ C ≠ ∅
  • B ∩ C ∩ D ≠ ∅
  • C ∩ D ∩ A ≠ ∅

Merk op dat vanuit de verzamelingenleer uit deze premissen alleen triviale gevolgen voortvloeien. Een Euler-diagram van het pand, zoals Figuur 5, leidt echter tot de verkeerde conclusie dat A ∩ B ∩ C ∩ D ≠ ∅ (vanwege het viervoudige overlappingsgebied in het midden van het diagram):

Vier overlappende cirkels met het label 'A', 'B', 'C' en 'D'
Vier overlappende cirkels met het label 'A', 'B', 'C' en 'D'

Figuur 5: Een Euler's Circles-weergave met de stelling van Helly

Met andere woorden, een gebruiker van Euler-cirkels wordt gedwongen [7] om een relatie tussen de sets weer te geven die niet logisch noodzakelijk is. Dit betekent zowel dat er logisch mogelijke situaties zijn die het systeem niet kan vertegenwoordigen, en dat een gebruiker onjuiste gevolgtrekkingen zou maken als hij voor redenering op het systeem zou vertrouwen. Meer in het algemeen kan dit type resultaat worden gegenereerd voor veel verschillende soorten diagramsystemen, afhankelijk van de specifieke ruimtelijke relaties en objecten die ze gebruiken in representatie - een lopend onderzoeksprogramma.

Het gebruik van niet-convexe regio's (bijvoorbeeld 'blobs' in plaats van cirkels) leidt tot een soortgelijk probleem, alleen dat er niet-vlakke grafieken bij betrokken zijn in plaats van de stelling van Helly. Een soortgelijk resultaat heeft betrekking op lineaire diagrammen voor syllogismen Englebretsen 1992, waar lijnen worden gebruikt om verzamelingen weer te geven, punten individuele personen vertegenwoordigen, puntlijnkruising vertegenwoordigt setlidmaatschap en kruising van lijnen vertegenwoordigt setkruising. Nogmaals, vlakke beperkingen beperken de expressieve kracht van het systeem en leiden tot onjuiste gevolgtrekkingen.

Atsushi Shimojima's 'beperkingshypothese' vat dit misschien het beste samen:

Voorstellingen zijn objecten in de wereld en als zodanig gehoorzamen ze aan bepaalde structurele beperkingen die hun mogelijke vorming bepalen. De variantie in inferentieel potentieel van verschillende representatiewijzen is grotendeels toe te schrijven aan verschillende manieren waarop deze structurele beperkingen op representaties overeenkomen met de beperkingen op representatiedoelen (Shimojima 1996a, 1999).

3.2 Werkzaamheid van diagrammen

Zoals hierboven besproken, is veel van de interesse in diagrammen gegenereerd door de bewering dat ze op de een of andere manier 'effectiever' zijn dan traditionele logische representaties voor bepaalde soorten taken. Zeker, een kaart is bijvoorbeeld een groter hulpmiddel bij het navigeren dan een mondelinge beschrijving van een landschap. Hoewel er zeker psychologische voordelen te behalen zijn door het gebruik van diagrammen, zijn ze (zoals in het geval van Euler-cirkels) vaak niet effectief als representaties van abstracte objecten en relaties. Eens een puur intuïtief begrip, kunnen niet-psychologische beweringen over de 'werkzaamheid' van diagrammatische systemen worden onderzocht in termen van standaard formele eigenschappen van talen (Lemon et al. 1999). In het bijzonder zijn veel schematische systemen zelf-consistent, onjuist en onvolledig, en de complexiteit van gevolgtrekking met de diagrammen is NP-moeilijk. In tegenstelling daarmee zijn de meeste sentimentele logica's, hoewel ze inconsistenties kunnen uitdrukken, compleet en correct[8].

Aan de andere kant kan het niet kunnen weergeven van tegenstellingen ons interessante inzichten geven over de aard van schematische weergave. Als een centraal doel van een taal is om de wereld of een stand van zaken weer te geven, dan wordt het vertegenwoordigen van tegenstellingen of tautologieën in twijfel getrokken. Tegenstellingen noch tautologieën maken deel uit van de wereld. Hoe kunnen we een beeld tekenen of een foto maken van de tegenstrijdigheid dat 'het regent en het regent niet'? Hoe zit het met het beeld van de disjunctieve informatie "het regent of regent niet"? We lijken nu veel dichter bij Wittgensteins klassieke beeldtheorie van taal te staan (Wittgenstein 1921).

4. Diagrammatic Systems in Geometry

Wiskundigen hebben veel gebruik gemaakt van diagrammen en blijven deze gebruiken. De communicatie van wiskundige concepten en bewijzen - in schoolboeken, op schoolborden - is niet uniform sentimenteel. Cijfers en afbeeldingen komen vaak voor. Overeenkomstig de heersende opvatting van logica als in wezen sentimenteel, wordt echter gewoonlijk niet gedacht dat ze een rol spelen bij rigoureuze wiskundige redeneringen. Het gebruik ervan wordt geacht beperkt te zijn tot een beter begrip van een bewijs. Ze worden niet standaard geacht enig deel van het bewijs zelf te vormen.

De houding wordt goed geïllustreerd door de standaardbeoordeling van Euclid's methodologie in de Elements. In geen enkel wiskundig onderwerp zijn diagrammen zo prominent aanwezig als in de elementaire meetkunde die Euclid in de tekst ontwikkelt. De bewijzen van het onderwerp lijken in zekere zin te gaan over de diagrammen van driehoeken en cirkels die daarbij verschijnen. Dit is vooral het geval met de geometrische bewijzen van de elementen. Diagrammen voor Euclid zijn niet alleen illustratief. Sommige van zijn gevolgtrekkingen zijn afhankelijk van een juist samengesteld diagram. In het standaardverhaal duiden deze stappen hiaten aan in de bewijzen van Euclid. Ze laten zien hoe Euclid het project van het axiomatisch ontwikkelen van geometrie niet volledig heeft uitgevoerd.

Ken Manders wilde dit verhaal exploderen met zijn baanbrekende werk "The Euclidean diagram" (2008 [1995]). Uit zijn analyse van Euclid's schematische bewijsmethode blijkt dat Euclid diagrammen op een gecontroleerde, systematische manier gebruikt. Het stelt dus de gemeenschappelijke, negatieve beoordeling van de strengheid van de elementen ter discussie. Bovendien suggereren de bijzonderheden van de analyse van Manders dat de bewijzen van de tekst kunnen worden begrepen als zijnde in overeenstemming met een formele schematische logica. Dit werd vervolgens bevestigd door de ontwikkeling van formele schematische systemen die ontworpen waren om zo'n logica te karakteriseren. De eerste was FG (gepresenteerd in Miller 2007), gevolgd door het systeem Eu (Mumma 2010).

Deze paragraaf is gewijd aan het toelichten van de analyse van Manders en de formele systemen die daaruit zijn voortgekomen. Na een kort overzicht van hoe Euclid's diagrammen door de eeuwen heen zijn bekeken, wordt Manders 'beeld van hun rol in geometrische bewijzen gepresenteerd. Een beschrijving van hoe de systemen FG en Eu dit beeld formeel weergeven en een logica van Euclidische diagrammen karakteriseren, volgt.

4.1 Visies op schema Euclides 's vanaf 4 e eeuw voor Christus tot de 20 ste eeuw CE

De elementaire geometrie van de elementen werd genomen fundamenteel voor de wiskunde vanaf het begin in het oude Griekenland te zijn tot de 19 e eeuw. Dienovereenkomstig waren filosofen die zich bezighielden met de aard van de wiskunde verplicht om commentaar te leveren op de schematische bewijzen van de tekst. Een centraal probleem, zo niet het centrale probleem, was het algemeenheidsprobleem. Het diagram dat verschijnt met een Euclidische proef, geeft een enkele instantiatie van het type geometrische configuraties waar de proef over gaat. Maar eigenschappen die in het diagram worden beschouwd, worden beschouwd als alle configuraties van het gegeven type. Wat rechtvaardigt deze sprong van het specifieke naar het algemene?

Beschouw ter illustratie het bewijs voor stelling 16 van boek I van de Elementen.

Het voorstel is:

Als in een van de driehoeken een van de zijden wordt geproduceerd, is de buitenhoek groter dan de binnen- en tegenoverliggende hoeken.

Het bewijs van Euclid is:

Een driehoek ABC met het segment BC dat zich uitstrekt tot punt D en een lijn BF die segment AC snijdt
Een driehoek ABC met het segment BC dat zich uitstrekt tot punt D en een lijn BF die segment AC snijdt
  • Laat ABC een driehoek zijn, en laat één kant ervan BC produceren naar D;
  • Ik zeg dat de hoek ACD groter is dan de binnenste en tegenovergestelde hoek BAC.
  • Laat AC in tweeën worden gedeeld op E [I, 10], en laat BE worden samengevoegd en geproduceerd in een rechte lijn naar F;
  • laat EF gelijk worden gemaakt aan BE [I, 3], en laat FC toetreden.
  • Aangezien AE dan gelijk is aan EC en BE gelijk is aan EF, zijn de twee kanten AE, EB respectievelijk gelijk aan de twee kanten CE, EF; en de hoek AEB is gelijk aan de hoek FEC [I, 15].
  • Daarom is de basis AB gelijk aan de basis FC en de driehoek ABE is gelijk aan de driehoek CFE [I, 4], daarom is de hoek BAE gelijk aan de hoek ECF (wat ook de hoek ACF is);
  • Maar de hoek ACD is groter dan de hoek ACF;
  • Daarom is de hoek ACD groter dan BAE.

Het bewijs lijkt te verwijzen naar de delen van het diagram die bij het bewijs zijn geleverd. Desalniettemin is het bewijs niet bedoeld om iets alleen maar over de driehoek in het diagram vast te stellen, maar iets over alle driehoeken. Het diagram dient dus om op een of andere manier alle driehoeken weer te geven.

De rol van diagrammen als representaties wordt opgemerkt door Aristoteles in boek A, hoofdstuk 10 van Posterior Analytics:

De meetkundige baseert geen conclusie op de specifieke lijn die hij heeft getrokken, namelijk die welke hij heeft beschreven, maar [verwijst naar] wat wordt geïllustreerd door de figuren. (De vertaling is van T. Heath, gevonden in Euclid 1956: vol. I, p.119)

Aristoteles gaat terloops niet in op de vraag hoe de meetmeter diagrammen gebruikt om te redeneren over wat ze illustreren. Een paar eeuwen later doet Proclus in zijn commentaar op de elementen. Proclus stelt dat het overgaan van een bepaalde instantie naar een universele conclusie gerechtvaardigd is omdat geometers

… gebruik de objecten in het diagram niet als deze specifieke figuren, maar als figuren die lijken op andere van dezelfde soort. Het is niet zo groot en zo groot dat de hoek voor mij in tweeën wordt gedeeld, maar als rechtlijnig en niets meer … Stel dat de gegeven hoek een rechte hoek is … als ik geen gebruik maak van de juistheid ervan en alleen de rechtlijnige beschouw karakter, zal de stelling gelijkelijk gelden voor alle hoeken met rechtlijnige zijden. (Een commentaar op het eerste boek van Euclid's Elements, Morrow 1970: 207))

De plaats van diagrammen in de meetkunde bleef een probleem in de vroegmoderne tijd. Major filosofische cijfers in de 17 e en 18 e eeuw vooruitgeschoven posities op. Anticiperend op de overheersende moderne visie, stelt Leibniz:

… Het zijn niet de figuren die het bewijs leveren bij geometers, hoewel de stijl van de expositie je misschien doet denken. De kracht van de demonstratie is onafhankelijk van de getekende figuur, die alleen is getekend om de kennis van onze betekenis te vergemakkelijken en om de aandacht te trekken; het zijn de universele proposities, dat wil zeggen de reeds gedemonstreerde definities, axioma's en stellingen, die de redenering doen gelden en die haar zouden ondersteunen hoewel de figuur er niet was. (1704 Nieuwe essays: 403)

In de inleiding van zijn Principles of Human Knowledge (1710, sectie 16) herhaalt Berkeley 13 eeuwen later Proclus's kijk op het algemeenheidsprobleem. Hoewel men altijd een bepaalde driehoek 'in zicht' heeft bij het doorlopen van een demonstratie over driehoeken, is er 'niet de minste vermelding' van de specifieke details van de specifieke driehoek in de demonstratie. De demonstratie bewijst aldus volgens Berkeley een algemene stelling over driehoeken.

Het meest ontwikkelde en voorspelbaar meest complexe en moeilijke verslag van geometrische diagrammen in de moderne tijd is te vinden in Kant. Kant zag iets van diepe epistemologische betekenis in het gebruik van een bepaald diagram door de meetkundige om te redeneren over een geometrisch concept. Om op deze manier te redeneren, de meetkundige

beschouwt het concept in concreto, hoewel niet-empirisch, maar eerder uitsluitend als een concept dat het a priori heeft tentoongesteld, namelijk geconstrueerd, en waarin datgene wat uit de algemene voorwaarden van de constructie volgt, in het algemeen ook het doel van het geconstrueerde concept moet zijn. (1781, Critique of Pure Reason, A716 / B744.)

Zie Shabel 2003 en Friedman 2012 voor contrasterende opvattingen over wat passages zoals deze onthullen over waar diagrammen passen in Kants filosofie van geometrie.

In de 19 ste eeuw geometrie en wiskunde als geheel onderging een revolutie. Concepten die veel abstracter en algemener waren dan die in de Elementen (bijv. Niet-Euclidische geometrieën, verzamelingen) kwamen naar voren. Niet alleen raakten vragen over de aard van de schematische methode van Euclides hun urgentie kwijt, ook werd de methode begrepen als wiskundig gebrekkig. Deze laatste opvatting vond zijn meest precieze uitdrukking in het baanbrekende werk van Moritz Pasch, die in Pasch (1882) de eerste moderne axiomatisering van de elementaire meetkunde verzorgde. Daarin liet Pasch zien hoe het onderwerp kon worden ontwikkeld zonder verwijzing naar diagrammen of zelfs naar de geometrische concepten die diagrammen instantiëren. De methodologische norm die het werk leidt, komt mooi tot uiting in de volgende vaak geciteerde passage:

Als meetkunde echt deductief is, moet het proces van deduceren in alle opzichten onafhankelijk zijn van de betekenis van de geometrische concepten, net zoals het onafhankelijk moet zijn van figuren; alleen de relaties tussen de geometrische begrippen die in de desbetreffende stellingen (respectievelijk definities) worden gebruikt, dienen in aanmerking te worden genomen. (Pasch 1882: 98; nadruk in origineel. De vertaling hier is van Schlimm 2010)

De norm heeft zich sindsdien zowel in wiskunde als in filosofische discussies over wiskunde verschanst. Het is de verankering in het laatste waar Manders in Manders 2008 [1995] tegen is. In het verslag dat hij over oude meetkunde ontwikkelt, duidt de noodzaak van het raadplegen van een diagram in een proef niet op een deductieve kloof. Diagram en tekst vormen eerder een rigoureus en deductief wiskundig bewijs.

4.2 Het exacte / co-exacte onderscheid van Manders en het algemeenheidsprobleem

4.2.1 Het exacte / co-exacte onderscheid

Om de arbeidsverdeling tussen tekst en diagram in oude meetkunde te verklaren, maakt Manders onderscheid tussen de exacte en co-exacte eigenschappen van geometrische diagrammen in Manders 2008 [1995]. Aan het onderscheid ligt een idee van variatie ten grondslag. De co-exacte voorwaarden die door een diagram worden gerealiseerd 'zijn die voorwaarden die niet worden beïnvloed door een bereik van elke continue variatie van een gespecificeerd diagram'. Exacte omstandigheden worden daarentegen beïnvloed zodra het diagram onderhevig is aan de kleinste variatie. De co-exacte eigenschappen van een diagram omvatten grofweg de manieren waarop de onderdelen een eindige reeks vlakke gebieden definiëren en de insluitingsrelaties tussen deze regio's. Een opvallende exacte relatie is de gelijkheid van twee grootheden binnen een diagram. Bijvoorbeeld,slechts de geringste verandering van de positie van CF in het diagram voor voorstel 16 is vereist om de hoeken BAE en ECF ongelijk te maken.

De belangrijkste waarneming van Manders is dat de diagrammen van Euclides alleen bijdragen aan bewijzen door hun co-exacte eigenschappen. Euclid leidt nooit een exacte eigenschap af uit een diagram, tenzij deze rechtstreeks volgt uit een co-exacte eigenschap. Relaties tussen grootheden die niet als inperking worden getoond, worden ofwel vanaf het begin aangenomen of worden bewezen via een reeks gevolgtrekkingen in de tekst. Dit kan gemakkelijk worden bevestigd met het bewijs van stelling 16. De enige gevolgtrekking die op het diagram berust, is de voorlaatste gevolgtrekking van het bewijs. De conclusie is met name dat hoek ACD groter is dan hoek ACF. Dit is van cruciaal belang omdat we in het diagram zien dat hoek ACD hoek ACF bevat. Er zijn veel andere relaties die beweerd worden in het bewijs. Hoewel het diagram ze instantieert, worden ze expliciet gerechtvaardigd in de tekst. En met deze relaties,de relata zijn ruimtelijk gescheiden grootheden.

Het is niet moeilijk te veronderstellen waarom Euclid zichzelf op zo'n manier zou hebben beperkt. Alleen in hun vermogen om co-exacte eigenschappen en relaties weer te geven, lijken diagrammen in staat te zijn effectief te functioneren als symbolen van bewijs. De exacte eigenschappen van diagrammen zijn te verfijnd om gemakkelijk reproduceerbaar te zijn en om bepaalde oordelen te ondersteunen. Zoals Manders het zegt

De praktijk heeft middelen om het risico van onenigheid over (expliciete) co-exacte attributies uit een diagram te beperken; maar het beschikt niet over dergelijke middelen voor exacte attributies en kon het daarom niet toestaan zonder op te lossen in een wanorde van onoplosbare tegenstrijdige uitspraken. (Manders 2008 [1995]: 91-92)

De inzichten van Manders leidden natuurlijk tot het idee dat de argumenten van Euclid konden worden geformaliseerd op een manier die vergelijkbaar is met de manier waarop Venn-diagrammen zijn geformaliseerd in Shin 1994. De co-exacte informatie die door de diagrammen van Euclid wordt gedragen, is discreet. Wanneer een diagram voor deze informatie wordt geraadpleegd, is het van belang hoe de lijnen en cirkels een begrensd vlak gebied verdelen in een eindige reeks subgebieden. Dit opent de deur om Euclid's diagrammen te conceptualiseren als onderdeel van de syntaxis van Euclid's bewijsmethode.

4.2.2 Het algemeen probleem met de constructies van Euclid

Deze conceptie realiseren in een formeel systeem van bewijsbedragen, zoals in Shin 1994, om de syntaxis en semantiek van diagrammen te specificeren. Aan de syntactische kant betekent dit het nauwkeurig definiëren van Euclid's diagrammen als formele objecten, en het geven van regels waarbij diagrammen als formeel object een rol spelen in afleidingen van Euclid's proposities. Aan de semantische kant betekent dit specificeren hoe afgeleide uitdrukkingen geometrisch moeten worden geïnterpreteerd, of met andere woorden hoe ze precies moeten worden opgevat als een weergave van de stellingen van Euclides.

De semantische situatie met de diagrammen van Euclides is dus anders dan die met die van Venn. Venn-diagrammen worden gebruikt om logische resultaten te bewijzen. De gevolgtrekkingen die ermee zijn gemaakt, zijn onderwerpneutraal. Euclid's diagrammen worden daarentegen gebruikt om geometrische resultaten te bewijzen. De gevolgtrekkingen die ermee zijn gemaakt, zijn onderwerpspecifiek. Hoewel de objecten van de vlakke Euclidische meetkunde abstract zijn (bijv. Geometrische lijnen zijn niet breed), zijn ze nog steeds ruimtelijk. Bijgevolg ontstaan problemen rond de ruimtelijkheid van diagrammen en de representatieve reikwijdte niet bij de diagrammen van Euclid zoals bij bijvoorbeeld Euler-diagrammen. In het geval van geometrie telt in feite de ruimtelijkheid van diagrammen in hun voordeel. Ruimtelijke beperkingen op wat mogelijk is met geometrische configuraties werken ook met ruimtelijke Euclidische diagrammen.

Niettemin, zoals erkend in het filosofische commentaar op de geometrie van Euclides vanaf de oudheid, zijn er met Euclidische diagrammen problemen met representatieve reikwijdte waarmee men te kampen heeft. Wat is de rechtvaardiging voor het behandelen van eigenschappen van een enkel geometrisch diagram als representatief voor alle configuraties in het bereik van een proef? Hoe kan een enkel diagram een algemeen resultaat bewijzen? Het exacte / co-exacte onderscheid van Manders vormt de basis voor een gedeeltelijk antwoord. De co-exacte eigenschappen van een diagram kunnen worden gedeeld door alle geometrische configuraties in het bereik van een proef, en daarom is het in dergelijke gevallen gerechtvaardigd om co-exacte eigenschappen uit het diagram af te lezen. In een proef over driehoeken bijvoorbeeld, is variatie tussen de configuraties in het bereik van de proef variatie van exacte eigenschappen - bijvoorbeeld de maat van de hoeken van de driehoeken,de verhoudingen tussen hun kanten. Ze hebben allemaal dezelfde co-exacte eigenschappen, dwz ze bestaan allemaal uit drie begrensde lineaire gebieden die samen een gebied definiëren.

Dit is geen volledig antwoord omdat de bewijzen van Euclides doorgaans constructies betreffen met een eerste configuratietype. Met het bewijs van stelling 16 wordt bijvoorbeeld een constructie op een driehoek met één zijde verlengd gespecificeerd. In dergelijke gevallen kan een diagram de co-exacte eigenschappen van een initiële configuratie adequaat weergeven. Maar het resultaat van het toepassen van de constructie van een proef op het diagram kan niet worden verondersteld de co-exacte eigenschappen weer te geven van alle configuraties die het gevolg zijn van de constructie. Men hoeft geen rekening te houden met complexe geometrische situaties om dit te zien. Stel dat het initiële configuratietype van een proef bijvoorbeeld driehoek is. Dan het diagram

een driehoek (een acute driehoek)
een driehoek (een acute driehoek)

dient om de co-exacte eigenschappen van dit type weer te geven. Stel verder dat de eerste stap van de constructie van een proef is om de loodlijn van een hoekpunt van de driehoek te laten vallen naar de lijn die de kant tegenover het hoekpunt bevat. Vervolgens het resultaat van het uitvoeren van deze stap in het diagram

dezelfde driehoek als de vorige afbeelding met een loodlijn die uit één hoekpunt viel
dezelfde driehoek als de vorige afbeelding met een loodlijn die uit één hoekpunt viel

houdt op representatief te zijn. Dat de loodlijn binnen de driehoek in het diagram valt, is daar een co-exact kenmerk van. Maar er zijn driehoeken met exacte eigenschappen die verschillen van het oorspronkelijke diagram, waarbij het toepassen van de constructiestap resulteert in een loodrechte lijn die buiten de driehoek ligt. Bijvoorbeeld met de driehoek

Een stompe driehoek
Een stompe driehoek

het resultaat van het toepassen van de constructiestap is

Een stompe driehoek met een loodrechte daling van een van de scherpe hoeken naar de verlenging van de andere kant van de driehoek
Een stompe driehoek met een loodrechte daling van een van de scherpe hoeken naar de verlenging van de andere kant van de driehoek

4.3 De formele systemen FG en Eu

En dus kan het uitvoeren van een Euclidische constructie op een representatief diagram resulteren in een niet-representatief diagram. Een centrale taak bij het formaliseren van de schematische bewijzen van Euclides is de verantwoording hiervoor, dwz door de regels een methode te geven om algemene co-exacte kenmerken te onderscheiden van niet-algemene in schematische weergaven van constructies. De systemen FG en Eu pakken deze taak op twee verschillende manieren aan.

Gebruikmakend van de methode van FG, moet men elk geval dat uit de constructie zou kunnen voortvloeien met een diagram produceren. Een algemene co-exacte relatie van de constructie is er dan een die in alle gevallen voorkomt. FG 's eis dat elk geval zou worden geproduceerd, zou natuurlijk een beetje interessant zijn als het niet ook een methode zou bieden om ze allemaal te produceren. De methode die FG biedt, hangt af van het feit dat lijnen en cirkels in de systeemdiagrammen in puur topologische termen worden gedefinieerd. De resulterende flexibiliteit maakt het mogelijk om een algemene methode voor het genereren van cases in een computerprogramma te formuleren en te implementeren. [9]

De lijnen en cirkels van Eu- diagrammen zijn niet op dezelfde manier flexibel. Dienovereenkomstig kan het het algemeenheidsprobleem niet oplossen via case-analyse zoals FG doet. Het centrale idee van zijn aanpak is om diagrammen vanaf het begin gedeeltelijke informatie te laten bevatten. Binnen een Eu- afleiding heeft het diagram dat wordt geproduceerd door de constructie van een proef een initiële inhoud die bestaat uit alle kwalitatieve relaties van het oorspronkelijke diagram van de proef. De kwalitatieve relaties betreffende door de constructie toegevoegde objecten kunnen niet direct uit het diagram worden afgelezen. Degenen die uit het diagram kunnen worden gelezen, moeten worden afgeleid uit de systeemregels. [10]

De verschillen tussen de FG- en Eu- benaderingen om Euclid's constructies te formaliseren, kunnen worden opgevat als verschillende algemene opvattingen over de rol van diagrammen in de wiskunde. FG belichaamt een conceptie waarin diagrammen concreet een reeks wiskundige mogelijkheden realiseren. Ze ondersteunen wiskundige gevolgtrekking door directe toegang tot deze mogelijkheden te bieden. Eu belichaamt daarentegen een conceptie waarbij diagrammen dienen om in een enkel symbool de verschillende componenten van een complexe wiskundige situatie weer te geven. Ze ondersteunen wiskundige gevolgtrekking door de wiskundige redeneerder toe te staan al deze componenten op één plaats te beschouwen en zich te concentreren op die componenten die relevant zijn voor een bewijs.

5. Diagrammen en cognitie, toepassingen

Ondanks de formele beperkingen van sommige hierboven genoemde schematische systemen, worden momenteel veel verschillende systemen gebruikt in een grote verscheidenheid aan contexten; logisch onderwijs, geautomatiseerd redeneren, specificeren van computerprogramma's, redeneren over natuurkundige situaties, grafische gebruikersinterfaces naar computerprogramma's, enzovoort. Over het algemeen is nog niet bekend hoe effectief (in bovenstaande zin) veel van deze schematische systemen zijn. We geven nu een kort overzicht van andere schematische systemen en hun gebruik, evenals de meer filosofische kwesties die door het debat naar voren worden gebracht over de status van schematisch redeneren.

5.1 Enkele andere schematische systemen

Het is vermeldenswaard dat veel wiskundigen en filosofen schematische systemen hebben voorgesteld, vaak met een didactische motivatie. Sommige systemen, zoals die van Lewis Carroll in "The Game of Logic" (1896), zijn varianten op de voorstellen van Euler en Venn. Anderen, zoals Frege (1879), gebruikten lijnen in plaats van vlakke gebieden. (Voor een beschrijving van Frege's notatie, zie de sectie over Complexe verklaringen en algemeenheid in de vermelding op Gottlob Frege. Zie ook Englebretsen 1992.) Het systeem van Carroll vervangt dat van Venn doordat de aanvullingen van sets expliciet worden weergegeven als regio's van het diagram, in plaats van wordt achtergelaten als het achtergrondgebied waartegen de cirkels verschijnen. Dit betekent dat het systeem van Carroll in staat is om conclusies te trekken over de relaties tussen complementen van eigenschappen, ten koste van het representeren van sommige eigenschappen als onsamenhangend (dat wil zeggen,niet-verbonden) regio's. Deze verschuiving weerspiegelt nauw de verschuiving in logica van argumentatie van subjectpredikaten naar representatie van functieargumenten (Stenning 1999).

Peirce, een grondlegger van moderne gekwantificeerde logica, vond ook een grafisch systeem uit, genaamd Existential Graphs, dat logisch gelijkwaardig is aan predikaatlogica. Samen met Don Robert's baanbrekende werk aan Existential Graphs en John Sowa's creatieve toepassing van Peirce's grafieken, heeft onlangs een groep van schematische onderzoekers een meer diverse benadering van Existential Graphs gegeven in een bredere theoretische context (Shin 2003).

Wat een meer praktisch thema betreft, debatteren AI-onderzoekers, waarvan een van de grootste zorgen de heuristische kracht van representatiesystemen is, naast hun expressieve kracht, al decennia lang over verschillende vormen van representatie (Sloman 1971, 1985, 1995). Daarom verwelkomden ze discussies over de duidelijke rol van visueel redeneren en organiseerden ze onlangs interdisciplinaire symposia over schematisch redeneren op AI-conferenties. [11] Tegelijkertijd hebben sommige AI-onderzoekers en ontwerptheoretici, zich realiserend dat mensen verschillende representatievormen aannemen, afhankelijk van het soort problemen waarmee zij worden geconfronteerd, domeinspecifieke benaderingen geoefend om probleemgerichte representatievormen in te voeren. [12]

Harel (1988) vond bijvoorbeeld higraphs uit om systeemspecificaties in de informatica te vertegenwoordigen. Dit idee is overgenomen in industriële toepassingen (bijv. UML, in Booch et al. 1998). Barker-Plummer & Bailin (1997) presenteren een casestudy bij het ontwikkelen van computers die het soort analoge redeneringen kunnen uitvoeren dat mensen uitvoeren bij het bewijzen van bepaalde wiskundige stellingen. Meer recentelijk heeft Mateja Jamnik van Alan Bundy's Mathematical Reasoning Group in Edinburgh een interessant resultaat gepresenteerd (Jamnik 2001). Jamnik laat zien hoe een semi-automatisch formeel bewijssysteem enkele van de perceptuele gevolgtrekkingen kan uitvoeren die mensen zo natuurlijk vinden. Dat bijvoorbeeld de som van de eerste oneven natuurlijke getallen n kwadraat is, is gemakkelijk te zien door een n × n-raster in 'ellen' te ontleden (Jamnik et al. 1999).

Geleerden aan de Universiteit van Brighton hebben interessante projecten uitgevoerd, zowel bij het ontwikkelen van schematische systemen als bij het toepassen van visuele hulpmiddelen bij softwareontwikkeling, zie de link in de sectie Overige internetbronnen.

Er moet ook worden vermeld dat wetenschappers zoals scheikundigen en natuurkundigen ook diagrammen gebruiken om bepaalde berekeningen uit te voeren. Feynman-diagrammen worden bijvoorbeeld gebruikt om berekeningen uit te voeren in de subatomaire fysica. Meer recentelijk is er formeel schematisch redeneren ontwikkeld voor de kwantumtheorie (Coecke & Kissinger 2017). In Knot Theory (die toepassingen heeft in de natuurkunde, Kauffman 1991) zijn de drie Reidemeister Moves schematische bewerkingen die een complete calculus vormen om het equivalent van knopen te bewijzen. Het is niet verrassend dat Knotdiagrammen belangstelling hebben getrokken van onderzoekers (De Toffoli & Giardino 2014). Ook is de cruciale rol van diagrammen en schematisch redeneren in de abstracte wiskunde van de categorietheorie onderzocht (Halimi 2012; De Toffoli 2017).

5.2 Diagrammen als mentale representaties

Hebben onze mentale representaties diagramachtige of beeldachtige entiteiten als componenten? Deze vraag heeft een lange geschiedenis, zowel in de filosofie als in de psychologie, onafhankelijk van elkaar. Meer recentelijk hebben sommige filosofen echter deelgenomen aan dit "beelddebat", een van de meest aloude controverses in de psychologie, en sommige cognitieve psychologen vinden bepaalde epistemologische theorieën in de filosofie nuttig om hun opvattingen over dit onderwerp te ondersteunen.

De aard van mentale representatie is een van de vaste onderwerpen in de filosofie en we kunnen filosofische discussies over beelden en mentale representatie gemakkelijk herleiden tot in de oudheid. [13]De geschriften van Hobbes, Locke, Berkeley en Hume houden zich voor een groot deel bezig met het mentale discours, de betekenis van woorden, mentale beelden, bepaalde ideeën, abstracte ideeën, indrukken, enzovoort. Het welbekende onderscheid tussen Descartes tussen iets verbeelden en bedenken heeft tot veel discussie geleid over de unieke rol van visuele beelden in mentale representaties. De ontwikkeling van de cognitieve wetenschap in de 20e eeuw heeft natuurlijk een bepaalde groep filosofen en psychologen dichter bij elkaar gebracht en we vinden een aantal auteurs wier werk gemakkelijk tot beide disciplines behoort (Block 1983; Dennett 1981; Fodor 1981).

Beeldvorming op basis van introspectie was de belangrijkste focus in de vroege ontwikkeling van de psychologie totdat de gedragsbenadering de overhand kreeg in de discipline. In het tijdperk van het behaviorisme werd alles wat met mentale inspectie te maken had, inclusief afbeeldingen, uitgesloten van elke serieuze onderzoeksagenda. Toen het onderwerp mentale beelden uiteindelijk in de jaren zestig een comeback maakte in de psychologie, namen onderzoekers een meer bescheiden agenda voor mentale beeldvorming aan dan voorheen: niet alle mentale representaties hebben betrekking op beeldspraak en beeldspraak is een van de vele manieren om informatie in de geest te manipuleren. Dankzij de invloed van behaviorisme wordt ook erkend dat introspectie niet genoeg is om beeldspraak te verkennen, maar een bewering over mentale beeldvorming moet door experimenten kunnen worden bevestigd om te laten zien dat we mentale gebeurtenissen met succes naar buiten kunnen brengen. Dat is,als wat een bepaalde mentale introspectie ons vertelt, echt is, dan zouden er waarneembare externe gevolgen van die mentale toestand zijn.

Het hedendaagse beelddebat onder cognitieve wetenschappers gaat dus over de bewering dat beeldachtige beelden bestaan als mentale representaties en over hoe we bepaalde experimenten interpreteren. [14]

Kosslyn (1980, 1994) en andere picturalisten (Shepard & Metzler 1971) presenteren experimentele gegevens om hun standpunt te ondersteunen dat sommige van onze mentale beelden meer op plaatjes lijken dan op een lineaire vorm van taal (bijvoorbeeld natuurlijke talen of kunstmatige symbolische talen) in enkele belangrijke aspecten, hoewel niet alle visuele mentale afbeeldingen en afbeeldingen van exact dezelfde soort zijn. Pylyshyn (1981) en andere descriptionalisten (Dennett 1981) stellen daarentegen vragen over de beeldachtige status van mentale beelden en stellen dat mentale beelden worden gevormd uit gestructureerde beschrijvingen. Voor hen vertegenwoordigen mentale beelden eerder de taal dan afbeeldingen en daarom zijn er geen beeldachtige visuele mentale beelden.

Beide zijden van het debat gebruikten soms een filosofische theorie als ondersteunende factor. Bijvoorbeeld, picturalisten in het beelddebat vonden de moderne sense-datum theorie in de filosofie vrij dicht bij hun standpunt. Evenzo betoogden de critici van de sense-datum theorie dat de verkeerde beeldweergave van mentale beelden voornamelijk voortkomt uit onze verwarring over gewone taal en beweerden dat mentale beelden epifenomenen zijn.

5.3 De cognitieve rol van diagrammen

Zonder sterk betrokken te zijn bij het beelddebat, hebben sommige onderzoekers zich gericht op een duidelijke rol die diagrammen of afbeeldingen spelen, in tegenstelling tot traditionele sentimentele vormen, bij onze cognitieve activiteiten. (Shin 2015; Hamami & J. Mumma 2013) Op basis van de veronderstellingen dat mensen schematische of ruimtelijke interne mentale representaties aannemen in hun redenering over concrete of abstracte situaties (zie Howell 1976; Sober 1976), hebben sommige cognitieve wetenschappers zich geconcentreerd op de functies van afbeeldingen of diagrammen in onze verschillende cognitieve activiteiten, bijvoorbeeld geheugen, verbeelding, perceptie, navigatie, gevolgtrekking, probleemoplossing enzovoort. Hier is het onderscheidende karakter van 'visuele informatie', verkregen door interne mentale beelden of door extern getekende diagrammen, een belangrijk onderzoeksonderwerp geworden. Hoewel de meeste van deze werken aannemen dat er mentale beelden zijn (dat wil zeggen, ze accepteren de bewering van de picturalisten), hoeven ze zich strikt genomen niet te verbinden tot de opvatting dat deze beelden bestaan als basiseenheden in onze cognitie. Descriptionalisten hoeven discussies over de functies van afbeeldingen niet te negeren, maar hoeven er alleen maar aan toe te voegen dat deze afbeeldingen geen primitieve eenheden zijn die in ons geheugen zijn opgeslagen, maar zijn gevormd uit gestructureerde beschrijvingen die meer op de zinnen van een taal lijken (zie Pylyshyn 1981).maar we hoeven er alleen maar aan toe te voegen dat deze afbeeldingen geen primitieve eenheden zijn die in ons geheugen zijn opgeslagen, maar zijn gevormd uit gestructureerde beschrijvingen die meer op de zinnen van een taal lijken (zie Pylyshyn 1981).maar we hoeven er alleen maar aan toe te voegen dat deze afbeeldingen geen primitieve eenheden zijn die in ons geheugen zijn opgeslagen, maar zijn gevormd uit gestructureerde beschrijvingen die meer op de zinnen van een taal lijken (zie Pylyshyn 1981).

Een zoektocht naar de duidelijke rol van diagrammen heeft onderzoekers ertoe gebracht de verschillen tussen verschillende vormen van externe of interne representaties te verkennen, en vooral tussen schematische en sentimentele representaties. In de cognitieve wetenschap zijn veel belangrijke resultaten behaald. Uitgaande van de klassieke casestudy van Larkin en Simon (1987) om een verschil tussen informatieve en computationele gelijkwaardigheid tussen representatiesystemen te illustreren, lokaliseert Lindsay's werk waar dit computationele verschil ligt, dat hij een 'niet-deductieve' methode noemt. Zoals hierboven kort werd opgemerkt, wordt dit gevolgtrekkingsproces door Barwise en Shimojiima (1995) 'free ride' genoemd, dwz het soort gevolgtrekking waarbij de conclusie automatisch lijkt te worden afgelezen uit de representatie van premissen. In Gurr, Lee en Stenning (1998) en Stenning and Lemon (2001),er is een verklaring voor het unieke karakter van schematische gevolgtrekking in termen van een mate van 'directheid' van interpretatie, en er wordt beweerd dat deze eigenschap relatief is, en dus dat 'sommige ritten goedkoper zijn dan andere'. Met de rol van grafieken in het achterhoofd, presenteren Wang en Lee (1993) een formeel kader als richtlijn voor correcte beeldtalen. Op dit punt zijn we heel dicht bij toegepaste aspecten van onderzoek in multimodale redenering-ontwerptheorie en AI-onderzoek - door deze disciplines computationele ondersteuning te bieden voor visueel redeneren. Wang en Lee (1993) presenteren een formeel kader als richtlijn voor correcte beeldtalen. Op dit punt zijn we heel dicht bij toegepaste aspecten van onderzoek in multimodale redenering-ontwerptheorie en AI-onderzoek - door deze disciplines computationele ondersteuning te bieden voor visueel redeneren. Wang en Lee (1993) presenteren een formeel kader als richtlijn voor correcte beeldtalen. Op dit punt zijn we heel dicht bij toegepaste aspecten van onderzoek in multimodale redenering-ontwerptheorie en AI-onderzoek - door deze disciplines computationele ondersteuning te bieden voor visueel redeneren.

Gerelateerd aan het vraagstuk van de imagistische mentale representatie is het onderzoeken van de semantiek van verschillende diagrammatische systemen en wat ze ons kunnen leren over de aard van talen in het algemeen (bijv. Goodman 1968). Zo stelt onder meer Robert Cummins (1996) dat er te weinig aandacht is besteed aan schematische representaties en dat een focus op een begrip van "structurele representatie" dat meer lijkt op schematische representatie kan helpen om de aard van representatie zelf te verduidelijken. Wij zijn van mening dat de hierboven gepresenteerde overwegingen ons een empirische greep geven op dit type claim, althans - afhankelijk van de gebruikte imagistische objecten en relaties moeten patronen van onjuiste gevolgtrekking voorspelbaar en detecteerbaar zijn. Een belangrijk, zij het weinig bekend, artikel over dit thema is Malinas 1991. Hier verkent Malinas de concepten van picturale representatie en "waarheid in" een afbeelding via het begrip gelijkenis, en overweegt verschillende semantische puzzels over picturale representatie. Hij ontwikkelt Peacocke's 'Central Thesis' of depiction (Peacocke 1987), waar ervaren overeenkomsten tussen eigenschappen van picturale objecten en hun referenties in het visuele veld aanleiding geven tot de relatie van afbeelding. Hij geeft vervolgens een formele semantiek voor afbeeldingen die "analoog is aan een semantiek voor een ideale taal".waar ervaren overeenkomsten tussen eigenschappen van picturale objecten en hun referenties in het visuele veld aanleiding geven tot de relatie van afbeelding. Hij geeft vervolgens een formele semantiek voor afbeeldingen die "analoog is aan een semantiek voor een ideale taal".waar ervaren overeenkomsten tussen eigenschappen van picturale objecten en hun referenties in het visuele veld aanleiding geven tot de relatie van afbeelding. Hij geeft vervolgens een formele semantiek voor afbeeldingen die "analoog is aan een semantiek voor een ideale taal".

Overzicht

We begonnen met het motiveren van de filosofische interesse van diagrammen, door middel van hun rol in het menselijk redeneren en hun relatie tot de studie van taal in het algemeen, en multimodale informatieverwerking. Vervolgens hebben we de wisselwerking tussen expressieve kracht en visuele helderheid van diagrammatische systemen uitgelegd, door de historische ontwikkeling van diagramsystemen van Euler en Venn, door middel van Peirce's werk, naar recent werk van Shin en Hammer te onderzoeken. Er werd aangevoerd dat diagrammatische systemen dezelfde logische status kunnen krijgen als traditionele lineaire proefberekeningen. Vervolgens hebben we enkele van de mogelijke valkuilen van diagrammatische representatie en redenering uitgelegd door ruimtelijke beperkingen op diagrammatische systemen te onderzoeken en hoe ze correctheid en expressieve kracht kunnen beïnvloeden. We sloten af door andere diagramsystemen te onderzoeken,de interesse in diagrammen gegenereerd in informatica en cognitieve wetenschappen, en gaf een inleiding op het beelddebat in de filosofie van de geest.

Bibliografie

Referenties

  • Allwein, G. en J. Barwise (red.), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, Oxford: Oxford University Press.
  • Avigad, J. met E. Dean en J. Mumma, 2009, "A formal system for Euclid's Elements", Review of Symbolische Logica, 2: 700–768.
  • Barker-Plummer, D. en S. Bailin, 1997, "The Role of Diagrams in Mathematical Proofs", Machine GRAPHICS and VISION, 6 (1): 25–56. (Special Issue on Diagrammatic Representation and Reasoning).
  • Barker-Plummer, D., D. Beaver, J. van Benthem en P. Scotto di Luzio, 2002, Words, Proofs, and Diagrams, Stanford: CSLI Publications.
  • Barwise, J., 1993, "Heterogeneous reasoning", in G. Mineau, B. Moulin en J. Sowa, (eds), ICCS 1993: Conceptual Graphs for Knowledge Representation (Lecture Notes in Artificial Intelligence: Volume 699), Berlijn: Springer Verlag, pp. 64-74.
  • Barwise, J. en J. Etchemendy, 1989, "Information, Infons, and Inference", in Cooper, Mukai en Perry, (eds), Situation Theory and its Applications, volume 1, Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 1991, "Visual Information and Valid Reasoning", in Zimmerman en Cunningham, (eds), Visualisatie in het onderwijzen en leren van wiskunde, pagina's 9–24. Washington: Mathematical Association of America.
  • –––, 1993, The Language of First-Order Logic, Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 1994, Hyperproof, Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 1995, "Heterogeneous Logic", in J. Glasgow, N. Hari Narayanan en B. Chandrasekaran, (eds), Diagrammatic Reasoning: Cognitive and Computational Perspectives, pagina's 209–232. Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
  • Barwise, J. en A. Shimojima, 1995, "Surrogate Reasoning", Cognitive Studies: Bulletin of Japanese Cognitive Science Society, 4 (2): 7–27.
  • Berkeley, G., 1710, Principles of human knowledge, in David Armstrong (red.), Berkeley's Philosophical Writings, London: Macmillian, 1965.
  • Block, N., (red.), 1981, Imagery, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 1983, "Mental pictures and cognitive science", The Philosophical Review, 92: 499–541
  • Booch, G., J. Rumbaugh en I. Jacobson, 1999, The Unified Modeling Language Reference Manual, Reading, Mass.: Addison-Wesley.
  • Coecke, B. en Kissinger, A., 2017, Quantum Processes afbeelden. Een eerste cursus in kwantumtheorie en diagrammatisch redeneren, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Carroll, L., 1896, Symbolische logica, New York: Dover.
  • Chandrasekaran, B., J. Glasgow en N. Hari Narayanan, (red.), 1995, Diagrammatic Reasoning: Cognitive and Computational Perspectives, Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
  • Cummins, R., 1996, Representations, Targets, and Attitudes, Cambridge, MA: MIT Press.
  • De Toffoli, S., 2017, 'Chasing The Diagram - The Use of Visualizations in Algebraic Reasoning', Review of Symbolische logica, 10 (1): 158–186.
  • De Toffoli, S. en Giardino, V., 2014, "Forms and Rollen of Diagrams in Knot Theory", Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
  • Dennett, D., 1981, "The nature of images and the introspective trap", in Block 1981, pp. 87–107.
  • Englebretsen, G., 1992, "Linear Diagrams for Syllogisms (with Relationals)", Notre Dame Journal of Formal Logic, 33 (1): 37–69.
  • Euclid, The Thirteen Books of the Elements (tweede editie, Vols. I – III), New York, NY: Dover Publications, 1956. Vertaald met inleiding en commentaar door Sir Thomas L. Heath, uit de tekst van Heiberg.
  • Euler, L., 1768, Lettres à une Princesse d'Allemagne, St. Petersburg; l'Academie Imperiale des Sciences.
  • Fodor, J., 1981, "Imagistic representation", in Block 1981, pp. 63–86.
  • Frege, G., 1879, Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle am See: Louis Nebert
  • Friedman, M., 2012, "Kant over geometrie en ruimtelijke intuïtie", Synthese, 186: 231–255.
  • Gardner, M., 1958, Logic Machines and Diagrams, Sussex: Harvester Press.
  • Goodman, N., 1968, Languages of Art: an approach to a theory of symbols, London: Oxford University Press.
  • Greaves, M., 2002, The Philosophical Status of Diagrams, Stanford: CSLI Publications.
  • Grigni, M., D. Papadias en C. Papadimitriou, 1995, "Topological Inference", in International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI '95), pagina's 901–907, Cambridge, MA: AAAI Press.
  • Gurr, C., J. Lee en K. Stenning, 1998, "Theorieën van schematisch redeneren: onderscheidende componentproblemen", Minds and Machines, 8: 533–557.
  • Halimi, B., 2012, 'Diagrams as Sketches', Synthese, 186 (1): 387–409.
  • Hamami Y. en Mumma J., 2013, "A Prolegomena to a Cognitive Investigation of Euclidean Diagrammatic Reasoning", Journal of Language, Logic and Information, 22 (4): 421–448.
  • Hammer, E., 1995a, "Redeneren met zinnen en diagrammen", Notre Dame Journal of Formal Logic, 35 (1): 73–87.
  • Hammer, E. en S. Shin, 1998, 'Euler's Visual Logic', History and Philosophy of Logic, 19: 1–29.
  • Harel, D., 1988, 'On Visual Formalisms', Communications of the ACM, 31 (5): 514–530.
  • Howell, R., 1976, "Ordinary Pictures, Mental Representations, and Logical Forms", Synthese, 33: 149–174.
  • Jamnik, M., 2001, Wiskundig redeneren met diagrammen, Stanford: CSLI-publicaties.
  • Jamnik, M., A. Bundy en I. Green, 1999, "On Automating Diagrammatic Proofs of Arithmentic Arguments", Journal of Logic, Language, and Information, 8 (3): 297–321.
  • Kant, I., 1781, Critique of Pure Reason, vertaald en bewerkt door P. Guyer en A. Wood, Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
  • Kauffman, L. 1991, Knots and Physics, Singapore: World Scientific.
  • Kosslyn, S., 1980, Image and Mind, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1994, Image and Brain: de resolutie van het beelddebat, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Lambert, JH, 1764, Neues Organon, Berlijn: Akademie Verlag, 1990.
  • Larkin, J. en H. Simon, 1987, "Waarom een diagram (soms) 10.000 woorden waard is", Cognitive Science, 11: 65–99.
  • Leibniz, G., 1704, New Essays Concerning Human Understanding, LaSalle: Open Court Publishing, 1949.
  • Lemon, O., 2002, "Vergelijking van de werkzaamheid van visuele talen", in Barker-Plummer et al. (redactie), 2002, pp. 47-69.
  • Lemon, O., M. de Rijke en A. Shimojima, 1999, "Efficacy of Diagrammatic Reasoning" (Redactioneel), Journal of Logic, Language, and Information, 8 (3): 265–271.
  • Lemon, O. en I. Pratt, 1997, "Spatial Logic and the Complexity of Diagrammatic Reasoning", Machine Graphics and Vision, 6 (1): 89–108, 1997. (speciale uitgave over diagrammatische representatie en redenering).
  • –––, 1998, “On the insufficiency of linear diagrams for syllogisms”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 39 (4): 573–580.
  • Malinas, G., 1991, 'A Semantics for Pictures', Canadian Journal of Philosophy, 21 (3): 275–298.
  • Manders, K., 2008 [1995], "The Euclidean diagram", in Philosophy of Mathematical Practice, P. Mancosu (red.), Oxford: Clarendon Press, 2008, pp. 112–183. (In 1995 voor het eerst als manuscript verspreid.)
  • Miller, Nathaniel, 2007, Euclid and His Twentieth Century Rivals: Diagrams in the Logic of Euclidean Geometry, (CSLI Studies in the Theory and Applications of Diagrams), Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 2006, “Computationele complexiteit van diagramtevredenheid in Euclidische meetkunde”, Journal of Complexity, 22: 250–74.
  • Morrow, G., 1970, Proclus: een commentaar op het eerste boek van Euclid's Elements, Princeton: Princeton University Press, 1970.
  • Mumma, J., 2010, 'Proofs, Pictures and Euclid', Synthese, 175 (2): 255–287.
  • Narayanan, N., 1993, "Taking issue / forum: The imagery debat revisited", Computational Intelligence, 9 (4): 303–435.
  • Pasch, M., 1882, Vorlesungen über neuere Geometrie, Teubner: Leipzig.
  • Peacocke, C., 1987, "Afbeelding", The Philosophical Review, 96: 383–410
  • Peirce, CS, 1933, Collected Papers, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Pylyshyn, Z., 1981, "Imagery and Artificial Intelligence", in N. Block, (red.), Readings in Philosophy of Psychology, volume 2, pagina's 170–196. Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Roberts, D., 1973, The Existential Graphs of Charles S. Peirce, Den Haag: Mouton.
  • Russell, B., 1923, "Vagueness", in J. Slater, (red.), Essays on Language, Mind, and Matter: 1919–26 (The Collected Papers of Bertrand Russell), pagina's 145–154. Londen: Unwin Hyman.
  • Schlimm, D., 2010, 'Pasch's filosofie van de wiskunde', Review of Symbolische logica, 3 (1): 93–118.
  • Shabel, L., 2003, Wiskunde in Kants kritische filosofie: reflecties op de wiskundige praktijk, New York: Routledge.
  • Shepard, R. en J. Metzler, 1971, "Mental rotatie van driedimensionale objecten", Science, (171): 701–3.
  • Shimojima, A., 1996a, On the Efficacy of Representation, Ph. D. proefschrift, Indiana University.
  • –––, 1999, "Constraint-Preserving Representations", in L. Moss, J. Ginzburg en M. de Rijke, (eds), Logic, Language and Computation: Volume 2, CSLI Lecture Notes # 96, pagina's 296– 317. Stanford: CSLI-publicaties.
  • Shin, S., 1994, The Logical Status of Diagrams, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2003, The Iconic Logic of Peirce's Graphs, Cambridge: MIT Press (Bradford).
  • –––, 2015, “The Mystery of Deduction and Diagrammatic Aspects of Representation”, Review of Philosophy and Psychology: Pictorial and Spatial Representation, 6: 49–67.
  • Sloman, A., 1971, "Interactie tussen filosofie en AI: de rol van intuïtie en niet-logisch redeneren in intelligentie", in Proceedings Second International Joint Conference on Artificial Intelligence, Los Altos, Californië: Morgan Kaufmann.
  • –––, 1985, "Waarom we veel kennisrepresentatie-formalismen nodig hebben", in M. Bramer, (red.), Onderzoek en ontwikkeling in expertsystemen, pagina's 163–183.
  • –––, 1995, “Musings on the role of logical and nonlogical representations in intelligence”, in Chandrasekaran et al., 1995, pp. 7–32.
  • Sober, E., 1976, "Mental Representations", Synthese, 33: 101–148
  • Sowa, J., 1984, Conceptual Structures: Information Processing in Mind and Machine, London: Addison Wesley.
  • Stenning, K., 1999, "Review of Das Spiel der Logik, by Lewis Carrol", Journal of Symbolic Logic, 64: 1368–1370.
  • Stenning, K. en O. Lemon, 2001, "Aligning Logical and Psychological Perspectives on Diagrammatic Reasoning", Artificial Intelligence Review, 15 (1–2): 29–62. (Herdrukt in Thinking with Diagrams, Kluwer, 2001.)
  • Tye, M., 1991, The Imagery Debate, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Venn, J., 1881, Symbolische logica, Londen: Macmillan.
  • Wang, D. en J. Lee, 1993, "Visual Reasoning: its Formal Semantics and Applications", Journal of Visual Languages and Computing, 4: 327–356.
  • Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, B. Pears en B. McGuinness (trans), Londen: Routledge & Kegan Paul, 1961
  • Zeman, J., 1964, The Graphical Logic of CS Peirce, Ph. D. proefschrift, University of Chicago.

Relevante literatuur

  • Barwise, J. en E. Hammer, 1994, "Diagrams and the Concept of a Logical System", in Gabbay, D. (red.), Wat is een logisch systeem? New York: Oxford University Press.
  • Hammer, E., 1995b, Logica en visuele informatie, Studies in logica, taal en berekening. Stanford: CSLI-publicaties en FoLLI.
  • –––, 1998, "Semantics for Existential Graphs", Journal of Philosophical Logic, 27: 489–503
  • Hammer, E. en S. Shin, 1996, "Euler and the Role of Visualization in Logic", in Seligman, J. and Westerståhl, D. (eds), Logic, Language and Computation: Volume 1, CSLI Lecture Notes # 58, pagina's 271-286. Stanford: CSLI-publicaties.
  • Kneale, W., en Kneale, M., 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.
  • Lemon, O., 1997, "Review of Logic and Visual Information, by EM Hammer", Journal of Logic, Language, and Information, 6 (2): 213–216.
  • Roberts, D., 1992, "The Existential Graphs of Charles S. Peirce", Computer and Math. Applic., (23): 639-663.
  • Shimojima, A., 1996b, 'Operationele beperkingen in schematisch redeneren', in J. Barwise en G. Allwein, (eds), Logical Reasoning with Diagrams, New York: Oxford University Press, pagina's 27–48.
  • –––, 1996c, "Redeneren met diagrammen en geometrische beperkingen", in Seligman, J. en Westerståhl, D. (eds), Logic, Language and Computation: Volume 1, CSLI Lecture Notes # 58, pagina's 527–540. Stanford, CSLI Publications.
  • Shin, S., 1991, "A Situation-Theoretic Account of Valid Reasoning with Venn Diagrams", in J. Barwise, J. Gawron, G. Plotkin en S. Tutiya, (eds), Situatietheorie en zijn toepassingen: volume 2, CSLI Lecture Notes # 26, pagina's 581-605. Stanford: CSLI-publicaties.
  • –––, 1999, “Reconstituting Beta Graphs into a Efficacious System”, Journal of Logic, Language, and Information, 8: 273–295.
  • –––, 2000, "Reviving the Iconicity of Beta Graphs", in Anderson, Cheng en Haarslev, (eds), Theory and Application of Diagrams, pagina's 58–73. Springer-Verlag.
  • –––, 2002a, The Iconic Logic of Peirce's Graphs, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 2002b, "Multiple Readings of Peirce's Alpha Graphs", in M. Anderson, B. Meyer en P. Olivier, (eds), Diagrammatic Representation and Reasoning, London: Springer-Verlag, pp. 297–314.
  • Sowa, J., 2000, Knowledge Representation: Logical, Philosophical, Computational Foundations, Belmont, CA: Brooks / Cole.
  • Stenning, K., 2002, Seeing Reason: beeld en taal bij het leren denken, Oxford: Oxford University Press.
  • Stenning, K. en J. Oberlander, 1995, "A Cognitive Theory of Graphical and Linguistic Reasoning: Logic and Implementation", Cognitive Science, 19 (1): 97–140.
  • Tufte, E., 1983, The Visual Display of Quantitative Information, Connecticut: Graphics Press.
  • –––, 1990, Envisioning Information, Connecticut: Graphics Press.

Academische hulpmiddelen

sep man pictogram
sep man pictogram
Hoe deze vermelding te citeren.
sep man pictogram
sep man pictogram
Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
inpho icoon
inpho icoon
Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papieren pictogram
phil papieren pictogram
Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

  • Existentiële grafieken (Peirce's MS 514 met commentaar van John Sowa).
  • De visuele weergave van Edward Tufte.
  • Een overzicht van venndiagrammen (Universiteit van Victoria, Frank Ruskey).
  • Onderzoekers over diagrammatisch redeneren, output van zoeken bij Google Scholar.
  • Diagrams 2018, Internationale conferentie over de theorie en toepassing van diagrammen.