Oude Logica

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Oude logica

Voor het eerst gepubliceerd op woensdag 13 december 2006; inhoudelijke herziening wo 15 apr.2020

Logica als discipline begint met de overgang van het min of meer niet-reflectieve gebruik van logische methoden en argumentatiepatronen naar de reflectie op en onderzoek naar deze methoden en patronen en hun elementen, inclusief de syntaxis en semantiek van zinnen. In de Griekse en Romeinse oudheid, kunnen discussies over een aantal elementen van de logica en een focus op de methoden van gevolgtrekking terug te voeren op het einde van de 5 ^e eeuw BCE. De sofisten, en later Plato (begin 4 ^th c.) Getoond een belang in zinsanalyse, waarheid en drogredenen en Eubulides van Milete van Miletus (mid-4 ^thc.) staat bekend als de uitvinder van zowel de leugenaar als de sorietenparadox. Maar logica als een volledig systematische discipline begint bij Aristoteles, die veel van het logische onderzoek van zijn voorgangers systematiseerde. Zijn belangrijkste prestaties waren zijn theorie van de logische samenhang van bevestigende en negatieve existentiële en universele verklaringen en, op basis van deze theorie, zijn syllogistiek, die kan worden geïnterpreteerd als een systeem van deductieve gevolgtrekking. De logica van Aristoteles staat bekend als termlogica, omdat het zich bezighoudt met de logische relaties tussen termen, zoals 'mens', 'dier', 'wit'. Het deelt elementen met zowel verzamelingenleer als predikaatlogica. De opvolgers van Aristoteles op zijn school, de Peripatos, met name Theophrastus en Eudemus, verbreedden de reikwijdte van deductieve gevolgtrekking en verbeterden enkele aspecten van Aristoteles 'logica.

In de hellenistische periode, en schijnbaar onafhankelijk van de prestaties van Aristoteles, werkten de logicus Diodorus Cronus en zijn leerling Philo (zie de vermelding Dialectische school) het begin uit van een logica die stellingen, in plaats van termen, als basiselementen nam. Ze beïnvloedden de tweede grote theoreticus van de logica in de oudheid, de Stoïcijnse Chrysippus (midden 3de ^eeuw)c.), wiens belangrijkste prestatie de ontwikkeling van een propositionele logica is, bekroond door een deductief systeem. Door velen in de oudheid beschouwd als de grootste logicus, was hij innovatief in een groot aantal onderwerpen die centraal staan in de hedendaagse formele en filosofische logica. Opvallend zijn de vele nauwe overeenkomsten tussen de filosofische logica van Chrysippus en die van Gottlob Frege. De stoïcijnse opvolgers van Chrysippus systematiseerden zijn logica en voegden enkele aanvullingen toe.

De ontwikkeling van logica van c. 100 BCE tot c. 250 CE blijft grotendeels in het duister, maar het lijdt geen twijfel dat logica een van de onderwerpen was die regelmatig werd bestudeerd en onderzocht. Op een gegeven moment begonnen Peripatetica en Stoïcijnen kennis te nemen van elkaars logische systemen, en we zijn getuige van een samensmelting van zowel terminologieën als theorieën. Aristotelische syllogistiek werd bekend als 'categorische syllogistiek' en de peripatetische aanpassing van stoïcijnse syllogistiek als 'hypothetische syllogistiek'. In de ^2e eeuw n. Chr. Probeerde Galenus de twee tradities te synthetiseren; hij beweerde ook een derde soort syllogisme te hebben geïntroduceerd, het 'relationele syllogisme', dat kennelijk bedoeld was om te helpen bij het formaliseren van wiskundige redeneringen. De poging van enkele Midden-Platonisten (1 ^ste c. BCE – 2 ^ec. CE) aan een welbepaalde Plato logische conclusie mislukt, en in plaats daarvan, de neoplatonisten (3 ^e -6 ^e c. CE) heeft een scholasticized versie aristotelische logica als hun eigen. In de monumentale - zij het zelden creatieve - delen van de Griekse commentatoren van Aristoteles 'logische werken vinden we elementen uit de stoïcijnse en later peripatetische logica, evenals het platonisme, en oude wiskunde en retoriek. Iets dergelijks geldt voor de Latijnse logische geschriften van Apuleius (2 ^e c. CE) en Boethius (6 ^e c. CE), die de weg effenen voor aristotelische logica, waardoor aangevuld met de middeleeuwen voeren.

• 1. Pre-Aristotelische logica

  • 1.1 Syntaxis en semantiek
  • 1.2 Argumentenpatronen en geldige gevolgtrekking

• 2. Aristoteles

  • 2.1 Dialectiek
  • 2.2 Sub-sententiële classificaties
  • 2.3 Syntaxis en semantiek van zinnen
  • 2.4 Niet-modaal syllogistisch
  • 2.5 Modale logica

• 3. De vroege peripatetica: Theophrastus en Eudemus

  • 3.1 Verbeteringen en aanpassingen van Aristoteles's logica
  • 3.2 Prosleptische syllogismen
  • 3.3 Voorlopers van Modus Ponens en Modus Tollens
  • 3.4 Geheel hypothetische syllogismen
• 4. Diodorus Cronus en Philo de logicus

• 5. De stoïcijnen

  • 5.1 Logische prestaties naast Propositionele Logica
  • 5.2 Syntaxis en semantiek van complexe proposities
  • 5.3 Argumenten
  • 5.4 Stoïcijns syllogistisch
  • 5.5 Logische paradoxen
• 6. Epicurus en de levensgenieters
• 7. Latere oudheid

• Bibliografie

  • Griekse en Latijnse teksten
  • Vertalingen van Griekse en Latijnse teksten
  • Secundaire literatuur
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Pre-Aristotelische logica

1.1 Syntaxis en semantiek

Sommige van de sofisten classificeerden soorten zinnen (logoi) op basis van hun kracht. Dus Protagoras (485-415 BCE), die wensen, vragen, antwoorden en commando (Diels Kranz (DK) 80. A1, Diogenes Laertius (DL) 9,53-4) en Alcidamas (leerling van Gorgias, fl inbegrepen. 4 ^th BCE), die assertion (phasis), ontkenning (apophasis), vraag en adres (prosagoreusis) onderscheidde (DL 9.54). Antisthenes (midden 5 ^{e -} midden 4 ^ecent.) definieerde een zin als 'dat wat aangeeft wat een ding was of is' (DL 6.3, DK 45) en verklaarde dat iemand die zegt wat is echt spreekt (DK49). Misschien is de oudste bewaard gebleven passage over logica te vinden in de Dissoi Logoi of Double Arguments (DK 90.4, c.400 BCE). Het is het bewijs voor een debat over waarheid en onwaarheid. Tegengesteld waren de opvattingen (i) dat waarheid een temporele eigenschap is van zinnen, en dat een zin waar is (wanneer er wordt gezegd), al dan niet als de dingen zijn zoals de zin zegt dat ze zijn wanneer ze worden gezegd, en niet waar als ze dat niet zijn; en (ii) dat waarheid een atemporele eigenschap is van wat wordt gezegd, en dat wat wordt gezegd waar is als en alleen als de dingen het geval zijn, vals als ze niet het geval zijn. Dit zijn rudimentaire formuleringen van twee alternatieve correspondentietheorieën van de waarheid. Dezelfde passage toont besef van het feit dat het zelfreferentiële gebruik van het waarheidspredikaat problematisch kan zijn - een inzicht dat ook gedocumenteerd is door de ontdekking van de leugenaarsparadox door Eubulides van Miletus (midden 4^th c. BCE) kort daarna.

Sommige platonische dialogen bevatten passages waarvan het onderwerp ongetwijfeld logisch is. In de Sophist analyseert Plato eenvoudige uitspraken als een werkwoord (rhêma), dat actie aangeeft, en een zelfstandig naamwoord (onoma), dat de agent aangeeft (Soph. 261e – 262a). Vooruitlopend op het moderne onderscheid tussen logische typen, stelt hij dat noch een reeks zelfstandige naamwoorden, noch een reeks werkwoorden kunnen worden gecombineerd tot een verklaring (Soph. 262a – d). Plato scheidt ook de syntaxis ('wat is een verklaring?') Van semantiek ('wanneer is het waar?'). Iets (bijv. 'Theaetetus zit') is een statement als het er beiden in slaagt een onderwerp te specificeren en iets zegt over dit onderwerp. Plato bepaalt dus subject en predikaat als relationele elementen in een statement en sluit als subject subject-predicaatcombinaties uit met lege subject-expressies. Iets is een waar statement als het met betrekking tot zijn onderwerp (Theaetetus) zegt wat het is (bv. Zitten) dat het is. Iets is een valse verklaring als het met betrekking tot zijn onderwerp iets anders zegt dan wat is (bijvoorbeeld vliegen), dat het is. Plato maakt hier een schets van een deflatie-waarheidstheorie (Soph. 262e – 263d; vgl. Crat. 385b). Hij onderscheidde ook ontkenningen van bevestigingen en nam aan dat het ontkenningsdeeltje een beperkte reikwijdte had: het ontkent het predikaat, niet de hele zin (Soph. 257b – c). Er zijn veel passages in Plato waar hij worstelt om bepaalde logische relaties uit te leggen: bijvoorbeeld zijn theorie dat dingen deelnemen aan Formulieren komt overeen met een rudimentaire theorie van predicatie; in de Sophist en elders worstelt hij met de klassenverhoudingen van uitsluiting, vakbond en co-extensie;ook met het verschil tussen het 'is' van predicatie (zijn) en het 'is' van identiteit (gelijkheid); en in Republic 4, 436bff., anticipeert hij op de wet van non-contradictie. Maar zijn uitleg van deze logische vragen wordt in metafysische termen gegoten en kan dus hoogstens als proto-logisch worden beschouwd.

1.2 Argumentenpatronen en geldige gevolgtrekking

Pre-Aristotelisch bewijs voor reflectie op argumentvormen en geldige gevolgtrekking is moeilijker te verkrijgen. Zowel Zeno van Elea (geboren rond 490 BCE) als Socrates (470–399) stonden bekend om de manier waarop ze het standpunt van een tegenstander weerlegden. Hun methoden vertonen overeenkomsten met reductio ad absurdum, maar geen van beiden lijkt te hebben getheoretiseerd over hun logische procedures. Zeno produceerde alleen argumenten (logoi) die variaties van het patroon 'dit (dwz de mening van de tegenstander) manifesteren als dat. Maar dat is onmogelijk. Dit is dus onmogelijk '. Socratische weerlegging was een uitwisseling van vragen en antwoorden waarbij de tegenstanders op basis van hun antwoorden tot een conclusie zouden worden gebracht die onverenigbaar was met hun oorspronkelijke bewering. Plato heeft dergelijke geschillen geïnstitutionaliseerd in gestructureerde, door regels bestuurde verbale wedstrijden die bekend werden als dialectisch argument. De ontwikkeling van een logische basiswoordenschat voor dergelijke wedstrijden wijst op enige reflectie op de argumentatiepatronen.

De 5 ^e en begin tot half 4 ^e eeuw BCE ook grote belangstelling voor drogredenen en logische paradoxen. Naast de leugenaar zou Eubulides de grondlegger zijn geweest van verschillende andere logische paradoxen, waaronder de sorieten. Plato's Euthydemus bevat een grote collectie hedendaagse drogredenen. Bij pogingen om dergelijke logische puzzels op te lossen, ontwikkelt zich hier ook een logische terminologie, en de focus op het verschil tussen geldige en ongeldige argumenten zet de toon voor het zoeken naar een criterium van geldige gevolgtrekking. Ten slotte is het mogelijk dat de vormgeving van de aftrek en het bewijs in de Griekse wiskunde die begint in de latere 5 ^e eeuw voor Christus diende als inspiratie voor syllogistische Aristoteles.

2. Aristoteles

(Zie voor een meer gedetailleerd verslag de vermelding op Aristoteles 'Logica in deze encyclopedie.) Aristoteles is de eerste grote logicus in de geschiedenis van de logica. Zijn logica werd onderwezen door en groot zonder rivaal uit de 4 ^e naar de 19 ^eeeuwen CE. Aristoteles 'logische werken werden verzameld en in een systematische volgorde geplaatst door latere Peripatetics, die ze de Organon of' tool 'noemden, omdat ze logica niet als een onderdeel beschouwden, maar eerder als een instrument van filosofie. De Organon bevat, in traditionele volgorde, de Categorieën, De Interpretatione, Prior Analytics, Posterior Analytics, Topics en Sophistic Refutations. Bovendien is Metaphysics Γ een logische verhandeling die het principe van non-contradictie bespreekt, en enkele verdere logische inzichten zijn verspreid over de andere werken van Aristoteles, zoals de Poëtica, Retorica, De Anima, Metaphysics Δ en Θ, en enkele van de biologische werken. Sommige delen van de Categorieën en Posterior Analytics zouden tegenwoordig eerder als metafysica, epistemologie of wetenschapsfilosofie worden beschouwd dan als logica. De traditionele ordening van werken in de Organon is niet chronologisch noch die van Aristoteles. De oorspronkelijke chronologie kan niet volledig worden hersteld, aangezien Aristoteles vaak op een later tijdstip aanvullingen in eerdere geschriften lijkt te hebben opgenomen. Door echter logische vooruitgang als criterium te gebruiken, kunnen we veronderstellen dat de meeste onderwerpen, verfijnde weerleggingen, categorieën en metafysica Γ dateren van vóór de Interpretatione, die op zijn beurt dateert van vóór de voorafgaande analyse en delen van de posterieure analyse. Categorieën en metafysica Γ dateren van vóór de De Interpretatione, die op zijn beurt dateert van vóór de Prior Analytics en delen van de Posterior Analytics. Categorieën en metafysica Γ dateren van vóór de De Interpretatione, die op zijn beurt dateert van vóór de Prior Analytics en delen van de Posterior Analytics.

2.1 Dialectiek

De Topics bieden een handleiding voor deelnemers aan de wedstrijden van het dialectisch argument zoals door Plato in de Academie ingesteld. Boeken 2–7 bevatten algemene procedures of regels (topoi) over hoe je een argument kunt vinden om een bepaald proefschrift vast te stellen of te weerleggen. De beschrijvingen van deze procedures - waarvan sommige zo algemeen zijn dat ze op logische wetten lijken - veronderstellen duidelijk een begrip van logische vorm, en de onderwerpen van Aristoteles kunnen dus gelden als de oudste bewaard gebleven logische verhandeling. De Sophistic Refutations zijn de eerste systematische classificatie van drogredenen, gesorteerd op welke logische fout elk type vertoont (bv. Dubbelzinnigheid, de vraag stellen, de consequentie bevestigen, secundum quid) en hoe deze bloot te leggen.

2.2 Sub-sententiële classificaties

Aristoteles onderscheidt zaken die een sentimentele eenheid hebben door een combinatie van uitdrukkingen ('een paard loopt') van die niet ('paard', 'loopt'); de laatste worden behandeld in de Categorieën (de titel betekent eigenlijk 'predikaties' ^[1]). Ze hebben geen waarheidswaarde en betekenen een van de volgende zaken: substantie (ousia), kwantiteit (poson), kwaliteit (punt), relatie (pros ti), locatie (pou), tijd (pote), positie (keisthai), bezit (echein), doen (poiein) en ondergaan (paschein). Het is onduidelijk of Aristoteles deze classificatie beschouwt als een van taalkundige uitdrukkingen die kunnen worden gebaseerd op iets anders; of van soorten predicatie; of van de hoogste geslachten. In Onderwerpen 1 onderscheidt Aristoteles vier relaties die een predikaat met het onderwerp kan hebben: het kan zijn definitie, geslacht, unieke eigenschap of accidentele eigenschap geven. Deze staan bekend als voorspellingen.

2.3 Syntaxis en semantiek van zinnen

Bij het schrijven van De Interpretatione had Aristoteles de volgende theorie van eenvoudige zinnen uitgewerkt: een (declaratieve) zin (apophantikos logos) of verklaring (apophansis) wordt afgebakend van andere delen van het discours zoals gebed, bevel en vraag omdat het een waarheid heeft- waarde. De waarheidsdragers die in de logica van Aristoteles voorkomen, zijn dus taalkundige items. Het zijn gesproken zinnen die direct gedachten (gedeeld door alle mensen) en daarmee indirect dingen aanduiden. Schriftelijke zinnen betekenen op hun beurt gesproken zinnen. (Eenvoudige) zinnen zijn opgebouwd uit twee betekenende uitdrukkingen die in een subject-predikaatrelatie staan met elkaar: een naam en een werkwoord ('Callias wandelingen') of twee namen verbonden door de copula 'is', wat de verbinding mede betekent ('Plezier is goed') (Int. 3). Namen zijn enkelvoudige termen of gewone zelfstandige naamwoorden (An. Pr. Ik 27). Beide kunnen leeg zijn (Cat. 10, Int. 1). Bijzondere termen kunnen alleen een onderwerppositie innemen. Werkwoorden betekenen tijd. Een naam-werkwoord-zin kan worden geherformuleerd met de copula ('Callias is (a) walking (thing)') (Int. 12). Wat hun kwaliteit betreft, is een (declaratieve) zin ofwel een bevestiging ofwel een ontkenning, afhankelijk van of het zijn predikaat van zijn onderwerp bevestigt of tenietdoet. Het negatiedeeltje in een negatie heeft een brede reikwijdte (Cat. 10). Aristoteles definieerde waarheid afzonderlijk voor bevestigingen en ontkenningen: een bevestiging is waar als ze zegt over wat het is; een ontkenning is waar als er staat over wat niet is (Met. Γ.7 1011b25ff). Deze formuleringen, of in ieder geval hun Griekse tegenhangers, kunnen worden geïnterpreteerd als een uitdrukking van correspondentie of deflatie-opvatting van de waarheid. Hoe dan ook,waarheid is een eigenschap die op een bepaald moment bij een zin hoort. Wat betreft hun hoeveelheid zijn zinnen enkelvoudig, universeel, bijzonder of onbepaald. Zo verkrijgt Aristoteles acht soorten zinnen, die later 'categorische zinnen' worden genoemd. Hieronder volgen voorbeelden, gekoppeld aan kwaliteit:

Enkelvoud:	Callias is gewoon.	Callias is niet zomaar.
Universeel:	Ieder mens is rechtvaardig.	Geen mens is rechtvaardig.
Bijzonder:	Een mens is gewoon.	Een mens is niet zomaar.
Onbepaald:	(A) de mens is rechtvaardig.	(A) mens is niet alleen.

Universele en bepaalde zinnen bevatten een kwantor en zowel universele als bepaalde bevestigingen werden als existentieel beschouwd. (Zie vermelding The Traditional Square of Opposition). De logische status van de onbepaalde tijd is dubbelzinnig en controversieel (Int. 6–7).

Aristoteles onderscheidt twee soorten sentimentele oppositie: tegenstellingen en tegenstrijdigheden. Een tegenstrijdig paar zinnen (een antiphasis) bestaat uit een bevestiging en de ontkenning ervan (dwz de ontkenning die het onderwerp negeert wat de bevestiging ervan bevestigt). Aristoteles gaat ervan uit dat - normaal gesproken - een van deze waar moet zijn, de andere onwaar. Tegengestelde zinnen zijn zodanig dat ze niet allebei waar kunnen zijn. Het tegenstrijdige van een universele bevestiging is het corresponderende specifieke negatieve; die van het universele negatief de overeenkomstige specifieke bevestiging. Een universele bevestiging en het bijbehorende universele negatief zijn tegenstellingen. Aristoteles heeft dus de logische basisrelaties tussen monadische kwantoren vastgelegd (Int. 7).

Aangezien Aristoteles tijd als een deel van de waarheidsdrager beschouwt (in plaats van alleen een grammaticaal kenmerk), detecteert hij een probleem met betrekking tot toekomstige gespannen zinnen over voorwaardelijke zaken: is het principe dat de ene bevestiging en de ontkenning ervan onwaar moet zijn, de andere waar, op deze toepassen? Wat is nu bijvoorbeeld de waarheidswaarde van de zin 'Er komt morgen een zeeslag'? Aristoteles heeft misschien gesuggereerd dat het vonnis nu geen waarheidswaarde heeft en dat bivalentie dus niet opgaat - ondanks het feit dat er morgen wel of geen zeeslag moet zijn, zodat het principe van uitgesloten midden is bewaard gebleven (Int. 9).

2.4 Niet-modaal syllogistisch

Aristoteles 'niet-modale syllogistiek (Prior Analytics A 1-7) is het toppunt van zijn logica. Aristoteles definieert syllogisme als 'een argument (logos) waarin, nadat bepaalde dingen zijn vastgelegd, noodzakelijkerwijs iets anders volgt dan wat is vastgelegd omdat deze dingen zo zijn'. Deze definitie lijkt te vereisen (i) dat een syllogisme uit ten minste twee premissen en een conclusie bestaat, (ii) dat de conclusie noodzakelijkerwijs uit de premissen volgt (zodat alle syllogismen geldige argumenten zijn), en (iii) dat de conclusie verschilt van het pand. De syllogistiek van Aristoteles beslaat slechts een klein deel van alle argumenten die aan deze voorwaarden voldoen.

Aristoteles beperkt en registreert de soorten categorische zinnen die in een syllogisme kunnen voorkomen. De toelaatbare waarheidsdragers worden nu gedefinieerd als elk bevattende twee verschillende termen (horoi) verbonden door de copula, waarvan de ene (de predikaatterm) wordt gezegd van de andere (de subjectterm) hetzij bevestigend of negatief. Aristoteles wordt nooit duidelijk over de vraag of termen dingen zijn (bijv. Niet-lege klassen) of taalkundige uitdrukkingen voor deze dingen. Alleen universele en bepaalde zinnen worden besproken. Enkelvoudige zinnen lijken te zijn uitgesloten en zinnen voor onbepaalde tijd worden meestal genegeerd. Een bruine kleur. Pr. A 7 Aristoteles vermeldt dat men door een onbepaalde premisse voor een bepaalde te vervangen, een soortgelijk syllogisme krijgt.

Een andere innovatie in de syllogistiek is het gebruik van letters door Aristoteles in plaats van termen. De letters kunnen oorspronkelijk dienen als afkortingen voor termen (bijv. An. Post. A 13); maar in de syllogistiek lijken ze meestal de functie te hebben van schematische termletters of van termvariabelen met veronderstelde maar niet vermelde universele kwantoren. Waar hij letters gebruikt, heeft Aristoteles de neiging om de vier soorten categorische zinnen op de volgende manier uit te drukken (met veelgebruikte latere afkortingen tussen haakjes):

'A houdt van (letterlijk: behoort tot) elke B'	(A a B)
'A heeft geen B'	(A e B)
'A heeft een aantal B'	(A ik B)
'A heeft geen enkele B'	(A o B)

In plaats van 'houdt' gebruikt hij ook 'is gebaseerd op'.

Alle basissyllogismen bestaan uit drie categorische zinnen, waarin de twee premissen precies één term delen, de middelste term, en de conclusie bevat de andere twee termen, soms de extremen genoemd. Op basis van de positie van de middellange termijn heeft Aristoteles alle mogelijke premisse-combinaties in drie cijfers (schêmata) ingedeeld: de eerste figuur heeft de middelste term (B) als onderwerp in de eerste premisse en is in de tweede gegrond; het tweede cijfer heeft het in beide gebouwen als uitgangspunt genomen, het derde heeft het als onderwerp in beide gebouwen:

ik	II	III
A bezit van B	B houdt van A	A bezit van B
B bezit van C	B bezit van C	C houdt van B

A wordt ook wel de hoofdterm genoemd, C de minorterm. Elk cijfer kan verder worden geclassificeerd naargelang beide gebouwen al dan niet universeel zijn. Aristoteles doorliep systematisch de achtenvijftig mogelijke premisse-combinaties en toonde aan dat veertien uit de noodzaak een conclusie trekken, dat wil zeggen syllogismen. Zijn procedure was deze: Hij ging ervan uit dat de syllogismen van de eerste figuur compleet zijn en geen bewijs nodig hebben, omdat ze duidelijk zijn. Daarentegen zijn de syllogismen van de tweede en derde cijfers onvolledig en hebben ze bewijs nodig. Hij bewijst ze door ze te herleiden tot syllogismen van de eerste figuur en ze zo 'af te maken'. Hiervoor maakt hij gebruik van drie methoden:

1. conversie (antistrofê): een categorische zin wordt omgezet door de termen onderling uit te wisselen. Aristoteles erkent en stelt drie conversieregels vast: 'van A e B infer B e A' 'uit A i B afleiden B i A' en 'uit A a B afleiden B i A'. Alle syllogismen op twee na en derde cijfers kunnen worden bewezen door premisse conversie.
2. reductio ad impossibile (apagôgê): de overige twee worden bewezen door reductie tot het onmogelijke, waarbij de tegenstrijdigheid van een veronderstelde conclusie samen met een van de premissen wordt gebruikt om door een syllogisme van de eerste figuur een conclusie af te leiden die onverenigbaar is met de andere premisse. Met behulp van de eerder vastgestelde semantische relaties tussen tegenstellingen wordt de veronderstelde conclusie dus vastgesteld.
3. expositie of uiteenzetten (ekthesis): deze methode, die Aristoteles gebruikt naast (i) en (ii), omvat het kiezen of 'uitzetten' van een extra term, zeg D, die valt in de niet-lege kruising die wordt afgebakend door twee premissen, zeg A x B en A x C, en gebruik D om de gevolgtrekking van de premissen tot een bepaalde conclusie te rechtvaardigen, B x C. Er wordt gediscussieerd of 'D' een enkelvoud of een algemene term vertegenwoordigt en of expositie een bewijs vormt.

Voor elk van de vierendertig premissecombinaties die geen conclusie mogelijk maken, bewijst Aristoteles door tegenvoorbeeld dat ze geen conclusie toestaan. Als algemeen resultaat erkent hij vier syllogismen van het eerste cijfer (later Barbara, Celarent, Darii, Ferio genoemd), vier syllogismen van het tweede cijfer (Camestres, Cesare, Festino, Baroco) en zes syllogismen van het derde cijfer (Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison); deze werden later de modi of stemmingen van de figuren genoemd. (De namen zijn geheugensteuntjes: bijv. Elke klinker, of de eerste drie in gevallen waarin de naam meer dan drie heeft, geeft aan in volgorde of het eerste en het tweede uitgangspunt en de conclusie zinnen van het type a, e, i of o waren). Aristoteles impliciet erkend dat we door het gebruik van de conversieregels op de conclusies nog acht syllogismen verkrijgen (An. Pr. 53a3–14),en die van de premissecombinaties die als niet-syllogistisch zijn afgewezen, zullen sommige (in feite vijf) een conclusie opleveren waarin de kleine term is gebaseerd op de grote (An. Pr. 29a19–27). Bovendien accepteerde Aristoteles in de Onderwerpen de regels 'van A a B infer A i B' en 'van A e B infer A o B'. Door deze te gebruiken op de conclusies konden vijf verdere syllogismen worden bewezen, hoewel Aristoteles dit niet vermeldde.

Die verder gaan dan zijn basic syllogistisch, Aristoteles verminderde de 3 ^e en 4 ^esyllogismen van het eerste cijfer tot syllogismen van het tweede cijfer, waardoor de syllogismen de facto worden gereduceerd tot Barbara en Celarent; en later in de Prior Analytics beroept hij zich op een soort cut-rule waarmee een syllogisme met meerdere premissen kan worden teruggebracht tot twee of meer basissyllogismen. Vanuit een modern perspectief kan het systeem van Aristoteles worden opgevat als een opeenvolgende logica in de stijl van natuurlijke deductie en als een fragment van eerste-orde logica. Er is aangetoond dat het deugdelijk en volledig is als men de relaties die worden uitgedrukt door de categorische zinnen die theoretisch als theoretisch zijn ingesteld, als volgt interpreteert: A a B is waar als en alleen als klasse A klasse B bevat. A e B is waar als en alleen als de klassen A en B onsamenhangend zijn. A i B is waar als en alleen als de klassen A en B niet los van elkaar staan. A o B is waar als en alleen als de klasse A niet de klasse B bevat. Men is het er echter over eens dat de syllogistiek van Aristoteles eerder een soort relevantie-logica is dan klassiek. De irritante tekstuele vraag wat Aristoteles precies bedoelde met 'syllogismen' heeft verschillende rivaliserende interpretaties gekregen, waaronder een dat ze een bepaald type voorwaardelijke propositionele vorm zijn. Het is waarschijnlijker dat Aristoteles 'volledige en onvolledige syllogismen samen beschouwd moeten worden als formeel geldige premisse-conclusieargumenten; en zijn volledige en voltooide syllogismen tezamen genomen als (gezonde) inhoudingen.waaronder een dat ze een bepaald type voorwaardelijke propositionele vorm zijn. Het is waarschijnlijker dat Aristoteles 'volledige en onvolledige syllogismen samen beschouwd moeten worden als formeel geldige premisse-conclusieargumenten; en zijn volledige en voltooide syllogismen tezamen genomen als (gezonde) inhoudingen.waaronder een dat ze een bepaald type voorwaardelijke propositionele vorm zijn. Het is waarschijnlijker dat Aristoteles 'volledige en onvolledige syllogismen samen beschouwd moeten worden als formeel geldige premisse-conclusieargumenten; en zijn volledige en voltooide syllogismen tezamen genomen als (gezonde) inhoudingen.

2.5 Modale logica

Aristoteles is ook de grondlegger van de modale logica. Naast kwaliteit (als bevestiging of ontkenning) en kwantiteit (als enkelvoud, universeel, bijzonder of onbepaald), neemt hij categorische zinnen om een modus te hebben; dit houdt in dat wordt gezegd dat het predikaat het onderwerp feitelijk of noodzakelijkerwijs of mogelijk of voorwaardelijk of onmogelijk vasthoudt. De laatste vier worden uitgedrukt door modale operatoren die het predikaat wijzigen, bv. 'Het is mogelijk dat A enkele B vasthoudt' 'A houdt noodzakelijkerwijs van elke B'.

In De Interpretatione 12–13 concludeert Aristoteles (i) dat modale operatoren het hele predikaat (of de copula, zoals hij het zegt) wijzigen, niet alleen de predikaatterm van een zin. (ii) Hij vermeldt de logische relaties die bestaan tussen modale operatoren, zoals dat 'het niet mogelijk is voor A om B niet vast te houden' impliceert 'dat A noodzakelijk is om B vast te houden'. (iii) Hij onderzoekt wat de tegenstellingen zijn van gemodificeerde zinnen en besluit dat ze worden verkregen door de negator voor de modale operator te plaatsen. (iv) Hij stelt de uitdrukkingen 'mogelijk' en 'contingent' gelijk, maar zwaait tussen een eenzijdige interpretatie (waar noodzaak impliceert mogelijkheid) en een tweezijdige interpretatie (waar mogelijkheid impliceert niet-noodzaak).

Aristoteles ontwikkelt zijn modale syllogistiek in Prior Analytics 1.8–22. Hij kiest voor tweezijdige mogelijkheid (contingentie) en test op syllogisme voor alle mogelijke combinaties van premisse paren zinnen met noodzaak (N), contingentie (C) of geen (U) modale operator: NN, CC, NU / UN, CU / UC en NC / CN. Syllogismen met de laatste drie soorten premissecombinaties worden gemengde modale syllogismen genoemd. Afgezien van de NN-categorie, die niet-gemodaliseerde syllogismen weerspiegelt, bevatten alle categorieën twijfelachtige gevallen. Aristoteles accepteert bijvoorbeeld:

A geldt noodzakelijkerwijs voor alle B.

B geldt voor alle C.

Daarom geldt A noodzakelijkerwijs voor alle C.

Deze en andere problematische gevallen werden al in de oudheid betwist en meer recentelijk hebben ze geleid tot een groot aantal complexe, geformaliseerde reconstructies van Aristoteles 'modale syllogistiek. Aangezien de theorie van Aristoteles mogelijk intern inconsistent is, zijn de voorgestelde formele modellen mogelijk allemaal niet succesvol.

3. De vroege peripatetica: Theophrastus en Eudemus

Aristoteles 'leerling en opvolger Theophrastus van Eresus (ca. 371 - ca. 287 vGT) schreef meer logische verhandelingen dan zijn leraar, met een grote overlap in onderwerpen. Eudemus van Rhodos (later 4 ^th cent. BCE) schreef boeken getiteld categorieën, Analytics en op de toespraak. Van al deze werken zijn slechts een aantal fragmenten en latere getuigenissen bewaard gebleven, voornamelijk in commentatoren op Aristoteles. Theophrastus en Eudemus vereenvoudigden sommige aspecten van de logica van Aristoteles en ontwikkelden andere waar Aristoteles ons slechts hints gaf.

3.1 Verbeteringen en aanpassingen van Aristoteles's Logica

De twee peripatetica lijken de eerste figuur van Aristoteles opnieuw te hebben gedefinieerd, zodat het elk syllogisme omvat waarin de middellange termijn het voorwerp is van het ene uitgangspunt en het predikaat van het andere. Op deze manier worden vijf soorten niet-modale syllogismen opgenomen die Aristoteles later in zijn Prior Analytics (Baralipton, Celantes, Dabitis, Fapesmo en Frisesomorum) alleen aanhaalde, maar het criterium van Aristoteles dat syllogismen van de eerste figuur duidelijk zijn, wordt opgegeven (Theophrastus fr. 91, Fortenbaugh). Theophrastus en Eudemus verbeterden ook de modale theorie van Aristoteles. Theophrastus verving Aristoteles 'dubbelzijdige contingentie door eenzijdige mogelijkheid, zodat die mogelijkheid niet langer niet-noodzaak met zich meebrengt. Beiden erkenden dat het problematische universele negatief ('A heeft mogelijk geen B') eenvoudig converteerbaar is (Theophrastus fr. 102A Fortenbaugh). Bovendien,ze introduceerden het principe dat in gemengde modale syllogismen de conclusie altijd hetzelfde modale karakter heeft als de zwakkere van de premissen (Theophrastus frs. 106 en 107 Fortenbaugh), waar de mogelijkheid zwakker is dan de werkelijkheid, en de werkelijkheid dan de noodzaak. Op deze manier wordt de modale syllogistiek van Aristoteles aanzienlijk vereenvoudigd en verdwijnen veel van de onbevredigende stellingen, zoals hierboven vermeld (die uit 'Noodzakelijk A a B' en 'B a C' kan worden afgeleid 'Noodzakelijk A a C').zoals de hierboven genoemde (die uit 'Noodzakelijk A a B' en 'B a C' kan worden afgeleid 'Noodzakelijk A a C') verdwijnen.zoals de hierboven genoemde (die uit 'Noodzakelijk A a B' en 'B a C' kan worden afgeleid 'Noodzakelijk A a C') verdwijnen.

3.2 Prosleptische syllogismen

Theophrastus introduceerde de zogenaamde prosleptische premissen en syllogismen (Theophrastus fr. 110 Fortenbaugh). Een prosleptisch uitgangspunt heeft de vorm:

Voor alle X, als Φ (X), dan Ψ (X)

waar Φ (X) en Ψ (X) staan voor categorische zinnen waarin de variabele X voorkomt in plaats van een van de termen. Bijvoorbeeld:

1. A [bezit] van al dat van alles wat B [bezit].
2. A [bezit] niets van wat [bezit] van alle B.

Theophrastus was van mening dat dergelijke premissen drie termen bevatten, waarvan er twee definitief (A, B), één onbepaald ('dat' of de gebonden variabele X) zijn. We kunnen (1) en (2) vertegenwoordigen als

∀ X (B a X → A a X)

∀ X (X a B → A e X)

Prosleptische syllogismen komen dan als volgt tot stand: Ze zijn samengesteld uit een prosleptisch uitgangspunt en het categorische uitgangspunt verkregen door het instantiëren van een term (C) in de voorafgaande 'open categorische zin' als premissen, en de categorische zinnen die men verkrijgt door dezelfde term in te voeren (C) in de resulterende 'open categorische zin' als conclusie. Bijvoorbeeld:

A [bezit] van al dat van alles wat B [bezit].

B geldt voor alle C.

Daarom geldt A voor alle C.

Theophrastus onderscheidde drie figuren van deze syllogismen, afhankelijk van de positie van de onbepaalde term (ook wel 'middelste term' genoemd) in de prosleptische premisse; bijvoorbeeld (1) produceert syllogisme van een derde cijfer, (2) syllogisme van een eerste cijfer. Het aantal prosleptische syllogismen was vermoedelijk gelijk aan dat van soorten prosleptische zinnen: met Theophrastus 'concept van de eerste figuur zouden dit vierenzestig zijn (dwz 32 + 16 + 16). Theophrastus was van mening dat bepaalde prosleptische premissen equivalent waren aan bepaalde categorische zinnen, bijvoorbeeld (1) tot 'A is gebaseerd op alle B'. Voor velen, waaronder (2), kan een dergelijk equivalent echter niet worden gevonden, en prosleptische syllogismen verhoogden dus de inferentiële kracht van peripatetische logica.

3.3 Voorlopers van Modus Ponens en Modus Tollens

Theophrastus en Eudemus beschouwden complexe premissen die zij 'hypothetische premissen' noemden en die een van de volgende twee (of vergelijkbare) vormen hadden:

Als iets F is, is het G

Iets is F of het is G (met exclusief 'of')

Ze ontwikkelden argumenten die ze 'gemengd vanuit een hypothetisch uitgangspunt en een beproefd uitgangspunt' noemden (Theophrastus fr. 112A Fortenbaugh). Deze argumenten zijn geïnspireerd door Aristoteles 'syllogismen' vanuit een hypothese '(An. Pr. 1.44); ze waren voorlopers van modus ponens en modus tollens en hadden de volgende vormen (Theophrastus frs. 111 en 112 Fortenbaugh), gebruikmakend van het exclusieve 'of':

Als iets F is, is het G. a is F. Daarom is a G.	Als iets F is, is het G. a is niet G. Daarom is a niet F.
Iets is F of het is G. a is F. Daarom is a niet G.	Iets is F of het is G. a is niet F. Daarom is a G.

Theophrastus erkende ook dat het verbindende deeltje 'of' inclusief kan zijn (Theophrastus fr. 82A Fortenbaugh); en hij overwoog relatief gekwantificeerde zinnen zoals die met 'meer', 'minder' en 'hetzelfde' (Theophrastus fr. 89 Fortenbaugh), en schijnt de syllogismen die uit dergelijke zinnen zijn opgebouwd te hebben besproken, opnieuw volgend op wat Aristoteles zei over syllogismen vanuit een hypothese (Theophrastus fr. 111E Fortenbaugh).

3.4 Geheel hypothetische syllogismen

Theophrastus wordt verder gecrediteerd met de uitvinding van een systeem van de latere zogenaamde 'volledig hypothetische syllogismen' (Theophrastus fr. 113 Fortenbaugh). Deze syllogismen waren oorspronkelijk afgekorte term-logische argumenten van die aard

Als [iets] A is, [is het] B.

Als [iets] B is, [is het] C.

Dus als [iets is] A, [is het] C.

en in ieder geval werden sommigen van hen beschouwd als herleidbaar tot Aristoteles 'categorische syllogismen, vermoedelijk door de gelijkwaardigheid met' Every A is B ', etc. Parallel aan Aristoteles' syllogistiek onderscheidde Theophrastus drie figuren; elk had zestien modi. De eerste acht modi van de eerste figuur worden verkregen door alle permutaties te doorlopen met 'niet X' in plaats van 'X' (met X voor A, B, C); de tweede acht modi worden verkregen door gebruik te maken van een tegenregel op de conclusie:

(CR)

Van 'als X, Y' afleiden 'als de tegenstrijdigheid van Y dan de tegenstrijdigheid van X'

De zestien modi van de tweede figuur werden verkregen door (CR) te gebruiken op het schema van de eerste premisse van de argumenten van de eerste figuur, bijv.

Als [iets] geen B is, [is] het geen A.

Als [iets] B is, [is het] C.

Dus als [iets is] A, [is het] C.

De zestien modi van de derde figuur zijn verkregen door (CR) te gebruiken op het schema van de tweede premisse van de argumenten van de eerste figuur, bijv.

Als [iets] A is, [is het] B.

Als [iets] geen C is, [is] het geen B.

Dus als [iets is] A, [is het] C.

Theophrastus beweerde dat alle syllogismen van het tweede en derde cijfer konden worden teruggebracht tot syllogismen van het eerste cijfer. Als Alexander van Aphrodisias (^2e c. CE Peripatetic) getrouw rapporteert, was elk gebruik van (CR) dat syllogisme in een syllogisme van de eerste figuur transformeert zo'n reductie. Het grote aantal modi en reducties kan worden verklaard door het feit dat Theophrastus niet de logische middelen had om positieve componenten in een argument te vervangen door negatieve. In de latere oudheid, na enige tussenstadia, en mogelijk onder stoïcijnse invloed, werden de volledig hypothetische syllogismen geïnterpreteerd als propositioneel-logische argumenten van het soort

Als p, dan q.

Als q, dan r.

Dus als p, dan r.

4. Diodorus Cronus en Philo de logicus

In de latere 4 ^th tot half 3 ^rd eeuw BCE, eigentijdse met Theophrastus en Eudemos een losjes verbonden groep filosofen, soms aangeduid als dialectici (zie vermelding 'Dialectical School') en mogelijk ook beïnvloed door Eubulides van Milete, bedacht van de logica als een logische van stellingen. Hun bekendste vertegenwoordigers waren Diodorus Cronus en zijn leerling Philo (ook wel 'Philo of Megara' genoemd). Hoewel hun geschriften niet bewaard zijn gebleven, zijn er een aantal latere rapporten van hun leerstellingen. Ze leverden elk baanbrekende bijdragen aan de ontwikkeling van propositionele logica, in het bijzonder aan de theorieën over conditionals en modaliteiten.

Een voorwaardelijk (sunêmmenon) werd beschouwd als een niet-eenvoudige propositie die bestaat uit twee proposities en het verbindende deeltje 'als'. Philo, die kan worden gecrediteerd met het introduceren van waarheid-functionaliteit in de logica, voorzag in het volgende criterium voor hun waarheid: een voorwaardelijk is vals wanneer en alleen wanneer het antecedent waar is en de consequentie ervan vals is, en het is waar in de drie resterende waarheid- waardecombinaties. De voorwaardelijke Filonian lijkt op materiële implicatie, behalve dat - aangezien proposities werden opgevat als functies van tijd die op verschillende tijdstippen verschillende waarheidswaarden kunnen hebben - het in de loop van de tijd zijn waarheidswaarde kan veranderen. Voor Diodorus is een voorwaardelijke propositie waar als het niet mogelijk was en niet mogelijk is dat het antecedent waar is en de daaruit voortvloeiende onwaar. De temporele elementen in dit verslag suggereren dat het de bedoeling was dat de mogelijkheid van een waarheidswaarde verandering in Philo's conditionals verbeterd zou worden. Met zijn eigen modale begrippen (zie hieronder) toegepast, is een voorwaardelijk nu Diodorisch-waar als en alleen als het te allen tijde Filoniaans-waar is. De voorwaardelijkheid van Diodorus doet dus denken aan een strikte implicatie. Philo's en Diodorus 'opvattingen over conditionals leiden tot varianten van de' paradoxen 'van materiële en strikte implicaties - een feit waarvan de ouden zich bewust waren (Sextus Empiricus [SE] M. 8.109–117). Philo's en Diodorus 'opvattingen over conditionals leiden tot varianten van de' paradoxen 'van materiële en strikte implicaties - een feit waarvan de ouden zich bewust waren (Sextus Empiricus [SE] M. 8.109–117). Philo's en Diodorus 'opvattingen over conditionals leiden tot varianten van de' paradoxen 'van materiële en strikte implicaties - een feit waarvan de ouden zich bewust waren (Sextus Empiricus [SE] M. 8.109–117).

Philo en Diodorus hebben elk de vier modaliteiten overwogen: onmogelijkheid, noodzaak en niet-noodzaak. Deze werden opgevat als modale eigenschappen of modale waarden van proposities, niet als modale operatoren. Philo definieerde ze als volgt: 'Mogelijk is dat wat waar kan zijn door de eigen aard van de zin … noodzakelijk is dat wat waar is, en wat, voor zover het op zichzelf is, niet onwaar kan zijn. Niet noodzakelijk is datgene wat, voor zover het op zichzelf is, vals kan zijn, en onmogelijk is dat wat naar zijn aard niet waar kan zijn. ' Diodorus 'definities waren als volgt:' Mogelijk is dat wat [waar] is of zal zijn; onmogelijk dat wat vals is en niet waar zal zijn; noodzakelijk dat wat waar is en niet vals zal zijn; niet noodzakelijk dat wat al vals is of vals zal zijn.'Beide sets definities voldoen aan de volgende standaardvereisten van de modale logica: (i) noodzaak houdt waarheid in en waarheid houdt mogelijkheid in; (ii) mogelijkheid en onmogelijkheid zijn tegenstrijdigheden, evenals noodzaak en niet-noodzaak; (iii) noodzaak en mogelijkheid zijn onderling te definiëren; (iv) elk voorstel is ofwel noodzakelijk of onmogelijk of zowel mogelijk als niet-noodzakelijk. De definities van Philo lijken louter conceptuele modaliteiten te introduceren, terwijl met de definities van Diodorus sommige stellingen hun modale waarde kunnen veranderen (Boeth. In Arist. De Int., Sec. Ed., 234–235 Meiser).(iii) noodzaak en mogelijkheid zijn onderling te definiëren; (iv) elk voorstel is ofwel noodzakelijk of onmogelijk of zowel mogelijk als niet-noodzakelijk. De definities van Philo lijken louter conceptuele modaliteiten te introduceren, terwijl met de definities van Diodorus sommige stellingen hun modale waarde kunnen veranderen (Boeth. In Arist. De Int., Sec. Ed., 234–235 Meiser).(iii) noodzaak en mogelijkheid zijn onderling te definiëren; (iv) elk voorstel is ofwel noodzakelijk of onmogelijk of zowel mogelijk als niet-noodzakelijk. De definities van Philo lijken louter conceptuele modaliteiten te introduceren, terwijl met de definities van Diodorus sommige stellingen hun modale waarde kunnen veranderen (Boeth. In Arist. De Int., Sec. Ed., 234–235 Meiser).

Diodorus 'definitie van mogelijkheid sluit toekomstige contingenten uit en impliceert de contra-intuïtieve stelling dat alleen het werkelijke mogelijk is. Diodorus probeerde deze bewering te bewijzen met zijn beroemde Master Argument, dat de onverenigbaarheid van (i) 'elke waarheid uit het verleden is noodzakelijk', (ii) 'het onmogelijke volgt niet uit het mogelijke', en (iii) 'aantoont. iets is mogelijk wat niet waar is en ook niet zal zijn '(Epict. Diss. II.19). Het argument is niet bewaard gebleven, maar er zijn verschillende reconstructies voorgesteld. Enige affiniteit met de argumenten voor logisch determinisme in Aristoteles 'De Interpretatione 9 is waarschijnlijk.

Over het onderwerp dubbelzinnigheid meende Diodorus dat geen enkele taalkundige uitdrukking dubbelzinnig is. Hij ondersteunde deze uitspraak met een zingevingstheorie gebaseerd op de bedoeling van de spreker. Sprekers zijn doorgaans van plan slechts één ding te zeggen als ze spreken. Wat ze zeggen als ze spreken, is wat ze van plan zijn te zeggen. Elke discrepantie tussen de bedoeling van de spreker en de decodering van de luisteraar heeft zijn oorzaak in de vergetelheid van wat werd gezegd, niet in de dubbelzinnigheid ervan (Aulus Gellius 11.12.2–3).

5. De stoïcijnen

De stichter van de Stoa, Zeno of Citium (335–263 BCE), studeerde bij Diodorus. Zijn opvolger Cleanthes (331–232) probeerde het Master Argument op te lossen door te ontkennen dat elke waarheid uit het verleden nodig is en schreef boeken - nu verloren verloren paradoxen, dialectiek, argumentatiemodi en predikaten. Beide filosofen beschouwden kennis van logica als een deugd en hechtten er veel waarde aan, maar het bleken geen creatieve logici te zijn. Daarentegen is Cleanthes 'opvolger Chrysippus van Soli (ca. 280–207) zonder twijfel de tweede grote logicus in de geschiedenis van de logica. Van hem werd gezegd dat als de goden enige logica zouden gebruiken, die van Chrysippus zou zijn (DL 7.180), en zijn reputatie als briljante logicus wordt ruimschoots bevestigd. Chrysippus schreef meer dan 300 boeken over logica, over vrijwel elk onderwerp waar logica zich vandaag de dag mee bezighoudt, inclusief de theorie van spraakhandelingen, zinsanalyse,enkelvoudige en meervoudige uitdrukkingen, soorten predikaten, indexicals, existentiële proposities, sentimentele connectieven, negaties, disjuncties, conditionals, logisch gevolg, geldige argumentvormen, deductietheorie, propositionele logica, modale logica, gespannen logica, epistemische logica, logica van veronderstellingen, logica van imperatieven, ambiguïteit en logische paradoxen, in het bijzonder de leugenaar en de sorieten (DL 7.189–199). Van al deze zijn slechts twee ernstig beschadigde papyri bewaard gebleven, gelukkig aangevuld met een aanzienlijk aantal fragmenten en getuigenissen in latere teksten, met name in Diogenes Laertius (DL) boek 7, secties 55-83, en Sextus Empiricus Outlines of Pyrrhonism (SE PH) boek 2 en Against the Mathematicians (SE M) boek 8. Chrysippus 'opvolgers, waaronder Diogenes of Babylon (c. 240–152) en Antipater of Tarsus (2240–152) en Antipater van Tarsus (2ⁿ cent. BCE), lijken sommige van zijn ideeën te hebben gesystematiseerd en vereenvoudigd, maar hun oorspronkelijke bijdragen aan de logica lijken klein. Veel getuigenissen van stoïcijnse logica noemen geen specifieke stoïcijn. Vandaar dat de volgende paragrafen eenvoudig spreken over 'de stoïcijnen' in het algemeen; maar we kunnen er zeker van zijn dat een groot deel van wat bewaard is gebleven, teruggaat tot Chrysippus.

5.1 Logische prestaties naast Propositionele Logica

Het onderwerp van de stoïcijnse logica zijn de zogenaamde sayables (lekta): het zijn de onderliggende betekenissen in alles wat we zeggen en denken, maar net als Frege's 'zintuigen' bestaan ze ook onafhankelijk van ons. Ze onderscheiden zich van gesproken en geschreven taaluitdrukkingen: wat we uitspreken zijn die uitingen, maar wat we zeggen zijn de zeggingskracht (DL 7.57). Er zijn complete en gebrekkige zeggenschap. Gebrekkige uitspraken, indien gezegd, zorgen ervoor dat de toehoorder wordt gevraagd om een voltooiing te vragen; bijv. als iemand zegt 'schrijft', vragen we 'wie?'. Als je de sayables voltooit, laat je de toehoorder niet om een voltooiing vragen (DL7.63). Ze omvatten assertibles (het stoïcijnse equivalent van proposities), imperativals, ondervragingen, onderzoeken, uitroepen, hypothesen of veronderstellingen, bepalingen, eden, vloeken en meer. De rekeningen van de verschillende complete zeggingsvormen hadden allemaal de algemene vorm 'een zeg-maar-zo zeg maar is een daad van wij-en-die'. Bijvoorbeeld: 'een imperativaal zegbaar is er een door te zeggen dat we een commando geven', 'een vragend zegbaar is een door te zeggen dat we een vraag stellen', 'een declaratoir zegbaar (dat wil zeggen een assertief) is een door te zeggen dat we een maken bewering'. Dus, volgens de stoïcijnen, voeren we elke keer dat we een volledige zegswijze zeggen drie verschillende handelingen uit: we spreken een taalkundige uitdrukking uit; we zeggen het zegbare; en we voeren een toespraak uit. Chrysippus was op de hoogte van het onderscheid tussen gebruik en vermelding (DL 7.187). Hij schijnt te hebben aangenomen dat elke aanduidende uitdrukking dubbelzinnig is in die zin dat het zowel de aanduiding als zichzelf aanduidt (Galen, On ling. Soph. 4; Aulus Gellius 11.12.1). De uitdrukking 'een wagen' zou dus zowel een wagen als de uitdrukking 'een wagen' aanduiden.^[2]

Assertibles (axiômata) verschillen van alle andere complete sayables in hun waarheidswaarde: ze zijn op elk moment waar of onwaar. Waarheid is tijdelijk en beweringen kunnen hun waarheidswaarde veranderen. Het stoïcijnse principe van bivalentie is dus ook tijdelijk. De waarheid wordt geïntroduceerd door een voorbeeld: het assertieve 'het is dag' is waar als het dag is, en op alle andere momenten vals (DL 7.65). Dit suggereert een soort deflatoire kijk op de waarheid, evenals het feit dat de stoïcijnen ware assertibles met feiten identificeren, maar valse assertibles simpelweg definiëren als de tegenstrijdigheden van echte (SE M 8.85).

Assertibles zijn eenvoudig of niet-eenvoudig. Een eenvoudige predicatieve bewering als 'Dion is wandelen' wordt gegenereerd uit het predicaat 'is lopen', wat een gebrekkige bewering is omdat het de vraag 'wie?' Oproept, samen met een nominatief geval (de individuele kwaliteit van Dion of de gecorreleerde zegswijze), die volgens de bewering onder het predikaat valt (DL 7.63 en 70). Er is dus geen uitwisselbaarheid van predikaat- en onderwerpstermen zoals in Aristoteles; veeleer predikaten - maar niet de dingen die eronder vallen - worden gedefinieerd als tekortkomingen en lijken dus op propositionele functies. Het lijkt erop dat, hoewel sommige stoïcijnen de Fregeïsche-benadering gebruikten, dat enkelvoudige termen de woorden hadden gecorreleerd, anderen anticipeerden op het idee van directe referentie. Betreffende indexicals,de stoïcijnen namen een simpele duidelijke bewering als 'deze loopt' om waar te zijn wanneer de persoon waarnaar de spreker wijst loopt (SE M 100). Als het ding waarnaar wordt verwezen ophoudt te bestaan, dan geldt dat ook voor de bewering, hoewel de zin die wordt gebruikt om het uit te drukken blijft bestaan (Alex. Aphr. An. Pr. 177–8). Een simpele onbepaalde bewering als 'iemand loopt' zou waar zijn als een corresponderende definitieve bewering waar is (SE M 98). Aristotelische universele bevestigingen ('Every A is B') zouden worden geherformuleerd als conditionals: 'Als iets A is, is het B' (SE M 9.8–11). Negaties van simpele assertibles zijn zelf simpele assertibles. De stoïcijnse ontkenning van 'Dion loopt' is '(het is) niet (het geval dat) Dion loopt', en niet 'Dion loopt niet'. Dit laatste wordt op een Russellse manier geanalyseerd als 'Both Dion bestaat en niet: Dion loopt' (Alex. Aphr. Een. Pr. 402). Er zijn tegenwoordige, verleden tijd en toekomstige gespannen beweringen. Het tijdelijke principe van bivalentie geldt voor hen allemaal. De bewering in de verleden tijd dat 'Dion heeft gelopen' is waar als er ten minste één tijd in het verleden is geweest waarop 'Dion is gelopen' waar was.

5.2 Syntaxis en semantiek van complexe proposities

De stoïcijnen hielden zich dus bezig met verschillende kwesties die we onder de noemer predikaatlogica zouden plaatsen; maar hun belangrijkste prestatie was de ontwikkeling van een propositionele logica, dat wil zeggen van een systeem van deductie waarin de kleinste substantiële niet-geanalyseerde uitdrukkingen proposities zijn, of beter gezegd, beweringen.

De stoïcijnen definieerden negaties als assertibles die bestaan uit een negatief deeltje en een assertible gecontroleerd door dit deeltje (SE M 8.103). Evenzo werden niet-eenvoudige assertibles gedefinieerd als assertibles die ofwel uit meer dan één assertible bestaan of uit één assertible die meer dan één keer is genomen (DL 7.68–9) en die worden aangestuurd door een bindmiddel. Beide definities kunnen worden opgevat als recursief en maken assertibles van onbepaalde complexiteit mogelijk. Drie soorten niet-eenvoudige assertibles komen voor in Stoic syllogistic. Conjuncties zijn niet-eenvoudige beweringen die zijn samengesteld door de conjunctieve verbinding 'zowel … als …'. Ze hebben twee conjuncten. ^[3]Disjunctions zijn niet-eenvoudige assertibles die zijn samengesteld door de disjunctive connective 'ofwel … of … of …'. Ze hebben twee of meer disjuncten, allemaal op één lijn. Conditionals zijn niet-eenvoudige assertibles gevormd met het verbindende 'if …, …' ze bestaan uit antecedent en consequent (DL 7.71–2). Welk type bewering een bewering is, wordt bepaald door het verbindende of logische deeltje dat het regelt, dat wil zeggen dat het de grootste reikwijdte heeft. 'Zowel niet p en q' is een voegwoord, 'Niet zowel p als q' een ontkenning. Stoïcijnse taalregimentatie vraagt dat zinnen die assertibles uitdrukken altijd beginnen met het logische deeltje of de uitdrukking die kenmerkend is voor de assertible. Zo hebben de stoïcijnen een impliciet bracketing-apparaat uitgevonden dat vergelijkbaar is met dat in de Poolse notatie van Łukasiewicz.

Stoïcijnse ontkenningen en voegwoorden zijn waarheidsfunctioneel. Stoïcijnse (of op zijn minst Chrysippiaanse) conditionals zijn waar wanneer de tegenstrijdigheid van de consequent onverenigbaar is met zijn antecedent (DL 7.73). Twee assertibles zijn tegenstellingen elkaar als men de negatie van de andere (DL 7,73); dat wil zeggen, wanneer het ene het andere overtreft door een pre-fixed-negation deeltje (SE M 8.89). De waarheidsfunctionele voorwaardelijke Filonian werd uitgedrukt als een ontkenning van een conjunctie: dat wil zeggen niet als 'if p, q' maar als 'niet zowel p als niet q'. Stoïcijnse disjunctie is exclusief en niet waarheidsgetrouw. Het is waar wanneer noodzakelijkerwijs precies één van de afzonderlijke onderdelen waar is. Latere stoïcijnen introduceerden een niet-waarheid-functionele inclusie (Aulus Gellius, NA 16.8.13–14).

Net als Philo en Diodorus onderscheidde Chrysippus vier modaliteiten en beschouwde ze eerder als modale waarden van proposities dan als modale operatoren; zij aan dezelfde standaardeisen van modale logica. De definities van Chrysippus zijn (DL 7.75): een bewering is mogelijk wanneer het zowel waar kan zijn als niet gehinderd wordt door externe dingen om waar te zijn. Een bewering is onmogelijk wanneer het [ofwel] niet in staat is om waar te zijn [of in staat is om waar te zijn, maar gehinderd wordt door externe dingen om waar te zijn]. Een bewering is nodig wanneer hij, als hij waar is, niet in staat is vals te zijn of in staat is om vals te zijn, maar gehinderd wordt door externe dingen om vals te zijn. Een bewering is niet nodig wanneer hij zowel vals kan zijn als niet gehinderd wordt door externe dingen [om vals te zijn]. De modale noties van Chrysippus verschillen van Diodorus doordat ze toekomstige contingenten toelaten en van Philo doordat ze verder gaan dan louter conceptuele mogelijkheden.

5.3 Argumenten

Argumenten zijn normaal gesproken samenstellingen van beweringen. Ze worden gedefinieerd als een systeem van ten minste twee premissen en een conclusie (DL 7.45). Syntactisch wordt elk uitgangspunt behalve het eerste geïntroduceerd door 'nu' of 'maar', en de conclusie door 'daarom'. Een argument is geldig als de (Chrysippean) voorwaardelijk gevormd met de conjunctie van zijn premissen als antecedent en de conclusie als consequentie correct is (SE PH 2.137; DL 7.77). Een argument is 'gezond' (letterlijk: 'waar'), terwijl het niet alleen geldig is, maar ook ware premissen heeft. De stoïcijnen definieerden zogenaamde argumentmodi als een soort schema van een argument (DL 7.76). De wijze van een argument verschilt van het argument zelf doordat de ordinale getallen de plaats innemen van assertibles. De modus van het argument

Als het dag is, is het licht.

Maar het is niet zo dat het licht is.

Daarom is het niet zo dat het dag is.

is

Als de 1 ^e, de 2 ^e.

Maar niet: de 2 ^e.

Daarom niet: de 1 ^st.

De modi fungeerden eerst als afkortingen van argumenten die hun logisch relevante vorm naar voren brachten; en ten tweede, zo lijkt het, als vertegenwoordigers van de vorm van een klasse van argumenten.

5.4 Stoïcijns syllogistisch

In termen van hedendaagse logica wordt stoïcijnse syllogistiek het best begrepen als een substructureel achterwaarts werkend Gentzen-achtig natuurlijk deductiesysteem dat bestaat uit vijf soorten axiomatische argumenten (de indemonstrables) en vier gevolgtrekkingsregels, themata genoemd. Een argument is een syllogisme, juist als het ofwel aantoonbaar is, ofwel kan worden teruggebracht tot één door middel van de themata (DL 7.78). Zo zijn syllogismen bepaalde soorten formeel geldige argumenten. De stoïcijnen erkenden expliciet dat er geldige argumenten zijn die geen syllogismen zijn; maar veronderstelde dat deze op de een of andere manier konden worden omgezet in syllogismen.

Alle fundamentele onweerlegbare elementen bestaan uit een niet-eenvoudige bewering als leidende premisse en een eenvoudige bewering als co-aanname, en hebben een andere eenvoudige bewering als conclusie. Ze werden bepaald door vijf gestandaardiseerde meta-linguïstische beschrijvingen van de vormen van de argumenten (SE M 8,224-5; DL 7,80-1):

• Een eerste onomstotelijk bewijs is een argument dat voortvloeit uit een voorwaardelijk en zijn antecedent de consequentie
• Een tweede onomstotelijk is een argument dat uit een voorwaardelijk en tegenstrijdig gevolg van de consequent voortvloeit, het tegenstrijdig aan het antecedent.
• Een derde onomstotelijk is een argument dat uit de ontkenning van een voegwoord en een van de voegwoorden de tegenstrijdigheid van het andere voegwoord afleidt.
• Een vierde onaantastbaar is een argument dat uit een disjunctie voortvloeit en een van de disjuncten het tegenstrijdige is van het andere disjunct.
• Een vijfde onomstotelijk bewijs is een argument dat voortvloeit uit een disjunctie en het tegenstrijdige van een van de disjuncten van de andere disjunct.

Of een argument onaantastbaar is, kan worden getest door het te vergelijken met deze meta-linguïstische beschrijvingen. Bijvoorbeeld,

Als het dag is, is het niet zo dat het nacht is.

Maar het is nacht.

Daarom is het niet zo dat het dag is.

komt uit als een tweede aantoonbare, en

Als vijf een getal is, is ofwel vijf oneven of is vijf even.

Maar vijf is een nummer.

Daarom is ofwel vijf oneven of vijf is even.

als een eerste aantoonbare. Voor testen kan ook een geschikte modus van een argument worden gebruikt als een stand-in. Een modus is syllogistisch, als een bijbehorend argument met hetzelfde formulier een syllogisme is (vanwege dat formulier). In de stoïcijnse logica zijn er echter geen vijf modi die kunnen worden gebruikt als inferentieschema's die de vijf soorten indemonstrables vertegenwoordigen. Dit zijn bijvoorbeeld twee van de vele modi van vierde onduidelijkheden:

Ofwel de 1 ^e of de 2 ^e.

Maar de 2 ^e.

Daarom niet de 1 ^ste.

Ofwel de 1 ^e of niet de 2 ^e.

Maar de 1 ^ste.

Daarom de 2 ^e.

Hoewel beide worden behandeld in de meta-linguïstische beschrijving, kan geen van beide worden genoemd als de modus van de vierde onduidelijkheden: als we complexe argumenten negeren, zijn er tweeëndertig modi die overeenkomen met de vijf meta-linguïstische beschrijvingen; deze laatste blijken dus merkbaar zuiniger te zijn. De bijna universele veronderstelling onder historici van logica dat de stoïcijnen hun vijf (soorten) onduidelijkheden door vijf modi vertegenwoordigden, is vals en wordt niet ondersteund door tekstueel bewijs. ^[4]

Van de vier themata zijn alleen de eerste en de derde bewaard gebleven. Ook zij waren meta-linguïstisch geformuleerd. Het eerste thema was in zijn basisvorm:

Wanneer uit twee [assertibles] een derde volgt, volgt uit een van beide samen met de tegenstrijdigheid van de conclusie de tegenstrijdige van de andere (Apuleius Int. 209.9–14)

Dit is een gevolgtrekkingsregel van het soort dat tegenwoordig antilogisme heet. Het derde thema, in één formulering, was:

Wanneer uit twee [assertibles] een derde volgt, en uit degene die volgt [dwz de derde] samen met een andere, externe aanname, volgt er een andere, dan volgt deze andere uit de eerste twee en de extern veronderstelde (Simplicius Cael. 237,2-4)

Dit is een inferentieregel van het soort dat tegenwoordig cut-rule wordt genoemd. Het wordt gebruikt om ketting-syllogismen te verminderen. De tweede en vierde themata waren ook cut-regels, en reconstructies ervan kunnen worden gegeven, omdat we weten welke argumenten ze samen met het derde thema zouden verminderen, en we hebben enkele van de argumenten die door het tweede thema kunnen worden gereduceerd. Een mogelijke reconstructie van het tweede thema is:

Als uit twee beweringen een derde volgt, en uit de derde en een (of beide) van de twee volgt, dan volgt deze andere uit de eerste twee

Een mogelijke reconstructie van het vierde thema is:

Wanneer uit twee beweringen een derde volgt, en uit de derde en een (of beide) van de twee en een (of meer) externe bewering (en) volgt een andere, dan volgt deze andere uit de eerste twee en de externe (n). (Zie Bobzien 1996.)

Een stoïcijnse reductie toont de formele geldigheid van een argument aan door er in één of meer stappen de themata op toe te passen, zodat alle resulterende argumenten onomstotelijk zijn. Dit kan worden gedaan met de argumenten of hun modi (SE M 8.230-8). Bijvoorbeeld de argumentatiemodus

Als de 1 ^e en de 2 ^e, de 3 ^e.

Maar niet de 3 ^rd.

Bovendien is de 1 ^st.

Dus niet: de 2 ^e.

kan door het derde thema worden gereduceerd tot (de modi van) een tweede en een derde aantoonbaar als volgt:

Wanneer uit twee beweringen ('Als de 1 ^e en de 2 ^e, de 3 ^e ' en 'Maar niet de 3 ^e ') een derde volgt ('Niet: zowel de 1 ^e als de 2 ^e ' -dit volgt met een seconde onaangetast) en van de derde en een externe ('De 1 ^e ') volgt een andere ('Niet: de 2 ^e ' - dit volgt door een derde onaangetast), dan volgt ook deze andere ('Niet: de 2 ^e ') van de twee beweringen en de externe.

Het tweede thema verlaagde oa discussies met de volgende modi (Alex Aphr Een Pr 164,27-31….):

Ofwel de 1 ^ste of niet de 1 ^st.

Maar de 1 ^ste.

Daarom is de 1 ^st.

Als de 1e, als de ^1e, de ^2e.

Maar de 1 ^ste.

Daarom de 2 ^e.

De Peripatetica berispten de stoïcijnen omdat ze zulke nutteloze argumenten toelieten. In overeenstemming met de hedendaagse logica stonden de stoïcijnen erop dat, als de argumenten kunnen worden verminderd, ze geldig zijn.

De vier themata kan herhaaldelijk en in elke combinatie worden gebruikt in een reductie. Zodoende kunnen propositionele argumenten van onbepaalde lengte en complexiteit worden verminderd. Stoïcijnse syllogistiek is geformaliseerd en er is aangetoond dat het stoïcijns deductieve systeem sterke overeenkomsten vertoont met relevante logische systemen zoals die van Storrs McCall. Net als Aristoteles, de stoïcijnen gericht op het aantonen niet duidelijk formeel valide argumenten door het verminderen van hen door middel van aanvaarde afleidingsregels om aantoonbaar geldige argumenten. Dus hoewel hun logica een propositionele logica is, waren ze niet van plan een systeem te bieden waarmee alle propositioneel-logische waarheden kunnen worden afgeleid, maar eerder een systeem van geldige propositioneel-logische argumenten met ten minste twee premissen en een conclusie. Niettemin,we hebben bewijzen dat de stoïcijnen veel eenvoudige logische waarheden uitdrukkelijk hebben erkend. Ze accepteerden bijvoorbeeld de volgende logische principes: het principe van dubbele negatie, waarin staat dat een dubbele negatie ('niet: niet: p') equivalent is aan de bewering die dubbel wordt genegeerd (dwz p) (DL 7.69); het principe dat elke voorwaardelijke vorm die wordt gevormd door dezelfde bewering te gebruiken als antecedent en als consequentie ('if p, p') waar is (SE M 8.281, 466); het principe dat twee-plaats disjuncties gevormd door het gebruik van tegenstrijdige disjuncten ('ofwel p of niet: p') waar is (SE M 8.282, 467); en het principe van contrapositie, dat als 'indien p, q' dan 'zo niet: q, niet: p' (DL 7.194, Philodemus Sign., PHerc. 1065, XI.26 – XII.14).waarin staat dat een dubbele ontkenning ('niet: niet: p') gelijk is aan de bewering die dubbel wordt ontkend (dwz p) (DL 7.69); het principe dat elke voorwaardelijke vorm die wordt gevormd door dezelfde bewering te gebruiken als antecedent en als consequentie ('if p, p') waar is (SE M 8.281, 466); het principe dat twee-plaats disjuncties gevormd door het gebruik van tegenstrijdige disjuncten ('ofwel p of niet: p') waar is (SE M 8.282, 467); en het principe van contraposition, dat als 'als p, q' dan 'indien niet: q, niet: p' (DL 7.194, Philodemus Sign, PHerc 1065, XI.26-XII.14..).waarin staat dat een dubbele ontkenning ('niet: niet: p') gelijk is aan de bewering die dubbel wordt ontkend (dwz p) (DL 7.69); het principe dat elke voorwaardelijke vorm die wordt gevormd door dezelfde bewering te gebruiken als antecedent en als consequentie ('if p, p') waar is (SE M 8.281, 466); het principe dat twee-plaats disjuncties gevormd door het gebruik van tegenstrijdige disjuncten ('ofwel p of niet: p') waar is (SE M 8.282, 467); en het principe van contrapositie, dat als 'indien p, q' dan 'zo niet: q, niet: p' (DL 7.194, Philodemus Sign., PHerc. 1065, XI.26 – XII.14).het principe dat twee-plaats disjuncties gevormd door het gebruik van tegenstrijdige disjuncten ('ofwel p of niet: p') waar is (SE M 8.282, 467); en het principe van contrapositie, dat als 'indien p, q' dan 'zo niet: q, niet: p' (DL 7.194, Philodemus Sign., PHerc. 1065, XI.26 – XII.14).het principe dat twee-plaats disjuncties gevormd door het gebruik van tegenstrijdige disjuncten ('ofwel p of niet: p') waar is (SE M 8.282, 467); en het principe van contrapositie, dat als 'indien p, q' dan 'zo niet: q, niet: p' (DL 7.194, Philodemus Sign., PHerc. 1065, XI.26 – XII.14).

5.5 Logische paradoxen

De stoïcijnen erkenden het belang van zowel de leugenaar- als de sorietenparadoxen (Cicero Acad. 2.95–8, Plut. Comm. Not. 1059D-E, Chrys. Log. Zet. Col. IX). Chrysippus heeft mogelijk geprobeerd de leugenaar als volgt op te lossen: er is een onduidelijke dubbelzinnigheid in de zin van de leugenaar ('ik spreek vals', geïsoleerd geuit) tussen de beweringen (i) 'ik zeg valselijk dat ik vals spreek' en (ii) 'Ik spreek vals' (dwz ik doe wat ik zeg, namelijk vals spreken), waarvan, op elk moment dat de Leugenaar-zin wordt uitgesproken, precies één waar is, maar het is willekeurig welke. (i) houdt in (iii) 'Ik spreek echt' en is onverenigbaar met (ii) en (iv) 'Ik zeg echt dat ik vals spreek'. (ii) inhoudt (iv) en is onverenigbaar met (i) en (iii). Zo blijft de bivalentie behouden (cf. Cavini 1993). Het standpunt van Chrysippus over de Sorites lijkt te zijn geweest dat vage grenszinnen die in de context van een Sorites-reeks worden uitgesproken, geen assertibles bevatten die daarmee overeenkomen, en dat het voor ons onduidelijk is waar de grensgevallen beginnen, zodat het voor ons rationeel is om stop met antwoorden terwijl u zich nog op veilige grond bevindt (dwz voordat we zouden kunnen beginnen met het maken van uitingen zonder dat daar een verklaring voor is). De laatste opmerking suggereert dat Chrysippus zich bewust was van het probleem van de hogere vaagheid. Ook hier blijft de bivalentie van assertibles behouden (vgl. Bobzien 2002). De stoïcijnen bespraken ook verschillende andere bekende paradoxen. Met name voor de paradoxen van vooronderstelling, in de oudheid bekend als de Gehoornde, produceerden ze een oplossing van het Russell-type op basis van een verborgen reikwijdte van negatie (vgl. Bobzien 2012)Bobzien 2012)Bobzien 2012)en dat het voor ons onduidelijk is waar de grensgevallen beginnen, zodat het voor ons rationeel is om te stoppen met antwoorden terwijl we nog op veilige grond zijn (dat wil zeggen voordat we zouden kunnen beginnen met het uiten van uitspraken zonder daarmee overeen te komen). De laatste opmerking suggereert dat Chrysippus zich bewust was van het probleem van de hogere vaagheid. Ook hier blijft de bivalentie van assertibles behouden (vgl. Bobzien 2002). De stoïcijnen bespraken ook verschillende andere bekende paradoxen. In het bijzonder voor de paradoxen van vooronderstelling, in de oudheid bekend als de Gehoornde, produceerden ze een oplossing van het type Russell, gebaseerd op een verborgen dubbelzinnigheid van negatie (cf. Bobzien 2012)en dat het voor ons onduidelijk is waar de grensgevallen beginnen, zodat het voor ons rationeel is om te stoppen met antwoorden terwijl we nog op veilige grond zijn (dat wil zeggen voordat we zouden kunnen beginnen met het uiten van uitspraken zonder daarmee overeen te komen). Uit de laatste opmerking suggereert Chrysippus was zich bewust van het probleem van hogere orde vaagheid. Ook hier blijft de bivalentie van assertibles behouden (vgl. Bobzien 2002). De stoïcijnen bespraken ook verschillende andere bekende paradoxen. In het bijzonder voor de paradoxen van vooronderstelling, in de oudheid bekend als de Gehoornde, produceerden ze een oplossing van het type Russell, gebaseerd op een verborgen dubbelzinnigheid van negatie (cf. Bobzien 2012)De laatste opmerking suggereert dat Chrysippus zich bewust was van het probleem van de hogere vaagheid. Ook hier blijft de bivalentie van assertibles behouden (vgl. Bobzien 2002). De stoïcijnen bespraken ook verschillende andere bekende paradoxen. In het bijzonder voor de paradoxen van vooronderstelling, in de oudheid bekend als de Gehoornde, produceerden ze een oplossing van het type Russell, gebaseerd op een verborgen dubbelzinnigheid van negatie (cf. Bobzien 2012)De laatste opmerking suggereert dat Chrysippus zich bewust was van het probleem van de hogere vaagheid. Ook hier blijft de bivalentie van assertibles behouden (vgl. Bobzien 2002). De stoïcijnen bespraken ook verschillende andere bekende paradoxen. In het bijzonder voor de paradoxen van vooronderstelling, in de oudheid bekend als de Gehoornde, produceerden ze een oplossing van het type Russell, gebaseerd op een verborgen dubbelzinnigheid van negatie (cf. Bobzien 2012)

6. Epicurus en de levensgenieters

Epicurus (eind 4 ^{e -} begin 3 ^ec. BCE) en de levensgenieters zouden logica als een onnodige discipline hebben afgewezen (DL 10.31, Usener 257). Desalniettemin dwongen of motiveerden verschillende aspecten van hun filosofie om een standpunt in te nemen over enkele kwesties in de filosofische logica. (1) Betekenis en definitie van taal: de levensgenieters waren van mening dat natuurlijke talen niet tot stand kwamen door het niet bepalen van woordbetekenissen, maar als gevolg van de aangeboren capaciteiten van mensen voor het gebruik van tekens en articulerende geluiden en van menselijke sociale interactie (DL 10.75–6); die taal wordt in context geleerd (Lucretius 5.1028ff); en dat taaluitingen van natuurlijke talen duidelijker en opvallender zijn dan hun definities; zelfs dat definities hun opvallendheid zouden vernietigen (Usener 258, 243);en dat filosofen daarom gewone taal moeten gebruiken in plaats van technische uitdrukkingen te introduceren (Epicurus On Nature 28). (2) Waarheidsdragers: de levensgenieters ontkennen het bestaan van onstoffelijke betekenissen, zoals stoïcijnse zegswijzen. Hun waarheidsdragers zijn taalkundige items, meer bepaald uitingen (phônai) (SE M 8.13, 258; Usener 259, 265). Waarheid bestaat in de overeenstemming van dingen en uitingen, onwaarheid bij het ontbreken van dergelijke overeenstemming (SE M 8.9, Usener 244), hoewel de details hier onduidelijk zijn. (3) Uitgesloten midden: met uitingen als waarheidsdragers staan de levensgenieters voor de vraag wat de waarheidswaarden van toekomstige contingenten zijn. Er zijn twee weergaven vastgelegd. Een daarvan is de ontkenning van het principe van uitgesloten midden ('p of niet p') voor toekomstige contingenten (Usener 376, Cicero Acad. 2.97, Cicero Fat. 37). De andere, interessanter,men laat het Uitgesloten Midden intact voor alle uitingen, maar stelt dat, in het geval van toekomstige contingenten, de componentuitingen 'p' en 'niet p' noch waar noch onwaar zijn (Cicero Fat. 37), maar, naar het schijnt, voor onbepaalde tijd. Dit kan worden beschouwd als een anticipatie op het supervaluationisme. (4) Inductie: inductieve logica was relatief weinig ontwikkeld in de oudheid. Aristoteles bespreekt argumenten van het bijzondere tot het universele (epagôg ê) in de Topics en Posterior Analytics, maar geeft er geen theorie over. Sommige latere levensgenieters ontwikkelden een theorie van inductieve gevolgtrekking die de gevolgtrekking baseert op empirische waarneming dat bepaalde eigenschappen zonder uitzondering overeenstemmen (Philodemus De Signis).de componentuitingen 'p' en 'niet p' zijn niet waar of onwaar (Cicero Fat. 37), maar, naar het schijnt, voor onbepaalde tijd. Dit kan worden beschouwd als een anticipatie op het supervaluationisme. (4) Inductie: inductieve logica was relatief weinig ontwikkeld in de oudheid. Aristoteles bespreekt argumenten van het bijzondere tot het universele (epagôg ê) in de Topics en Posterior Analytics, maar geeft er geen theorie over. Sommige latere levensgenieters ontwikkelden een theorie van inductieve gevolgtrekking die de gevolgtrekking baseert op empirische waarneming dat bepaalde eigenschappen zonder uitzondering overeenstemmen (Philodemus De Signis).de componentuitingen 'p' en 'niet p' zijn niet waar of onwaar (Cicero Fat. 37), maar, naar het schijnt, voor onbepaalde tijd. Dit kan worden beschouwd als een anticipatie op het supervaluationisme. (4) Inductie: inductieve logica was relatief weinig ontwikkeld in de oudheid. Aristoteles bespreekt argumenten van het bijzondere tot het universele (epagôg ê) in de Topics en Posterior Analytics, maar geeft er geen theorie over. Sommige latere levensgenieters ontwikkelden een theorie van inductieve gevolgtrekking die de gevolgtrekking baseert op empirische waarneming dat bepaalde eigenschappen zonder uitzondering overeenstemmen (Philodemus De Signis). Aristoteles bespreekt argumenten van het bijzondere tot het universele (epagôg ê) in de Topics en Posterior Analytics, maar geeft er geen theorie over. Sommige latere levensgenieters ontwikkelden een theorie van inductieve gevolgtrekking die de gevolgtrekking baseert op empirische waarneming dat bepaalde eigenschappen zonder uitzondering overeenstemmen (Philodemus De Signis). Aristoteles bespreekt argumenten van het bijzondere tot het universele (epagôg ê) in de Topics en Posterior Analytics, maar geeft er geen theorie over. Sommige latere levensgenieters ontwikkelden een theorie van inductieve gevolgtrekking die de gevolgtrekking baseert op empirische waarneming dat bepaalde eigenschappen zonder uitzondering overeenstemmen (Philodemus De Signis).

7. Latere oudheid

Er is heel weinig bekend over de ontwikkeling van logica uit c. 100 BCE tot c. 250 CE. Het is onduidelijk wanneer Peripatetics en Stoics kennis gingen nemen van elkaars logische prestaties. Op een bepaald moment in die periode kreeg het terminologische onderscheid tussen 'categorische syllogismen', gebruikt voor aristotelische syllogismen, en 'hypothetische syllogismen', niet alleen voor die geïntroduceerd door Theophrastus en Eudemus, maar ook voor de stoïcijnse propositioneel-logische syllogismen. vaste voet. In de eerste eeuw voor Christus schreven de Peripatetica Ariston van Alexandrië en Boethus van Sidon over syllogistiek. Ariston zou de zogenaamde 'subalterne' syllogismen (Barbari, Celaront, Cesaro, Camestrop en Camenop) in het aristotelische syllogisme (Apuleius Int. 213.5–10) hebben geïntroduceerd, dwzde syllogismen die men verkrijgt door de subalternatieregels toe te passen (die door Aristoteles in zijn Onderwerpen werden erkend)

Uit 'A-grepen van elke B' afleiden 'A-grepen van enkele B'

Uit 'A-bezit van geen B' afleiden 'A heeft geen enkele B'

naar de conclusies van de relevante syllogismen. Boethus suggereerde substantiële wijzigingen in de theorieën van Aristoteles: hij beweerde dat alle categorische syllogismen compleet zijn, en dat hypothetische syllogistiek vóór categorisch is (Galen Inst. Log. 7.2), hoewel ons niet wordt verteld waar deze prioriteit in dacht te bestaan. De stoïcijn Posidonius (c. 135 - c. 51 BCE) verdedigde de mogelijkheid van logische of wiskundige deductie tegen de epicuristen en besprak enkele syllogismen die hij 'overtuigend door de kracht van een axioma' noemde, die blijkbaar argumenten van het type 'als de 1 ^e is voor de 2 ^e, dus de 3 ^e is voor de 4 ^e; de verhouding van de 1 ^e tot de 2 ^eis dubbel; Daarom is de verhouding van de 3 ^e en de 4 ^e dubbel', die beslissend door de kracht van het axioma beschouwd hetgeen in het algemeen van dezelfde verhouding, ook van dezelfde bepaalde verhouding (Galen Inst. Log. 18.8). Ten minste twee stoïcijnen in deze periode schreven een werk over Aristoteles 'Categorieën. Uit zijn geschriften weten we dat Cicero (^1e eeuw v. Chr.) Goed op de hoogte was van zowel de peripatetische als de stoïcijnse logica; en de verhandelingen van Epictetus (eind 1 ^e - 2 ^e eeuw CE) bewijzen dat hij bekend was met enkele van de meer belastende delen van de logica van Chrysippus. Naar alle waarschijnlijkheid bestonden er in deze periode op zijn minst een paar creatieve logici, maar we weten niet wie ze waren of wat ze hebben gemaakt.

De volgende logicus van rang, indien van lagere rang, waarover we voldoende bewijs hebben om te spreken is Galen (129–199 of 216 CE), die als arts meer bekendheid verwierf. Hij studeerde logica bij zowel peripatetische als stoïcijnse leraren, en raadde aan gebruik te maken van delen van beide doctrines, zolang deze voor wetenschappelijke demonstratie konden worden gebruikt. Hij schreef commentaren op logische werken van Aristoteles, Theophrastus, Eudemus en Chrysippus, evenals verhandelingen over verschillende logische problemen en een belangrijk werk getiteld On Demonstration. Al deze zijn verloren gegaan, behalve wat informatie in latere teksten, maar zijn Inleiding tot Logica is bijna volledig op ons neergekomen. In On Demonstration ontwikkelde Galen onder meer een theorie van samengestelde categorische syllogismen met vier termen, die in vier cijfers vallen, maar we kennen de details niet. Hij introduceerde ook de zogenaamde relationele syllogismen, voorbeelden hiervan zijn 'A is gelijk aan B, B is gelijk aan C; daarom is A gelijk aan C 'en' Dio bezit de helft van Theo; Theo bezit de helft van Philo. Daarom bezit Dio een kwart van wat Philo bezit '(Galen Inst. Log, 17–18). Alle relationele syllogismen die Galenus noemt, hebben gemeen dat ze niet reduceerbaar zijn in Aristoteles of in de stoïcijnse syllogistiek, maar het is moeilijk om verdere formele kenmerken te vinden die hen verenigen. In zijn Inleiding tot Logica voegt Galen in het algemeen Aristotelische Syllogistiek samen met een sterk Peripatetische herinterpretatie van Stoïcijnse propositionele logica. Dit wordt met name duidelijk in Galen's nadrukkelijke ontkenning dat het behoud van de waarheid voldoende is voor de geldigheid of syllogisme van een argument, en zijn aandringen dat, in plaats daarvan,kennisintroductie of kennisuitbreiding is een noodzakelijke voorwaarde om iets als syllogisme te laten gelden.^[5]

De tweede oude inleiding tot de logica die bewaard is gebleven, is Apuleius '(^2e eeuw CE) De Interpretatione. Ook deze Latijnse tekst toont kennis van de stoïcijnse en peripatetische logica; het bevat de eerste volledige presentatie van het oppositievierkant, dat de logische relaties tussen categorische zinnen per diagram illustreert. De Platonist Alcinous (^2e eeuw CE), in zijn Handbook of Platonism hoofdstuk 5, is getuige van de opkomst van een specifiek Platonistische logica, gebouwd op de Platonische noties en procedures van deling, definitie, analyse en hypothese, maar er is weinig dat zou het hart van een logicus sneller doen kloppen. Ergens tussen de 3 ^e en 6 ^eeeuw CE De stoïcijnse logica verdween in de vergetelheid en kwam pas in de ^twintigste eeuw weer tot leven, na de (her) ontdekking van de propositielogica.

De overlevende, vaak volumineuze, Griekse commentaren op Aristoteles 'logische werken van Alexander van Aphrodisias (fl. C. 200 CE), Porphyry (234-c. 305), Ammonius Hermeiou (5 ^e eeuw), Philoponus (c. 500) en Simplicius (6 ^eeeuw) en de Latijnse door Boethius (ca. 480–524) zijn vooral belangrijk voor het behoud van alternatieve interpretaties van Aristoteles 'logica en als bronnen voor verloren Peripatetische en Stoïcijnse werken. Ze stellen ons ook in staat om de geleidelijke ontwikkeling van een peripatetische exegese van Aristoteles 'Organon te volgen tot een meer eclectische logica die het gevolg was van de opname en opname van elementen, niet alleen uit de stoïcijnse en platonistische theorieën, maar ook uit wiskunde en retoriek. Twee van de commentatoren verdienen in het bijzonder speciale vermelding: Porphyrius, voor het schrijven van de Isagoge of Inleiding (dwz naar de categorieën van Aristoteles), waarin hij de vijf begrippen genus, soort, differentia, eigendom en ongeval bespreekt als basisbegrippen één moet weten om de categorieën te begrijpen. Eeuwenlang,de Isagoge was de eerste logische tekst die een student zou aanpakken, en Porphyry's vijf voorspellingen (die verschillen van die van Aristoteles) vormden de basis voor de middeleeuwse doctrine van de quinque voces. De tweede is Boethius. Naast commentaren schreef hij een aantal logische verhandelingen, meestal eenvoudige uitleg van de aristotelische logica, maar ook twee zeer interessante: (i) Zijn On Topical Differentiae getuigt van het uitgebreide systeem van actuele argumenten die logici uit de latere oudheid hadden ontwikkeld uit Aristoteles 'Onderwerpen onder invloed van de behoeften van Romeinse advocaten. (ii) Zijn On hypothetische syllogismen presenteert systematisch geheel hypothetische en gemengde hypothetische syllogismen zoals ze bekend zijn uit de vroege Peripatetica; het kan zijn afgeleid van Porphyry. Boethius 'aandringen dat de ontkenning van' Als het A is,het is B 'is' Als het A is, is het niet B 'suggereert een verondersteld begrip van het voorwaardelijke, een standpunt waarvoor er ook bewijs is in Ammonius, maar dat wordt niet bevestigd door eerdere logici. Historisch gezien is Boethius het belangrijkst omdat hij het hele Aristoteles Organon in het Latijn heeft vertaald, waardoor deze teksten (behalve de posterieure analyse) beschikbaar zijn voor filosofen uit de middeleeuwen.

Bibliografie

Griekse en Latijnse teksten

• Alcinous, Enseignement des doctrines de Platon, J. Whittaker (red.), Paris: Bude, 1990.
• Alexander van Aphrodisias, On Aristoteles 'Prior Analytics 1. Commentaria in Aristotelem Graeca, Vol. 2.1, M. Wallies (red.), Berlijn: Reimer, 1883.
• Alexander van Aphrodisias, On Aristoteles Onderwerpen. Commentaria in Aristotelem Graeca, Vol. 2.2., M Wallies (red.), Berlijn: Reimer, 1891.
• Apuleius, Peri Hermeneias in Apuleius, De Philosophia libri, C. Moreschini, (red.), Stuttgart / Leipzig: Teubner, 1991. (Apulei opera quae supersunt vol.3.)
• Aristoteles, Analytica Priora et Posteriora, L. Minio-Paluello (red.), Oxford: Oxford University Press, 1964.
• Aristoteles, Categoriae et Liber de interprete, L. Minio-Paluello (red.), Oxford: Oxford University Press, 1949.
• Aristoteles, Metaphysica, W. Jaeger (red.), Oxford: Oxford University Press, 1957.
• Aristoteles, Topica et Sophistici Elenchi, WD Ross (red.), Oxford: Oxford University Press, 1958.
• Boethius, De hypotheticis syllogismis, L. Obertello (red.), Met Italiaanse vertaling, Brescia: Paideia, 1969. (Istituto di Filosofia dell'Università di Parma, Logicalia 1.)
• Boethius, De topic is differentiis, DZ Nikitas (red.), In Boethius, De topic is differentiis kai hoi buzantines metafraseis tou Manouel Holobolou kai Prochorou Kudone, Athene / Parijs / Brussel: Academie van Athene / Vrin / Ousia, 1969.
• Boethius, In librum Aristotelis De interprete-secunda editio, C. Meiser (red.), Leipzig, 1880.
• Cicero, M. Tullius, Academica posteriora-Academica priora (Academicorum reliquiae cum Lucullo), O. Plasberg (red.), Leipzig: Teubner, 1922; herdrukt Stuttgart 1966. (stoïcijnen, levensgenieters)
• Cicero, M. Tullius, De divinatione-De fato-Timaeus, W. Axe (red.), Leipzig: Teubner, 1938; herdrukt Stuttgart, 1965. (stoïcijnen, levensgenieters)
• Diels, H. (red.), Commentaria in Aristotelem Graeca, Berlijn: Reimer, 1882–1909.
• Diodorus Cronus, in Die Megariker. Kommentierte Sammlung der Testimonien, K. Döring (red.), Amsterdam: Gruener, 1972, 28–45 en 124–139. (Diodorus en Philo)
• Diogenes Laertius, Lives of the Philosophers, 2 vols., M. Marcovich (red.), Stuttgart & Leipzig: Teubner, 1999.
• Dissoi Logoi, Contrasting Arguments-An Edition of the Dissoi Logoi, TM Robinson (red.), Londen, 1979.
• Epicurus: Arrighetti, G., (red.), Epicuro Opere, ^2e editie, Turijn: Einaudi, 1973. (Verzameling van epicurische fragmenten.)
• Epicurus: Usener, H., (red.), Epicurea, Leipzig: Teubner, 1887. (Verzameling van epicurische fragmenten.)
• Galen, Institutio Logica, K. Kalbfleisch (red.), Leipzig, 1896.
• Giannantoni, G., (red.), Socratis et Socraticorum Reliquiae (4 delen), Elenchos 18, Napels, 1983-1990.
• Plato, Euthydemus, in Platonis Opera, vol. III, J. Burnet (red.) Oxford: Oxford University Press, 1903.
• Plato, Republiek, in Platonis Opera, vol. IV, J. Burnet (red.) Oxford: Oxford University Press, 1902.
• Plato, Sophistes, in Platonis Opera, vol. I, J. Burnet (red.), Oxford: Oxford University Press, 1900.
• Porphyry, Isagoge Commentaria in Aristotelem Graeca, Vol 4.1, A. Busse (red.), Berlijn, 1887.
• Sextus Empiricus, Works, 3 delen, H. Mutschmann en J. Mau (eds), Leipzig: Teubner, 1914–61.
• Stoics, in Die Fragmente zur Dialektik der Stoiker, K. Hülser (red.), 4 delen, Stuttgart-Bad Cannstatt: Frommann-Holzboog, 1987–8.
• Theophrastus, Theophrastus of Eresus: Sources for his Life, Writings, Thought and Influence, PM Huby (red.), Leiden: Brill, 1992, 114–275.
• Zeno, in Die Fragmente der Vorsokratiker, H. Diels en W. Kranz (red.), Berlijn: Weidmann, 1951.

Vertalingen van Griekse en Latijnse teksten

• Ackrill, JL, (trans. & Comm.), 1961, Aristoteles's Categorieën en De Interpretatione, Oxford: Clarendon Press.
• Annas, J. en J. Barnes, (trans.), 2000, Sextus Empiricus. Outlines of Skepticism, 2e editie, New York: Cambridge University Press.
• Barnes, J., (trans. & Comm.), 1975, Aristoteles, Posterior Analytics, Oxford: Clarendon Press. 2e Ed. 1996.
• –––, (trans. En comm.), 1987, Early Greek Philosophy, London: Penguin Books. (Zeno)
• –––, (vert.), 2003, Porphyry's Introduction, Oxford: Oxford University Press. (Porphyry: Isagoge).
• Barnes, J., en S. Bobzien, K. Ierodiakonou, (vert.), 1991, Alexander van Aphrodisias over Aristoteles 'Prior Analytics 1.1–7, London: Duckworth.
• Blank, D., (vert.), 1998, Ammonius On Aristoteles's On Interpretation 9 (met N. Kretzmann, vert.), Boethius On Aristoteles's On Interpretation 9 1.1–7, London: Duckworth.
• Brittain, C. (trans.), 2006, Cicero: On Academic Skepticism (= Academica) Indianapolis: Hackett. (Stoïcijnen, levensgenieters)
• Bury RG, (vert.), 1933–1949, Sextus Empiricus, 4 delen, Loeb Classical Library. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press; Londen: William Heinemann Ltd., Loeb Classical Library, vols 1 en 2.
• De Lacy, Ph. H. en EA De Lacy, (vert.), 1978, Philodemus. On Methods of Inference, 2e Ed., Napels: Bibliopolis. (Levensgenieters)
• Dillon, JM, 1993, Alcinous. The Handbook of Platonism, Oxford: Oxford University Press.
• Dorion, L.-A., (trans & comm.), 1995, Aristote: Les refutations sophistiques, Parijs: J. Vrin.
• Hicks, RD, (vert.), 1925, Diogenes Laertius, Lives of Eminent Philosophers, 2 delen, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press; Londen: William Heinemann Ltd., Loeb Classical Library. (Protagoras Alcidamas, Antisthenes, Eubulides, Stoics)
• Huby, PM, (vert.), 1992, in WW Fortenbaugh (red.), Theophrastus of Eresus: Sources for his Life, Writings, Thought and Influence, teksten & tr., Leiden: Brill, 114–275.
• Hülser, K. (vert.), 1987–8, Die Fragmente zur Dialektik der Stoiker, 4 delen, Stuttgart-Bad Cannstatt: Frommann-Holzboog. (Stoïcijnen; Chrysippus)
• Kieffer, JS (trans), 1964, Galen's Institutio logica, Baltimore: Johns Hopkins University Press.
• Lee, D. (vert. & Comm.), 1955, 1974, Plato. The Republic, New York: Penguin Books.
• Londey, D. en C. Johanson, (vert.), 1988, The Logic of Apuleius, Leiden: Brill.
• McCabe, MM, (trans. & Comm.), 2005, Plato, Euthydemus, Cambridge: Cambridge University Press.
• Mueller I., met J. Gould, (vert.), 1999, Alexander van Aphrodisias over Aristoteles 'Prior Analytics I.8–13. en ik, 14–22, 2 delen, London: Duckworth.
• Oldfather, WA, (vert.), 1925–8, Epictetus, The Discourses, The Manual and Fragments, 2 delen, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press; Londen: William Heinemann Ltd., Loeb Classical Library. (Stoïcijnen)
• Ophuisen, JM van, (trans.), 2001, Alexander van Aphrodisias over Aristotle's Topics 1, London: Duckworth.
• Pickard-Cambridge, WA (vert.), 1984, Aristoteles, Onderwerpen en Sophistic Refutations, in The Complete Works of Aristoteles, The Revised Oxford Translation, vol. 1, J. Barnes (red.), Princeton: Princeton University Press.
• Ross, WD (vert.), Aristoteles, Metafysica, in The Complete Works of Aristoteles, The Revised Oxford Translation, vol. 2, J. Barnes (red.), Princeton: Princeton University Press, 1984.
• Sharples, RW, 1991, Cicero: On Fate & Boethius: The Consolations of Philosophy IV.5–7, V, Warminster: Oxbow Books. (Stoïcijnen, levensgenieters)
• Smith, A., (vert.), 2014, Boethius over Aristoteles 'On Interpretation 1–3 1.1–7, London: Bloomsbury.
• –––, (vert.), 2014, Boethius over Aristoteles 'On Interpretation 4–6 1.1–7, London: Bloomsbury.
• Smith, R., (trans. & Comm.), 1989, Aristoteles 'Prior Analytics, Indianapolis: Hackett.
• –––, (vert. & Comm.), 1997, Aristoteles, Onderwerpen I, VIII en Selecties, Oxford: Clarendon Press.
• Striker, G., (trans. & Comm.), 2009, Aristoteles, Prior Analytics: Book I, Oxford: Oxford University Press.
• Stump, E., (vert.), 1978, Boethius's 'De topicis differentiis', Ithaca / Londen: Cornell University Press.
• Waterfield, R., (trans.), 2000, The First Philosophers: The Presocratics and The Sophists, Oxford: Oxford University Press (Dissoi Logoi and Sophists).
• Weidemann, H., (vert. & Comm.), 1994, Aristoteles, De Interpretatione, Berlijn: Akademie Verlag.
• White NP, (trans.), 1993, Plato: Sophist, Indianapolis: Hackett.
• Whittaker, J. (vert.), 1990, Alcinous. Enseignement des doctrines de Platon, Parijs: Bude.

Secundaire literatuur

Algemeen

• Anderson, AR en ND Belnap Jr., 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, vol. Ik, Princeton: Princeton University Press.
• Barnes, J., 2007, Truth, etc., Oxford: Oxford University Press.
• Barnes, J., et al., 1999, "Logic", in Keimpe Algra, et al. (red.), The Cambridge History of Hellenistic Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, 77–176.
• Kneale, M. en W. Kneale, 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.

Het begin

• Bailey, DTJ, 2008, "Excavating Dissoi Logoi 4", Oxford Studies in Ancient Philosophy, 35: 249–264.
• Frede, M., 1992, "Plato's Sophist on false statements", in The Cambridge metgezel van Plato, R. Kraut (red.), Cambridge: Cambridge University Press, 397–424.
• Kapp, E., 1942, Greek Foundations of Traditional Logic, New York: Columbia University Press.
• Mueller, I., 1974, "Greek Mathematics and Greek Logic", in J. Corcoran (red.), Ancient Logic and its Modern Interpretation, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 35–70.
• Netz R., 1999, The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: a study in cognitive history, Cambridge: Cambridge University Press.
• Robinson, R., 1953, Plato's eerdere dialectiek, 2e editie, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• Salmon, WC, 2001, Zeno's Paradoxes, 2e editie, Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.

Aristoteles

• Barnes, J., 1981, "Proof and the Syllogism", in E. Berti (red.), Aristoteles on Science: the 'Posterior Analytics', Padua: Antenore, 17-59.
• Corcoran, J., 1974, "Aristoteles 'natuurlijke afleidingssysteem", in Corcoran, J. (red.) Ancient Logic and its Modern Interpretation, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 85–131.
• Evans, JDG, 1975, "The Codification of False Refutations in Aristotle's De Sophistici Elenchis", Proceedings of the Cambridge Philological Society, 201: 45-52.
• Frede, D., 1985: 'De zeeslag heroverwogen. Een verdediging van de traditionele interpretatie”, Oxford Studies in Ancient Philosophy, 3: 31–87.
• Frede, M., 1987, 'The Title, Unity, and Authenticity of the Aristotelian Categories', in M. Frede, Essays in Ancient Philosophy, Minneapolis: University of Minnesota Press, 11–28.
• Kretzmann, N., 1974, 'Aristoteles over gesproken klanken significant bij overeenkomst', in J. Corcoran (red.), Ancient Logic and its Modern Interpretation, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 3–21.
• Lear, J., 1980, Aristoteles en logische theorie, Cambridge: Cambridge University Press.
• Łukasiewicz, J., 1957, Aristoteles 'syllogistiek vanuit het oogpunt van moderne formele logica, 2e editie, Oxford: Clarendon Press.
• Malink, M., 2013, Aristoteles 'Modal Syllogistic, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Owen, GEL, (red.) 1968, Aristoteles over dialectiek: de onderwerpen (Proceedings of the Third Symposium Aristotelicum), Cambridge: Cambridge University Press.
• Owen, GEL, 1965, "Inherence", Phronesis, 10: 97-105.
• Patterson, R., 1995, Aristoteles 'Modal Logic: Essence and Entailment in the Organon, Cambridge: Cambridge University Press.
• Patzig, Günther, 1969, Aristoteles 'Theory of the Syllogism, J. Barnes (trans.), Dordrecht: D. Reidel.
• Primavesi, O., 1996, Die aristotelische Topik, München: CH Beck.
• Smiley, T., 1974, "Wat is een syllogisme?", Journal of Philosophical Logic, 1: 136–154.
• Smith, R., 1983, "Wat is aristotelische ecthesis?", History and Philosophy of Logic, 24: 224–32.
• –––, 1994, “Logic”, in The Cambridge Companion to Aristotle, J. Barnes (red.), Cambridge: Cambridge University Press, 27–65.
• –––, "Aristoteles Logica", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (herfst 2004 editie), Edward N. Zalta (red.), URL = .
• Steinkrüger, P., 2015, "Aristoteles assertorische syllogistische en moderne relevantie-logica", Synthese, 192: 1413–1444.
• Striker, G., 1979, 'Aristoteles über Syllogismen' Aufgrund einer Hypothese '' ', Hermes, 107: 33–50.
• –––, 1994, "Modal vs. Assertoric Syllogismsc", Ancient Philosophy, 14: 39–51.
• Whitaker, CWA, 1996, Aristoteles 'De Interpretatione: Contradiction and Dialectic, Oxford: Clarendon Press.

Theophrastus en Eudemus

• Barnes, J., 1985, "Theophrastus and Hypothetical Syllogistic", in J. Wiesner (red.), Aristoteles: Werk und Wirkung I, Berlijn, 557-76.
• Bobzien, S., 2000, "Geheel hypothetische syllogismen", Phronesis, 45: 87–137.
• –––, 2012, "Hoe iemand hoorns te geven - Paradoxen van vooronderstelling in de oudheid", Logische analyse en geschiedenis van de filosofie, 15: 159–184.
• Bochenski, IM, 1947, La Logique de Théophraste, Fribourg: Librairie de l'Université; herdrukt 1987.
• Lejewski, Czesław, 1976, "On prosleptic premisses", Notre Dame Journal of Formal Logic, 17: 1–18.
• –––, 1961, "Over prosleptische syllogismen", Notre Dame Journal of Formal Logic, 2: 158–176.

Diodorus Cronus en Philo de logicus

• Bobzien, S., 1993, "Chrysippus 'modal logic and its relation to Philo and Diodorus", in Dialektiker und Stoiker, K. Döring en Th. Ebert (red.), Stuttgart: Franz Steiner.
• Denyer, NC, 1981, "Tijd en modaliteit in Diodorus Cronus", Theoria, 47: 31-53.
• Prior, AN, 1955, 'Diodorean Modalities', The Philosophical Quarterly, 5: 205–213.
• –––, 1967, Past, Present en Future, Oxford: Clarendon Press, hoofdstukken II.1–2 en III.1.
• Sedley, D., 1977, 'Diodorus Cronus and Hellenistic Philosophy', Proceedings of the Cambridge Philological Society, 203 (NS 23): 74–120.

De stoïcijnen

• Atherton, C., 1993, The Stoics on Ambiguity, Cambridge: Cambridge University Press.
• Bobzien, S., 1996, "Stoic Syllogistic", Oxford Studies in Ancient Philosophy, 14: 133–92.
• –––, 1997, “Stoïcijnse hypothesen en hypothetisch argument”, Phronesis, 42: 299–312.
• –––, 1999, "Stoic Logic", in K. Algra, J. Barnes, J. Mansfeld, & M. Schofield (red.), The Cambridge History of Hellenistic Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, 92–157.
• –––, 2002, 'Chrysippus and the Epistemic Theory of Vagueness' Proceedings of the Aristotelian Society, 102: 217–238.
• –––, 2011, “The Combinatorics of Stoic Conjunction”, Oxford Studies in Ancient Philosophy, 40: 157–188.
• Bronowski, A., 2019, The Stoics on Lekta, Oxford: Oxford University Press.
• Brunschwig, J., 1994, 'Remarks on the Stoic theory of the proper noun', in zijn Papers in Hellenistic Philosophy Cambridge: Cambridge University Press, 39-56.
• –––, 1994, "Opmerkingen over de classificatie van eenvoudige proposities in hellenistische logica", in zijn Papers in Hellenistic Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, 57–71.
• Cavini, W., 1993, "Chrysippus on Speaking Truly and the Liar", in Dialektiker und Stoiker, K. Döring en Th. Ebert (eds), Stuttgart: Franz Steiner.
• Crivelli, P., 1994, 'Onbepaalde stellingen en anafora in de stoïcijnse logica' Phronesis, 39: 187–206.
• Ebert, Th., 1993, "Dialecticians and Stoics on Classifying Propositions" in K. Döring en Th. Ebert (red.), Dialektiker en Stoiker. Zur Logik der Stoiker und ihrer Vorläufer, Stuttgart: Steiner, 111–127.
• Frede, M., 1974, Die stoische Logik, Göttingen: Vandenhoek & Ruprecht.
• –––, 1975, “Stoic vs. Aristotelian Syllogistic”, Archiv für Geschichte der Philosophie, 56 (1): 1–32.
• –––, 1994 “The Stoic notion of a lekton”, in Companion to ancient thought 3: Language, Stephen Everson (red.), Cambridge: Cambridge University Press, 109–128.
• Gaskin, R., 1997, 'The Stoics on Cases, Predicates and the Unity of the Proposition', in Aristoteles and After, R. Sorabji (red.), London: Institute of Classical Studies, 91–108.
• Lloyd, AC, 1978, "Definite propositions and the concept of reference", in J. Brunschwig (red.), Les Stoïciens et leur logique, Paris: Vrin, 285–295.
• Long, AA, 1971, "Language and Thought in Stoicism", in AA Long (red.), Problems in Stoicism, London: Duckworth, 75–113.
• Mates, B., 1961, Stoic Logic, Berkeley-Los Angeles: University of California Press.
• McCall, S., 1966, "Connexive Implication", The Journal of Symbolic Logic, 31: 415–433.
• Schenkeveld, DM, 1984, "Stoic and Peripatetic Kinds of Speech Act and the Distinction of Grammatical Moods" Mnemosyne, 37: 291–351.

Epicurus

• Atherton, C., 2005, "Lucretius over wat taal niet is", in D. Frede en Brad Inwood (red.), Language and Learning, Cambridge: Cambridge University Press.
• Barnes, J., 1988, 'Epicurean Signs', Oxford Studies in Ancient Philosophy (aanvullend volume), 135-44.
• Manetti, G., 2002, "Philodemus '' De signis ': een belangrijk oud semiotisch debat", Semiotica, 138: 279–297.

Latere oudheid

• Barnes, J., 1993, "A Third Sort of Syllogism: Galen and the Logic of Relations" in Modern Thinkers and Ancient Thinkers, RW Sharples (red.), Boulder, CO: Westview Press.
• –––, 1997, Logic and the Imperial Stoa, Leiden: Brill.
• Bobzien, S., 2002, "De ontwikkeling van modus ponens in de oudheid: van Aristoteles tot de 2e eeuw na Christus", Phronesis, 47 (4): 359–394.
• –––, 2002, “Propositionele logica in Ammonius” in H. Linneweber-Lammerskitten / G. Mohr (red.), Interpretation und Argument, Würzburg: Königshausen & Neumann, 103–119.
• –––, 2004, "Hypothetische syllogistiek in Galen-Propositionele logica van de rails?" Rhizai: Journal for Ancient Philosophy and Science, 2: 57–102.
• Ebbesen, S., 1990, 'Porphyry's legacy to logic', in R. Sorabji, Aristoteles Transformed-The Ancient Commentators and their Influence, London: Duckworth, 141–171.
• –––, 1990, "Boethius als een aristotelische commentator" in R. Sorabji Aristoteles Transformed-The Ancient Commentators and their Influence, London: Duckworth, 373-91.
• Lee, TS, 1984, Die griechische Tradition der aristotelischen Syllogistik in der Spätantike (Hypomnemata 79), Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht.
• Martin, CJ, 1991, "The Logic of Negation in Boethius", Phronesis, 36: 277–304.
• Sullivan, WM, 1967, Apuleian Logic. De aard, bronnen en invloeden van Apuleius 'Peri Hermeneias, Amsterdam: North-Holland Publishing Co.
• Stump, E., 1989, "Dialectic and Boethius's De topicis differentiis", in E. Stump, Dialectic and Its Place in the Development of Medieval Logic, Ithaca, NY: Cornell University Press, 31-56.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

[Neem contact op met de auteur voor suggesties.]