Logica Voor Het Analyseren Van Kracht In Games Met Normale Vorm

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Logica voor het analyseren van kracht in games met normale vorm

Voor het eerst gepubliceerd op 14 juni 2017; inhoudelijke herziening di 1 aug.2017

Dit artikel bespreekt het gebruik van wiskundige talen om de formele eigenschappen van macht in spellen met normale vorm uit te drukken en te analyseren. De wiskundige talen die in dit artikel worden besproken, worden logica genoemd en geclassificeerd op basis van hun vermogen om spelgerelateerde concepten uit te drukken.

Het materiaal in dit artikel beperkt zich tot de logische analyse van strategieën en voorkeuren van (groepen van) individuen in spellen met normale vorm. Het behandelt niet het gebruik van speltheorie om logische talen te bestuderen, noch de rol van epistemische concepten bij strategische beslissingen. Het behandelt ook geen aspecten van opeenvolgende besluitvorming, typisch voor strategisch redeneren in uitgebreide spellen. Een overzicht hiervan is te vinden in de gerelateerde vermeldingen logica en games, epistemische grondslagen van de speltheorie (zie ook van Benthem, Pacuit, & Roy 2011 en van Benthem 2014).

• 1. De logica onder normale vormspellen

• 2. De basisingrediënten

  • 2.1 Voorkeuren
  • 2.2 Keuzes

• 3. Analyse van kracht

  • 3.1 Coöperatieve spellen en hun logica

  • 3.2 Strategische spellen en hun logica

    • 3.2.1 Niet-monotone actielogica
    • 3.2.2 Op logica gebaseerde spellen
• 4. Conclusies: op het juiste niveau van analyse
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. De logica onder normale vormspellen

Een (normale) game is een wiskundige beschrijving van de relatie tussen een set individuen (of groepen individuen) en een set potentiële uitkomsten. Individuen kiezen, onafhankelijk en gelijktijdig, een subset van de uitkomsten, waarbij het uiteindelijke resultaat wordt gekozen uit de combinatie van elke keuze. Onafhankelijk betekent dat de keuzes van individuen elkaar niet beïnvloeden. Betekent tegelijkertijd dat de keuzes van elk individu worden genomen zonder de keuzes van de andere spelers te kennen. Van elk individu wordt aangenomen dat het een voorkeur heeft boven de reeks resultaten, dat wil zeggen dat hij of zij de ene uitkomst meer leuk vindt dan de andere, en doorgaans wordt aangenomen dat hij de potentiële keuzes en voorkeuren van de andere individuen kent en hun beslissingen dienovereenkomstig aanpast.

Games worden gebruikt om allerlei situaties te modelleren, variërend van diergedrag tot internationale conflictoplossing (Osborne & Rubinstein 1994). Een nuttige toepassing in het kader van deze inzending is collectieve besluitvorming, waarvan een voorbeeld het werkvoorbeeld zal blijven.

Voorbeeld 1: (Het verdrag van Rome)

Bij het Verdrag van Rome (1958–1973) werd de Europese Economische Gemeenschap opgericht. Overeenkomstig artikel 148 van het Verdrag zijn handelingen van de Raad (een van de belangrijkste wetgevende instellingen) die nodig zijn voor hun goedkeuring:

• 12 stemmen (als de handeling door de Commissie is voorgesteld), of
• 12 stemmen door ten minste 4 lidstaten (als de wet niet door de Commissie is voorgesteld).

Bovenstaande waarden verwijzen naar de EU-6, de oprichtende lidstaten. Het verdrag verdeelde de stemmen als volgt:

• 4 stemmen: Frankrijk, Duitsland, Italië;
• 2 stemmen: België, Nederland;
• 1 stem: Luxemburg.

Dit scenario kan worden omschreven als een spel.

Er zijn zes spelers, de landen:

Frankrijk, Duitsland, Italië, België, Nederland en Luxemburg.

Ze stemmen destijds over één onderwerp. Kwesties kunnen binair zijn, bijvoorbeeld de goedkeuring van een grensbeschermingsregeling, of meerwaarde, bijvoorbeeld hoeveel miljoenen moeten worden uitgegeven aan de goedkeuring van een grensbeschermingsregeling.

Landen hebben misschien voorkeuren boven de uitkomst van de stemming of zelfs boven de specifieke stem van de andere landen, en ze stemmen meestal zonder te weten hoe de anderen hebben gestemd.

Vaak zijn deze spellen zodanig dat geen enkele deelnemer alleen in staat is om het uiteindelijke resultaat te bepalen, maar in sommige gevallen konden ze samenwerken en overeenstemming bereiken over een gezamenlijke strategie.

Afhankelijk van de voorkeuren, kennis en capaciteiten van spelers, zullen sommige uitkomsten eerder worden gekozen. Om te begrijpen welke, heeft speltheorie oplossingsconcepten bedacht, die formeel functioneren van de set games tot de set resultaten in elk van deze games, die de rationaliteit van spelers in wiskundige termen beschrijven. Oplossingsconcepten, zoals we later zullen zien, kunnen beknopt worden uitgedrukt in eenvoudige en goed opgevoede logica.

Vervolgens beschrijven we games als wiskundige structuren, waarbij we de nadruk leggen op verschillende belangrijke ingrediënten (bijv. De mogelijkheid om coalities te vormen, de mogelijkheid om tijdig beslissingen te nemen enz.) En de meest geschikte talen om ze uit te drukken.

2. De basisingrediënten

Formeel bestaan games uit een eindige set spelers (N = {1,2, / ldots, n }) en een mogelijk oneindige reeks resultaten (W = {w_1, w_2, / ldots, w_k, / ldots }).

Voorbeeld 2:In het bovenstaande voorbeeld is de set spelers N {Frankrijk, Duitsland, Italië, België, Nederland, Luxemburg}. Als we kijken naar de vaststelling van een grensbeschermingsregeling, zijn er twee resultaten: ja en nee, dwz (W = { mbox {ja, nee} }). Als we in plaats daarvan kijken naar het probleem dat miljoenen hebben uitgegeven aan grensbeschermingssystemen, is er een potentieel oneindige uitkomstruimte, dwz (W = { textrm {0M}, / textrm {1M}, / textrm {2M}, / ldots }). Het is mogelijk om een reeks resultaten te hebben die nog verder is verfijnd, bijvoorbeeld door te specificeren hoe spelers hebben gestemd. In dit geval zou het resultaat waarbij Frankrijk ja stemt, de anderen nee stemmen en het resultaat nee is, verschillen van het resultaat waarin Italië ja stemt, de anderen nee, en het resultaat is nee, hoewel het resultaat van de stemmen is hetzelfde. Wat belangrijk is om te benadrukken, is dat elke reeks resultaten wordt geleverd met een niveau van beschrijving van wat er gebeurt in de onderliggende interactie. Er is a priori geen goed of verkeerd beschrijvingsniveau, de keuze hangt af van de eigenschappen van het spel waarin men geïnteresseerd is.

Naast spelers en resultaten komen games met nog twee relaties:

• een voorkeursrelatie, aangeduid met (successq), die de voorkeuren van spelers boven uitkomsten beschrijft;
• een actierelatie, aangeduid met (E), die de resultaten beschrijft die spelers of groepen spelers kunnen opleggen of omgekeerd kunnen uitsluiten;

Een belangrijke relatie in games is kennis, die formeel beschrijft wat spelers van het spel weten en hun tegenstanders. Deze relatie wordt soms expliciet gegeven, andere keren impliciet gelaten. De huidige inzending zal de relatie niet expliciet maken, maar zal deze eerder opnemen in de formalisering van de rationaliteit van spelers.

Zowel de voorkeurs- als de actierelaties verzamelen families van individuele relaties, één per speler. De voorkeursrelatie wordt bijvoorbeeld opgesplitst in een familie ({ successq_i } _ {i / in N}), waarbij de voorkeur boven de resultaten voor elk van de individuen wordt beschreven, terwijl de actierelatie een familie verzamelt ({E_C } _ {C / subseteq N}) die elk beschrijven wat een specifieke groep spelers kan bereiken.

Over het algemeen kan een spel worden gezien als een wiskundige structuur

[(mathcal {N}, W, / successq, E))

waarbij (mathcal {N}) de verzameling spelers is, meestal eindig, (W) de reeks resultaten, (successq) de voorkeursrelatie en (E) de actierelatie.

Deze wiskundige structuur staat ook bekend als een relationele structuur (Blackburn, Rijke, & Venema 2001), wat het set-theoretische equivalent is van een zogenaamde modale logica (Blackburn et al. 2001), een wiskundige taal die zeer geschikt is om de wiskundige eigenschappen van relaties uit te drukken. Een relationele structuur wordt voortaan aangeduid als (F), wat staat voor frame.

Het laatste ingrediënt dat we nodig hebben om relationele structuren en modale logica met elkaar te verbinden, is de specificatie van een reeks atoomproposities Atomen, die de relevante eigenschappen van de uitkomsten waarin we geïnteresseerd zijn tot uitdrukking brengt. Deze set wordt gewoonlijk als telbaar beschouwd ^[1] en wordt geassocieerd met uitkomsten door middel van een waarderingsfunctie, dat wil zeggen een functie van het formulier

[V: W / to 2 ^ / texttt {Atoms})

het associëren van elke uitkomst met de reeks propositionele atomen die waar zijn bij die uitkomst.

Een tuple ((F, V)) wordt model genoemd, dat wordt aangeduid als (M).

De relaties in een spelstructuur, die relatief zijn aan individuele spelers (en groepen), zullen formeel worden beschreven in verband met de belangrijkste modale logica die wordt gebruikt om hun eigenschappen uit te drukken, op verschillende niveaus van beschrijving en granulariteit.

De volgende paragraaf verzamelt de technische achtergrondnoties die nodig zijn om de modale talen die in dit item worden gebruikt te interpreteren. De lezer die al bekend is met modale logica, kan deze overslaan. Voor een meer diepgaande verkenning kan men de gerelateerde vermelding over modale logica raadplegen (Garson 2014). Bekende klassieke leerboeken zijn Modal Logic: An Introduction (Chellas 1980), dat zich richt op niet-normale modale logica's, en Modal Logic (Blackburn et al. 2001), dat zich in plaats daarvan richt op een meer wiskundige behandeling van normale modale logica. ^[2]

Modale logica: achtergrondnoties: een modale logica is een uitbreiding van de taal van de propositielogica met een reeks modale operatoren (Box_1, / ldots, / Box_n, / ldots), gedefinieerd op basis van een telbare reeks atomaire proposities (texttt {Atoms} = {p_1, p_2, / ldots }), waarover de set goedgevormde formules inductief is opgebouwd (zie voor een wiskundige behandeling van logica en inductie bijvoorbeeld Dalen 1980). Elke goedgevormde formule (varphi) van een modale taal (mathcal {L}), voortaan eenvoudigweg formule genoemd, is opgebouwd met behulp van de volgende grammatica:

(varphi:: = p / mid / lnot / varphi / mid / varphi / wedge / varphi / mid / Box_i / varphi)

waar (Box_i / in { Box_1, / ldots, / Box_n, / ldots }) en (p / in / texttt {Atoms}).

Een model voor deze taal is een structuur (M = ((W, R_1, / ldots, R_n, / ldots), V)), bestaande uit een verzameling werelden of staten of resultaten (W); een toegankelijkheidsrelatie (R_i) voor elke modale operator (Box_i), gedefinieerd via zogenaamde buurtfuncties (Chellas 1980), dwz functies (R_i: W / to 2 ^ {2 ^ {W}}); en een waarderingsfunctie (V: / texttt {Atoms} to 2 ^ {W}), die aan elke atomaire propositie een subset van (W) toewijst, met het idee dat elke atomaire propositie aan de set is toegewezen van werelden waarop deze stelling waar is.

Over het algemeen wordt een multimodale taal met modaliteiten (Box_1), …, (Box_n), … aangeduid met (mathcal {L} ^ {f (Box_1), / ldots, f (Box_n), / ldots}), waar de functie (f) associeert met elke modaliteit zijn intuïtieve afkorting. Laat (Delta) een modale taal zijn die bestaat uit modaliteiten (Box_1), …, (Box_n), … en laat (M = ((W, R_1, / ldots, R_n, / ldots), V)) een model zijn voor deze taal. De tevredenheidsrelatie van een formule (varphi / in / Delta) met betrekking tot een paar ((M, w)), waarbij (w / in W), wordt gedefinieerd volgens de volgende waarheidsvoorwaarden:

(begin {align *} M, w & / models p & / mbox {if and only if} & w / in V (p) / M, w & / models / neg / varphi & / mbox {if and only if } & M, w / not / models / varphi \\ M, w & / models / varphi / land / psi & / mbox {al dan niet als} & M, w / models / varphi / mbox {en} M, w / models / psi \\ M, wy & / models / Box_i / varphi & / mbox {als en alleen als} & / varphi ^ M / in R_i (w) / \ end {align *})

waarbij (varphi ^ {M} = {w / in W / mid M, w / models / varphi }) de waarheidsset of de extensie van (varphi) wordt genoemd.

Een formule (varphi) van een modale taal (Delta): houdt een toestand (w) van model (M) aan wanneer (M, w / models / varphi); is geldig in een model (M), aangeduid met (models_ {M} varphi), al dan niet als (M, w / models / varphi) voor elke (w / in W), waar (W) het domein is van (M); is geldig in een klasse van modellen (mathcal {M}), aangeduid met (models _ { mathcal {M}} varphi), en alleen als het geldig is in elke (M / in / mathcal {M}); is geldig in een frame ({F}), aangeduid met (models _ {{F}} varphi), als en alleen als voor elke taxatie (V) we dat (models _ {(F, V)} varphi); is geldig in een klasse van frames (mathcal {F}), aangeduid met (models _ { mathcal {F}} varphi), en alleen als het geldig is in elke (F / in / mathcal {F}).

De set formules van (Delta) die geldig zijn in een klasse van modellen (mathcal {M}) wordt aangegeven (Delta _ { mathcal {M}}) (voor frames is de aanduiding (Delta _ { mathcal {F}})). Voor een set formules (Sigma) schrijven we (M, w / models / Sigma) om te zeggen dat (M, w / models / sigma), voor alle (sigma / in / Sigma). We zeggen dat een set formules (Sigma) semantisch een formule (varphi) inhoudt in een klasse van modellen (mathcal {M}), aangeduid met (Sigma / models _ { mathcal {M }} varphi), als we voor elke (M / in / mathcal {M}) hebben dat (models_ {M} Sigma) (models_ {M} varphi) impliceert.

Een modale regel

(frac { varphi_1, / ldots, / varphi_n} { psi})

is geluid in een klasse van modellen (mathcal {M}) als (varphi_1, / ldots, / varphi_n / models _ { mathcal {M}} psi).

Bedenk, in navolging van Chellas (1980), dat een modale logica (Delta) klassiek wordt genoemd als deze wordt gesloten onder de gelijkwaardigheidsregel, dat wil zeggen voor elke (Box) in de taal (Delta) wij hebben:

(frac { varphi / leftrightarrow / psi} { Box / varphi / leftrightarrow / Box / psi})

Het wordt monotoon genoemd als het klassiek is en het is bovendien gesloten onder de regel van monotoonheid, dat wil zeggen voor elke (Box) in de taal (Delta) die we hebben:

(frac { varphi / rightarrow / psi} { Box / varphi / rightarrow / Box / psi})

Het wordt normaal genoemd als het monotoon is, het is gesloten volgens de regel van generalisatie en bevat het (K) axioma, dat wil zeggen voor elke (Box) in de formules van (Delta) die we hebben

(frac { varphi} { Box / varphi})

en (Delta) bevat (Box (varphi / to / psi) to (Box / varphi / to / Box / psi)).

Een normale modale logica kan worden geïnterpreteerd in structuren van de vorm (M = ((W, R'_1, / ldots, R'_n, / ldots), V)), waarbij elke (R'_i) is een hoofdfilter ^[3] of, anders, heeft het de vorm (R'_i: W / to 2 ^ {W}).

2.1 Voorkeuren

Denk aan de relationele structuur ((mathcal {N}, W, / successq, E)) en overweeg de relatie (successq). Deze relatie vertegenwoordigt compact een familie ({ successq_i } _ {i / in N}) van individuele voorkeursrelaties, elk geïndexeerd met een speler.

Formeel is een voorkeur voor speler (i) een relatie

(successq_i / subseteq W / maal W)

Het idee is dat als twee uitkomsten (w) en (w ') zodanig zijn dat ((w, w') in / successq_i) de speler (i) uitkomst (w) overweegt minstens zo goed als uitkomst (w '). Het feit dat ((w, w ') in / successq_i) wordt afgekort (w / successq_i w'). Het omgekeerde is de relatie (preceq_i), die geldt voor ((w, w ')) telkens wanneer (w' / successq_i w). De strikte tegenhanger is de relatie (succ_i), die geldt voor ((w, w ')) wanneer (w / successq_i w') en het is niet zo dat (w '\ successq_i w). Bovendien geeft (w / sim_i w ') het feit aan dat (w / successq_i w') en (w '\ successq_i w) betekent, wat betekent dat (i) onverschillig is tussen (w) en (w ').

Voorbeeld 3:Laten we teruggaan naar ons belangrijkste voorbeeld. Doorgaans hebben landen voorkeuren boven de uitkomst van de beslissing, bijvoorbeeld Italië denkt dat we tussen de 5 en 10 miljoen euro moeten uitgeven voor de regeling, Duitsland denkt dat we tussen 1 en 2 moeten uitgeven, België tussen 4 en 5, Luxemburg, Nederland en Frankrijk precies 5. Dit betekent bijvoorbeeld dat de voorkeursrelatie van Italië zodanig is dat (w / succ _ { textrm {Italy}} w ') telkens wanneer (textrm {5M} leq w / leq / textrm {10M}) en (w '> / textrm {10M}) of (0 / leq w' / textrm {10M}) of (0 / leq w '<\ textrm {5M}), (w / succ _ { textrm {Italië}} w ') telkens wanneer (textrm {5M} leq w' <w / leq / textrm {10M}) terwijl (w / sim _ { textrm {Italië}} w '), anders. Niet alle uitkomsten van een stemming zullen tot overeenstemming komen. Vervolgens definiëren we voor technische doeleinden een hulpuitkomst (w ^ {d}),geïnterpreteerd als een uitkomst van onenigheid. Het idee is dat dit het resultaat is van de stemming die geen consensus bereikt. We gaan ervan uit dat elke overeenkomst voor elke speler strikt beter is dan onenigheid, dwz (w / succ _ {{i}} w ') telkens wanneer (w' = w ^ {*}) en (w / neq w ^ {*}), voor elke (i / in N).

Eigenschappen van deze relaties kunnen worden uitgedrukt door middel van modale logica. Hiervoor introduceren we modale operators (Diamond ^ { preceq} _i), (Diamond ^ { prec} _i) en (Diamond ^ { sim} _i) voor elk van de overeenkomstige relaties.

De interpretatie voor (R / in { preceq, / prec, / sim }) is als volgt:

[M, w / models / Diamond ^ {R} _i / varphi / enskip / mbox {als en alleen als} enskip M, w ^ { prime} models / varphi, / mbox {voor sommigen} w ^ { prime} mbox {met} w R_i w ^ { prime})

De relaties in kwestie komen vaak met extra eigenschappen. (Preceq_i) wordt bijvoorbeeld meestal gebruikt om aan het volgende te voldoen:

• reflexiviteit dwz, (forall w / in W, i / in N,) we hebben dat: (w / preceq_i w);
• overgevoeligheid dwz (forall w_1, w_2, w_3 / in W, i / in N,) we hebben dat: ((w_1 / preceq_i w_2) en (w_2 / preceq_i w_3)) impliceert dat (w_1 / preceq_i w_3).
• verbondenheid dwz, (forall w_1, w_2 / in W, i / in N,) we hebben dat: (w_1 / preceq_1 w_2) of (w_2 / preceq_i w_1).

De eerste twee eigenschappen kunnen worden gekarakteriseerd in een normale modale logica met één modale operator per speler, door middel van de volgende axioma's en validiteiten.

Stelling 1

(begin {align *} models_F / varphi & / rightarrow / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / mbox {als en alleen als} & / preceq_i / mbox {reflexief is} / \ models_F / Diamond ^ { preceq} _i / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / rightarrow / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / mbox {als en alleen als} & / preceq_i / mbox {transitief is} end {align *})

Dit is echter niet het geval voor verbondenheid, aangezien modale talen zoals deze alleen kunnen spreken over lokale eigenschappen van relaties (Blackburn et al. 2001).

Hiervoor moeten we een speciaal type operator introduceren: de universele (of globale) modaliteit (Goranko & Passy 1992). Deze modaliteit drukt eigenschappen uit van alle toestanden in een domein (W) van een model (M) en wordt als volgt geïnterpreteerd.

[M, w / models A / varphi / enskip / mbox {als en alleen als} enskip M, w ^ { prime} models / varphi, / mbox {for all} w ^ { prime} in W)

De formule (neg A / neg / varphi) wordt afgekort (E / varphi). Het symbool (E) is het existentiële dubbele van (A) en het geeft aan dat een bepaalde formule een bepaalde status in het model behoudt. Met de wereldwijde modaliteit hebben we een echte toevoeging van expressiviteit (samen met verdere kosten en verdere winsten, zoals getoond in Goranko & Passy 1992), daarom kunnen we validiteit uitdrukken in een model door waarheid uit te drukken in een wereld, getuige het feit dat (M, w / models A / varphi) geldt als en alleen als (models_M / varphi) dat doet.

Bedenk dat een relatie (R) trichotoom is als en alleen als voor alle (x, y / in W) het geval is dat (xRy, yRx) of (y = x). We kunnen een combinatie van voorkeur en globale modaliteiten gebruiken om de volgende framecorrespondentie te verkrijgen.

Stelling 2 Laat (F) een frame zijn. We hebben dat:

(models_F (varphi / wedge / Box ^ { preceq} _i / psi) naar A (psi / vee / varphi / vee / Diamond ^ { preceq} _i / varphi)) als en alleen als (preceq_i) is trichotoom

Een alternatieve en mogelijk meer intuïtieve formule die in plaats daarvan kan worden gebruikt, is, omdat (p, q) atomaire proposities zijn:

[E p / land E q / naar E (p / land q) lor E (p / land / Diamond ^ { preceq} _i q) lor E (q / land / Diamond ^ { preceq} _i p))

Trichotomie, transitiviteit en reflexiviteit van (preceq_i) zijn equivalent aan het feit dat de relatie een zwakke lineaire orde is en dus verbonden is.

De relatie (prec_i), dat wil zeggen de relatie met strikte voorkeur, kan worden gedefinieerd in termen van (preceq_i). Maar (prec_i) voldoet aan de volgende eigenschap:

irreflexiviteit dwz, (forall w / in W, i / in N,) we hebben dat: het is niet zo dat (w / prec_i w)

Irreflexiviteit is niet definieerbaar in de basismodale logica (Blackburn et al. 2001). Als de atomaire proposities echter krachtig genoeg zijn om elke uitkomst apart te onderscheiden, dan wordt irreflexiviteit definieerbaar. Laat (w_k) bijvoorbeeld een variabele zijn die de wereld identificeert (w_k). ^[4] We hebben het volgende.

Stelling 3

(models_F w_k / to / neg / Diamond ^ / prec_i w_k / enskip / mbox {als en alleen als} enskip / prec_i / mbox {irreflexief is})

Ten slotte voldoet de onverschilligheidsrelatie (sim) aan de eigenschappen reflexiviteit, transitiviteit en symmetrie. Terwijl reflexiviteit en transiviteit analoog aan de voorgaande modaliteiten worden gedefinieerd, wordt symmetrie als volgt gedefinieerd.

symmetrie dwz (forall w_1, w_2 / in W, i / in N,) we hebben dat: (w_1 / sim_i w_2) impliceert dat (w_2 / sim_i w_1)

Hoewel de axioma's voor de eerste twee vergelijkbaar zijn met die voor (preceq_i), wordt symmetrie als volgt gekenmerkt

Stelling 4

(models_F (psi / to / Box ^ { sim} _i / Diamond ^ { sim} _i / psi) enskip / mbox {als en alleen als} enskip / sim_i / mbox {symmetrisch is})

De drie bovenstaande eigenschappen stellen samen dat elke (sim_i) wiskundig een equivalentierelatie is, dat wil zeggen een relatie die zodanig is dat

(bigcup_ {w / in W} {[w] mid w '\ in [w] mbox {telkens} w / sim_i w' })

is een partitie van (W). Elk element van deze partitie is een onverschilligheidsklasse voor speler (i), dwz een reeks resultaten waar hij of zij onverschillig voor is.

De logica van equivalentie-relaties, zoals (sim_i), wordt ook wel het ({ bf S5}) -systeem genoemd.

Voorkeuren en hulpprogramma's Vanwege hun wijdverbreide gebruik in de speltheorie, zijn een belangrijke klasse van voorkeursrelaties die welke overeenkomen met numerieke waarden of utiliteitsfuncties.

Een utility-functie is een functie

[u_i: W / rightarrow / mathbb {R})

resultaten in kaart brengen in reële getallen, die aangeven hoeveel een speler een bepaalde staat waardeert.

Utility-functies veroorzaken op natuurlijke wijze voorkeursrelaties, in de volgende zin.

Definitie 5 Laat (u) een hulpprogramma zijn. We zeggen dat (successq ^ * _ i) overeenkomt met (u) als het volgende geldt:

[w / successq ^ * _ i w '\ enskip / textrm {als en alleen als} enskip u_i (w) geq u_i (w'))

Merk op hoe elke zwakke lineaire volgorde over een eindige reeks resultaten overeenkomt met een of andere nutsfunctie.

We verwijzen naar de gerelateerde vermeldingen over voorkeuren (Hansson & Grune-Yanoff 2011) en besluitvormingstheorie (Steele & Stefansson 2015) voor een meer gedetailleerde analyse van de rol van voorkeuren in filosofie en besluitvormingstheorie.

2.2 Keuzes

Een game is ook een beschrijving van wat spelers kunnen bereiken, alleen of binnen coalities. Om dit te formaliseren gebruiken we effectiviteitsfuncties, een abstract machtsmodel dat is geïntroduceerd om stemstrategieën in commissies te bestuderen (Moulin & Peleg 1982).

Een effectivity-functie (Moulin & Peleg 1982) is een functie

[E: 2 ^ {N} tot 2 ^ {2 ^ {W}})

associëren met elke groep spelers een reeks sets met resultaten.

Het idee is dat wanneer het zo is dat (X / in E (C)), coalitie (C) kan beslissen dat de uitkomst van het spel binnen de set (X) ligt, en kan daarom uitsluiten dat de uitkomsten (W / setminus X) uiteindelijk worden gekozen. Met andere woorden: (X) ligt binnen de macht van coalitie (C).

Effectiviteitsfuncties zijn gesloten onder supersets, dwz we hebben dat (X / in E (C)) en (X / subseteq Y / subseteq W) impliceren dat (Y / in E (C)). Met andere woorden, als (X) binnen de macht van coalitie (C) ligt, dan geldt dat ook voor alle supersets van (X). Hieruit volgt dat, als een effectiviteitsfunctie van een bepaalde coalitie niet leeg is, deze altijd de verzameling van alle uitkomsten bevat.

Voor (mathcal {X} subseteq {2 ^ {W}}) noemen we (mathcal {X} ^ {+}) de superset-sluiting.

Voorbeeld 4: Ga terug naar het hoofdvoorbeeld en overweeg de kracht van elk afzonderlijk land. Vanwege de spelregels is geen enkel land in staat om een uitkomst uit te sluiten.

Gebruikmakend van effectiviteitsfuncties: voor elke (i / in N) hebben we dat (E ({i }) = {W }).

Dit geldt echter ook voor coalities die niet groot genoeg zijn. Neem bijvoorbeeld alle coalities van ten minste twee landen die tussen Nederland, België en Luxemburg gevormd kunnen worden.

(begin {align *} E ({ mbox {Luxemburg, België} }) & = \\ E ({ mbox {Luxemburg, Nederland} }) & = \\ E ({ mbox {België, Nederland} }) & = \\ E ({ mbox {Luxemburg, België, Nederland} }) & = {W }. / end {align *})

Omdat hun totale gewicht maximaal 5 stemmen bedraagt, kunnen zij op zichzelf geen genoegen nemen met eventuele overeenkomsten of deze uitsluiten. Voor door de Commissie voorgestelde besluiten heeft elke coalitie (C) met een stemgewicht van niet minder dan 12 dezelfde effectiviteitsfunctie (E (C) = {W }).

Voor de andere coalities is de situatie anders. Neem bijvoorbeeld de coalitie van Frankrijk, Duitsland en Italië, die samen een stemgewicht van 12 hebben. Voor hen hebben we dat:

[E ({ textrm {Frankrijk, Duitsland, Italië} }) = { {w } mid w / in W } ^ {+})

Dit betekent dat de drie leden zelf kunnen beslissen over de uitslag van de stemming. Dit geldt voor elke coalitie van stemgewicht 12 of meer.

Hoe zit het met de besluiten die niet door de Commissie zijn voorgesteld? Voor hen laten we een andere effectiviteitsfunctie gebruiken, die we labelen (E ^ {*}).

In dit geval moet de winnende coalitie uit minimaal vier leden bestaan.

Dus (E ^ {*} ({ mbox {Frankrijk, Duitsland, Italië} }) = {W }) terwijl (E ^ {*} ({) Frankrijk, Duitsland, België, Nederland (}) = { {w } mid w / in W } ^ {+}).

Over het algemeen geldt dat (E (C) = E ^ {*} (C)) telkens wanneer (| C | / geq 4). Vanwege de eigenschappen van het stemspel hebben we ook dat (E (C) = E ^ {*} (C)) telkens wanneer (| C | / leq 2). Het verschil wordt gemaakt door coalities van maat 3: met (E ^ {*}) kunnen ze nooit meer bereiken dan ({W }), terwijl ze met (E) ({ {w } mid w / in W } ^ {+}), als hun stemrecht minstens 12 bedraagt. Merk op dat Luxemburg niet relevant is als het gaat om door de Commissie voorgestelde wetsvoorstellen, dwz (E (C) = E (C / cup / textrm {Luxemburg})). Dit is niet het geval voor de andere rekeningen, zoals we hebben opgemerkt.

Eigenschappen van effectiviteitsfuncties kunnen worden uitgedrukt in modale logica. Om dit te doen is het belangrijk op te merken dat elke effectiviteitsfunctie overeenkomt met een (niet-normale) relatie in een relationele structuur. Dus wat effectiviteitsfuncties zijn, is het opwekken van een speciaal soort buurtstructuur, die we Coalitiemodel noemen.

Definitie 6 [Coalitiemodellen] Een coalitiemodel is een drievoudige ((W, E, V)) waarbij:

• (W) is een niet-lege set staten;
• (E: W / longrightarrow (2 ^ {N} longrightarrow 2 ^ {2 ^ W})) is een dynamische effectiviteitsfunctie;
• (V: W / longrightarrow 2 ^ { texttt {Atoms}}) is een waarderingsfunctie.

Zoals de lezer zal opmerken, maken dynamische effectiviteitsfuncties het mogelijk dat elke staat mogelijk verschillende stroomverdelingen tussen coalities heeft. Dit is strikt genomen irrelevant voor de behandeling van macht in spellen met normale vorm (sectie 3), waar de effectiviteitsfuncties die verband houden met de uitkomsten overal in het model gelijkwaardig kunnen worden geacht, maar het model is algemeen genoeg om uitgebreid en herhaald te behandelen interactie, waarbij de sequentiële structuur van de interactie expliciet wordt gedefinieerd. We zullen (E (w) (C)) meestal afkorten als (E_w (C)) of zelfs (E (C)) als ze duidelijk zijn uit de context.

De taal die wordt gebruikt om over Coalition-modellen te praten is Coalition Logic (Pauly 2001), een niet-normale modale logica om keuzes van groepen spelers uit te drukken. Coalition Logic is een uitbreiding van propositionele logica met (| 2 ^ {N} |) modaliteiten in de vorm ([C]), dus een modale operator die elk is geïndexeerd met een coalitie.

De tevredenheidsrelatie van de formules van de vorm ([C] varphi) met betrekking tot een paar (M, w) wordt als volgt gedefinieerd:

[M, w / models [C] varphi / enskip / textrm {als en alleen als} enskip / varphi ^ M / in E_w (C))

waar, (varphi ^ M = {w / in W / mid M, w / models / varphi }).

Intuïtief betekent (varphi ^ M / in E_w (C)) dat coalitie (C) in staat is om eigendom (varphi) te bereiken.

Aangezien sluiting onder superset of uitkomstmonotoniteit wordt beschouwd als een eigenschap van alle effectiviteitsfuncties, is de regel van monotoniteit geldig in Coalition Logic, wat daarom een monotone modale logica is (Hansen 2003).

De regel van eentonigheid heeft deze vorm voor elke (C / subseteq N):

(frac { varphi / to / psi} {[C] varphi / to [C] psi})

Intuïtief, als (C) in staat is om (varphi) te bereiken en we hebben dat (varphi) impliceert (psi), dan kan (C) ook (psi).

Wiskundige eigenschappen van macht Afgezien van de monotonie van de uitkomst, kunnen vele andere eigenschappen noodzakelijk worden geacht om coalitiekracht in games te modelleren. Een effectivity-functie heeft bijvoorbeeld de eigenschap:

• levendigheid, dwz (emptyset / not / in E (C)), voor elke (C / subseteq N);
• veiligheid dwz (W / in E (C)), voor elke (C / subseteq N);
• regelmaat dwz (X / in E (C)) impliceert dat (overline {X} not / in E (overline {C})), voor elke (C / subseteq N, X / subseteq W);
• N -maximaliteit dwz (overline {X} in E (emptyset)) impliceert dat ({X} in E (N)) en (X / subseteq W);
• superadditiviteit dwz (X / in E (C)) en (Y / in E (D)) houdt in dat (X / cap Y / in E (C / cup D)), voor elke (C), (D / subseteq N), (C / cap D = / emptyset), (X, Y / subseteq W);
• coalitiemonotoniteit dwz (X / in E (C)) houdt in dat (X / in E (D)) voor elke (C / subseteq D / subseteq N), (X / subseteq W);
• gegrondheid, dat wil zeggen, (X / in E (N)) houdt in dat ({x } in E (N)), voor sommige (x / in X), voor elke (X / subseteq W).

Een effectiviteitsfunctie wordt speelbaar genoemd (Pauly 2001) als deze levendigheid, veiligheid, N-maximum en superadditiviteit heeft. Het wordt echt speelbaar genoemd (Goranko, Jamroga en Turrini 2013) als het speelbaar en goed onderbouwd is. Merk op dat als (W) eindig is, een effectiviteitsfunctie speelbaar is als en alleen als het echt speelbaar is (Goranko et al. 2013).

Echte speelbaarheid is een fundamentele eigenschap van effectiviteitsfuncties en verbindt one-shot coalitionspellen met strategische one-shot-spellen, zoals later duidelijk zal worden.

Voorbeeld 5: De effectiviteitsfuncties van ons werkvoorbeeld zijn allemaal echt speelbaar.

In buurtstructuren zijn relaties tussen set-theoretische en logische eigenschappen vaak direct en kunnen standaard correspondentieresultaten tussen klassen van frames en buurtfuncties (Chellas 1980) automatisch worden gebruikt voor Coalition Logic.

Coalition Logic is in feite expressief genoeg om alle tot dusver genoemde beperkingen te karakteriseren.

Stelling 7 Laat (F = (W, E)) een coalitieframe zijn en (C, C ^ { prime}, C '') coalities zijn, zodat (C / cap C '= / lege set) en (C / subseteq C ''). De volgende resultaten gelden:

• (models_F [C] varphi / to / neg (overline {C}] neg / varphi) als en alleen als (E) regelmatig is;
• (models_F [C] top) als en alleen als (E) veiligheid heeft;
• (models_F [C] varphi / to [C ''] varphi) als en alleen als (E) coalitiemonotoon is;
• (models_F / neg [C] bot) als en alleen als (E) levendigheid heeft;
• (models_F / neg (emptyset] neg / varphi / to [N] varphi) als en alleen als (E) N -maximal is;
• (models_F [C ^ { prime}] varphi / wedge [C] psi / to [C ^ { prime} cup C] (varphi / wedge / psi)) als en alleen als (E) is superadditief;
• (varphi / to / psi / models_F [C] varphi / to [C] psi) als en alleen als (E) monotoon is.

Raadpleeg Pauly 2001 voor de bewijzen.

Correspondentieresultaten stellen ons in staat om door middel van modale middelen een aantal klassen frames te onderscheiden. De expressiviteit van de modale operatoren beperkt echter sterk de capaciteit van de taal om klassen van structuren te onderscheiden. In zoverre moet de lezer opmerken dat de logica van zowel speelbare als echt speelbare effectiviteitsframes het feit deelt dat (models_F (emptyset] top). Deze stelling, waarvan de interpretatie is dat voor elke (w / in W, {W } in E_w (emptyset)), is niet voldoende om een formeel onderscheid te maken tussen (E_w (emptyset)) in de twee verschillende klassen van effectiviteitsfuncties.

Langs deze lijnen vertelt het volgende resultaat ons dat Coalition Logic ook goed genoeg is om te redeneren over (of, als je dat liever hebt, te zwak om onderscheid te maken) echt speelbare effectiviteitsfuncties.

Stelling 8 (Goranko et al. 2013) Laat (mathcal {P}) de klasse zijn van speelbare frames en (mathcal {P} ^ {*}) de klasse van echt speelbare frames. Vervolgens voor elke formule van Coalition Logic (varphi)

(models_ / mathcal {P} varphi / textrm {als en alleen als} models _ { mathcal {P} ^ {*}} varphi)

Dit volgt uit het feit dat Playable Coalition Logic de eindige modeleigenschap heeft (Pauly 2001) en dat, in eindige modellen, speelbare effectiviteitsfuncties echt speelbaar zijn. ^[5]

Zoals eerder vermeld, zal deze vermelding alleen vermelden hoe kennis impliciet is in spelstructuren, maar niet ingaan op de studie van epistemische voorwaarden voor rationeel spel. Aanverwante artikelen over epistemische logica (Hendricks & Symons 2006), dynamische epistemische logica (Baltag & Renne 2016) en in het bijzonder epistemische speltheorie (Pacuit & Roy 2015) gaan dieper in op de rol van kennis bij besluitvorming. Een behandeling van modale logica voor games die zich in plaats daarvan richt op de rol van informatie is Hoek & Pauly 2006.

3. Analyse van kracht

Deze sectie gaat in op spellen waarin individuen of groepen onafhankelijk en gelijktijdig hun keuzes maken, en, benadrukken we nogmaals, abstraheren van hoe de interactie in de tijd evolueert. Het besteedt bijzondere aandacht aan de relatie tussen de keuzes en voorkeuren van spelers, vermeldt de rol van kennis, en het gaat vooral om het uitdrukken van oplossingsconcepten in een logische taal.

De sectie beschrijft eerst de algemene setting van coöperatieve spellen, daarna gaat het in op de meer beperkte en mogelijk bekendere klasse van strategische spellen.

3.1 Coöperatieve spellen en hun logica

De beschrijving van het spel in een relationele structuur met de vorm ((mathcal {N}, W, / successq, E)) is niet voldoende om te begrijpen welke exacte uitkomst uiteindelijk zal worden gekozen. Daarvoor hebben we een oplossingsconcept nodig, dat wil zeggen een mapping die een reeks resultaten van die game aan een game koppelt (Abdou & Keiding 1991).

Er zijn een aantal oplossingsconcepten geïntroduceerd voor coalitiespellen (zie bijvoorbeeld Osborne & Rubinstein 1994 en Apt 2009 (Other Internet Resources)). Voor de huidige doeleinden gaan we alleen in op wat misschien wel de bekendste is: de kern. De kern is een verzameling stabiele uitkomsten, dat wil zeggen uitkomsten waarvoor geen coalitie bestaat waarvan de leden in staat en bereid zijn hiervan af te wijken. Het kan worden gezien als de reeks resultaten waartegen geen effectieve oppositie bestaat (Abdou & Keiding 1991).

Formeel gezien, gegeven een relationele structuur (F = (mathcal {N}, W, / successq, E)), zou een uitkomst (w / in W) stabiel zijn als er geen coalitie is (C) en reeks resultaten (X / subseteq W) zodat aan beide volgende voorwaarden is voldaan:

1. (X / in E (C))
2. (y / in X) en (i / in C) houdt in dat (y / succ_i w)

Met andere woorden, een uitkomst is stabiel als er geen groep individuen is die een alternatief kan bereiken waar ze allemaal strikt de voorkeur aan geven.

De kern is het verzamelen van alle stabiele resultaten.

Voorbeeld 6:

Overweeg de uitkomst 1M, wat de enige uitkomst is die Duitsland acceptabel vindt. Duitsland heeft, zoals reeds opgemerkt, een effectiviteitsfunctie van (E ({ textrm {Germany} }) = {W }), dus kunnen ze hun voorkeur op zichzelf niet omzetten in een uitkomst. Samen met andere landen kunnen ze dat echter wel. Stel dat hun bondgenoten België, Frankrijk en Nederland zijn. Is 1M dan een goed resultaat? Als we kijken naar de voorkeuren van de andere spelers in de coalitie, namelijk België, Frankrijk, Nederland, zien we het volgende. België had eerder een resultaat tussen 4M en 5M, Frankrijk en Nederland precies 5M. Deze landen kunnen samenkomen en 5 miljoen selecteren, wat voor hen een aanvaardbare uitkomst is. De effectiviteitsfunctie van ({) België, Frankrijk, Nederland (}) is (E ({) België, Frankrijk,Nederland (}) = {W }), wat betekent dat de drie landen niet genoeg zijn om de 5M-factuur te halen. Maar de coalitie van België, Frankrijk, Italië en Nederland zou dat wel zijn. Merk bovendien op dat 5M een van de favoriete resultaten van Italië is. 5M is in feite het enige stabiele resultaat van het spel: er is geen coalitie die samen wil en kan afwijken.

Modale logica kan worden gebruikt om de kern weer te geven. Overweeg eerst de formule

[p / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right))

Dit zegt dat als (p) waar is, leden van een coalitie een of andere (p) wereld kunnen verbeteren, wat niet de juiste formule lijkt om stabiliteit in logica uit te drukken. We kunnen echter de volgende resultaten bewijzen, waarbij gebruik wordt gemaakt van de overeenkomst tussen de formule en een specifieke klasse frames.

Laat (E) een (uitkomstmonotone) effectiviteitsfunctie zijn en laat (successq_i) een zwakke lineaire volgorde. Vervolgens:

[(F, V '), w / modellen p / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right))

staat op (w) voor elke (V ') als en alleen er een (C / subseteq N) en (X / in E_w (C)) bestaat zodat, voor alle (i / in C), (x / in X) hebben we dat (x / succ_i w).

Dus de formule staat op (w) voor elke waardering als en alleen als (w) niet tot de kern behoort. Het is duidelijk dat als de formule onjuist is bij een uitkomst en enige waardering, dit betekent dat de uitkomst tot de kern behoort.

Merk op dat, aangezien effectiviteitsfuncties monotoon zijn, als we dat hebben (X / in E_w (C)) en

[X / subseteq / left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right) ^ {(F, V ')},)

vervolgens

(left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right) ^ {(F, V ')} in E_w (C).)

Merk ook op dat het bovenstaande resultaat het geval van toelaat

(emptyset = / left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right) ^ {M} in E_w (C),)

wat contra-intuïtief kan zijn. Het eisen van (E) om levendigheid te hebben, zorgt hiervoor.

Merk ook op hoe we een universele kwantificering moesten opleggen aan het stel waarderingen. Zonder deze expliciete kwantificering zou de formule slechts gelden voor één specifiek model, wat geen geschikte oplossing zou zijn. Als we in plaats daarvan alleen geïnteresseerd zijn om te weten of er een uitkomst is die stabiel is of, omgekeerd, of de kern leeg is, is het voldoende om de bovenstaande formule te vereisen om een axioma te zijn. Dit zou betekenen dat geen enkele uitkomst stabiel is, dat wil zeggen dat de kern leeg is.

Stelling 10 Laat (F) een frame zijn. We hebben dat

(models_F p / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right))

al dan niet als geen uitkomst in (F) tot de kern behoort.

Nogmaals, levendigheid zou zorgen voor het triviale geval waarin

(left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right) ^ {(F, V)} = / emptyset.)

Een alternatieve benadering is om elke uitkomst te identificeren met een naam (of nominaal) in de taal, dat wil zeggen om een hybride logica te gebruiken. Dan hebben we het volgende.

Propositie 11 Laat (w_k) een atomaire propositie waar zijn bij uitkomst (w_k) en alleen bij uitkomst (w_k).

[(F, V), w_k / models w_k / rightarrow / bigvee_ {C / subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i w_k / right))

als en alleen als (w_k) niet tot de kern behoort.

Dus afhankelijk van de eigenschappen waarin we geïnteresseerd zijn, zijn verschillende uitbreidingen van de basismodale logica gecombineerd met verschillende vormen van validiteit (bij een wereld versus model versus frame) het meest geschikt om ze uit te drukken.

3.2 Strategische spellen en hun logica

Games in normale vorm, of strategische games, zijn een weergave van wat individuen, in plaats van coalities, kunnen bereiken en wat hun voorkeuren zijn.

Formeel is een strategische spelvorm een tupel

[(N, W, { Sigma_i } _ {i / in N}, o))

waarbij N een eindige reeks spelers is, (W) een reeks resultaten, ({ Sigma_i } _ {i / in N}) een verzameling strategieën, één voor elke speler (i), (o: / prod_ {i / in N} Sigma_i / to W) een uitkomstfunctie, waarbij een tupel van strategieën aan een uitkomst wordt gekoppeld.

Een strategisch spel is een tupel ((S, { successq_i } _ {i / in N})), waarbij (S) een strategische spelvorm is en ({ successq_i } _ { i / in N}) een verzameling voorkeursrelaties, één voor elke speler (i).

Voorbeeld 7: Als we de landen in ons vorige voorbeeld beschouwen als individuele spelers en hun stemmen als individuele strategieën, kunnen we het spel van het Verdrag van Rome modelleren als een strategisch spel, waarbij elk individu een bedrag kan stemmen om te besteden aan grensbescherming en voorkeuren zijn zoals hierboven.

De uitkomstfunctie zal ervoor zorgen dat de uiteindelijke uitkomst van het collectieve besluit wordt gekoppeld aan de stem van elke individuele speler, bijvoorbeeld het selecteren van een uitkomst die wordt gestemd door een reeks landen met een stemgewicht van ten minste 12, of resulteert in geen besluit als er geen consensus wordt bereikt.

Bijvoorbeeld:

• Frankrijk stemt 0M
• België stemt 2M
• Italië stemde 10M
• Duitsland stemt 0M
• Nederland stemt 0M
• Luxemburg stem 0M

Deze ronde resulteert niet in een beslissing, omdat geen enkele uitkomst het stemgewicht van ten minste 12 heeft verzameld.

Stel echter dat de tweede ronde van dien aard is dat iedereen behalve België bij zijn stem blijft en ervan uitgaat dat België overgaat op 0M stemmen. Nu heeft 0M een totaal van 13, wat betekent dat het is gekozen als de uiteindelijke beslissing.

Als we kijken naar de uniforme behandeling van ons voorbeeld, lijkt er een verband te bestaan tussen games in normale vorm en coalitiespellen. Deze relatie kan formeel worden gespecificeerd.

Laten we eerst eens kijken wat een groep spelers in een normaal spel kan doen. Om dit te doen definiëren we de (alpha) - effectiviteitsfunctie, een wiskundige beschrijving van coalitiestrategieën in een spel in termen van de setresultaten die ze kunnen afdwingen.

Definitie 12 ((alpha) - effectiviteitsfunctie] Laat (S) een strategisch spel zijn. We definiëren de (alpha) effectiviteitsfunctie van (S), (E ^ { alpha} _S (C)):

(E ^ { alpha} _S (C) = {X / \ mid) er bestaat (sigma_C) zodat we voor alle (sigma '_ { overline {C}}) hebben that (o (sigma_C, / sigma '_ { overline {C}}) in X })

Intuïtief verzamelt de (alpha) - effectiviteitsfunctie van (S) voor elke groep spelers de set resultaten die ze kunnen bereiken door een strategie van hun eigen strategie vast te stellen, ongeacht hoe hun tegenstanders spelen.

Stelling 13 (Goranko et al.2013)

De (alpha) - effectiviteitsfunctie van een strategisch spel is echt speelbaar.

Het volgende resultaat toont de relatie tussen strategieën en effectiviteitsfuncties.

Stelling 14 (Goranko et al.2013)

Een effectivity-functie is echt speelbaar als en alleen als het de (alpha) - effectivity-functie is van een strategisch spel.

Dit is een veralgemening van het resultaat in Peleg 1998 voor eindige spellen, uitgaande van modellen van strategische spellen die voor het eerst werden gedefinieerd in Pauly 2001. In een notendop wat deze resultaten impliceren is het volgende.

Stelling 15 Laat (F) een relationele spelstructuur. Dan is (F) een strategisch spel als en alleen als de volgende formules geldig zijn in (F) voor onsamenhangende (C, C ^ { prime}):

• (varphi / to / psi / models_F [C] varphi / to [C] psi)
• (models_F [C] top)
• (models_F / neg [C] bot)
• (models_F / neg (emptyset] varphi / to [N] varphi)
• (models_F [C ^ { prime}] varphi / wedge [C] psi / tot [C ^ { prime} cup C] (varphi / wedge / psi))

Net zoals we deden voor coöperatieve spellen, kunnen we ons afvragen of een uitkomst stabiel of rationeel is in een strategische situatie.

Nash-evenwicht en definieerbaarheid Het belangrijkste oplossingsconcept voor het analyseren van strategische spellen is Nash-evenwicht. Informeel is een Nash-evenwicht een verzameling strategieën, één per speler, zodat geen enkele speler geïnteresseerd is om zijn of haar strategie te veranderen, aangezien de anderen zich aan die van hen houden. Formeel is een strategieprofiel (sigma) een (pure strategie) Nash-evenwicht als we voor alle spelers (i / in N) en voor alle (sigma'_i / in / Sigma_i) dat hebben

[o (sigma_i, / sigma _ {- i}) successq_i o (sigma'_i, / sigma _ {- i}))

Voorbeeld 8: Overweeg de volgende stem

• Frankrijk stemt 5M
• België stemde 5M
• Italië stemde 10M
• Duitsland stemde 1M
• Nederland stemt 5M
• Luxemburg stem 5M

In dit spel is er geen consensus over welk budget dan ook. De situatie lijkt misschien op een impasse, omdat iedereen heeft gestemd volgens zijn voorkeur. Het resultaat is echter onenigheid, die geen enkele speler verkiest boven enige overeenkomst. De enige manier waarop spelers tot een overeenkomst kunnen komen, is dat Italië hun stem wijzigt in 5 miljoen. Als dit gebeurt, wordt 5M als resultaat behaald.

Merk op dat het aangepaste spel, waarin Italië 5M stemt, een Nash-evenwicht is.

Overweeg nu een wijziging van het spel hierboven, waarbij Italië en Nederland 10 miljoen stemmen, terwijl de anderen vasthouden aan hun stem. Verrassend genoeg is dit, ondanks het meningsverschil, het Nash-evenwicht, omdat geen enkele speler tegelijkertijd tot een akkoord kan komen, hoewel hij daartoe bereid is.

Hoe Nash-evenwichten in logica uitdrukken? Herinner hoe de formule

[p / to / bigvee_ {C / subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i / in C} Diamond ^ / succ_i p / right))

staat op een frame (F) als en alleen als de kern leeg is, en een hybride logische extensie kan ons vertellen of een specifieke uitkomst tot de kern behoort. Als (F) is gebaseerd op een werkelijk speelbare effectiviteitsfunctie, hebben we al een normale vormversie van de kern: een uitkomst zodanig dat geen enkele coalitie samen kan en wil afwijken, zonder rekening te houden met wat de anderen doen. Nash Equilibrium stelt echter een profiel van strategieën vast, zodat geen enkele speler daar van kan en wil afwijken. Met andere woorden, het vereist het idee van de beste respons voor een speler met betrekking tot een bepaald profiel.

Formaliteiten zoals Coalition Logic zijn te zwak om Nash-evenwichten uit te drukken. Ze kunnen echter uitdrukken dat bepaalde effectiviteitsfuncties de mogelijkheid van een Nash-evenwicht mogelijk maken. Dit wordt in Hansen & Pauly 2002 Nash-consistente Coalition Logic genoemd. Nash Equilibrium is in feite niet definieerbaar in de basismodale logica (Benthem et al. 2011), maar het kan worden gedaan met een modaliteit die zowel de voorkeur als de keuzerelaties kruist (Benthem et al. 2011).

((F, V), w / models / langle / approx_i / cap / succ_i / rangle / varphi) als en alleen als (w (approx_i / cap / succ_i) w ') impliceert dat (w' / modellen / varphi)

Dan is het beste antwoord voor (i) gedefinieerd als (langle / approx_i / cap / succ_i / rangle / top), omdat er geen alternatief is dat tegelijkertijd haalbaar is en de voorkeur verdient boven (i). Als alternatief kan een hybride logica die strategieprofielen in de taal vermeldt een oplossing bieden, vergelijkbaar met het geval van de kern.

3.2.1 Niet-monotone actielogica

Sommige logica's maken gebruik van een compactere weergave van die relationele structuren die overeenkomen met strategische spellen.

In plaats van effectivity-functies te gebruiken, wordt elke speler (i) geassocieerd met een equivalentierelatie (approx_i / subseteq W / times W), waarvan de geïnduceerde partitie de keuzes vertegenwoordigt die hij of zij kan uitvoeren. Deze equivalentierelaties beschrijven de exacte reeks keuzes die een groep spelers kan uitvoeren en de oorspronkelijke modellen worden in de literatuur consequentialist genoemd (zie bijvoorbeeld Belnap, Perloff, & Ming 2001).

Definieer nu een effectiviteitsfunctie (E ^ {*}) waarvoor deze geldt

[E ^ {*} (i) = {[x] mid x '\ in [x] mbox {telkens} x / approx_i x' } ^ {+})

Intuïtief verzamelt (E ^ {*} (i)) wat de individuen precies kunnen bereiken en al hun supersets.

(E ^ {*}) wordt consequentialist genoemd als geldt dat:

• (E ^ {*} (C) = { bigcap_ {i / in C} X_i / mid / mbox {voor sommige} X_i / in E ^ {*} (i) })
• (emptyset / not / in E ^ {*} (C)) voor elke (C / neq N)
• (E ^ {*} (N) = { {x } mid x / in W } ^ {+})

Merk op dat (E ^ *) een echt speelbare effectiviteitsfunctie is.

De laatste eigenschap is gegrondheid, zoals in het geval van willekeurige effectiviteitsfuncties. Dit is niet een eigenschap die in alle varianten wordt aangenomen, bijvoorbeeld de keuzestructuren in Kooi & Tamminga 2008 en de tijdelijke variant STIT (Belnap et al. 2001) niet. Zoals opgemerkt in Turrini 2012 en Tamminga 2013, komen gefundeerde consequentialistische modellen overeen met strategische spellen en kan de effectiviteitsfunctie (E) effectief worden gesimuleerd door de equivalentie-relatie (approx_i) voor elke speler. Intuïtief (E ^ {*} (i)) is de set van uitkomsten die (i) kan kiezen zonder verder te kunnen verfijnen.

Om te redeneren over consequentialistische modellen, gebruiken we zogenaamde consequentialistische logica, dwz propositionele logica uitgebreid met modaliteiten in de vorm ([C] varphi), als volgt geïnterpreteerd:

(M, w / models [C] varphi) als en alleen als (M, w '\ models / varphi) voor alle (w') zodanig dat (w (bigcap_ {i / in C} approx_i) w ')

Consequentialistische logica is ontwikkeld om te redeneren over actie en gevolg, en heeft interessante toepassingen in deontische logica, zoals Kooi & Tamminga 2008; Tamminga 2013; Turrini 2012. Ze vormen bovendien de basis van temporele logica's van strategie zoals STIT en strategische STIT, die later worden besproken. Een speciaal geval zijn de logica van propositionele controle (Hoek & Wooldridge 2005; Troquard, Hoek, & Wooldridge 2009).

3.2.2 Op logica gebaseerde spellen

In veel situaties hebben agenten controle over bepaalde propositionele variabelen (Hoek & Wooldridge 2005), ze kunnen bijvoorbeeld verantwoordelijk zijn voor de verkeersstroom of ze kunnen een veto uitspreken over een bepaald probleem. Variabelen kunnen ook worden gedeeld (Gerbrandy 2006), een voorbeeld is stemmen, waarbij spelers de controle delen over een variabele waarvan de realisatie wordt bepaald door een bepaalde aggregatiefunctie, bijvoorbeeld de meerderheid (Troquard, Hoek, & Wooldridge 2011). Deze logica van propositionele controle specificeert welke proposities agenten hebben in hun effectiviteitsfunctie. Als agent (i) bijvoorbeeld (p) bestuurt, dan zitten zowel (p ^ {M}) als (neg p ^ {M}) in zijn of haar effectiviteitsfunctie. In zekere zin zijn deze modellen zeer speciale soorten effectiviteitsfuncties, en welke agentencontrole kan worden gezien als een keuze of een strategie die voor hen beschikbaar is.

Logica's voor propositionele controle hebben modaliteiten van het type ( varphi), wat betekent dat speler (i) een "controle" -strategie heeft om ervoor te zorgen dat, ongeacht hoe de andere agenten hun controle kiezen strategieën, dan geldt (varphi) uiteindelijk. Maar ze hebben ook modaliteiten van het type ([C] varphi), wat betekent dat spelers in (C) een gezamenlijke controlestrategie hebben die uiteindelijk (varphi) garandeert. Een strategisch profiel is dus gelijk aan een waarderingsfunctie, die een waarheidswaarde van elke beschikbare propositie toekent. Op zijn beurt kan een strategie van een speler (i) dus worden gezien als een gedeeltelijke waarderingsfunctie, die alleen een waarheidswaarde toekent aan de proposities die worden bestuurd door (i).

Een beetje misbruik van notatie, we zeggen dat een waardering (V) voldoet aan een formule (varphi), aangeduid met (V / models / varphi), telkens wanneer het (varphi) waar maakt onder de huidige toewijzing van stellingen. Met andere woorden, propositionele controlegames worden in één enkele wereld gespeeld en de individuele opdrachten bepalen welke proposities waar zijn, die wereld. Als we (mathcal {V}) de set van alle taxaties en (mathcal {V} _i) aanduiden voor de partiële die onder controle staan van (i), hebben we het volgende.

((F, V) modellenvarphi) als en alleen als voor alle (i / in C), er bestaat (V'_i / in / mathcal {V} _i) zodanig dat we voor alle (k / in / overline {C}, V '_ {k} in / mathcal {V} _k) dat ((F, V') models / varphi)

Dus wanneer ([C] varphi) houdt, kan coalitie (C) een controlestrategie spelen op een zodanige manier dat het niet uitmaakt wat de controlestrategie is dat hun tegenstanders spelen, de resulterende uitkomst voldoet aan (varphi).

Logica voor propositionele controle kan worden uitgebreid tot doelgerichte formalismen, de zogenaamde Booleaanse spellen (Harrenstein, van der Hoek, Meyer en Witteveen 2001): proposities worden verdeeld over de spelers, waarbij elke speler de set proposities die hij of zij beheert, beheert. is toegewezen aan. Bovendien krijgt elke speler ook een formule van propositionele logica toegewezen die bedoeld is als zijn of haar doel en wiens realisatie niet alleen afhangt van de keuzes die hij of zij kan maken.

Booleaanse games zijn uitgebreid bestudeerd op het gebied van multi-agentsystemen, als eenvoudige en compacte modellen die strategische interactie vertegenwoordigen in een logische omgeving (Dunne & Hoek 2004; Dunne & Wooldridge 2012; Dunne, Hoek, Kraus en Wooldridge 2008)).

In hun meest algemene varianten zijn ze een uitbreiding van logica met propositionele controle, waarbij elke agent een doelformule krijgt toegewezen. De doelformule is een bevredigende formule van de taal en het belangrijke kenmerk is dat het doel van elke agent niet onder zijn of haar controle hoeft te staan.

Aan agent (i) kan bijvoorbeeld alleen de controle over propositie (p) worden toegewezen, maar het doel kan zijn dat (p / leftrightarrow q). Dus of het doel van (i) is bereikt, hangt niet alleen af van het feit dat (i) propositie (p) waar is, maar ook van een andere agent, zeg (j), die propositie (q) om eerlijk te zijn. Agent (j) daarentegen kan al dan niet geïnteresseerd zijn om (q) op true te zetten. Hij of zij wil bijvoorbeeld dat propositie (r) waar is, en daarom onverschillig is of (q) of (overline {q}) uiteindelijk wordt gerealiseerd. Of misschien zelfs het doel hebben dat (overline {q}).

In Booleaanse spellen kunnen sommige doelstellingen allemaal samen worden gerealiseerd, bijvoorbeeld dat agenten allemaal willen dat (p / vee / neg q) waar is, of het kan zijn dat bepaalde taxaties niet de doelstellingen van alle agenten realiseren, maar geen enkele ongelukkige agent kan zijn of haar eigen situatie verbeteren door de opdracht te veranderen in de propositionele variabelen die hij of zij beheert. Deze situatie is een zeer eenvoudige vorm van Nash-evenwicht die kan worden uitgedrukt in Booleaanse spellen.

Dus omdat (gamma_i) het doel is van speler (i) en (v_i) een gedeeltelijke waardering die onder controle staat van speler (i), zeggen we dat waardering (v) een Nash-evenwicht als we dat voor elk (i) en elk (v'_i) hebben.

[(v_i, v _ {- i}) not / models / gamma_i / mbox {impliceert dat} (v'_i, v _ {- i}) not / models / gamma_i)

Dus als (v) niet voldoet aan het doel van (i), is er niets dat (i) eraan kan doen.

De analyse van Nash-evenwichten in het Booleaanse spel laat een nauwe overeenkomst zien tussen deze spellen en propositionele logica: met behulp van een reductie tot het tevredenheidsprobleem van propositionele logica-formules, het probleem om te controleren of een uitkomst (v) een Nash-evenwicht is van een Boolean game is co-NP voltooid (Wooldridge, Endriss, Kraus en Lang 2013).

4. Conclusies: op het juiste niveau van analyse

Denk aan het allereerste voorbeeld, waarin de reeks resultaten van een stemgame alleen kon worden beschreven, rekening houdend met het algehele resultaat van de stemming of door expliciet te beschrijven wat elk van de landen had gestemd.

Vaak worden we bij het beschrijven van wiskundige structuren door beknopte talen geconfronteerd met de vraag welke taal de meest geschikte taal is. Sommigen zijn in staat om voorkeuren, kennis en coalitievermogen allemaal samen uit te drukken, sommige anderen slechts over twee, sommige anderen over slechts één. Ten slotte kunnen sommige talen mogelijk alleen uitdrukken wat individuen, en niet coalities, kunnen bereiken.

Nogmaals, er is geen juist antwoord op deze vraag. Het hangt allemaal af van wat de fundamentele kenmerken zijn die men probeert te modelleren. Om Nash-evenwichten uit te drukken in een coördinatiespel, is er geen behoefte aan een temporeel, op logica gebaseerd formalisme. Integendeel, als men achterwaartse inductie wil uitdrukken, dan is een taal die de sequentiële structuur van het beslissingsprobleem niet expliciet maakt waarschijnlijk niet de juiste.

Om terug te gaan naar ons voorbeeld, sommige landen hebben misschien voorkeuren over hoe andere landen stemmen, en dit kan hun besluitvorming beïnvloeden, waardoor de algehele evenwichtspunten van het spel veranderen. Als dit het geval is, is de rijkere taal van belang. Anders, als we deze mogelijkheid veilig kunnen uitsluiten, lijkt de beknoptere taal de juiste keuze.

Bibliografie

• Abdou, Joseph en Hans Keiding, 1991, Effectivity Functions in Social Choice, (Theory and Decision Library 8), Dordrecht: Springer Netherlands, doi: 10.1007 / 978-94-011-3448-4
• Baltag, Alexandru en Bryan Renne, 2016, 'Dynamic Epistemic Logic', in Stanford Encyclopedia of Philosophy, (editie Winter 2016), Edward N. Zalta (red.), URL =
• Belnap, Nuel, Michael Perloff en Ming Xu, 2001, Facing the Future: Agents and Choices in Our Indeterminist World, Oxford: Oxford University Press.
• Benthem, Johan van, 2014, Logic in Games, Cambridge, MA: MIT Press.
• Benthem, Johan van, Eric Pacuit en Olivier Roy, 2011, "Toward a Theory of Play: A Logical Perspective on Games and Interaction", Games, 2 (1): 52–86. doi: 10.3390 / g2010052
• Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke en Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9781107050884
• Chellas, Brian, 1980, Modal Logic: An Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
• Dalen, Dirk van, 1980, Logica en structuur, Berlijn: Springer-Verlag. doi: 10.1007 / 978-3-662-02962-6
• Dunne, Paul E. en Wiebe van der Hoek, 2004, “Representation and Complexity in Boolean Games”, in José Júlio Alferes & João Alexandre Leite (eds.), Logics in Artificial Intelligence, 9th European Conference, JELIA 2004, Lissabon, Portugal 27–30 september 2004, Proceedings, Berlijn, Heidelberg: Springer, 3229: 347–359. doi: 10.1007 / 978-3-540-30227-8_30
• Dunne, Paul E. en Michael Wooldridge, 2012, "Towards Tractable Boolean Games", in Wiebe van der Hoek, Lin Padgham, Vincent Conitzer, & Michael Winikoff (red.), Proceedings of the 11th International Conference on Autonomous Agents and Multiagent Systems, (AAMAS 2012), Valencia, Spanje, 4-8 juni 2012, Richland, SC: International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent Systems, vol. 2, pp. 939-946.
• Dunne, Paul E., Wiebe van der Hoek, Sarit Kraus en Michael Wooldridge, 2008, "Cooperative Boolean Games", in Lin Padgham, David C. Parkes, Jörg P. Müller, & Simon Parsons (red.), Proceedings of de 7e Internationale Gezamenlijke Conferentie over Autonomous Agents and Multiagent Systems, (AAMAS 2008), Estoril, Portugal, 12-16 mei 2008, Richland, SC: International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent System, vol. 2, pp. 1015-1022.
• Garson, James, 2014, "Modal Logic", in Stanford Encyclopedia of Philosophy, (lente 2016 editie), Edward N. Zalta (red.), URL = .
• Gerbrandy, Jelle, 2006, "Logics of Propositionele Controle", in Hideyuki Nakashima, Michael P. Wellman, Gerhard Weiss, & Peter Stone (red.), Proceedings of the 5th International Joint Conference on Autonomous Agents and Multiagent Systems, (AAMAS 2006), Hakodate, Japan, 8-12 mei 2006, New York: ACM, pp. 193-200. doi: 10.1145 / 1160633.1160664
• Goranko, Valentin en Salomon Passy, 1992, "Gebruik van de universele modaliteit: winst en vragen", Journal of Logic and Computation, 2 (1): 5–30. doi: 10.1093 / logcom / 2.1.5
• Goranko, Valentin, Wojciech Jamroga en Paolo Turrini, 2013, "Strategic Games and Truly Playable Effectivity Functions", Autonomous Agents and Multi-Agent Systems, 26 (2): 288–314. doi: 10.1007 / s10458-012-9192-y
• Hansen, Helle Hvid, 2003, Monotonic Modal Logics, Master Thesis, Universiteit van Amsterdam.
• Hansen, Helle Hvid en Marc Pauly, 2002, "Axiomatising Nash-Consistent Coalition Logic", in Sergio Flesca, Sergio Greco, Nicola Leone, & Giovambattista Ianni (red.), Logics in Artificial Intelligence, Berlin: Springer, 2424: 394– 406. doi: 10.1007 / 3-540-45757-7_33
• Hansen, Helle Hvid, Clemens Kupke en Eric Pacuit, 2009, "Neighborhood Structures: Bisimilarity and Basic Model Theory", Logical Methods in Computer Science, 5 (2): lmcs: 1167. [Hansen, Kupke en Pacuit 2009 online beschikbaar]
• Hansson, Sven Ove en Till Grune-Yanoff, 2011, "Preferences", in Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL => https://plato.stanford.edu/ archieven / herfst2011 / inzendingen / voorkeuren />
• Harrenstein, Paul, Wiebe van der Hoek, John-Jules Meyer en Cees Witteveen, 2001, "Boolean Games", in Johan van Benthem (red.), Proceedings of the 8th Conference on Theoretical Aspects of Rationality and Knowledge, (Tark ' 01), San Francisco: Morgan Kaufmann, pp. 287–298.
• Hendricks, Vincent en John Symons, 2006, "Epistemic Logic", in Stanford Encyclopedia of Philosophy, (lente 2006 editie), Edward N. Zalta (red.), URL =
• Hodges, Wilfrid, 2013, "Logic and Games", in Stanford Encyclopedia of Philosophy, (lente 2013 editie), Edward N. Zalta (red.), URL = .
• Hoek, Wiebe van der en Marc Pauly, 2006, "Modal Logic for Games and Information", in Patrick Blackburn, Johan van Benthem, & Frank Wolter (eds.), Handbook of Modal Logic, pp. 1077–1148, Elsevier.
• Hoek, Wiebe van der en Michael Wooldridge, 2005, 'On the Logic of Cooperation and Proposition Control', Artificial Intelligence, 164 (1–2): 81–119. doi: 10.1016 / j.artint.2005.01.003
• Kooi, Barteld en Allard Tamminga, 2008, "Moral Conflicts between Groups of Agents", Journal of Philosophical Logic, 37 (1): 1–21. doi: 10.1007 / s10992-007-9049-z
• Kracht, Marcus en Frank Wolter, 1999, "Normale monomodale logica kan alle andere simuleren", Journal of Symbolische logica, 64 (1): 99–138. doi: 10.2307 / 2586754
• Moulin, Herve en Bezalel Peleg, 1982, "Cores of Effectivity Functions and Implementation Theory", Journal of Mathematical Economics, 10 (1): 115–145. doi: 10.1016 / 0304-4068 (82) 90009-X
• Osborne, Martin en Ariel Rubinstein, 1994, A Course in Game Theory, Cambridge, MA: MIT Press.
• Pacuit, Eric en Olivier Roy, 2015, "Epistemic Foundations of Game Theory", in Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Spring 2015 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL =
• Pauly, Marc, 2001, Logic for Social Software, Ph. D. scriptie, Universiteit van Amsterdam. [Pauly 2001 online beschikbaar]
• Peleg, Bezalel, 1998, "Effectivity Functions, Game Forms, Games and Rights", Social Choice and Welfare, 15 (1): 67–80. doi: 10.1007 / s003550050092
• Steele, Katie en Orri Stefansson, 2015, “Decision Theory”, in Stanford Encyclopedia of Philosophy, (editie Winter 2015), Edward N. Zalta (red.), URL =
• Tamminga, Allard, 2013, 'Deontic Logic for Strategic Games', Erkenntnis, 78 (1): 183-200. doi: 10.1007 / s10670-011-9349-0
• Troquard, Nicolas, Wiebe van der Hoek en Michael Wooldridge, 2009, "A Logic of Games and Proposition Control", in Carles Sierra, Cristiano Castelfranchi, Keith S. Decker, & Jaime Simão Sichman (redactie), Proceedings of the 8th Internationale gezamenlijke conferentie over autonome agenten en meervoudige systemen, (AAMAS 2009), Boedapest, Hongarije, 10-15 mei 2009, Richland, SC: International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent Systems, vol. 2, pp. 961-968.
• –––, 2011, "Redeneren over sociale keuzefuncties", Journal of Philosophical Logic, 40 (4): 473–498. doi: 10.1007 / s10992-011-9189-z
• Turrini, Paolo, 2012, "Agreements as Norms", in Thomas Ågotnes, Jan Broersen, & Dag Elgesem (eds.), Deontic Logic in Computer Science: 11th International Conference, (DEON 2012), Bergen, Noorwegen, 16-18 juli, 2012, Berlijn: Springer, 7393: 31–45. doi: 10.1007 / 978-3-642-31570-1_3
• Wooldridge, Michael, Ulle Endriss, Sarit Kraus en Jérôme Lang, 2013, "Incentive Engineering for Boolean Games", Artificial Intelligence, 195: 418–439. doi: 10.1016 / j.artint.2012.11.003

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

• Apt, Krzysztof, 2009, “Cooperative Games”, Course Notes, Centrum Wiskunde & Informatica, Amsterdam.
• Logica in actie