Fuzzy Logic

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Fuzzy Logic

Voor het eerst gepubliceerd op 15 november 2016; inhoudelijke herziening di 18 jul.2017

Fuzzy logic is bedoeld om logische redeneringen te modelleren met vage of onnauwkeurige uitspraken als "Petr is jong (rijk, lang, hongerig, etc.)". Het verwijst naar een familie van veelgewaardeerde logica's (zie het artikel over veelgewaardeerde logica) en bepaalt dus dat de waarheidswaarde (die in dit geval een mate van waarheid vertegenwoordigt) van een logisch samengestelde propositie, zoals 'Carles is lang en Chris is rijk”, wordt bepaald door de waarheidswaarde van de componenten. Met andere woorden, zoals in de klassieke logica, legt men waarheidsfunctionaliteit op.

Fuzzy logic kwam naar voren in de context van de theorie van fuzzy sets, geïntroduceerd door Zadeh (1965). Een fuzzy set kent een mate van lidmaatschap toe, meestal een reëel getal uit het interval ([0,1]), aan elementen van een universum. Wazige logica ontstaat door het toekennen van waarheidsgraden aan proposities. De standaard set waarheidswaarden (graden) is ([0,1]), waarbij (0) staat voor "helemaal niet waar", (1) staat voor "helemaal waar" en de andere cijfers verwijzen naar gedeeltelijke waarheid, dwz tussenliggende graden van waarheid. ^[1]

'Fuzzy logic' wordt vaak in zeer brede zin opgevat, waaronder allerlei formalismen en technieken die verwijzen naar het systematisch hanteren van een of andere graad (zie bv. Nguyen & Walker 2000). Met name in technische contexten (fuzzy control, fuzzy classificatie, soft computing) is het gericht op efficiënte computationele methoden die tolerant zijn voor suboptimaliteit en onnauwkeurigheid (zie bv. Ross 2010). Deze inzending focust op fuzzy logic in enge zin, opgericht als een discipline van de wiskundige logica volgens de baanbrekende monografie van Petr Hájek (1998) en wordt tegenwoordig gewoonlijk "wiskundige fuzzy logic" genoemd (zie Cintula, Fermüller, Hájek, & Noguera 2011 en 2015). Het richt zich op logica gebaseerd op een waarheidsfunctioneel verslag van de gedeeltelijke waarheid en bestudeert ze in de geest van de klassieke wiskundige logica (syntaxis,modeltheoretische semantiek, bewijssystemen, volledigheid, enz.; zowel op propositioneel als op predicaatniveau).

• 1. Fuzzy connectives gebaseerd op t-normen
• 2. MTL: een fundamentele fuzzy logic
• 3. Łukasiewicz logica
• 4. Gödel-Dummett-logica
• 5. Andere opvallende fuzzy logica
• 6. Predikatenlogica
• 7. Algebraïsche semantiek
• 8. Bewijs theorie
• 9. Semantiek die waarheidfunctionaliteit rechtvaardigt
• 10. Wazige logica en vaagheid
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Fuzzy connectives gebaseerd op t-normen

De standaard set waarheidsgraden voor fuzzy logica is het werkelijke eenheidinterval ([0,1]) met zijn natuurlijke ordening (leq), variërend van totale onwaarheid (vertegenwoordigd door (0)) tot totale waarheid (weergegeven door (1)) via een continuüm van tussenliggende waarheidsgraden. De meest fundamentele aanname van (mainstream) wiskundige fuzzy logic is dat connectieven waarheid-functioneel moeten worden geïnterpreteerd over de set van waarheidsgraden. Aangenomen wordt dat dergelijke waarheidsfuncties zich klassiek gedragen op de extreme waarden (0) en (1). Een heel natuurlijk gedrag van conjunctie en disjunctie wordt bereikt door het opleggen van (x / land y = / min {x, y }) en (x / lor y = / max {x, y }) voor elke (x, y / in [0,1]).

Een andere, niet-idempotente, voegwoord (&) wordt typisch toegevoegd om de intuïtie te verklaren dat het tweemaal toepassen van een gedeeltelijk waarachtige hypothese tot een andere graad van waarheid zou kunnen leiden dan het slechts eenmaal gebruiken ervan. Zo'n conjunctie wordt meestal geïnterpreteerd door een binaire bewerking op ([0,1]), die niet noodzakelijk idempotent is, maar nog steeds associatief, commutatief, niet-afnemend in beide argumenten en (1) als neutraal element heeft. Deze bewerkingen worden t-normen genoemd (driehoekige normen) en hun wiskundige eigenschappen zijn grondig bestudeerd (bijv. Door Klement, Mesiar en Pap 2000). Prominente voorbeelden van t-normen zijn de reeds genoemde functie (min), het standaardproduct van reële getallen en de Łukasiewicz t-norm: (x * _ {Ł} y = / max {x + y- 1,0 }). Deze drie t-normen zijn eigenlijk continue functies en elke andere continue t-norm kan worden beschreven als een ordinale som van deze drie basisnormen (zie Ling 1965; Mostert & Shields 1957).

Negatie wordt geïnterpreteerd door een niet-toenemende functie die (0) toewijst aan (1) en omgekeerd; gebruikelijke keuzes zijn de Łukasiewicz-negatie (neg_ {Ł} x = 1 - x) en de Gödel-negatie: (neg_ / mathrm {G} 0 = 1) en (neg_ / mathrm {G} x = 0) voor elke (x> 0). Het is ook gebruikelijk om een constant symbool (overline {0}) te introduceren voor totale onwaarheid, vandaar geïnterpreteerd als (0). Ten slotte is een geschikte keuze voor implicatie het residu van de t-norm (ast), dat wil zeggen de unieke functie (Rightarrow) die voldoet aan de zogenaamde residuconditie: (x / ast y / leq z), als en alleen als, (x / leq y / Rightarrow z). Een dergelijke functie bestaat (en wordt gedefinieerd als (x / Rightarrow y = / max {z / mid x / ast z / leq y })) als, en alleen als, de t-norm links-continu is.

2. MTL: een fundamentele fuzzy logic

De zwakste logica met connectieven geïnterpreteerd door waarheidsfuncties van het hierboven beschreven type is MTL (Monoidal T-norm based Logic, Esteva & Godo 2001). Het is een logica met de primitieve connectieven (mathbin { &}, / to, / wedge,) en (overline {0}), en afleidbare connectieven gedefinieerd als: (begin {align} varphi / lor / psi & = ((varphi / to / psi) to / psi) land ((psi / to / varphi) to / varphi), \\ / neg / varphi & = / varphi / to / overline {0}, \\ / varphi / leftrightarrow / psi & = (varphi / to / psi) land (psi / to / varphi) en \\ / overline {1} & = / neg / overline { 0}. / end {align}) MTL wordt gedefinieerd als een gevolgrelatie over de semantiek gegeven door alle links-continue t-normen. Namelijk, gegeven een bepaalde links-continue t-norm (ast), is een evaluatie (e_ / ast) een afbeelding van propositionele variabelen naar ([0,1]),uitgebreid naar alle formules door (&) te interpreteren als (ast), de implicatie (naar) als residu (Rightarrow) en (land) en (overline {0}) als respectievelijk (min) en (0).

Een formule (varphi) is een gevolg van een set formules (Gamma) in MTL, aangeduid met (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi), als voor elke links-continue t- norm (ast) en elke evaluatie (e_ / ast) zodanig dat (e (psi) = 1) voor elke (psi / in / Gamma) we hebben (e (varphi) = 1); dat wil zeggen: elke evaluatie die de premissen helemaal waar maakt, moet ook de conclusie helemaal waar maken. Formules (varphi) die altijd evalueren naar (1) ((models_ / mathrm {MTL} varphi)) worden tautologieën van MTL genoemd. Merk op dat de formule ((varphi / mathbin { &} psi) to (varphi / land / psi)) een tautologie is in MTL, dat wil zeggen dat de voeg (&) sterker is dan (land).

MTL kan ook worden gepresenteerd door een Hilbert-proof systeem met de volgende axioma's:

(begin {align} (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) / \ varphi / mathbin { &} psi & / to / varphi \\ / varphi / mathbin { &} psi & / to / psi / mathbin { &} varphi \\ / varphi / land / psi & / to / varphi \\ / varphi / land / psi & / to / psi / land / varphi \(chi / to / varphi) & / to ((chi / to / psi) to (chi / to / varphi / wedge / psi)) (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) & / to (varphi / to (psi / to / chi)) (varphi / to (psi / to / chi)) & / naar (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) ((varphi / to / psi) to / chi) & / to (((psi / to / varphi) to / chi) to / chi) / \ overline {0} & / to / varphi \\ / end {align})

en modus ponens als enige inferentieregel: van (varphi) en (varphi / naar / psi), infer (psi). Dit systeem is een complete axiomatisatie van de logische MTL: (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi) iff (Gamma / vdash_ / mathrm {MTL} varphi), waarbij de laatste relatie afgeleid is van gevallen van de bovenstaande axioma's en formules in (Gamma). Het validiteitsprobleem van (mathrm {MTL}) staat bekend als beslissend, maar de computationele complexiteit ervan is nog niet bepaald.

3. Łukasiewicz logica

Łukasiewicz-logica kan worden gedefinieerd door [((varphi / to / psi) to / psi) to ((psi / to / varphi) to / varphi)) toe te voegen aan het Hilbert-achtige systeem voor MTL. Het komt overeen met de eindige versie van de gevolgrelatie die is gedefinieerd met betrekking tot evaluaties op basis van de Łukasiewicz t-norm (in symbolen: voor elke eindige reeks formules (Gamma) en elke formule (varphi) hebben we (Gamma / models_ {Ł} varphi) iff (Gamma / vdash_ {Ł} varphi)). ^[2]

Deze logica was een vroeg voorbeeld van een veelgewaardeerde logica, geïntroduceerd door Łukasiewicz & Tarski (1930), ruim voor de aanvang van de theorie van fuzzy sets, door middel van een equivalent axiomatisch systeem (met modus ponens als enige gevolgtrekkingsregel):

(begin {align} varphi & / to (psi / to / varphi) (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) ((varphi / to / psi) to / psi) & / to ((psi / to / varphi) to / varphi) (neg / psi / to / neg / varphi) & / to (varphi / to / psi) ((varphi / to / psi) & / to (psi / to / varphi)) to (psi / to / varphi) / \ end {align })

Łukasiewicz-logica is de enige op t-norm gebaseerde fuzzy-logica waarbij alle connectieven worden geïnterpreteerd door continue functies, inclusief de implicatie die, als residu van (_ {Ł}), wordt gegeven door de functie (x / to_ {Ł } y = / min {1,1-x + y }). De stelling van McNaughton (1951) stelt dat echt gewaardeerde functies van meer dan [0,1] die de formules van de Łukasiewicz-logica interpreteren, precies de continue stuksgewijze lineaire functies zijn met integercoëfficiënten. In termen van computationele complexiteit is het validiteitsprobleem voor deze logica asymptotisch niet slechter dan in de klassieke logica: het blijft coNP-compleet.

4. Gödel-Dummett-logica

Gödel – Dummett-logica, ook wel bekend als Dummett's LC of gewoon Gödel-logica, is een ander vroeg voorbeeld van een veelgewaardeerde logica met waarheidswaarden in ([0,1]). Het werd geïntroduceerd door Michael Dummett (1959) als een uitbreiding van de intuïtionistische logica (zie het artikel over intuïtionistische logica) door de axioma [(varphi / to / psi) lor (psi / to / varphi).) Deze formule dwingt een lineaire volgorde af in de onderliggende (Kripke-stijl en algebraïsche) semantiek. In de context van de waarneming van Gödel blijkt ook dat het onmogelijk is om de intuïtionistische logica te karakteriseren aan de hand van eindige waarheidstabellen (Gödel 1932). Gödel-Dummett-logica kan ook worden verkregen als een axiomatische uitbreiding van MTL door de axioma (varphi / to / varphi / mathbin { &} varphi) toe te voegen, wat neerkomt op het vereisen van de onmacht van (&),en daardoor de interpretatie van beide voegwoorden laten samenvallen. In de fuzzy logic-setting kan de Gödel-Dummett-logica worden gezien als de gevolgrelatie die wordt gegeven door de minimale t-norm. Het wordt onderscheiden als de enige op t-norm gebaseerde logica waarbij de waarheid van een formule in een gegeven evaluatie niet afhangt van de specifieke waarden die aan de propositionele variabelen zijn toegewezen, maar alleen van de relatieve volgorde van deze waarden. In die zin kan de logica van Gödel-Dummett worden gezien als een logica van vergelijkende waarheid. Net als voor Łukasiewicz-logica, blijft de computationele complexiteit van het testen van de validiteit coNP-compleet. Het wordt onderscheiden als de enige op t-norm gebaseerde logica waarbij de waarheid van een formule in een gegeven evaluatie niet afhangt van de specifieke waarden die aan de propositionele variabelen zijn toegewezen, maar alleen van de relatieve volgorde van deze waarden. In die zin kan de logica van Gödel-Dummett worden gezien als een logica van vergelijkende waarheid. Net als voor Łukasiewicz-logica, blijft de computationele complexiteit van het testen van de validiteit coNP-compleet. Het wordt onderscheiden als de enige op t-norm gebaseerde logica waarbij de waarheid van een formule in een gegeven evaluatie niet afhangt van de specifieke waarden die aan de propositionele variabelen zijn toegewezen, maar alleen van de relatieve volgorde van deze waarden. In die zin kan de logica van Gödel-Dummett worden gezien als een logica van vergelijkende waarheid. Net als voor Łukasiewicz-logica, blijft de computationele complexiteit van het testen van de validiteit coNP-compleet.

5. Andere opvallende fuzzy logica

Naast MTL (de logica van alle links-continue t-normen) en Łukasiewicz en Gödel-Dummett-logica (elk geïnduceerd door een bepaalde t-norm), kan men logica beschouwen die wordt veroorzaakt door andere sets van t-normen of, in het algemeen, willekeurig axiomatische uitbreidingen van MTL. In het bijzonder wordt de logica van alle continue t-normen (Hájek's Basic Fuzzy Logic) verkregen door de axioma [(varphi / mathbin { &} (varphi / to {{ psi}})) toe te voegen aan (psi / mathbin { &} (psi / to / varphi))) aan die van MTL. Eigenlijk is er voor elke set van continue t-normen een eindige axiomatisatie van de bijbehorende logica (Esteva, Godo, & Montagna 2003; Haniková 2014). In het bijzonder is de logica van de laatste prominente continue t-norm (algebraïsch product), bekend als productlogica, de uitbreiding van Hájek's Basic Fuzzy Logic door het axioma: (neg / varphi / vee ((varphi / to / varphi / mathbin { &} {{ psi}}) tot {{ psi}})) Aan de andere kant kunnen niet alle axiomatische extensies van MTL een semantiek van t-normen krijgen. Klassieke logica kan bijvoorbeeld worden gemaxiomatiseerd als MTL (+) (varphi / vee / neg / varphi), maar het axioma van uitgesloten midden is geen tautologie onder enige op t-norm gebaseerde interpretatie.

Er zijn ook redenen om zwakkere fuzzy-logica te overwegen. Er kan bijvoorbeeld worden gesteld dat de aannames die de interpretatie van de conjunctie dwingen tot een t-norm te sterk zijn. Met name de aanname dat (1) het neutrale element van conjunctie is, dwingt een definitie van tautologie af als een formule die altijd wordt geëvalueerd naar (1) en de gevolgrelatie als behoud van de waarde (1) - dat wil zeggen, (1) is de enige aangewezen waarde in de semantiek. ^[3]Een natuurlijke manier om logica met meer dan één aangewezen waarheidsgraad te introduceren, is aan te nemen dat het neutrale element voor (ast) een getal (t <1) is. (Aangetoond kan worden dat in deze situatie de aangewezen waarheidsgraden precies die zijn die groter zijn dan of gelijk zijn aan (t).) Dergelijke interpretaties van voegwoorden worden uninorms genoemd. De resulterende logica werd axiomatisch gemaakt door Metcalfe & Montagna (2007).

Op analoge wijze kan men pleiten tegen commutativiteit of zelfs tegen associativiteit van conjunctie. Axiomatisaties van resulterende logica worden beschreven in de literatuur (zie Cintula, Horčík, & Noguera 2013; Jenei & Montagna 2003); een uitzondering is de logica van niet-commutatieve uninorms waarvoor geen natuurlijk axiomatisch systeem bekend is.

Als je er tenslotte rekening mee houdt dat fuzzy logics, in tegenstelling tot klassieke logica, typisch niet functioneel compleet zijn, kan men hun expressieve kracht vergroten door nieuwe connectieven toe te voegen. De meest algemeen overwogen connectieven zijn: waarheidsconstanten (bar r) voor elk rationeel getal (r / in (0,1)); unaire connectieven (sim) en (driehoek) geïnterpreteerd als ({ sim} x = 1-x) en (driehoek x = 1) als (x = 1) en (0) anders; een binair connectief (odot) geïnterpreteerd als het gebruikelijke algebraïsche product, enz. (Baaz 1996; Esteva, Gispert, Godo, & Noguera 2007; Esteva, Godo, & Montagna 2001; Esteva, Godo, Hájek, & Navara 2000).

Een grondig overzicht van alle soorten propositionele fuzzy-logica die in deze sectie worden genoemd (en een algemene theorie daarvan) is te vinden in het Handbook of Mathematical Fuzzy Logic (3 delen, Cintula et al. 2011a, b, 2015).

6. Predikatenlogica

Gegeven elke propositionele fuzzy logic L is er een uniforme manier om de tegenhanger L (forall) van de eerste orde te introduceren in een predikaatstaal (mathcal {P \! L}) (gedefinieerd als in het klassieke geval). In deze sectie, voor de eenvoud, presenteren we het voor op t-norm gebaseerde logica.

De semantiek wordt gegeven door structuren waarin predikaatsymbolen worden geïnterpreteerd als functies die tuples van domeinelementen in kaart brengen in waarheidswaarden. Om precies te zijn, een structuur ({ mathbf M}) bestaat uit een niet-leeg domein van elementen (M), een functie (f _ { mathbf M} colon M ^ n / tot M) voor each (n) - ary functiesymbool (f / in / mathcal {P \! L}), en een functie (P _ { mathbf M} colon M ^ n / tot [0,1]) voor elk (n) - predikaatsymbool (P / in / mathcal {P \! L}). Door een evaluatie ({ mathrm v}) van objectvariabelen in (M) vast te stellen, definieert men waarden van termen ((| f (t_1, / dots, t_n) | _ { mathrm v} = f _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / dots, / | t_n / | _ { mathrm v}))) en waarheidswaarden van atoomformules ((| P (t_1, / dots, t_n) | _ { mathrm v} = P _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / dots, / | t_n / | _ { mathrm v}))). Waarheidswaarden van een universeel / existentieel gekwantificeerde formule worden berekend als oneindig / supremum van waarheidswaarden van instanties van de formule waar de gekwantificeerde variabele over alle elementen van het domein loopt (M). Formeel: (begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M } / \ | (bestaat x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M }, \\ / end {align}) waar ({ mathrm v} [x {:} a]) de evaluatie verzendt (x) naar (a) en de waarden van andere variabelen ongewijzigd laten. De waarden van andere formules worden berekend met behulp van de waarheidsfuncties voor de propositionele connectieven van L.(begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } mid a / in M } / \ | (bestaat x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M }, \\ / end {align}) waar ({ mathrm v} [x {:} a]) de evaluatie is die (x) naar (a) en waarden van andere variabelen ongewijzigd laten. De waarden van andere formules worden berekend met behulp van de waarheidsfuncties voor de propositionele connectieven van L.(begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } mid a / in M } / \ | (bestaat x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M }, \\ / end {align}) waar ({ mathrm v} [x {:} a]) de evaluatie is die (x) naar (a) en waarden van andere variabelen ongewijzigd laten. De waarden van andere formules worden berekend met behulp van de waarheidsfuncties voor de propositionele connectieven van L. De waarden van andere formules worden berekend met behulp van de waarheidsfuncties voor de propositionele connectieven van L. De waarden van andere formules worden berekend met behulp van de waarheidsfuncties voor de propositionele connectieven van L.

De eerste-orde logica L (forall) wordt dan gedefinieerd als de gevolgrelatie gegeven door het behoud van de totale waarheid (waarde (1)), zoals in het propositionele geval. Meer specifiek zeggen we dat een formule van de eerste orde (varphi) een gevolg is van een reeks formules (Gamma) (in symbolen: (Gamma / models _ { mathrm {L} forall} varphi)) if (| / varphi / | _ { mathrm v} = 1) voor elke evaluatie v, telkens wanneer (| / psi / | _ { mathrm v} = 1) voor elk evaluatie v en elke (psi / in / Gamma).

L (forall) kan een Hilbert-achtige calculus krijgen met de volgende axioma's:

• (P) de (eerste-orde) instanties van de axioma's van de propositionele logica L
• ((forall1)) ((forall x) varphi (x) to / varphi (t)), waarbij de term (t) substitueerbaar is voor (x) in
• ((exist1)) (varphi (t) to (exist x) varphi (x)), waarbij de term (t) substitueerbaar is voor (x) in
• ((forall2)) ((forall x) (chi / to / varphi) to (chi / to (forall (x) varphi)), waar (x) niet gratis in (chi)
• ((exist2)) ((forall x) (varphi / to / chi) to ((exist x) varphi / to / chi)), waar (x) niet gratis is in (chi)
• ((forall3)) ((forall x) (chi / vee / varphi) to / chi / vee (forall x) varphi), waar (x) niet gratis is in (chi).

De aftrekregels van L (forall) zijn die van L plus de generalisatieregel: van (varphi) infer ((forall x) varphi).

Voor veel opmerkelijke propositionele fuzzy-logica (inclusief MTL- en Gödel-logica) is het bovenstaande axiomatische systeem degelijk en compleet met betrekking tot de semantiek (dwz (Gamma / models _ { mathrm {L} forall} varphi) iff (Gamma / vdash _ { mathrm {L} forall} varphi) voor elke (Gamma) en elke (varphi); Cintula, Horčík, & Noguera 2014).

De Łukasiewicz-logica van de eerste orde is echter niet recursief axiomatiseerbaar, zoals aangetoond door Scarpellini (1962; Ragaz (1981) bewees dat de reeks tautologieën eigenlijk (Sigma_2) is - compleet in de zin van rekenkundige hiërarchie). Volledigheid kan worden bereikt door een infinitaire inferentieregel op te nemen (Hay 1963) of door de reeks waarheidswaarden te generaliseren (zie volgende sectie). De situatie is nog ingewikkelder in het geval van Hájek's Basic Fuzzy Logic, waar de verzameling van eerste-orde tautologieën van alle structuren die door continue t-normen worden gegeven, net zo complex is als echte rekenkunde (Montagna 2001).

7. Algebraïsche semantiek

Een van de belangrijkste instrumenten bij de studie van fuzzy logic is die van algebraïsche semantiek (zie vermelding op algebraïsche semantiek). Het idee is ruwweg om het echte eenheidinterval te vervangen door een willekeurige set en de connectieven te interpreteren als operaties van overeenkomstige arities op die set.

Een MTL-algebra (geïntroduceerd door Esteva & Godo (2001)) is een tuple ({ mathbf A} = / langle A, &, / to, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline { 1} rangle) waar

• (langle A, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline {1} rangle) is een begrensd rooster
• (langle A, &, / overline {1} rangle) is een commutatieve monoïde
• ((x / to y) vee (y / to x) = / overline {1})
• (x / mathbin { &} y / leq z) iff (x / leq y / tot z) (waarbij (leq) de roostervolgorde is die wordt veroorzaakt door (wedge) of (vee)).

MTL-algebra's zijn een veralgemening van de op t-norm gebaseerde semantiek die hierboven is uitgelegd en bieden een solide en volledige semantiek voor MTL. ^[4]

MTL-ketens zijn die waarvan de roostervolgorde totaal is en ze zijn de basisbouwstenen van de hele klasse van algebra's, in die zin dat elke MTL-algebra kan worden ontleed als een subdirect product van kettingen. Dit impliceert dat de logica ook compleet is met betrekking tot de semantiek van MTL-ketens, die dan wordt gebruikt als de eerste stap in het bewijs van de volledigheid ervan met betrekking tot de op t-norm gebaseerde semantiek (Jenei & Montagna 2002).

Algebraïsche semantiek is een universeel hulpmiddel dat voor elke logica kan worden gebruikt. In het bijzonder kan voor elke willekeurige fuzzy-logica die in de literatuur wordt bestudeerd (zelfs degenen die geen op t-norm gebaseerde semantiek ondersteunen, zoals eindig gewaardeerde fuzzy-logica of de logica van niet-commutatieve uninorms), een overeenkomstige klasse van algebra's worden gevonden die ontleed als subdirecte producten van kettingen. Dit feit heeft Běhounek & Cintula (2006) ertoe gebracht een definitie voor te stellen van fuzzy logics als logica die compleet zijn met betrekking tot totaal geordende algebraïsche structuren.

Het gebruik van algebraïsche semantiek voor logica van de eerste orde levert gewoonlijk een lagere complexiteit op voor het testen van de validiteit of tevredenheid dan standaard semantiek (Montagna & Noguera 2010).

8. Bewijs theorie

Het was een behoorlijke uitdaging om analytische proof-systemen voor fuzzy logics te bedenken. Dit zijn systemen die belangrijke kenmerken gemeen hebben, zoals de eliminatie van bezuinigingen en de eigenschap van de subformule, met Gentzen's opeenvolgende calculi voor klassieke en intuïtionistische logica (zie vermelding over de ontwikkeling van bewijstheorie). Een belangrijke doorbraak is bereikt met de introductie van een zogenaamde hypersequente calculus voor Gödel-Dummett-logica door Arnon Avron (1991). Hypersequente calculi komen voort uit sequente calculi door eindige multisets of sequenties van sequenties, geïnterpreteerd als disjuncties van sequenties, te beschouwen als het belangrijkste doel van gevolgtrekking. In het geval van de logica van Gödel-Dummett heft men de regels van Gentzen's intuïtionistische sequentierekening op door eenvoudig zijhypersequenten toe te voegen aan de bovenste en onderste sequenties. Bijvoorbeeld,de opeenvolgende regel voor het introduceren van disjunctie aan de rechterkant (frac { Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} Gamma_2 / Rightarrow / psi} { Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}] waar (Gamma_1) en (Gamma_2) eindige reeksen formules zijn, wordt de volgende hypersequente regel omgezet: (frac {H / mid / Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} H ' / mid / Gamma_2 / Rightarrow / psi} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}) waarbij (H) en (H') de zij- hypersequents, dwz eindige sequenties of multisets van sequenties. Dit verandert op zichzelf niet de overeenkomstige logica (intuïtionistische logica, in dit geval). De cruciale aanvullende structurele regel is de zogenaamde communicatieregel: (frac {H / mid / Gamma_1, / Pi_1 / Rightarrow / Delta_1 / hspace {3ex} H '\ mid / Gamma_2,\ Pi_2 / Rightarrow / Delta_2} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / Delta_1 / mid / Pi_2, / Pi_2 / Rightarrow / Delta_2}) Hier (Gamma_1, / Gamma_2, / Pi_1, / Pi_2) zijn eindige lijsten met formules; (Delta_1) en (Delta_2) zijn afzonderlijke formules of blijven leeg; (H) en (H ') geven de zij-hypersequenten aan, zoals hierboven.

Om een hypersequente calculus voor de fundamentele fuzzy logic MTL te verkrijgen, moet men de communicatieregel toevoegen aan een opeenvolgend systeem voor een contractievrije versie van intuïtionistische logica. Analysebestendige systemen voor andere fuzzy logica, met name Łukasiewicz-logica, vragen om een radicalere afwijking van traditionele calculi, waarbij de opeenvolgende componenten van hypersequenten anders worden geïnterpreteerd dan intuïtionistische of klassieke sequenties. Er zijn ook zogenaamde gelabelde proefsystemen en verschillende tableau-calculi voorgesteld. Een gedetailleerde presentatie van de overeenkomstige stand van de techniek is te vinden in Metcalfe, Olivetti, & Gabbay 2008 en Metcalfe 2011.

9. Semantiek die waarheidfunctionaliteit rechtvaardigt

Het is niet alleen vanuit filosofisch oogpunt wenselijk, maar ook om meer grip te krijgen op mogelijke toepassingen van fuzzy logics om de betekenis van intermediaire waarheidswaarden en bijbehorende logische connectieven te relateren aan basismodellen van redeneren met vage en onnauwkeurige begrippen. Er is een aantal van dergelijke semantiek geïntroduceerd die bepaalde keuzes van waarheidsfunctionele connectieven trachten te rechtvaardigen. Slechts twee hiervan worden hier kort beschreven.

Stemsemantiek is gebaseerd op het idee dat verschillende agenten (kiezers) dezelfde stelling verschillend kunnen beoordelen. Het percentage agenten dat een propositie (varphi) als waar accepteert, kan als een waarheidswaarde worden beschouwd. Zonder verdere beperkingen leidt dit niet tot een waarheid functionele semantiek, maar eerder tot een toewijzing van waarschijnlijkheden aan proposities. Maar als men aan elke agent een vast niveau van scepsis toekent en een aantal natuurlijke omstandigheden oplegt die de oordelen over logisch complexe uitspraken consistent houden met die niveaus, dan kan men (min), (max) en / herstellen (1-x) als waarheid functioneert respectievelijk voor conjunctie, disjunctie en negatie. Details zijn te vinden in Lawry 1998.

Een ander intrigerend redeneermodel dat een rechtvaardiging biedt voor alle propositionele connectieven van de standaard Łukasiewicz-logica is geïntroduceerd door Giles (1974). Het bestaat uit een spel, waarbij twee spelers, ik en jij, logisch complexe beweringen (formules) systematisch reduceren tot eenvoudiger volgens regels als de volgende:

• Als ik (varphi / lor / psi) beweer, moet ik (varphi) of (psi) bevestigen.
• Als ik beweer (varphi / land / psi), dan kies je een van de conjuncten en moet ik ofwel (varphi) of (psi) bevestigen.
• Als ik beweer (varphi / to / psi), dan moet ik (psi) bevestigen als je (varphi) beweert.

De regels voor gekwantificeerde verklaringen verwijzen naar een vast domein, ervan uitgaande dat er een constant symbool is voor elk domeinelement dat men bepaalt:

• Als ik beweer ((forall x) varphi (x)), dan moet ik (varphi (c)) bevestigen voor een constante (c) die jij hebt gekozen.
• Als ik beweer ((bestaat x) varphi (x)), dan moet ik (varphi (c)) bevestigen voor een constante (c) die ik zelf heb gekozen.

De regels voor uw beweringen zijn tweeledig. Bij elke stand van het spel wordt een optreden van een niet-atomaire formule in ofwel de multiset van huidige beweringen door mij of door jou gekozen en wordt vervangen door subformules, zoals aangegeven door deze regels, totdat alleen atomaire beweringen overblijven. Een uiteindelijke speltoestand wordt dan beoordeeld volgens het volgende weddenschapsschema.

Voor elke atoomformule is er een bijbehorend experiment dat kan mislukken of slagen, maar dispersie kan vertonen, dat wil zeggen dat het bij herhaling verschillende resultaten kan opleveren. Aan elk experiment en dus aan elke atoomformule wordt een vaste faalkans toegekend, de risicowaarde genoemd. De spelers moeten ($) 1 betalen aan de andere speler voor elk van hun atomaire beweringen wanneer de bijbehorende experimenten mislukken. Voor elk spel dat begint met mijn bewering van (varphi) kan worden aangetoond dat mijn verwachte totale verlies aan geld als we allebei rationeel spelen omgekeerd overeenkomt met de waarheidswaarde van (varphi) geëvalueerd in een interpretatie van Łukasiewicz logica die wijst de inverse van de risicowaarden als waarheidswaarden toe aan atoomformules. In het bijzonder is een formule geldig in de logica van Łukasiewicz als en alleen als, voor elke toewijzing van risicowaarden,Ik heb een strategie die garandeert dat mijn verwachte totale verlies aan het einde van het spel (0) of negatief is.

Fermüller & Metcalfe (2009) hebben gewezen op een overeenkomst tussen optimale strategieën in het spel van Giles en cut-free bewijzen in een hypersequent systeem voor Łukasiewicz-logica. Het spel is ook uitgebreid door Fermüller & Roschger (2014) om verschillende soorten (semi-) fuzzy kwantificatoren te karakteriseren, bedoeld om natuurlijke taaluitdrukkingen zoals "ongeveer de helft" of "bijna alles" te modelleren.

Paris (2000) biedt een overzicht van andere semantiek die verschillende keuzes van waarheidsfuncties ondersteunt; in het bijzonder re-randomisatie van semantiek (Hisdal 1988), overeenkomsten-semantiek (bijv. Ruspini 1991), aanvaardbaarheidssemantiek (Parijs 1997) en benaderings-semantiek (Parijs 2000). Laten we ook de op bronnen gebaseerde semantiek van Běhounek (2009) noemen. Bovendien zijn er verschillende vormen van evaluatiespellen voor verschillende fuzzy-logica, naast die van Giles voor Łukasiewicz-logica die hierboven is beschreven. Een overzicht van die semantische spellen is te vinden in Fermüller 2015.

10. Wazige logica en vaagheid

Modelleer redenering met vage predikaten en stellingen wordt vaak aangehaald als de belangrijkste motivatie voor het introduceren van fuzzy logics. Er zijn veel alternatieve theorieën over vaagheid (zie vermelding over vaagheid), maar men is het er algemeen over eens dat de gevoeligheid voor de sorites-paradox (zie vermelding over sorites-paradox) een belangrijk kenmerk is van vaagheid. Beschouw de volgende versie van de paradox:

• (1) (10 ^ {100}) is een enorm aantal.
• (2) Als (n) een enorm aantal is, dan is (n-1) ook enorm.

Op het eerste gezicht lijkt het niet onredelijk om deze twee veronderstellingen te accepteren. Door (n) te instantiëren met (10 ^ {100}) in (2) en modus ponens toe te passen met (1) als de andere premisse, concluderen we dat (10 ^ {100} -1) enorm is. Door eenvoudig dit soort gevolgtrekking te herhalen, komen we tot de onredelijke verklaring

(3) (0) is een enorm aantal

Fuzzy logic suggereert een analyse van de sorites-paradox die de intuïtie respecteert dat bewering (2), hoewel aantoonbaar niet helemaal waar, bijna waar is.

Er zijn verschillende manieren om deze vorm van redeneren te modelleren in op t-norm gebaseerde fuzzy logics die de paradox oplossen. Men zou bijvoorbeeld kunnen verklaren dat elk geval van modus ponens deugdelijk is als de mate van waarheid van de conclusie niet lager is dan die van de sterke samenhang van haar premissen. ^[5]Zoals aangegeven, stelt men dat elke instantie van (2) geldt voor graad (1- / epsilon), voor een heel klein aantal (epsilon). Zelfs als we verklaren (1) volkomen waar te zijn, zou de verklaring dat (10 ^ {100} -1) ook enorm is, dan misschien minder dan volkomen waar zijn zonder de degelijkheid van instantiëren en modus ponens op te offeren. Als bovendien de mate van waarheid van de samenvoeging van twee niet helemaal waar (of niet helemaal onwaar) uitspraken kleiner is dan die van elke conjunct, kunnen we gerust stellen dat die verklaring (3) volkomen onwaar is en toch aandringen op de deugdelijkheid van elke stap in de aangegeven keten van gevolgtrekkingen. Informeel gezien verdwijnt de paradox door aan te nemen dat het herhaaldelijk verlagen van een perfect groot aantal met een klein bedrag leidt tot cijfers waarvan het steeds minder waar is dat ze ook enorm zijn.

Een alternatieve op waarheid gebaseerde oplossing voor de sorites-paradox is voorgesteld door Hájek & Novák (2003). Ze introduceren een nieuwe waarheid, functionele connectieve modellering van de uitdrukking "het is bijna waar dat". Op deze manier formaliseren ze sorites-achtige redenering binnen een axiomatische theorie van een geschikte op t-norm gebaseerde fuzzy logic.

Smith (2008; zie ook 2005) heeft betoogd dat het zogenaamde nabijheidsbeginsel de essentie van vaagheid omvat. Het geeft aan dat uitspraken van dezelfde vorm over niet te onderscheiden objecten dicht bij de waarheid moeten blijven. Het is een kenmerk van veel benaderingen van de paradox die gebruik maken van vage logica dat ze compatibel zijn met dit principe. ^[6]

Bibliografie

Aanvullend document:

Bibliografie gesorteerd op onderwerp

• Aguzzoli, S., Bova, S., en Gerla, B., 2011, "Gratis algebra's en functionele representatie voor fuzzy logics", in P. Cintula, P. Hájek en C. Noguera, (redacteuren), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 2, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 38), London: College Publications, pagina's 713-719.
• Avron, Arnon, 1991, "Hypersequents, Logical Consequence and Intermediate Logics for Concurrency", Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 4 (3–4): 225–248. doi: 10.1007 / BF01531058
• Baaz, Matthias, 1996, "Infinite-gewaardeerde Gödel-logica met 0–1-projecties en relativaties", in Petr Hájek (red.), Gödel'96: Logical Foundations of Mathematics, Computer Science, and Physics (College-aantekeningen in logica, Vol. 6), Brno: Springer, 23-33
• Baaz, M., Hájek, P., Montagna, F., en Veith, H., 2002, "Complexity of T-Tautologies", Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1-3): 3-11.
• Baaz, Matthias en Preining, Norbert, 2011, "Gödel-Dummett Logics", in Cintula, Petr, Petr Hájek en Carles Noguera (eds.), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 2, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 38), London: College Publications, pagina's 585–625.
• Běhounek, Libor, 2009, "Fuzzy Logics Interpreted as Logics of Resources", in Michal Peliš (red.), The Logica Yearbook 2008, London: College Publications, pp. 9–21.
• –––, 2014, "In welk opzicht is fuzzy logica een logica voor vaagheid?", In Lukasiewicz, Thomas, Peñaloza, Rafael en Turhan, Anni-Yasmin, (redactie), PRUV 2014: Logics for Reasoning About Preferences, Uncertainty, en Vagueness, (CEUR Workshop Proceedings, Volume 1205), Dresden: CEUR.
• Běhounek, Libor en Cintula, Petr, 2005, "Fuzzy Class Theory", Fuzzy Sets and Systems, 154 (1): 34-55.
• –––, 2006, "Fuzzy Logics as the Logics of Chains", Fuzzy Sets and Systems, 157 (5): 604–610.
• Běhounek, Libor en Haniková, Zuzana, 2014, "Set Theory and Arithmetic in Fuzzy Logic", in Montagna, Franco, (redacteur), Petr Hájek over Mathematical Fuzzy Logic, (Outstanding Contributions to Logic, Volume 6), Cham: Springer, pagina's 63-89.
• Bělohlávek, R., en Vychodil, V., 2005, Fuzzy Equational Logic, (Studies in Fuzziness and Soft Computing, Volume 186), Berlijn en Heidelberg: Springer.
• Bobillo, F., Cerami, M., Esteva, F., García-Cerdaña, À., Peñaloza, R., en Straccia, U., 2015, "Fuzzy Description Logics", in Cintula, P., Fermüller, CG en Noguera, C., (redacteuren), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 3, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 58), London: College Publications, pagina's 1105–1181.
• Bou, F., Esteva, F., Godo, L., en Rodríguez, RO, 2011, "On the Minimum Many-Valued Modal Logic Over a Finite Residuated Lattice", Journal of Logic and Computation, 21 (5): 739 –790.
• Busaniche, Manuela en Montagna, Franco, 2011, "Hájek's Logic BL and BL-Algebras", in Cintula, Petr, Petr Hájek en Carles Noguera (eds.), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 1, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 37), London: College Publications, pagina's 355-447.
• Ciabattoni, A., Galatos, N., en Terui, K., 2012, "Algebraic Proof Theory for Substructural Logics: Cut-Elimination and Completions", Annals of Pure and Applied Logic, 163 (3): 266–290.
• Caicedo, X. en Rodríguez, RO, 2010, "Standard Gödel Modal Logics", Studia Logica, 94 (2): 189–214.
• Cicalese, F., en Montagna, F., 2015, "Ulam-Rényi Game Based Semantics For Fuzzy Logics", in P. Cintula, CG Fermüller en C. Noguera, (redacteuren), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 3, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 58), London: College Publications, pagina's 1029-1062.
• Cignoli, R., D'Ottaviano, IM, en Mundici, D., 1999, Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning, (Volume 7), Dordrecht: Kluwer.
• Cintula, Petr, 2006, "Weakly impredicative (fuzzy) logics I: Basic properties", Archief voor wiskundige logica, 45 (6): 673–704.
• Cintula, P., Esteva, F., Gispert, J., Godo, L., Montagna, F., en Noguera, C., 2009, "Distinguished Algebraic Semantics for T-Norm Based Fuzzy Logics: Methods and Algebraic Equivalencies", Annals of Pure and Applied Logic, 160 (1): 53–81.
• Cintula, Petr, Christian Fermüller, & Carles Noguera (eds.), 2015, Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, volume 3, (Studies in Logic, vol. 58), London: College Publications.
• Cintula, Petr, Petr Hájek, & Carles Noguera (eds.), 2011a, Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, delen 1 (Studies in Logic, vol. 37), London: College Publications.
• ––– (eds.), 2011b, Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, volume 2 (Studies in Logic, vol. 38), London: College Publications.
• Cintula, Petr, Rostislav Horčík, & Carles Noguera, 2013, "Non-Associative Substructural Logics and their Semilinear Extensions: Axiomatization and Competeness Properties", The Review of Symbolische Logica, 6 (3): 394–423. doi: 10.1017 / S1755020313000099
• –––, 2014, "The Quest for the Basic Fuzzy Logic", in Franco Montagna (red.), Petr Hájek over Mathematical Fuzzy Logic (Outstanding Contributions to Logic, vol. 6), Cham: Springer, pp. 245–290. doi: 10.1007 / 978-3-319-06233-4_12
• Cintula, Petr en Noguera, Carles, 2011, "A General Framework for Mathematical Fuzzy Logic", in Cintula, Petr, Petr Hájek en Carles Noguera (eds.), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 1, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 37), London: College Publications, pagina's 103-207.
• Cintula, P., en Metcalfe, G., 2009, "Structural Completeness in Fuzzy Logics", Notre Dame Journal of Formal Logic, 50 (2): 153–183.
• Dellunde, P., 2012, "Behoud van toewijzingen in fuzzy predicaatlogica", Journal of Logic and Computation, 22 (6): 1367–1389.
• Di Nola, A., en Gerla, G., 1986, "Fuzzy Models of First-Order Languages", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 32 (19–24): 331–340.
• Dummett, Michael, 1959, 'A Propositionele calculus met denumereerbare matrix', Journal of Symbolische logica, 24 (2): 97-106. doi: 10.2307 / 2964753
• Esteva, Francesc, Joan Gispert, Lluís Godo, & Carles Noguera, 2007, "Adding Truth-Constants to Logics of Continuous T-Norms: Axiomatization and Completeness Results", Fuzzy Sets and Systems, 158 (6): 597–618. doi: 10.1016 / j.fss.2006.11.010
• Esteva, Francesc & Lluís Godo, 2001, "Monoidal T-Norm Based Logic: Towards a Logic for Left-Continuous T-Norms", Fuzzy Sets and Systems, 124 (3): 271–288. doi: 10.1016 / S0165-0114 (01) 00098-7
• Esteva, Francesc, Godo, Lluís en García-Cerdaña, gelngel, 2003, "On the Hierarchy of t-norm Based Residuated Fuzzy Logics", in Fitting, Melvin, en Orłowska, Ewa, (redacteuren), Beyond Two: Theory and Toepassingen van meerwaardige logica, (Studies in Fuzziness and Soft Computing, Volume 114), Heidelberg: Springer, pagina's 251–272.
• Esteva, Francesc, Lluís Godo, Petr Hájek, & Mirko Navara, 2000, "Residuated Fuzzy Logics with a Involutive Negation", Archive for Mathematical Logic, 39 (2): 103–124. doi: 10.1007 / s001530050006
• Esteva, Francesc, Godo, Lluís en Marchioni, Enrico, 2011, "Fuzzy Logics with Enriched Language", in Cintula, Petr, Petr Hájek en Carles Noguera (red.), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 2, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 38), London: College Publications, pagina's 627-711.
• Esteva, Francesc, Lluís Godo, & Franco Montagna, 2001, "The (L / Pi) and (L / Pi / frac12) Logics: Two Complete Fuzzy Systems Joining Łukasiewicz and Product Logics", Archive for Mathematical Logic, 40 (1): 39–67. doi: 10.1007 / s001530050173
• –––, 2003, "Axiomatization of Any Residuated Fuzzy Logic Defined by an Continuous T-Norm", in Taner Bilgiç, Bernard De Baets, & Okyay Kaynak (eds.), Fuzzy Sets and Systems: IFSA 2003 (Lezingen in computer Science, vol. 2715), Berlijn / Heidelberg: Springer, pp. 172–179. doi: 10.1007 / 3-540-44967-1_20
• Fedel, M., Hosni, H., en Montagna, F., 2011, "A Logical Characterization of Coherence for Imprecise Probabilities", International Journal of approximate Reasoning, 52 (8): 1147–1170, doi: 10.1016 / j. ijar.2011.06.004.
• Fermüller, Christian G., 2015, "Semantic Games for Fuzzy Logics", in Cintula, Fermüller, & Noguera 2015: 969-1028.
• Fermüller, Christian G. & George Metcalfe, 2009, "Giles's Game and Proof Theory for Łukasiewicz Logic", Studia Logica, 92 (1): 27–61. doi: 10.1007 / s11225-009-9185-2
• Fermüller, Christian G. & Christoph Roschger, 2014, "Randomized Game Semantics for Semi-Fuzzy Quantifiers", Logic Journal van de Interest Group of Pure and Applied Logic, 22 (3): 413–439. doi: 10.1093 / jigpal / jzt049
• Flaminio, T., Godo, L., en Marchioni, E., 2011, "Redeneren over onzekerheid van vage gebeurtenissen: een overzicht", in Cintula, Petr, Fermuller, Christian G., Godo, Lluis en Hájek, Petr, (redactie), Understanding Vagueness: Logical, Philosophical, and Linguistic Perspectives, (Studies in Logic, Volume 36), London: College Publications, pagina's 367–400.
• Flaminio, T., en Kroupa, T., 2015, "States of MV-Algebras", in Cintula, Petr, Christian Fermüller en Carles Noguera (red.), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 3, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 58), London: College Publications, pagina's 1183–1236.
• Font, Josep Maria, 2016, Abstract Algebraic Logic: An Introductory Textbook, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 60), London: College Publications.
• Galatos, Nikolaos, Jipsen, Peter, Kowalski, Tomasz en Ono, Hiroakira, (redactie), 2007, Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics, (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 151), Amsterdam: Elsevier.
• García-Cerdaña, À., Armengol, E., en Esteva, F., 2010, "Fuzzy Description Logics and T-Norm Based Fuzzy Logics", International Journal of approximate reasoning, 51 (6): 632–655.
• Gerla, G., 2001, Fuzzy Logic-Mathematical Tool for benaderend redeneren, (Trends in Logic, Volume 11), New York: Kluwer en Plenum Press.
• Giles, Robin, 1974, 'A Non-Classical Logic for Physics', Studia Logica, 33 (4): 397–415. doi: 10.1007 / BF02123379
• Gödel, Kurt, 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie Der Wissenschaften Wien, 69: 65–66.
• Godo, L., Esteva, F., en Hájek, P., 2000, "Redeneren over waarschijnlijkheid met behulp van Fuzzy Logic", Neural Network World, 10 (5): 811-823, (speciale uitgave over SOFSEM 2000).
• Goguen, Joseph A., 1969, 'The Logic of Inexact Concepts', Synthese, 19 (3–4): 325–373.
• Gottwald, Siegfried, 2001, A Treatise On Many-Valued Logics, (Studies in Logic and Computation, Volume 9), Baldock: Research Studies Press Ltd.
• Hájek, Petr, 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic (Trends in Logic, vol. 4), Dordrecht: Kluwer.
• –––, 2001, “On Very True”, Fuzzy Sets and Systems, 124 (3): 329–333.
• –––, 2005, “Fuzzy Description Logic algemener maken”, Fuzzy Sets and Systems, 154 (1): 1–15.
• Hájek, P., en Cintula, P., 2006, "On Theories and Models in Fuzzy Predicate Logics", Journal of Symbolische Logica, 71 (3): 863–880.
• Hájek, P., en Haniková, Z., 2003, "A Development of Set Theory in Fuzzy Logic", in Fitting, Melvin, en Orłowska, Ewa, (redactie), Beyond Two: Theory and Applications of Multiple-Valued Logic, (Studies in Fuzziness and Soft Computing, Volume 114), Heidelberg: Springer, pagina's 273-285.
• Hájek, P., Montagna, F., & Noguera, C., 2011, "Arithmetical Complexity of First-Order Fuzzy Logics", in Cintula, Petr, Hájek, Petr en Noguera, Carles, (editors), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 2, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 38), London: College Publications, pagina's 853-908.
• Hájek, Petr & Vilém Novák, 2003, "The Sorites Paradox and Fuzzy Logic", International Journal of General Systems, 32 (4): 373–383. doi: 10.1080 / 0308107031000152522
• Háajek, P., Paris, J., en Shepherdson, JC, 2000, "The Liar Paradox and Fuzzy Logic", Journal of Symbolic Logic, 65 (1): 339–346.
• Haniková, Zuzana, 2011, "Computational Complexity of Propositionele Fuzzy Logics", in Cintula, Petr, Hájek, Petr en Noguera, Carles, (redacteuren), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 2, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 38), London: College Publications, pagina's 793–851.
• –––, 2014, “Variëteiten gegenereerd door standaard BL-algebra's”, Order, 31 (1): 15–33. doi: 10.1007 / s11083-013-9285-5
• Hansoul, G. en Teheux, B., 2013, "Uitbreiding van řukasiewicz-logica met een modaliteit: algebraïsche benadering van relationele semantiek", Studia Logica, 101 (3): 505–545, doi: 10.1007 / s11225-012-9396- 9.
• Hay, Louise Schmir, 1963, "Axiomatization of the Infinite-Valued Predicate Calculus", Journal of Symbolic Logic, 28 (1): 77–86. doi: 10.2307 / 2271339
• Hisdal, Ellen, 1988: "Zijn er kansen op lidmaatschap?" Fuzzy Sets and Systems, 25 (3): 325–348. doi: 10.1016 / 0165-0114 (88) 90018-8
• Horčík, Rostislav, 2011, "Algebraic Semantics: Semilinear FL-Algebras", in P. Cintula, P. Hájek en C. Noguera, (redacteuren), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 1, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 37), London: College Publications, pagina's 283-353.
• Horn, Alfred, 1969, "Logic with Truth Values in a Linearly Ordered Heyting Algebra", The Journal of Symbolic Logic, 34 (3): 395–408.
• Jenei, Sándor & Franco Montagna, 2002, "A Proof of Standard Completeness for Esteva and Godo's Logic MTL", Studia Logica, 70 (2): 183–192. doi: 10.1023 / A: 1015122331293
• Jeřábek, E., 2010, "Basis van toelaatbare regels van Łukasiewicz Logic", Journal of Logic and Computation, 20 (6): 1149–1163.
• –––, 2003, “A Proof of Standard Completeness for Non-Commutative Monoidal T-norm Logic”, Neural Network World, 13 (5): 481–489.
• Klement, Erich Peter, Radkos Mesiar, & Endre Pap, 2000, Triangular Norms (Trends in Logic, Volume 8), Dordrecht: Kluwer.
• Lawry, J., 1998, "A Voting Mechanism for Fuzzy Logic", International Journal of approximate reasoning, 19 (3-4): 315-333. doi: 10.1016 / S0888-613X (98) 10013-0
• Leştean, I., en DiNola, A., 2011, "Łukasiewicz Logic and MV-Algebras", in P. Cintula, P. Hájek en C. Noguera, (redacteuren), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 2, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 38), London: College Publications, pagina's 469-583.
• Ling, Cho-Hsin, 1965, "Representation of Associative Functions", Publicationes Mathematicae Debrecen, 12: 189–212.
• Łukasiewicz, januari 1920, 'O Logice Trójwartościowej', Ruch Filozoficzny, 5: 170–171. Engelse vertaling, "On Three-Valued Logic", in Storrs McCall, (editor), 1967, Polish Logic 1920–1939, Oxford: Clarendon Press, pagina's 16–18, en in Jan Łukasiewicz, 1970, Selected Works, L. Borkowski, (redacteur), Amsterdam: Noord-Holland, pagina's 87-88.
• Łukasiewicz, J. & A. Tarski, 1930, "Untersuchungen über den Aussagenkalkül", Comptes Rendus Des Séances de La Société Des Sciences et Des Lettres de Varsovie, Cl. III, 23 (iii): 30-50.
• Marra, V., en Spada, L., 2013, "Dualiteit, projectiviteit en eenwording in řukasiewicz Logic en MV-Algebras", Annals of Pure and Applied Logic, 164 (3): 192–210.
• McNaughton, Robert, 1951, "A Theorem About Infinite-Valued Sentential Logic", Journal of Symbolic Logic, 16 (1): 1–13. doi: 10.2307 / 2268660
• Metcalfe, George, 2011, "Proof Theory for Mathematical Fuzzy Logic", in Cintula, Hájek, & Noguera 2011a: 209–282.
• Metcalfe, George & Franco Montagna, 2007, "Substructural Fuzzy Logics", Journal of Symbolische logica, 72 (3): 834-864. doi: 10.2178 / jsl / 1191333844
• Metcalfe, George, Nicola Olivetti, & Dov M. Gabbay, 2008, Proof Theory for Fuzzy Logics (Applied Logic Series, vol. 36), Dordrecht: Springer Nederland.
• Montagna, Franco, 2001, 'Drie complexiteitsproblemen in gekwantificeerde fuzzy logica', Studia Logica, 68 (1): 143–152. doi: 10.1023 / A: 1011958407631
• Montagna, Franco & Carles Noguera, 2010, "Arithmetical Complexity of First-Order Predicate Fuzzy Logics Over Distinguished Semantics", Journal of Logic and Computation, 20 (2): 399–424. doi: 10.1093 / logcom / exp052
• Montagna, Franco, Noguera, Carles en Horčík, Rostislav, 2006, "On Weakly Cancellative Fuzzy Logics", Journal of Logic and Computation, 16 (4): 423–450.
• Montagna, Franco en Ono, Hiroakira, "Kripke Semantics, Undecidability and Standard Completeness for Esteva and Godo's Logic MTL (forall)", Studia Logica, 71 (2): 227–245.
• Mostert, Paul S. & Allen L. Shields, 1957, "On the Structure of Semigroups on a Compact Manifold with Boundary", The Annals of Mathematics, Second Series, 65 (1): 117–143. doi: 10.2307 / 1969668
• Mundici, D., 1987, & ldauo; Tevredenheid in veel gewaardeerde sentimentele logica is NP-compleet”, Theoretische informatica, 52 (1–2): 145–153.
• –––, 1992, "The Logic of Ulam's Game With Lies", in C. Bicchieri, en M. Dalla Chiara, (redacteuren), Knowledge, Belief, and Strategic Interaction (Castiglioncello, 1989), Cambridge: Cambridge University Press, 275–284.
• –––, 2011, Advanced Łukasiewicz Calculus en MV-Algebras, (Trends in Logic, Volume 35), New York: Springer.
• Novák, V., 2004, "On Fuzzy Type Theory", Fuzzy Sets and Systems, 149 (2): 235–273.
• –––, 2015, "Fuzzy Logic With Evaluated Syntax", in Cintula, Petr, Christian Fermüller en Carles Noguera (eds.), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 3, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 58), Londen: College Publications, pagina's 1063–1104.
• Novák, V., Perfilieva, I., en Močkoř, J., 2000, Mathematical Principles of Fuzzy Logic, Dordrecht: Kluwer.
• Nguyen, Hung T. & Elbert A. Walker, 2005, A First Course in Fuzzy Logic (derde editie), Chapman en Hall / CRC.
• Paris, Jeff B., 1997, 'A Semantics for Fuzzy Logic', Soft Computing, 1 (3): 143–147. doi: 10.1007 / s005000050015
• –––, 2000, "Semantics for Fuzzy Logic Supporting Truth Functionality", in Vilém Novák & Irina Perfilieva (eds.), Discovering the World with Fuzzy Logic (Studies in Fuzziness and Soft Computing. Vol. 57). Heidelberg: Springer, pp. 82-104.
• Pavelka, J., 1979, “On Fuzzy Logic I, II, and III”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 45–52, 119–134 en 447–464.
• Ragaz, Matthias Emil, 1981, Arithmetische Klassifikation von Formelmengen der unendlichwertigen Logik (proefschrift). Zwitsers Federaal Instituut voor Technologie, Zürich. doi: 10.3929 / ethz-a-000226207
• Ross, Timothy J., 2016, Fuzzy Logic with Engineering Applications (vierde editie), Hoboken, NJ: Wiley.
• Ruspini, Enrique H., 1991, "On the Semantics of Fuzzy Logic", International Journal of approximate Reasoning, 5 (1): 45–88. doi: 10.1016 / 0888-613X (91) 90006-8
• Scarpellini, Bruno, 1962, "Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz", Journal of Symbolic Logic, 27 (2): 159–170. doi: 10.2307 / 2964111
• Smith, Nicholas JJ, 2005, 'Vagueness as Closeness', Australasian Journal of Philosophy, 83 (2): 157–183. doi: 10.1080 / 00048400500110826
• –––, 2008, Vagueness and Degrees of Truth, Oxford: Oxford University Press.
• –––, 2015, "Fuzzy Logics in Theories of Vagueness", in Cintula, Petr, Christian Fermüller en Carles Noguera (eds.), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 3, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 58), London: College Publications, pagina's 1237–1281.
• Straccia, U., 1998, "A Fuzzy Description Logic", in Mostow, J., en Rich, C., (redacteuren), Proceedings of the 15th National Conference on Artificial Intelligence (AAAI 1998), Menlo Park: AAAI Press, pagina's 594-599.
• Takeuti, G. en Titani, S., 1984, 'Intuitionistic Fuzzy Logic and Intuitionistic Fuzzy Set Theory', Journal of Symbolische Logica, 49 (3): 851–866.
• Takeuti, G. en Titani, S., 1992, "Fuzzy Logic and Fuzzy Set Theory", Archief voor wiskundige logica, 32 (1): 1–32.
• Vetterlein, T., 2015, "Algebraic Semantics: The Structure of Residuated Chains", in P. Cintula, CG Fermüller en C. Noguera, (redacteuren), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 3, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 58), London: College Publications, pagina's 929-967.
• Zadeh, Lotfi A., 1965, "Fuzzy Sets", Information and Control, 8 (3): 338–353. doi: 10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen