Veelgewaardeerde Logica

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Veelgewaardeerde logica

Voor het eerst gepubliceerd op 25 april 2000; inhoudelijke herziening do 5 maart 2015

Veelgewaardeerde logica's zijn niet-klassieke logica. Ze lijken op klassieke logica omdat ze het principe van waarheid-functionaliteit accepteren, namelijk dat de waarheid van een samengestelde zin wordt bepaald door de waarheidswaarden van de samenstellende zinnen (en dus niet wordt beïnvloed wanneer een van de samenstellende zinnen wordt vervangen door een andere zin met dezelfde waarheidswaarde). Maar ze verschillen van klassieke logica door het fundamentele feit dat ze het aantal waarheidswaarden niet beperken tot slechts twee: ze laten een grotere reeks (W) waarheidsgraden toe.

Net zoals het begrip 'mogelijke werelden' in de semantiek van modale logica opnieuw kan worden geïnterpreteerd (bijvoorbeeld als 'momenten van tijd' in de semantiek van gespannen logica of als 'toestanden' in de semantiek van dynamische logica), bestaat er niet een standaard interpretatie van de waarheidsgraden. Hoe ze moeten worden begrepen, hangt af van het daadwerkelijke toepassingsgebied. Het is echter algemeen gebruik om aan te nemen dat er twee specifieke waarheidsgraden zijn, meestal aangeduid met "0" en "1". Deze specifieke waarheidsgraden werken respectievelijk als de traditionele waarheidswaarden "falsum" en "verum" - maar soms ook als "absoluut onwaar" en "absoluut waar", vooral in gevallen waarin de traditionele waarheidswaarden van klassieke logica "splitsen" in een reeks waarheidsgraden.

Veelgewaardeerde logica's beschouwen hun waarheidsgraden als technische hulpmiddelen en zijn van plan ze geschikt te kiezen voor bepaalde toepassingen. Het is een nogal moeilijk filosofisch probleem om de (mogelijke, niet-technische) aard van dergelijke 'waarheidsgraden' of 'waarheidswaarden' te bespreken. De geïnteresseerde lezer kan de monografie Shramko / Wansing (2011) of de vermelding over waarheidswaarden raadplegen.

De geformaliseerde talen voor systemen van meerwaardige logica (MVL) volgen respectievelijk de twee standaardpatronen voor propositionele en predikaatlogica:

• er zijn propositionele variabelen samen met connectieven en (mogelijk ook) waarheidsgraad constanten in het geval van propositionele talen,
• er zijn objectvariabelen samen met predikaatsymbolen, mogelijk ook objectconstanten en functiesymbolen, evenals kwantoren, connectieven en (mogelijk ook) waarheidsconstanten in het geval van eerste-orde talen.

Zoals gebruikelijk in de logica, vormen deze talen de basis voor zowel semantisch als syntactisch gefundeerde logische systemen.

• 1. Semantiek

  • 1.1 Standaard logische matrices
  • 1.2 Algebraïsche semantiek
  • 1.3 Game Semantics

• 2. Bewijs theorie

  • 2.1 Hilbert type calculi
  • 2.2 Gentzen opeenvolgende calculi
  • 2.3 Tableau calculi

• 3. Systemen van veelgewaardeerde logica

  • 3.1 Łukasiewicz logica
  • 3.2 Gödel-logica
  • 3.3 op t-norm gebaseerde systemen
  • 3.4 Drie-waardige systemen
  • 3.5 Dunn / Belnap's 4-waardevol systeem
  • 3.6 Productsystemen

• 4. Toepassingen van veelgewaardeerde logica

  • 4.1 Toepassingen op taalkunde
  • 4.2 Toepassingen op logica
  • 4.3 Toepassingen op filosofische problemen
  • 4.4 Toepassingen op hardware-ontwerp
  • 4.5 Toepassingen op kunstmatige intelligentie
  • 4.6 Toepassingen op wiskunde
• 5. Geschiedenis van veelgewaardeerde logica

• Bibliografie

  • Monografieën en onderzoeksdocumenten
  • Andere geciteerde werken
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Semantiek

Er zijn drie soorten semantiek voor systemen met veelgewaardeerde logica.

• 1.1 Standaard logische matrices
• 1.2 Algebraïsche semantiek
• 1.3 Game Semantics

We bespreken deze op hun beurt.

1.1 Standaard logische matrices

De meest geschikte manier om een systeem (bS) van veelwaardige logica te definiëren, is door de karakteristieke logische matrix voor zijn taal vast te stellen, dat wil zeggen:

• de reeks waarheidsgraden,
• de waarheidsgraad functies die de propositionele connectieven interpreteren,
• de betekenis van de constanten van de waarheidsgraad,
• de semantische interpretatie van de kwantoren,

en bovendien

• de aangewezen waarheidsgraden, die een subset vormen van de set van waarheidsgraden en fungeren als vervangers van de traditionele waarheidswaarde "verum",
• en af en toe ook anti-aangewezen waarheidsgraden, die een subset vormen van de set van waarheidsgraden en fungeren als vervangers van de traditionele waarheidswaarde "falsum".

Een goedgevormde formule (A) van een propositionele taal geldt als geldig onder een bepaalde waardering (alpha) (die de set van propositionele variabelen in kaart brengt in de set van waarheidsgraden) als het een aangewezen waarheidsgraad heeft onder (alpha). En (A) is logisch geldig of een tautologie als het onder alle taxaties geldig is.

In het geval van een eerste-orde taal, telt een dergelijke goedgevormde formule (A) als geldig onder een interpretatie (alpha) van de taal als deze een aangewezen waarheidsgraad heeft onder deze interpretatie en alle opdrachten van objecten uit het discours van deze interpretatie naar de objectvariabelen. (A) geldt als logisch geldig als het onder alle interpretaties geldig is.

Zoals in de klassieke logica, moet een dergelijke interpretatie voorzien

• een (niet leeg) discoursuniversum,
• de betekenis van de objectconstanten van de taal,
• de betekenis van de predicaatletters en de functiesymbolen van de taal.

Een model van een set (Sigma) van goedgevormde formules is een waardering (alpha) of een interpretatie (alpha) zodat alle (A) ∈ (Sigma) geldig onder (alpha). Dat (Sigma) inhoudt (A) betekent dat elk model van (Sigma) ook een model is van (A).

1.2 Algebraïsche semantiek

Er is een tweede type semantiek voor systemen (bS) van veelgewaardeerde logica die is gebaseerd op een hele karakteristieke klasse (bK) van (vergelijkbare) algebraïsche structuren. Elke dergelijke algebraïsche structuur moet alle gegevens leveren die moeten worden geleverd door een karakteristieke logische matrix voor de taal van (bS).

Het begrip geldigheid van een formule (A) met betrekking tot een algebraïsche structuur uit (bK) wordt gedefinieerd alsof deze structuur een logische matrix zou vormen. En logische validiteit betekent hier validiteit voor alle structuren van de klasse (bK).

Het type algebraïsche structuren dat zo'n kenmerkende klasse (bK) vormt voor een systeem (bS) van MVL, kan gewoonlijk afkomstig zijn van twee verschillende bronnen. Een eerste bron kan worden bepaald door extralogische overwegingen die een dergelijke klasse van algebraïsche structuren onderscheiden. Als een systeem (bS) van MVL echter syntactisch of door een enkele karakteristieke matrix wordt bepaald, wordt zo'n klasse van algebraïsche structuren vaak bepaald door de (syntactische of semantische) Lindenbaum-algebra van (bS), en speelt in zo'n geval vaak ook een cruciale rol binnen een algebraïsche volledigheidsbewijs. De algebraïsche structuren in (bK) hebben een vergelijkbare rol voor (bS) als de Booleaanse algebra's voor klassieke logica.

Voor bepaalde systemen van MVL heeft men bijvoorbeeld de volgende karakteristieke klassen van algebraïsche structuren:

• voor oneindig gewaardeerde Łukasiewicz-logica de klasse van MV-algebra's,
• voor oneindig gewaardeerde Gödel-logica de klasse van alle Heyting-algebra's die bovendien voldoen aan prelineariteit ((x / rightarrow y) cup (y / rightarrow x) = 1,)
• voor Hajek's basis t-norm logica BL de klasse van alle t-algebra's, dat wil zeggen al die algebraïsche structuren die worden gevormd door het reële eenheidinterval samen met een links-continue t-norm (T) en hun residuatie-operatie (I_ {T}) gedefinieerd als (I_ {T} (x, y) = / sup {z / mid T (x, z) le y }.)

Voor de eerste twee van deze voorbeelden heeft men historisch de logica bepaald door een karakteristieke matrix, en de corresponderende klasse van later algebraïsche structuren. Voor het derde voorbeeld is de situatie anders: BL is ontworpen om de logica te zijn van alle continue t-normen, en uit deze extralogische benadering werd de klasse van alle deelbare geregenereerde roosters gevonden die voldoen aan prelineariteit.

Vanuit filosofisch oogpunt zou het echter meestal de voorkeur hebben om een semantische basis te hebben voor een MVL-systeem dat gebruik maakt van een enkele karakteristieke logische matrix. Maar vanuit formeel oogpunt zijn beide benaderingen even belangrijk en de algebraïsche semantiek blijkt de meer algemene benadering te zijn.

1.3 Game Semantics

Er zijn verschillende manieren waarop logica en games met elkaar in verband kunnen worden gebracht. Dialogische logica biedt bijvoorbeeld een speltheoretische semantiek voor zowel klassieke als intuïtionistische logica: een formule geldt als geldig als een voorstander die zegt dat deze formule een winnende strategie heeft over mogelijke aanvallen die een tegenstander mag realiseren.

In het kader van de relatie tussen fuzzy sets en veelgewaardeerde logica, bood Robin Giles een benadering voor een spelgeoriënteerde kijk op logische validiteit. Vanaf 1975 stelde hij in een reeks artikelen Giles (1975, 1976, 1979) en opnieuw in Giles (1988) een algemene behandeling van redeneren met vage predikaten voor door middel van een formeel systeem gebaseerd op een gemakkelijke dialooginterpretatie. Hij had deze dialooginterpretatie al gebruikt in andere artikelen, zoals Giles 1974, die gaat over subjectief geloof en de grondslagen van de natuurkunde. Het belangrijkste idee is om "een zin een overtuiging weer te geven door deze concreet uit te drukken in de vorm van een weddenschap". De weddenschap betreft de daadwerkelijke resultaten van dispersieve experimenten met verschillende mogelijke resultaten met bekende waarschijnlijkheid. In deze setting wordt een "zin (psi) geacht te volgen uit zinnen (phi_ {1}, / ldots, / phi_ {n}) net wanneer hij die de weddenschappen accepteert (phi_ {1 }, / ldots, / phi_ {n}) kunnen tegelijkertijd wedden (psi) zonder angst voor verlies”.

De op deze manier verkregen (formele) taal is nauw verwant aan Łukasiewicz's oneindig gewaardeerde logica (rL _ { infty}): in feite vallen de twee systemen samen als men aan een zin (phi) de waarheidswaarde toekent (1- / langle / phi / rangle), met (langle / phi / rangle) voor de risicowaarde van het beweren van (phi). En hij voegt er zelfs de opmerking aan toe 'dat Łukasiewicz-logica met deze dialooginterpretatie precies geschikt is voor de formulering van de' fuzzy set theory 'die voor het eerst werd beschreven door LA Zadeh (1965); het is inderdaad niet te veel om te beweren dat (rL _ { infty}) gerelateerd is aan de fuzzy set theory, net zoals klassieke logica gerelateerd is aan de gewone set theory.”

Verschillende versies en generalisaties van deze dialoogspellen zijn recent bestudeerd. Verschillende aspecten van deze ontwikkelingen worden besproken, bijvoorbeeld in Fermüller (2008) en Fermüller / Roschger (2014). Dergelijke benaderingen kunnen niet alleen spelsemantiek bieden voor bijvoorbeeld Gödel-logica en productlogica. Er zijn ook bruggen die dergelijke spellen verbinden met het ontwerp van opeenvolgende berekeningen voor logica met een grote waarde, vgl. Fermüller / Metcalfe (2009).

Er is ook een ander type dialoogspellen met betrekking tot (m) - gewaardeerde Łukasiewicz-logica: een voorstander vraagt om informatie en de antwoordende tegenstander mag maximaal (m) keer liegen. Dergelijke 'Ulam-spellen met leugens' zijn geïntroduceerd door Mundici (1992).

2. Bewijs theorie

De belangrijkste soorten logische berekeningen zijn allemaal beschikbaar voor systemen van MVL:

• 2.1 Hilbert type calculi
• 2.2 Gentzen opeenvolgende calculi
• 2.3 Tableau calculi

Sommige van de bovenstaande opties zijn echter alleen beschikbaar voor eindig gewaardeerde systemen. De huidige stand van de techniek voor een brede klasse van oneindig gewaardeerde logica wordt gepresenteerd in Metcalfe / Olivetti / Gabbay (2009).

2.1 Hilbert type calculi

Deze calculi worden op dezelfde manier gevormd als de corresponderende calculi voor klassieke logica: sommige axioma's worden gebruikt samen met een reeks inferentieregels. Het begrip afleiding is de gebruikelijke.

2.2 Gentzen opeenvolgende calculi

Naast de gebruikelijke soorten opeenvolgende calculi zijn onderzoekers recentelijk ook begonnen met het bespreken van 'hypersequente' calculi voor systemen van MVL. Hypersequents zijn eindige multisets, dwz eindige ongeordende lijsten met gewone sequenties.

Voor eindig gewaardeerde systemen, in het bijzonder (m) - gewaardeerde systemen, zijn er ook sequentierekeningen die werken met gegeneraliseerde sequenties. In het geval met (m) - waarde zijn dit reeksen lengtes (m) van formulesets.

2.3 Tableau calculi

De boomstructuur van de tableaus blijft in deze calculi hetzelfde als in de tableau calculi voor klassieke logica. De labels van de knooppunten worden meer algemene objecten, namelijk ondertekende formules. Een ondertekende formule is een paar, bestaande uit een teken en een goedgevormde formule. Een teken is een waarheidsgraad of een reeks waarheidsgraden.

Tableau calculi met ondertekende formules zijn meestal beperkt tot eindig gewaardeerde systemen van MVL, zodat ze op een effectieve manier kunnen worden afgehandeld.

3. Systemen van veelgewaardeerde logica

De belangrijkste systemen van MVL komen vaak voor als families die bestaan uit uniform gedefinieerde eindig gewaardeerde en oneindig gewaardeerde systemen. Hier is een lijst:

• 3.1 Łukasiewicz logica
• 3.2 Gödel-logica
• 3.3 op t-norm gebaseerde systemen
• 3.4 Drie-waardige systemen
• 3.5 Dunn / Belnap's 4-waardevol systeem
• 3.6 Productsystemen

3.1 Łukasiewicz logica

De systemen (rL_ {m}) en (rL _ { infty}) worden gedefinieerd door de logische matrix die ofwel een eindige set heeft

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} mid 0 / le k / le m - 1 })

van rationals binnen het reële eenheidinterval, of het gehele eenheidinterval

[W _ { infty} = [0,1] = {x / in / Re / mid 0 / le x / le 1 })

zoals de waarheid is ingesteld. De graad 1 is de enige aangewezen waarheidsgraad.

De belangrijkste verbindingen van deze systemen zijn een sterke en een zwakke conjunctie, (amp) en (wedge), respectievelijk gegeven door de functies van de waarheidsgraad

begin {align} u / amp v & = / max {0, u + v-1 }, \\ u / wedge v & = / min {u, v }, / end {align}

een negatie connectief (neg) bepaald door

(neg u = 1-u,)

en een implicatie connectief (rightarrow) met de waarheidsgraad functie

[u / rightarrow v = / min {1, 1-u + v }.)

Vaak worden ook twee disjunctieverbindingen gebruikt. Deze worden gedefinieerd in termen van respectievelijk (amp) en (wedge), via de gebruikelijke wetten van de Morgan met (neg). Voor de Łukasiewicz-systemen van de eerste orde voegt men twee kwantoren (forall) toe, (existeert) zodanig dat de waarheidsgraad van (forall xH (x)) het minimum is van alle relevante waarheidsgraden van (H (x)), en dat de waarheidsgraad van (bestaat xH (x)) het supremum is van alle relevante waarheidsgraden van (H (x)).

3.2 Gödel-logica

De systemen (rG_ {m}) en (rG _ { infty}) worden gedefinieerd door de logische matrix die ofwel een eindige set heeft

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} mid 0 / le k / le m - 1 })

van rationals binnen het reële eenheidinterval, of het gehele eenheidinterval

[W _ { infty} = [0,1] = {x / in / Re / mid 0 / le x / le 1 })

zoals de waarheid is ingesteld. De graad 1 is de enige aangewezen waarheidsgraad.

De belangrijkste connectieven van deze systemen zijn een voegwoord (wedge) en een disjunctie (vee) bepaald door de functies van de waarheidsgraad

begin {align} u / wedge v & = / min {u, v }, \\ u / vee v & = / max {u, v }, / end {align}

een implicatie connectief (rightarrow) met de waarheidsgraad functie

	(u / rightarrow v)
(u / le v)	1
(u / gt v)	(v)

en een negatie connectief (sim) met de waarheidsgraad functie

	({ sim} u)
(u = 0)	1
(u / ne 0)	0

Voor de Gödel-systemen van de eerste orde voegt men twee kwantoren (voorall), (bestaat) zodanig toe dat de waarheidsgraad van (forall xH (x)) het infimum is van alle relevante waarheidsgraden van (H (x)), en dat de waarheidsgraad van (bestaat xH (x)) het supremum is van alle relevante waarheidsgraden van (H (x)).

3.3 op t-norm gebaseerde systemen

Voor oneindig gewaardeerde systemen met een waarheidsgraad

[W _ { infty} = [0,1] = {x / in / Re / mid 0 / le x / le 1 })

de invloed van de fuzzy set theory sinds het midden van de jaren tachtig leidde tot de studie van een hele klasse van dergelijke systemen van MVL.

Deze systemen worden in principe bepaald door een (mogelijk niet-idempotente) sterke conjunctieve connectiviteit (amp _ { rT}) die als corresponderende waarheidsgraad functie een t-norm (rT) heeft, dwz een binaire operatie (rT) in het eenheidinterval dat associatief, commutatief, niet-aflopend is en graad 1 als neutraal element heeft:

begin {align} & / rT (u, / rT (v, w)) = / rT (rT (u, v), w), \& / rT (u, v) = / rT (v, u), \& u / le v / rightarrow / rT (u, w) le / rT (v, w), \& / rT (u, 1) = u. / end {align}

Voor al die t-normen die de sup-conserverende eigenschap hebben

(rT (u, { sup} _ {i} v_ {i}) = { sup} _ {i} rT (u, v_ {i}),)

er is een standaardmanier om een gerelateerde implicatie connective (rightarrow _ { rT}) te introduceren met de functie voor waarheidsgraden

[u / rightarrow _ { rT} v = / sup {z / mid / rT (u, z) le v }.)

Deze implicatieve implicatie is verbonden met de t-norm (rT) door de cruciale voorwaarde van afstemming

(rT (u, v) le w / Leftrightarrow u / le (v / rightarrow _ { rT} w),)

die (rightarrow _ { rT}) uniek bepaalt voor elke (rT) met superbehoudseigenschap.

De taal is verder verrijkt met een ontkenning verbindend, (-_ { rT}), bepaald door de functie van de waarheidsgraad

[-_ { rT} u = u / rightarrow _ { rT} 0.)

Dit dwingt de taal om ook een waarheidsgraadconstante (uO) te hebben om de waarheidsgraad 0 aan te geven, omdat dan (-_ { rT}) een definieerbare connectiviteit wordt.

Gewoonlijk voegt men als twee verdere verbindingen een (zwakke) conjunctie (wedge) en een disjunctie (vee) met waarheidsgraadfuncties toe.

begin {align} u / wedge v & = / min {u, v }, \\ u / vee v & = / max {u, v }, / end {align}

Voor t-normen die continue functies zijn (in de standaard zin van continuïteit voor echte functies van twee variabelen) worden deze aanvullende connectieven zelfs definieerbaar. Geschikte definities zijn

begin {align} min {u, v } & = / rT (u, (u / rightarrow _ { rT} v)), \\ / max {u, v } & = / min { ((u / rightarrow _ { rT} v) rightarrow _ { rT} v), ((v / rightarrow _ { rT} u) rightarrow _ { rT} u) }. / end {align}

Bijzondere gevallen van dergelijke aan t-norm gerelateerde systemen zijn de oneindig gewaardeerde Łukasiewicz- en Gödel-systemen (rL _ { infty}), (rG _ { infty}) en ook de productlogica met het gebruikelijke rekenkundige product als basis t-norm.

Analytisch gezien is hun superbehoudseigenschap voor een t-norm (rT) de linkercontinuïteit van deze binaire functie (rT), dwz de eigenschap die elk van de unaire functies heeft (rT_ {a} (x) = / rT (a, x)) is continu links. En de continuïteit van zo'n t-norm T kan worden gekarakteriseerd door de algebraïsche deelbaarheidsvoorwaarde

[u / amp _ { rT} (u / rightarrow _ { rT} v) = u / wedge v.)

De klasse van alle t-normen is erg groot en tot nu toe niet echt goed begrepen. Zelfs voor die t-normen die de sup-conserverende eigenschap hebben, is het structurele begrip verre van volledig, maar veel beter als voor het algemene geval: een bespreking van de recente stand van de techniek wordt gegeven door Jenei (2004). Voldoende begrepen is slechts de verdere subklasse van continue t-normen: ze zijn mooi samengesteld uit isomorfe kopieën van de Łukasiewicz t-norm, de product t-norm en de Gödel t-norm, dwz de min-operatie, zoals uitgelegd bijvoorbeeld in Gottwald (2001).

In feite is men in staat om op t-norm gebaseerde systemen te axiomatiseren voor een aantal specifieke klassen van t-normen. Als fundamenteel resultaat heeft Hájek (1998) een axiomatisering gegeven van de logica BL van alle continue t-normen. Naast de eerder genoemde algebraïsche semantiek heeft deze logica, zoals verondersteld door Hajek en bewezen in Cignoli / Esteva / Godo / Torrens (2000), als een andere algebraïsche semantiek de klasse van alle op t-norm gebaseerde structuren waarvan de t-norm een continue functie is. Op basis van dit werk vermoedden Esteva en Godo (2001) een axiomatisatie voor de logische MTL van alle t-normen die de superconserverende eigenschap hebben, en Jenei / Montagna (2002) bewees dat dit echt een adequate axiomatisatie is. En Esteva / Godo / Montagna (2004) bieden een methode om de logica van elke enkele continue t-norm te axiomatiseren:ze bieden een algoritme dat voor elke specifieke continue t-norm (rT) een eindige lijst van axioma-schema's geeft die, indien toegevoegd aan de logica BL van alle continue t-normen, een adequate axiomatisatie van de specifieke t-norm opleveren gebaseerde logica voor (rT).

De axiomatisering van verdere op t-norm gebaseerde systemen, evenals de vraag naar op t-norm gebaseerde kwantificatoren, zijn recente onderzoeksproblemen. De belangrijkste focus wordt gelegd door de volgende twee aspecten die betrekking hebben op aanpassingen van het expressieve vermogen van deze op t-norm gebaseerde systemen: (i) versterking van deze expressibiliteit door systemen te vormen met extra negatie-operatoren of met meerdere op t-norm gebaseerde conjunctie-operaties; (ii) aanpassingen van deze uitdrukkingsbaarheid, bv. door de waarheidsgraadconstante (uO) uit de taal te verwijderen, maar een implicatie toe te voegen die verband houdt met de basiswoordenschat, en (iii) generalisaties die de basis-t-normen wijzigen in niet-commutatieve “Pseudo-t-normen” en leiden zo tot logica met niet-commutatieve conjunctieve verbindingen. Gottwald / Hájek (2005), Gottwald (2008) hebben enquêtes naar die ontwikkelingen gegeven.en Cintula / Hájek (2010).

Een bijna volledige presentatie van de stand van zaken in 2011 is de monografie Cintula / Hájek / Noguera (2011). En de bijzondere bijdragen van P. Hájek aan deze ontwikkelingen worden geëerd in het boek Montagna (2015).

3.4 Drie-waardige systemen

3-gewaardeerde systemen lijken bijzonder eenvoudige gevallen te zijn die intuïtieve interpretaties van de waarheidsgraden bieden; deze systemen omvatten naast de klassieke waarheidswaarden slechts één bijkomende graad.

De wiskundige en logicus Kleene gebruikte een derde waarheidsgraad voor 'ongedefinieerd' in de context van partiële recursieve functies. Zijn connectieven waren de ontkenning, de zwakke conjunctie en de zwakke disjunctie van het drievoudige Łukasiewicz-systeem samen met een definieerbare conjunctie (wedge _ {+}) en een definieerbare implicatie (rightarrow _ {+}) bepaald door waarheidsgraad werkt met de volgende functietabellen (deze laatste hebben waarheidsgraad ½ als een van hun bestanddelen waarheidsgraad ½ heeft):

(wedge _ {+})	0	½	1
0	0	½	0
½	½	½	½
1	0	½	1

(rightarrow _ {+})	0	½	1
0	1	½	1
½	½	½	½
1	0	½	1

Hier is ½ de derde waarheidsgraad "ongedefinieerd". In dit Kleene-systeem is graad 1 de enige aangewezen waarheidsgraad.

Blau (1978) gebruikte een ander systeem als inherente logica van natuurlijke taal. In Blau's systeem zijn zowel graden 1 als ½ aangewezen. Andere interpretaties van de derde waarheidsgraad ½, bijvoorbeeld als "zinloos", "onbepaald" of "paradoxaal", motiveerden de studie van andere 3-waardige systemen.

3.5 Dunn / Belnap's 4-waardevol systeem

Dit bijzonder interessante systeem van MVL was het resultaat van onderzoek naar relevantie-logica, maar heeft ook betekenis voor informatica-toepassingen. De ingestelde waarheidsgraad kan worden genomen als

[W ^ * = { varnothing, { bot }, { top }, { bot, / top } },)

en de waarheidsgraden worden geïnterpreteerd als aanduiding (bijv. met betrekking tot een databasequery voor een bepaalde stand van zaken) die er is

• geen informatie over deze stand van zaken,
• informatie dat de stand van zaken mislukt,
• informatie die zegt dat de stand van zaken zich voordoet,
• tegenstrijdige informatie die zegt dat de stand van zaken zowel goed als fout is.

Deze reeks waarheidsgraden heeft twee natuurlijke (rooster) ordeningen:

• een waarheidsvolgorde die ({ top }) bovenop de onvergelijkbare graden (varnothing), ({ bot, / top }) heeft en ({ bot }) aan de onderkant; d.w.z,

  

• een informatie (of: kennis) ordening die ({ bot, / top }) heeft bovenop de onvergelijkbare graden ({ bot }, { top }), en heeft (varnothing) onderaan; d.w.z,

  

Gezien de inf en de sup onder de volgorde van de waarheid, zijn er waarheidsgraadfuncties voor een conjunctie en een disjunctieve connectief. Een ontkenning wordt op natuurlijke wijze bepaald door een waarheidsgraadfunctie die de graden ({ bot }) en ({ top }) uitwisselt en de graden ({verlaat) bot, / top }) en (varnothing) opgelost.

Er is eigenlijk geen standaardkandidaat voor een connectieve implicatie en de keuze van de aangewezen waarheidsgraden hangt af van de beoogde toepassingen:

• voor informatica-toepassingen is het normaal dat ({ top }) de enige aangewezen graad is,
• voor toepassingen op relevantie-logica bleek de keuze van ({ top }), ({ bot, / top }) als aangewezen graden voldoende.

De keuze van geschikte gevolgrelaties is nog steeds een open onderzoeksthema.

Dit vierwaardige systeem heeft een interessante interpretatie in de context van informatiebanken die zijn opgeslagen in een computer die werd uitgelegd door Belnap (1977). Een meer recente veralgemening door Shramko / Wansing (2005) naar kennisbanken in computernetwerken leidt tot 16 gewaardeerde systemen, die bijvoorbeeld ook door Odintsov (2009) worden bestudeerd.

Deze 16 gewaardeerde systemen zijn ook vanuit filosofisch oogpunt interessant en uitgebreid gepresenteerd in de monografie Shramko / Wansing (2011).

3.6 Productsystemen

Het algemene probleem van het vinden van een intuïtief begrip van de waarheidsgraden heeft af en toe een mooie oplossing: men kan ze beschouwen als verschillende aspecten van de evaluatie van zinnen. In een dergelijk geval van bijvoorbeeld (k) verschillende aspecten kunnen de waarheidsgraden worden gekozen als (k) - tupels van waarden die de afzonderlijke aspecten evalueren. (En dit kunnen bijvoorbeeld standaardwaarheidswaarden zijn.)

De waarheidsgraad functioneert over zulke (k) - tupels kan bovendien "componentgewijs" worden gedefinieerd vanuit waarheidsgraad (of: waarheidswaarde) functies voor de waarden van de afzonderlijke componenten. Op deze manier kunnen (k) logische systemen worden gecombineerd tot één veelwaardig productsysteem.

Op deze manier kunnen de waarheidsgraden van het 4-gewaardeerde systeem van Dunn / Belnap worden beschouwd als een evaluatie van twee aspecten van een stand van zaken (SOA) met betrekking tot een database:

1. of er positieve informatie is over de waarheid van deze SOA of niet, en
2. of er positieve informatie is over de onwaarheid van deze SOA of niet.

Beide aspecten kunnen standaardwaarheidswaarden gebruiken voor deze evaluatie.

In dit geval zijn de conjunctie, disjunctie en negatie van het 4-waardige systeem van Dunn / Belnap componentgewijs te definiëren door respectievelijk conjunctie, disjunctie of negatie van klassieke logica, dwz dit 4-waardige systeem is een product van twee kopieën van klassieke tweewaardige logica.

4. Toepassingen van veelgewaardeerde logica

Veelgewaardeerde logica werd deels ingegeven door filosofische doelen die nooit werden bereikt, en deels door formele overwegingen met betrekking tot functionele volledigheid. In de beginjaren van de ontwikkeling veroorzaakte dit enige twijfel over het nut van MVL. Ondertussen werden echter op diverse terreinen interessante toepassingen gevonden. Enkele hiervan zullen nu worden genoemd.

• 4.1 Toepassingen op taalkunde
• 4.2 Toepassingen op logica
• 4.3 Toepassingen op filosofische problemen
• 4.4 Toepassingen op hardware-ontwerp
• 4.5 Toepassingen op kunstmatige intelligentie
• 4.6 Toepassingen op wiskunde

4.1 Toepassingen op taalkunde

Een uitdagend probleem is de behandeling van vooronderstellingen in de taalkunde, dat wil zeggen van aannames die slechts impliciet zijn in een bepaalde zin. Zo heeft bijvoorbeeld de zin "De huidige koning van Canada werd geboren in Wenen" de existentiële vooronderstelling dat er een huidige koning van Canada is.

Het is niet eenvoudig om de propositionele behandeling van dergelijke zinnen te begrijpen, bijvoorbeeld om criteria te geven voor het vormen van hun ontkenning, of om de ware voorwaarden van implicaties te begrijpen.

Eén type oplossing voor deze problemen verwijst naar het gebruik van vele waarheidsgraden, bijvoorbeeld naar productsystemen met geordende paren als waarheidsgraden: wat betekent dat hun componenten parallel evalueren of aan de vooronderstelling is voldaan en of de zin waar of onwaar is. Maar ook drievoudige benaderingen zijn besproken.

Een ander type ideeën voor het gebruik van MVL-tools in de taalkunde bestaat uit benaderingen voor het modelleren van natuurlijke taalverschijnselen. Basisideeën en enkele toepassingen worden bijvoorbeeld aangeboden in Novák / Perfilieva / Močkoř (1999) en Novák (2008).

4.2 Toepassingen op logica

Een eerste type toepassing van MVL-systemen op de logica zelf is om ze te gebruiken om een beter begrip te krijgen van andere logische systemen. Op deze manier ontstonden de Gödel-systemen vanuit een benadering om te testen of intuïtionistische logica kan worden begrepen als een eindig gewaardeerde logica. De introductie van MVL-systemen door Łukasiewicz (1920) werd in eerste instantie geleid door het (uiteindelijk niet succesvolle) idee om het begrip mogelijkheid, dwz modale logica, op een drievoudige manier te begrijpen.

Een tweede type toepassing op de logica is het samenvoegen van verschillende soorten logische systemen, bijvoorbeeld het formuleren van systemen met graduele modaliteiten. Melvin Fitting (1991/92) overweegt systemen die dergelijke modaliteiten definiëren door modale en veelgewaardeerde logica samen te voegen met beoogde toepassingen voor problemen van kunstmatige intelligentie.

Een derde type toepassing op de logica is het modelleren van partiële predikaten en waarheidslacunes. Dit is echter alleen mogelijk voor zover deze hiaten in de waarheidswaarde zich 'waarheid functioneel' gedragen, dwz voor zover het gedrag van de leemten in de waarheidswaarde in samengestelde zinnen kan worden beschreven door geschikte waarheidsfuncties. (Dit is niet altijd het geval, bijvoorbeeld niet in formuleringen die gebruik maken van supervaluaties.)

4.3 Toepassingen op filosofische problemen

Hoe de betekenis van 'waarheid' te begrijpen is een oud filosofisch probleem. Een logische benadering van dit probleem bestaat erin een geformaliseerde taal (L) te verrijken met een waarheidspredikaat (T), toe te passen op zinnen van (L) - of, nog beter, toe te passen op zinnen van de extensie (L_ {T}) van (L) met het predicaat (T).

Op basis van dit idee werd halverwege de jaren dertig een redelijke theorie van dergelijke talen ontwikkeld die waarheidspredikaten bevatten, door A. Tarski. Een van de resultaten was dat zo'n taal (L_ {T}), die zijn eigen waarheidspredikaat (T) bevat en een zekere rijkdom aan expressieve kracht heeft, noodzakelijkerwijs inconsistent is.

Een andere benadering van dergelijke talen (L_ {T}) die hun eigen waarheidspredikaat (T) bevatten, werd aangeboden door S. Kripke (1975) en is in wezen gebaseerd op het idee om (T) als een gedeeltelijk te beschouwen predikaat, dat wil zeggen als een predikaat met "waarheidswaarde hiaten". In een geval dat Kripke (1975) overweegt, gedragen deze gaten in de waarheidswaarde zich 'waarheid functioneel' en kunnen ze dus worden behandeld als een derde waarheidsgraad. Hun voortplanting in samengestelde zinnen wordt dan beschreven door geschikte waarheidsgraadfuncties van drievoudige systemen. In Kripke's (1975) benadering ging het om drie-waardige systemen die SC Kleene (1938) had overwogen in de (wiskundige) context van partiële functies en predikaten in de recursietheorie.

Een tweede toepassing van MVL inside-filosofie is op de oude paradoxen zoals de Sorites (hoop) of de falakros (kale man). (Zie de vermelding Sorites-paradox.) In het geval van de Sorites is de paradox als volgt:

(i) Een zandkorrel is geen hoop zand. En (ii) het toevoegen van één zandkorrel aan iets dat geen hoop is, verandert het niet in een hoop. Daarom (iii) kan een enkele zandkorrel nooit in een hoop zand veranderen, ongeacht hoeveel zandkorrels eraan worden toegevoegd.

Dus de ware premisse (i) geeft een verkeerde conclusie (iii) via een reeks gevolgtrekkingen met (ii). Een nogal natuurlijke oplossing binnen een uitbreiding van MVL met een gradueel begrip van gevolgtrekking, vaak fuzzy logic genoemd, is om het begrip hoop als een vaag begrip te beschouwen, dat wil zeggen als een idee dat voor bepaalde objecten alleen geldt voor bepaalde (waarheid) mate. Bovendien is het geschikt om premisse (ii) als slechts gedeeltelijk waar te beschouwen, maar in een mate die vrij dicht bij de maximale graad 1 ligt. Elke afzonderlijke afleidingsstap heeft de vorm:

• (a) (k) zandkorrels vormen geen hoop.
• (ii) Het toevoegen van één zandkorrel aan (k) korrels maakt van ((k + 1)) korrels geen hoop.
• Vandaar
• (b) ((k + 1)) zandkorrels vormen geen hoop.

Deze gevolgtrekking moet echter betrekking hebben op waarheidsgraden voor de premissen (a) en (ii) en moet een waarheidsgraad opleveren voor de conclusie (b). Het cruciale idee voor het modelleren van dit type redenering binnen MVL is om ervoor te zorgen dat de waarheidsgraad voor (b) kleiner is dan de waarheidsgraad voor (a) in het geval dat de waarheidsgraad voor (ii) kleiner is dan de maximale. In feite maken de zin (n) zandkorrels geen hoop dat ze vals zijn voor een toenemend aantal (n) korrels.

4.4 Toepassingen op hardware-ontwerp

Klassieke propositionele logica wordt gebruikt als een technisch hulpmiddel voor de analyse en synthese van sommige soorten elektrische circuits die zijn opgebouwd uit "schakelaars" met twee stabiele toestanden, namelijk spanningsniveaus. Een vrij eenvoudige generalisatie maakt het gebruik van een (m) - gewaardeerde logica mogelijk om circuits te bespreken die zijn opgebouwd uit vergelijkbare "schakelaars" met (m) stabiele toestanden. Dit hele toepassingsgebied van veelwaardige logica wordt veelwaardige (of zelfs: fuzzy) schakelen genoemd. Een goede introductie is Epstein (1993).

4.5 Toepassingen op kunstmatige intelligentie

AI is eigenlijk het meest veelbelovende toepassingsgebied, dat een reeks verschillende gebieden biedt waarin systemen van MVL zijn gebruikt.

Een eerste toepassingsgebied betreft vage begrippen en gezond verstand, bijvoorbeeld in expertsystemen. Beide onderwerpen zijn gemodelleerd via fuzzy sets en fuzzy logic en deze verwijzen naar geschikte systemen van MVL. Ook in databases en in op kennis gebaseerde systemen slaat men graag vage informatie op.

Een tweede toepassingsgebied is sterk verbonden met deze eerste: de automatisering van data- en kennismining. Hierbij komen clustermethoden in aanmerking; deze verwijzen via onscherpe clusters naar fuzzy sets en MVL. In deze context is men ook geïnteresseerd in geautomatiseerde theoretische bewijstechnieken voor systemen van MVL, evenals in methodes van logische programmering voor systemen van MVL. Onderdeel van deze trend is de recente ontwikkeling van gegeneraliseerde beschrijvingslogica's, de zogenaamde fuzzy description logics, waarmee technische hulpmiddelen (waarheidsgraden, connectieven, gegradeerde predikaten) uit het veld van MVL kunnen worden opgenomen in - vanuit het oogpunt van volledige eerste-orde logica: rudimentair - systemen van logica, zogenaamde beschrijvingslogica, zie Straccia (2001), Hájek (2005), Stoilos et al. (2008).

4.6 Toepassingen op wiskunde

Er zijn drie hoofdonderwerpen binnen de wiskunde die verband houden met veelgewaardeerde logica. De eerste is de wiskundige theorie van fuzzy sets en de wiskundige analyse van 'fuzzy', of benaderend redeneren. In beide gevallen verwijst men naar systemen van MVL. Het tweede onderwerp was de aanpak van consistentieproeven voor verzamelingenleer met behulp van een geschikt MVL-systeem. En er is een - vaak slechts impliciete - verwijzing naar de basisideeën van MVL in onafhankelijkheidsbewijzen (bijvoorbeeld voor systemen van axioma's) die vaak verwijzen naar logische matrices met meer dan twee waarheidsgraden. Hier is MVL echter meer een puur technisch hulpmiddel, omdat men in deze onafhankelijkheidsverklaringen helemaal niet geïnteresseerd is in een intuïtief begrip van de waarheidsgraden.

5. Geschiedenis van veelgewaardeerde logica

De logica en filosoof Łukasiewicz (1920), die veel waarde hechtte aan logica als een apart onderwerp, werd als eerste ontwikkeld in Polen. Zijn eerste bedoeling was om een derde, aanvullende waarheidswaarde te gebruiken voor "mogelijk", en op deze manier de modaliteiten "het is noodzakelijk dat" en "het is mogelijk dat" te modelleren. Deze beoogde toepassing op de modale logica is niet uitgekomen. De uitkomst van deze onderzoeken zijn echter de Łukasiewicz-systemen en een reeks theoretische resultaten met betrekking tot deze systemen.

In wezen parallel aan de Łukasiewicz-benadering, introduceerde de Amerikaanse wiskundige Post (1921) het basisidee van aanvullende waarheidsgraden en paste het toe op problemen met de representeerbaarheid van functies.

Later probeerde Gödel (1932) de intuïtionistische logica te begrijpen in termen van vele waarheidsgraden. Het resultaat was de familie van Gödel-systemen, met als resultaat dat intuïtionistische logica geen karakteristieke logische matrix heeft met slechts eindig veel waarheidsgraden. Enkele jaren later construeerde Jaskowski (1936) een oneindig gewaardeerde karakteristieke matrix voor intuïtionistische logica. Het lijkt er echter op dat de waarheidsgraden van deze matrix geen prettige en eenvoudige intuïtieve interpretatie hebben.

Een filosofische toepassing van drievoudige logica op de discussie over paradoxen werd voorgesteld door de Russische logicus Bochvar (1938), en een wiskundige naar partiële functie en relaties door de Amerikaanse logicus Kleene (1938). Veel later werden de connectieven van Kleene ook filosofisch interessant als technisch hulpmiddel om vaste punten in de door Kripke (1975) geïnitieerde herzieningstheorie van waarheid te bepalen.

De jaren vijftig zagen (i) een analytische karakterisering van de klasse van waarheidsgraadfuncties die definieerbaar zijn in het oneindig gewaardeerde propositionele Łukasiewicz-systeem door McNaughton (1951), (ii) een volledigheidsbewijs voor hetzelfde systeem door Chang (1958, 1959) en introduceerde het begrip van MV-algebra en een meer traditionele van Rose / Rosser (1958), en (iii) een volledigheidsbewijs voor het oneindig gewaardeerde propositionele Gödel-systeem van Dummett (1959). In de jaren vijftig werd Skolem (1957) ook benaderd om de consistentie van de verzamelingenleer te bewijzen op het gebied van oneindig gewaardeerde logica.

In de jaren zestig maakte Scarpellini (1962) duidelijk dat het one-order one-gewaardeerde Łukasiewicz-systeem van de eerste orde niet (recursief) axiomatiseerbaar is. Zowel Hay (1963) als Belluce / Chang (1963) bewezen dat de toevoeging van één infinitaire inferentieregel leidt tot een axiomatisatie van (rL _ { infty}). En Horn (1969) presenteerde een volledigheidsbewijs voor oneindig gewaardeerde Gödel-logica van de eerste orde. Naast deze ontwikkelingen binnen pure meerwaardige logica, startte Zadeh (1965) een (toepassingsgerichte) benadering van de formalisering van vage begrippen door gegeneraliseerde verzamelingenleer, die al snel door Goguen (1968/69) in verband werd gebracht met filosofische toepassingen, en die inspireerde later ook veel theoretische overwegingen binnen MVL.

De jaren zeventig markeren een periode van beperkte activiteit in pure veelgewaardeerde logica. Er was echter veel werk op het nauw verwante gebied van (computerwetenschappelijke) toepassingen van vage begrippen die waren geformaliseerd als fuzzy sets, bijvoorbeeld geïnitieerd door Zadeh (1975, 1979). En er was een belangrijke uitbreiding van MVL door een gradueel begrip van gevolgtrekking en gevolg in Pavelka (1979).

In de jaren tachtig bleven fuzzy sets en hun toepassingen een hot topic dat om theoretische grondslagen vroeg met methoden van veelgewaardeerde logica. Bovendien waren er de eerste complexiteitsresultaten, bijvoorbeeld met betrekking tot de reeks logisch geldige formules in one-order one-stop gewaardeerde Łukasiewicz-logica van de eerste orde, door Ragaz (1983). Mundici (1986) startte een diepere studie van MV-algebra's.

Deze trends zetten zich voort sinds de jaren tachtig. Onderzoek omvatte toepassingen van MVL op fuzzy set theory en hun toepassingen, gedetailleerd onderzoek van algebraïsche structuren met betrekking tot systemen van MVL, de studie van gegradeerde noties van vervulling en onderzoeken naar complexiteitsproblemen voor verschillende problemen in systemen van MVL. Dit onderzoek werd aangevuld met interessant werk op het gebied van bewijstheorie, geautomatiseerde stellingstelling, verschillende toepassingen in kunstmatige intelligentie en door een gedetailleerde studie van oneindig gewaardeerde systemen op basis van t-normen - die nu vaak (wiskundige) fuzzy logics worden genoemd.

Bibliografie

Monografieën en onderzoeksdocumenten

• Ackermann, R., 1967, An Introduction to Many-Valued Logics, London: Routledge en Kegan Paul.
• Bolc, L. en Borowik, P., 1992, Many-Valued Logics (1. Theoretical Foundations), Berlin: Springer.
• –––, 2003, Many-Valued Logics (2. geautomatiseerd redeneren en praktische toepassingen), Berlin: Springer.
• Cignoli, R., d'Ottaviano, I. en Mundici, D., 2000, Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning, Dordrecht: Kluwer.
• Cintula, P. en Hájek, P., 2010, op driehoekige normen gebaseerde predikaat fuzzy logica, Fuzzy Sets and Systems, 161 (3): 311–346.
• Cintula, P., Hájek, P. en Noguera Ch. (eds.), 2011, Handbook of Mathematical Fuzzy Logic (Studies in Logic, Volumes 37–38), College Publications: London.
• Epstein G., 1993, Multiple-Valued Logic Design, Bristol: Institute of Physics Publishing.
• Fitting, M. en Orlowska, E. (red.), 2003, Beyond Two, Heidelberg: Physica Verlag.
• Gottwald, S., 1999, Veelgewaardeerde logica en fuzzy set-theorie, in U. Höhle, SE Rodabaugh (red.) Wiskunde van Fuzzy Sets: Logic, Topology, and Measure Theory (The Handbooks of Fuzzy Sets Series), Boston: Kluwer, 5–89.
• –––, 2001, A Treatise on Many-Valued Logics (Studies in Logic and Computation, vol. 9), Baldock: Research Studies Press Ltd.
• –––, 2007, Veelgewaardeerde logica, in D. Jacquette (red.) Philosophy of Logic (Handbook of the Philosophy of Science Series), Amsterdam: Noord-Holland, 675–722.
• –––, 2008, Mathematical fuzzy logics, Bulletin Symbolische logica, 14: 210–239.
• Gottwald, S. en Hájek, P., 2005, op T-norm gebaseerde wiskundige fuzzy logica, in E.-P. Klement, R. Mesiar (red.), Logische, algebraïsche, analytische en probabilistische aspecten van driehoeksnormen, Dordrecht: Elsevier, 275–299.
• Hähnle, R., 1993, Automated Deduction in Multiple-Valued Logics, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1999, Tableaux voor veelgewaardeerde logica, in M. d'Agostino et al. (red.) Handbook of Tableau Methods, Dordrecht: Kluwer, 529–580.
• –––, 2001, Advanced logs met vele waarden, in D. Gabbay, F. Guenthner (red.), Handbook of Philosophical Logic (Volume 2), 2e ed., Dordrecht: Kluwer, 297–395.
• Hájek, P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic, Dordrecht: Kluwer.
• Karpenko, AS, 1997, Mnogoznacnye Logiki (Logika i Kompjuter, vol. 4), Moskou: Nauka.
• Malinowski, G., 1993, Many-Valued Logics, Oxford: Clarendon Press.
• Metcalfe, G., Olivetti, N. en Gabbay, D., 2009, Proof Theory for Fuzzy Logics, New York: Springer.
• Montagna, F. (red.), 2015, Petr Hájek over Mathematical Fuzzy Logic (Outstanding Contributions to Logic, vol. 6), Cham etc.: Springer.
• Novák, V., Perfilieva, I. en Močkoř, J., 1999, Mathematical Principles of Fuzzy Logic, Boston: Kluwer.
• Panti, G., 1998, Logica met meerdere waarden, in P. Smets (red.) Quantified Representation of Uncertainty and Imprecision (Handbook of Defeasible Reasoning and Uncertainty Management Systems, Vol. 1), Dordrecht: Kluwer, 25–74.
• Rescher, N., 1969, Many-Valued Logic, New York: McGraw Hill.
• Rine, DC (red.), 1977, Computer Science and Multiple Valued Logic, Amsterdam: Noord-Holland [2e rev. red. 1984].
• Rosser, JB en Turquette, AR, 1952, Many-Valued Logics, Amsterdam: Noord-Holland.
• Shramko, Y. en Wansing H., 2011, Truth and Falsehood. Een onderzoek naar gegeneraliseerde logische waarden (trends in logica: volume 36), Dordrecht enz.: Springer.
• Urquhart, A., 2001, Basic veelgewaardeerde logica, in D. Gabbay, F. Guenthner (red.), Handbook of Philosophical Logic, Vol. 2 (2e editie), Dordrecht: Kluwer, 249–295.
• Wojcicki, R. en Malinowski, G. (red.), 1977, Selected Papers on Łukasiewicz Sentential Calculi, Wroclaw: Ossolineum.
• Wolf, RG, 1977, A survey of many-valued logic (1966–1974), in JM Dunn, G. Epstein (eds.), Modern Uses of Multiple-Valued Logic, Dordrecht: Reidel, 167–323.
• Zinovev, AA, 1963, Philosophical Problems of Many-Valued Logic, Dordrecht: Reidel.

Andere geciteerde werken

• Belluce, LP en Chang, CC, 1963, een zwakke volledigheidsstelling voor oneindig gewaardeerde eerste-orde logica, Journal Symbolic Logic, 28: 43–50.
• Belnap, ND, 1977, How a computer should think, in G. Ryle (red.), Contemporary Aspects of Philosophy, Stockfield: Oriel Press, 30-56.
• –––, 1977, Een bruikbare vierwaardige logica, in JM Dunn, G. Epstein (red.), Modern Uses of Multiple-Valued Logic, Dordrecht: Reidel, 8–37.
• Blau, U., 1978, Die dreiwertige Logik der Sprache: ihre Syntax, Semantik und Anwendung in der Sprachanalyse, Berlin: de Gruyter.
• Bochvar, DA, 1938, Ob odnom trechznacnom iscislenii i ego primenenii k analizu paradoksov klassiceskogo rassirennogo funkcional'nogo iscislenija, Matematiceskij Sbornik, 4 (46): 287–308. [Engelse vertaling: Bochvar, DA, Op een drievoudige logische calculus en de toepassing ervan op de analyse van de paradoxen van de klassieke uitgebreide functionele calculus, Geschiedenis en filosofie van de logica, 2: 87-112.]
• Chang, CC, 1958, algebraïsche analyse van veel gewaardeerde logica, Transactions American Mathematical Society, 88: 476–490.
• –––, 1959, Een nieuw bewijs van de volledigheid van de Łukasiewicz-axioma's, Transactions American Mathematical Society, 93: 74–80.
• Cignoli, R., Esteva, F., Godo, L. en Torrens, A., 2000, Basic Fuzzy Logic is de logica van continue t-normen en hun residu, Soft Computing, 4: 106–112.
• Dummett, M., 1959, A propositionele calculus met denumereerbare matrix, Journal Symbolische logica, 24: 97-106.
• Dunn, JM, 1976, intuïtieve semantiek voor eerstegraadsuitgaven en 'gekoppelde bomen', Philosophical Studies, 29: 149–168.
• Esteva, F. en Godo, L., 2001, Monoidale op t-norm gebaseerde logica: naar een logica voor links-continue t-normen, Fuzzy Sets and Systems, 124: 271–288.
• Esteva, F., Godo, L. en Montagna, F., 2004, Equationele karakterisering van de subvariëteiten van BL gegenereerd door t-normalgebra's, Studia Logica, 76: 161-200.
• Fermüller, CG, 2008, Dialoogspellen voor veelgewaardeerde logica's - een overzicht, Studia Logica, 90: 43–68.
• Fermüller, CG en Metcalfe, G., 2009, het spel van Giles en de bewijstheorie van Łukasiewicz-logica, Studia Logica, 92: 27–61.
• Fermüller, CG en Roschger, C., 2014, From games to truth functions: a generalization of Giles's game, Studia Logica, 102: 389–410.
• Fitting, MC, 1991/92, Veelgewaardeerde modale logica (I, II), Fundamenta Informaticae, 15: 235–254; 17: 55–73.
• Giles, R., 1974, A non-classic logic for physics, Studia Logica, 33: 397–415.
• –––, 1975. Łukasiewicz logica en fuzzy verzamelingenleer. In: Proceedings 1975 Internat. Symposium Multiple-Valued Logic (Indiana Univ., Bloomington / IN)}, Long Beach / CA: IEEE Computer Soc., 197–211.
• –––, 1976, Łukasiewicz logica en fuzzy verzamelingenleer. Internat. Journ. Man-Machine Studies, 8: 313–327.
• –––, 1979, een formeel systeem voor vaag redeneren. Fuzzy Sets and Systems, 2: 233–257.
• Giles, R., 1988, Het concept van lidmaatschapsgraad. Fuzzy Sets and Systems, 25: 297–323.
• Gödel, K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien (Math.-naturwiss. Klasse), 69: 65–66; - herdrukt: (1933), Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, 4: 40.
• Goguen, JA, 1968–69, De logica van onnauwkeurige concepten, Synthese, 19: 325–373.
• Hájek, P., 2005, Fuzzy description logic algemener maken, Fuzzy Sets and Systems, 154: 1–15.
• Hájek, P. en Zach, R., 1994, Review of Many-Valued Logics 1: Theoretical Foundations, door Leonard Bolc en Piotr Borowik, Journal of Applied Non-Classical Logics, 4 (2): 215–220.
• Hay, LS, 1963, Axiomatization van de oneindig gewaardeerde predikaatrekening, Journal Symbolische logica, 28: 77–86.
• Jaskowski, S., 1936, Recherches sur le système de la logique intuitioniste, in Actes du Congrès Internationale de Philosophie Scientifique 1936, vol. 6, Parijs, 58-61. [Engelse vertaling: Studia Logica, 34 (1975): 117–120.]
• Jenei, S., 2004, Hoe links-continue driehoekige normen te construeren - state of the art, Fuzzy Sets and Systems, 143: 27–45.
• Jenei, S. en Montagna, F., 2002, Een bewijs van standaard volledigheid van de MTL van Esteva en Godo, Studia Logica, 70: 183–192.
• Kleene, SC, 1938, Op notatie voor rangnummers, Journal Symbolische logica, 3: 150–155.
• Kripke, SA, 1975, Outline of a theory of truth, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
• Łukasiewicz, J., 1920, O logice trojwartosciowej, Ruch Filozoficny, 5: 170–171. [Engelse vertaling in: Łukasiewicz (1970).]
• –––, 1970, Selected Works, L. Borkowski (red.), Amsterdam: Noord-Holland en Warschau: PWN.
• McNaughton, R., 1951, een stelling over oneindig gewaardeerde sentimentele logica, Journal Symbolic Logic, 16: 1–13.
• Mundici, D., 1986, Interpretation of AF C * -algebras in Łukasiewicz sentential calculus, J. Functional Analysis, 65: 15–63.
• –––, 1992, De logica van Ulam's spel met leugens, in: C. Bicchieri en ML dalla Chiara (red.) Kennis, overtuiging en strategische interactie, Cambridge: Cambridge Univ. Druk op, 275–284.
• Novák, V., 2008, Een formele theorie van intermediaire kwantoren, Fuzzy Sets and Systems, 159: 1229–1246.
• Odintsov, SP, 2009, On axiomatizing Shramko-Wansing's Logic, Studia Logica, 91: 407–428.
• Post, EL, 1920, Bepaling van alle gesloten waarheidstabellen, Bulletin American Mathematical Society, 26: 437.
• –––, 1921, Inleiding tot een algemene theorie van elementaire proposities, American Journal Mathematics, 43: 163–185.
• Ragaz, M., 1983, Die Unentscheidbarkeit der einstelligen unendlichwertigen Prädikatenlogik, Archiv mathematische Logik Grundlagenforschung, 23: 129–139.
• Rose, A. en Rosser, JB, 1958, Fragments of many-gewaardeerde statement calculi, Transactions American Mathematical Society, 87: 1–53.
• Scarpellini, B., 1962, Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz, Journal Symbolic Logic, 27: 159–170.
• Shramko, Y. en Wansing H., 2005, Enkele nuttige 16-waardige logica. Hoe een computernetwerk zou moeten denken, Journal Philosophical Logic, 34: 121–153.
• Skolem, Th., 1957, Bemerkungen zum Komprehensionsaxiom, Zeitschrift mathematische Logik Grundlagen Mathematik, 3: 1–17.
• Stoilos, G. Stamou, G., Pan, JZ, Tzouvaras, V. en Horrocks, I., 2007, Redenering met zeer expressieve fuzzy description logics, J. Artificial Intelligence Res, 30: 273–320.
• Straccia, U. (2001), Redenering binnen fuzzy description logics, J. Artificial Intelligence Res, 14: 137–166.
• White, RB, 1979, De consistentie van het axioma van begrip in de oneindig gewaardeerde predicaatlogica van Łukasiewicz, J. Philosophical Logic, 8: 509–534.
• Wronski, A., 1987, Opmerkingen over een overzichtsartikel over veel gewaardeerde logica door A. Urquhart, Studia Logica, 46: 275–278.
• Zadeh, LA, 1965, Fuzzy sets, Information and Control, 8: 338-353.
• –––, 1975, Fuzzy logic en benadering bij benadering, Synthese, 30: 407–428.
• –––, 1978, Fuzzy stelt als basis voor een mogelijkheidstheorie, Fuzzy Sets and Systems, 1: 3–28.
• –––, 1979, Een theorie van benaderend redeneren, in JE Hayes, D. Michie, LI Mikulich (red.), Machine Intelligence 9. New York: Halstead Press, 149–194.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

• IEEE CS Technical Committee on Multiple-Valued Logic, Yutaka Hata, bulletin editor.
• Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing, Dan A. Simovici en Ivan Stojmenovic, hoofdredacteuren.