Paraconsistente Logica

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Paraconsistente logica

Voor het eerst gepubliceerd op 24 september 1996; inhoudelijke herziening vr 18 mei 2018

Volgens de hedendaagse logische orthodoxie volgt alles vanuit tegenstrijdige premissen. Een logische gevolgrelatie is explosief als volgens deze willekeurige conclusie (B) wordt afgeleid door een willekeurige tegenstrijdigheid (A), (neg A) (ex contradictione quodlibet (ECQ)). Klassieke logica, en ook de meeste standaard 'niet-klassieke' logica zoals intuïtionistische logica, is explosief. Inconsistentie kan volgens de ontvangen wijsheid niet coherent worden beredeneerd.

Paraconsistente logica daagt deze orthodoxie uit. Een logische gevolgrelatie zou paraconsistent zijn als deze niet explosief is. Dus als een gevolgrelatie paraconsistent is, dan explodeert de gevolgrelatie zelfs niet in omstandigheden waarin de beschikbare informatie inconsistent is, niet in trivialiteit. Zo past paraconsistente logica inconsistentie op een gecontroleerde manier toe die inconsistente informatie als potentieel informatief behandelt.

Het voorvoegsel 'para' in het Engels heeft twee betekenissen: 'quasi' (of 'vergelijkbaar met, gemodelleerd op') of 'daarbuiten'. Toen de term 'paraconsistent' werd bedacht door Miró Quesada tijdens de derde Latijns-Amerikaanse conferentie over wiskundige logica in 1976, schijnt hij de eerste betekenis in gedachten te hebben gehad. Veel paraconsistente logici hebben er echter van uitgegaan dat het de tweede is, die verschillende redenen opleverde voor de ontwikkeling van paraconsistente logica, zoals we hieronder zullen zien.

Paraconsistente logica wordt negatief gedefinieerd: elke logica is paraconsistent zolang ze niet explosief is. Dit betekent dat er geen enkele reeks open problemen of programma's is in paraconsistente logica. Als zodanig is deze vermelding geen volledig overzicht van paraconsistente logica. Het doel is om enkele filosofisch opvallende kenmerken van een divers veld te beschrijven.

• 1. Paraconsistentie

  • 1.1 Dialetheïsme
  • 1.2 Een korte geschiedenis van ex contradictione quodlibet
  • 1.3 Moderne geschiedenis van paraconsistente logica

• 2. Motivaties

  • 2.1 Inconsistentie zonder trivialiteit

    • 2.1.1 Niet-triviale theorieën
    • 2.1.2 Ware tegenstrijdigheden
    • 2.1.3 Taalkunde

  • 2.2 Kunstmatige intelligentie

    • 2.2.1 Geautomatiseerd redeneren
    • 2.2.2 Herziening van overtuigingen

  • 2.3 Formele semantiek en verzamelingenleer

    • 2.3.1 Waarheidstheorie
    • 2.3.2 Theorie instellen
    • 2.3.3 Wiskunde in het algemeen
  • 2.4 Rekenen en stelling van Gödel
  • 2.5 Vaagheid

• 3. Systemen van paraconsistente logica

  • 3.1 Discussieve logica
  • 3.2 Niet-aanvullende systemen
  • 3.3 Preservationisme
  • 3.4 Adaptieve logica
  • 3.5 Logica van formele inconsistentie
  • 3.6 Veelgewaardeerde logica
  • 3.7 Relevante logica
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Paraconsistentie

Een logica is paraconsistent als de logische consequentie-relatie ((vDash), semantisch of bewijstheoretisch) niet explosief is. Paraconsistentie is een eigenschap van een gevolgrelatie. Het argument ex contradictione quodlibet (ECQ) is paraconsistent ongeldig: in het algemeen is het niet zo dat (A), (neg A / vDash B).

De rol die het begrip consistentie in de orthodoxe logica vaak speelt, namelijk de meest basale vereiste waaraan elke theorie moet voldoen, wordt versoepeld tot het begrip coherentie: geen enkele theorie kan elke zin bevatten als deze als houdbaar moet worden beschouwd. Eenvoudige consistentie van een theorie (geen tegenstrijdigheden) is een speciaal geval van absolute consistentie of niet-trivialiteit (niet elke zin maakt deel uit van de theorie). Zoals we hieronder zullen zien, valideren veel paraconsistente logica de wet van non-contradictie (LNC), (vDash / neg (A / wedge / neg A)), hoewel ze ECQ ongeldig maken.

Afgezien van de fundamentele, definitieve vereiste dat een paraconsistente consequentrelatie niet-explosief is, is er een enorme divergentie van paraconsistente logica. In dit ontwikkelingsstadium, tot ver in de eenentwintigste eeuw, lijkt het redelijk om te zeggen dat 'paraconsistentie' niet één bepaalde benadering van logica onderscheidt, maar eerder een eigenschap is die sommige logica's hebben en andere niet (zoals bijvoorbeeld, compactheid of meerdere conclusies).

1.1 Dialetheïsme

In de literatuur, vooral in het deel dat bezwaren bevat tegen paraconsistente logica, bestaat de neiging om paraconsistentie te verwarren met dialetheïsme, de opvatting dat er echte tegenstrijdigheden zijn (zie de vermelding over dialetheïsme). De opvatting dat een consequent verband paraconsistent moet zijn, houdt niet in dat er echte tegenstrijdigheden zijn. Paraconsistentie is een eigenschap van een consequentieverhouding, terwijl dialetheïsme een kijk op waarheid is. Het feit dat men een niet-explosieve consequentieverhouding kan definiëren, betekent niet dat sommige zinnen waar zijn. Het feit dat men een model kan construeren waar een tegenstrijdigheid bestaat, maar niet elke zin van de taal (of waar dit het geval is in een bepaalde wereld), betekent niet dat de tegenstrijdigheid op zich waar is. Daarom moet paraconsistentie worden onderscheiden van dialetheïsme (hoewel zie Asmus 2012).

Als dialetheïsme coherent moet zijn, dan moet de logica van een dialethiest paraconsistent zijn. Dialetheïsme is de opvatting dat sommige tegenstellingen waar zijn, wat een andere stelling is van 'trivialisme', de opvatting dat alles (inclusief elke tegenstrijdigheid) waar is. Een paraconsistente logicus voelt misschien een zekere aantrekkingskracht voor dialetheïsme, maar de meeste paraconsistente logica's zijn geen 'dialetheïsche' logica. In een bespreking van paraconsistente logica, is de primaire focus niet de verkrijgbaarheid van tegenstellingen, maar het explosieve karakter van een gevolgrelatie.

1.2 Een korte geschiedenis van ex contradictione quodlibet

Het is nu standaard om ex contradictione quodlibet als geldig te beschouwen. Deze hedendaagse visie moet echter in een historisch perspectief worden geplaatst. Het was tegen het einde van de negentiende eeuw, toen de studie van de logica wiskundige articulatie bereikte, dat een explosieve logische theorie de standaard werd. Met het werk van logici als Boole, Frege, Russell en Hilbert werd klassieke logica het orthodoxe logische verslag.

In de oudheid lijkt echter niemand de geldigheid van ECQ te onderschrijven. Aristoteles presenteerde wat soms het connexieve principe wordt genoemd: "het is onmogelijk dat hetzelfde nodig is door het zijn en door het niet-zijn van hetzelfde" (Prior Analytic II 4 57b3). (Connexieve logica is recentelijk nieuw leven ingeblazen door Wansing; zie de vermelding over connexieve logica die is ontwikkeld op basis van dit principe.) Dit principe werd een onderwerp van debat in de middeleeuwen of middeleeuwse tijd. Hoewel de middeleeuwse debatten lijken te zijn gevoerd in de context van conditionals, kunnen we het ook zien als debatten over gevolgen. Het principe werd overgenomen door Boethius (480–524 of 525) en Abelard (1079–1142), die twee verklaringen van gevolgen overwogen. De eerste is een bekende:het is onmogelijk dat de premissen waar zijn, maar de conclusie is onjuist. Het eerste verslag lijkt dus op het hedendaagse begrip van behoud van waarheid. De tweede is de laatste tijd minder geaccepteerd: de zin van het pand bevat die van de conclusie. Dit account, zoals in relevante logica's, staat geen gevolgtrekking toe waarvan de conclusie willekeurig is. Abelard was van mening dat het eerste verslag niet voldoet aan het samenhangende beginsel en dat het tweede verslag (het verslag van insluiting) het beginsel van Aristoteles bevatte. Abelard was van mening dat het eerste verslag niet voldoet aan het samenhangende beginsel en dat het tweede verslag (het beheersingsverslag) het beginsel van Aristoteles bevatte. Abelard was van mening dat het eerste verslag niet voldoet aan het samenhangende beginsel en dat het tweede verslag (het beheersingsverslag) het beginsel van Aristoteles bevatte.

Abelards positie werd in de jaren 1130 door Alberic van Parijs geconfronteerd met een probleem. De meeste middeleeuwse logici lieten het validiteitsverslag echter niet los op basis van insluiting of iets dergelijks (zie bijvoorbeeld Martin 1987). Maar een manier om met de moeilijkheid om te gaan, is door het samenhangende principe te verwerpen. Deze aanpak, die de meest invloedrijke is geworden, werd door de volgelingen van Adam Balsham of Parvipontanus aanvaard (of ook wel bekend als Adam van The Little Bridge [12 ^ste eeuw]). De Parvipontanianen omarmden het waarheidsbehoud van de gevolgen en de 'paradoxen' die ermee samenhangen. In feite was het een lid van de Parvipontaniërs, Willem van Soissons, die in de twaalfde eeuw ontdekte wat we nu het CI Lewis (onafhankelijke) argument voor ECQ noemen (zie Martin 1986).

De insluitingsrekening verdween echter niet. John Duns Scotus (1266–1308) en zijn volgelingen accepteerden de insluitingsrekening (zie Martin 1996). De Keulse School van de late vijftiende eeuw verzette zich tegen ECQ door disjunctief syllogisme te verwerpen (zie Sylvan 2000).

In de geschiedenis van de logica in Azië bestaat de neiging (bijvoorbeeld in jaina en boeddhistische tradities) om de mogelijkheid te overwegen dat verklaringen zowel waar als onwaar zijn. Bovendien is de ontwikkeld door de grote boeddhistische logicians logica, Dignāga (5 ^e eeuw) en Dharmakirti (7 ^e eeuw) niet EK- omarmen. Hun logische relaas is in feite gebaseerd op de 'doordringing' (Skt: vyāpti, Tib: khyab pa) relatie tussen de elementen van een argument. Net als het insluitingsverslag van Abelard, moet er een nauwere verbinding zijn tussen de premissen en de conclusie dan het waarheidsgetrouwe verslag toelaat. Voor de logica van Dharmakīrti en de daaropvolgende ontwikkeling, zie bijvoorbeeld Dunne 2004 en Tillemans 1999.

1.3 Moderne geschiedenis van paraconsistente logica

In de twintigste eeuw kwamen bij verschillende mensen op verschillende tijden en plaatsen onafhankelijk van elkaar alternatieven voor een explosief verslag met logische gevolgen voor. Ze waren vaak ingegeven door verschillende overwegingen. De vroegste paraconsistente logica in de huidige tijd lijkt te zijn gegeven door twee Russen. Vanaf ongeveer 1910 stelde Vasil'év een gewijzigde aristotelische syllogistiek voor, inclusief verklaringen in de vorm: (S) is zowel (P) als niet (P). In 1929 gaf Orlov de eerste axiomatisering van de relevante logica (R) die paraconsistent is. (Over Vasil'év, zie Arruda 1977 en Arruda 1989: 102f; over Orlov, zie Anderson, Belnap & Dunn 1992: xvii.)

Het werk van Vasil'év of Orlov had destijds geen invloed. De eerste (formele) logicus die paraconsistente logica ontwikkelde, was Jaśkowski in Polen, een leerling van Łukasiewicz, die zelf paraconsistente logica had voorzien in zijn kritiek op Aristoteles op het LNC (Łukasiewicz 1951). Bijna tegelijkertijd presenteerde Halldén (1949) werk over de logica van onzin, maar ook dat bleef grotendeels onopgemerkt.

Paraconsistente logica's werden in Zuid-Amerika onafhankelijk ontwikkeld door Florencio Asenjo en vooral Newton da Costa in hun proefschriften, respectievelijk in 1954 en 1963, met de nadruk op wiskundige toepassingen (zie Asenjo 1966, da Costa 1974). Een actieve groep logici heeft sindsdien voortdurend onderzoek gedaan naar paraconsistente logica, vooral in Campinas en São Paulo, Brazilië, met de nadruk op logica van formele inconsistentie. Carnielli en Coniglio (2016) geven een uitgebreid recent verslag van dit werk.

Paraconsistente logica in de vorm van relevante logica werd in 1959 door Smiley in Engeland voorgesteld en ongeveer tegelijkertijd, in een veel verder ontwikkelde vorm, in de Verenigde Staten door Anderson en Belnap. In Pittsburgh groeide een actieve groep van relevante logici, waaronder Dunn en Meyer. De ontwikkeling van paraconsistente logica (in de vorm van relevante logica) werd naar Australië getransporteerd. R. Routley (later Sylvan) en V. Routley (later Plumwood) ontdekten een opzettelijke semantiek voor enkele van de voor Anderson / Belnap relevante logica. Om hen heen ontwikkelde zich een school in Canberra, waaronder Brady en Mortensen, en later Priest, die samen met R. Routley het dialetheïsme in de ontwikkeling verwerkte.

Sinds de jaren zeventig is de ontwikkeling van paraconsistente logica internationaal geweest. Enkele van de belangrijkste stromingen zijn hieronder onderzocht, waaronder adaptieve logica (zoals in Batens 2001) en preservering (zoals in Schotch, Brown en Jennings 2009). Er wordt gewerkt in Argentinië, Australië, België, Brazilië, Canada, Tsjechië, Engeland, Duitsland, India, Israël, Japan, Mexico, Nieuw-Zeeland, Polen, Schotland, Spanje, de Verenigde Staten en meer. Er zijn een aantal grote internationale conferenties geweest over paraconsistente logica. In 1997 werd het Eerste Wereldcongres over Paraconsistentie gehouden aan de Universiteit van Gent in België. Het Tweede Wereldcongres werd gehouden in São Sebastião (São Paulo, Brazilië) in 2000, het Derde in Toulous (Frankrijk) in 2003 en het Vierde in Melbourne (Australië) in 2008. In 2013 werd een vijfde wereldcongres gehouden in Kolkata, India. Een andere grote paraconsistentieconferentie in 2014 vond plaats in München (Andreas & Verdée 2016). Zie het gedeelte over bibliografie over Proceedings van het World Congress.

2. Motivaties

De aangevoerde redenen voor paraconsistentie zijn specifiek voor de ontwikkeling van de specifieke formele systemen van paraconsistente logica. Er zijn echter verschillende algemene redenen om te denken dat logica paraconsistent moet zijn. Voordat we de systemen van paraconsistente logica samenvatten, presenteren we enkele motivaties voor paraconsisente logica.

2.1 Inconsistentie zonder trivialiteit

Een meest sprekende reden voor paraconsistente logica is op het eerste gezicht het feit dat er theorieën zijn die niet consistent maar niet triviaal zijn. Als we het bestaan van dergelijke theorieën erkennen, moeten hun onderliggende logica paraconsistent zijn (hoewel zie Michael 2016).

2.1.1 Niet-triviale theorieën

Voorbeelden van inconsistente maar niet-triviale theorieën zijn gemakkelijk te produceren. Een voorbeeld kan worden afgeleid uit de geschiedenis van de wetenschap. Beschouw Bohr's theorie van het atoom. Volgens dit, draait een elektron om de kern van het atoom zonder energie uit te stralen. Volgens de vergelijkingen van Maxwell, die een integraal onderdeel van de theorie vormden, moet een elektron dat in een baan om de aarde versnelt, energie uitstralen. Vandaar dat Bohr's verslag van het gedrag van het atoom niet consistent was. Maar blijkbaar werd niet alles met betrekking tot het gedrag van elektronen daaruit afgeleid, en dat had ook niet moeten gebeuren. Dus, welk gevolgtrekkingsmechanisme het ook was dat het onderbouwde, dit moet paraconsistent zijn geweest (Brown & Priest 2015).

2.1.2 Ware tegenstrijdigheden

Ondanks dat dialetheïsme en paraconsistentie moeten worden onderscheiden, kan dialetheïsme een motivatie zijn voor paraconsistente logica. Een kandidaat voor een dialetheia (een echte tegenstelling) is de leugenaarsparadox. Beschouw de zin: 'Deze zin is niet waar'. Er zijn twee opties: de zin is waar of niet. Stel dat het waar is. Wat er dan staat, is het geval. Daarom is de zin niet waar. Stel dat het daarentegen niet waar is. Dit staat er. Vandaar dat de zin waar is. In beide gevallen is het zowel waar als niet waar. (Zie de vermelding over dialetheïsme.)

2.1.3 Taalkunde

Natuurlijke talen zijn een andere mogelijke site van niet-triviale inconsistentie. In de taalkunde is opgemerkt dat normale lexicale kenmerken behouden blijven, zelfs in inconsistente contexten. Zo hebben woorden als 'dichtbij' ruimtelijke connotaties die niet worden verstoord, zelfs niet wanneer het om onmogelijke objecten gaat (McGinnis 2013):

Als ik je vertel dat ik een bolvormige kubus bruin heb geschilderd, neem je de buitenkant bruin … en als ik erin ben, weet je dat ik er niet bij ben. (Chomsky 1995: 20)

Dus als kan worden gezegd dat natuurlijke taal een logica heeft, kunnen paraconsistente logica een kandidaat zijn om deze te formaliseren.

2.2 Kunstmatige intelligentie

Paraconsistente logica wordt niet alleen gedreven door filosofische overwegingen, maar ook door haar toepassingen en implicaties.

2.2.1 Geautomatiseerd redeneren

Een van de toepassingen is geautomatiseerd redeneren (informatieverwerking). Overweeg een computer die een grote hoeveelheid informatie opslaat, zoals in Belnap 1992. Hoewel de computer de informatie opslaat, wordt hij ook gebruikt om erop te werken en, cruciaal, om daaruit af te leiden. Nu komt het vrij vaak voor dat de computer inconsistente informatie bevat, vanwege fouten van de operators voor gegevensinvoer of vanwege meervoudige sourcing. Dit is zeker een probleem voor databasebewerkingen met stellingen-bewijzen, en heeft daarom veel aandacht van computerwetenschappers getrokken. Er zijn technieken onderzocht om inconsistente informatie te verwijderen. Toch hebben ze allemaal een beperkte toepasbaarheid en is het in ieder geval niet gegarandeerd dat ze consistentie opleveren. (Er is geen algoritme voor logische onwaarheid.) Daarom, zelfs als er stappen worden ondernomen om tegenstrijdigheden weg te werken wanneer ze worden gevonden,een onderliggende paraconsistente logica is wenselijk als verborgen tegenstrijdigheden geen valse antwoorden op vragen willen genereren.

Nelsons paraconsistente (vierwaardige) logica N4 is specifiek bestudeerd voor toepassingen in de informatica (Kamide & Wansing 2012). Geannoteerde logica's zijn voorgesteld door Subrahmanian (1987) en vervolgens door da Costa, Subrahmanian en Vago (1991); deze tools worden nu uitgebreid tot robotica, expertsystemen voor medische diagnose en engineering, met recent werk verzameld in de delen die zijn uitgegeven door Abe, Akama en Nakamatsu (2015) en Akama (2016).

2.2.2 Herziening van overtuigingen

Overtuigingsherziening is de studie van rationeel herzienende geloofsovertuigingen in het licht van nieuw bewijs. Berucht is dat mensen inconsequente overtuigingen hebben. Ze kunnen daarbij zelfs rationeel zijn. Er kan bijvoorbeeld schijnbaar overweldigend bewijs zijn voor zowel iets als de ontkenning ervan. Er kunnen zelfs gevallen zijn waarin het in principe onmogelijk is om een dergelijke inconsistentie weg te werken. Neem bijvoorbeeld de 'paradox van het voorwoord'. Een rationeel persoon schrijft na grondig onderzoek een boek waarin ze claimen (A_1), …, (A_n). Maar ze zijn zich er ook van bewust dat geen enkel boek van enige complexiteit alleen waarheden bevat. Dus ze geloven ook rationeel (neg (A_1 / wedge / ldots / wedge A_n)). Daarom moeten principes van rationele geloofsherziening werken op inconsistente overtuigingen. Standaardrekeningen van geloofsherziening, bijv. De AGM-theorie (zie de logica van geloofsherziening),ze slagen er allemaal niet in, omdat ze gebaseerd zijn op klassieke logica (Tanaka 2005). Een adequater verslag kan gebaseerd zijn op een paraconsistente logica; zie Girard en Tanaka 2016.

2.3 Formele semantiek en verzamelingenleer

Paraconsistentie kan worden opgevat als een reactie op logische paradoxen in formele semantiek en verzamelingenleer.

2.3.1 Waarheidstheorie

Semantiek is de studie die tot doel heeft een theoretisch begrip van betekenis te beschrijven. De meeste verslagen over semantiek houden vol dat het spellen van de betekenis van een zin in zekere zin de waarheidstoestanden ervan moet spellen. Nu, op het eerste gezicht, is waarheid een predikaat dat wordt gekenmerkt door het Tarski T-schema:

[T (boldsymbol {A}) leftrightarrow A)

waar (A) een zin is en (boldsymbol {A}) de naam is. Maar gezien elk standaardmiddel voor zelfreferentie, bijv. Rekenen, kan men een zin construeren, (B), die zegt dat (neg T (boldsymbol {B})). Het T-schema geeft dat (T (boldsymbol {B}) leftrightarrow / neg T (boldsymbol {B})). Hieruit volgt dat (T (boldsymbol {B}) wedge / neg T (boldsymbol {B})). (Dit is natuurlijk slechts de leugenaarsparadox.) Een volledige ontwikkeling van een waarheidstheorie in paraconsistente logica wordt gegeven door Beall (2009).

2.3.2 Theorie instellen

De situatie is vergelijkbaar in de verzamelingenleer. De naïeve en intuïtief correcte axioma's van de verzamelingenleer zijn het begripsschema en het extensieprincipe:

(begin {align *} & / bestaat y / forall x (x / in y / leftrightarrow A) & / forall x (x / in y / leftrightarrow x / in z) rightarrow y = z / end { uitlijnen *})

waarbij (x) niet gratis voorkomt in (A). Zoals ontdekt door Russell, is elke theorie die het begripsschema bevat inconsequent. Voor het plaatsen van '(y / not / in y)' voor (A) in het begripsschema en het instantiëren van de existentiële kwantor naar een willekeurig dergelijk object '(r)' geeft:

(forall y (y / in r / leftrightarrow y / not / in y))

Dus, instantiëren van de universele kwantor naar '(r)' geeft:

[r / in r / leftrightarrow r / not / in r)

Hieruit volgt dat (r / in r / wedge r / not / in r).

De standaardbenaderingen van deze inconsistentieproblemen zijn over het algemeen opportuun. Een paraconsistente benadering maakt het mogelijk om theorieën over waarheid en vastheid te hebben waarin de wiskundig fundamentele intuïties over deze noties worden gerespecteerd. Zoals Brady (1989; 2006) bijvoorbeeld heeft aangetoond, kunnen tegenstrijdigheden ontstaan in een paraconsistente verzamelingenleer, maar deze hoeven niet de hele theorie te besmetten.

Er zijn verschillende benaderingen om de theorie te stellen met naïef begrip via paraconsistente logica. De theorieën van ordinale en kardinale getallen worden axiomatisch ontwikkeld met behulp van relevante logica in Weber 2010b, 2012. De mogelijkheid om een consistentieoperator toe te voegen om niet-paradoxale fragmenten van de theorie te volgen, wordt overwogen in Omori 2015, gebaseerd op de traditie van da Costa. Naïeve verzamelingenleer met adaptieve logica wordt gepresenteerd door Verdée (2013). Modellen voor paraconsistente verzamelingenleer worden beschreven door Libert (2005).

2.3.3 Wiskunde in het algemeen

Volgens da Costa (1974: 498),

Het zou net zo interessant zijn om de inconsistente systemen te bestuderen als bijvoorbeeld de niet-euclidische geometrieën: we zouden een beter idee krijgen van de aard van paradoxen, zouden een beter inzicht kunnen hebben in de verbanden tussen de verschillende logische principes die nodig zijn om determinatie te verkrijgen resultaten, etc.… Het is niet onze bedoeling om de inconsistenties weg te werken, maar om ze te analyseren en te bestuderen.

Voor verdere ontwikkelingen van wiskunde in paraconsistente logica, zie artikel over inconsistente wiskunde.

2.4 Rekenen en stelling van Gödel

In tegenstelling tot formele semantiek en verzamelingenleer, zijn er misschien geen voor de hand liggende rekenkundige principes die tot tegenspraak leiden. Desalniettemin is er, net als de klassieke niet-standaard rekenkundige modellen, een klasse van inconsistente rekenkundige modellen (of beter gezegd modellen van inconsistente rekenkundige) die een interessante en belangrijke wiskundige structuur hebben.

Een interessante implicatie van het bestaan van inconsistente rekenmodellen is dat sommige eindig zijn (in tegenstelling tot de klassieke niet-standaard modellen). Dit betekent dat er enkele belangrijke toepassingen zijn in de metamathematische stellingen. De klassieke stelling van Löwenheim-Skolem stelt bijvoorbeeld dat (Q) (Robinson's rekenkunde, een fragment van Peano-rekenkunde) modellen heeft van elke oneindige kardinaliteit, maar geen eindige modellen. Maar er kan ook worden aangetoond dat (Q) modellen van eindige grootte heeft door te verwijzen naar de inconsistente rekenmodellen.

Het is niet alleen de stelling van Löwenheim-Skolem, maar ook andere metamathematische stellingen kunnen een paraconsistente behandeling krijgen. In het geval van andere stellingen zijn de negatieve resultaten die vaak worden aangetoond door de beperkende stellingen van de metamathematica echter mogelijk niet langer geldig. Een belangrijke stelling is de stelling van Gödel.

Een versie van Gödel's eerste onvolledigheidsstelling stelt dat voor elke consistente axiomatische rekenkundige theorie, die als correct kan worden erkend, er een rekenkundige waarheid zal zijn, namelijk de Gödel-zin die daarin niet kan worden bewezen, maar die kan worden vastgesteld als waar door intuïtief correct redeneren. De kern van Gödel's stelling is in feite een paradox die betrekking heeft op de zin, (G), 'Deze zin is niet te bewijzen'. Als (G) aantoonbaar is, dan is het waar en dus niet aantoonbaar. Zo wordt (G) bewezen. Daarom is (G) waar en dus niet te bewijzen. Als een onderliggende paraconsistente logica wordt gebruikt om de rekenkunde te formaliseren, en daarom mag de theorie inconsistent zijn, is het mogelijk dat de Gödel-zin in de theorie aantoonbaar is (in wezen door de bovenstaande redenering). Een paraconsistente benadering van rekenkunde overwint dus de beperkingen van rekenkunde die (door velen) verondersteld worden te volgen uit de stelling van Gödel. (Zie Priest 2002 voor andere 'limitatieve' stellingen van de metamathematica.)

2.5 Vaagheid

Vanaf het begin waren paraconsistente logica deels bedoeld om problemen van vaagheid en de sorites-paradox aan te pakken (Jaśkowski 1948 [1969]). Sommige empirische gegevens suggereren dat vaagheid in natuurlijke taal een goede kandidaat is voor paraconsistente behandeling (Ripley 2011).

Er zijn enkele verschillende paraconsistente benaderingen van vaagheid gesuggereerd. Subvaluationisme is het logische dubbele van supervaluationisme: als een bewering waar is op een acceptabele aanscherping van een vaag predikaat, dan is het waar. Waar de supervaluationist onbepaaldheid of hiaten in de waarheidswaarde ziet, ziet de subvaluationist overdeterminacy, waarheidswaarde-overvallers. Een subwaarderingslogica zal, net als haar supervaluationele dualisme, alle klassieke tautologieën behouden, zolang de definitie van validiteit beperkt is tot de niet-vraatzuchtige gevallen. Omdat het zo structureel vergelijkbaar is met supervaluationisme, is subaluationisme ook onderhevig aan de meeste van dezelfde kritiek (Hyde 1997).

Meer in het algemeen is (dialetheïsche) paraconsistentie gebruikt in eenvoudige, drievoudige waarheid-functionele benaderingen van vaagheid. Het doel is om beide volgende intuïtieve claims te behouden:

1. Tolerantie: voor vaag (F) is het niet zo dat (x) (F) is, maar sommige zeer (F) - vergelijkbaar (x) is niet (F)
2. Cutoffs: Voor alle (F), als sommige (x) (F) is en sommige (y) niet, en er is een geordende (F) - voortgang van (x) naar (y), dan is er nog wat laatste (F) en wat eerste niet - (F)

Nogmaals, de sleutel tot de analyse is om afkappingen te nemen als sites voor inconsistentie, voor objecten zowel F als niet F. Vervolgens worden alle tolerantieclaims (over vage F) als waar beschouwd; maar aangezien, paraconsistent, de conclusie van disjunctief syllogisme niet algemeen geldig is, impliceren deze beweringen geen absurditeiten als 'iedereen is kaal'. Paraconsistente modellen leggen veel nadruk op afkappunten van vage predikaten, wat veel van de problemen met de sortiesparadox toeschrijft aan de onderliggende inconsistentie van vage predikaten (Weber 2010a).

Er is discussie of de sortiesparadox een soort is met de andere bekende semantische en verzamelde theoretische paradoxen, zoals die van Russell en de leugenaar. Als dat zo is, dan zou een paraconsistente benadering voor de een even natuurlijk zijn als voor de ander.

3. Systemen van paraconsistente logica

Er zijn een aantal formele technieken bedacht om ECQ ongeldig te maken. De meeste technieken zijn elders samengevat (Brown 2002, Priest 2002). Naarmate de belangstelling voor paraconsistente logica groeide, ontwikkelden zich verschillende technieken in verschillende delen van de wereld. Als gevolg hiervan heeft de ontwikkeling van de technieken een enigszins regionale smaak (hoewel er natuurlijk uitzonderingen zijn, en de regionale verschillen kunnen overdreven worden overdreven; zie Tanaka 2003).

De meeste paraconsistente logici stellen geen algemene verwerping van de klassieke logica voor. Ze accepteren meestal de geldigheid van klassieke gevolgtrekkingen in consistente contexten. Het is de noodzaak om een inconsistentie te isoleren zonder overal te verspreiden die de afwijzing van ECQ motiveert. Afhankelijk van hoeveel herziening nodig is, hebben we een techniek voor paraconsistentie. De hier gegeven taxonomie is gebaseerd op de mate van herziening van de klassieke logica. Aangezien de logische nieuwigheid te zien is op het propositionele niveau, zullen we ons concentreren op de propositionele paraconsistente logica.

3.1 Discussieve logica

De eerste formele paraconsistente logica die werd ontwikkeld, was de discussieve (of discursieve) logica van de Poolse logicus Jaśkowski (1948). De gedachte achter de discussielogica is dat elke deelnemer in een verhandeling informatie, overtuigingen of meningen naar voren brengt. Elke bewering is waar volgens de deelnemer die ze naar voren brengt in een verhandeling. Maar wat waar is in een betoog in zijn geheel, is de som van de beweringen van de deelnemers. De meningen van elke deelnemer kunnen zelf consistent zijn, maar kunnen niet in overeenstemming zijn met die van anderen. Jaśkowski formaliseerde dit idee in de vorm van discussieve logica.

Een formalisering van de discussielogica is door het modelleren van een discours in een modale logica. Voor de eenvoud koos Jaśkowski voor S 5. We beschouwen de overtuigingsset van elke deelnemer als de reeks zinnen die waar zijn in een wereld in een S 5-model (M). Dus een zin (A) die door een deelnemer aan een verhandeling wordt gesteld, wordt geïnterpreteerd als "het is mogelijk dat (A)" of een zin (Diamond A) van S 5. Dan (A) houdt in een betoog iff (A) waar is in een of andere wereld in (M). Aangezien (A) in de ene wereld kan gelden, maar niet in een andere, kunnen zowel (A) als (neg A) in een toespraak gelden. Men zou inderdaad kunnen verwachten dat deelnemers het in een rationeel discours niet eens zijn over een bepaald onderwerp. Het idee is dan dat (B) een besprekend gevolg is van (A_1, / ldots, A_n) als f (Diamond B) een S 5-gevolg is van (Diamond A_ {1} ldots / Diamond A_ {n}).

Om te zien dat de discussielogica paraconsistent is, overweeg dan een S 5-model, (M), zodat (A) geldt op (w_1), (neg A) op een andere wereld (w_2), maar (B) heeft voor sommigen (B) geen enkele wereld. Dan houden zowel (A) als (neg A) vast, maar (B) houdt niet vast in (M). Vandaar dat discussieve logica ECQ ongeldig maakt.

Er is echter geen S 5-model waar (A / wedge / neg A) in een bepaalde wereld voorkomt. Dus een gevolgtrekking van de vorm ({A / wedge / neg A } vDash B) is geldig in de discussielogica. Dit betekent dat adjunctie (({A, / neg A } vDash A / wedge / neg A)) in de discussielogica mislukt. Maar je kunt een discussiefunctie, (wedge_d), definiëren als (A / wedge / Diamond B) (of (Diamond A / wedge B)). Dan geldt adjunctie voor (wedge_d) (Jaśkowski 1949).

Een moeilijkheid is een formulering van een voorwaardelijk. In S 5 mislukt de conclusie van (Diamond p) en (Diamond (p / supset q)) naar (Diamond q). Jaśkowski koos ervoor om een connectief te introduceren dat hij discussieve implicatie noemde, (supset_d), gedefinieerd als (Diamond A / supset B). Deze connectiviteit kan worden opgevat als "als een deelnemer dat zegt (A), dan (B)". Aangezien de gevolgtrekking van (Diamond A / supset B) en (Diamond A) naar (Diamond B) geldig is in S 5, houdt modus ponens for (supset_d) in de discussielogica. Een discussieve bi-implicatie, (equiv_d), kan ook worden gedefinieerd als ((Diamond A / supset B) wedge / Diamond (Diamond B / supset A)) (of (Diamond (Diamond A / supset B) wedge (Diamond B / supset A))). Voor een geschiedenis van het werk aan Jaśkowski's logica en axiomatisaties daarvan, zie Omori en Alama (binnenkort).

3.2 Niet-aanvullende systemen

Een niet-aanvullend systeem is een systeem dat de functie niet valideert (dwz ({A, B } not / vDash A / wedge B)). Zoals we hierboven zagen, is discussieve logica zonder een discussieve conjunctie niet-aanvullend. Een andere niet-ondersteunende strategie werd voorgesteld door Rescher and Manor (1970). In feite kunnen we gebouwen samenvoegen, maar alleen tot maximale consistentie. In het bijzonder, als (Sigma) een set gebouwen is, is een maximaal consistente subset elke consistente subset (Sigma '), zodat als (A / in / Sigma - / Sigma') dan (Sigma '\ cup {A }) is niet consistent. Vervolgens zeggen we dat (A) een gevolg is van (Sigma) iff (A) een klassiek gevolg is van (Sigma ') voor een maximaal consistent deelverzameling (Sigma'). Dan ({p, q } vDash p / wedge q) maar ({p, / neg p } not / vDash p / wedge / neg p).

3.3 Preservationisme

In het niet-adjunctieve systeem van Rescher en Manor wordt een gevolgrelatie gedefinieerd over een maximaal consistente subset van de premissen. Dit kan worden gezien als een manier om de mate van consistentie in de premisse set te 'meten'. Het niveau van ({p, q }) is 1 omdat de maximaal consistente subset de set zelf is. Het niveau van ({p, / neg p }) is echter 2: ({p }) en ({ neg p }).

Als we een gevolgrelatie definiëren over een maximaal consistent deelverzameling, dan kan de relatie worden beschouwd als het behoud van het niveau van consistente fragmenten. Dit is de benadering die conservationisme is gaan heten. Het is voor het eerst ontwikkeld door de Canadese logici Ray Jennings en Peter Schotch.

Om preciezer te zijn, een (eindige) set formules, (Sigma), kan worden onderverdeeld in klassiek consistente fragmenten waarvan de eenheid (Sigma) is. Laat (vdash) de klassieke consequentieverhouding zijn. Een bedekking van (Sigma) is een set ({ Sigma_i: i / in I }), waar elk lid consistent is, en (Sigma = / bigcup_ {i / in I} Sigma_i). Het niveau van (Sigma, l (Sigma)) is het laagste (n) zodat (Sigma) kan worden onderverdeeld in (n) sets als er zulke (n)), of (infty) als die niet bestaat (n). Een gevolgrelatie, genaamd forceren, (Vdash), wordt als volgt gedefinieerd. (Sigma / Vdash A) iff (l (Sigma) = / infty), of (l (Sigma) = n) en voor elke dekking van maat (n) is er een (j / in I) zodat (Sigma_j / vdash A). Als (l (Sigma) = 1) of (infty) dan valt de dwingende relatie samen met de klassieke consequentieverhouding. In het geval waar (l (Sigma) = / infty), moet er een zin zijn van de vorm (A / wedge / neg A) en zo explodeert de dwingende relatie.

Er is ook een chunking-strategie toegepast om het inferentiële mechanisme vast te leggen dat ten grondslag ligt aan sommige theorieën in wetenschap en wiskunde. In de wiskunde was de best beschikbare theorie over infinitesimals niet consistent. In de infinitesimale calculus van Leibniz en Newton moesten bij de berekening van een afgeleide infinitesimalen zowel nul als niet-nul zijn. Om het inferentiemechanisme vast te leggen dat ten grondslag ligt aan de infinitesimale calculus van Leibniz en Newton (en de theorie van Bohr over het atoom), moeten we aan het chunking een mechanisme toevoegen dat een beperkte hoeveelheid informatie laat stromen tussen de consistente fragmenten van deze inconsistente maar niet-triviale theorieën. Dat wil zeggen, bepaalde informatie van een brok kan in andere brokken doordringen. De gevolgtrekkingsprocedure die aan de theorieën ten grondslag ligt, moet Chunk en Permeaat zijn.

Laat (C = { Sigma_i: i / in I }) en (varrho) een permeabiliteitsrelatie op (C) zodat (varrho) een kaart is van (I / keer ik) naar subsets van formules van de taal. Als (i_0 / in I), wordt elke structuur (langle C, / varrho, i_0 / rangle) een C & P-structuur genoemd op (Sigma). Als (mathcal {B}) een C & P-structuur is op (Sigma), definiëren we de C & P-gevolgen van (Sigma) met betrekking tot (mathcal {B}), als volgt. Voor elke (i / in I) wordt een reeks zinnen, (Sigma_i ^ n), gedefinieerd door recursie op (n):

(begin {align *} Sigma_i ^ {0} & = / Sigma_i ^ { vdash} / \ Sigma_i ^ {n + 1} & = / left (Sigma_i ^ n / cup / bigcup_ {j / in I} left (Sigma_j ^ n / cap / rho (j, i) right) right) ^ { vdash} / \ end {align *})

Dat wil zeggen, (Sigma_i ^ {n + 1}) omvat de gevolgen van (Sigma_i ^ n) samen met de informatie die doordringt in chunk (i) van de andere chunk op niveau (n). Vervolgens verzamelen we alle eindige fasen:

(Sigma_i ^ { omega} = / bigcup_ {n / lt / omega} Sigma_i ^ n)

De C & P-gevolgen van (Sigma) kunnen worden gedefinieerd in termen van de zinnen die kunnen worden afgeleid in het aangewezen deel (i_0) wanneer alle geschikte informatie langs de permeabiliteitsrelaties is mogen stromen (zie Brown & Priest 2004, 2015.)

3.4 Adaptieve logica

Men zou niet alleen kunnen denken dat een inconsistentie moet worden geïsoleerd, maar ook dat een ernstige noodzaak om inconsistenties te overwegen zeldzaam is. De gedachte kan zijn dat consistentie de norm is totdat het tegendeel is bewezen: we moeten een zin of een theorie zo consistent mogelijk behandelen. Dit is in wezen de motivatie voor adaptieve logica, ontwikkeld door Diderik Batens in België.

Een adaptieve logica is een logica die zich aanpast aan de situatie op het moment dat de inferentieregels worden toegepast. Het modelleert de dynamiek van onze redenering. Er zijn twee betekenissen waarin redeneren dynamisch is: extern en intern. Redenering is extern dynamisch als wanneer nieuwe informatie beschikbaar komt die het uitgangspunt uitbreidt, mogelijk eerder afgeleide gevolgen moeten worden ingetrokken. De externe dynamiek is dus het niet-monotone karakter van sommige gevolgrelaties: (Gamma / vdash A) en (Gamma / cup / Delta / not / vdash A) voor sommige (Gamma, / Delta) en een). Maar zelfs als de premisse-set constant blijft, kan een eerder afgeleide conclusie in een later stadium als niet-afleidbaar worden beschouwd. Aangezien onze redenering uitgaat van een premisse, kunnen we een situatie tegenkomen waarin we een gevolg afleiden, op voorwaarde dat er geen afwijking is,in het bijzonder geen tegenstrijdigheid, blijkt in een bepaald stadium van het redeneerproces. Als we in een later stadium gedwongen worden een tegenstrijdigheid af te leiden, moet onze redenering zich aanpassen zodat een toepassing van de eerder gebruikte gevolgtrekkingsregel wordt ingetrokken. In zo'n geval is de redenering intern dynamisch. Onze redenering kan intern dynamisch zijn als de set van geldige gevolgtrekkingen niet recursief te tellen is (dwz er is geen beslissingsprocedure die leidt tot 'ja' na eindig veel stappen als de gevolgtrekking inderdaad geldig is). Het is de interne dynamiek die adaptieve logica is bedacht om vast te leggen.redeneren is intern dynamisch. Onze redenering kan intern dynamisch zijn als de set van geldige gevolgtrekkingen niet recursief te tellen is (dwz er is geen beslissingsprocedure die leidt tot 'ja' na eindig veel stappen als de gevolgtrekking inderdaad geldig is). Het is de interne dynamiek die adaptieve logica is bedacht om vast te leggen.redeneren is intern dynamisch. Onze redenering kan intern dynamisch zijn als de set van geldige gevolgtrekkingen niet recursief te tellen is (dwz er is geen beslissingsprocedure die leidt tot 'ja' na eindig veel stappen als de gevolgtrekking inderdaad geldig is). Het is de interne dynamiek die adaptieve logica is bedacht om vast te leggen.

Om het idee achter adaptieve logica te illustreren, overweeg de premisse set (Gamma = {p, / neg p / vee r, / neg r / vee s, / neg s, s / vee t }). Men kan beginnen te redeneren met (neg s) en (s / vee t), gebruikmakend van de disjunctieve syllogisme (DS) om (t) af te leiden, aangezien (s / wedge / neg s) dat doet niet verkrijgen. We redeneren dan met (p) en (neg p / vee r) om af te leiden (r) met de DS, aangezien (p / wedge / neg p) niet verkrijgt. Nu kunnen we de DS toepassen op (neg r / vee s) en (r) om af te leiden (s), op voorwaarde dat (r / wedge / neg r) niet wordt verkregen. Door (s) en (neg s) samen te voegen, kunnen we (s / wedge / neg s) verkrijgen. Daarom moeten we de eerste aanvraag van DS intrekken, en dus vervalt het bewijs van (t). Een gevolg van deze redenering is wat in geen enkel stadium van het proces kan worden verslagen.

Een systeem van adaptieve logica kan in het algemeen worden gekenmerkt als bestaande uit drie elementen:

1. Een ondergrenslogica (LLL)
2. Een reeks afwijkingen
3. Een adaptieve strategie

LLL maakt deel uit van een adaptieve logica die niet aan aanpassing is onderworpen. Het bestaat in wezen uit een aantal inferentiële regels (en / of axioma's) die men graag accepteert, ongeacht de situatie in een redeneerproces. Een reeks afwijkingen is een reeks formules waarvan wordt verondersteld dat ze aan het begin van de redenering niet vasthouden (of als absurd) totdat wordt aangetoond dat ze anders zijn. Voor veel adaptieve logica's heeft een formule in deze set de vorm (A / wedge / neg A). Een adaptieve strategie specificeert een strategie voor het omgaan met de toepassing van inferentieregels op basis van de reeks afwijkingen. Als LLL wordt uitgebreid met de eis dat logisch geen afwijking mogelijk is, verkrijgt men de bovengrenslogica (ULL). ULL bevat in wezen niet alleen de inferentiële regels (en / of axioma's) van LLL, maar ook aanvullende regels (en / of axioma's) die kunnen worden toegepast bij afwezigheid van afwijkingen, zoals DS. Door deze drie elementen te specificeren, verkrijgt men een systeem van adaptieve logica.

3.5 Logica van formele inconsistentie

De benaderingen die zijn gebruikt om de systemen van paraconsistente logica te motiveren, die we tot nu toe hebben gezien, isoleren inconsistentie van consistente delen van de gegeven theorie. Het doel is om zoveel mogelijk klassieke machines te behouden bij het ontwikkelen van een systeem van paraconsistente logica dat desalniettemin explosie vermijdt wanneer deze wordt geconfronteerd met een tegenspraak. Een manier om dit doel expliciet te maken, is door de expressieve kracht van onze taal uit te breiden door de metatheoretische noties van consistentie (en inconsistentie) in de objecttaal te coderen. De Logics of Formal Inconsistency (LFI's) zijn een familie van paraconsistente logica's die consistente fragmenten van klassieke logica vormen, maar die het explosieprincipe verwerpen waar een tegenstrijdigheid aanwezig is. Het onderzoek naar deze logica-familie werd opgestart door Newton da Costa in Brazilië.

Een effect van het coderen van consistentie (en inconsistentie) in de objecttaal is dat we inconsistentie expliciet kunnen onderscheiden van trivialiteit. Met een taal die rijk genoeg is om inconsistentie (en consistentie) uit te drukken, kunnen we inconsistente theorieën bestuderen zonder aan te nemen dat ze noodzakelijkerwijs triviaal zijn. Dit maakt expliciet dat de aanwezigheid van een tegenstelling een andere kwestie is dan de niet-triviale aard van paraconsistente gevolgtrekkingen.

De gedachte achter LFI's is dat we de klassieke logica zoveel mogelijk moeten respecteren. Alleen als er een tegenstrijdigheid is, mag de logica hiervan afwijken. Dit betekent dat we de geldigheid van ECQ kunnen erkennen als er geen tegenstrijdigheden zijn. Om dit te doen, coderen we 'consistentie' in onze objecttaal door (circ). Dan is (vdash) een gevolgrelatie van een LFI iff

1. (bestaat / Gamma / bestaat A / bestaat B (Gamma, A, / neg A / niet / vdash B)) en
2. (forall / Gamma / forall A / forall B (Gamma, / circ A, A, / neg A / vdash B)).

Laat (vdash_C) de klassieke consequentie (of afleidbaarheid) relatie zijn en (circ (Gamma)) de consistentie van de set formules (Gamma) zodanig uitdrukken dat als (circ A) en (circ B) dan (circ (A * B)) waarbij (*) een logische verbinding met twee plaatsen is. Vervolgens kunnen we de afleidbaarheid in de consistente context vastleggen in termen van gelijkwaardigheid: (forall / Gamma / forall B / exist / Delta (Gamma / vdash_C B) iff (circ (Delta), / Gamma / vdash B)).

Neem nu het positieve fragment van de klassieke logica met modus ponens plus dubbele negatie-eliminatie ((neg / neg A / rightarrow A)) als axioma en enkele axioma's die (circ) regelen:

(begin {align *} circ A & / rightarrow (A / rightarrow (neg A / rightarrow B)) (circ A / wedge / circ B) & / rightarrow / circ (A / wedge B) (circ A / rightarrow / circ B) & / rightarrow / circ (A / rightarrow B) end {align *})

Vervolgens levert (vdash) het systeem van da Costa (C_1). Als we (A ^ 1) de formule afkorten (neg (A / wedge / neg A)) en (A ^ {n + 1}) de formule ((neg (A ^ n / wedge / neg A ^ n)) ^ 1), dan krijgen we (C_i) voor elk natuurlijk getal (i) groter dan 1.

Om da Costa's systeem (C _ { omega}) te verkrijgen, beginnen we in plaats van het positieve fragment van klassieke logica met positieve intuïtionistische logica. (C_i) systemen voor eindige (i) sluiten ((A ^ n / wedge / neg A ^ n / wedge A ^ {n + 1})) niet uit in een theorie. Door de hiërarchie op te gaan naar (omega), sluit (C _ { omega}) deze mogelijkheid uit. Merk echter op dat (C _ { omega}) geen LFC is omdat het geen klassieke positieve logica bevat.

Voor de semantiek voor da Costa's (C) - systemen, zie bijvoorbeeld da Costa en Alves 1977 en Loparic 1977. Voor de stand van de techniek, zie Carnielli en Coniglio 2016.

3.6 Veelgewaardeerde logica

Misschien wel de eenvoudigste manier om een paraconsistente logica te genereren, zoals Asenjo voor het eerst voorstelde in zijn proefschrift, is het gebruik van een meerwaardige logica. Klassiek zijn er precies twee waarheidswaarden. De veelgewaardeerde benadering is om deze klassieke veronderstelling te laten vallen en meer dan twee waarheidswaarden toe te staan. De eenvoudigste strategie is om drie waarheidswaarden te gebruiken: waar (alleen), onwaar (alleen) en beide (waar en onwaar) voor de evaluatie van formules. De waarheidstabellen voor logische connectieven, behalve voorwaardelijk, kunnen als volgt worden gegeven:

(neg)
(t)	(f)
(b)	(b)
(f)	(t)

(wig)	(t)	(b)	(f)
(t)	(t)	(b)	(f)
(b)	(b)	(b)	(f)
(f)	(f)	(f)	(f)

(vee)	(t)	(b)	(f)
(t)	(t)	(t)	(t)
(b)	(t)	(b)	(b)
(f)	(t)	(b)	(f)

Deze tabellen zijn in wezen die van de drie gewaardeerde logica's van Kleene en Łukasiewicz, waarbij de middelste waarde als onbepaald of niet (waar of onwaar) wordt beschouwd.

Voor een voorwaardelijke (supset), volgens Kleene's drie gewaardeerde logica, zouden we als volgt een waarheidstabel kunnen specificeren:

(supset)	(t)	(b)	(f)
(t)	(t)	(b)	(f)
(b)	(t)	(b)	(b)
(f)	(t)	(t)	(t)

Laat (t) en (b) de aangewezen waarden zijn. Dit zijn de waarden die worden bewaard in geldige gevolgtrekkingen. Als we een consequentieverhouding definiëren in termen van behoud van deze aangewezen waarden, dan hebben we de paraconsistente logische LP (Priest 1979). In LP is ECQ ongeldig. Om dit te zien, wijzen we (b) toe aan (p) en (f) aan (q). Dan wordt (neg p) ook geëvalueerd als (b) en dus worden zowel (p) als (neg p) aangewezen. Toch wordt (q) niet beoordeeld als een aangewezen waarde. Daarom is ECQ ongeldig in LP.

Zoals we kunnen zien, maakt LP ECQ ongeldig door een bepaalde waarde, zowel true als false, toe te wijzen aan een tegenspraak. LP wijkt dus meer af van de klassieke logica dan de systemen die we eerder hebben gezien. Maar, meer controversieel, het is natuurlijk ook in lijn met dialetheïsme. We kunnen waarheidswaarden echter niet interpreteren in aletheïstische zin maar in epistemische zin: waarheidswaarden (of aangewezen waarden) drukken epistemische of doxastische verbintenissen uit (zie bijvoorbeeld Belnap 1992). Of we denken misschien dat de waarde van beide nodig is om een semantische reden: van ons kan worden verlangd dat we de tegenstrijdige aard van sommige van onze overtuigingen, beweringen enzovoort uitdrukken (zie Dunn 1976: 157). Als deze interpretatieve strategie succesvol is, kunnen we LP scheiden van noodzakelijkerwijs onder het dialetheïsme vallen.

Een kenmerk van LP dat enige aandacht vereist, is dat in LP-modus ponens ongeldig blijkt te zijn. Want als (p) zowel waar als onwaar is maar (q) onwaar (alleen), dan is (p / supset q) zowel waar als onwaar en wordt daarom aangeduid. Dus zowel (p) als (p / supset q) zijn aangewezen, maar de conclusie (q) is dat niet. Daarom is modus ponens for (supset) ongeldig in LP. (Een manier om het probleem op te lossen, is door een geschikte voorwaardelijke verbinding toe te voegen, zoals we zullen zien in de sectie over relevante logica.)

Een andere manier om een veelgewaardeerde paraconsistente logica te ontwikkelen, is door een toewijzing van een waarheidswaarde niet als een functie maar als een relatie te beschouwen. Laat (P) de reeks propositieparameters zijn. Dan is een evaluatie, (eta), een subset van (P / times {0, 1 }). Een voorstel mag alleen betrekking hebben op 1 (waar), het mag alleen betrekking hebben op 0 (onwaar), het kan betrekking hebben op zowel 1 als 0 of het kan betrekking hebben op noch 1 noch 0. De evaluatie wordt uitgebreid tot een relatie voor alle formules door de volgende recursieve clausules:

(begin {align *} neg A / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 0 \\ / neg A / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 1 \[1ex] A / wedge B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {en} B / eta 1 \\ A / wedge B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {of} B / eta 0 \[1ex] A / vee B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {of} B / eta 1 \\ A / vee B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {en} B / eta 0 \\ / end {align *})

Als we validiteit definiëren in termen van behoud van waarheid onder alle relationele evaluaties, dan verkrijgen we First Degree Entailment (FDE), een fragment van relevante logica. Deze relationele semantiek voor FDE is te danken aan Dunn 1976.

Een andere benadering wordt onderzocht door het idee van niet-deterministische matrices, bestudeerd door Avron en zijn medewerkers (bijvoorbeeld Avron & Lev 2005).

3.7 Relevante logica

De benaderingen van paraconsistentie die we hebben onderzocht, zijn vooral gericht op de onvermijdelijke aanwezigheid of de waarheid van sommige tegenstellingen. Een afwijzing van ECQ hangt bij deze benaderingen af van een analyse van de premissen die een tegenstrijdigheid bevatten. Je zou kunnen denken dat het echte probleem met ECQ niet te maken heeft met de tegenstrijdige premissen, maar met het gebrek aan verbinding tussen de premissen en de conclusie. De gedachte is dat de conclusie relevant moet zijn voor de premissen in een geldige gevolgtrekking.

Relevante logica's werden gepionierd om de relevantie van de conclusie met betrekking tot de premissen van Anderson en Belnap (1975) in Pittsburgh te bestuderen. Anderson en Belnap motiveerden de ontwikkeling van relevante logica met behulp van natuurlijke deductiesystemen; toch ontwikkelden ze een familie van relevante logica in axiomatische systemen. Naarmate de ontwikkeling vorderde en ook in Australië werd uitgevoerd, werd meer aandacht besteed aan de semantiek.

De semantiek voor relevante logica is ontwikkeld door Fine (1974), Routley en Routley (1972), Routley en Meyer (1993) en Urquhart (1972). (Er zijn ook algebraïsche semantiek; zie bijvoorbeeld Dunn & Restall 2002: 48ff.) Routley-Meyer-semantiek is gebaseerd op semantiek van de mogelijke wereld, wat de meest bestudeerde semantiek is voor relevante logica, vooral in Australië. In deze semantiek gedragen conjunctie en disjunctie zich op de gebruikelijke manier. Maar elke wereld, (w), heeft een geassocieerde wereld, (w ^ *), en negatie wordt geëvalueerd in termen van (w ^ *: / neg A) is waar op (w) iff (A) is niet waar, niet bij (w), maar bij (w ^ *). Dus als (A) waar is bij (w), maar niet waar (w ^ *), dan is (A / wedge / neg A) waar bij (w). Om de standaard relevante logica te verkrijgen, moet men de beperking toevoegen dat (w ^ {**} = w). Zoals duidelijk is,negatie in deze semantiek is een intensieve operator.

De belangrijkste zorg bij relevante logica's ligt niet zozeer bij negatie, maar bij een voorwaardelijke connectie (rightarrow) (bevredigende modus ponens). In de relevante logica, als (A / rightarrow B) een logische waarheid is, dan is (A) relevant voor (B), in de zin dat (A) en (B) delen op ten minste één propositionele variabele.

Semantiek voor de relevante conditioneel wordt verkregen door elk Routley-Meyer-model een ternaire relatie te geven. In de vereenvoudigde semantiek van Priest en Sylvan (1992) en Restall (1993, 1995) zijn werelden verdeeld in normaal en niet-normaal. Als (w) een normale wereld is, is (A / rightarrow B) waar op (w) iff in alle werelden waar (A) waar is, (B) is waar. Als (w) niet normaal is, is (A / rightarrow B) waar voor (w) iff voor alle (x, y), zodat (Rwxy), als (A) is waar bij (x, B) is waar bij (y). Als (B) waar is bij (x) maar niet bij (y) waar (Rwxy), dan is (B / rightarrow B) niet waar bij (w). Dan kan men aantonen dat (A / rightarrow (B / rightarrow B)) geen logische waarheid is. (Geldigheid wordt gedefinieerd als behoud van waarheid over normale werelden.) Dit geeft de relevante basislogica, (B). Sterkere logica, zoals de logica (R),worden verkregen door beperkingen toe te voegen aan de ternaire relatie.

Er zijn ook versies van wereld-semantiek voor relevante logica gebaseerd op Dunn's relationele semantiek voor FDE. Dan is ontkenning extensief. Een voorwaardelijke verbinding, moet nu zowel aan waarheid als aan valsheid worden gegeven. Dus we hebben: (A / rightarrow B) is waar op (w) iff voor alle (x, y), zodat (Rwxy), als (A) waar is op (x, B) is waar bij (y); en (A / rightarrow B) is onwaar bij (w) iff voor sommige (x, y), zodat (Rwxy), als (A) waar is bij (x, B) is onwaar bij (y). Het toevoegen van verschillende beperkingen aan de ternaire relatie zorgt voor sterkere logica. Deze logica is echter niet de standaard relevante logica die is ontwikkeld door Anderson en Belnap. Om de standaardfamilie van relevante logica te verkrijgen, heeft men buurtframes nodig (zie Mares 2004). Verdere details zijn te vinden in het item op relevante logica.

Bibliografie

Bibliografie gesorteerd op onderwerp

Referenties

• Abe, Jair Minoro, Seiki Akama en Kazumi Nakamatsu (red.), 2015, Introduction to Annotated Logics: Foundations for Paracomplete and Paraconsistent Reasoning (Intelligent Systems Reference Library 88), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-17912-4
• Akama, Seiki (red.), 2016, Towards Paraconsistent Engineering (Intelligent Systems Reference Library 110), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-40418-9
• Anderson, Alan Ross en Nuel D. Belnap, 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Volume 1, Princeton: Princeton University Press.
• Anderson, Alan Ross, Nuel D. Belnap en J. Michael Dunn, 1992, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Volume 2, Princeton: Princeton University Press.
• Andreas, Holger en Peter Verdée, 2016, Logical Studies of Paraconsistent Reasoning in Science and Mathematics (Trends in Logic 45), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-40220-8
• Arruda, Ayda I., 1977, "On the Imaginary Logic of NA Vasil'év", in Arruda et al. 1977: 3-24. doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70642-6
• –––, 1989, "Aspects of the Historical Development of Paraconsistent Logic", in Priest et al. 1989: 99–130.
• Arruda, Ayda I., Newton da Costa en R. Chuaqui (red.), 1977, Non-Classical Logic, Model Theory and Computability (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 89), Amsterdam: Noord-Holland.
• Asenjo, FG, 1966, 'A Calculus of Antinomies', Notre Dame Journal of Formal Logic, 7 (1): 103–105. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093958482
• Asmus, Conrad, 2012, 'Paraconsistentie op de rotsen van het dialetheïsme', Logique et Analyse, 55 (217): 3–21. [Asmus 2012]
• Avron, Arnon en Iddo Lev, 2005, "Niet-deterministische meerwaardige structuren", Journal of Logic and Computation, 15 (3): 241–261.
• Batens, Diderik, 2001, 'A General Characterization of Adaptive Logics', Logique et Analyze, 44 (173–175): 45–68. [Batens 2001 online beschikbaar]
• –––, 2007, “A Universal Logic Approach to Adaptive Logics”, Logica Universalis, 1 (1): 221–242. doi: 10.1007 / s11787-006-0012-5
• Batens, Diderik, Chris Mortensen, Graham Priest en Jean-Paul van Bendegem (red.), 2000, Frontiers of Paraconsistent Logic (Studies in Logic and Computation 8), Baldock, Engeland: Research Studies Press. [First World Congress-procedure]; zie ook Logique & Analyse, jaargang 41, nummers 161–163.
• Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199268733.001.0001
• Belnap, Nuel D., Jr., 1992, "A Useful Four-gewaardeerde logica: hoe een computer zou moeten denken", Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Volume II, Alan Ross Anderson, Nuel D. Belnap, Jr, en J. Michael Dunn, Princeton: Princeton University Press; verscheen voor het eerst als "Een bruikbare vierwaardige logica", Modern gebruik van meerwaardige logica, J. Michael Dunn en George Epstein (red.), Dordrecht: D. Reidel, 1977: 5–37, en "Hoe een computer zou moeten Think”, Contemporary Aspects of Philosophy, Gilbert Ryle (red.), Oriel Press, 1977: 30–. doi: 10.1007 / 978-94-010-1161-7_2
• Besnard, Philippe en Anthony Hunter (red.), 1998, Reasoning with Actual and Potential Contradictions, (Handbook of Defeasible Reasoning and Uncertainty Management Systems, volume 2), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. doi: 10.1007 / 978-94-017-1739-7
• Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli en Dov M. Gabbay (red.), 2007, Handbook of Paraconsistency (Studies in Logic 9), London: College Publications. [Derde-Wereldcongres]
• Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty en Soma Dutta (red.), 2015, New Directions in Paraconsistent Logic, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9 [Vijfde World Congress-procedure]
• Brady, Ross T., 1989, "The Non-Triviality of Dialectical Set Theory", in Priest et al. 1989: 437-471.
• ––– (red.), 2003, Relevant Logics and Their Rivals, Volume 2, Aldershot: Ashgate.
• –––, 2006, Universal Logic, Stanford, CA: CSLI-publicaties.
• Brown, Bryson, 2002, "On Paraconsistency", in A Companion to Philosophical Logic, Dale Jacquette (red.), Oxford: Blackwell, pp. 628–650. doI: 10.1002 / 9780470996751.ch40
• Brown, Bryson en Graham Priest, 2004, “Chunk and Permeate: A Paraconsistent Inference Strategy. Deel 1: The Infinitesimal Calculus”, Journal of Philosophical Logic, 33 (4): 379–388. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000036831.48866.12
• –––, 2015, "Chunk and Permeate II: Bohr's Hydrogen Atom", European Journal for Philosophy of Science, 5 (3): 297–314.
• Chomsky, Noam, 1995, The Minimalist Program, Cambridge, MA: MIT Press.
• Carnielli, Walter A. en Marcelo Esteban Coniglio, 2016, Paraconsistent Logic: Consistency, Contradiction and Negation, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-33205-5
• Carnielli, Walter A., Marcelo E. Coniglio en João Marcos, 2007, "Logics of Formal Inconsistency", in Handbook of Philosophical Logic, Volume 14 (Second Edition), Dov M. Gabbay en Franz Guenthner (red.), Berlijn: Springer, pp. 15–107. doi: 10.1007 / 978-1-4020-6324-4_1
• Carnielli, Walter A., M. Coniglio en Itala Maria Lof D'ottaviano (eds.), 2002, Paraconsistency: the Logical Way to the Inconsistent (Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics: Volume 228), Boca Raton: CRC Press. [Procedure van het Tweede Wereldcongres]
• da Costa, Newton CA, 1974, 'Over de theorie van inconsistente formele systemen', Notre Dame Journal of Formal Logic, 15 (4): 497–510. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093891487
• da Costa, Newton CA en EH Alves, 1977, "Semantical Analysis of the Calculi ({ bf C} _ {n})", Notre Dame Journal of Formal Logic, 18 (4): 621–630. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093888132
• da Costa, Newton CA en L. Dubikajtis, 1977, "On Jaśkowski's Discussive Logic", in Arruda et al. 1977: 37-56. doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70644-X
• da Costa, Newton CA, VS Subrahmanian en Carlo Vago, 1991, 'The Paraconsistent Logics (mathrm {P} mathcal {T})', Zeitschrift für Mathematische Logic und Grundlangen der Mathematik, 37 (9–12): 139–148. doi: 10.1002 / malq.19910370903
• Dunn, J. Michael, 1976, 'Intuitive Semantics for First Degree Entailment and' Coupled Trees '', Philosophicl Studies, 29 (3): 149–68. doi: 10.1007 / BF00373152
• Dunn, J. Michael en Greg Restall, 2002, "Relevance Logic", Handbook of Philosophical Logic, Volume 6, tweede editie, Dov M. Gabbay en Franz Guenthner (red.), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. 1–136.
• Dunne, John D., 2004, Foundations of Dharmakīrti's Philosophy, Boston: Wisdom Publications.
• Fine, Kit, 1974, "Models for Entailment", Journal of Philosophical Logic, 3 (4): 347–372. doi: 10.1007 / BF00257480
• Girard, Patrick en Koji Tanaka, 2016, 'Paraconsistent Dynamics', Synthese, 193 (1): 1–14. doi: 10.1007 / s11229-015-0740-2
• Halldén, Sören, 1949, The Logic of Nonsense, Uppsala: A.-B. Lundequistska Bokhandeln.
• Hyde, Dominic, 1997, 'From Heaps and Gaps to Heaps of Gluts', Mind, 106 (424): 641–660. doi: 10.1093 / mind / 106.424.641
• Jaśkowski, Stanisław, 1948 [1969], "Rachunek zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych", Studia Societatis Scientiarum Torunensi (Sectio A), 1 (5): 55–77; een Engelse vertaling verscheen als "Propositionele calculus voor tegenstrijdige deductieve systemen", Studia Logica, 24 (1969): 143–157. (Een bijgewerkte vertaling van J. Perzanowski verscheen in 1999 als "A Propositionele calculus voor inconsistente deductieve systemen", Logica en logische filosofie, 7: 35–56.
• –––, 1949 [1999], “O koniunkcji dyskusyjnej w rachunku zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych”, Studia Societatis Scientiarum Torunensis (Sectio A), 1 (8): 171–172; een Engelse vertaling verscheen als "On the Discussive Conjunction in the Proposition Calculus for Inconsistent Deductive Systems", Logic and Logical Philosophy, 7 (1999): 57–59.
• Kamide, Norihiro en Heinrich Wansing, 2012, "Proof Theory of Nelson's Paraconsistent Logic: A Uniform Perspective", theoretische informatica, 415: 1–38. doi: 10.1016 / j.tcs.2011.11.001
• Libert, Thiery, 2005, "Modellen voor een paraconsistente verzamelingenleer", Journal of Applied Logic, 3 (1): 15–41. doi: 10.1016 / j.jal.2004.07.010
• Loparic, A., 1977, "Une étude semantique de quelques berekent propositionnels", Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Academie des Sciences, 284: 835–838.
• Łukasiewicz, januari 1951, Aristoteles 'syllogistische: vanuit het standpunt van de moderne formele logica, Oxford: Oxford University Press.
• Mares, Edwin D., 2004, "'Four-Valued' Semantics for the Relevant Logic R", Journal of Philosophical Logic, 33 (3): 327–341. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000031375.18295.30
• Martin, Christopher J., 1986, "William's Machine", Journal of Philosophy, 83 (10): 564–572. doi: 10.2307 / 2026432
• –––, 1987, “Gênante argumenten en verrassende conclusies in de ontwikkelingstheorieën van de conditionele in de twaalfde eeuw”, Gilbert De Poitiers et Ses Contemporains, J. Jolivet, A. De Libera (red.), Napels: Bibliopolis, pp 377-401.
• –––, 1996, "Impossible Positio as the Foundation of Metaphysics or, Logic on the Scotist Plan?", Vestigia, Imagines, Verba: Semiotics and Logic in Medieval Theological Texts, C. Marmo (red.), Turnhout: Brepols, pp. 255–276.
• McGinnis, Nicholas D., 2013, "The Unexpected Applicability of Paraconsistent Logic: A Chomskyan Route to Dialetheism", Foundations of Science, 18 (4): 625–640. doi: 10.1007 / s10699-012-9294-7
• McKubre-Jordens, Maarten en Zach Weber, 2011, "Real Analysis in Paraconsistent Logic", Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922. doi: 10.1007 / s10992-011-9210-6
• Michael, Michaelis, 2016, "Over een 'meest veelzeggende' argument voor paraconsistente logica", Synthese, 193 (10): 3347–3362. doi: 10.1007 / s11229-015-0935-6
• Mortensen, Chris, 1995, inconsistente wiskunde, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
• Omori, Hitoshi, 2015, 'Remarks on Naive Set Theory Based on LP', Review of Symbolic Logic, 8 (2): 279–295. doi: 10.1017 / S1755020314000525
• Omori, Hitoshi en Jesse Alama, te verschijnen, "Axiomatizing Jaśkowski's discussive logic D2", Studia Logica, voor het eerst online op 10 februari 2018. doi: 10.1007 / s1122.
• Priest, Graham, 1979, "The Logic of Paradox", Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 219–241. doi: 10.1007 / BF00258428
• –––, 1987, In Contradiction: A Study of the Transconsistent, Dordrecht: Martinus Nijhoff; tweede editie, Oxford: Oxford University Press, 2006.
• –––, 2001, “Paraconsistent Belief Revision”, Theoria, 67 (3): 214–228. doi: 10.1111 / j.1755-2567.2001.tb00204.x
• –––, 2002, "Paraconsistent Logic", in Handbook of Philosophical Logic, tweede editie, volume 6, Dov M. Gabbay en Franz Guenthner (red.), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. 287–393.
• –––, 2003, "Inconsistent Arithmetic: Issues Technical and Philosophical", in Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica (Studia Logica Library, volume 21), VF Hendricks en J. Malinowski (red.), Dordrecht: Kluwer Academic Uitgevers, blz. 273–99.
• –––, 2007, “Paraconsistency and Dialetheism”, in Handbook of the History of Logic, Volume 8, D. Gabbay en J. Woods (red.), Amsterdam: Noord-Holland, pp. 129–204.
• Priest, Graham, JC Beall en Bradley Armor-Garb (red.), 2004, The Law of Non-Contradiction, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199265176.001.0001
• Priest, Graham, Richard Routley en Jean Norman (red.), 1989, Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent, München: Philosophia Verlag.
• Priest, Graham en Richard Sylvan, 1992, "Simplified Semantics for Basic Relevant Logics", Journal of Philosophical Logic, 21 (2): 217–232. doi: 10.1007 / BF00248640
• Rescher, Nicholas en Ruth Manor, 1970, 'On Inference from Inconsistent Premises', Theory and Decision, 1 (2): 179–217. doi: 10.1007 / BF00154005
• Restall, Greg, 1993, "Simplified Semantics for Relevant Logics (en enkele van hun rivalen)", Journal of Philosophical Logic, 22 (5): 481–511. doi: 10.1007 / BF01349561
• –––, 1995, "Four-Valued Semantics for Relevant Logics (en enkele van hun rivalen)", Journal of Philosophical Logic, 24 (2): 139–160. doi: 10.1007 / BF01048529
• Restall, Greg en John Slaney, 1995, "Realistic Belief Revision", Proceedings of the Second World Conference in the Fundamentals of Artificial Intelligence, M. De Glas en Z. Pawlak (red.), Paris: Angkor, pp. 367–378.
• Ripley, David, 2011, "Contradictions at the Borders", in R. Nouwen, R. van Rooij, U. Sauerland & H.-C. Schmitz (red.), Vagueness in Communication, Dordrecht: Springer, pp. 169–188. doi: 10.1007 / 978-3-642-18446-8_10
• Routley, Richard en Robert K. Meyer, 1993, "Semantics of Entailment", Truth, Syntax and Modality, H. Leblanc (red.), Amsterdam: Noord-Holland, pp. 194–243.
• Routley, Richard, Val Plumwood, Robert K. Meyer en Ross T. Brady, 1982, Relevant Logics and Their Rivals, Volume 1, Ridgeview: Atascadero.
• Routley, Richard en Val Routley, 1972, "Semantics of First Degree Entailment", Noûs, 6 (4): 335–359. doi: 10.2307 / 2214309
• Schotch, PK en RE Jennings, 1980, "Inferentie en noodzaak", Journal of Philosophical Logic, 9 (3): 327–340. doi: 10.1007 / BF00248398
• Schotch, Peter, Bryson Brown en Raymond Jennings (red.), 2009, On Preserving: Essays on Preservationism and Paraconsistent Logic, Toronto: University of Toronto Press.
• Smiley TJ, 1959, "Entailment and deducibility", Proceedings of the Aristotelian Society, 59: 233–254.
• Subrahmanian, VS, 1987, "Over de semantiek van kwalitatieve logische programma's", Proc. 4e IEEE Symp. Logic Programming, San Francisco, CA: IEEE Computer Society Press, 178–182.
• Sylvan, Richard, 2000, "A Preliminary Western History of Sociative Logics", in Sociative Logics and Their Applications: Essays van wijlen Richard Sylvan, Dominic Hyde en Graham Priest (red.), Aldershot: Ashgate Publishers.
• Tanaka, Koji, 2003, 'Three Schools of Paraconsistency', The Australasian Journal of Logic, 1: 28–42.
• –––, 2005, “The AGM Theory and Inconsistent Belief Change”, Logique et Analyse, 48 (189–192): 113–150. [Tanaka 2005 online beschikbaar]
• Tanaka, Koji, Francesco Berto, Edwin Mares en Francesco Paoli (eds.), 2013, Paraconsistency: Logic and Applications (Logic, Epistemology, and the Unity of Science 26), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7 [Vierde World Congress-procedure]
• Tillemans, Tom JF, 1999, Scripture, Logic, Language: Essays on Dharmakīrti and His Tibetan Successors, Boston: Wisdom Publications.
• Urquhart, Alasdair, 1972, "Semantics for Relevant Logics", Journal of Symbolische logica, 37 (1): 159–169. doi: 10.2307 / 2272559
• Verdée, Peter, 2013, "Strong, Universal and Provably Non-trivial Set Theory by Means of Adaptive Logic", Logic Journal of the IGPL, 21 (1): 108–125. doi: 10.1093 / jigpal / jzs025
• Weber, Zach, 2010a, 'A Paraconsistent Model of Vagueness', Mind, 119 (476): 1025-1045. doi: 10.1093 / mind / fzq071
• –––, 2010b, “Transfinite Numbers in Paraconsistent Set Theory”, Review of Symbolische Logica, 3 (1): 71–92. doi: 10.1017 / S1755020309990281
• –––, 2012, “Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory”, Review of Symbolische Logica, 5 (2): 269–293. doi: 10.1017 / S1755020312000019

Wereldcongres van paraconsistentievolumes

• [Eerste congres] Batens, Diderik, Chris Mortensen, Graham Priest en Jean-Paul van Bendegem (red.), 2000, Frontiers of Paraconsistent Logic (Studies in Logic and Computation 8), Baldock, Engeland: Research Studies Press.
• [Tweede congres] Carnielli, Walter A., M. Coniglio en Itala Maria Lof D'ottaviano (red.), 2002, Paraconsistency: the Logical Way to the Inconsistent (Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics: Volume 228), Boca Raton: CRC Press.
• [Derde congres] Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli en Dov M. Gabbay (red.), 2007, Handbook of Paraconsistency (Studies in Logic 9), London: College Publications.
• [Vierde congres] Tanaka, Koji, Francesco Berto, Edwin Mares en Francesco Paoli (red.), 2013, Paraconsistentie: logica en toepassingen (logica, epistemologie en de eenheid van wetenschap 26), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7
• [Vijfde congres] Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty en Soma Dutta (red.), 2015, New Directions in Paraconsistent Logic, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

• Eerste Wereldcongres over paraconsistentie
• Tweede Wereldcongres over paraconsistentie
• Derde Wereldcongres over paraconsistentie
• Vierde Wereldcongres over paraconsistentie
• Vijfde Wereldcongres over paraconsistentie