Modale Logica

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Modale logica

Voor het eerst gepubliceerd op 29 februari 2000; inhoudelijke herziening za 8 sep.2018

Een modaal is een uitdrukking (zoals 'noodzakelijk' of 'mogelijk') die wordt gebruikt om de waarheid van een oordeel te kwalificeren. Modale logica is, strikt genomen, de studie van de deductieve gedrag van de uitdrukkingen 'is het noodzakelijk dat' en 'het is mogelijk dat'. De term 'modale logica' kan echter breder worden gebruikt voor een familie van gerelateerde systemen. Deze omvatten logica voor geloof, voor gespannen en andere tijdelijke uitdrukkingen, voor de deontische (morele) uitdrukkingen zoals 'het is verplicht dat' en 'het is toegestaan dat', en vele anderen. Een goed begrip van de modale logica is bijzonder waardevol in de formele analyse van de filosofische argument, waar de uitingen van de modale familie zijn zowel de gemeenschappelijke en verwarrend. Modale logica heeft ook belangrijke toepassingen in de informatica.

• 1. Wat is Modal Logic?
• 2. modale logica
• 3. Deontische logica
• 4. Tijdelijke logica
• 5. Voorwaardelijke logica
• 6. Mogelijke werelden Semantiek
• 7. Modale axioma's en voorwaarden op frames
• 8. Kaart van de relaties tussen modale logica
• 9. Het generaal axioma
• 10. Tweedimensionale semantiek
• 11. Logica van de betaalbaarheid
• 12. Geavanceerde modale logica
• 13. Bi-simulatie
• 14. Modale logica en games
• 15. Quantifiers in Modal Logic
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Wat is Modal Logic?

Restrictieve, modale logica studies redenering dat omvat het gebruik van de termen 'noodzakelijkerwijs' en 'eventueel'. De term 'modale logica' wordt echter breder gebruikt om een logica-familie met vergelijkbare regels en een verscheidenheid aan verschillende symbolen te omvatten.

Hieronder volgt een lijst met de bekendste van deze logica.

Logica	Symbolen	Gesymboliseerde uitdrukkingen
Modale logica	(Doos)	Het is nodig dat …
	(Diamant)	Het is mogelijk dat …
Deontic Logic	(O)	Het is verplicht dat …
	(P)	Het is toegestaan dat …
	(V)	Het is verboden dat …
Temporal Logic	(G)	Het zal altijd zo zijn dat …
	(V)	Het zal zo zijn dat …
	(H)	Het is altijd zo geweest dat …
	(P)	Het was zo dat …
Doxastic Logic	(Bx)	(x) is van mening dat …

2. modale logica

De meest bekende logica in de modale familie zijn opgebouwd uit een zwakke logische naam (bK) (Saul Kripke). Onder de enge lezing betreft modale logica noodzaak en mogelijkheid. Voor dergelijke logica's kunnen verschillende systemen worden ontwikkeld met (bK) als basis. De symbolen van (bK) omvatten '({ sim})' voor 'niet', '(rightarrow)' voor 'als … dan' en '(Box)' voor de modale operator 'dat is nodig'. (De connectieven '(amp)', '(vee)' en '(leftrightarrow)' kunnen worden gedefinieerd uit '({ sim})' en '(rightarrow) 'zoals wordt gedaan in propositionele logica.) (bK) resulteert uit het toevoegen van het volgende aan de principes van propositionele logica.

Benodigde regel: Als (A) een stelling is van (bK), dan is (Box A) dat ook.

Distributie-axioma: (Box (A / rightarrow B) rightarrow (Box A / rightarrow / Box B)).

(In deze principes gebruiken we '(A)' en '(B)' als metavariabelen die zich uitstrekken over formules van de taal.) Volgens de Nodigitatieregel is elke stelling van de logica noodzakelijk. De Distribution Axiom zegt dat als het nodig is dat als (A) dan (B), dan als per se (A), dan per se (B).

De operator (Diamond) (voor 'mogelijk') kan worden gedefinieerd vanuit (Box) door (Diamond A = { sim} Box { sim} A) te laten. In (bK) gedragen de operatoren (Box) en (Diamond) zich erg op de kwantoren (forall) (alles) en (bestaat) (sommige). De definitie van (Diamond) van (Box) weerspiegelt bijvoorbeeld de gelijkwaardigheid van (forall xA) met ({ sim} exist x { sim} A) in predicaatlogica. Verder omvat (Box (A / amp B)) (Box A / amp / Box B) en vice versa; terwijl (Box A / vee / Box B) (Box (A / vee B)) inhoudt, maar niet andersom. Dit weerspiegelt de patronen die worden vertoond door de universele kwantor: (forall x (A / amp B)) omvat (forall xA / amp / forall xB) en vice versa, terwijl (forall xA / vee / forall xB) houdt in (forall x (A / vee B)) maar niet andersom. Vergelijkbare parallellen tussen (Diamond) en (exist) kunnen worden getrokken. De basis voor deze correspondentie tussen de modale operatoren en de kwantoren zal duidelijker naar voren komen in de sectie over mogelijke werelden semantiek.

Het systeem (bK) is te zwak om een toereikende verantwoording af te geven. Het volgende axioma is niet aantoonbaar in (bK), maar het is duidelijk wenselijk.

(tag {(M)} Box A / rightarrow A)

((M)) beweert dat alles wat nodig is, het geval is. Merk op dat ((M)) onjuist zou zijn als (Box) zou worden gelezen 'het zou dat moeten zijn' of 'het was het geval dat'. Dus de aanwezigheid van axioma ((M)) onderscheidt logica voor noodzaak van andere logica in de modale familie. Een basis modale logica (M) resulteert het toevoegen ((M)) naar (bK). (Sommige auteurs noemen dit systeem (mathbf {T}).)

Veel logici zijn van mening dat (M) nog te zwak is om de logica van noodzaak en mogelijkheid correct te formaliseren. Ze bevelen verdere axioma's aan om de iteratie of herhaling van modale operatoren te regelen. Hier zijn twee van de beroemdste iteratie-axioma's:

(tag {4} Box A / rightarrow / Box / Box A) (tag {5} Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)

(mathbf {S4}) is het systeem dat resulteert uit het toevoegen van (4) aan (M). Evenzo (mathbf S5 {}) is (M) plus (5). In (mathbf {S4}) komt de zin (Box / Box A) overeen met (Box A). Als gevolg hiervan kan elke reeks dozen worden vervangen door een enkele doos, en hetzelfde geldt voor diamanten. Dit komt neer op het idee dat iteratie van de modale operatoren overbodig is. Zeggen dat (A) noodzakelijkerwijs noodzakelijk is, wordt beschouwd als een nutteloos langdradige manier om te zeggen dat (A) noodzakelijk is. Het systeem (mathbf {S5}) heeft nog sterkere principes voor het vereenvoudigen van strings van modale operatoren. In (mathbf {S4}) kan een reeks operatoren van dezelfde soort worden vervangen voor die operator; in (mathbf {S5}) zijn strings die zowel vakken als diamanten bevatten gelijk aan de laatste operator in de string. Dus bijvoorbeeldzeggen dat het mogelijk is dat (A) nodig is, is hetzelfde als zeggen dat (A) nodig is. Een samenvatting van deze kenmerken van (mathbf {S4}) en (mathbf {S5}) volgt.

(tag {(mathbf {S4})} Box / Box / ldots / Box = / Box / text {en} Diamond / Diamond / ldots / Diamond = / Diamond) (begin {align *} tag {(mathbf {S5})} 00 / ldots / Box & = / Box / text {en} 00 / ldots / Diamond = / Diamond, \& / text {waar elk} 0 / text {is ofwel} Box / text {of} Diamond / end {align *})

Men kan deelnemen aan eindeloze argument over de juistheid of onjuistheid van deze en andere iteratie uitgangspunten voor (Box) en (Diamond). De controverse kan gedeeltelijk worden opgelost door te erkennen dat de woorden 'noodzakelijk' en 'mogelijk' veel verschillende toepassingen hebben. De aanvaardbaarheid van axioma's voor modale logica hangt dus af van welke van deze toepassingen we in gedachten hebben. Om deze reden is er niet één modale logica, maar eerder een hele familie van systemen gebouwd rond (M). De relatie tussen deze systemen wordt geschetst in sectie 8, en hun toepassing op verschillende toepassingen van 'noodzakelijk' en 'mogelijk' kan dieper worden begrepen door hun mogelijke wereldsemantiek in sectie 6 te bestuderen.

Het systeem (mathbf {B}) (voor de logicus Brouwer) wordt gevormd door axioma ((B)) toe te voegen aan (M).

(tag {(B)} A / rightarrow / Box / Diamond A)

Het is interessant op te merken dat (mathbf {S5}) equivalent kan worden geformuleerd door ((B)) toe te voegen aan (mathbf {S4}). Het axioma ((B)) werpt een belangrijk punt op over de interpretatie van modale formules. ((B)) zegt dat als (A) het geval is, (A) noodzakelijkerwijs mogelijk is. Men zou kunnen stellen dat ((B)) altijd in elke modale logica moet worden aangenomen, want als (A) zeker het geval is, dan is het noodzakelijk dat (A) mogelijk is. Er is echter een probleem met deze claim die kan worden blootgelegd door op te merken dat (Diamond / Box A / rightarrow A) aantoonbaar is vanuit ((B)). Dus (Diamond / Box A / rightarrow A) zou acceptabel moeten zijn als ((B)) is. (Diamond / Box A / rightarrow A) zegt echter dat als (A) mogelijk nodig is, (A) het geval is, en dit is verre van duidelijk. Waarom lijkt ((B)) voor de hand liggend,terwijl een van de dingen die het met zich meebrengt helemaal niet duidelijk lijkt? Het antwoord is dat er een gevaarlijke dubbelzinnigheid bestaat in de Engelse interpretatie van (A / rightarrow / Box / Diamond A). We gebruiken vaak de uitdrukking 'If (A) dan noodzakelijk (B)' om uit te drukken dat de voorwaardelijke 'if (A) then (B)' noodzakelijk is. Deze interpretatie komt overeen met (Box (A / rightarrow B)). Bij andere gelegenheden bedoelen we dat als (A), dan (B) nodig is: (A / rightarrow / Box B). In het Engels is 'noodzakelijk' een bijwoord, en aangezien bijwoorden meestal in de buurt van werkwoorden worden geplaatst, hebben we geen natuurlijke manier om aan te geven of de modale operator van toepassing is op de hele voorwaardelijke of op de consequentie ervan. Om deze redenen bestaat de neiging ((B): A / rightarrow / Box / Diamond A) te verwarren met (Box (A / rightarrow / Diamond A)). Maar (Box (A / rightarrow / Diamond A)) is niet hetzelfde als ((B)), want (Box (A / rightarrow / Diamond A)) is al een stelling van (M), en ((B)) is dat niet. Men moet er speciaal voor zorgen dat onze positieve reactie op (Box (A / rightarrow / Diamond A)) onze evaluatie van ((B)) niet aantast. Een eenvoudige manier om onszelf te beschermen is om (B) op een gelijkwaardige manier te formuleren met behulp van het axioma: (Diamond / Box A / rightarrow A), waar deze onduidelijkheden over de reikwijdte niet ontstaan.waar deze onduidelijkheden van reikwijdte niet ontstaan.waar deze onduidelijkheden van reikwijdte niet ontstaan.

3. Deontische logica

Deontische logica introduceren het primitieve symbool (O) voor 'het is verplicht dat', van waaruit symbolen (P) voor 'het is toegestaan dat' en (F) voor 'het is verboden dat' worden gedefinieerd: (PA = { sim} O { sim} A) en (FA = O { sim} A). Het deontische analoog van het modale axioma ((M): OA / rightarrow A) is duidelijk niet geschikt voor deontische logica. (Helaas, wat zou moeten zijn, is niet altijd het geval.) Een basissysteem (mathbf {D}) van deontische logica kan echter worden geconstrueerd door het zwakkere axioma ((D)) toe te voegen aan (bK).

(tag {(D)} OA / rightarrow PA)

Axiom ((D)) garandeert de consistentie van het verplichtingenstelsel door erop te staan dat wanneer (A) verplicht is, (A) is toegestaan. Een systeem dat ons verplicht om (A) tot stand te brengen, maar ons dat niet toestaat, brengt ons in een onontkoombare binding. Hoewel sommigen zullen beweren dat dergelijke verplichtingenconflicten op zijn minst mogelijk zijn, accepteren de meeste deontische logici ((D)).

(O (OA / rightarrow A)) is een ander deontisch axioma dat wenselijk lijkt. Hoewel het verkeerd is om te zeggen dat als (A) verplicht is, dan is (A) het geval ((OA / rightarrow A)), maar toch zou dit voorwaardelijk het geval moeten zijn. Dus sommige deontische logicians geloven dat (D) moet worden aangevuld met (O (OA / rightarrow A)) ook.

In de deontische logica ontstaat weer controverse over iteratie (herhaling) van operatoren. In sommige concepties van verplichting komt (OOA) neer op (OA). 'Het behoort te zijn dat het behoort te zijn' wordt behandeld als een soort stotteren; de extra 'moet's voegen niets nieuws toe. Er worden dus axioma's toegevoegd om de gelijkwaardigheid van (OOA) en (OA) te garanderen. Het meer algemene iteratiebeleid dat is vervat in (mathbf {S5}) kan ook worden aangenomen. Er zijn echter begrippen van verplichting waarbij onderscheid tussen (OA) en (OOA) behouden blijft. Het idee is dat er echte verschillen zijn tussen de verplichtingen die we daadwerkelijk hebben en de verplichtingen die we moeten aangaan. Dus, bijvoorbeeld, 'het zou moeten zijn dat het zou moeten zijn dat (A)' een bepaalde verplichting oplegt die misschien niet echt bestaat, met als gevolg dat (OOA) waar kan zijn, zelfs wanneer (OA) is onwaar.

4. Tijdelijke logica

In temporele logica (ook bekend als gespannen logica) zijn er twee basisoperatoren, (G) voor de toekomst en (H) voor het verleden. (G) wordt gelezen 'het zal altijd zo zijn' en de gedefinieerde operator (F) (lees 'het zal zo zijn dat') kan worden geïntroduceerd door (FA = { sim} G { sim }EEN). Evenzo wordt (H) gelezen: 'dat was het altijd' en (P) (voor 'het was het geval') wordt gedefinieerd door (PA = { sim} H { sim} A). Een basissysteem van tijdelijke logica genaamd (mathbf {Kt}) is het resultaat van het aannemen van de principes van (bK) voor zowel (G) als (H), samen met twee axioma's om de interactie te regelen tussen de vroegere en toekomstige operatoren:

Benodigde regels:

Als (A) een stelling is, dan zijn (GA) en (HA) dat ook.

Distributie-axioma's:

(G (A / rightarrow B) rightarrow (GA / rightarrow GB)) en (H (A / rightarrow B) rightarrow (HA / rightarrow HB))

Interactie-axioma's:

(A / rightarrow GPA) en (A / rightarrow HFA)

De interactie-axioma's roepen vragen op over asymmetrie tussen verleden en toekomst. Een standaard intuïtie is dat het verleden vaststaat, terwijl de toekomst nog open is. Het eerste interactie-axioma ((A / rightarrow GPA)) komt overeen met deze intuïtie door te melden dat wat het geval is ((A)), in de toekomst in het verleden zal zijn ((GPA)). Het kan echter lijken dat (A / rightarrow HFA) een onaanvaardbaar deterministische ondertoon heeft, want het beweert blijkbaar dat wat nu waar is ((A)) altijd zodanig is geweest dat het in de toekomst zal gebeuren ((HFA)). Uit mogelijke wereldse semantiek voor temporele logica blijkt echter dat deze zorg het gevolg is van een simpele verwarring en dat de twee interactie-axioma's even acceptabel zijn.

Merk op dat het karakteristieke axioma van modale logica, ((M): / Box A / rightarrow A), niet acceptabel is voor (H) of (G), aangezien (A) niet volgt uit 'het is altijd zo geweest dat (A)', noch uit 'het zal altijd zo zijn dat (A)'. Het is echter acceptabel in een nauw verwante temporele logica waar (G) wordt gelezen 'het is en zal altijd zijn' en (H) wordt gelezen 'het is en is altijd geweest'.

Afhankelijk van welke aannames men maakt over de structuur van tijd, moeten er nog meer axioma's worden toegevoegd aan temporele logica. Hieronder volgt een lijst van axioma's die algemeen worden gebruikt in tijdelijke logica. Een overzicht van hoe ze afhangen van de structuur van tijd is te vinden in de sectie Mogelijke werelden semantiek.

(Begin {align *} GA / rightarrow GGA & / text {en} HA / rightarrow HHA \\ GGA / rightarrow GA & / text {en} HHA / rightarrow HA \\ GA / rightarrow FA & / text {en} HA / rightarrow PA / end {align *})

Het is interessant op te merken dat bepaalde combinaties van operatoren uit het verleden en de toekomst kunnen worden gebruikt om complexe tijden in het Engels uit te drukken. (FPA) komt bijvoorbeeld overeen met zin (A) in de toekomstige volmaaktheid (zoals in '20 seconden vanaf nu zal het licht zijn veranderd '). Op dezelfde manier, (PPA) drukt de voltooid verleden tijd.

Voor een meer gedetailleerde bespreking, zie de vermelding over temporele logica.

5. Voorwaardelijke en relevante logica

De grondlegger van de modale logica, CI Lewis, definieerde een reeks modale logica's die (Box) niet als primitief symbool hadden. Lewis was bezorgd over het ontwikkelen van een logica van conditionals die vrij was van de zogenaamde Paradoxes of Material Implication, namelijk de klassieke stellingen (A / rightarrow ({ sim} A / rightarrow B)) en (B / rightarrow (A / rechterpijl B)). Hij introduceerde het symbool (fishhook) voor "strikte implicatie" en ontwikkelde logica's waarin noch (A / fishhook ({ sim} A / fishhook B)) noch (B / fishhook (A / fishhook B)) is aantoonbaar. De moderne praktijk is geweest om (A / fishhook B) te definiëren door (Box (A / rightarrow B)) en modale logica te gebruiken die (Box) regelt om vergelijkbare resultaten te verkrijgen. De bewijsbaarheid van formules als ((A / amp { sim} A) fishhook B) in dergelijke logica lijkt echter in strijd met de paradoxen. Anderson en Belnap (1975) hebben systemen (mathbf {R}) (voor Relevance Logic) en (mathbf {E}) (voor Entailment) ontwikkeld die zijn ontworpen om dergelijke problemen te overwinnen. Deze systemen vereisen herziening van de standaardsystemen van de propositielogica. (Zie Mares (2004) en de vermelding over relevantie-logica.)

David Lewis (1973) en anderen hebben conditionele logica ontwikkeld om contrafeitelijke uitdrukkingen aan te kunnen, dat wil zeggen uitdrukkingen in de vorm 'als (A) zou gebeuren dan zou (B) gebeuren'. (Kvart (1980) is een andere goede bron over dit onderwerp.) Namaaklogica verschillen van die op basis van strikte implicatie, omdat de eerste afwijzen terwijl de laatste contrapositie accepteert.

6. Mogelijke werelden Semantiek

Het doel van logica is om het verschil tussen geldige en ongeldige argumenten te karakteriseren. Een logisch systeem voor een taal is een set axioma's en regels die ontworpen zijn om precies de geldige argumenten te bewijzen die in de taal vermeld kunnen worden. Het creëren van zo'n logica kan een moeilijke taak zijn. De logicus moet ervoor zorgen dat het systeem deugdelijk is, dat wil zeggen dat elk argument dat is bewezen met de regels en axioma's in feite geldig is. Bovendien moet het systeem compleet zijn, wat betekent dat elk geldig argument een bewijs in het systeem heeft. Het aantonen van de deugdelijkheid en volledigheid van formele systemen is de centrale zorg van een logicus.

Een dergelijke demonstratie kan pas van start gaan als het concept van validiteit rigoureus is gedefinieerd. Formele semantiek voor een logica geeft een definitie van geldigheid door het waarheidsgedrag van de zinnen van het systeem te karakteriseren. In propositionele logica kan validiteit worden gedefinieerd met behulp van waarheidstabellen. Een geldig argument is er gewoon een waarbij elke waarheidstabelrij die zijn premissen waar maakt, zijn conclusie ook waar maakt. Waarheidstabellen kunnen echter niet worden gebruikt om een validiteitsverslag te geven in modale logica omdat er geen waarheidstabellen zijn voor uitdrukkingen als 'het is noodzakelijk dat', 'het is verplicht dat', en dergelijke. (Het probleem is dat de waarheidswaarde van (A) niet de waarheidswaarde voor (Box A) bepaalt. Als (A) bijvoorbeeld 'Dogs are dogs' is, (Box A) is waar, maar als (A) 'Honden zijn huisdieren' is, is (Box A) niet waar.) Desalniettemin,semantiek voor modale logica kan worden gedefinieerd door mogelijke werelden te introduceren. We zullen mogelijke semantiek van werelden illustreren voor een logica van noodzaak die de symbolen ({ sim}, / rightarrow) en (Box) bevat. Vervolgens leggen we uit hoe dezelfde strategie kan worden aangepast aan andere logica's in de modale familie.

In de propositielogica kent een waardering van de atoomzinnen (of rij van een waarheidstabel) een waarheidswaarde ((T) of (F)) toe aan elke propositionele variabele (p). Vervolgens worden de waarheidswaarden van de complexe zinnen berekend met waarheidstabellen. In modale semantiek wordt een set (W) van mogelijke werelden geïntroduceerd. Een taxatie geeft dan een waarheidswaarde aan elke propositionele variabele voor elk van de mogelijke werelden in (W). Dit betekent dat de waarde die is toegewezen aan (p) voor wereld (w) kan verschillen van de waarde die is toegewezen aan (p) voor een andere wereld (w ').

De waarheidswaarde van de atoomzin (p) in de wereld (w) gegeven door de waardering (v) mag worden geschreven (v (p, w)). Gezien deze notatie, de waarheidswaarden ((T) voor waar, (F) voor onwaar) van complexe zinnen van modale logica voor een gegeven waardering (v) (en lid (w) van de set van werelden (W)) kan worden gedefinieerd door de volgende waarheidsclausules. ('iff' is een afkorting van 'if and only if'.)

(Label {({ sim}) v} ({} sim A, W) = T / text {iff v} (A, w) = F.) (tag {(rightarrow)} v (A / rightarrow B, w) = T / text {iff} v (A, w) = F / text {of} v (B, w) = T.) (tag {5} v (Box A, w) = T / text {iff voor elke wereld} w '\ text {in} W, v (A, w') = T.)

Clausules (({ sim})) en ((rightarrow)) beschrijven eenvoudig het standaard waarheidstabelgedrag voor respectievelijk ontkenning en materiële implicatie. Volgens (5) is (Box A) waar (in een wereld (w)) precies wanneer (A) waar is in alle mogelijke werelden. Gezien de definitie van (Diamond) (namelijk (Diamond A = { sim} Box { sim} A)) verzekert de waarheidstoestand (5) dat (Diamond A) waar voor het geval dat (A) waar is in een mogelijke wereld. Aangezien de waarheidsclausules voor (Box) en (Diamond) de kwantoren 'all' en 'some' (respectievelijk) omvatten, zijn de parallellen in logisch gedrag tussen (Box) en (forall x), en tussen (Diamond) en (exist x) vermeld in sectie 2 wordt verwacht.

Clausules (({ sim}), (rightarrow)) en (5) stellen ons in staat om de waarheidswaarde van elke zin in elke wereld op een bepaalde waardering te berekenen. Een definitie van validiteit staat nu voor de deur. Een argument is 5-geldig voor een gegeven set W (van mogelijke werelden) als en alleen als elke waardering van de atoomzinnen die de premissen (T) toewijst aan een wereld in (W) ook de conclusie (T) op dezelfde wereld. Een argument zou 5-geldig zijn als het geldig is voor elke niet-lege verzameling (W) van mogelijke werelden.

Er is aangetoond dat (mathbf {S5}) gezond en compleet is voor een geldigheid van 5 (vandaar ons gebruik van het symbool '5'). De vijf geldige argumenten zijn precies de argumenten die kunnen worden aangetoond in (mathbf {S5}). Dit resultaat suggereert dat (mathbf {S5}) de juiste manier is om een logica van noodzaak te formuleren.

(Mathbf {S5}) is echter geen redelijke logica voor alle leden van de modale familie. In deontische logica, temporele logica en andere is het analoog van de waarheidstoestand (5) duidelijk niet geschikt; bovendien zijn er zelfs concepties van noodzaak waarbij (5) eveneens moet worden verworpen. Het punt is het gemakkelijkst te zien in het geval van temporele logica. Hier zijn de leden van (W) momenten van tijd, of werelden als het ware 'bevroren' op een bepaald moment. Laten we voor de eenvoud eens kijken naar een toekomstige temporele logica, een logica waar (Box A) luidt: 'het zal altijd zo zijn'. (We formuleren het systeem met (Box) in plaats van de traditionele (G), zodat de verbindingen met andere modale logica's gemakkelijker te begrijpen zijn.) De juiste clausule voor (Box) zou moeten zeggen dat (Box A) is waar op het moment (w) iff (A) is altijd waar in de toekomst van (w). Om de aandacht voor de toekomst te beperken, moet de relatie (R) (voor 'vroeger dan') worden geïntroduceerd. Dan kan de juiste clausule als volgt worden geformuleerd.

(tag {(K)} v (Box A, w) = T / text {iff voor elke} w ', / text {if} wRw', / text {then} v (A, w ') = T.)

Dit zegt dat (Box A) waar is in (w) voor het geval dat (A) te allen tijde waar is na (w).

Geldigheid voor dit merk van temporele logica kan nu worden gedefinieerd. Een frame (langle W, R / rangle) is een paar dat bestaat uit een niet-lege set (W) (van werelden) en een binaire relatie (R) op (W). Een model (langle F, v / rangle) bestaat uit een frame (F) en een waardering (v) die waarheidswaarden toekent aan elke atoomzin op elke wereld in (W). Bij een model kunnen de waarden van alle complexe zinnen worden bepaald met (({ sim}), (rightarrow)) en ((K)). Een argument is (bK) - geldig voor het geval elk model waarvan de waardering de premissen (T) aan een wereld toewijst, ook de conclusie (T) aan dezelfde wereld toewijst. Zoals de lezer heeft geraden uit ons gebruik van '(bK)', is aangetoond dat de eenvoudigste modale logica (bK) zowel degelijk als compleet is voor (bK) - validiteit.

7. Modale axioma's en voorwaarden op frames

Uit deze discussie zou men kunnen aannemen dat (bK) de juiste logica is wanneer (Box) wordt gelezen 'het zal altijd zo zijn'. Er zijn echter redenen om te denken dat (bK) te zwak is. Een voor de hand liggend logisch kenmerk van de relatie (R) (eerder dan) is transitiviteit. Als (wRv (w) eerder is dan (v)) en (vRu (v) eerder is dan (u)), volgt daaruit dat (wRu (w) eerder is dan (u)). Laten we dus een nieuw soort geldigheid definiëren die overeenkomt met deze voorwaarde op (R). Laat een 4-model elk model zijn waarvan het frame (langle W, R / rangle) zodanig is dat (R) een transitieve relatie is op (W). Dan is een argument 4-geldig als elk 4-model waarvan de waardering (T) toewijst aan het pand in een wereld ook (T) toewijst aan de conclusie op dezelfde wereld. We gebruiken '4' om een dergelijk transitief model te beschrijven omdat de logica die geschikt (zowel gezond als compleet) is voor 4-geldigheid (mathbf {K4}) is, de logica die resulteert uit het toevoegen van het axioma (4): (Box A / rightarrow / Box / Box A) naar (bK).

Overgevoeligheid is niet de enige eigenschap die we van het frame (langle W, R / rangle) zouden willen hebben als (R) 'eerder dan' gelezen moet worden en (W) een set is van momenten. Een voorwaarde (die slechts licht controversieel is) is dat er geen laatste moment is, dat wil zeggen dat er voor elke wereld (w) een bepaalde wereld (v) is zodat (wRv). Deze voorwaarde op frames wordt serialiteit genoemd. Serialiteit komt overeen met de axioma ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A), op dezelfde manier als transitiviteit overeenkomt met (4). Een (mathbf {D}) - model is een (bK) - model met een serieel frame. Vanuit het concept van een (mathbf {D}) - modelleer je de corresponderende notie van (mathbf {D}) - validiteit kan worden gedefinieerd zoals we deden in het geval van 4-validiteit. Zoals je waarschijnlijk al geraden had, is het systeem dat geschikt is met betrekking tot (mathbf {D}) - validiteit (mathbf {KD}),of (bK) plus ((D)). Niet alleen dat, maar het systeem (mathbf {KD4}) (dat wil zeggen (bK) plus (4) en ((D))) is toereikend met betrekking tot (mathbf {D4}) - validiteit, waarbij een (mathbf {D4}) - model er een is waarbij (langle W, R / rangle) zowel serieel als transitief is.

Een andere eigenschap die we misschien zouden willen voor de relatie 'vroeger dan' is dichtheid, de voorwaarde die zegt dat we tussen twee keer altijd een andere kunnen vinden. De dichtheid zou vals zijn als de tijd atomair was, dat wil zeggen als er tijdsintervallen waren die niet in kleinere delen konden worden opgesplitst. Dichtheid komt overeen met het axioma ((C4): / Box / Box A / rightarrow / Box A), het tegenovergestelde van (4), dus bijvoorbeeld het systeem (mathbf {KC4}), dat is (bK) plus ((C4)) is geschikt met betrekking tot modellen waar het frame (langle W, R / rangle) dicht is, en (mathbf {KDC4}), voldoende met respect naar modellen waarvan de frames serieel en dicht zijn, enzovoort.

Elk van de modale logische axioma's die we hebben besproken, komt op dezelfde manier overeen met een voorwaarde op frames. De relatie tussen voorwaarden op frames en bijbehorende axioma's is een van de centrale onderwerpen in de studie van modale logica. Zodra een interpretatie van de intensional operator (Box) is besloten, kunnen de juiste voorwaarden op (R) worden bepaald om het bijbehorende begrip van validiteit vast te stellen. Dit stelt ons op zijn beurt in staat om de juiste set axioma's voor die logica te selecteren.

Overweeg bijvoorbeeld een deontische logica, waarbij (Box) wordt gelezen 'het is verplicht dat'. Hier eist de waarheid van (Box A) niet de waarheid van (A) in elke mogelijke wereld, maar alleen in een subset van die werelden waar mensen doen wat ze zouden moeten doen. We zullen dus ook een relatie (R) willen introduceren voor dit soort logica, en de waarheidsclausule ((K)) gebruiken om (Box A) in een wereld te evalueren. In dit geval is (R) echter niet eerder dan. In plaats daarvan geldt (wRw ') voor het geval wereld (w') een moreel aanvaardbare variant is van (w), dat wil zeggen een wereld die onze acties kunnen bewerkstelligen en die voldoet aan wat moreel correct of juist is, of alleen maar. Bij een dergelijke lezing moet het duidelijk zijn dat de relevante frames moeten voldoen aan serialiteit, de voorwaarde die vereist dat elke mogelijke wereld een moreel aanvaardbare variant heeft. De analyse van de gewenste eigenschappen voor (R) maakt duidelijk dat een basisdeontische logica kan worden geformuleerd door de axioma ((D)) en (bK) toe te voegen.

Zelfs in de modale logica kan men het aantal mogelijke werelden willen beperken die relevant zijn om te bepalen of (Box A) waar is in een bepaalde wereld. Ik zou bijvoorbeeld kunnen zeggen dat ik mijn rekeningen moet betalen, ook al weet ik heel goed dat er een mogelijke wereld is waarin ik ze niet betaal. In gewone spraak vereist de bewering dat (A) noodzakelijk is niet de waarheid van (A) in alle mogelijke werelden, maar eerder alleen in een bepaalde klasse van werelden die ik in gedachten heb (bijvoorbeeld werelden waar Ik vermijd boetes voor niet-betaling). Om een generieke behandeling van noodzaak te bieden, moeten we zeggen dat (Box A) waar is in (w) iff (A) waar is in alle werelden die verband houden met (w) in de goede weg. Dus voor een operator (Box) geïnterpreteerd als noodzaak,we introduceren een corresponderende relatie (R) op de set van mogelijke werelden (W), traditioneel de toegankelijkheidsrelatie genoemd. De toegankelijkheidsrelatie (R) tussen werelden (w) en (w ') iff (w') is mogelijk gezien de feiten van (w). Onder deze lezing voor (R) moet het duidelijk zijn dat frames voor modale logica reflexief moeten zijn. Hieruit volgt dat modale logica gebaseerd moet zijn op (M), het systeem dat resulteert uit het toevoegen van ((M)) aan (bK). Afhankelijk van hoe de toegankelijkheidsrelatie precies wordt begrepen, kunnen symmetrie en transitiviteit ook gewenst zijn.het moet duidelijk zijn dat frames voor modale logica reflexief moeten zijn. Hieruit volgt dat modale logica gebaseerd moet zijn op (M), het systeem dat resulteert uit het toevoegen van ((M)) aan (bK). Afhankelijk van hoe de toegankelijkheidsrelatie precies wordt begrepen, kunnen symmetrie en transitiviteit ook gewenst zijn.het moet duidelijk zijn dat frames voor modale logica reflexief moeten zijn. Hieruit volgt dat modale logica gebaseerd moet zijn op (M), het systeem dat resulteert uit het toevoegen van ((M)) aan (bK). Afhankelijk van hoe de toegankelijkheidsrelatie precies wordt begrepen, kunnen symmetrie en transitiviteit ook gewenst zijn.

Een lijst met enkele van de meer algemeen besproken voorwaarden op frames en hun bijbehorende axioma's, samen met een kaart die de relatie tussen de verschillende modale logica's laat zien, is te vinden in de volgende sectie.

8. Kaart van de relaties tussen modale logica

Het volgende diagram toont de relaties tussen de bekendste modale logica, namelijk logica die kan worden gevormd door een selectie toe te voegen van de axioma's ((D), (M)), (4), ((B)) en (5) tot (bK). Een lijst van deze (en andere) axioma's samen met hun bijbehorende framecondities vindt u onder het diagram.

Diagram van Modal Logics

In deze grafiek worden systemen gegeven door de lijst van hun axioma's. (Mathbf {M4B}) is bijvoorbeeld het resultaat van het toevoegen van ((M)), (4) en ((B)) aan (bK). Vetgedrukt hebben we traditionele namen van sommige systemen aangegeven. Als systeem (mathbf {S}) hieronder en / of links van (mathbf {S} ') wordt weergegeven, verbonden door een lijn, dan is (mathbf {S}') een extensie van (mathbf {S}). Dit betekent dat elk argument aantoonbaar in (mathbf {S}) aantoonbaar is in (mathbf {S} '), maar (mathbf {S}) is zwakker dan (mathbf {S} '), dwz niet alle argumenten die aantoonbaar zijn in (mathbf {S}') zijn aantoonbaar in (mathbf {S}).

De volgende lijst geeft axioma's, hun namen en de bijbehorende voorwaarden op de toegankelijkheidsrelatie (R) aan, voor axioma's die tot dusver in deze encyclopedie zijn besproken.

Naam	Axioma	Conditie op frames	R is …
((D))	(Box A / rightarrow / Diamond A)	(bestaat u wRu)	Serieel
((M))	(Box A / rightarrow A)	(wRw)	Reflexief
(4)	(Box A / rightarrow / Box / Box A)	((wRv / amp vRu) Rightarrow wRu)	Transitief
((B))	(A / rightarrow / Box / Diamond A)	(wRv / Rightarrow vRw)	Symmetrisch
(5)	(Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)	((wRv / amp wRu) Rightarrow vRu)	Euclidisch
((CD))	(Diamond A / rightarrow / Box A)	((wRv / amp wRu) Rightarrow v = u)	Functioneel
((Box M))	(Box (Box A / rightarrow A))	(wRv / Rightarrow vRv)	Shift- reflexief
((C4))	(Box / Box A / rightarrow / Box A)	(wRv / Rightarrow / bestaat u (wRu / amp uRv))	Dicht
((C))	(Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A)	(wRv / amp wRx / Rightarrow / bestaat u (vRu / amp xRu))	Convergerend

In de lijst met voorwaarden op frames, en in de rest van dit artikel, de variabelen '(w)', '(v)', '(u)', '(x)' en de kwantor '(exist u)' wordt geacht te reiken over (W). '&' afkorting 'en' en '(Rightarrow)' afkorting 'als … dan'.

Het begrip overeenkomst tussen axioma's en framecondities dat hier aan de orde is, werd in de vorige paragraaf uitgelegd. Als S een lijst van axioma's is en F (S) de corresponderende set framecondities, dan komt S overeen met F (S) precies wanneer het systeem K + S geschikt (gezond en compleet) is voor F (S) -validiteit, dat wil zeggen, een argument is aantoonbaar in K + S als het F (S) -valid is. Verschillende sterkere noties van overeenstemming tussen axioma's en framecondities zijn naar voren gekomen in onderzoek naar modale logica.

9. Het generaal axioma

De overeenkomst tussen axioma's en voorwaarden op frames lijkt misschien een mysterie. Een prachtig resultaat van Lemmon en Scott (1977) gaat een lange weg om die relaties uit te leggen. Hun stelling betrof axioma's die de volgende vorm hebben:

(tag {(G)} Diamond ^ h / Box ^ i A / rightarrow / Box ^ j / Diamond ^ k A)

We gebruiken de notatie '(Diamond ^ n)' om (n) diamanten achter elkaar weer te geven, dus bijvoorbeeld '(Diamond ^ 3)' is een afkorting van een reeks van drie diamanten: '(Diamond / Diamond / Diamond) '. Op dezelfde manier vertegenwoordigt '(Box ^ n)' een reeks (n) boxen. Als de waarden van (h, i, j) en (k) allemaal 1 zijn, hebben we axiom ((C)):

(tag {(C)} Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 1 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

De axioma ((B)) is het resultaat van het instellen van (h) en (i) op 0, en laat (j) en (k) 1 zijn:

(tag {(B)} A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 0 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

Om (4) te verkrijgen, kunnen we (h) en (k) op 0 zetten, (i) op 1 en (j) op 2 zetten:

(tag {4} Box A / rightarrow / Box / Box A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 2 / Diamond ^ 0 A)

Veel (maar niet alle) modi-axioma's kunnen worden verkregen door de juiste waarden in te stellen voor de parameters in ((G))

Onze volgende taak zal zijn om de voorwaarde op frames te geven die overeenkomt met ((G)) voor een gegeven selectie van waarden voor (h, i, j) en (k). Hiervoor hebben we een definitie nodig. De samenstelling van twee relaties (R) en (R ') is een nieuwe relatie (R / circ R') die als volgt wordt gedefinieerd:

[wR / circ R'v / text {iff voor sommige} u, wRu / text {en} uR'v.)

Als (R) bijvoorbeeld de relatie is om een broer te zijn, en (R ') de relatie is om een ouder te zijn, dan is (R / circ R') de relatie om een oom te zijn, (omdat (w) de oom is van (v) iff voor iemand (u), beide (w) is de broer van (u) en (u) is de ouder van (v)). Een relatie kan met zichzelf zijn samengesteld. Als (R) bijvoorbeeld de relatie is van een ouder zijn, dan is (R / circ R) de relatie van een grootouder zijn en (R / circ R / circ R) is de relatie van een overgrootouder zijn. Het is handig om '(R ^ n)' te schrijven voor het resultaat van het samenstellen van (R) met zichzelf (n) keer. Dus (R ^ 2) is (R / circ R) en (R ^ 4) is (R / circ R / circ R / circ R). We laten (R ^ 1) (R) zijn en (R ^ 0) de identiteitsrelatie, dwz (wR ^ 0 v) iff (w = v).

We kunnen nu het resultaat van Scott-Lemmon noemen. Het is dat de voorwaarde op frames die exact overeenkomt met een axioma van de vorm ((G)) de volgende is.

(tag {(hijk) - Convergence} wR ^ hv / amp wR ^ ju / Rightarrow / bestaat x (vR ^ ix / amp uR ^ kx))

Het is interessant om te zien hoe de vertrouwde voorwaarden op (R) het gevolg zijn van het instellen van de waarden voor (h), (i), (j) en (k) volgens de waarden in het bijbehorende axioma. Overweeg bijvoorbeeld (5). In dit geval (i = 0) en (h = j = k = 1). De bijbehorende voorwaarde is dus

[wRv / amp wRu / Rightarrow / bestaat x (vR ^ 0 x / amp uRx).)

We hebben uitgelegd dat (R ^ 0) de identiteitsrelatie is. Dus als (vR ^ 0 x) dan (v = x). Maar (bestaat x (v = x / amp uRx)), komt overeen met (uRv), en dus wordt de Euclidische conditie verkregen:

[(wRv / amp wRu) Rightarrow uRv.)

In het geval van axioma (4), (h = 0, i = 1, j = 2) en (k = 0). Dus de overeenkomstige voorwaarde op frames is

[(w = v / amp wR ^ 2 u) Rightarrow / bestaat x (vRx / amp u = x).)

Het oplossen van de identiteiten komt neer op:

[vR ^ 2 u / Rightarrow vRu.)

Volgens de definitie van (R ^ 2, vR ^ 2 u) iff (bestaat x (vRx / amp xRu)), komt dit dus op:

(bestaat x (vRx / amp xRu) Rightarrow vRu,)

wat door predikatenlogica gelijk is aan transitiviteit.

[vRx / amp xRu / Rightarrow vRu.)

De lezer vindt het misschien een prettige oefening om te zien hoe de bijbehorende condities uit hijk-Convergence vallen als de waarden van de parameters (h), (i), (j), en (k) worden bepaald door andere axioma's.

De Scott-Lemmon-resultaten bieden een snelle methode om resultaten vast te stellen over de relatie tussen axioma's en hun overeenkomstige framecondities. Aangezien ze de geschiktheid aantoonden van elke logica die (bK) uitbreidt met een selectie van axioma's van de vorm ((G)) met betrekking tot modellen die voldoen aan de corresponderende set framevoorwaarden, voorzagen ze in een "groothandel" -geschiktheid bewijzen voor de meeste systemen in de modale familie. Sahlqvist (1975) heeft belangrijke generalisaties van het Scott-Lemmon-resultaat ontdekt die een veel breder scala aan axioma-typen omvatten.

De lezer moet echter worden gewaarschuwd dat de nette overeenkomst tussen axioma's en voorwaarden op frames atypisch is. Er zijn voorwaarden aan frames die niet overeenkomen met axioma's en er zijn zelfs voorwaarden aan frames waarvoor geen systeem geschikt is. (Zie voor een voorbeeld Boolos, 1993, pp. 148ff.)

10. Tweedimensionale semantiek

Tweedimensionale semantiek is een variant van mogelijke wereldsemantiek die twee (of meer) soorten parameters gebruikt bij de evaluatie van de waarheid, in plaats van alleen mogelijke werelden. Een logica van indexische uitdrukkingen, zoals 'ik', 'hier', 'nu' en dergelijke, moet bijvoorbeeld de taalkundige context (of kortweg de context) inbrengen. Gegeven een context (c = / langle s, p, t / rangle) waar (s) de spreker is, (p) de plaats en (t) de tijd van uiting, dan 'I 'verwijst naar (s),' hier 'naar (p) en' nu 'naar (t). Dus in de context (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 uur CST op 4/3 / (2014 / rangle) 'Ik ben hier nu' is T als Jim Garson in Houston is, op 15:00 CST op 3-4-2014.

In de semantiek van mogelijke werelden was de waarheidswaarde van een zin afhankelijk van de wereld waarop deze wordt geëvalueerd. Indexen brengen echter een tweede dimensie met zich mee - dus moeten we opnieuw generaliseren. Kaplan (1989) definieert het karakter van een zin B als een functie van de set van (taalkundige) contexten tot de inhoud (of intentie) van B, waarbij de inhoud op zijn beurt gewoon de intentie van B is, dat is een functioneren van mogelijke werelden naar waarheidswaarden. Hier is waarheidsevaluatie dubbel afhankelijk - van zowel taalkundige contexten als mogelijke werelden.

Een van Kaplan's meest interessante observaties is dat sommige indexische zinnen voorwaardelijk zijn, maar tegelijkertijd analytisch waar. Een voorbeeld is (1).

(1) Ik ben hier nu

Alleen al uit de betekenis van de woorden, je kunt zien dat (1) waar moet zijn in elke context (c = / langle s, p, t / rangle). (C) geldt tenslotte als een taalkundige context voor het geval (s) een spreker is die op tijd (t) op zijn plaats is (p). Daarom is (1) waar bij (c), en dat betekent dat het patroon van waarheidswaarden (1) langs de contextdimensie alle Ts moet zijn (aangezien de mogelijke wereld vastgehouden wordt). Dit suggereert dat de contextdimensie geschikt is voor het volgen van analytische kennis die is verkregen door het beheersen van onze taal. Aan de andere kant houdt de dimensie van mogelijke werelden bij wat nodig is. Als we de context vasthouden, zijn er mogelijke werelden waar (1) vals is. Bijvoorbeeld, wanneer (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 CST op 4/3 / (2014 / rangle), (1) faalt bij (c) in een mogelijke wereld waar Jim Garson is om 3 uur in Boston:00:00 uur CST op 3-4-2014. Hieruit volgt dat 'ik ben hier nu' een voorwaardelijke analytische waarheid is. Daarom kan tweedimensionale semantiek omgaan met situaties waarin noodzaak en analyticiteit uit elkaar vallen.

Een ander voorbeeld waarin het binnenbrengen van twee dimensies nuttig is, is de logica voor een open toekomst (Thomason, 1984; Belnap, et al., 2001). Hier maakt men gebruik van een tijdelijke structuur waarin veel mogelijke toekomstige geschiedenissen zich uitstrekken vanaf een bepaalde tijd. Overweeg (2).

(2) Joe zal morgen een zeeslag bestellen

Als (2) contingent is, dan is er een mogelijke geschiedenis waarin de strijd plaatsvindt de dag na het tijdstip van evaluatie, en een andere waar deze dan niet plaatsvindt. Dus om te evalueren (2) moet je twee dingen weten: wat is de tijd t van evaluatie, en welke van de geschiedenissen h die door t gaan moet worden overwogen. Dus een zin in zo'n logica wordt geëvalueerd op een paar (langle t, h / rangle).

Een ander probleem opgelost door twee-dimensionale semantiek is de interactie tussen 'nu' en andere tijdelijke uitdrukkingen als de toekomstige tijd 'zal het zo zijn dat'. Dan is het aannemelijk dat 'nu' verwijst naar het tijdstip van evaluatie. Dus we zouden de volgende waarheidsconditie hebben:

(tag {Now} v (text {Now} B, t) = / mathrm {T} text {iff} v (B, t) = / mathrm {T}.)

Maar dit zal niet werken voor zinnen als (3).

(3) Op een bepaald moment in de toekomst zal iedereen die nu leeft onbekend zijn

Met (mathrm {F}) als de operator voor de toekomende tijd, kan (3) worden vertaald:

(tag {(3 ')} mathrm {F} forall x (text {Now} Lx / rightarrow Ux).)

(De juiste vertaling kan niet (forall x (text {Now} Lx / rightarrow / mathrm {F} Ux)) zijn, waarbij (mathrm {F}) een beperkte reikwijdte heeft, omdat (3) daar zegt is een toekomstige tijd waarin alle dingen die nu leven samen onbekend zijn, niet dat elk levend wezen in een toekomstige eigen tijd onbekend zal zijn). Wanneer de waarheidscondities voor (3) (') berekend zijn, met behulp van (Now) en de waarheidsconditie ((mathrm {F})) voor (mathrm {F}), blijkt dat (3) (') is waar op tijd (u) als er een tijd (t) na (u) is zodat alles wat leeft op (t) (niet (u)!) is onbekend op (t).

(tag {F} v (mathrm {F} B, t) = / mathrm {T} text {iff enige tijd} u / text {later dan} t, v (B, u) = / mathrm {T}.)

Om (3) (') correct te evalueren zodat het overeenkomt met wat we bedoelen met (3), moeten we ervoor zorgen dat' nu 'altijd terugverwijst naar de oorspronkelijke tijd van uiting wanneer' nu 'in het bereik van andere ligt temporele operatoren zoals F. Daarom moeten we bijhouden welke tijd de tijd van uiting is ((u)) en welke tijd de tijd van evaluatie is ((t)). Onze indices hebben dus de vorm van een paar (langle u, e / rangle), waarbij (u) de tijd van uiting is en (e) de tijd van evaluatie. Vervolgens wordt de waarheidstoestand (Nu) herzien naar (2DNow).

(tag {2DNow} v (text {Now} B, / langle u, e / rangle) = / mathrm {T} text {iff} v (B, / langle u, u / rangle) = / mathrm {T}.)

Dit heeft tot gevolg dat het Now (B) waar is in een tijd u van uiting en tijd e van evaluatie, op voorwaarde dat B waar is wanneer u wordt beschouwd als het moment van evaluatie. Wanneer de waarheidsvoorwaarden voor F, (forall) en (rightarrow) op de voor de hand liggende manier worden herzien (negeer gewoon de u in het paar), is (3) (') waar bij (langle u, e / rangle) op voorwaarde dat er een tijd (e ') later is dan e, zodat alles wat leeft in (u) onbekend is bij (e'). Door een record bij te houden van wat (u) is tijdens de waarheidsberekening, kunnen we de waarde voor 'nu' altijd fixeren op de oorspronkelijke tijd van uiting, zelfs als 'nu' diep ingebed is in andere temporele operatoren.

Een soortgelijk fenomeen doet zich voor bij modale logica met een actualiteitsoperator A (lees 'het is eigenlijk zo'). Om goed te kunnen evalueren (4) moeten we bijhouden welke wereld wordt gezien als de feitelijke (of echte) wereld en welke wordt meegenomen naar de evaluatiewereld.

(4) Het is mogelijk dat iedereen die werkelijk leeft onbekend is

Het idee om verschillende mogelijke werelddimensies in de semantiek te onderscheiden, heeft nuttige toepassingen gehad in de filosofie. Zo heeft Chalmers (1996) argumenten uiteengezet van de denkbaarheid van (zeg maar) zombies tot dualistische conclusies in de filosofie van de geest. Chalmers (2006) heeft tweedimensionale semantiek ingezet om een a-priori betekenisaspect te helpen identificeren dat dergelijke conclusies zou ondersteunen.

Het idee is ook ingezet in de taalfilosofie. Kripke (1980) beweerde beroemd dat 'Water is H2O' a posteriori is, maar niettemin een noodzakelijke waarheid, want aangezien water gewoon H20 is, is er geen mogelijke wereld waar DAT spul (zeg maar) een basiselement is zoals de Grieken dachten. Aan de andere kant is er een sterke intuïtie die, als de echte wereld enigszins anders was geweest dan wat het is, de geurloze vloeistof die als regen uit de lucht valt, onze meren en rivieren vult, heel goed een element zou kunnen zijn geweest. In zekere zin is het dus denkbaar dat water geen H20 is. Tweedimensionale semantiek maakt plaats voor deze intuïties door een aparte dimensie te bieden die een conceptie van water volgt die de chemische aard van wat water eigenlijk is, opzij zet. Zo'n 'beperkte inhoud'-verklaring van de betekenis van' water 'kan verklaren hoe men semantische competentie kan vertonen bij het gebruik van die term en toch onwetend kan zijn over de chemie van water (Chalmers, 2002).

11. Logica van de betaalbaarheid

Modale logica is nuttig geweest om ons begrip van centrale resultaten met betrekking tot bewijsbaarheid in de grondslagen van de wiskunde te verduidelijken (Boolos, 1993). Logica van de betaalbaarheid zijn systemen waarbij de propositionele variabelen (p, q, r), enz. Zich uitstrekken over formules van een wiskundig systeem, bijvoorbeeld Peano's systeem (mathbf {PA}) voor rekenen. (Het voor wiskunde gekozen systeem kan variëren, maar neem aan dat het (mathbf {PA}) is voor deze discussie.) Gödel toonde aan dat rekenen sterk expressieve krachten heeft. Met codenummers voor rekenkundige zinnen kon hij een overeenkomst aantonen tussen wiskundige zinnen en feiten over welke zinnen wel en niet bewijsbaar zijn in (mathbf {PA}). Bijvoorbeeld,hij liet zien dat er een zin (C) is die waar is voor het geval er geen tegenstrijdigheid kan worden aangetoond in (mathbf {PA}) en er is een zin (G) (de beroemde Gödel-zin) die is waar, voor het geval het niet aantoonbaar is in (mathbf {PA}).

In logica voor bewijsbaarheid wordt (Box p) geïnterpreteerd als een (rekenkundige) formule die uitdrukt dat wat (p) aangeeft aantoonbaar is in (mathbf {PA}). Met behulp van deze notatie geven zinnen van logica voor bewijsbaarheid feiten over bewijsbaarheid weer. Stel dat (bot) een constante is van de logica van de bewijsbaarheid die een tegenstrijdigheid aangeeft. Vervolgens zegt ({ sim} Box / bot) dat (mathbf {PA}) consistent is en (Box A / rightarrow A) zegt dat (mathbf {PA}) gezond is in de zin dat wanneer het bewijst dat (A, A) inderdaad waar is. Bovendien kan de doos worden herhaald. Dus (Box { sim} Box / bot) beweert dus twijfelachtig dat (mathbf {PA}) zijn eigen consistentie kan bewijzen, en ({ sim} Box / bot / rightarrow { sim} Box { sim} Box / bot) beweert (correct zoals Gödel bewees) dat als (mathbf {PA}) consistent is dan (mathbf {PA}) kan zijn eigen consistentie niet bewijzen.

Hoewel logica voor bewijsbaarheid een familie van gerelateerde systemen vormt, is het systeem (mathbf {GL}) verreweg het bekendste. Het is het resultaat van het toevoegen van het volgende axioma aan (bK):

(tag {(GL)} Box (Box A / rightarrow A) rightarrow / Box A)

Het axioma (4): (Box A / rightarrow / Box / Box A) is aantoonbaar in (mathbf {GL}), dus (mathbf {GL}) is eigenlijk een versterking van (mathbf {K4}). Axioma's zoals ((M): / Box A / rightarrow A) en zelfs de zwakkere ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A) zijn niet beschikbaar (noch wenselijk) in (mathbf {GL}). In de logica van bewijsbaarheid mag bewijsbaarheid niet worden behandeld als een merk van noodzaak. De reden is dat wanneer (p) aantoonbaar is in een willekeurig systeem (mathbf {S}) voor wiskunde, niet volgt dat (p) waar is, aangezien (mathbf {S}) is mogelijk ondeugdelijk. Bovendien, als (p) aantoonbaar is in (mathbf {S} (Box p)), hoeft het niet eens te volgen dat ({ sim} p) een bewijs mist (({ sim} Box { sim} p = / Diamond p). / Mathbf {S}) is mogelijk inconsistent en bewijst dus zowel (p) als ({ sim} p).

Axiom ((GL)) legt de inhoud van de stelling van Loeb vast, een belangrijk resultaat in de grondslagen van rekenen. (Box A / rightarrow A) zegt dat (mathbf {PA}) gezond is voor (A), dat wil zeggen dat als (A) bewezen zou zijn, A waar zou zijn. (Een dergelijke claim is mogelijk niet veilig voor een willekeurig geselecteerd systeem (mathbf {S}), aangezien A mogelijk aantoonbaar is in (mathbf {S}) en false.) ((GL)) claims dat als (mathbf {PA}) erin slaagt de zin te bewijzen die deugdelijkheid claimt voor een bepaalde zin (A), dan is (A) al aantoonbaar in (mathbf {PA}). De stelling van Loeb rapporteert een soort bescheidenheid van de kant van (mathbf {PA}) (Boolos, 1993, p. 55). (mathbf {PA}) dringt er nooit op aan (bewijst) dat een bewijs van (A) de waarheid van (A) inhoudt, tenzij het al een bewijs van (A) heeft om die bewering te staven.

Er is aangetoond dat (mathbf {GL}) in de volgende zin toereikend is voor bewijsbaarheid. Laat een zin van (mathbf {GL}) altijd precies aantoonbaar zijn wanneer de rekenkundige zin die het aanduidt aantoonbaar is, ongeacht hoe de variabelen waarden krijgen toegewezen aan zinnen van (mathbf {PA}). Dan zijn de aantoonbare zinnen van (mathbf {GL}) precies de zinnen die altijd aantoonbaar zijn. Dit toereikendheidsresultaat is buitengewoon nuttig geweest, aangezien algemene vragen over de bewijsbaarheid in (mathbf {PA}) kunnen worden omgezet in eenvoudiger vragen over wat kan worden aangetoond in (mathbf {GL}).

(mathbf {GL}) kan ook worden uitgerust met een mogelijke wereldsemantiek waarvoor het degelijk en compleet is. Een overeenkomstige voorwaarde voor frames voor (mathbf {GL}) - validiteit is dat het frame transitief, eindig en irreflexief is.

12. Geavanceerde modale logica

De toepassingen van modale logica op wiskunde en informatica zijn steeds belangrijker geworden. Provability-logica is slechts één voorbeeld van deze trend. De term 'geavanceerde modale logica' verwijst naar een traditie in modaal logisch onderzoek die bijzonder goed vertegenwoordigd is in de afdelingen wiskunde en informatica. Deze traditie is vanaf het begin verweven in de geschiedenis van de modale logica (Goldblatt, 2006). Onderzoek naar relaties met topologie en algebra's is een van de allereerste technische werkzaamheden op het gebied van modale logica. De term 'geavanceerde modale logica' verwijst echter over het algemeen naar een tweede golf van werk sinds het midden van de jaren zeventig. Enkele voorbeelden van de vele interessante onderwerpen die worden behandeld, zijn onder meer resultaten over beslisbaarheid (of het mogelijk is om te berekenen of een formule van een bepaalde modale logica een stelling is) en complexiteit (de kosten in tijd en geheugen die nodig zijn om dergelijke feiten over modale logica te berekenen).

13. Bi-simulatie

Bisimulatie is een goed voorbeeld van de vruchtbare interacties die zijn ontwikkeld tussen modale logica en informatica. In de informatica worden gelabelde overgangssystemen (LTS's) vaak gebruikt om mogelijke rekenroutes tijdens de uitvoering van een programma weer te geven. LTS's zijn generalisaties van Kripke-frames, bestaande uit een set (W) van toestanden en een verzameling (i) - toegankelijkheidsrelaties (R_i), één voor elk computerproces (i). Intuïtief geldt (wR_i w ') precies wanneer (w') een toestand is die het gevolg is van het toepassen van het proces (i) op staat (w).

De taal van poly-modale of dynamische logica introduceert een verzameling modale operatoren (Box_i), één voor elk programma (i) (Harel, 1984). Vervolgens stelt (Box_i) A dat zin (A) in elk resultaat van toepassing van (i) staat. Ideeën zoals de correctheid en succesvolle beëindiging van programma's kunnen dus in deze taal worden uitgedrukt. Modellen voor een dergelijke taal zijn als Kripke-modellen, behalve dat LTS's worden gebruikt in plaats van frames. Een bisimulatie is een tegenhangerrelatie tussen toestanden van twee van dergelijke modellen zodat exact dezelfde propositionele variabelen waar zijn in tegenhangerstaten, en wanneer wereld (v) is (i) - toegankelijk vanuit een van de twee tegenhangerstaten, dan is de andere tegenhanger draagt de (i) - toegankelijkheidsrelatie met een tegenhanger van (v). Kortom,de (i) - toegankelijkheidsstructuur die men vanuit een bepaalde staat kan 'zien' bootst na wat men van een tegenhanger ziet. Bisimulatie is een zwakker begrip dan isomorfisme (een bisimulatierelatie hoeft niet 1-1 te zijn), maar het is voldoende om gelijkwaardigheid bij verwerking te garanderen.

In de jaren zeventig was er al een versie van bisimulatie ontwikkeld door modale logici om de relatie tussen modale logische axioma's en hun overeenkomstige omstandigheden op Kripke-frames beter te begrijpen. De semantiek van Kripke biedt een basis voor het vertalen van modale axioma's in zinnen van een tweede-orde taal waarin kwantificatie is toegestaan op basis van predikaten van één plaats (P). Vervang metavariables (A) door open zinnen (Px), vertaal (Box Px) naar (forall y (Rxy / rightarrow Py)) en sluit vrije variabelen (x) en predikaat letters (P) met universele kwantoren. De logische vertaling van het axioma-schema (Box A / rightarrow A) komt bijvoorbeeld naar (forall P / forall x (forall y (Rxy / rightarrow Py) rightarrow Px)]. Gezien deze vertaling, kan men de variabele (P) instantiëren naar een willekeurig predikaat van één plaats,bijvoorbeeld naar het predikaat (Rx) waarvan de extensie de verzameling is van alle werelden w zodat (Rxw) voor een gegeven waarde van (x). Vervolgens verkrijgt men (forall x (forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], wat terugloopt tot (forall xRxx), aangezien (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) is een tautologie. Dit verlicht de overeenkomst tussen (Box A / rightarrow A) en reflexiviteit van frames ((forall xRxx)). Soortgelijke resultaten gelden voor veel andere axioma's en framecondities. Het "ineenstorten" van axiomavoorwaarden van de tweede orde naar de framevoorwaarden van de eerste orde is zeer nuttig bij het verkrijgen van volledigheidsresultaten voor modale logica. Dit is bijvoorbeeld het kernidee achter de elegante resultaten van Sahlqvist (1975). Vervolgens verkrijgt men (forall x (forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], wat terugloopt tot (forall xRxx), aangezien (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) is een tautologie. Dit verlicht de overeenkomst tussen (Box A / rightarrow A) en reflexiviteit van frames ((forall xRxx)). Soortgelijke resultaten gelden voor veel andere axioma's en framecondities. Het "ineenstorten" van axiomavoorwaarden van de tweede orde naar de framevoorwaarden van de eerste orde is zeer nuttig bij het verkrijgen van volledigheidsresultaten voor modale logica. Dit is bijvoorbeeld het kernidee achter de elegante resultaten van Sahlqvist (1975). Vervolgens verkrijgt men (forall x (forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], wat terugloopt tot (forall xRxx), aangezien (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) is een tautologie. Dit verlicht de overeenkomst tussen (Box A / rightarrow A) en reflexiviteit van frames ((forall xRxx)). Soortgelijke resultaten gelden voor veel andere axioma's en framecondities. Het "ineenstorten" van axiomavoorwaarden van de tweede orde naar de framevoorwaarden van de eerste orde is zeer nuttig bij het verkrijgen van volledigheidsresultaten voor modale logica. Dit is bijvoorbeeld het kernidee achter de elegante resultaten van Sahlqvist (1975). Soortgelijke resultaten gelden voor veel andere axioma's en framecondities. Het "ineenstorten" van axiomavoorwaarden van de tweede orde naar de framevoorwaarden van de eerste orde is zeer nuttig bij het verkrijgen van volledigheidsresultaten voor modale logica. Dit is bijvoorbeeld het kernidee achter de elegante resultaten van Sahlqvist (1975). Soortgelijke resultaten gelden voor veel andere axioma's en framecondities. Het "ineenstorten" van axiomavoorwaarden van de tweede orde naar de framevoorwaarden van de eerste orde is zeer nuttig bij het verkrijgen van volledigheidsresultaten voor modale logica. Dit is bijvoorbeeld het kernidee achter de elegante resultaten van Sahlqvist (1975).

Maar wanneer wordt de tweede-orde vertaling van een axioma op deze manier teruggebracht tot een eerste-orde conditie op (R)? Van Benthem toonde in de jaren zeventig aan dat dit gebeurt als het bezit van de vertaling in een model het bezit ervan in een bisimulair model met zich meebrengt, waarbij twee modellen bisimulair zijn als er een bisimulatie tussen beide bestaat in het speciale geval waarin er sprake is van een enkele toegankelijkheidsrelatie. Dat resultaat generaliseert gemakkelijk naar het poly-modale geval (Blackburn et al., 2001, p. 103). Dit suggereert dat poly-modale logica precies op het juiste abstractieniveau ligt om berekeningen en andere processen te beschrijven en erover te redeneren. (Wat er echt toe doet, is het behoud van waarheidswaarden van formules in modellen in plaats van de fijnere details van de framestructuren.) Bovendien levert de impliciete vertaling van die logica in goed begrepen fragmenten van predikaatlogica een schat aan informatie op die interessant is voor informatici. Als gevolg hiervan heeft zich een vruchtbaar onderzoeksgebied in de informatica ontwikkeld met bisimulatie als kernidee (Ponse et al. 1995).

14. Modale logica en games

De interactie tussen de theorie van games en modale logica is een bloeiend nieuw onderzoeksgebied (van der Hoek en Pauly, 2007; van Benthem, 2011, Ch. 10 en 2014). Dit werk heeft interessante toepassingen om samenwerking en concurrentie tussen agenten te begrijpen naarmate de informatie waarover zij beschikken evolueert.

The Prisoner's Dilemma illustreert enkele van de concepten in de speltheorie die kunnen worden geanalyseerd met modale logica. Stel je twee spelers voor die ervoor kiezen om mee te werken of vals te spelen. Als beiden meewerken, behalen ze allebei een beloning van 3 punten, als ze allebei vals spelen, krijgen ze allebei niets, en als de een meewerkt en de ander vals speelt, gaat de bedrieger weg met 5 punten en krijgt de medewerker niets. Als beide spelers altruïstisch en gemotiveerd zijn om de som van hun beloningen te maximaliseren, zullen ze allebei samenwerken, want dit is het beste wat ze samen kunnen doen. Ze komen echter allebei in de verleiding om vals te spelen om hun eigen beloning van 3 naar 5 te verhogen. Aan de andere kant, als ze rationeel zijn, kunnen ze erkennen dat als ze vals spelen, hun tegenstander dreigt vals te spelen en hen niets te laten. Gezien deze dreiging is samenwerking dus het beste wat u kunt doen. En als ieder denkt dat de ander dit beseft, zijn ze misschien gemotiveerd om mee te werken. Een uitgebreide (of herhaalde) versie van dit spel geeft de spelers meerdere zetten, dat wil zeggen herhaalde kansen om te spelen en beloningen te verzamelen. Als spelers informatie hebben over de geschiedenis van de zetten en hun resultaten, komen er nieuwe zorgen in het spel, omdat succes in het spel afhangt van het kennen van de strategie van hun tegenstander en het bepalen (bijvoorbeeld) wanneer hij / zij erop kan vertrouwen dat hij niet vals speelt. In versies voor meerdere spelers van het spel, waarbij spelers bij elke zet in paren uit een grotere poule worden getrokken, kan de beste strategie afhangen van het feit of iemand zijn tegenstanders en de strategieën die ze hebben aangenomen kan herkennen. (Zie Grim et al., 1998 voor fascinerend onderzoek naar de dilemma's van de gevangenen.)Een uitgebreide (of herhaalde) versie van dit spel geeft de spelers meerdere zetten, dat wil zeggen herhaalde kansen om te spelen en beloningen te verzamelen. Als spelers informatie hebben over de geschiedenis van de zetten en hun resultaten, komen er nieuwe zorgen in het spel, omdat succes in het spel afhangt van het kennen van de strategie van hun tegenstander en het bepalen (bijvoorbeeld) wanneer hij / zij erop kan vertrouwen dat hij niet vals speelt. In versies voor meerdere spelers van het spel, waarbij spelers bij elke zet in paren uit een grotere poule worden getrokken, kan de beste strategie afhangen van het feit of iemand zijn tegenstanders en de strategieën die ze hebben aangenomen kan herkennen. (Zie Grim et al., 1998 voor fascinerend onderzoek naar de dilemma's van de gevangenen.)Een uitgebreide (of herhaalde) versie van dit spel geeft de spelers meerdere zetten, dat wil zeggen herhaalde kansen om te spelen en beloningen te verzamelen. Als spelers informatie hebben over de geschiedenis van de zetten en hun resultaten, komen er nieuwe zorgen in het spel, omdat succes in het spel afhangt van het kennen van de strategie van hun tegenstander en het bepalen (bijvoorbeeld) wanneer hij / zij erop kan vertrouwen dat hij niet vals speelt. In versies voor meerdere spelers van het spel, waarbij spelers bij elke zet in paren uit een grotere poule worden getrokken, kan de beste strategie afhangen van het feit of iemand zijn tegenstanders en de strategieën die ze hebben aangenomen kan herkennen. (Zie Grim et al., 1998 voor fascinerend onderzoek naar de dilemma's van de gevangenen.)Als spelers informatie hebben over de geschiedenis van de zetten en hun resultaten, komen er nieuwe zorgen in het spel, omdat succes in het spel afhangt van het kennen van de strategie van hun tegenstander en het bepalen (bijvoorbeeld) wanneer hij / zij erop kan vertrouwen dat hij niet vals speelt. In versies voor meerdere spelers van het spel, waarbij spelers bij elke zet in paren uit een grotere poule worden getrokken, kan de beste strategie afhangen van het feit of iemand zijn tegenstanders en de strategieën die ze hebben aangenomen kan herkennen. (Zie Grim et al., 1998 voor fascinerend onderzoek naar de dilemma's van de gevangenen.)Als spelers informatie hebben over de geschiedenis van de zetten en hun resultaten, komen er nieuwe zorgen in het spel, omdat succes in het spel afhangt van het kennen van de strategie van hun tegenstander en het bepalen (bijvoorbeeld) wanneer hij / zij erop kan vertrouwen dat hij niet vals speelt. In versies voor meerdere spelers van het spel, waarbij spelers bij elke zet in paren uit een grotere poule worden getrokken, hangt de eigen beste strategie er wellicht van af of iemand zijn tegenstanders en de strategieën die ze hebben aangenomen kan herkennen. (Zie Grim et al., 1998 voor fascinerend onderzoek naar de dilemma's van de gevangenen.)de eigen beste strategie hangt er wellicht van af of men zijn tegenstanders kan herkennen en welke strategieën zij hebben aangenomen. (Zie Grim et al., 1998 voor fascinerend onderzoek naar de dilemma's van de gevangenen.)de eigen beste strategie hangt er wellicht van af of men zijn tegenstanders kan herkennen en welke strategieën zij hebben aangenomen. (Zie Grim et al., 1998 voor fascinerend onderzoek naar de dilemma's van de gevangenen.)

In spellen als Schaken maken spelers om de beurt hun zetten en kunnen hun tegenstanders de gemaakte zetten zien. Als we de afspraak overnemen dat de spelers in een spel om de beurt hun zetten doen, dan is het Iterated Prisoner's Dilemma een spel met ontbrekende informatie over de stand van zaken - de speler met de tweede beurt mist informatie over wat de laatste zet van de andere speler was. Dit illustreert de interesse van games met onvolmaakte informatie.

De toepassing van games op logica heeft een lange geschiedenis. Een invloedrijke toepassing met belangrijke implicaties voor de taalkunde is Game Theoretic Semantics (GTS) (Hintikka et al. 1983), waar validiteit wordt gedefinieerd door de uitkomst van een spel tussen twee spelers die de ene proberen te verifiëren en de andere die een bepaalde formule probeert te vervalsen.. GTS heeft aanzienlijk sterkere bronnen dan de standaard Tarski-achtige semantiek, omdat het (bijvoorbeeld) kan worden gebruikt om uit te leggen hoe betekenis evolueert in een discours (een reeks zinnen).

Het werk aan games en modale logica dat hier wordt beschreven, is echter enigszins anders. In plaats van games te gebruiken om de semantiek van een logica te analyseren, worden de betrokken modale logica gebruikt om games te analyseren. De structuur van games en hun spel is zeer rijk, omdat het de aard van het spel zelf betreft (de toegestane zetten en de beloningen voor de uitkomsten), de strategieën (die opeenvolgingen van bewegingen door de tijd zijn) en de informatiestroom beschikbaar voor de spelers naarmate het spel vordert. Daarom is de ontwikkeling van modale logica voor games gebaseerd op functies in logica met concepten als tijd, keuzevrijheid, voorkeur, doelen, kennis, overtuiging en samenwerking.

Om een hint te geven over deze variëteit, is hier een beperkte beschrijving van enkele van de modale operators die opduiken in de analyse van games en enkele dingen die ermee kunnen worden uitgedrukt. Het basisidee in de semantiek is dat een spel bestaat uit een set spelers 1, 2, 3, … en een set W spelstaten. Voor elke speler i is er een toegankelijkheidsrelatie (R_i) begrepen zodat (sR_i t) geldt voor staten (s) en (t) iff wanneer het spel tot stand is gekomen (s) speler (i) heeft de mogelijkheid om een zet te doen die resulteert in (t). Deze verzameling relaties definieert een boom waarvan de takken elke mogelijke reeks bewegingen in het spel bepalen. De semantiek kent ook waarheidswaarden toe aan atomen die de uitbetalingen bijhouden. Dus bijvoorbeeld in een spel als Schaken, kan er een atoom (win_i) zijn zodat (v (win_i,s) = T) iff staat s is een overwinning voor speler (i). Model operators (Box_i) en (Diamond_i) voor elke speler i kunnen dan als volgt worden gedefinieerd.

(begin {align *} v (Box_i A, s) & = T / text {iff voor alle} t / text {in} W, / text {if} sR_i t, / text {then} v (A, t) = T. \\ v (Diamond_i A, s) & = T / text {iff enige} t / text {w} in, sR_i t / text {v} en (A, t) = T. / end {align *})

Dus (Box_i A) ((Diamond_i A)) is waar in s, op voorwaarde dat zin (A) geldt in elke (sommige) staat waarin (i) kan kiezen uit staat (s). Aangezien (bot) een contradictie (so ({ sim} bot) een tautologie), (Diamond_i { sim} bot) waar een toestand waarin het (Ik ben aan de beurt om te verhuizen. Voor een spel voor twee spelers geldt (Box_1 / bot) & (Box_2 / bot) voor een toestand die het spel beëindigt, omdat noch 1 noch 2 kunnen bewegen. (Box_1 / Diamond_2) win (_ 2) stelt dat speler 1 verlies heeft, want wat 1 ook doet vanuit de huidige staat, 2 kan winnen in de volgende zet.

Voor een algemener verslag van de uitbetalingen van de speler, kan het ordenen van relaties (leq_i) worden gedefinieerd over de staten zodat (s / leq_i t) betekent dat (i) de uitbetaling voor (t) is minstens zo goed als dat voor (s). Een andere generalisatie is het uiten van feiten over reeksen (q) van bewegingen, door operators te introduceren die worden geïnterpreteerd door relaties (sR_q t), wat aangeeft dat de reeks (q) die begint vanaf s uiteindelijk aankomt bij (t). Met deze en aanverwante bronnen is het mogelijk (bijvoorbeeld) uit te drukken dat q de beste strategie is in de huidige staat.

Het is cruciaal voor de analyse van games om een manier te hebben om de informatie beschikbaar te maken voor de spelers. Een manier om dit te bereiken is door ideeën te ontlenen aan de epistemische logica. Hier kunnen we een toegankelijkheidsrelatie ({ sim} _i) voor elke speler introduceren zodat (s { sim} _i t) geldt als iff (i) geen onderscheid kan maken tussen staten (s) en (t). Vervolgens kunnen kennisoperators (rK_i) voor de spelers worden gedefinieerd zodat (rK_i A) op (s) zegt dat (A) geldt in alle werelden waar (i) zich van kan onderscheiden (s); dat wil zeggen dat, ondanks (i) onwetendheid over de stand van zaken, hij / zij er nog steeds op kan vertrouwen dat (A). (rK) operators kunnen worden gebruikt om te zeggen dat speler 1 in staat is om af te treden, want hij weet dat 2 ziet dat ze wint: (rK_1 / rK_2 / Box_1 / Diamond_2 / win_2).

Aangezien de informatie van de speler varieert naarmate het spel vordert, is het handig om te denken aan bewegingen van het spel zoals geïndexeerd door tijden, en om operators (O) en (U) te introduceren van gespannen logica voor 'volgende' en 'tot'. Dan geeft (K_i OA / rightarrow OK_i A) aan dat speler (i) "perfecte herinnering" heeft, dat wil zeggen dat wanneer (i) weet dat (A) daarna gebeurt, en dan op het volgende moment (i) is niet vergeten dat (A) is gebeurd. Dit illustreert hoe modale logica voor games cognitieve idealisaties kunnen weerspiegelen en het succes (of falen) van een speler bij het waarmaken ervan.

De technische kant van de modale logica voor games is uitdagend. Het project voor het identificeren van regelsystemen die deugdelijk en compleet zijn voor een taal die een grote verzameling operators bevat, kan worden geleid door eerder onderzoek, maar de interacties tussen de verscheidenheid aan toegankelijkheidsrelaties leiden tot nieuwe zorgen. Bovendien is de rekenkundige complexiteit van verschillende systemen en hun fragmenten een groot landschap dat grotendeels onontgonnen is.

Speltheoretische concepten kunnen op verrassende manieren worden toegepast - van het controleren van een argument op geldigheid tot slagen in de politieke arena. Er zijn dus sterke motivaties voor het formuleren van logica die games aankunnen. Opvallend aan dit onderzoek is de kracht die men verkrijgt door logica van tijd, keuzevrijheid, kennis, overtuiging en voorkeur samen te brengen in een verenigde setting. De lessen die uit die integratie zijn getrokken, hebben veel meer waarde dan wat ze bijdragen aan het begrijpen van games.

15. Quantifiers in Modal Logic

Het lijkt eenvoudig om een modale logica uit te rusten met de kwantoren (forall) (alles) en (bestaat) (sommige). Men zou eenvoudig de standaard (of klassieke) regels voor kwantoren kunnen toevoegen aan de principes van welke propositionele modale logica men ook kiest. Het toevoegen van kwantoren aan de modale logica brengt echter een aantal moeilijkheden met zich mee. Sommige hiervan zijn filosofisch. Quine (1953) heeft bijvoorbeeld beroemd gesteld dat kwantificeren in modale contexten simpelweg onsamenhangend is, een visie die een gigantische literatuur heeft voortgebracht. De klachten van Quine wegen niet meer zo zwaar als vroeger. Zie Barcan (1990) voor een goede samenvatting en noteer Kripke's (2017) (geschreven in de jaren 60 voor een les met Quine) dat een sterk formeel argument geeft dat er niets mis kan zijn met "kwantificeren in".

Een tweede soort complicatie is technisch. Er is een grote variatie in de keuzes die men kan maken in de semantiek voor gekwantificeerde modale logica, en het bewijs dat een regelsysteem correct is voor een bepaalde keuze kan moeilijk zijn. Het werk van Corsi (2002) en Garson (2005) gaat op een bepaalde manier om eenheid op dit terrein te brengen, en Johannesson (2018) introduceert beperkingen die het aantal opties helpen verminderen; toch blijft de situatie uitdagend.

Een andere complicatie is dat sommige logici van mening zijn dat modaliteit vereist dat de klassieke kwantificatieregels worden losgelaten ten gunste van de zwakkere regels van de vrije logica (Garson 2001). De belangrijkste meningsverschillen over de kwantificatieregels zijn terug te voeren op beslissingen over hoe het kwantificatiedomein moet worden aangepakt. Het eenvoudigste alternatief, de benadering met het vaste domein (soms de mogelijkheid genoemd), gaat uit van één enkel kwantificatiedomein dat alle mogelijke objecten bevat. Aan de andere kant gaat de wereldrelatieve (of actualistische) interpretatie ervan uit dat het domein van kwantificering van wereld naar wereld verandert en alleen de objecten bevat die daadwerkelijk in een bepaalde wereld bestaan.

De vast-domein benadering vereist geen grote aanpassingen aan de klassieke machinerie voor de kwantoren. Modale logica's die geschikt zijn voor semantiek met een vast domein, kunnen gewoonlijk worden axiomatiseerd door principes van een propositionele modale logica toe te voegen aan klassieke kwantificatieregels samen met de Barcan Formula ((BF)) (Barcan 1946). (Zie Cresswell (1995) voor een overzicht van enkele interessante uitzonderingen).

(tag {(BF)} forall x / Box A / rightarrow / Box / forall xA.)

De interpretatie van het vaste domein heeft voordelen van eenvoud en vertrouwdheid, maar biedt geen direct verslag van de semantiek van bepaalde kwantificatoruitdrukkingen van natuurlijke taal. We denken niet dat 'Er bestaat een man die de Onafhankelijkheidsverklaring heeft ondertekend' waar is, althans niet als we in de tegenwoordige tijd lezen 'bestaat'. Niettemin was deze zin waar in 1777, wat aantoont dat het domein voor de natuurlijke taaluitdrukking 'een man bestaat die' verandert om weer te geven welke mannen op verschillende tijden bestaan. Een gerelateerd probleem is dat bij de interpretatie van het vaste domein de zin (forall y / Box / bestaat x (x = y)) geldig is. Ervan uitgaande dat (bestaat x (x = y)) wordt gelezen: (y) bestaat, (voor alle y / Box / bestaat x (x = y)) zegt dat alles noodzakelijkerwijs bestaat. Echter,het lijkt een fundamenteel kenmerk van gemeenschappelijke ideeën over modaliteit dat het bestaan van veel dingen contingent is en dat er verschillende objecten bestaan in verschillende mogelijke werelden.

De verdediger van de interpretatie van het vaste domein kan op deze bezwaren reageren door erop te staan dat het kwantificatiedomein bij zijn (haar) lezing van de kwantoren alle mogelijke objecten bevat, niet alleen de objecten die toevallig in een bepaalde wereld bestaan. Dus de stelling (forall y / Box / bestaat x (x = y)) maakt de onschuldige bewering dat elk mogelijk object noodzakelijkerwijs in het domein van alle mogelijke objecten te vinden is. Bovendien kunnen die kwantificatoruitdrukkingen van natuurlijke taal waarvan het domein wereld (of tijd) afhankelijk is, worden uitgedrukt met behulp van de kwantificator met vast domein (bestaat x) en een predikaatletter (E) met de tekst 'bestaat echt'. In plaats van bijvoorbeeld 'Some (M) an exist who (S) Ignition the Declaration of Independence' te vertalen door

(bestaat x (Mx / amp Sx),)

de verdediger van vaste domeinen mag schrijven:

(bestaat x (Ex / amp Mx / amp Sx),)

waardoor de vertaling op dit moment als onwaar wordt geteld. Cresswell (1991) maakt de interessante opmerking die wereld-relatieve kwantificatie heeft een beperkte expressieve kracht ten opzichte van de vaste-domein kwantificering. Wereldrelevante kwantificering kan worden gedefinieerd met kwantificeerders van vaste domeinen en (E), maar er is geen manier om kwantificeerders van vaste domeinen volledig tot uitdrukking te brengen met wereldrelevante. Hoewel dit pleit voor de klassieke benadering van gekwantificeerde modale logica, komt de vertaaltactiek ook neer op een concessie ten gunste van vrije logica, want de zo gedefinieerde wereldrelevante kwantificatoren gehoorzamen precies de vrije logische regels.

Een probleem met de vertaalstrategie die wordt gebruikt door verdedigers van kwantificering van vaste domeinen, is dat het omzetten van het Engels in logica minder direct is, omdat (E) moet worden toegevoegd aan alle vertalingen van alle zinnen waarvan de kwantificatoruitdrukkingen domeinen hebben die contextafhankelijk zijn. Een ernstiger bezwaar tegen kwantificering met een vast domein is dat het de kwantificering van een rol die Quine haar aanbeveelt, namelijk het opnemen van een robuust ontologisch commitment, ontneemt. In deze visie mag het domein van (bestaat x) alleen entiteiten bevatten die ontologisch respectabel zijn en mogelijke objecten zijn te abstract om in aanmerking te komen. Actualisten van deze streep zullen de logica willen ontwikkelen van een kwantor (exist x) die toewijding weerspiegelt aan wat werkelijk is in een bepaalde wereld in plaats van aan wat alleen mogelijk is.

Sommige werken aan het actualisme (Menzel, 1990) ondermijnen dit bezwaar echter. Linsky en Zalta (1994) en Williamson (2013) stellen bijvoorbeeld dat de kwantificator met een vast domein een interpretatie kan worden gegeven die voor actualisten volkomen acceptabel is. Pavone (2018) stelt zelfs dat voor de haecceitistische interpretatie, die kwantificeert over individuele essenties, vaste domeinen vereist zijn. Actualisten die mogelijke semantiek van werelden gebruiken, kwantificeren routinematig over mogelijke werelden in hun semantische taaltheorie. Het lijkt er dus op dat mogelijke werelden actueel zijn door de lichten van deze actualisten. Door het domein te vullen met abstracte entiteiten die niet onaangenamer zijn dan mogelijke werelden, kunnen actualisten de Barcan-formule en klassieke principes rechtvaardigen.

Merk echter op dat sommige actualisten kunnen antwoorden dat ze zich niet hoeven te engageren voor de actualiteit van mogelijke werelden, zolang het duidelijk is dat kwantoren die in hun taaltheorie worden gebruikt, geen sterke ontologische betekenis hebben. Bovendien stelt Hayaki (2006) dat kwantificering over abstracte entiteiten eigenlijk onverenigbaar is met enige serieuze vorm van actualisme. In ieder geval staat het voor actualisten (en ook niet-actualisten) open om de logica van kwantoren met meer robuuste domeinen te onderzoeken, bijvoorbeeld domeinen die mogelijke werelden en dergelijke abstracte entiteiten uitsluiten, en die alleen de spatio-temporele bijzonderheden bevatten die in een gegeven wereld. Voor dergelijke kwantificatoren zijn een wereld-relatieve domeinen geschikt.

Dergelijke overwegingen motiveren interesse in systemen die de contextafhankelijkheid van kwantificatie erkennen door wereldrelevante domeinen te introduceren. Hier heeft elke mogelijke wereld zijn eigen kwantificatiedomein (de verzameling objecten die daadwerkelijk in die wereld bestaat), en de domeinen verschillen van de ene wereld tot de volgende. Wanneer deze beslissing wordt genomen, ontstaat er een probleem voor de klassieke kwantificatietheorie. Merk op dat de zin (bestaat x (x = t)) een stelling is van klassieke logica, en dus is (Box / bestaat x (x = t)) een stelling van (bK) door de noodzaakregel. Laat de term (t) staan voor Saul Kripke. Dan zegt deze stelling dat het nodig is dat Saul Kripke bestaat, zodat hij zich in het domein van elke mogelijke wereld bevindt. De hele motivatie voor de wereld-relatieve benadering was om het idee weer te geven dat objecten in de ene wereld mogelijk niet bestaan in een andere. Als er standaard kwantorlinialen worden gebruikt, moet elke term (t) verwijzen naar iets dat in alle mogelijke werelden bestaat. Dit lijkt onverenigbaar met onze gewone praktijk van het gebruik van termen om te verwijzen naar dingen die alleen voorwaardelijk bestaan.

Een antwoord op deze moeilijkheid is simpelweg het verwijderen van termen. Kripke (1963) geeft een voorbeeld van een systeem dat de wereldrelatieve interpretatie gebruikt en de klassieke regels behoudt. De kosten zijn echter hoog. Ten eerste is zijn taal kunstmatig verarmd en ten tweede moeten de regels voor de propositionele modale logica worden afgezwakt.

Ervan uitgaande dat we een taal willen die termen bevat, en dat klassieke regels moeten worden toegevoegd aan standaardsystemen van propositionele modale logica, ontstaat er een nieuw probleem. In een dergelijk systeem is het mogelijk om te bewijzen ((CBF)), het omgekeerde van de Barcan formule.

(tag {(CBF)} Box / forall xA / rightarrow / forall x / Box A.)

Dit feit heeft ernstige gevolgen voor de semantiek van het systeem. Het is niet moeilijk aan te tonen dat elk wereldrelatief model van ((CBF)) moet voldoen aan voorwaarde ((ND)) (voor 'geneste domeinen').

((ND)) Als (wRv) dan is het domein van (w) een subset van het domein van (v)

((ND)) is echter in strijd met de introductie van wereld-relatieve domeinen. Het hele idee was dat het bestaan van objecten contingent is, zodat er toegankelijke werelden zijn waar een van de dingen in onze wereld niet bestaat.

Een eenvoudige oplossing voor deze problemen is om de klassieke regels voor de kwantoren te laten varen en in plaats daarvan regels voor vrije logica ((mathbf {FL})) te gebruiken. De regels van (mathbf {FL}) zijn hetzelfde als de klassieke regels, behalve dat gevolgtrekkingen van (forall xRx) (alles is echt) tot (Rp) (Pegasus is echt) geblokkeerd. Dit wordt gedaan door een predikaat '(E)' in te voeren (want 'bestaat echt') en de regel van universele instantiëring te wijzigen. Van (forall xRx) mag men (Rp) alleen verkrijgen als men ook (Ep) heeft verkregen. Ervan uitgaande dat de universele kwantor (forall x) primitief is en de existentiële kwantor (exist x) wordt gedefinieerd door (exist xA = _ {df} { sim} forall x { sim} A), dan kan (mathbf {FL}) worden geconstrueerd door de volgende twee principes toe te voegen aan de regels van de propositielogica

Universele generalisatie.

Als (B / rightarrow (Ey / rightarrow A (y))) een stelling is, dan is (B / rightarrow / forall xA (x)).

Universele instantiatie.

(forall xA (x) rightarrow (En / rightarrow A (n)))

(Hier wordt aangenomen dat (A (x)) een goedgevormde formule van predikaatlogica is, en dat (A (y)) en (A (n)) het resultaat zijn van vervanging van (y) en (n) correct voor elk voorkomen van (x) in (A (x)).) Merk op dat het instantiatie-axioma wordt beperkt door vermelding van (En) in het antecedent. De regel van universele generalisatie wordt op dezelfde manier gewijzigd. In (mathbf {FL}), bewijzen van formules zoals (bestaat x / Box (x = t)), (forall y / Box / bestaat x (x = y)), ((CBF)) en ((BF)), die onverenigbaar lijken met de wereldrelatieve interpretatie, zijn geblokkeerd.

Een filosofisch bezwaar tegen (mathbf {FL}) is dat (E) een predikaat voor het bestaan lijkt te zijn, en velen zouden beweren dat het bestaan geen legitiem eigendom is, zoals groen zijn of meer dan vier pond wegen. Dus filosofen die het idee verwerpen dat het bestaan een predikaat is, kunnen bezwaar maken tegen (mathbf {FL}). In de meeste (maar niet alle) gekwantificeerde modale logica's die identiteit ((=)) bevatten, kunnen deze zorgen echter worden omzeild door (E) als volgt te definiëren.

[Et = _ {df} bestaat x (x = t).)

De meest algemene manier om gekwantificeerde modale logica te formuleren, is door (mathbf {FS}) te maken door de regels van (mathbf {FL}) toe te voegen aan een bepaalde propositionele modale logica (mathbf {S}). In situaties waarin klassieke kwantificering gewenst is, kan men (Et) simpelweg als axioma toevoegen aan (mathbf {FS}), zodat de klassieke principes afleidbare regels worden. Adequaatheidsresultaten voor dergelijke systemen kunnen worden verkregen voor de meeste keuzes van de modale logica (mathbf {S}), maar er zijn uitzonderingen.

Een laatste complicatie in de semantiek voor gekwantificeerde modale logica is het vermelden waard. Het ontstaat wanneer niet-rigide uitdrukkingen zoals 'de uitvinder van bifocale' worden geïntroduceerd in de taal. Een term is niet rigide wanneer hij verschillende objecten in verschillende mogelijke werelden uitkiest. De semantische waarde van zo'n term kan worden gegeven door wat Carnap (1947) een individueel concept noemde, een functie die de aanduiding van de term voor elke mogelijke wereld uitkiest. Een benadering om met niet-rigide termen om te gaan, is door Russell's beschrijvingsleer te gebruiken. Echter, in een taal die niet-rigide uitdrukkingen als echte termen behandelt, blijkt dat noch de klassieke, noch de vrije logische regels voor de kwantoren acceptabel zijn. (Het probleem kan niet worden opgelost door de vervangingsregel voor identiteit te verzwakken.) Een oplossing voor dit probleem is om een meer algemene behandeling van de kwantoren te gebruiken, waarbij het domein van kwantificatie individuele concepten bevat in plaats van objecten. Deze meer algemene interpretatie zorgt voor een betere match tussen de behandeling van termen en de behandeling van kwantoren en resulteert in systemen die geschikt zijn voor klassieke of vrije logische regels (afhankelijk van het feit of de vaste domeinen of wereld-relatieve domeinen worden gekozen). Het biedt ook een taal met sterke en broodnodige expressieve krachten (Bressan, 1973, Belnap en Müller, 2013a, 2013b). Deze meer algemene interpretatie zorgt voor een betere match tussen de behandeling van termen en de behandeling van kwantoren en resulteert in systemen die geschikt zijn voor klassieke of vrije logische regels (afhankelijk van het feit of de vaste domeinen of wereld-relatieve domeinen worden gekozen). Het biedt ook een taal met sterke en broodnodige expressieve krachten (Bressan, 1973, Belnap en Müller, 2013a, 2013b). Deze meer algemene interpretatie zorgt voor een betere match tussen de behandeling van termen en de behandeling van kwantoren en resulteert in systemen die geschikt zijn voor klassieke of vrije logische regels (afhankelijk van het feit of de vaste domeinen of wereld-relatieve domeinen worden gekozen). Het biedt ook een taal met sterke en broodnodige expressieve krachten (Bressan, 1973, Belnap en Müller, 2013a, 2013b).

Bibliografie

Teksten over modale logica met filosofen in gedachten zijn onder meer Hughes en Cresswell (1968, 1984, 1996), Chellas (1980), Fitting en Mendelsohn (1998), Garson (2013), Girle (2009) en Humberstone (2015).

Humberstone (2015) biedt een uitstekende gids voor de literatuur over modale logica en hun toepassingen op filosofie. De bibliografie (van meer dan duizend vermeldingen) biedt een onschatbare bron voor alle belangrijke onderwerpen, waaronder logica van spanning, verplichting, geloof, kennis, keuzevrijheid en nomische noodzaak.

Gabbay en Guenthner (2001) bieden nuttige samenvattende artikelen over belangrijke onderwerpen, terwijl Blackburn et. al. (2007) is van onschatbare waarde vanuit een meer geavanceerd perspectief.

Een uitstekende bibliografie van historische bronnen is te vinden in Hughes and Cresswell (1968).

• Anderson, A. en N. Belnap, 1975, 1992, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, vol. 1 (1975), vol. 2 (1992), Princeton: Princeton University Press.
• Barcan (Marcus), R., 1947, 'A Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication', Journal of Symbolic Logic, 11: 1–16.
• –––, 1967, 'Essentialism in Modal Logic', Noûs, 1: 91–96.
• –––, 1990, "A Backwards Look at Quine's Animadversions on Modalities", in R. Bartrett en R. Gibson (red.), Perspectives on Quine, Cambridge: Blackwell.
• Belnap, N., M. Perloff en M. Xu, 2001, Facing the Future, New York: Oxford University Press.
• Belnap, N. en T. Müller, 2013a, "CIFOL: A Case Intensional First Order Logic (I): Toward a Logic of Sorts", Journal of Philosophical Logic, doi: 10.1007 / s10992-012-9267-x
• –––, 2013b, "BH-CIFOL: A Case Intensional First Order Logic (II): Branching Histories", Journal of Philosophical Logic, doi: 10.1007 / s10992-013-9292-4
• Bencivenga, E., 1986, "Free Logics", in D. Gabbay en F. Guenthner (red.), Handbook of Philosophical Logic, III.6, Dordrecht: D. Reidel, 373–426.
• Benthem, JF van, 1982, The Logic of Time, Dordrecht: D. Reidel.
• –––, 1983, Modal Logic and Classical Logic, Napels: Bibliopolis.
• –––, 2010, Modal Logic for Open Minds, Stanford: CSLI Publications.
• –––, 2011, Logical Dynamics of Information and Interaction, Cambridge: Cambridge University Press.
• –––, 2014, Logic in Games, Cambridge, Mass: MIT Press.
• Blackburn, P., met M. de Rijke en Y. Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
• Blackburn, P., met J. van Bentham en F. Wolter, 2007, Handbook of Modal Logic, Amsterdam: Elsevier.
• Bonevac, D., 1987, Deduction, Part II, Palo Alto: Mayfield Publishing Company.
• Boolos, G., 1993, The Logic of Provability, Cambridge: Cambridge University Press.
• Bressan, A., 1973, A General Interpreted Modal Calculus, New Haven: Yale University Press.
• Bull, R. en K. Segerberg, 1984, "Basic Modal Logic", in D. Gabbay en F. Guenthner (red.), Handbook of Philosophical Logic, II.1, Dordrecht: D. Reidel, 1-88.
• Carnap, R., 1947, Betekenis en noodzaak, Chicago: U. Chicago Press.
• Carnielli, W. en C. Pizzi, 2008, Modalities and Multimodalities, Heidelberg: Springer-Verlag.
• Chagrov, A. en M. Zakharyaschev, 1997, Modal Logic, Oxford: Oxford University Press.
• Chalmers, D., 1996, The Conscious Mind, New York: Oxford University Press.
• –––, 2002, "The Components of Content", in D. Chalmers (red.), Philosophy of Mind: Classical and Contemporary Readings, Oxford: Oxford University Press, 608–633.
• –––, 2006, "The Foundations of Two-Dimensional Semantics", in M. Garcia-Carpintero en J. Macia, Two-Dimensional Semantics: Foundations and Applications, Oxford: Oxford University Press, 55–140.
• Chellas, B., 1980, Modal Logic: An Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
• Cresswell, MJ, 2001, "Modal Logic", in L. Goble (red.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Oxford: Blackwell, 136–158.
• –––, 1991, “Ter verdediging van de Barcan-formule”, Logique et Analyse, 135–136: 271–282.
• –––, 1995, "Incompleteness and the Barcan Formula", Journal of Philosophical Logic, 24: 379–403.
• Cocchiarella, N. en M. Freund, 2008, Modal Logic An Introduction to its Syntax and Semantics, New York: Oxford.
• Corsi, G., 2002, 'A Unified Completeness Theorem for Quantified Modal Logics', Journal of Symbolic Logic, 67: 1483–1510.
• Crossley, J en L. Humberstone, 1977, "The Logic of 'Actuality", Reports on Mathematical Logic, 8: 11–29.
• Fitting, M. en R. Mendelsohn, 1998, First Order Modal Logic, Dordrecht: Kluwer.
• Gabbay, D., 1976, Investigations in Modal and Tense Logics, Dordrecht: D. Reidel.
• –––, 1994, Temporal Logic: Mathematical Foundations and Computational Aspects, New York: Oxford University Press.
• Gabbay, D. en F. Guenthner, F. (red.), 2001, Handbook of Philosophical Logic, tweede editie, volume 3, Dordrecht: D. Reidel,
• Garson, J., 2001, "Quantification in Modal Logic", in Gabbay and Guenthner (2001), 267–323.
• –––, 2005, "Unifying Quantified Modal Logic", Journal of Philosophical Logic, 34: 621–649.
• –––, 2013, Modal Logic for Philosophers, Second Edition, Cambridge: Cambridge University Press.
• Girle, R., 2009, Modal Logics and Philosophy (2e editie), Routledge, New York, New York.
• Grim, P., Mar, G en St. Denis, P., 1998, The Philosophical Computer, Cambridge, Mass.: MIT Press.
• Goldblatt, R., 1993, Mathematics of Modality, CSLI Lecture Notes # 43, Chicago: University of Chicago Press.
• –––, 2006, "Mathematical Modal Logic: a View of its Evolution", in D. Gabbay en J. Woods (red.), Handbook of the History of Logic, vol. 6, Amsterdam: Elsevier.
• Harel, D., 1984, "Dynamic Logic", in D. Gabbay en F. Guenthner (red.), Handbook of Philosophical Logic, II.10, Dordrecht: D. Reidel, 497–604.
• Hayaki, R., 2006, 'Contingent Objects and the Barcan Formula', Erkenntnis, 64: 75–83.
• Hintikka, J., 1962, Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• –––, 1983, The Game of Language, Dordrecht: D. Reidel.
• Hilpinen, R., 1971, Deontic Logic: inleidende en systematische lezingen, Dordrecht: D. Reidel.
• van der Hoek, W. en Pauly, M., 2007, "Modellogica voor games en informatie", hoofdstuk 20 van Blackburn et. al., 2007.
• Hughes, G. en M. Cresswell, 1968, An Introduction to Modal Logic, London: Methuen.
• –––, 1984, A Companion to Modal Logic, Londen: Methuen.
• –––, 1996, A New Introduction to Modal Logic, Londen: Routledge.
• Humberstone, L. 2015, Philosophical Applications of Modal Logic, College Publications, Londen.
• Johannesson, E., 2018, 'Partial Semantics for Quantified Modal Logics', Journal of Philosophical Logic, 1–12.
• Kaplan, D., 1989, "Demonstratives", in Thema's uit Kaplan, Oxford: Oxford University Press.
• Kripke, S., 1963, 'Semantical Considerations on Modal Logic', Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.
• –––, 1980, Naming and Necessity, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
• –––, 2017, "Quantified Modality and Essentialism", Nous, 51, # 2: 221–234.
• Konyndik, K., 1986, inleidende modale logica, Notre Dame: University of Notre Dame Press.
• Kvart, I., 1986, A Theory of Counterfactuals, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
• Lemmon, E. en D. Scott, 1977, An Introduction to Modal Logic, Oxford: Blackwell.
• Lewis, CI en CH Langford, 1959 (1932), Symbolische logica, New York: Dover Publications.
• Lewis, D., 1973, Counterfactuals, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
• Linsky, B. en E. Zalta, 1994, "In Defense of the Simplest Quantified Modal Logic", Philosophical Perspectives, (Logica en taal), 8: 431–458.
• Mares, E., 2004, Relevant Logic: A Philosophical Interpretation, Cambridge: Cambridge University Press.
• Menzel, C., 1990, 'Actualism, Ontological Commitment, and Possible Worlds Semantics', Synthese, 85: 355–389.
• Mints, G. 1992, A Short Introduction to Modal Logic, Chicago: University of Chicago Press.
• Ponse, A., met M. de Rijke, en Y. Venema, 1995, Modal Logic and Process Algebra, A Bisimulation Perspective, Stanford: CSLI Publications.
• Pavone, L., 2018, 'Plantinga's Haecceitism and Simplest Quantified Modal Logic', Logic and Logical Philosophy, 27: 151–160.
• Popkorn, S., 1995, First Steps in Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
• Prior, AN, 1957, Time and Modality, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1967, Past, Present and Future, Oxford: Clarendon Press.
• Quine, WVO, 1953, "Reference and Modality", in Logical Point of View, Cambridge, Mass.: Harvard University Press. 139–159.
• Rescher, N en A. Urquhart, 1971, Temporal Logic, New York: Springer Verlag.
• Sahlqvist, H., 1975, "Competeness and Correspondence in First and Second Order Semantics for Modal Logic", in S. Kanger (red.), Proceedings of the Third Scandinavian Logic Symposium, Amsterdam: Noord-Holland. 110–143.
• Thomason, R., 1984, "Combinations of Tense and Modality", in D. Gabbay en F. Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic, II.3, Dordrecht: D. Reidel, 135–165.
• Williamson, T., 2013, Modal Logic as Metaphysics, Oxford: Oxford University Press.
• Zeman, J., 1973, Modal Logic, The Lewis-Modal Systems, Oxford: Oxford University Press.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

• Vooruitgang in Modal Logic
• Lijst met bronnen van Wikipedia
• Modal Logic Handbook van Blackburn, Bentham en Wolter
• John McCarthy's Modal Logic Page