Logica En Waarschijnlijkheid

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Logica en waarschijnlijkheid

Voor het eerst gepubliceerd op do 7 maart 2013; inhoudelijke herziening di 26 mrt.2019

Logica en waarschijnlijkheidstheorie zijn twee van de belangrijkste instrumenten in de formele studie van redeneren en zijn met vrucht toegepast in uiteenlopende domeinen als filosofie, kunstmatige intelligentie, cognitieve wetenschappen en wiskunde. Deze inzending bespreekt de belangrijkste voorstellen om logica en waarschijnlijkheidstheorie te combineren en probeert een classificatie te geven van de verschillende benaderingen in dit snel ontwikkelende veld.

• 1. Combineren van logica en kansrekening

• 2. Propositionele waarschijnlijkheidslogica

  • 2.1 Probabilistische semantiek
  • 2.2 Adams 'waarschijnlijkheidslogica
  • 2.3 Verdere generalisaties

• 3. Basiswaarschijnlijkheidsoperatoren

  • 3.1 Kwalitatieve representaties van onzekerheid
  • 3.2 Sommen en producten van waarschijnlijkheidsvoorwaarden

• 4. Modale waarschijnlijkheidslogica

  • 4.1 Basis Eindige Modale Kansmodellen
  • 4.2 Indexering en interpretaties
  • 4.3 Waarschijnlijkheidsruimten
  • 4.4 Combineren van kwantitatieve en kwalitatieve onzekerheid
  • 4.5 Dynamiek

• 5. Eerste-orde waarschijnlijkheidslogica

  • 5.1 Een voorbeeld van een waarschijnlijkheidslogica van de eerste orde

    • 5.1.1 Kwantificeren over meer dan één variabele
    • 5.1.2 Voorwaardelijke waarschijnlijkheid
    • 5.1.3 Waarschijnlijkheden als voorwaarden
  • 5.2 Mogelijke eerste-orde waarschijnlijkheidslogica
  • 5.3 Metalogic
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Combineren van logica en kansrekening

Het idee om logica en waarschijnlijkheid te combineren, ziet er op het eerste gezicht misschien vreemd uit (Hájek 2001). Logica houdt zich immers bezig met absoluut bepaalde waarheden en gevolgtrekkingen, terwijl de waarschijnlijkheidstheorie zich bezighoudt met onzekerheden. Bovendien biedt logica een kwalitatief (structureel) perspectief op inferentie (de deductieve validiteit van een argument is gebaseerd op de formele structuur van het argument), terwijl kansen kwantitatief (numeriek) van aard zijn. Zoals in de volgende paragraaf zal worden aangetoond, zijn er natuurlijke zintuigen waarin de waarschijnlijkheidstheorie de klassieke logica veronderstelt en uitbreidt. Bovendien zijn historisch gezien verschillende vooraanstaande theoretici zoals De Morgan (1847), Boole (1854), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Carnap (1950), Jeffrey (1992) en Howson (2003, 2007,2009) hebben de nauwe verbanden tussen logica en waarschijnlijkheid benadrukt, of beschouwden hun werk aan waarschijnlijkheid zelfs als een onderdeel van de logica zelf.

Door de complementaire perspectieven van kwalitatieve logica en numerieke kansrekening te integreren, kunnen kanslogica's zeer expressieve gevolgtrekkingen aanbieden. Het hoeft dan ook niet te verbazen dat ze zijn toegepast op alle gebieden die redeneermechanismen bestuderen, zoals filosofie, kunstmatige intelligentie, cognitieve wetenschappen en wiskunde. Het nadeel van deze multidisciplinaire populariteit is dat termen als 'waarschijnlijkheidslogica' door verschillende onderzoekers op verschillende, niet-equivalente manieren worden gebruikt. Voordat we verder gaan met de feitelijke bespreking van de verschillende benaderingen, zullen we daarom eerst het onderwerp van deze bijdrage afbakenen.

Het belangrijkste onderscheid is dat tussen waarschijnlijkheidslogica en inductieve logica. Klassiek wordt gezegd dat een argument (deductief) geldig is, en alleen als het onmogelijk is dat de premissen van (A) allemaal waar zijn, terwijl de conclusie onjuist is. Met andere woorden, deductieve validiteit komt neer op het behoud van de waarheid: in een geldig argument garandeert de waarheid van de premissen de waarheid van de conclusie. In sommige argumenten garandeert de waarheid van de premissen echter niet volledig de waarheid van de conclusie, maar maakt deze toch zeer waarschijnlijk. Een typisch voorbeeld is het argument met premissen 'De eerste zwaan die ik zag was wit', …, 'De 1000e zwaan die ik zag was wit' en de conclusie 'Alle zwanen zijn wit'. Dergelijke argumenten worden bestudeerd in inductieve logica, die veel gebruik maakt van probabilistische begrippen,en wordt daarom door sommige auteurs beschouwd als gerelateerd aan waarschijnlijkheidslogica. Er is enige discussie over de exacte relatie tussen inductieve logica en waarschijnlijkheidslogica, die is samengevat in de introductie van Kyburg (1994). De dominante positie (verdedigd door onder meer Adams en Levine (1975)), die hier ook wordt aangenomen, is dat waarschijnlijkheidslogica volledig tot deductieve logica behoort, en dus niet over inductieve redenering mag gaan. Toch valt het meeste werk aan inductieve logica binnen de 'waarschijnlijkheidsbehoud'-benadering en is het dus nauw verbonden met de systemen die in paragraaf 2 worden besproken. Voor meer informatie over inductieve logica kan de lezer Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn raadplegen. (2011), en de vermeldingen over het probleem van inductie en inductieve logica van deze encyclopedie. Er is enige discussie over de exacte relatie tussen inductieve logica en waarschijnlijkheidslogica, die is samengevat in de introductie van Kyburg (1994). De dominante positie (verdedigd door onder meer Adams en Levine (1975)), die hier ook wordt aangenomen, is dat waarschijnlijkheidslogica volledig tot deductieve logica behoort, en dus niet over inductieve redenering mag gaan. Toch valt het meeste werk aan inductieve logica binnen de 'waarschijnlijkheidsbehoud'-benadering en is het dus nauw verbonden met de systemen die in paragraaf 2 worden besproken. Voor meer informatie over inductieve logica kan de lezer Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn raadplegen. (2011), en de vermeldingen over het probleem van inductie en inductieve logica van deze encyclopedie. Er is enige discussie over de exacte relatie tussen inductieve logica en waarschijnlijkheidslogica, die is samengevat in de introductie van Kyburg (1994). De dominante positie (verdedigd door onder meer Adams en Levine (1975)), die hier ook wordt aangenomen, is dat waarschijnlijkheidslogica volledig tot deductieve logica behoort, en dus niet over inductieve redenering mag gaan. Toch valt het meeste werk aan inductieve logica binnen de 'waarschijnlijkheidsbehoud'-benadering en is het dus nauw verbonden met de systemen die in paragraaf 2 worden besproken. Voor meer informatie over inductieve logica kan de lezer Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn raadplegen. (2011), en de vermeldingen over het probleem van inductie en inductieve logica van deze encyclopedie. De dominante positie (verdedigd door onder meer Adams en Levine (1975)), die hier ook wordt aangenomen, is dat waarschijnlijkheidslogica volledig tot deductieve logica behoort, en dus niet over inductieve redenering mag gaan. Toch valt het meeste werk aan inductieve logica binnen de 'waarschijnlijkheidsbehoud'-benadering en is het dus nauw verbonden met de systemen die in paragraaf 2 worden besproken. Voor meer informatie over inductieve logica kan de lezer Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn raadplegen. (2011), en de vermeldingen over het probleem van inductie en inductieve logica van deze encyclopedie. De dominante positie (verdedigd door onder meer Adams en Levine (1975)), die hier ook wordt aangenomen, is dat waarschijnlijkheidslogica volledig tot deductieve logica behoort, en dus niet over inductieve redenering mag gaan. Toch valt het meeste werk aan inductieve logica binnen de 'waarschijnlijkheidsbehoud'-benadering en is het dus nauw verbonden met de systemen die in paragraaf 2 worden besproken. Voor meer informatie over inductieve logica kan de lezer Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn raadplegen. (2011), en de vermeldingen over het probleem van inductie en inductieve logica van deze encyclopedie.het meeste werk aan inductieve logica valt binnen de 'waarschijnlijkheidsbehoud'-benadering en is dus nauw verbonden met de systemen die worden besproken in paragraaf 2. Voor meer informatie over inductieve logica kan de lezer Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011) raadplegen.), en de vermeldingen over het probleem van inductie en inductieve logica van deze encyclopedie.het meeste werk aan inductieve logica valt binnen de 'waarschijnlijkheidsbehoud'-benadering en is dus nauw verbonden met de systemen die worden besproken in paragraaf 2. Voor meer informatie over inductieve logica kan de lezer Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011) raadplegen.), en de vermeldingen over het probleem van inductie en inductieve logica van deze encyclopedie.

We zullen ook het filosofische debat over de exacte aard van waarschijnlijkheid vermijden. De formele systemen die hier worden besproken, zijn compatibel met alle gangbare interpretaties van waarschijnlijkheid, maar uiteraard zullen in concrete toepassingen bepaalde interpretaties van waarschijnlijkheid natuurlijker passen dan andere. Zo zijn de modale waarschijnlijkheidslogica's die in paragraaf 4 worden besproken, op zichzelf neutraal over de aard van waarschijnlijkheid, maar wanneer ze worden gebruikt om het gedrag van een overgangssysteem te beschrijven, worden hun kansen typisch op een objectieve manier geïnterpreteerd, terwijl het modelleren van meerdere -agente scenario's gaan het meest natuurlijk gepaard met een subjectieve interpretatie van waarschijnlijkheden (als geloofsgraden van agenten). Dit onderwerp wordt in detail besproken in Gillies (2000), Eagle (2010) en het artikel over interpretaties van waarschijnlijkheid van deze encyclopedie.

Een recente trend in de literatuur is geweest om minder te focussen op het integreren of combineren van logica en waarschijnlijkheidstheorie in een enkel, verenigd raamwerk, maar eerder om bruggen te slaan tussen de twee disciplines. Dit houdt doorgaans in dat we proberen de kwalitatieve noties van logica te vangen in de kwantitatieve termen van de kansrekening, of omgekeerd. We zullen geen recht kunnen doen aan de grote verscheidenheid aan benaderingen in dit bloeiende gebied, maar geïnteresseerde lezers kunnen Leitgeb (2013, 2014), Lin en Kelly (2012a, 2012b), Douven en Rott (2018) en Harrison raadplegen. Trainor, Holliday en Icard (2016, 2018). Een 'hedendaagse klassieker' op dit gebied is Leitgeb (2017), terwijl van Benthem (2017) een nuttig overzicht en enkele interessante programmatische opmerkingen biedt.

Ten slotte, hoewel het succes van waarschijnlijkheidslogica grotendeels te danken is aan de verschillende toepassingen, zullen we deze toepassingen niet in detail behandelen. We zullen bijvoorbeeld het gebruik van waarschijnlijkheid niet beoordelen als een formele weergave van geloof in filosofie (Bayesiaanse epistemologie) of kunstmatige intelligentie (kennisrepresentatie), en de voor- en nadelen ervan met betrekking tot alternatieve representaties, zoals gegeneraliseerde waarschijnlijkheidstheorie (voor kwantum theorie), (p) - adische waarschijnlijkheid en fuzzy logic. Voor meer informatie over deze onderwerpen kan de lezer Gerla (1994), Vennekens et al. Raadplegen. (2009), Hájek en Hartmann (2010), Hartmann en Sprenger (2010), Ilić-Stepić et al. (2012), en de vermeldingen op formele representaties van geloof, Bayesiaanse epistemologie, weerlegbare redenering, kwantumlogica en waarschijnlijkheidstheorie,en vage logica van deze encyclopedie.

Nu deze verduidelijkingen aanwezig zijn, zijn we nu klaar om te kijken naar wat in deze bijdrage zal worden besproken. De meest gebruikelijke strategie om een concreet systeem van waarschijnlijkheidslogica te verkrijgen, is om te beginnen met een klassiek (propositioneel / modaal / enz.) Logisch systeem en het op de een of andere manier te 'probabiliseren' door er probabilistische kenmerken aan toe te voegen. Er zijn verschillende manieren waarop deze probabilificatie kan worden geïmplementeerd. Men kan probabilistische semantiek bestuderen voor klassieke talen (die geen expliciete probabilistische operatoren hebben), in welk geval de gevolgrelatie zelf een probabilistische smaak krijgt: deductieve validiteit wordt 'waarschijnlijkheidsbehoud' in plaats van 'waarheidsbehoud'. Deze richting zal worden besproken in sectie 2. Als alternatief kan men verschillende soorten probabilistische operatoren toevoegen aan de syntaxis van de logica. In paragraaf 3 zullen we enkele eerste, vrij basale voorbeelden van probabilistische operatoren bespreken. De volledige expressiviteit van modale probabilistische operatoren zal in sectie 4 worden onderzocht. Ten slotte zullen talen met eerste-orde probabilistische operatoren in sectie 5 worden besproken.

2. Propositionele waarschijnlijkheidslogica

In deze sectie presenteren we een eerste familie van waarschijnlijkheidslogica's, die worden gebruikt om vragen te bestuderen over 'waarschijnlijkheidsbehoud' (of tweevoudig 'onzekerheidspropagatie'). Deze systemen breiden de taal niet uit met probabilistische operatoren, maar behandelen eerder een 'klassieke' propositionele taal (mathcal {L}), die een telbare reeks atomaire proposities heeft, en de gebruikelijke waarheid-functionele (Booleaanse) connectieven.

Het belangrijkste idee is dat de premissen van een geldig argument onzeker kunnen zijn, in welk geval (deductieve) validiteit geen voorwaarden stelt aan de (on) zekerheid van de conclusie. Bijvoorbeeld, het argument met premissen 'als het morgen zal regenen, zal ik nat worden' en 'het zal morgen regenen', en de conclusie 'ik zal nat worden' is geldig, maar als de tweede premisse onzeker is, zal de conclusie typisch zijn wees ook onzeker. Propositionele waarschijnlijkheidslogica's vertegenwoordigen zulke onzekerheden als waarschijnlijkheden en bestuderen hoe ze van het pand naar de conclusie 'stromen' met andere woorden, ze bestuderen niet het behoud van de waarheid, maar eerder het behoud van de waarschijnlijkheid. In de volgende drie subparagrafen worden systemen besproken die te maken hebben met steeds algemenere versies van dit probleem.

2.1 Probabilistische semantiek

We beginnen met het idee van een waarschijnlijkheidsfunctie voor de propositionele taal (mathcal {L}) in herinnering te brengen. (In de wiskunde worden waarschijnlijkheidsfuncties meestal gedefinieerd voor een (sigma) - algebra van subsets van een bepaalde set (Omega), en vereist om te voldoen aan telbare additiviteit; zie Sectie 4.3. In logische contexten echter het is vaak natuurlijker om waarschijnlijkheidsfuncties 'onmiddellijk' te definiëren voor de objecttaal van de logica (Williamson 2002). Omdat deze taal eindig is - al zijn formules hebben een eindige lengte -, volstaat het ook om eindige additiviteit te vereisen.) Een kansfunctie (voor (mathcal {L})) is een functie (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}) die aan de volgende voorwaarden voldoet:

Niet-negativiteit. (P (phi) geq 0) voor alle (phi / in / mathcal {L}.)

Tautologieën. Als (models / phi), dan (P (phi) = 1.)

Eindige toevoeging. Als (models / neg (phi / wedge / psi)), dan (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi).)

In de tweede en derde constraint geeft het (models) - symbool (semantische) validiteit aan in de klassieke propositionele logica. De definitie van kansfuncties vereist dus begrippen uit de klassieke logica, en in die zin kan worden gezegd dat de kansrekening de klassieke logica veronderstelt (Adams 1998, 22). Het kan gemakkelijk worden aangetoond dat als (P) aan deze voorwaarden voldoet, (P (phi) in [0,1]) voor alle formules (phi / in / mathcal {L}), en (P (phi) = P (psi)) voor alle formules (phi, / psi / in / mathcal {L}) die logisch equivalent zijn (dus zodanig dat (models / phi / leftrightarrow / psi)).

We gaan nu over op probabilistische semantiek, zoals gedefinieerd in Leblanc (1983). Een argument met premissen (Gamma) en conclusie (phi) - voortaan aangeduid als ((Gamma, / phi)) - zou probabilistisch geldig zijn, geschreven (Gamma / models_p / phi), als en alleen als:

voor alle waarschijnlijkheidsfuncties (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}):

if (P (gamma) = 1) voor alle (gamma / in / Gamma), dan ook (P (phi) = 1).

Probabilistische semantiek vervangt dus de waarderingen (v: / mathcal {L} to {0,1 }) van klassieke propositionele logica door kansfuncties (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}), die waarden aannemen in het reële eenheidsinterval ([0,1]). De klassieke waarheidswaarden true (1) en false (0) kunnen dus worden beschouwd als de eindpunten van het eenheidsinterval ([0,1]), en evenzo taxaties (v: / mathcal {L} to {0,1 }) kan worden beschouwd als gedegenereerde waarschijnlijkheidsfuncties (P: / mathcal {L} tot [0,1]). In deze zin is klassieke logica een speciaal geval van waarschijnlijkheidslogica, of equivalent is waarschijnlijkheidslogica een uitbreiding van klassieke logica.

Aangetoond kan worden dat klassieke propositielogica (sterk) gezond en volledig is met betrekking tot probabilistische semantiek:

(Gamma / models_p / phi / text {als en alleen als} Gamma / vdash / phi.)

Sommige auteurs interpreteren waarschijnlijkheden als gegeneraliseerde waarheidswaarden (Reichenbach 1949, Leblanc 1983). Volgens deze opvatting is waarschijnlijkheidslogica slechts een bepaald soort veelgewaardeerde logica en komt probabilistische validiteit neer op 'waarheidsbehoud': waarheid (dwz waarschijnlijkheid 1) wordt overgedragen van de premissen naar de conclusie. Andere logici, zoals Tarski (1936) en Adams (1998, 15), hebben opgemerkt dat waarschijnlijkheden niet kunnen worden gezien als algemene waarheidswaarden, omdat waarschijnlijkheidsfuncties niet 'extensief' zijn; (P (phi / wedge / psi)) kan bijvoorbeeld niet worden uitgedrukt als een functie van (P (phi)) en (P (psi)). Meer discussie over dit onderwerp is te vinden in Hailperin (1984).

Een andere mogelijkheid is om de waarschijnlijkheid van een zin te interpreteren als een maat voor zijn (on) zekerheid. Zo kan de zin 'Jones is momenteel in Spanje' enige mate van zekerheid hebben, variërend van 0 (maximale onzekerheid) tot 1 (maximale zekerheid). (Merk op dat 0 eigenlijk een soort zekerheid is, namelijk zekerheid over onwaarheid; in dit artikel volgen we Adams terminologie (1998, 31) en interpreteren 0 als maximale onzekerheid.) Volgens deze interpretatie volgt de volgende stelling uit de sterke degelijkheid en volledigheid van probabilistische semantiek:

Stelling 1. Overweeg een deductief geldig argument ((Gamma, / phi)). Als alle premissen in (Gamma) kans 1 hebben, dan heeft de conclusie (phi) ook kans 1.

Deze stelling kan worden gezien als een eerste, zeer gedeeltelijke verduidelijking van het probleem van waarschijnlijkheidsbehoud (of onzekerheidspropagatie). Er staat dat als er geen enkele onzekerheid is over het pand, er ook geen onzekerheid kan zijn over de conclusie. In de volgende twee subparagrafen zullen we interessantere gevallen beschouwen, wanneer er niet-nul-onzekerheid is over het pand, en vragen hoe het tot de conclusie overgaat.

Ten slotte moet worden opgemerkt dat hoewel in deze paragraaf alleen probabilistische semantiek voor klassieke propositionele logica werd besproken, er ook probabilistische semantiek is voor een verscheidenheid aan andere logica's, zoals intuïtionistische propositionele logica (van Fraassen 1981b, Morgan en Leblanc 1983), modale logica (Morgan 1982a, 1982b, 1983, Cross 1993), klassieke logica van de eerste orde (Leblanc 1979, 1984, van Fraassen 1981b), relevante logica (van Fraassen 1983) en niet-monotone logica (Pearl 1991). Al deze systemen hebben een belangrijke functie: semantiek de logica is probabilistische in de natuur, maar waarschijnlijkheden niet expliciet vertegenwoordigd in de object taal; daarom zijn ze veel dichter bij de hier besproken propositionele waarschijnlijkheidslogica's dan bij de systemen die in latere secties worden gepresenteerd.

De meeste van deze systemen zijn niet gebaseerd op unaire kansen (P (phi)), maar eerder op voorwaardelijke kansen (P (phi, / psi)). De voorwaardelijke kans (P (phi, / psi)) wordt als primitief genomen (in plaats van te worden gedefinieerd als (P (phi / wedge / psi) / P (psi)), zoals gewoonlijk wordt gedaan) om problemen te voorkomen wanneer (P (psi) = 0). Goosens (1979) geeft een overzicht van verschillende axiomatisaties van de waarschijnlijkheidstheorie in termen van dergelijke primitieve noties van voorwaardelijke waarschijnlijkheid.

2.2 Adams 'waarschijnlijkheidslogica

In de vorige paragraaf hebben we een eerste principe van kansbehoud besproken, dat zegt dat als alle premissen kans 1 hebben, de conclusie ook kans 1 heeft. Natuurlijk ontstaan er meer interessante gevallen wanneer de premissen minder dan absoluut zeker zijn. Beschouw het geldige argument met premissen (p / vee q) en (p / to q), en conclusie (q) (het symbool '(to)' geeft het voorwaardelijke materiaal aan dat voorwaardelijk is). Dat kun je gemakkelijk laten zien

[P (q) = P (p / vee q) + P (p / tot q) - 1.)

Met andere woorden, als we de waarschijnlijkheden van de premissen van het argument kennen, kunnen we de exacte waarschijnlijkheid van de conclusie ervan berekenen en dus een volledig antwoord geven op de vraag of de waarschijnlijkheid voor dit specifieke argument behouden blijft (bijvoorbeeld als (P (p / vee q) = 6/7) en (P (p / to q) = 5/7), dan (P (q) = 4/7)). In het algemeen is het echter niet mogelijk om de exacte waarschijnlijkheid van de conclusie te berekenen, gezien de waarschijnlijkheid van het pand; het beste waarop we kunnen hopen is eerder een (strakke) boven- en / of ondergrens voor de waarschijnlijkheid van de conclusie. We zullen nu de methoden van Adams (1998) bespreken om dergelijke grenzen te berekenen.

De resultaten van Adams kunnen gemakkelijker worden uitgedrukt in termen van onzekerheid dan van zekerheid (waarschijnlijkheid). Gegeven een waarschijnlijkheidsfunctie (P: / mathcal {L} tot [0,1]), wordt de corresponderende onzekerheidsfunctie (U_P) gedefinieerd als

[U_P: / mathcal {L} to [0,1]: / phi / mapsto U_P (phi): = 1-P (phi).)

Als de waarschijnlijkheidsfunctie (P) duidelijk is uit de context, schrijven we vaak gewoon (U) in plaats van (U_P). In de rest van deze paragraaf (en ook in de volgende) zullen we aannemen dat alle argumenten slechts eindig veel premissen hebben (wat geen significante beperking is, gezien de compactheidseigenschap van klassieke propositionele logica). Het eerste hoofdresultaat van Adams, oorspronkelijk vastgesteld door Suppes (1966), kan nu als volgt worden vermeld:

Stelling 2. Overweeg een geldig argument ((Gamma, / phi)) en een waarschijnlijkheidsfunctie (P). Dan mag de onzekerheid van de conclusie (phi) niet groter zijn dan de som van de onzekerheden van de premissen (gamma / in / Gamma). Formeel:

[U (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U (gamma).)

Merk allereerst op dat deze stelling stelling 1 als een speciaal geval onderbrengt: als (P (gamma) = 1) voor alle (gamma / in / Gamma), dan (U (gamma) = 0) voor alle (y / in / Gamma), so (U (phi) eq / vatten U (y) = 0) en daarmee (P (phi) = 1). Merk verder op dat de bovengrens van de onzekerheid van de conclusie afhangt van (| / Gamma |), dat wil zeggen van het aantal gebouwen. Als een geldig argument een klein aantal premissen heeft, die elk slechts een kleine onzekerheid hebben (dwz een hoge zekerheid), dan zal de conclusie ook een redelijk kleine onzekerheid hebben (dwz een redelijk hoge zekerheid). Omgekeerd, als een geldig argument premissen heeft met kleine onzekerheden, dan kan de conclusie alleen zeer onzeker zijn als het argument een groot aantal premissen heeft (een beroemde illustratie van dit omgekeerde principe is de loterijparadox van Kyburg (1965),die wordt besproken in het artikel over epistemische paradoxen van deze encyclopedie). Om de zaak concreter te maken: merk op dat als een geldig argument drie premissen heeft die elk onzekerheid 1/11 hebben, het toevoegen van een premisse die ook onzekerheid 1/11 heeft, de geldigheid van het argument niet beïnvloedt, maar de bovengrens verhoogt de onzekerheid van de conclusie van 3/11 tot 4/11, waardoor de conclusie onzekerder kan zijn dan oorspronkelijk het geval was. Tenslotte de bovengrens door Stelling 2 optimaal is, in die zin dat (onder de juiste omstandigheden) de onzekerheid van de sluiting kan samenvallen met de bovengrens (som U (y)):dan is het toevoegen van een premisse die ook onzekerheid 1/11 heeft geen invloed op de geldigheid van het argument, maar het zal verhoging van de bovengrens op de onzekerheid van de sluiting is van 3/11 tot 4/11-waardoor de conclusie onzekerder dan oorspronkelijk was zijn geval. Ten slotte is de bovengrens van Stelling 2 optimaal, in die zin dat (onder de juiste omstandigheden) de onzekerheid van de conclusie kan samenvallen met de bovengrens (sum U (gamma)):dan zal het toevoegen van een premisse die ook onzekerheid 1/11 heeft, de geldigheid van het argument niet beïnvloeden, maar het zal de bovengrens van de onzekerheid van de conclusie verhogen van 3/11 naar 4/11, waardoor de conclusie onzekerder wordt dan oorspronkelijk de geval. Ten slotte is de bovengrens van Stelling 2 optimaal, in die zin dat (onder de juiste omstandigheden) de onzekerheid van de conclusie kan samenvallen met de bovengrens (sum U (gamma)):in die zin dat (onder de juiste omstandigheden) de onzekerheid van de conclusie kan samenvallen met de bovengrens (sum U (gamma)):in die zin dat (onder de juiste omstandigheden) de onzekerheid van de conclusie kan samenvallen met de bovengrens (sum U (gamma)):

Stelling 3. Overweeg een geldig argument ((Gamma, / phi)) en ga ervan uit dat de premisse-set (Gamma) consistent is en dat elke premisse (gamma / in / Gamma) relevant is (dwz (Gamma - { gamma } not / models / phi)). Dan bestaat er een waarschijnlijkheidsfunctie (P: / mathcal {L} tot [0,1]) zodat

[U_P (phi) = / sum _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma).)

De bovengrens van Stelling 2 kan ook worden gebruikt om een probabilistisch begrip van validiteit te definiëren. Een argument ((Gamma, / phi)) zou Adams-probabilistisch geldig zijn, geschreven (Gamma / models_a / phi), al dan niet als

voor alle waarschijnlijkheidsfuncties (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}): (U_P (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma)).

Adams probabilistische validiteit heeft een alternatieve, gelijkwaardige karakterisering in termen van kansen in plaats van onzekerheden. Deze karakterisering zegt dat ((Gamma, / phi)) Adams-probabilistisch geldig is als en alleen als de waarschijnlijkheid van de conclusie willekeurig dicht bij 1 kan komen als de waarschijnlijkheden van het pand voldoende hoog zijn. Formeel: (Gamma / models_a / phi) als en alleen als

voor alle (epsilon> 0) bestaat er een (delta> 0) zodat voor alle waarschijnlijkheidsfuncties (P):

if (P (gamma)> 1- / delta) voor iedereen (gamma / in / Gamma), dan (P (phi)> 1- / epsilon).

Aangetoond kan worden dat klassieke propositionele logica (sterk) solide en volledig is met betrekking tot Adams probabilistische semantiek:

(Gamma / models_a / phi / text {als en alleen als} Gamma / vdash / phi.)

Adams (1998, 154) definieert ook een andere logica waarvoor zijn probabilistische semantiek gezond en compleet is. Dit systeem heeft echter een niet-waarheid-functionele verbinding (de waarschijnlijkheid voorwaardelijk) en valt daarom buiten het bestek van deze sectie. (Voor meer informatie over probabilistische interpretaties van conditionals kan de lezer de vermeldingen over conditionals en de logica van conditionals van deze encyclopedie raadplegen.)

Beschouw het volgende voorbeeld. Het argument (A) met premissen (p, q, r, s) en conclusie (p / wedge (q / vee r)) is geldig. Neem aan dat (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) en (P (s) = 7/11). Dan zegt Stelling 2 dat

(begin {align} & U (p / wedge (q / vee r)) leq \& / quad / frac {1} {11} + / frac {2} {11} + / frac {2} { 11} + / frac {4} {11} = / frac {9} {11}. / end {align})

Deze bovengrens op de onzekerheid van de conclusie is nogal teleurstellend, en het legt de belangrijkste zwakte van Stelling 2 bloot. Een van de redenen waarom de bovengrens zo hoog is, is dat we bij het berekenen ervan rekening hebben gehouden met het uitgangspunt (s), wat een vrij hoge onzekerheid heeft ((4/11)). Dit uitgangspunt is echter niet relevant, in die zin dat de conclusie al volgt uit de andere drie premissen. Daarom kunnen we (p / wedge (q / vee r)) niet alleen beschouwen als de conclusie van het geldige argument (A), maar ook als de conclusie van het (even geldige) argument (A '), die gebouwen (p, q, r) heeft. In het laatste geval levert Stelling 2 een bovengrens van (1/11 + 2/11 + 2/11 = 5/11) op, die al veel lager is.

De zwakte van Stelling 2 is dus dat het rekening houdt met (de onzekerheid van) irrelevante of niet-essentiële premissen. Om een verbeterde versie van deze stelling te verkrijgen, is een meer verfijnde notie van 'essentieelheid' nodig. In argument (A) in het bovenstaande voorbeeld is premisse (s) absoluut niet relevant. Evenzo is premisse (p) absoluut relevant, in die zin dat zonder deze premisse de conclusie (p / wedge (q / vee r)) niet langer af te leiden is. Ten slotte is de premisse subset ({q, r }) 'tussenin': samen (q) en (r) zijn relevant (als beide premissen worden weggelaten, is de conclusie niet langer af te leiden), maar elk afzonderlijk kan worden weggelaten (met behoud van de afleidbare conclusie).

Het begrip essentieel is als volgt geformaliseerd:

Essentieel uitgangspunt. Gegeven een geldig argument ((Gamma, / phi)), is een set (Gamma '\ subseteq / Gamma) essentieel iff (Gamma - / Gamma' / not / models / phi).

Mate van essentialness. Gegeven een geldig argument ((Gamma, / phi)) en een premisse (gamma / in / Gamma), de mate van essentieelheid van (gamma), geschreven (E (gamma)), is (1 / | S_ / gamma |), waarbij (| S_ / gamma |) de kardinaliteit is van de kleinste essentiële gebouwenset die (gamma) bevat. Als (gamma) niet tot een minimale essentiële uitgangsset behoort, dan is de mate van essentieelheid van (gamma) 0.

Met deze definities kan een verfijnde versie van Stelling 2 worden opgesteld:

Stelling 4. Overweeg een geldig argument ((Gamma, / phi)). Dan mag de onzekerheid van de conclusie (phi) niet groter zijn dan de gewogen som van de onzekerheden van de premissen (gamma / in / Gamma), met de graden van essentieelheid als gewichten. Formeel:

[U (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) U (gamma).)

Het bewijs van Stelling 4 is aanzienlijk moeilijker dan die van Stelling 2: Stelling 2 vereist slechts een basale kansrekening, terwijl Stelling 4 wordt bewezen met behulp van methoden uit lineaire programmering (Adams en Levine 1975; Goldman en Tucker 1956). Stelling 4 gaat uit van Stelling 2 als een speciaal geval: als alle premissen relevant zijn (dwz hebben een mate van essentieelheid 1), levert Stelling 4 dezelfde bovengrens op als Stelling 2. Verder houdt Stelling 4 geen rekening met irrelevante premissen (ie premissen) met mate van essentialness 0) berekenen deze bovengrens; dus als een premisse niet relevant is voor de geldigheid van het argument, dan zal de onzekerheid niet tot de conclusie overgaan. Merk ten slotte op dat aangezien (E (gamma) in [0,1]) voor alle (gamma / in / Gamma) geldt dat

(sum _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) U (gamma) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U (gamma),)

dwz Stelling 4 levert in het algemeen een strakkere bovengrens op dan Stelling 2. Om dit te illustreren, overweeg opnieuw het argument met premissen (p, q, r, s) en conclusie (p / wedge (q / vee r)). Bedenk dat (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) en (P (s) = 7/11). Men kan de graden van essentieelheid van de premissen berekenen: (E (p) = 1, E (q) = E (r) = 1/2) en (E (s) = 0). Vandaar dat Stelling 4 dat oplevert

(begin {align} & U (p / wedge (q / vee r)) leq \& / quad / left (1 / times / frac {1} {11} right) + / left (frac { 1} {2} times / frac {2} {11} right) + / left (frac {1} {2} times / frac {2} {11} right) + / left (0 / keer / frac {4} {11} right) = / frac {3} {11}, / end {align})

wat een nauwere bovengrens is voor de onzekerheid van (p / wedge (q / vee r)) dan een van de hierboven verkregen grenzen via Stelling 2 (namelijk (9/11) en (5/11)).

2.3 Verdere generalisaties

Gezien de onzekerheden (en de mate van essentieelheid) van de premissen van een geldig argument, stellen Adams 'stellingen ons in staat een bovengrens te berekenen voor de onzekerheid van de conclusie. Natuurlijk kunnen deze resultaten ook worden uitgedrukt in waarschijnlijkheden in plaats van onzekerheden; ze leveren dan een ondergrens op voor de waarschijnlijkheid van de conclusie. Stelling 4 ziet er bijvoorbeeld als volgt uit in termen van waarschijnlijkheden in plaats van onzekerheden:

[P (phi) geq 1 - / sum _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) (1 - P (gamma)).)

De resultaten van Adams zijn op ten minste twee manieren beperkt:

• Ze geven slechts een ondergrens voor de waarschijnlijkheid van de conclusie (gezien de kansen van het terrein). In zekere zin is dit de belangrijkste grens: het vertegenwoordigt de waarschijnlijkheid van de conclusie in het 'worstcasescenario', wat nuttige informatie zou kunnen zijn in praktische toepassingen. In sommige toepassingen kan het echter ook informatief zijn om een bovengrens te hebben voor de waarschijnlijkheid van de conclusie. Als men bijvoorbeeld weet dat deze kans een bovengrens van 0,4 heeft, dan zou men kunnen besluiten af te zien van bepaalde acties (die men zou hebben uitgevoerd als deze bovengrens 0,9 was).
• Ze veronderstellen dat de exacte waarschijnlijkheden van het pand bekend zijn. In praktische toepassingen echter kan er slechts gedeeltelijke informatie over de waarschijnlijkheid van een premisse (y): de exacte waarde is niet bekend, maar het is bekend dat een ondergrens (a) hebben en een bovengrens (b) (Walley 1991). In dergelijke toepassingen zou het nuttig zijn om een methode te hebben om (optimale) onder- en bovengrenzen voor de waarschijnlijkheid van de conclusie te berekenen in termen van de boven- en ondergrenzen van de kansen van het pand.

Hailperin (1965, 1984, 1986, 1996) en Nilsson (1986) het gebruik van werkwijzen lineaire programmering aan te tonen dat beide beperkingen kunnen worden overwonnen. Hun belangrijkste resultaat is het volgende:

Stelling 5. Overweeg een argument ((Gamma, / phi)), met (| / Gamma | = n). Er zijn functies (L _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} to / mathbb {R}) en (U _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} to / mathbb {R}) zodat voor elke kansfunctie (P) het volgende geldt: if (a_i / leq P (gamma_i) leq b_i) voor (1 / leq i / leq n), dan:

1. (L _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n) leq P (phi): / leq) (U _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n)).
2. De grenzen in item 1 zijn optimaal, in die zin dat er waarschijnlijkheidsfuncties (P_L) en (P_U) zijn zodat (a_i / leq P_L (gamma_i),) (P_U (gamma_i) eq b_i) voor (1 / eq i / eq n) en (L _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n) = P_L (phi)) en (P_U (phi) = U _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n)).
3. De functies (L _ { Gamma, / phi}) en (U _ { Gamma, / phi}) zijn effectief te bepalen uit de Booleaanse structuur van de zinnen in (Gamma / cup { phi }).

Dit resultaat kan ook worden gebruikt om nog een andere probabilistische notie van validiteit te definiëren, die we Hailperin-probabilistische validiteit of gewoon h-validiteit zullen noemen. Dit begrip is niet gedefinieerd met betrekking tot formules, maar met betrekking tot paren bestaande uit een formule en een subinterval van ([0,1]). Als (X_i) het interval is dat is gekoppeld aan premisse (gamma_i / in / Gamma) en (Y) het interval is dat is gekoppeld aan de conclusie (phi), dan is het argument ((Gamma, / phi)) zou h -valid zijn, geschreven (Gamma / models_h / phi), al dan niet voor alle waarschijnlijkheidsfuncties (P):

(text {if} P (gamma_i) in X_i / text {voor} 1 / leq i / leq n, / text {dan} P (phi) in Y)

In Haenni et al. (2011) dit is geschreven als

(gamma_1 ^ {X_1}, / dots, / gamma_n ^ {X_n} | \! \! \! / approx / phi ^ Y)

en noemde de standaard probabilistische semantiek.

Nilssons werk aan probabilistische logica (1986, 1993) heeft tot veel onderzoek geleid naar probabilistische redenering in kunstmatige intelligentie (Hansen en Jaumard 2000; hoofdstuk 2 van Haenni et al. 2011). Er dient echter te worden dat hoewel Stelling 5 bepaalt dat de functies (L _ { Gamma, / phi}) en (U _ { Gamma, / phi}) effectief bepalen van de zinnen (Gamma / cup { phi }), de computationele complexiteit van dit probleem is vrij hoog (Georgakopoulos et al. 1988, Kavvadias en Papadimitriou 1990), en het vinden van deze functies wordt dus snel computationeel onhaalbaar in toepassingen in de echte wereld. Hedendaagse benaderingen op basis van probabilistische argumentatie systemen en probabilistische netwerken zijn beter in staat de behandeling van deze computationele uitdagingen. Bovendienprobabilistische argumentatiesystemen zijn nauw verwant aan de Dempster-Shafer-theorie (Dempster 1968; Shafer 1976; Haenni en Lehmann 2003). Echter, een uitgebreide bespreking van deze aanpak valt buiten het bestek van (de huidige versie van) dit bericht; zie (Haenni et al. 2011) voor een recent onderzoek.

3. Basiswaarschijnlijkheidsoperatoren

In deze sectie zullen we waarschijnlijkheidslogica's bestuderen die de propositionele taal (mathcal {L}) uitbreiden met vrij elementaire kansoperatoren. Ze verschillen van de logica in artikel 2, dat de logica hier waarschijnlijkheid operators in het object taal te betrekken. Paragraaf 3.1 bespreekt kwalitatieve kansoperatoren; Paragraaf 3.2 bespreekt kwantitatieve waarschijnlijkheid operators.

3.1 Kwalitatieve representaties van onzekerheid

Er zijn verschillende toepassingen waarbij kwalitatieve theorie van waarschijnlijkheid nuttig, of zelfs noodzakelijk zou kunnen zijn. In sommige situaties zijn er geen frequenties beschikbaar om te gebruiken als schattingen voor de kansen, of is het praktisch onmogelijk om die frequenties te verkrijgen. Bovendien zijn mensen vaak bereid om de waarschijnlijkheid van twee uitspraken ('(phi) is waarschijnlijker dan (psi)') te vergelijken zonder expliciete waarschijnlijkheden aan elk van de uitspraken afzonderlijk toe te kennen (Szolovits en Pauker 1978 Halpern en Rabin 1987). In dergelijke situaties zal de kwalitatieve waarschijnlijkheid logica nuttig zijn.

Een van de vroegste kwalitatieve waarschijnlijkheid logica is Hamblin's (1959). De taal is uitgebreid met een unaire operator (Box), die gelezen moet worden als 'waarschijnlijk'. Daarom moet een formule zoals (Box / phi) gelezen worden als 'waarschijnlijk (phi)'. Deze notie van 'waarschijnlijk' kan worden geformaliseerd als voldoende hoge (numerieke) waarschijnlijkheid (dwz (P (phi) geq t), voor een bepaalde drempelwaarde (1/2 <t / leq 1)), of alternatief in termen van plausibiliteit, wat een niet-metrische generalisatie van waarschijnlijkheid is. Burgess (1969) ontwikkelt deze systemen verder, met de nadruk op de interpretatie van 'hoge numerieke waarschijnlijkheid'. Zowel Hamblin als Burgess introduceren extra operators in hun systemen (bijvoorbeeld uitdrukken van metafysische noodzaak en / of kennis), en bestuderen de interactie tussen de 'waarschijnlijk'-operator en deze andere modale operators. Echter,de 'waarschijnlijk'-operator vertoont op zichzelf al enkele interessante functies (onafhankelijk van andere operators). Als het wordt geïnterpreteerd als 'voldoende grote kans', voldoet het niet aan het principe ((Box / phi / wedge / Box / psi) to / Box (phi / wedge / psi)). Dit betekent dat het geen normale modale operator is en geen Kripke (relationele) semantiek kan krijgen. Herzig en Longin (2003) en Arló Costa (2005) bieden zwakkere systemen van buurtsemantiek voor dergelijke 'waarschijnlijk'-operatoren, terwijl Yalcin (2010) hun gedrag bespreekt vanuit een meer taalkundig georiënteerd perspectief. Dit betekent dat het geen normale modale operator is en geen Kripke (relationele) semantiek kan krijgen. Herzig en Longin (2003) en Arló Costa (2005) is, zwakkere systemen van de wijk semantiek voor een dergelijke 'probably'-operators, terwijl Yalcin (2010) bespreekt hun gedrag vanuit een meer linguïstisch georiënteerd perspectief. Dit betekent dat het geen normale modale operator is en geen Kripke (relationele) semantiek kan krijgen. Herzig en Longin (2003) en Arló Costa (2005) bieden zwakkere systemen van buurtsemantiek voor dergelijke 'waarschijnlijk'-operatoren, terwijl Yalcin (2010) hun gedrag vanuit een meer taalkundig georiënteerd perspectief bespreekt.

Een andere route wordt gevolgd door Segerberg (1971) en Gärdenfors (1975a, 1975b), die voortbouwen op eerder werk van de Finetti (1937), Kraft, Pratt en Seidenberg (1959) en Scott (1964). Ze introduceren een binaire operator (geq); de formule (phi / geq / psi) moet gelezen worden als '(phi) is minstens zo waarschijnlijk als (psi)' (formeel: (P (phi) geq P (psi))). Het belangrijkste idee is dat men het gedrag van (geq) volledig kan axiomatiseren zonder de 'onderliggende' kansen van de individuele formules te hoeven gebruiken. Opgemerkt moet worden dat met vergelijkende waarschijnlijkheid (een binaire operator) men ook enkele absolute probabilistische eigenschappen kan uitdrukken (unaire operatoren). (Phi / geq / top) geeft bijvoorbeeld aan dat (phi) kans 1 heeft, en (phi / geq / neg / phi) geeft aan dat (phi) minstens kans heeft 1/2. In recent werk,Delgrande en Renne (2015) breiden de kwalitatieve benadering verder uit, door toe te staan dat de argumenten van (geq) eindige reeksen formules zijn (van potentieel verschillende lengtes). De formule ((phi_1, / dots / phi_n) geq (psi_1, / dots / psi_m)) wordt informeel te lezen 'de som van de kansen van de (phi_i)' s is minstens zo hoog als de som van de kansen van de (psi_j) 's'. De resulterende logica kan volledig worden axiomatiseerd en is zo expressief dat het zelfs kwantitatieve probabilistische logica kan bevatten, waar we ons nu op richten.\ psi_m)) is informeel te lezen als 'de som van de kansen van de (phi_i)' s is minstens zo hoog als de som van de kansen van de (psi_j) 's'. De resulterende logica kan volledig worden axiomatiseerd en is zo expressief dat het zelfs kwantitatieve probabilistische logica kan bevatten, waar we ons nu op richten.\ psi_m)) is informeel te lezen als 'de som van de kansen van de (phi_i)' s is minstens zo hoog als de som van de kansen van de (psi_j) 's'. De resulterende logica kan volledig worden axiomatiseerd en is zo expressief dat het zelfs kwantitatieve probabilistische logica kan bevatten, waar we ons nu op richten.

3.2 Sommen en producten van waarschijnlijkheidsvoorwaarden

Propositionele waarschijnlijkheidslogica zijn uitbreidingen van propositionele logica die numerieke relaties tussen waarschijnlijkheidsvoorwaarden (P (varphi)) uitdrukken. Een eenvoudige propositionele waarschijnlijkheidslogica voegt toe aan propositionele logische formules met de vorm (P (varphi) ge q), waarbij (varphi) een propositionele formule is en (q) een getal is; zo'n formule stelt dat de waarschijnlijkheid van (varphi) minstens (q) is. De semantiek is geformaliseerd met behulp van modellen bestaande uit een waarschijnlijkheidsfunctie (mathcal {P}) over een set (Omega), waarvan de elementen elk een waarheidstoewijzing krijgen aan de atomaire proposities van de propositionele logica. Een propositionele formule is dus waar op een element van (Omega) als de waarheidstoewijzing voor dat element de propositieformule waar maakt. De formule (P (varphi) ge q) is waar in het model als en alleen als de kans (mathcal {P}) van de set elementen van (Omega) waarvoor (varphi) is waar is tenminste (q). Zie hoofdstuk 3 van Ognjanović et al. (2016) voor een overzicht van een dergelijke propositionele kanslogica.

Sommige propositie waarschijnlijkheid logica ook andere types van formules in het object taal, zoals die waarbij bedragen en producten van waarschijnlijkheid voorwaarden. De aantrekkingskracht van waarvan het bedrag kan worden verduidelijkt door de additiviteit voorwaarde waarschijnlijkheidsfuncties (zie paragraaf 2.1), die kan worden uitgedrukt als (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi)) wanneer (neg (phi / wedge / psi)) een tautologie is, of equivalent als (P (phi / wedge / psi) + P (phi / wedge / neg / psi) = P (phi)). Waarschijnlijkheidslogica die expliciet sommen van waarschijnlijkheden omvatten, bevatten meer in het algemeen lineaire combinaties van waarschijnlijkheidstermen, zoals in Fagin et al. (1990). Hier wordt de propositielogica uitgebreid met formules in de vorm (a_1P (phi_1) + / cdots + a_n P (phi_n) ge b), waarbij (n) een positief geheel getal is dat kan verschillen van formule tot formule, en (a_1, / ldots, a_n),en (b) zijn allemaal rationele getallen. Hier zijn enkele voorbeelden van wat er kan worden uitgedrukt.

• (P (phi) le q) door (- P (phi) ge -q),
• (P (phi) <q) door (neg (P (phi) ge q)),
• (P (phi) = q) door (P (phi) ge q / wedge P (phi) le q).
• (P (phi) ge P (psi)) door (P (phi) -P (psi) ge 0).

Expressieve kracht met en zonder lineaire combinaties: Hoewel lineaire combinaties een handige manier zijn om talrijke relaties tussen kanstermen uit te drukken, is een taal zonder som van kanstermen nog steeds erg krachtig. Overweeg de taal die is beperkt tot formules met de vorm (P (phi) ge q) voor een of andere propositionele formule (phi) en rational (q). We kunnen definiëren

[P (phi) le q / text {door} P (neg / phi) ge 1-q,)

wat redelijk is aangezien de waarschijnlijkheid van het complement van een propositie gelijk is aan 1 min de waarschijnlijkheid van de propositie. De formules (P (phi)[P (phi / wedge / psi) = a / wedge P (phi / wedge / neg / psi) = b] naar P (phi) = a + b)

stelt dat als de kans op (phi / wedge / psi) (a) is en de kans op (phi / wedge / neg / psi) (b), dan is de kans op de disjunctie van de formules (wat equivalent is aan (phi)) is (a + b). Hoewel het gebruik van lineaire combinaties ons in staat stelt te stellen dat de kansen van (varphi / wedge / psi) en (varphi / wedge / neg / psi) additief zijn door de formule (P (varphi / wedge / psi) + P (varphi / wedge / neg / psi) = P (varphi)), de formule zonder lineaire combinaties hierboven doet dit alleen als we de juiste cijfers (a) en (b). Een formele vergelijking van de expressiviteit van propositionele waarschijnlijkheidslogica met lineaire combinaties en zonder wordt gegeven in Demey en Sack (2015). Hoewel elke twee modellen het eens zijn over alle formules met lineaire combinaties, en alleen als ze het eens zijn over alle formules zonder (Lemma 4.1 van Demey en Sack (2015)), is het niet zo dat elke klasse van modellen definieerbaar door een enkele formule met lineaire combinaties kan worden gedefinieerd door een enkele formule zonder (Lemma 4.2 van Demey en Sack (2015)). In het bijzonder kan de klasse van modellen gedefinieerd door de formule (P (p) - P (q) ge 0) niet worden gedefinieerd door een enkele formule zonder de kracht van lineaire combinaties.

Waarschijnlijkheden behoren tot een bepaalde deelverzameling: Ognjanović en Rašković (1999) zich de taal van waarschijnlijkheid logica via een nieuw type operator: (Q_F). Intuïtief formule (Q_F / phi) betekent dat de kans (phi) aangesloten (V) voor sommige bepaalde set (V / subseteq [0,1]). Deze (Q_F) - operator kan niet worden gedefinieerd in termen van formules met de vorm (P (phi) ge a). Ognjanović en Rašković (1999) bieden een degelijke en volledige axiomatisatie van dit type logisch systeem. De sleutelbrugprincipes, die de (Q_F) - operator verbinden met de meer standaard (P) - operator, zijn de axioma's (P (phi) = a / naar Q_F / phi) voor iedereen (a / in F), evenals de oneindige regel die specificeert dat van (P (phi) = a / tot / psi) voor alle (a / in F), men kan afleiden (Q_F / phi / to / psi).

Polynoomgewichtsformules: logica met polynoomgewichtsformules (waarbij zowel gewogen sommen als producten met waarschijnlijkheidsvoorwaarden worden gebruikt), kunnen formules met de vorm (P (phi) P (psi) -P (phi / wedge / psi) mogelijk maken = 0), dat wil zeggen, de waarschijnlijkheid van zowel (phi) als (psi) is gelijk aan het product van de kansen van (phi) en (psi). Deze formule legt vast wat het betekent dat (phi) en (psi) statistisch onafhankelijk zijn. Dergelijke logica's zijn onderzocht in Fagin et al. (1990), maar meestal met eerste-orde logicafuncties, en dan weer in een eenvoudiger context (zonder kwantoren) in Perović et al. (2008).

Compactheid en volledigheid: Compactheid is een eigenschap van een logica waarbij een set formules bevredigend is als elke eindige subset bevredigend is. Propositionele waarschijnlijkheidslogica's missen de eigenschap compactheid, aangezien elke eindige subset van ({P (p)> 0 } cup {P (p) leq a \, | \, a> 0 }) voldoende is, maar de hele set is dat niet.

Zonder compactheid is een logica misschien zwak compleet (elke geldige formule is aantoonbaar in het axiomatische systeem), maar niet sterk compleet (voor elke set (Gamma) formules is elk logisch gevolg van (Gamma) aantoonbaar van (Gamma) in het axiomatische systeem). In Fagin et al. (1990) werd een bewijssysteem met lineaire combinaties gegeven en de logica bleek zowel gezond als zwak compleet te zijn. In Ognjanović en Rašković (1999) wordt een degelijk en sterk compleet bewijssysteem gegeven voor propositionele waarschijnlijkheidslogica zonder lineaire combinaties. In Heifetz en Mongin (2001),bewijs voor een variatie van de logische zonder lineaire combinatie een stelsel van soorten gebruikt om voor iteratie waarschijnlijkheid formules (we zullen zien in hoofdstuk 4 hoe dergelijke iteratie kan worden bereikt met behulp werelden) gegeven en de logische bleek gezond zijn en zwak compleet. Ze merken ook op dat geen enkel eindig bewijssysteem voor zo'n logica sterk compleet kan zijn. Ognjanović et al. (2008) presenteren enkele kwalitatieve probabilistische logica met oneindige afleidingsregels (die een ontelbaar oneindig aantal premissen vereisen), en bewijzen een sterke volledigheid. Goldblatt (2010) presenteert een sterk compleet bewijssysteem voor een gerelateerde coalgebraïsche logica. Perović et al. (2008) een bewijssysteem en bewijs van sterke volledigheid voor propositionele waarschijnlijkheidslogica met polynoomgewichtsformules. Tenslotte,een andere strategie voor het verkrijgen van een sterke volledigheid omvat het beperken van het bereik van de waarschijnlijkheidsfuncties tot een vaste, eindige reeks getallen; bijvoorbeeld Ognjanović et al. (2008) bespreken een kwalitatieve probabilistische logica waarin het bereik van de waarschijnlijkheidsfuncties niet het volledige reële eenheidsinterval ([0,1]) is, maar eerder de 'discretized' versie ({0, / frac {1 } {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (voor een vast nummer (n / in / mathbb {N})). Zie hoofdstuk 7 van Ognjanović et al. (2016) voor een overzicht van volledigheidsresultaten.maar eerder de 'discretized' versie ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (voor sommige vast aantal (n / in / mathbb {N})). Zie hoofdstuk 7 van Ognjanović et al. (2016) voor een overzicht van volledigheidsresultaten.maar eerder de 'discrete' versie ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (voor een vast nummer (n / in / mathbb {N})). Zie hoofdstuk 7 van Ognjanović et al. (2016) voor een overzicht van volledigheidsresultaten.

4. Modale waarschijnlijkheidslogica

Veel kanslogica's worden geïnterpreteerd over een enkele, maar willekeurige kansruimte. Modale waarschijnlijkheidslogica maakt gebruik van veel waarschijnlijkheidsruimten, elk geassocieerd met een mogelijke wereld of staat. Dit kan worden gezien als een kleine aanpassing aan de relationele semantiek van modale logica: in plaats van te associëren met elke mogelijke wereld een reeks toegankelijke werelden zoals in modale logica, associeert modale waarschijnlijkheidslogica met elke mogelijke wereld een kansverdeling, een kansruimte of een set kansverdelingen. De taal van modale waarschijnlijkheid logica maakt het inbedden van probabiliteiten probabiliteiten, dat is, het kan bijvoorbeeld beredeneren de waarschijnlijkheid dat (eventueel verschillende) waarschijnlijkheid (1/2). Deze modale setting met meerdere waarschijnlijkheden heeft over het algemeen een (1) stochastische interpretatie gekregen,met betrekking tot verschillende waarschijnlijkheden in de volgende staten zou een systeem kunnen overgaan in (Larsen en Skou 1991), en (2) een subjectieve interpretatie, met betrekking tot verschillende waarschijnlijkheden die verschillende agenten kunnen hebben over een situatie of elkaars waarschijnlijkheden (Fagin en Halpern 1988). Beide interpretaties kunnen exact hetzelfde formele kader gebruiken.

Een basismodale waarschijnlijkheidslogica voegt toe aan propositionele logische formules met de vorm (P (phi) ge q), waarbij (q) typisch een rationeel getal is en (phi) elke formule is van de taal, mogelijk een kansformule. Het lezen van zo'n formule is dat de kans op (phi) minimaal (q) is. Deze algemene lezing van de formule weerspiegelt geen verschil tussen modale waarschijnlijkheidslogica en andere waarschijnlijkheidslogica's met dezelfde formule; waar het verschil ligt is het vermogen om kansen in te bedden in de argumenten van waarschijnlijkheidstermen en in de semantiek. De volgende subparagrafen geven een overzicht van de variaties in hoe modale waarschijnlijkheidslogica wordt gemodelleerd. In het ene geval wordt de taal enigszins gewijzigd (paragraaf 4.2), en in andere gevallende logica wordt uitgebreid om interacties tussen kwalitatieve en kwantitatieve onzekerheid (paragraaf 4.4) of dynamiek (paragraaf 4.5) aan te pakken.

4.1 Basis Eindige Modale Kansmodellen

Formeel is een Basic Finite Modal Probabilistic Model een tuple (M = (W, / mathcal {P}, V)), waarbij (W) een eindige reeks mogelijke werelden of toestanden is, (mathcal { P}) is een functie die een verdeling (mathcal {P} _w) over (W) aan elke wereld (w / in W) koppelt, en (V) is een 'waarderingsfunctie' het toewijzen van atomaire proposities uit een set (Phi) aan elke wereld. De distributie is aanvullend uitgebreid van individuele werelden tot sets werelden: (mathcal {P} _w (S) = / sum_ {s / in S} mathcal {P} _w (s)). De eerste twee componenten van een basismodaal probabilistisch model zijn in feite hetzelfde als een Kripke-frame waarvan de relatie is versierd met getallen (kanswaarden). Zo'n structuur heeft verschillende namen, zoals een gerichte grafiek met gelabelde randen in de wiskunde of een probabilistisch overgangssysteem in de informatica. De waarderingsfunctie,zoals in een Kripke-model, stelt ons in staat eigenschappen toe te wijzen aan de werelden.

De semantiek voor formules wordt gegeven op paren ((M, w)), waarbij (M) een model is en (w) een element van het model is. Een formule (P (phi) ge q) is waar bij een paar ((M, w)), geschreven ((M, w) modellen P (phi) ge q), als en slechts als (mathcal {P} mW ({w '\ midden (M, w') modellen / phi }) ge q).

4.2 Indexering en interpretaties

De eerste veralgemening, die het meest voorkomt bij toepassingen van modale probabilistische logica, is om de verdelingen te laten indexeren door twee sets in plaats van één. De eerste set is de set (W) van werelden (de basisset van het model), maar de andere is een indexset (A) die vaak moet worden genomen als een set acties, agenten of spelers van een spel. Formeel associeert (mathcal {P}) een verdeling (mathcal {P} _ {a, w}) over (W) voor elke (w / in W) en (a / in een). Voor de taal hebben we, in plaats van formules met de vorm (P (phi) ge q) te gebruiken, (P_a (phi) ge q), en ((M, w) modellen P_a (phi) ge q) als en alleen als (mathcal {P} _ {a, w} ({w '\ mid (M, w') models / phi }) ge q).

Voorbeeld: stel dat we een indexset (A = {a, b }) en een set (Phi = {p, q }) atomaire proposities hebben. Overweeg ((W, / mathcal {P}, V)), waar

• (W = {w, x, y, z })

• (mathcal {P} _ {a, w}) en (mathcal {P} _ {a, x}) kaart (w) naar (1/2), (x) tot (1/2), (y) tot (0) en (z) tot (0).

  (mathcal {P} _ {a, y}) en (mathcal {P} _ {a, z}) kaart (y) naar (1/3), (z) tot (2/3), (w) tot (0) en (x) tot (0).

  (mathcal {P} _ {b, w}) en (mathcal {P} _ {b, y}) kaart (w) naar (1/2), (y) tot (1/2), (x) tot (0) en (z) tot (0).

  (mathcal {P} _ {b, x}) en (mathcal {P} _ {b, z}) kaart (x) naar (1/4), (z) tot (3/4), (w) tot (0) en (y) tot (0).

• (V (p) = {w, x })

  (V (q) = {w, y }).

We geven dit voorbeeld weer met het volgende diagram. Binnen elke cirkel staat een label van de waarheid van elke voorstelletter voor de wereld waarvan de naam net buiten de cirkel is gelabeld. De pijlen geven de kansen aan. Een pijl van wereld (x) naar wereld (z) gelabeld met ((b, 3/4)) geeft bijvoorbeeld aan dat van (x), waarschijnlijk van (z) onder label (b) is (3/4). Kansen van 0 zijn niet gelabeld.

Figuur

Stochastische interpretatie: Beschouw de elementen (a) en (b) van (A) als acties, bijvoorbeeld door op knoppen op een machine te drukken. In dit geval heeft het indrukken van een knop geen bepaalde uitkomst. Als de machine zich bijvoorbeeld in de status (x) bevindt, is er een (1/2) waarschijnlijkheid dat deze in dezelfde staat blijft nadat u op (a) hebt gedrukt, maar een (1/4) kans om in dezelfde staat te blijven nadat u op (b) hebt gedrukt. Dat is, [(M, x) modellen P_a (p / wedge / neg q) = 1/2 / wedge P_b (p / wedge / neg q) = 1/4.)

Een belangrijk kenmerk van modale logica's in het algemeen (en dit omvat modale probabilistische logica) is het vermogen om redeneringen van hogere orde te ondersteunen, dat wil zeggen de redenering over waarschijnlijkheden van waarschijnlijkheden. Het belang van waarschijnlijkheden van hogere orde blijkt uit de rol die ze spelen in bijvoorbeeld het principe van Miller, dat stelt dat (P_1 (phi / mid P_2 (phi) = b) = b). Hier zijn (P_1) en (P_2) waarschijnlijkheidsfuncties, die verschillende interpretaties kunnen hebben, zoals de waarschijnlijkheid van twee agents, logische en statistische waarschijnlijkheid, of de waarschijnlijkheden van één agent op verschillende momenten in de tijd (Miller 1966; Lewis 1980; van Fraassen 1984; Halpern 1991). Hogere waarschijnlijkheid komt bijvoorbeeld ook voor in het Judy Benjamin Probleem (van Fraassen 1981a) waar men conditioneert op probabilistische informatie. Of men het nu eens is met de principes die in de literatuur worden voorgesteld over waarschijnlijkheden van hogere orde of niet, het vermogen om ze te vertegenwoordigen dwingt iemand om de principes die erop van toepassing zijn te onderzoeken.

Om de redenering van hogere orde concreter te illustreren, keren we terug naar ons voorbeeld en zien we dat bij (x) er een (1/2) kans is dat er na het indrukken van (a) een (1 / 2) waarschijnlijkheid dat na indrukken van (b) het geval is dat (neg p) waar is, dat wil zeggen, [(M, x) modellen P_a (P_b (neg p) = 1/2) = 1/2.)

Subjectieve interpretatie: Stel dat de elementen (a) en (b) van (A) spelers van een spel zijn. (p) en (neg p) zijn strategieën voor speler (a) en (q) en (neg q) zijn beide strategieën voor speler (b). In het model is elke speler zeker van haar eigen strategie; bijvoorbeeld bij (x) is speler (a) zeker dat ze (p) zal spelen en speler (b) is zeker dat ze (neg q) zal spelen, dat wil zeggen

[(M, x) modellen P_a (p) = 1 / wedge P_b (neg q) = 1.)

Maar de spelers verdelen hun tegenstanders. Bijvoorbeeld bij (x) is de kans dat (b) de kans heeft dat (a) (neg q) (1/2) is (1/4)), dat is

[(M, x) modellen P_b (P_a (q) = 1/2) = 1/4.)

4.3 Waarschijnlijkheidsruimten

Waarschijnlijkheden worden over het algemeen gedefinieerd als metingen in een meetruimte. Een maatruimte is een set (Omega) (de voorbeeldruimte) samen met een (sigma) - algebra (ook wel (sigma) - veld) (mathcal {A}) genoemd (Omega), een niet-lege set subsets van (Omega) zodat (A / in / mathcal {A}) impliceert dat (Omega-A / in / mathcal { A}), en (A_i / in / mathcal {A}) voor alle natuurlijke getallen (i), betekent dat (bigcup_i A_i / in / mathcal {A}). Een maat is een functie (mu) gedefinieerd op de (sigma) - algebra (mathcal {A}), zodat (mu (A) ge 0) voor elke set (A / in / mathcal {A}) en (mu (bigcup_i A_I) = / sum_i / mu (A_I)) wanneer (A_I / cap A_j = / emptyset) per (i, j).

Het effect van de (sigma) - algebra is dat het domein wordt beperkt zodat niet elke subset van (Omega) een kans hoeft te hebben. Dit is cruciaal voor het bepalen van bepaalde kansen op ontelbaar oneindige sets; een uniforme verdeling over een eenheidsinterval kan bijvoorbeeld niet worden gedefinieerd op alle subsets van het interval, terwijl ook de telbare additieve conditie voor waarschijnlijkheidsmetingen behouden blijft.

Dezelfde basistaal die werd gebruikt voor de basislogica van eindige waarschijnlijkheid hoeft niet te veranderen, maar de semantiek is iets anders: voor elke toestand (w / in W), de component (mathcal {P} _w) van een modaal probabilistisch model wordt vervangen door een hele kansruimte ((Omega_w, / mathcal {A} _w, / mu_w)), zodat (Omega_w / subseteq W) en (mathcal {A} _w) is een (sigma) - algebra over (Omega_w). De reden dat we misschien willen dat hele ruimtes van de ene wereld naar de andere verschillen, is om onzekerheid weer te geven over welke kansruimte de juiste is. Voor de semantiek van waarschijnlijkheidsformules, ((M, w) modellen P (phi) ge q) als en alleen als (mu_w ({w '\ mid (M, w') modellen / phi }) ge q). Een dergelijke definitie is niet goed gedefinieerd in het geval dat ({w '\ mid (M, w') models / phi } not / in / mathcal {A} _w). Daarom worden er vaak beperkingen op de modellen gelegd om ervoor te zorgen dat dergelijke sets altijd in de (sigma) - algebra's staan.

4.4 Combineren van kwantitatieve en kwalitatieve onzekerheid

Hoewel waarschijnlijkheden kwantitatieve onzekerheid op één niveau weerspiegelen, kan er ook kwalitatieve onzekerheid bestaan over waarschijnlijkheden. We willen misschien kwalitatieve en kwantitatieve onzekerheid hebben omdat we in sommige situaties zo onzeker kunnen zijn dat we geen getallen willen toekennen aan de waarschijnlijkheid van hun gebeurtenissen, terwijl er in andere situaties een gevoel is van de waarschijnlijkheid van hun gebeurtenissen; en deze situaties kunnen op elkaar inwerken.

Er zijn veel situaties waarin we misschien geen numerieke waarden willen toekennen aan onzekerheden. Een voorbeeld is waar een computer een bit 0 of 1 selecteert en we weten niets over hoe deze bit wordt geselecteerd. Resultaten van muntflips worden daarentegen vaak gebruikt als voorbeelden van waar we waarschijnlijkheden zouden toewijzen aan individuele uitkomsten.

Een voorbeeld van hoe deze met elkaar in wisselwerking kunnen staan, is wanneer het resultaat van de bit bepaalt of een eerlijke munt of een gewogen munt (zeg maar koppen met waarschijnlijkheid (2/3)) worden gebruikt voor een muntomdraai. Er is dus kwalitatieve onzekerheid of de actie van het opgooien van een munt koppen oplevert met waarschijnlijkheid (1/2) of (2/3).

Een manier om de interactie tussen waarschijnlijkheid en kwalitatieve onzekerheid te formaliseren is door een andere relatie met het model en een modale operator aan de taal toe te voegen, zoals wordt gedaan in Fagin en Halpern (1988, 1994). Formeel voegen we aan een basis eindig waarschijnlijkheidsmodel een relatie (R / subseteq W ^ 2) toe. Vervolgens voegen we aan de taal een modale operator (Box) toe, zodat ((M, w) models / Box / phi) alleen en alleen als ((M, w ') models / phi) wanneer (w R w ').

Beschouw het volgende voorbeeld:

• (W = {(0, H), (0, T), (1, H), (1, T) }),
• (Phi = {h, t }) is de verzameling atoomproposities,
• (R = W ^ 2),
• (P) associeert met ((0, H)) en ((0, T)) de verdeling mapping ((0, H)) en ((0, T)) elk (1/2), en associeert met ((1, H)) en ((1, T)) de distributietoewijzing ((1, H)) aan (2/3) en ((1, T)) tot (1/3),
• (V) wijst (h) toe aan de set ({(0, H), (1, H) }) en (t) aan de set ({(0, T), (1, T) }).

Dan is de volgende formule waar bij ((0, H)): (neg / Box h / wedge (neg / Box P (h) = 1/2) wedge (Diamond P (h) = 1/2)). Dit kan worden gelezen omdat niet bekend is dat (h) waar is, en het is niet bekend dat de kans op (h) (1/2) is, maar het is mogelijk dat de kans op (h) is (1/2).

4.5 Dynamiek

We hebben twee visies op modale kanslogica besproken. De ene is temporaal of stochastisch, waarbij de kansverdeling die bij elke staat hoort de kans op overgang naar andere staten bepaalt; een ander houdt zich bezig met subjectieve perspectieven van agenten, die kunnen redeneren over de waarschijnlijkheid van andere agenten. Een stochastisch systeem is dynamisch omdat het waarschijnlijkheden van verschillende overgangen vertegenwoordigt, en dit kan worden overgebracht door de modale probabilistische modellen zelf. Maar vanuit een subjectief standpunt zijn de modale probabilistische modellen statisch: de waarschijnlijkheden hebben betrekking op wat momenteel het geval is. Hoewel statisch in hun interpretatie, kan de modale probabilistische setting in een dynamische context worden geplaatst.

Dynamiek in een modale probabilistische setting houdt zich in het algemeen bezig met gelijktijdige veranderingen in waarschijnlijkheden in potentieel alle mogelijke werelden. Intuïtief kan zo'n verandering worden veroorzaakt door nieuwe informatie die een probabilistische herziening oproept in elke mogelijke wereld. De dynamiek van subjectieve kansen wordt vaak gemodelleerd met behulp van voorwaardelijke kansen, zoals in Kooi (2003), Baltag en Smets (2008) en van Benthem et al. (2009). De kans dat (E) voorwaardelijk is op (F), geschreven (P (E / mid F)), is (P (E / cap F) / P (F)). Bij bijwerken door een set (F) wordt een kansverdeling (P) vervangen door de kansverdeling (P '), zodat (P' (E) = P (E / mid F)), zolang (P (F) neq 0). Laten we voor de rest van deze dynamische subsectie aannemen dat elke relevante set die wordt beschouwd een positieve waarschijnlijkheid heeft.

Met behulp van een waarschijnlijkheidslogica met lineaire combinaties kunnen we de voorwaardelijke kans (P (phi / mid / psi) ge q) afkorten met (P (phi / wedge / psi) - qP (psi) ge 0). In een modale setting kan een operator ([! / Psi]) aan de taal worden toegevoegd, zodat (M, w / models [! / Psi] phi) al dan niet als (M ', w / models / phi), waarbij (M ') het model is dat is verkregen van (M) door de kansen van elke wereld te herzien door (psi). Merk op dat ([! / Psi] (P (phi) ge q)) verschilt van (P (phi / mid / psi) ge q), doordat in ([! / Psi] (P (phi) ge q)), de interpretatie van waarschijnlijkheidstermen binnen (phi) wordt beïnvloed door de herziening door (psi), terwijl in (P (phi / mid / psi) ge q), dat zijn ze niet, daarom ontvouwt (P (phi / mid / psi) ge q) zich mooi in een andere kansformule. ([! / Psi] phi) ontvouwt zich echter ook, maar in meer stappen:

[! / psi] (P (phi) ge q) leftrightarrow (psi / to P ([! / psi] phi / mid / psi) ge q).)

Voor andere overzichten van modale waarschijnlijkheidslogica's en de dynamiek ervan, zie Demey en Kooi (2014), Demey en Sack (2015) en appendix L over probabilistische update in dynamische epistemische logica van de vermelding over dynamische epistemische logica.

5. Eerste-orde waarschijnlijkheidslogica

In deze sectie bespreken we waarschijnlijkheidslogica's van de eerste orde. Zoals werd uitgelegd in sectie 1 van dit item, zijn er veel manieren waarop een logica probabilistische kenmerken kan hebben. De modellen van de logica kunnen probabilistische aspecten hebben, het begrip consequentie kan een probabilistische smaak hebben of de taal van de logica kan probabilistische operatoren bevatten. In deze sectie zullen we ons concentreren op die logische operators die een smaak van eerste orde hebben. De smaak van de eerste orde onderscheidt deze operators van de probabilistische modale operators van de vorige sectie.

Beschouw het volgende voorbeeld uit Bacchus (1990):

Meer dan 75% van alle vogels vliegt.

Er is een eenvoudige probabilistische interpretatie van deze zin, namelijk wanneer iemand willekeurig een vogel selecteert, dan is de kans dat de geselecteerde vogel vliegt meer dan 3/4. Probabilistische operatoren van de eerste orde zijn nodig om dit soort uitspraken uit te drukken.

Er is een ander type zin, zoals de volgende zin die in Halpern (1990) wordt besproken:

De kans dat Tweety vliegt is groter dan (0,9).

Deze zin gaat in op de kans dat Tweety (een bepaalde vogel) kan vliegen. Deze twee soorten zinnen worden aangepakt door twee verschillende soorten semantiek, waarbij de eerste waarschijnlijkheden over een domein omvat, terwijl de laatste waarschijnlijkheden over een reeks mogelijke werelden omvat die los staan van het domein.

5.1 Een voorbeeld van een waarschijnlijkheidslogica van de eerste orde

In deze paragraaf gaan we dieper in op een bepaalde eerste-orde waarschijnlijkheidslogica, waarvan de taal zo eenvoudig mogelijk is, om ons te concentreren op de probabilistische kwantoren. De taal lijkt veel op de taal van de klassieke logica van de eerste orde, maar in plaats van de bekende universele en existentiële kwantor, bevat de taal een probabilistische kwantor.

De taal is gebouwd op een set van individuele variabelen (aangegeven met (x, y, z, x_1, x_2, / ldots)), een set functiesymbolen (aangegeven met (f, g, h, f_1, / ldots)) waar een ariteit aan elk symbool is gekoppeld (nullaire functiesymbolen worden ook individuele constanten genoemd), en een set predicaatletters (aangegeven met (R, P_1, / ldots)) waar een arity aan is gekoppeld elk symbool. De taal bevat twee soorten syntactische objecten, namelijk termen en formules. De termen worden inductief als volgt gedefinieerd:

• Elke individuele variabele (x) is een term.
• Elk functiesymbool (f) van arity (n) gevolgd door een (n) - tupel termen ((t_1, / ldots, t_n)) is een term.

Gezien deze definitie van termen, worden de formules inductief als volgt gedefinieerd:

• Elke predicaatletter (R) van arity (n) gevolgd door een (n) - tupel termen ((t_1, / ldots, t_n)) is een formule.
• Als (phi) een formule is, dan is (neg / phi) dat ook.
• Als (phi) en (psi) formules zijn, dan is ((phi / wedge / psi)) dat ook.
• Als (phi) een formule is en (q) een rationeel getal is in het interval ([0,1]), dan is (Px (phi) geq q) dat ook.

Formules met de vorm (Px (phi) geq q) moeten worden gelezen als: “de kans om een (x) te selecteren zodat (x) voldoet (phi) is tenminste (q) '. De formule (Px (phi) leq q) is een afkorting van (Px (neg / phi) geq 1-q) en (Px (phi) = q) is een afkorting van (Px (phi) geq q / wedge Px (phi) leq q). Elke gratis versie van (x) in (phi) is gebonden door de operator.

Deze taal wordt geïnterpreteerd op zeer eenvoudige eerste-orde modellen, namelijk triples (M = (D, I, P)), waarbij het domein van het discours (D) een eindige, niet-lege verzameling objecten is, de interpretatie (I) associeert een (n) - ary-functie op (D) met elk (n) - ary-functiesymbool dat voorkomt in de taal, en een (n) - ary-relatie op (D) met elke (n) - elke predikaatletter. (P) is een waarschijnlijkheidsfunctie die een waarschijnlijkheid (P (d)) toewijst aan elk element (d) in (D) zodat (sum_ {d / in D} P (d) = 1).

Om formules te interpreteren die vrije variabelen bevatten, heeft men ook een opdracht (g) nodig die aan elke variabele een element van (D) toewijst. De interpretatie ((! [T] !] _ {M, g}) van een term (t) gegeven een model (M = (D, I, P)) en een opdracht (g) wordt inductief als volgt gedefinieerd:

• ((! [x] !] _ {M, g} = g (x))
• ((! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, g} = I (f) ((! [t_1] !], / ldots, (! [t_n] !]))

Waarheid wordt gedefinieerd als een relatie (modellen) tussen modellen met opdrachten en formules:

• (M, g / modellen R (t_1, / ldots, t_n)) iff (((! [T_1] !], / Ldots, (! [T_n] !]) In I (R))
• (M, g / models / neg / phi) iff (M, g / not / models / phi)
• (M, g / models (phi / wedge / psi)) iff (M, g / models / phi) en (M, g / models / psi)
• (M, g / modellen Px (phi) geq q) iff (sum_ {d: M, g [x / mapsto d] models / phi} P (d) geq q)

Neem bijvoorbeeld een model van een vaas met negen knikkers: vijf zijn zwart en vier zijn wit. Laten we aannemen dat (P) een waarschijnlijkheid van 1/9 toewijst aan elke knikker, wat het idee weerspiegelt dat men even waarschijnlijk een knikker zal kiezen. Stel dat de taal een unair predikaat (B) bevat waarvan de interpretatie de verzameling zwarte knikkers is. De zin (Px (B (x)) = 5/9) geldt in dit model, ongeacht de opdracht.

De logica die we zojuist hebben gepresenteerd, is te eenvoudig om vele vormen van redenering over waarschijnlijkheden vast te leggen. We zullen hier drie extensies bespreken.

5.1.1 Kwantificeren over meer dan één variabele

Allereerst zou men willen redeneren over gevallen waarin meer dan één object is geselecteerd uit het domein. Overweeg bijvoorbeeld de kans dat u eerst een zwart marmer plukt, het terugplaatst en vervolgens een wit marmer uit de vaas plukt. Deze kans is 5/9 (times) 4/9 = 20/81, maar we kunnen dit niet uitdrukken in de bovenstaande taal. Hiervoor hebben we één operator nodig die zich met meerdere variabelen tegelijk bezighoudt, geschreven als (Px_1, / ldots x_n (phi) geq q). De semantiek voor dergelijke operatoren zal dan een waarschijnlijkheidsmaat moeten geven op deelverzamelingen van (D ^ n). De eenvoudigste manier om dit te doen is door simpelweg het product van de waarschijnlijkheidsfunctie (P) op (D) te nemen, die kan worden opgevat als een uitbreiding van (P) naar tuples, waarbij (P (d_1, / ldots d_n) = P (d_1) times / cdots / times P (d_n)), wat de volgende semantiek oplevert:

• (M, g / modellen Px_1 / ldots x_n (phi) geq q) iff (sum _ {(d_1, / ldots, d_n): M, g [x_1 / mapsto d_1, / ldots, x_n / mapsto d_n] models / phi} P (d_1, / ldots, d_n) geq q)

Deze benadering wordt gevolgd door Bacchus (1990) en Halpern (1990), wat overeenkomt met het idee dat selecties onafhankelijk zijn en met vervangingen. Met deze semantiek kan het bovenstaande voorbeeld worden geformaliseerd als (Px, y (B (x) wedge / neg B (y)) = 20/81). Er zijn ook meer algemene benaderingen om de maatregel op het domein uit te breiden tot tupels uit het domein, zoals door Hoover (1978) en Keisler (1985).

5.1.2 Voorwaardelijke waarschijnlijkheid

Wanneer men het eerste voorbeeld overweegt dat meer dan 75% van alle vogels vliegt, merkt men dat dit niet adequaat kan worden vastgelegd in een model waarin het domein objecten bevat die geen vogels zijn. Deze objecten zouden niet moeten uitmaken wat men wil uitdrukken, maar de waarschijnlijkheidskwantificatoren kwantificeren over het hele domein. Om kwantificering te beperken, moet men voorwaardelijke kansoperatoren (Px (phi | / psi) geq q) toevoegen met de volgende semantiek:

• (M, g / modellen Px (phi | / psi) geq q) iff als er een (d / in D) is zodat (M, g [x / mapsto d] models / psi) vervolgens

  (frac { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] models / phi / wedge / psi} P (d)} { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] modellen / psi} P (d)} geq q.)

Met deze operators geeft de formule (Px (F (x) mid B (x))> 3/4) aan dat meer dan 75% van alle vogels vliegt.

5.1.3 Waarschijnlijkheden als voorwaarden

Wanneer men de waarschijnlijkheid van verschillende gebeurtenissen wil vergelijken, bijvoorbeeld van het selecteren van een zwarte bal en het selecteren van een witte bal, kan het handiger zijn om waarschijnlijkheden als op zichzelf staande termen te beschouwen. Dat wil zeggen, een uitdrukking (Px (phi)) wordt geïnterpreteerd als verwijzend naar een rationeel getal. Vervolgens kan men de taal uitbreiden met rekenkundige bewerkingen zoals optellen en vermenigvuldigen, en met operatoren zoals gelijkheid en ongelijkheden om waarschijnlijkheidstermen te vergelijken. Men kan dan zeggen dat men twee keer zoveel kans heeft om een zwarte bal te selecteren in vergelijking met een witte bal als (Px (B (x)) = 2 / maal Px (W (x))). Een dergelijke uitbreiding vereist dat de taal twee afzonderlijke termenklassen bevat: één voor waarschijnlijkheden, getallen en de resultaten van rekenkundige bewerkingen op dergelijke termen,en een voor het discoursdomein waarover de probabilistische operatoren kwantificeren. We zullen een dergelijke taal en semantiek hier niet in detail presenteren. Een dergelijk systeem is te vinden in Bacchus (1990).

5.2 Mogelijke eerste-orde waarschijnlijkheidslogica

In deze subsectie beschouwen we een waarschijnlijkheidslogica van de eerste orde met een semantiek van de mogelijke wereld (die we FOPL afkorten). De taal van FOPL is vergelijkbaar met het voorbeeld dat we in sectie 5.1 gaven met betrekking tot die van Bacchus, behalve hier hebben we volledige kwantificeringsformules van de vorm ((forall x) phi) voor elke formule (phi), en in plaats van kansformules met de vorm (Px (phi) ge q), hebben we kansformules met de vorm (P (phi) ge q) (vergelijkbaar met de kansformules in propositionele waarschijnlijkheid) logica).

De modellen van FOPL hebben de vorm (M = (W, D, I, P)), waarbij (W) een verzameling mogelijke werelden is, (D) een discoursdomein is, (I) is een gelokaliseerde interpretatiefunctie die elke (w / in W) toewijst aan een interpretatiefunctie (I (w)) die associeert met elke functie en predikaatsymbool, een functie of predikaat met de juiste arity, en (P) is een waarschijnlijkheidsfunctie die een waarschijnlijkheid (P (w)) toewijst aan elke (w) in (W).

Net als bij het eenvoudige voorbeeld hiervoor, hebben we een toewijzingsfunctie (g) die elke variabele toewijst aan een element van het domein (D). Om termen te interpreteren, wijzen we voor elk model (M), wereld (w / in W) en toewijzingsfunctie (g) elke term (t) als volgt toe aan domeinelementen:

• ((! [x] !] _ {M, w, g} = g (x))
• ((! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, w, g} = I (w) (f) ((! [t_1] !], / ldots, [! [t_n] !]))

Waarheid wordt gedefinieerd volgens een relatie (modellen) tussen puntige modellen (modellen met aangewezen werelden) met opdrachten en formules als volgt:

• (M, w, g / modellen R (t_1, / ldots, t_n)) iff (((! [T_1] !], / Ldots, (! [T_n] !]) In I (w) (R))
• (M, w, g / models / neg / phi) iff (M, w, g / not / models / phi)
• (M, w, g / modellen (phi / wedge / psi)) iff (M, w, g / models / phi) en (M, w, g / models / psi)
• (M, w, g / modellen (forall x) varphi) iff (M, w, g [x / d] models / varphi) voor alle (d / in D), waar (g [x / d]) is hetzelfde als (g) behalve dat het (x) toewijst aan (d).
• (M, w, g / modellen P (varphi) ge q) iff (P ({w '\ mid (M, w', g) models / varphi }) ge q).

Overweeg bijvoorbeeld een model waarbij er twee mogelijke vazen zijn: in beide mogelijke vazen zijn 4 witte knikkers en 4 zwarte knikkers geplaatst. Maar toen werd een ander marmer, genaamd, in de vaas geplaatst, maar in de ene mogelijke vaas was het wit en in het andere zwart. Uiteindelijk zijn er dus twee vazen mogelijk: één met 5 zwarte knikkers en 4 witte knikkers, en de andere met 4 zwarte knikkers en 5 witte knikkers. Stel dat (P) de waarschijnlijkheid (1/2) toewijst aan de twee mogelijke vazen. Dan is (P (B (mathsf {last})) = 1/2) waar voor deze variabele toewijzing, en als er een andere variabele toewijzing is gekozen, is de formule ((bestaat x) P (B (x)) = 1/2) zou nog steeds waar zijn.

5.3 Metalogic

Over het algemeen is het moeilijk om bewijssystemen te bieden voor waarschijnlijkheidslogica's van de eerste orde, omdat het validiteitsprobleem voor deze logica's over het algemeen onbeslist is. Het is zelfs niet het geval, zoals het geval is in de klassieke logica van de eerste orde, dat als een gevolgtrekking geldig is, men er in eindige tijd achter kan komen (zie Abadi en Halpern (1994)).

Desalniettemin zijn er veel resultaten voor waarschijnlijkheidslogica van de eerste orde. Hoover (1978) en Keisler (1985) bestuderen bijvoorbeeld de volledigheidsresultaten. Bacchus (1990) en Halpern (1990) bieden ook complete axiomatisaties en combinaties van respectievelijk eerste-orde waarschijnlijkheidslogica's en mogelijke-wereld eerste-orde waarschijnlijkheidslogica. In Ognjanović en Rašković (2000) wordt een oneindige volledige axiomatisatie gegeven voor een meer algemene versie van de hier voorgestelde mogelijke eerste-orde waarschijnlijkheidslogica.

Bibliografie

• Abadi, M. en Halpern, JY, 1994, 'Beslisbaarheid en zeggingskracht voor eerste-orde logica van waarschijnlijkheid', Informatie en berekening, 112: 1–36.
• Adams, EW en Levine, HP, 1975, "Over de onzekerheden die worden overgedragen van premissen naar conclusies in deductieve gevolgtrekkingen", Synthese, 30: 429–460.
• Adams, EW, 1998, A Primer of Probability Logic, Stanford, CA: CSLI Publications.
• Arló Costa, H., 2005, 'Non-Adjunctive Inference and Classical Modalities', Journal of Philosophical Logic, 34: 581–605.
• Bacchus, F., 1990, representeren en redeneren met probabilistische kennis, Cambridge, MA: The MIT Press.
• Baltag, A. en Smets, S., 2008, 'Probabilistic Dynamic Belief Revision', Synthese, 165: 179–202.
• van Benthem, J., 2017, "Tegen alle verwachtingen in: wanneer logica aan waarschijnlijkheid voldoet", in ModelEd, TestEd, TrustEd. Essays gewijd aan Ed Brinksma ter gelegenheid van zijn 60e verjaardag, JP Katoen, R. Langerak en A. Rensink (red.), Cham: Springer, pp. 239–253.
• van Benthem, J., Gerbrandy, J., en Kooi, B., 2009, "Dynamische update met waarschijnlijkheden", Studia Logica, 93: 67–96.
• Boole, G., 1854, An Investigation of the Laws of Thought, on Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, London: Walton and Maberly.
• Burgess, J., 1969, "Probability Logic", Journal of Symbolic Logic, 34: 264–274.
• Carnap, R., 1950, Logical Foundations of Probability, Chicago, IL: University of Chicago Press.
• Cross, C., 1993, 'Van werelden naar kansen: een probabilistische semantiek voor modale logica', Journal of Philosophical Logic, 22: 169–192.
• Delgrande, J. en Renne, B., 2015, "The Logic of Qualitative Probability", in Proceedings of the Twenty-Fourth International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI 2015), Q. Yang en M. Wooldridge (red.), Palo Alto, CA: AAAI Press, pp. 2904-2910.
• Demey, L. en Kooi, B., 2014, "Logic and Probabilistic Update", in A. Baltag en S. Smets (red.), Johan van Benthem over Logic and Information Dynamics, pp. 381–404.
• Demey, L. en Sack, J., 2015, "Epistemic Probabilistic Logic", in het Handbook of Epistemic Logic. H. van Ditmarsch, J. Halpern, W. van der Hoek en B. Kooi (red.), London: College Publications, pp. 147–202.
• Dempster, A., 1968, 'A Generalization of Bayesian Inference', Journal of the Royal Statistical Society, 30: 205–247.
• De Morgan, A., 1847, Formal Logic, Londen: Taylor en Walton.
• de Finetti, B., 1937, "La Prévision: Ses Lois Logiques, Ses Sources Subjectives", Annales de l'Institut Henri Poincaré, 7: 1-68; vertaald als "Foresight. Zijn logische wetten, zijn subjectieve bronnen ', in Studies in Subjective Probability, HE Kyburg, Jr. en HE Smokler (red.), Malabar, FL: RE Krieger Publishing Company, 1980, pp. 53–118.
• Douven, I. en Rott, H., 2018, 'Van waarschijnlijkheden naar categorische overtuigingen: verder gaan dan speelgoedmodellen', Journal of Logic and Computation, 28: 1099–1124.
• Eagle, A., 2010, Philosophy of Probability: Contemporary Readings, London: Routledge.
• Fagin, R. en Halpern, JY, 1988, "Reasoning about Knowledge and Probability", in Proceedings van de 2e conferentie over theoretische aspecten van redeneren over kennis, MY Vardi (red.), Pacific Grove, CA: Morgan Kaufmann, pp. 277-293.
• –––, 1994, "Redeneren over kennis en waarschijnlijkheid", Journal of the ACM, 41: 340–367.
• Fagin, R., Halpern, JY en Megiddo, N., 1990, 'A Logic for Reasoning about Probabilities', Information and Computation, 87: 78–128.
• Fitelson, B., 2006, 'Inductive Logic', in The Philosophy of Science: An Encyclopedia, J. Pfeifer en S. Sarkar (red.), New York, NY: Routledge, pp. 384–394.
• van Fraassen, B., 1981a, 'A Problem for Relative Information Minimizers in Probability Kinematics', British Journal for the Philosophy of Science, 32: 375–379.
• –––, 1981b, "Probabilistische semantiek geobjectiveerd: I. postulaten en logica", Journal of Philosophical Logic, 10: 371–391.
• –––, 1983, "Gentlemen's Wagers: Relevant Logic and Probability", Philosophical Studies, 43: 47–61.
• –––, 1984, "Belief and the Will", Journal of Philosophy, 81: 235–256.
• Gärdenfors, P., 1975a, 'Kwalitatieve waarschijnlijkheid als een dimensionale logica', Journal of Philosophical Logic, 4: 171–185.
• –––, 1975b, "Enkele basisstellingen van kwalitatieve waarschijnlijkheid", Studia Logica, 34: 257–264.
• Georgakopoulos, G., Kavvadias, D., en Papadimitriou, CH, 1988, "Probabilistic Satisfiability", Journal of Complexity, 4: 1–11.
• Gerla, G., 1994, 'Inferenties in waarschijnlijkheidslogica', Aritificial Intelligence, 70: 33–52.
• Gillies, D., 2000, Philosophical Theories of Probability, Londen: Routledge.
• Goldblatt, R. (2010) "Aftrek systemen voor coalgebra's over meetbare ruimtes." Journal of Logic and Computation 20 (5): 1069–1100
• Goldman, AJ en Tucker, AW, 1956, 'Theory of Linear Programming', in Linear Inequalities and Related Systems. Annals of Mathematics Studies 38, HW Kuhn en AW Tucker (red.), Princeton: Princeton University Press, pp. 53-98.
• Goosens, WK, 1979, 'Alternative Axiomatizations of Elementary Probability Theory', Notre Dame Journal of Formal Logic, 20: 227–239.
• Hájek, A., 2001, 'Probability, Logic, and Probability Logic', in The Blackwell Guide to Philosophical Logic, L. Goble (red.), Oxford: Blackwell, pp. 362–384.
• Hájek, A. en Hartmann, S., 2010, "Bayesian Epistemology", in A Companion to Epistemology, J. Dancy, E. Sosa, en M. Steup (red.), Oxford: Blackwell, pp. 93-106.
• Haenni, R. en Lehmann, N., 2003, "Probabilistic Argumentation Systems: a New Perspective on Dempster-Shafer Theory", International Journal of Intelligent Systems, 18: 93–106.
• Haenni, R., Romeijn, J.-W., Wheeler, G., en Williamson, J., 2011, Probabilistic Logics and Probabilistic Networks, Dordrecht: Springer.
• Hailperin, T., 1965, 'Best mogelijke ongelijkheden voor de waarschijnlijkheid van een logische functie van gebeurtenissen', American Mathematical Monthly, 72: 343–359.
• –––, 1984, "Probability Logic", Notre Dame Journal of Formal Logic, 25: 198–212.
• –––, 1986, Boole's Logic and Probability, Amsterdam: Noord-Holland.
• –––, 1996, Sentential Probability Logic: Origins, Development, Current Status en Technical Applications, Bethlehem, PA: Lehigh University Press.
• Halpern, JY en Rabin, MO, 1987, "A Logic to Reason about Likelihood", Artificial Intelligence, 32: 379–405.
• Halpern, JY, 1990, "An analysis of first-order logics of probability", Artificial Intelligence, 46: 311–350.
• –––, 1991, "De relatie tussen kennis, overtuiging en zekerheid", Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 4: 301–322. Errata verscheen in Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 26 (1999): 59–61.
• –––, 2003, Redenering over onzekerheid, Cambridge, MA: The MIT Press.
• Hamblin, CL, 1959, 'De modale' waarschijnlijk '', Mind, 68: 234–240.
• Hansen, P. en Jaumard, B., 2000, "Probabilistic Satisfiability", in Handbook of Defeasible Reasoning and Uncertainty Management Systems. Volume 5: Algorithms for Uncertainty and Defeasible Reasoning, J. Kohlas en S. Moral (red.), Dordrecht: Kluwer, pp. 321–367.
• Harrison-Trainor M., Holliday, WH, en Icard, T., 2016, "A note on cancelling axioms for comparative probability", Theory and Decision, 80: 159–166.
• –––, 2018, “Afleiden van kansvergelijkingen”, Mathematical Social Sciences, 91: 62–70.
• Hartmann, S. en Sprenger J., 2010, "Bayesian Epistemology", in Routledge Companion to Epistemology, S. Bernecker en D. Pritchard (red.), London: Routledge, pp. 609–620.
• Heifetz, A. en Mongin, P., 2001, "Waarschijnlijkheidslogica voor typespaties", Games en economisch gedrag, 35: 31-53.
• Herzig, A. en Longin, D., 2003, "On Modal Probability and Belief", in Proceedings of the 7th European Conference on Symbolische en kwantitatieve benaderingen van redeneren met onzekerheid (ECSQARU 2003), TD Nielsen en NL Zhang (eds.), Lecture Notes in Computer Science 2711, Berlin: Springer, pp. 62–73.
• Hoover, DN, 1978, 'Probability Logic', Annals of Mathematical Logic, 14: 287–313.
• Howson, C., 2003, 'Waarschijnlijkheid en logica', Journal of Applied Logic, 1: 151–165.
• –––, 2007, "Logica met cijfers", Synthese, 156: 491–512.
• –––, 2009: “Kan logica gecombineerd worden met waarschijnlijkheid? Waarschijnlijk ', Journal of Applied Logic, 7: 177–187.
• Ilić-Stepić, Ognjanović, Z., Ikodinović, N., Perović, A., (2012), "A (p) - adic waarschijnlijkheidslogica", Mathematical Logic Quarterly 58 (4-5): 63-280.
• Jaynes, ET, 2003, Kansrekening: The Logic of Science, Cambridge: Cambridge University Press.
• Jeffrey, R., 1992, Probability and the Art of Judgement, Cambridge: Cambridge University Press.
• Jonsson, B., Larsen, K., en Yi, W., 2001 "Probabilistic Extensions of Process Algebras", in Handbook of Process Algebra, JA Bergstra, A. Ponse, en SA Smolka (red.), Amsterdam: Elsevier, pp. 685–710.
• Kavvadias, D. en Papadimitriou, CH, 1990, 'A Linear Programming Approach to Reasoning on Probabilities', Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 1: 189–205.
• Keisler, HJ, 1985, "Probability Quantifiers", in Model-Theoretic Logics, J. Barwise en S. Feferman (red.), New York, NY: Springer, pp. 509-556.
• Kooi BP, 2003, 'Probabilistic Dynamic Epistemic Logic', Journal of Logic, Language and Information, 12: 381–408.
• Kraft, CH, Pratt, JW en Seidenberg, A., 1959, 'Intuïtieve waarschijnlijkheid op eindige verzamelingen', Annals of Mathematical Statistics, 30: 408–419.
• Kyburg, HE, 1965, "Waarschijnlijkheid, rationaliteit en de regel van onthechting", in Proceedings of the 1964 International Congress for Logic, Methodology, and Philosophy of Science, Y. Bar-Hillel (red.), Amsterdam: Noord-Holland, blz. 301-310.
• –––, 1994, "Uncertainty Logics", in Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, DM Gabbay, CJ Hogger en JA Robinson (red.), Oxford: Oxford University Press, pp. 397–438.
• Larsen, K. en Skou, A., 1991, 'Bisimulation through Probabilistic Testing', Information and Computation, 94: 1–28.
• Leblanc, H., 1979, 'Probabilistic Semantics for First-Order Logic', Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 497–509.
• –––, 1983, "Alternatieven voor Standard First-Order Semantics", in Handbook of Philosophical Logic, Volume I, D. Gabbay en F. Guenthner (red.), Dordrecht: Reidel, pp. 189–274.
• Leitgeb, H., 2013, "Reduceren van geloofsimpliciet tot graden van geloof", Annals of Pure and Applied Logic, 164: 1338–1389.
• –––, 2014, 'The theory of belief', Philosophical Review, 123: 131–171.
• –––, 2017, The Stability of Belief. Hoe rationeel geloof samengaat met waarschijnlijkheid, Oxford: Oxford University Press.
• Lewis, D., 1980, 'A Subjectivist's Guide to Objective Chance', in Studies in Inductive Logic and Probability. Deel 2, RC Jeffrey (red.), Berkeley, CA: University of California Press, pp. 263-293; herdrukt in Philosophical Papers. Volume II, Oxford: Oxford University Press, 1987, pp. 83–113.
• Lin, H. en Kelly, KT, 2012a, "Een geo-logische oplossing voor de loterijparadox, met toepassingen op voorwaardelijke logica", Synthese, 186: 531–575.
• –––, 2012b, “Propositioneel redeneren dat probabilistisch redeneren volgt”, Journal of Philosophical Logic, 41: 957–981.
• Miller, D., 1966, 'A Paradox of Information', British Journal for the Philosophy of Science, 17: 59–61.
• Morgan, C., 1982a, "Er is een probabilistische semantiek voor elke uitbreiding van klassieke zinlogica", Journal of Philosophical Logic, 11: 431–442.
• –––, 1982b, "Simple Probabilistic Semantics for Propositionele K, T, B, S4 en S5", Journal of Philosophical Logic, 11: 443–458.
• –––, 1983, "Probabilistic Semantics for Propositionele modale logica". in Essays in Epistemology and Semantics, H. Leblanc, R. Gumb en R. Stern (red.), New York, NY: Haven Publications, pp. 97–116.
• Morgan, C. en Leblanc, H., 1983, 'Probabilistic Semantics for Intuitionistic Logic', Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 161–180.
• Nilsson, N., 1986, 'Probabilistic Logic', Artificial Intelligence, 28: 71–87.
• –––, 1993, "Probabilistic Logic Revisited", Artificial Intelligence, 59: 39–42.
• Ognjanović, Z. en Rašković, M., 1999, "Sommige waarschijnlijkheidslogica's met nieuwe typen waarschijnlijkheidsoperatoren", Journal of Logic and Computation 9 (2): 181–195.
• Ognjanović, Z. en Rašković, M., 2000, "Sommige eerste-orde waarschijnlijkheidslogica's", Theoretische informatica 247 (1-2): 191-212.
• Ognjanović, Z., Rašković, M., en Marković, Z., 2016, Probability Logics: Probability-Based Formalization of Uncertain Reasoning, Springer International Publishing AG.
• Ognjanović, Z., Perović, A., en Rašković, M., 2008, "Logics with the Qualitative Probability Operator", Logic Journal van de IGPL 16 (2): 105–120.
• Paris, JB, 1994, The Uncertain Reasoner's Companion, A Mathematical Perspective, Cambridge: Cambridge University Press.
• Parma, A. en Segala, R., 2007, "Logical Characterizations of Bisimulations for Discrete Probabilistic Systems", in Proceedings of the 10th International Conference on Foundations of Software Science and Computational Structures (FOSSACS), H. Seidl (red.), Lecture Notes in Computer Science 4423, Berlin: Springer, pp. 287–301.
• Pearl, J., 1991, 'Probabilistic Semantics for Nonmonotonic Reasoning', in Philosophy and AI: Essays at the Interface, R. Cummins en J. Pollock (redactie), Cambridge, MA: The MIT Press, pp. 157–188.
• Perović, A., Ognjanović, Z., Rašković, M., Marković, Z., 2008, "Een probabilistische logica met polynoomgewichtsformules". In Hartmann, S., Kern-Isberner, G. (redactie) Proceedings of the Fifth International Symposium Foundations of Information and Knowledge Systems, FoIKS 2008, Pisa, Italy, 11–15 februari 2008. Lecture Notes in Computer Science, vol. 4932, pp. 239–252. Springer.
• Ramsey, FP, 1926, 'Truth and Probability', in Foundations of Mathematics en andere Essays, RB Braithwaite (red.), London: Routledge en Kegan Paul, 1931, pp. 156–198; herdrukt in Studies in Subjective Probability, HE Kyburg, Jr. en HE Smokler (red.), 2e ed., Malabar, FL: RE Krieger Publishing Company, 1980, pp. 23-52; herdrukt in Philosophical Papers, DH Mellor (red.) Cambridge: Cambridge University Press, 1990, pp. 52-94.
• Reichenbach, H., 1949, The Theory of Probability, Berkeley, CA: University of California Press.
• Romeijn, J.-W., 2011, "Statistics as Inductive Logic", in Handbook for the Philosophy of Science. Vol. 7: Philosophy of Statistics, P. Bandyopadhyay en M. Forster (red.), Amsterdam: Elsevier, pp. 751–774.
• Scott, D., 1964, "Meetstructuren en lineaire ongelijkheden", Journal of Mathematical Psychology, 1: 233–247.
• Segerberg, K., 1971, "Kwalitatieve waarschijnlijkheid in een modale setting", in Proceedings 2nd Scandinavian Logic Symposium, E. Fenstad (red.), Amsterdam: Noord-Holland, pp. 341–352.
• Shafer, G., 1976, A Mathematical Theory of Evidence, Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Suppes, P., 1966, 'Probabilistic Inference and the Concept of Total Evidence', in Aspects of Inductive Logic, J. Hintikka en P. Suppes (red.), Amsterdam: Elsevier, pp. 49–65.
• Szolovits, P. en Pauker SG, 1978, "Categorical and Probabilistic Reasoning in Medical Diagnosis", Artificial Intelligence, 11: 115–144.
• Tarski, A., 1936, "Wahrscheinlichkeitslehre und mehrwertige Logik", Erkenntnis, 5: 174–175.
• Vennekens, J., Denecker, M., en Bruynooghe, M., 2009, "CP-logic: A Language of Causal Probabilistic Events and its Relation to Logic Programming", Theory and Practice of Logic Programming, 9: 245–308.
• Walley, P., 1991, Statistisch redeneren met onnauwkeurige waarschijnlijkheden, Londen: Chapman en Hall.
• Williamson, J., 2002, "Probability Logic", in Handbook of the Logic of Argument and Inference: the Turn Toward the Practical, D. Gabbay, R. Johnson, HJ Ohlbach, en J. Woods (red.), Amsterdam: Elsevier, blz. 397–424.
• Yalcin, S., 2010, 'Waarschijnlijkheidsoperatoren', Philosophy Compass, 5: 916–937.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

[Neem contact op met de auteur voor suggesties.]