Epistemische Logica

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

Inhoud van het item
Bibliografie
Academische hulpmiddelen
Vrienden PDF-voorbeeld
Info over auteur en citaat
Terug naar boven

Voor het eerst gepubliceerd op vr 7 juni 2019

Epistemische logica is een deelgebied van epistemologie dat zich bezighoudt met logische benaderingen van kennis, overtuiging en gerelateerde noties. Hoewel elke logica met een epistemische interpretatie een epistemische logica kan worden genoemd, is het meest voorkomende type epistemische logica dat momenteel wordt gebruikt, modale logica. Kennis en overtuiging worden weergegeven via de modale operatoren K en B, vaak met een subscript dat aangeeft welke agent de houding heeft. Formules (K_ {a} varphi) en (B_ {a} varphi) worden vervolgens gelezen als respectievelijk "agent a weet dat phi" en "agent a gelooft dat phi". Epistemische logica maakt de formele verkenning van de implicaties van epistemische principes mogelijk. De formule (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) stelt bijvoorbeeld dat wat bekend is waar is, terwijl (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi) stelt dat wat bekend is, bekend is. De semantiek van epistemische logica wordt typisch gegeven in termen van mogelijke werelden via Kripke-modellen, zodat de formule (K_ {a} varphi) wordt gelezen om te beweren dat (varphi) waar is in alle werelden die een epistemisch overweegt mogelijk ten opzichte van de huidige informatie. De centrale problemen die epistemische logici bezighielden, zijn onder meer het bepalen welke epistemische principes het meest geschikt zijn om kennis en overtuiging te karakteriseren, de logische relaties tussen verschillende opvattingen van kennis en overtuiging, en de epistemische kenmerken van groepen agenten. Naast filosofie gedijt de epistemische logica in theoretische informatica, economie en aanverwante gebieden.

1. Inleiding
2. De modale benadering van kennis
- 2.1 De formele taal van epistemische logica
- 2.2 Attitudes van hogere orde
- 2.3 Het partitieprincipe en modale semantiek
- 2.4 Kripke-modellen en de niet te onderscheiden interpretatie van kennis
- 2.5 Epistemologische principes in epistemische logica
- 2.6 Principes van kennis en overtuiging
3. Kennis in groepen
- 3.1 Multi-agent talen en modellen
- 3.2 Noties van groepskennis
4. Logische alwetendheid
Bibliografie
Academische hulpmiddelen
Andere internetbronnen
Gerelateerde vermeldingen

1. Inleiding

Aristotelische teksten vormden de basis voor discussies over de logica van kennis en overtuiging, met name De Sophisiticis Elenchis evenals de Prior en Posterior Analytics. Terwijl Aristoteles de vier alethische mogelijkheden van mogelijkheid, noodzaak, onmogelijkheid en contingentie behandelde, hielpen Buridan, Pseudo Scotus, Ockham en Ralph Strode de inzichten van Aristoteles uit te breiden tot epistemische thema's en problemen (Boh 1993; Knuuttila 1993). Gedurende deze periode vulden de Pseudo-Scot en William van Ockham Aristoteles 'studie van mentale handelingen van kennis en wil aan (zie Boh 1993: 130). Ivan Boh's studies van de geschiedenis van veertiende- en vijftiende-eeuwse onderzoeken naar epistemische logica bieden een uitstekende dekking van het onderwerp, met name zijn epistemische logica in de latere middeleeuwen (1993).

Volgens Boh formuleerde de Engelse filosoof Ralph Strode een volledig algemeen systeem van propositionele epistemische regels in zijn invloedrijke 1387-boek Consequences (Boh 1993: 135). Strode's presentatie bouwde voort op de eerdere logische verhandelingen van Ockham en Burley. Problemen van epistemische logica werden tussen 1330 en 1360 ook besproken door de zogenaamde Oxford Calculators, vooral door William Heytesbury en Richard Kilvington. Tegen de vijftiende eeuw waren Paulus van Venetië en andere Italiaanse filosofen ook bezig met verfijnde reflectie op de relatie tussen kennis, waarheid en ontologie.

Discussies over epistemische logica tijdens de middeleeuwen delen een vergelijkbare set van fundamentele veronderstellingen met hedendaagse discussies. Het belangrijkste was dat middeleeuwse filosofen het verband tussen kennis en waarheidsgetrouwheid verkenden: als ik p ken, dan is p waar. Bovendien beginnen veel middeleeuwse discussies met een aanname die lijkt op de waarneming van GE Moore dat een epistemisch agens niet coherent kan beweren dat "p maar ik geloof (weet) p" niet. Zinnen van dit formulier worden doorgaans Moore-zinnen genoemd.

Moderne behandelingen van de logica van kennis en overtuiging zijn voortgekomen uit het werk van filosofen en logici die van 1948 tot 1950 hebben geschreven. Rudolf Carnap, Jerzy Łoś, Arthur Prior, Nicholas Rescher, GH von Wright en anderen erkenden dat ons discours over kennis en overtuiging een axiomatisch-deductieve behandeling toelaat. Van de vele belangrijke artikelen die in de jaren vijftig verschenen, wordt algemeen erkend dat het baanbrekende werk van von Wright (1951) de formele studie van de epistemische logica heeft geïnitieerd zoals we die nu kennen. De inzichten van Von Wright werden door Jaakko Hintikka uitgebreid in zijn boek Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions (1962). Hintikka bood een manier om epistemische concepten te interpreteren in termen van mogelijke wereldse semantiek en als zodanig heeft het sindsdien gediend als de fundamentele tekst voor de studie van epistemische logica.

In de jaren tachtig en negentig richtten epistemische logici zich op de logische eigenschappen van systemen die groepen van kenners bevatten en later nog steeds op de epistemische kenmerken van zogenaamde "multimodale" contexten. Sinds de jaren 1990 heeft het werk in dynamische epistemische logica de traditionele epistemische logica uitgebreid door het dynamische proces van kennisverwerving en geloofsherziening te modelleren. In de afgelopen twee decennia is de epistemische logica een breed scala aan formele benaderingen gaan vormen voor de interdisciplinaire studie van kennis en overtuiging.

Interesse in epistemische logica reikt veel verder dan filosofen. De afgelopen decennia is er veel interdisciplinaire aandacht voor epistemische logica geweest, waarbij economen en informatici samen met logici en filosofen het veld actief hebben ontwikkeld. In 1995 markeerden twee belangrijke boeken het vruchtbare samenspel tussen informatica en epistemische logica: Fagin, Halpern, Moses en Vardi (1995) en Meyer en van der Hoek (1995). Het werk van informatici is in de tussenliggende jaren steeds belangrijker geworden in de epistemische logica.

Onder filosofen is er meer aandacht voor het samenspel tussen deze formele benaderingen en traditionele epistemologische problemen (Zie bijvoorbeeld van Benthem 2006; Hendricks & Symons 2006; Stalnaker 2006; Holliday 2018).

Er bestaan verschillende inleidende teksten over epistemische logica, bijvoorbeeld van Benthem (2011); Ditmarsch, Hoek en Kooi (2007); Ditmarsch et al. (2015); Gochet en Gribomont (2006); en Meyer (2001) met Lenzen (1980) die een overzicht geven van vroege ontwikkelingen.

2. De modale benadering van kennis

Tot voor kort was de epistemische logica bijna uitsluitend gericht op propositionele kennis. In het geval van propositionele kennis heeft een agent of een groep agenten de propositionele houding van weten ten opzichte van een propositie. Als iemand bijvoorbeeld zegt: "Zoe weet dat er een kip in de tuin is", beweert men dat Zoe de agent is die de propositionele houding heeft, wetende naar de propositie uitgedrukt in de Engelse zin "er is een kip in de tuin". Stel je nu voor dat Zoë niet weet of er een kip in de tuin is. Het kan bijvoorbeeld zijn dat ze geen toegang heeft tot informatie over het wel of niet aanwezig zijn van een duivin op het erf. In dit geval betekent haar gebrek aan informatie dat ze twee scenario's als mogelijk zal beschouwen, één waarin een duivin op het erf staat en één waarin dat niet het geval is.

Misschien heeft ze een praktische beslissing die niet alleen betrekking heeft op kippen, maar ook op de aanwezigheid van angstaanjagende honden in de tuin. Misschien wil ze de kippen voeren, maar dat doet ze alleen als er geen hond in de tuin is. Als ze niet wist of er een hond in de tuin was, wordt het aantal scenario's waarmee ze rekening moet houden bij haar beraadslagingen tot vier. Het is duidelijk dat men epistemische alternatieven moet overwegen wanneer men niet over volledige informatie beschikt over de situaties die relevant zijn voor zijn beslissingen. Zoals we hieronder zullen zien, heeft de semantiek van mogelijke werelden een nuttig raamwerk verschaft om de manier te begrijpen waarop agenten kunnen redeneren over epistemische alternatieven.

Terwijl epistemische logici zich traditioneel hadden gericht op het weten dat, vindt men een reeks andere toepassingen van kennis in natuurlijke taal. Zoals Wang (2015) opmerkt, komen de uitdrukkingen die weten hoe, weten wat, weten waarom, heel gewoon voor, bijna net zo vaak (soms vaker) in gesproken en geschreven taal als dat. Onlangs zijn niet-standaard epistemische logica's van dergelijke uitdrukkingen ontwikkeld, hoewel ze weten welke constructies aanwezig zijn in Hintikka's Knowledge and Belief (1962; zie ook Boër & Lycan 1986; Rendsvig 2012). Dus, naast propositionele kennis, suggereert epistemische logica ook manieren om de logica van vragen en antwoorden te systematiseren (Brendan weet waarom de hond blafte). Het geeft ook inzicht in de relaties tussen meerdere identificatiemethoden (Zoe weet dat deze man de president is). Hier kan van de agent worden gezegd dat hij een feit kent met betrekking tot meerdere identificatiemethoden, voor zover ze de president correct identificeert, die ze misschien kent uit verhalen in de krant met de man die ze voor haar ziet staan, die ze identificeert als een object in haar gezichtsveld (Hintikka & Symons 2003). Epistemische logica kan ook inzicht geven in vragen over procedurele "knowhow" (Brendan weet hoe hij een lont moet veranderen). Als u bijvoorbeeld weet hoe u (varphi) moet gebruiken, kan dit worden gelijkgesteld met de bewering dat er een manier bestaat waarop een agent weet dat het een manier is om ervoor te zorgen dat (varphi) (zie Wang 2015, 2018). Er is ook gewerkt aan de rechtvaardiging van kennis door combinaties van rechtvaardigingslogica met epistemische logica (zie bv. Artemov & Nogina 2005; Renne 2008). Er wordt aan deze en andere onderwerpen gewerkt en er komen gestaag nieuwe ontwikkelingen.

2.1 De formele taal van epistemische logica

Recent werk in epistemische logica steunt op een modale kennisopvatting. Om duidelijk te zijn over de rol van modaliteit in de epistemische logica, is het nuttig om de basiselementen van het moderne formalisme te introduceren. Omwille van de eenvoud beginnen we met het geval van kennis en overtuiging voor één enkele agent, waarbij de overweging van meerdere agenten wordt uitgesteld tot sectie 3, Een prototypische epistemische logische taal wordt gegeven door eerst een set propositionele variabelen (p_ {1}), (p_ {2}), … vast te stellen. In toepassingen van epistemische logica krijgen propositionele variabelen specifieke interpretaties: (p_ {1}) kan bijvoorbeeld worden gebruikt om de propositie "er is een kip in de tuin" weer te geven en (p_ {2}) de stelling “er is een hond in de tuin”, enz. De propositionele variabelen vertegenwoordigen stellingen die in de formele taal niet gedetailleerder worden weergegeven. Als zodanig worden ze daarom vaak atomaire proposities of gewoon atomen genoemd. Laat Atom de verzameling atomaire proposities aanduiden.

Afgezien van de atomaire proposities, vult epistemische logica de taal van propositielogica aan met een modale operator, (K_ {a}), voor kennis en (B_ {a}), voor geloof.

(K_ {a} varphi) leest "Agent a weet dat (varphi)"

en vergelijkbaar

(B_ {a} varphi) leest "Agent a gelooft dat (varphi)".

In veel recente publicaties over epistemische logica wordt de volledige set formules in de taal gegeven met behulp van een zogenaamde Backus-Naur-vorm. Dit is gewoon een notationele techniek die is afgeleid van de informatica en die een recursieve definitie geeft van de formules die grammaticaal "correct" worden geacht, dat wil zeggen de set van goedgevormde formules:

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / mid B_ {a} varphi, / text {for} p / in / textit {Atoom}.)

Dit zegt dat (varphi) p is, als p een atoom is. (neg / varphi) is een goedgevormde formule als (varphi) al een goedgevormde formule is. Het symbool '(neg)' is een ontkenning en '(wedge)' een voegwoord: (neg / varphi) leest 'not (varphi)' terwijl ((varphi / wedge / psi)) leest '(varphi) en (psi)'. We noemen deze basistaal die zowel een K nowledge als een B elief operator bevat, (mathcal {L} _ {KB}). Net als in de propositielogica worden aanvullende connectieven gedefinieerd vanuit (neg) en (wedge): Typische notatie is '(vee)' voor 'of', '(rightarrow)' voor ' als …, dan … 'en' (leftrightarrow) 'voor' … als, en alleen als, … '. Ook wordt meestal (top) ('top') en (bot) ('bottom') gebruikt om respectievelijk de constant ware propositie en de constant valse propositie aan te duiden.

Zoals we hieronder zullen zien, wordt (K_ {a} varphi) gelezen als bewerend dat (varphi) geldt in alle werelden die toegankelijk zijn voor een. In deze zin kan worden aangenomen dat K zich op dezelfde manier gedraagt als de 'box'-operator (square), die vaak wordt gebruikt om de noodzaak aan te duiden. Door (K_ {a} varphi) te evalueren op een mogelijke wereld w, evalueert men in feite een universele kwantificering over alle werelden die toegankelijk zijn vanaf w. De universele kwantor (voorall) in eerste-orde logica heeft de existentiële kwantor (bestaat) als tweeledig: dit betekent dat de kwantoren onderling definieerbaar zijn door ofwel (forall) als primitief te nemen en te definiëren (bestaat x / varphi) als afkorting voor (neg / forall x / neg / varphi) of door (exist) als primitief te nemen en (forall x / varphi) te definiëren als (neg / bestaat x / neg / varphi). In het geval van (K_ {a}),men kan zien dat de formule (neg K_ {a} neg / varphi) een existentiële kwantificatie maakt: er staat dat er een toegankelijke wereld bestaat die voldoet aan (varphi). In de literatuur wordt vaak een dubbele operator voor (K_ {a}) geïntroduceerd. De typische notatie voor (neg K_ {a} neg) omvat (langle K_ {a} rangle) en (widehat {K} _ {a}). Deze notatie bootst de diamantvorm (lozenge) na, wat de standaard dubbele operator is voor de box (square), wat op zijn beurt de standaardnotatie is voor de universeel kwantificerende modale operator (zie het item over modale logica). De typische notatie voor (neg K_ {a} neg) omvat (langle K_ {a} rangle) en (widehat {K} _ {a}). Deze notatie bootst de diamantvorm (lozenge) na, wat de standaard dubbele operator is voor de box (square), wat op zijn beurt de standaardnotatie is voor de universeel kwantificerende modale operator (zie het item over modale logica). De typische notatie voor (neg K_ {a} neg) omvat (langle K_ {a} rangle) en (widehat {K} _ {a}). Deze notatie bootst de diamantvorm (lozenge) na, wat de standaard dubbele operator is voor de box (square), wat op zijn beurt de standaardnotatie is voor de universeel kwantificerende modale operator (zie het item over modale logica).

Meer expressieve talen in epistemische logica omvatten de toevoeging van operators voor verschillende noties van groepskennis (zie paragraaf 3). Zoals we hieronder bespreken, zijn de algemene kennisoperator en de zogenaamde dynamische operatoren belangrijke toevoegingen aan de taal van de epistemische logica. Dynamische operators kunnen bijvoorbeeld de waarheidsgetrouwe openbare aankondiging van (varphi): ((varphi!]) Aangeven. Een formule ((varphi!] Psi) wordt gelezen 'als (varphi) naar waarheid aan iedereen wordt aangekondigd, dan is na de aankondiging (psi) het geval'. De vraag welke soorten expressieve kracht worden toegevoegd met de toevoeging van operators is een onderzoeksonderwerp dat actief wordt onderzocht in dynamische epistemische logica. Dus het toevoegen van ((varphi!]) Alleen aan (mathcal {L} _ {KB}) voegt geen expressieve kracht toe,maar in een taal die ook algemene kennis omvat, wel.

2.2 Attitudes van hogere orde

Merk op dat bijvoorbeeld (K_ {a} K_ {a} p) een formule is in de taal die we hierboven hebben geïntroduceerd. Er staat dat agent a weet dat agent a weet dat p het geval is. Formule met geneste epistemische operatoren van deze soort drukt een hogere orde uit: een houding ten aanzien van de houding van een of andere agent.

Attitudes van hogere orde is een terugkerend thema in de epistemische logica. De eerder genoemde Moore-zinnen, bijvoorbeeld (B_ {a} (p / wedge B_ {a} neg p)) drukken een hogere orde uit. Dat geldt ook voor veel van de epistemische principes die in de literatuur en hieronder worden besproken. Overweeg het volgende prominente epistemische principe met kennis van hogere orde: (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi). Is het redelijk om te eisen dat kennis aan dit schema voldoet, dat wil zeggen dat als iemand (varphi) kent, hij dan weet dat hij (varphi) kent? Gedeeltelijk kunnen we aarzelen voordat we dit principe aanvaarden vanwege de hogere orde die ermee gemoeid is. Dit is een kwestie van voortdurende discussie in epistemische logica en epistemologie.

2.3 Het partitieprincipe en modale semantiek

De semantiek van de hierboven geïntroduceerde formele taal wordt over het algemeen gepresenteerd in termen van zogenaamde mogelijke werelden. In epistemische logica worden mogelijke werelden geïnterpreteerd als epistemische alternatieven. Hintikka was de eerste die een dergelijke benadering expliciet verwoordde (1962). Dit is een ander centraal kenmerk van zijn benadering van epistemologie die de ontwikkelingen van vandaag blijft informeren. Het kan als volgt worden vermeld, vereenvoudigd ^[1]:

Verdelingsprincipe: Elke propositionele houding verdeelt de set van mogelijke werelden in die welke in overeenstemming zijn met de houding die dat niet is.

Het partitieprincipe kan worden gebruikt om de kennisoperator een semantiek te bieden. Informeel, (K_ {a} varphi) is waar in de wereld w als, en alleen als, (varphi) waar is in elke wereld (w ') die compatibel is met wat a weet op w.

Hier weet agent a dat (varphi) voor het geval de agent informatie heeft die elke mogelijkheid op fouten uitsluit, waarbij elk geval waarin (neg / varphi) wordt uitgesloten.

2.4 Kripke-modellen en de niet te onderscheiden interpretatie van kennis

Sinds de jaren zestig hebben Kripke-modellen, die hieronder worden gedefinieerd, de basis gevormd van de meest gebruikte semantiek voor alle varianten van modale logica. Het gebruik van Kripke-modellen bij de representatie van epistemische concepten houdt in dat je een filosofische houding aanneemt ten opzichte van die concepten. Een wijdverbreide interpretatie, vooral in de theoretische economie en theoretische informatica, begrijpt kennis in termen van niet-onderscheidende informatie tussen mogelijke werelden. Waar we hier naar zullen verwijzen als de niet te onderscheiden interpretatie gaat in ieder geval terug naar Lehmann (1984).

Aangezien de interpretatie van niet te onderscheiden kennis betreft, maar geen overtuiging, zullen we werken met een taal zonder overtuiging. Laat daarom de taal (mathcal {L} _ {K}) worden gegeven door het Backus-Naur-formulier

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / text {voor} p / in / textit {Atom}.)

Zoals we zullen zien, houdt de interpretatie van niet te onderscheiden zeer strenge eisen in om iets als kennis te kwalificeren. We introduceren het hier voor pedagogische doeleinden en zetten de formele details van de interpretatie in om daarna relatief minder extreme posities in te voeren en uit te leggen.

Beschouw opnieuw het geval van Zoë, de kip en de hond. Het voorbeeld omvat twee stellingen, die we zullen identificeren met de formele atomen:

p lezen als "er is een kip in de tuin".

q lees als “er is een hond in de tuin”.

Het is de moeite waard te benadrukken dat deze twee de enige voorstellen van belang zijn voor de formalisering van dit scenario. We beperken onze aandacht tot (textit {Atom} = {p, q }). In vroege presentaties van epistemische logica en in veel van de huidige standaard epistemische logica, worden alle interessante atomen vanaf het begin meegenomen. Dit is duidelijk een geïdealiseerd scenario. Het is belangrijk op te merken wat deze aanpak weglaat. Overwegingen die niet op deze manier zijn vastgelegd, zijn onder meer het verschijnen van nieuwe atomen; het idee dat andere atoomproposities in een toekomstige toestand kunnen worden geïntroduceerd via bijvoorbeeld een leerproces, of de vraag of een agent zich bewust is van proposities;het scenario waarin een agent tijdelijk niet op de hoogte is van een atoom vanwege een psychologische of andere factor (zie sectie 4 voor verwijzingen naar de zogenaamde bewustzijnslogica). Voorlopig is het belangrijkste punt dat standaard epistemische logica begint met de aanname dat de set Atom de ruimte van proposities voor de agent uitput.

Met twee atomen zijn er vier verschillende manieren waarop een wereld consistent zou kunnen zijn. We kunnen elk weergeven met een doos:

Basic Four Worlds: vier dozen op een rij met wat ruimte ertussen. De eerste heeft het label w1 en bevat het paar: p, q. De tweede label w2 met het paar: p niet q. De derde, w3, met het paar: niet p, q. De vierde, w4, met het paar: niet p, niet q. Bijna alle volgende afbeeldingen bevatten hetzelfde met enkele kleine aanpassingen

De vier boxen kunnen formeel worden vertegenwoordigd door een set (W = {w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4} }), doorgaans een set van mogelijke werelden genoemd. Elke wereld wordt verder gelabeld met de atomen die waar zijn in die wereld. Ze zijn gelabeld met een functie V, de waardering. De waardering specificeert op de volgende manier welke atomen op elke wereld waar zijn: Gegeven een atoom p is (V (p)) de subset van werelden waarop p waar is. ^[2] Dat (w_ {1}) is gelabeld met p en q betekent dus dat (w_ {1} in V (p)) en (w_ {1} in V (q)). In de afbeelding (V (p) = {w_ {1}, w_ {2} }) en (V (q) = {w_ {1}, w_ {3} }).

Neem voor presentatiedoeleinden aan dat er echt een kip in de tuin is, maar geen hond. Dan zou (w_ {2}) de werkelijke wereld van het model vertegenwoordigen. In illustraties wordt de werkelijke wereld vaak benadrukt:

Basic Four Worlds behalve w2 wordt gemarkeerd met een dubbele lijn in plaats van een enkele regel voor de box

Stel nu dat de kip altijd kakelt, maar dat de hond nooit blaft, en dat Zoe, hoewel ze goed hoort, de tuin niet kan zien. Dan zijn er bepaalde mogelijke werelden die Zoe niet kan onderscheiden: mogelijke manieren waarop dingen niet kunnen worden onderscheiden. Omdat ze bijvoorbeeld in de wereld is met alleen een kip ((p, / neg q)), kan Zoe niet zeggen of ze in de wereld is met zowel kip als hond ((p, q)): haar situatie is zodanig dat Zoe zich bewust is van twee manieren waarop dingen kunnen zijn, maar haar informatie staat haar niet toe om ze ook te elimineren.

Om te illustreren dat de ene mogelijke wereld niet van de andere te onderscheiden is, wordt typisch een pijl getrokken van de eerste naar de laatste:

Vier basiswerelden behalve w2 is gemarkeerd en een pijl wijst van w2 naar w1

Hier vertegenwoordigen pijlen een binaire relatie over mogelijke werelden. In de modale logica wordt het in het algemeen de toegankelijkheidsrelatie genoemd. Onder de niet te onderscheiden interpretatie van epistemische logica wordt het soms de niet te onderscheiden relatie genoemd. Geef formeel de relatie (R_ {a}) aan, waarbij het subscript aangeeft dat de relatie toebehoort aan agent a. De relatie is een subset van de set geordende paren van mogelijke werelden, ({(w, w ') colon w, w' / in W }). Een wereld w "wijst" naar een andere (w ') als ((w, w') in R_ {a}). In dit geval zou (w ') toegankelijk (niet te onderscheiden) zijn van w. In de literatuur wordt dit vaak geschreven (wR_ {a} w ') of (R_ {a} ww'). De notatie '(w' / in R_ {a} (w)) 'is ook gebruikelijk: de set (R_ {a} (w)) is dan de werelden die toegankelijk zijn vanaf w, dat wil zeggen, [R_ {a} (w): = {w '\ in W: (w, w') in R_ {a} }.)

Een laatste opmerking: de set ({(w, w ') colon w, w' / in W }) wordt vaak geschreven (W / keer W), het Cartesiaanse product van W met zichzelf.

Op welke werelden moet deze betrekking hebben om (R_ {a}) een getrouwe relatie van niet te onderscheiden getrouw weer te geven? Als Zoë bijvoorbeeld in (w_ {1}) werd gedoken, zou ze dan kunnen vertellen dat ze niet in (w_ {2}) zit? Nee: de relatie van niet te onderscheiden is symmetrisch als men a niet van b kan onderscheiden, en b ook niet van a. Dat een relatie symmetrisch is, wordt meestal getekend door de pijlpunten helemaal weg te laten of door ze in beide richtingen te plaatsen:

Basis vier werelden behalve w2 is gemarkeerd en een dubbele pijl verbindt w2 en w1

Welke van de overgebleven werelden zijn niet te onderscheiden? Aangezien de kip altijd kakelt, heeft Zoe informatie waarmee ze (w_ {1}) en (w_ {2}) kan onderscheiden van (w_ {3}) en (w_ {4}) en vice versa, vgl. symmetrie. Vandaar dat er geen pijlen tussen staan. De werelden (w_ {3}) en (w_ {4}) zijn niet van elkaar te onderscheiden. Dit brengt ons bij de volgende representatie:

Basis vier werelden behalve w2 is gemarkeerd en een dubbele pijl verbindt w2 en w1 en een andere dubbele pijl verbindt w3 en w4

Aangezien geen enkele informatie Zoe ooit in staat zal stellen iets van zichzelf te onderscheiden, is elke mogelijke wereld dus aan zichzelf gerelateerd en is de niet te onderscheiden relatie reflexief:

Basis vier werelden behalve w2 is gemarkeerd en een dubbele pijl verbindt w2 en w1 en een andere dubbele pijl verbindt w3 en w4. Elke wereld heeft ook een pijl die terugkeert naar dezelfde wereld

De standaardinterpretatie van het Zoe-voorbeeld in termen van een mogelijk wereldenmodel is nu voltooid. Voordat we ons wenden tot een algemene presentatie van de interpretatie van niet te onderscheiden, laten we eens kijken naar wat Zoe weet.

Denk aan de informele modale semantiek van de kennisoperator van bovenaf:

(K_ {a} varphi) is waar in de wereld w als, en alleen als, (varphi) waar is in elke wereld (w ') die compatibel is met de informatie die a heeft op w.

Om een formele definitie te benaderen, neem '(w / vDash / varphi)' om aan te geven dat (varphi) waar is in de wereld w. Zo kunnen we de waarheid van (K_ {a} varphi) in w definiëren

(w / vDash K_ {a} varphi) iff (w '\ vDash / varphi) voor alle (w') zodat (wR_ {a} w ').

Deze definitie stelt dat a weet (varphi) in wereld w als, en alleen als, (varphi) het geval is in alle werelden (w ') die a niet kan onderscheiden van w.

Waar blijft Zoe dan? Ten eerste stelt de definitie ons in staat om haar kennis in elk van de werelden te evalueren, maar aangezien (w_ {2}) de werkelijke wereld is, is het de wereld van belang. Hier zijn enkele voorbeelden van wat we kunnen zeggen over Zoe's kennis in (w_ {2}):

(w_ {2} vDash K_ {a} p). Zoe weet dat de kip in de tuin is, aangezien alle werelden niet te onderscheiden zijn van (w_ {2}) dat zou zijn (w_ {1}) en (w_ {2}) p waar maken.
(w_ {2} vDash / neg K_ {a} q). Zoe weet niet dat de hond in de tuin is, aangezien een van de niet te onderscheiden werelden in feite (w_ {2}) zelf q onwaar maakt.
(w_ {2} vDash K_ {a} K_ {a} p). Zoe weet dat ze p kent omdat (a)) (w_ {2} vDash K_ {a} p) (cf. 1.) en (b)) (w_ {1} vDash K_ {a} p).
(w_ {2} vDash K_ {a} neg K_ {a} q). Zoe weet dat ze q niet kent omdat (a)) (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q) (cf. 2.) en (b)) (w_ {1 } vDash / neg K_ {a} q).

We kunnen nog veel meer zeggen over de kennis van Zoë: elke formule van de epistemische taal zonder geloofsoperatoren kan in het model worden geëvalueerd. Het vertegenwoordigt dus alle Zoe's hogere-orde informatie over haar eigen kennis van welke punten 3. en 4. de eerste voorbeelden zijn.

Er is nog een laatste ingrediënt nodig voordat we de interpretatie van onderscheidbaarheid in zijn algemeenheid kunnen vermelden. In het bovenstaande voorbeeld werd aangetoond dat de niet te onderscheiden relatie zowel symmetrisch als reflexief was. Formeel kunnen deze eigenschappen als volgt worden gedefinieerd:

Definitie: Een binaire relatie (R / subseteq W / times W) is

reflexieve iff voor alle (w / in W, wRw),
symmetrische iff voor alle (w, w '\ in W,) if (wRw'), dan (w'Rw).

Het ontbrekende ingrediënt is dan de relationele eigenschap van transitiviteit. 'Korter dan' is een voorbeeld van een transitieve eigenschap: laat x korter zijn dan y en laat y korter zijn dan z. Dan moet x korter zijn dan z. Dus gegeven (w_ {1}, w_ {2}) en (w_ {3}), als de relatie R geldt tussen (w_ {1}) en (w_ {2}) en tussen (w_ {2}) en (w_ {3}), dan is de pijl tussen (w_ {1}) en (w_ {3}) het gevolg van het vereisen dat de relatie transitief is:

Een diagram van drie knooppunten: w1, w2 en w3. Een pijl met het label 'aangenomen' gaat van w1 naar w2 en een andere pijl met hetzelfde label gaat van w2 naar w3. Een derde pijl met het label 'geïmpliceerd' gaat van w1 naar w3

Formeel wordt transitiviteit als volgt gedefinieerd:

Definitie: Een binaire relatie (R / subseteq W / times W) is transitief iff voor alle (w, w ', w' '\ in W,) if (wRw') en (w'Rw ''), dan (wRw '')

Een relatie die zowel reflexief, symmetrisch als transitief is, wordt een equivalentierelatie genoemd.

Met alle componenten op hun plaats, laten we nu het Kripke-model definiëren:

Definitie: Een Kripke-model voor (mathcal {L} _ {K}) is een tuple (M = (W, R, V)) waarbij

W is een niet-lege reeks mogelijke werelden,
R is een binaire relatie op W, en
(V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) is een taxatie.

In de definitie verwijst '(mathcal {P} (W))' naar de powerset van W: het bestaat uit alle subsets van W. Daarom is (V (p)), de waardering van atoom p in het model M, een deelverzameling van de mogelijke werelden: die waar p waar is. In deze algemene definitie kan R elke relatie op W zijn.

Om aan te geven welke wereld werkelijk is, wordt een laatste parameter aan het model toegevoegd. Wanneer de werkelijke wereld is gespecificeerd, wordt een Kripke-model gewoonlijk puntig genoemd:

Definitie: Een puntig Kripke-model voor (mathcal {L} _ {K}) is een paar ((M, w)) waarbij

(M = (W, R, V)) is een Kripke-model en
(w / in W).

Ten slotte kunnen we de semantiek die hierboven enigszins losjes werd uitgedrukt, formeel definiëren. Dit wordt gedaan door een relatie te definiëren tussen puntige Kripke-modellen en de formules van de formele taal. De relatie wordt '(vDash)' genoemd en wordt vaak de tevredenheidsrelatie genoemd.

De definitie gaat dan als volgt:

Definitie: Laat (M = (W, R_ {a}, V)) een Kripke-model zijn voor (mathcal {L} _ {K}) en laat ((M, w)) een wees Kripke model. Dan voor alle (p / in / textit {Atom}) en alle (varphi, / psi / in / mathcal {L} _ {K})

(begin {align} (M, w) & / vDash p & / textrm {iff} & w / in V (p) (M, w) & / vDash / neg / varphi & / textrm {iff} & / textrm {not} (M, w) vDash / varphi \(M, w) & / vDash (varphi / wedge / psi) & / textrm {iff} & (M, w) vDash / varphi / textrm {en} (M, w) vDash / psi \(M, w) & / vDash K_ {a} varphi & / textrm {iff} & (M, w ') vDash / varphi / textrm {voor iedereen } w '\ in W / textrm {zodanig dat} wR_ {a} w'. / end {align})

Aan de formule (varphi) is voldaan in het puntige model ((M, w)) iff ((M, w) vDash / varphi).

In algemene zin is de interpretatie niet te onderscheiden dat voor (K_ {a}) om kennis vast te leggen, de relatie (R_ {a}) een equivalentierelatie moet zijn. Een puntig Kripke-model waaraan hieraan wordt voldaan, wordt vaak een epistemische toestand genoemd. In epistemische staten wordt de relatie aangegeven door een tilde met subscript: (sim_ {a}).

Gegeven puntige Kripke-modellen en de niet te onderscheiden interpretatie, hebben we een semantische specificatie van één kennisconcept. Met deze aanpak kunnen we modellen bouwen van situaties met kennis zoals we deden met het speelgoedvoorbeeld van Zoë en de kippen. We kunnen deze modellen gebruiken om te bepalen wat de agent wel of niet weet. We hebben ook de formele basis om vragen te stellen over hoe de kennis of onzekerheid van de agent zich ontwikkelt wanneer hij nieuwe informatie ontvangt, een onderwerp dat wordt bestudeerd in dynamische epistemische logica.

We kunnen ook meer algemene vragen stellen over het concept van kennis gemodelleerd met behulp van puntige Kripke-modellen met niet te onderscheiden relaties: in plaats van te kijken naar een bepaald model op dat moment en te vragen welke formules het model waarmaakt, kunnen we vragen welke algemene principes al dergelijke modellen overeenkomen Aan.

2.5 Epistemologische principes in epistemische logica

Om tot een juiste formele representatie van kennis te komen, moet je goed nadenken over de epistemologische principes waaraan je je committeert. Een onomstreden voorbeeld van een dergelijk principe dat de meeste filosofen zullen accepteren, is waarheidsgetrouwheid:

Als een voorstel bekend is, is het waar.

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi.)

In een formele context kan dit principe worden opgevat als te zeggen dat als (varphi) bekend is, het altijd in iemands modellen moet worden vervuld. Als blijkt dat sommige van iemands gekozen modellen het waarheidsgehalte-principe vervalsen, dan zouden de meeste filosofen die modellen eenvoudigweg onaanvaardbaar achten.

Terugkomend op puntige Kripke-modellen, kunnen we ons nu afvragen naar welke principes deze modellen zich verplichten. Om deze vraag te kunnen beantwoorden, moeten we de meest algemene kenmerken van ons formalisme begrijpen. De strategie in de modale logica in het algemeen (zie Blackburn, de Rijke, & Venema 2001) is om weg te abstraheren van de voorwaardelijke kenmerken van een bepaald model. Voorwaardelijke kenmerken zijn bijvoorbeeld het specifieke aantal beschouwde werelden, de specifieke waardering van de atomen en de keuze van een echte wereld. In dit geval zijn de enige kenmerken die niet contingent zijn die welke vereist zijn door de algemene definitie van een puntig Kripke-model.

Om geschikt te abstraheren, neem een puntig Kripke-model ((M, w) = (W, R, V, w)). Om te bepalen of de relatie van dit model een equivalentierelatie is, hoeven we alleen de werelden en de relatie te beschouwen. Het paar van deze elementen vormt het fundamentele niveau van het model en wordt het frame van het model genoemd:

Definitie: Laat ((M, w) = (W, R, V, w)) een puntig Kripke-model zijn. Vervolgens wordt het paar ((W, R)) het frame van ((M, w)) genoemd. Elk model ((M ', w')) dat het frame deelt ((W, R)), wordt gebouwd op ((W, R)).

Beschouw opnieuw de epistemische toestand voor Zoe van bovenaf:

Er kunnen meerdere andere modellen op hetzelfde frame worden gebouwd. Hier volgen twee voorbeelden:

Basis vier werelden behalve w3 (in plaats van w2) is gemarkeerd en een dubbele pijl verbindt w2 en w1 en een andere dubbele pijl verbindt w3 en w4. Elke wereld heeft ook een pijl die terugkeert naar dezelfde wereld. Daarnaast heeft w2 het paar: p, q in plaats van p, niet q

Basis vier werelden behalve w4 (in plaats van w2 of w3) is gemarkeerd en een dubbele pijl verbindt w2 en w1 en een andere dubbele pijl verbindt w3 en w4. Elke wereld heeft ook een pijl die terugkeert naar dezelfde wereld. Daarnaast heeft w1 het paar: niet p, niet q; w2, w3 en w4 hebben elk het paar: p, q

Met het idee van een frame kunnen we het begrip geldigheid van interesse definiëren. Het is de tweede term die als volgt wordt gedefinieerd:

Definitie: Een formule (varphi) is geldig in het frame (F = (W, R)) als elk puntig Kripke-model dat op F is gebouwd, voldoet aan (varphi), dat wil zeggen, iff voor elke ((M, w) = (F, V, w) = (W, R, V, w)), ((M, w) vDash / varphi). Een formule (varphi) is geldig voor de klasse van frames (mathsf {F}) (geschreven (mathsf {F} vDash / varphi)) iff (varphi) is geldig in elk frame F in (mathsf {F}).

De set formules die geldig is voor een klasse frames (mathsf {F}) wordt de logica genoemdvan (mathsf {F}). Geef deze logica aan, dat wil zeggen, de set ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {F} vDash / varphi }) door (Lambda _ { mathsf {F }}). Dit is een semantische benadering voor het definiëren van logica, elk slechts een set formules. Men kan logica ook theoretisch bewijzen door een logica te definiëren als de verzameling formules die in een bepaald systeem kan worden bewezen. Met logica's als slechts formulesets, kunnen de resultaten van degelijkheid en volledigheid worden uitgedrukt met behulp van set-inclusie. Laat (mathsf {A}) bijvoorbeeld een reeks axioma's zijn en schrijf (mathsf {A} vdash / varphi) wanneer (varphi) aantoonbaar is vanuit (mathsf {A}) met een bepaalde set aftrekregels. Laat de resulterende logica de set stellingen aanduiden (Lambda _ { mathsf {A}}). Het is de set formules van (mathcal {L} _ {K}) aantoonbaar van (mathsf {A}), dat wil zeggen,de set ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {A} vdash / varphi }). De logica (Lambda _ { mathsf {A}}) is gezond met betrekking tot (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {A}} subseteq / Lambda _ { mathsf {F }}) en vul aan met betrekking tot (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {F}} subseteq / Lambda _ { mathsf {A}}).^[3]

Terugkerend naar de niet te onderscheiden interpretatie van kennis, kunnen we dan proberen de epistemologische principes te vinden waaraan de interpretatie is toegewijd. Er is een triviaal antwoord van weinig direct belang: laat (mathsf {EQ}) de klasse van frames zijn met equivalentie-relaties. Dan is de logica van de niet te onderscheiden interpretatie de set formules van (mathcal {L} _ {K}) die geldig zijn voor (mathsf {EQ}), dwz de set (Lambda _ { mathsf {EQ}}: = { varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {EQ} vDash / varphi }). Niet erg informatief.

Een axiomatische benadering van het specificeren van de logica levert echter een presentatie op in termen van gemakkelijk te begrijpen principes. Om met de eenvoudigste te beginnen, stelt het principe T dat kennis feitelijk is: als de agent (varphi) kent, dan moet (varphi) waar zijn. De meer omslachtige K stelt dat als de agent een implicatie kent, en als de agent de antecedent kent, hij ook de consequentie kent. Dat wil zeggen, als we de afleidingsregel modus ponens (van (varphi / rightarrow / psi) en (varphi) opnemen, concluderen (psi)) als regel van onze logica van kennis, stelt K dat kennis is impliciet gesloten. Het principe B stelt dat als (varphi) waar is, de agent weet dat hij (varphi) mogelijk acht. Ten slotte stelt 4 dat als de agent (varphi) kent, hij weet dat hij (varphi) kent. T,B en 4 in de onderstaande tabel (de namen zijn historisch en niet allemaal zinvol).

(begin {align} textrm {K} & & (K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) & / rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi) / \ textrm {T} & & K_ {a} varphi & / rightarrow / varphi \\ / textrm {B} & & / varphi & / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi \\ / textrm { 4} & & K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

In plaats van epistemologische intuïties, zouden we een concept van kennis kunnen bespreken door deze en andere principes te bespreken. Moeten we T accepteren als principe dat kennis volgt? Hoe zit het met de anderen? Voordat we verdergaan, laten we eerst duidelijk maken hoe de vier bovenstaande principes zich verhouden tot de interpretatie van niet te onderscheiden. Hiervoor hebben we het idee van een normale modale logica nodig. In de onderstaande definitie, zoals in de bovenstaande principes, gebruiken we technisch formuleschema's. In (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) is de (varphi) een variabele die zich uitstrekt over formules in (mathcal {L} _ {K}). Dus strikt genomen is (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) geen formule, maar een schema voor het verkrijgen van een formule. Een modaal exemplaar van (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) is dan de formule die wordt verkregen door (varphi) een concrete formule te laten zijn van (mathcal {L} _ {K}). (K_ {a} p / rightarrow p) en (K_ {a} (p / wedge K_ {a} q) rightarrow (p / wedge K_ {a} q)) zijn beide modale instanties van T.

Definitie: Laat (Lambda / subseteq / mathcal {L} _ {K}) een set modale formules zijn. Dan is (Lambda) een normale modale logica als (Lambda) aan al het volgende voldoet:

(Lambda) bevat alle modale voorbeelden van de klassieke propositionele tautologieën.
(Lambda) bevat alle modale instanties van K.
(Lambda) wordt gesloten onder modus ponens: Als (varphi / in / Lambda) en (varphi / rightarrow / psi / in / Lambda), dan (psi / in / Lambda).
(Lambda) wordt onder generalisatie (ook wel noodzaak genoemd) gesloten: als (varphi / in / Lambda), dan (K_ {a} varphi / in / Lambda).

Er is een unieke kleinste normale modale logica (gezien de set Atom) die precies bevat wat vereist is door de definitie en niets meer. Het wordt vaak de minimale normale modale logica genoemd en wordt aangeduid met de vetgedrukte K (niet te verwarren met de niet-vetgedrukte K die het schema aanduidt).

De logische K is slechts een set formules van (mathcal {L} _ {K}). Dat wil zeggen, K (subseteq / mathcal {L} _ {K}). Punten 1.4. geeft een perspectief op deze set: ze zorgen voor een axiomatisatie. Vaak wordt, zoals hieronder, naar het schema K verwezen als een axioma, hoewel de instantiaties van K eigenlijk axioma's zijn.

Aan K kunnen we aanvullende principes toevoegen als axioma's (axiomaschema's) om sterkere logica te verkrijgen (logica met aanvullende stellingen: Logica (Lambda) waarvoor K (subseteq / Lambda)). Van direct belang is de logica genaamd S5:

Definitie: De logica S5 is de kleinste normale modale logica die alle modale instanties van T, B en 4 bevat.

Hier is dan de relatie tussen de bovenstaande vier principes en de interpretatie van niet te onderscheiden:

Stelling 1: De logica S5 is de logica van de klasse van puntige Kripke-modellen die zijn gebouwd op frames met equivalentie-relaties. Dat wil zeggen, (textbf {S5} = / Lambda _ { mathsf {EQ}}).

Wat zegt deze stelling ons dan met betrekking tot de principes van kennis? In één richting vertelt het ons dat als men de niet te onderscheiden interpretatie accepteert, men impliciet de principes K, T, B en 4 heeft aanvaard als redelijk voor kennis. In de andere richting vertelt het ons dat als men vindt dat S5 de juiste logica van kennis is en men vindt dat gerichte Kripke-modellen de juiste manier zijn om kennis semantisch te representeren, dan moet men een equivalentie-relatie gebruiken. Of men deze relatie moet interpreteren in termen van niet te onderscheiden, is een kwestie waarover de logica zwijgt.

Bij het bespreken van principes voor kennis kan het zijn dat sommige van de vier bovenstaande acceptabel lijken, terwijl andere dat niet doen: men kan het oneens zijn met de acceptatie van B en 4, bijvoorbeeld, terwijl K en T worden geaccepteerd. In het begrijpen van de relatie tussen S5 en gelijkwaardigheid relaties, een fijnmaziger perspectief is gunstig: Stelling 1 kan in kleinere stukjes worden gehakt om de bijdrage weer te geven van de individuele principes K, T, 4 en B aan de gelijkwaardigheidseis, namelijk dat de relatie tegelijkertijd moet zijn reflexief, symmetrisch en transitief.

Stelling 2: Laat (F = (W, R)) een frame zijn. Vervolgens:

Alle modale instanties van K zijn geldig in F.
Alle modale instanties van T zijn geldig in F als R reflexief is.
Alle modale instanties van B zijn geldig in F als R symmetrisch is.
Alle modale instanties van 4 zijn geldig in F als F R transitief is.

Stelling 2 heeft een aantal inzichten te bieden. Ten eerste, als men een type Kripke-model wil gebruiken om kennis vast te leggen, dan moet men K. accepteren. Sommige details overslaan, moet men in feite de volledige logica K accepteren zoals deze is de logica van de klasse van alle Kripke-modellen (zie bv. Blackburn, de Rijke, & Venema 2001).

Ten tweede laat de stelling zien dat er een intieme relatie bestaat tussen de individuele epistemische principes en de eigenschappen van de relatie. Dit betekent op zijn beurt dat men in het algemeen de 'logica' in de epistemische logica van twee kanten kan benaderen vanuit intuïties over de toegankelijkheidsrelatie of vanuit intuïties over epistemische principes.

In de literatuur zijn verschillende normale modale logische systemen voorgesteld die zwakker zijn dan S5. Hier specificeren we de logica door de set van hun modale axioma's. De logische K wordt bijvoorbeeld gegeven door ({ text {K} }), terwijl S5 wordt gegeven door ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / sms {4} }). Om de nomenclatuur vast te stellen, bevat de volgende tabel een selectie van principes uit de literatuur met de frame-eigenschappen die ze kenmerken, vgl. Aucher (2014) en Blackburn, de Rijke, & Venema (2001), op de lijn eronder. De framecondities zijn niet allemaal eenvoudig.

In tabel 1 wordt het subscript op (R_ {a}) weggelaten om de leesbaarheid te vergemakkelijken, en dat geldt ook voor het domein van kwantificering W waarover de variabelen van de wereld (x, y, z) reiken.

K	(K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi)) Geen: niet van toepassing
D	(K_ {a} varphi / rightarrow / widehat {K} _ {a} varphi) Serieel: (forall x / bestaat y, xRy).
T	(K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) Reflexief: (forall x, xRx).
4	(K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi) Overgankelijk: (forall x, y, z, / text {if} xRy / text {en} yRz / text {, dan} xRz).
B	(varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi) Symmetrisch: (forall x, y, / text {if} xRy / text {, then} yRx).
5	(neg K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} neg K_ {a} varphi) Euclidisch: (forall x, y, z, / text {if} xR_ {a} y / text {en} xR_ {a} z / text {, dan} yRz).
.2	(widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi) Confluent: (forall x, y, / text {if } xRy / text {en} xRy ', / text {then} bestaat z, yRz / text {en} y'Rz).
.3	((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} psi) rightarrow (widehat {K} _ {a} (varphi / wedge / widehat {K} _ {a} psi) vee / widehat {K} _ {a} (varphi / wedge / psi) vee / widehat {K} _ {a} (psi / wedge / widehat {K} _ {a } varphi))) Geen vertakking naar rechts: (forall x, y, z, / text {if} xRy / text {en} xRz, / text {then} yRz / text {of} y = z / text {or} zRy)
.3.2	((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} psi) rightarrow K_ {a} (widehat {K} _ {a} varphi / vee / psi)) Semi-Euclidische: (voor alle x, y, z,) als (xRy) en (xRz), dan (zRx) of (yRz).
.4	((varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi) rightarrow K_ {a} varphi) Onbekend voor auteurs: niet van toepassing

Tabel 1. Epistemische principes en hun framecondities.

Het toevoegen van epistemische principes als axioma's aan de minimale minimale normale modale logica K levert nieuwe, normale modale logica op. Een selectie is:

K	({ text {K} })
T	({ text {K}, / text {T} })
D	({ text {K}, / text {D} })
KD4	({ text {K}, / text {D}, / text {4} })
KD45	({ text {K}, / text {D}, / text {4}, / text {5} })
S4	({ text {K}, / text {T}, / text {4} })
S4.2	({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.2} })
S4.3	({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.3} })
S4.4	({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.4} })
S5	({ text {K}, / text {T}, / text {5} })

Tabel 2. Logische namen en axioma's

Verschillende axiomatische specificaties kunnen dezelfde logica opleveren. Merk bijvoorbeeld op dat de axiomatische specificatie van de tabel ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }) van S5 niet overeenkomt met die gegeven in de definitie voorafgaand aan Theorem 1, ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }). Merk ook op dat er meer dan één axiomatisatie is van S5: de axioma's ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }), ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }), ({ text {K}, / text {D}, / text {B}, / text {4} }) en ({ text {K}, / text {D}, / text {B}, / text {5} }) geven allemaal de S5logica (zie bv. Chellas 1980). Een vaak geziene variant is ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {5} }). Het is echter overbodig om het toe te voegen, aangezien alle instanties ervan kunnen worden bewezen uit K, T en 5. Maar aangezien zowel 4 als 5 belangrijke epistemische principes bevatten (zie paragraaf 2.6), wordt 4 soms soms opgenomen omwille van filosofische transparantie. Voor meer gelijkwaardigheid tussen modale logica, zie bijvoorbeeld de vermelding over modale logica of Chellas (1980) of Blackburn, de Rijke en Venema (2001).

Logica's kunnen sterker of zwakker zijn dan elkaar, en het kennen van de frameeigenschappen van hun axioma's kan ons helpen hun relatie te begrijpen. Omdat 4 bijvoorbeeld kan worden afgeleid van ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }), kunnen alle stellingen van S4 worden afgeleid in S5. S5 is dus minstens zo sterk als S4. In feite is S5 ook strikt sterker: het kan dingen bewijzen die S4 niet kan.

Dat S5 kan worden axiomatiseerd zowel door ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }) als ({ text {K}, / tekst {T}, / tekst {5} }) kan worden gezien door de frame-eigenschappen van de axioma's: elke reflexieve en euclidische relatie (T en 5) is een equivalentierelatie (T, B en 4). Dit toont ook de redundantie van 4 aan: als men een reflexieve en euclidische relatie heeft aangenomen, voegt het niets nieuws toe om er bovendien van uit te gaan dat het transitief is. In het algemeen is inzicht in het samenspel tussen relationele eigenschappen een grote hulp bij het zien van relaties tussen modale logica. Als u bijvoorbeeld opmerkt dat elke reflexieve relatie ook serieel is, betekent dit dat alle formules die geldig zijn voor de klasse van seriële modellen ook geldig zijn voor de klasse van reflexieve modellen. Daarom is elke stelling van D dus een stelling van T. Daarom is T minstens zo sterk als D (dwz (textbf {D} subseteq / textbf {T})). Dat T ook strikt sterker is (niet (textbf {T} subseteq / textbf {D})) kan worden aangetoond door een serieel, niet-reflexief model te vinden dat niet voldoet aan een bepaalde stelling van T (bijvoorbeeld (K_ {a} p / rightarrow p)).

2.6 Principes van kennis en overtuiging

Met de formele achtergrond van epistemische logica op zijn plaats, is het eenvoudig om het raamwerk enigszins te variëren om het concept van overtuiging te accommoderen. Keer terug naar de taal (mathcal {L} _ {KB}) van zowel kennis als overtuiging:

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} psi / mid B_ {a} psi, / text {voor} p / in / textit {Atoom}.)

Om kennis- en geloofsformules samen in puntige Kripke-modellen te interpreteren, is alles wat nodig is een aanvullende relatie tussen mogelijke werelden:

Definitie: Een puntig Kripke-model voor (mathcal {L} _ {KB}) is een tuple ((M, w) = (W, R_ {K}, R_ {B}, V, w)) waar

W is een niet-lege reeks mogelijke werelden,
(R_ {K}) en (R_ {B}) zijn een binaire relatie op W,
(V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) is een taxatie, en
(w / in W).

(R_ {K}) is de relatie voor de kennisoperator en (R_ {B}) de relatie voor de geloofsoperator. De definitie doet geen verdere veronderstellingen over hun eigenschappen. In onderstaande figuur geven we een illustratie, waarbij de pijlen gelabeld zijn in overeenstemming met de relatie waarmee ze corresponderen. De reflexieve lus op (w_ {3}) is een label dat aangeeft dat het tot beide relaties behoort, dwz ((w_ {3}, w_ {3}) in R_ {K}) en ((w_ {3}, w_ {3}) in R_ {B}).

Vier boxen met het label w1 (met 'p'), w2 (met 'niet p'), w3 (met 'p') en w4 (met 'niet p'). w1 is gemarkeerd en een pijl met het label 'K' gaat ervan naar w2. w2 heeft pijlen, elk met het label 'B', die wijzen naar w3 en w4. w3 heeft een pijl met het label 'K, B', die er een lus naar maakt

De tevredenheidsrelatie wordt gedefinieerd zoals hierboven, maar met de voor de hand liggende veranderingen voor kennis en overtuiging:

((M, w) vDash K_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) voor alle (w' / in W) zodat (wR_ {K } w ').

((M, w) vDash B_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) voor alle (w' / in W) zodat (wR_ {B } w ').

De interpreteerbaarheid interpretatie stelt zeer hoge eisen aan de toegankelijkheidsrelatie voor kennis. Deze zijn nu verwijderd en dat geldt ook voor elke toewijding aan de principes T, B, D, 4 en 5. Met Kripke-modellen als basissemantiek, zijn we nog steeds toegewijd aan K, hoewel dit principe niet onproblematisch is, zoals we hieronder zullen zien in onze bespreking van het probleem van logische alwetendheid.

Van de principes uit tabel 1 zijn T, D, B, 4 en 5 het meest uitgebreid besproken in de literatuur over epistemische logica, zowel als principes voor kennis als als principes voor geloof. Het principe T voor kennis

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

wordt algemeen aanvaard. Kennis wordt gewoonlijk als waarheidsgetrouw beschouwd, alleen een echte propositie kan bekend zijn. Voor bijvoorbeeld Hintikka (1962) en Fagin et al. (1995), het falen van T voor overtuiging is het bepalende verschil tussen de twee begrippen.

Hoewel de overtuiging niet vaak als waarheidsgetrouw wordt beschouwd, wordt de overtuiging doorgaans als consistent beschouwd. Dat wil zeggen, agenten worden verondersteld nooit de tegenstrijdigheid te geloven, dat wil zeggen, elke formule equivalent met ((p / wedge / neg p)) of (bot), kortom. Dat meent consistent te moeten zijn, wordt dan vastgelegd in het principe

(neg B_ {a} bot.)

Het principe (neg B_ {a} bot) is, op Kripke-modellen, equivalent aan het principe D, (B_ {a} varphi / rightarrow / widehat {B} _ {a} varphi). Vandaar dat de geldigheid van (neg B_ {a} bot) seriële frames vereist. Wees getuige van bijvoorbeeld het falen in (w_ {1}) hierboven: Aangezien er geen werelden zijn die toegankelijk zijn via (R_ {B}), voldoen alle toegankelijke werelden aan (bot). Daarom voldoet (w_ {1}) aan (B_ {a} bot), waardoor de consistentie wordt geschonden. Merk ook op dat (neg B_ {a} bot) kan worden herschreven naar (widehat {B} _ {a} top), wat waar is in een wereld voor het geval een wereld toegankelijk is tot en met (R_ {B}). De geldigheid ervan verzekert dus serialiteit.

Merk op dat de echtheid van kennis de consistentie ervan verzekert: elk reflexief frame wordt automatisch serieel. Daarom betekent het accepteren van (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) het accepteren van (neg K_ {a} bot).

Van de principes D, 4 en 5 hebben de laatste twee veruit de meeste aandacht gekregen, zowel voor kennis als voor geloof. Ze worden gewoonlijk geïnterpreteerd als bepalend voor principiële toegang tot eigen mentale toestanden. De 4 principes

(begin {align} K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi \\ B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} B_ {a} varphi \\ / einde {align})

worden vaak principes van positieve introspectie genoemd, of voor kennis het 'KK'-principe. Beide principes worden door bijvoorbeeld Hintikka (1962) aanvaardbaar geacht op andere gronden dan introspectie. Hij argumenteert op basis van een autoepistemische analyse van kennis, gebruikmakend van een niet-Kripkean mogelijke semantiek van werelden die modelsystemen worden genoemd. Hintikka is van mening dat wanneer een agent zich ertoe verbindt (varphi) te kennen, de agent zich ertoe verbindt dezelfde houding aan te nemen, ongeacht welke nieuwe informatie de agent in de toekomst zal tegenkomen. Dit houdt in dat in alle epistemische alternatieven van de agent voor Hintikka, alle modelsets (gedeeltelijke beschrijvingen van mogelijke werelden) waar de agent minstens zoveel weet als ze nu doen, weet de agent nog steeds (varphi). Aangezien (K_ {a} varphi) dus alle epistemische alternatieven van de agent bevat, concludeert Hintikka dat (K_ {a} K_ {a} varphi). Evenzo onderschrijft Hintikka 4 voor geloof, maar Lenzen maakt bezwaar (Lenzen 1978: hoofdstuk 4).

Williamson pleit tegen de algemene aanvaardbaarheid van het principe (Williamson 2000: ch. 5) voor een kennisconcept gebaseerd op enigszins onnauwkeurige waarnemingen, een zogenaamd foutmargeprincipe (zie bv. Aucher 2014 voor een korte samenvatting).

De 5 principes

(begin {align} neg K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} neg K_ {a} varphi \\ / neg B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} neg B_ {a} varphi \\ / end {align})

worden vaak principes van negatieve introspectie genoemd. Negatieve introspectie is nogal controversieel omdat het zeer hoge eisen stelt aan kennis en overtuiging. Het schema 5 kan worden gezien als een veronderstelling van een gesloten wereld (Hendricks 2005): De agent heeft een compleet overzicht van alle mogelijke werelden en eigen informatie. Als (neg / psi) mogelijk wordt geacht ((widehat {K} _ {a} neg / psi), dat wil zeggen (neg K_ {a} psi)), dan is de agent weet dat het mogelijk wordt geacht ((K_ {a} neg K_ {a} psi)). Een dergelijke gesloten wereldveronderstelling is natuurlijk bij het construeren van hyperrationele agenten in bijvoorbeeld informatica of speltheorie, waarbij wordt aangenomen dat de agenten zo hard en logisch mogelijk over hun eigen informatie redeneren bij het nemen van beslissingen.

Hintikka (1962) argumenteert tegen 5 en gebruikt zijn opvatting van epistemische alternatieven. Na T te hebben geaccepteerd voor kennis, staat of valt 5 met de aanname van een symmetrische toegankelijkheidsrelatie. Maar, stelt Hintikka, de toegankelijkheidsrelatie is niet symmetrisch: als de agent een bepaalde hoeveelheid informatie bezit op modelset (s_ {1}), dan is de modelset (s_ {2}) waar de agent iets heeft geleerd meer zal een epistemisch alternatief zijn voor (s_ {1}). Maar (s_ {1}) zal geen epistemisch alternatief zijn voor (s_ {2}), omdat in (s_ {1}) de agent volgens hypothese niet zoveel weet als in (s_ {2}). Vandaar dat de relatie niet symmetrisch is, dus 5 is geen kennisprincipe, volgens Hintikka's.

Gezien Hintikka's niet-standaard semantiek, is het een beetje moeilijk vast te stellen of hij een normale modale logica zou accepteren als de logica van kennis en overtuiging, maar als dat zo is, dan zouden S4 en KD4 de beste kandidaten zijn (zie Hendricks & Rendsvig 2018) voor dit punt). Von Kutschera daarentegen pleitte voor S4.4 (1976), Lenzen stelde S4.2 (1978) voor, van der Hoek pleitte voor S4.3 (1993) en Fagin, Halpern, Moses en Vardi (1995) en vele anderen gebruiken S5 voor kennis en KD45 voor geloof.

Naast principes die kennis beheersen en principes die geloof beheersen, kan men ook denken aan principes die het samenspel tussen kennis en overtuiging beheersen. Drie interessante principes zijn

(begin {align} tag * {KB1} K_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} varphi \\ / tag * {KB2} B_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} B_ {a} varphi \\ / tag * {KB3} B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

De principes KB1 en KB2 zijn geïntroduceerd door Hintikka, die zowel Hintikka (1962) onderschrijft als opmerkend dat Plato zich ook inzet voor KB1 in Theatetus. Het eerste principe, KB1, vat de intuïtie vast dat kennis een sterker idee is dan overtuiging. De tweede, zoals 4 en 5, omvat het idee dat men bevoorrechte toegang heeft tot zijn eigen overtuigingen. De derde, afkomstig uit Lenzen (1978), vat het idee vast dat overtuigingen met een bepaalde overtuiging worden vastgehouden: als iets wordt geloofd, wordt aangenomen dat het bekend is.

Hoewel de interactieprincipes KB1KB3 op zichzelf misschien onschuldig lijken, kunnen ze leiden tot contra-intuïtieve conclusies in combinatie met specifieke logica van kennis en overtuiging. Ten eerste laat Voorbraak (1993) zien dat het combineren van 5 voor kennis en D voor overtuiging met KB1 dat impliceert

[B_ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} varphi)

is een stelling van de resulterende logica. Ervan uitgaande dat kennis waar is, houdt deze stelling in dat agenten niet kunnen geloven dat ze iets weten dat onjuist is.

Als daarnaast KB3 wordt toegevoegd, storten de begrippen kennis en overtuiging in. Dat wil zeggen, het kan worden bewezen dat (B_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} varphi), wat in combinatie met KB1 inhoudt dat

[B_ {a} varphi / leftrightarrow K_ {a} varphi.)

Daarom zijn de twee begrippen tot één samengekomen. Dit werd in 1986 verklaard door Kraus en Lehmann.

Als men niet geïnteresseerd is in het instorten van kennis en geloof, moet men dus iets opgeven: men kan niet allebei 5 hebben voor kennis, D voor geloof en KB1 en KB3 die hun interactie beheersen. Nogmaals, resultaten betreffende de overeenstemming tussen principes en relatie-eigenschappen kunnen helpen: in 1993 toonde Van der Hoek op basis van een semantische analyse aan dat waar de vier principes gezamenlijk voldoende zijn om in te storten, er ook geen subset van is. Door een van de principes op te geven, wordt de ineenstorting geëlimineerd. Verzwakking van KB1 om alleen te gelden voor niet-modale formules is ook voldoende om ineenstorting te voorkomen (vgl. Halpern 1996).

Voor meer informatie over epistemische interactieprincipes, de principes.2,.3,.3.2. en.4, en relaties met zogenaamde voorwaardelijke overtuigingen, zie Aucher (2014). Zie Baltag en Smets (2008) voor een inleiding tot voorwaardelijke overtuigingen en relaties met verschillende andere soorten kennis uit de filosofische literatuur. Dit laatste omvat ook discussie over de interdefinieerbaarheid van verschillende noties, net als Halpern, Samet en Segev (2009) voor kennis en (niet-voorwaardelijke) overtuiging.

3. Kennis in groepen

Wij mensen zijn in beslag genomen door de epistemische toestanden van andere agenten. In het gewone leven redeneren we met wisselend succes over wat anderen weten. We zijn vooral bezorgd over wat anderen over ons weten, en vaak specifiek over wat ze weten over wat we weten.

Weet ze dat ik weet waar ze de schat heeft begraven?

Weet ze dat ik weet dat ze het weet?

Enzovoort.

Epistemische logica kan interessante epistemische kenmerken onthullen van systemen waarbij groepen agenten betrokken zijn. In sommige gevallen zijn opkomende sociale verschijnselen bijvoorbeeld afhankelijk van agenten die op bepaalde manieren redeneren over de kennis en overtuigingen van andere agenten. Zoals we hebben gezien, waren traditionele systemen van epistemische logica alleen van toepassing op individuele gevallen. Ze kunnen echter relatief eenvoudig worden uitgebreid naar groepen of systemen met meerdere agents.

Zoals David Lewis opmerkte in zijn boek Convention (1969), hangen veel prominente kenmerken van het sociale leven af van agenten die aannemen dat de regels van een bepaalde praktijk algemeen bekende zaken zijn. Bestuurders weten bijvoorbeeld dat een rood verkeerslicht aangeeft dat ze bij een kruispunt moeten stoppen. Om de conventie van verkeerslichten helemaal te hebben, is het echter eerst noodzakelijk dat chauffeurs ook weten dat andere chauffeurs weten dat rood betekent stop. Daarnaast moeten chauffeurs ook weten dat iedereen weet dat iedereen dat weet…. De conventionele rol van verkeerslichten is afhankelijk van het feit dat alle chauffeurs weten dat alle chauffeurs de regel kennen, dat de regel een algemeen bekend gegeven is.

Een verscheidenheid aan normen, sociale en taalpraktijken, interacties tussen agenten en games veronderstellen algemene kennis, eerst geformaliseerd door Aumann (1976) en met de eerste epistemische logische behandelingen door Lehmann (1984) en Halpern en Moses (1984). Om te zien hoe epistemische logica deze fenomenen belicht, is het nodig om wat meer formalisme te introduceren. Na de standaardbehandeling (zie bv. Fagin et al. 1995), kunnen we de taal van de propositielogica syntactisch uitbreiden met n kennisoperatoren, één voor elke agent die betrokken is bij de groep van agenten in kwestie. Het belangrijkste verschil tussen de gegeven semantiek voor een mono-agent en een multi-agent semantiek is ruwweg dat n toegankelijkheidsrelaties worden geïntroduceerd. Een modaal systeem voor n agenten wordt verkregen door n modale logica samen te voegen, waarbij voor de eenvoud kan worden aangenomen dat de agenten homogeen zijn in die zin dat ze allemaal kunnen worden beschreven door hetzelfde logische systeem. Een epistemische logica voor n agents bestaat uit n kopieën van een bepaalde modale logica. In zo'n uitgebreide epistemische logica is het mogelijk om uit te drukken dat een of andere agent in de groep een bepaald feit weet dat een agent weet dat een andere agent een feit weet etc. Het is mogelijk om de logica nog verder te ontwikkelen: niet alleen mag een agent weten dat een andere agent weet een feit, maar misschien weten ze dit allemaal tegelijkertijd. In zo'n uitgebreide epistemische logica is het mogelijk om uit te drukken dat een of andere agent in de groep een bepaald feit weet dat een agent weet dat een andere agent een feit weet etc. Het is mogelijk om de logica nog verder te ontwikkelen: niet alleen mag een agent weten dat een andere agent weet een feit, maar misschien weten ze dit allemaal tegelijkertijd. In zo'n uitgebreide epistemische logica is het mogelijk om uit te drukken dat een of andere agent in de groep een bepaald feit weet dat een agent weet dat een andere agent een feit weet etc. Het is mogelijk om de logica nog verder te ontwikkelen: niet alleen mag een agent weten dat een andere agent weet een feit, maar misschien weten ze dit allemaal tegelijkertijd.

3.1 Multi-agent talen en modellen

Om kennis voor een set (mathcal {A}) n agenten weer te geven, laten we eerst een taal specificeren. Laat (mathcal {L} _ {Kn}) worden gegeven door het Backus-Naur-formulier

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {i} varphi \, / text {for} p / in / textit {Atom}, i / in / mathcal {A}.)

Om kennis voor alle n agenten gezamenlijk te vertegenwoordigen in puntige Kripke-modellen, is het enige dat nodig is om voldoende relaties toe te voegen:

Definitie: Een puntig Kripke-model voor (mathcal {L} _ {Kn}) is een tuple ((M, w) = (W, {R_ {i} } _ {i / in / mathcal { A}}, V, w)) waar

W is een niet-lege reeks mogelijke werelden,
Voor elke (i / in / mathcal {A}) is (R_ {i}) een binaire relatie op W,
(V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) is een taxatie, en
(w / in W).

Om ook overtuigingen op te nemen, past u gewoon dezelfde beweging toe als in het geval van een enkele agent: vergroot de taal en laat voor elke agent twee relaties bestaan.

De definitie gebruikt een familie van relaties ({R_ {i} } _ {i / in / mathcal {A}}). In de literatuur wordt hetzelfde aangeduid als ((W, R_ {i}, V, w) _ {i / in / mathcal {A}}). Als alternatief wordt R beschouwd als een functie die agents naar relaties stuurt, dwz (R: / mathcal {A / rightarrow} mathcal {P} (W / times W)). Dan is voor elke (i / in / mathcal {A}), (R (i)) een relatie op W, vaak aangeduid als (R_ {i}). Dit zijn stilistische keuzes.

Wanneer slechts één agent wordt overwogen, is het doorgaans niet relevant om meer werelden in W op te nemen dan er mogelijke waarderingen van atomen zijn. In multi-agent-gevallen is dit niet het geval: om de verschillende vormen van beschikbare kennis van hogere orde uit te drukken, zijn er veel exemplaren van 'dezelfde' wereld nodig. Laten we een voorbeeld geven voor (mathcal {A} = {a, b }), (textit {Atom} = {p }) en elk (R_ {i}, i / in / mathcal {A},) een equivalentierelatie. Laten we stellen dat zowel a als b p kennen, maar b niet weet dat a p kent, dat wil zeggen (K_ {a} p / wedge K_ {b} p / wedge / neg K_ {b} K_ {a} p). Dan hebben we drie werelden nodig:

Drie boxen met het label w1 (met 'p'), w2 (met 'p') en w3 (met 'niet p'). Elke doos heeft een pijl met het label 'a, b' die er naar terug loopt. w1 is gemarkeerd en is verbonden met w2 door een dubbele pijl met het label 'b'. w2 is verbonden met w3 door een dubbele pijl met het label 'a'

Als we proberen (w_ {1}) de rol van (w_ {2}) te laten spelen, dan verliest a kennis in p: beide p-werelden zijn nodig. In het algemeen, als wordt aangenomen dat W een vaste, eindige grootte heeft, zal er een informatieformule van hogere orde zijn waaraan niet kan worden voldaan.

3.2 Noties van groepskennis

Systemen met meerdere agents zijn interessant om andere redenen dan om informatie van hogere orde weer te geven. De informatie van de individuele agenten kan ook worden samengevoegd om vast te leggen wat de agenten gezamenlijk weten, als groepskennis (zie Baltag, Boddy & Smets 2018 voor een recente discussie). Een standaardbegrip is dat deze stijl gedistribueerde kennis is: de kennis die de groep zou hebben als de agenten al hun individuele kennis zouden delen. Om het weer te geven, vergroot u de taal (mathcal {L} _ {Kn}) met operators

[D_ {G} text {voor} G / subseteq / mathcal {A},)

om van (D_ {G} varphi) een goedgevormde formule te maken. Waar (G / subseteq / mathcal {A}) een groep agenten is, leest de formule (D_ {G} varphi) dat het gedistribueerde kennis is in de groep G dat (varphi).

Om (D_ {G} varphi) te evalueren, definiëren we een nieuwe relatie van degenen die al in het model aanwezig zijn. Het idee achter de definitie is dat als een bepaalde agent een wereld heeft geëlimineerd als een epistemisch alternatief, dan zal de groep dat ook doen. Definieer de relatie als het snijpunt van de relaties van de individuele agenten:

[R_ {G} ^ {D} = / bigcap_ {i / in G} R_ {i})

In het driestatenmodel bevat (R_ {G} ^ {D}) alleen de drie lussen. Gebruik voor het evalueren van een gedistribueerde kennisformule hetzelfde formulier als voor andere modale operatoren:

[(M, w) vDash D_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {voor alle} w' / in W / text {zodanig dat} wR_ {G } ^ {D} w '.)

Het kan zijn dat een of andere zeer verstandige agent alles weet wat gedistribueerde kennis in G is, maar dit is niet gegarandeerd. Om vast te leggen dat alle agenten (varphi) kennen, kunnen we de combinatie van de formules (K_ {i} varphi) gebruiken voor (in / mathcal {A}), dwz (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi). Dit is een goed gedefinieerde formule als (mathcal {A}) eindig is (wat het meestal is). Als (mathcal {A}) niet eindig is, dan is (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi) geen formule in (mathcal {L} _ {Kn}), omdat het alleen eindige voegwoorden heeft. Als een afkorting voor (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi), is het standaard om de "iedereen kent" -operator te introduceren, (E_ {G}):

[E_ {G} varphi: = / bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi.)

In het drie-wereldmodel, (K_ {a} p / wedge K_ {b} p), dus (E _ { {a, b }} p).

Dat iedereen iets weet, wil niet zeggen dat deze kennis wordt gedeeld tussen de leden van de groep. Het drie-wereldmodel is hiervan een voorbeeld: hoewel (E _ { {a, b }} p), is het ook zo dat (neg K_ {b} E _ { {a, b }} p).

Om vast te leggen dat er in de groep geen onzekerheid bestaat over (varphi), noch dat er hogere onzekerheid bestaat over het feit dat (varphi) bekend is bij alle agenten, geen formule in de taal (mathcal {L} _ { Kn}) is genoeg. Overweeg de formule

[E_ {G} ^ {k} varphi)

waarbij (E_ {G} ^ {k}) een afkorting is voor herhalingen van de (E_ {G}) -operator. Dan is voor geen natuurlijk getal k de formule (E_ {G} ^ {k} varphi) voldoende: het kan zijn dat b het niet weet! Om deze situatie recht te zetten, zou je kunnen proberen

(bigwedge_ {k / in / mathbb {N}} E_ {G} ^ {k} varphi)

maar dit is geen formule omdat (mathcal {L} _ {Kn}) alleen eindige voegwoorden bevat.

Dus hoewel de operator (E_ {G}) kan worden gedefinieerd in de taal (mathcal {L} _ {Kn}), is een geschikt begrip van algemene kennis dat niet. Daarvoor moeten we opnieuw een nieuwe relatie op ons model definiëren. Deze keer zijn we geïnteresseerd in het vastleggen dat niemand (varphi) epistemisch overal mogelijk acht. Om de relatie op te bouwen, nemen we daarom eerst de vakbond de relaties van alle agenten in G, maar dit is niet helemaal genoeg: om de standaard modale semantische clausule te gebruiken, moeten we ook alle werelden in deze relatie kunnen bereiken in een enkele stap. Laten we daarom

[R_ {G} ^ {C}: = / left (bigcup_ {i / in G} R_ {i} right) ^ {*})

waarbij ((cdotp) ^ {*}) de bewerking is waarbij de transitieve sluiting wordt genomen. Als R een relatie is, dan is ((R) ^ {*}) R plus alle paren die ontbreken om van R een transitieve relatie te maken. Overweeg het drie-wereldmodel: met de relatie (bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}) kunnen we (w_ {3}) bereiken vanuit (w_ {1}) in twee stappen stoppen bij (w_ {2}). Met ((bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}) ^ {*}) is (w_ {3}) in één stap bereikbaar: door de nieuw toegevoegde transitieve link van (w_ {1}) tot (w_ {3}).

Om algemene kennis te vertegenwoordigen, vergroot u de Backus-Naur-vorm van (mathcal {L} _ {Kn}) met operators

[C_ {G} text {voor} G / subseteq / mathcal {A},)

om van (C_ {G} varphi) een goedgevormde formule te maken. Evalueer dergelijke formules aan de hand van de semantische clausule

[(M, w) vDash C_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {voor alle} w' / in W / text {zodanig dat} wR_ {G } ^ {C} w '.)

Het variëren van de eigenschappen van de toegankelijkheidsrelaties (R_ {1}, R_ {2}, / ldots, R_ {n}), zoals hierboven beschreven, resulteert in verschillende epistemische logica's. Zo wordt systeem K met algemene kennis bepaald door alle frames, terwijl systeem S4 met algemene kennis wordt bepaald door alle reflexieve en transitieve frames. Vergelijkbare resultaten kunnen worden verkregen voor de resterende epistemische logica (Fagin et al. 1995). Raadpleeg voor meer informatie de vermelding over algemene kennis.

4. Logische alwetendheid

De belangrijkste klacht tegen de aanpak van epistemische logici is dat zij zich inzet voor een te geïdealiseerd beeld van de menselijke redenering. Critici hebben zich zorgen gemaakt dat de relationele semantiek van epistemische logica iemand tot een afsluitende eigenschap verplicht voor de kennis van een agent die ongeloofwaardig sterk is gezien de feitelijke menselijke redeneervaardigheden. De sluitingseigenschappen geven aanleiding tot wat tegenwoordig het probleem van de logische alwetendheid wordt genoemd:

Wanneer een agent c alle formules in een set (Gamma) kent en A logisch volgt uit (Gamma), kent c ook A.

In het bijzonder kent c alle stellingen (verhuur (Gamma = / emptyset)) en kent alle logische gevolgen van elke formule waarvan de agent weet (laten (Gamma) bestaan uit één formule). De zorg is hier dat eindige agenten worden beperkt door beperkingen op hun cognitieve capaciteiten en redeneervermogen. Het verslag van kennis en overtuiging waar epistemische logica zich toe lijkt te verbinden, omvat bovenmenselijke vermogens zoals het kennen van alle tautologieën. De zorg is dus dat epistemische logica gewoon niet geschikt is om feitelijke kennis en overtuiging vast te leggen zoals deze begrippen in het gewone menselijke leven voorkomen.

Hintikka erkende een discrepantie tussen de regels van de epistemische logica en de manier waarop het werkwoord 'weten' gewoonlijk al wordt gebruikt in de eerste pagina's van Knowledge and Belief. Hij wees erop

het is duidelijk ontoelaatbaar om "hij weet dat q" uit "hij weet dat p" af te leiden uitsluitend op grond van het feit dat q logisch volgt uit p, want de persoon in kwestie ziet misschien niet in dat p q inhoudt, vooral als p en q zijn relatief gecompliceerde verklaringen. (1962: 30-31)

Hintikka's eerste reactie op wat later het probleem van logische alwetendheid werd genoemd, was om de discrepantie tussen gewoon gebruik van termen als 'consistentie' en formele kennisbehandelingen te zien als een indicatie van een probleem met onze gewone terminologie. Als een persoon de axioma's van een wiskundige theorie kent, maar de verre gevolgen van de theorie niet kan zeggen, ontkende Hintikka dat het gepast is om die persoon inconsequent te noemen. In gewone menselijke aangelegenheden, beweerde Hintikka, heeft de beschuldiging van inconsistentie wanneer het gericht is op een agent de connotatie dat het irrationeel of oneerlijk is. Daarom moeten we vanuit Hintikka's perspectief een andere term kiezen om de situatie vast te leggen van iemand die rationeel is en vatbaar voor overreding of correctie, maar niet logisch alwetend. Niet alwetend,rationele agenten kunnen zeggen dat "ik weet dat p maar ik weet niet of q" zelfs als q kan p. Vervolgens stelt hij voor dat q als verdedigbaar moet worden beschouwd, gezien de kennis van de agent en de ontkenning van q als onverdedigbaar moet worden beschouwd. Deze keuze van terminologie werd bekritiseerd voor zover ze het pejoratieve onverdedigbaar maakt voor een bepaalde propositie, ook al ligt de fout in feite in de cognitieve capaciteiten van de agent (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).ook al ligt de fout eigenlijk in de cognitieve capaciteiten van de agent (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).ook al ligt de fout eigenlijk in de cognitieve capaciteiten van de agent (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).

Hintikka's vroege epistemische logica kan worden begrepen als een manier van redeneren over wat impliciet is in de kennis van een agent, zelfs in gevallen waarin de agent zelf niet kan bepalen wat impliciet is. Een dergelijke benadering loopt het risico overmatig geïdealiseerd te worden en de relevantie ervan voor het begrijpen van menselijke epistemische omstandigheden kan op deze gronden in twijfel worden getrokken.

Weinig filosofen waren tevreden met de poging van Hintikka om ons gewone gebruik van de term 'consistent' te herzien, zoals hij het in Knowledge and Belief presenteerde. Hij en anderen zorgden echter al snel voor meer populaire manieren om met logische alwetendheid om te gaan. In de jaren zeventig introduceerden reacties op het probleem van logische alwetendheid semantische entiteiten die verklaren waarom de agent lijkt te zijn, maar in feite niet echt schuldig is aan logische alwetendheid. Hintikka noemde deze entiteiten 'onmogelijke mogelijke werelden' (1979; zie ook de vermelding over onmogelijke werelden en Jago 2014). Het basisidee is dat een agent ten onrechte tot de werelden behoort die consistent zijn met zijn kennis, sommige werelden bevatten logische tegenstellingen. De fout is simpelweg een product van de beperkte middelen van de agent;de agent is mogelijk niet in staat de tegenstrijdigheid te detecteren en kan ze ten onrechte als echte mogelijkheden beschouwen. In sommige opzichten kan deze benadering worden opgevat als een uitbreiding van de bovengenoemde reactie op logische alwetendheid die Hintikka al had uiteengezet in Kennis en Geloof.

In dezelfde geest worden entiteiten die 'schijnbaar mogelijke' werelden worden genoemd, door Rantala (1975) geïntroduceerd in zijn urn-model analyse van logische alwetendheid. Het toestaan van onmogelijke mogelijke werelden of schijnbaar mogelijke werelden waarin de semantische waardering van de formules tot op zekere hoogte willekeurig is, biedt een manier om de verschijning van logische alwetendheid minder bedreigend te maken. Immers, bij elk realistisch verhaal van epistemische keuzevrijheid zal de agent waarschijnlijk (zij het onbedoeld) werelden overwegen waarin de wetten van de logica niet gelden. Aangezien er geen echte epistemische principes zijn die breed genoeg zijn om onmogelijke en schijnbaar mogelijke werelden te omvatten, moeten sommige voorwaarden zodanig worden toegepast op epistemische modellen dat ze samenvallen met epistemische principes (zie voor kritiek op deze benadering Jago 2007: 336-337).

Als alternatief voor het ontwerpen van logica waarin de kennisoperators geen logische alwetendheid vertonen, biedt bewustzijnslogica een alternatief: Verander de interpretatie van (K_ {a} varphi) van "a weet dat (varphi)" naar "a weet impliciet dat (varphi)”en neem expliciete kennis dat (varphi) impliciete kennis is die (varphi) en het bewustzijn van (varphi). Met een bewustzijn dat niet gesloten is vanwege een logisch gevolg, maakt een dergelijke beweging het mogelijk expliciete kennis te creëren die niet logisch alwetend is. Aangezien agenten hun impliciete kennis niet hoeven te berekenen en ook niet verantwoordelijk kunnen worden gehouden voor het beantwoorden van vragen die daarop zijn gebaseerd, is logische alwetendheid alleen problematisch voor expliciete kennis, waardoor het probleem van logische alwetendheid wordt voorkomen. Hoewel logische alwetendheid een epistemologische voorwaarde is voor impliciete kennis,de agent zelf kan deze toestand mogelijk niet realiseren. Voor meer informatie over bewustzijnslogica, zie bijvoorbeeld de baanbrekende Fagin & Halpern (1987) of Velazquez-Quesada (2011) en Schipper (2015) voor overzichten.

Debatten over de verschillende soorten idealisering die betrokken zijn bij epistemische logica zijn aan de gang in zowel filosofische als interdisciplinaire contexten.

Bibliografie

Arló-Costa, Horacio, Vincent F. Hendricks en Johan van Benthem (red.), 2016, Readings in Formal Epistemology, Cham: Springer International Publishing. doi: 10.1007 / 978-3-319-20451-2
Artemov, Sergei en Elena Nogina, 2005, "Introducing Motivering into Epistemic Logic", Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059-1073. doi: 10.1093 / logcom / exi053
Aucher, Guillaume, 2014, "Principles of Knowledge, Belief and Conditional Belief", in Interdisciplinary Works in Logic, Epistemology, Psychology and Linguistics: Dialogue, Rationality, and Formalism, Manuel Rebuschi, Martine Batt, Gerhard Heinzmann, Franck Lihoreau, Michel Musiol, en Alain Trognon (red.), Cham: Springer International Publishing, 97–134. doi: 10.1007 / 978-3-319-03044-9_5
Aumann, Robert J., 1976, 'Akkoord gaan met oneens', The Annals of Statistics, 4 (6): 1236–1239. Herdrukt in Arló-Costa, Hendricks en van Benthem 2016: 859–862. doi: 10.1214 / aos / 1176343654, doi: 10.1007 / 978-3-319-20451-2_40
Baltag, A., R. Boddy en S. Smets, 2018, 'Group Knowledge in Interrogative Epistemology', in van Ditmarsch en Sandu 2018: 131–164. doi: 10.1007 / 978-3-319-62864-6_5
Baltag, Alexandru en Sonja Smets, 2008, "A Qualitative Theory of Dynamic Interactive Belief Revision", in Logic and the Foundations of Game and Decision Theory (LOFT 7), G. Bonanno, W. van der Hoek, en M. Wooldridge (eds.) (Texts in Logic and Games, Vol. 3), Amsterdam: Amsterdam University Press, 9-58.
Benthem, Johan van, 2006, "Epistemic Logic and Epistemology: The State of Their Affairs", Philosophical Studies, 128 (1): 49–76. doi: 10.1007 / s11098-005-4052-0
–––, 2011, Logical Dynamics of Information and Interaction, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511974533
Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke en Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9781107050884
Boër, Steven E. en William G. Lycan, 1986, Knowing Who, Cambridge, MA: MIT Press.
Boh, Ivan, 1993, Epistemic Logic in the Later Middle Ages, (Topics in Medieval Philosophy), Londen / New York: Routledge.
Chellas, Brian F., 1980, Modal Logic: An Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
Chisholm, Roderick M., 1963, 'The Logic of Knowing', The Journal of Philosophy, 60 (25): 773–795. doi: 10.2307 / 2022834
Ditmarsch, Hans van, Joseph Y. Halpern, Wiebe van der Hoek en Barteld Kooi (red.), 2015, Handbook of Epistemic Logic, London: College Publications.
Ditmarsch, Hans van, Wiebe van der Hoek en Barteld Kooi, 2007, Dynamic Epistemic Logic, Dordrecht: Springer Netherlands. doi: 10.1007 / 978-1-4020-5839-4
Ditmarsch, Hans van en Gabriel Sandu (red.), 2018, Jaakko Hintikka over kennis en gametheoretische semantiek, (Outstanding Contributions to Logic, 12), Cham: Springer International Publishing. doi: 10.1007 / 978-3-319-62864-6
Fagin, Ronald en Joseph Y. Halpern, 1987, 'Belief, Awareness, and Limited Reasoning', Artificial Intelligence, 34 (1): 39–76. doi: 10.1016 / 0004-3702 (87) 90003-8
Fagin, Ronald, Joseph Y. Halpern, Yoram Moses en Moshe Y. Vardi, 1995, Reasoning About Knowledge, Cambridge, MA: The MIT Press.
Gochet, Paul en Pascal Gribomont, 2006, "Epistemic Logic", in Handbook of the History of Logic, 7, Amsterdam: Elsevier, 99–195. doi: 10.1016 / S1874-5857 (06) 80028-2
Halpern, Joseph Y., 1996, "Moet kennis overtuigen?", Journal of Philosophical Logic, 25 (5): 483–494. doi: 10.1007 / BF00257382
Halpern, Joseph Y., Dov Samet en Ella Segev, 2009, "Kennis definiëren in termen van geloof: het modale logische perspectief", The Review of Symbolische logica, 2 (3): 469-487. doi: 10.1017 / S1755020309990141
Halpern, Joseph Y. en Yoram Moses, 1984, "Knowledge and Common Knowledge in a Distributed Environment", in Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Principles of Distributed Computing (PODC '84), Vancouver, British Columbia, Canada, ACM Press, 50-61. doi: 10.1145 / 800222.806735
Hendricks, Vincent F., 2005, Mainstream and Formal Epistemology, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511616150
Hendricks, Vincent F. en Rasmus K. Rendsvig, 2018, 'Hintikka's Knowledge and Belief in Flux', in van Ditmarsch en Sandu 2018: 317–337. doi: 10.1007 / 978-3-319-62864-6_13
Hendricks, Vincent F. en John Symons, 2006, “Waar is de brug? Epistemology and Epistemic Logic”, Philosophical Studies, 128 (1): 137–167. doi: 10.1007 / s11098-005-4060-0
Hintikka, Jaakko, 1962 [2005], Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions, tweede editie, Vincent F. Hendriks en John Symons (eds.), (Texts in Philosophy, 1), London: College Publications.
–––, 1969, "Semantics for Propositionele Attitudes", in Philosophical Logic, JW Davis, DJ Hockney en WK Wilson (red.), Dordrecht: Springer Nederland, 21–45. doi: 10.1007 / 978-94-010-9614-0_2
–––, 1978, "Impossible Possible Worlds Rechtvaardigd", in Game-Theoretical Semantics, Esa Saarinen (red.) (SLAP 5), Dordrecht: Springer Nederland, 367–379. doi: 10.1007 / 978-1-4020-4108-2_13
–––, 2007, "Epistemology without Knowledge and without Belief", in Socratic Epistemology: Explorations of Knowledge-Seeking by Questioning, Cambridge: Cambridge University Press, 11–37. doi: 10.1017 / CBO9780511619298.002
Hintikka, Jaakko en John Symons, 2003, "Systems of Visual Identification in Neuroscience: Lessons from Epistemic Logic", Philosophy of Science, 70 (1): 89–104. doi: 10.1086 / 367871
Hocutt, Max O., 1972, "Is epistemische logica mogelijk?", Notre Dame Journal of Formal Logic, 13 (4): 433–453. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093890705
Hoek, Wiebe van der, 1993, "Systems for Knowledge and Belief", Journal of Logic and Computation, 3 (2): 173–195. doi: 10.1093 / logcom / 3.2.173
Holliday, Wesley H., 2018, 'Epistemic Logic and Epistemology', in Introduction to Formal Philosophy, Sven Ove Hansson en Vincent F. Hendricks (red.), Cham: Springer International Publishing, 351–369. doi: 10.1007 / 978-3-319-77434-3_17
Jago, Mark, 2007, "Hintikka en Cresswell over logische alwetendheid", Logica en logische filosofie, 15 (4): 325–354. doi: 10.12775 / LLP.2006.019
–––, 2014, The Impossible: An Essay on Hyperintensionality, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780198709008.001.0001
Knuuttila, Simo, 1993, Modalities in Medieval Philosophy, (Topics in Medieval Philosophy), New York: Routledge.
Kraus, Sarit en Daniel Lehmann, 1986, "Knowledge, Belief and Time", in Automata, Languages and Programming, Laurent Kott (red.), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 186–195.
Kutschera, Franz von, 1976, Einführung in Die Intensionale Semantik, (De Gruyter Studienbuch: Grundlagen Der Kommunikation), Berlijn / New York: De Gruyter.
Lehmann, Daniel, 1984, "Knowledge, Common Knowledge and Related Puzzles (Extended Summary)", Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Principles of Distributed Computing (PODC '84), 62–67. doi: 10.1145 / 800222.806736
Lenzen, Wolfgang, 1978, Recent werk in epistemische logica, (Acta Philosophica Fennica, 30), Amsterdam: North Holland Publishing Company.
–––, 1980, Glauben, Wissen Und Wahrscheinlichkeit: Systeme Der Epistemischen Logik, (Bibliotheek Exacte Filosofie, 12), Wien: Springer.
Lewis, David K., 1969, Convention: A Philosophical Study, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Meyer, John-Jules Ch, 2001, "Epistemic Logic", in The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Lou Goble (red.), Oxford: John Wiley & Sons, 183–202.
Meyer, John-Jules Ch. en Wiebe van der Hoek, 1995, Epistemic Logic for AI and Computer Science, (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 41), Cambridge: Cambridge University Press.
Rantala, Veikko, 1975, "Urn-modellen: een nieuw soort niet-standaardmodel voor eerste-orde-logica", Journal of Philosophical Logic, 4 (4): 455–474. doi: 10.1007 / BF00558760
Rendsvig, Rasmus K., 2012, "Modelling Semantic Competence: A Critical Review of Frege's Puzzle about Identity", in New Directions in Logic, Language and Computation, Daniel Lassiter en Marija Slavkovik (red.), Berlin / Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 140–157. doi: 10.1007 / 978-3-642-31467-4_10
Renne, Bryan, 2008, "Dynamic Epistemic Logic with Motivering", Ph. D. Scriptie, New York: City University of New York.
Schipper, Burkhard C., 2015, "Awareness", in Ditmarsch et al. 2015: 77–146.
Stalnaker, Robert, 2006, 'On Logics of Knowledge and Belief', Philosophical Studies, 128 (1): 169–199. doi: 10.1007 / s11098-005-4062-y
Velazquez-Quesada Fernando Raymundo, 2011, "Small Steps in Dynamics of Information", Ph. D. Scriptie, Instituut voor Logica, Taal en Computatie, Universiteit van Amsterdam.
Voorbraak, Franciscus Petrus Johannes Maria, 1993, "Voor zover ik weet: epistemische logica en onzekerheid", Ph. D. Scriptie, Departement Filosofie, Universiteit Utrecht.
Wang, Yanjing, 2015, "A Logic of Knowing How", in Logic, Rationality, and Interaction, Wiebe van der Hoek, Wesley H. Holliday, en Wen-fang Wang (red.), Berlijn, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 392-405. doi: 10.1007 / 978-3-662-48561-3_32
–––, 2018, “Beyond Knowing That: A New Generation of Epistemic Logics”, in van Ditmarsch en Sandu 2018: 499–533. doi: 10.1007 / 978-3-319-62864-6_21
Williamson, Timothy, 2000, Knowledge and Its Limits, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / 019925656X.001.0001
Wright, Georg Henrik von, 1951, An Essay in Modal Logic, (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics), Amsterdam: North-Holland Publishing Company.

Academische hulpmiddelen

sep man pictogram	Hoe deze vermelding te citeren.
sep man pictogram	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
inpho icoon	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papieren pictogram	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

Hintikka's World, een grafisch, pedagogisch hulpmiddel om te leren over epistemische logica, redeneren van hogere orde en kennisdynamiek.
Modal Logic Playground, een grafische interface voor het tekenen en evalueren van formules van modale propositionele logica.
Hendricks, Vincent en John Symons, "Epistemic Logic", Stanford Encyclopedia of Philosophy (lente 2019 editie), Edward N. Zalta (red.), URL = . [Dit was het vorige bericht over dit onderwerp in de Stanford Encyclopedia of Philosophy - zie de versiegeschiedenis.]