Substructurele Logica

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Substructurele logica

Voor het eerst gepubliceerd op 4 juli 2000; inhoudelijke herziening wo 21 feb.2018

Substructurele logica's zijn niet-klassieke logica zwakker dan klassieke logica, opmerkelijk vanwege het ontbreken van structurele regels in de klassieke logica. Deze logica is ingegeven door overwegingen uit de filosofie (relevante logica), taalkunde (de Lambek-calculus) en informatica (lineaire logica). Daarnaast zijn technieken uit substructurele logica nuttig bij de studie van traditionele logica zoals klassieke en intuïtionistische logica. Dit artikel geeft een kort overzicht van het gebied van de substructurele logica. Voor een meer gedetailleerde introductie, compleet met stellingen, bewijzen en voorbeelden, kan de lezer de boeken en artikelen in de bibliografie raadplegen.

• 1. Residuatie
• 2. Logica in het gezin
• 3. Bewijssystemen
• 4. Semantiek
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Residuatie

Logica gaat over een logisch gevolg. Als gevolg hiervan is het voorwaardelijke een centraal begrip in de logica vanwege de intieme verbinding met logisch gevolg. Deze connectie wordt netjes uitgedrukt in de residuatieconditie (ook bekend als de aftrekstelling):

[p, q / vdash r / text {als en alleen als} p / vdash q / rightarrow r)

Er staat dat (r) volgt uit (p) samen met (q) net wanneer (q / rightarrow r) alleen volgt uit (p). De geldigheid van de overgang van (q) naar (r) (gegeven (p)) wordt vastgelegd door de voorwaardelijke (q / rightarrow r).

Dit verband tussen het voorwaardelijke en het gevolg wordt naar analogie met het geval in de wiskunde residuatie genoemd. Overweeg het verband tussen optellen en aftrekken. (a + b = c) als en alleen als (a = c - b). Het resulterende (a) (dat is (c - b)) is het residu, wat overblijft van (c) wanneer (b) wordt weggenomen. Een andere naam voor deze verbinding is de deductiestelling.

Daar houdt het verband tussen gevolg en het voorwaardelijke echter een extra factor in. Er is niet alleen het tourniquet, voor logisch gevolg, en het voorwaardelijke, coderende gevolg binnen de taal van proposities, er is ook de komma, die de combinatie van premissen aangeeft. We hebben "(p, q / vdash r)" gelezen als "(r) volgt uit (p) samen met (q)". Gebouwen combineren is een manier om ze samen te brengen. Maar hoe kunnen we ze samenbrengen? Het blijkt dat er verschillende manieren zijn om dit te doen, en dus verschillende substructurele logica. Het gedrag van een premisse-combinatie varieert naargelang het gedrag van de voorwaardelijke. In deze inleiding bekijken we enkele voorbeelden hiervan.

1.1 Verzwakking

Het is één ding dat (p) waar is. Een andere is dat de voorwaardelijke (q / rightarrow p) waar is. Maar als '(rightarrow)' een materiële voorwaardelijke is, volgt (q / rightarrow p) uit (p). Om veel verschillende redenen willen we misschien begrijpen hoe een conditioneel zou kunnen werken zonder deze gevolgtrekking. Dit hangt samen met het gedrag van een premisse-combinatie, zoals blijkt uit deze demonstratie.

(cfrac {p / vdash p} { cfrac {p, q / vdash p} {p / vdash q / rightarrow p}})

Uit de axiomatische (p / vdash p) (alles volgt uit zichzelf) leiden we af dat (p) volgt uit (p) samen met (q), en vervolgens door residu, (p / vdash q / rightarrow p). Als we de gevolgtrekking van (p) tot (q / rightarrow p) willen verwerpen, dan verwerpen we ofwel residuatie, of verwerpen we het identiteits axioma aan het begin van de proef, of we verwerpen de eerste stap van de proef. Het is verhelderend om te bedenken wat er bij deze laatste optie komt kijken. Hier moeten we ontkennen dat (p) volgt uit (p, q). Over het algemeen moeten we de gevolgtrekkingsregel met deze vorm afwijzen:

(frac {X / vdash A} {X, Y / vdash A})

Dit wordt de verzwakkingsregel genoemd. De regel gaat van een sterkere verklaring, dat (A) volgt uit (X) naar een mogelijk zwakkere, dat (A) volgt uit (X) samen met (Y).

Mensen hebben verschillende redenen gegeven om de verzwakkingsregel af te wijzen, afhankelijk van de interpretatie van consequentie en premissecombinatie. Een van de eerste motiverende voorbeelden komt voort uit bezorgdheid over relevantie. Als de logica relevant is (om te zeggen dat (p) met zich meebrengt dat (q) waar is, tenminste, dat (q) echt afhangt van (p)) dan hoeft de komma niet niet verzwakken. Mogelijk hebben we inderdaad (A) volgen van (X), zonder (A) volgen van (X, Y), want het hoeft niet zo te zijn dat (A) afhankelijk is van (A) X) en (Y) samen.

In relevante logica's faalt de regel van verzwakking ook aan de andere kant, in die zin dat we willen dat dit argument ook ongeldig is:

(cfrac {q / vdash q} { cfrac {p, q / vdash q} {p / vdash q / rightarrow q}})

Nogmaals, (q) mag volgen uit (q), maar dit betekent niet dat het volgt uit (p) samen met (q), op voorwaarde dat "samen met" bedoeld is in een voldoende sterke zin. Dus, in relevante logica, kan de conclusie van een willekeurig uitgangspunt tot een logische waarheid als (q / rightarrow q) wellicht mislukken.

1.2 Commutativiteit

Als de combinatie van premisse commutatief is (als iets dat volgt uit (X, Y) ook volgt uit (Y, X)), dan kunnen we als volgt redeneren, met alleen het identiteits axioma en residu:

(cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} { cfrac {p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p, p / rightarrow q / vdash q} {p / vdash (p / rightarrow q) rightarrow q}}})

Bij gebrek aan commutativiteit van premisse combinatie, is dit bewijs niet beschikbaar. Dit is weer een eenvoudig voorbeeld van het verband tussen het gedrag van een premisse-combinatie en dat van aftrekposten met het voorwaardelijke.

Er zijn veel soorten voorwaardelijk waarvoor deze gevolgtrekking mislukt. Als "(rightarrow)" modale kracht heeft (als het een soort van uiting uitdrukt, waarbij (p / rightarrow q) waar is in elke gerelateerde omstandigheid waarin (p) geldt, (q) doet het ook), en als "(vdash)" lokale consequentie ((p / vdash q) uitdrukt, en alleen als er een model is, onder welke omstandigheid dan ook (p) geldt, geldt ook (q)) het mislukt. Het kan waar zijn dat Greg een logicus is ((p)) en het is waar dat het logisch zijn van Greg inhoudt dat Greg een filosoof is ((p / rightarrow q) - in gerelateerde omstandigheden waarin Greg een logicus is, hij is een filosoof), maar dit betekent niet dat Greg een filosoof is. (Er zijn veel omstandigheden waarin de gevolgtrekking ((p / rightarrow q)) waar is, maar (q) niet.) Dus we zijn een omstandigheid waarin (p) waar is maar ((p / rightarrow q) rightarrow q) niet. Het argument is ongeldig.

Dit tegenvoorbeeld kan ook begrepen worden in termen van gedrag van premisse combinatie. Als we hier zeggen dat (X, A / vdash B) waar is, zeggen we niet alleen dat (B) geldt in elke omstandigheid waarin (X) en (A) beide gelden. Als we op zoek zijn naar een echte gevolgtrekking A (rightarrow) B, dan willen we dat (B) waar is in elke (gerelateerde) omstandigheid waarin (A) waar is. (X, A / vdash B) zegt dus dat (B) in elke mogelijkheid waarin (A) waar is, dat ook is. Deze mogelijkheden voldoen mogelijk niet aan alle (X). (In klassieke theorieën over vervulling zijn de mogelijkheden die waarin alles wat nodig is in (X) waar is.)

Als de premissecombinatie niet commutatief is, kan residuatie op twee manieren plaatsvinden. Naast de residuconditie die het gedrag van (rightarrow) geeft, willen we misschien een nieuwe pijl (leftarrow) als volgt definiëren:

[p, q / vdash r / text {als en alleen als} q / vdash r / leftarrow p)

Voor de pijl van links naar rechts hebben we modus ponens in deze richting:

[p / rightarrow q, p / vdash q)

Voor de pijl van rechts naar links is modus ponens aantoonbaar met het pand in de tegenovergestelde volgorde:

[p, q / leftarrow p / vdash q)

Dit is een kenmerk van substructurele logica. Als we letten op wat er gebeurt als we niet de volledige structuurregels hebben, dan ontstaan er nieuwe mogelijkheden. We ontdekken twee voorwaarden onder wat voorheen één was (in intuïtionistische of klassieke logica).

In de volgende sectie zullen we een ander voorbeeld zien dat een niet-commutatieve premissecombinatie motiveert en deze twee verschillende voorwaarden.

1.3 Associativiteit

Hier is nog een manier waarop structurele regels het bewijs beïnvloeden. De associativiteit van een premisse-combinatie levert het volgende bewijs op:

(cfrac {r / rightarrow p, r / vdash p / \ / p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p / rightarrow q, (r / rightarrow p, r) vdash q} { cfrac {(p / rightarrow q, r / rightarrow p), r / vdash q} { cfrac {p / rightarrow q, r / rightarrow p / vdash r / rightarrow q} {p / rightarrow q / vdash (r / rightarrow p) rightarrow (r / rightarrow q)}}}})

Deze proef gebruikt de snijlijn in de bovenste stap. Het idee is dat gevolgtrekkingen kunnen worden gecombineerd. Als (X / vdash A) en (Y (A) vdash B) (waarbij (Y (A)) een structuur van gebouwen is die mogelijk (A) een of meer keren bevat) dan (Y (X) vdash B) ook (waarbij (Y (X)) die structuur van gebouwen is met die instanties van (A) vervangen door (X)). In dit bewijs vervangen we de (p) in (p / rightarrow q, p / vdash q) door (r / rightarrow p, r) op basis van de geldigheid van (r / rightarrow p, r / vdash p).

1.4 Contractie

Een laatste belangrijk voorbeeld is de contractieregel die bepaalt hoe gebouwen kunnen worden hergebruikt. Contractie is cruciaal in de gevolgtrekking van (p / rightarrow q) van (p / rightarrow (p / rightarrow q))

(cfrac { matrix { cfrac {p / rightarrow (p / rightarrow q) vdash p / rightarrow (p / rightarrow q)} {p / rightarrow (p / rightarrow q), p / vdash p / rightarrow q } & / cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} {p / rightarrow q, p / vdash q}}} { cfrac {(p / rightarrow (p / rightarrow q), p), p / vdash q} { cfrac {p / rightarrow (p / rightarrow q), p / vdash q} {p / rightarrow (p / rightarrow q) vdash p / rightarrow q}}})

Deze verschillende voorbeelden geven u een voorproefje van wat er met structurele regels kan worden gedaan. Niet alleen beïnvloeden structurele regels het voorwaardelijke, maar ze hebben ook hun effect op andere connectieven, zoals conjunctie en disjunctie (zoals we hieronder zullen zien) en negatie (Dunn 1993; Restall 2000).

1.5 Structuur aan de rechterkant van het tourniquet

Sinds de introductie van Gentzen's sequent calculus (Gentzen 1935), weten we dat het verschil tussen klassieke logica en intuïtionistische logica ook begrepen kan worden als een verschil in structurele regels. In plaats van sequenties van de vorm (X / vdash A) te beschouwen, waarin we een verzameling antecedenten en een enkele consequentie hebben, is het voor klassieke logica vruchtbaar om sequenties van de vorm te beschouwen

[X / vdash Y)

waar zowel (X) als (Y) verzamelingen van verklaringen zijn. De beoogde interpretatie is dat uit alle (X) volgt dat een deel van de (Y). Met andere woorden, we kunnen niet alle (X) en geen van de (Y) verkrijgen.

Door sequenties met meerdere consequenties toe te staan en de regels in deze uitgebreide context te vertalen, kunnen we klassieke tautologieën afleiden. Bijvoorbeeld de afleiding

(cfrac {p / vdash p} { cfrac {p / vdash q, p} { vdash p / rightarrow q, p}})

laat zien dat óf (p / rightarrow q) óf (p) moet bevatten. Dit is klassiek geldig (als (p) mislukt, (p) is onwaar en conditionals met onwaar antecedenten waar zijn), maar ongeldig in intuïtionistische logica. Het verschil tussen klassieke en intuïtionistische logica kan dus formeel worden begrepen als een verschil tussen de soorten toegestane structurele regels en de soorten structuren die geschikt zijn om te gebruiken bij de analyse van logische consequenties.

2. Logica in het gezin

Er zijn veel verschillende formele systemen in de familie van substructurele logica. Deze logica kan op verschillende manieren worden gemotiveerd.

2.1 Relevante logica

Veel mensen wilden een verklaring geven van logische validiteit, waarbij enige aandacht wordt besteed aan relevante voorwaarden. Als (X, A / vdash B) geldt, dan moet (X) op de een of andere manier relevant zijn voor (A). De combinatie van gebouwen is op de volgende manier beperkt. Mogelijk hebben we (X / vdash A) zonder ook (X, Y / vdash A) te hebben. Het nieuwe materiaal (Y) is mogelijk niet relevant voor de aftrek. In de jaren vijftig gaven Moh (1950), Church (1951) en Ackermann (1956) allemaal verslag van wat een 'relevante' logica zou kunnen zijn. De ideeën zijn ontwikkeld door een stroom van arbeiders rond Anderson en Belnap, hun studenten Dunn en Meyer en vele anderen. De canonieke referenties voor het gebied zijn Anderson, Belnap en Dunn's tweedelige Entailment (1975 en 1992). Andere introducties zijn te vinden in Read's Relevant Logic, Dunn and Restall's Relevance Logic (2002),en Mares 'Relevant Logic: een filosofische interpretatie (2004).

2.2 Resourcebewustzijn

Dit is niet de enige manier om de combinatie van gebouwen te beperken. Girard (1987) introduceerde lineaire logica als model voor processen en gebruik van hulpbronnen. Het idee in deze aftrekrekening is dat middelen moeten worden gebruikt (dus premisse-combinatie voldoet aan het relevantiecriterium) en dat ze niet voor onbepaalde tijd worden verlengd. Gebouwen kunnen niet (her) worden gebruikt. Dus misschien heb ik (X, X / vdash A), wat zegt dat ik (X) twee keer kan gebruiken om (A) te krijgen. Ik heb misschien niet (X / vdash A), wat zegt dat ik (X) eenmalig kan gebruiken om (A) te krijgen. Een nuttige introductie tot lineaire logica wordt gegeven in Troelstra's Lectures on Linear Logic (1992). Er zijn andere formele logica's waarin de contractieregel (van (X, X / vdash A) tot (X / vdash A)) ontbreekt. De meest bekende hiervan zijn Łukasiewicz's veelgewaardeerde logica. Er is een aanhoudende belangstelling voor logica zonder deze regel vanwege Curry's paradox (Curry 1977, Geach 1995; zie ook Restall 1994 in Other Internet Resources).

3. Bestelling

Onafhankelijk van een van deze tradities overwoog Joachim Lambek wiskundige modellen van taal en syntaxis (Lambek 1958, 1961). Het idee hier is dat de premissecombinatie overeenkomt met de samenstelling van strings of andere taalkundige eenheden. Hier verschilt (X, X) qua inhoud van (X), maar bovendien verschilt (X, Y) van Y, X. Niet alleen het aantal gebruikte panden telt, maar ook hun volgorde. Goede inleidingen in de Lambek-calculus (ook wel categoriale grammatica genoemd) zijn te vinden in boeken van Moortgat (1988) en Morrill (1994).

3. Bewijssystemen

We hebben al een fragment gezien van één manier om substructurele logica te presenteren, in termen van bewijzen. We hebben de residuconditie gebruikt, die kan worden begrepen als het opnemen van twee regels voor de voorwaardelijke, één om een voorwaardelijke in te voeren

(cfrac {X, A / vdash B} {X / vdash A / rightarrow B})

en nog een om het te elimineren.

(cfrac {X / vdash A / rightarrow B / \ / Y / vdash A} {X, Y / vdash B})

Dergelijke regels vormen de hoeksteen van een natuurlijk deductiesysteem en deze systemen zijn beschikbaar voor de brede waaier van substructurele logica. Maar bewijstheorie kan op andere manieren worden gedaan. Gentzen-systemen werken niet door connectieven te introduceren en te elimineren, maar door ze zowel links als rechts van de tourniquet te introduceren, wat een logisch gevolg is. We houden de inleidingsregel hierboven en vervangen de eliminatieregel door een die de voorwaardelijke aan de linkerkant introduceert:

(cfrac {X / vdash A / \ / Y (B) vdash C} {Y (A / rechterpijl B, X) vdash C})

Deze regel is complexer, maar heeft hetzelfde effect als de regel voor het verwijderen van pijlen: er staat dat als (X) voldoende is voor (A), en als je (B) gebruikt (in een bepaalde context (Y)) om te bewijzen (C) dan had je net zo goed (A / rightarrow B) samen met (X) (in diezelfde context (Y)) kunnen gebruiken om (C), aangezien (A / rightarrow B) samen met (X) je (B) geeft.

Gentzen systemen, met hun introductieregels links en rechts, hebben zeer speciale eigenschappen die nuttig zijn bij het bestuderen van logica. Omdat connectieven altijd worden geïntroduceerd in een proef (van boven naar beneden gelezen), verliezen proefdrukken nooit structuur. Als een connectief niet voorkomt in de conclusie van een bewijs, zal het helemaal niet in het bewijs verschijnen, omdat connectieven niet kunnen worden geëlimineerd.

In bepaalde substructurele logica's, zoals lineaire logica en de Lambek-calculus, en in het fragment van de relevante logica (mathbf {R}) zonder disjunctie, kan een Gentzen-systeem worden gebruikt om aan te tonen dat de logica beslisbaar is, doordat er kan een algoritme worden gevonden om te bepalen of een argument (X / vdash A) al dan niet geldig is. Dit wordt gedaan door te zoeken naar bewijzen van (X / vdash A) in een Gentzen systeem. Aangezien premissen van deze conclusie geen taal mogen bevatten die niet in deze conclusie staat en ze geen grotere complexiteit hebben (in deze systemen), is er slechts een eindig aantal mogelijke premissen. Een algoritme kan controleren of deze voldoen aan de regels van het systeem, en er vervolgens naar op zoek gaan, of stoppen als we een axioma raken. Op deze manier wordt de beslisbaarheid van sommige substructurele logica gegarandeerd.

In deze zin zijn echter niet alle substructurele logica beslisbaar. Het meest bekend is dat de relevante logica (mathbf {R}) niet beslisbaar is. Dit komt gedeeltelijk omdat de bewijstheorie complexer is dan die van andere substructurele logica. (mathbf {R}) verschilt van lineaire logica en de Lambek-calculus doordat het een eenvoudige behandeling van conjunctie en disjunctie heeft. Conjunctie en disjunctie voldoen met name aan de distributieregel:

[p / amp (q / vee r) vdash (p / amp q) vee (p / amp r))

Het natuurlijke bewijs van distributie in elk bewijssysteem gebruikt zowel verzwakking als contractie, dus het is niet beschikbaar in de relevante logica (mathbf {R}), die geen verzwakking bevat. Dientengevolge bevatten de bewijstheorieën voor (mathbf {R}) ofwel distributie als een primitieve regel, of bevatten ze een tweede vorm van premissecombinatie (zogenaamde extensional combinatie, in tegenstelling tot de intensieve premissecombinatie die we hebben gezien) die voldoet aan verzwakking en contractie.

De afgelopen jaren is er veel werk verricht aan de bewijstheorie van de klassieke logica, geïnspireerd en geïnformeerd door onderzoek naar substructurele logica. Klassieke logica heeft het volledige complement van structurele regels en is historisch ouder dan recentere systemen van substructurele logica. Als het echter gaat om een poging om de diepe structuur van klassieke bewijssystemen te begrijpen (en in het bijzonder wanneer twee afleidingen die verschillen op een oppervlakkige syntactische manier echt verschillende manieren zijn om het onderliggende 'bewijs' weer te geven), is het verhelderend om te denken aan klassieke logica zoals gevormd door een fundamentele substructurele logica, waarbij extra structurele regels worden opgelegd als toevoegingen. Vooral,het is duidelijk geworden dat wat klassieke bewijzen onderscheidt van zijn broers en zussen de aanwezigheid is van de structurele regels van contractie en verzwakking in hun volledige algemeenheid (zie bijvoorbeeld Bellin et al. 2006 en de daarin geciteerde literatuur).

4. Modeltheorie

Hoewel de relevante logica (mathbf {R}) een bewijssysteem heeft dat complexer is dan de substructurele logica zoals lineaire logica, die de distributie van (extensieve) conjunctie over disjunctie mist, is de modeltheorie in het geheel eenvoudiger. Een Routley-Meyer-model voor de relevante logica (mathbf {R}) bestaat uit een set punten (P) met een relatie van drie plaatsen (R) op (P). Een voorwaardelijke (A / rightarrow B) wordt als volgt op een wereld beoordeeld:

(A / rightarrow B) is waar bij (x) als en alleen als voor elke (y) en (z) waar (Rxyz), als (A) waar is bij (y, B) is waar bij (z).

Een argument is geldig in een model op het moment dat de premissen waar zijn, net als de conclusie. Het argument (A / vdash B / rightarrow B) is ongeldig omdat we misschien een punt (x) hebben waar (A) waar is, maar waar (B / rightarrow B) dat niet is. We kunnen ervoor zorgen dat (B / rightarrow B) niet waar is bij (x) door simpelweg (Rxyz) te hebben waar (B) waar is bij (y) maar niet bij (z).

De drieledige relatie (R) volgt nauw het gedrag van de combinatie van premisse in de bewijstheorie voor een substructurele logica. Voor verschillende logica's kunnen verschillende voorwaarden aan (R) worden gesteld. Als de premisse-combinatie bijvoorbeeld commutatief is, plaatsen we een symmetrievoorwaarde op (R) zoals deze: (Rxyz) als en alleen als (Ryxz). Ternaire relationele semantiek biedt ons een geweldige mogelijkheid om het gedrag van substructurele logica te modelleren. (De omvang van de overeenkomst tussen de bewijstheorie en algebra van substructurele logica en de semantiek wordt in kaart gebracht in Dunn's werk over Gaggle Theory (1991) en wordt samengevat in Restall's Introduction to Substructural Logics (2000).)

Bovendien, als conjunctie en disjunctie voldoen aan het distributie-axioma dat in de vorige sectie werd genoemd, kunnen ze ook eenvoudig worden gemodelleerd: een conjunctie is waar op een moment dat beide conjuncten op dat punt waar zijn, en een disjunctie is waar op een moment dat minstens één disjunct is daar waar. Voor logica, zoals lineaire logica, zonder het distributie-axioma, moet de semantiek complexer zijn, met een andere clausule voor disjunctie die nodig is om de gevolgtrekking van distributie ongeldig te maken.

Het is één ding om semantiek te gebruiken als een formeel apparaat om een logica te modelleren. Het is een andere om een semantiek te gebruiken als een interpretatief apparaat om een logica toe te passen. De literatuur over substructurele logica biedt ons een aantal verschillende manieren waarop de ternaire relationele semantiek kan worden toegepast om de logische structuur te beschrijven van sommige fenomenen waarop de traditionele structurele regels niet van toepassing zijn.

Voor logica zoals de Lambek-calculus is de interpretatie van de semantiek eenvoudig. We kunnen de punten als taalkundige items beschouwen, en de ternaire relatie als de aaneenschakelingsrelatie ((Rxyz) als en alleen als (x) samengevoegd met (y) resulteert in (z)). In deze modellen mislukken de structurele regels van contractie, verzwakking en permutatie, maar de premisse-combinatie is associatief.

De hedendaagse literatuur over taalclassificatie breidt de basis Lambek Calculus uit met rijkere combinatievormen, waarin meer syntactische kenmerken kunnen worden gemodelleerd (zie Moortgat 1995).

Een andere toepassing van deze modellen is de behandeling van de semantiek van functietoepassing. We kunnen de punten in een modelstructuur beschouwen als zowel functies als gegevens, en houden dat (Rxyz) als en slechts als (x) (beschouwd als een functie) toegepast op (y) (beschouwd als gegevens) is (z). Traditionele rekeningen van functies moedigen dit dubbele gebruik niet aan, aangezien wordt aangenomen dat functies 'hoger' zijn dan hun inputs of outputs (volgens het traditionele set-theoretische functiemodel is een functie (is) de set van zijn input -outputparen, en dus kan het zichzelf nooit als input nemen, aangezien sets zichzelf niet als leden kunnen bevatten). Systemen van functies die zijn gemodelleerd door de niet-getypeerde (lambda) - calculus, laten bijvoorbeeld zelftoepassing toe. Gezien deze lezing van punten in een model,een punt is van het type (A / rightarrow B), alleen als het elke keer input van type (A) nodig heeft, output van type (B). De inferentieregels van dit systeem zijn dan principes die soorten functies beheersen: de sequent

[(A / rightarrow B) amp (A / rightarrow C) vdash A / rightarrow (B / amp C))

vertelt ons dat wanneer een functie (A) s naar (B) s en (A) s naar (C) s brengt, het (A) s nodig heeft tot dingen die beide (B) en (C).

Dit voorbeeld geeft ons een model waarin de juiste substructurele logica extreem zwak is. Geen van de gebruikelijke structurele regels (zelfs niet associativiteit) is in dit model vervuld. Dit voorbeeld van een ternair relationeel model wordt besproken in (Restall 2000, Hoofdstuk 11).

Voor de relevante logica (mathbf {R}) en de interpretatie van natuurlijke taalvoorwaarden, moet er meer worden gedaan om te bepalen welke kenmerken van de werkelijkheid de formele semantiekmodellen zijn. Dit is een kwestie van enige controverse, aangezien niet alleen de ternaire relatie onbekend is voor diegenen wiens blootstelling voornamelijk is aan modale logica met een eenvoudigere binaire toegankelijkheidsrelatie tussen mogelijke werelden, maar ook vanwege de nieuwheid van de behandeling van negatie in modellen voor relevante logica. Het is niet onze plaats om dit debat hier in meer detail te bespreken. Een deel van dit werk wordt gerapporteerd in het artikel over relevante logica in deze encyclopedie, en een boeklengte behandeling van relevante logica in dit licht is Mares 'Relevant Logic: een filosofische interpretatie (2004).

5. Quantifiers

De behandeling van kwantoren in modellen voor substructurele logica is vrij moeilijk gebleken, maar begin 2000 is vooruitgang geboekt. De moeilijkheid kwam in wat leek op een mismatch tussen de bewijstheorie en de modeltheorie voor kwantoren. Passende axioma's of regels voor de kwantoren zijn relatief eenvoudig. Het universele eliminatie-axioma van de kwantificator (forall xA / rightarrow A [t / x]) stelt dat een instantie (in de relevante zin) volgt uit zijn universele generalisatie. De introductieregel (cfrac { vdash A / rightarrow B} { vdash A / rightarrow / forall xB}) (waarbij de voorwaarde dat (x) niet gratis is in (A) geldt) vertelt ons dat als we een geval van generalisatie (forall xB) kunnen bewijzen, logisch gezien, vanuit een veronderstelling die geen specifieke bewering over dat geval doet,we kunnen de generalisatie ook bewijzen vanuit die veronderstelling. Deze axioma en regel lijkt mooi te passen bij elke interpretatie van de eerste-orde kwantoren in een reeks substructurele logica, van de zwakste systemen tot sterke systemen zoals (mathbf {R}).

Hoewel de bewijstheorie voor kwantificatoren zich goed gedraagt, is de generalisatie naar de modeltheorie voor substructurele logica moeilijk gebleken. Richard Routley (1980) toonde aan dat het toevoegen van de regels voor de kwantoren aan een zeer zwak systeem van substructurele logica (mathbf {B}) op gepaste wijze past bij de ternaire relationele semantiek, waarbij kwantoren worden geïnterpreteerd als variërend over een domein van objecten, constant over alle punten in het model. Dit feit geldt niet voor sterkere logica, in het bijzonder de relevante logica (mathbf {R}). Kit Fine (1989) toonde aan dat er een complexe formule bestaat die in alle modellen met een constant domeinframe voor (mathbf {R}) geldt, maar die niet van de axioma's kan worden afgeleid. De details van het argument van Fine zijn niet belangrijk voor onze doeleinden,maar de onderliggende oorzaak van de discrepantie is relatief eenvoudig uit te leggen. In de constante domeinsemantiek heeft de universele generalisatie (forall x Fx) precies dezelfde waarheidsvoorwaarden - op elk punt in het model - als de familie van instanties (Fx_1), (Fx_2), (Fx_3, / ldots), (Fx_ / lambda, / ldots), waar de objecten van de domeinen worden opgesomd door de waarden van de termen (x_i). De gekwantificeerde uitdrukking (forall x Fx) is dus semantisch niet te onderscheiden van de (mogelijk oneindige) voeg (Fx_1 / land Fx_2 / land Fx_3 / land / cdots). Geen enkele combinatie van instanties (zelfs niet oneindig) zou echter relevant kunnen zijn voor de universeel gekwantificeerde claim (forall x Fx),omdat de gevallen waar kunnen zijn in een omstandigheid (of kunnen worden waargemaakt door een omstandigheid) zonder ook de generalisatie waar te maken - als er meer dingen waren geweest dan die. Constante domeinmodellen lijken dus niet geschikt voor het project van een relevante kwantificatietheorie.

Recent werk van Goldblatt en Mares (2006) heeft aangetoond dat er een alternatief is, en dat blijkt elegant en relatief eenvoudig te zijn. Het cruciale idee is om de ternaire relationele semantiek slechts een klein beetje aan te passen, zodat niet elke reeks punten als een 'voorstel' hoeft te tellen. Dat wil zeggen, niet elke set punten is de mogelijke semantische waarde voor een zin. Dus hoewel er een reeks werelden wordt bepaald door de oneindige combinatie van instanties van (forall xFx): (Fx_1 / land Fx_2 / land Fx_3 / land / cdots), telt die precieze set werelden mogelijk niet als een voorstel. (Misschien is er geen manier om die specifieke objecten zo te onderscheiden dat ze in één oordeel worden samengebracht.) Wat we kunnen zeggen is de generalisatie (forall xFx) en dat is een voorstel dat elk van de instanties omvat (dat is het universele eliminatie-axiom van de kwantificeerder), en als een voorstel elk exemplaar omvat, houdt het de generalisatie in (dat is de introductieregel), dus de propositie uitgedrukt door (forall xFx) is de semantisch zwakste propositie die elke instantie Fa met zich meebrengt. Dit is precies de modelleringvoorwaarde voor de universele kwantor in Goldblatt & Mares 'modellen, en het komt exact overeen met de axioma's. Dit is precies de modelleringvoorwaarde voor de universele kwantor in Goldblatt & Mares 'modellen, en het komt exact overeen met de axioma's. Dit is precies de modelleringvoorwaarde voor de universele kwantor in Goldblatt & Mares 'modellen, en het komt exact overeen met de axioma's.

Bibliografie

Een uitgebreide bibliografie over relevante logica is samengesteld door Robert Wolff en is te vinden in Anderson, Belnap en Dunn 1992. De bibliografie in Restall 2000 (zie Andere internetbronnen) is niet zo uitgebreid als die van Wolff, maar bevat wel materiaal tot aan de vandaag.

Boeken over structurele logica en inleidingen in het veld

• Anderson, AR en Belnap, ND, 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, Volume I.

• Anderson, AR, Belnap, ND Jr. en Dunn, JM, 1992, Entailment, Volume II, Princeton, Princeton University Press

  [Dit boek en het vorige boek vatten het werk samen in relevante logica in de Anderson-Belnap-traditie. Sommige hoofdstukken in deze boeken hebben andere auteurs, zoals Robert K. Meyer en Alasdair Urquhart.]

• Dunn, JM en Restall, G., 2000, "Relevance Logic" in F. Guenthner en D. Gabbay (red.), Handbook of Philosophical Logic tweede editie; Volume 6, Kluwer, pp 1-136.

  [Een samenvatting van werk in relevante logica in de Anderson – Belnap-traditie.]

• Galatos, N., P. Jipsen, T. Kowalski en H. Ono, 2007, Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics (Studies in Logic: Volume 151), Amsterdam: Elsevier, 2007.

• Mares, Edwin D., 2004, Relevant Logic: een filosofische interpretatie Cambridge University Press.

  [Een inleiding tot relevante logica, die een informatietheoretisch begrip van de ternaire relationele semantiek voorstelt.]

• Moortgat, Michael, 1988, categoriale onderzoeken: logische aspecten van de Lambek Calculus Foris, Dordrecht.

  [Nog een inleiding tot de Lambek-calculus.]

• Morrill, Glyn, 1994, Type Logical Grammar: Categorial Logic of Signs Kluwer, Dordrecht

  [Een inleiding tot de Lambek-calculus.]

• Paoli, Francesco, 2002, Substructural Logics: A Primer Kluwer, Dordrecht

  [Een algemene inleiding tot substructurele logica.]

• Read, S., 1988, Relevant Logic, Oxford: Blackwell.

  [Een inleiding tot relevante logica ingegeven door overwegingen in de zingevingstheorie. Ontwikkelt een Lemmon-achtige bewijstheorie voor de relevante logica (mathbf {R}).]

• Restall, Greg, 2000, An Introduction to Substructural Logics, Routledge. (online précis)

  [Een algemene introductie op het gebied van substructurele logica.]

• Routley, R., Meyer, RK, Plumwood, V. en Brady, R., 1983, Relevant Logics and their Rivals, Volume I, Atascardero, CA: Ridgeview.

  [Nog een onderscheidend verslag van relevante logica, dit keer vanuit Australisch filosofisch perspectief.]

• Schroeder-Heister, Peter en Došen, Kosta, (eds), 1993, Substructural Logics, Oxford University Press.

  [Een bewerkte verzameling essays over verschillende onderwerpen in substructurele logica, uit verschillende tradities in het veld.]

• Troestra, Anne, 1992, Lectures on Linear Logic, CSLI Publications

  [Een snelle, gemakkelijk te lezen inleiding tot de lineaire logica van Girard.]

Andere geciteerde werken

• Ackermann, Wilhelm, 1956, 'Begründung Einer Strengen Implikation', Journal of Symbolic Logic, 21: 113–128.
• Avron, Arnon, 1988, 'The Semantics and Proof Theory of Linear Logic', Theoretical Computer Science, 57 (2–3): 161–184.
• Gianluigi Bellin, Martin Hyland, Edmund Robinson en Christian Urban, 2006, "Categorical Proof Theory of Classical Propositionele Calculus", Theoretische informatica, 364: 146–165.
• Church, Alonzo, 1951, "The Weak Theory of Implication", in Kontrolliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften, A. Menne, A. Wilhelmy en H. Angsil (red.), Kommissions-Verlag Karl Alber, 22 –37.
• Curry, Haskell B., 1977, Foundations of Mathematical Logic, New York: Dover (oorspronkelijk gepubliceerd in 1963).
• Dunn, JM, 1991, "Gaggle Theory: An Abstraction of Galois Connections and Residuation with Applications to Negation and Various Logical Operations", in Logics in AI, Proceedings European Workshop JELIA 1990 (Lecture notes in Computer Science, Volume 476), Berlijn: Springer-Verlag.
• Dunn, JM, 1993, 'Star and Perp', Philosophical Perspectives, 7: 331–357.
• Fine, K., 1989, 'Incompleteness for Quantified Relevance Logics', in J. Norman en R. Sylvan (red.), Directions in Relevant Logic, Dordrecht: Kluwer, pp. 205–225.
• Geach, PT, 1955, 'On Insolubilia', Analyse, 15: 71–72.
• Gentzen, Gerhard, 1935, "Untersuchungen über das logische Schließen", Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210 en 405–431. [Een Engelse vertaling is te vinden in Gentzen 1969.]
• Gentzen, Gerhard, 1969, The Collected Papers of Gerhard Gentzen, ME Szabo (red.), Amsterdam: Noord-Holland, 1969.
• Goldblatt, R., en E. Mares, 2006, "An Alternative Semantics for Quantified Relevant Logic", Journal of Symbolische logica, 71 (1): 163–187.
• Girard, Jean-Yves, 1987, 'Lineaire logica', Theoretische informatica, 50: 1–101.
• Lambek, Joachim, 1958, "The Mathematics of Sentence Structure", American Mathematical Monthly, 65: 154–170.
• Lambek, Joachim, 1961, "On the Calculus of Syntactic Types", in Structure of Language and its Mathematical Aspects (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, XII), R. Jakobson (red.), Providence, RI: American Mathematical Society.
• Moh Shaw-Kwei, 1950, 'The Deduction Theorems and Two New Logical Systems', Methodos, 2: 56–75.
• Moortgat, Michael, 1995, 'Multimodal Linguistic Inference', Logic Journal van de IGPL, 3: 371–401.
• Ono, Hiroakira, 2003, "Substructural Logics and Residuated Lattices - an Introduction", in V. Hendricks en J. Malinowski (red.), Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Dordrecht: Kluwer, 2003, pp. 193– 228.
• Routley, R., 1980. "Problemen en oplossingen in semantiek in gekwantificeerde relevante logica", in A. Arruda, R. Chuaqui, en NCA Da Costa (red.), Wiskundige logica in Latijns-Amerika, Amsterdam: Noord-Holland, 1980, pp. 305-340.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

• Restall, Greg, 1994, On Logics Without Contraction, Ph. D. Thesis, The University of Queensland.
• Slaney, John, 1995, MaGIC: Matrix Generator for Implication Connectives, een softwarepakket voor het genereren van eindige modellen voor substructurele logica.