Relevantie-logica

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Relevantie-logica

Voor het eerst gepubliceerd op 17 juni 1998; inhoudelijke herziening ma 26 maart 2012

Relevantie-logica zijn niet-klassieke logica. Deze systemen, die in Groot-Brittannië en Australazië 'relevante logica' worden genoemd, ontwikkelden zich als pogingen om de paradoxen van materiële en strikte implicaties te vermijden. Deze zogenaamde paradoxen zijn geldige conclusies die voortvloeien uit de definities van materiële en strikte implicatie, maar door sommigen als problematisch worden beschouwd.

De materiële implicatie (p → q) is bijvoorbeeld waar wanneer p onwaar is of q waar is - dat wil zeggen, (¬ p ∨ q). Dus als p waar is, dan is de materiële implicatie waar als q waar is. Onder de paradoxen van materiële implicaties zijn de volgende:

• p → (q → p).
• ¬ p → (p → q).
• (p → q) ∨ (q → r).

De eerste stelt dat elke propositie een ware impliceert; de tweede dat een valse propositie elke propositie impliceert, en de derde dat voor elke drie proposities, ofwel de eerste de tweede impliceert of de tweede de derde impliceert.

Evenzo is de strikte implicatie (p → q) waar wanneer het niet mogelijk is dat p waar is en q onwaar is - dwz ¬ ◇ (p & ¬ q). Tot de paradoxen van strikte implicatie behoren de volgende:

• (p & ¬ p) → q.
• p → (q → q).
• p → (q ∨ ¬ q).

De eerste stelt dat een tegenspraak strikt elke propositie inhoudt; het tweede en het derde impliceren dat elk voorstel strikt een tautologie impliceert.

Veel filosofen, te beginnen met Hugh MacColl (1908), hebben beweerd dat deze stellingen contra-intuïtief zijn. Ze beweren dat deze formules niet geldig zijn als we interpreteren dat ze het concept van implicatie vertegenwoordigen dat we hebben voordat we klassieke logica leren. Relevantie-logici beweren dat het verontrustende aan deze zogenaamde paradoxen is dat in elk van hen het antecedent voor de consequentie irrelevant lijkt.

Bovendien hadden relevantie-logici twijfels over bepaalde gevolgtrekkingen die de klassieke logica geldig maakt. Beschouw bijvoorbeeld de klassiek geldige gevolgtrekking

De maan is gemaakt van groene kaas. Daarom regent het nu in Ecuador of niet.

Ook hier lijkt er sprake te zijn van een gebrek aan relevantie. De conclusie lijkt niets met het uitgangspunt te maken te hebben. Relevantie-logici hebben geprobeerd logica's te construeren die stellingen en argumenten verwerpen die 'relevante relevantie' begaan.

Relevante logici wijzen erop dat wat er mis is met sommige van de paradoxen (en drogredenen) is dat de antecedenten en consequenties (of premissen en conclusies) over totaal verschillende onderwerpen gaan. Het idee van een onderwerp lijkt echter niet iets te zijn waar een logicus in geïnteresseerd zou moeten zijn - het heeft te maken met de inhoud, niet met de vorm, van een zin of gevolgtrekking. Maar er is een formeel principe dat relevante logici toepassen om stellingen en gevolgtrekkingen te forceren om 'op het onderwerp te blijven'. Dit is het principe van variabel delen. Het principe van het delen van variabelen zegt dat geen enkele formule met de vorm A → B kan worden bewezen in een relevantie-logica als A en B niet ten minste één propositionele variabele (ook wel een propositieletter genoemd) gemeen hebben en dat geen gevolgtrekking geldig kan worden aangetoond als de premissen en conclusie niet ten minste één propositionele variabele delen.

Op dit punt is enige verwarring natuurlijk over wat relevante logici proberen te doen. Het principe van variabel delen is slechts een noodzakelijke voorwaarde dat een logica als relevantie-logica moet gelden. Dit is niet voldoende. Bovendien geeft dit principe ons geen criterium dat alle paradoxen en denkfouten elimineert. Sommige blijven paradoxaal of misleidend, ook al voldoen ze aan variabel delen. Zoals we echter zullen zien, verschaft de relevante logica ons wel een relevant bewijs van bewijs in termen van het werkelijke gebruik van gebouwen (zie de sectie "Bewijstheorie" hieronder), maar het vertelt ons niet op zichzelf wat telt als een waar (en relevante) implicatie. Alleen als de formele theorie wordt samengesteld met een filosofische interpretatie, kan ze dit doen (zie de sectie 'Semantiek voor relevante implicatie' hieronder).

In dit artikel geven we een kort en relatief niet-technisch overzicht van het veld van relevantie-logica.

• 1. Semantiek voor relevante implicatie
• 2. Semantiek voor ontkenning
• 3. Bewijs theorie
• 4. Systemen van relevante logica
• 5. Toepassingen van relevantie-logica

• Bibliografie

  • Boeken over relevantie-logica en inleidingen op het terrein:
  • Andere genoemde werken:
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Semantiek voor relevante implicatie

Onze uiteenzetting van relevante logica is achtergesteld bij de meesten in de literatuur. We zullen eerder beginnen dan eindigen met de semantiek, aangezien de meeste filosofen momenteel semantisch geneigd zijn.

De semantiek die ik hier presenteer is de ternaire relatie-semantiek vanwege Richard Routley en Robert K. Meyer. Deze semantiek is een ontwikkeling van Alasdair Urquhart's "semilattice semantics" (Urquhart 1972). Er is een vergelijkbare semantiek (die ook gebaseerd is op de ideeën van Urquhart), dankzij Kit Fine, die tegelijk met de Routley-Meyer-theorie (Fine 1974) werd ontwikkeld. En er is een algebraïsche semantiek dankzij J. Michael Dunn. De modellen van Urquhart, Fine en Dunn zijn op zichzelf al erg interessant, maar we hebben geen ruimte om ze hier te bespreken.

Het idee achter de ternaire relatiesemantiek is vrij eenvoudig. Overweeg de poging van CI Lewis om de paradoxen van materiële implicaties te vermijden. Hij voegde een nieuwe connectiviteit toe aan de klassieke logica, die van strikte implicatie. In semantische termen na Kripkean is A ⊰ B waar in een wereld w als en alleen als voor alles w 'zodanig dat w' toegankelijk is voor w, ofwel A faalt in w 'ofwel B daar verkrijgt. In Kripke's semantiek voor modale logica is de toegankelijkheidsrelatie een binaire relatie. Het geldt tussen paren werelden. Helaas is de theorie van strikte implicatie vanuit een relevant oogpunt nog steeds niet relevant. Dat wil zeggen, we maken nog steeds geldige formules zoals p ⊰ (q ⊰ q). We kunnen vrij gemakkelijk zien dat de waarheidstoestand van Kripke deze formule ons oplegt.

Net als de semantiek van modale logica, relativeert de semantiek van relevantie-logica de waarheid van formules naar werelden. Maar Routley en Meyer gaan beter met modale logica en gebruiken een relatie van drie plaatsen op werelden. Dit maakt het mogelijk dat er werelden zijn waar q → q faalt en dat op zijn beurt werelden toelaat waarin p → (q → q) faalt. Hun ware voorwaarde voor → op deze semantiek is het volgende:

A → B is waar in een wereld a als en alleen dan voor alle werelden b en c zodat Rabc (R is de toegankelijkheidsrelatie) ofwel A onwaar is bij b of B is waar bij c.

Voor mensen die nieuw zijn in het veld, is het even wennen aan deze waarheidstoestand. Maar met een beetje werk kan het worden gezien als een veralgemening van Kripke's waarheidsconditie voor strikte implicatie (stel gewoon b = c in).

De ternaire relatie semantiek kan worden aangepast om een semantiek te zijn voor een breed scala aan logica. Door verschillende beperkingen op de relatie te plaatsen, worden geldige verschillende formules en gevolgtrekkingen gemaakt. Als we bijvoorbeeld de relatie beperken zodat Raaa geldt voor alle werelden a, dan maken we waar dat als (A → B) & A waar is in een wereld, B daar ook geldt. Gezien andere kenmerken van de Routley-Meyer-semantiek, maakt dit de scriptie ((A → B) & A) → B geldig. Als we de ternaire relatie symmetrisch maken op de eerste twee plaatsen, dat wil zeggen, we beperken het zodanig dat, voor alle werelden a, b en c, als Rabc dan Rbac is, we de stelling A → ((A → B) → B).

De ternaire toegankelijkheidsrelatie heeft een filosofische interpretatie nodig om relevante implicaties een echte betekenis te geven aan deze semantiek. Onlangs zijn er drie interpretaties ontwikkeld op basis van theorieën over de aard van informatie. Een interpretatie van de ternaire relatie, dankzij Dunn, ontwikkelt het idee achter Urquhart's semilattice semantics. Wat betreft Urquhart's semantiek, in plaats van indices te behandelen als mogelijke (of onmogelijke) werelden, worden ze opgevat als stukjes informatie. In de semilattice semantiek combineert een operator ° de informatie van twee toestanden - a ° b is de combinatie van de informatie in a en b. De Routley-Meyer-semantiek bevat geen combinatie of "fusion" -operator op werelden, maar we kunnen er een benadering van krijgen met behulp van de ternaire relatie. Bij het lezen van Dunn,'Rabc' zegt dat "de combinatie van de informatiestaten a en b is vervat in de informatiestatus c" (Dunn 1986).

Een andere interpretatie wordt gesuggereerd in Jon Barwise (1993) en ontwikkeld in Restall (1996). In deze visie worden werelden beschouwd als informatietheoretische "sites" en "kanalen". Een site is een context waarin informatie wordt ontvangen en een kanaal is een kanaal waardoor informatie wordt overgedragen. Zo kunnen we bijvoorbeeld, wanneer het BBC-nieuws op de televisie in mijn woonkamer verschijnt, de woonkamer als een locatie beschouwen en de draden, satellieten, enzovoort, die mijn televisie met de studio in Londen verbinden om een kanaal. Met behulp van kanaaltheorie om de Routley-Meyer-semantiek te interpreteren, nemen we Rabc aan als een a-informatietheoretisch kanaal tussen sites b en c. We nemen dus A → B om waar te zijn op a als en alleen als, telkens als a een site b verbindt waarop A naar een site c gaat, B op c.

Evenzo gebruikt Mares (1997) een informatietheorie die te danken is aan David Israel en John Perry (1990). Naast andere informatie bevat een wereld informatieve links, zoals natuurwetten, conventies, enzovoort. Een Newtoniaanse wereld zal bijvoorbeeld de informatie bevatten dat alle materie alle andere materie aantrekt. In informatietheoretische termen bevat deze wereld de informatie dat twee dingen die materieel zijn de informatie dragen dat ze elkaar aantrekken. In deze visie, Rabc als en alleen als, volgens de links in a, alle informatie die wordt gedragen door wat wordt verkregen in b is opgenomen in c. Als a bijvoorbeeld een Newtoniaanse wereld is en de informatie dat x en y materiaal zijn, is opgenomen in b, dan is de informatie dat x en y elkaar aantrekken, vervat in c.

Een andere interpretatie is ontwikkeld in Mares (2004). Deze interpretatie neemt de Routley-Meyer-semantiek als een formalisering van het idee van "gesitueerde implicatie". Deze interpretatie beschouwt de 'werelden' van de Routley-Meyer-semantiek als situaties. Een situatie is misschien een gedeeltelijke weergave van het universum. De informatie in twee situaties, a en b, stelt ons in staat om verdere informatie over het universum af te leiden die in geen van beide situaties is vervat. Stel bijvoorbeeld in onze huidige situatie dat we de informatie hebben die is vervat in de wetten van de algemene relativiteitstheorie (dit is de zwaartekrachttheorie van Einstein). Vervolgens veronderstellen we een situatie waarin we een ster in een ellips kunnen zien bewegen. Vervolgens, op basis van de informatie die we hebben en de veronderstelde situatie,we kunnen hieruit afleiden dat er een situatie is waarin een heel zwaar lichaam op deze ster inwerkt.

We kunnen gesitueerde gevolgtrekking modelleren met behulp van een relatie I (voor “implicatie”). Dan hebben we IabP, waarbij P een propositie is, al dan niet als de informatie in a en b samen de conclusie afleiden dat er een situatie is waarin P geldt. We kunnen een voorstel zelf zien als een reeks situaties. We stellen A → B in op a als en alleen als, voor alle situaties b waarin A geldt, Iab | B |, waar | B | is de reeks situaties waarin B waar is. We stellen Rabc in als en alleen als c bij elke propositie P hoort, zodat IabP. Met de toevoeging van het postulaat dat, voor elke set van stellingen P zodanig dat IabP, de kruising van die set X zodanig is dat IabX, vinden we dat de implicaties die waar worden gemaakt voor elke situatie met behulp van de waarheidsconditie die mij aanspreekt, zijn dezelfde als die waar gemaakt worden door de Routley-Meyer waarheidsconditie. Het begrip gesitueerde gevolgtrekking biedt dus een manier om de Routley-Meyer-semantiek te begrijpen. (Dit is een zeer korte versie van de bespreking van gesitueerde gevolgtrekking in de hoofdstukken 2 en 3 van Mares (2004).)

Op zichzelf is het gebruik van de ternaire relatie niet voldoende om alle implicaties te vermijden. Gezien wat we tot nu toe hebben gezegd, is het niet duidelijk hoe de semantiek paradoxen zoals (p & ¬ p) → q en p → (q ∨¬ q) kan vermijden. Deze paradoxen worden vermeden door inconsistente en niet-bivalente werelden in de semantiek op te nemen. Want als er geen werelden waren waar p & ¬ p geldt, dan zou (p & ¬ p) → q volgens onze waarheidsvoorwaarde voor de pijl ook overal gelden. Evenzo, als q ∨¬ q op elke wereld wordt vastgehouden, dan is p → (q ∨¬ q) universeel waar.

Een benadering van relevantie die geen ternaire relatie vereist, is te danken aan Routley en Loparic (1978) en Priest (1992) en (2008). Deze semantiek gebruikt een reeks werelden en een binaire relatie, S. Werelden zijn onderverdeeld in twee categorieën: normale werelden en niet-normale werelden. Een implicatie A → B is waar in een normale wereld a als en alleen als voor alle werelden b, als A waar is bij b, dan is B ook waar waar bij b. In niet-normale werelden zijn de waarheidswaarden voor implicaties willekeurig. Sommige kunnen waar zijn en andere niet. Een formule is geldig als en alleen als het waar is voor elk dergelijk model in zijn normale werelden. Deze indeling van werelden in normaal en niet-normaal en het gebruik van willekeurige waarheidswaarden voor implicaties op niet-normale werelden stelt ons in staat om tegenmodellen te vinden voor formules zoals p → (q → q).

Priester interpreteert niet-normale werelden als werelden die overeenkomen met 'logische ficties'. In een sciencefiction kunnen de natuurwetten anders zijn dan die in ons universum. Evenzo kunnen in een logische fictie de wetten van de logica verschillen van onze wetten. A → A kan bijvoorbeeld niet waar zijn in sommige logische fictie. De werelden die dergelijke ficties beschrijven, zijn niet-normale werelden.

Een probleem met de semantiek zonder de ternaire relatie is dat het moeilijk is om het te gebruiken om een zo breed scala aan logische systemen te karakteriseren als met de ternaire relatie. Bovendien zijn de logica die door deze semantiek wordt bepaald vrij zwak. Ze hebben bijvoorbeeld niet als stelling de transitiviteit van implicatie - ((A → B) & (B → C)) → (A → C).

Net als de ternaire relatie-semantiek, vereist deze semantiek dat sommige werelden inconsistent zijn en sommige niet-bivalent.

2. Semantiek voor ontkenning

Het gebruik van niet-bivalente en inconsistente werelden vereist een niet-klassieke waarheidsconditie voor ontkenning. In de vroege jaren zeventig vonden Richard en Val Routley hun 'steroperator' uit om negatie te behandelen. De telefoniste is een telefoniste op werelden. Voor elke wereld a is er een wereld a *. En

¬ A is waar bij a als en alleen als A onwaar is bij a *.

Nogmaals, we hebben de moeilijkheid om een deel van de formele semantiek te interpreteren. Een interpretatie van de Routley-ster is die van Dunn (1993). Dunn gebruikt een binaire relatie, C, op werelden. Cab betekent dat b compatibel is met a. a * is dan de maximale wereld (de wereld met de meeste informatie) die compatibel is met a.

Er zijn andere semantiek voor ontkenning. Een, dankzij Dunn en ontwikkeld door Routley, is een vierwaardige semantiek. Deze semantiek wordt behandeld in de inzending over paraconsistente logica. Andere behandelingen van negatie, waarvan sommige zijn gebruikt voor relevante logica, zijn te vinden in Wansing (2001).

3. Bewijs theorie

Er is nu een grote verscheidenheid aan benaderingen voor het bewijzen van theorie voor relevante logica. Er is een opeenvolgende calculus voor het negatievrije fragment van de logica R dankzij Gregory Mints (1972) en JM Dunn (1973) en een elegante en zeer algemene benadering genaamd "Display Logic" ontwikkeld door Nuel Belnap (1982). Zie voor het eerste het aanvullende document:

Logica R

Maar hier zal ik alleen ingaan op het natuurlijke aftreksysteem voor de relevante logica R vanwege Anderson en Belnap.

Het natuurlijke deductiesysteem van Anderson en Belnap is gebaseerd op Fitch's natuurlijke deductiesystemen voor klassieke en intuïtionistische logica. De eenvoudigste manier om deze techniek te begrijpen, is door naar een voorbeeld te kijken.

1. Een {1}	Hyp
2. (A → B) {2}	Hyp
3. B {1,2}	1,2, → E

Dit is een eenvoudig geval van modus ponens. De cijfers tussen haakjes geven de hypothesen aan die gebruikt zijn om de formule te bewijzen. We noemen ze 'indices'. De indices in de conclusie geven aan welke hypothesen echt worden gebruikt bij het afleiden van de conclusie. In het volgende 'bewijs' wordt het tweede uitgangspunt niet echt gebruikt:

1. Een {1}	Hyp
2. B {2}	Hyp
3. (A → B) {3}	Hyp
4. B {1,3}	1,3, → E

Dit 'bewijs' laat eigenlijk alleen maar zien dat de gevolgtrekking van A en A → B naar B relevant geldig is. Omdat het nummer 2 niet voorkomt in het subscript op de conclusie, telt het tweede 'uitgangspunt' niet echt als een uitgangspunt.

Evenzo moet, wanneer een implicatie relevant wordt bewezen, de aanname van het antecedent echt worden gebruikt om de conclusie te bewijzen. Hier is een voorbeeld van het bewijs van een implicatie:

1. Een {1}	Hyp
2. (A → B) {2}	Hyp
3. B {1,2}	1,2, → E
4. ((A → B) → B) {1}	2,3, → ik
5. A → ((A → B) → B)	1,4, → ik

Wanneer we een hypothese ontladen, zoals in regel 4 en 5 van dit bewijs, moet het nummer van de hypothese echt voorkomen in het subscript van de formule dat de consequentie van de implicatie moet worden.

Nu lijkt het erop dat het systeem van indices irrelevante premissen toestaat binnen te kruipen. Een manier waarop het lijkt dat irrelevanties kunnen binnendringen, is door het gebruik van een regel van samenvoeging. Dat wil zeggen, het lijkt erop dat we altijd een irrelevante premisse kunnen toevoegen door bijvoorbeeld het volgende te doen:

1. Een {1}	Hyp
2. B {2}	Hyp
3. (A & B) {1,2}	1,2, & ik
4. B {1,2}	3, & E
5. (B → B) {1}	2,4, → I
6. A → (B → B)	1,5, → ik

Voor een relevantie-logicus is het eerste uitgangspunt hier helemaal niet op zijn plaats. Om bewegingen als deze te blokkeren, geven Anderson en Belnap de volgende samenvoegingsregel:

Van A _i en B _i tot afleiden (A & B) _i.

Deze regel zegt dat twee samen te voegen formules dezelfde index moeten hebben voordat de introductie van de combinatie kan worden gebruikt.

Er is natuurlijk veel meer aan het natuurlijke aftrekstelsel (zie Anderson en Belnap 1975 en Anderson, Belnap en Dunn 1992), maar dit is voor onze doeleinden voldoende. De theorie van relevantie die door ten minste enkele relevante logica wordt opgevangen, kan worden begrepen in termen van hoe het overeenkomstige natuurlijke aftrekstelsel het werkelijke gebruik van gebouwen registreert.

4. Systemen van relevante logica

In het werk van Anderson en Belnap waren de centrale systemen van relevantie-logica de logica E van relevante implicatie en het systeem R van relevante implicatie. De relatie tussen de twee systemen is dat de implicerende connectiviteit van E een strikte (dwz noodzakelijke) relevante implicatie zou zijn. Om de twee te vergelijken, voegde Meyer een noodzakelijkheidsoperator toe aan R (om de logische NR te produceren). Larisa Maksimova ontdekte echter dat NR en E belangrijk verschillen - dat er stellingen van NR zijn (over de natuurlijke vertaling) die geen stellingen van E zijn. Dit heeft enkele relevante logici voor een dilemma gesteld. Ze moeten beslissen of ze NR als het systeem met een strikte relevante implicatie moeten beschouwen, of moeten beweren dat NR op de een of andere manier tekortschiet en dat E het systeem met een strikte relevante implicatie is. (Natuurlijk kunnen ze beide systemen accepteren en beweren dat E en R een verschillende relatie met elkaar hebben.)

Aan de andere kant zijn er die relevantie-logici die zowel R als E afwijzen. Er zijn er, zoals Arnon Avron, die logica accepteren die sterker is dan R (Avron 1990). En er zijn mensen, net als Ross Brady, John Slaney, Steve Giambrone, Richard Sylvan, Graham Priest, Greg Restall, en anderen, die hebben betoogd voor de acceptatie van de systemen zwakker dan R of E. Een extreem zwak systeem is de logica S van Robert Meyer en Errol Martin. Zoals Martin heeft bewezen, bevat deze logica geen stellingen van de vorm A → A. Met andere woorden, volgens S, geen propositie impliceert zichzelf en geen enkel argument van de vorm 'A, dus A' is geldig. Deze logica maakt dus geen circulaire argumenten geldig.

Voor meer informatie over deze logica see supplementen op de logica E, logica R, logica NR en logica S.

Een van de punten ten gunste van zwakkere systemen is dat, in tegenstelling tot R of E, veel ervan beslissend zijn. Een ander kenmerk van sommige van deze zwakkere logica die ze aantrekkelijk maken, is dat ze kunnen worden gebruikt om een naïeve verzamelingenleer te construeren. Een naïeve verzamelingenleer is een verzamelingenleer die als stelling het naïeve begrip axioma omvat, namelijk voor alle formules A (y),

∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ A (y)).

Als we in theorieën gebaseerd op sterke relevante logica's, zoals E en R, en in de klassieke verzamelingenleer, het naïeve begrip axioma toevoegen, kunnen we elke formule überhaupt afleiden. Naïeve set-theorieën gebaseerd op systemen als E en R zouden dus “triviaal” zijn. Hier is een intuïtieve schets van het bewijs van de trivialiteit van een naïeve verzamelingenleer met gebruikmaking van principes van gevolgtrekking uit de logica R. Laat p een willekeurige propositie zijn:

1. ∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ (y ∈ y → p))	Naïef begrip
2. ∀ y (y ∈ z ↔ (y ∈ y → p))	1, existentiële instantiatie
3. z ∈ z ↔ (z ∈ z → p)	2, universele instantiation
4. z ∈ z → (z ∈ z → p)	3, df van ↔, & -Elimination
5. (z ∈ z → (z ∈ z → p)) → (z ∈ z → p)	Axioma van contractie
6. z ∈ z → p	4,5, Modus Ponens
7. (z ∈ z → p)) → z ∈ z	3, df van ↔, & -Elimination
8. z ∈ z	6,7, Modus Ponens
9. p	6,8, Modus Ponens

Zo laten we zien dat elke willekeurige propositie af te leiden is in deze naïeve verzamelingenleer. Dit is de beruchte Curry Paradox. Het bestaan van deze paradox heeft Grishen, Brady, Restall, Priest en anderen ertoe gebracht het axioma van contractie op te geven ((A → (A → B)) → (A → B)). Brady heeft aangetoond dat we door het verwijderen van contractie, plus enkele andere belangrijke stellingen, uit R een logica verkrijgen die naïef begrip kan accepteren zonder triviaal te worden (Brady 2005).

In het geval van het natuurlijke aftreksysteem komt de aanwezigheid van contractie overeen met het toestaan dat gebouwen meer dan eens worden gebruikt. Overweeg het volgende bewijs:

1. A → (A → B) {1}	Hyp
2. Een {2}	Hyp
3. A → B {1,2}	1,2, → E
4. B {1,2}	2,3, → E
5. A → B {1}	2-4, → ik
6. (A → (A → B)) → (A → B)	1–5, → ik

Wat de afleiding van contractie mogelijk maakt, is het feit dat onze abonnementen sets zijn. We houden niet bij hoe vaak (meer dan eens) een hypothese wordt gebruikt in de afleiding ervan. Om contractie te verwerpen, hebben we een manier nodig om het aantal toepassingen van hypothesen te tellen. Natuurlijke afleidingssystemen voor samentrekkingsvrije systemen gebruiken dus 'multisets' met relevantiecijfers in plaats van sets - dit zijn structuren waarin het aantal keren dat een bepaald cijfer voorkomt telt, maar de volgorde waarin ze voorkomen niet. Er kunnen zelfs zwakkere systemen worden geconstrueerd, die ook bijhouden in welke volgorde hypothesen worden gebruikt (zie Read 1986 en Restall 2000).

5. Toepassingen van relevantie-logica

Afgezien van de motiverende toepassingen van het verschaffen van betere formalismen van onze pre-formele noties van implicatie en implicatie en het verschaffen van een basis voor naïeve verzamelingenleer, is relevantie-logica op verschillende manieren gebruikt in de filosofie en informatica. Hier zal ik er een paar noemen.

Dunn heeft een theorie van intrinsieke en essentiële eigenschappen ontwikkeld op basis van relevante logica. Dit is zijn theorie van relevante predicatie. Kort gezegd, een ding i heeft een relevante eigenschap F als if if x (x = i → F (x)). Informeel heeft een object een relevante eigenschap als dat ding relevant is om die eigenschap te hebben. Aangezien de waarheid van de consequentie van een relevante implicatie op zichzelf onvoldoende is voor de waarheid van die implicatie, kunnen dingen zowel irrelevant als relevant zijn. De formulering van Dunn lijkt ten minste één betekenis te vangen waarin we het idee van een intrinsieke eigenschap gebruiken. Door modaliteit aan de taal toe te voegen, kan het idee van een essentiële eigenschap worden geformaliseerd als een eigenschap die zowel noodzakelijk als intrinsiek wordt verkregen (zie Anderson, Belnap en Dunn 1992, §74).

Relevante logica is gebruikt als basis voor andere wiskundige theorieën dan de verzamelingenleer. Meyer een variatie van Peano rekenkunde basis van de logica geproduceerd R. Meyer heeft een eindig bewijs geleverd dat zijn relevante rekenkunde geen 0 = 1 heeft als stelling. Zo loste Meyer een van Hilbert's centrale problemen op in de context van relevante rekenkunde; hij liet zien dat het gebruik van eindige middelen dat relevante rekenkunde absoluut consistent is. Dit maakt relevante Peano-rekenkunde een uiterst interessante theorie. Zoals Meyer en Friedman hebben aangetoond, bevat de relevante rekenkunde helaas niet alle stellingen van de klassieke Peano-rekenkunde. Hieruit kunnen we dus niet afleiden dat de klassieke Peano-rekenkunde absoluut consistent is (zie Meyer en Friedman 1992).

Anderson (1967) formuleerde een systeem van deontische logica gebaseerd op Ren, meer recentelijk, is relevantie-logica gebruikt als basis voor deontische logica door Mares (1992) en Lou Goble (1999). Deze systemen vermijden enkele van de standaardproblemen met meer traditionele deontische logica. Een probleem waarmee standaard deontische logica's worden geconfronteerd, is dat ze de gevolgtrekking valideren van het feit dat A een stelling is tot OA 's een stelling is, waarbij' OA 'betekent' het zou die A moeten zijn '. De reden dat dit probleem zich voordoet, is dat het nu standaard is om deontische logica te behandelen als een normale modale logica. Op de standaard semantiek voor modale logica, als A geldig is, dan geldt het voor alle mogelijke werelden. Bovendien is OA waar in een wereld a als en alleen als A waar is in elke wereld die toegankelijk is voor een. Dus als A een geldige formule is, dan is OA dat ook. Maar het lijkt dom om te zeggen dat elke geldige formule het geval zou moeten zijn. Waarom zou het zo zijn dat het nu in Ecuador regent of niet? In de semantiek voor relevante logica maakt niet elke wereld elke geldige formule waar. Alleen een speciale klasse van werelden (soms "basiswerelden" genoemd en soms "normale werelden" genoemd) maken de geldige formules waar. Elke geldige formule kan in een wereld falen. Door deze 'niet-normale werelden' in onze modellen toe te staan, maken we deze problematische regel ongeldig.

Er zijn ook andere soorten modale operatoren toegevoegd aan de relevante logica. Zie Fuhrmann (1990) voor een algemene behandeling van relevante modale logica en Wansing (2002) voor een ontwikkeling en toepassing van relevante epistemische logica.

Routley en Val Plumwood (1989) en Mares en André Fuhrmann (1995) presenteren theorieën over contrafeitelijke conditionals op basis van relevante logica. Hun semantiek voegt aan de standaard Routley-Meyer-semantiek een toegankelijkheidsrelatie toe tussen een formule en twee werelden. Over de semantiek van Routley en Plumwood geldt A> B voor een wereld a al dan niet voor alle werelden b zodat SAab, B geldt voor b. De semantiek van Mares en Fuhrmann is iets complexer: A> B geldt voor een wereld a als en alleen als voor alle werelden b zodat SAab, A → B geldt voor b (zie ook Brady (red.) 2002, §10 voor details over beide semantiek). Mares (2004) presenteert een complexere theorie van relevante conditionals die contrafeitelijke conditionals omvat. Al deze theorieën vermijden de analogen van de implicatieparadoxen die voorkomen in standaardlogica van counterfactuals.

Relevante logica is zowel in de informatica als in de filosofie gebruikt. Lineaire logica - een door Jean-Yves Girard geïnitieerde logica-tak - is een logica van computationele bronnen. Lineaire logici lezen een implicatie A → B door te zeggen dat we met een bron van type A iets van type B kunnen verkrijgen. Als we A → (A → B) hebben, dan weten we dat we een B kunnen krijgen uit twee bronnen van type A. Maar dit betekent niet dat we een B kunnen krijgen van een enkele bron van type A, dwz we weten niet of we A → B kunnen krijgen. Daarom mislukt contractie in lineaire logica. Lineaire logica zijn in feite relevante logica zonder contractie en de verdeling van conjunctie over disjunctie ((A & (B ∨ C)) → ((A & B) ∨ (A & C))). Ze bevatten ook twee operators (! En?) Die bekend staan als "exponentials". Door een exponentieel voor een formule te plaatsen, krijgt die formule als het ware de mogelijkheid om klassiek te handelen. Net als in de standaardrelevantie-logica, kunnen we bijvoorbeeld gewoonlijk niet alleen een extra premisse aan een geldige gevolgtrekking toevoegen en deze geldig laten blijven. Maar we kunnen altijd een uitgangspunt van het formulier toevoegen! A naar een geldige conclusie en laat deze geldig blijven. Lineaire logica heeft ook samentrekking voor formules van de vorm! A, dat wil zeggen, het is een stelling van deze logica die (! A → (! A → B)) → (! A → B) (zie Troelstra 1992). Het gebruik van ! maakt behandeling van bronnen mogelijk "die naar believen kunnen worden gedupliceerd of genegeerd" (Restall 2000, p. 56). Voor meer informatie over lineaire logica, zie de vermelding over substructurele logica.we kunnen gewoonlijk niet alleen een extra premisse aan een geldige gevolgtrekking toevoegen en deze geldig laten blijven. Maar we kunnen altijd een uitgangspunt van het formulier toevoegen! A naar een geldige conclusie en laat deze geldig blijven. Lineaire logica heeft ook samentrekking voor formules van de vorm! A, dat wil zeggen, het is een stelling van deze logica die (! A → (! A → B)) → (! A → B) (zie Troelstra 1992). Het gebruik van ! maakt behandeling van bronnen mogelijk "die naar believen kunnen worden gedupliceerd of genegeerd" (Restall 2000, p. 56). Voor meer informatie over lineaire logica, zie de vermelding over substructurele logica.we kunnen gewoonlijk niet alleen een extra premisse aan een geldige gevolgtrekking toevoegen en deze geldig laten blijven. Maar we kunnen altijd een uitgangspunt van het formulier toevoegen! A naar een geldige conclusie en laat deze geldig blijven. Lineaire logica heeft ook samentrekking voor formules van de vorm! A, dat wil zeggen, het is een stelling van deze logica die (! A → (! A → B)) → (! A → B) (zie Troelstra 1992). Het gebruik van ! maakt behandeling van bronnen mogelijk "die naar believen kunnen worden gedupliceerd of genegeerd" (Restall 2000, p. 56). Voor meer informatie over lineaire logica, zie de vermelding over substructurele logica.maakt behandeling van bronnen mogelijk "die naar believen kunnen worden gedupliceerd of genegeerd" (Restall 2000, p. 56). Voor meer informatie over lineaire logica, zie de vermelding over substructurele logica.maakt behandeling van bronnen mogelijk "die naar believen kunnen worden gedupliceerd of genegeerd" (Restall 2000, p. 56). Voor meer informatie over lineaire logica, zie de vermelding over substructurele logica.

Bibliografie

Een buitengewoon goede, hoewel enigszins achterhaalde, bibliografie over relevantie-logica is samengesteld door Robert Wolff en is te vinden in Anderson, Belnap en Dunn (1992). Wat volgt is een korte lijst met inleidingen en boeken over relevante logica en werken waarnaar hierboven wordt verwezen.

Boeken over relevantie-logica en inleidingen op het terrein:

• Anderson, AR en ND Belnap, Jr., 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, Volume I. Anderson, ARND Belnap, Jr. en JM Dunn (1992) Entailment, Volume II. [Dit zijn beide collecties van licht gewijzigde artikelen over relevantie-logica, samen met veel materiaal dat uniek is voor deze delen. Uitstekend werk en nog steeds de standaardboeken over dit onderwerp. Maar ze zijn erg technisch en best moeilijk.]
• Brady, RT, 2005, Universal Logic, Stanford: CSLI Publications, 2005. [Een moeilijk, maar uiterst belangrijk boek, dat details geeft over Brady's semantiek en zijn bewijzen dat naïeve verzamelingenleer en hogere-orde logica gebaseerd op zijn zwakke relevante logica consistent zijn.]
• Dunn, JM, 1986, "Relevance Logic and Entailment" in F. Guenthner en D. Gabbay (eds.), Handbook of Philosophical Logic, Volume 3, Dordrecht: Reidel, pp. 117–24. [Dunn heeft dit stuk samen met Greg Restall herschreven en de nieuwe versie is verschenen in deel 6 van de nieuwe editie van het Handbook of Philosophical Logic, Dordrecht: Kluwer, 2002, pp. 1–128.]
• Mares, ED, 2004, Relevant Logic: A Philosophical Interpretation, Cambridge: Cambridge University Press.
• Mares, ED en RK Meyer, 2001, "Relevant Logics" in L. Goble (red.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Oxford: Blackwell.
• Paoli, F., 2002, Substructural Logics: A Primer, Dordrecht: Kluwer. [Uitstekende en duidelijke introductie tot een veld van logica dat relevantie logica omvat.]
• Priest, G., 2008, An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is, Cambridge: University of Cambridge Press. [Een zeer goede en uiterst duidelijke presentatie van relevante en andere niet-klassieke logica die een tableau-benadering gebruikt om de theorie te bewijzen.]
• Read, S., 1988, Relevant Logic, Oxford: Blackwell. [Een heel interessant en leuk boek. Eigenzinnig, maar filosofisch bedreven en uitstekend in de prehistorie en vroege geschiedenis van relevantie-logica.]
• Restall, G., 2000, An Introduction to Substructural Logics, London: Routledge. [Uitstekende en duidelijke introductie tot een veld van logica dat relevantie logica omvat.]
• Rivenc, François, 2005, Introductie à la logique pertinente, Parijs: Presses Universitaires de France. [In het Frans. Geeft een "structurele" interpretatie van relevante logica, die grotendeels bewijstheoretisch is. De betrokken structuren zijn structuren van gebouwen in een opeenvolgende calculus.]
• Routley, R., RK Meyer, V. Plumwood en R. Brady, 1983, Relevant Logics and its Rivals (Volume I), Atascardero, CA: Ridgeview. [Een zeer nuttig boek voor formele resultaten, vooral over de semantiek van relevantie-logica. De inleiding en filosofische opmerkingen staan vol met "Richard Routleyisms". Ze zijn eerder de opvattingen van Routley dan die van de andere auteurs en zijn zelfs voor relevante logici tamelijk radicaal. Volume II werkt Volume I bij en omvat andere onderwerpen zoals conditionals, kwantificering en besluitvormingsprocedures: R. Brady (red.), Relevant Logics and their Rivals (Volum II), Aldershot: Ashgate, 2003.]
• Goldblatt, R., 2011, Quantifiers, Propositions and Identity: Admettable Semantics for Quantified Modal and Substructural Logics, Cambridge: Cambridge University Press. [Een gedetailleerd verslag van de toelaatbare semantiek voor gekwantificeerde logica, toegepast op zowel modale als relevantie-logica, en biedt een nieuw type semantiek voor gekwantificeerde relevantie-logica, de "cover-semantiek".]

Andere genoemde werken:

• Anderson, AR, 1967, 'Enkele vervelende problemen in de formele logica van ethiek', Noûs, 1: 354–360.
• Avron, Arnon, 1990, "Relevantie en paraconsistentie - een nieuwe benadering", The Journal of Symbolic Logic, 55: 707–732.
• Barwise, J., 1993, "Constraints, Channels and the Flow of Information", in P. Aczel, et al. (red.), Situatietheorie en haar toepassingen (Volume 3), Stanford: CSLI Publications, pp. 3–27.
• Belnap, ND, 1982, "Display Logic", Journal of Philosophical Logic, 11: 375–417.
• Brady, RT, 1989, "The Non-Triviality of Dialectical Set Theory", in G. Priest, R. Routley en J. Norman (red.), Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag, blz. 437–470.
• Dunn, JM, 1973, (abstract) 'Een' Gentzen-systeem 'voor positieve relevante implicaties', The Journal of Symbolic Logic, 38: 356–357.
• Dunn, JM, 1993, 'Star and Perp', Philosophical Perspectives, 7: 331–357.
• Fine, K., 1974, 'Models for Entailment', Journal of Philosophical Logic, 3: 347–372.
• Fuhrmann, A., 1990, 'Modellen voor relevante modale logica', Studia Logica, 49: 501–514.
• Goble, L., 1999, "Deontic Logic with Relevance" in P. McNamara en H. Prakken (red.), Norms, Logis and Information Systems, Amsterdam: ISO Press, pp. 331–346.
• Grishin, VN, 1974, "A Non-Standard Logic and its Application to Set Theory", Studies in Formalized Languages and Non-Classical Logics (Russian), Moskou: Nauka.
• Israel, D. en J. Perry, 1990, "Wat is informatie?", In PP Hanson (red.), Informatie, taal en cognitie, Vancouver: University of British Columbia Press, pp. 1–19.
• MacColl, H., 1908, '' Als 'en' impliceren '', Mind, 17: 151–152, 453–455.
• Mares, ED, 1992, 'Andersonian Deontic Logic', Theoria, 58: 3-20.
• Mares, ED, 1997, 'Relevant Logic and the Theory of Information', Synthese, 109: 345–360.
• Mares, ED en A. Fuhrmann, 1995, "A Relevant Theory of Conditionals", Journal of Philosophical Logic, 24: 645–665.
• Meyer, RK en H. Friedman, 1992, "Whither Relevant Arithmetic?", The Journal of Symbolic Logic, 57: 824–831.
• Rantala, V., 1982, "Quantified Modal Logic: Non-Normal Worlds and Proposition Attitudes", Studia Logica, 41: 41–65.
• Restall, G., 1996, "Information Flow and Relevant Logics", in J. Seligman en D. Westerstahl (redactie), Logic, Language and Computation (Volume 1), Stanford: CSLI Publications, pp. 463–478.
• Routley, R. en A. Loparic, 1978, "Semantische analyse van Arruda-da Costa P-systemen en aangrenzende niet-vervangende relevante systemen", Studia Logica, 37: 301–322.
• Troelstra, AS, 1992, Lezingen over lineaire logica, Stanford: CSLI-publicaties.
• Urquhart, A., 1972, "Semantics for Relevant Logics" The Journal of Symbolic Logic, 37: 159–169.
• Wansing, H., 2001, 'Negation', in L. Goble (red.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Oxford: Blackwell, pp. 415–436.
• Wansing, H., 2002, "Diamonds are a Philosopher's Best Friends", Journal of Philosophical Logic, 31: 591–612.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

An Alternative Semantics for Quantified Relevant Logic [PDF], door Edwin D. Mares en Robert Goldblatt, Victoria University of Wellington, biedt een nieuwe semantiek voor gekwantificeerde relevante logica

[Neem contact op met de auteur voor andere suggesties.]