De Opkomst Van First-Order Logic

Inhoudsopgave:

De Opkomst Van First-Order Logic
De Opkomst Van First-Order Logic

Video: De Opkomst Van First-Order Logic

Video: De Opkomst Van First-Order Logic
Video: FOL (First Order Logic) 2024, Maart
Anonim

Toegang navigatie

  • Inhoud van het item
  • Bibliografie
  • Academische hulpmiddelen
  • Vrienden PDF-voorbeeld
  • Info over auteur en citaat
  • Terug naar boven

De opkomst van First-Order Logic

Voor het eerst gepubliceerd op za 17 nov 2018

Voor iedereen die geschoold is in de moderne logica, kan eerste-orde logica een volkomen natuurlijk onderzoeksobject lijken en de ontdekking ervan onvermijdelijk. Het is semantisch compleet; het is geschikt voor de axiomatisering van alle gewone wiskunde; en de stelling van Lindström laat zien dat het de maximale logica is die voldoet aan de eigenschappen van compactheid en Löwenheim-Skolem. Het is dus niet verwonderlijk dat eerste-orde logica lange tijd werd beschouwd als de 'juiste' logica voor onderzoek naar de grondslagen van de wiskunde. Het staat centraal in moderne leerboeken van wiskundige logica, terwijl andere systemen naar de zijlijn zijn gedegradeerd. De geschiedenis is echter allesbehalve eenvoudig en het is zeker geen kwestie van een plotselinge ontdekking door één enkele onderzoeker. De opkomst is verbonden met technische ontdekkingen, met verschillende opvattingen over wat logica is,met verschillende programma's van wiskundig onderzoek, en met filosofische en conceptuele reflectie. Dus als eerste-orde logica "natuurlijk" is, is het alleen achteraf natuurlijk. Het verhaal is ingewikkeld en op betwiste punten; het volgende item kan alleen een overzicht geven. Discussies over verschillende aspecten van de ontwikkeling worden gegeven door Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, de toelichting bij Hilbert [LFL] en de encyclopedisch handboek Gabbay & Woods 2009. Discussies over verschillende aspecten van de ontwikkeling worden gegeven door Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, de toelichting bij Hilbert [LFL] en de encyclopedisch handboek Gabbay & Woods 2009. Discussies over verschillende aspecten van de ontwikkeling worden gegeven door Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, de toelichting bij Hilbert [LFL] en de encyclopedisch handboek Gabbay & Woods 2009.

  • 1. George Boole
  • 2. Charles S. Peirce
  • 3. Gottlob Frege
  • 4. Ernst Schröder
  • 5. Giuseppe Peano
  • 6. Alfred North Whitehead en Bertrand Russell
  • 7. Leopold Löwenheim
  • 8. David Hilbert en Paul Bernays
  • 9. Thoralf Skolem
  • 10. Kurt Gödel
  • 11. Conclusies
  • Bibliografie
  • Academische hulpmiddelen
  • Andere internetbronnen
  • Gerelateerde vermeldingen

1. George Boole

De moderne studie van logica wordt gewoonlijk gedateerd op 1847, met het uiterlijk van Boole's Mathematical Analysis of Logic. Dit werk stelde vast dat de syllogistische logica van Aristoteles kan worden vertaald in een algebraïsche calculus, waarvan de symbolen Boole interpreteerde als verwijzend naar klassen of naar proposities. Zijn systeem omvat wat tegenwoordig sententiële (of Booleaanse) logica wordt genoemd, maar het is ook in staat om rudimentaire kwantificeringen uit te drukken. Zo wordt de stelling "Alle X's zijn Y's" voorgesteld in zijn systeem door de vergelijking (xy = x), waarbij de vermenigvuldiging wordt beschouwd als een kruising van verzamelingen of als een logische conjunctie. "Sommige X's zijn Y's" is moeilijker en de uitdrukking is kunstmatiger. Boole introduceert een (stilzwijgend: niet-leeg) set V met de items die gemeenschappelijk zijn voor X en Y;de propositie wordt dan geschreven (xy = V) (1847: 21). Het systeem van Boole kan in moderne termen worden gezien als een fragment van monadische eerste-orde logica. Het is van de eerste orde omdat de notationele bronnen geen kwantificering kunnen uitdrukken die over predikaten gaat. Het is monadisch omdat het geen notatie heeft voor n -ary relaties. En het is een fragment omdat het geen geneste kwantificaties kan uitdrukken ("voor elk meisje bestaat er een jongen die van haar houdt"). Maar dit zijn onze categorieën: niet die van Boole. Zijn logische systeem heeft geen symbolen die overeenkomen met de kwantoren; dus zelfs om het een beperkt systeem van kwantificeringslogica te noemen, is anachronistisch. Het is monadisch omdat het geen notatie heeft voor n -ary relaties. En het is een fragment omdat het geen geneste kwantificaties kan uitdrukken ("voor elk meisje bestaat er een jongen die van haar houdt"). Maar dit zijn onze categorieën: niet die van Boole. Zijn logische systeem heeft geen symbolen die overeenkomen met de kwantoren; dus zelfs om het een beperkt systeem van kwantificeringslogica te noemen, is anachronistisch. Het is monadisch omdat het geen notatie heeft voor n -ary relaties. En het is een fragment omdat het geen geneste kwantificaties kan uitdrukken ("voor elk meisje bestaat er een jongen die van haar houdt"). Maar dit zijn onze categorieën: niet die van Boole. Zijn logische systeem heeft geen symbolen die overeenkomen met de kwantoren; dus zelfs om het een beperkt systeem van kwantificeringslogica te noemen, is anachronistisch.

De twee belangrijkste toevoegingen aan het systeem van Boole die een herkenbaar moderne logica voortbrachten, waren (a) de introductie, naast een-plaats-predikaten ("x is sterfelijk"), van veel-geplaatste relaties ("x is de broer van y"; "X ligt tussen y en z"); en (b) de introductie van een notatie voor universele en existentiële kwantificering.

Twee logici die volgens de Booleaanse traditie werkten, voerden deze stappen uit. De eerste stap werd gedeeltelijk uitgevoerd door Augustus De Morgan (in De Morgan 1864). De tweede werd uitgevoerd door CS Peirce (in Peirce 1885). Gottlob Frege werkte volledig onafhankelijk en voerde beide stappen tegelijkertijd uit in zijn Begriffsschrift van 1879. De geschiedenis die daarop volgt is tientallen jaren lang een vertakkende structuur, met tal van onderzoekers die in verschillende tradities werken en zich slechts gedeeltelijk bewust zijn van elkaars prestaties.

2. Charles S. Peirce

Peirce werkte in de algebraïsche traditie van Boole. Zijn eerste logische artikelen verschenen in 1867; ze vereenvoudigen het systeem van Boole, interpreteren unie of logische toevoeging (A + B) opnieuw, zodat het ook van toepassing is wanneer A en B niet onsamenhangend zijn, corrigeren verschillende fouten en onderzoeken verbanden tussen logica, rekenen en algebra.

Drie jaar later produceerde Peirce in zijn "Beschrijving van een notatie voor de logica van familieleden" (1870) een grote uitbreiding van het systeem van Boole. De Morgan had erop gewezen (De Morgan 1864) dat de aristotelische syllogist niet in staat was om gevolgtrekkingen te maken als: "Als elke man een dier is, dan is elk hoofd van een man een hoofd van een dier". De Morgan had een logica van relaties geïntroduceerd, het omgekeerde en het tegenovergestelde van een relatie gedefinieerd, en voor relaties als "X is een liefhebber van Y" en "Z is een dienaar van W", had hij dergelijke samenstellingen van relaties verkend als "X is de minnaar van een dienaar van y". Dit werk breidde met succes de aristotelische syllogistische logica uit, maar was ook op verschillende manieren beperkt. Ten eerste werkte De Morgan alleen met binaire relaties. Ten tweede was zijn notatie onhandig. (Bijvoorbeeld:als (X / pdot / pdot LY) aangeeft dat X een liefhebber is van Y, dan duidt (X / pdot LY) aan dat X geen liefhebber is van Y. De Morgan heeft geen afzonderlijk teken voor ontkenning, noch voor de Booleaanse propositionele connectieven.)

Peirce merkte deze tekortkomingen op en liet in 1870 zien hoe de logica van Boole kon worden uitgebreid

het hele domein van de formele logica, in plaats van beperkt te blijven tot dat eenvoudigste en minst bruikbare deel van het onderwerp, de logica van absolute termen, die, toen [Boole] schreef, de enige formele logica was die bekend was.

Hij bestudeerde de samenstelling van relaties met elkaar en met klastermen, en werkte de belangrijkste wetten uit voor het resulterende abstracte algebraïsche systeem, wat uiteindelijk aantoonde dat de lineaire associatieve algebra's die zijn vader bestudeerde (Benjamin Peirce, de Harvard-wiskundige) allemaal konden zijn gedefinieerd in termen van wat hij noemde "elementaire familieleden". Zijn systeem uit 1870, hoewel een grote vooruitgang zowel op Boole als op De Morgan, blijft notationeel ongemakkelijk, en achteraf is het duidelijk dat het de kwantificatietheorie nodig had. Maar het was de eerste succesvolle poging om het systeem van Boole uit te breiden naar de logica van relaties.

In 1880 beschreef Peirce de procedure voor het reduceren van formules van de sententiële calculus tot conjunctieve en disjunctieve normale vorm, en ook in niet-gepubliceerd werk toonde hij aan dat de sententiële calculus kan worden verkregen uit de enkele connectiviteit van gezamenlijke ontkenning ("noch p noch q"). Zijn 1881, "On the Logic of Number", onderzocht de grondslagen van rekenen en analyseerde de natuurlijke getallen in termen van discrete, lineair geordende sets zonder een maximumelement. Hij gaf informele recursieve definities van optellen en vermenigvuldigen en bewees dat beide operaties associatief en commutatief waren.

In twee opmerkelijke artikelen, de korte noot 1883 en de langere "On the Algebra of Logic" van 1885, introduceerde hij een moderne notatie voor wat hij de eerste was die de "kwantificeerder" noemde. Hij beschouwde zijn kwantoren (waarvoor hij de symbolen (Pi) en (Sigma)) gebruikte als een veralgemening van de Booleaanse connectieven, waarbij de universele kwantor (Pi) werd geïnterpreteerd als een (mogelijk oneindig) voegwoord, zodat (Pi_x P (x)) wordt begrepen als "a is P en b is P en c is P en …". Evenzo wordt de existentiële kwantor (Sigma) opgevat als een (mogelijk oneindige) som: "a is P of b is P of c is P of …". Deze flexibele (Pi) - en (Sigma) -notatie stelde hem in staat om geneste kwantificaties gemakkelijk tot elke gewenste diepte uit te drukken. Dus, in zijn notatie, als (l_ {ij}) staat voor "i is een liefhebber van j",(Sigma_i / Sigma_j) (l_ {ij}) vertelt ons dat iemand van iemand houdt, terwijl (Pi_i / Sigma_j) (l_ {ij}) ons vertelt dat iedereen van iemand houdt. (De notatie (Sigma) en (Pi) is natuurlijk bedoeld om, in een Booleaanse geest, de analogie met rekenkundige sommen en producten te benadrukken.)

"On the Algebra of Logic" is ook om andere redenen opmerkelijk. Het begint met een belangrijke passage (§2) over de propositionele calculus, die het eerste expliciete gebruik van twee waarheidswaarden bevat. Peirce beschrijft vervolgens een beslissingsprocedure voor de calculus:

[T] o zoek of een formule noodzakelijkerwijs waar is, vervang (mathbf {f}) en (mathbf {v}) voor de letters en kijk of het door een dergelijke toewijzing van waarden onwaar kan worden verondersteld. (1885: 191)

Hij verdedigt materiële implicaties en laat zien hoe negatie kan worden gedefinieerd in termen van implicatie en een speciaal symbool voor absurditeit. In de volgende sectie (§3) behandelt hij wat hij noemt, volgens de Schoolmannen, de “eerste-opzettelijke logica van relaties”. Hier munt hij de term "kwantificeerder" uit; de propositionele matrix van een gekwantificeerde formule noemt hij zijn "Boolian". In deze sectie variëren de kwantoren alleen over de individuen van het universum; de 'eerste-opzettelijke logica' is dus eerste orde. Ook hier besprak hij als eerste de regels voor het omzetten van een gekwantificeerde formule in een normale prenex-vorm. De volgende sectie (§4) heeft als opschrift "tweede-opzettelijke logica". Er is een duidelijke afbakening van de eerste opzetlogica van §3. Hier mogen de kwantoren de predikaten overschrijden;en hij gebruikt zijn nieuwe notatie om de moderne tweede-orde definitie van identiteit te omschrijven: twee objecten zijn identiek voor het geval ze aan dezelfde predikaten voldoen.

Peirce's paper was in veel opzichten zijn tijd ver vooruit. Zijn scherpe onderscheid tussen propositionele, eerste en tweede intentie logische systemen zou pas in Hilbert in zijn lezingen van 1917/18 in helderheid worden geëvenaard. Peirce was ook vooruitstrevend in het beschouwen van de kwantoren als (mogelijk oneindige) sommen en producten, een notatie die Löwenheim verdiende met de ontdekking van de Löwenheim-Skolem-stelling, en die een belangrijke rol zou spelen in de formulering van Hilbert's bewijs -theoretisch programma in de jaren 1920. (Peirce's logische ideeën waren algemeen bekend in continentaal Europa, aangezien ze door Ernst Schröder werden overgenomen en in de drie delen van zijn Algebra der Logik (1890-1995) wijd verspreid werden.)

Peirce trok deze verschillende onderscheidingen - en in het bijzonder het onderscheid tussen logica van de eerste en tweede orde - met meer duidelijkheid dan welke logicus dan ook tot Hilbert's lezingen in 1917. En, anders dan Hilbert, was Peirce doordrenkt van de geschriften van de middeleeuwse logici. Hij waardeerde ten volle de filosofische betekenis van de argumenten over de realiteit van universalia: dit is duidelijk de reden waarom hij zo'n scherp onderscheid maakte tussen de logica van §2 en die van §3. Het stond hem dus vrij om een nominalistisch argument te voeren (of althans te overwegen) namens de eerste-orde logica en tegen de tweede-orde logica. Maar afgezien van een paar incidentele opmerkingen, ontwikkelde hij zelf zijn observaties over tweede-opzettelijke logica niet verder,en het lijkt waarschijnlijk dat het moderne onderscheid tussen logica van de eerste en hogere orde een herontdekking was die in 1917/18 onafhankelijk door Hilbert was gedaan, en niet rechtstreeks door Peirce was geïnspireerd.

3. Gottlob Frege

De logische bijdragen van Frege kwamen uit een andere bodem en werden (voor zover kan worden bepaald) volledig onafhankelijk van de Anglo-Amerikaanse algebraïsche traditie van Boole, De Morgan en Peirce gedaan. In plaats daarvan hebben ze hun oorsprong in het werk aan de basis van echte analyse door Duitse wiskundigen als Dirichlet, Riemann, Weierstrass en Heine. Vanuit deze traditie nam Frege in de eerste plaats het idee om een rigoureuze basis voor wiskunde te verschaffen (een project dat in zijn handen het project werd om te laten zien dat rekenen kan worden gebaseerd op de wetten van de logica); en ten tweede de centrale wiskundige concepten van functie en variabele, die hij gebruikte in plaats van de aristotelische concepten van predikaat en subject. Deze laatste stap bracht hem natuurlijk tot een logica van relaties (aangezien de functies die in de wiskunde werden beschouwd multivariate waren);en zijn analyse van wiskundige gevolgtrekking bracht hem er ook toe een notatie voor kwantificeringslogica te introduceren. (Wiskundigen zoals Weierstrass waren in zijn analyse van het limietconcept al gevoelig voor het "nesten" van kwantoren en het belang van hun ordening: voor het verschil tussen bijvoorbeeld "voor elke (varepsilon " zeggen) er bestaat een (delta)”en“er bestaat een (delta) zodanig dat voor elke (varepsilon)”. Wat nu nodig was, en wat Frege leverde, was een formele taal om uit te drukken en maak de kwantificerende gevolgtrekkingen die al aanwezig waren in het werk van de Duitse analisten expliciet.) Dus, in één klap, in de Begriffsschrift van 1879, zette Frege de twee grote stappen voorbij de traditionele logische relaties en kwantificatoren - die de algebraïsche traditie had genomen afzonderlijk en tientallen jaren uit elkaar.

Het logische systeem van Frege had verschillende voordelen ten opzichte van Peirce. Zijn axiomatische presentatie van een puur syntactische calculus was aanzienlijk nauwkeuriger en zijn analyse van het nummerconcept ging dieper. Zijn systeem maakte het mogelijk om zowel variabelen als functies te kwantificeren. Dit was een centraal onderdeel van zijn programma voor het verschaffen van een logische basis voor rekenen, aangezien in zijn logisch systeem identiteit, kardinaal nummer en wiskundige inductie allemaal werden gedefinieerd via kwantificeringen van hogere orde. In zijn Grundlagen (1884) maakt hij onderscheid tussen concepten van verschillende orde, zodat als concept A onder concept B valt, B dan van "tweede orde" is (§53). Bij de meer technische behandeling in zijn Grundgesetze (1893) beschouwde hij kwantificeringen van de derde orde, hoewel zijn feitelijke afleiding van rekenkunde volledig binnen de logica van de tweede orde verliep.

Frege was daarmee een van de eerste logici die het belang van een hiërarchie van logische niveaus inzag. Zijn ontdekking kwam vrijwel gelijktijdig met die van Peirce en kwam volledig onafhankelijk tot stand, met het oog op verschillende doelen. De ontdekking van Frege zou de grotere impact hebben. Het vormde de basis voor Russell's typetheorie (en beïnvloedde ook decennia later Carnap, die logica studeerde bij Frege).

Maar hoewel Frege onderscheid maakte tussen logische niveaus, isoleerde hij niet het deel van zijn kwantificeringssysteem dat alleen variabelen van de eerste orde omvat als een apart logisch systeem: het zou ook niet natuurlijk zijn geweest om dat te doen. In dit opzicht is er een aanzienlijk contrast met Peirce. Frege's project was om te laten zien dat rekenen kon worden gebaseerd op de wetten van de logica: voor hem was er maar één logica en logica omvatte noodzakelijkerwijs de logica van concepten van hogere orde. Peirce verwierp daarentegen het idee van een enkele, overkoepelende logica, in plaats daarvan te denken in termen van logica die variëren volgens het 'universum van het discours'. Grotendeels om deze reden kwam hij in zijn paper uit 1885 dichter bij het isoleren van de propositionele calculus, de 'logica van de eerste intentie' en de 'logica van de tweede intentie' als afzonderlijke systemen,elk op zich waardig om te studeren: in dat opzicht stond hij dichter bij moderne opvattingen dan Frege. Er is nog een subtieler verschil. De notatie van Peirce (Sigma) en (Pi) voor de kwantoren is expliciet opgevat in termen van (mogelijk oneindige) conjuncties en disjuncties van stellingen over individuen. Dit is een zeer suggestieve opvatting die moeilijk te representeren is in Frege's notatiesysteem. Löwenheim zou het gebruiken in zijn vroege werk in de modeltheorie, wat leidde tot technische ontdekkingen die uiteindelijk de aandacht zouden vestigen op de eerste-orde logica. Maar al dit werk ligt tientallen jaren in de toekomst, en noch Frege noch Peirce kan worden gecrediteerd met een modern begrip van het verschil tussen logica van de eerste en hogere orde.hij stond dichter bij moderne opvattingen dan Frege. Er is nog een subtieler verschil. De notatie van Peirce (Sigma) en (Pi) voor de kwantoren is expliciet opgevat in termen van (mogelijk oneindige) conjuncties en disjuncties van stellingen over individuen. Dit is een zeer suggestieve opvatting die moeilijk te representeren is in Frege's notatiesysteem. Löwenheim zou het gebruiken in zijn vroege werk in de modeltheorie, wat leidde tot technische ontdekkingen die uiteindelijk de aandacht zouden vestigen op de eerste-orde logica. Maar al dit werk ligt tientallen jaren in de toekomst, en noch Frege noch Peirce kan worden gecrediteerd met een modern begrip van het verschil tussen logica van de eerste en hogere orde.hij stond dichter bij moderne opvattingen dan Frege. Er is nog een subtieler verschil. De notatie van Peirce (Sigma) en (Pi) voor de kwantoren is expliciet opgevat in termen van (mogelijk oneindige) conjuncties en disjuncties van stellingen over individuen. Dit is een zeer suggestieve opvatting die moeilijk te representeren is in Frege's notatiesysteem. Löwenheim zou het gebruiken in zijn vroege werk in de modeltheorie, wat leidde tot technische ontdekkingen die uiteindelijk de aandacht zouden vestigen op de eerste-orde logica. Maar al dit werk ligt tientallen jaren in de toekomst, en noch Frege noch Peirce kan worden gecrediteerd met een modern begrip van het verschil tussen logica van de eerste en hogere orde. De notatie van Peirce (Sigma) en (Pi) voor de kwantoren is expliciet opgevat in termen van (mogelijk oneindige) conjuncties en disjuncties van stellingen over individuen. Dit is een zeer suggestieve opvatting die moeilijk te representeren is in Frege's notatiesysteem. Löwenheim zou het gebruiken in zijn vroege werk in de modeltheorie, wat leidde tot technische ontdekkingen die uiteindelijk de aandacht zouden vestigen op de eerste-orde logica. Maar al dit werk ligt tientallen jaren in de toekomst, en noch Frege noch Peirce kan worden gecrediteerd met een modern begrip van het verschil tussen logica van de eerste en hogere orde. De notatie van Peirce (Sigma) en (Pi) voor de kwantoren is expliciet opgevat in termen van (mogelijk oneindige) conjuncties en disjuncties van stellingen over individuen. Dit is een zeer suggestieve opvatting die moeilijk te representeren is in Frege's notatiesysteem. Löwenheim zou het gebruiken in zijn vroege werk in de modeltheorie, wat leidde tot technische ontdekkingen die uiteindelijk de aandacht zouden vestigen op de eerste-orde logica. Maar al dit werk ligt tientallen jaren in de toekomst, en noch Frege noch Peirce kan worden gecrediteerd met een modern begrip van het verschil tussen logica van de eerste en hogere orde. Löwenheim zou het gebruiken in zijn vroege werk in de modeltheorie, wat leidde tot technische ontdekkingen die uiteindelijk de aandacht zouden vestigen op de eerste-orde logica. Maar al dit werk ligt tientallen jaren in de toekomst, en noch Frege noch Peirce kan worden gecrediteerd met een modern begrip van het verschil tussen logica van de eerste en hogere orde. Löwenheim zou het gebruiken in zijn vroege werk in de modeltheorie, wat leidde tot technische ontdekkingen die uiteindelijk de aandacht zouden vestigen op de eerste-orde logica. Maar al dit werk ligt tientallen jaren in de toekomst, en noch Frege noch Peirce kan worden gecrediteerd met een modern begrip van het verschil tussen logica van de eerste en hogere orde.

4. Ernst Schröder

Frege's bijdragen werden niet onmiddellijk begrepen of gewaardeerd, en in het laatste decennium van de eeuw werd de logica gedomineerd door de drie delen van Ernst Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik (1890-1995). Schröder verzorgde een encyclopedische behandeling van het logische werk van Boole en Peirce, systematiserend en breidde hun resultaten uit. Peirce's kwantoren verschijnen in volume twee, maar het onderscheid tussen eerste- en tweede-orde kwantificering wordt niet met vergelijkbare duidelijkheid getrokken. Zoals Frege opmerkte in zijn recensie (1895), maakte Schröder's notatie geen onderscheid tussen het setlidmaatschap en de subsetrelatie, en als gevolg daarvan kan het moeilijk zijn om te zeggen of hij van plan is een gegeven kwantificering te laten reiken over de subsets van een domein (dwz om tweede orde te zijn) of over zijn elementen (dwz om eerste orde te zijn). Schröder gebruikt zowel tweede-orde als eerste-orde kwantificeringen; en in zijn derde deel gebruikte hij de techniek van het uitbreiden van een tweede-orde kwantificering tot een oneindig product van eerste-orde kwantificaties - een techniek die een ontwikkeling was van de Peircian productnotatie, en dat was het uitgangspunt voor het onderzoek van Löwenheim. Maar Schröder haalt uit zijn bredere systeem geen subsysteem van eerste-orde logica, en beschouwt het onderscheid van ordes niet als van grote betekenis, noch wiskundig noch filosofisch. In die zin is hij minder duidelijk dan Peirce's paper uit 1885. (Een nuttige analyse van Schröder's logische werk is te vinden in Brady 2000.)en in zijn derde deel gebruikte hij de techniek van het uitbreiden van een tweede-orde kwantificering tot een oneindig product van eerste-orde kwantificaties - een techniek die een ontwikkeling was van de Peircian productnotatie, en dat was het uitgangspunt voor het onderzoek van Löwenheim. Maar Schröder haalt uit zijn bredere systeem geen subsysteem van eerste-orde logica, en beschouwt het onderscheid van ordes niet als van grote betekenis, noch wiskundig noch filosofisch. In die zin is hij minder duidelijk dan Peirce's paper uit 1885. (Een nuttige analyse van Schröder's logische werk is te vinden in Brady 2000.)en in zijn derde deel gebruikte hij de techniek van het uitbreiden van een tweede-orde kwantificering tot een oneindig product van eerste-orde kwantificaties - een techniek die een ontwikkeling was van de Peircian productnotatie, en dat was het uitgangspunt voor het onderzoek van Löwenheim. Maar Schröder haalt uit zijn bredere systeem geen subsysteem van eerste-orde logica, en beschouwt het onderscheid van ordes niet als van grote betekenis, noch wiskundig noch filosofisch. In die zin is hij minder duidelijk dan Peirce's paper uit 1885. (Een nuttige analyse van Schröder's logische werk is te vinden in Brady 2000.)Maar Schröder haalt uit zijn bredere systeem geen subsysteem van eerste-orde logica, en beschouwt het onderscheid van ordes niet als van grote betekenis, noch wiskundig noch filosofisch. In die zin is hij minder duidelijk dan Peirce's paper uit 1885. (Een nuttige analyse van Schröder's logische werk is te vinden in Brady 2000.)Maar Schröder haalt uit zijn bredere systeem geen subsysteem van eerste-orde logica, en beschouwt het onderscheid van ordes niet als van grote betekenis, noch wiskundig noch filosofisch. In die zin is hij minder duidelijk dan Peirce's paper uit 1885. (Een nuttige analyse van Schröder's logische werk is te vinden in Brady 2000.)

5. Giuseppe Peano

In zijn 1889 introduceerde Giuseppe Peano, onafhankelijk van Peirce en Frege, een notatie voor universele kwantificering. Als a en b proposities zijn met de vrije variabelen (x, y, / ldots), dan wordt (a / mathbin { revc_ {x, y, / ldots}} b) gesymboliseerd: Whatever (x, y, / ldots), kan zijn, uit de stelling leidt een af b. Men aarzelt om dit een notatie voor de universele kwantor te noemen, aangezien de kwantificering niet kan worden gescheiden van het teken voor materiële implicatie: dit is een aanzienlijke stap achteruit van Peirce. Peano maakt bovendien geen onderscheid tussen de eerste orde en de tweede orde kwantificering. Het punt van zijn essay was om de principes van rekenkunde in logische symboliek te presenteren, en zijn formulering van het principe van wiskundige inductie kan door onze lichten worden gezien als tweede orde: maar alleen stilzwijgend. Dit was een onderscheid waaraan hij (wederom in tegenstelling tot Peirce) geen belang lijkt te hebben gehecht. Hij voegde echter een reeks nieuwe symbolen toe aan de wiskundige logica die van invloed zouden zijn op het werk van Whitehead en Russell in Principia Mathematica; en een van de symbolen was de notatie (exist) voor de existentiële kwantor. (Vreemd genoeg introduceerde Peano geen parallel symbool voor de universele kwantor. Het lijkt erop dat Whitehead de ((x)) -notatie in Principia heeft geïntroduceerd, en Hilbert die het symbool (forall) heeft geïntroduceerd.)(Vreemd genoeg introduceerde Peano geen parallel symbool voor de universele kwantor. Het lijkt erop dat Whitehead de ((x)) -notatie in Principia heeft geïntroduceerd, en Hilbert die het symbool (forall) heeft geïntroduceerd.)(Vreemd genoeg introduceerde Peano geen parallel symbool voor de universele kwantor. Het lijkt erop dat Whitehead de ((x)) -notatie in Principia heeft geïntroduceerd, en Hilbert die het symbool (forall) heeft geïntroduceerd.)

6. Alfred North Whitehead en Bertrand Russell

De ontdekking van Russell in 1901 van de Russell-paradox bracht hem binnen enkele maanden in een brief aan Frege (Frege [PMC]: 144) om een voorlopige versie van de theorie van typen voor te stellen. Het centrale idee dat hij ontleende aan Frege's functietheorie van de eerste, tweede en hogere orde. Russell presenteerde een versie van zijn theorie in een appendix bij de Principles of Mathematics (1903), en vervolgens in een volwassen vorm in zijn "Mathematical Logic as Based on the Theory of Types" (1908), die de conceptuele basis vormde voor Principia Mathematica. Russell beschouwt het universum als verdeeld in niveaus of typen. Het eerste type omvat de individuen; het tweede type omvat de "eerste-orde" proposities waarvan de kwantoren de individuen van het eerste type overschrijden; in het algemeen,de kwantoren in proposities van het n + 1e type bereik over proposities van het n de type. Het systeem van Russell omvat in feite twee verschillende hiërarchieën: één om de paradoxen van de verzamelingenleer aan te pakken (met name om te verhinderen dat sets elementen van zichzelf zijn); de andere gaat over de semantische paradoxen (zoals de paradox van de leugenaar). Deze dubbele structuur vertakt in twee richtingen en geeft zijn theorie de naam 'vertakte theorie van typen'. Om klassieke analyse te kunnen vaststellen, werd hij gedwongen om het axioma van reduceerbaarheid te hanteren, dat bepaalt dat elke functie van niveau (n + 1) samengaat met een predikaat van functie van lager niveau. Het systeem was enorm ingewikkeld; door toedoen van Chwistek, Ramsey, Carnap, Tarski en Church,Er werd erkend dat de hiërarchie die met de semantische paradoxen te maken had, kon worden weggesnoeid, waardoor de 'eenvoudige typenleer' achterbleef. (Een overzicht van deze evolutie is te vinden in Church 1974, en gedetailleerde onderzoeken van Russell's theorie in Landini 1998 en Linsky 2011.)

Russell en Whitehead bezaten dus een notatie voor de twee kwantoren, evenals een onderscheid tussen kwantificaties van de eerste en hogere typen. Maar dit is niet hetzelfde als het hebben van een conceptie van eerste-orde logica, opgevat als een vrijstaand logisch systeem, dat op zichzelf waardig is om te bestuderen. Er waren in wezen twee dingen die de weg blokkeerden. Ten eerste (en in tegenstelling tot Peirce) was hun studieobject niet meerdere logische systemen, maar logica tout court: ze tonen geen interesse in het splitsen van een fragment voor afzonderlijke studie, laat staan in het argument dat het fragment van de eerste orde een bevoorrechte positie geniet toestand. Integendeel: net als bij Frege was het de ambitie van Principia om aan te tonen dat wiskunde tot logica herleid kan worden,en voor Whitehead en Russell omvatte de logica het volledige apparaat van de vertakte typetheorie (samen met de axioma's van oneindigheid, keuze en reduceerbaarheid). Ten tweede, hoewel Principia een axiomatisering van de typetheorie leverde (en dus kan worden beschouwd als een conceptie van deductieve consequentie), beschouwden Whitehead en Russell hun systeem als een geïnterpreteerd systeem, waarbij ze de waarheden van de logica noemden, en niet als een formele calculus in het gevoel van Hilbert. Hilbert zou hun axiomatisatie gebruiken als uitgangspunt voor zijn eigen axiomatisatie van verschillende logische systemen; maar totdat het onderscheid tussen logica en metalogic was geformuleerd, kwam het natuurlijk niet bij iedereen op om de metalogische vragen te stellen over volledigheid, consistentie en beslisbaarheid,of om zaken te onderzoeken zoals de relatie tussen deductieve en semantische volledigheid, of tekortkomingen in de categoriciteit; en pas toen zulke begrippen de aandacht kregen, werd de betekenis van de eerste-orde logica duidelijk.

7. Leopold Löwenheim

In 1915 publiceerde Löwenheim zijn mijlpaal "Über Möglichkeiten im Relativkalkül". Dit artikel, geschreven in de traditie van de Peirce-Schroeder-calculus van familieleden, vestigde de eerste belangrijke metalogische stelling; vanuit bepaalde gezichtspunten markeert het het begin van de modeltheorie. Löwenheim beschouwde een klasse van wat hij noemde "teluitdrukkingen" (Zählausdrücke), waarvan de kwantoren alleen betrekking hebben op het domein van objecten in het universum, maar niet op familieleden; hij bewees vervolgens dat, voor een dergelijke teluitdrukking, als hij bevredigend is, hij bevredigend is in een of ander denomineerbaar domein. In de moderne terminologie zijn zijn 'teluitdrukkingen' formules van eerste-orde logica; maar zijn terminologie laat geen invloed zien, noch door Peirce's logica van "eerste intentie", noch door Russell's typetheorie. Löwenheim, zoals alle logici van dit tijdperk,beschikte niet over het onderscheid tussen een objecttaal en een metataal. Zijn bewijs is moeilijk te volgen, en de precieze details van zijn stelling - van wat hij meende te hebben bewezen en wat hij in feite had bewezen - waren het onderwerp van uitgebreide wetenschappelijke discussies. (Een overzicht van de verschillende interpretaties wordt gegeven door Mancosu, Zach & Badesa 2009, en een gedetailleerde reconstructie van het bewijs zelf door Badesa 2004.) Het papier lijkt geen invloed te hebben gehad totdat Skolem zijn resultaten in 1920 aanscherpte en uitbreidde. Löwenheim isoleerde, net als Peirce en Russell, geen axiomatisch systeem dat eerste-orde logica omvatte, noch maakte hij een onderscheid tussen syntaxis en semantiek. Nog minder beweert hij dat zijn klasse van "teluitdrukkingen" op de een of andere manier logisch bevoorrecht is en een favoriete basis vormt voor wiskunde. De stelling van Löwenheim was op tijd om te worden erkend als het isoleren van een fundamentele eigenschap van de eerste orde logica. Maar de volledige implicaties van zijn resultaat zouden pas later duidelijk worden, nadat Hilbert de metamathematische studie van logische systemen had geïntroduceerd. (Overigens heeft Löwenheim de elegante (Sigma) en (Pi) symboliek van Peirce gecrediteerd voor het suggereren van de oneindige uitbreidingen die nodig waren voor zijn bewijs; en het is moeilijk om te zien hoe hij zijn stelling had kunnen verkrijgen met van de andere kwantificeringsnotaties die toen werden aangeboden. Hij verdedigde de voordelen van de Peirce-Schroeder-notatie nog zo krachtig als Löwenheim 1940 tegen de notatie van Principia.)Maar de volledige implicaties van zijn resultaat zouden pas later duidelijk worden, nadat Hilbert de metamathematische studie van logische systemen had geïntroduceerd. (Overigens heeft Löwenheim de elegante (Sigma) en (Pi) symboliek van Peirce gecrediteerd voor het suggereren van de oneindige uitbreidingen die nodig waren voor zijn bewijs; en het is moeilijk om te zien hoe hij zijn stelling had kunnen verkrijgen met van de andere kwantificeringsnotaties die toen werden aangeboden. Hij verdedigde de voordelen van de Peirce-Schroeder-notatie nog zo krachtig als Löwenheim 1940 tegen de notatie van Principia.)Maar de volledige implicaties van zijn resultaat zouden pas later duidelijk worden, nadat Hilbert de metamathematische studie van logische systemen had geïntroduceerd. (Overigens heeft Löwenheim de elegante (Sigma) en (Pi) symboliek van Peirce gecrediteerd voor het suggereren van de oneindige uitbreidingen die nodig waren voor zijn bewijs; en het is moeilijk om te zien hoe hij zijn stelling had kunnen verkrijgen met van de andere kwantificeringsnotaties die toen werden aangeboden. Hij verdedigde de voordelen van de Peirce-Schroeder-notatie nog zo krachtig als Löwenheim 1940.)en het is moeilijk te zien hoe hij zijn stelling had kunnen verkrijgen met een van de andere kwantificeringsnotaties die toen werden aangeboden. Hij verdedigde de voordelen van de Peirce-Schroeder-notatie nog steeds krachtig tegen de notatie van Principia tot in Löwenheim 1940.)en het is moeilijk te zien hoe hij zijn stelling had kunnen verkrijgen met een van de andere kwantificeringsnotaties die toen werden aangeboden. Hij verdedigde de voordelen van de Peirce-Schroeder-notatie nog steeds krachtig tegen de notatie van Principia tot in Löwenheim 1940.)

8. David Hilbert en Paul Bernays

Laten we kort de balans opmaken van de situatie zoals die in 1915 bestond. Peirce had onderscheid gemaakt tussen logica van de eerste orde en van de tweede orde, maar had geen onderscheid gemaakt tussen wiskunde en verdween uit het zicht. Zowel Frege als Russell hadden versies van typetheorie op meerdere niveaus geformuleerd, maar geen van beiden had het eerste-orde-fragment uitgekozen als een object dat studie waardig was. De Amerikaanse theoretici van het postulaat, Edward Huntington en Oswald Veblen, hadden verschillende noties van volledigheid en categoriciteit geformuleerd, en Veblen had opgemerkt dat axiomatische afleidbaarheid kan afwijken van semantische implicatie (Awodey & Reck 2002: 15–19). Maar Veblen beschikte niet over een precieze karakterisering van formele aftrek en zijn observatie bleef inert. Löwenheim had een diepgaande stelling bewezen over wat achteraf kan worden gekarakteriseerd als formules van de eerste orde,maar had geen systeem van eerste orde logica geïsoleerd. Een soortgelijk punt geldt voor Hermann Weyl, die in 1910 voorstelde (in feite) logica van de eerste orde te gebruiken om het concept van "definitieve eigenschap" in Zermelo's axioma van scheiding nauwkeurig te maken. Maar ook dit is een retrospectieve karakterisering, en Weyl's interesse was in verzamelingenleer, niet in de studie van een systeem van eerste-orde logica.

De volgende grote stap werd gezet door David Hilbert in zijn collegecursus Prinzipien der Mathematik, gegeven in Göttingen in het wintersemester van 1917/18. Hilbert had in de jaren 1899–1905 lezingen gegeven en over fundamentele onderwerpen gepubliceerd; in de tussenliggende tijd, terwijl hij zich op andere zaken concentreerde, waren de publicaties gestopt, hoewel het uitgebreide college in de klas doorging. Hij volgde de huidige ontwikkelingen en werd vooral via zijn leerling Heinrich Behmann geïnformeerd over het logische werk van Whitehead en Russell. In september 1917 hield hij zijn programmatische lezing "Axiomatisches Denken" in Zürich, waarin hij opriep tot een axiomatische behandeling van logica volgens de lijnen die hij eerder had onderzocht in zijn axiomatisatie van geometrie, en hij stelde expliciet metalogische onderzoeken voor:

Wanneer we de zaak nader bekijken, erkennen we al snel dat de vraag naar de consistentie voor gehele getallen en voor sets niet op zichzelf staat, maar dat het behoort tot een enorm domein van moeilijke epistemologische vragen met een specifiek wiskundige tint: bijvoorbeeld (om dit domein van vragen kort te omschrijven), het probleem van de oplosbaarheid in principe van elke wiskundige vraag, het probleem van de latere controleerbaarheid van de resultaten van een wiskundig onderzoek, de vraag van een criterium van eenvoud voor wiskundige bewijzen, de vraag van de relatie tussen inhoud en formalisme in wiskunde en logica, en tot slot het probleem van de beslisbaarheid van een wiskundige vraag in een eindig aantal bewerkingen. (Hilbert 1917: 412–413)

Tijdens deze reis naar Zürich nodigde hij Paul Bernays uit om terug te keren naar Göttingen als zijn assistent in fundamentele zaken. Hoewel Bernays weinig ervaring had met stichtingen, bleek dit een slimme keuze en het begin van een hecht en vruchtbaar onderzoekspartnerschap.

De Göttingen-lezingen die kort na de toespraak in Zürich volgden (en die door Bernays in een officieel protocol werden vastgelegd) zijn een opmerkelijk document en markeren de geboorte van de moderne wiskundige logica. Ze zijn in wezen hetzelfde als de gepubliceerde monografie die bekend staat als "Hilbert en Ackermann" (1928), en zelfs vandaag, met een bescheiden aanvulling, zou het kunnen dienen als een inleidend leerboek voor logica. Hilbert maakt voor het eerst een duidelijk onderscheid tussen metataal en objecttaal en presenteert stap voor stap een reeks formele logische berekeningen met een geleidelijk toenemende kracht. Elke calculus wordt op zijn beurt zorgvuldig bestudeerd; haar sterke en zwakke punten worden geïdentificeerd en gebalanceerd en de analyse van de zwakke punten wordt gebruikt om de overgang naar de volgende calculus voor te bereiden. Hij begint met de propositionele calculus,gaat dan over op monadische kwantificeringslogica (met een uitgebreide bespreking van de calculus van klassen en van het aristotelische syllogisme), en vervolgens naar de "functie calculus".

De functie calculus is een systeem van (veel gesorteerde) eerste-orde logica, met variabelen voor zowel zinnen als relaties. Het is hier voor het eerst dat we een precieze, moderne formulering van eerste-orde logica tegenkomen, duidelijk onderscheiden van de andere calculi, gegeven een axiomatische basis, en met expliciet geformuleerde metalogische vragen. Hilbert besluit zijn bespreking van de eerste-orde logica met de opmerking:

De basisbespreking van de logische calculus zou hier kunnen ophouden als we voor deze calculus geen ander doel voor ogen hadden dan de formalisering van logische gevolgtrekking. Maar we kunnen niet tevreden zijn met deze toepassing van symbolische logica. We willen niet alleen individuele theorieën kunnen ontwikkelen op basis van hun principes op een puur formele manier, maar we willen ook de grondslagen van de wiskundige theorieën zelf onderzoeken en onderzoeken hoe ze verband houden met logica en hoe ver ze kunnen worden opgebouwd van puur logische operaties en conceptformaties; en voor dit doel is de logische calculus om ons als een hulpmiddel te dienen. (1917/18: 188)

Dit brengt hem ertoe de logica van hogere orde te introduceren, en vandaar een overweging te maken van logische paradoxen en hun oplossing door de vertakte typen theorie van Russell; het axioma van reduceerbaarheid wordt kort besproken en gebruikt als basis voor wiskunde. Het hoorprotocol eindigt met de zin:

Het is dus duidelijk dat de introductie van het Axiom of Reducibility het geschikte middel is om de calculus van niveaus om te zetten in een systeem waaruit de basis voor hogere wiskunde kan worden ontwikkeld.

Deze zin leek in wezen ongewijzigd toen de lezingen van 1917 werden herwerkt als monografie (Hilbert & Ackermann 1928).

Tijdens zijn lezingen behandelt Hilbert de metalogische vragen die hij had gesteld in "Axiomatisches Denken", en (althans stilzwijgend) laat zien hoe de vragen van volledigheid, consistentie en beslisbaarheid moeten worden beantwoord voor de propositionele zaak. De volledigheidsvraag voor logica van de eerste orde wordt niet expliciet aan de orde gesteld in het verslag van de lezingen van Bernays, hoewel een oplettende lezer het gemakkelijk als een open probleem zou hebben herkend. De volgende zomer produceerde Bernays een Habilitation-proefschrift waarin hij, in alle striktheid, een Hilbert-achtige axiomatische analyse van de propositielogica ontwikkelde. Hij presenteert het axiomatische systeem als een niet-geïnterpreteerde formele calculus; voorziet het van een semantiek; en bewijst vervolgens de volledigheidsstelling die de syntaxis koppelt aan de semantiek in de vorm: "Elke aantoonbare formule is universeel geldig, en vice versa". Vervolgens onderzoekt hij vragen over beslisbaarheid, consistentie en de onderlinge onafhankelijkheid van verschillende combinaties van axioma's.

De Hilbert 1917 lezingen en de Bernays Habilitation van 1918 zijn een mijlpaal in de ontwikkeling van de eerste orde logica. In de hoorcolleges wordt de eerste-orde logica voor het eerst op zichzelf gepresenteerd als een axiomatisch logisch systeem, geschikt voor studie met behulp van de nieuwe metalogische technieken. Het waren die metalogische technieken die de cruciale vooruitgang ten opzichte van Peirce en Frege en Russell vertegenwoordigden, en die op tijd waren om de logica van de eerste orde in beeld te brengen. Maar dat gebeurde niet meteen en er lag nog veel werk in het verschiet. In de lezingen van 1917/18 werd Hilbert's reeks van logische calculi gepresenteerd als opstapjes op weg naar een volledige hogere-orde vertakte typetheorie, die hij bleef beschouwen als het 'juiste' logische kader voor het onderzoeken van de grondslagen van de wiskunde. Het was kenmerkend voor Hilbert om complexe wiskundige verschijnselen in hun elementen op te splitsen: de reeks berekeningen kan worden gezien als een decompositie van logica van hogere orde in de eenvoudigere samenstellende delen, en onthult zijn studenten precies de stappen die in het bouwen van de volledige systeem. Hoewel hij de functionele calculus bespreekt, onderscheidt hij deze niet voor speciale aandacht. Met andere woorden (en zoals bij Peirce drie decennia eerder) wordt eerste-orde logica voornamelijk geïntroduceerd als een verklarend apparaat: het belang ervan was nog niet duidelijk.hij kiest het niet uit voor speciale aandacht. Met andere woorden (en zoals bij Peirce drie decennia eerder) wordt eerste-orde logica voornamelijk geïntroduceerd als een verklarend apparaat: het belang ervan was nog niet duidelijk.hij kiest het niet uit voor speciale aandacht. Met andere woorden (en zoals bij Peirce drie decennia eerder) wordt eerste-orde logica voornamelijk geïntroduceerd als een verklarend apparaat: het belang ervan was nog niet duidelijk.

Bovendien is Hilbert's eigen behandeling van de metalogische kwesties enigszins overhaast en informeel. Hij experimenteert met verschillende versies van het concept van 'volledigheid': men heeft het gevoel dat hij snel nieuwe wegen insloeg en nog niet zeker was welke concepten het meest vruchtbaar zouden zijn. Zijn bewijs van de volledigheid van propositionele calculus is slechts een schets en degradeert tot een voetnoot; het parallelle probleem voor logica van de eerste orde wordt niet eens als een vermoeden opgeworpen. Nog opmerkelijker, toen Bernays uiteindelijk in 1926 zijn Habilitation publiceerde, liet hij zijn bewijs van de volledigheidsstelling achterwege, omdat (zoals hij later spijtig zei) het resultaat destijds eenvoudig en onbelangrijk leek. (Voor een bespreking van dit punt, zie Hilbert [LFL]: 229. Voor gemakkelijk beschikbare algemene discussies, zie Sieg 1999, Zach 1999,en de essays verzameld in Sieg 2013; voor de originele documenten en gedetailleerde analyse, zie Hilbert [LFL.)

Met andere woorden, zelfs in Göttingen in de jaren twintig ontbrak een volledig begrip van de betekenis van de ideeën die Hilbert in 1917 had geïntroduceerd. De Hilbertschool beschouwde in de jaren twintig de eerste-orde logica als een fragment van de typetheorie en maakte er geen argument voor als een uniek begunstigd systeem. Pas in de monografie Hilbert & Ackermann 1928 (en de gelijktijdige "Bologna-lezing", Hilbert 1928) vestigde Hilbert expliciet de aandacht op de volledigheid van de eerste-orde logica als een open vraag. Dat vormde de weg voor het werk van Gödel: maar voordat we zover komen, moeten we een chronologische stap terug doen.

9. Thoralf Skolem

Skolem bezocht in de winter van 1915–16 Göttingen, waar hij de verzamelingenleer besprak met Felix Bernstein; er is geen teken dat hij Hilbert heeft ontmoet. Hij was op dat moment al bekend met de stelling van Löwenheim en kende de paradoxale implicaties ervan voor Zermelo's axiomatisering van verzamelingenleer: in het bijzonder dat een axiomatisering van de eerste orde van de theorie van niet-denumereerbare verzamelingen een denumereerbaar model zou hebben. Hij publiceerde destijds niet over deze onderwerpen omdat, zoals hij later zei:

Ik was van mening dat het zo duidelijk was dat de axiomatisering van de verzamelingenleer niet bevredigend zou zijn als ultieme basis voor wiskunde, dat wiskundigen er in het algemeen niet veel moeite mee zouden doen. Tot mijn verbazing heb ik onlangs gezien dat veel wiskundigen deze axioma's voor verzamelingenleer beschouwen als de ideale basis voor wiskunde. Om deze reden leek het mij dat het tijd was om een kritiek te publiceren. (Skolem 1922: appendix.)

De eerste grote kranten van Skolem waren zijn 1920 en vooral zijn 1922. In de eerste bewees (of herbevestigde) hij in een meer opvallende vorm de neerwaartse stelling van Löwenheim-Skolem. In het tweede leverde hij een nieuw bewijs van dat resultaat. Hij bekritiseerde ook het axioma van scheiding van Zermelo, dat de vorm had aangenomen: gezien een set S en een definitieve propositie (phi (x)), bestaat er een set S 'van alle elementen s van S zodat (phi (s)). Hier werd het concept van "definitieve propositie" enigszins onnauwkeurig gelaten. Het voorstel van Skolem was om “definitieve proposities” te identificeren met de formules van eerste-orde logica (met identiteit). Hoewel Skolem deze identificatie als 'natuurlijk' en 'volkomen duidelijk' verklaarde, pleitte hij niet expliciet voor de beperking van kwantoren tot het eerste niveau. Vervolgens gaf hij de vroegst bevredigende eerste-ordeformulering van Zermelo's verzamelingenleer en paste vervolgens het Löwenheim-Skolem-resultaat toe om de Skolem-paradox te verkrijgen.

Deze technische resultaten waren van groot belang voor het daaropvolgende debat over eerste-orde logica. Maar het is belangrijk om niet later in Skolem 1922 in te lezen. Skolem had op dit moment geen onderscheid tussen de objecttaal en de metataal. En hoewel achteraf gezien zijn axiomatisering van de verzamelingenleer als eerste orde kan worden geïnterpreteerd, benadrukt hij dat nergens. (Inderdaad, Eklund (1996) presenteert een overtuigend argument dat Skolem het belang van het onderscheid tussen eerste-orde en tweede-orde logica nog niet duidelijk inzag, en dat de herformulering van het axioma van scheiding in feite niet zo ondubbelzinnig eerste is) orde zoals het vaak wordt aangenomen.)

Skolems opmerkingen over logica van de eerste orde vereisen een zorgvuldige interpretatie (zie bv. Ferreirós 2001: 470–74), maar moeten duidelijk worden gezien tegen de achtergrond van de Grundlagenkrise van de jaren twintig van de vorige eeuw en van de debatten tussen Hilbert, Brouwer en Weyl. Er zijn in deze logica twee brede tendensen gedurende deze jaren en ze trekken in tegengestelde richtingen. Een neiging is om logische en wiskundige systemen te snoeien om tegemoet te komen aan de kritiek van Brouwer en zijn volgelingen. Het doel was om de paradoxen te vermijden, het territorium van de 'legitieme' wiskunde af te bakenen en op een veilige basis te plaatsen. De verzamelingenleer was in het geding en Skolem presenteerde zijn resultaten uit 1922 expliciet als een kritiek op de verzamelde theoretische grondslagen. Weyl was al in 1910 geleid door zijn onderzoek van het systeem van Zermelo om een reeks logische principes te formuleren die achteraf (en ondanks de idiosyncratische notatie) kunnen worden gezien als een vorm van eerste-orde logica. In het algemeen neigden zowel Weyl als Skolem, op methodologische gronden, naar een soort constructivisme om de paradoxen te vermijden; en dit betekende dat ze kwantificering over, bijvoorbeeld, de totaliteit van subsets van een oneindige verzameling zagen als iets dat vermeden moest worden: wat men ook begrijpt van het begrip "alle gehele getallen", het begrip "alle eigenschappen van gehele getallen" was veel minder stevig. Om het iets anders te zeggen: het doel van de axiomatisering van de verzamelingenleer was om haar filosofisch problematische veronderstellingen zo te formuleren dat men duidelijk kon zien waar ze toe kwamen. Maar dit doel zou in gevaar worden gebracht als men in de achtergrondlogica al het problematische idee van "alle subgroepen" veronderstelde dat men probeerde op te helderen. Een mogelijkheid was om zich te beperken tot logica van de eerste orde; een andere, om een soort van predicatief systeem van hogere orde aan te nemen.

Soortgelijke overwegend constructivistische neigingen kwamen ook sterk naar voren in het bewijstheoretische werk van Hilbert en Bernays en hun volgelingen in de jaren twintig. Al tegen de tijd van Hilbert's lezingen in 1921/22 had Hilbert de introductie van de (klassieke) kwantoren geïdentificeerd als de cruciale stap waar de transfiniet in de logica kwam. Hilbert zag, net als CS Peirce lang daarvoor, de kwantoren als oneindige conjuncties en disjuncties, en vanaf het begin van de jaren twintig was het in Göttingen goed bekend dat voor de programmatische doelen van het Hilbert-consistentieprogramma een finitaire analyse van de kwantoren waren nodig. De epsilon-substitutiemethode was het belangrijkste apparaat dat Hilbert introduceerde om dit resultaat te bereiken.(Een overzicht van dit onderzoek wordt gegeven door Sieg 2009 en in de inleidende aantekeningen bij Hilbert [LFL].)

Maar ondanks deze constructieve neigingen bleven veel logici van de jaren twintig (waaronder Hilbert) theorie van hogere orde, en niet het fragment van eerste orde, beschouwen als de geschikte logica voor onderzoek in de grondslagen van de wiskunde. De ultieme hoop was om een consistentiebewijs te leveren voor de hele klassieke wiskunde (inclusief verzamelingenleer). Maar ondertussen waren onderzoekers nog steeds enigszins onduidelijk over bepaalde fundamentele verschillen. Hilbert kan het onderscheid tussen een eerste-orde axioma-schema en een tweede-orde axioma soms niet waarnemen; Het intuïtionisme van Brouwer wordt soms geïdentificeerd met 'finitisme' de relaties tussen volledigheid (in meerdere betekenissen), categoriciteit (ook in meerdere betekenissen) en logica van de eerste en hogere orde waren nog niet begrepen. Gregory Moore wijst er zelfs op dat zelfs Gödel,in zijn bewijs uit 1929 van de volledigheid van logica van de eerste orde, begreep hij het begrip categoriciteit en zijn relatie tot logica van de tweede orde niet volledig (Moore 1988: 125).

10. Kurt Gödel

De zaken bleven dus gedurende de jaren twintig onduidelijk. Maar de constructivistische ambities van de Hilbertschool, de focus op de analyse van de kwantoren en het expliciet stellen van metalogische vragen hadden de opkomst van de eerste-orde logica als een onvermijdelijk systeem op zich waardig gemaakt. De cruciale technische doorbraken kwamen in 1929 en 1931 met de publicatie, door Gödel, eerst van de volledigheidsstelling voor de eerste-orde logica, en vervolgens van de onvolledigheidsstellingen. Met deze resultaten (en andere die al snel volgden) werd het eindelijk duidelijk dat er belangrijke metalogische verschillen waren tussen eerste-orde logica en hogere-orde logica. Misschien wel het belangrijkste is dat de eerste-orde logica compleet is en volledig kan worden geformaliseerd (in die zin dat een zin kan worden afgeleid van de axioma's voor het geval deze in alle modellen van toepassing is). Logica van de eerste orde voldoet bovendien aan zowel de compactheid als de neerwaartse eigenschap van Löwenheim-Skolem; dus het heeft een traceerbare modeltheorie. Tweede-orde logica niet. Halverwege de jaren dertig begonnen deze verschillen algemeen te worden begrepen, evenals het feit dat categoriciteit in het algemeen alleen kan worden verkregen in systemen van hogere orde. Lindström zou later aantonen (1969) dat geen enkel logisch systeem dat voldoet aan zowel compactheid als de eigenschap Löwenheim-Skolem een grotere expressieve kracht kan hebben dan logica van de eerste orde: in die zin is de logica van de eerste orde inderdaad een "natuurlijke" entiteit.evenals het feit dat categoriciteit in het algemeen alleen kan worden verkregen in systemen van hogere orde. Lindström zou later aantonen (1969) dat geen enkel logisch systeem dat voldoet aan zowel compactheid als de eigenschap Löwenheim-Skolem een grotere expressieve kracht kan hebben dan logica van de eerste orde: in die zin is de logica van de eerste orde inderdaad een "natuurlijke" entiteit.evenals het feit dat categoriciteit in het algemeen alleen kan worden verkregen in systemen van hogere orde. Lindström zou later aantonen (1969) dat geen enkel logisch systeem dat voldoet aan zowel compactheid als de eigenschap Löwenheim-Skolem een grotere expressieve kracht kan hebben dan logica van de eerste orde: in die zin is de logica van de eerste orde inderdaad een "natuurlijke" entiteit.

Maar de technische resultaten alleen gaven geen oplossing voor de eerste-orde logica. Zoals Schiemer & Reck opmerkten (2013), tot ver in de jaren dertig, bleven logici zoals Gödel, Carnap, Tarski, Church en Hilbert & Bernays, tot ver in de jaren dertig van de vorige eeuw, systemen van hogere orde gebruiken (over het algemeen in een versie van de eenvoudige theorie van typen). Met andere woorden, zelfs na de metalogische resultaten moest er een keuze worden gemaakt, en de keuze voor logica van de eerste orde was niet onvermijdelijk. Met de metalogische resultaten kan immers een ernstige beperking van de eerste-orde logica worden aangetoond: dat het zelfs voor de natuurlijke getallen niet in staat is een uniek model te specificeren. Hilbert had in 1917/18 de logica van de eerste orde behandeld als een opstapje,en de metalogische resultaten kunnen worden genomen om de wijsheid van zijn aanpak te bevestigen: als je categoriciteit wilt, dan moet je naar een systeem van hogere orde gaan.

Op dit punt in de jaren dertig van de vorige eeuw kwamen er echter verschillende andere stromingen in het denken over logica samen. De intellectuele situatie was zeer complex. De beroemde kranten van Carnap, von Neumann en Heyting op het Königsberg-congres in 1931 hadden de logistische, formalistische en intuïtionistische scholen geïdentificeerd: hun debatten moesten het denken over de grondslagen van de wiskunde de komende decennia vormgeven. Een zoektocht naar veilige fundamenten, en in het bijzonder naar het vermijden van de set-theoretische paradoxen, was iets dat ze deelden, en dat hielp de balans te kantelen ten gunste van eerste-orde logica. In de eerste plaats (zoals Weyl en Skolem al hadden opgemerkt, en zoals althans impliciet in het Hilbert-programma), waren er goede constructivistische en filosofische redenen om waar mogelijk kwantificering van hogere orde te vermijden,en voor het beperken van iemands logica tot de eerste orde. Ten tweede werden nu verschillende ondubbelzinnig eerste-orde formuleringen gegeven van de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, en ook van de von-Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer (die een eindige axiomatisatie mogelijk maakt). Het eerste-orde karakter van deze theorieën werd benadrukt in een aantal publicaties uit de jaren dertig: door Tarski (1935), Quine (1936), Bernays (1937) en Gödel (1940). Praktisch gezien waren deze theorieën van de eerste orde voldoende om alle bestaande wiskundige praktijken te formuleren; dus voor de codificatie van wiskundige bewijzen was het niet nodig toevlucht te nemen tot logica van hogere orde. (Dit bevestigde een waarneming die Hilbert al in 1917 had gedaan, hoewel hij zelf het punt niet volledig had ontwikkeld.) Ten derde was er een toenemende neiging om onderscheid te maken tussen logica en verzamelingenleer,en de verzamelingenleer te beschouwen als een tak van de wiskunde. Het feit dat hogere-orde logica kon worden opgevat als (in Quine's latere zin) "verzamelingenleer in schaapskleren" versterkte de andere tendensen: "ware" logica was eerste-orde; hogere-orde logica was "echt" verzamelingenleer. Tegen het einde van het decennium was men het erover eens dat wiskundige theorieën, voor onderzoek naar de grondslagen van de wiskunde, in eerste-orde termen zouden moeten worden geformuleerd. Klassieke logica van de eerste orde was 'standaard' geworden.voor onderzoeksdoeleinden in de grondslagen van de wiskunde zouden wiskundige theorieën in eerste-orde termen moeten worden geformuleerd. Klassieke logica van de eerste orde was 'standaard' geworden.voor onderzoeksdoeleinden in de grondslagen van de wiskunde zouden wiskundige theorieën in eerste-orde termen moeten worden geformuleerd. Klassieke logica van de eerste orde was 'standaard' geworden.

11. Conclusies

Laten we nu proberen enkele lessen te trekken en in het bijzonder vragen of de opkomst van de eerste-orde logica onvermijdelijk was. Ik begin met een opmerking. Elke fase van deze complexe geschiedenis wordt bepaald door twee soorten verschuivende achtergrondoverwegingen. Een daarvan is grotendeels wiskundig: de stellingen die waren opgesteld. De andere is grotendeels filosofisch: de aannames die (expliciet of stilzwijgend) zijn gedaan over logica en over de grondslagen van de wiskunde. Deze twee dingen hadden een wisselwerking. Elke denker in de reeks begint met enkele min of meer intuïtieve ideeën over logica. Die ideeën roepen wiskundige vragen op: onderscheid wordt gemaakt: stellingen worden bewezen: consequenties worden genoteerd en het filosofische begrip wordt aangescherpt. In elke fase is de vraag: "Wat is logica?" (of:'Wat is de juiste logica?') Moet worden beoordeeld tegen zowel de wiskundige als de filosofische achtergrond: het heeft weinig zin om de vraag abstract te stellen.

Laten we nu eens kijken naar de vraag: wanneer werd de eerste-orde logica ontdekt? Die vraag is te algemeen. Het moet worden onderverdeeld in drie aanvullende vragen:

  • ((alpha)) Wanneer werd de eerste-orde logica voor het eerst expliciet geïdentificeerd als een apart logisch systeem? Deze vraag heeft een relatief eenvoudig antwoord. De eerste-orde logica werd in 1885 door Peirce expliciet geïdentificeerd, maar vervolgens vergeten. Het werd onafhankelijk herontdekt in Hilbert's lezingen van 1917/18 en kreeg veel geld in de monografie van 1928, Hilbert & Ackermann. Peirce was de eerste die het identificeerde: maar het was Hilbert die het systeem op de kaart zette.
  • ((beta)) Wanneer werd erkend dat logica van de eerste orde belangrijk verschilde van systemen van hogere orde? Dit is een ingewikkelder vraag. Hoewel Hilbert de logica van de eerste orde isoleerde, behandelde hij deze niet als bijzonder belangrijk en bleef hij zelf werken in de typetheorie. Het besef van de fundamentele metalogische verschillen tussen logica van de eerste en hogere orde begon pas in de vroege jaren dertig te ontstaan, meestal, maar niet uitsluitend, door Gödel.
  • ((gamma)) Hoe werd logica van de eerste orde beschouwd als een bevoorrecht logisch systeem, dat wil zeggen, als (in zekere zin) de "juiste" logica voor onderzoek in de grondslagen van de wiskunde? Die vraag is ook zeer ingewikkeld. Zelfs nadat de Gödel-resultaten algemeen bekend waren, bleven logici werken in de typetheorie en het duurde jaren voordat de eerste-orde logica de canonieke status bereikte. De overgang verliep geleidelijk en kan geen specifieke datum krijgen.

Laten we ons nu, uitgerust met deze verschillen, afvragen: waarom werd de eerste-orde logica niet eerder ontdekt?

Opvallend is dat Peirce al in 1885 duidelijk onderscheid maakte tussen propositionele logica, eerste-orde logica en tweede-orde logica. Hij was zich ervan bewust dat propositielogica aanzienlijk zwakker is dan kwantificatielogica, en in het bijzonder ontoereikend is voor een analyse van de grondslagen van rekenen. Vervolgens had hij kunnen constateren dat logica van de tweede orde in bepaalde opzichten filosofisch problematisch is, en dat onze greep op kwantificering over objecten in het algemeen steviger is dan onze greep op kwantificering over eigenschappen. Het probleem doet zich zelfs voor als het discoursuniversum eindig is. We hebben bijvoorbeeld een redelijk inzicht in wat het betekent om te spreken (in eerste-orde termen) van alle planeten, of om te zeggen dat er een planeet bestaat met een bepaalde eigenschap. Maar wat betekent het om (in termen van de tweede orde) te praten over alle eigenschappen van de planeten? Wat is het criterium van individualisering voor dergelijke eigenschappen? Is het eigendom van de buitenste planeet hetzelfde als het eigendom van de kleinste planeet? Wat moeten we zeggen over negatieve eigenschappen? Is het een eigenschap van de planeet Saturnus dat het niet gelijk is aan het gehele getal 17? In dat geval, hoewel er maar een eindig aantal planeten zijn, moeten onze tweede-orde kwantoren oneindig veel eigenschappen overschrijden. Enzovoort. De Chinese bezwaren zijn bekend.

Dergelijke argumenten waren gemaakt in de scholastische geschillen tussen realisten en nominalisten: Peirce was doordrenkt van de middeleeuwse literatuur over deze onderwerpen. Hij hoeft niet zover te zijn gegaan om punt ((gamma)) te maken, dat wil zeggen te beweren dat logica van de eerste orde bijzonder bevoorrecht is. Dat zou in ieder geval in strijd zijn geweest met zijn logisch pluralisme. Maar hij had wel de tools om punt ((beta)) te maken en te benadrukken dat er een belangrijke kloof is die de logica van de tweede orde scheidt van de eerste orde, net zoals er een belangrijke kloof is die de logica van de eerste orde scheidt van de Booleaanse propositionele calculus. Waarom maakte hij deze punten niet al in 1885?

Elk antwoord kan alleen speculatief zijn. Een kleine factor is dat Peirce zelf geen nominalist was. Een andere reden is dat hij opereerde binnen een verscheidenheid aan logische systemen: hij was van nature eclectisch en niet geneigd om te zoeken naar de 'ene ware logica'. Er zijn ook technische overwegingen. Peirce presenteert, in tegenstelling tot Hilbert, de logica van de eerste intentie niet als een axiomatisch systeem en dringt er ook niet op aan als een voertuig om de grondslagen van de wiskunde te bestuderen. Hij beschikt niet over het onderscheid tussen een niet-geïnterpreteerde, formele, axiomatische calculus en de metataal. Als gevolg hiervan stelt hij geen vragen over beslisbaarheid, volledigheid of categoriciteit; en zonder de metamathematische resultaten had hij geen volledig begrip van de verschillen in expressieve kracht tussen eerste-orde en tweede-orde logica. Een van de sterkste argumenten tegen logica van de tweede orde - dat kwantificering over alle subsets van een denumereerbare verzameling kwantificering over een niet-denumereerbare totaliteit met zich meebrengt - kon niet eens zijn geformuleerd totdat de stelling van Cantor bekend was. De logische en set-theoretische paradoxen waren nog niet ontdekt, en Zermelo had de setentheorie nog niet axiomatiseerd: Peirce miste dus het acute gevoel van motivatie om een 'veilige basis voor wiskunde' te ontdekken. En natuurlijk had Peirce geen idee van de Löwenheim-Skolem-stellingen, of de Skolem-paradox, of de opeenvolging van metalogische stellingen die de logica van de eerste orde scherp in beeld moesten brengen. Hij gaf een flexibele en suggestieve notatie die enorm vruchtbaar zou blijken te zijn, en hij was de eerste die duidelijk onderscheid maakte tussen logica van de eerste en tweede orde:maar de instrumenten om de wiskundige betekenis van het onderscheid te begrijpen, bestonden nog niet. (Zoals Henri Pirenne ooit opmerkte, ontdekten de Vikingen Amerika, maar ze vergaten het, omdat ze het nog niet nodig hadden.)

Een verwant punt geldt voor Frege en Russell. Ze bezaten de conceptie van een hiërarchie van logische niveaus, en in principe hadden ook zij de logica van de eerste orde kunnen isoleren en daarmee stap ((alpha)) bereikt. Maar ze hebben nooit overwogen het laagste niveau van de hiërarchie te isoleren als een vrijstaand systeem. Hiervoor zijn zowel filosofische als wiskundige redenen. Als een filosofische kwestie had het logicistische project tot doel aan te tonen dat "wiskunde tot logica herleid kan worden": en zij beschouwden de hele hiërarchie van typen als logica. En dan, als wiskundige kwestie, was logica van de tweede orde nodig voor hun constructie van de gehele getallen. Ze hadden dus geen dwingende reden, filosofisch of wiskundig, waardoor ze zich zouden hebben geconcentreerd op het fragment van de eerste orde.

Er is hier een leerzaam contrast met Peirce. Peirce, in de geest van de 19 e eeuwse algebraists, was blij om een weelderige overvloed van logische structuren te ontdekken: zijn houding was fundamenteel pluralistisch. De logicisten, werkzaam in de analytische traditie, waren meer bezorgd om te ontdekken wat de gehele getallen eigenlijk zijn: hun houding was fundamenteel monistisch en reductionistisch. Maar om de eerste-orde logica te onderscheiden, zoals dat in de jaren dertig gebeurde, waren twee dingen nodig: een besef dat er verschillende logische systemen waren en een argument om de ene boven de andere te verkiezen. Peirce had het pluralisme: de logici hadden de drang om een 'correct' systeem te vinden, maar geen van beiden.

Laten we ons nu richten op de vraag: was de opkomst van eerste-orde logica onvermijdelijk? Het is onmogelijk om contrafeitelijke overwegingen te vermijden en het antwoord moet speculatiever zijn. En ook hier moet onderscheid worden gemaakt tussen de onvermijdelijkheid van de technische resultaten ((beta)) en de onvermijdelijkheid van punt ((gamma)).

Laten we beginnen met punt ((beta)). Tegen 1928 waren de metalogische resultaten redelijkerwijs onvermijdelijk. Hilbert & Ackermann had de eerste-orde logica geïsoleerd en beschreven; het onderscheid tussen wiskunde en meta-wiskunde was toen goed begrepen; ze hadden laten zien hoe de volledigheid van de propositionele calculus te bewijzen; en ze brachten expliciet de volledigheid van de eerste-orde logica naar voren als een belangrijk open probleem. Het was zeker dat een ondernemende logicus de komende jaren een antwoord zou geven: Gödel kwam namelijk als eerste aan. Het zou dan een voor de hand liggende volgende stap zijn geweest om te informeren naar de volledigheid van systemen van hogere orde. Dus binnen een paar jaar na Hilbert & Ackermann zouden de fundamentele metalogische stellingen zijn vastgesteld.

Als dat juist is, dan was Hilbert's beslissende stap in de lezingen van 1917/18 niet het isoleren van eerste-orde logica, dat wil zeggen niet stap ((alpha)). Dat was een relatief onbelangrijke zaak. Die stap was al expliciet door Peirce gezet en stilzwijgend door Weyl en Löwenheim. Hilbert behandelde het niet zo belangrijk en lijkt het vooral te hebben gezien als een verklarend apparaat, een middel om de presentatie van de logica van Principia Mathematica te vereenvoudigen. De belangrijke stap in 1917 was eerder de introductie van technieken van metamathematica, en het expliciet stellen van vragen over volledigheid en consistentie en beslisbaarheid. Deze vragen stellen voor logische systemen was een enorme conceptuele sprong en Hilbert begreep het als zodanig. Zijn eigen eerste pogingen, gedaan in zijn toespraak in 1905 in Heidelberg,was onder de kritiek van Poincaré ingestort en hij had moeite om een bevredigende formulering te vinden. En zelfs nadat hij zijn metalogische onderscheidingen had geïntroduceerd in zijn papieren van de jaren twintig, hadden logici van het kaliber Russell en Brouwer en Ramsey moeite om te begrijpen wat hij probeerde te doen. Deze ontwikkeling was in 1917 allesbehalve onvermijdelijk: en zonder de introductie van de metalogische technieken zou de geschiedenis van de logica en de bewijstheorie in de jaren twintig en dertig er heel anders hebben uitgezien. Zouden de stellingen van Gödel ooit zijn bedacht? Zou het werk van Löwenheim of Skolem of Zermelo onafhankelijk hebben geleid tot een onderzoek naar de metalogische eigenschappen van eerste-orde logica? Men kan zich achteraf een alternatief pad voorstellen voor de technische resultaten ((beta)),maar er is geen reden om aan te nemen dat ze voorbestemd waren om tevoorschijn te komen toen ze dat deden, of zoals ze deden.

Er ontstaat een subtieler probleem als we ons nu richten op punt ((gamma)) en vragen: was het onvermijdelijk dat logica van de eerste orde zou worden beschouwd als een "bevoorrecht" logisch systeem? Zoals we hebben gezien, maken de metalogische resultaten van de jaren dertig niet het begin van de logica van de eerste orde ongedaan. Het 'bevoorrechte' kwam later en lijkt eerder af te hangen van filosofische overwegingen: de noodzaak om de set-theoretische paradoxen te vermijden, een zoektocht naar een veilige basis voor wiskunde, een verlangen om tegemoet te komen aan de bezwaren van Brouwer en Weyl, een gevoel dat hoger is -orderlogica waren methodologisch verdacht en vermijdbaar. Al deze dingen tonen de voortdurende invloed van de Grundlagenkrise van de jaren twintig, die zo veel heeft gedaan om de voorwaarden te bepalen voor het latere filosofische begrip van de grondslagen van de wiskunde.

Het is daarom belangrijk te benadrukken dat een alternatieve geschiedenis mogelijk was en dat de Grundlagenkrise in 1917/18 geheel afwezig was in Hilbert's logische geschriften. De namen van Brouwer en Weyl worden nergens genoemd. Hilbert is zich natuurlijk bewust van de paradoxen (waarvan hij al sinds 1897 op de hoogte was), maar had lang geloofd dat Zermelo's axiomatisatie had aangetoond hoe ze die konden vermijden. Evenmin vinden we in zijn geschriften enige zoektocht naar de 'ene ware logica'. Integendeel. Zowel in 1917/18 als in de ongepubliceerde dictaten van begin jaren twintig ligt de nadruk op het gebruik van de nieuwe metalogische technieken om de sterke en zwakke punten van een diversiteit aan logische systemen te onderzoeken. Het werk is expliciet uitgevoerd in de geest van zijn studies van de axioma's van de meetkunde. Hij zal een systeem oppakken, het een tijdje verkennen en het dan laten vallen om iets anders te onderzoeken. In zijn pluralisme en in zijn pragmatische, experimentele houding staat hij dichter bij Peirce dan bij de logicisten.

De Grundlagenkrise en zijn openbare, polemische uitwisselingen met Brouwer kwamen later en ze gaven een vertekend beeld van de beweegredenen achter zijn logische onderzoek. Wat was de impact van deze filosofische debatten op de technische aspecten van zijn programma? Voor de formulering van eerste-orde logica en voor het stellen van metalogische vragen is het antwoord eenvoudig: er was geen enkele impact. De inhoud van Hilbert & Ackermann 1928 was al aanwezig in de lezingen van 1917/18. Wat Hilbert's proof-theoretisch onderzoek van de jaren twintig betreft, kwamen de belangrijkste ontwikkelingslijnen vrij onafhankelijk van Brouwer en Weyl tot stand. De polemieken hebben misschien een gevoel van urgentie toegevoegd, maar het is moeilijk om enige invloed op de werkelijke wiskunde te ontdekken.

Dus zelfs als we ons voorstellen dat de filosofische Grundlagenkrise volledig uit beeld is verwijderd, zouden de technische resultaten van de Hilbertschool niet significant zijn beïnvloed. De volledigheids- en onvolledigheidsresultaten zouden naar alle waarschijnlijkheid min of meer op schema zijn aangekomen. (Het is de moeite waard om op te merken dat Bernays en Hilbert al in 1928 de mogelijkheid van verschillende soorten onvolledigheid hadden overwogen: zie de discussie van Wilfried Sieg in Hilbert [LFL]: 792–796.) Maar die resultaten zouden in een zeer ander filosofisch klimaat. De onvolledigheidsstellingen zouden waarschijnlijk eerder zijn opgevat als een belangrijke technische bijdrage binnen het bredere Hilbert-programma dan als een dramatische weerlegging. Misschien (zoals Angus Macintyre 2011 suggereerde) zouden ze eerder gezien zijn als de onafhankelijkheidsresultaten in de verzamelingenleer, met minder gepraat over de grenzen van wiskundige creativiteit.

Met andere woorden, verre van onvermijdelijk, was de opkomst, tegen het einde van de jaren dertig, van logica van de eerste orde als een bevoorrecht systeem van logica afhankelijk van twee dingen, elk onafhankelijk van de andere. Aan de wiskundige kant hing het af van Hilbert's introductie van metalogische technieken; aan de filosofische kant hing het af van de argumenten van de Grundlagenkrise. Geen van deze dingen was onvermijdelijk: evenmin was het feit dat ze ongeveer tegelijkertijd plaatsvonden. Met een andere geschiedenis had Hilbert's flexibele houding misschien de overhand gehad, en misschien was er meer nadruk gelegd op systemen van hogere orde, of op de verkenning van algebraïsche logica, infinitaire logica, categorietheoretische systemen en dergelijke: kortom op logische pluralisme.

Het is de moeite waard om op te merken dat, aangezien de filosofische zorgen van de Grundlagenkrise zijn afgenomen, en naarmate nieuwe benaderingen vanuit de richting van de informatica en de homotopietheorie het veld zijn binnengedrongen, het primaat van de logica van de eerste orde kan worden heroverwogen.

Bibliografie

  • Awodey, Steve & Erich H. Reck, 2002, "Compleetheid en categoriciteit, deel I: negentiende-eeuwse axiomatiek voor de twintigste-eeuwse metalogica", geschiedenis en filosofie van de logica, 23 (1): 1–30. doi: 10.1080 / 01445340210146889
  • Badesa, Calixto, 2004, The Birth of Model Theory: Löwenheim's Theorem in the Frame of the Theory of Relatives, Princeton: Princeton University Press.
  • Bernays, Paul, 1918, "Beiträge zur axiomatischen Behandlung des Aussagen-Kalküls", Habilitation Thesis, Universiteit van Göttingen; voor het eerst gepubliceerd in Hilbert [LFL], blz. 231-268.
  • –––, 1926, “Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalküls der Principia Mathematica”, Mathematische Zeitschrift, 25: 305–320.
  • –––, 1937, “A System of Axiomatic Set Theory”, Journal of Symbolic Logic, 2 (1): 65–77. doi: 10.2307 / 2268862
  • Boole, George, 1847, The Mathematical Analysis of Logic: Being An Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning, Cambridge: Macmillan. Herdrukt in Ewald 1996: vol. 1, pp. 451-509. [Boole 1847 online beschikbaar]
  • Brady, Geraldine, 2000, From Peirce to Skolem: A Neglected Chapter in the History of Logic, (Studies in the History and Philosophy of Mathematics, 4), Amsterdam: Elsevier.
  • Carnap, Rudolf, "Die logizistische Grundlegung der Mathematik", Erkenntnis, 2 (1): 91–105. (Verwijzingen naar de vertaling in Paul Benacerraf en Hilary Putnam, Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, 1983, 41-52.) Doi: 10.1007 / BF02028142 (de) doi: 10.1017 / CBO9781139171519.003 (en)
  • Church, Alonzo, 1956, Inleiding tot de wiskundige logica, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 1974, “Russellian Simple Type Theory”, Proceedings and Addresses of the American Philosophical Association, 47: 21–33. doi: 10.2307 / 3129899
  • De Morgan, Augustus, 1864, 'On the Syllogism, No. IV, and on the Logic of Relations', Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 10: 173–230. (Lees 8 februari 1858.) [De Morgan 1864 online beschikbaar]
  • Dutilh Novaes, Catarina, te verschijnen, "Axiomatisaties van rekenkunde en de tweedeling van de eerste en tweede orde", Synthese, eerst online: 30 december 2014. doi: 10.1007 / s11229-014-0636-6
  • Eklund, Matti, 1996, 'On How Logic Became First-Order', Nordic Journal of Philosophical Logic, 1 (2): 147–167. [Eklund 1996 online beschikbaar]
  • Ewald, William Bragg (red.), 1996, From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 delen., Oxford: Clarendon Press.
  • Ferreirós, José, 2001, 'The Road to Modern Logic-An Interpretation', Bulletin of Symbolische Logica, 7 (4): 441–484. doi: 10.2307 / 2687794
  • Fraenkel, Abraham A., 1927, "Review of Skolem 1922", Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, 49: 138–139.
  • Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle: Nebert. Vertaald door Stefan Bauer-Mengelberg in van Heijenoort 1967: 1–82.
  • –––, 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: Koebner. Vertaald door JL Austin als The Foundations of Arithmetic, A Logico-Mathematical Inquiry into the Concept of Number, Oxford: Blackwell, 1950.
  • –––, 1893, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, vol. 1, Jena: Pohl.
  • –––, 1895, “Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E. Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik”, Archiv für systematische Philosophie, 1: 433–456. [Frege 1895 online beschikbaar]
  • –––, [ PMC], Philosophical and Mathematical Correspondence, Gottfried Gabriel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Christian Thiel, Albert Veraart, Brian McGuinness, en Hans Kaal (red.), Chicago: University of Chicago Press, 1980.
  • Gabbay, Dov M. & John Woods (eds.), 2009, Handbook of the History of Logic, Vol. 5: Logica van Russell tot kerk, Amsterdam: Elsevier-Noord-Holland.
  • Gödel, Kurt, 1929, Über die Vollständigkeit des Logikkalküls, doctoraal proefschrift, Universiteit van Wenen. Gedrukt met vertaling in Sol Feferman et al. (eds), Kurt Gödel: Collected Works, Vol. 1: Publications 1929–1936, Oxford: Clarendon Press, pp. 60–101.
  • –––, 1931, "Über formele unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I", Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198; vertaald door S. Bauer-Mengelberg in van Heijenoort 1967: 596–616.
  • –––, 1940, The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton: Princeton University Press.
  • Goldfarb, Warren D., 1979, "Logic in the Twenties: The Nature of the Quantifier", Journal of Symbolic Logic, 44 (3): 351–368. doi: 10.2307 / 2273128
  • Hilbert, David, 1905, "Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik", in Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. augustus 1904, Leipzig: Teubner, pp. 174–185; vertaald door S. Bauer-Mengelberg in van Heijenoort 1967: 130–138.
  • –––, 1917, “Axiomatisches Denken”, Mathematische Annalen 78 (1–4): 405–415; vertaald door W. Ewald in Ewald 1996 (Volume 2), pp. 1105-1115. doi: 10.1007 / BF01457115 (de)
  • –––, 1917/18, Prinzipien der Mathematik, niet-gepubliceerde lezingen in Göttingen, Winter Semester, 1917/18 (aantekeningen van de lezingen opgenomen door Paul Bernays). Herdrukt in Hilbert 2013: 31–221.)
  • –––, 1928, "Probleme der Grundlegung der Mathematik", (de "Bologna-lezing"), herdrukt in Hilbert 2013: 954–966.
  • –––, [ LFL], David Hilbert, Lectures on the Foundations of Logic, Mathematics and the Natural Sciences (Volume III: Foundations of Logic and Arithmetic, 1917–1933), William Ewald en Wilfried Sieg (red.), Berlijn: Springer Verlag, 2013. doi: 10.1007 / 978-3-540-69444-1
  • Hilbert, David & Wilhelm Ackermann, 1928, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlijn: Springer Verlag.
  • Hilbert, David & Paul Bernays, 1939, Prinzipien der Mathematik II, Berlijn: Springer Verlag.
  • Landini, Gregory, 1998, Russell's Hidden Substitutional Theory, Oxford: Oxford University Press.
  • Lindström, Per, 1969, 'On Extensions of Elementary Logic', Theoria, 35 (1): 1–11. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1969.tb00356.x
  • Linsky, Bernard, 2011, The Evolution of 'Principia Mathematica': Bertrand Russell's Manuscripts and Notes for the Second Edition, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511760181
  • Löwenheim, Leopold, 1915, "Über Möglichkeiten im Relativkalkül", Mathematische Annalen, 76 (4): 447–470. Vertaling in van Heijenoort 1967: 228–251. doi: 10.1007 / BF01458217 (de)
  • –––, 1940, "Einkleidung der Mathematik im Schröderschen Relativkalkül", Journal of Symbolische logica, 5 (1): 1–15. doi: 10.2307 / 2269177
  • Macintyre, Angus, 2011, "The Impact of Gödel's Incompleteness Theorems on Mathematics", in Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth, Matthias Baaz, Christos H. Papadimitriou, Dana S. Scott, Hilary Putnam en Charles L. Harper (red.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. 3-26. doi: 10.1017 / CBO9780511974236.004
  • Mancosu, Paolo (red.), 1998, From Brouwer to Hilbert: The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo, Richard Zach, & Calixto Badesa, 2009, "The Development of Mathematical Logic from Russell to Tarski, 1900–1935", in L. Haaparanta (red.), The Development of Modern Logic, Oxford: Oxford University Press, pp. 318–470; herdrukt in Paolo Mancosu (red.), The Adventure of Reason: Interplay Between Philosophy of Mathematics and Mathematical Logic, 1900–1940, Oxford: Oxford University Press, pp. 5–120.
  • Moore, Gregory S., 1988, "The Emergence of First-Order Logic", in William Aspray en Philip Kitcher (eds), History and Philosophy of Modern Mathematics, (Minnesota Studies in the Philosophy of Science, 11), blz. 95 –135, Minneapolis: University of Minnesota Press.
  • Peano, Giuseppe, 1889, Arithmetices Principia, nova methodo exposita, Turijn: Bocca. Vertaald in van Heijenoort 1967: 20–55. [Peano 1889 (it) online beschikbaar]
  • Peirce, Charles S., 1867, Five Papers on Logic gepresenteerd aan de American Academy; herdrukt in Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition (Volume 2), Edward C. Moore (red.), Bloomington: Indiana University Press, 1984, pp. 12-86.
  • –––, 1870 [1873], "Beschrijving van een notatie voor de logica van familieleden, resulterend uit een versterking van de opvattingen van Boole's Calculus of Logic", Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences, 9 (2): 317 –378, meegedeeld 26 januari 1870, gepubliceerd 1873. doi: 10.2307 / 25058006
  • –––, 1881, “On the Logic of Number”, American Journal of Mathematics, 4 (1): 85–95. Herdrukt in Ewald 1996: vol. 1, pp. 598-608. doi: 10.2307 / 2369151
  • –––, 1883, “A Theory of Probable Inference”, in CS Peirce (red.), Studies in Logic door leden van de Johns Hopkins University, Boston: Little Brown, pp. 126–181. [Peirce 1883 online beschikbaar]
  • –––, 1885, “On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation”, American Journal of Mathematics, 7 (2): 180–202. Herdrukt in Ewald 1996: vol. 1, pp. 608-632. doi: 10.2307 / 2369451
  • Quine, Willard V., 1936, "Set-theoretic Foundations for Logic", Journal of Symbolische Logica, 1 (2): 45-57. doi: 10.2307 / 2268548
  • Reck, Erich H., 2013, "Developments in Logic: Carnap, Gödel, and Tarski", in Oxford Handbook of the History of Analytical Philosophy, Michael Beaney (red.), Oxford: Oxford University Press, pp 546-571.
  • Russell, Bertrand, 1903, The Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press. [Russell 1903 online beschikbaar]
  • –––, 1908, “Mathematical Logic as Based on the Theory of Types”, American Journal of Mathematics, 30 (3): 222–262. Herdrukt in van Heijenoort 1967: 150–182. doi: 10.2307 / 2369948
  • Schiemer, Georg & Erich H. Reck, 2013, "Logic in the 1930s: Type Theory and Model Theory", Bulletin of Symbolische Logica, 19 (4): 433–472. doi: 10.1017 / S1079898600010568
  • Schröder, Ernst, 1890–95, Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik), 3 delen, Leipzig: Teubner.
  • Sieg, Wilfried, 1999, "Hilbert's Programs: 1917–1922", Bulletin of Symbolische Logica, 5 (1): 1-44. doi: 10.2307 / 421139
  • –––, 2009, "Hilbert's Proof Theory", in Gabbay & Woods 2009: 321–384. doi: 10.1016 / S1874-5857 (09) 70012-3
  • –––, 2013, Hilbert's Programmes and Beyond, Oxford: Oxford University Press.
  • Skolem, Thoralf, 1920, "Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem theoreme über dichte Mengen", Kristiania. Gedeeltelijk vertaald door S. Bauer Mengelberg in van Heijenoort 1967: 252–263.
  • –––, 1922, “Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre”, vertaald door S. Bauer Mengelberg in van Heijenoort 1967: 217–232.
  • –––, 1923, "Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veränderlichen mit unendlichem Ausdehnungsbereich", Kristiania. Vertaald door S. Bauer Mengelberg in van Heijenoort 1967: 302–333. [Skolem 1923 (de) online beschikbaar]
  • Tarski, Alfred, 1935, 'Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen', Studia Philosophica, 1: 261–405. Vertaald in Logic, Semantics, Metamathematics: Papers van 1923 tot 1938, Oxford: Oxford University Press, 1956.
  • van Heijenoort, Jean, (red.), 1967, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press
  • von Neumann, John, 1927, "Zur Hilbertschen Beweistheorie", Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
  • Weyl, Hermann, 1910, "Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe", Mathematisch-Wissenschaftliche Blätter, 7: 93–95, 109–113.
  • –––, 1918, Das Kontinuum, Berlijn: de Gruyter.
  • Whitehead, Alfred N. & Bertrand Russell, 1910–1913, Principia Mathematica, 3 delen, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Zach, Richard, 1999, "Compleetheid voor bericht: Bernays, Hilbert en de ontwikkeling van Propositionele Logica", Bulletin of Symbolische Logica, 5: 331–366.
  • Zermelo, Ernst, 1908, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I", Mathematische Annalen, 65 (2): 261–281. Vertaald door S. Bauer Mengelberg in van Heijenoort 1967: 199–215. doi: 10.1007 / BF01449999 (de)
  • –––, 1929, “Über den Begriff der Definitheit in der Axiomatik”, Fundamenta Mathematicae, 14: 339–344. doi: 10.4064 / fm-14-1-339-344

Academische hulpmiddelen

sep man pictogram
sep man pictogram
Hoe deze vermelding te citeren.
sep man pictogram
sep man pictogram
Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
inpho icoon
inpho icoon
Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papieren pictogram
phil papieren pictogram
Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

[Neem contact op met de auteur voor suggesties.]

Aanbevolen: