Moderne Oorsprong Van Modale Logica

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Moderne oorsprong van modale logica

Voor het eerst gepubliceerd op 16 november 2010; grondige herziening Maa 8 mei 2017

Modale logica kan in grote lijnen worden gezien als de logica van verschillende soorten modaliteiten, of waarheidswijzen: alethisch ("noodzakelijk"), epistemisch ("het is bekend dat"), deontisch ("het zou zo moeten zijn dat"), of temporeel ("het is zo geweest") onder andere. Gemeenschappelijke logische kenmerken van deze operators rechtvaardigen het gemeenschappelijke label. In strikte zin is de term "modale logica" echter gereserveerd voor de logica van de alethische modaliteiten, in tegenstelling tot bijvoorbeeld de temporele of deontische logica. Vanuit puur technisch oogpunt kan elke logica met niet-waarheid-functionele operatoren, inclusief eerste-orde logica, worden beschouwd als een modale logica: in dit perspectief kunnen ook de kwantoren worden beschouwd als modale operatoren (zoals in Montague 1960). Desalniettemin volgen we het traditionele begrip van modale logica omdat het geen volwaardige eerste-orde logica omvat. In dit perspectief zijn het de modale operatoren die kunnen worden beschouwd als beperkte kwantificatoren, variërend over speciale entiteiten zoals mogelijke werelden of tijdelijke momenten. Arthur Prior was een van de eerste filosofen / logici die het modale systeem benadrukte S5 kan worden vertaald in een fragment van eerste-orde logica, dat hij 'de uniforme monadische eerste-orde predikaatrekening' noemde (Prior en Fine 1977: 56). Monadisch, aangezien voor S5 geen relaties tussen werelden hoeven te worden vermeld; en zo uniform slechts één variabele is nodig om te kwantificeren dan werelden (momenten) wanneer gebonden, en te verwijzen naar de bevoorrechte status (de werkelijke wereld of de huidige tijd) toen de vrije (zie Prior en Fine 1977). Wat betreft de technische vraag welke model-theoretische kenmerken modale logica kenmerken die begrepen worden als goed opgevoede fragmenten van eerste-orde logica, zie Blackburn en van Benthem's "Modal Logic: A Semantic Perspective" (2007a).

Het toepassingsgebied van dit bericht is de recente historische ontwikkeling van modale logica strikt opgevat als logica van behoefte en mogelijkheid, en met name de historische ontwikkeling van systemen voor modale logica, zowel syntactisch als semantisch uit CI Lewis pionierswerk vanaf 1912. de eerste systemen bedacht in 1918, aan het werk S. Kripke in de vroege jaren 1960. In die korte tijdspanne van minder dan vijftig jaar bloeide de modale logica zowel filosofisch als wiskundig op. Wiskundig werden verschillende modale systemen ontwikkeld en de vooruitgang in de algebra hielp de modeltheorie voor dergelijke systemen te bevorderen. Dit culmineerde in de ontwikkeling van een formele semantiek die zich uitstrekte tot de modale logica van de succesvolle eerste-orde model theoretische technieken, waardoor volledigheid en beslisbaarheidsresultaten voor vele, maar niet alle systemen werden verkregen. Filosofisch gezien gingen de beschikbaarheid van verschillende systemen en de acceptatie van de mogelijke model-theoretische semantiek van de wereld natuurlijk vergezeld van reflecties over de aard van mogelijkheid en noodzaak, over verschillende soorten behoeften, over de rol van de formele semantiek en over de aard van de mogelijke werelden, om er maar een paar te noemen. Met name de beschikbaarheid van verschillende systemen brengt de filosofische vraag naar voren welke modale logica de juiste is, onder een beoogde interpretatie van de modale operatoren, bijvoorbeeld als logische of metafysische noodzaak. Vragen over de interpreteerbaarheid van modale logica, met name gekwantificeerde modale logica, werden door Quine nadrukkelijk opgeworpen. Al deze vragen worden niet behandeld in deze inzending, die voornamelijk is gewijd aan de formele ontwikkeling van het onderwerp.de beschikbaarheid van verschillende systemen en de adoptie van de mogelijke model-theoretische semantiek ter wereld gingen natuurlijk vergezeld van reflecties over de aard van mogelijkheid en noodzaak, over verschillende soorten behoeften, over de rol van de formele semantiek, en over de aard van de mogelijke werelden, om er maar een paar te noemen. Vooral de beschikbaarheid van verschillende systemen brengt naar voren de filosofische vraag welke modale logica de juiste is, onder bepaalde beoogde interpretatie van de modale operatoren, bijvoorbeeld als logische of metafysische noodzaak. Vragen over de interpreteerbaarheid van modale logica, met name gekwantificeerde modale logica, werden door Quine nadrukkelijk opgeworpen. Al deze vragen zijn niet in deze post die meestal is gewijd aan de formele ontwikkeling van het onderwerp nagestreefd.de beschikbaarheid van verschillende systemen en de adoptie van de mogelijke model-theoretische semantiek ter wereld gingen natuurlijk vergezeld van reflecties over de aard van mogelijkheid en noodzaak, over verschillende soorten behoeften, over de rol van de formele semantiek, en over de aard van de mogelijke werelden, om er maar een paar te noemen. Met name de beschikbaarheid van verschillende systemen brengt de filosofische vraag naar voren welke modale logica de juiste is, onder een beoogde interpretatie van de modale operatoren, bijvoorbeeld als logische of metafysische noodzaak. Vragen over de interpreteerbaarheid van modale logica, vooral gekwantificeerde modale logica, zijn nadrukkelijk verhoogd Quine. Al deze vragen worden niet behandeld in deze inzending, die voornamelijk is gewijd aan de formele ontwikkeling van het onderwerp.

Modale logica is een rijk en complex onderwerp. Deze inzending geeft geen volledig overzicht van alle ontwikkelde systemen en van alle modeltheoretische resultaten die in de loop van de beschouwde tijd zijn bewezen. Het biedt echter een zinvol overzicht van de belangrijkste systemen en is bedoeld om nuttig te zijn voor diegenen die op zoek zijn naar een historisch overzicht van het onderwerp dat, zelfs als het niet allesomvattend is, de interessantste theoretische modelresultaten schetst en verdere verkenningslijnen aangeeft. Stier en Segerberg's (1984: 3) bruikbaar verdeling van de oorspronkelijke bronnen van modale logica in drie afzonderlijke tradities syntactische, algebraïsche en model-theoretisch wordt aangenomen. Voor andere, minder invloedrijke tradities, zie Bull en Segerberg (1984: 16). Zie ook Lindström en Segerbergs "Modal Logic and Philosophy" (2007). De belangrijkste focus van dit item ligt op propositionele modale logica, terwijl slechts enkele specifieke aspecten van de semantiek van gekwantificeerde modale logica worden besproken. Voor een meer gedetailleerde behandeling van gekwantificeerde modale logica, raadpleegt de september notitie modale logica. Wat betreft notatie van het gegeven, merken dat (Rightarrow) wordt in plaats van vishaak Lewis voor strikte implicatie aangenomen, en (Leftrightarrow) voor de strikte gelijkwaardigheid.

• 1. De syntactische traditie

  • 1.1 De Lewis Systems
  • 1.2 Andere systemen en alternatieve axiomatisaties van de Lewis-systemen
• 2. De matrixmethode en enkele algebraïsche resultaten

• 3. De modeltheoretische traditie

  • 3.1 Carnap
  • 3.2 Kripke's mogelijke werelden semantiek

• Bibliografie

  • inleidende teksten
  • Primaire literatuur
  • Secundaire literatuur
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. De syntactische traditie

In een baanbrekend artikel uit 1912 in Mind "Implication and the Algebra of Logic" begon CI Lewis zijn bezorgdheid te uiten over de zogenaamde "paradoxen van materiële implicaties". Lewis wijst erop dat we in de Principia Mathematica van Russell en Whitehead twee 'verrassende stellingen vinden: (1) een verkeerde propositie impliceert elke propositie, en (2) een ware propositie wordt geïmpliceerd door elke propositie' (1912: 522). In symbolen:

(tag {1} neg p / rightarrow (p / rightarrow q))

en

(tag {2} p / rightarrow (q / rightarrow p))

Lewis heeft op zichzelf geen bezwaar tegen deze stellingen:

Op zichzelf zijn het geen mysterieuze uitspraken, noch grote ontdekkingen, noch grove absurditeiten. Zij vertonen alleen in scherpe contouren, de betekenis van “betekent” die in de algebra is opgenomen. (1912: 522)

De stellingen zijn echter ontoereikend ten opzichte van de bedoelde betekenis van 'implicatie' en onze feitelijke gevolgtrekkingen die de bedoelde betekenis probeert te vatten. Lewis heeft dus een beoogde betekenis in gedachten voor het voorwaardelijke connectieve (rightarrow) of (supset), en dat is de betekenis van het Engelse woord "impliceert". De betekenis van "impliceert" is die van "gewone gevolgtrekking en bewijs" (1912: 531) volgens welke een zin een andere zin impliceert als de tweede logisch uit de eerste kan worden afgeleid. Gezien een dergelijke interpretatie zouden (1) en (2) geen stellingen moeten zijn, en zou propositielogica als onlogisch kunnen worden beschouwd ten opzichte van het lezen van (rightarrow) als logische implicatie. Overweeg (2) bijvoorbeeld:uit de pure waarheid van een zin (p) volgt niet (logisch) dat (p) logisch volgt uit welke propositie dan ook. Bovendien, gezien het beoogde strikte lezing van (rightarrow) als logische gevolg en de gelijkwaardigheid van ((neg p / rightarrow q)) en ((p / vee q)), Lewis waakt dat disjunctie ook moet een nieuw intensief gevoel worden gegeven, volgens hetwelk ((p / vee q)) geldt voor het geval dat (p) niet het geval zou zijn, dan zou het zo moeten zijn dat (q).

Dergelijke overwegingen, gebaseerd op het onderscheid tussen extensieve en intensieve metingen van de connectieven, waren niet origineel voor Lewis. Reeds in 1880 Hugh MacColl in de eerste van een reeks van acht artikelen over Symbolische redeneren verschenen in gedachten beweerde dat ((p / rightarrow q)) en ((neg p / vee q)) niet gelijkwaardig: ((neg p / vee q)) uit ((p / rightarrow q)), maar niet vice versa (MacColl 1880: 54). Dit komt omdat MacColl interpreteert (vee) regelmatige extensionele disjunctie en (rightarrow) als intensional implicatie, maar dan van de onjuistheid van (p) of de waarheid van (q) te volgt niet dat (p) zonder (q) logisch onmogelijk is. In het tweede artikel van de serie, MacColl onderscheidt zekerheden, mogelijkheden en variabele verklaringenen introduceert Griekse letters als indices te classificeren proposities. Dus (alpha ^ { varepsilon}) geeft aan dat (alpha) een zekerheid is, (alpha ^ { eta}) dat (alpha) een onmogelijkheid is, en (a ^ { theta}) that (a) een variabel, dat wil zeggen, geen zekerheid of onmogelijkheid (MacColl 1897: 496-7). Met behulp van deze drievoudige classificatie van verklaringen gaat MacColl verder met het maken van onderscheid tussen causale en algemene implicaties. Er is een oorzakelijk verband tussen verklaringen (alpha) en (beta) als (alpha) waar is (beta) waar is en (beta) geen zekerheid is. Een algemene implicatie geldt tussen (alpha) en (beta) wanneer (alpha) en niet (- / beta) onmogelijk is, dus in het bijzonder wanneer (alpha) een onmogelijkheid is of (beta) een zekerheid (1897: 498). Het gebruik van indices opende de deur naar de herhaling van modaliteiten, en het begin van de derde papier van de reeks (MacColl 1900: 75-6) is gewijd aan de betekenis van de verklaringen te verduidelijken met herhaalde indices, waaronder (tau) voor waarheid en (iota) voor ontkenning. Dus bijvoorbeeld (A ^ { eta / iota / varepsilon}) wordt gelezen als "Het is zeker dat het niet waar is dat A onmogelijk is" (merk op dat de indices van rechts naar links worden gelezen). Interessant is dat Bertrand Russell's review uit 1906 van MacColl's boek Symbolic Logic and its Applications (1906) onthult dat Russell het modale idee van de variabiliteit van een propositie niet begreep en daarom ten onrechte aan MacColl een verwarring toeschreef tussen zinnen en proposities die de toekenning van variabiliteit mogelijk maakten alleen voor zinnen waarvan de betekenis, en dus de waarheidswaarde, niet vaststond. Evenzozekerheid en onmogelijkheid zijn voor Russell materiële eigenschappen van propositionele functies (waar van alles of van niets) en niet modale eigenschappen van proposities. Men zou kunnen zeggen dat het werk van MacColl te vroeg kwam en aan dovemansoren gericht was. Rescher rapporteert zelfs over Russell's verklaarde moeilijkheid om de symboliek van MacColl te begrijpen en, nog belangrijker, stelt dat Russell's kijk op logica een negatieve invloed had op de ontwikkeling van modale logica ("Bertrand Russell en Modal Logic" in Rescher 1974: 85-96). Ondanks MacColls eerdere werk kan Lewis worden beschouwd als de vader van de syntactische traditie, niet alleen vanwege zijn invloed op latere logici, maar vooral vanwege zijn introductie van verschillende systemen die de nieuwe intensieve connectieven bevatten.

1.1 De Lewis Systems

In "The Calculus of Strict Implication" (1914) suggereert Lewis twee mogelijke alternatieven voor het extensiesysteem van Whitehead en Russell's Principia Mathematica. Een manier om een systeem van strikte implicatie te introduceren, is door uit het systeem die stellingen te verwijderen die, zoals (1) en (2) hierboven, alleen gelden voor materiële implicaties maar niet voor strikte implicaties, waardoor een degelijk systeem wordt verkregen voor zowel materiële als strikte implicatie, maar in geen van beide gevallen compleet. Het tweede, meer vruchtbare alternatief bestaat uit de introductie van een nieuw systeem van strikte implicatie, nog steeds gemodelleerd naar het Whitehead en Russell-systeem van materiële implicatie, dat (geheel of gedeeltelijk) extensieve propositionele logica als een correct onderdeel zal bevatten, maar streeft naar volledigheid voor tenminste strikte implicatie. Deze tweede optie wordt verder uitgewerkt in A Survey of Symbolic Logic (1918). Daar introduceert Lewis een eerste systeem dat bedoeld is om het gewone, strikte gevoel van implicatie vast te leggen, geleid door het idee dat:

Tenzij "impliceert" een "juiste" betekenis heeft, is er geen criterium van geldigheid, zelfs geen mogelijkheid om de vraag te stellen of er een is of niet. En toch is de vraag Wat is de "juiste" betekenis van "impliceert"? blijft eigenaardig moeilijk. (1918: 325)

Het systeem van 1918 neemt als primitief het idee van onmogelijkheid ((neg / Diamond)), definieert de operator van strikte implicatie in zijn termen, en heeft nog steeds een operator van intensieve disjunctie in dienst. Post zal echter bewijzen dat dit systeem leidt tot het ineenstorten van de noodzaak tot de waarheid - of van de onmogelijkheid tot onwaarheid - aangezien een van zijn stellingen ((((p / Rightarrow q) Leftrightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))) het kan worden bewezen dat ((neg p / Leftrightarrow / neg / Diamond p)). In 1920, “Strict Implication-An Emendation”, herstelt Lewis het systeem dat het oude axioma vervangt door het zwakkere: (((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))). Tot slot, in bijlage II van de Lewis en het volume Symbolic Logic Langford's (1932:492–502) “De structuur van het systeem van strikte implicatie” Het systeem van 1918 krijgt een nieuwe axiomatische basis.

In de Appendix van 1932 introduceert Lewis Lewis vijf verschillende systemen. De modale primitieve symbool nu de exploitant van mogelijkheden (Diamond) strikte implicatie ((p / Rightarrow q)) wordt gedefinieerd als (neg / Diamond (p / wig / neg q)) en (vee) is een gewone extensieve disjunctie. De noodzaakoperator (Box) kan ook worden geïntroduceerd en gedefinieerd, hoewel Lewis dat niet doet, op de gebruikelijke manier als (neg / Diamond / neg).

Waar (p, q) en (r) propositionele variabelen zijn, heeft systeem S1 de volgende axioma's:

Axioma's voor S1

(Begin {align} label {B1} (p / wedge q) & / Rightarrow (q / wig p) / \ tag {B2} (p / wedge q) & / Rightarrow p \\ / label {B3 } p & / Rightarrow (p / wedge p) / \ tag {B4} ((p / wedge q) wedge r) & / Rightarrow (p / wedge (q / wedge r)) / \ tag {B5} p & / Rightarrow / neg / neg p \\ / tag {B6} ((p / Rightarrow q) wedge (q / Rightarrow r)) & / Rightarrow (p / Rightarrow r) / \ tag {B7} (p / wedge (p / Rightarrow q)) & / Rightarrow q \\ / end {align})

Axiom B5 is door McKinsey (1934) overtollig gebleken en kan daardoor worden genegeerd.

De regels zijn (1932: 125-6):

Regels voor S1

Uniforme vervanging

Een geldige formule blijft geldig als een formule hierin uniform wordt vervangen door een propositionele variabele.

Vervanging van strikte equivalenten

Elk van twee strikt equivalente formules kan door elkaar worden vervangen.

Aanpassing

Als (Phi) en (Psi) zijn afgeleid, dan kan (Phi / wedge / Psi) worden afgeleid.

Strikte gevolgtrekking

Als (Phi) en (Phi / Rightarrow / Psi) zijn afgeleid, dan kan (Psi) worden afgeleid.

Systeem S2 wordt verkregen systeem S1 door het toevoegen van wat Lewis noemt “de consistentie postulaat”, aangezien uiteraard geldt voor (Diamond) uitgelegd samenhang:

(tag {B8} Diamond (p / wedge q) Rightarrow / Diamond p)

Systeem S3 wordt verkregen uit het systeem S1 door toevoeging van het axioma:

(tag {A8} ((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p)))

Systeem S3 correspondeert met het 1918-systeem van A Survey, die Lewis aanvankelijk beschouwd als het juiste systeem strikte implicatie. In 1932 heeft Lewis de voorkeur gegeven aan systeem S2. De reden, zoals gerapporteerd in Lewis 1932: 496, is dat zowel Wajsberg als Parry in systeem S3 - in zijn axiomatisatie van 1918 - de volgende stelling hebben afgeleid:

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)),)

die volgens Lewis niet als een geldig aftrekbeginsel moet worden beschouwd. In 1932 weet Lewis niet zeker of de twijfelachtige stelling niet afleidbaar is in S2. Mocht dat het geval zijn, dan zou hij S1 beoordelen als het juiste systeem voor strikte implicatie. Parry (1934) zal later echter bewijzen dat noch A8 noch

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)))

kan worden afgeleid in S2.

Aan al deze systemen kan een verder bestaan-axioma worden toegevoegd:

(tag {B9} (bestaat p, q) (neg (p / Rightarrow q) wedge / neg (p / Rightarrow / neg q)))

De toevoeging van B9 maakt het onmogelijk om (Rightarrow) als materiële implicatie te interpreteren, aangezien in het geval van materiële implicatie kan worden bewezen dat voor elke propositie (p) en (q, ((p / rightarrow q) vee (p / rightarrow / neg q))) (1932: 179). Uit B9 gaat Lewis verder met het afleiden van het bestaan van ten minste vier logisch onderscheiden stellingen: één waar en noodzakelijk, één waar maar niet noodzakelijk, één onwaar en onmogelijk, één onwaar maar niet onmogelijk (1932: 184–9).

In navolging van Becker (1930) overweegt Lewis nog drie axioma's:

Drie extra axioma's

(begin {align} tag {C10} neg / Diamond / neg p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / neg / Diamond / neg p \\ / tag {C11} Diamond p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p \\ / tag {C12} p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p \\ / end {align})

Systeem S4 voegt axioma C10 toe aan de basis van S1. Systeem S5 voegt axioma C11, of alternatief C10 en C12, toe aan de basis van S1. Lewis sluit Bijlage II af door op te merken dat de studie van logica het beste gediend is door zich te concentreren op systemen die zwakker zijn dan S5 en niet uitsluitend op S5.

Er ontstaan ook paradoxen met strikte implicaties die vergelijkbaar zijn met die van materiële implicaties. Aangezien strikte implicatie ((p / Rightarrow q)) wordt gedefinieerd als (neg / Diamond (p / wedge / neg q)), volgt hieruit dat een onmogelijke propositie iets inhoudt en dat een noodzakelijke propositie wordt geïmpliceerd door wat dan ook. Lewis stelt dat dit is zoals het zou moeten zijn. Aangezien onmogelijkheid als logische onmogelijkheid wordt beschouwd, dat wil zeggen uiteindelijk een tegenspraak, stelt Lewis dat vanuit een onmogelijke propositie als ((p / wedge / neg p)), zowel (p) als (neg p) volgen. Uit (p) kunnen we ((p / vee q)) afleiden, voor elke propositie (q). Uit (neg p) en ((p / vee q)) kunnen we (q) afleiden (1932: 250). Het argument is controversieel omdat men zou kunnen denken dat het principe ((p / Rightarrow (p / vee q))) geen stelling mag zijn van een systeem dat de gewone implicatie tot uitdrukking wil brengen (zie bv. Nelson 1930: 447). Wat de verdiensten van dit argument ook mochten zijn, degenen die het niet met Lewis eens waren, begonnen een logica van entailment te ontwikkelen op basis van de veronderstelling dat entailment meer vereist dan de strikte implicatie van Lewis. Zie bijvoorbeeld Nelson 1930, Strawson 1948 en Bennett 1954. Zie ook de SEP-vermelding over relevantie-logica.

Merk op dat het Lewis 'zoektocht was naar een systeem dat strikte implicaties uitdrukt, waardoor Quine modale systemen afkeurde op basis van verwarring bij het gebruik, voor zover dergelijke systemen werden geformuleerd om op objectniveau bewijstheoretische of semantische begrippen zoals consistentie, implicatie uit te drukken., afleidbaarheid en theoremhood (in feite, wanneer (p / rightarrow q) een propositionele stelling, systeem S1, en dus alle andere sterkere Lewis systemen ook kunnen aantonen (p / Rightarrow q) (Parry 1939: 143)).

1.2 Andere systemen en alternatieve axiomatisaties van de Lewis-systemen

Gödel in “An Interpretation of the Intuitionistic Proposition Calculus” (1933) is de eerste die een alternatieve axiomatisatie van het Lewis-systeem S4 voorstelt dat de propositionele basis van het systeem scheidt van de modale axioma's en regels. Gödel voegt de volgende regels en axioma's toe aan de propositionele calculus.

(begin {align *} tag {Necessitation} textrm {If} mvdash / alpha & / textrm {then} mvdash / Box / alpha, \\ / tag {Axiom K} mvdash / Box (p / rightarrow q) & / rightarrow (Box p / rightarrow / Box q), \\ / label {axioma T} mvdash / Box p / rightarrow p / textrm {en} / \ label {Axioma 4} mvdash / Box p & / rightarrow / Box / Box p. \\ / end {align *})

In eerste instantie gebruikt Gödel een operator (B) van bewijsbaarheid om Heyts primitieve intuïtionistische connectieven te vertalen, en merkt vervolgens op dat als we (B) vervangen door een operator van noodzaak, we het systeem S4 verkrijgen. Gödel beweert ook dat een formule (Box p / vee / Box q) niet aantoonbaar is in S4 tenzij (Box p) of (Box q) aantoonbaar is, analoog aan intuïtionistische disjunctie. De claim van Gödel zal algebraïsch worden bewezen door McKinsey en Tarski (1948). De korte opmerking van Gödel is belangrijk voor het starten van de vruchtbare praktijk van het axiomatiseren van modale systemen die de propositionele calculus scheiden van het strikt modale deel, maar ook voor het verbinden van intuïtionistische en modale logica.

Feys (1937) is de eerste die systeem T voorstelt door axioma 4 af te trekken van Gödel's systeem S4 (zie ook Feys 1965: 123–124). In een essay in Modal Logic (1951) bespreekt von Wright alethic, epistemische en deontische modaliteiten en introduceert systeem M, waarbij Sobociński (1953) zal blijken gelijk aan systeem Feys' zijn T. Von Wright (1951: 84-90) toont aan dat stelsel M bevat Lewis S2, die bevat S1 -waar systeem S wordt gezegd dat het systeem bevatten S ' wanneer alle formules aantoonbaar in S' kan worden bewezen S ook. Systeem S3, een uitbreiding van S2, is niet in M. Noch is M in S3. Von Wright vindt S3 van weinig onafhankelijk belang en ziet geen reden om S3 te gebruiken in plaats van de sterkere S4. Over het algemeen zijn de Lewis-systemen genummerd in volgorde van sterkte, met S1 de zwakste en S5 de sterkste, zwakkere systemen in de sterkere.

Lemmon (1957) volgt Gödel ook bij het axiomatiseren van modale systemen op een propositionele calculusbasis, en presenteert een alternatieve axiomatisatie van de Lewis-systemen. Waar PC de propositionele calculusbasis is, kan PC worden gekarakteriseerd als de volgende drie regels (1957: 177):

Een karakterisering van propositionele calculus- pc

• PCa Als (alpha) een tautologie is, dan is (mvdash / alpha)
• PCb-substitutie voor propositionele variabelen
• PCc Material detachment / Modus Ponens: als (alpha) en (alpha / rightarrow / beta) tautologieën zijn, dan is dat ook (beta)

Verdere regels in het systeem van Lemmon zijn:

• (a) If (mvdash / alpha) then (mvdash / Box / alpha) (Noodzaak)
• (a ') Als (alpha) een tautologie of axioma is, dan (mvdash / Box / alpha)
• (b) Als (mvdash / Box (alpha / rightarrow / beta)) then (mvdash / Box (Box / alpha / rightarrow / Box / beta))
• (b ') Substitueerbaarheid van strikte equivalenten.

Verdere axioma's in het systeem van Lemmon zijn:

(Begin {align} label {1} / box (p / rightarrow q) & / rightarrow / box (Box p / rightarrow / Box q) / \ tag {1' } box (p / q rightarrow) & / rightarrow (Box p / rightarrow / Box q) & / textrm {(Axiom K)} / \ tag {2} Box p & / rightarrow p & / textrm {(Axiom T)} / \ tag { 3} (Box (p / rightarrow q) wedge / Box (q / rightarrow r)) & / rightarrow / Box (p / rightarrow r) / \ end {align})

Met behulp van de bovenstaande regels en axioma's definieert Lemmon vier systemen. Systeem P1, dat gelijkwaardig is gebleken aan het Lewis-systeem S1, gebruikt de propositionele basis (PC), regels (a ') - noodzaak van tautologieën en axioma's - en (b') en axioma's (2) en (3). Systeem P2, equivalent aan S2, maakt gebruik van (pc), regels (a ') en (b) en axioma's (2) en (1'). Systeem P3, equivalent aan S3, maakt gebruik van (pc), regel (a ') en axioma's (2) en (1). Systeem P4, equivalent aan S4, gebruikt (pc), regel (a) en axioma's (2) en (1). In de axiomatisatie van Lemmon is het gemakkelijk te zien dat S3 en von Wright's systeem M (Feys ' T) niet in elkaar zijn opgenomen, gezien de sterkere regel van M en de sterkere axioma van S3 (1) in plaats van (1') = K. Over het algemeen maakt de axiomatisatie van Lemmon de logische verschillen tussen de verschillende Lewis-systemen meer in het oog.

Lemmon beschouwt ook sommige systemen zwakker dan S1. Van bijzonder belang is systeem S0.5 dat S1 verzwakt door regel (a ') te vervangen door de zwakkere regel (a ″):

(a ″) Als (alpha) een tautologie is, dan (mvdash / Box / alpha)

Lemmon interpreteert systeem S0.5 als een geformaliseerde metalogic van de propositionele calculus, waarbij (Box / alpha) wordt geïnterpreteerd als "(alpha) is een tautologie".

We noemen "normaal" de systemen die PC, axioma K en de regel van noodzaak omvatten. Systeem K is het kleinste normale systeem. System T voegt axioma T om het systeem K. Systeem B (het Brouwersche-systeem) voegt axioma B toe

(mvdash p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(gelijk aan Becker's C12)})

om het systeem T. S4 voegt axioma 4 (gelijk aan Becker's C10) om het systeem T. S5 voegt axioma's B en 4 toe, of alternatief axioma E

(mvdash / Diamond p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(gelijk aan Becker's C11)})

om het systeem T. Lewis systemen S1, S2 en S3 niet-normaal gezien het feit dat ze niet de regel van Necessitation bevatten. Voor de relatie tussen deze (en andere) systemen, en de voorwaarden voor frames die de axioma leggen, raadpleegt de september notitie modale logica.

Hier worden slechts enkele van de vele uitbreidingen van de Lewis-systemen genoemd die in de literatuur zijn besproken. Alban (1943) introduceerde systeem S6 door aan S2 de axioma (mvdash / Diamond / Diamond p) toe te voegen. Halldén (1950) noemt S7 het systeem dat de axioma (mvdash / Diamond / Diamond p) toevoegt aan S3, en S8 het systeem dat S3 uitbreidt met de toevoeging van de axioma (mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / Diamond p). Hoewel de toevoeging van een axioma van universele mogelijkheid (mvdash / Diamond p) in strijd zou zijn met alle Lewis-systemen, omdat ze allemaal stellingen bevatten van de vorm (mvdash / Box p), systemen S6, S7 en S8 zijn consistent. In plaats daarvan resulteert de toevoeging van een van deze axioma's aan S4, en dus ook aan S5, in een inconsistent systeem, aangezien dat in S4 (mvdash / Diamond / Diamond p / Rightarrow / Diamond p). Halldén bewees ook dat een formule een stelling van S3 is, en alleen als het een stelling van zowel S4 als S7 is (1950: 231–232), dus S4 en S7 zijn twee alternatieve uitbreidingen van S3.

2. De matrixmethode en enkele algebraïsche resultaten

In “filosofische opmerkingen over Veel gewaardeerde Systemen van Propositionele Logic” (1930. Maar Łukasiewicz 1920 is een voorlopige Poolse versie van de belangrijkste ideeën van dit papier), Łukasiewicz zegt:

Toen ik in 1920 de onverenigbaarheid van de traditionele stellingen over modale proposities herkende, hield ik me bezig met het opzetten van het systeem van de gewone 'tweewaardige' propositionele calculus door middel van de matrixmethode. Ik stelde mezelf er destijds van overtuigd dat alle stellingen van de gewone propositionele calculus konden worden bewezen in de veronderstelling dat hun propositionele variabelen slechts twee waarden konden aannemen, "0" of "de false", en "1" of "de true". (1970: 164)

Deze passage illustreert goed hoe Łukasiewicz begin jaren twintig dacht aan logica. Ten eerste dacht hij in algebraïsche termen, en niet syntactisch, niet zozeer aan de constructie van nieuwe systemen, maar aan de evaluatie van de systemen in verhouding tot waardensets. Ten tweede introduceerde hij matrices met drie waarden om logische ruimte te maken voor het idee van proposities (bij uitstek over toekomstige contingenten) die niet waar of onwaar zijn en die de nieuwe onbepaalde waarde ½ krijgen. Ironisch genoeg zal later werk dat zijn oorspronkelijke matrixmethode gebruikt, aantonen dat de hoop om modale logica als een drievoudig systeem te behandelen niet kan worden gerealiseerd. Zie ook de SEP-vermelding over veelwaardige logica.

Een matrix voor een propositionele logica L wordt gegeven door (i) een set K van elementen, de waarheidswaarden, (ii) een niet-lege subset (D / subseteq K) van aangewezen waarheidswaarden, en (iii) operaties op de set K, dat wil zeggen functies van (n) - tuples van waarheidswaarden tot waarheidswaarden, die overeenkomen met de connectieven van L. Een matrix voldoet aan een formule A onder een toewijzing (sigma) van elementen van K aan de variabelen van A als de waarde van A onder (sigma) een lid is van D, dat wil zeggen een aangewezen waarde. Een matrix voldoet aan een formule als deze onder elke opdracht (sigma) voldoet. Een matrix voor een modale logica M breidt een matrix voor een propositionele logica uit door een unaire functie toe te voegen die overeenkomt met de connectieve (Diamond).

Matrices worden doorgaans gebruikt om de onafhankelijkheid van de axioma's van een systeem en hun consistentie aan te tonen. De consistentie van twee formules A en B wordt bepaald door een matrix die, onder een toewijzing (sigma), toewijst aan beide formules aangewezen waarden. De onafhankelijkheid van formule B van formule A wordt bepaald door een matrix die (i) de geldigheid van de regels van het systeem behoudt en die (ii) onder een interpretatie (sigma) aan A maar niet aan B een aangewezen waarde toekent. Parry (1939) gebruikt de matrix methode aan te tonen dat het aantal modaliteiten van Lewis systemen S3 en S4is eindig. Een modaliteit is een modale functie van één variabele die alleen de operatoren (neg) en (Diamond) bevat. De mate van een modaliteit wordt bepaald door het aantal (Diamond) operators bevatte. Een goede modaliteit is hoger dan nul. De juiste modaliteiten kunnen van vier verschillende vormen:

(Begin {align} label {1} / neg / ldots / Diamond p \\ / tag {2} Diamond / ldots / Diamond p \\ / tag {3} neg / ldots / Diamond / neg p / \ / tag {4} Diamond / ldots / neg p. \\ / end {align})

De ongepaste modaliteiten zijn (p) en (neg p) (1939: 144). Parry bewijst dat S3 over 42 verschillende modaliteiten, en S4 heeft 14 verschillende modaliteiten. Het was al bekend dat systeem S5 slechts 6 verschillende modaliteiten heeft, aangezien het alle modaliteiten reduceert tot modaliteiten van graad nul of één. Parry introduceert systeem S4.5 door aan S4 het volgende axioma toe te voegen:

(mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / neg / Diamond p / Rightarrow / neg / Diamond p.)

Het systeem reduceert het aantal modaliteiten van S4 van 14 naar 12 (of 10 goede). De toevoeging van hetzelfde axioma aan Lewis's systeem S3 resulteert in een systeem met 26 verschillende modaliteiten. Bovendien, als we eraan toevoegen

(mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / Diamond p / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p)

tot S3 krijgen we een duidelijke systeem 26 modaliteiten ook intermediair tussen S3 en S4. Daarom is het aantal modaliteiten niet uniek voor een systeem. Systemen S1 en S2, evenals T en B, hebben een oneindig aantal modaliteiten (Burgess 2009, hoofdstuk 3 over Modal Logic, bespreekt de aanvullende systemen S4.2 en S4.3 en verklaart goed de reductie van modaliteiten in verschillende systemen).

Kenmerkend matrix voor een systeem L een matrix die aan alle en alleen de stellingen L. Een matrix eindig als de set K van waarheidswaarden eindig. Een eindige karakteristieke matrix levert een beslissingsprocedure op, waarbij een systeem beslissend is als elke formule van het systeem die geen stelling is vervalst wordt door een bepaalde eindige matrix (dit is de eigenschap van het eindige model). Toch laat Dugundji (1940) zien dat geen van S1 - S5 een eindige karakteristieke matrix heeft. Derhalve kan geen van deze systemen worden beschouwd als een (n) - gewaardeerd logica voor een eindige (n). Later zal Scroggs (1951) tonen dat elke geschikte uitbreiding van S5 die conserven onthechting van materiële implicatie onder substitutie is gesloten een eindige karakteristieke matrix.

Ondanks het ontbreken van een eindige karakteristieke matrix, laat McKinsey (1941) zien dat systemen S2 en S4 beslissend zijn. Om deze resultaten te bewijzen, introduceert McKinsey modale matrices ((K, D, -, *, / times)), met (-), (*) en (times) overeenkomend met negatie, mogelijkheid en samenstand respectievelijk. Een matrix is normaal als deze aan de volgende voorwaarden voldoet:

1. als (x / in D) en ((x / Rightarrow y) in D) en (y / in K), dan (y / in D),
2. als (x / in D) en (y / in D), dan (x / keer y / in D),
3. als (x / in K) en (y / in K) en (x / Links rechts y / in D), dan (x = y).

Deze voorwaarden komen overeen met Lewis 'regels voor strikte gevolgtrekking, adjunctie en vervanging van strikte equivalenten. De structuur van het bewijs van McKinsey is als volgt. Het bewijs bestaat uit drie stappen. Ten eerste toont McKinsey met behulp van een niet-gepubliceerde methode van Lindenbaum die hem is uitgelegd door Tarski, die geldt voor systemen die de substitutieregel voor propositionele variabelen hebben, dat er een S2- karakteristieke matrix is (M = (K, D, -, *, / times)) die niet aan voorwaarde (iii) voldoet en daarom niet normaal is. M is een triviale matrix waarvan het domein de verzameling formules van het systeem is, waarvan de aangewezen elementen de stellingen van het systeem zijn, en waarvan de operaties de connectieven zelf zijn. De triviale matrix M voldoet niet aan (iii) aangezien voor sommige verschillende formules A en B, (A / Leftrightarrow B) een S2 -stelling. Ten tweede laat McKinsey zien hoe vanuit M een normale, maar nog steeds oneindige, S2- karakteristieke matrix (M_1 = (K_1, D_1, -_1, * ^ 1, / times_1)) kan worden geconstrueerd, waarvan de elementen equivalentieklassen zijn van aantoonbaar equivalent formules van S2, dat wil zeggen van formules A en B zodat (A / Leftrightarrow B) een stelling van S2 is, en waarvan de bewerkingen dienovereenkomstig worden herzien. Als (E (A)) bijvoorbeeld de reeks formules is die aantoonbaar gelijk is aan A en (E (A) in K_1), dan is (-_ 1 E (A) = E (-A) = E (neg A). M_1) voldoet precies aan de formules waaraan M voldoet zonder voorwaarde (iii) te schenden, daarom is het een karakteristieke normale matrix voor S2 ((M_1) is de Lindenbaum-algebra voor S2). Ten slotte wordt aangetoond dat voor elke formule A die geen stelling van S2 is, er een eindige en normale matrix (een subalgebra van (M_1)) is die deze vervalst. Een vergelijkbaar bewijs wordt geleverd voor S4.

Een matrix is een bijzonder soort algebra. Een algebra is een matrix zonder een verzameling D van aangewezen elementen. Booleaanse algebra's komen overeen met matrices voor propositionele logica. Volgens Bull en Segerberg (1984: 10) kan de veralgemening van matrices naar algebra's het effect hebben gehad van het stimuleren van de studie van deze structuren onafhankelijk van hun verbindingen met logische en modale systemen. De set van aangewezen elementen D vergemakkelijkt in feite een definitie van geldigheid waarmee de stellingen van een systeem kunnen worden geëvalueerd. Zonder zo'n set wordt de meest voor de hand liggende link naar logica verbroken. Een tweede veralgemening naar klassen van algebra's, en niet alleen naar individuele algebra's, was ook cruciaal voor de wiskundige ontwikkeling van de leerstof. Tarski is de torenhoge figuur in een dergelijke ontwikkeling.

Jónsson en Tarski (1951 en 1952) introduceren het algemene idee van Booleaanse algebra's met operators, dwz uitbreidingen van Booleaanse algebra's door toevoeging van operators die overeenkomen met de modale connectieven. Ze bewijzen een algemene representatiestelling voor Booleaanse algebra's met operatoren die het resultaat van Stone voor Booleaanse algebra's uitbreidt (elke Booleaanse algebra kan worden weergegeven als een setalgebra). Dit werk van Jónsson en Tarski is voortgekomen uit Tarski's puur wiskundige studie van de algebra van relaties en bevat geen verwijzing naar modale logica of zelfs logica in het algemeen. De stelling van Jónsson en Tarski is een (meer algemene) algebraïsche analoog van Kripke's latere semantische volledigheidsresultaten, maar dit werd enige tijd niet gerealiseerd. Tarski was niet alleen niet op de hoogte van de connectie,maar het lijkt erop dat zowel Kripke als Lemmon de kranten Jónsson en Tarski niet hadden gelezen op het moment dat ze eind jaren vijftig en zestig hun modale werk deden, en Kripke beweert onafhankelijk hetzelfde resultaat te hebben bereikt.

Lemmon (1966a en 1966b) past de algebraïsche methoden van McKinsey aan om beslisbaarheidsresultaten en representatiestellingen voor verschillende modale systemen, waaronder T, te bewijzen(hoewel kennelijk onwetend over het werk van Jónsson en Tarski). In het bijzonder breidt hij de methode van McKinsey uit door een nieuwe techniek te introduceren voor het construeren van eindige algebra's van subsets van een Kripke-modelstructuur (besproken in de volgende sectie van dit artikel). Lemmon (1966b: 191) schrijft aan Dana Scott het belangrijkste resultaat toe van zijn tweede paper uit 1966. Dit is een algemene representatiestelling die bewijst dat algebra's voor modale systemen kunnen worden gerepresenteerd als algebra's op basis van de vermogensset van de verzameling K in de corresponderende Kripke-structuren. Als gevolg hiervan vertaalt algebraïsche volledigheid zich in Kripke's modeltheoretische volledigheid. Dus Lemmon verduidelijkt heel duidelijk het verband tussen Kripke's modellen waarvan de elementen werelden zijn en de corresponderende algebra's waarvan de elementen verzamelingen werelden zijn die als proposities kunnen worden beschouwd,waarmee wordt aangetoond dat de algebraïsche en modeltheoretische resultaten nauw met elkaar verbonden zijn. Kripke (1963a) is hierover al expliciet. In The Lemmon Notes (1977), geschreven in samenwerking met Dana Scott en uitgegeven door Segerberg, wordt de techniek uit 1966 getransformeerd in een puur model theoretische methode die volledigheid en beslisbaarheidsresultaten oplevert voor veel systemen van modale logica in een zo algemeen mogelijke vorm (1977: 29).

Zie ook de SEP-vermelding over de algebra van de logische traditie. Voor een basisinleiding tot de algebra van modale logica, raadpleeg Hughes en Cresswell 1968, hoofdstuk 17 over "Booleaanse algebra en modale logica". Voor een meer uitgebreide behandeling, zie hoofdstuk 5 van Blackburn, de Rijke, en Venema 2001. Zie ook Goldblatt 2003.

3. De modeltheoretische traditie

3.1 Carnap

Begin jaren veertig leidde de erkenning van de semantische aard van de notie van logische waarheid ertoe dat Rudolf Carnap deze notie informeel uitlegde in termen van mogelijke Leibniziaanse werelden. Tegelijkertijd erkende hij dat de vele syntactische vorderingen in de modale logica vanaf 1918 nog steeds niet vergezeld gingen van adequate semantische overwegingen. Een opmerkelijke uitzondering was Gödel's interpretatie van noodzaak als bewijsbaarheid en de resulterende voorkeur voor S4. Carnap zag in plaats daarvan noodzaak als logische waarheid of analyticiteit. Overwegingen over de eigenschappen van logisch juiste zinnen deden hem denken aan S5als het juiste systeem om dit 'informele' begrip te formaliseren. Carnap's werk in de vroege jaren veertig zou dan gericht zijn op (1) het definiëren van een formele semantische notie van L-waarheid die geschikt is om de informele semantische noties van logische waarheid, noodzaak en analyticiteit weer te geven, dat wil zeggen waarheid alleen op grond van betekenis (aanvankelijk alleen, hij maakte geen onderscheid tussen deze begrippen, maar dacht duidelijk aan analyticiteit als het leidende idee); en (2) het verschaffen van een formele semantiek voor gekwantificeerde S5 in termen van de formele notie van L-waarheid met als doel het verkrijgen van degelijke en volledigheidsresultaten, dat wil zeggen bewijzen dat alle stellingen van gekwantificeerde S5 L-waarheid zijn, en dat alle de L-waarheden (uit te drukken in de taal van het systeem) zijn stellingen van het systeem.

Het idee van gekwantificeerde modale systemen kwam ook bij Ruth Barcan op. In "A Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication" (1946a) voegde ze kwantificering toe aan Lewis's propositionele systeem S2; Carnap (1946) heeft het toegevoegd aan S5. Hoewel enkele specifieke semantische punten over gekwantificeerde modale logica in overweging zullen worden genomen, is deze vermelding niet gericht op de ontwikkeling van gekwantificeerde modale logica, maar eerder op de opkomst van de modeltheoretische formele semantiek voor modale logica, propositioneel of gekwantificeerd. Voor een uitgebreidere behandeling van gekwantificeerde modale logica, raadpleeg de SEP-vermelding over modale logica.

In "Modalities and Quantification" (1946) en in Meaning and Necessity (1947), interpreteert Carnap de objecttaaloperator van noodzaak als het op objectniveau uitdrukken van de semantische notie van logische waarheid:

Het leidende idee in onze constructies van systemen van modale logica is dit: een zin (p) is logisch noodzakelijk als en alleen als een zin die (p) uitdrukt logisch waar is. Dat wil zeggen, het modale concept van de logische noodzaak van een zin en het semantische concept van de logische waarheid of analyticiteit van een zin komen met elkaar overeen. (1946: 34)

Carnap introduceert het apparaat van staatsbeschrijvingen om de formele semantische notie van L-waarheid te definiëren. Deze formele notie moet dan worden gebruikt om een formele semantiek voor S5 te bieden.

Een toestandsbeschrijving voor een taal L is een klasse van zinnen van L zodat, voor elke atoomzin (p) van L, (p) of (neg p), maar niet beide, vervat in de klas. Een atoomzin geldt in een toestandsbeschrijving R als en alleen als deze tot R behoort. Een zin (neg A) (waar A niet atomair hoeft te zijn) geldt in R als en alleen als A niet in R staat; ((A / wedge B)) geldt in R als en alleen als zowel A als B in R blijven, enzovoort voor de andere connectieven op de gebruikelijke inductieve manier; ((forall x) Fx) geldt in R als en alleen als alle vervangende instanties van (Fx) in R staan. Het bereik van een zin is de klasse van staatsbeschrijvingen waarin deze voorkomt. Carnap's idee van geldigheid of L-waarheid is een maximale notie, dwz Carnap definieert een zin om geldig te zijn of L-waarheid als en alleen als het in alle staatsbeschrijvingen voorkomt. In later werk gebruikt Carnap modellen in plaats van staatsbeschrijvingen. Modellen zijn toewijzingen van waarden aan de primitieve niet-logische constanten van de taal. In het geval van Carnap zijn predicaatconstanten de enige primitieve constanten waaraan de modellen waarden toekennen, aangezien individuele constanten een vaste pre-modelinterpretatie krijgen en waardetoewijzingen aan variabelen onafhankelijk van de modellen worden gedaan (1963a).

Het is belangrijk op te merken dat de definitie van L-waarheid niet het idee van waarheid gebruikt, maar alleen dat van het houden in een staat-beschrijving. Waarheid wordt later geïntroduceerd als wat in de echte staatsbeschrijving staat. Om een adequate formele representatie van analyticiteit te zijn, moet L-waarheid het basisidee achter analyticiteit respecteren: waarheid op grond van betekenis alleen. In feite zijn de L-waarheden van een systeem S zodanig dat de semantische regels van S voldoende zijn om hun waarheid vast te stellen. Informeel vertegenwoordigen staatsbeschrijvingen zoiets als Leibniziaanse mogelijke werelden of Wittgensteiniaanse mogelijke toestanden en het bereik van staatsbeschrijvingen voor een bepaalde taal zou het scala aan alternatieve mogelijkheden die in die taal kunnen worden beschreven, uitputten.

Wat modale zinnen betreft, hanteert Carnap de volgende conventies (we gebruiken (Box) in plaats van Carnap's operator N voor logische noodzaak). Laat S een systeem zijn:

1. Een zin (Box A) is waar in S als en alleen als (A) L -true is in S (dus een zin (Box A) is waar in S als en alleen als (A) bevat in alle staatsbeschrijvingen van S);
2. Een zin (Box A) is L -true in S als en slechts als (Box A) waar is in S (dus alle staatsbeschrijvingen komen overeen in hun evaluatie van modale zinnen).

Waaruit volgt dat:

(Box A) is L -true in S als en alleen als (A) L -true is in S

Carnap's conventies gelden ook als we "waarheid in een staatsbeschrijving van S" vervangen door "waarheid in S".

Carnap gaat uit van een vast kwantificatiedomein voor zijn gekwantificeerd systeem, de functionele calculus met identiteit FC, en dus voor de modale functionele calculus met identiteit MFC, een gekwantificeerde vorm van S5. De taal van FC bevat ontelbaar veel individuele constanten, het discoursuniversum bevat ontelbaar veel individuen, elke constante krijgt een individu van het domein toegewezen en geen twee constanten krijgen hetzelfde individu toegewezen. Dit maakt zinnen als (a = a) L -true, en zinnen als (a = b) L -false (1946: 49). Betreffende MFC, het Barcan formule en de omgekeerde beide L -True, dat wil zeggen, (mvDash (forall x) Box Fx / leftrightarrow / Box (forall x) Fx.)

Dit resultaat wordt gegarandeerd door de aanname van een vast kwantificatiedomein. Carnap bewijst dat MFC gezond is, dat wil zeggen dat al zijn stellingen L-waar zijn, en roept de vraag naar volledigheid op voor zowel FC als MFC. Gödel bewees de volledigheid voor de eerste-orde predikaatrekening met identiteit, maar het begrip geldigheid was waarheid in elk niet-leeg kwantificatiedomein, inclusief eindige domeinen. Carnap gebruikt in plaats daarvan één uniek denumereerbaar domein van kwantificering. De adoptie van een vast denumereerbaar domein van individuen genereert al een aantal aanvullende validiteiten op pre-modaal niveau die de volledigheid in gevaar brengen, bijvoorbeeld "Er zijn ten minste twee individuen", ((bestaat x) (bestaat y) (x / ne y)), blijkt geldig te zijn (1946: 53).

Een gevolg van de definities van staatsbeschrijvingen voor een taal en L-waarheid is dat elke atoomzin en de ontkenning ervan waar blijkt te zijn bij sommige, maar niet alle, staatsbeschrijvingen. Dus als (p) atomair is, zijn zowel (Diamond p) als (Diamond / neg p) L -true. Vandaar dat Lewis 'regel van uniforme vervanging faalt (als (p / wedge / neg p) wordt vervangen door (p) in (Diamond p) die we afleiden (Diamond (p / wedge / neg p)), dat is L -false, niet L -true). Dit wordt opgemerkt door Makinson (1966a) die stelt dat er moet worden gezorgd voor het herstel van de substitueerbaarheid en het herzien van de naïeve notie van validiteit van Carnap (als logische noodzaak) ten gunste van een schematisch Chinees begrip ("Een logische waarheid … is te definiëren als een zin waaruit we krijgen alleen waarheden als we zinnen vervangen door eenvoudige zinnen”Quine 1970:50) dat maakt zinnen als (Diamond p) niet geldig. Desalniettemin bewijst Carnap de degelijkheid en volledigheid van propositioneel S5, die hij " MPC " noemt voor modale propositionele calculus, volgens Wajsberg. Het bewijs maakt echter effectief gebruik van een schematisch begrip van validiteit.

Het is bewezen dat Carnap's idee van maximale validiteit volledigheid onmogelijk maakt voor gekwantificeerde S5, dat wil zeggen dat er L-waarheden zijn die geen stellingen zijn van Carnap's MFC. Laat (A) een niet-modale zin van MFC zijn. Volgens afspraak (1) is (Box A) waar in MFC als en alleen als (A) L -true is in MFC. Maar (A) is ook een zin van FC, dus als L -true in MFC is het ook L -true in FC, aangezien de statusbeschrijvingen (modellen) van modale functionele logica dezelfde zijn als die van functionele logica (1946: 54). Dit betekent dat de statusbeschrijvingen de drievoudige rol vervullen van (i) eerste-orde modellen van FCdaarbij de eerste-orde-geldigheid definiërend, (ii) werelden voor MFC en daarmee de waarheid voor (Box A) zinnen van MFC, en (iii) modellen van MFC, waardoor de geldigheid voor MFC wordt gedefinieerd. De kern van het onvolledigheidsargument bestaat erin dat de niet-geldigheid van een eerste-orde-zin (A) kan worden weergegeven in de modale taal, zoals (neg / Box A), maar alle modellen zijn het erover eens de waardering van modale zinnen, waardoor (neg / Box A) geldig is. Grofweg, en afgezien van complicaties die worden veroorzaakt door het feit dat de semantiek van Carnap alleen denumereerbare domeinen heeft, als (A) een niet-geldige zin van de eerste orde van FC is, (A) is waar in sommige maar niet in alle modellen of staatsbeschrijvingen. Gezien de conventies van Carnap volgt hieruit dat (neg / Box A) waar is in MFC. Maar dan is (neg / Box A) L -true in MFC, dat wil zeggen in MFC (mvDash / neg / Box A). Aangezien de niet-geldige zinnen van de eerste orde niet recursief te tellen zijn, geldt dat evenmin voor de geldigheid van het modale systeem MFC. Maar de klasse van stellingen van MFC is recursief op te tellen. Daarom is MFC onvolledig ten opzichte van de maximale validiteit van Carnap. Cocchiarella (1975b) schrijft het resultaat toe aan Richard Montague en Donald Kalish. Zie ook Lindström 2001: 209 en Kaplan 1986: 275–276.

3.2 Kripke's mogelijke werelden semantiek

De semantiek van Carnap is inderdaad een voorloper van Possible Worlds Semantics (PWS). Toch ontbreken nog enkele cruciale ingrediënten. Ten eerste moet het maximale begrip geldigheid worden vervangen door een nieuw universeel begrip. Ten tweede moeten staatsbeschrijvingen ruimte maken voor mogelijke werelden die worden opgevat als indexen of evaluatiepunten. Ten slotte moet een toegankelijkheidsrelatie tussen werelden worden geïntroduceerd. Hoewel Kripke zeker niet de enige logicus in de jaren vijftig en begin jaren zestig is die aan deze ideeën werkt, is het in Kripke's versie van PWS dat al deze innovaties aanwezig zijn. Kanger (1957), Montague (1960, maar oorspronkelijk gepresenteerd in 1955), Hintikka (1961) en Prior (1957) dachten allemaal aan een relatie tussen werelden, en Hintikka (1961) zoals Kripke (1959a) namen een nieuw idee aan van geldigheid die waarheid vereiste in alle willekeurige verzamelingen werelden. Maar Kripke was de enige die de werelden kenmerkte als eenvoudige evaluatiepunten (in 1963a). Andere logici dachten nog steeds fundamenteel aan de werelden als modellen van eerste-orde logica, hoewel Prior in zijn ontwikkeling van temporele logica misschien ook op weg was naar een meer abstracte karakterisering van tijdsmomenten. Kripke's meer abstracte karakterisering van de werelden is cruciaal bij het verschaffen van een verband tussen de modeltheoretische semantiek en de algebra van modale logica. Kripke zag dit verband tussen de algebra en de semantiek heel duidelijk, en dit stelde hem in staat om op systematische wijze modeltheoretische volledigheid en beslisbaarheidsresultaten te verkrijgen voor verschillende modale systemen. Goldblatt (2003: sectie 4.8) stelt overtuigend dat Kripke's aanname van evaluatiepunten in de modelstructuren een bijzonder cruciale innovatie is. Een dergelijke veralgemening opent de deur naar verschillende toekomstige ontwikkelingen van de modeltheorie en maakt het mogelijk modeltheorieën te verschaffen voor intensieve logica in het algemeen. Om deze redenen besteden we in dit artikel meer aandacht aan Kripke's versie van PWS. Voor een uitgebreidere behandeling van de initiële ontwikkeling van PWS, ook aan het einde van de jaren vijftigwaaronder eind jaren vijftig werk aanwaaronder eind jaren vijftig werk aan S5 van de Franse logicus Bayart, de lezer wordt verwezen naar Goldblatt 2003. Zie Lindström 1996 en 1998 voor de verschillen tussen Kanger's semantiek en standaard PWS-semantiek.

Kripke's 1959a "A Competeness Theorem in Modal Logic" bevat een model theoretisch volledigheidsresultaat voor een gekwantificeerde versie van S5 met identiteit. In Kripke's semantische behandeling van gekwantificeerde S5, die hij S5 * (^ =) noemt, een toewijzing van waarden aan een formule (A) in een domein van individuen (D) wijst een lid van (D) toe aan elke vrije individuele variabele van (A), een waarheidswaarde (T) of (F) aan elke propositionele variabele van (A), en een reeks geordende (n) - tuples leden van (D) aan elke (n) - plaats predicaatvariabele of (A) (de taal voor het systeem bevat geen niet-logische constanten). Kripke definieert een model over een niet-leeg domein (D) van individuen als een geordend paar ((G, K)), zodat (G / in K, K) een willekeurige subset van opdrachten is van waarden naar de formules van S5 * (^ =), en alle (H / in K) zijn het eens over de toewijzingen aan individuele variabelen. Voor elke (H / in K) wordt de waarde die (H) toewijst aan een formule (B) inductief gedefinieerd. Propositionele variabelen worden door hypothese (T) of (F) toegewezen. Als (B) (P (x_1, / ldots, x_n)) is, wordt (B) toegewezen (T) als en alleen als het (n) - tupel van elementen toegewezen aan (x_1), …, (x_n) behoort tot de set van (n) - tuples individuen die (H) toewijst aan (P. H) wijst (T) toe aan (neg B) als en alleen als het (F) toewijst aan (B. H) wijst (T) toe aan (B / wedge C) als en alleen als het (T) naar (B) en naar (C). Als (B) (x = y) is, wordt het toegewezen (T) als en alleen als (x) en (y) dezelfde waarde toegewezen krijgen in (D). Als (B) ((forall x) Fx) is, wordt het (T) toegewezen als en alleen als (Fx) is toegewezen (T) voor elke toewijzing aan (x).(Box B) wordt toegewezen (T) als en alleen als (B) (T) wordt toegewezen door elke (H / in K).

Het belangrijkste dat opvalt in de modeltheorie uit 1959 is de definitie van validiteit. Een formule (A) zou geldig zijn in een model ((G, K)) in (D) als en alleen als het (T) in (G) is toegewezen geldig zijn in een domein (D) als en alleen als het geldig is in elk model in (D), en universeel geldig zijn als en alleen als het geldig is in elk niet-leeg domein. Kripke zegt:

Bij het proberen om een definitie van universele logische validiteit te construeren, lijkt het aannemelijk om niet alleen aan te nemen dat het discoursuniversum een willekeurig aantal elementen kan bevatten en dat predikaten een bepaalde interpretatie in de werkelijke wereld kunnen krijgen, maar ook dat elke combinatie van mogelijke werelden kunnen worden geassocieerd met de echte wereld met betrekking tot een bepaalde groep predikaten. Met andere woorden, het is aannemelijk dat er geen verdere beperkingen op (D, G) en (K) hoeven te worden gesteld, behalve de standaard die (D) niet leeg is. Deze aanname leidt rechtstreeks naar onze definitie van universele validiteit. (1959a: 3)

Deze nieuwe universele notie van validiteit is veel algemener dan de maximale validiteit van Carnap. De elementen (H) van (K) komen nog steeds overeen met eerste-orde modellen, zoals de statusbeschrijvingen van Carnap, en in elk Kripke-model krijgen de elementen (H) van (K) hetzelfde domein toegewezen (D) van individuen en de individuele variabelen hebben een vaste cross-model toewijzing. Tot dusver is de enige significante afwijking van Carnap dat verschillende Kripke-modellen domeinen met verschillende kardinaliteit kunnen hebben. Dit is op zichzelf voldoende om de volledigheid voor het niet-modale deel van het systeem opnieuw te introduceren. Maar de meest significante ontwikkeling, en degene die het mogelijk maakt om de volledigheid van het modale systeem te bewijzen, is de definitie van geldigheid niet als waarheid in alle werelden van een maximale structuur van werelden, maar als waarheid in alle subsets van de maximale structuur. Het beschouwen van willekeurige subsets van mogelijke werelden, maakt het voor Kripke's modeltheorie mogelijk om validiteit te scheiden van noodzaak. Hoewel de behoeften betrekking hebben op een model, dus op een reeks werelden, moeten de geldigheid gelden voor al dergelijke sets. Dit maakt de herinvoering van de regel van uniforme vervanging mogelijk. Om dit intuïtief te zien in een eenvoudig geval, overweeg dan een atoomzin (p). De klassieke waarheidstabel voor (p) bevat twee rijen, één waar (p) waar is en één waar (p) onwaar is. Elke rij is als een mogelijke wereld, of een element (H) van (K). Als we alleen naar deze complete waarheidstabel kijken, kijken we alleen naar maximale modellen die twee werelden bevatten (het maakt niet uit welke wereld werkelijk is). Door de definitie van waarheid voor een formule is (Box B, / Box p) vals in alle werelden van het maximale model,en (Diamond p) is in alle gevallen waar. Als geldigheid de waarheid is in alle werelden van dit maximale model, zoals voor Carnap, volgt daaruit dat (mvDash / Diamond p), maar in S5(nmvdash / Diamond p). Als we in plaats daarvan validiteit definiëren zoals Kripke dat doet, moeten we ook rekening houden met de niet-maximale modellen die slechts één wereld bevatten, dat zijn onvolledige waarheidstabellen die sommige rijen annuleren. Daarom zijn er nog twee modellen waarmee rekening moet worden gehouden: een die slechts één wereld bevat (H = G) waar (p) waar is, dus ook (Box p), en een die bevat slechts één wereld (H = G) waar (p) vals is en dat geldt ook voor (Box p) en (Diamond p). Dankzij dit laatste model (nmvDash / Diamond p). Merk op dat de cruciale innovatie de definitie van geldigheid als waarheid is in alle subsets van werelden, niet alleen de maximale subset. Het extra feit dat validiteit in een model wordt gedefinieerd als waarheid in de werkelijke wereld van het model - in tegenstelling tot waarheid in alle werelden van het model - hoewel het onthult dat Kripke het idee van noodzaak niet koppelde aan het idee van validiteit, is niet relevant voor dit technische resultaat.

Kripke's volledigheidsbewijs maakt gebruik van Beths methode van semantische tableaus. Een semantisch tableau wordt gebruikt om te testen of een formule (B) een semantisch gevolg is van sommige formules (A_1, / ldots, A_n). Het tableau gaat ervan uit dat de formules (A_1, / ldots, A_n) waar zijn en (B) onwaar en is gebouwd volgens regels die de definities van de logische connectieven volgen. Als bijvoorbeeld een formule (neg A) in de linkerkolom van het tableau staat (waar echte formules worden vermeld), wordt (A) in de rechterkolom geplaatst (waar valse formules worden vermeld). Om met modale formules om te gaan, moet rekening worden gehouden met sets tableaus, want als (Box A) in de rechterkolom van een tableau staat, moet er een nieuw hulptableau worden geïntroduceerd met (A) in de rechterkolom. Een hoofdtableau en de bijbehorende tableaus vormen een set tableaus. Als een formule (A / wedge B) zich in de rechterkolom van het hoofdtablet bevindt, wordt de set tableaus opgesplitst in twee nieuwe sets tableaus: één waarvan het hoofdtabblad (A) vermeldt in de rechterkolom en één waarvan hoofdtabellenlijst (B) in de rechterkolom. We moeten dus alternatieve sets tableaux overwegen. Een semantisch tableau is gesloten als en alleen als alle alternatieve sets zijn gesloten. Een set tableaux is gesloten als het een tableau (hoofd of hulp) bevat dat een tegenstrijdigheid bereikt in de vorm van (i) een en dezelfde formule (A) die in beide kolommen voorkomt of (ii) een identiteitsformule van de vorm (a = a) aan de rechterkant (dit is een overdreven vereenvoudiging van de definitie van een gesloten tableau, maar niet schadelijk voor onze doeleinden). Nogmaals te simpelde structuur van Kripke's volledigheidsbewijs bestaat erin te bewijzen dat een semantisch tableau dat wordt gebruikt om te testen of een formule (B) een semantisch gevolg is van formules (A_1, / ldots, A_n) wordt gesloten als en alleen (i) in S5 * (^ =) (A_1, / ldots, A_n / vdash B) en (ii) (A_1, / ldots, A_n / vDash B). Dit laatste resultaat wordt bereikt door te laten zien hoe je modellen kunt bouwen vanuit semantische tableaus. Als gevolg van (i) en (ii) hebben we deugdelijkheid en volledigheid voor S5 * (^ =), dat wil zeggen: (A_1, / ldots, A_n / vdash B) als en alleen als (A_1, / ldots, A_n / vDash B).

Het document uit 1959 bevat ook een bewijs van de modale tegenhanger van de Löwenhein-Skolem-stelling voor logica van de eerste orde, volgens welke als een formule bevredigend is in een niet-leeg domein, dan wel bevredigend en dus geldig (waar in (G)), in een model ((G, K)) in een domein (D), waar zowel (K) als (D) eindig of beschrijfbaar zijn; en als een formule geldig is in elk eindig of denomineerbaar domein, is deze geldig in elk domein.

Kripke's 1962 "The Undecidability of Monadic Modal Quantification Theory" ontwikkelt een parallel tussen eerste-orde logica met één dyadisch predikaat en eerste-orde monadische modale logica met slechts twee predicaatletters, om te bewijzen dat dit fragment van eerste-orde modale logica al onbeslisbaar is.

Van groot belang is de paper "Semantical Analysis of Modal Logic I" (Kripke 1963a) waarin normale systemen worden behandeld. Hier ontwikkelt Kripke de analogie met de algebraïsche resultaten van Jónsson en Tarski volledig en bewijst het volledigheid en beslisbaarheid voor propositiesystemen T, S4, S5 en B(het Brouwersche systeem), dat hier wordt geïntroduceerd. Kripke beweert zelf de belangrijkste stelling van 'Booleaanse algebra's met operators' te hebben afgeleid door een algebraïsche analoog van zijn eigen semantische methoden (69, fn. 2). In dit artikel worden twee cruciale generalisaties van de modeltheorie geïntroduceerd. De eerste is het nieuwe begrip van de elementen (H) van (K) als eenvoudige indices, niet als waardetoewijzingen. Zodra deze wijziging is doorgevoerd, moeten de modellen worden aangevuld met een hulpfunctie (Phi) die nodig is om waarden toe te kennen aan de propositionele variabelen ten opzichte van werelden. Vandaar, terwijl in de modeltheorie van 1959

er kunnen geen twee werelden zijn waarin aan elke atoomformule dezelfde waarheidswaarde wordt toegekend [wat] misschien handig blijkt voor S5, maar het is nogal onhandig als we normale MPC's in het algemeen behandelen (1963a: 69)

we kunnen nu wereld duplicaten hebben. Het belangrijkste aan de ontkoppeling van de elementen van (K) van de evaluatiefunctie is dat het de deur opent naar de algemene overweging van modale frames, sets van werelden plus een binaire relatie daartussen, en de correspondentie van dergelijke frames naar modale systemen. Dus het tweede nieuwe element van het papier, de introductie van een relatie (R) tussen de elementen van (K), gaat natuurlijk gepaard met het eerste. Laat ik nogmaals benadrukken dat het idee van een relatie tussen werelden niet nieuw is voor Kripke. Het is bijvoorbeeld al aanwezig als een alternativiteitsrelatie in Montague 1960, Hintikka 1961 en Prior 1962, waar het idee wordt toegeschreven aan Peter Geach.

In 1963a stelt Kripke 'verschillende vragen over de relatie (R)' (1963a: 70). Ten eerste laat hij zien dat elke bevredigende formule een verbonden model heeft, dat wil zeggen een model gebaseerd op een modelstructuur ((G, K, R)) waar voor alle (H / in K), (G / mathrel {R *} H), waarbij (R *) de voorouderlijke relatie is die overeenkomt met (R). Daarom hoeven alleen verbonden modellen te worden overwogen. Vervolgens laat Kripke de tegenwoordig welbekende resultaten zien dat axioma 4 correspondeert met de transitiviteit van de relatie (R), dat axioma (B) correspondeert met symmetrie, en dat het karakteristieke axioma van S5 toegevoegd aan systeem T overeenkomt met (R) een equivalentierelatie. Met behulp van de tableaux-methode, volledigheid voor de modale propositiesystemen T, S4, S5, en B ten opzichte van de juiste klasse van modellen (reflexstructuren voor T) wordt bewezen. De beslisbaarheid van deze systemen, inclusief het meer complexe geval van S4, wordt ook bewezen. (Raadpleeg voor een meer gedetailleerde behandeling van frames het SEP-item over modale logica.)

In de paper "Semantical Analysis of Modal Logic II" uit 1965 breidt Kripke de modeltheorie uit om niet-normale modale systemen te behandelen, waaronder Lewis's S2 en S3. Hoewel deze systemen als enigszins onnatuurlijk worden beschouwd, wordt hun modeltheorie als elegant beschouwd. De resultaten van volledigheid en beslisbaarheid worden bewezen ten opzichte van de juiste klasse van constructies, inclusief de volledigheid van S2 en S3, en de beslisbaarheid van S3. Om deze resultaten te bereiken, wordt de modeltheorie uitgebreid door de introductie van een nieuw element (N / subseteq K) in de modelstructuren ((G, K, R, N). N) is de subset van normale werelden, dwz werelden (H) zodat (H / mathrel {R} H). Een ander interessant aspect van de niet-normale systemen is dat in de model theoretische resultaten die erop betrekking hebben, (G) (de werkelijke wereld) een essentiële rol speelt, met name in de S2- en S3- modelstructuren die de werkelijke wereld moet hebben normaal zijn. In plaats daarvan maakt de noodzaakregel die van toepassing is op normale systemen de keuze van het (G) -model theoretisch niet relevant.

Ondanks het grote succes van de Kripkean-modeltheorie, moet worden benadrukt dat niet alle modale logica's compleet zijn. Voor onvolledigheidsresultaten, zie Makinson 1969, voor een systeem dat zwakker is dan S4; en Fine 1974, S. Thomason 1974, Goldblatt 1975 en van Benthem 1978, voor systemen tussen S4 en S5. Sommige modale formules leggen voorwaarden op aan frames die niet kunnen worden uitgedrukt in een eerste-orde taal, dus zelfs propositionele modale logica is fundamenteel tweede-orde van aard. Voor zover het begrip validiteit op een frame abstraheert van de interpretatiefunctie, impliceert het impliciet een hogere orde kwantificering over proposities. Zie Blackburn en van Benthem's "Modal Logic: A Semantic Perspective" voor de overeenstemming tussen framevaliditeit en tweede-orde logica en voor de model-theoretische criteria die de modale zinnen onderscheiden die eerste-orde uitdrukbaar zijn van die welke in wezen tweede-orde zijn. (2007a).

In 1963b, "Semantical Considerations on Modal Logic", introduceert Kripke een nieuwe generalisatie van de modellen van gekwantificeerde modale systemen. In 1959 werd een model gedefinieerd in een domein (D). Hierdoor hadden alle werelden in één model dezelfde kardinaliteit. In 1963b worden modellen niet gegeven in een domein, daarom kunnen werelden in hetzelfde model verschillende domeinen toegewezen krijgen door een functie (Psi) die domeinen toewijst aan de elementen (H) van (K). Gezien de variabiliteit van domeinen tussen werelden, kan Kripke nu tegenvoorbeelden construeren voor zowel de Barcan Formula

[(forall x) Box Fx / rightarrow / Box (forall x) Fx)

en de omgekeerde

(Box (forall x) Fx / rightarrow (forall x) Box Fx.)

De Barcan-formule kan worden vervalst in structuren met groeiende domeinen. Bijvoorbeeld een model met twee werelden, (G) en een andere mogelijke wereld (H), die het uitbreidt. Het domein van (G) is ({a }) en (Fa) is waar in (G). Het domein van (H) is de set ({a, b }) en (Fa), maar niet (Fb), is waar in (H). In dit model is ((forall x) Box Fx) maar niet (Box (forall x) Fx) waar in (G). Om het tegenovergestelde van de Barcan-formule te weerleggen, hebben we modellen nodig met afnemende domeinen. Bijvoorbeeld een model met twee werelden (G) en (H), waarbij het domein van (G) ({a, b }) is en het domein van (H) is ({a }), met (Fa) en (Fb) true in (G, Fa) true in (H), maar (Fb) false in (Fb) H). Dit model vereist dat we een waarheidswaarde toekennen aan de formule (Fb) in de wereld (H) waar het individu (b) niet bestaat (bevindt zich niet in het domein van (H)). Kripke wijst erop dat dit modeltechnisch gezien slechts een technische keuze is.

Kripke reconstrueert een bewijs van de omgekeerde Barcan-formule in gekwantificeerd T en laat zien dat het bewijs alleen doorgaat door de noodzaak toe te staan van een zin die een vrije variabele bevat. Maar als vrije variabelen in plaats daarvan als universeel gebonden moeten worden beschouwd, is deze stap onwettig. Direct een open formule nodig hebben, zonder deze eerst te sluiten, komt neer op aannemen wat bewezen moet worden. Prior 1956 bevat een bewijs van de Barcan-formule

(Diamond (bestaat x) Fx / rightarrow (bestaat x) Diamond Fx.)

Kripke bespreekt niet de details van Prior's bewijs. Prior's bewijs voor de Barcan-formule keurt Łukasiewicz's regels voor de introductie van de existentiële kwantor goed. De tweede van deze regels stelt dat if (mvdash A / rightarrow B) then (mvdash A / rightarrow (bestaat x) B). Prior gebruikt de regel om af te leiden

(mvdash / Diamond Fx / rightarrow (bestaat x) Diamond Fx)

van

(Mvdash / Diamond Fx / rightarrow / Diamond Fx.)

Dit lijkt ons naar de 'onwettige' stap in het bewijs zijn, aangezien

(Diamond Fx / rightarrow (bestaat x) Diamond Fx)

past niet in een model met twee werelden (G) en (H), waarbij het domein van (G) ({a }) is en het domein van (H) is ({a, b }), en waar (Fa) onwaar is in zowel (G) als (H), maar (Fb) is waar in (H). In dit model is (Diamond Fx) waar, maar ((bestaat x) Diamond Fx) is onwaar in (G). In dit tegenmodel wordt (Diamond Fx) waar gemaakt in (G) door de persoon (b) die zich niet in het domein van (G) bevindt. Over het algemeen behoudt de regel dat als (mvdash A / rightarrow B) dan (mvdash A / rightarrow (bestaat x) B) de geldigheid niet behouden als we toestaan dat (Fx) waar wordt gemaakt naar een wereld door een individu dat daar niet bestaat. We concluderen dat de regel moet worden afgewezen om de degelijkheid van S5 te behouden ten opzichte van deze modeltheoretische aanname.

Bibliografie

Houd er rekening mee dat het onderscheid in de bibliografie tussen inleidende teksten, primaire en secundaire literatuur gedeeltelijk kunstmatig is.

inleidende teksten

• Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke en Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9781107050884
• Chellas, Brian F., 1980, Modal Logic: an Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
• Fitting, M. en Richard L. Mendelsohn, 1998, First-Order Modal Logic, Dordrecht: Kluver Academic Publishers.
• Garson, James W., 2013, Modal Logic for Philosophers, Cambridge: Cambridge University Press.
• Hughes, GE en MJ Cresswell, 1968, An Introduction to Modal Logic, London: Methuen.
• –––, 1984, A Companion to Modal Logic, Londen: Methuen.
• –––, 1996, A New Introduction to Modal Logic, Londen: Routledge.

Primaire literatuur

• Alban, MJ, 1943, 'Independence of the Primitive Symbols of Lewis's Calculi of Propositions', Journal of Symbolic Logic, 8 (1): 25–26. doi: 10.2307 / 2267978
• Anderson, Alan Ross, 1957, "Independent Axiom Schemata for Von Wright's M", Journal of Symbolic Logic, 22 (3): 241–244. doi: 10.2307 / 2963591
• Barcan (Marcus), Ruth C., 1946a, 'A Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication', Journal of Symbolische Logica, 11 (1): 1-16. doi: 10.2307 / 2269159
• –––, 1946b, “The Deduction Theorem in a Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication”, Journal of Symbolische Logica, 11 (4): 115–118. doi: 10.2307 / 2268309
• –––, 1947, “The Identity of Individuals in a Strict Functional Calculus of Second Order”, Journal of Symbolische Logica, 12 (1): 12–15. doi: 10.2307 / 2267171
• Bayart, Arnould, 1958, "Correction de la Logique Modal du Premier et du Second Ordre S5", Logique et Analyse, 1: 28–45.
• –––, 1959, “Quasi-Adéquation de la Logique Modal du Second Ordre S5 et Adéquation de la Logique Modal du Premier Ordre S5”, Logique et Analyze, 2: 99–121.
• Becker, Oskar, 1930, "Zur Logik der Modalitäten", Jahrbuch für Philosophie und Phänomenologische Forschung, 11: 497–548.
• Bennett, Jonathan, 1954, "Betekenis en implicatie", Mind, 63 (252): 451–463.
• Bernays, Paul, 1926, "Axiomatische Untersuchung des Aussagenkalküls der Principia Mathematica", Mathematische Zeitschrift, 25: 305–320.
• –––, 1948, “Review of Rudolf Carnap's 'Modalities and Quantification' (1946)”, Journal of Symbolic Logic, 13 (4): 218–219. doi: 10.2307 / 2267149
• –––, 1950, "Overzicht van de betekenis en noodzaak van Rudolf Carnap", Journal of Symbolische logica, 14 (4): 237–241. doi: 10.2307 / 2269233
• Bull, RA, 1964, "A Note on the Modal Calculi S4.2 and S4.3", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 10 (4): 53-55. doi: 10.1002 / malq.19640100403
• –––, 1965, “An Algebraic Study of Diodorean Modal Systems”, Journal of Symbolic Logic, 30 (1): 58–64. doi: 10.2307 / 2270582
• –––, 1966, “Than All Normal Extensions of S4.3 Have the Finite Model Property”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 12: 341–344. doi: 10.1002 / malq.19660120129
• –––, 1968, “An Algebraic Study of Tense Logics with Linear Time”, Journal of Symbolische Logica, 33 (1): 27–38. doi: 10.2307 / 2270049
• Carnap, Rudolf, 1946, "Modalities and Quantification", Journal of Symbolische logica, 11 (2): 33-64. doi: 10.2307 / 2268610
• –––, 1947, Betekenis en noodzaak, Chicago: University of Chicago Press, ^2e editie met aanvullingen, 1956.
• –––, 1963a, “My Conception of the Logic of Modalities”, in Schlipp 1963: 889–900.
• –––, 1963b, “My Conception of Semantics”, in Schlipp 1963: 900–905.
• Dugundji, James, 1940, 'Note on a Property of Matrices for Lewis and Langford's Calculi of Propositions', Journal of Symbolic Logic, 5 (4): 150–151. doi: 10.2307 / 2268175
• Dummett, MAE en EJ Lemmon, 1959, "Modal Logics between S4 and S5", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 5 (5): 250–264. doi: 10.1002 / malq.19590051405
• Feys, Robert, 1937, "Les Logiques Nouvelles des Modalités", Revue Néoscolastique de Philosophie, 40 (56): 517-553.
• –––, 1963, “Carnap on Modalities”, in Schlipp 1963: 283–297.
• –––, 1965, Modal Logics, in Collection de Logique Mathématique (Volume 4), J. Dopp (red.), Leuven: E. Nauwelaerts.
• Fine, Kit, 1974, 'An Incomplete Logic Containing S4', Theoria, 40 (1): 23–29. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1974.tb00076.x
• Gödel, K., 1933, "Eine Interpretation des Intuitionistischen Aussagenkalküls", Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 4: pp. 39–40. Engelse vertaling “Een interpretatie van de intuïtionistische propositionele calculus”, met een inleidende opmerking van AS Troelstra, in Kurt Gödel. Collected Works, Vol. 1: Publications 1929–1936, S. Feferman, JW Dawson, SC Kleene, GH Moore, RM Solovay en J. van Heijenoort (red.), Oxford: Oxford University Press, 1986, pp. 296–303.
• Goldblatt, RI, 1975, "Eerste-orde definieerbaarheid in modale logica", Journal of Symbolische logica, 40 (1): 35-40. doi: 10.2307 / 2272267
• Halldén, Sören, 1948, "A Note Concerning the Paradoxes of Strict Implication and Lewis's System S1", Journal of Symbolic Logic, 13 (1): 138–139. doi: 10.2307 / 2267814
• –––, 1950, “Resultaten met betrekking tot het beslissingsprobleem van Lewis's Calculi S3 en S6”, Journal of Symbolic Logic, 14 (4): 230–236. doi: 10.2307 / 2269232
• –––, 1951, “Over de semantische niet-volledigheid van bepaalde Lewis Calculi”, Journal of Symbolische logica, 16 (2): 127–129. doi: 10.2307 / 2266686
• Hintikka, Jaakko, 1961, "Modalities and Quantification", Theoria, 27 (3): 119–28. Uitgebreide versie in Hintikka 1969: 57–70. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1961.tb00020.x
• –––, 1963, "The Modes of Modality", Acta Philosophica Fennica, 16: 65–81. Herdrukt in Hintikka 1969: 71–86.
• –––, 1969, Modellen voor modaliteiten, Dordrecht: D. Reidel.
• Jónsson, Bjarni en Alfred Tarski, 1951, 'Boolean Algebras with Operators. Part I”, American Journal of Mathematics, 73 (4): 891-939. doi: 10.2307 / 2372123
• –––, 1952, “Booleaanse algebra's met operators. Part II”, American Journal of Mathematics, 74 (1): 127–162. doi: 10.2307 / 2372074
• Kanger, Stig, 1957, Provability in Logic, (Acta Universitatis Stockholmiensis, Stockholm Studies in Philosophy, Vol. 1), Stockholm: Almqvist en Wiksell.
• Kripke, Saul A., 1959a, "A Competeness Theorem in Modal Logic", Journal of Symbolic Logic, 24 (1): 1–14. doi: 10.2307 / 2964568
• –––, 1959b, “Semantical Analysis of Modal Logic” (samenvatting van de vierentwintigste jaarlijkse bijeenkomst van de Association for Symbolische Logic), Journal of Symbolische Logic, 24 (4): 323–324. doi: 10.1017 / S0022481200123321
• –––, 1962, “The Undecidability of Monadic Modal Quantification Theory”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 8 (2): 113–116. doi: 10.1002 / malq.19620080204
• –––, 1963a, “Semantical Analysis of Modal Logic I. Normal Modal Proposition Calculi”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 9 (5–6): 67–96. doi: 10.1002 / malq.19630090502
• –––, 1963b, “Semantical Considerations on Modal Logic”, Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.
• –––, 1965, “Semantical Analysis of Modal Logic II. Niet-normale Modal Propositionele Calculi”, in Symposium on the Theory of Models, JW Addison, L. Henkin, en A. Tarski (red.), Amsterdam: Noord-Holland, pp. 206–220.
• –––, 1967a, “Review of EJ Lemmon 'Algebraic Semantics for Modal Logics I' (1966a)”, Mathematical Reviews, 34: 1021–1022.
• –––, 1967b, “Review of EJ Lemmon 'Algebraic Semantics for Modal Logics II' (1966b)”, Mathematical Reviews, 34: 1022.
• Lemmon, EJ, 1957, "New Foundations for Lewis Modal Systems", Journal of Symbolic Logic, 22 (2): 176–186. doi: 0.2307 / 2964179
• –––, 1966a, “Algebraic Semantics for Modal Logics I”, Journal of Symbolic Logic, 31 (1): 46–65. doi: 10.2307 / 2270619
• –––, 1966b, “Algebraic Semantics for Modal Logics II”, Journal of Symbolic Logic, 31 (2): 191–218. doi: 10.2307 / 2269810
• Lemon, EJ (met Dana Scott), 1977, The "Lemmon Notes". An Introduction to Modal Logic (American Philosophical Quarterly Monograph Series, vol. 11), K. Segerberg (red.), Oxford: Basil Blackwell.
• Lewis, CI, 1912, 'Implicatie en de algebra van logica', Mind, 21 (84): 522-531. doi: 10.1093 / mind / XXI.84.522
• –––, 1914, “The Calculus of Strict Implication”, Mind, 23 (1): 240–247. doi: 10.1093 / mind / XXIII.1.240
• ––– 1918, A Survey of Symbolic Logic, Berkeley: University of California Press.
• –––, 1920, “Strict Implication-An Emendation”, Journal of Philosophy, Psychology and Scientific Methods, 17 (11): 300–302. doi: 10.2307 / 2940598
• Lewis, CI en CH Langford, 1932, Symbolische logica, London: Century. 2 ^e editie 1959, New York: Dover.
• Łukasiewicz, januari 1920, 'O Logice Trójwartościowej', Ruch Filozoficzny, 5: 170–171.
• –––, 1930, "Philosophische Bemerkungen zu Mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls", Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, 23: 51–77. Vertaald en herdrukt in Łukasiewicz 1970: 153–178.
• –––, 1970, Selected Works, L. Borkowski (red.), Amsterdam: Noord-Holland.
• Łukasiewicz, Jan en Alfred Tarski, 1931, 'Investigations into the Sentential Calculus', in Alfred Tarski, 1956, Logic, Semantics, Metamathematics, Oxford: Clarendon Press, pp. 38-59.
• MacColl, Hugh, 1880, "Symbolical Reasoning", Mind, 5 (17): 45–60. doi: 10.1093 / mind / os-V.17.45
• –––, 1897, “Symbolical Reasoning (II)”, Mind, 6 (4): 493–510. doi: 10.1093 / mind / VI.4.493
• –––, 1900, “Symbolical Reasoning (III)”, Mind, 9 (36): 75–84. doi: 10.1093 / mind / IX.36.75
• –––, 1906, Symbolische logica en zijn toepassingen, Londen: Longmans, Green en Co.
• Makinson, David C., 1966a, "Hoe zinvol zijn modale operators?", Australasian Journal of Philosophy, 44 (3): 331–337. doi: 10.1080 / 00048406612341161
• –––, 1966b, “On Some Competeness Theorems in Modal logic”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 12: 379–384. doi: 10.1002 / malq.19660120131
• –––, 1969, “A Normal Modal Calculus Between T and S4 Without the Finite Model Property”, Journal of Symbolische Logica, 34 (1): 35–38. doi: 10.2307 / 2270978
• McKinsey, JCC, 1934, 'A Reduction in Number of the Posticles for CI Lewis' System of Strict Implication ', Bulletin of the American Mathematical Society (New Series), 40 (6): 425–427. doi: 10.1090 / S0002-9904-1934-05881-6
• –––, 1941, "A Solution of the Decision Problem for the Lewis Systems S2 and S4, with a Application to Topology", Journal of Symbolic Logic, 6 (4): 117–134. doi: 10.2307 / 2267105
• –––, 1944, “On the Number of Complete Extensions of the Lewis Systems of Sentential Calculus”, Journal of Symbolic Logic, 9 (2): 42–45. doi: 10.2307 / 2268020
• –––, 1945, “On the Syntactical Construction of Systems of Modal Logic”, Journal of Symbolic Logic, 10 (3): 83–94. doi: 10.2307 / 2267027
• McKinsey, JCC en Alfred Tarski, 1944, 'The Algebra of Topology', Annals of Mathematics, 45 (1): 141–191. doi: 10.2307 / 1969080
• –––, 1946, “On Closed Elements in Closure Algebras”, Annals of Mathematics, 47 (1): 122–162. doi: 10.2307 / 1969038
• –––, 1948, “Enkele stellingen over de sentimentele berekeningen van Lewis en Heyting”, Journal of Symbolische logica, 13 (1): 1–15. doi: 10.2307 / 2268135
• Montague, Richard, 1960, "Logical Necessity, Physical Necessity, Ethics, and Quantifiers", Onderzoek, 3 (1–4): 259–269. doi: 10.1080 / 00201746008601312
• Nelson, Everett J., 1930, 'Intensional Relations', Mind, 39 (156): 440–453. doi: 10.1093 / mind / XXXIX.156.440
• Parry, William Tuthill, 1934, 'De postulaten voor' strikte implicatie '', Mind, 43 (169): 78–80. doi: 10.1093 / mind / XLIII.169.78
• –––, 1939, “Modalities in the Survey System of Strict Implication”, Journal of Symbolische Logica, 4 (4): 137–154. doi: 10.2307 / 2268714
• Prior, Arthur N., 1955, Formal Logic, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1956, “Modaliteit en kwantificering in S5”, Journal of Symbolische logica, 21 (1): 60–62. doi: 10.2307 / 2268488
• –––, 1957, Time and Modality, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1962, “Possible Worlds”, Philosophical Quarterly, 12 (46): 36–43. doi: 10.2307 / 2216837
• Prior, Arthur N. en Kit Fine, 1977, Worlds, Times and Selves, Amherst, MA: University of Massachusetts Press.
• Quine, WV, 1947a, "The Problem of Interpreting Modal Logic", Journal of Symbolische Logica, 12 (2): 43-48. doi: 10.2307 / 2267247
• –––, 1947b, "Review of The Deduction Theorem in a Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication by Ruth C. Barcan (1946b)", Journal of Symbolic Logic, 12 (3): 95–96. doi: 10.2307 / 2267230
• –––, 1970, Philosophy of Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Russell, Bertrand, 1906, "Herziening van de symbolische logica van Hugh MacColl en de toepassingen ervan (1906)", Mind, 15 (58): 255–260. doi: 10.1093 / mind / XV.58.255
• Schlipp, Paul Arthur (red.), 1963, The Philosophy of Rudolf Carnap (The Library of Living Philosophers: Volume 11), La Salle: Open Court.
• Scroggs, Schiller Joe, 1951, 'Extensions of the Lewis System S5', Journal of Symbolic Logic, 16 (2): 112–120. doi: 10.2307 / 2266683
• Segerberg, Krister, 1968, "Beslisbaarheid van S4.1", Theoria, 34 (1): 7-20. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1968.tb00335.x
• –––, 1971, An Essay in Classical Modal Logic, 3 delen, (Filosofiska Studier, Vol. 13), Uppsala: Uppsala Universitet.
• Simons, Leo, 1953, 'Nieuwe axiomatisaties van S3 en S4', Journal of Symbolische logica, 18 (4): 309–316. doi: 10.2307 / 2266554
• Sobociński, Boleslaw, 1953, 'Note on a Modal System of Feys-von Wright', Journal of Computing Systems, 1 (3): 171–178.
• –––, 1962, “A Contribution to the Axiomatization of Lewis 'System S5”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 3 (1): 51–60. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093957059
• Strawson, PF, 1948, "Noodzakelijke stellingen en uitspraken over verklaringen", Mind, 57 (226): 184-200. doi: 10.1093 / mind / LVII.226.184
• Thomason, Richmond H., 1973, "Philosophy and Formal Semantics", in Truth, Syntax and Modality, Hugues Leblanc (red.), Amsterdam: Noord-Holland, pp. 294–307.
• Thomason, Steven K., 1973, "A New Representation of S5", Notre Dame Journal of Formal Logic, 14 (2): 281–284. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093890907
• –––, 1974, “An Incompleteness Theorem in Modal Logic”, Theoria, 40 (1): 30–34. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1974.tb00077.x
• van Benthem, Johan, 1978, "Two Simple Incomplete Modal Logics", Theoria, 44: 25–37. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1978.tb00830.x
• –––, 1984, "Possible Worlds Semantics: A Research Program that Can not Fail?", Studia Logica, 43: 379–393.
• von Wright, GH, 1951, An Essay in Modal Logic (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics: Volume V), LEJ Brouwer, EW Beth en A. Heyting (red.), Amsterdam: Noord-Holland.
• Whitehead, Alfred North en Bertrand Russell, 1910, Principia Mathematica (Volume I), Cambridge: Cambridge University Press.

Secundaire literatuur

• Ballarin, Roberta, 2005, "Geldigheid en noodzaak", Journal of Philosophical Logic, 34 (3): 275–303. doi: 10.1007 / s10992-004-7800-2
• Belnap, Nuel D., Jr., 1981, "Modal and Relevance Logics: 1977", in Modern Logic: A Survey, Evandro Agazzi (red.), Dordrecht: D. Reidel, pp. 131–151. doi: 10.1007 / 978-94-009-9056-2_8
• Blackburn, Patrick en Johan van Benthem, 2007a, "Modal Logic: A Semantic Perspective", in Blackburn, van Benthem en Wolter 2007b: hoofdstuk 1.
• Blackburn, Patrick, Johan van Benthem en Frank Wolter, (red.), 2007b, Handbook of Modal Logic (Studies in Logic and Practical Reasoning: Volume 3), Amsterdam: Elsevier.
• Bull, Robert en Krister Segerberg, 1984, "Basic Modal Logic", in Extensions of Classical Logic (Handbook of Philosophical Logic: Volume 2), DM Gabbay en F. Guenthner (eds.), Dordrecht: Kluwer, pp. 1–88. doi: 10.1007 / 978-94-009-6259-0_1
• Burgess, John P., 2009, Philosophical Logic, Princeton: Princeton University Press.
• Cocchiarella, Nino B., 1975a, "Logical Atomism, Nominalism, and Modal Logic", Synthese, 31 (1): 23–62. doi: 10.1007 / BF00869470
• –––, 1975b, “Over de primaire en secundaire semantiek van logische noodzaak”, Journal of Philosophical Logic, 4 (1): 13–27. doi: 10.1007 / BF00263118
• Copeland, B. Jack, 2002, "The Genesis of Possible Worlds Semantics", Journal of Philosophical Logic, 31 (2): 99–137. doi: 10.1023 / A: 1015273407895
• Curley, EM, 1975, 'The Development of Lewis' Theory of Strict Implication ', Notre Dame Journal of Formal Logic, 16 (4): 517–527. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093891890
• Goldblatt, Robert, 2003, "Mathematical Modal Logic: A View of its Evolution", in Logic and the Modalities in the Twentieth Century (Handbook of the History of Logic: Volume 7), DM Gabbay en J. Woods (red.), Amsterdam: Elsevier, pp. 1-98. [2003, Journal of Applied Logic, 1 (5–6): 309–392. doi: 10.1016 / S1570-8683 (03) 00008-9]
• Kaplan, David, 1966, "Review of Saul A. Kripke, Semantical Analysis of Modal Logic I. Normal Modal Proposition Calculi (1963a)", Journal of Symbolische logica, 31 (1): 120–122. doi: 10.2307 / 2270649
• –––, 1986, "Opacity", in Lewis Edwin Hahn en Paul Arthur Schlipp (red.), The Philosophy of WV Quine (The Library of Living Philosophers, Volume 18), La Salle: Open Court, pp. 229–289.
• Lindström, Sten, 1996, "Modality Without Worlds: Kanger's Early Semantics for Modal Logic", in Odds and Ends. Filosofische essays gewijd aan Wlodek Rabinowicz ter gelegenheid van zijn vijftigste verjaardag, S. Lindström, R. Sliwinski en J. Österberg (red.), Uppsala, Zweden, pp. 266–284.
• –––, 1998, "An Exposition and Development of Kanger's Early Semantics for Modal Logic", in The New Theory of Reference: Kripke, Marcus, and its Origins, PW Humphreys, en JH Fetzer (red.), Dordrecht: Kluwer, pp. 203–233.
• –––, 2001, “Quine's Interpretation Problem and the Early Development of Possible Worlds Semantics”, Uppsala Philosophical Studies, 50: 187–213.
• Lindström, Sten en Krister Segerberg, 2007, "Modal Logic and Philosophy", in Blackburn, van Benthem en Wolter 2007b: hoofdstuk 1.
• Linsky, Leonard, (red.), 1971, Reference and Modality, Oxford: Oxford University Press.
• Löb, MH, 1966, "Extensional Interpretations of Modal Logic", Journal of Symbolic Logic, 31 (1): 23–45. doi: 10.2307 / 2270618
• Rahman, Shahid en Juan Redmond, 2007, Hugh MacColl: An Overview of his Logical Work with Anthology, London: College Publications.
• Rescher, Nicholas, 1974, Studies in Modality, Oxford: Basil Blackwell.
• Zakharyaschev, Michael, Krister Segerberg, Maarten de Rijke en Heinrich Wansing, 2001, "The Origins of Modern Modal Logic", in Advances in Modal Logic 2, M. Zakharyaschev, K. Segerberg, M. de Rijke, en H. Wansing (redactie), Stanford: CSLI Publications, pp. 11–38.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

• Basisconcepten in modale logica, door Edward N. Zalta (cursusnotities)
• Modal Logic Handbook, door Blackburn, van Benthem en Wolter