De Vroege Ontwikkeling Van Verzamelingenleer

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

De vroege ontwikkeling van verzamelingenleer

Voor het eerst gepubliceerd op 10 april 2007; inhoudelijke herziening do 18 jun.2020

De verzamelingenleer is een van de grootste verworvenheden van de moderne wiskunde. In principe laten alle wiskundige concepten, methoden en resultaten representatie toe binnen de axiomatische verzamelingenleer. De verzamelingenleer heeft dus een vrij unieke rol gespeeld door de moderne wiskunde te systematiseren en door in een uniforme vorm alle basisvragen over toelaatbare wiskundige argumenten te benaderen, inclusief de netelige kwestie van existentieprincipes. Deze inzending behandelt in grote lijnen het ingewikkelde proces waarmee de verzamelingenleer tot stand is gekomen, en omvat ongeveer de jaren 1850 tot 1930.

In 1910 schreef Hilbert dat verzamelingenleer is

die wiskundige discipline die vandaag een uitstekende rol in onze wetenschap vervult en [ausströmt] haar krachtige invloed uitstraalt in alle takken van de wiskunde. [Hilbert 1910, 466; vertaling per inzending auteur]

Dit suggereert al dat het, om de vroege geschiedenis te bespreken, nodig is om twee aspecten van de verzamelingenleer te onderscheiden: de rol ervan als fundamentele taal en bewaarplaats van de basisprincipes van de moderne wiskunde; en zijn rol als een onafhankelijke tak van de wiskunde, (vandaag) geclassificeerd als een tak van de wiskundige logica. Beide aspecten komen hier aan bod.

Het eerste deel onderzoekt de oorsprong en opkomst van verzamelingenleer wiskunde rond 1870; dit wordt gevolgd door een bespreking van de periode van uitbreiding en consolidatie van de theorie tot 1900. Sectie 3 geeft een blik op de kritieke periode in de decennia 1897 tot 1918, en sectie 4 behandelt de tijd van Zermelo tot Gödel (van theorie tot metatheorie), met speciale aandacht voor de vaak over het hoofd geziene, maar cruciale, beschrijvende verzamelingenleer.

• 1. Opkomst
• 2. Consolidatie
• 3. Kritieke periode
• 4. Van Zermelo naar Gödel

• Bibliografie

  • Geciteerde werken
  • Verder lezen
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Opkomst

Het concept van een set lijkt bedrieglijk eenvoudig, althans voor de getrainde wiskundige, en in die mate dat het moeilijk wordt om de bijdragen van de pioniers correct te beoordelen en te waarderen. Wat hen veel moeite kostte om te produceren en de wiskundige gemeenschap veel tijd kostte om dit te accepteren, lijkt ons nogal vanzelfsprekend of zelfs triviaal. Drie historische misvattingen die in de literatuur wijdverbreid zijn, moeten allereerst worden opgemerkt:

1. Het is niet zo dat de werkelijke oneindigheid vóór Cantor universeel werd afgewezen.
2. Set-theoretische opvattingen kwamen niet uitsluitend voort uit analyse, maar kwamen ook naar voren in algebra, getaltheorie en geometrie.
3. In feite ging de opkomst van de set-theoretische wiskunde vooraf aan de cruciale bijdragen van Cantor.

Al deze punten zullen in het volgende duidelijk worden.

De notie van een verzameling is zo oud als het tellen, en logische ideeën over klassen bestaan al sinds op zijn minst de “boom van Porphyrius” (3 ^e eeuw CE). Het wordt dus moeilijk om de oorsprong van het concept set te achterhalen. Maar sets zijn noch collecties in de alledaagse betekenis van dit woord, noch de “klassen” in de zin van logici vóór het midden van de 19 ^ste eeuw. Het belangrijkste ontbrekende element is objecthood - een set is een wiskundig object dat net als elk ander object kan worden bediend (de set (mathbf {N}) is net zo goed 'een ding' als nummer 3). Om dit punt te verduidelijken, gebruikte Russell het nuttige onderscheid tussen een klasse zoveel (dit is het traditionele idee) en een klasse één (of set).

Ernst Zermelo, een cruciale figuur in ons verhaal, zei dat de theorie van oudsher was “gecreëerd door Cantor en Dedekind” [Zermelo 1908, 262]. Dit suggereert een goed pragmatisch criterium: men moet uitgaan van auteurs die de opvattingen van Cantor, Dedekind en Zermelo aanzienlijk hebben beïnvloed. Dit is grotendeels het hier gehanteerde criterium. Niettemin, zoals elke regel een uitzondering vereist, is het geval van Bolzano belangrijk en leerzaam, hoewel Bolzano latere schrijvers niet significant beïnvloedde.

In ^de Duitstalige gebieden van de 19e eeuw waren er enkele intellectuele tendensen die de acceptatie van het werkelijke oneindige bevorderden (bijv. Een heropleving van Leibniz 'gedachte). Ondanks Gauss 'waarschuwing dat het oneindige slechts een manier van spreken kan zijn, gingen enkele kleine figuren en drie grote (Bolzano, Riemann, Dedekind) Cantor vooraf in het volledig accepteren van het werkelijke oneindige in de wiskunde. Deze drie auteurs waren actief in het promoten van een set-theoretische formulering van wiskundige ideeën, waarbij de bijdrage van Dedekind aan een groot aantal klassieke geschriften (1871, 1872, 1876/77, 1888) van centraal belang was.

Chronologisch was Bernard Bolzano de eerste, maar hij oefende bijna geen invloed uit. De hoge kwaliteit van zijn werk in de logica en de grondslagen van de wiskunde is bekend. Een boek getiteld Paradoxien des Unendlichen werd postuum gepubliceerd in 1851. Hier betoogde Bolzano in detail dat een groot aantal paradoxen rond de oneindigheid logisch onschadelijk zijn en een krachtige verdediging van de werkelijke oneindigheid vormden. Hij stelde een interessant argument voor om het bestaan van oneindige verzamelingen te bewijzen, wat een vergelijking is met het latere argument van Dedekind (1888). Hoewel hij ingewikkelde onderscheidingen maakte tussen verschillende soorten sets of klassen, erkende Bolzano duidelijk de mogelijkheid om twee oneindige sets in één-op-één correspondentie te plaatsen, zoals men gemakkelijk kan doen, bijvoorbeeld met de intervallen ([0, 5]) en ([0, 12]) door de functie (5j = 12x). Echter,Bolzano weerstond de conclusie dat beide sets 'gelijk zijn wat betreft de veelheid van hun delen' [1851, 30–31]. Naar alle waarschijnlijkheid waren traditionele meetideeën nog steeds te krachtig in zijn manier van denken, en daardoor miste hij de ontdekking van het concept van kardinaliteit (men zou echter niet-Cantoriaanse ideeën kunnen overwegen, waarover Mancosu 2009 te zien is).

Het geval van Bolzano suggereert dat een bevrijding van metrische concepten (die gepaard ging met de ontwikkeling van theorieën over projectieve meetkunde en vooral over topologie) een cruciale rol zou spelen bij het mogelijk maken van het abstracte gezichtspunt van de verzamelingenleer. Bernhard Riemann stelde visionaire ideeën voor over topologie, en over het baseren van alle wiskunde op het begrip set of "manifold" in de zin van klasse (Mannigfaltigkeit), in zijn gevierde oratie "On the Hypotheses die aan de Foundations of Geometry" ligt (1854 / 1868a). Kenmerkend voor Riemann was ook een grote nadruk op conceptuele wiskunde, vooral zichtbaar in zijn benadering van complexe analyse (die opnieuw diep in de topologie ging). Om maar het eenvoudigste voorbeeld te geven,Riemann was een enthousiaste aanhanger van Dirichlet's idee dat een functie moet worden opgevat als een willekeurige overeenkomst tussen numerieke waarden, al dan niet representatief voor een formule; dit betekende het achterlaten van de tijden waarin een functie werd gedefinieerd als een analytische uitdrukking. Door deze nieuwe stijl van wiskunde en door zijn visie op een nieuwe rol voor decors en een volledig programma voor het ontwikkelen van topologie, was Riemann een cruciale invloed op zowel Dedekind als Cantor (zie Ferreirós 1999). Riemann was een cruciale invloed op zowel Dedekind als Cantor (zie Ferreirós 1999). Riemann was een cruciale invloed op zowel Dedekind als Cantor (zie Ferreirós 1999).

In de periode van vijf jaar 1868–1872 waren de set-theoretische voorstellen in Duitsland zo groot dat we het als de geboorte van set-theoretische wiskunde konden beschouwen. Riemanns lezing over geometrie, gehouden in 1854, werd gepubliceerd door Dedekind in 1868, samen met Riemanns paper over goniometrische reeksen (1854 / 1868b, waarin de Riemann-integraal werd gepresenteerd). Dit laatste was het startpunt voor diepgaande analyse in echte analyse, en begon met de studie van "serieus" discontinue functies. De jonge Georg Cantor kwam dit gebied binnen, wat hem leidde tot de studie van puntensets. In 1872 introduceerde Cantor een operatie op puntensets (zie hieronder) en al snel piekerde hij over de mogelijkheid om die operatie tot in het oneindige en verder te herhalen: het was de eerste glimp van het transfinite rijk.

Ondertussen had Richard Dedekind in 1871 nog een belangrijke ontwikkeling naar voren gebracht. In het kader van zijn werk over de algebraïsche getaltheorie introduceerde Dedekind een in wezen set-theoretisch standpunt, waarbij hij velden en idealen van algebraïsche getallen definieerde. Deze ideeën werden gepresenteerd in een zeer volwassen vorm, gebruik makend van vaste bewerkingen en structuurbehoudende toewijzingen (zie een relevante passage in Ferreirós 1999: 92-93; Cantor gebruikte de terminologie van Dedekind voor de bewerkingen in zijn eigen werk over verzamelingenleer rond 1880 [1999: 204]). Gezien de ring van gehele getallen in een bepaald veld van algebraïsche getallen, definieerde Dedekind bepaalde subsets genaamd "idealen" en opereerde deze sets als nieuwe objecten. Deze procedure was de sleutel tot zijn algemene benadering van het onderwerp. In andere werken behandelde hij heel duidelijk en nauwkeurig gelijkwaardigheidsrelaties, partitiesets,homomorfismen en automorfismen (zie Asghari 2018 over de geschiedenis van equivalentie-relaties). Veel van de gebruikelijke set-theoretische procedures van de twintigste-eeuwse wiskunde gaan dus terug op zijn werk. Enkele jaren later (in 1888) publiceerde Dedekind een presentatie van de basiselementen van de verzamelingenleer, waardoor de bewerkingen op sets en afbeeldingen die hij sinds 1871 gebruikte, slechts iets explicieter werden.

Het volgende jaar publiceerde Dedekind een paper [1872] waarin hij een axiomatische analyse gaf van de structuur van de verzameling (mathbf {R}) van reële getallen. Hij definieerde het als een geordend veld dat ook compleet is (in de zin dat alle Dedekind-bezuinigingen op (mathbf {R}) overeenkomen met een element in (mathbf {R})); volledigheid in die zin heeft het archimedische axioma als gevolg. Ook Cantor gaf in 1872 een definitie van (mathbf {R}), gebruikmakend van Cauchy-reeksen van rationele getallen, wat een elegante vereenvoudiging was van de definitie die Carl Weierstrass in zijn lezingen bood. De vorm van volledigheids axioma waaraan Weierstrass de voorkeur gaf, was het principe van Bolzano dat een reeks geneste gesloten intervallen in (mathbf {R}) (een reeks zodanig dat ([a_ {m + 1}, b_ {m + 1}] subset [a_ {m}, b_ {m}])) "bevat" ten minste één reëel getal (of, zoals we zouden zeggen,heeft een niet-leeg kruispunt).

De Cantor- en Dedekind-definities van de reële getallen waren impliciet gebaseerd op de verzamelingenleer en kunnen achteraf worden gezien als de aanname van een Power Set-principe. Beiden namen de gegeven reeks rationele getallen aan, en voor de definitie van (mathbf {R}) vertrouwden ze op een bepaalde totaliteit van oneindige reeksen rationele getallen (ofwel de totaliteit van Cauchy-reeksen, ofwel alle bezuinigingen van Dedekind). Ook hiermee ontstond constructivistische kritiek op de verzamelingenleer, toen Leopold Kronecker bezwaar begon te maken tegen dergelijke oneindige procedures. Tegelijkertijd begon er een onderzoek naar de topologie van (mathbf {R}), met name in het werk van Weierstrass, Dedekind en Cantor. De set-theoretische benadering werd ook gebruikt door verschillende auteurs op het gebied van echte analyse en complexe analyse (bijv. Hankel, du Bois-Reymond, HJS Smith, U. Dini) en door Dedekind in samenwerking met Weber (1882), baanbrekende algebraïsche meetkunde.

Cantors afgeleide sets zijn van bijzonder belang (zie voor de context van dit idee in reële analyse bijvoorbeeld Dauben 1979, Hallett 1984, Lavine 1994, Kanamori 1996, Ferreirós 1999). Cantor nam de gegeven "conceptuele sfeer" van de reële getallen aan, en hij beschouwde willekeurige subsets (P), die hij 'puntensets' noemde. Een reëel getal (r) wordt een limietpunt van (P) genoemd, wanneer alle buurten van (r) punten van (P) bevatten. Dit kan alleen gebeuren als (P) oneindig is. Met dat concept ging Cantor dankzij Weierstrass verder met het definiëren van de afgeleide set (P ') van (P), als de set van alle limietpunten van (P). Over het algemeen kan (P ') oneindig zijn en zijn eigen limietpunten hebben (zie Cantor's paper in Ewald [1996, vol. 2, 840ff], in het bijzonder p. 848). Zo kan men de operatie herhalen en verdere afgeleide sets (P ''), (P '' 'verkrijgen)… (P ^ {(n)})… Het is gemakkelijk om voorbeelden te geven van een set (P) die aanleiding zal geven tot niet-lege afgeleide sets (P ^ {(n)}) voor alle eindige (n). (Een nogal triviaal voorbeeld is (P = / mathbf {Q} _ {[0,1]}), de verzameling rationele getallen in het eenheidsinterval; in dit geval (P '= [0,1] = P '').) Zo kan men (P ^ {(infty)}) definiëren als het snijpunt van alle (P ^ {(n)}) voor eindige (n). Dit was Cantors eerste ontmoeting met transfinite iteraties. Dit was Cantors eerste ontmoeting met transfinite iteraties. Dit was Cantors eerste ontmoeting met transfinite iteraties.

Eind 1873 kwam er een verrassende ontdekking die het rijk van de transfinite volledig opende. In overeenstemming met Dedekind (zie Ewald 1996, deel 2), stelde Cantor de vraag of de oneindige sets (mathbf {N}) van de natuurlijke getallen en (mathbf {R}) reële getallen kunnen zijn geplaatst in een-op-een correspondentie. Dedekind bood als antwoord een verrassend bewijs dat de verzameling (A) van alle algebraïsche getallen te omschrijven is (dwz er is een één-op-één-overeenkomst met (mathbf {N})). Een paar dagen later kon Cantor bewijzen dat de veronderstelling dat (mathbf {R}) beschrijfbaar is, tot een tegenstrijdigheid leidt. Daartoe gebruikte hij het bovengenoemde Bolzano-Weierstrass-principe van volledigheid. Zo had hij laten zien dat er meer elementen in (mathbf {R}) zitten dan in (mathbf {N}) of (mathbf {Q}) of (A),in de exacte zin dat de kardinaliteit van (mathbf {R}) strikt groter is dan die van (mathbf {N}).

2. Consolidatie

De verzamelingenleer begon een essentieel ingrediënt te worden van de nieuwe "moderne" benadering van de wiskunde. Maar dit standpunt werd betwist en de consolidatie ervan duurde vrij lang. De algebraïsche stijl van Dedekind begon pas in de jaren 1890 aanhangers te vinden; David Hilbert was erbij. De grond was beter voorbereid op de moderne theorieën over echte functies: Italiaanse, Duitse, Franse en Britse wiskundigen droegen in de jaren 1880 bij. En de nieuwe fundamentele opvattingen werden overgenomen door Peano en zijn volgelingen, tot op zekere hoogte door Frege, door Hilbert in de jaren 1890 en later door Russell.

Ondertussen bracht Cantor de jaren 1878 tot 1885 door met het publiceren van belangrijke werken die ertoe bijdroegen dat de verzamelingenleer een autonome tak van de wiskunde werd. Laten we (A / equiv B) schrijven om uit te drukken dat de twee sets (A), (B) in één-op-één correspondentie kunnen worden geplaatst (dezelfde kardinaliteit hebben). Na bewezen te hebben dat de irrationele cijfers in één-op-één correspondentie kunnen worden geplaatst met (mathbf {R}), en, verrassend genoeg, dat ook (mathbf {R} ^ {n} equiv / mathbf {R }), Cantor vermoedde in 1878 dat elke subset van (mathbf {R}) ofwel beschrijfbaar zou zijn ((equiv / mathbf {N})) of (equiv / mathbf {R}). Dit is de eerste en zwakste vorm van de gevierde continuümhypothese. In de daaropvolgende jaren verkende Cantor de wereld van puntensets en introduceerde verschillende belangrijke topologische ideeën (bijv. Perfecte set, gesloten set, geïsoleerde set),en kwam tot resultaten zoals de stelling van Cantor-Bendixson.

Een puntenset (P) wordt gesloten als de afgeleide set (P '\ subseteq P), en perfect is iff (P = P'). De stelling van Cantor-Bendixson stelt dan dat een set van gesloten punten kan worden ontleed in twee subsets (R) en (S), zodat (R) kan worden opgesomd en (S) perfect is (inderdaad, (S) is de (a) ^e afgeleide set van (P), voor een telbare ordinale (a)). Hierdoor zouden gesloten sets de perfecte set-eigenschap hebben. Bovendien kon Cantor bewijzen dat perfecte sets de kracht van het continuüm hebben (1884). Beide resultaten impliceerden dat de continuümhypothese geldig is voor alle sets met gesloten punten. Vele jaren later, in 1916, konden Pavel Aleksandrov en Felix Hausdorff aantonen dat de bredere klasse Borelsets ook het perfecte decor bezit.

Zijn werk aan puntenverzamelingen leidde Cantor in 1882 tot het bedenken van de transfinite getallen (zie Ferreirós 1999: 267 ev). Dit was een keerpunt in zijn onderzoek, want vanaf dat moment bestudeerde hij de abstracte verzamelingenleer onafhankelijk van meer specifieke vragen die te maken hadden met de verzamelingen van punten en hun topologie (tot halverwege de jaren tachtig stonden deze vragen op de voorgrond in zijn agenda). Vervolgens richtte Cantor zich op de transfinite kardinale en ordinale getallen, en op algemene ordertypen, onafhankelijk van de topologische eigenschappen van (mathbf {R}).

De transfinite ordinals werden geïntroduceerd als nieuwe getallen in een belangrijk wiskundig-filosofisch artikel uit 1883, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (merk op dat Cantor nog steeds Riemanns term Mannigfaltigkeit of 'manifold' gebruikt om sets aan te duiden). Cantor definieerde ze door middel van twee 'genererende principes': de eerste (1) geeft de opvolger (a + 1) voor een bepaald getal (a), terwijl de tweede (2) bepaalt dat er een getal is (b) die onmiddellijk volgt na een bepaalde reeks getallen zonder een laatste element. Dus na alle eindige getallen komt, door (2), het eerste transfinite getal, (omega) (lees: omega); en dit wordt gevolgd door (omega + 1), (omega + 2), …, (omega + / omega = / omega / cdot 2), …, (omega / cdot n), (omega / cdot n +1), …, (omega ^ {2}), (omega ^ {2} +1), …, (omega ^ { omega }), … enzovoort. Wanneer een reeks zonder het laatste element verschijnt, kan men doorgaan en als het ware met (2) naar een hoger niveau springen.

De introductie van deze nieuwe nummers leek voor de meeste van zijn tijdgenoten nutteloze speculatie, maar voor Cantor vervulden ze twee zeer belangrijke functies. Daartoe classificeerde hij de transfinite-ordinals als volgt: de "first number class" bestond uit de eindige ordinals, de verzameling (mathbf {N}) van natuurlijke getallen; de "tweede nummerklasse" werd gevormd door ω en alle nummers die erop volgen (inclusief (omega ^ { omega}), en nog veel meer) die slechts een noemenswaardige reeks voorgangers hebben. Deze cruciale voorwaarde werd gesuggereerd door het probleem van het bewijzen van de stelling van Cantor-Bendixson (zie Ferreirós 1995). Op basis daarvan kon Cantor de resultaten vaststellen dat de kardinaliteit van de "tweede nummerklasse" groter is dan die van (mathbf {N}); en dat er geen tussenliggende kardinaliteit bestaat. Dus als je (textit {card} (mathbf {N}) = / aleph_ {0}) schrijft (lees:aleph zero), zijn stellingen rechtvaardigden het noemen van de kardinaliteit van de "tweede nummerklasse" (aleph_ {1}).

Na de tweede nummerklasse komt een "derde nummerklasse" (alle transfinite-ordinalen waarvan de reeks voorgangers kardinaliteit (aleph_ {1}) heeft); de kardinaliteit van deze nieuwe nummerklasse kan worden bewezen als (aleph_ {2}). Enzovoort. De eerste functie van de transfinite ordinals was dus het vaststellen van een goed gedefinieerde schaal van toenemende transfinite cardinaliteiten. (De alef-notatie die hierboven werd gebruikt, werd pas in 1895 door Cantor geïntroduceerd.) Hierdoor kon het probleem van het continuüm veel nauwkeuriger worden geformuleerd; Het vermoeden van Cantor werd de hypothese dat (textit {card} (mathbf {R}) = / aleph_ {1}). Bovendien, op basis van de transfinite-ordinalen, kon Cantor de stelling van Cantor-Bendixson bewijzen en de resultaten afronden op puntenverzamelingen die hij tijdens deze cruciale jaren had uitgewerkt. De stelling van Cantor-Bendixson luidt:gesloten sets van (mathbf {R} ^ n) (generaliseerbaar naar Poolse spaties) hebben de perfecte set-eigenschap, zodat elke gesloten set (S) in (mathbf {R} ^ n) kan zijn uniek geschreven als de disjuncte unie van een perfecte set (P) en een telbare set (R). Bovendien is (P) (S ^ α) voor α telbare ordinale.

De studie van de transfinite-ordinals richtte Cantors aandacht op geordende sets, en in het bijzonder goed geordende sets. Een set (S) is goed geordend door een relatie <iff <is een totale order en elke subset van (S) heeft een minst element in de <-volgorde. (De echte getallen zijn niet goed gerangschikt in hun gebruikelijke volgorde: overweeg gewoon een open interval. Ondertussen is (mathbf {N}) de eenvoudigste oneindig goed geordende set.) Cantor voerde aan dat de transfinite-ordinalen echt de naam van nummers, omdat ze het "type bestelling" van een mogelijk goed geordende set uitdrukken. Merk ook op dat Cantor gemakkelijk kon aangeven hoe de natuurlijke getallen opnieuw moesten worden gerangschikt, zodat ze overeenkwamen met de ordertypes (omega + 1), (omega + 2), …, (omega / cdot 2), …, (omega / cdot n), …, (omega ^ 2), …, (omega ^ { omega}), … enzovoort.(Bijvoorbeeld herordenen van (mathbf {N}) in de vorm: 2, 4, 6, …, 5, 15, 25, 35, …, 1, 3, 7, 9, … we krijgen een set die heeft ordertype (omega / cdot 3).)

Merk ook op dat de Continuum Hypothese, indien waar, zou inhouden dat de verzameling (mathbf {R}) van reële getallen inderdaad goed geordend kan zijn. Cantor was zo toegewijd aan dit standpunt dat hij de verdere hypothese presenteerde dat elke set goed geordend kan worden als "een fundamentele en gewichtige wet van denken". Enkele jaren later vestigde Hilbert de aandacht op zowel de continuümhypothese als het goed ordenende probleem als probleem 1 in zijn beroemde lijst van 'Mathematische problemen' (1900). Dit was een intelligente manier om het belang van de verzamelingenleer te benadrukken voor de toekomst van de wiskunde en de vruchtbaarheid van de nieuwe methoden en problemen.

In 1895 en 1897 publiceerde Cantor zijn laatste twee artikelen. Ze waren een goed georganiseerde presentatie van zijn resultaten over de transfinite nummers (kardinalen en ordinals) en hun theorie, maar ook over ordertypes en goed geordende sets. Deze artikelen brachten echter geen belangrijke nieuwe ideeën naar voren. Helaas had Cantor twijfels over een derde deel dat hij had voorbereid, dat zeer belangrijke kwesties zou hebben besproken die te maken hebben met het probleem van de orde en de paradoxen (zie hieronder). Verrassend genoeg heeft Cantor in de artikelen uit 1895/97 ook geen stelling opgenomen die hij enkele jaren eerder had gepubliceerd en die eenvoudigweg bekend staat als de stelling van Cantor: gezien elke set (S) bestaat er een andere set waarvan de kardinaliteit groter is (dit is de power set (mathcal {P} (S)), zoals we nu zeggen-Cantor gebruikte in plaats daarvan de set van alle functies van de vorm (f):(S / rightarrow {0, 1 }), wat equivalent is). In hetzelfde korte artikel (1892) presenteerde Cantor zijn beroemde bewijs dat (mathbf {R}) niet kan worden opgesomd door de methode van diagonalisatie, een methode die hij vervolgens uitbreidde om de stelling van Cantor te bewijzen. (Een verwante redenering was eerder verschenen in het werk van P. du Bois-Reymond [1875], zie onder meer [Wang 1974, 570] en [Borel 1898], noot II.)

Ondertussen verkenden andere auteurs de mogelijkheden die de verzamelingenleer bood voor de grondslagen van de wiskunde. Het belangrijkste was de bijdrage van Dedekind (1888) met een diepgaande presentatie van de theorie van de natuurlijke getallen. Hij formuleerde enkele basisprincipes van set (en mapping) theorie; gaf axioma's voor het natuurlijke getallensysteem; bewezen dat wiskundige inductie sluitend is en recursieve definities foutloos zijn; ontwikkelde de basistheorie van rekenkunde; introduceerde de eindige kardinalen; en bewees dat zijn axioma-systeem categorisch is. Zijn systeem had vier axioma's. Gegeven een functie φ gedefinieerd op (S), een set (N / subseteq S) en een onderscheiden element (1 / in N), zijn ze als volgt:

(begin {align} tag {α} & / phi (N) subset N \\ / tag {β} & N = / phi_ {o} {1 } / \ tag {γ} & 1 / not / in / phi (N) / \ tag {δ} & / textrm {de functie} phi / textrm {is injectief.} end {align})

Voorwaarde (β) is cruciaal omdat het zorgt voor een minimum voor de verzameling natuurlijke getallen, wat de geldigheid van bewijzen verklaart door wiskundige inductie. (N = / phi_ {o} {1 }) wordt gelezen: (N) is de keten van singleton {1} onder de functie φ, dat wil zeggen de minimale sluiting van {1} onder de functie φ. Over het algemeen beschouwt men de keten van een set (A) onder een willekeurige afbeelding γ, aangegeven met (gamma_ {o} (A)); in zijn boekje ontwikkelde Dedekind een interessante theorie over dergelijke ketens, waarmee hij de stelling van Cantor-Bernstein kon bewijzen. De theorie werd later gegeneraliseerd door Zermelo en toegepast door Skolem, Kuratowski, etc.

In de daaropvolgende jaren gaf Giuseppe Peano een meer oppervlakkige (maar ook meer bekende) behandeling van de natuurlijke getallen, gebruikmakend van de nieuwe symbolische taal van logica, en Gottlob Frege werkte zijn eigen ideeën uit, die echter ten prooi vielen aan de paradoxen. Een belangrijk boek geïnspireerd door de set-theoretische denkstijl was Hilbert's Grundlagen der Geometrie (1899), die de "wiskunde van axioma's" een stap verder bracht dan Dedekind door een rijke studie van geometrische systemen die gemotiveerd waren door vragen over de onafhankelijkheid van zijn axioma's. Hilbert's boek maakte de nieuwe axiomatische methodologie duidelijk die zich had ontwikkeld in verband met de nieuwe methoden van verzamelingenleer, en hij combineerde het met de axiomatische trends die voortkomen uit projectieve meetkunde.

Desalniettemin was er, zoals we eerder zeiden, nogal wat kritiek op set-theoretische, infinitarische methoden. Al in 1870 begon Kronecker kritische opmerkingen te maken over een constructivistische neiging die vele jaren later zou worden herhaald door vooraanstaande denkers als Brouwer of Wittgenstein. De kritische oriëntatie van Kronecker wees erop dat hij afstand deed van het reële getallensysteem en de klassieke analyse, ten gunste van een strengere vorm van analyse - twintigste-eeuwse voorbeelden hiervan zouden predicatieve analyse zijn (H. Weyl bouwt voort op basisnoties van Poincaré, zie Feferman 1988) en intuïtionistische analyse (Brouwer). Zelfs Weierstrass had bezwaren (althans in 1874) tegen het idee om groottes van oneindigheid te onderscheiden, en dat op het eerste gezicht van Cantors bewijzen. Voorbeelden zijn er genoeg,en dus uitten in de twintigste eeuw veel wiskundigen twijfels over sleutelideeën en methoden van verzamelingenleer. Een prototypegeval is E. Borel, die na het introduceren van de ideeën van Cantor in Frankrijk [1898], steeds wantrouwiger werd tegenover de verzamelingenleer (de vijf brieven die hij en Baire, Lebesgue, Hadamard in 1905 uitwisselden, zijn beroemd geworden; zie Ewald [1996), deel 2]). Maar er zijn ook gevallen van Poincaré, Weyl, Skolem, enzovoort. Onder filosofen is het meest prominente voorbeeld Wittgenstein, die de verzamelingenleer veroordeelde omdat hij voortbouwde op de "onzin" van fictieve symboliek, suggereerde "verkeerde beeldspraak", enzovoort. Hadamard in 1905 is beroemd geworden; zie Ewald [1996, vol. 2]). Maar er zijn ook gevallen van Poincaré, Weyl, Skolem, enzovoort. Onder filosofen is het meest prominente voorbeeld Wittgenstein, die de verzamelingenleer veroordeelde omdat hij voortbouwde op de "onzin" van fictieve symboliek, suggereerde "verkeerde beeldspraak", enzovoort. Hadamard in 1905 is beroemd geworden; zie Ewald [1996, vol. 2]). Maar er zijn ook gevallen van Poincaré, Weyl, Skolem, enzovoort. Onder filosofen is het meest prominente voorbeeld Wittgenstein, die de verzamelingenleer veroordeelde omdat hij voortbouwde op de "onzin" van fictieve symboliek, suggereerde "verkeerde beeldspraak", enzovoort.

3. Kritieke periode

Eind negentiende eeuw was het een wijdverbreid idee dat pure wiskunde niets anders was dan een uitgebreide vorm van rekenen. Het was dus gebruikelijk om te praten over de 'rekenkunde' van de wiskunde en hoe deze de hoogste maatstaven van nauwkeurigheid had bewerkstelligd. Bij Dedekind en Hilbert leidde dit standpunt tot het idee om alle zuivere wiskunde in de verzamelingenleer te verankeren. De moeilijkste stappen om dit standpunt naar voren te brengen, waren de vaststelling van een theorie van de reële getallen en een set-theoretische reductie van de natuurlijke getallen. Beide problemen waren opgelost door het werk van Cantor en Dedekind. Maar precies toen wiskundigen vierden dat eindelijk "volledige nauwkeurigheid" was bereikt, ontstonden er ernstige problemen voor de grondslagen van de verzamelingenleer. Eerst Cantor en daarna Russell ontdekten de paradoxen in de verzamelingenleer.

Cantor werd naar de paradoxen geleid door de 'conceptuele sfeer' van de transfinite getallen te hebben geïntroduceerd. Elke transfinite ordinal is het ordertype van de set van zijn voorgangers;, is bijvoorbeeld het ordertype van ({0, 1, 2, 3, / ldots }), en (omega + 2) is het ordertype van ({0, 1, 2, 3, / ldots, / omega, / omega +1 }). Dus voor elk eerste segment van de reeks van ordinalen komt er een onmiddellijk grotere ordinal overeen. Nu zou de 'hele reeks' van alle transfinite-ordinals een goed geordende set vormen en daaraan zou een nieuw rangnummer corresponderen. Dit is onaanvaardbaar, want deze ordinale (o) zou groter moeten zijn dan alle leden van de "hele reeks", en in het bijzonder (o <o). Dit wordt gewoonlijk de Burali-Forti-paradox of paradox van de ordinalen genoemd (hoewel Burali-Forti het zelf niet duidelijk formuleerde,zie Moore & Garciadiego 1981).

Hoewel het denkbaar is dat Cantor die paradox al in 1883 zou hebben gevonden, onmiddellijk na de introductie van de transfinite-ordinalen (zie voor argumenten voor dit idee Purkert & Ilgauds 1987 en Tait 2000), het bewijs geeft duidelijk aan dat het pas in 1896 was / 97 dat hij dit paradoxale argument vond en de implicaties ervan besefte. Tegen die tijd kon hij ook de stelling van Cantor gebruiken om de Cantor-paradox of paradox van de alefs op te leveren: als er een 'reeks van alle' kardinale getallen (alefs) bestond, zou de stelling van Cantor erop toegepast een nieuwe alef geven. (aleph), zodat (aleph <\ aleph). De grote set-theoreticus realiseerde zich heel goed dat deze paradoxen een fatale slag toebrachten aan de 'logische' benaderingen van sets die de voorkeur hadden van Frege en Dedekind. Cantor benadrukte dat zijn opvattingen 'in diametrale tegenstelling' stonden met die van Dedekind, en in het bijzonder met zijn 'naïeve veronderstelling dat alle welomschreven verzamelingen of systemen ook' consistente systemen 'zijn' (zie de brief aan Hilbert, 15 november). 1899, in Purkert & Ilgauds 1987: 154). (In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd, was Cantors dubbelzinnige definitie van set in zijn paper uit 1895 bedoeld als 'diametraal tegenovergesteld' aan het begrip van de logica van sets - vaak 'naïeve' set-theorie genoemd, die beter de dichotomie-conceptie van sets, op voorstel van Gödel.)(In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd, was Cantors dubbelzinnige definitie van set in zijn paper uit 1895 bedoeld als 'diametraal tegenovergesteld' aan het begrip van de logica van sets - vaak 'naïeve' set-theorie genoemd, die beter de dichotomie-conceptie van sets, op voorstel van Gödel.)(In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd, was Cantors dubbelzinnige definitie van set in zijn paper uit 1895 bedoeld als 'diametraal tegenovergesteld' aan het begrip van de logica van sets - vaak 'naïeve' set-theorie genoemd, die beter de dichotomie-conceptie van sets, op voorstel van Gödel.)

Cantor meende het probleem van de paradoxen op te lossen door onderscheid te maken tussen "consistente multipliciteiten" of sets, en "inconsistente multipliciteiten". Maar omdat er geen expliciete criteria voor het onderscheid waren, was dit gewoon een mondeling antwoord op het probleem. Zich bewust van tekortkomingen in zijn nieuwe ideeën, publiceerde Cantor nooit een laatste paper dat hij had voorbereid, waarin hij van plan was de paradoxen en het probleem van een goede ordening te bespreken (we kennen de inhoud van dit niet-gepubliceerde artikel vrij goed, zoals Cantor besprak het in overeenstemming met Dedekind en Hilbert; zie de brieven uit 1899 aan Dedekind in Cantor 1932 of Ewald 1996: vol. 2). Cantor presenteerde een argument dat vertrouwde op de "Burali-Forti" -paradox van de ordinalen, en bedoeld was om te bewijzen dat elke set goed geordend kan zijn. Dit argument werd later herontdekt door de Britse wiskundige PEB Jourdain, maar het staat open voor kritiek omdat het werkt met 'inconsistente multipliciteiten' (de term van Cantor in de bovengenoemde letters).

Cantors paradoxen overtuigden Hilbert en Dedekind ervan dat er belangrijke twijfels waren over de grondslagen van de verzamelingenleer. Hilbert formuleerde een eigen paradox (Peckhaus & Kahle 2002) en besprak het probleem met wiskundigen in zijn Göttingen-kring. Ernst Zermelo werd zo ertoe gebracht de paradox van de 'set' te ontdekken van alle sets die geen lid van zichzelf zijn (Rang & Thomas 1981). Dit werd onafhankelijk ontdekt door Bertrand Russell, die ertoe werd geleid door een zorgvuldige studie van de stelling van Cantor, die diep in strijd was met het geloof van Russell in een universele set. Enige tijd later, in juni 1902, deelde hij de 'tegenstrijdigheid' mee aan Gottlob Frege, die zijn eigen logische rekenkundige basis voltooide, in een bekende brief [van Heijenoort 1967, 124]. De reactie van Frege maakte de diepgaande impact van deze tegenstelling op het logicistische programma heel duidelijk. 'Kan ik altijd spreken van een klas, van de uitbreiding van een concept? En zo niet, hoe kan ik dan de uitzonderingen kennen? ' Daarmee geconfronteerd: 'Ik kan niet zien hoe rekenkunde een wetenschappelijke basis kan krijgen, hoe getallen kunnen worden opgevat als logische objecten' (Frege 1903: 253).

De publicatie van Volume II van Frege's Grundgesetze (1903), en vooral Russell's werk The Principles of Mathematics (1903), maakte de wiskundige gemeenschap volledig bewust van het bestaan van de set-theoretische paradoxen, van hun impact en belang. Er zijn aanwijzingen dat zelfs Hilbert en Zermelo de schade tot dan toe niet volledig hadden gewaardeerd. Merk op dat de Russell-Zermelo-paradox werkt met zeer basale noties - negatie en vaste lidmaatschapsconcepten die algemeen als puur logisch werden beschouwd. De "set" (R = {x: x / not / in x }) bestaat volgens het principe van begrip (waarmee elke open zin een klasse kan bepalen), maar zo ja, (R / in R / textit {iff} R / not / in R). Het is een directe tegenspraak met het principe dat Frege en Russell voorstaan.

Het was duidelijk nodig om de grondslagen van de verzamelingenleer te verduidelijken, maar de algehele situatie maakte dit geen gemakkelijke taak. De verschillende concurrerende standpunten liepen sterk uiteen. Cantor had een metafysisch begrip van de verzamelingenleer en hoewel hij een van de scherpste opvattingen van het veld had, kon hij geen nauwkeurige basis bieden. Het was hem duidelijk (zoals het enigszins mysterieus was geweest voor Ernst Schröder in zijn Vorlesungen über die Algebra der Logik, 1891) dat men het idee van een universele set, geliefd bij Frege en Dedekind, moet verwerpen. Frege en Russell baseerden hun aanpak op het begripsbeginsel, dat tegenstrijdig bleek te zijn. Dedekind vermeed dat principe, maar hij postuleerde dat het Absolute Universum een set was, een 'ding' in zijn technische betekenis van Gedankending;en hij koppelde die aanname aan volledige acceptatie van willekeurige subsets.

Dit idee van het toelaten van willekeurige subsets was een van de diepste inspiratiebronnen van zowel Cantor als Dedekind, maar geen van hen had het gethematiseerd. (Hier speelde hun moderne begrip van analyse een cruciale maar impliciete achtergrondrol, aangezien ze werkten binnen de Dirichlet-Riemann-traditie van "willekeurige" functies.) Wat betreft de nu beroemde iteratieve opvatting waren er enkele elementen van (vooral in het werk van Dedekind), met zijn iteratieve ontwikkeling van het getallensysteem, en zijn opvattingen over "systemen" en "dingen"), maar het was opvallend afwezig bij veel van de relevante auteurs. Typisch, bijv. Cantor herhaalde het proces van setvorming niet: hij had de neiging om sets van homogene elementen te beschouwen, elementen waarvan werd aangenomen dat ze thuishoorden "in een bepaalde conceptuele sfeer" (ofwel cijfers, punten of functies,of zelfs fysieke deeltjes - maar niet onderling vermengd). De iteratieve opvatting werd voor het eerst voorgesteld door Kurt Gödel in [1933], in verband met technisch werk van von Neumann en Zermelo een paar jaar eerder; Gödel zou op het idee blijven aandringen in zijn bekende paper over het continuümprobleem van Cantor. Het kwam pas achteraf, nadat er zeer grote hoeveelheden verzamelingenleer waren ontwikkeld en volledig gesystematiseerd.

Deze verscheidenheid aan tegenstrijdige standpunten heeft veel bijgedragen aan de algehele verwarring, maar er was meer. Naast de hierboven besproken paradoxen (set-theoretische paradoxen, zoals we zeggen), bevatte de lijst van "logische" paradoxen nog een hele reeks andere (later "semantische" genoemd). Hiertoe behoren paradoxen als gevolg van Russell, Richard, König, Berry, Grelling, enz., Evenals de oude leugenaarsparadox als gevolg van Epimenides. En de diagnoses en voorgestelde behandelingen voor de schade waren enorm gevarieerd. Sommige auteurs, zoals Russell, vonden het essentieel om een nieuw logisch systeem te vinden dat alle paradoxen tegelijk kon oplossen. Dit bracht hem in de vertakte typetheorie die de basis vormde van Principia Mathematica (3 delen, Whitehead en Russell 1910–1913), zijn gezamenlijke werk met Alfred Whitehead. Andere auteurs, zoals Zermelo,geloofde dat de meeste van die paradoxen verdwenen zodra men binnen een beperkt axiomatisch systeem werkte. Ze concentreerden zich op de 'set-theoretische' paradoxen (zoals we hierboven hebben gedaan) en werden ertoe gebracht te zoeken naar axiomatische systemen van de set-theorie.

Nog belangrijker was dat de vragen die Cantor open had gelaten en die door Hilbert in zijn eerste probleem van 1900 werden benadrukt, een verhit debat veroorzaakten. Op het Internationale Congres van Wiskundigen in Heidelberg, 1904, stelde Gyula (Julius) König een zeer gedetailleerd bewijs voor dat de kardinaliteit van het continuüm geen van Cantors alefen kan zijn. Zijn bewijs was slechts gebrekkig omdat hij had vertrouwd op een resultaat dat eerder was 'bewezen' door Felix Bernstein, een leerling van Cantor en Hilbert. Het kostte Felix Hausdorff enkele maanden om de fout te identificeren en te corrigeren door correct de speciale voorwaarden te vermelden waaronder het resultaat van Bernstein geldig was (zie Hausdorff 2001, deel 1). Eenmaal zo gecorrigeerd, werd de stelling van König een van de weinige resultaten die de mogelijke oplossingen van het continuümprobleem beperkte, wat impliceerde, bijvoorbeelddie (textit {kaart} (mathbf {R})) is niet gelijk aan (aleph _ { omega}). Ondertussen kon Zermelo met het Axiom of Choice [1904] bewijzen dat elke set goed te ordenen is. Het volgende jaar bespraken vooraanstaande wiskundigen in Duitsland, Frankrijk, Italië en Engeland het keuzeaxioma en de aanvaardbaarheid ervan.

The Axiom of Choice stelt: Voor elke set (A) niet-lege sets bestaat er een set die exact één element gemeen heeft met elke set in (A). Hiermee begon een heel tijdperk waarin het Axiom of Choice het meest zorgvuldig werd behandeld als een twijfelachtige hypothese (zie de monumentale studie van Moore 1982). En dat is ironisch, want onder alle gebruikelijke principes van de verzamelingenleer is de Axiom of Choice de enige die het bestaan van enkele willekeurige subgroepen expliciet afdwingt. Maar hoe belangrijk dit idee ook was geweest om Cantor en Dedekind te motiveren, en hoe verweven het ook is met klassieke analyse, oneindige willekeurige subsets werden door veel andere auteurs afgewezen. Onder de meest invloedrijke in de volgende periode zou men de namen van Russell, Hermann Weyl en natuurlijk Brouwer moeten benadrukken.

Keuze was lange tijd een controversieel axioma. Aan de ene kant wordt het veel gebruikt in de wiskunde en het is inderdaad de sleutel tot veel belangrijke analyse stellingen (dit werd geleidelijk duidelijk met werken zoals Sierpiński [1918]). Aan de andere kant heeft het nogal intuïtieve gevolgen, zoals de Banach-Tarski Paradox, die zegt dat de eenheidsbal kan worden onderverdeeld in eindig veel 'stukken' (subsets), die vervolgens kunnen worden herschikt tot twee eenheidsballen (zie Tomkowicz & Wagon [2019]). De bezwaren tegen het axioma komen voort uit het feit dat het stelt dat er sets bestaan die niet expliciet kunnen worden gedefinieerd. In de jaren 1920 en 1930 bestond de rituele praktijk om het expliciet te vermelden, telkens wanneer een stelling afhing van het axioma. Dit stopte pas na Gödel's bewijs van relatieve consistentie, dat hieronder wordt besproken.

De indrukwekkende polemiek rond zijn stelling om de orde te ordenen, en het meest interessante en moeilijkste probleem van de grondslagen van de wiskunde, brachten Zermelo ertoe zich te concentreren op de axiomatische verzamelingenleer. Als resultaat van zijn scherpe analyse publiceerde hij in 1908 zijn axioma-systeem, dat liet zien hoe het de bekende paradoxen blokkeerde en toch een meesterlijke ontwikkeling van de theorie van kardinalen en ordinalen mogelijk maakte. Dit is echter het onderwerp van een andere inzending (over het leven en werk van Zermelo, zie Ebbinghaus [2015]).

4. Van Zermelo naar Gödel

In de periode 1900–1930 werd er nog steeds van uitgegaan dat de rubriek "verzamelingenleer" onderwerpen omvatte in de topologie en de theorie van functies. Hoewel Cantor, Dedekind en Zermelo die fase achter zich hadden gelaten om zich te concentreren op pure verzamelingenleer, zou dit voor wiskundigen in het algemeen nog lang duren. Zo verdedigden op het eerste internationale congres van wiskundigen, 1897, de keynote speeches van Hadamard en Hurwitz de verzamelingenleer op basis van het belang ervan voor analyse. Rond 1900, ingegeven door analyse-onderwerpen, werd belangrijk werk verricht door drie Franse experts: Borel [1898], Baire [1899] en Lebesgue [1902] [1905]. Hun werk luidde de ontwikkeling in van de beschrijvende verzamelingenleer door Cantors studies uit te breiden naar definieerbare reeksen reële getallen (waarin hij had vastgesteld dat de continuümhypothese geldig is voor gesloten verzamelingen). Ze introduceerden de hiërarchie van Borel-sets, de Baire-hiërarchie van functies en het concept van Lebesgue-maat - een cruciaal concept van moderne analyse.

Beschrijvende verzamelingenleer (DST) is de studie van bepaalde soorten definieerbare reeksen reële getallen, die worden verkregen uit eenvoudige soorten (zoals de open verzamelingen en de gesloten verzamelingen) door goed begrepen bewerkingen zoals complementatie of projectie. De Borel-sets waren de eerste hiërarchie van definieerbare sets, geïntroduceerd in het boek van Émile Borel uit 1898; ze worden verkregen uit de open sets door herhaalde toepassing van de operaties van telbare unie en complementatie. In 1905 bestudeerde Lebesgue de Borel-sets in een epochale memoires, waaruit bleek dat hun hiërarchie niveaus heeft voor alle telbare ordinalen, en analyseerde de Baire-functies als tegenhangers van de Borel-sets. Het belangrijkste doel van beschrijvende verzamelingenleer is het vinden van structurele eigenschappen die gemeenschappelijk zijn voor al dergelijke definieerbare verzamelingen: zo werd bijvoorbeeld aangetoond dat de Borel-verzamelingen de perfecte verzamelingseigenschap hadden (indien ontelbaar,ze hebben een perfecte subset) en dus om te voldoen aan de continuümhypothese (CH). Dit resultaat is in 1916 door Hausdorff en door Alexandroff zelfstandig tot stand gekomen. Andere belangrijke "regelmatigheidseigenschappen" die in de zomertijd worden bestudeerd, zijn de eigenschap dat ze Lebesgue-meetbaar zijn, en de zogenaamde eigenschap van Baire (om te verschillen van een open set door een zogenaamde magere set, of set van eerste categorie).

Ook cruciaal in die tijd was de studie van de analytische sets, namelijk de continue beelden van Borelsets, of equivalent de projecties van Borelsets. De jonge Russische wiskundige Mikhail Suslin vond een fout in Lebesgue's memoires uit 1905 toen hij zich realiseerde dat de projectie van een Borel-set niet Borel in het algemeen is [Suslin 1917]. Hij was echter in staat om vast te stellen dat ook de analytische sets de perfecte set-eigenschap bezitten en dus CH verifieerde. Tegen 1923 bestudeerden Nikolai Lusin en Wacław Sierpiński de co-analytische verzamelingen, en dit zou hen naar een nieuwe hiërarchie van projectieve verzamelingen leiden, die begint met de analytische verzamelingen ((Sigma ^ {1} _ {1})), hun aanvullingen (co-analytisch, (Pi ^ {1} _ {1}) sets), de projecties van deze laatste ((Sigma ^ {1} _ {2}) sets), hun complementeert ((Pi ^ {1} _ {2}) sets), enzovoort. In de jaren twintig van de vorige eeuw werd er veel aan deze nieuwe soorten sets gewerkt, voornamelijk door Poolse wiskundigen rond Sierpiński en door de Russische school van Lusin en zijn leerlingen. Een cruciaal resultaat van Sierpiński was dat elke (Sigma ^ {1} _ {2}) -set de vereniging is van (aleph_ {1}) Borel-sets (hetzelfde geldt voor (Sigma ^ { 1} _ {1}) sets), maar dit soort traditioneel onderzoek naar dit onderwerp zou na ongeveer 1940 stagneren (zie Kanamori [1995]).

Al snel ondervonden Lusin, Sierpiński en hun collega's extreme moeilijkheden in hun werk. Lusin was zo wanhopig dat hij in een paper uit 1925 tot de "totaal onverwachte" conclusie kwam dat "men niet weet en men zal nooit weten" of de projectieve sets de gewenste regelmatigheidseigenschappen hebben (geciteerd in Kanamori 1995: 250). Dergelijke opmerkingen zijn zeer interessant in het licht van latere ontwikkelingen, die hebben geleid tot hypothesen die alle relevante vragen oplossen (met name projectieve determinatie). Ze onderstrepen de moeilijke methodologische en filosofische kwesties die door deze meer recente hypothesen worden opgeworpen, namelijk het probleem met betrekking tot het soort bewijs dat ze ondersteunt.

Lusin vatte de stand van zaken samen in zijn boek Leçons sur les ensembles analytiques uit 1930 (Parijs, Gauthier-Villars), dat de komende jaren een belangrijke referentie zou worden. Sinds dit werk is het gebruikelijk geworden om in DST resultaten te presenteren voor de Baire-ruimte (^ { omega}) (omega) van oneindige reeksen natuurlijke getallen, die in feite door René Baire waren geïntroduceerd in een paper gepubliceerd in 1909. Baire-ruimte is begiftigd met een bepaalde topologie die het homeomorf maakt met de verzameling van de irrationele getallen, en wordt door experts beschouwd als "misschien wel het meest fundamentele studieobject van de verzamelingenleer" naast de reeks van natuurlijke getallen [Moschovakis 1994, 135].

Deze werkstroom aan zomertijd moet worden gerekend tot de belangrijkste bijdragen van de verzamelingenleer aan analyse en topologie. Maar wat was begonnen als een poging om de continuümhypothese te bewijzen, kon dit doel niet bereiken. Al snel werd met behulp van de Axiom of Choice aangetoond dat er niet-Lebesgue meetbare reeksen zijn (Vitali 1905), en ook ontelbare realsets zonder perfecte subset (Bernstein 1908). Dergelijke resultaten maakten duidelijk dat het onmogelijk was om het doel van CH te bereiken door zich te concentreren op definieerbare en "goed opgevoede" reals.

Ook werd met Gödel's werk rond 1940 (en ook met forceren in de jaren zestig) duidelijk waarom het onderzoek van de jaren twintig en dertig stagneerde: de fundamentele nieuwe onafhankelijkheidsresultaten toonden aan dat de stellingen van Suslin (perfecte set-eigenschap voor analytische sets), Sierpinski ((Sigma ^ {1} _ {2}) sets als vakbonden van (aleph_ {1}) Borel sets) en een paar andere waren de best mogelijke resultaten op basis van axiomasysteem ZFC. Dit is filosofisch belangrijk: al een verkenning van de wereld van sets definieerbaar vanuit de open (of gesloten) sets door complement, telbare unie en projectie was voldoende om de grenzen van het ZFC-systeem te bereiken. Vandaar de behoefte aan nieuwe axioma's, die Gödel na de Tweede Wereldoorlog benadrukte [Gödel 1947].

Laten we ons nu wenden tot Cantors andere grote erfenis, de studie van transfinite getallen. In 1908 werkte Hausdorff aan ontelbare ordertypes en introduceerde de Generalized Continuum Hypothesis ((2 ^ { aleph_ {a}} = / aleph_ {a + 1})). Hij was ook de eerste die de mogelijkheid van een 'exorbitante' kardinaal overwoog, namelijk een zwak ontoegankelijke kardinaal, dat wil zeggen een gewone kardinaal die geen opvolger is (een kardinaal (alpha) wordt regelmatig genoemd als hij ontbindt (alpha) tot een som van kleinere kardinalen vereist (alpha) - veel van dergelijke nummers). Enkele jaren later, in de vroege jaren 1910, bestudeerde Paul Mahlo de hiërarchieën van zulke grote kardinalen in hun werk die een pionier waren in wat een centraal gebied van de verzamelingenleer zou worden; hij verkreeg een opeenvolging van ontoegankelijke kardinalen door een bepaalde operatie uit te voeren waarbij het idee van een stationaire subset betrokken is; ze worden Mahlo-kardinalen genoemd. Maar de studie van grote kardinalen ontwikkelde zich langzaam. Ondertussen introduceerde Hausdorffs leerboek Grundzüge der Mengenlehre (1914) twee generaties wiskundigen in de verzamelingenleer en algemene topologie.

De volgende cruciale stappen in het 'zeer hoge' oneindige werden in 1930 gedaan. Het idee van zeer ontoegankelijke kardinalen werd vervolgens geïsoleerd door Sierpiński & Tarski en door Zermelo [1930]. Een sterke ontoegankelijke is een gewone kardinaal (alpha) zodat (2 ^ x) kleiner is dan (alpha) telkens wanneer (x <\ alpha). Terwijl zwakke ontoegankelijke zaken slechts betrekking hebben op sluiting onder de volgende operatie, hebben sterke ontoegankelijke producten een veel sterker idee van sluiting onder de powerset-operatie. Datzelfde jaar legde Zermelo [1930] in een baanbrekend artikel over modellen van ZFC een verband tussen de ontelbare (sterk) ontoegankelijke kardinalen en bepaalde "natuurlijke" modellen van ZFC (waarin hij aannam dat de powerset-bewerking is, om zo te zeggen volledig te bepalen).

In datzelfde jaar werd Stanislaw Ulam door overwegingen uit de analyse (meettheorie) geleid naar een concept dat centraal zou komen te staan: meetbare kardinalen. Het bleek dat dergelijke kardinalen, gedefinieerd door een meettheoretische eigenschap, (sterk) ontoegankelijk moesten zijn. Vele jaren later zou inderdaad worden vastgesteld (door Hanf, werkend aan het eerdere werk van Tarski) dat de eerste ontoegankelijke kardinaal niet meetbaar is, wat aantoont dat deze nieuwe kardinalen zelfs "exorbitanter" waren. Zoals je kunt zien, speelde de Poolse school onder leiding van Sierpiński een zeer centrale rol in de ontwikkeling van de verzamelingenleer tussen de oorlogen. Meetbare kardinalen kwamen eind jaren zestig op de voorgrond toen duidelijk werd dat het bestaan van een meetbare kardinaal in tegenspraak is met Gödel's axioma van constructibiliteit ((V = L) in de klassennotatie). Dit bevestigde opnieuw de overtuigingen van Gödel, uitgedrukt in wat soms "het programma van Gödel" wordt genoemd voor nieuwe axioma's.

Set-theoretische wiskunde zette zijn ontwikkeling in de krachtige axiomatische en structurele aanpak die zou domineren een groot deel van de 20 ^steeeuw. Om slechts een paar voorbeelden te geven: Hilbert's vroege axiomatische werk (bijv. In zijn aartsbekende Foundations of Geometry) was diep theoretisch ingesteld; Ernst Steinitz publiceerde in 1910 zijn onderzoek naar abstracte veldentheorie, waarbij hij essentieel gebruik maakte van het Axiom of Choice; en rond dezelfde tijd begon de studie van functionele ruimtes met werk van Hilbert, Maurice Fréchet en anderen. In de jaren twintig en dertig van de vorige eeuw was het eerste gespecialiseerde wiskundetijdschrift, Fundamenta Mathematicae, gewijd aan de verzamelde theorie zoals die toen werd begrepen (met inbegrip van de topologie en de functietheorie). In die decennia werd de structurele algebra volwassen, de abstracte topologie werd geleidelijk een onafhankelijke studietak en de studie van de verzamelingenleer zette zijn metatheoretische wending in gang.

Sindsdien wordt 'verzamelingenleer' in het algemeen geïdentificeerd met de tak van de wiskundige logica die transfinite verzamelingen bestudeert, wat voortkomt uit Cantors resultaat dat (mathbf {R}) een grotere kardinaliteit heeft dan (mathbf {N}). Maar, zoals de voorgaande discussie laat zien, was verzamelingenleer zowel het gevolg als de oorzaak van de opkomst van de moderne wiskunde: de sporen van deze oorsprong zijn onuitwisbaar op hun axiomatische structuur gestempeld.

Bibliografie

Geciteerde werken

• Alexandroff, Pavel, 1916, "Sur la puissance des ensembles mesurables B", Comptes Rendus Acad. Sci. Parijs, 162: 323–325.
• Asghari, Amir, 2019, "Equivalentie: een poging tot een geschiedenis van het idee", Synthese, 196: 4657–4677.
• Baire, René, 1899, "Sur les fonctions de variables reelles", Annali di Matematica Pura ed Applicata, Serie IIIa, vol. 3, pp. 1–122.
• –––, 1909, “Sur la représentation des fonctions stopt”, Acta Mathematica, 32: 97–176.
• Bernstein, Felix, 1908, "Zur Theorie der trigonometrischen Reihen", Sitzungsberichte der Königlich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Math.-Phys. Klasse, 60: 325–338.
• du Bois – Reymond, Paul, 1875, "Ueber asymptotische Werthe, infinitäre approximationen und infinitäre Auflösung von Gleichungen", Mathematische Annalen, 8: 363–414.
• Bolzano, Bernard, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Leipzig, Reclam; Engelse vertaling Londen, Routledge, 1920.
• Borel, Émile, 1898, Leçons sur la théorie des fonctions, Parijs, Gauthier-Villars. 4 ^th edn 1950 talloze veranderingen aangebracht.
• Cantor, Georg, 1872, "Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen", Mathematische Annalen, 5: 123–132. In Cantor 1932: 92-102.
• –––, 1883, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Leipzig: BG Teubner. In Cantor 1932: 165–208. Engelse vertaling in Ewald 1996: vol. 2.
• –––, 1884, “Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, 6”, Mathematische Annalen, 23: 453–88. Herdrukt in Cantor 1932: 210–244.
• –––, 1892, "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 1: 75–78. Herdrukt in Cantor 1932: 278–280. Engelse vertaling in Ewald 1996: vol.2.
• –––, 1895/97, “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre”, in Cantor 1932: 282–351. Engelse vertaling in Cantor, Bijdragen aan de oprichting van de theorie van transfinite nummers, New York: Dover, 1955.
• –––, 1932, Gesammelte Abhandlungen wiskundig en filosofisch Inhalts, E. Zermelo (red.), Berlijn: Springer. Herdruk Hildesheim: Olms, 1966.
• Dauben, Joseph, 1979, Georg Cantor. Zijn wiskunde en filosofie van het oneindige, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Dedekind, Richard, 1871, "Über die Komposition der binären quadratischen Formen", Supplement X bij GL Dirichlet & R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig: Vieweg. [Latere edities als Supplement XI, waarvan de vierde herdrukt wordt in New York: Chelsea, 1968.] Gedeeltelijke herdruk in Dedekind 1930/32: vol.3, 223–261.
• –––, 1872, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig: Vieweg. In Dedekind 1930/32: vol.3, 315–334. Engelse vertaling in Ewald 1996: vol. 2.
• –––, 1876/77, “Sur la théorie des nombres entiers algébriques”, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, ^1e reeks, XI (1876): 278–293; 2 ^nd serie, I (1877): 17-41, 69-92, 144-164, 207-248. Afzonderlijke editie, Paris: Gauthier-Villars, 1977. Engelse vertaling door J. Stillwell: Theory of algebraic integers, Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
• –––, 1888, was sind en was sollen die Zahlen?, Braunschweig: Vieweg. In Dedekind 1930/32: vol. 3. Engels in Ewald 1996: vol. 2.
• –––, 1930/32. Gesammelte mathematische Werke, R. Fricke, E. Noether & Ö. Erts (red.), Braunschweig: Vieweg, 3 vols. Herdruk New York: Chelsea, 1969.
• Dedekind, R. & Heinrich Weber, 1882, "Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen", Journal für reine und angew. Mathematik, 92: 181–290; herdrukt in Dedekind 1930/32 (Volume 1), pp. 238–350; Engelse vertaling door John Stillwell, Theory of Algebraic Functions of One Variable, Providence: American Mathematical Society en London Mathematical Society, 2012.
• Ebbinghaus, HD, 2015, Ernst Zermelo: An approach to his life and work, second edition, Berlin: Springer Verlag.
• Ewald, William B., 1996, From Kant to Hilbert: A source book in the foundations of mathematics, 2 volumes, Oxford: Oxford University Press.
• Feferman, Solomon, 1988, "Weyl betuigde: Das Kontinuum 70 jaar later", herdrukt in In the Light of Logic, Oxford: Oxford University Press, 1998, hfst. 13.
• Ferreirós, José, 1995, '' What Fermented in Me for Years ': Cantor's Discovery of Transfinite Numbers' ', Historia Mathematica, 22: 33–42.
• –––, 1999, Labyrinth of Thought. Een geschiedenis van de verzamelingenleer en haar rol in de moderne wiskunde, Basel: Birkhäuser.
• Frege, Gottlob, 1903, Grundgesetze der Arithmetik, vol. 2, Jena: Pohle. Herdruk Hildesheim: Olms, 1966.
• Gödel, Kurt, 1933, "De huidige situatie in de grondslagen van de wiskunde", in S. Feferman et al. (eds), Collected Works, Vol. 3, Oxford University Press, pp. 45-53.
• –––, 1947, "Wat is het continuümprobleem van Cantor?", American Mathematical Monthly, 54. Herdrukt in S. Feferman et al. (eds), Collected Works, Vol. 2, Oxford University Press, blz. 176–187.
• Hallett, Michael, 1984, Cantorian Set Theory and Limitation of Size, Oxford: Clarendon.
• Hausdorff, Felix, 1914, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig: Viet. Herdrukt New York: AMS Chelsea Publishing, 1949. Herdrukt als deel II van Hausdorff 2001–. De derde editie (1937) werd vertaald in het Engels, 1957, Set theory, New York: AMS Chelsea Publishing. online scan van Hausdorff 1914.
• –––, 1916, “Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen”, Mathematische Annalen, 77 (3): 430–437. In Hausdorff [2001-], vol. 3. doi: 10.1007 / BF01475871
• –––, 2001–, Gesammelte Werke, 9 delen, E. Brieskorn, W. Purkert, U. Felgner, E. Scholz et al. (redactie), Berlijn: Springer.
• van Heijenoort, Jean, 1967, From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press. Herdruk als paperback, 2000.
• Kanamori, Akihiro, 1995, "De opkomst van beschrijvende verzamelingenleer", Synthese, 251: 241–262..
• –––, 1996, "De wiskundige ontwikkeling van de verzamelingenleer van Cantor tot Cohen", Bulletin of Symbolische Logica, 2: 1–71.
• Lavine, Shaughan, 1994, Understanding the Infinite, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Lebesgue, Henri, 1902, "Intégrale, longueur, aire", Annali di Matematica Pura ed Applicata, 7 (1): 231–359.
• –––, 1905, “Sur les fonctions represéntables analytiquement”, Journal de Mathématiques, (6e serie), 1: 139–216.
• Lusin, Nikolai, 1925, "Sur les ensembles projectifs de M. Lebesgue", Comptes Rendus Acad. Scie. Parijs, 180: 1572-1574.
• –––, 1930, Leçons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications, met een voorwoord van Lebesgue en een notitie van Sierpinski, Parijs: Gauthier-Villars.
• Mancosu, Paolo, 2009, "Measuring the Size of Infinite Collections of Natural Numbers: Was Cantor's Theory of Infinite Number onvermijdelijk?", The Review of Symbolische Logica, 2 (04): 612 - 646.
• Moore, Gregory H., 1982, Zermelo's Axiom of Choice. Its Origins, Development and Influence, Berlijn: Springer.
• Moore, Gregory H. & A. Garciadiego, 1981, "Burali-Forti's Paradox: A reppraisal of its origins", Historia Mathematica, 8: 319–50.
• Moschovakis, Yiannis N., 1994, Set Theory Notes, New York: Springer.
• Peckhaus, Volker & R. Kahle, 2002, "Hilbert's Paradox", Historia Mathematica, 29 (2): 157–175.
• Purkert, Walter & HJ Ilgauds, 1987, Georg Cantor 1845–1918, Basel: Birkhäuser.
• Rang, Bernhard & W. Thomas, 1981, "Zermelo's ontdekking van de 'Russell Paradox'", Historia Mathematica, 8: 15–22.
• Riemann, Bernhard, 1854 / 1868a, "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (Habilitationsvotrag), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 133–152. In Riemann 1892: 272–287. Engelse vertaling door Clifford, herdrukt in Ewald 1996: vol. 2.
• –––, 1854 / 1868b, "Über die Darstellbarkeit einer Functie durch eine trigonometrische Reihe", (Habilitationsschrift), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 87–132. In Riemann 1892: 227–265.
• –––, 1892, Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, H. Weber en R. Dedekind (red.), Leipzig, Teubner. Herdrukt (samen met de Nachträge), M. Noether en W. Wirtinger (red.), New York: Dover, 1953.
• Russell, Bertrand, 1903, The Principles of Mathematics, Cambridge, University Press. Herdruk van de ^2e edn. (1937): London: Allen & Unwin, 1948.
• Sierpiński, Waclav, 1918, 'L'axiome de M. Zermelo et son rôle dans la théorie des ensembles et l'analyse', Bulletin de l'Académie des Sciences de Cracovie (Cl. Sci. Math. A), 99–152; herdrukt in Sierpiński, Oeuvres choisies, S. Hartman, et al. (red.), Deel 2, Warszawa: Editions scientifiques de Pologne, 1974.
• Sierpiński, Waclav & Alfred Tarski, 1930, "Sur une propriété caractéristique des nombres ontoegankelijkheden", Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300.
• Steinitz, Ernst, 1910, 'Algebraische Theorie der Körper', Journal für die reine und angewandte Mathematik, 137: 167–309.
• Suslin, Mikhail Ya., 1917, "Sur une définition des ensembles meetbaarheden B sans nombres transfinis", Comptes Rendues Acad. Sci. Parijs, 164: 88-91.
• Tomkowicz, G., en Wagon, S., 2019, The Banach-Tarski Paradox, tweede editie, Cambridge: Cambridge University Press.
• Vitali, G., 1905, Het probleem van een misstap voor eenmalige behandeling, Bologna: Gamberini e Parmeggiani.
• Whitehead, Alfred N. & Bertrand Russell, 1910–1913, Principia Mathematica, 3 delen, Cambridge: Cambridge University Press.
• Tait, William W., 2000, 'Cantor's Grundlagen and the Paradoxes of Set Theory', Between Logic and Intuition: Essays ter ere van Charles Parsons, G. Sher en R. Tieszen (eds), Cambridge: Cambridge University Press, pp. 269–290. Herdrukt in zijn The Provenance of Pure Reason, Oxford: Oxford University Press, 2005, pp. 252–275.
• Wang, Hao, 1974, "The concept of set", in From Mathematics to Philosophy, London, Routledge; herdrukt in P. Benacerraf & H. Putnam, Philosophy of Mathematics: selected readings, Cambridge Univ. Press, 1983, 530-570.
• Zermelo, Ernst, 1904, "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann", Mathematische Annalen, 59: 514–516; in Zermelo [2010], vol. 1, 80–119. Engelse vertaling in van Heijenoort 1967 (“Bewijs dat elke set goed te bestellen is”).
• –––, 1908, “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre”, Mathematische Annalen, 65: 261–281;; in Zermelo [2010], vol. 1, 160–229. Engelse vertaling in van Heijenoort 1967 (“Onderzoek naar de grondslagen van verzamelingenleer I”).
• –––, 2010–2011, Collected Works / Gesammelte Werke, Vol. I en II, H.-D. Ebbinghaus et al. (redactie), Springer: Berlín,

Verder lezen

• Cavaillès, Jean, 1962, Philosophie mathématique, Paris: Hermann.
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter, 2007, Ernst Zermelo: een benadering van zijn leven en werk, New York: Springer.
• Fraenkel, Abraham, 1928 Einleitung in die Mengenlehre, 3 ^rd edn. Berlijn: Springer.
• Grattan-Guinness, Ivor (red.), 1980, From the Calculus to Set Theory, 1630–1910, Londen: Duckworth.
• Kanamori, Akihiro, 2004, "Zermelo en verzamelingenleer", Bulletin of Symbolische logica, 10 (4): 487-553.
• –––, 2007, “Gödel en verzamelingenleer”, Bulletin of Symbolische logica, 13 (2): 153–188.
• –––, 2008, “Cohen en verzamelingenleer”, Bulletin of Symbolische logica, 14 (3): 351–378.
• –––, 2009, “Bernays en verzamelingenleer”, Bulletin of Symbolische logica, 15 (1): 43–60.
• Maddy, Penelope, 1988, "Believing the axioms", Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 481–511; 53 (3): 736-764.
• Wagon, Stan, 1993, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge: Cambridge University Press.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

• A History of Set Theory, door JJ O'Connor en EF Robertson, in het MacTutor History of Mathematics-archief. Merk op dat hun reconstructie op sommige punten in strijd is met de hier gegeven.
• Godel's Program (PowerPoint), een interessante toespraak van John R. Steel (Wiskunde, UC / Berkeley).
• Een homepage voor het keuzeaxioma, onderhouden door Eric Schechter (Wiskunde, Vanderbilt University).