Logische Constructies

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Logische constructies

Voor het eerst gepubliceerd op 20 november 1996; inhoudelijke herziening di 21 mei 2019

De term "logische constructie" werd door Bertrand Russell gebruikt om een reeks vergelijkbare filosofische theorieën te beschrijven, te beginnen met de "Frege-Russell" -definitie van getallen uit 1901 als klassen en door te gaan met zijn "constructie" van de noties van ruimte, tijd en materie na 1914. Filosofen hebben sinds de jaren twintig van de vorige eeuw ruzie gemaakt over de betekenis van 'logische constructie' als methode in de analytische filosofie en verschillende manieren voorgesteld om Russells idee te interpreteren. Sommigen werden geïnspireerd om hun eigen projecten te ontwikkelen door voorbeelden van constructies. Russells idee van logische constructie beïnvloedde zowel Carnap's project om de fysieke wereld te bouwen vanuit ervaring als Quine's notie van explicatie, en stond later in de twintigste eeuw model voor het gebruik van set-theoretische reconstructies in de formele filosofie.

Pas als hij terugkijkt op zijn werk, beschreef Russell in het programmatische essay "Logical Atomism" uit 1924 verschillende logische definities en filosofische analyses voor het eerst als "logische constructies". Hij noemde als voorbeelden de Frege-Russell-definitie van getallen als klassen, de theorie van definitieve beschrijvingen, de constructie van materie uit zintuiggegevens en vervolgens reeksen, ordinale getallen en reële getallen. Vanwege het bijzondere karakter van Russell's gebruik van "contextuele" definities van uitdrukkingen voor klassen en het onderscheidend vermogen van de theorie van definitieve beschrijvingen, noemde hij de uitdrukkingen voor dergelijke entiteiten regelmatig "onvolledige symbolen" en de entiteiten zelf "logische ficties".

Logische constructies verschillen in de vraag of het expliciete definities of contextuele definities betreft, en in de mate waarin hun resultaat moet worden beschreven als een teken dat het geconstrueerde object slechts een "fictie" is. Russell's definitie uit 1901 van getallen als klassen van tal van klassen is zonder meer een geval van het construeren van één soort entiteit als een klasse van andere met een expliciete definitie. Dit werd gevolgd door de theorie van definitieve beschrijvingen in 1905 en de 'geen-klassen'-theorie voor het definiëren van klassen in Principia Mathematica in 1910, die beide de onderscheidende techniek van contextuele definitie omvatten. In een contextuele definitie worden schijnbare enkelvoudige termen (ofwel definitieve beschrijvingen of klassetermen) geëlimineerd door regels voor het definiëren van de volledige zinnen waarin ze voorkomen. Constructies die lijken op degene die contextuele definities gebruiken, worden over het algemeen 'onvolledige symbolen' genoemd, terwijl constructies zoals de theorie van klassen 'ficties' worden genoemd. Russell nam de constructie van materie, ruimte en tijd als klassen van zintuiggegevens op aan het einde van zijn lijst uit 1924. Het belangrijkste probleem bij het interpreteren van het begrip logische constructie is te begrijpen wat deze verschillende voorbeelden gemeen hebben en hoe de constructie van materie vergelijkbaar is met een van de vroege constructies van getallen als klassen of met de theorie van definitieve beschrijvingen en 'geen klassen'”Theorie van klassen. Geen van de uitdrukkingen 'fictie', 'incompleet symbool' of zelfs 'geconstrueerd uit' lijkt geschikt voor een analyse van de fundamentele kenmerken van de bekende fysieke wereld en de materiële objecten die haar bezetten.

• 1. Eerlijk werk
• 2. Logische analyse en logische constructie
• 3. Natuurlijke nummers
• 4. Definitieve beschrijvingen
• 5. Klassen
• 6. Serie, volgnummers en echte cijfers
• 7. Wiskundige functies
• 8. Stellingen en propositionele functies
• 9. De constructie van materie
• 10. Opvolgers van logische constructie
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Eerlijk werk

De vroegste constructie op Russell's lijst uit 1924 is de beroemde "Frege / Russell-definitie" van getallen als klassen van talloze klassen uit 1901 (Russell 1993, 320). De definitie volgt het voorbeeld van de definities van de begrippen limiet en continuïteit die in de vorige eeuw voor de calculus werden voorgesteld. Russell was niet tevreden met de adoptie van de Peano-axioma's als basis voor de theorie van de natuurlijke getallen en vervolgens te laten zien hoe de eigenschappen van de getallen logisch konden worden afgeleid uit die axioma's. In plaats daarvan definieerde hij de basisbegrippen 'nummer', 'opvolger' en '0' en stelde hij voor om met zorgvuldig gekozen definities van hun basisbegrippen in termen van logische begrippen aan te tonen dat die axioma's alleen konden worden afgeleid van logische principes.

Russell definieerde natuurlijke getallen als klassen van talloze klassen. Elk paar, een klasse met twee leden, kan in een één-op-één-correspondentie met een ander worden geplaatst, dus alle paren zijn talrijk. Het nummer twee wordt dan geïdentificeerd met de klasse van alle paren. De relatie tussen verschillende klassen wanneer er een een-op-een-mapping is die hen met elkaar in verband brengt, wordt "gelijkenis" genoemd. Overeenstemming wordt uitsluitend gedefinieerd in termen van logische noties van kwantoren en identiteit. Met de aldus gedefinieerde natuurlijke getallen kunnen Peano-axioma's alleen op logische wijze worden afgeleid. Na natuurlijke getallen voegt Russell 'reeksen, rangnummers en reële getallen' (1924, 166) toe aan zijn lijst van constructies, en eindigt dan met de constructie van materie.

Russell schrijft AN Whitehead de oplossing toe voor het probleem van de relatie tussen zintuiggegevens en natuurkunde die hij in 1914 heeft aangenomen:

Het belang van dit probleem is mij duidelijk gemaakt door mijn vriend en medewerker dr. Whitehead, aan wie bijna alle verschillen te danken zijn tussen de hier verdedigde opvattingen en die in De problemen van de filosofie. Ik ben hem de definitie van punten verschuldigd, en de suggestie voor de behandeling van ogenblikken en 'dingen', en de hele opvatting van de wereld van de natuurkunde als een constructie in plaats van een gevolgtrekking. (Russell 1914b, vi)

Pas later, in een essay waarin Russell over zijn filosofie nadacht, beschreef hij zijn eerdere logische voorstellen ook als 'logische constructies'. De eerste specifieke formulering van deze methode om inferentie te vervangen door constructie als een algemene methode in de filosofie is in het essay "Logisch Atomisme":

Een zeer belangrijke heuristische stelregel die dr. Whitehead en ik door ervaring ontdekten om toepasbaar te zijn in de wiskundige logica, en die sindsdien op verschillende andere gebieden zijn toegepast, is een vorm van Occam's Razor. Wanneer een set veronderstelde entiteiten nette logische eigenschappen heeft, blijkt in veel gevallen dat de veronderstelde entiteiten kunnen worden vervangen door puur logische structuren die zijn samengesteld uit entiteiten die niet zulke nette eigenschappen hebben. In dat geval kunnen we bij het interpreteren van een tot nu toe veronderstelde verzameling van stellingen over de veronderstelde entiteiten, de logische structuren vervangen zonder de details van de verzameling stellingen in kwestie te veranderen. Dit is een economie, omdat entiteiten met nette logische eigenschappen altijd worden afgeleid, en als de proposities waarin ze voorkomen kunnen worden geïnterpreteerd zonder deze conclusie te trekken,de grond voor de gevolgtrekking faalt en ons geheel van stellingen is beveiligd tegen de noodzaak van een twijfelachtige stap. Het principe kan worden vermeld in de vorm: 'Vervang waar mogelijk constructies uit bekende entiteiten door gevolgtrekkingen aan onbekende entiteiten'. (Russell 1924, 160)

Russell verwees naar logische constructies in deze vaak geciteerde passage uit zijn Inleiding tot de wiskundige filosofie. Hij maakt bezwaar tegen het introduceren van entiteiten met impliciete definities, dat wil zeggen die dingen die bepaalde axioma's of "postulaten" gehoorzamen:

De methode om te 'postuleren' wat we willen heeft veel voordelen; ze zijn hetzelfde als de voordelen van diefstal boven eerlijk zwoegen. Laten we ze aan anderen overlaten en doorgaan met ons eerlijke werk. (Russell 1919, 71)

Hij beweert dat we een demonstratie nodig hebben dat er objecten zijn die aan deze axioma's voldoen. Het "zwoegen" hier is het werk van het formuleren van definities van de getallen, zodat kan worden aangetoond dat ze voldoen aan de axioma's door alleen logische gevolgtrekking te gebruiken.

De beschrijving van logische constructies als "onvolledige symbolen" is afgeleid van het gebruik van contextuele definities die een analyse of vervanging bieden voor elke zin waarin een gedefinieerd symbool kan voorkomen. De definitie geeft geen expliciete definitie, zoals een vergelijking met de gedefinieerde uitdrukking aan de ene kant die wordt geïdentificeerd met een definiendum aan de andere kant, of een universele verklaring die noodzakelijke en voldoende voorwaarden geeft voor het afzonderlijk toepassen van de term. Het verband tussen fictie zijn en uitgedrukt door een "incompleet symbool" is te zien in Russell's constructies van eindige kardinale en ordinale getallen door middel van de theorie van klassen. Die 'geen-klassen'-theorie maakt via de contextuele definities voor klassetermen alle getallen tot' incomplete symbolen ', en dus kunnen getallen worden gezien als' logische ficties '.

De noties van constructie en logische fictie komen samen in dit verslag uit Russells 'Philosophy of Logical Atomism' lezingen:

Je merkt dat een bepaald ding dat is opgezet als een metafysische entiteit ofwel dogmatisch als reëel kan worden aangenomen, en dan zul je geen enkel argument hebben voor de realiteit of tegen de realiteit ervan; of, in plaats van dat te doen, kun je een logische fictie construeren met dezelfde formele eigenschappen, of liever gezegd met formeel analoge formele eigenschappen met die van de veronderstelde metafysische entiteit en zelf samengesteld uit empirisch gegeven dingen, en de logische fictie kan je vervangen veronderstelde metafysische entiteit en zal alle wetenschappelijke doeleinden vervullen die iedereen kan wensen. (Russell 1918, 144)

Onvolledige symbolen, beschrijvingen, klassen en logische ficties worden met elkaar en vervolgens met de 'vertrouwde objecten van het dagelijks leven' geïdentificeerd in de volgende passage uit eerder in de colleges:

Naast beschrijvingen zijn er nog veel meer soorten onvolledige symbolen. Er zijn lessen … en relaties worden uitgebreid, enzovoort. Dergelijke samenvoegingen van symbolen zijn in feite hetzelfde als wat ik "logische ficties" noem, en ze omvatten praktisch alle bekende objecten van het dagelijks leven: tafels, stoelen, Piccadilly, Socrates, enzovoort. De meeste zijn klassen of series of series klassen. Het zijn in ieder geval allemaal onvolledige symbolen, dat wil zeggen het zijn aggregaties die alleen een betekenis hebben in gebruik en op zich geen betekenis hebben. (Russell 1918, 122)

In het volgende worden deze verschillende kenmerken van logische constructies ontrafeld. Het resultaat lijkt een aaneengesloten reeks analyses te zijn die in ieder geval een familiegelijkenis met elkaar delen. Het gemeenschappelijke kenmerk is dat in elk geval enkele formele of "nette" eigenschappen van objecten die eerst in axioma's moesten worden gepostuleerd, nu konden worden afgeleid als logische gevolgen van definities. De vervangen entiteiten zijn verschillend "ficties", "onvolledige symbolen" of gewoon "constructies", afhankelijk van de vorm die de definities aannemen.

2. Logische analyse en logische constructie

Het zou een vergissing zijn om de logische constructies van Russell te zien als het product van de omgekeerde werking van een methode die begint met logische analyse. Analyse was inderdaad de onderscheidende methode van Russell's realistische en atomistische filosofie, waarbij de constructiemethode pas later verscheen. De nieuwe filosofie van Russell was zelfbewust in tegenspraak met het hegelianisme dat in Cambridge aan het eind van de negentiende eeuw in de filosofie heerste (Russell 1956, 11–13). Russell moest eerst het analyseproces verdedigen en tegen de opvatting van de idealisten argumenteren dat complexe entiteiten in feite 'organische eenheden' zijn en dat elke analyse van deze eenheden iets verliest, aangezien de slogan 'analyse is vervalsing' was. (1903, §439) Het onderwerp van onze analyse is de werkelijkheid, en niet alleen onze eigen ideeën:

Alle complexiteit is conceptueel in die zin dat het te wijten is aan een geheel dat in staat is tot logische analyse, maar is reëel in die zin dat het niet afhankelijk is van de geest, maar alleen van de aard van het object. Waar de geest elementen kan onderscheiden, moeten er verschillende elementen zijn om te onderscheiden; helaas! er zijn vaak verschillende elementen die de geest niet onderscheidt. (1903, §439)

Aangezien de ultieme constituenten van de werkelijkheid zijn wat door logische analyse wordt ontdekt, kan logische constructie niet de omgekeerde operatie zijn, want het ongedaan maken van de analyse door dingen weer in elkaar te zetten, brengt ons alleen terug naar de complexe entiteiten waarmee we zijn begonnen. Wat heeft het dan voor zin om te construeren wat al is geanalyseerd?

Het onderscheid dat hier wordt gemaakt tussen analyse en constructie met opzet nevenstappen en een belangrijke discussie tussen wetenschappers van Frege en Russell over de aard van analyse. Frege was in zijn Foundations of Arithmetic (1884, §64) van mening dat een stelling over de identiteit van getallen ook kon worden geanalyseerd als een stelling over de gelijkenis van klassen. Hij omschrijft dit als het op verschillende manieren 'terugvinden' van een en dezelfde inhoud. Later stelde Frege dat dezelfde gedachte kon worden gezien als het resultaat van het op verschillende manieren toepassen van een functie op een argument. Aangezien de logische vorm van een gedachte het resultaat is van het toepassen van concepten op argumenten, betekent dit dat verschillende logische vormen aan dezelfde gedachte worden toegekend. Om het schijnbare conflict met Frege's beroemde compositieonderzoek op te lossen,dat een gedachte is opgebouwd uit zijn constituenten op een manier die over het algemeen de syntactische vorm ervan volgt, Michael Dummett (1981, hoofdstuk 15) onderscheidt twee noties van analyse in Frege, de ene als "eigenlijke analyse", de andere als "decompositie". Peter Hylton (2005, 43) stelt dat er bij Russell een problematisch begrip van analyse bestaat, aangezien het erg moeilijk is om te zeggen dat zinnen met definitieve beschrijvingen de ingewikkelde kwantificatiestructuren hebben die hen zijn toegewezen in "On Denoting" (1905) als hun " echte structuur”. Michael Beaney geeft in zijn inleiding tot (2007, 8) de namen "decompositioneel" en "transformatief" aan twee soorten analyse in zijn inleiding op artikelen die de betekenis van dit onderscheid voor Russell bespreken. James Levine beweert dat in feite de eerste vorm van analyse,waarmee het project de ultieme bestanddelen van proposities moet vinden, behoort tot een vroeg project van "Moorean Analysis" dat Russell vroegtijdig heeft opgegeven. Inderdaad, tegen de tijd dat het aantal getallen als klassen van tal van klassen was, had Russell al aangenomen wat Levine "Russell's Post-Peano Analysis" noemt.

Dit debat is zeker relevant voor de studie van de filosofie van Frege en haar verbanden met Russell's rol als grondlegger van de analytische filosofie als beweging, maar het past misschien niet bij Russell's eigen gebruik van de terminologie van "analyse". Terwijl Peter Strawson in zijn "On Referring" (1950) talloze toespelingen maakt op Russell's "analyse" van definitieve beschrijvingen, komt de term in feite niet voor in "On Denoting". Russell verwijst naar zijn "theorie" van beschrijvingen en erkent dat het geen voorstel is dat onmiddellijk zal worden herkend als wat we altijd met dergelijke zinnen hebben bedoeld, maar in plaats daarvan zegt hij over zijn ietwat gecompliceerde gebruik van kwantoren en identiteitssymbolen dat:

Dit lijkt misschien een ietwat ongelooflijke interpretatie: maar ik ben geen presentator die redenen geeft, ik vermeld alleen de theorie. (Russell 1905, 482)

Vervolgens verdedigt hij zijn theorie door de drie puzzels te 'behandelen', inclusief het beroemde voorbeeld van de vraag of 'de huidige koning van Frankrijk kaal is', waar of onwaar is. Op geen enkel moment doet hij een beroep op wat een spreker in gedachten heeft bij het uitspreken van een van deze zinnen. Als gevolg van deze feiten lijkt Russell's methodologie het best te worden begrepen naar analogie van de logische benadering van wetenschappelijke theorieën. Op dit model zullen het resultaat van "logische analyse" de definities en primitieve proposities of axioma's zijn waaruit de wetten van een geformaliseerde wetenschappelijke theorie kunnen worden afgeleid door logische gevolgtrekking. De reductie van de ene theorie naar de andere bestaat uit het herschrijven van de axioma's van de doeltheorie met behulp van de taal van de reducerende theorie, en ze vervolgens te bewijzen als stellingen van die reducerende theorie. Bouw danwordt het best gezien als het proces van het kiezen van definities zodat eerder primitieve verklaringen als stellingen kunnen worden afgeleid. (Zie Hager 1994 en Russell 1924.)

Dit plaatje past het best bij dit taalkundig georiënteerde idee van 'theorieconstructie' in plaats van bij het project van filosofische analyse. Het volgt ook het gebruik van het begrip constructie in de traditie van de wiskunde. Euclid geeft voor elke demonstratie een 'constructie' van een figuur die in het volgende bewijs voorkomt. Gottlob Frege begint elk bewijs in zijn basiswetten van rekenkunde (1893) met een 'analyse', die informeel de begrippen gebruikt in de stellingen en de strategie van de afleiding uitlegt, gevolgd door het feitelijke, gapless bewijs, dat de 'constructie' wordt genoemd”. Historisch gezien is er dus geen idee van een constructie als een synthetische fase die een analytische fase volgt als twee processen van vergelijkbare aard, maar die in tegengestelde richtingen leiden.

Zelfs wanneer beschreven in termen van theoretische fasen, zijn constructie, analyse en logische constructie niet simpelweg omgekeerde bewerkingen. Russell benadrukt dat de objecten die in analyse zijn ontdekt en onderscheiden, 'echt' zijn, evenals hun verschillen met elkaar. Er is dus een beperking aan de "keuze" van definities en primitieve proposities waarmee moet worden begonnen. De relaties tussen een deductief systeem en een realistische ontologie verschillen tussen de verschillende gevallen die Russell noemt als voorbeelden van logische constructies. Stellingen en "complexen" zoals feiten worden geanalyseerd om de echte objecten en relaties te vinden waaruit ze zijn samengesteld. Een logische constructie resulteert daarentegen in een theorie waaruit waarheden volgen door logische gevolgtrekkingen. De waarheden die deel uitmaken van een deductief systeem dat het resultaat is van een logische constructie, zijn slechts 'reconstructies' van enkele van de 'pre-theoretische' waarheden die moeten worden geanalyseerd. Alleen hun deductieve relaties, in het bijzonder hun afleidbaarheid van de axioma's van de theorie, zijn relevant voor het succes van een constructie. Logische constructies bevatten niet alle kenmerken van de pre-theoretische entiteiten waarmee men begint.

Veel van de aandacht voor logische constructie is gericht op de vraag of het in feite een uniforme methodologie voor filosofie is die een 'wetenschappelijke methode in de filosofie' zal introduceren, zoals Russell zegt in de ondertitel van (Russell 1914b). Commentatoren van Fritz (1952) tot Sainsbury (1979) hebben ontkend dat de verschillende constructies van Russell in een uniforme methodologie passen en ook de toepasbaarheid van de taal van "fictie" en "onvolledig symbool" op alle voorbeelden in twijfel trekken. Hieronder zal worden getoond hoe constructies niettemin in verschillende natuurlijke families vallen die met een aanzienlijke mate van nauwkeurigheid door verschillende van deze termen worden beschreven.

3. Natuurlijke nummers

De definitie van Russell van natuurlijke getallen als klassen van vergelijkbare of talrijke klassen, voor het eerst gepubliceerd in (Russell 1901), was zijn eerste logische constructie en was het model voor degenen die volgden. Vergelijkbare klassen zijn klassen die door een bepaalde relatie een voor een op elkaar kunnen worden afgebeeld. Het begrip "een-op-een relatie" wordt gedefinieerd met logische begrippen: R is een-een wanneer er voor elke (x) een unieke (y) bestaat zodat (x / rR y), en voor elke dergelijke (y) in het bereik van (rR) is er een unieke dergelijke (x). Deze noties van bestaan en uniciteit zijn afkomstig van logica, en daarom wordt het begrip nummer dus alleen gedefinieerd in termen van klassen en logische noties. Russell kondigde het doel van zijn logistisch programma aan in The Principles of Mathematics:"Het bewijs dat alle zuivere wiskunde uitsluitend te maken heeft met begrippen die gedefinieerd kunnen worden in termen van een zeer klein aantal fundamentele logische concepten, en dat al haar stellingen af te leiden zijn van een zeer klein aantal fundamentele logische principes …" (Russell 1903, xv). Als klasse ook een logisch begrip blijkt te zijn, dan zou deze definitie het logicistische programma voor de wiskunde van natuurlijke getallen voltooien.

Giuseppe Peano (Peano 1889, 94) had axioma's voor elementaire rekenkunde genoemd, die later door Russell (1919, 8) werden geformuleerd als:

1. 0 is een getal.
2. De opvolger van elk nummer is een nummer.
3. Geen twee nummers hebben dezelfde opvolger.
4. 0 is niet de opvolger van een nummer.
5. Als een eigenschap tot 0 behoort en tot de opvolger van (x) behoort wanneer het tot (x) behoort, dan behoort het tot elk nummer.

Voor Peano waren dit de axioma's van het aantal, die samen met de axioma's van klassen en proposities de eigenschappen van deze entiteiten beschrijven en leiden tot de afleiding van stellingen die de andere belangrijke eigenschappen van die entiteiten uitdrukken.

Richard Dedekind (Dedekind 1887) had ook de eigenschappen van getallen met vergelijkbaar uitziende axioma's opgesomd, met behulp van het begrip ketting, een oneindige reeks sets, elk een subset van de volgende, die goed geordend is en de structuur heeft van de natuurlijke getallen. Dedekind bewijst dan dat het principe van inductie (Axiom 5 hierboven) geldt voor kettingen. (Zie vermelding op Dedekind). Hoewel Russell het 'opmerkelijkst vindt dat de eerdere aannames van Dedekind voldoende zijn om deze stelling te demonstreren' (Russell 1903, §236), vergelijkt hij de twee benaderingen van Peano en Dedekind met betrekking tot eenvoud en hun verschillende manieren om wiskundige inductie te behandelen, en concludeert dat:

Maar vanuit een puur logisch oogpunt lijken de twee methoden even solide; en we moeten niet vergeten dat, met de logische theorie van de kardinalen, zowel de axioma's van Peano als die van Dedekind aantoonbaar worden. (Russell 1903, §241)

Het waren Peano en Dedekind die Russell in gedachten had toen hij later sprak over 'de methode van' postuleren ', wanneer hij de' voordelen 'van hun methode vergeleken met de constructie vergelijkt met die van diefstal boven eerlijk zwoegen.

Om zijn project af te ronden, moest Russell definities vinden en een "zeer klein aantal fundamentele logische principes" (Russell 1903, xv) en vervolgens de vereiste afleidingen produceren. Alleen met Principia Mathematica (Whitehead en Russell 1910–13) werd het vinden van een adequate definitie van klassen met de theorie van 'geen klassen' en de principes van logica die nodig zijn om de eigenschappen van getallen en klassen af te leiden. Deze constructie van getallen was een duidelijk voorbeeld van het definiëren van entiteiten als klassen van anderen om bepaalde eigenschappen te kunnen bewijzen als theoretische stellingen in plaats van te moeten rusten met de diefstal van hypothesen. Met het apparaat van contextuele definitie uit de theorie van beschrijvingen elimineerde Russell vervolgens ook klassen,de logische notie van een propositionele functie als fundamenteel nemen en zo laten zien dat de principes van klassen een onderdeel van de logica waren.

4. Definitieve beschrijvingen

Duidelijke beschrijvingen zijn de logische constructies die Russell in gedachten heeft wanneer hij ze beschrijft als 'onvolledige symbolen'. Het idee van een 'logische fictie' daarentegen is het duidelijkst van toepassing op klassen. Andere constructies, zoals de noties van het domein en het bereik van een relatie, en van één-op-één-toewijzingen die cruciaal zijn voor de ontwikkeling van rekenkunde, zijn in indirecte zin slechts "onvolledig" omdat ze worden gedefinieerd als klassen van een bepaalde sorteren, die op hun beurt constructies zijn.

Russells theorie van beschrijvingen werd geïntroduceerd in zijn paper "On Denoting" (Russell 1905), gepubliceerd in het tijdschrift Mind. De theorie van Russell biedt de logische vorm van zinnen in de vorm 'The (F) is (G)', waarbij 'The (F)' een duidelijke beschrijving wordt genoemd, in tegenstelling tot 'An F' die voor onbepaalde tijd is Omschrijving. De analyse stelt voor dat 'De (F) is (G)' equivalent is aan 'Er is maar één (F) en het is (G)'. Gezien dit account kunnen de logische eigenschappen van beschrijvingen worden afgeleid met alleen de logica van kwantoren en identiteit. Onder de stellingen in * 14 van Principia Mathematica zijn die welke aantonen dat, (1) als er maar één (F) is, 'The (F) is (F)' waar is, en als dat niet het geval is, dan is 'De (F) is (G)' altijd onwaar en dan, (2) als de (F = / text {de} G) en de (F) (H), dan is de (G) (H). Deze stellingen tonen aan dat de juiste (uniek verwijzende) beschrijvingen zich gedragen als eigennamen, de "enkelvoudige termen" van de logica. Sommige van deze resultaten zijn controversieel - Strawson (1950) beweerde dat een uiting van 'De huidige koning van Frankrijk is kaal' de waarheid waardeloos zou moeten zijn omdat er geen huidige koning van Frankrijk is, en niet 'ronduit' onwaar, zoals de theorie van Russell voorspelt. Het antwoord van Russell op Strawson in (Russell 1959, 239–45) is nuttig voor het begrijpen van de filosofische methodologie van Russell, waarvan de logische constructie slechts een onderdeel is. Het is echter door de logische gevolgen van een constructie te beoordelen dat deze moet worden beoordeeld, en dus daagde Strawson Russell op een gepaste manier uit. Sommige van deze resultaten zijn controversieel - Strawson (1950) beweerde dat een uiting van 'De huidige koning van Frankrijk is kaal' de waarheid waardeloos zou moeten zijn omdat er geen huidige koning van Frankrijk is, en niet 'ronduit' onwaar, zoals de theorie van Russell voorspelt. Het antwoord van Russell op Strawson in (Russell 1959, 239–45) is nuttig voor het begrijpen van de filosofische methodologie van Russell, waarvan de logische constructie slechts een onderdeel is. Het is echter door de logische gevolgen van een constructie te beoordelen dat deze moet worden beoordeeld, en dus daagde Strawson Russell op een gepaste manier uit. Sommige van deze resultaten zijn controversieel - Strawson (1950) beweerde dat een uiting van 'De huidige koning van Frankrijk is kaal' de waarheid waardeloos zou moeten zijn omdat er geen huidige koning van Frankrijk is, en niet 'ronduit' onwaar, zoals de theorie van Russell voorspelt. Het antwoord van Russell op Strawson in (Russell 1959, 239–45) is nuttig voor het begrijpen van de filosofische methodologie van Russell, waarvan de logische constructie slechts een onderdeel is. Het is echter door de logische gevolgen van een constructie te beoordelen dat deze moet worden beoordeeld, en dus daagde Strawson Russell op een gepaste manier uit.239–45) is nuttig voor het begrijpen van de filosofische methodologie van Russell, waarvan de logische constructie slechts een onderdeel is. Het is echter door de logische gevolgen van een constructie te beoordelen dat deze moet worden beoordeeld, en dus daagde Strawson Russell op een gepaste manier uit.239–45) is nuttig voor het begrijpen van de filosofische methodologie van Russell, waarvan de logische constructie slechts een onderdeel is. Het is echter door de logische gevolgen van een constructie te beoordelen dat deze moet worden beoordeeld, en dus daagde Strawson Russell op een gepaste manier uit.

De theorie van beschrijvingen introduceert Russell's idee van een incompleet symbool. Dit komt doordat er geen definitie-equivalent van 'De F' voorkomt in de formele analyse van zinnen waarin de beschrijving voorkomt. De zin 'De (F) is (H)' wordt:

(bestaat x (voorall y (Fy / leftrightarrow y = x) & / Hx])

waarvan geen subformule, of zelfs een aaneengesloten segment, kan worden geïdentificeerd als de analyse van 'The F'. Praat ook over "het gemiddelde gezin" zoals in "Het gemiddelde gezin heeft 2,2 kinderen" wordt "Het aantal kinderen in gezinnen gedeeld door het aantal gezinnen = 2,2". Geen enkel segment van die formule komt overeen met "het gemiddelde gezin". In plaats daarvan krijgen we een procedure om dergelijke uitdrukkingen te verwijderen uit contexten waarin ze voorkomen, vandaar dat dit een ander voorbeeld is van een "incompleet symbool" en de definitie van een gemiddelde is een voorbeeld van een "contextuele definitie".

Het is aannemelijk dat Russell's definitie van definitieve beschrijvingen het meest prominente vroege voorbeeld was van het filosofische onderscheid tussen grammaticale vorm en logische vorm aan het oppervlak, en dus het begin markeert van taalkundige analyse als methode in de filosofie. Linguïstische analyse begint door langs oppervlakkige taalvorm te kijken om een onderliggende filosofische analyse te zien. Frank Ramsey beschreef de theorie van beschrijvingen als een 'paradigma van filosofie' (Ramsey 1929, 1). Hoewel het op zichzelf zeker geen model was voor alle filosofie, was het in ieder geval een paradigma voor de andere voorbeelden van logische constructies die Russell opsomde toen hij terugkijkt op de ontwikkeling van zijn filosofie in 1924. De theorie van beschrijvingen is bekritiseerd door sommige taalkundigen en filosofen die beschrijvingen en andere zelfstandig naamwoordzinnen zien als volwaardige taalcomponenten van zinnen, en die het scherpe onderscheid tussen grammaticale en logische vorm als een fout beschouwen. (Zie het item over beschrijvingen.)

In navolging van de invloedrijke kritiek van Gilbert Ryle (1931) op Meinong's theorie van niet-bestaande objecten, is de theorie van beschrijvingen gebruikt als een model om ontologische betrokkenheid bij objecten te vermijden, en daarom worden logische constructies in het algemeen vaak gezien als voornamelijk gebruikt om vermeende eliminaties te elimineren entiteiten. In feite is dat doel bij veel constructies hooguit perifeer. Het belangrijkste doel van deze constructies is om het bewijs te leveren van stellingen die anders als axioma's of hypothesen zouden moeten worden aangenomen. De introductie van constructies hoeft ook niet altijd te resulteren in het elimineren van problematische entiteiten. Weer andere constructies moeten meer worden gezien als reducties van een klasse van entiteit naar een andere, of vervanging van een begrip door een meer precieze, wiskundige vervanging.

5. Klassen

Russell's 'No-Class'-theorie van klassen uit * 20 van Principia Mathematica biedt een contextuele definitie zoals die van de theorie van definitieve beschrijvingen. Een van Russell's vroege diagnoses van de paradox van de klas van alle klassen die geen lid van zichzelf zijn, was dat het aantoonde dat klassen geen individuen konden zijn. Russell lijkt inderdaad zijn paradox te zijn tegengekomen door Cantors beroemde diagonale argument toe te passen om te laten zien dat er meer klassen van individuen zijn dan individuen. Daarom, concludeerde hij, konden klassen geen individuele personen zijn en kunnen uitdrukkingen voor klassen zoals '({x: Fx })' niet de enkelvoudige termen zijn die ze lijken te zijn. Geïnspireerd door de theorie van beschrijvingen, stelde Russell voor om iets te zeggen (G) van de klasse (F) s, (G) ({x: Fx }),is te zeggen dat er een (predicatieve) eigenschap (H) is die samengaat met (geldt voor dezelfde dingen als) (F) zodat (H) (G) is. De beperking tot predicatieve eigenschappen, of die welke niet zijn gedefinieerd in termen van kwantificering ten opzichte van andere eigenschappen, was een gevolg van de vertakking van de theorie van typen om intensieve of "epistemische" paradoxen te vermijden die de typenleer naast de verzameling motiveerden theoretische "Russell's Paradox" (zie Whitehead en Russell 1910–13, Inleiding, Hoofdstuk II). Deze predicatieve eigenschappen zijn echter intensief, in die zin dat twee verschillende eigenschappen van dezelfde objecten kunnen bestaan. (Zie de vermelding bij de notatie in Principia Mathematica.) Dat aldus gedefinieerde klassen het kenmerk van extensie hebben, is dus af te leiden in plaats van gepostuleerd. Als (F) en (H) naast elkaar bestaan, geldt alles wat geldt voor ({x: Fx }) ook voor ({x: Hx }). Kenmerken van klassen volgen dan uit de kenmerken van de logica van eigenschappen.

Omdat lessen in eerste instantie individuen van een bepaalde soort lijken te zijn, maar bij analyse niet blijken te zijn, noemt Russell ze als 'logische ficties', een uitdrukking die Jeremy Bentham's idee van 'legale ficties' weerspiegelt. (Hart 1994, 84) (Zie vermelding over recht en taal). Dat een rechtspersoon een "persoon" is, was voor Bentham slechts een fictie die kon worden uitbetaald in termen van de notie van juridische status en van beperkingen op de financiële aansprakelijkheid van echte personen. Elke taal over dergelijke "juridische ficties" zou dus in andere termen kunnen worden vertaald om over echte individuen en hun juridische relaties te gaan. Omdat verklaringen die een eigenschap aan bepaalde klassen toeschrijven, worden vervangen door existentiële zinnen die zeggen dat er een propositionele functie is met die eigenschap,deze constructie kan ook worden gekenmerkt door te laten zien dat klasse-expressies, zoals '({x: Fx })', onvolledige symbolen zijn. Ze worden niet vervangen door een langere formule die een term uitdrukt. Aan de andere kant moet de definitie niet worden gezien als het volledig vermijden van ontologische betrokkenheid, omdat het laat zien dat iets letterlijk een "fictie" is. Het laat eerder zien hoe klassen kunnen worden teruggebracht tot propositionele functies. De eigenschappen van klassen zijn eigenlijk eigenschappen van propositionele functies en voor elke klasse die een eigenschap zou hebben, is er echt een propositionele functie met die eigenschap. Het laat eerder zien hoe klassen kunnen worden teruggebracht tot propositionele functies. De eigenschappen van klassen zijn eigenlijk eigenschappen van propositionele functies en voor elke klasse die een eigenschap zou hebben, is er echt een propositionele functie met die eigenschap. Het laat eerder zien hoe klassen kunnen worden teruggebracht tot propositionele functies. De eigenschappen van klassen zijn eigenlijk eigenschappen van propositionele functies en voor elke klasse die een eigenschap zou hebben, is er echt een propositionele functie met die eigenschap.

6. Serie, volgnummers en echte cijfers

Whitehead en Russell definiëren een serie in volume II van Principia Mathematica op * 204.01 als de klasse Ser van alle relaties die transitief, verbonden en irreflexief is. Een relatie (R) is transitief wanneer, als (xRy) en (yRz) dan (xRz). Het is verbonden wanneer voor elke (x) en (y) waarvoor het is gedefinieerd, (xRy) of (yRx). Ten slotte is een irreflexieve relatie een zodanig dat het voor iedereen (x) niet zo is dat (xRx). Elke relatie die deze eigenschappen heeft, vormt een reeks dingen die ermee verband houden. Dergelijke relaties worden nu "lineaire ordeningen" of simpelweg "ordeningen" genoemd. Hier bestaat de 'logische constructie' simpelweg uit een impliciete definitie van een bepaalde eigenschap van relaties. Er wordt zeker niet gedacht dat series slechts verzonnen "ficties" zijn, en het symbool ' Ser'voor hen is alleen' onvolledig 'omdat het expliciet kan worden gedefinieerd als het snijpunt van andere klassen (een klasse van klassen) en klassen zelf' onvolledig 'zijn.

Russell's definities van ordinale getallen en reële getallen lijken op de definities van natuurlijke getallen. Rangnummers zijn een speciaal geval van relatienummers. Net zoals een hoofdnummer kan worden gedefinieerd als een klasse van vergelijkbare klassen waarbij de gelijkenis eenvoudigweg gelijkwaardigheid is, het bestaan van een één-op-één-toewijzing tussen de twee klassen, is een relatienummer een klasse van vergelijkbare klassen die door een bepaalde relatie zijn geordend. Ordinale getallen zijn de relatienummers van goed geordende klassen. "Relatie-rekenkunde" is het onderwerp van deel IV van deel II van Principia Mathematica, hoofdstukken * 150 tot * 186. Alle eigenschappen van de rekenkundige rangnummers zijn afgeleid van de meer algemene rekenkundige relatienummers. Zo is bijvoorbeeld de toevoeging van rangnummers niet commutatief. De eerste oneindige ordinale (omega) is het relatienummer van de goed geordende klassen vergelijkbaar met (1, 2, 3, / ldots) enz. De som (1 + / omega) is de relatie aantal geordende klassen die het resultaat zijn van het toevoegen van één element aan het begin van de volgorde, bijvoorbeeld (0, 1, 2, 3, / ldots) enz., dat hetzelfde rangnummer (omega) heeft. Dus (1 + / omega = / omega). Aan de andere kant zal het toevoegen van een element aan het "einde" van zo'n goed geordende klasse een volgorde opleveren die niet vergelijkbaar is: (1, 2, 3, / ldots / text {etc.}, 0). Bijgevolg (1 + / omega / ne / omega + 1). Aan de andere kant is de toevoeging van ordinalen, en in het algemeen relatienummers in het algemeen, associatief, dat wil zeggen ((alpha + / beta) + / gamma = / alpha + (beta + / gamma)), wat wordt bewezen met bepaalde beperkingen in * 174. Ordinale getallen worden dus precies gedefinieerd als natuurlijke getallen,als klassen van vergelijkbare klassen, zodanig dat alle gewenste stellingen kunnen worden bewezen. Het omschrijven van rangnummers als "ficties", "onvolledige symbolen" en "constructies" is op dezelfde manier van toepassing als in het geval van natuurlijke getallen.

De klasse van reële getallen, Θ, wordt in Volume III van Principia Mathematica op * 310.01 gedefinieerd als bestaande uit "Dedekindische reeksen" van rationele getallen, die op hun beurt relatienummers zijn van "verhoudingen" van natuurlijke getallen. Whitehead en Russell volgen het verslag van reële getallen als Dedekind de rationele getallen afsnijdt en verschillen alleen van meer standaardontwikkelingen van de getallen in de hedendaagse verzamelingenleer door rationele getallen te behandelen als relatienummers van een bepaald soort, in plaats van geordende paren en gehele getallen (de "teller" en "noemer"). Net als de constructie van relatienummers als klassen van vergelijkbare klassen, verschilt de 'logische constructie' van reële getallen van de theorie van definitieve beschrijvingen en klassen in het algemeen door het niet definiëren van 'onvolledige symbolen' of door te laten zien dat deze getallen eigenlijk 'ficties' zijn. Ze worden het best gekarakteriseerd als definities die het mogelijk maken stellingen over deze getallen te bewijzen die anders als axioma's zouden moeten worden gepostuleerd. Ze zijn het product van het 'eerlijke zwoegen' waar Russell de voorkeur aan geeft.

7. Wiskundige functies

Wiskundige functies worden door Russell niet genoemd in de lijst van "logische constructies" uit 1924, hoewel de analyse van wiskundige functies de belangrijkste toepassing is van de theorie van definitieve beschrijvingen in PM. De basisfuncties van PM zijn propositionele functies. De Griekse letters (phi, / psi, / theta, / ldots) zijn variabelen voor propositionele functies en gaan, met individuele variabelen (x, y, z, / ldots) samen om open zinnen te vormen (phi (x), / psi (x, y)), etc. Dit is de bekende syntaxis van de moderne predikaatlogica. Wiskundige functies, zoals de sinusfunctie en toevoeging, worden weergegeven als termvormende operatoren zoals (sin x) of (x + y). In de hedendaagse logica worden ze gesymboliseerd door functieletters die worden gevolgd door het juiste aantal argumenten, (f (x), g (x, y)), etc. In hoofdstuk * 30 stellen Whitehead en Russell een directe interpretatie voor van dergelijke uitdrukkingen voor wiskundige functies in termen van definitieve beschrijvingen, die ze "beschrijvende functies" noemen. Beschouw de relatie tussen een getal en de sinus ervan, de relatie die wordt verkregen tussen (x) en (y) wanneer (y = / sin x). Noem deze relatie "(text {Sine} (x, y))" of eenvoudiger "(bS (x, y))", als een relatie met twee plaatsen. De wiskundige functie kan dan worden uitgedrukt met een duidelijke beschrijving, waarbij we onze uitdrukking "de sinus van (x)" niet interpreteren als "(sin (x))", maar letterlijk als "de sinus van (x)”, Met een duidelijke omschrijving, of“de (y) zodanig dat (text {Sine} (x, y))”. Volgens de notatie van de theorie van definitieve beschrijvingen is dit '((iota x) bS (x, y))'. Het effect van deze analyse is dat Whitehead en Russell alle uitdrukkingen voor wiskundige functies kunnen vervangen door duidelijke beschrijvingen op basis van relaties. Deze definitie omvat relaties in extensie, die worden weergegeven met Romeinse letters in hoofdletters en met het relatiesymbool tussen de variabelen. De definitie in PM is: * 30.01. (R`y = (iota x) xRy), met de notatie (R`y) te lezen als "de (R) van (y)". Net als bij de theorie van beschrijvingen, is het resultaat van deze definitie om de bewijzen van stellingen te vergemakkelijken die de logische eigenschappen van wiskundige functies vastleggen die nodig zullen zijn in het verdere werk van PM.die worden weergegeven met Romeinse hoofdletters en met het relatiesymbool tussen de variabelen. De definitie in PM is: * 30.01. (R`y = (iota x) xRy), met de notatie (R`y) te lezen als "de (R) van (y)". Net als bij de theorie van beschrijvingen, is het resultaat van deze definitie om de bewijzen van stellingen te vergemakkelijken die de logische eigenschappen van wiskundige functies vastleggen die nodig zullen zijn in het verdere werk van PM.die worden weergegeven met Romeinse hoofdletters en met het relatiesymbool tussen de variabelen. De definitie in PM is: * 30.01. (R`y = (iota x) xRy), met de notatie (R`y) te lezen als "de (R) van (y)". Net als bij de theorie van beschrijvingen, is het resultaat van deze definitie om de bewijzen van stellingen te vergemakkelijken die de logische eigenschappen van wiskundige functies vastleggen die nodig zullen zijn in het verdere werk van PM.

De logische analyse van functie-expressies in PM presenteert ze als een speciaal geval van definitieve beschrijvingen, "de (R) van (x)". In de samenvatting van * 30 vinden we:

Beschrijvende functies, zoals beschrijvingen in het algemeen, hebben op zichzelf geen betekenis, maar alleen als componenten van proposities. (Whitehead en Russell 1910–13, 232)

Wiskundige of beschrijvende functies vallen dus expliciet onder de onvolledige symbolen van Principia Mathematica.

8. Stellingen en propositionele functies

In Principia Mathematica wordt Russell's meervoudige relatietheorie geïntroduceerd door een ontologische visie te presenteren:

Het universum bestaat uit objecten met verschillende kwaliteiten en staan in verschillende relaties. (Whitehead en Russell 1910–13, 43)

Russell gaat verder met het uitleggen van de meervoudige relatietheorie, die de plaats van proposities vindt in deze wereld van objecten en kwaliteiten die in relaties staan. (Zie de vermelding over stellingen.)

De meervoudige relatietheorie van Russell, die hij hield van 1910 tot rond 1919, betoogde dat de bestanddelen van proposities, bijvoorbeeld 'Desdemona houdt van Cassio', verenigd zijn op een manier die niet wil zeggen dat ze op zichzelf een feit vormen. Die bestanddelen komen alleen voor in de context van overtuigingen, bijvoorbeeld 'Othello oordeelt dat Desdemona van Cassio houdt'. Het echte feit bestaat uit een relatie van het geloof tussen de kiezers Othello, Desdemona en Cassio; (B (o, d, L, c)). Omdat men misschien ook voorstellen van andere structuren heeft geloofd, zoals (B (o, F, a)), moeten er veel van dergelijke relaties (B) zijn, van verschillende "arities" of een aantal argumenten, vandaar de naam “multiple relation” -theorie. Net als de constructie van getallen, abstraheert deze constructie van wat een aantal gebeurtenissen van een overtuiging gemeen hebben, namelijk:een relatie tussen een gelovige en verschillende objecten in een bepaalde volgorde. Het account maakt de propositie ook een onvolledig symbool omdat er geen bestanddeel is in de analyse van '(x) gelooft dat (p)' overeenkomt met '(p)'. Als gevolg hiervan concludeert Russell dat:

Het zal duidelijk zijn dat volgens het bovenstaande verslag een arrest niet één enkel object heeft, namelijk een propositie, maar meerdere onderling samenhangende objecten heeft. Dat wil zeggen, de relatie die oordeel vormt, is geen relatie van twee termen, namelijk de oordelende geest en de zin, maar is een relatie van verschillende termen, namelijk de geest en wat we de bestanddelen van de zin noemen …

Vanwege de veelheid van de objecten van een enkel oordeel, volgt daaruit dat wat we een "propositie" noemen (waarin het moet worden onderscheiden van de uitdrukking die het uitdrukt) helemaal geen enkele entiteit is. Dat wil zeggen, de uitdrukking die een stelling uitdrukt, is wat we een "onvolledig" symbool noemen; het heeft op zich geen betekenis, maar vereist enige aanvulling om een volledige betekenis te verwerven. (Whitehead en Russell 1910–13, 43–44)

Hoewel gebonden variabelen die zich uitstrekken over stellingen nauwelijks voorkomen in Principia Mathematica (met een prominente uitzondering in * 14.3), lijkt het erop dat de hele theorie van typen een theorie is van propositionele functies. Maar volgens de bewering dat proposities 'helemaal geen afzonderlijke entiteiten zijn', zegt Russell hetzelfde voor propositionele functies. In de Inleiding tot de wiskundige filosofie zegt Russell dat propositionele functies eigenlijk 'niets' zijn, maar 'daarvoor toch belangrijk' (Russell 1919, 96). Deze opmerking is het meest logisch als we propositionele functies beschouwen als op de een of andere manier geconstrueerd door ze te abstraheren van hun waarden, die proposities zijn. De propositionele functie "(x) is menselijk" wordt geabstraheerd van de waarden "Socrates is menselijk", "Plato is menselijk", enz. Het bekijken van propositionele functies als constructies uit proposities,die op hun beurt constructies zijn door de meervoudige relatietheorie, helpt om bepaalde kenmerken van de theorie van typen van propositionele functies in Principia Mathematica te begrijpen. We kunnen begrijpen hoe propositionele functies lijken af te hangen van hun waarden, namelijk proposities, en hoe proposities op hun beurt zelf logische constructies kunnen zijn. De relatie van deze afhankelijkheid met de theorie van typen wordt uitgelegd in de Inleiding tot Principia Mathematica in termen van het begrip "vooronderstellen":De relatie van deze afhankelijkheid met de theorie van typen wordt uitgelegd in de Inleiding tot Principia Mathematica in termen van het begrip "vooronderstellen":De relatie van deze afhankelijkheid met de theorie van typen wordt uitgelegd in de Inleiding tot Principia Mathematica in termen van het begrip "vooronderstellen":

Het lijkt er echter op dat het essentiële kenmerk van een functie dubbelzinnigheid is … We kunnen dit uitdrukken door te zeggen dat "(phi x)" dubbelzinnig staat voor (phi a, / phi b, / phi c,) etc., waar (phi a, / phi b, / phi c,) etc. de verschillende waarden van "(phi x)" zijn. … Het zal duidelijk zijn dat, volgens het bovenstaande verslag, de waarden van een functie worden verondersteld door die functie, en niet omgekeerd. Het is in elk specifiek geval voldoende duidelijk dat een waarde van een functie de functie niet veronderstelt. Zo kan bijvoorbeeld de stelling 'Socrates is mens' perfect worden begrepen zonder deze te beschouwen als een waarde van de functie '(x) is mens'. Het is waar dat een functie daarentegen kan worden begrepen zonder dat het nodig is om haar waarden afzonderlijk en afzonderlijk te begrijpen. Als dit niet het geval was,geen enkele functie kon helemaal worden begrepen, aangezien het aantal waarden (waar en onwaar) van een functie noodzakelijkerwijs onbepaald is en er noodzakelijkerwijs mogelijke argumenten zijn waarmee we niet bekend zijn. (Russell 1910–13, 39–40)

Het idee van "incompleet symbool" lijkt minder toepasselijk dan "constructie" in het geval van propositionele functies en proposities. Om proposities en zelfs propositionele functies te classificeren als gevallen van hetzelfde logische fenomeen als bepaalde beschrijvingen, is een aanzienlijke verbreding van het begrip nodig.

Over de ontologische status van proposities en propositionele functies binnen Russell's logica, en in het bijzonder in Principia Mathematica, is momenteel veel discussie. Eén interpretatie, die we 'realistisch' zouden kunnen noemen, wordt samengevat in deze voetnoot van Alonzo Church in zijn studie van 1976 naar de vertakte typenleer:

Dus nemen we proposities als waarden van de propositionele variabelen, omdat dit duidelijk wordt geëist door de achtergrond en het doel van Russell's logica, en ondanks wat een expliciete ontkenning lijkt te zijn van Whitehead en Russell in PM, pp. 43-44.

Whitehead en Russell beweren zelfs: 'dat wat we een' propositie 'noemen (in de zin waarin dit wordt onderscheiden van de uitdrukking die het uitdrukt) helemaal geen enkele entiteit is. Dat wil zeggen, de uitdrukking die een propositie uitdrukt, is wat we een 'incompleet symbool' noemen … 'Ze lijken zich ervan bewust te zijn dat deze fragmentatie van proposities een vergelijkbare fragmentatie van propositionele functies vereist. Maar de contextuele definitie of definities die impliciet worden beloofd door de "incomplete symbol" -karakterisering worden nooit volledig verstrekt, en het is met name hoe ze het gebruik van gebonden propositionele en functionele variabelen zouden kunnen verklaren. Als sommige dingen die Russell in IV en V van zijn inleiding tot de tweede editie zegt, kunnen worden opgevat als een indicatie van wat bedoeld is,het is waarschijnlijk dat de contextuele definities niet worden onderzocht.

Veel passages in [(Russell 1908)] en [(Whitehead en Russell 1910–13)] kunnen worden opgevat als een uitspraak of als gevolg dat de waarden van propositionele functies zinnen zijn. Maar een samenhangende semantiek van Russell's geformaliseerde taal kan op deze basis nauwelijks worden verschaft (merk met name op dat aangezien zinnen ook worden vervangen door propositionele variabelen, het nodig zou zijn om zinnen als namen van zinnen te nemen.) En aangezien de passages in kwestie schijnen verwarring van gebruik en vermelding of verwante verwarring te veroorzaken die louter onzorgvuldig kunnen zijn, het is niet zeker dat ze moeten worden beschouwd als nauwkeurige uitspraken van een semantiek. (Kerk 1976, n.4)

Gregory Landini (1998) heeft voorgesteld dat er inderdaad een coherente semantiek bestaat voor proposities en propositionele functies in PM, die functies en proposities behandelt als taalkundige entiteiten. Landini stelt dat deze 'nominalistische semantiek' de beoogde interpretatie van PM is en wat overblijft van Russell's eerdere 'substitutietheorie'. Hij stelt dat Russell tot dit nominalisme werd geleid nadat hij eerst de realiteit van klassen, vervolgens van propositionele functies en ten slotte de realiteit van proposities had afgewezen. Deze afwijzing, laat Landini achter, laat ons alleen achter met een nominalistische metafysica van individuen en uitdrukkingen als de interpretatie van Russell's logica. Zie ook Cocchiarella (1980), die een 'nominalistische semantiek' voor de vertakte typetheorie beschrijft, maar deze verwerpt als de door Russell bedoelde interpretatie. Sainsbury (1979) beschrijft een "vervangende" interpretatie van de kwantoren over propositionele functies, maar combineert dit met een waarheidsconditionele semantiek die niet de vertakking vereist van de typenleer die centraal staat in Russell's interpretatie in PM.

Proposities en propositionele functies zijn in tegenstelling tot bepaalde beschrijvingen en klassen omdat er geen expliciete definities van zijn in PM. Het is onduidelijk wat het betekent om te zeggen dat een symbool voor een zin, zoals een variabele (p) of (q), "geen betekenis op zichzelf" heeft, en dat de betekenis echter wel kan worden gegeven " in context”, omdat het lijkt alsof er geen definitie mogelijk is, zo lijkt het, in een logica waarin proposities en propositionele functies verschijnen als primitieve noties in de verklaring van de axioma's en definities van logica.

9. De constructie van materie

Of ze nu wel of niet door Whitehead en Russell van contextuele definities worden voorzien, logische constructies verschijnen niet als referenties van logisch correcte namen, en daarom maken constructies daardoor geen deel uit van het fundamentele 'meubilair' van de wereld. Vroege kritische discussies over constructies, zoals Wisdom (1931), benadrukten het contrast tussen logisch correcte namen, die wel verwijzen, en constructies, die dus als ontologisch onschuldig werden beschouwd.

Beginnend met de problemen van de filosofie in 1912, wendde Russell zich herhaaldelijk tot het probleem van de materie. Zoals beschreven door Omar Nasim (2008), stapte Russell in een voortdurende discussie over de relatie tussen zintuiggegevens en materie die werd gevoerd door TP Nunn (1910), Samuel Alexander (1910), GF Stout (1914), en GE Moore (1914), onder anderen. De deelnemers aan deze 'Edwardiaanse controverse', zoals Nasim het noemt, deelden de overtuiging dat directe waarnemingsobjecten, met hun zintuiglijke kwaliteiten, niettemin extra-mentaal waren. Het concept van materie was dus het resultaat van een losjes beschreven sociale of psychologische 'constructie', die verder ging dan wat direct werd waargenomen. Een project dat de deelnemers aan de controverse deelden, was de zoektocht naar een weerlegging van het idealisme van George Berkeley,wat zou laten zien hoe het bestaan en de echte aard van materie kunnen worden ontdekt. In The Problems of Philosophy (Russell 1912) stelt Russell dat het geloof in het bestaan van materie een goed ondersteunde hypothese is die onze ervaringen verklaart. Materie is alleen indirect bekend, 'door beschrijving', als de oorzaak, wat het ook mag zijn, van onze zintuiggegevens, die we direct kennen door 'door kennis'. Dit is een voorbeeld van het soort hypothese dat Russell contrasteert met constructie in de beroemde passage over "diefstal" en "eerlijk zwoegen". Russell zag een analogie tussen het simpelweg hypothetiseren van het bestaan van getallen met bepaalde eigenschappen, die beschreven worden door axioma's, en het bestaan van materie hypothetiseren. In The Problems of Philosophy (Russell 1912) stelt Russell dat het geloof in het bestaan van materie een goed ondersteunde hypothese is die onze ervaringen verklaart. Materie is alleen indirect bekend, 'door beschrijving', als de oorzaak, wat het ook mag zijn, van onze zintuiggegevens, die we direct kennen door 'door kennis'. Dit is een voorbeeld van het soort hypothese dat Russell contrasteert met constructie in de beroemde passage over "diefstal" en "eerlijk zwoegen". Russell zag een analogie tussen het simpelweg hypothetiseren van het bestaan van getallen met bepaalde eigenschappen, die beschreven worden door axioma's, en het bestaan van materie hypothetiseren. In The Problems of Philosophy (Russell 1912) stelt Russell dat het geloof in het bestaan van materie een goed ondersteunde hypothese is die onze ervaringen verklaart. Materie is alleen indirect bekend, 'door beschrijving', als de oorzaak, wat het ook mag zijn, van onze zintuiggegevens, die we direct kennen door 'door kennis'. Dit is een voorbeeld van het soort hypothese dat Russell contrasteert met constructie in de beroemde passage over "diefstal" en "eerlijk zwoegen". Russell zag een analogie tussen het simpelweg hypothetiseren van het bestaan van getallen met bepaalde eigenschappen, die beschreven worden door axioma's, en het bestaan van materie hypothetiseren. Dit is een voorbeeld van het soort hypothese dat Russell contrasteert met constructie in de beroemde passage over "diefstal" en "eerlijk zwoegen". Russell zag een analogie tussen het simpelweg hypothetiseren van het bestaan van getallen met bepaalde eigenschappen, die beschreven worden door axioma's, en het bestaan van materie hypothetiseren. Dit is een voorbeeld van het soort hypothese dat Russell contrasteert met constructie in de beroemde passage over "diefstal" en "eerlijk zwoegen". Russell zag een analogie tussen het simpelweg hypothetiseren van het bestaan van getallen met bepaalde eigenschappen, die beschreven worden door axioma's, en het bestaan van materie hypothetiseren.

De behoefte aan een soort verslag van de logische kenmerken van materie, wat hij "het probleem van materie" noemde, had Russell al veel eerder bezig gehouden. Hoewel we de bepaalde kennis die we hebben van wiskundige entiteiten kunnen onderscheiden van de voorwaardelijke kennis van materiële objecten, zegt Russell dat er bepaalde 'nette' kenmerken van materie zijn die gewoon te netjes zijn om per ongeluk te zijn uitgekomen. Voorbeelden zijn de meest algemene ruimtelijke eigenschappen van objecten, dat geen twee tegelijkertijd dezelfde plaats kunnen innemen, die hij 'ondoordringbaarheid' noemt, enzovoort. In The Principles of Mathematics (Russell 1903, §453) staat een lijst van deze kenmerken van materie, waaronder "onverwoestbaarheid", "ingenereerbaarheid" en "ondoordringbaarheid", die allemaal kenmerkend waren voor de atoomtheorie van die tijd. Russell volgde de voortgang door de exacte wetenschappen, van logica tot rekenen, en vervolgens echte getallen en vervolgens tot oneindige kardinalen. Er volgde een discussie over ruimte en tijd, waarbij het boek eindigde met een laatste deel (VII) over materie en beweging, hoofdstukken §53 tot en met §59. Daarin bespreekt Russell wat hij noemt "rationele dynamiek als een tak van pure wiskunde" (Russell 1903, §437). Deze rationele dynamiek zou erin bestaan veel van de fundamentele natuurkundige principes te rechtvaardigen met alleen pure wiskunde, uit definities die de geometrie van ruimte en tijd opleveren en de formele eigenschappen van de bewoners, hoeveelheden materie en energie. In dit opzicht lijkt de constructie van materie het meest op de constructie van getallen als klassen als een poging om de "diefstal" van postulerende axioma's te vervangen door de "eerlijke arbeid" van het bedenken van definities die die postulaten valideren.

In het latere project van het construeren van materie, vanaf 1914, te beginnen met Onze kennis van de externe wereld (Russell 1914b), worden materiële objecten gezien als verzamelingen van zintuiggegevens en vervolgens van 'sensibilia'. Sensibilia zijn potentiële objecten van sensatie, die, wanneer ze worden waargenomen, 'sense data' worden voor de waarnemer. Onder invloed van William James kwam Russell een neutraal monisme verdedigen waardoor materie en geest beide moesten worden opgebouwd uit sensibilia, maar op verschillende manieren. Intuïtief zijn de sense-gegevens die zich voordoen zoals ze “in” een mind doen, materieel om die mind te construeren, de sense-data afgeleid van een object vanuit verschillende gezichtspunten om dat object te construeren. Russell zag hiervoor enige steun in de relativiteitstheorie en het fundamentele belang van referentiekaders in de nieuwe fysica.

10. Opvolgers van logische constructie

In de jaren dertig schonken Susan Stebbing en John Wisdom, die de 'Cambridge School of Analysis' werden genoemd, veel aandacht aan het begrip logische constructie (zie Beaney 2003). Stebbing (1933) was bezorgd over de onduidelijkheid over de vraag of het uitdrukkingen of entiteiten zijn die logische constructies zijn, en over hoe een bewering als "deze tabel is een logische constructie" te begrijpen en wat het zelfs zou kunnen betekenen om logische constructies te vergelijken met afgeleide entiteiten. Russell was gemotiveerd door het logicistische project van het vinden van definities en elementaire premissen waaruit wiskundige uitspraken konden worden bewezen. Stebbing en Wijsheid waren eerder bezorgd over het verband tussen constructie en filosofische analyse van gewone taal. Wisdom's reeks artikelen uit 1931 in Mind interpreteerde logische constructies in termen van ideeën uit Wittgenstein's Tractatus (1921).

Demopoulos en Friedman (1985) vinden een anticipatie op de recente 'structurele realistische' kijk op wetenschappelijke theorieën in (Russell 1927), The Analysis of Matter. Ze stellen dat de logische constructies van sense data in Russell's eerdere denken over het "probleem van de materie" zijn vervangen door gevolgtrekkingen aan de structurele eigenschappen van ruimte en materie uit patronen van sense data. We kunnen kleurvlekken naast elkaar in ons gezichtsveld waarnemen, maar wat dat ons vertelt over de oorzaken van die zintuiggegevens, over materie, wordt alleen onthuld door de structuur van die relaties. De kleur van een patch in ons gezichtsveld zegt dus niets over de intrinsieke eigenschappen van de tabel die die ervaring veroorzaken. In plaats daarvan zijn het de structurele eigenschappen van onze ervaringen, zoals hun relatieve volgorde in de tijd,en waartussen anderen in het gezichtsveld staan, dat geeft ons een idee van de structurele relaties van tijd en ruimte binnen de materiële wereld die de ervaring veroorzaken. De hedendaagse versie van dit verslag, "structureel realisme" genoemd, stelt dat het alleen de structurele eigenschappen en relaties zijn die een wetenschappelijke theorie aan de wereld toeschrijft waarover we wetenschappelijke realisten zouden moeten zijn. (Zie de vermelding over structureel realisme.)

Volgens dit verslag was het aanvankelijke project van Russell om gevolgtrekking te vervangen door logische constructie om voor elk patroon van zintuiggegevens een logische constructie te vinden die een patroon van isomorfe structurele relaties vertoont. Dat project is getransformeerd, betogen Demopoulos en Friedman, door de gevolgtrekking van het gegeven in de ervaring te vervangen door de oorzaak van die ervaring door een gevolgtrekking in de nogal verarmde, structurele realiteit van de oorzaken van die ervaringen. Het materieproject van Russell werd op deze manier door anderen geïnterpreteerd en leidde in 1928 tot het schijnbaar verwoestende bezwaar van GH Newman. Newman (1928) wees erop dat er altijd een structuur is van willekeurig "geconstrueerde" relaties met een bepaalde structuur als alleen het aantal basisentiteiten, in dit geval sense data, groot genoeg is. Volgens Demopoulos en Friedman,Newman laat zien dat wetenschappelijke theorieën meer moeten zijn dan triviale verklaringen dat materie bepaalde structurele eigenschappen heeft die isomorf zijn ten opzichte van die van onze sense-gegevens. Het project van The Analysis of Matter heeft inderdaad grote problemen met het probleem van "Newman", ongeacht of deze problemen zich voordoen bij het eerdere project van logische constructie (zie Linsky 2013).

Het idee van logische constructie had een grote impact op de toekomstige koers van de analytische filosofie. Een lijn van invloed was via het idee van een contextuele definitie, of parafrase, bedoeld om ontologische betrokkenheid te minimaliseren en een model te zijn voor filosofische analyse. Het onderscheid tussen het uiterlijk van bepaalde beschrijvingen, als enkelvoudige termen, en de volledig geïnterpreteerde zinnen waaruit ze lijken te verdwijnen, werd gezien als een model om problematische begrippen bij analyse te laten verdwijnen. Wisdom (1931) stelde deze toepassing van logische constructie voor in de geest van Wittgenstein. Op deze manier wordt de theorie van beschrijvingen beschouwd als een paradigma van filosofische analyse van dit 'therapeutische' type dat logische problemen probeert op te lossen.

Een meer technisch onderdeel in de analytische filosofie werd beïnvloed door de constructie van materie. Rudolf Carnap citeert (Russell 1914a, 11) als motto voor zijn "Aufbau", de logische structuur van de wereld (1967):

De hoogste stelregel bij het wetenschappelijk filosoferen is dit: waar mogelijk moeten logische constructies worden vervangen door afgeleide entiteiten. (Carnap 1967, 6)

In de Aufbau zette de constructie van materie uit 'elementaire ervaringen' voort, en later zette Nelson Goodman (1951) het project voort. Michael Friedman (1999) en Alan Richardson (1998) hebben betoogd dat het bouwproject van Carnap veel meer te danken had aan zijn achtergrond in neokantiaanse vraagstukken over de 'constitutie' van empirische objecten dan aan het project van Russell. Zie echter Pincock (2002) voor een reactie die pleit voor het belang van Russell's project voor het reconstrueren van wetenschappelijke kennis in (Carnap 1967). Meer in het algemeen werd het gebruik van verzamelingen-theoretische constructies wijdverbreid onder filosofen en zet het zich voort in de constructie van verzamelingen-theoretische modellen, zowel in de zin van logica waar ze formele theorieën modelleren als om beschrijvingen van waarheidsvoorwaarden voor zinnen over entiteiten te verschaffen.

Willard van Orman Quine zag zijn notie van 'explicatie' als een ontwikkeling van logische constructie. Quine presenteert zijn methodologie in Word and Object (1960), te beginnen met een toespeling op Ramsey's opmerking in de titel van sectie 53: "The Ordered Pair as Philosophical Paradigm". Het probleem van het kennelijk verwijzen naar uitdrukkingen die Russell's beschrijvingsleer motiveren, wordt gepresenteerd als een algemeen probleem:

Een patroon dat in recente secties herhaaldelijk is geïllustreerd, is dat van het defecte zelfstandig naamwoord dat objecten niet verdient en dat wordt afgedaan als een niet-verwijzend fragment van een paar zinnen. Maar soms werkt het defecte zelfstandig naamwoord tegengesteld: het nut ervan blijkt de toelating van aangegeven objecten in te schakelen als waarden van de variabelen van kwantificering. In zo'n geval is het onze taak om er interpretaties voor te bedenken in de term posities waar het in zijn gebrekkigheid vroeger niet had plaatsgevonden. (Quine 1960, 257)

Het idee van een "defect zelfstandig naamwoord" dat moet worden "afgedaan als een niet-verwijzend fragment" weerspiegelt duidelijk de beschrijving van constructies als logische ficties en hun uitdrukkingen als louter onvolledige symbolen die de contextuele definities voor definitieve beschrijvingen en klassen zo treffend beschrijven. De taak van het "bedenken van interpretaties" lijkt meer op het positieve aspect dat wordt gesuggereerd door de term "constructie" en geïllustreerd in het geval van de constructie van getallen en materie. Na te hebben geconcludeerd dat de uitdrukking "geordend paar" zo'n "defect zelfstandig naamwoord" was, zegt Quine dat het idee van een geordend paar (langle x, y / rangle) van twee entiteiten (x) en (y) heeft "nut" en is slechts beperkt in het vervullen van één "postulaat":

(1) Als (langle x, y / rangle = / langle z, w / rangle) dan (x = z) en (y = w)

Met andere woorden, die geordende paren onderscheiden zich door unieke eerste en tweede elementen te hebben. Quine vervolgt dan:

Het probleem van het opzoeken van het gebruik van deze defecte zelfstandige naamwoorden kan voor eens en voor altijd worden opgelost door systematisch vast te stellen op een geschikt reeds herkend object, voor elk (x) en (y), waarmee (langle x, y / rangle). Het probleem is netjes, want we hebben in (1) één enkele expliciete standaard om te beoordelen of een versie geschikt is. (Quine 1960, 258)

Opnieuw herhaalt Quine de taal van Russell met zijn vermelding van een "nette" eigenschap die vraagt om een "constructie" van bekende entiteiten. Quine onderscheidt zijn project, dat hij 'explicatie' noemt, door het feit dat er alternatieve manieren zijn om het idee te fixeren. Hoewel Whitehead en Russell een verslag geven in PM * 55, waar ze "ordinale stellen" worden genoemd, is het eerste voorstel om geordende paren te behandelen als klassen van hun leden, afkomstig van Norbert Wiener (1914) die (langle x, y / identificeert rangle) met ({ {x }, {y, / Lambda } }), waarbij (Lambda) de lege klasse is. Vanuit deze definitie kunnen de eerste en tweede elementen van het paar gemakkelijk worden teruggevonden, en dus is Quine's (1) een elementaire stelling. Later stelde Kuratowski de definitie ({ {x }, {x, y } }) voor, waaruit (1) ook volgt. Voor Quine is het een kwestie van kiezen welke definitie moet worden gebruikt, aangezien de punten waarop ze verschillen 'niet-zorgen' zijn, kwesties die een nauwkeurig antwoord geven op vragen waarover ons pre-theoretische verslag stom is. Een uitleg verschilt dus aanzienlijk van een "analyse" van gewone of pre-theoretische taal, zowel in het geven van een precieze betekenis aan de uitdrukking waar deze onduidelijk zou kunnen zijn geweest, of misschien gewoon stil en in mogelijk afwijkend van pre-theoretisch gebruik, zoals voorgesteld door de naam. Dit past goed bij de asymmetrieën die we hebben opgemerkt tussen analyse en constructie, met analyse gericht op het ontdekken van de onderdelen en structuur van proposities die ons worden gegeven, en constructie die meer een kwestie van keuze is, met als doel het herstel van bepaalde "nette" kenmerken van de constructie in een formele theorie. Het geordende paar is dus een "filosofisch paradigma" voor Quine, net zoals Russell's beschrijvingsleer voor Ramsey een paradigma van filosofie was, en elk is een "logische constructie".

Bibliografie

Primaire literatuur: werken van Russell

• 1901, "The Logic of Relations", (in het Frans) Rivista di Matematica, Vol. VII, 115–48. Engelse vertaling in Russell 1956, 3–38 en Russell 1993, 310–49.
• 1903, The Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press; 2 ^e editie, 1937 London: Allen & Unwin.
• 1905, “On Denoting”, Mind 14 (Oct.), 479–93. In Russell 1956, 39–56 en Russell 1994, 414–27.
• 1908, "Mathematical Logic as Based on the Theory of Types", American Journal of Mathematics 30, 222–62. In van Heijenoort 1967, 150–82 en Russell 2014, 585–625.
• 1910–13, AN Whitehead en BA Russell, Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press; 2 ^e editie, 1925-1927.
• 1912, The Problems of Philosophy, Londen: Williams en Norgate. Herdrukt 1967 Oxford: Oxford University Press.
• 1914a, 'De relatie van zintuiggegevens tot natuurkunde', Scientia, 16, 1–27. In Mysticism and Logic, Longmans, Green and Co. 1925, 145–179 en Russell 1986, 3–26.
• 1914b, Our Knowledge of the External World: As a Field for Scientific Method in Philosophy, Chicago and London: Open Court.
• 1918, 'The Philosophy of Logical Atomism' in The Monist, 28 (oktober 1918): 495–527, 29 (jan., April, juli 1919): 32–63, 190–222, 345–80. Paginaverwijzingen naar The Philosophy of Logical Atomism, DF Pears (red.), La Salle: Open Court, 1985, 35–155. Ook in Russell 1986, 157–244 en Russell 1956, 175–281.
• 1919, Inleiding tot de wiskundige filosofie, Londen: Routledge.
• 1924, "Logical Atomism", in The Philosophy of Logical Atomism, DF Pears (red.), La Salle: Open Court, 1985, 157–181. Russell 2001, 160–179.
• 1927, The Analysis of Matter, Londen: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co.
• 1956, Logic and Knowledge: Essays 1901–1950, RC Marsh (red.), London: Allen & Unwin.
• 1959, My Philosophical Development, Londen: George Allen & Unwin.
• 1973, Essays in Analysis, D. Lackey (red.), Londen: Allen & Unwin.
• 1986, The Collected Papers of Bertrand Russell, vol. 8, The Philosophy of Logical Atomism and Other Essays: 1914–1919, JG Slater (red.), Londen: Allen & Unwin.
• 1993, The Collected Papers of Bertrand Russell, vol. 3, Towards the "Principles of Mathematics", Gregory H. Moore (red.), Londen en New York: Routledge.
• 1994, The Collected Papers of Bertrand Russell, vol. 4, Foundations of Logic: 1903–1905, A. Urquhart (red.), Londen en New York: Routledge.
• 2001, The Collected Papers of Bertrand Russell, vol. 9, Essays on Language, Mind and Matter: 1919–1926, JG Slater (red.), Londen en New York.
• 2014, The Collected Papers of Bertrand Russell, vol. 5, Towards Principia Mathematica, 1905–1908, GH Moore (red.), Londen en New York: Routledge.

Secundaire literatuur

• Alexander, S., 1910, "On Sensations and Images", Proceedings of the Aristotelian Society, X: 156–78.
• Beaney, M., 2003, 'Susan Stebbing on Cambridge and Vienna Analysis', The Vienna Circle and Logical Empiricism, F. Stadler (red.), Dordrecht: Kluwer, 339-50.
• Beaney, M. (red.), 2007, The Analytic Turn: Analysis in Early Analytic Philosophy and Phenomenology, New York: Routledge.
• Carnap, R., 1967, The Logical Structure of the World & Pseudo Problems in Philosophy, trans. R. George, Berkeley: University of California Press. Oorspronkelijk Der Logische Aufbau der Welt, Berlin: Welt-Kreis, 1928.
• Church, A., 1976, "Vergelijking van Russell's resolutie van de semantische antinomieën met die van Tarski", Journal of Symbolische logica, 41: 747–760.
• Cocchiarella, N., 1980, "Nominalisme en conceptualisme als predicatieve tweede-orde theorieën over predicatie", Notre Dame Journal of Formal Logic, 21 (3): 481–500.
• Dedekind, R., 1887. Was sind und was sollen die Zahlen ?, vertaald als "The Nature and Meaning of Numbers" in Essays on the Theory of Numbers, New York: Dover, 1963.
• Demopolous, W. en Friedman, M., 1985, "Bertrand Russell's The Analysis of Matter: Its Historical Context and Contemporary Interest", Wetenschapsfilosofie, 52 (4): 621–639.
• Dummett, M., 1981, The Interpretation of Frege's Philosophy, Cambridge, Mass: Harvard University Press.
• Friedman, M., 1999, Heroverweging van logisch positivisme, Cambridge: Cambridge University Press.
• Frege, G., 1893/1903, Basiswetten van rekenkunde, Jena: Pohle, 2 delen, trans. P. Ebert & M. Rossberg, Oxford: Oxford University Press, 2013.
• Frege, G., 1884, The Foundations of Arithmetic, Breslau: Koebner, trans. JL Austin, Oxford: Basil Blackwell, 1950.
• Fritz, Jr., CA, 1952, Bertrand Russell's constructie van de externe wereld, Londen: Routledge & Kegan Paul.
• Goodman, N., 1951, The Structure of Appearance, Cambridge Mass: Harvard University Press.
• Hager, P., 1994, Continuïteit en verandering in de ontwikkeling van Russell's filosofie, Dordrecht: Kluwer.
• Hart, HLA, 1994, The Concept of Law, ^2e editie, Oxford: Clarendon Press.
• Hylton, P., 2005, 'Beginning with Analysis', in Propositions, Functions, and Analysis, Oxford: Clarendon Press, 30-48.
• Landini, G., 1998, Russell's Hidden Substitutional Theory, Oxford: Oxford University Press.
• Levine, J., 2016, 'The Place of Vagueness in Russell's Philosophical Development', in Sorin Costreie (red.), Early Analytic Philosophy - New Perspectives on the Tradition (Western Ontario Series in the Philosophy of Science 80), Dordrecht Springer, 161–212.
• Linsky, B., 1999, Russell's Metaphysical Logic, Stanford: CSLI.
• –––, 2004, “Russell's Notes on Frege for Appendix A van The Principles of Mathematics”, Russell: The Journal of Bertrand Russell Studies, 24: 133–72.
• –––, 2007, "Logical Analysis and Logical Construction", The Analytic Turn, M. Beaney (red.), New York: Routledge, 107–122.
• –––, 2013, “Russell's Theory of Definite Descriptions and the Idea of Logical Construction”, in M. Beaney (red.), The Oxford Handbook of the History of Analytic Philosophy, Oxford: Oxford University Press, 407–429.
• Moore, GE, 1914, "Symposium: The Status of Sense-Data", Proceedings of the Aristotelian Society, XIV: 335–380.
• Nasim, OW, 2008, Bertrand Russell and the Edwardian Philosophers: Constructing the World, Houndsmill, Basingstoke: Palgrave Macmillan.
• Newman, HA, 1928, 'Mr. Russell's 'causale theorie van perceptie'”, Mind, 37: 137–148.
• Nunn, TP, 1910, 'Symposium: zijn secundaire kwaliteiten onafhankelijk van perceptie?”, Proceedings of the Aristotelian Society, X: 191–218.
• Peano, G., 1889, 'The Principles of Arithmetic; Presented by a New Method”, vertaald door J. van Heijenoort, From Frege to Gödel, Cambridge, Mass: Harvard University Press, 1967, 81–97.
• Pincock, C., 2002, 'De invloed van Russell op Aapbau van Carnap', Synthese, 131 (1): 1–37.
• Richardson, A., 1998, Carnap's Construction of the World: The Aufbau and the Emergence of Logical Empiricism, Cambridge: Cambridge University Press.
• Quine, WVO, 1960, Word and Object, Cambridge Mass: The MIT Press.
• Ramsey, Frank, 1929, "Philosophy", in FP Ramsey, Philosophical Papers, DH Mellor (red.), Cambridge: Cambridge University Press, 1990, 1-7.
• Ryle, G., 1931, "Systematic Leading Expressions", Proceedings of the Aristotelian Society, 32: 139–70; herdrukt in The Linguistic Turn: Essays in Philosophical Method, RM Rorty (red.), Chicago: University of Chicago Press, 1992, 85–100.
• Sainsbury, M., 1979, Russell, London: Routledge & Kegan Paul.
• Stebbing, S., 1933, A Modern Introduction to Logic, London: Methuen and Company, 2e editie.
• Stout, GF, 1914, "Symposium: The Status of Sense-Data", Proceedings of the Aristotelian Society, XIV: 381–406.
• Strawson, PF, 1950, “On Referring”, Mind LIX (235): 320–344.
• van Heijenoort, J. (red.), 1967, Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Cambridge, Mass: Harvard University Press.
• Wiener, N., 1914, 'A Simplification of the Logic of Relations', Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 17: 387–390; herdrukt in van Heijenoort 1967, 224–227.
• Wisdom, J., 1931, "Logical Constructions (I.).", Mind, 40: 188–216.
• Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, 1961, trans. Pears and McGuinness, Londen: Routledge en Kegan Paul.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen