Logisch Pluralisme

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Logisch pluralisme

Voor het eerst gepubliceerd op woensdag 17 april 2013; inhoudelijke herziening do 10 jan.2019

Logisch pluralisme is de opvatting dat er meer dan één correcte logica is. Logica zijn geldigheidstheorieën: ze vertellen ons voor verschillende argumenten of dat argument al dan niet een geldige vorm heeft. Verschillende logica's zijn het oneens over welke argumentvormen geldig zijn. ^[1] Logica zoals klassieke en sterke Kleene-logica vertellen ons bijvoorbeeld dat ex falso quodlibet, het onderstaande argumentformulier, geldig is:

EEN

¬ A

B

Relevante logica en andere paraconsistente logica zeggen echter dat dit argumentformulier niet geldig is. Het is normaal om te denken dat ze niet allemaal gelijk kunnen hebben. Als ex falso quodlibet geldig is, dan zijn de Relevante en Paraconsistente logica geen correcte theorieën over validiteit, of zoals we zouden kunnen zeggen, zijn het geen correcte logica. Als alternatief, als ex falso quodlibet niet geldig is, dan zijn de klassieke logica en de sterke kleene logica niet correct. Logisch pluralisme kent vele vormen, maar de meest filosofisch interessante en controversiële vormen van opvatting zijn dat meer dan één logica correct kan zijn, dat wil zeggen: logica L ₁ en L ₂ kunnen het oneens zijn over welke argumenten geldig zijn, en beide kunnen dingen krijgen Rechtsaf.

Veel actueel werk over dit onderwerp werd aangewakkerd door een reeks artikelen van JC Beall en Greg Restall (Beall & Restall 2000, 2001; Restall 2002), die culmineerde in het boek (Beall & Restall 2006). Dit werk heeft een aanzienlijke literatuur opgeleverd, waaronder artikelen die pleiten tegen pluralisme en voor logisch monisme, de opvatting dat er maar één echte logica kan zijn. ^[2]Interesse in het hedendaagse debat heeft ook geleid tot een heronderzoek van enkele oudere opvattingen, met name het pluralisme als gevolg van de beroemde tolerantie van Carnap voor verschillende taalkaders en het werk van de Schots / Franse logicus Hugh McColl (1837–1909), waarvan sommigen beweerden was een vroege logische pluralist (Rahman & Redmond 2008). De recente opkomst van interesse heeft ook geresulteerd in het voorstel van een aantal extra varianten van logisch pluralisme, waarvan sommige in de laatste paragraaf hieronder worden onderzocht.

• 1. Case-based logisch pluralisme

  • 1.1 Het argument van verschijningen
  • 1.2 Het argument van deugd

  • 1.3 Het algemene bezwaar

    • 1.3.1 De interpretatie van 'elke' in de GTT
    • 1.3.2 Een reactie van Polysemy
    • 1.3.3 Het kiezen van een best case?
  • 1.4 De normativiteit Bezwaar
  • 1.5 Het bezwaar van betekenisverandering

• 2. Logisch pluralisme via linguïstisch pluralisme

  • 2.1 Het principe van tolerantie
  • 2.2 Problemen voor het pluralisme van Carnap

• 3. Andere soorten logisch pluralisme

  • 3.1 Pluralisme met betrekking tot de set van logische constanten
  • 3.2 Pluralisme over de objecten van logische consequentie
  • 3.3 Pluralisme over modellering
  • 3.4 Pluralisme over epistemische normativiteit
  • 3.5 Pluralisme door beperking
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Case-based logisch pluralisme

Hoe kunnen twee logica's beide kloppen als ze het niet eens zijn over welke argumenten geldig zijn? Eén manier is als er meer dan één relatie van logische consequentie is (en dus meer dan één interpretatie van 'geldig'), zodat een van de logica's in een bepaald opzicht validiteit vastlegt, terwijl zijn rivaal validiteit in een andere vastlegt. Pluralisten gaan hier verder op in door te stellen dat uitdrukkingen in natuurlijke taal zoals 'volgt uit' onrustig, vaag of dubbelzinnig zijn, en op meer dan één manier kunnen worden geregeld, nauwkeuriger of ondubbelzinnig worden gemaakt (Shapiro 2014, 1-2). De bekendste versie van deze weergave wordt bijvoorbeeld gepresenteerd als de combinatie van twee hoofdtheses (Beall & Restall 2006). Ten eerste de gegeneraliseerde Tarski-scriptie:

Gegeneraliseerde Tarski-scriptie (GTT):

een argument is geldig _x als en alleen als in elk geval _x waarin de premissen waar zijn, zo is de conclusie.

Ten tweede de stelling dat de uitdrukking 'case _x'in de (GTT) kan op ten minste twee, even acceptabele manieren, nauwkeuriger worden gemaakt, wat resulteert in verschillende uitbreidingen voor' geldig '. Met 'case' bedoelen we bijvoorbeeld een eerste-orde interpretatie van het soort dat Tarski gebruikt om de klassieke eerste-orde-consequentie te definiëren (Tarski 1983) of we bedoelen een mogelijke situatie. Andere alternatieven zijn inconsistente of onvolledige interpretaties, van het soort dat wordt gebruikt in de modeltheorieën voor intuïtionistische en paraconsistente logica. Verschillende keuzes voor de interpretatie van 'case' zullen resulteren in verschillende precisificaties van de (GTT) analyse van logische consequenties, wat op zijn beurt kan resulteren in verschillende relaties van logische consequenties (Beall & Restall 2006, 29–31). Noem deze visie 'Case-based Logical Pluralism.'

Case-based pluralisten hoeven niet te stellen dat elke denkbare precisering van de GTT een relatie met een logisch gevolg definieert. Meestal denken ze dat alleen relaties met bepaalde eigenschappen - bijv. Noodzaak, normativiteit en formaliteit - toelaatbaar zijn (Beall & Restall 2006, 26–35). Vandaar dat de verlenging ervan wordt gegeven door een precisering van de GTT, is slechts een noodzakelijke voorwaarde om een echte relatie met logisch gevolg te zijn.

1.1 Het argument van verschijningen

Een argument voor case-based pluralisme is het argument van schijn (Beall & Restall 2006, 30–31). Volgens haar is pluralisme eenvoudigweg aannemelijk - het lijkt waar te zijn - en daarom zou het moeten worden geloofd bij gebrek aan redenen om het niet te geloven.

Dit lijkt misschien een verrassende aanpak, gezien het vermoeden van logisch monisme in de geschriften van de meeste logici van het verleden - vermoedelijk leek het pluralisme voor hen niet correct. Maar als men eenmaal de GTT expliciet heeft overwogen, de onderbepaling van 'case' accepteert en een paar manieren overweegt die nauwkeuriger kunnen worden gemaakt om verschillende logica's te krijgen, lijkt het duidelijk dat er verschillende alternatieve manieren zullen zijn om hem specifieker te maken, waarbij geen enkele door het huidige gebruik als correcter werd bestempeld dan de andere. Het moeilijkste aan logisch pluralisme, zou je denken, was om te zien hoe het überhaupt een coherente visie zou kunnen zijn, maar als het werk van het ontwikkelen en uiteenzetten van de case-based visie eenmaal is gedaan, kan de resulterende positie redelijk zijn. Misschien zou een onbevooroordeelde lezer de verleiding moeten voelen om het te onderschrijven?

Een probleem met dit argument is dat de plausibiliteit van een mening de neiging heeft te variëren met het vermogen van de toeschouwer om redelijke alternatieven te bedenken; Als zicht A de enige redelijke manier lijkt waarop iets kan zijn gebeurd, dan zouden we het misschien kunnen afhalen en het als onze beste werkhypothese accepteren. Maar als we verschillende manieren kunnen bedenken waarop dingen aannemelijk kunnen zijn, zouden we het oordeel rationeel kunnen onthouden in afwachting van meer bewijs.

Meer specifiek, hoewel het op gevallen gebaseerde pluralisme niet overduidelijk onaannemelijk is, berust het wel op een taalkundig beeld met twee onderscheidende kenmerken: ten eerste dat de betekenis van 'zaak' onzeker is, en ten tweede, gezien het feit dat het onzeker is, de ontdekking van meer dan één redelijke precisificatie zou ons pluralistisch moeten maken. Maar geen van deze functies is onvermijdelijk. Hedendaagse taalfilosofie beschrijft modellen waarin de juistheid van de toepassing van een gewone taaluitdrukking - zoals 'water', 'iep' of 'ster' de aanwezigheid of afwezigheid van een functie kan aanzetten die gewone sprekers niet nodig hebben te onderscheiden, zoals het hebben van een bepaalde constitutie of make-up. Waarom zou 'volgt uit' niet vergelijkbaar zijn? Dat wil zeggen, hoewel geen a priori analyse van 'volgt uit' (of 'geldig') de enige juiste precisificatie van de (GTT) aan het licht brengt,er zou echter een verslag kunnen bestaan - misschien gebruikmakend van geavanceerde wiskundige technieken - dat precies de uitbreiding van 'volgt uit' weergeeft. Rivaliserende accounts hebben dan dezelfde status als rivale accounts van sterren of water. Hoewel analyse van het woord 'ster' ons niet zal vertellen dat sterren geen gaten zijn in het weefsel van de nacht, of dat de goden met hun wagens over de hemel rijden, zijn die verslagen nog steeds onjuist. Evenzo, hoewel analyse van de uitdrukking 'volgt uit' ons misschien niet vertelt dat intuïtionistische verslagen onjuist zijn, kunnen ze desalniettemin fout zijn. In dergelijke omstandigheden zouden we kunnen stellen dat de betekenis van 'volgt uit' niet echt ondergespecificeerd is. Rivaliserende accounts hebben dan dezelfde status als rivale accounts van sterren of water. Hoewel analyse van het woord 'ster' ons niet zal vertellen dat sterren geen gaten zijn in het weefsel van de nacht, of dat de goden met hun wagens over de hemel rijden, zijn die verslagen nog steeds onjuist. Evenzo, hoewel analyse van de uitdrukking 'volgt uit' ons misschien niet vertelt dat intuïtionistische verslagen onjuist zijn, kunnen ze desalniettemin fout zijn. In dergelijke omstandigheden zouden we kunnen stellen dat de betekenis van 'volgt uit' niet echt ondergespecificeerd is. Rivaliserende accounts hebben dan dezelfde status als rivale accounts van sterren of water. Hoewel analyse van het woord 'ster' ons niet zal vertellen dat sterren geen gaten zijn in het weefsel van de nacht, of dat de goden met hun wagens over de hemel rijden, zijn die verslagen nog steeds onjuist. Evenzo, hoewel analyse van de uitdrukking 'volgt uit' ons misschien niet vertelt dat intuïtionistische verslagen onjuist zijn, kunnen ze desalniettemin fout zijn. In dergelijke omstandigheden zouden we kunnen stellen dat de betekenis van 'volgt uit' niet echt ondergespecificeerd is.hoewel analyse van de uitdrukking 'volgt uit' ons misschien niet zal vertellen dat intuïtionistische verslagen onjuist zijn, kunnen ze desalniettemin fout zijn. In dergelijke omstandigheden zouden we kunnen stellen dat de betekenis van 'volgt uit' niet echt ondergespecificeerd is.hoewel analyse van de uitdrukking 'volgt uit' ons misschien niet zal vertellen dat intuïtionistische verslagen onjuist zijn, kunnen ze desalniettemin fout zijn. In dergelijke omstandigheden zouden we kunnen stellen dat de betekenis van 'volgt uit' niet echt ondergespecificeerd is.

Ten tweede, zelfs al is de betekenis van de uitdrukking te weinig gespecificeerd, het hoeft niet zo te zijn dat eventuele precisificaties correct zijn, en daarom is pluralisme geen onvermijdelijk gevolg van de onderspecificiteit. Beschouw eens een ondergespecificeerd paradigma als 'hoop' en een denker die zichzelf presenteert als een pluralist over het bezit van de hoop. Ze zijn van mening dat men de betekenis van 'heap' verschillende manieren binnen bepaalde parameters kan specificeren, en tot tegenstrijdige maar even correcte definities van 'heap' kunnen komen. De klassieke heapisten zouden bijvoorbeeld kunnen beweren dat een hoop een stapel items is met meer dan 10 leden, afwijkende heapisten protesteren dat een hoop een stapel items is met meer dan 13 leden en de pluralistische hoop is van mening dat beide correct zijn. Maar er zijn hier veel alternatieven voor pluralisme. Bijvoorbeeld,je zou kunnen denken dat iedereen die het Engelse woord 'heap' interpreteert als een stapel n items vereist voor een specifieke n verkeerd is, omdat ze proberen meer specificiteit in de betekenis van het woord te importeren dan daar echt te vinden is. Of men is sceptisch over hopen, omdat het woord te vaag is - het geeft geen echte betekenis aan - of men zou kunnen stellen dat de uitdrukking contextgevoelig is: in sommige contexten kiest het de klassieke eigenschap, in sommigen zijn afwijkend, maar beweren dat men daarmee niet een pluralist wordt van hopen, meer dan te erkennen dat 'ik' verschillende mensen in verschillende contexten uitkiest, maakt men een pluralist over zichzelf.omdat ze proberen meer specificiteit in de betekenis van het woord te importeren dan daar echt te vinden is. Of men is sceptisch over hopen, omdat het woord te vaag is - het geeft geen echte betekenis aan - of men zou kunnen stellen dat de uitdrukking contextgevoelig is: in sommige contexten kiest het de klassieke eigenschap, in sommigen zijn afwijkend, maar beweren dat men daarmee niet een pluralist wordt van hopen, meer dan te erkennen dat 'ik' verschillende mensen in verschillende contexten uitkiest, maakt men een pluralist over zichzelf.omdat ze proberen meer specificiteit in de betekenis van het woord te importeren dan daar echt te vinden is. Of men is sceptisch over hopen, omdat het woord te vaag is - het geeft geen echte betekenis aan - of men zou kunnen stellen dat de uitdrukking contextgevoelig is: in sommige contexten kiest het de klassieke eigenschap, in sommigen zijn afwijkend, maar beweren dat men daarmee niet een pluralist wordt van hopen, meer dan te erkennen dat 'ik' verschillende mensen in verschillende contexten uitkiest, maakt men een pluralist over zichzelf.maar beweren dat men daarmee niet een pluralist wordt van hopen, meer dan te erkennen dat 'ik' verschillende mensen in verschillende contexten uitkiest, maakt men een pluralist over zichzelf.maar beweren dat men daarmee niet een pluralist wordt van hopen, meer dan te erkennen dat 'ik' verschillende mensen in verschillende contexten uitkiest, maakt men een pluralist over zichzelf.

De enkele mogelijkheid van deze alternatieven is op zichzelf niet in tegenspraak met die opvatting, maar ondermijnt het argument van schijn, aangezien de beschikbaarheid van deze alternatieven duidelijk maakt dat de intrigerende redelijkheid van pluralisme niet uniek is.

1.2 Het argument van deugd

Een ander argument voor logisch pluralisme roept de gecombineerde praktische en theoretische deugden op:

Een deugd is dat de veelheid van de gevolgrelatie weinig of geen kosten met zich meebrengt. Een andere reden is dat pluralisme een meer liefdadige interpretatie biedt van veel belangrijke (maar moeilijke) debatten in de filosofische logica dan anders mogelijk is; we zullen betogen dat pluralisme meer recht doet aan de mix van inzicht en verwarring die in veel van de debatten in de logica van de afgelopen eeuw is aangetroffen. (Beall & Restall 2006, 31)

Pluralisten hebben ook benadrukt dat hun visie innovatie in logica aanmoedigt (Carnap 1937, vooruit), en dat men meer wiskundige theorieën kan bestuderen, zoals theorieën die door de klassieke logica triviaal zouden worden gemaakt (Shapiro 2014, hoofdstuk 3).

Dergelijke claims kunnen vrij moeilijk te beoordelen zijn. Er moeten enkele belangrijke verschillen worden gemaakt tussen theoretische en praktische redenen om pluralisme te onderschrijven, en zelfs als dit eenmaal is gedaan, kan het moeilijk zijn om te beslissen of het standpunt al met al een deugd bezit - het kan afhangen van substantiële empirische claims waarvoor het bewijs moet nog worden verzameld - of het al dan niet een groter gewicht aan deugden bezit dan concurrerende theorieën (is logisch monisme geen eenvoudigere theorie, en eenvoud ook een theoretische deugd?) en tot slot of dat een goede reden is om te geloven het uitzicht.

Een deugd die voor logisch pluralisme wordt geclaimd, is bijvoorbeeld naastenliefde, maar niet alle gevallen van naastenliefde zijn theoretisch deugdzaam; Niemand zou mogen denken dat de deterministische fysica eerder correct is omdat het een meer liefdadige kijk op onrechtvaardigen of Einstein mogelijk maakt. Liefdadigheid kan misplaatst zijn. Maar een plaats waar liefdadigheid serieus wordt genomen als een theoretische deugd, is de beoordeling van theorieën over betekenis en vertaling, hoewel het zelfs hier misplaatst kan zijn, aangezien het geen deugd is als een theorie baby's interpreteert als het uiten van ware beweringen over kwantummechanica (Davidson 1984). Logisch pluralisme is op zichzelf geen stelling over vertaling of interpretatie, maar een over logica en hoeveel er zijn. Niettemin,de hierboven geschetste versie berust op enkele substantiële beweringen over de betekenis van 'geldig' en 'volgt uit' en men zou kunnen stellen dat het juist is om liefdadigheid in te roepen bij het oordelen over deze theorie en die van rivalen om die reden: we kiezen tussen theorieën die 'geldig' en 'volgt uit' anders interpreteren. Misschien lijkt een van deze interpretaties onze informanten (zowel gewone taalgebruikers als de experts die over logica hebben geschreven) verantwoordelijk te maken voor minder valse claims. Misschien lijkt een van deze interpretaties onze informanten (zowel gewone taalgebruikers als de experts die over logica hebben geschreven) verantwoordelijk te maken voor minder valse claims. Misschien lijkt een van deze interpretaties onze informanten (zowel gewone taalgebruikers als de experts die over logica hebben geschreven) verantwoordelijk te maken voor minder valse claims.

Maar een tegenstander zou kunnen reageren dat het interpreteren van gewone sprekers als het uiten van waarheden over logica er ongeveer hetzelfde uit kan zien als het toekennen van ware overtuigingen over kwantummechanica aan zuigelingen. Zoals de Wason-selectie-taakexperimenten hebben aangetoond in de psychologie, zullen zelfs geschoolde sprekers er niet in slagen te handelen alsof het argument van modus tollens onder bepaalde omstandigheden juist is (Wason 1966, 1968; Cosmides 1989). Hoewel de meeste charitatieve interpretatie van hun gedrag zou kunnen zijn dat ze niet doen door 'volgt uit' wat de onderzoekers mee bedoeld wordt, veruit de meest natuurlijke begrip van wat er hier aan de hand is dat de proefpersonen fouten maken. Om ze als iets anders te interpreteren, mist wat deze experimenten onthullen over menselijk redeneren en legt niet uit waarom de proefpersonen later oordelen dat hun eerdere antwoorden onjuist waren.

De logische pluralist kan het hiermee eens zijn, maar maakt onderscheid tussen liefdadigheid aan gewone sprekers en liefdadigheid aan deskundige logici. Het zijn, zo beweren ze, deskundige logici die we liefdadig moeten interpreteren, inclusief die experts die schijnbaar incompatibele systemen hebben voorgesteld. Relevante logici hebben geschreven 'disjunctief syllogisme is niet geldig'. Klassieke logici hebben geschreven 'disjunctief syllogisme is geldig'. Intuïtionistische logici zeggen dat 'dubbele negatie-eliminatie niet geldig is'. Klassieke logici hebben gereageerd 'dubbele eliminatie is zo geldig'. Als logisch monisme correct is, hebben ten minste twee of meer van deze partijen onwaarheden geschreven. Logisch pluralisme stelt ons in staat te zeggen dat meer dan één, misschien wel veel meer dan één, waarheden hebben geschreven.

Maar logisch pluralisme is ook niet liefdadig op een manier die logisch monisme niet is, aangezien het stelt dat de monistische deelnemers aan debatten over welke logica correct is, argumenteren op basis van verwarring. Het resultaat met betrekking tot het argument van naastenliefde en meer in het algemeen van deugd is dat er nog veel moet gebeuren voordat duidelijk zal worden welke deugden wenselijk zijn en in hoeverre het logisch pluralisme ze in grotere mate bezit dan zijn rivalen.

1.3 Het algemene bezwaar

1.3.1 De interpretatie van 'elke' in de GTT

Een bezwaar tegen logisch pluralisme op basis van een zaak is om toe te staan dat die 'zaak' te weinig gespecificeerd is en verschillende interpretaties toelaat, maar verwerpt de verdere stap dat die interpretaties overeenkomen met verschillende relaties van logische consequenties. Dit kunnen we doen door in de context van de GTT aan te dringen op een zo groot mogelijk domein voor de kwantor 'elke'. Er is een traditie in de logica die stelt dat een argument alleen geldig is als de redenering logisch geldig is in (onbeperkt) alle gevallen waarin de premissen waar zijn. Dus wanneer 'elk' wordt gebruikt bij het definiëren van logische consequenties, zouden we kunnen betogen, moet het op de breedst mogelijke manier worden begrepen: als er overal gevallen zijn, van welke aard dan ook - waarin de premissen waar zijn en de conclusie is false, het argument is ongeldig en zo niet, dan is het argument geldig. De Enige Ware Logica zal dus degene zijn die de relatie beschrijft van het behoud van de waarheid in alle gevallen waarin 'alles' zo ruim mogelijk wordt opgevat (Beall & Restall 2006, 92; Priest 2006, 202).

Stel, we nemen de breedste interpretatie van 'elke'. Een vraag is of we überhaupt nog een bruikbare relatie met logisch gevolg zullen hebben. Logica die wordt verkregen door extra gevallen te kwantificeren, heeft de neiging zwakker te zijn - dat wil zeggen, minder argumenten als geldig te classificeren - aangezien hoe meer gevallen we opnemen, hoe groter onze kans om er een op te nemen waarin de premissen van een bepaald argument zijn waar en de conclusie onwaar. Dialetheïsten zouden gevallen omvatten waarin zowel een zin als de ontkenning ervan waar zijn, en dit betekent dat we gevallen kunnen hebben waarin P en ¬ P waar zijn, maar Q is onwaar, waardoor P ∨ Q en ¬ P waar zijn, ook al is Q niet, en dus een tegenvoorbeeld geven van het argument van disjunctief syllogisme. Als dit acceptabel is, zou je kunnen denken, waarom zou je geen gevallen toestaan waarin A ∧ B waar is, maar B niet? Of erger. Als we 'elk geval' ruim genoeg interpreteren, zullen we misschien ontdekken dat er geen geldige argumenten over zijn, en daarom zal het resultaat geen logisch monisme zijn, maar een vorm van logisch nihilisme, of iets dat daarmee in de buurt komt:

… we zien geen plaats om het proces van veralgemening en verbreding van zaken te stoppen. Voor zover we weten, is de enige gevolgtrekking die overblijft op het snijpunt van (onbeperkt) alle logica's de gevolgtrekking: van A naar afleiden A. Die identiteit is het enige echt geldige argument dat onwaarschijnlijk is en, naar onze mening, een ongemotiveerde conclusie. (Beall & Restall 2006, 92) ^[3]

Priester is het daar niet mee eens en suggereert dat wat de glijbaan van deze glibberige helling naar beneden zal stoppen, het feit is dat bepaalde belangrijke gevolgen van relaties gelden op grond van de betekenissen van de connectieven:

Ik denk dat het gewoon onjuist is dat alle principes van gevolgtrekking in een bepaalde situatie falen. Bijvoorbeeld, elke situatie waarin een conjunctie geldt, de conjuncten gelden simpelweg vanwege de betekenis van ∧. (Priester 2006, 202–203)

Maar het komt relatief vaak voor dat logici beweren dat de logische principes die ze onderschrijven geldig zijn vanwege de betekenis van de betrokken connectieven. De intuïtionistische logicus ontkent dat A ∨¬A waar is vanwege de betekenissen van ∨ en ¬ hoewel andere logici zullen zeggen dat dit zo is, en het is moeilijk om dergelijke geschillen onafhankelijk van een meer substantiële theorie van de betekenissen van de connectieven te beoordelen. Dit is nog een ander gebied waar het geschil over logisch pluralisme uitmondt in een ouder geschil in de filosofie van de logica, en dat is schijnbaar een vraag over betekenis. De twee belangrijkste vragen die overblijven voor het welslagen van dit monistische bezwaar zijn i) die, indien aanwezig, argumentvormen gegarandeerd de waarheid (misschien op grond van betekenis) in elk geval bewaart, en ii) als er dergelijke argumentvormen zijn,zijn er genoeg om een niet-driewaardige logica te vormen?

1.3.2 Een reactie van Polysemy

Er is meer dan één plausibel model voor de onderspecificiteit van 'case' in de GTT. De versie van pluralisme die we hebben overwogen, staat toe dat verschillende soorten dingen als 'gevallen' worden beschouwd. Soms kan een casus een wiskundige structuur zijn, soms een mogelijke wereld (misschien onvolledig of inconsistent) of de feitelijke wereld of delen ervan. ^[4] Gezien dit, zou de onderspecificatie van 'case' in de GTT minder kunnen lijken op de onbepaaldheid die het gevolg is van variatie in het domein van kwantificering, en meer op de variatie die het gevolg is van polysemie. Overwegen:

(1)

Elke bank heeft cijfers nodig.

Deze zin heeft twee lezingen omdat het woord 'bank' - zelfs als we het over geld hebben - meer dan één betekenis heeft. Het kan een financiële instelling (zoals HSBC) betekenen, of het gebouw waar een dergelijke instelling haar diensten aanbiedt (zoals de bank op vijf minuten van de campus.) Soms kan extra context een van de metingen uitsluiten, bijvoorbeeld:

(2)

Elke bank heeft in al haar vestigingen cijfers nodig.

waarin duidelijk is dat bank-als-financiële instelling bedoeld is, en

(3)

Elke bank heeft personeel nodig en voldoende parkeergelegenheid voor klanten.

waarin duidelijk is dat bank-as-building bedoeld is.

Toen we aannamen dat de onderspecificiteit in de GTT het gevolg was van onderspecificiteit over het domein van kwantificering voor 'elke', was er een natuurlijke verleiding om te denken dat we het strengste, meest zorgvuldige en juiste antwoord zouden krijgen door met een volledig onbeperkt domein om te gaan. Wat in het geval van polysemie echter kan variëren, is niet (alleen) de grootte van het kwantificatiedomein, maar ook over wat voor soort object het is waarover we claims maken. Het resultaat is dat we kunnen toestaan dat het domein van kwantificatie zo groot is als we willen, en geen enkel object van de verkeerde soort kan als tegenvoorbeeld voor de algemene claim gelden, juist omdat het van de verkeerde soort is. Ter illustratie met 'bank': als we bank-als-financiële instelling bedoelen, dan kan geen bank-als-gebouw een tegenvoorbeeld zijn voor (1),het maakt niet uit hoe onbeperkt het domein van kwantificering is, aangezien de zin over zulke dingen geen bewering doet. En omgekeerd, als we bank-as-building bedoelen, kan geen enkele internetbank-als-financiële instelling een tegenvoorbeeld zijn voor zin (3).

Stel dat die 'case' in de GTT polysemous is. Misschien betekent 'case' soms een mogelijke wereld, maar het kan ook worden gebruikt om een eerste-orde model te betekenen. Als de klassieke logicus het eerste-orde-model bedoelt met 'zaak', dan is het niet legitiem om te klagen dat hij geen rekening heeft gehouden met onvolledige mogelijke werelden en dus niet elke zaak heeft overwogen. Over het geval-als-FO-model ondubbelzinnig maken van 'geval' heeft de klassieke logicus elk geval overwogen, aangezien onvolledige mogelijke werelden in die zin geen gevallen zijn.

1.3.3 Het kiezen van een best case?

Laten we blijven aannemen dat 'case' polysemous is. Net zoals er ruimte was voor iemand om te beweren dat slechts één enkele interpretatie van 'elke' geschikt was in de GTT, zo zou een monist hier kunnen beweren dat er maar één passende ondubbelzinnigheid is van 'zaak' in de GTT, en dus dat er een slechts één relatie met een logisch gevolg.

We kunnen die gedachte als volgt ontwikkelen. Het is de taak van de logicus om de consequentierelatie op zinnen in natuurlijke taal vast te leggen, maar het vereenvoudigt gewoonlijk de dingen om alleen aandacht te besteden aan bepaalde uitdrukkingen in die zinnen, zoals bijvoorbeeld voegwoord, ontkenning en disjunctie, of die uitdrukkingen plus de universele kwantor en identiteit. Welke set symbolen we ook selecteren als onze zogenaamde logische constanten, de betekenis van alle andere uitdrukkingen in de zinnen - de niet-logische uitdrukkingen - worden bepaald door de interpretaties (of, zoals we ze in de GTT noemen, 'gevallen')), en aangezien we al dergelijke interpretaties kwantificeren, negeren we in feite gewoon de betekenissen van alle niet-logische uitdrukkingen.

Overweeg nu wat we zouden kunnen zeggen over dit argument:

a is rood

a is gekleurd.

Normaal gesproken vertalen we dit als volgt in de taal van de eerste-orde predikatenlogica:

Ra

Ca

Dat formele argument is niet geldig, maar men zou toch willen zeggen dat het oorspronkelijke, natuurlijke taalargument dat wel is. Logica van de eerste orde die woorden als 'rood' en 'gekleurd' niet als logische constanten behandelt, zou men kunnen denken, schiet tekort in het vastleggen van logische gevolgen.

Priester overweegt deze opvatting, en hoewel hij erkent dat dit niet de enige opvatting is die hij zou kunnen hebben, is hij van mening dat het de juiste is.

De standaardbeweging [om deze gedachtegang te weerstaan] is te beweren dat de gevolgtrekking in feite ongeldig is, maar dat deze geldig lijkt omdat we deze verwarren met een geldig enthymeem met onderdrukte premisse 'Alle rode dingen zijn gekleurd' genomen als vanzelfsprekend. (Priester 2006, 201)

Maar stel dat we, zoals Priest, wel stellen dat het argument geldig is. In het algemeen denken we misschien dat als je alleen geïnteresseerd bent in de waarheid over logische consequenties, het nooit legitiem is om de betekenis van een uitdrukking in een argument te negeren. Als eenvoud en conservativiteit niet van belang zijn, dan zou je geen beroep moeten doen op interpretaties in Tarski-stijl bij het definiëren van geldigheid, aangezien het hele doel van dergelijke interpretaties is om de betekenis van bepaalde uitdrukkingen te laten variëren. Beter dan elke 'interpretatie' zou een compleet mogelijke wereld zijn (misschien kunnen we discussiëren over welke dingen in 'alle mogelijke werelden' zijn opgenomen, maar er kan ook een juist antwoord op die vraag zijn.) Vandaar veel van de mogelijke ondubbelzinnigheden van ' case 'geef ons verschillende valse theorieën over geldigheid. Deze kunnen nuttig zijn omdat ze eenvoudig zijn en het werkelijke verslag benaderen, maar aangezien de logica die ze vastleggen niet correct is, is dit een visie die door geen enkel pluralisme wordt bedreigd.

1.4 De normativiteit Bezwaar

Een ander bezwaar tegen logisch pluralisme vertrekt van de vooronderstelling dat logica normatief is, waar dit betekent dat logica gevolgen heeft voor hoe we moeten redeneren, dat wil zeggen voor wat we zouden moeten geloven, en voor hoe we onze overtuigingen moeten actualiseren wanneer we nieuwe leren dingen. Veel schrijvers hebben gedacht dat logica normatief is, soms omdat ze dachten dat logica gewoon de wetenschap van goed redeneren is:

In Logica willen we niet weten hoe het begrip is en denkt, en hoe het tot nu toe is voortgegaan in het denken, maar hoe het verder moet gaan in het denken. (Kant 1800, p.4)

logica is een normatief onderwerp: het zou een verklaring moeten geven voor een correcte redenering. (Priest 1979, p.297)

Maar soms hebben filosofen het standpunt ingenomen dat, of logica nu wel of niet over redeneren gaat, hun beweringen over logische consequenties normatieve gevolgen hebben voor redeneren:

Regels voor het beweren, denken, beoordelen, afleiden volgen uit de wetten van de waarheid. En zo kan men ook heel goed over gedachtewetten spreken. (Frege 1918, pp. 289–90) ^[5]

… Logisch gevolg is normatief. In belangrijke zin, als een argument geldig is, dan ga je op de een of andere manier fout als je de premissen accepteert maar de conclusie verwerpt. (Beall & Restall 2006, p.16)

Er is een duidelijke spanning tussen deze vermeende normativiteit van logica en de stelling van logisch pluralisme. Stel bijvoorbeeld dat als een argumentvorm geldig is, er een normatieve conclusie volgt over wat we zouden moeten geloven. (Misschien is het dat we de conclusie van een instantie van de argumentvorm zouden moeten geloven als we de premissen geloven, hoewel veel werk aan de normativiteit van de logica suggereert dat het iets wezenlijk ingewikkelder zou moeten zijn.) Stel nu dat logisch pluralisme is juist. Met name logica 1, die zegt dat disjunctief syllogisme geldig is, en logica 2, die zegt dat disjunctief syllogisme niet geldig is, zijn beide correct. Moeten we geloven wat logica 1 ons zegt te geloven? Het is moeilijk in te zien hoe we aan deze verplichting kunnen ontsnappen, aangezien logica 1 ons vertelt dat de premissen de conclusie inhouden,en logica 1 is correct. Maar als het normatieve gevolg voor geloof wel volgt, dan valt logica 2 misschien in een bepaald opzicht naar beneden - het slaagt er niet in om alle verplichtingen die voortvloeien uit onze logica vast te leggen. Zoals S. Read het zegt:

[S] veronderstel dat er echt twee even goede rekeningen zijn van deductieve validiteit, K ₁ en K ₂, dat β volgt uit α volgens K ₁ maar niet K ₂, en we weten dat α waar is…. Hieruit volgt K ₁ -ly dat β waar is, maar niet K ₂ -ly. Moeten we, of moeten we niet concluderen dat β waar is? Het antwoord lijkt duidelijk: K ₁ overtreft K ₂. … K ₁ beantwoordt een cruciale vraag die K ₂ niet beantwoordt. [Deze] vraag is de centrale vraag van de logica. (Lees 2006, 194–195)

Versies van dit bezwaar zijn te vinden in Priest 2006, Read 2006, Keefe 2014 (p. 1385) en Steinberger 2018, en er zijn reacties in Caret 2016, Russell 2017 en Blake-Turner & Russell die verschijnen.

1.5 Het bezwaar van betekenisverandering

Een laatste vraag voor pluralisten is of ze het juist hebben om rivaliserende logici te laten argumenteren over dezelfde logische principes. De klassieke logicus accepteert een logische waarheid die ze "A ∨¬A" schrijven en de Strong Kleene verwerpt als een logische waarheid een principe dat ze op dezelfde manier schrijven. Maar hieruit volgt alleen dat ze verschillende logica accepteren als de symbolen in beide gevallen hetzelfde principe uitdrukken, en in het bijzonder als "∨" en "¬" in beide hetzelfde betekenen.

In het debat waren monisten vaak bereid om deze aanname aan de pluralisten toe te kennen, omdat ze ervan uitgegaan zijn dat hun voorkeurlogica juist is en de rivaallogica verkeerd, niet dat zij en hun rivalen langs elkaar spraken. Toch werd de suggestie gedaan door Quine (1986, 81) dat in een geschil tussen rivaliserende logici "geen van beide partijen weet waar hij het over heeft", aangezien ze ophouden te spreken over negatie zodra de belangrijkste logische eigenschappen ernstig in twijfel worden getrokken (in Quine's voorbeeld betogen de logici of zinnen met de vorm A∧¬A waar kunnen zijn.)

De pluralist heeft dus een manier nodig om de mogelijkheid uit te sluiten dat elk van hun favoriete logica correct is, maar dat het pluralisme zelf nog steeds onjuist is, omdat die logica het niet oneens is. Misschien zou elke logica zelfs een onderdeel kunnen zijn van een enkele, grotere logica die bijv. Intuïtionistische negatie en paraconsistente negatie bevat, evenals klassieke negatie en sterke Kleene-negatie enz. Plaatsen waar pluralisten deze vraag hebben opgenomen, zijn Beall en Restall 2001 (§3) en Hjortland 2013.

2. Logisch pluralisme via linguïstisch pluralisme

Het hedendaagse debat over case-based logisch pluralisme heeft geleid tot een heropleving van interesse in een oudere vorm van pluralisme die wordt bepleit door de beroemde logisch-positivist Rudolf Carnap (1937, §17 en 1958; zie ook Restall 2002; Cook 2010; Field 2009; Kouri Kissel in aantocht; Varzi 2002; Eklund 2012).

2.1 Het principe van tolerantie

In sectie 17 van The Logical Syntax of Language schrijft Carnap:

In de logica is er geen moraal. Het staat iedereen vrij om zijn eigen logica, dat wil zeggen zijn eigen taal, op te bouwen zoals hij dat wenst. Het enige dat van hem wordt verlangd, is dat hij, als hij erover wil praten, zijn methoden duidelijk moet vermelden en syntactische regels moet geven in plaats van filosofische argumenten. (Carnap 1937, §17)

In deze passage worden twee soorten tolerantie uitgedrukt. Het meest bekende is de tolerantie van Carnap voor verschillende talen, en het wordt gemotiveerd door de gedachte dat verbale geschillen niet echt theoretische geschillen zijn over het domein dat we beschrijven, maar op zijn best praktische over de meest bruikbare en efficiënte manieren om woorden te gebruiken, gegeven onze doelen, en door de gedachte dat dergelijke praktische zaken het beste worden overgelaten aan degenen die in het relevante veld werken. Zoals Carnap later schreef:

Laten we degenen die op een speciaal onderzoeksgebied werken de vrijheid geven om elke vorm van expressie te gebruiken die hen nuttig lijkt. Het werk in het veld zal vroeg of laat leiden tot de eliminatie van die vormen die geen nuttige functie hebben. Laten we voorzichtig zijn bij het maken van beweringen en kritisch zijn bij het onderzoeken ervan, maar tolerant in het toestaan van taalvormen. (Carnap 1958, 221)

Het tweede soort tolerantie is een tolerantie voor verschillende logica's, iets dat van nature wordt opgevat als een soort logisch pluralisme. De zinsnede "iedereen heeft de vrijheid om zijn eigen logica op te bouwen" suggereert dat niemand een fout zou maken door dit te doen, en het blijkt duidelijk uit de zinsnede "ie zijn eigen taal" die volgt onmiddellijk daarna neemt Carnap de twee soorten van tolerantie heel dichtbij, misschien zelfs dat hij denkt dat taalkundige tolerantie en logische tolerantie hetzelfde zijn.

Het is voor een moderne lezer misschien niet duidelijk waarom dat zo is. Waarom zouden we niet tolerant zijn ten aanzien van alternatieve talen, wat alleen verstandig lijkt, zonder ons daarbij te verplichten tolerant te zijn tegenover alternatieve logica? Bovendien lijken logici die het niet eens zijn over welke sententiële logica correct is (bijv. Klassiek of intuïtionistisch) in staat om dezelfde taal te gebruiken (met ∧, →, ¬, enz.), Zelfs terwijl ze veronderstellen dat één logica geschikt is voor die taal, en één logica verkeerd. Als die positie coherent is, moet één partij toch een fout hebben gemaakt, wat impliceert dat ze niet echt 'vrij waren om hun eigen logica op te bouwen'.

Die opvatting lijkt op zijn minst een open mogelijkheid, hoewel het moeilijk kan zijn vast te stellen of twee rivaliserende logici echt verschillende logica voor dezelfde taal bepleiten. Het is niet voldoende dat ze dezelfde symbolen gebruiken, omdat ze elk de symbolen met verschillende betekenissen kunnen gebruiken, in welk geval ze verschillende talen zullen gebruiken. Maar wat is er nog meer nodig naast het gebruik van dezelfde uitdrukkingen?

Dit is een vraag waarop veel concurrerende antwoorden zijn, zelfs voor de meest elementaire logische constanten. Misschien moeten de uitdrukkingen dezelfde waarheidsfunctie aanduiden, of dezelfde intentie hebben, of een presentatiemodus delen, of een karakter, of een conceptuele rol. Maar The Logical Syntax of Language werd (in het Duits) gepubliceerd in 1934, vóór de innovaties van Grice, Gentzen, Montague, Kaplan, Lewis, Putnam of Kripke (en bovendien vóór Tarski's "On the Concept of Logical Consequence" (Schurz, 1998; Tarski 1983)) en in een omgeving waarin Wittgenstein's Tractatus Logico-Philosophicus een sterke invloed had. Carnap heeft vrij duidelijke en expliciete ideeën over zowel betekenis als logica, en deze helpen verklaren waarom hij denkt dat taalkundige tolerantie rechtstreeks leidt tot logische tolerantie. In het voorwoord schrijft hij:

Tot nu toe was de procedure bij het construeren van een taal gewoonlijk om eerst een betekenis toe te kennen aan de fundamentele wiskundig-logische symbolen, en vervolgens na te gaan welke zinnen en gevolgtrekkingen logisch correct worden geacht in overeenstemming met deze betekenis. Aangezien de toewijzing van de betekenis in woorden wordt uitgedrukt en bijgevolg onnauwkeurig is, kan geen enkele conclusie die op deze manier wordt bereikt, heel goed anders zijn dan onnauwkeurig en dubbelzinnig. De verbinding zal pas duidelijk worden wanneer ze vanuit de tegenovergestelde richting worden benaderd: laat eventuele postulaten en eventuele inferentieregels willekeurig worden gekozen; dan zal deze keuze, wat die ook mag zijn, bepalen welke betekenis aan de fundamentele logische symbolen moet worden toegekend. (Carnap 1937, xv).

Volgens Carnap is de juiste manier om een taal te specificeren, dan een aantal uitdrukkingen te kiezen en vervolgens de regels voor gevolgtrekking voor hen te geven. Het is deze specificatie die de uitdrukkingen hun betekenis geeft, en dus is er ten eerste geen sprake van dat ze de verkeerde regels zijn voor de uitdrukkingen - iedereen heeft de vrijheid om zijn eigen logica op te bouwen, om te kiezen welke regels hij maar wil - en ten tweede, tolerant zijn ten aanzien van taalkeuze is al tolerant zijn ten aanzien van de keuze van logica - voor zo opgevatte talen zijn er verschillende logica 's ingebouwd'.

Een van Carnap's redenen om logisch pluralisme te accepteren, is dat hij het zag als ruimte voor innovatie in de logica. In het voorwoord van The Logical Syntax of Language schrijft hij:

Tot op heden is er slechts een zeer kleine afwijking, op enkele punten hier en daar, van de taal die Russell heeft ontwikkeld en die al klassiek is geworden. Zo zijn bepaalde sentimentele vormen (zoals onbeperkte existentiële zinnen) en inferentieregels (zoals de wet van uitgesloten midden) door bepaalde auteurs geëlimineerd. Aan de andere kant is er geprobeerd een aantal uitbreidingen uit te voeren, en verschillende interessante, veelwaardige calculi analoog aan de tweewaardige calculus van zinnen zijn ontwikkeld en hebben uiteindelijk tot een waarschijnlijkheidslogica geleid. Evenzo zijn er zogenaamde intensieve zinnen ingevoerd en met hun hulp is een modaliteitslogica ontwikkeld. Het feit dat geen poging is ondernomen om nog verder af te wijken van de klassieke vormen, is misschien te wijten aan de algemeen aanvaarde mening dat dergelijke afwijkingen gerechtvaardigd moeten zijn, dat wil zeggen dat de nieuwe taalvorm moet worden bewezen 'correct' te zijn en vormen een getrouwe weergave van 'de ware logica'.

Het is een van de hoofdtaken van dit boek om dit standpunt, samen met de pseudoproblemen en vervelende controverses die daardoor ontstaan, te elimineren. (Carnap 1937)

Deze passage belicht verschillende kenmerken van het logische pluralisme van Carnap en meer in het algemeen de logica van de logica. Het lijkt duidelijk dat hij bedoelde dat zijn logisch pluralisme zowel 'horizontaal' zou zijn - dat wil zeggen, om verschillende logica op hetzelfde niveau mogelijk te maken, zoals klassieke en intuïtionistische sentimentele logica - en 'verticaal', waardoor logica voor nieuwe soorten mogelijk werd van expressie, zoals intensionele logica en logica van de tweede orde (de terminologie komt uit Eklund 2012). Bovendien drukt de passage een "logica-eerste" benadering uit en verwerpt een "filosofie-eerste" benadering, wat suggereert dat in plaats van te proberen te achterhalen wat de beste logica is a priori van eerste principes (de 'filosofie-eerste' benadering), we moeten logici de talen laten ontwikkelen zoals ze willen, en dan onze oordelen maken op basis van hoe de zaken aflopen.

Het meest voor de hand liggende contrast is hier met WVO Quine, die tweede-orde logica bekritiseerde als "verzamelingenleer in schaapskleren" en gespannen en modale logica op filosofische gronden verwierp (Quine 1986 (Hoofdstuk 5), 1953, 1966; Burgess 1997, 2012). Een dergelijke stand-off is behoorlijk intrigerend, aangezien Quine meer in het algemeen dergelijke "filosofie-eerste" benaderingen in de epistemologie afwijst.

2.2 Problemen voor het pluralisme van Carnap

Een aantal hedendaagse schrijvers onderschrijft Carnap's benadering van pluralisme graag en Restall stelt dat het minder radicaal is dan de case-based versie van hem en JC Beall (Varzi 2002, 199; Restall 2002). Desalniettemin zijn er verschillende kwesties die iemand die de positie van Carnap vandaag wilde verdedigen, zou moeten aanpakken. Een eerste zorg over de opvatting is dat terwijl we werken binnen de verschillende talen die we uitvinden, we de 'juiste' regels zouden kunnen missen - de regels die er waren voordat we iets uitvonden. In de woorden van Paul Boghossian,

Moeten we echt veronderstellen dat, voordat we een betekenis hebben bepaald voor de zin 'Sneeuw is wit of niet'. was het niet zo dat sneeuw wit was of niet? Is het niet overweldigend duidelijk dat deze bewering waar was vóór een dergelijke daad van betekenis, en dat het waar zou zijn geweest zelfs als niemand erover had nagedacht of ervoor had gekozen om het uit te drukken in een van onze zinnen? (Boghossian 1996)

Carnap zou dit bezwaar misschien niet serieus hebben genomen, aangezien hij, net als de Wittgenstein van de Tractatus (bijv. §4.26, 4.641–4.465), niet gelooft dat logische waarheden en regels 'daarbuiten' zijn, wachtend om ontdekt te worden:

De zogenaamde 'echte' zinnen vormen de kern van de wetenschap; de wiskundig-logische zinnen zijn analytisch, hebben geen echte inhoud en zijn slechts formele hulpmiddelen. (Carnap 1937, xiv)

Desalniettemin wordt zo'n 'conventionele' kijk op logische waarheid (en daarmee analytische waarheid) tegengesproken door bijvoorbeeld Quine, Sober, Yablo en Boghossian, en geniet het niet langer de populariteit die het had in de tijd van Carnap (Quine 1936; Yablo 1992; Boghossian 1996; Sober 2000). Het benadrukt ook de mate waarin het vreemd is om Carnap een logische pluralist te noemen, omdat hij in zekere zin niet van mening is dat er meer dan één correcte logica is, maar dat er niets is dat logica correct maakt (Cook 2010, 498). Misschien zou het meer verhelderend zijn om Carnap een logische constructivist te noemen.

Een andere kwestie is of Carnap's betekenisopvatting correct is. Tegenwoordig zijn er veel alternatieve benaderingen van betekenis en een levendig debat daarover. Field schrijft:

Bij sommige lezingen van "verschillen in betekenis" genereert elk groot verschil in theorie een verschil in betekenis. Bij dergelijke lezingen verschillen de connectieven inderdaad in betekenis tussen voorstanders van de verschillende universele logica's, net zoals 'elektron' in betekenis verschilt tussen de theorie van Thomson en die van Rutherford; maar de theorie van Rutherford is het niet eens met die van Thomson, ondanks dit verschil in betekenis, en het is onduidelijk waarom we niet hetzelfde zouden moeten zeggen over alternatieve logica voor alle doeleinden. (Veld 2009)

Field concludeert dat "het begrip betekenisverschil niet helpt in de context" en dat Carnap's visie op de betekenis van de logische contexten daarom moeilijk te verdedigen is.

Maar voorstanders van bepaalde alternatieve opvattingen over de betekenissen van de logische constanten zouden in plaats daarvan kunnen stellen dat ze een betekenisvol verschil in betekenis in deze contexten kunnen begrijpen, en dat Carnap simpelweg de verkeerde betekenistheorie heeft onderschreven en als gevolg daarvan de verkeerde conclusies heeft getrokken voor logica. Een specifiek probleem waar ze op zouden kunnen wijzen, is geassocieerd met Prior's paper uit 1960 "The Runabout Inference Ticket", waarin hij regels geeft voor een nieuwe connectieve tonk, die snel tot trivialiteit leidt, wat suggereert dat hij niet helemaal "vrij was om te bouwen" zijn eigen logica”door regels voor zijn uitdrukkingen in te voeren. Een ander probleem is het feit dat men verschillende logica kan genereren, niet door de regels voor een bepaalde uitdrukking te variëren, maar eerder door de meer algemene structurele regels van de logica te variëren,die zaken regelen zoals het al dan niet toestaan van meerdere conclusies, en of een premisse al dan niet meer dan eens in een proef kan worden gebruikt (Restall 2000; Paoli 2003). Dit suggereert dat zelfs als de betekenissen van de logische uitdrukkingen worden beheerst door de regels die u vertellen hoe ze in bewijzen kunnen worden gebruikt (zoals Carnap suggereert), twee logica's het eens kunnen worden over die regels, terwijl ze het niet eens zijn over de relatie van logisch gevolg. Dus zelfs als je met succes een taal hebt gekozen, lijkt het erop dat je misschien nog geen logica hebt bepaald. Dit suggereert dat zelfs als de betekenissen van de logische uitdrukkingen worden beheerst door de regels die u vertellen hoe ze in bewijzen kunnen worden gebruikt (zoals Carnap suggereert), twee logica's het eens kunnen worden over die regels, terwijl ze het niet eens zijn over de relatie van logisch gevolg. Dus zelfs als je met succes een taal hebt gekozen, lijkt het erop dat je misschien nog geen logica hebt bepaald. Dit suggereert dat zelfs als de betekenissen van de logische uitdrukkingen worden beheerst door de regels die u vertellen hoe ze in bewijzen kunnen worden gebruikt (zoals Carnap suggereert), twee logica's het eens kunnen worden over die regels, terwijl ze het niet eens zijn over de relatie van logisch gevolg. Dus zelfs als je met succes een taal hebt gekozen, lijkt het erop dat je misschien nog geen logica hebt bepaald.

3. Andere soorten logisch pluralisme

Er zijn verschillende andere varianten van logisch pluralisme voorgesteld sinds het vroege werk van Beall en Restall, en vijf worden in dit gedeelte beschreven. Een nuttige manier om deze verschillende opvattingen te classificeren - inclusief Beall en Restall's op case gebaseerde pluralisme - is dat elk logisch gevolg heeft ten opzichte van een ander kenmerk, bijvoorbeeld precisificaties van 'case' (voor Beall en Restall), sets van logische constanten (voor Varzi), soorten waarheidsdrager (voor Russell), doelen (voor Cook's minder radicale benadering) en epistemische normen (voor Field's). ^[6]

Af en toe wordt er tegengeworpen dat een of meer van deze opvattingen geen 'echt' logisch pluralisme vormen, omdat het alleen de gevolgen relativeert naar een nieuwe parameter, en (het bezwaar gaat verder) dat dit de visie een vorm van relativisme zou maken, in plaats van een vorm van pluralisme. ^[7]Maar het is de moeite waard eraan te denken dat niet slechts enkele, maar de meeste van de standpunten die standaard worden besproken onder het kopje logisch pluralisme - inclusief de meest centrale case-based versies - kunnen worden begrepen als een relativerend logisch gevolg voor iets onderscheidends. Ze worden hoe dan ook standaard beschreven als logische pluralismen, vermoedelijk omdat het opvattingen zijn waarvan redelijkerwijs kan worden beweerd dat meer dan één logica correct is. De literatuur is dus gemakkelijker te volgen als men niet aanneemt dat de woorden "pluralisme" en "relativisme" een belangrijk of algemeen overeengekomen onderscheid markeren (Shapiro 2014, p. 1).

3.1 Pluralisme met betrekking tot de set van logische constanten

Achille Varzi wijst erop dat een manier om concurrerende relaties met een logisch gevolg te genereren, is om de reeks uitdrukkingen die we behandelen als logische constanten te variëren. Als we = nemen als een logische constante, dan is het volgende argument geldig

Fa

a = b

Fb

Maar als de set van logische constanten geen = bevat, dan zal dat niet het geval zijn, aangezien onze modellen nu degenen zullen bevatten die niet-reflexieve relaties toewijzen aan =, en deze kunnen tegenvoorbeelden genereren.

Moet = worden behandeld als een logische constante? Tarski zelf onderschreef de opvatting dat elke uitdrukking in de taal logisch zou kunnen zijn:

De opsplitsing van alle termen van de besproken taal in logisch en extra-logisch … is zeker niet helemaal willekeurig. Als we bijvoorbeeld onder de extra-logische tekens het implicatieteken of de universele kwantor zouden opnemen, dan zou onze definitie van het begrip consequentie leiden tot resultaten die duidelijk in tegenspraak zijn met normaal gebruik. Aan de andere kant zijn mij geen objectieve gronden bekend die ons in staat stellen een scherpe grens te trekken tussen de twee groepen termen. Het lijkt mij mogelijk om onder de logische termen een aantal op te nemen die doorgaans door logici als extra-logisch worden beschouwd zonder dat dit gevolgen ondervindt die in schril contrast staan met het gewone gebruik. … In het extreme geval zouden we alle termen van de taal als logisch kunnen beschouwen. (Tarski 1983, 418–419)

Varzi is geneigd het liberalisme van Tarski te onderschrijven met betrekking tot de keuze van logische constanten:

De relevante bewering is dat alle (of enige) termen van de taal in principe 'als logisch' kunnen worden beschouwd - en daar ben ik het mee eens. (Varzi 2002, 200)

Het resultaat is dat er volgens hem meer dan één correcte relatie van logische consequentie is, aangezien die relatie relatief is aan de keuze van logische constanten, en er is meer dan één even correcte set hiervan, wat resulteert in verschillende, even correcte logica.

De Tarksi / Varzi-visie is controversieel. Varzi verdedigt het in zijn paper van 2002 en er is een nuttige discussie in MacFarlane 2009.

3.2 Pluralisme over de objecten van logische consequentie

Een andere variëteit aan logisch pluralisme resulteert als we bedenken dat er verschillende correcte logica's kunnen zijn voor verschillende soorten waarheidsdragers, zoals wordt betoogd in (Russell 2008). Stel dat het logische gevolg inderdaad een zaak is van behoud van waarheid in zaken. Vervolgens konden we coherent praten over waarheidsbehoud relaties over (sets van) zinnen, over (sets van) proposities of over (sets van) karakters (zoals in Kaplan 1989) en uiteindelijk over welke waarheidsdrager dan ook. Dit zou niet erg spannend zijn als die logica's allemaal een enkele 'parallelle' consequentierelatie zouden bepalen, zodat bijvoorbeeld een zin S ₁ een zin S _{2 had} als een logisch gevolg, al was het maar als de zin die het uitdrukte, P ₁, had het voorstel uitgedrukt in S ₂(P ₂) als een logisch gevolg. Russell gebruikt verschillende voorbeelden met namen, starheid, directe verwijzing en indexen om te beweren dat dit niet altijd het geval is. Om er maar één te nemen, in de veronderstelling dat de zin a = b twee verschillende, direct referentiële namen bevat, a = b en a = a drukken dezelfde propositie uit. Gegeven de minimale veronderstelling dat de relatie van logisch gevolg reflexief is, betekent dit dat propositie uitgedrukt door a = b een logisch gevolg is van de propositie uitgedrukt door a = a, ook al is de zin a = b geen logisch gevolg van de zin a = a. Vandaar dat de relatie van logisch gevolg op zinnen interessant verschilt van die van de relatie van logisch gevolg op zinnen, en er zijn ten minste twee verschillende, correcte relaties met logisch gevolg.

3.3 Pluralisme over modellering

Shapiro en Cook hebben gesuggereerd dat het de taak van een formele logica is om een natuurlijke taal te modelleren (Shapiro 2006; Cook 2010; Shapiro 2014). Aangezien modellen vereenvoudigde structuren zijn die bedoeld zijn om enkele maar niet alle kenmerken van het gemodelleerde fenomeen te vertonen, kunnen er verschillende concurrerende modellen van dezelfde taal zijn, die elk verschillende aspecten van die taal vastleggen, en zoals Shapiro schrijft:

… Met wiskundige modellen in het algemeen is er doorgaans geen sprake van 'het precies goed krijgen'. Voor een bepaald doel kunnen er slechte modellen zijn - modellen die duidelijk onjuist zijn - en er kunnen goede modellen zijn, maar het is onwaarschijnlijk dat men van één en slechts één correct model kan spreken. (Shapiro 2006)

Dit klinkt alsof het een soort logisch nihilisme zou kunnen ondersteunen - een opvatting waarop geen juiste logica bestaat (en in feite Cotnoir (2019 onderzoekt die opvatting) - maar Cook denkt er liever aan dat het twee verschillende soorten pluralisme biedt., minder controversieel, is van mening dat welke logica de juiste is, gerelateerd is aan iemands doel. Als men vaagheid wil bestuderen, kan de juiste logica er een zijn die tussentijdse waarheidswaarden toelaat, terwijl als men identiteit wil bestuderen, misschien eerst -orde klassieke logica met identiteit heeft de voorkeur, aangezien het juiste model relatief is ten opzichte van uw doel, zo ook de juiste logica.

Maar Cook vraagt zich af of zijn en Shapiro's logica-als-modelleer-visie ook een radicaler pluralisme zou kunnen ondersteunen, aangezien het mogelijk lijkt dat er zelfs met betrekking tot een specifiek doel twee rivaliserende logica's zouden kunnen zijn, elk duidelijk beter dan de rest ten opzichte daarvan doel, maar geen van beide is beter dan de andere. Onder dergelijke omstandigheden denkt Cook dat we misschien willen zeggen dat beide correct zijn en dat er dus meer dan één juiste logica is. Men zou echter ook kunnen stellen dat er onder zulke omstandigheden twee even goede logica's zijn, die geen van beiden als correct gelden.

3.4 Pluralisme over epistemische normativiteit

Hartry Field stelt een ander soort logisch pluralisme voor (Field 2009). De opvatting berust op de stelling dat logica normatief is (zie §1.4) samen met een pluralisme over epistemische normativiteit. Field is van mening dat er veel mogelijke epistemische normen zijn, en dat we agenten zouden kunnen beschouwen als het onderschrijven van één of, waarschijnlijker, verschillende normen op verschillende tijdstippen, en als opvattingen over hoe goed verschillende mogelijke epistemische normen zijn. We gebruiken deze epistemische normen om zichzelf te evalueren, en andere normen (denk aan het gebruik van numerieke inductie om zowel inductie als contra-inductie te evalueren.) Sommige normen doen het goed door hun eigen licht, in welk geval we geen spanning voelen. Sommigen doen het zelfs slecht door hun eigen lichten, in welk geval we de druk voelen om ze te veranderen. Volgens Field heeft het geen zin om een van deze normen als correct of onjuist te beschouwen,maar hij vindt het wel logisch om ze beter of slechter te noemen, zolang we maar erkennen dat deze evaluaties relatief zijn ten opzichte van onze epistemische doelen. Hoewel dit normen kritiek en evalueerbaar maakt, betekent dit niet dat er een unieke beste norm zal zijn. “Er kan bijvoorbeeld een reeks betere en betere normen zijn om de doelen te bereiken; bovendien kunnen er 'willekeurig ver boven' banden en / of onvergelijkbaarheden zijn”(355). Daarom hebben we een epistemisch normatief pluralisme.er kunnen banden en / of onvergelijkbaarheden zijn 'willekeurig ver' '' (355). Daarom hebben we een epistemisch normatief pluralisme.er kunnen banden en / of onvergelijkbaarheden zijn 'willekeurig ver' '' (355). Daarom hebben we een epistemisch normatief pluralisme.

Evenzo kunnen we onze epistemische normen, inclusief deductieve logica, gebruiken om te evalueren hoe goed verschillende deductieve logica presteren bij het bereiken van epistemische doelen die we hebben, bijvoorbeeld het oplossen van de semantische paradoxen. En nogmaals "het is niet duidelijk dat er een uniek beste logica voor een bepaald doel nodig is, laat staan dat we één logica moeten beschouwen als" uniek correct "in een doelonafhankelijke zin" (356). Het resultaat is dan een soort logisch pluralisme: logica is beter of slechter met betrekking tot verschillende doelen, maar zelfs met betrekking tot een bepaald doel kan het zijn dat geen enkele logica de unieke beste is.

3.5 Pluralisme door beperking

Ten slotte onderzoekt Hjortland een ander soort logisch pluralisme bij het verdedigen van subklassieke logica tegen het ontbrekende argument van Williamson dat klassieke logica de Ene Ware Logica is (Hjortland 2017, 652–657; Williamson 2017). Beschouw de bewering dat het alomtegenwoordige gebruik van klassieke logica (in plaats van andere zwakkere logica) in de wiskunde een sterk punt in haar voordeel is; als we de klassieke logica zouden moeten opgeven, zouden we ons zorgen kunnen maken over het verlies van veel elegante, eenvoudige en anderszins deugdzame wiskundige theorieën, en het behouden van deugdzame theorieën (en het loslaten van ad hoc en anderszins vicieuze theorieën) is wat de abductieve benadering in de logica is het gaat allemaal over.

De stap van het belang van klassieke logica in de wiskunde naar de waarheid van klassieke logica is echter veel te snel. Het is één ding om te zeggen dat klassieke logica, inclusief bijvoorbeeld voorbeelden van de principes van Double Negation Elimination (DNE) en ex falso quodlibet (EFQ), veel worden gebruikt in de wiskunde. Maar wiskunde vereist geen principes met de volledige kracht en algemeenheid van klassieke logica's (DNE) en (EFQ) - het gebruikt slechts enkele voorbeelden van die principes, de voorbeelden die wiskundige taal gebruiken. Als we zeggen dat (DNE) en (LEM) logisch geldig zijn, zeggen we dat ze geldig zijn, ongeacht welke uitdrukkingen we vervangen door de niet-logische uitdrukkingen erin, inclusief extra-wiskundige vage predikaten zoals 'heap' of 'rood' en notoir lastige metalinguïstische predikaten als 'waar' en 'heterologisch'.

Wiskundige bewijzen bevatten een overvloed aan voorbeelden van klassieke principes: toepassingen van klassieke reductio ad absurdum, voorwaardelijk bewijs, disjunctief syllogisme, de wet van absorptie, enz. De nadruk moet echter liggen op het feit dat dit voorbeelden zijn van klassieke principes. De wiskundige bewijzen vertrouwen er niet op dat een van deze principes onbeperkte generalisaties zijn van de vorm die Williamson verdedigt. Ze vertrouwen hoogstens op de principes die beperkt gelden voor wiskundig discours, wat niet betekent dat de principes van redeneren universeel gelden. Met andere woorden, de wiskundige praktijk komt overeen met deze redeneringsstappen, aangezien ze voorbeelden zijn van wiskundige redeneerprincipes, en niet generaliseerbaar naar alle andere verhandelingen. A fortiori,het kunnen heel goed redeneerprincipes zijn die zijn toegestaan voor wiskunde, maar niet voor theoretiseren over de waarheid. (Hjortland 2017, pp. 652-3)

Dat laat ruimte voor een soort pluralisme dat stelt dat sommige van de sterkere logische principes alleen correct zijn als ze beperkt zijn tot bepaalde soorten taaluitdrukkingen (zoals die in de taal van Peano Arithmetic); als we ze niet op deze manier beperken, zullen er tegenvoorbeelden zijn. Andere logische principes (misschien staat eliminatie van samenstanden op deze lijst) hoeven niet beperkt te blijven tot de taal van Peano Arithmetic. Dit geeft ons een duidelijk gevoel waarin we verschillende correcte logica hebben, afhankelijk van welke taal we aannemen.

Bibliografie

• Allo, P., 2007, "Logical pluralism and semantic information", Journal of Philosophical Logic, 38 (6): 659–694.
• Beall, J. en G. Restall, 2000, "Logical pluralism", Australasian Journal of Philosophy, 78: 475–493.
• –––, 2001, "Defending logical pluralism", in Logical Consequence: Rival Approach Proceedings of the 1999 Conference of the Society of Exact Philosophy, Stanmore: Hermes, pp. 1–22.
• –––, 2006, Logical Pluralism, Oxford: Oxford University Press.
• Blake-Turner, C. en G. Russell, aanstaande, "Logical Pluralism without the Normativity", Synthese, voor het eerst online op 22 september 2018; doi: 10.1007 / s11229-018-01939-3.
• Boghossian, PA, 1996, "Analyticity heroverwogen", Noûs, 30 (3): 360–391.
• Burgess, JP, 1997, "Quinus ab omni nævo vindicatus", Canadian Journal of Philosophy (aanvullend deel 23: betekenis en referentie), 26–65.
• –––, 2012, Philosophical Logic (Princeton Foundations of Contemporary Philosophy), Princeton: Princeton University Press.
• Caret, CR, 2016, "De ineenstorting van logisch pluralisme is sterk overdreven", Erkenntnis, 82 (4): 739–760.
• Carnap, R., 1937, The Logical Syntax of Language, Londen: Kegan Paul.
• –––, 1958, Empiricism, Semantics and Ontology, 2e editie, Chicago: The University of Chicago Press, 205–221.
• Cook, R., 2010, 'Laat duizend bloemen bloeien: een tocht door logisch pluralisme', Philosophy Compass, 5 (6): 492–504.
• Cosmides, L., 1989: 'De logica van sociale uitwisseling: heeft natuurlijke selectie gevormd hoe mensen redeneren? Studies met de Wason-selectietaak ', Cognition, 31: 187–276.
• Cotnoir, A., 2019, 'Logical Nihilism', in N. Pederson, N. Kellen en J. Wyatt (red.), Pluralisms in Truth and Logic, Basingstoke: Palgrave Macmillan, pp. 301–329.
• Davidson, D., 1984 [1973], Radical Interpretation, Oxford: Oxford University Press, pp. 125–139.
• Eklund, M., 2012, 'The multitude view of logic', in G. Restall en G. Russell (red.), New Waves in Philosophical Logic, Basingstoke: Palgrave Macmillan, pp. 217–240.
• Etchemendy, J., 1999, On the Concept of Logical Consequence, Stanford: CSLI Publications.
• Field, H., 2009, "Pluralisme in logica", The Review of Symbolische logica, 2 (2): 342–359.
• Frege, G., 1918, 'The Thought', Mind, 65 (259): 289–311.
• Goddu, GC, 2002: "Wat is logisch pluralisme precies?" Australasian Journal of Philosophy, 80 (2): 218–230.
• Haack, S., 1996, Deviant Logic, Fuzzy Logic: Beyond the Formalism, Chicago: University of Chicago Press.
• Hjortland, OT, 2013, "Logical Pluralism, Meaning-variance, and Verbale Disputes", Australasian Journal of Philosophy, 91 (2): 355–373.
• –––, 2017, 'Anti-Exceptionalism about Logic', Philosophical Studies, 174: 631–658.
• Kant, I., 1800 [1885], Kants inleiding tot zijn logica en zijn essay over de verkeerde subtiliteit van de vier figuren, TK Abbott (trans.), London: Longmans, Green en Co.
• Kaplan, D., 1989, "Demonstratives: An essay on the semantics, logic, metaphysics, and epistemology of demonstratives", in J. Almog, J. Perry en H. Wettstein (red.), Thema's uit Kaplan, New York: Oxford Universiteit krant.
• Keefe, K., 2014, 'Wat logisch pluralisme niet kan zijn', Synthese, 91 (7): 1375–1390
• Kouri Kissel, T., te verschijnen, "A New Interpretation of Carnap's Logical Pluralism", Topoi, voor het eerst online op 25 augustus 2016; doi: 10.1007 / s11245-016-9423-y
• Lynch, MP, 2008, "Alethisch pluralisme, logische consequentie en de universaliteit van de rede", Midwest Studies in Philosophy, 32 (1): 122–140.
• MacFarlane, J., 2009, "Logical constants", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2009 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL = .
• Mortensen, C., 1989, 'Alles is mogelijk', Erkenntnis, 30 (3): 319–37.
• Paoli, F., 2003, "Quine and Slater over paraconsistentie en deviantie", Journal of Philosophical Logic, 32: 531–548.
• Priest, G., 2006, Twijfel om een leugenaar te zijn, Oxford: Oxford University Press.
• –––, 2008a, An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is, Cambridge: Cambridge University Press, 2e editie.
• –––, 2008b, "Hollandaise logisch pluralisme", The Australasian Journal of Logic, 6: 210–214.
• Quine, WVO, 1936, 'Truth by convention', in The Ways of Paradox en andere essays (hoofdstuk 9), New York: Random House, 1966, pp. 70–99.
• –––, 1953, "Reference and modality", in Logisch standpunt (hoofdstuk 8), Cambridge, MA: Harvard University Press.
• –––, 1966, "Drie graden van modale betrokkenheid", In The Ways of Paradox (hoofdstuk 15), Cambridge, MA: Harvard University Press.
• –––, 1986, Philosophy of Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Rahman, S., en J. Redmond, 2008, "Hugh MacColl and the birth of logical pluralism", in D. Gabbay en J. Woods (red.), The Handbook of the History of Logic (Deel 4: British Logic in de negentiende eeuw), Amsterdam: Elsevier, pp. 533-604.
• Lees, S., 2006, "Monism: The one true logic", in D. DeVidi en T. Kenyon (red.), A Logical Approach to Philosophy: Essays ter ere van Graham Solomon, Berlin: Springer, pp. 193– 209.
• Restall, G., 2000, An Introduction to Substructural Logics, London: Routledge.
• –––, 2002, "Carnap's tolerantie, taalverandering en logisch pluralisme", Journal of Philosophy, 99: 426–443.
• Russell, G., 2008, "Eén echte logica?" Journal of Philosophical Logic, 37 (6): 593-611.
• –––, 2017, "Logica is niet normatief", Onderzoek, 1–18, doi: 10.1080 / 0020174X.2017.1372305
• –––, 2018, "Logisch nihilisme: kan er geen logica zijn?" Filosofische kwesties, 28 (1): 308-324.
• Schurz, G., 1998, "Tarski en Carnap over logische waarheid, of wat is echte logica?" in J. Wolenski en E. Köhler (red.), Alfred Tarski en de Vienna Circle: Austro-Polish Connections in Logical Empiricism, Dortrecht: Kluwer, pp. 77-94.
• Shapiro, S., 2006, Vagueness in Context, Oxford: Oxford University Press.
• –––, 2014, Variety of Logic, Oxford: Oxford University Press.
• Sher, G., 1996: "Heeft Tarksi 'Tarski's misvatting' gepleegd?" Journal of Symbolische Logica, 61: 182-209.
• Sober, E., 2000, "Quine", Proceedings of the Aristotelian Society (Supplementary Volume), LXXIV: 237–280.
• Stei, E., aanstaande, "Rivaliteit, normativiteit en de ineenstorting van logisch pluralisme", Onderzoek, voor het eerst online op 26 mei 2017; doi: 10.1080 / 0020174X.2017.1327370
• Steinberger, F., aanstaande, "Logical Pluralism and Logical Normativity", Philosophers 'Imprint.
• Tarski, A., 1983, "On the concept of logical consequ", in J. Corcoran (red.), Logic, Semantics and metamathematics, 2e editie, Hackett: Indianapolis, blz. 409–420.
• van Benthem, J., 2008, "Logische dynamiek ontmoet logisch pluralisme?" The Australasian Journal of Logic, 6: 182–209.
• Varzi, AC, 2002, "On logical relativity", Philosophical Issues, 12: 197–219.
• Wason, PC, 1966, "Reasoning", in BM Foss (red.), New horizons in psychology (Deel I). Harmondsworth: Penguin.
• –––, 1968, "Redeneren over een regel", Quarterly Journal of Experimental Psychology, 20: 273–281.
• Weber, Z., 2017, 'A guide to logical pluralism for non-logicians', 16 (47): 93–114. doi: 10.1017 / S1477175617000239
• Williamson T., 2017, 'Semantic Paradoxes and Abductive Methodology' in BD Amour-Garb (red.), Reflections on the Liar, Oxford: Oxford University Press, 25–346.
• Wyatt, N., 2004: "Waar gaan Beall en Restall-pluralisten over?" Australasian Journal of Philosophy, 82: 409–420.
• Yablo, S., 1992, "Beoordeling van noodzaak, essentie en individuatie: een verdediging van het conventioneel, door Alan Sidelle", The Philosophical Review, 101 (4): 878–881.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen