Logische Waarheid

Inhoudsopgave:

Logische Waarheid
Logische Waarheid

Video: Logische Waarheid

Video: Logische Waarheid
Video: ICT MOOC IF1 Logica Les 1 2023, November
Anonim

Toegang navigatie

  • Inhoud van het item
  • Bibliografie
  • Academische hulpmiddelen
  • Vrienden PDF-voorbeeld
  • Info over auteur en citaat
  • Terug naar boven

Logische waarheid

Voor het eerst gepubliceerd op 30 mei 2006; inhoudelijke herziening do 6 sep. 2018

Wat standaardopvattingen betreft, heeft logica als een van de doelen om een bijzondere reeks waarheden te karakteriseren (en ons praktische middelen te geven om van elkaar te onderscheiden), de logische waarheden, waarvan de volgende Engelse zinnen paradigmatische voorbeelden zijn:

  • (1) Als de dood alleen slecht is als het leven goed is en de dood slecht, dan is het leven goed.
  • (2) Als geen enkel verlangen vrijwillig is en sommige overtuigingen verlangens zijn, dan zijn sommige overtuigingen niet vrijwillig.
  • (3) Als Drasha een kat is en alle katten mysterieus zijn, dan is Drasha mysterieus.

Het blijkt dat het heel moeilijk is om universeel aanvaarde ideeën te bedenken over wat de generieke eigenschappen van logische waarheden zijn of zouden moeten zijn. Een wijdverbreid, misschien universeel geaccepteerd idee is dat een deel van wat logische waarheden van andere soorten waarheden moet onderscheiden, is dat logische waarheden een nog te begrijpen modale kracht moeten hebben. Het is typerend om te stellen dat een logische waarheid in zekere zin of betekenissen van 'zou' niet onjuist kunnen zijn, of, als alternatief, dat in zekere zin of betekenissen van 'moet' een logische waarheid waar moet zijn. Maar er is weinig of geen overeenstemming over hoe de relevante modaliteit moet worden begrepen.

Een ander wijdverbreid idee is dat een deel van wat logische waarheden zou moeten onderscheiden, is dat ze in zekere zin nog niet volledig "formeel" moeten worden begrepen. Dat een logische waarheid formeel is, houdt op zijn minst in dat alle zinnen die geschikte vervangende instanties van haar logische vorm zijn, ook logische waarheden zijn. In deze context wordt de logische vorm van een zin (S) verondersteld een bepaald schema te zijn dat uniek wordt bepaald door (S), een schema waarvan (S) een vervangende instantie is en waarvan zinnen met hetzelfde formulier als (S) zijn ook vervangende instanties. Een formulier heeft op zijn minst de eigenschap dat de uitdrukkingen erin die geen schematische letters zijn (de "logische uitdrukkingen") breed toepasbaar zijn in verschillende discoursgebieden. Onder mensen die het idee van formaliteit accepteren, is er brede overeenstemming dat de vormen van (1),(2) en (3) zouden respectievelijk iets zijn als ((1 ')), ((2')) en ((3 ')):

  • ((1 ')) Als (a) alleen (P) is als (b) (Q) is en (a) (P) is, dan is (a) b) is (Q).
  • ((2 ')) Als nee (Q) is (R) en sommige (P) s zijn (Q) s, dan zijn sommige (P) s niet (R).
  • ((3 ')) Als (a) een (P) is en alle (P) s (Q) zijn, dan is (a) (Q).

((1 ')), ((2')) en ((3 ')) lijken logische waarheden op te leveren voor alle passende vervangingen van de letters "(a)", " (b)”,“(P)”,“(Q)”en“(R)”. En uitdrukkingen als "als", "en", "sommige", "alle", enz., Die paradigmatische logische uitdrukkingen zijn, lijken algemeen toepasbaar in verschillende discoursen. Maar het idee dat logische waarheden formeel zijn of zouden moeten zijn, wordt zeker niet algemeen aanvaard. En zelfs onder degenen die het accepteren, is er weinig of geen overeenstemming over welke generieke criteria de vorm van een willekeurige zin bepalen. [1]

Een opmerkelijk feit over logische waarheid is dat velen het aannemelijk hebben gevonden dat de reeks logische waarheden van bepaalde rijke geformaliseerde talen karakteristiek is in termen van concepten van standaard wiskunde. In sommige opzichten is de reeks logische waarheden van een dergelijke taal in het bijzonder altijd de reeks zinnen van de taal die in een bepaalde calculus kan worden afgeleid. Bij andere, meer wijdverbreide opvattingen kan de reeks logische waarheden van een dergelijke taal worden geïdentificeerd met de reeks zinnen die geldig zijn in een bepaald bereik van wiskundige interpretaties (waarbij geldigheid iets te maken heeft met, maar verschilt van de voorwaarde dat alle de zinnen die vervangende instanties van zijn vorm zijn, zijn ook waar; zie hieronder, paragraaf 2.3). Een van de belangrijkste verwezenlijkingen van de vroege wiskundige logica was juist om te laten zien hoe noties van afleidbaarheid en validiteit kunnen worden gekarakteriseerd in termen van concepten van standaard wiskunde. (Paragrafen 2.2 en 2.3 geven een basisbeschrijving van de wiskundig gekarakteriseerde noties van afleidbaarheid en validiteit, met verwijzingen naar andere vermeldingen.)

In deel 1 van dit artikel zullen we in grote lijnen de belangrijkste bestaande opvattingen beschrijven over het begrijpen van de ideeën van modaliteit en formaliteit die relevant zijn voor logische waarheid. (Een meer gedetailleerde behandeling van deze opvattingen is beschikbaar in andere vermeldingen hieronder, en vooral in de vermeldingen over het analytisch / synthetisch onderscheid en logische constanten.) In deel 2 zullen we, ook in hoofdlijnen, een bepaalde reeks filosofische kwesties beschrijven die doen zich voor wanneer men de poging tot wiskundige karakterisering van logische waarheid overweegt. De vraag of en in welke zin deze karakterisaties correct zijn, hangt samen met de vraag wat ons specifieke begrip van de ideeën van modaliteit en formaliteit is of zou moeten zijn. [2]

  • 1. De aard van logische waarheid

    • 1.1 Modaliteit
    • 1.2 Formaliteit

  • 2. De wiskundige karakterisering van logische waarheid

    • 2.1 Formalisatie
    • 2.2 Afleidbaarheid
    • 2.3 Model-theoretische validiteit

    • 2.4 Het probleem van toereikendheid

      • 2.4.1 Analyse en modaliteit
      • 2.4.2 Uitgebreide geschiktheid: een algemeen argument
      • 2.4.3 Uitgebreide geschiktheid: talen van hogere orde
  • Bibliografie
  • Academische hulpmiddelen
  • Andere internetbronnen
  • Gerelateerde vermeldingen

1. De aard van logische waarheid

1.1 Modaliteit

Zoals we hierboven al zeiden, lijkt het algemeen aanvaard te zijn dat, als er überhaupt enige logische waarheden zijn, een logische waarheid van dien aard zou moeten zijn dat ze niet vals kan zijn, of dat ze zo moet zijn dat ze waar moet zijn. Maar zoals we ook al zeiden, is er vrijwel geen overeenstemming over het specifieke karakter van de relevante modaliteit.

Behalve onder degenen die het idee van logische waarheid helemaal afwijzen, of degenen die, terwijl ze het accepteren, het idee van logische vorm afwijzen, is er brede overeenstemming dat ten minste een deel van de modale kracht van een logische waarheid te danken is aan het feit dat het een bepaalde is geval van een universele generalisatie over de mogelijke waarden van de schematische letters in "formele" schema's zoals ((1 ') - (3')). (Deze waarden kunnen weliswaar geen uitdrukkingen zijn.) Op wat mogelijk de oudste manier is om de logische modaliteit te begrijpen, is die modale kracht volledig te danken aan deze eigenschap: om bijvoorbeeld te zeggen dat (1) moet zijn waar kan alleen betekenen dat (1) een specifiek geval is van de echte universele generalisatie "Voor alle geschikte (P), (Q), (a) en (b), als (a) is alleen een (P) als (b) een (Q) is en (a) een (P) is, dan is (b) een (Q)”. Volgens een traditionele (maar niet onomstreden) interpretatie zou de bewering van Aristoteles dat de conclusie van een syllogismos waar moet zijn als de premissen waar zijn, op deze manier moeten worden begrepen. In een beroemde passage van Prior Analytics zegt hij: "Een syllogismos is spraak (logo's) waarin, als bepaalde dingen worden verondersteld, iets anders dan de veronderstelde dingen noodzakelijk zijn (ex anankes) omdat ze zo zijn" (24b18-20)). Beschouw (2) als een syllogismos waarin de "veronderstelde dingen" (2a) en (2b) zijn, en waarin het ding dat "resultaten van noodzaak" is (2c):bepaalde dingen worden verondersteld, iets anders dan de veronderstelde dingen zijn noodzakelijk (ex anankes) omdat ze zo zijn '(24b18-20). Beschouw (2) als een syllogismos waarin de "veronderstelde dingen" (2a) en (2b) zijn, en waarin het ding dat "resultaten van noodzaak" is (2c):bepaalde dingen worden verondersteld, iets anders dan de veronderstelde dingen zijn noodzakelijk (ex anankes) omdat ze zo zijn '(24b18-20). Beschouw (2) als een syllogismos waarin de "veronderstelde dingen" (2a) en (2b) zijn, en waarin het ding dat "resultaten van noodzaak" is (2c):

  • (2a) Geen wens is vrijwillig.
  • (2b) Sommige overtuigingen zijn verlangens.
  • (2c) Sommige overtuigingen zijn niet vrijwillig.

Met betrekking tot de interpretatie die we beschrijven, is Aristoteles 'mening dat om te zeggen dat (2c) resultaten van noodzaak van (2a) en (2b), te zeggen is dat (2) een specifiek geval is van de echte universele generalisatie Voor alle geschikte (P), (Q) en (R), als geen (Q) (R) is en sommige (P) s (Q) s zijn, dan zijn sommige (P) s zijn niet (R)”. Zie voor deze interpretatie bijvoorbeeld Alexander van Aphrodisias, 208.16 (geciteerd door Łukasiewicz 1957, §41), Bolzano (1837, §155) en Łukasiewicz (1957, §5).

In veel andere oude en middeleeuwse logici worden 'moet'-beweringen begrepen als universele generalisaties over actuele items (zelfs als ze niet altijd worden begrepen als universele generalisaties op' formele 'schema's). Vooral prominent is de mening van Diodorus dat een voorstel noodzakelijk is voor het geval het te allen tijde waar is (zie Mates 1961, III, §3). Merk op dat dit logisch is voor het idee dat (2) waar moet zijn, maar zeg bijvoorbeeld: "Mensen kijken tv" kan onjuist zijn, want deze zin was zeker niet waar in de tijd van Diodorus. Diodorus 'opvatting lijkt heel gewoon te zijn geweest in de middeleeuwen, toen auteurs als William of Sherwood en Walter Burley de gepercipieerde noodzaak van conditionals zoals (2) te allen tijde als waarheid schenen te hebben begrepen (zie Knuuttila 1982, pp. 348– 9). Een begrip van noodzaak als eeuwigheid komt ook veel voor bij latere auteurs; zie e.g., Kant, Critique of Pure Reason, B 184. Ten gunste van de genoemde interpretatie van Aristoteles en van de Diodorische opvatting kan worden opgemerkt dat we vaak modale locuties gebruiken om de consequenties van conditionals te benadrukken die voortvloeien uit louter universele generalisaties over de werkelijke wereld, zoals in "Als de gasprijzen stijgen, vertraagt de economie noodzakelijkerwijs".

Veel auteurs hebben gedacht dat dit soort opvattingen niet de volledige kracht verklaren van de modale import van logische waarheden. Een tegenwoordig veel voorkomende, maar (blijkbaar) late opvatting in de geschiedenis van de filosofie, is dat de noodzaak van een logische waarheid niet alleen impliceert dat enige generalisatie over feitelijke items geldt, maar ook impliceert dat de waarheid in het algemeen waar zou zijn geweest scala aan contrafeitelijke omstandigheden. Leibniz heeft deze eigenschap toegewezen aan noodzakelijke waarheden zoals die van logica en geometrie, en schijnt als een van de eersten te hebben gesproken over de contrafeitelijke omstandigheden als 'mogelijke universums' of werelden (zie de brief aan Bourguet, pp. 572–3, voor een duidelijke uiteenzetting van zijn standpunten die in contrast staan met de standpunten in de voorgaande paragraaf; Knuuttila 1982, pp.detecteert het vroegste transparante gesprek over contrafeitelijke omstandigheden en noodzakelijkerwijs begrepen als ten minste de waarheid implicerend in al deze zaken in Duns Scotus en Buridan; zie ook de vermelding over middeleeuwse theorieën over modaliteit). In de hedendaagse geschriften het begrip van de noodzaak als de waarheid in alle counterfactual omstandigheden, en het uitzicht dat logische waarheden noodzakelijk zijn in deze zin, zijn wijdverspreid-hoewel vele, misschien wel de meeste, auteurs “reductionistische” uitzicht op modaliteit die zien gepraat over counterfactual omstandigheden vast te stellen niet meer dan een verkapte praat over bepaalde geactualiseerde (mogelijk abstracte) items, zoals taalbeschrijvingen. Zelfs Leibniz lijkt zijn 'mogelijke universums' te hebben beschouwd als ideeën in de geest van God. (Zie Lewis 1986 voor een inleiding tot de hedendaagse polemiek op dit gebied.)))In hedendaagse geschriften is het begrip van noodzaak als waarheid in alle contrafeitelijke omstandigheden, en de opvatting dat logische waarheden in deze zin noodzakelijk zijn, wijdverbreid - hoewel veel, misschien wel de meeste, auteurs 'reductivistische' opvattingen over modaliteit aannemen die praten over contrafeitelijke omstandigheden als niet meer dan een verkapte praat over bepaalde geactualiseerde (mogelijk abstracte) items, zoals taalbeschrijvingen. Zelfs Leibniz lijkt zijn 'mogelijke universums' te hebben beschouwd als ideeën in de geest van God. (Zie Lewis 1986 voor een inleiding tot de hedendaagse polemiek op dit gebied.)In hedendaagse geschriften is het begrip van noodzaak als waarheid in alle contrafeitelijke omstandigheden, en de opvatting dat logische waarheden in deze zin noodzakelijk zijn, wijdverbreid - hoewel veel, misschien wel de meeste, auteurs 'reductivistische' opvattingen over modaliteit aannemen die praten over contrafeitelijke omstandigheden als niet meer dan een verkapte praat over bepaalde geactualiseerde (mogelijk abstracte) items, zoals taalbeschrijvingen. Zelfs Leibniz lijkt zijn 'mogelijke universums' te hebben beschouwd als ideeën in de geest van God. (Zie Lewis 1986 voor een inleiding tot de hedendaagse polemiek op dit gebied.)auteurs nemen 'reductivistische' opvattingen over modaliteit aan die het spreken over contrafeitelijke omstandigheden niet meer zien dan verkapte gesprekken over bepaalde geactualiseerde (mogelijk abstracte) items, zoals taalbeschrijvingen. Zelfs Leibniz lijkt zijn 'mogelijke universums' te hebben beschouwd als ideeën in de geest van God. (Zie Lewis 1986 voor een inleiding tot de hedendaagse polemiek op dit gebied.)auteurs nemen 'reductivistische' opvattingen over modaliteit aan die het spreken over contrafeitelijke omstandigheden niet meer zien dan verkapte gesprekken over bepaalde geactualiseerde (mogelijk abstracte) items, zoals taalbeschrijvingen. Zelfs Leibniz lijkt zijn 'mogelijke universums' te hebben beschouwd als ideeën in de geest van God. (Zie Lewis 1986 voor een inleiding tot de hedendaagse polemiek op dit gebied.)

Maar zelfs na Leibniz en tot op heden lijken veel logici de inzet voor een sterk idee van noodzaak als waarheid te hebben vermeden in alle (feitelijke en) contrafeitelijke omstandigheden. Aldus karakteriseert Bolzano, in overeenstemming met zijn hierboven genoemde interpretatie van Aristoteles, noodzakelijke stellingen als degene waarvan de ontkenning onverenigbaar is met puur algemene waarheden (zie Bolzano 1837, §119). Frege zegt dat "het apodictische oordeel [dat wil zeggen ruwweg het oordeel waarvan de inhoud begint met een" noodzakelijk "dat de rest van de inhoud regelt] zich onderscheidt van de bewering doordat het suggereert dat er universele oordelen bestaan waaruit de stelling kan worden afgeleid terwijl in het geval van de bewering een dergelijke suggestie ontbreekt”(Frege 1879, §4). Tarski is nog dichter bij het uitzicht dat traditioneel aan Aristoteles wordt toegeschreven,want het is vrij duidelijk dat voor hem om te zeggen dat bijv. (2c) "moet" waar zijn als (2a) en (2b) waar zijn, te zeggen dat (2) een specifiek geval is van de "formele" generalisatie "Voor iedereen geschikte (P) (Q) en (R), zonder (Q) is (R) en sommige (P) s zijn (Q) s, nog wat (P) s zijn niet (R)”(zie Tarski 1936a, pp. 411, 415, 417 of de overeenkomstige passages in Tarski 1936b; zie ook Ray 1996). Quine staat bekend om zijn expliciete afwijzing van elke modaliteit die niet kan worden begrepen in termen van universele generalisaties over de werkelijke wereld (zie met name Quine 1963). In sommige van deze gevallen wordt deze houding verklaard door wantrouwen ten aanzien van noties waarvan wordt aangenomen dat ze geen volledig respectabele wetenschappelijke status hebben bereikt, zoals de sterke modale noties; het wordt vaak vergezeld door dergelijke auteurs, die vaak praktiserende logici zijn,door het voorstel om logische waarheid te karakteriseren als een soort geldigheid (in de zin van 2.3 hieronder).

Op een recente uitzicht ontwikkeld door Beall en Restall (2000, 2006), genoemd door hen “logisch pluralisme”, het concept van logische waarheid draagt een verbintenis tot het idee dat een logische waarheid geldt in alle van een reeks artikelen of “gevallen”, En de noodzaak ervan ligt in de waarheid van een dergelijke algemene claim (zie Beall and Restall 2006, p. 24). Het concept van logische waarheid onderscheidt echter niet een unieke reeks 'gevallen' die bevoorrecht zijn bij het bepalen van een uitbreiding van het concept; in plaats daarvan zijn er veel van zulke even acceptabele bereiken en bijbehorende uitbreidingen, die kunnen worden gekozen als functie van contextuele belangen. Dit betekent dat, voor de logische pluralist, veel sets het recht hebben om 'de set van logische waarheden' (en 'de set van logische benodigdheden') te worden genoemd, elk in de juiste context. [3](Zie de vermelding over logisch pluralisme.) Op een ander recent begrip van logische noodzaak als een soort van algemeenheid, voorgesteld door Rumfitt (2015), bestaat de noodzaak van een logische waarheid er alleen in dat het bruikbaar is onder alle sets van onderwerpspecifieke manieren van implicaties voor de tekening (mits deze sets aan bepaalde structurele regels voldoen); of, grofweg, alleen omdat het van toepassing is, ongeacht het soort redenering dat op het spel staat. In deze visie is een meer inhoudelijk begrip van de modaliteit die op het spel staat in logische waarheid opnieuw niet vereist. Opgemerkt kan worden dat Rumfitt, hoewel hij verschillende subjectspecifieke implicatierelaties postuleert, pluralisme over de logische waarheid in de zin van Beall en Restall afwijst (zie zijn 2015, p. 56, nr. 23.), en in feite denkt dat de set van logische waarheden wordt gekenmerkt door de standaard klassieke logica.

Nog een andere betekenis waarin werd gedacht dat waarheden zoals (1) - (3) en logische waarheden in het algemeen, "niet" niet waar kunnen zijn of "waar" moeten zijn, is epistemisch. Het is een oude observatie, gaan minstens zo ver terug als Plato, dat sommige waarheden tellen als intuïtief bekend bij ons, zelfs in gevallen waarin we lijken niet aan een empirische gronden voor hen te hebben. Waarheid dat kenbare op niet-empirische gronden zijn genoemd a priori (een uitdrukking die begint te gebruiken met deze zin ten tijde van Leibniz; zie bijvoorbeeld zijn “primae Veritates”, pagina 518.). De axioma's en stellingen van de wiskunde, de lexicogra en stipulatieve definities, alsook de paradigmatische logische waarheid, zijn gegeven als voorbeelden. Als wordt aangenomen dat logische waarheden a priori zijn,is het logisch om te denken dat zij waar moet zijn of kon niet vals zijn ten minste gedeeltelijk in het sterke gevoel dat hun ontkenningen onverenigbaar zijn met wat we in staat zijn om te weten non-empirisch.

Aannemende dat een dergelijke voorkennis op de een of andere manier bestaat, heeft de veel recente filosofie zich beziggehouden met de vraag hoe dit mogelijk is. Een traditionele (“rationalist”) opvatting is dat de geest is uitgerust met een speciale capaciteit om waar te nemen waarheden door het onderzoek van de relaties tussen zuivere ideeën of concepten, en dat de waarheden bereiken via de correcte werking van deze telling hoedanigheid bekend is a priori. (Zie bijvoorbeeld, Leibniz's “Discours de Métaphysique”, §§23 ff.; Russell 1912, p 105;. Bonjour 1998 is een zeer recent voorbeeld van een uitzicht van dit soort.) Er is een tegengestelde traditionele (“empiristisch”) uitzicht is dat er geen reden is om die capaciteit te postuleren, of zelfs dat er redenen zijn om deze niet te postuleren, zoals dat het 'mysterieus' is. (Zie de vermelding over rationalisme versus empirisme.) Sommige filosofen, empiristen en anderszins,hebben geprobeerd a priori kennis uit te leggen als voortkomend uit een soort overeenkomst of stilzwijgende overeenkomst om bepaalde zinnen goed te keuren (zoals (1)) en bepaalde regels te gebruiken. Hobbes stelt in zijn bezwaren tegen Descartes 'meditaties (' Third Objections ', IV, p. 608) een brede, conventionele kijk op. De latere Wittgenstein (op één interpretatie) en Carnap zijn voorstanders van 'stilzwijgende overeenstemming' en conventionele opvattingen (zie bijv. Wittgenstein 1978, I.9, I.142; Carnap 1939, §12 en 1963, p. 916, voor informele uiteenzetting van de opvattingen van Carnap; zie ook Coffa 1991, hoofdstukken 14 en 17). Strikt genomen denken Wittgenstein en Carnap dat logische waarheden helemaal geen proposities uitdrukken, en slechts loze zinnen zijn die we om de een of andere reden nuttig vinden om te manipuleren;het is dus alleen in een enigszins verminderde zin dat we kunnen spreken van (a priori) kennis ervan. Echter, in typische recente exponenten van "stilzwijgende overeenstemming" en conventionele opvattingen, zoals Boghossian (1997), wordt de bewering dat logische waarheden geen proposities uitdrukken verworpen, en wordt aangenomen dat het bestaan van de overeenkomst volledig a priori volledige kennis van de voorstellen.

De “rationele capaciteit” uitzicht en de “conventionalist” view het erover eens dat, in brede zin, het epistemische grond van logische waarheden woont in ons vermogen om de betekenis van hun uitingen te analyseren, worden deze opgevat als overeenkomsten of zo objectief ideeën. Om deze reden kan worden gezegd dat ze de prioriteit van logische waarheden verklaren in termen van hun analyticiteit. (Zie de vermelding over het analytisch / synthetisch onderscheid.) Kants uitleg van de prioriteit van logische waarheden leek moeilijker op te sporen. [4]Een lange rij commentatoren van Kant heeft opgemerkt dat, als Kant van mening is dat alle logische waarheden analytisch zijn, dit in spanning lijkt te staan met zijn karakteristieken van analytische waarheden. Kant karakteriseert analytische waarheden die waarbij het begrip predikaat in of identiek met het concept van de patiënt en, meer fundamenteel als die waarvan ontkenning tegenstrijdig. Maar dat is gebleken om die commentatoren die deze karakteriseringen, terwijl de toepassing van de strenge tautologieën zoals “Mannen zijn mannen” of “Bebaarde mannen zijn mannen”, lijkt weg te laten veel van wat Kant zelf telt als logisch waar, met inbegrip van syllogisms zoals (2) (zie bv. Mill 1843, bk. II, ch. Vi, §5; Husserl 1901, vol. II, pt. 2, §66; Kneale en Kneale 1962, pp. 357–8; Parsons 1967; Maddy 1999). Dit en het schijnbare gebrek aan duidelijke uitspraken van Kant over deze kwestie hebben er in ieder geval toe geleid dat Maddy (1999) en Hanna (2001) de hypothese hebben overwogen (hoewel niet aanvaarden) dat Kant sommige logische waarheden als a priori als synthetisch beschouwde. Bij een dergelijke interpretatie zou de prioriteit van veel logische waarheden worden verklaard door het feit dat ze vereist zouden zijn door de cognitieve structuur van het transcendentale subject, en met name door de vormen van oordeel.[5]Maar de standaard interpretatie is toe te schrijven aan Kant van mening dat alle logische waarheden analytisch (zie bijvoorbeeld Capozzi en Roncaglia 2009). Bij een dergelijke interpretatie kunnen Kant's oordeelsvormen worden geïdentificeerd met logische concepten die vatbaar zijn voor analyse (zie bijv. Allison 1983, pp. 126ff.). Een uitgebreide verdediging van de interpretatie dat Kant alle logische waarheden als analytisch beschouwde, inclusief een rechtvaardiging van Kant tegen de bezwaren van de hierboven genoemde commentatoren, is te vinden in Hanna (2001), §3.1. Een inhoudelijk kantiaanse hedendaagse theorie van de epistemologie van logica en haar wortels in cognitie wordt ontwikkeld in Hanna (2006); deze theorie tracht de aprioriteit van logica niet te verklaren in termen van haar analyticiteit, en doet in plaats daarvan een beroep op een specifiek soort logische intuïtie en een specifieke cognitieve logica-faculteit.(Vergelijk ook de anti-prioristische en anti-analytische, maar in grote lijnen kantiaanse weergave van Maddy 2007, hieronder vermeld.)

De vroege Wittgenstein deelt met Kant het idee dat de logische uitdrukkingen geen betekenissen uitdrukken zoals niet-logische uitdrukkingen dat wel doen (zie 1921, 4.0312). In overeenstemming met deze visie, beweert hij dat logische waarheden niet “zeggen” alles (1921, 6.11). Maar hij lijkt de conventionele en 'stilzwijgende overeenkomst'-opvattingen te verwerpen (1921, 6.124, 6.1223). Het is niet zo dat logische waarheden niets zeggen, omdat ze slechts instrumenten zijn voor een soort van extrinsiek nuttige manipulatie; ze 'tonen' eerder de 'logische eigenschappen' die de wereld onafhankelijk van onze beslissingen heeft (1921, 6.12, 6.13). Het is onduidelijk hoe aprioriteit is verklaarbaar in dit kader. Wittgenstein noemt de logische waarheden analytisch (1921, 6.11), en zegt dat "men in het symbool alleen kan herkennen dat ze waar zijn" (1921, 6.113). Hij lijkt in het achterhoofd te hebben van het feit dat men kan “zien” dat een logische waarheid van de waarheid-functionele logica geldig moeten zijn door de inspectie van een geschikte voorstelling van de waarheid-functionele inhoud (1921, 6,1203, 6,122). Maar de uitbreiding van het idee tot kwantificeringslogica is problematisch, ondanks Wittgensteins pogingen om kwantificeringslogica terug te brengen tot waarheid-functionele logica; zoals we nu weten, is er geen algoritme om te bepalen of een kwantificeringszin geldig is. Wat misschien nog belangrijker is, Wittgenstein geeft geen waarneembare verklaring waarom in principe alle 'logische eigenschappen' van de wereld vatbaar zouden moeten zijn voor weerspiegeling in een adequate notatie. Maar de uitbreiding van het idee om kwantificationele logica is problematisch, ondanks de inspanningen van Wittgenstein aan kwantificationele logica terug te brengen tot de waarheid-functionele logica; zoals we nu weten, is er geen algoritme om te bepalen of een kwantificeringszin geldig is. Wat misschien nog belangrijker is, Wittgenstein geeft geen waarneembare verklaring waarom in principe alle 'logische eigenschappen' van de wereld vatbaar zouden moeten zijn voor weerspiegeling in een adequate notatie. Maar de uitbreiding van het idee om kwantificationele logica is problematisch, ondanks de inspanningen van Wittgenstein aan kwantificationele logica terug te brengen tot de waarheid-functionele logica; zoals we nu weten, is er geen algoritme voor de beslissing of een kwantificationele zin geldig is. Wat misschien nog belangrijker is, Wittgenstein geeft geen waarneembare verklaring waarom in principe alle 'logische eigenschappen' van de wereld vatbaar zouden moeten zijn voor weerspiegeling in een adequate notatie. Wittgenstein geeft geen waarneembare verklaring waarom in principe alle 'logische eigenschappen' van de wereld vatbaar zouden moeten zijn voor weerspiegeling in een adequate notatie. Wittgenstein geeft geen waarneembare verklaring waarom in principe alle 'logische eigenschappen' van de wereld vatbaar zouden moeten zijn voor weerspiegeling in een adequate notatie.

Tegen de 'rationele capaciteit', 'conventioneel', Kantiaans en vroeg-Wittgensteiniaans standpunt in, hebben andere filosofen, vooral radicale empiristen en naturalisten (om nog maar te zwijgen van epistemologische sceptici), de bewering verworpen dat er a priori kennis bestaat (vandaar impliciet ook de bewering) dat analytische proposities bestaan), en ze hebben in plaats daarvan voorgesteld dat er alleen een illusie van voorrang bestaat. Vaak is deze afwijzing is gepaard gegaan met de kritiek van de andere weergaven. JS Mill dacht dat proposities zoals (2) a priori lijken, louter omdat het specifieke gevallen zijn van vroege en zeer bekende generalisaties die we uit ervaring afleiden, zoals 'Voor alle geschikte (P), (Q) en (R), als nee (Q) is (R) en sommige (P) s zijn (Q) s, dan zijn sommige (P) s niet (R)”(zie Mill 1843, bk. II, ch. Viii). Bolzano had een vergelijkbaar standpunt (zie Bolzano 1837, §315). Quine (1936, §III) bekritiseerde op beroemde wijze de Hobbesiaanse opvatting en merkte op dat aangezien de logische waarheden potentieel oneindig zijn, onze grond daarvoor niet alleen mag liggen in een eindig aantal expliciete conventies, want logische regels zijn vermoedelijk nodig om een oneindig aantal logische waarheden uit een eindig aantal conventies (een punt afgeleid van Carroll 1895). Later Quine (met name 1954) bekritiseerde Carnap conventionalist uitzicht, grotendeels met het argument dat er lijkt geen niet-vage onderscheid tussen conventionele waarheden en waarheden die stilzwijgend geopend voor weerlegging worden gelaten, en dat in de mate dat sommige waarheden zijn het product van overeenkomst of "stilzwijgende overeenkomst",een dergelijke overeenkomst is kenmerkend voor vele wetenschappelijke hypothesen en andere hypothesen die paradigmatische non-analytische lijken. (Zie Grice en Strawson 1956 en Carnap 1963 voor reacties op deze kritiek.) Quine (vooral 1951) stelde ook dat aanvaarde zinnen in het algemeen, inclusief paradigmatische logische waarheden, het best kunnen worden gezien als iets als hypothesen die worden gebruikt om met ervaring om te gaan, ieder van deze factoren kan worden geweigerd indien dit helpt zinvol van de empirische wereld (zie Putnam 1968 voor een soortgelijk uitzicht en een vermeende voorbeeld). Volgens deze opvatting kan er niet strikt zijn a priori redenen waarom zij hebben de waarheid. Drie recente subtiele antiprioristische posities zijn Maddy's (2002, 2007), Azzouni's (2006, 2008) en Sher's (2013). Voor Maddy zijn logische waarheden a posteriori, maar ze kunnen niet louter worden bevestigd door observatie en experiment,omdat ze deel uitmaken van zeer basale denkwijzen over de onze, diep ingebed in onze conceptuele machinerie (een conceptuele machinerie die structureel vergelijkbaar is met Kants gepostuleerde transcendentale organisatie van het begrip). Evenzo, want Azzouni zijn logische waarheden even a posteriori, hoewel ons gevoel dat ze waar moeten zijn, komt doordat ze psychologisch diep ingeworteld zijn; in tegenstelling tot Maddy denkt Azzouni echter dat de logische regels waarmee we redeneren, ondoorzichtig zijn voor introspectie. Sher biedt een poging om een Quineese epistemologie van logica te combineren met een toewijding aan een metafysisch realistisch beeld van de modale grond van logische waarheid.gepostuleerde transcendente organisatie van het begrip). Ook voor Azzouni logische waarheden zijn even a posteriori, maar ons gevoel dat zij waar moet zijn komt voort uit hun psychologisch diep geworteld; in tegenstelling tot Maddy denkt Azzouni echter dat de logische regels waarmee we redeneren, ondoorzichtig zijn voor introspectie. Sher verschaft een poging tot het combineren van een Quinean epistemologie van logica met een streven naar een metafysisch realistische weergave van de modale middel logische waarheid.gepostuleerde transcendente organisatie van het begrip). Evenzo, want Azzouni zijn logische waarheden even a posteriori, hoewel ons gevoel dat ze waar moeten zijn, komt doordat ze psychologisch diep ingeworteld zijn; in tegenstelling tot Maddy denkt Azzouni echter dat de logische regels waarmee we redeneren, ondoorzichtig zijn voor introspectie. Sher biedt een poging om een Quineese epistemologie van logica te combineren met een toewijding aan een metafysisch realistisch beeld van de modale grond van logische waarheid. Sher biedt een poging om een Quineese epistemologie van logica te combineren met een toewijding aan een metafysisch realistisch beeld van de modale grond van logische waarheid. Sher biedt een poging om een Quineese epistemologie van logica te combineren met een toewijding aan een metafysisch realistisch beeld van de modale grond van logische waarheid.

Een manier waarop a priori kennis van een logische waarheid zoals (1) mogelijk zou zijn, zou zijn als a priori kennis van het feit dat (1) een logische waarheid is, of van de universele generalisatie "Voor alle geschikte (a), (P), (b) en (Q), als (a) alleen (P) is als (b) (Q) is, en (a) is (P), vervolgens (b) is (Q)”hebben mogelijk. Een bijzonder opmerkelijk soort sceptische overweging in de epistemologie van de logica is dat de mogelijkheid van inferieure a priori kennis van deze feiten lijkt te worden geconfronteerd met een probleem van circulariteit of van oneindige regressie. Als we a priori a priori kennis van die feiten willen verkrijgen, zullen we waarschijnlijk op een gegeven moment logische regels volgen,met inbegrip van mogelijk de regel van modus ponens, waarvan de juistheid wellicht gedeeltelijk afhangt van het feit dat (1) een logische waarheid is of van de waarheid van de universele generalisatie "Voor alle geschikte (a), (P), (b) en (Q), als (a) alleen (P) is als (b) (Q) is, en (a) (P) is dan (b) is (Q)”. In ieder geval lijkt het duidelijk dat niet alle beweringen van deze laatste soort, die uitdrukken dat een bepaalde waarheid een logische waarheid is of dat een bepaald logisch schema de waarheid behoudt, een a priori inferentiële rechtvaardiging zouden kunnen krijgen zonder het gebruik van enkele van dezelfde logische regels waarvan men denkt dat ze de juistheid ervan codificeren. Het punt kan wederom redelijkerwijs worden afgeleid uit Carroll (1895). Enkele van de recente literatuur over deze overweging en over anti-sceptische replieken omvat Dummett (1973, 1991) en Boghossian (2000).

1.2 Formaliteit

In de meeste opzichten zou dit, zelfs als het waar zou zijn dat logische waarheden waar zijn in alle contrafeitelijke omstandigheden, a priori en analytisch, niet voldoende voorwaarden scheppen om een waarheid een logische waarheid te laten zijn. Op de meeste uitzicht, een logische waarheid moet ook in zekere zin “formele”, en dit betekent op zijn minst dat alle waarheid dat vervanging voorbeelden van de vorm van logische waarheden te (en dus de veronderstelling in de vorige zin, waar in alle contrafeitelijke omstandigheden, a priori en analytisch). Om een kleine wijziging van een voorbeeld van Albert van Saksen gebruiken (geciteerd door Bocheński 1956 §30.07): “Als een weduwe runs, waarna een vrouwelijke runs” zou moeten gelden in alle counterfactual omstandigheden, a priori, en analytische als enige waarheid is. Echter, "Als een weduwe rent, dan loopt een log" is een vervangende instantie van zijn vorm,en in feite heeft het zelfs dezelfde vorm in elke weergave van logische vorm (zoiets als "Als a (P) (Q) s, dan een (R) (Q) s"), maar het is niet eens ware simpliciter. Dus bij de meeste opvattingen is "Als een weduwe rent, dan rent een vrouw" niet een logische waarheid.

Voor filosofen die het idee van formaliteit accepteren, zoals we hierboven al zeiden, is de logische vorm van een zin een bepaald schema waarin de uitdrukkingen die geen schematische letters zijn, breed toepasbaar zijn in verschillende discoursgebieden. [6]Als het schema de vorm is van een logische waarheid, zijn al zijn vervangende instanties logische waarheden. Het idee dat logica vooral betrekking heeft op (vervangende instanties van) schema's is natuurlijk duidelijk te beginnen bij Aristoteles en de stoïcijnen, in wie het woord dat gewoonlijk met "figuur" wordt vertaald, precies schema is. In Aristoteles een figuur is in feite een nog meer abstracte vorm van een groep van wat we nu zouden noemen “schema's”, zoals (2'). Onze schema's zijn dichter bij wat in de aristotelische syllogistiek de stemmingen zijn; maar er lijkt geen woord te zijn voor 'stemming' in Aristoteles (behalve mogelijk ptoseon in 42b30 of tropon in 43a10; zie Smith 1989, pp. 148–9), en dus geen algemene reflectie op het begrip formele schema's. Er is expliciete reflectie op het contrast tussen de formele schema's of stemmingen en de kwestie (hyle) van syllogismoi in Alexander van Aphrodisias (53.28ff., Geciteerd door Bocheński 1956, §24.06), en dat is er sindsdien altijd geweest. Het gaat om de waarden van de schematische letters.

Het idee dat de niet-schematische uitdrukkingen in logische vormen, dat wil zeggen de logische uitdrukkingen, zijn breed toepasbaar in verschillende gebieden van het discours is ook aanwezig vanaf het begin van de logica, en keert terug in alle grote logici. Het lijkt indirect in vele passages uit Aristoteles, zoals de volgende: “Alle wetenschappen zijn gerelateerd door de gewone dingen (ik noem gemeenschappelijke degenen die ze gebruiken om aan te tonen van hen, maar niet degenen die worden gedemonstreerd in hen of die over waarin iets wordt aangetoond); en logica is met hen allemaal verwant, omdat het een wetenschap is die probeert de algemene dingen universeel te demonstreren”(Posterior Analytics, 77a26–9); 'We hoeven niet de dingen van alle weerleggingen vast te pakken, maar alleen die welke kenmerkend zijn voor logica;want deze zijn gemeenschappelijk voor elke techniek en vaardigheid”(Sophistical Refutations, 170a34–5). (In deze teksten “logica” is een passende vertaling van dialektike, zie Kneale en Kneale 1962, I, § 3, die ons informeren dat logiké wordt gebruikt voor de eerste keer met zijn huidige betekenis in Alexander van Aphrodisias.) Frege zegt dat “het sterkste bewijs is natuurlijk het puur logische, dat, voortgaande uit de bijzonderheid van de dingen, uitsluitend gebaseerd is op de wetten waarop alle kennis berust”(1879, p. 48; zie ook 1885, waar de universele toepasbaarheid van de rekenkundige begrippen is gezien als een teken van hun logica). Hetzelfde idee is ook opvallend in Tarski (1941, hoofdstuk II, §6).die ons meedeelt dat logike voor het eerst wordt gebruikt met zijn huidige betekenis in Alexander van Aphrodisias.) Frege zegt dat “het sterkste bewijs natuurlijk het puur logische is, dat, voortgaande uit de bijzonderheid van de dingen, uitsluitend gebaseerd is op de wetten op waarop alle kennis berust”(1879, p. 48; zie ook 1885, waar de universele toepasbaarheid van de rekenkundige begrippen wordt gezien als een teken van hun logicaliteit). Hetzelfde idee is ook opvallend in Tarski (1941, hoofdstuk II, §6).die ons meedeelt dat logike voor het eerst wordt gebruikt met zijn huidige betekenis in Alexander van Aphrodisias.) Frege zegt dat “het sterkste bewijs natuurlijk het puur logische is, dat, voortgaande uit de bijzonderheid van de dingen, uitsluitend gebaseerd is op de wetten op waarop alle kennis berust”(1879, p. 48; zie ook 1885, waar de universele toepasbaarheid van de rekenkundige begrippen wordt gezien als een teken van hun logicaliteit). Hetzelfde idee is opvallend en in Tarski (1941, hfst. II, § 6).waar de universele toepasbaarheid van de rekenkundige concepten wordt gezien als een teken van hun logicaliteit). Hetzelfde idee is ook opvallend in Tarski (1941, hoofdstuk II, §6).waarbij de universele toepasbaarheid van de rekenkundige begrippen wordt beschouwd als een teken van hun logicality). Hetzelfde idee is ook opvallend in Tarski (1941, hoofdstuk II, §6).

Dat logische uitdrukkingen paradigmatische gevallen omvatten zoals "als", "en", "sommige", "alle", enz., En dat ze breed toepasbaar moeten zijn op verschillende gebieden van het discours, is wat we zouden kunnen noemen "de minimale stelling" over logische uitdrukkingen. Maar verder is er weinig of geen overeenstemming over welk generiek kenmerk een uitdrukking logisch maakt, en dus over wat de logische vorm van een zin bepaalt. De meeste auteurs die sympathiek zijn voor het idee dat logica formeel is, hebben geprobeerd verder te gaan dan de minimale stelling. Het zou in het algemeen over eens dat het zijn breed toepasbaar in verschillende gebieden van het discours is slechts een noodzakelijke, niet voldoende vermogen tot logische expressies; vermoedelijk zijn de meeste voorzetsels breed toepasbaar, maar het zijn geen logische uitdrukkingen op een impliciete generieke notie van een logische uitdrukking. Pogingen om het begrip van een logische uitdrukking te verrijken, hebben doorgaans getracht verdere eigenschappen te verschaffen die gezamenlijk de noodzakelijke en voldoende voorwaarden opleveren voor een logische uitdrukking.

Een idee dat is gebruikt in een dergelijke karakteriseringen, en dat is ook aanwezig in Aristoteles, is dat logische expressies niet, strikt genomen, Signify iets; of dat ze niets betekenen zoals substantieven, bijvoeglijke naamwoorden en werkwoorden iets betekenen. 'Logica [dialektike] is geen wetenschap van bepaalde dingen of van een bepaald geslacht' (Posterior Analytics, 77a32–3). We zagen dat het idee nog steeds aanwezig was in Kant en de vroege Wittgenstein. Het reemerged in de Middeleeuwen. De belangrijkste betekenis van het woord "syncategorematic" zoals toegepast op uitdrukkingen was ruwweg deze semantische betekenis (zie Kretzmann 1982, p. 212 ev). Buridan en andere laatmiddeleeuwse logici stelden voor dat categorematische uitdrukkingen de 'kwestie' van zinnen vormen, terwijl de syncategorematische uitdrukkingen hun 'vorm' vormen (zie de tekst geciteerd door Bocheński 1956,§26.11). (In een enigszins andere, eerdere, grammaticale zin van het woord, werden syncategorematische uitdrukkingen gebruikt die niet als onderwerp of predikaat kunnen worden gebruikt in categoriale proposities; zie Kretzmann 1982, pp. 211-2.) Het idee van syncategorematiciteit is enigszins onnauwkeurig, maar er zijn ernstige twijfels dat het kan dienen om het idee van een logische uitdrukking te karakteriseren, wat dit ook moge zijn. De meeste voorzetsels en bijwoorden zijn vermoedelijk syncategorematisch, maar het zijn vermoedelijk ook niet-logische uitdrukkingen. Omgekeerd predikaten zoals “identiek”, “identiek met zichzelf”, “zowel identiek en niet identiek met zichzelf”, enz., Die vastberaden logisch behandeld laatste logica vermoedelijk categorematic. (Ze zijn natuurlijk categorematic in de grammaticale zin,waarin voorzetsels en bijwoorden even duidelijk syncategorematisch zijn.)

De meeste andere voorstellen hebben getracht op een andere manier het aristotelische idee af te bakenen dat de logische uitdrukkingen een soort 'niet-substantiële' betekenis hebben, om het als een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor logicaliteit te gebruiken. Een recente suggestie is dat logische uitdrukkingen de uitdrukkingen zijn waarmee we geen onderscheid kunnen maken tussen verschillende individuen. Een manier waarop dit nauwkeurig is gemaakt, is door de karakterisering van logische uitdrukkingen als die waarvan de uitbreiding of aanduiding over een bepaald domein van individuen onveranderlijk is onder permutaties van dat domein. (Zie Tarski en Givant 1987, p. 57 en Tarski 1966; zie voor gerelateerde voorstellen ook McCarthy 1981, Sher 1991, ch. 3, McGee 1996, Feferman 1999, Bonnay 2008 en Woods 2016, onder andere.) Een permutatie van een domein is een één-op-één correspondentie tussen het domein en zichzelf. Als (D) bijvoorbeeld het domein {Aristoteles, Caesar, Napoleon, Kripke} is, is één permutatie de correspondentie die elke man aan zichzelf toewijst; een andere is de correspondentie (P) die Caesar aan Aristoteles toewijst (in wiskundige notatie, (P (text {Aristoteles}) = / text {Caesar})), Napoleon aan Caesar, Kripke aan Napoleon en Aristoteles aan Kripke. Dat de extensie van een expressie over een domein onveranderlijk is onder een permutatie van dat domein, betekent dat het geïnduceerde beeld van die extensie onder de permutatie de extensie zelf is (het "geïnduceerde beeld" van een extensie onder een permutatie (Q) is wat de extensie wordt wanneer in plaats van elk object (o) plaatst men het object (Q (o))). De extensie van "filosoof" over (D) is niet onveranderlijk onder de permutatie (P) hierboven, want die extensie is ({ text {Aristoteles}, / text {Kripke} }),wiens geïnduceerde afbeelding onder (P) is ({ text {Caesar}, / text {Aristoteles} }). Dit is gunstig voor het voorstel, voor “filosoof” is zeker niet breed toepasbaar en dus niet-logische op de meeste uitzicht. Anderzijds, het predikaat “identiek” heeft als verlengstuk over (D) het stel paren

({ langle / text {Aristoteles, Aristoteles} rangle, / langle / tekst {Caesar, Caesar} rangle, / langle / text {Napoleon, Napoleon} rangle, / langle / text {Kripke, Kripke} rangle };)

zijn geïnduceerde beeld onder (P), en onder elke andere permutatie van (D), is diezelfde set paren (zoals de lezer kan controleren); dus nogmaals, dit is gunstig voor het voorstel. (Andere paradigmatische logische uitdrukkingen krijgen meer gecompliceerde extensies over domeinen, maar de extensies die ze ontvangen zijn onveranderlijk onder permutaties. Bijvoorbeeld, op een gebruikelijke manier om de extensie van "en" over een domein te begrijpen, is dit de functie die aan elk pair (langle S_1, S_2 / rangle), waarbij (S_1) en (S_2) sets van oneindige reeksen objecten zijn die zijn getrokken uit (D), de kruising van (S_1) en (S_2), en deze functie is permutatie invariant) Een probleem met het voorstel is dat vele uitdrukkingen die duidelijk niet logisch, omdat ze niet breed toepasbaar, toch invariant onder permutaties.en dus niet in staat om verschillende individuen te onderscheiden. De eenvoudigste voorbeelden zijn misschien niet-logische predicaten die een lege uitbreiding over een domein, en dus hebben legen geïnduceerde beelden. “Mannelijke widow” is een voorbeeld; versies ervan kunnen worden gebruikt als tegenvoorbeelden van de verschillende versies van het idee van logicaliteit als permutatie-invariantie (zie Gómez-Torrente 2002), en het is onduidelijk of de voorstander van het idee het probleem op een niet-ad-hoc manier kan vermijden. Het is niet duidelijk dat de voorstander van het idee het probleem op een niet-ad-hoc manier kan vermijden. Het is niet duidelijk dat de voorstander van het idee het probleem op een niet-ad-hoc manier kan vermijden.

Een andere populaire recente manier van afbakening van de Aristotelische intuïtie van de semantische “materieel voorwerp” van logische expressies een beroep op het concept van “pure inferentiality”. Het idee is dat logische uitdrukkingen de uitdrukkingen zijn waarvan de betekenis in zekere zin wordt gegeven door "puur inferentiële" regels. (Zie onder meer Kneale 1956, Hacking 1979, Peacocke 1987, Hodes 2004.) Een noodzakelijke eigenschap van puur inferentiële regels is dat ze alleen inferentiële overgangen tussen verbale items reguleren, niet tussen extra-verbale assertibiliteitsvoorwaarden en verbale items, of tussen verbale items en acties waarvoor deze items een licentie hebben. Een bepaalde inferentiële regel geeft je toestemming om te zeggen "Het regent" als het regent, maar het is niet "puur inferentiële". Een regel die licenties die u te zeggen: “A is een vrouw wier man stierf voor haar” als iemand zegt: “A is een weduwe”, echter,wordt niet onmiddellijk gediskwalificeerd als puur inferentieel. Nu wordt vermoedelijk in zekere zin de betekenis van 'weduwe' gegeven door deze laatste regel, misschien samen met de omgekeerde regel, die je het recht geeft te zeggen 'A is een weduwe' als iemand zegt: 'A is een vrouw wiens man voor haar stierf'. Maar 'weduwe' is geen logische uitdrukking, omdat het niet breed toepasbaar is; men moet dus meer noodzakelijke eigenschappen postuleren waaraan "puur inferentiële" regels zouden moeten voldoen. Een aantal van dergelijke aandoeningen is gepostuleerd in de relevante literatuur (zie bv. Belnap 1962 (een antwoord op Prior 1960), Hacking 1979 en Hodes 2004). Echter, zelfs wanneer de notie van zuivere inferentiality wordt versterkt in deze manieren, problemen blijven bestaan. Meestal het voorstel is dat een uitdrukking is logisch voor het geval dat bepaalde zuiver Redeneerregels geven zijn gehele betekenis, met inbegrip van zijn betekenis,of het geheel van aspecten van het gebruik dat moet worden beheerst om het te begrijpen (zoals in Kneale 1956, Peacocke 1987 en Hodes 2004). Het lijkt echter duidelijk dat er aan sommige paradigmatische logische uitdrukkingen extra zintuigen zijn verbonden die niet puur inferentief kunnen worden gecodificeerd. Bijvoorbeeld, inductief redeneren met “all” lijkt uit te maken van de betekenis van deze uitdrukking, maar het is moeilijk om te zien hoe het zou kunnen worden gecodificeerd door zuiver Redeneerregels (zoals opgemerkt door Sainsbury 1991, pp 316-7;. Zie ook Dummett 1991, hoofdstuk 12). Een andere versie van het voorstel bestaat erin te zeggen dat een uitdrukking logisch is voor het geval bepaalde zuiver inferentiële regels die deel uitmaken van de betekenis ervan voldoende zijn om de uitbreiding ervan te bepalen (zoals in Hacking 1979). Maar het lijkt duidelijk dat als de uitbreiding van, laten we zeggen,"Zijn identiek" wordt bepaald door een bepaalde reeks zuiver inferentiële regels die deel uitmaken van zijn betekenis, dan wordt de uitbreiding van "zijn identiek en zijn geen mannelijke weduwen" evenzeer bepaald door dezelfde regels, die aantoonbaar deel uitmaken van zijn betekenis; toch "zijn identiek en zijn geen mannelijke weduwen" is geen logische uitdrukking (zie Gómez-Torrente 2002).

Gezien de problemen van deze en andere soorten, hebben sommige filosofen voorgesteld dat het concept van een logische uitdrukking niet wordt geassocieerd met noodzakelijke en voldoende voorwaarden, maar alleen met een noodzakelijke voorwaarde die verband houdt met de voorwaarde van brede toepasbaarheid, zoals de voorwaarde van " zeer relevant voor de systematisering van wetenschappelijke redenering”(zie Warmbrōd 1999 voor een standpunt van dit type). Anderen (Gómez-Torrente 2002) hebben voorgesteld dat er een reeks noodzakelijke en toereikende voorwaarden zou kunnen zijn, als deze niet veel verband houden met het idee van semantische "niet-substantieelheid" en in plaats daarvan pragmatisch en passend vaag zijn; veel uitdrukkingen worden bijvoorbeeld direct uitgesloten door de voorwaarde van brede toepasbaarheid;en voorzetsels worden vermoedelijk uitgesloten door een dergelijke impliciete voorwaarde als "een logische uitdrukking moet er een zijn waarvan de studie nuttig is voor het oplossen van significante problemen en denkfouten". Zeker, deze voorstellen laten de uitgebreide intuïtie van semantische 'onstoffelijkheid' achterwege en kunnen om die reden enigszins onbevredigend zijn.

Sommige filosofen hebben nog radicaler gereageerd op de problemen van de gebruikelijke karakterisering en beweerden dat het onderscheid tussen logische en niet-logische uitdrukkingen leeg moet zijn, en verwierpen daarmee het idee van logische vorm helemaal. (Zie bv. Orayen 1989, hoofdstuk 4, §2.2; Etchemendy 1990, hoofdstuk 9; Read 1994; Priester 2001.) Deze filosofen beschouwen logische waarheid typisch als een begrip dat ongeveer gelijk is aan dat van analytische waarheidssimpliciet. Maar ze zijn zelfs nog meer aansprakelijk voor de beschuldiging van het opgeven van uitgebreide intuïties dan de voorstellen van de vorige paragraaf.

Voor meer grondige behandeling van de ideeën van formaliteit en van een logische uitdrukking, zie de vermelding logische constanten en MacFarlane 2000.

2. De wiskundige karakterisering van logische waarheid

2.1 Formalisatie

Een belangrijke reden voor het succes van de moderne logica is het gebruik van de zogenaamde 'formalisering'. Deze term wordt gewoonlijk toegepast om een aantal verschillende (maar verwante) verschijnselen dekken, allemaal aanwezig in Frege (1879). Een daarvan is het gebruik van een volledig gespecificeerde set kunstmatige symbolen waaraan de logicus ondubbelzinnig betekenissen toewijst, gerelateerd aan de betekenissen van corresponderende natuurlijke taaluitdrukkingen, maar veel duidelijker afgebakend en ontdaan van de aantekeningen die in die natuurlijke taaluitdrukkingen irrelevant lijken naar waarheid voorwaardelijke inhoud; dit geldt vooral voor symbolen die bedoeld zijn om de logische uitdrukkingen van natuurlijke taal weer te geven. Een ander fenomeen is de bepaling van een volledig nauwkeurige grammatica voor de formules die zijn samengesteld uit de kunstmatige symbolen,formules die "gestripte" versies van gecorreleerde zinnen in natuurlijke taal zullen zijn; deze grammatica komt neer op een algoritme voor het maken van formules uitgaande van de basissymbolen. Een derde verschijnsel is het postuleren van een deductieve calculus met een zeer duidelijke specificatie axioma's en deductieregels de kunstmatige formules (zie volgende paragraaf); een dergelijke calculus is bedoeld om op de een of andere manier deductieve redenering weer te geven met de correlaten van de formules, maar in tegenstelling tot gewone deducties, bevatten afleidingen in de calculus geen stappen die geen definitieve toepassing zijn van de gespecificeerde inferentieregels. Een derde fenomeen is de postulatie van een deductieve calculus met een zeer duidelijke specificatie van axioma's en inferentieregels voor de kunstmatige formules (zie de volgende sectie); een dergelijke calculus is bedoeld om op de een of andere manier deductieve redenering weer te geven met de correlaten van de formules, maar in tegenstelling tot gewone deducties, bevatten afleidingen in de calculus geen stappen die geen definitieve toepassing zijn van de gespecificeerde inferentieregels. Een derde fenomeen is de postulatie van een deductieve calculus met een zeer duidelijke specificatie van axioma's en inferentieregels voor de kunstmatige formules (zie de volgende sectie); zo'n calculus is bedoeld om te vertegenwoordigen op een bepaalde manier deductieve redeneren met de correlaten van de formules, maar in tegenstelling tot de gewone aftrek, afleidingen in de calculus bevatten geen stappen die niet definitief zijn toepassingen van de gespecificeerde regels van gevolgtrekking.

In plaats van te proberen de logische waarheden van een natuurlijke taal zoals het Engels te karakteriseren, probeert de Fregese logicus de kunstmatige formules te karakteriseren die 'uitgeklede' correlaten van die logische waarheden zijn in een Fregese geformaliseerde taal. In de eerste-orde Fregeïsche geformaliseerde talen vindt men onder deze formules kunstmatige correlaten van (1), (2) en (3), zaken als

(((text {Bad} (textit {death}) rightarrow / text {Good} (textit {life})) & / \ text {Bad} (textit {death})) rightarrow / text {Good} (textit {leven}).)

  • ((forall x (text {Desire} (x) rightarrow / neg / text {Voluntary} (x)) & / \ bestaat x (text {Belief} (x) & / \ text {Desire} (x))))

    (rightarrow / exist x (text {Belief} (x) & / \ neg / text {Voluntary} (x)).)

  • ((text {Cat} (textit {drasha}) & / \ forall x (text {Cat} (x) rightarrow / text {Mysterious} (x))))

    (rightarrow / sms {Mysterious} (textit {drasha}).)

(Zie de vermelding over logica, klassiek.) Fregean-geformaliseerde talen omvatten ook klassieke hogere-orde talen. (Zie de vermelding over logica, tweede orde en hogere orde.) De logische uitdrukkingen in deze talen worden standaard beschouwd als de symbolen voor de waarheidsfuncties, de kwantoren, identiteit en andere symbolen die gedefinieerd kunnen worden in termen van die (maar er zijn verschillen van mening over de status van de hogere orde kwantoren; zie 2.4.3 hieronder).

De beperking tot kunstmatige formules roept een aantal vragen op over de exacte waarde van de Fregese onderneming voor de afbakening van logische waarheden in natuurlijke taal; een groot deel van deze waarde is afhankelijk van hoeveel en hoe belangrijk worden gezien naar de toelichting wordt gestript uit het natuurlijke taal uitdrukkingen die zijn correlaten van de standaard logische uitingen van geformaliseerde talen. Maar wat men ook van de exacte waarde van formalisering vindt, het lijdt weinig twijfel dat het voor logische doeleinden zeer verhelderend is geweest. Een reden is dat het vaak duidelijk is dat de gestripte aantekeningen niet echt relevant zijn voor waarheidsvoorwaardelijke inhoud (dit geldt vooral voor het gebruik van logische uitdrukkingen in natuurlijke taal voor wiskunde). Een andere reden is dat het feit dat de grammatica en betekenis van de kunstmatige formules zo goed zijn afgebakend, de ontwikkeling mogelijk heeft gemaakt van voorgestelde karakteristieken van logische waarheid die alleen concepten van standaard wiskunde gebruiken. Dit heeft op zijn beurt de studie van de gekarakteriseerde begrippen mogelijk gemaakt door middel van standaard wiskundige technieken. De volgende twee secties beschrijven de twee belangrijkste benaderingen van karakterisering in grote lijnen.[7]

2.2 Afleidbaarheid

We hebben zojuist opgemerkt dat de geformaliseerde grammatica van de Fregeïsche logicus neerkomt op een algoritme voor het maken van formules op basis van kunstmatige basissymbolen. Dit is heel letterlijk bedoeld. Zoals wiskundige logici al heel vroeg duidelijk waren, kunnen de basissymbolen worden gezien als (of gecodificeerd door) natuurlijke getallen, en de formatieregels in de kunstmatige grammatica kunnen worden gezien als (of gecodificeerd door) eenvoudige rekenbare rekenkundige bewerkingen. De grammaticale formules kunnen dan worden gezien als (of gecodificeerd door) de getallen die kunnen worden verkregen uit de basisgetallen na een eindige reeks toepassingen van de bewerkingen, en dus is hun verzameling karakteristiek in termen van concepten van rekenkunde en verzamelingenleer (in feite volstaat rekenkunde, met behulp van enkele trucs).

Precies hetzelfde geldt voor de reeks formules die kunnen worden afgeleid in een geformaliseerde deductieve calculus. Een formule (F) worden afgeleid in een Fregeaanse calculus (C) het geval (F) verkrijgbaar is uit de axioma's van (C) na een eindige reeks toepassingen van de deductieregels van (C). Maar de axioma's zijn bepaalde formules die zijn gebouwd door het proces van grammaticale vorming, dus ze kunnen worden gezien als (of gecodificeerd door) bepaalde getallen; en de regels van gevolgtrekking kunnen weer worden gezien als (of gecodificeerd door) bepaalde rekenbare bewerkingen. Dus de derivable formules kan worden gezien als (of gecodificeerd door) de nummers worden verkregen uit de axioma nummers na een eindige reeks van toepassingen van de gevolgtrekking operaties, en dus hun set is weer characterizable in termen van concepten van de standaard wiskunde (weer rekenen volstaat).

In de tijd na Frege's revolutie schijnt er een wijdverbreide overtuiging te zijn geweest dat de reeks logische waarheden van elke Fregese taal zou kunnen worden gekarakteriseerd als de reeks formules die kunnen worden afgeleid in een geschikt gekozen calculus (vandaar in wezen als de reeks getallen die kan worden verkregen door bepaalde rekenkundige bewerkingen). Frege zegt zelf, sprekend over de hogere-orde taal in zijn “Begriffsschrift”, dat we door formalisatie (in de derde zin hierboven) “tot een klein aantal wetten komen waarin, als we die toevoegen aan de regels, de inhoud van alle wetten is opgenomen, zij het in een onontwikkelde staat”(Frege 1879, §13). Het idee volgt rechtlijnig vanaf de conceptie Russells wiskunde en logica identiek (zie Russell 1903 ch I, §10;. Russell 1920, pp.194–5) en zijn stelling dat “met behulp van tien afleidingsprincipes en tien andere premissen van algemeen logische aard (…) alle wiskunde strikt en formeel kan worden afgeleid” (Russell 1903, ch. I, §4). Zie ook Bernays (1930, p. 239): “[door formalisatie] wordt het duidelijk dat alle logische gevolgtrekking (…) kan worden herleid tot een beperkt aantal logische elementaire processen die exact en volledig kunnen worden opgesomd”. In de eerste alinea's van zijn papier op logisch gevolg, Tarski (1936a, 1936b) zegt dat de overtuiging heerste voor het verschijnen van onvolledigheid stellingen Gödel's (zie paragraaf 2.4.3 hieronder voor de lagering van deze stellingen over dit onderwerp). De laatste tijd, blijkbaar als gevolg van de invloed van Tarskische argumenten zoals die tegen het einde van paragraaf 2.4.3 genoemd,het geloof in de toereikendheid van afleidbaarheid karakteriseringen lijkt te zijn afgenomen (zie bv Prawitz 1985 voor een vergelijkbare evaluatie).

2.3 Model-theoretische validiteit

Zelfs op de meest voorzichtige manier om de in logische waarheden aanwezige modaliteit te begrijpen, is een zin alleen een logische waarheid als geen enkele zin die een vervangende instantie van zijn logische vorm is, onjuist is. (Dit idee wordt alleen afgewezen door degenen die het idee van logische vorm afwijzen.) Het is een algemene opmerking dat deze eigenschap, zelfs als deze nodig is, niet duidelijk voldoende is om een zin een logische waarheid te laten zijn. Misschien is er een zin die deze eigenschap heeft, maar die niet echt logisch waar is, omdat men een aantal onuitgesproken betekenissen aan de variabelen en de schematische letters in zijn logische vorm zou kunnen toekennen, en onder die betekenissen zou de vorm een valse zin zijn. [8]Aan de andere kant is het niet duidelijk onjuist te denken dat een zin een logische waarheid is als er geen collectieve toewijzing van betekenissen aan de variabelen en de schematische letters in zijn logische vorm deze vorm in een valse zin zou veranderen. Stel dat een zin universeel geldig is wanneer deze deze eigenschap heeft. Een standaardbenadering van de wiskundige karakterisering van logische waarheid, als alternatief voor de afleidingsbenadering, gebruikt altijd een versie van de eigenschap van universele validiteit, en stelt deze telkens voor als noodzakelijk en voldoende voor logische waarheid. Merk op dat als een zin universeel geldig is, het waar zal zijn, zelfs als het niet logisch waar is. Dus alles wat universeel geldige zinnen zijn correct op zijn minst in deze zin.

Blijkbaar was Bolzano de eerste die een versie van universele geldigheid gebruikte en die expliciet voorstelde als zowel noodzakelijk als voldoende voor de logische waarheid (zie Bolzano 1837, §148; en Coffa 1991, blz. 33–4 voor de claim van prioriteit). Het idee is ook aanwezig bij andere wiskundigen uit de negentiende eeuw (zie bijv. Jané 2006), en was gebruikelijk in Hilbert's school. Tarski (1936a, 1936b) was de eerste die op volledig expliciete wijze aangaf hoe de versie van de universele validiteit die door de wiskundigen werd gebruikt, zelf een karakterisering kon krijgen in termen van concepten van standaardwiskunde, in het geval van Fregeïsche geformaliseerde talen met een algoritmische Grammatica. In wezen Tarski's karakterisering wordt op grote schaal gebruikt vandaag in de vorm van wat bekend staat als de model-theoretische notie van geldigheid,en het lijkt redelijk om te zeggen dat algemeen wordt aangenomen dat dit idee een redelijk goede afbakening geeft van de reeks logische waarheden voor Fregese talen.

De notie model-theoretische validiteit bootst de notie van universele validiteit na, maar wordt alleen gedefinieerd met behulp van het set-theoretische apparaat ontwikkeld door Tarski (1935) voor de karakterisering van semantische concepten zoals tevredenheid, definieerbaarheid en waarheid. (Zie het artikel over de waarheidsdefinities van Tarski.) Gegeven een Fregese taal, is een structuur voor de taal een set-theoretisch object dat bestaat uit een set-domein, samen met een toewijzing van extensies die uit dat domein zijn getrokken naar zijn niet-logische constanten. Een structuur wordt door de meeste logici bedoeld om een toewijzing van betekenissen weer te geven: het domein geeft het bereik of de "betekenis" van de variabelen van de eerste orde (en induceert bereiken van de variabelen van de hogere orde), en de uitbreidingen die de structuur toekent aan de niet-logische constanten zijn "betekenissen" die deze uitdrukkingen kunnen aannemen. Met behulp van het Tarskian-apparaat definieert men voor de formules van de Fregeïsche taal het begrip waarheid in (of tevredenheid door) een set-theoretische structuur (met betrekking tot een oneindige reeks die aan elke variabele een object van het domein toewijst). En ten slotte definieert men een formule om modeltheoretisch geldig te zijn voor het geval deze in alle structuren voor zijn taal waar is (met betrekking tot alle oneindige reeksen). Laten we afkorten "(F) geldt in alle structuren" als "MTValid ((F))". De model-theoretische karakterisering maakt duidelijk dat "MTValid ((F))" puur definieerbaar is in termen van concepten van verzamelingenleer. (Het begrip modeltheoretische validiteit voor Fregese talen wordt in detail uitgelegd in de vermeldingen over klassieke logica en tweede-orde en hogere-orde logica; zie ook de vermelding over modeltheorie.)men definieert voor de formules van de Fregeïsche taal het begrip waarheid in (of tevredenheid door) een set-theoretische structuur (met betrekking tot een oneindige reeks die aan elke variabele een object van het domein toewijst). En ten slotte definieert men een formule om modeltheoretisch geldig te zijn voor het geval deze in alle structuren voor zijn taal waar is (met betrekking tot alle oneindige reeksen). Laten we afkorten "(F) geldt in alle structuren" als "MTValid ((F))". Het model-theoretische karakterisering maakt duidelijk dat “MTValid ((F))” is louter definiëren in termen van concepten verzamelingenleer. (Het begrip modeltheoretische validiteit voor Fregese talen wordt in detail uitgelegd in de vermeldingen over klassieke logica en tweede-orde en hogere-orde logica; zie ook de vermelding over modeltheorie.)men definieert voor de formules van de Fregeïsche taal het begrip waarheid in (of tevredenheid door) een set-theoretische structuur (met betrekking tot een oneindige reeks die aan elke variabele een object van het domein toewijst). En ten slotte definieert men een formule om modeltheoretisch geldig te zijn voor het geval deze in alle structuren voor zijn taal waar is (met betrekking tot alle oneindige reeksen). Laten we afkorten "(F) geldt in alle structuren" als "MTValid ((F))". Het model-theoretische karakterisering maakt duidelijk dat “MTValid ((F))” is louter definiëren in termen van concepten verzamelingenleer. (Het begrip modeltheoretische validiteit voor Fregese talen wordt in detail uitgelegd in de vermeldingen over klassieke logica en tweede-orde en hogere-orde logica; zie ook de vermelding over modeltheorie.)))))definieert men een formule model-theorie geldt voor het geval dat geldt voor alle structuren van de taal (met betrekking tot alle oneindige rijen). Laten we afkorten "(F) geldt in alle structuren" als "MTValid ((F))". Het model-theoretische karakterisering maakt duidelijk dat “MTValid ((F))” is louter definiëren in termen van concepten verzamelingenleer. (Het begrip modeltheoretische validiteit voor Fregese talen wordt in detail uitgelegd in de vermeldingen over klassieke logica en tweede-orde en hogere-orde logica; zie ook de vermelding over modeltheorie.)men definieert een formule om modeltheoretisch geldig te zijn voor het geval deze in alle structuren voor zijn taal waar is (met betrekking tot alle oneindige reeksen). Laten we afkorten "(F) geldt in alle structuren" als "MTValid ((F))". De modeltheoretische karakterisering maakt duidelijk dat "MTValid ((F))" puur definieerbaar is in termen van concepten van verzamelingenleer. (Het begrip modeltheoretische validiteit voor Fregese talen wordt in detail uitgelegd in de vermeldingen over klassieke logica en tweede-orde en hogere-orde logica; zie ook de vermelding over modeltheorie.)(Het begrip modeltheoretische validiteit voor Fregese talen wordt in detail uitgelegd in de vermeldingen over klassieke logica en tweede-orde en hogere-orde logica; zie ook de vermelding over modeltheorie.)(Het begrip modeltheoretische validiteit voor Fregese talen wordt in detail uitgelegd in de vermeldingen over klassieke logica en tweede-orde en hogere-orde logica; zie ook de vermelding over modeltheorie.)[9]

(Als (F) een formule is van een eerste-orde taal zonder identiteit, dan is als geen vervangende instantie van de vorm van (F) onwaar is, dit een voldoende voorwaarde om (F) 's model-theoretisch geldig Als blijkt dat (F) niet model-theoretisch geldig is, dan zal een of ander vervangend exemplaar van zijn vorm waarvan de variabelen de natuurlijke getallen overschrijden en waarvan de niet-logische constanten rekenkundige uitdrukkingen zijn, vals is. Dit kan worden gerechtvaardigd door een verfijning van de stelling van Löwenheim-Skolem. Zie de vermelding over logica, klassiek en Quine 1970, hoofdstuk 4, voor discussie en referenties. Geen vergelijkbare resultaten gelden voor hogere-orde talen.)

De "MT" in "MTValid ((F))" benadrukt het feit dat model-theoretische validiteit verschilt van universele validiteit. Het begrip betekenistoewijzing dat voorkomt in de beschrijving van universele validiteit is een zeer onnauwkeurig en intuïtief begrip, terwijl het idee van een structuur die voorkomt in een karakterisering van modeltheoretische validiteit redelijk nauwkeurig en technisch is. Het lijkt duidelijk dat het idee van een structuur voor Fregeïsche geformaliseerde talen minimaal redelijk is, in die zin dat een structuur de kracht modelleert van een of meer betekenisopdrachten om valse (de logische vorm van) een zin te maken. Zoals we later zullen noemen, het omgekeerde pand, dat ongeldigheid weerleggen elk een vermogen van betekenis opdracht wordt gemodelleerd door enige structuur, is ook een natuurlijk, maar meer veeleisende eis op een notie van structuur.

2.4 Het probleem van toereikendheid

Het feit dat de begrippen afleidbaarheid en modeltheoretische validiteit definieerbaar zijn in de standaardwiskunde lijkt een zeer aantrekkelijk kenmerk ervan te zijn geweest onder praktiserende logici. Maar dit aantrekkelijke kenmerk rechtvaardigt op zichzelf natuurlijk niet dat beide begrippen worden beschouwd als een adequate karakterisering van logische waarheid. Bij de meeste opvattingen proberen we met een wiskundige karakterisering van logische waarheid een reeks formules af te bakenen met een aantal niet-wiskundige eigenschappen. Welke eigenschappen dit zijn, is afhankelijk van onze pretheoretic opvatting van, bijvoorbeeld, de functies van modaliteit en formaliteit. (Met “pretheoretic” Het is niet “voorafgaand aan enige theoretische activiteit” betekent;. Er kon nauwelijks een “pretheoretic” opvatting van logische waarheid in deze zin van het woord in dit verband wat's bedoeld is "voorafgaand aan de theoretische activiteit van wiskundige karakterisering".) Maar bij zo'n conceptie zullen er externe, niet-wiskundige criteria zijn die kunnen worden toegepast om de vraag te evalueren of een wiskundige karakterisering voldoende is. In deze laatste paragraaf zullen we enkele van de basiskwesties en resultaten schetsen over de vraag of afleidbaarheid en model-theoretische validiteit in deze zin voldoende zijn.

2.4.1 Analyse en modaliteit

Een veelvoorkomend bezwaar tegen de geschiktheid van model-theoretische validiteit is dat het geen conceptuele analyse biedt van het begrip logische waarheid, zelfs niet voor zinnen van Fregese geformaliseerde talen (zie bv. Pap 1958, p. 159; Kneale en Kneale 1962, p. 642; Field 1989, pp. 33–4; Etchemendy 1990, ch. 7). Deze klacht komt vooral veel voor bij auteurs die geneigd zijn om logische waarheid en analytische simpliciter te identificeren (zie bv. Kneale and Kneale, ibid., Etchemendy 1990, p. 126). Als men het concept van logische waarheid eenvoudigweg als het concept van analytische waarheid beschouwt, is het bijzonder redelijk om te accepteren dat het concept van logische waarheid niet veel te maken heeft met het concept van model-theoretische validiteit, want vermoedelijk heeft dit concept niet hebben veel te maken met het begrip analyticiteit. Zeggen dat een formule modeltheoretisch geldig is, betekent dat er geen set-theoretische structuren zijn waarin deze onjuist is; dus zeggen dat een formule niet-theoretisch model geldig betekent dat er set-theoretische structuren waarin het vals. Maar zeggen dat een zin al dan niet analytisch is, betekent vermoedelijk niets over het al dan niet bestaan van verzamelingenleer. Merk op dat we op dezelfde gronden bezwaar kunnen maken tegen afleidbaarheid, want om te zeggen dat een zin al dan niet analytisch is, betekent waarschijnlijk niets over het al dan niet het product zijn van een bepaald algoritme (vergelijk Etchemendy 1990, p. 3). (Nog een merkwaardig,veel besproken claim in Etchemendy 1990 is dat ware claims van de vorm "(F) is logisch waar" of "(F) is niet logisch waar" zouden zelf logische waarheden moeten zijn (terwijl de corresponderende claims "MTValid ((F))”en‘Not MTValid ((F))’zijn niet logisch waarheden). Etchemendy's bewering is misschien verdedigbaar onder een opvatting van logische waarheid als analytische simpliciter, maar zeker twijfelachtig over meer traditionele opvattingen van logische waarheid, waarop het predikaat 'een logische waarheid' is, zelfs geen logische uitdrukking. Zie Gómez-Torrente 1998/9 en Soames 1999, ch. 4 voor discussie.)waarop het predikaat 'een logische waarheid' is, is niet eens een logische uitdrukking. Zie Gómez-Torrente 1998/9 en Soames 1999, ch. 4 voor discussie.)waarop het predikaat 'een logische waarheid' is, is niet eens een logische uitdrukking. Zie Gómez-Torrente 1998/9 en Soames 1999, ch. 4 voor discussie.)

Analoge bezwaren tegen "geen conceptuele analyse" kunnen worden gemaakt als we accepteren dat het concept van de logische waarheid enkele andere sterke modale aantekeningen heeft die geen verband houden met analyticiteit; als we bijvoorbeeld accepteren dat het deel uitmaakt van het concept van logische waarheid dat logische waarheden waar zijn in alle contrafeitelijke omstandigheden, of noodzakelijk zijn in een andere sterke zin. Sher (1996) accepteert zoiets als de vereiste dat een goede karakterisering van logische waarheid moet worden gegeven in termen van een modaal rijk concept. Ze stelt echter dat het idee van model-theoretische validiteit sterk modaal is, en dus is het bezwaar "geen conceptuele analyse" eigenlijk onjuist: te zeggen dat een formule al dan niet model-theoretisch geldig is, is het maken van een wiskundig bestaan of niet -existence conclusies,en volgens Sher kunnen deze beweringen het best gelezen worden als beweringen over de mogelijkheid en noodzaak van constructies. (Shalkowski 2004 stelt dat Sher's verdediging van modeltheoretische validiteit onvoldoende is, op basis van een bepaalde metafysische opvatting van logische noodzaak. Etchemendy 2008 betoogt in verband daarmee dat Sher's verdediging is gebaseerd op ontoereikende beperkingen op de modaliteit die relevant is voor logische waarheid. Zie ook de kritische bespreking van Sher in Hanson 1997.) García-Carpintero (1993) biedt een visie met betrekking tot die van Sher: modeltheoretische validiteit biedt een (correcte) conceptuele analyse van logische waarheid voor Fregese talen, omdat het begrip 'set-theoretische structuur' in feite een subtiele verfijning van de modale notie van een mogelijke betekenistoewijzing. Azzouni (2006), ch. 9,verdedigt ook de opvatting dat modeltheoretische validiteit een correcte conceptuele analyse van logische waarheid verschaft (hoewel beperkt tot talen van de eerste orde), op basis van een bepaalde deflatoire opvatting van de (sterke) modaliteit die betrokken is bij logische waarheid.

Het standaardbeeld van set-theoretische claims ziet ze echter niet als sterke modale claims - in het beste geval zijn sommige modaal in de minimale zin dat het universele generalisaties of specifieke gevallen hiervan zijn. Maar het is in ieder geval onduidelijk of dit de basis is voor een krachtig bezwaar tegen model-theoretische validiteit of afleidbaarheid, want zelfs als we accepteren dat het concept van logische waarheid sterk modaal is, is het onduidelijk dat een goede karakterisering van logisch waarheid zou een conceptuele analyse moeten zijn. Een analogie kan helpen. Er wordt algemeen aangenomen dat de karakterisering van het begrip berekenbaarheid in de standaardwiskunde, bijvoorbeeld als recursiviteit, in zekere zin goede karakterisering is. Merk op dat het concept van rekenvaardigheid modaal is, in een redelijk sterke zin;het lijkt te zijn over wat een mens zoals wij kunnen doen met bepaalde symbolen als hij vrij waren van bepaalde beperkingen, niet over, zeg, wat bestaande wezens hebben gedaan of zullen doen. Maar om te zeggen dat een bepaalde functie recursief is, is er geen modale bewering over te doen, maar een bepaalde puur rekenkundige bewering. Er wordt dus algemeen aangenomen dat recursiviteit een goede karakterisering van berekenbaarheid geeft, maar het levert duidelijk geen conceptuele analyse op. Misschien kan worden gesteld dat de situatie met modeltheoretische validiteit, of afleidbaarheid, of beide, hetzelfde is. Dus recursiviteit op grote schaal is overeengekomen om een goede karakterisering van berekenbaarheid te bieden, maar het duidelijk niet zorgen voor een conceptuele analyse. Misschien kan worden gesteld dat de situatie met modeltheoretische validiteit, of afleidbaarheid, of beide, hetzelfde is. Er wordt dus algemeen aangenomen dat recursiviteit een goede karakterisering van berekenbaarheid geeft, maar het levert duidelijk geen conceptuele analyse op. Misschien kan worden gesteld dat de situatie met modeltheoretische validiteit, of afleidbaarheid, of beide, hetzelfde is.

Een aantal filosofen verwerpt expliciet de eis dat een goede karakterisering van logische waarheid een conceptuele analyse moet opleveren, en (althans ter wille van de argumentatie) stelt de gebruikelijke opvatting van set-theoretische beweringen als niet-modaal niet ter discussie, maar heeft betoogd dat het universum van set-theoretische structuren op de een of andere manier het universum van mogelijke structuren modelleert (of in ieder geval het universum van mogelijke set-theoretische structuren; zie McGee 1992, Shapiro 1998, Sagi 2014). In deze indirecte zin zou de karakterisering in termen van modeltheoretische validiteit een deel van de sterke modale kracht bevatten die vaak wordt gezien als logische waarheden. McGee (1992) geeft een elegant argument voor dit idee: het is redelijk om te denken dat, gegeven elke set-theoretische structuur, zelfs een geconstrueerd uit niet-wiskundige individuen, geactualiseerd of niet,er is een set-theoretische structuur die isomorf is, maar uitsluitend geconstrueerd uit pure sets; maar elke dergelijke zuivere set-theoretische structuur is, zoals gebruikelijk, een geactualiseerd bestaan; zo wordt elke mogelijke set-theoretische structuur naar wens gemodelleerd door een set-theoretische structuur. (De betekenis hiervan hangt af van het feit dat in de Fregese talen een formule waar is in een structuur als en alleen als het waar is in alle structuren die er isomorf voor is.)(De betekenis hiervan hangt af van het feit dat in de Fregese talen een formule waar is in een structuur als en alleen als het waar is in alle structuren die er isomorf voor is.)(De betekenis hiervan hangt af van het feit dat in de Fregese talen een formule waar is in een structuur als en alleen als het waar is in alle structuren die er isomorf voor is.)

Maar model-theoretische validiteit (of afleidbaarheid) kan op de een of andere manier theoretisch voldoende zijn, zelfs als sommige mogelijke betekenis-toewijzingen niet rechttoe rechtaan worden gemodelleerd door (feitelijke) set-theoretische structuren. Om model-theoretische validiteit theoretisch adequaat te laten zijn, zou het kunnen worden aangenomen, het is voldoende als we andere redenen hebben om te denken dat het extensief adequaat is, dat wil zeggen dat het samenvalt met onze geprefereerde pretheoretische notie van logische waarheid. In paragrafen 2.4.2 en 2.4.3 zullen we een aantal bestaande argumenten voor en tegen de vlakte extensional toereikendheid van afleidbaarheid en model-theoretische geldigheid Fregeaanse talen te onderzoeken.

2.4.2 Uitgebreide geschiktheid: een algemeen argument

Als men zijn deductieve calculus met zorg opbouwt, kan men zichzelf ervan overtuigen dat alle in de calculus af te leiden formules logische waarheden zijn. De reden is dat men zijn intuïtie zeer systematisch kan gebruiken om die overtuiging te verkrijgen: men kan in zijn calculus alleen axioma's hebben opgenomen waarvan men ervan overtuigd is dat het logische waarheden zijn; en men kan regels als gevolgtrekkingsregels hebben opgenomen waarvan men ervan overtuigd is dat ze logische waarheden produceren wanneer ze worden toegepast op logische waarheden. Met een andere terminologie betekent dit dat, als men zorgvuldig zijn calculus opbouwt, men ervan overtuigd zal zijn dat de afleidbaarheidskarakterisering van logische waarheid voor formules van de geformaliseerde taal gezond zal zijn met betrekking tot logische waarheid.

Het is evenzeer duidelijk dat als men een idee van model-theoretische validiteit voorhanden heeft voor een geformaliseerde taal die is gebaseerd op een minimaal redelijke notie van structuur, dan zullen alle logische waarheden (van die taal) model-theoretisch geldig zijn. De reden is simpel: als een formule niet model-theoretisch geldig is, dan is er een structuur waarin deze onjuist is; maar deze structuur moet dan een betekenistoewijzing (of toewijzingen) modelleren waarop de formule (of de logische vorm) vals is; zodat het mogelijk is om een formule te construeren met dezelfde logische vorm, waarvan de niet-logische uitdrukkingen door bepaling, de bepaalde betekenissen getrokken dat collectieve betekenis opdracht en die dus vals. Maar dan impliceert het idee van formaliteit en de zwakste opvatting van de modale kracht van logische waarheden onomstreden dat de oorspronkelijke formule niet logisch waar is. Met een andere terminologie kunnen we concluderen dat model-theoretische validiteit compleet is met betrekking tot logische waarheid.

Laten we afkorten "(F) is af te leiden in calculus (C)" door "DC ((F))" en "(F) is een logische waarheid (in onze favoriete pretheoretische zin)" door " LT ((F)) '. Als (C) een calculus is die is gebouwd om te passen bij onze pretheoretische opvatting van logische waarheid, kan de situatie als volgt worden samengevat:

(4) (text {} DC (V) Rightarrow / text {LT} (F) Rightarrow / text {MTValid} (F).)

De eerste implicatie is de degelijkheid van afleidbaarheid; de tweede is de volledigheid van de modeltheoretische validiteit.

Om onszelf ervan te overtuigen dat de karakteristieken van logische waarheid in termen van DC ((F)) en MTValid ((F)) uitermate geschikt zijn, moeten we onszelf ervan overtuigen dat de omgekeerde implicaties ook gelden:

(5) (text {MTValid} (F) Rightarrow / text {LT} (F) Rightarrow / text {DC} (F).)

Het verkrijgen van deze overtuiging, of de overtuiging dat deze implicaties in feite niet gelden, blijkt in het algemeen moeilijk te zijn. Maar een opmerking van Kreisel (1967) stelt vast dat soms een overtuiging die ze hebben, kan worden verkregen. In sommige gevallen is het mogelijk om een wiskundig bewijs te geven dat de afleidbaarheid (in sommige gespecificeerde calculus (C)) volledig is met betrekking tot model-theoretische validiteit, dwz een bewijs van

(6) (text {MTValid} (F) Rightarrow / text {DC} (F).)

Kreisel vestigde de aandacht op het feit dat (6) samen met (4) impliceert dat modeltheoretische validiteit deugdelijk is met betrekking tot de logische waarheid, dat wil zeggen dat de eerste implicatie van (5) geldt. (Strikt genomen is dit een sterke veralgemening van de opmerking van Kreisel, die in plaats van "(text {LT} (F))" zoiets had als "(F) geldt voor alle klassenstructuren" (structuren met een klasse, mogelijk juist, als domein van de individuele variabelen).) Dit betekent dat wanneer (6) de notie model-theoretische validiteit bezit, het een extensie-correcte karakterisering van logische waarheid biedt. (Zie Etchemendy 1990, hoofdstuk 11, Hanson 1997, Gómez-Torrente 1998/9, en Field 2008, hoofdstuk 2, voor versies van deze waarneming, en Smith 2011 en Griffiths 2014 voor bezwaren.) Ook, (6), samen met (4),impliceert dat de notie van afleidbaarheid compleet is met betrekking tot logische waarheid (de tweede implicatie in (5)) en biedt daarom een extensief correcte karakterisering van deze notie. Merk op dat deze redenering zeer algemeen is en onafhankelijk van wat onze specifieke pretheoretische opvatting van logische waarheid is.

Een bijzonder significant geval waarin deze redenering kan worden toegepast, is het geval van eerste-orde kwantificatietalen, onder een brede reeks van pretheoretische opvattingen over logische waarheid. Het is typisch om te aanvaarden dat alle formules die in een typische eerste-orde-calculus kunnen worden afgeleid, universeel geldig zijn, waar in alle contrafeitelijke omstandigheden, a priori en analytisch als een formule dat is. [10]Dus (4) geldt in dit geval onder een breed scala aan pretheoretische opvattingen. (6) geldt ook voor de typische calculi in kwestie, op grond van Gödel's volledigheidsstelling, dus (5) geldt. Dit betekent dat men zichzelf ervan kan overtuigen dat zowel afleidbaarheid als modeltheoretische validiteit extensie-correcte karakteristieken zijn van onze favoriete pretheoretische notie van logische waarheid voor eerste-orde talen, als onze pretheoretische opvatting niet al te excentriek is. De situatie is niet zo duidelijk in andere talen die van bijzonder belang zijn voor de Fregese traditie, de hogere kwantificatietalen.

2.4.3 Uitgebreide geschiktheid: talen van hogere orde

Uit de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel volgt dat er al voor een tweede-orde taal geen calculus (C) is waar de afleidbaarheid gezond is met betrekking tot model-theoretische validiteit en die waar maakt (6) (voor het begrip model-theoretische geldigheid zoals gewoonlijk gedefinieerd voor dergelijke taal). We kunnen dit resultaat de onvolledigheid van tweede-orde calculi noemen met betrekking tot model-theoretische validiteit. Anders gezegd: voor elke tweede-orde calculus (C) klank met betrekking tot model-theoretische validiteit zal er een formule (F) zijn zodat (text {MTValid} (F)) maar het is niet het geval dat (text {DC} (F)).

In deze situatie is het niet mogelijk om het argument van Kreisel toe te passen voor (5). In feite toont de onvolledigheid van tweede-orde calculi aan dat, gegeven elke calculus (C) die voldoet (4), een van de implicaties van (5) vals is (of beide zijn): ofwel afleidbaarheid in (C) is onvolledig met betrekking tot logische waarheid of model-theoretische validiteit is ondeugdelijk met betrekking tot logische waarheid.

Verschillende auteurs hebben tegengestelde lessen getrokken uit onvolledigheid. Een veel voorkomende reactie is te denken dat de modeltheoretische validiteit ongegrond moet zijn met betrekking tot logische waarheid. Dit komt vooral veel voor bij filosofen over wiens opvatting logische waarheden a priori of analytisch moeten zijn. Een idee is dat de resultaten van een a priori redenering of van analytisch denken codificeerbaar zouden moeten zijn in een calculus. (Zie bv. Wagner 1987, p. 8.) Maar zelfs als we dit idee toestaan, is het twijfelachtig of de gewenste conclusie volgt. Stel dat (i) elke a priori of analytische redenering reproduceerbaar moet zijn in een calculus. We accepteren natuurlijk ook dat (ii) voor elke calculus (C) klank met betrekking tot model-theoretische validiteit er een model-theoretisch geldige formule is die niet afleidbaar is in (C). Van dit alles is het niet 't volg dat (iii) er een model-theoretisch geldige formule (F) is zodat voor elke calculus (C) geluid voor model-theoretische geldigheid (F) niet afleidbaar is in C. Uit (iii) en (i) volgt natuurlijk dat er model-theoretisch geldige formules zijn die niet te verkrijgen zijn door een a priori of analytische redenering. Maar de stap van (ii) naar (iii) is een typische kwantificationele denkfout. Uit (i) en (ii) volgt niet dat er een modeltheoretisch geldige formule is die niet kan worden verkregen door een a priori of analytische redenering. Het enige dat volgt (van (ii) alleen in de veronderstelling dat modeltheoretische validiteit gezond is met betrekking tot logische waarheid en dat logische waarheden a priori en analytisch zijn) is dat geen calculusgeluid met betrekking tot modeltheoretische validiteit kan zelf alle a priori of analytische redeneringen modelleren die mensen kunnen maken. Maar het is niet voldoende duidelijk dat dit intrinsiek problematisch zou moeten zijn. Immers, a priori en analytische redeneringen moeten uitgaan van fundamentele axioma's en regels, en voor zover we weten, kan een reflecterende geest een onuitputtelijk vermogen hebben om nieuwe waarheden en waarheidsbehoudregels te vinden door a priori of analytische beschouwing van zelfs een magere voorraad van concepten. De bewering dat alle analytische waarheden in één enkele calculus moeten kunnen worden afgeleid, is misschien aannemelijk omdat analyticiteit moet worden verklaard door conventies of 'stilzwijgende overeenkomsten', want deze overeenkomsten zijn vermoedelijk eindig in aantal en hun implicaties zijn vermoedelijk hoogstens hooguit. effectief opsommen. Maar deze opvatting is slechts één problematisch idee over hoe prioriteit en analyticiteit moeten worden uitgelegd. (Zie ook Etchemendy (1990), chs. 8, 9, voor een argument voor de ongegrondheid van hogere-orde model-theoretische validiteit gebaseerd op de opvatting van logische waarheid als analytische simpliciter, en Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), hoofdstuk 4 en Paseau (2014) voor kritische reacties.)Maar deze opvatting is slechts één problematisch idee over hoe prioriteit en analyticiteit moeten worden uitgelegd. (Zie ook Etchemendy (1990), chs. 8, 9, voor een argument voor de ongegrondheid van hogere-orde model-theoretische validiteit gebaseerd op de opvatting van logische waarheid als analytische simpliciter, en Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), hoofdstuk 4 en Paseau (2014) voor kritische reacties.)Maar deze opvatting is slechts één problematisch idee over hoe prioriteit en analyticiteit moeten worden uitgelegd. (Zie ook Etchemendy (1990), chs. 8, 9, voor een argument voor de ongegrondheid van hogere-orde model-theoretische validiteit gebaseerd op de opvatting van logische waarheid als analytische simpliciter, en Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), hoofdstuk 4 en Paseau (2014) voor kritische reacties.)

Een ander type ongegronde argumenten probeert aan te tonen dat er een formule van hogere orde is die model-theoretisch geldig is, maar intuïtief onjuist is in een structuur waarvan het domein een juiste klasse is. (De 'beoogde interpretatie' van verzamelingenleer, als die al bestaat, zou een dergelijke structuur kunnen zijn, want het is zeker geen verzameling; zie de vermelding over verzamelingenleer.) Deze argumenten stellen dus de bewering dat elke betekenisopdracht de geldigheid van weerlegvermogen wordt gemodelleerd door een set-theoretische structuur, een bewering die zeker een uitvloeisel is van de eerste implicatie in (5). (In McGee 1992 is er een goed voorbeeld; er is een kritische discussie in Gómez-Torrente 1998/9.) Het meest wijdverbreide standpunt onder set-theoretici lijkt te zijn dat er geen formules zijn met die eigenschap in Fregese talen, maar het is zeker geen absoluut vaste overtuiging van hen. Merk op dat deze argumenten alleen een uitdaging vormen voor het idee dat universele validiteit (zoals gedefinieerd in paragraaf 2.3) adequaat wordt gemodelleerd door set-theoretische validiteit, niet voor de deugdelijkheid van een karakterisering van logische waarheid in termen van universele validiteit zelf, of in termen van van een soort validiteit gebaseerd op een notie van "betekenistoewijzing" anders dan de gebruikelijke notie van een set-theoretische structuur. (De argumenten die we in de vorige paragraaf en in 2.4.1 noemden zouden diepere implicaties hebben als ze correct zijn, want ze impliceren gemakkelijk uitdagingen voor alle karakterisaties in termen van soort validiteit). Dergelijke zorgen hebben in feite geleid tot het voorstel voor een ander soort geldigheidsbegrippen (voor Fregese talen),waarin set-theoretische structuren worden vervangen door geschikte waarden van variabelen van hogere orde in een hogere-orde taal voor set-theorie, bijvoorbeeld met "meervoudige interpretaties" (zie Boolos 1985, Rayo en Uzquiano 1999, Williamson 2003; zie ook de vermelding op meervoud kwantificering). Zowel set-theoretische als juiste klassenstructuren zijn gemodelleerd door dergelijke waarden, dus deze specifieke zorgen over ondeugdigheid hebben geen invloed op dit soort voorstellen.

Over het algemeen zijn er geen volledig bevredigende filosofische argumenten voor de stelling dat modeltheoretische validiteit niet klopt met betrekking tot logische waarheid in hogere-orde talen. Zijn er dan goede redenen om te denken dat de afleidbaarheid (in elk rekengeluid voor model-theoretische validiteit) onvolledig moet zijn met betrekking tot de logische waarheid? Er zijn ook geen absoluut overtuigende redenen voor deze opvatting. Het belangrijkste argument (waarvan de eerste versie misschien voor het eerst expliciet werd gemaakt in Tarski 1936a, 1936b) lijkt dit te zijn. Zoals hierboven opgemerkt, impliceert de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel dat er voor elke calculus voor een hogere orde taal een modeltheoretisch geldige formule zal zijn die niet kan worden afgeleid in de calculus. Zoals het blijkt,de formule verkregen door de Gödel-constructie is ook altijd intuïtief waar in alle domeinen (set-theoretisch of niet), en het is redelijk om het als universeel geldig te beschouwen. (Het is zeker geen valse formule in een juiste klassenstructuur.) Het argument concludeert dat er voor elke calculus logisch waar formules zijn die er niet van kunnen worden afgeleid.

Hieruit is geconcludeerd dat de afleidbaarheid (in elke calculus) onvolledig moet zijn met betrekking tot de logische waarheid. Maar een fundamenteel probleem is dat deze conclusie is gebaseerd op twee aannames die niet noodzakelijkerwijs door de voorvechter van afleidbaarheid zullen worden gegeven: ten eerste de aanname dat de uitdrukkingen typisch als logisch worden gecatalogiseerd in hogere-orde talen, en in het bijzonder de kwantoren in kwantificeringen van de vorm (forall X) (waarbij (X) een hogere orde variabele is), zijn in feite logische uitdrukkingen; en ten tweede de aanname dat universeel geldig zijn een voldoende voorwaarde is voor logische waarheid. Onder deze aannames is het zeker heel redelijk om te denken dat de afleidbaarheid, in elke berekening die voldoet (4), onvolledig moet zijn met betrekking tot de logische waarheid. Maar bij gebrek aan aanvullende overwegingen,een criticus kan de veronderstellingen in twijfel trekken en de relevantie van het argument ontkennen. De tweede veronderstelling zou waarschijnlijk in twijfel worden getrokken, bijvoorbeeld vanuit het standpunt dat logische waarheden analytisch moeten zijn, want er is geen sluitende reden om te denken dat universeel geldige formules analytisch moeten zijn. De eerste veronderstelling ligt feitelijk ten grondslag aan elke overtuiging die (4) geldt voor een bepaalde hogere-orde-calculus. (Merk op dat als we ontkennen dat de hogere-orde kwantoren logische uitdrukkingen zijn, we ook kunnen ontkennen dat de hierboven gepresenteerde argumenten tegen de degelijkheid van model-theoretische validiteit met betrekking tot logische waarheid überhaupt relevant zijn.) Dat de hogere-orde kwantoren logisch wordt vaak ontkend omdat ze semantisch te "inhoudelijk" zijn. In dit verband wordt er vaak op gewezen dat kwantificeringen van hogere orde kunnen worden gebruikt om geavanceerde set-theoretische eigenschappen te definiëren die niet alleen met behulp van kwantificatoren van de eerste orde kunnen worden gedefinieerd. (Verdedigers van de logische status van hogere-orde kwantificeringen wijzen daarentegen op de brede toepasbaarheid van de hogere-orde kwantoren, op het feit dat ze analoog zijn aan de eerste-orde kwantoren, op het feit dat ze typisch zijn nodig om categorische axiomatisaties van wiskundige structuren te verschaffen, enz. Zie Quine (1970), hoofdstuk 5, voor de standaardexponent van de restrictieve weergave, en Boolos (1975) en Shapiro (1991) voor standaardexponenten van de liberale visie.)(Verdedigers van de logische status van hogere-orde kwantificeringen wijzen daarentegen op de brede toepasbaarheid van de hogere-orde kwantoren, op het feit dat ze analoog zijn aan de eerste-orde kwantoren, op het feit dat ze typisch zijn nodig om categorische axiomatisaties van wiskundige structuren te verschaffen, enz. Zie Quine (1970), hoofdstuk 5, voor de standaardexponent van de restrictieve weergave, en Boolos (1975) en Shapiro (1991) voor standaardexponenten van de liberale visie.)(Verdedigers van de logische status van hogere-orde kwantificeringen wijzen daarentegen op de brede toepasbaarheid van de hogere-orde kwantoren, op het feit dat ze analoog zijn aan de eerste-orde kwantoren, op het feit dat ze typisch zijn nodig om categorische axiomatisaties van wiskundige structuren te verschaffen, enz. Zie Quine (1970), hoofdstuk 5, voor de standaardexponent van de restrictieve weergave, en Boolos (1975) en Shapiro (1991) voor standaardexponenten van de liberale visie.)voor de standaard exponent van de restrictieve visie, en Boolos (1975) en Shapiro (1991) voor standaard exponenten van de liberale visie.)voor de standaard exponent van de restrictieve visie, en Boolos (1975) en Shapiro (1991) voor standaard exponenten van de liberale visie.)

Bibliografie

  • Alexander van Aphrodisias, In Aristotelis Analyticorum Priorum Librum I Commentarium, M. Wallies (red.), Berlijn: Reimer, 1883.
  • Allison, H., 1983, Kants transcendentaal idealisme. Een interpretatie en verdediging, New Haven: Yale University Press.
  • Aristoteles, Analytica Priora et Posteriora, WD Ross (red.), Oxford: Clarendon Press, 1964.
  • –––, Topica et Sophistici Elenchi, WD Ross (red.), Oxford: Clarendon Press, 1974.
  • Azzouni, J., 2006, Tracking Reason: Proof, Consequence and Truth. Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2008, “The Compulsion to Believe: Logical Inference and Normativity”, Protosociology, 25: 69–88.
  • Beall, Jc en G. Restall, 2000, "Logical Pluralism", Australasian Journal of Philosophy, 78: 475–93.
  • –––, 2006, Logical Pluralism, Oxford: Clarendon Press.
  • Belnap, ND, 1962, "Tonk, Plonk en Plink", Analyse, 22: 130–4.
  • Bernays, P., 1930, "The Philosophy of Mathematics and Hilbert's Proof Theory", vertaald door P. Mancosu, in Mancosu (red.), From Brouwer to Hilbert, Oxford: Oxford University Press, 1998.
  • Bocheński, IM, 1956, Formale Logik, München: Alber.
  • Boghossian, P., 1997, "Analyticity", in B. Hale en C. Wright (red.), A Companion to the Philosophy of Language, Oxford: Blackwell, pp. 331–68.
  • –––, 2000, "Knowledge of Logic", in P. Boghossian en C. Peacocke (red.), New Essays on the A Priori, Oxford: Clarendon Press, pp. 229–54.
  • Bolzano, B., 1837, Theory of Science, gedeeltelijke vertaling door R. George, Oxford: Blackwell, 1972.
  • BonJour, L., 1998, In Defense of Pure Reason, New York: Cambridge University Press.
  • Bonnay, D., 2008, "Logicality and Invariance", Bulletin of Symbolische Logica, 14: 29–68.
  • Boolos, G., 1975, "On Second-Order Logic", Journal of Philosophy, 72: pp. 509–27.
  • –––, 1985, "Nominalist Platonism", in zijn Logic, Logic en Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press, pp. 73–87.
  • Capozzi, M. en G. Roncaglia, 2009, "Logic and Philosophy of Logic from Humanism to Kant", in L. Haaparanta (red.), The Development of Modern Logic, Oxford: Oxford University Press, pp. 78–158.
  • Carnap, R., 1939, Foundations of Logic and Mathematics (International Encyclopaedia of Unified Science, Vols. I-II), Chicago: University of Chicago Press.
  • –––, 1963, "Antwoorden en systematische exposities", in PA Schilpp (red.), The Philosophy of Rudolf Carnap, La Salle, IL: Open Court, pp. 859-1013.
  • Carroll, L., 1895, "Wat de schildpad tegen Achilles zei", Mind, 4: 278–80.
  • Chihara, C., 1998, 'Tarski's proefschrift en de ontologie van de wiskunde', in M. Schirn (red.), The Philosophy of Mathematics Today, Oxford: Oxford University Press, pp. 157–72.
  • Coffa, JA, 1991, The Semantic Tradition from Kant to Carnap, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Dogramaci, S., 2017, "Waarom is een geldige gevolgtrekking een goede gevolgtrekking?", Filosofie en fenomenologisch onderzoek, 94: 61–96.
  • Dummett, M., 1973, "De rechtvaardiging van aftrek", in zijn Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1978, pp. 290–318.
  • –––, 1981, Frege. Taalfilosofie, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1991, The Logical Basis of Metaphysics, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Etchemendy, J., 1990, The Concept of Logical Consequence, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 2008, "Reflections on Consequence", in D. Patterson (red.), New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press, pp. 263-99.
  • Feferman, S., 1999, "Logic, Logics and Logicism", Notre Dame Journal of Formal Logic, 40: 31-54.
  • Field, H., 1989, Realisme, Wiskunde en Modaliteit, Oxford: Blackwell.
  • –––, 2008, Saving Truth from Paradox, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2015, "What Is Logical Validity?", In CR Caret en OT Hjortland (red.), Foundations of Logical Consequence, Oxford: Oxford University Press, pp. 33–70.
  • Franks, C., 2014, "Logical Nihilism", in P. Rush (red.), The Metaphysics of Logic, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 109–27.
  • Frege, G., 1879, "Begriffsschrift, a Formula Language, gemodelleerd naar die van rekenen, voor zuivere gedachten", vertaald door S. Bauer-Mengelberg, in J. van Heijenoort (red.), Van Frege tot Gödel, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, pp. 1-82.
  • –––, 1885, “On Formal Theories of Arithmetic”, in zijn Collected Papers on Mathematics, Logic and Philosophy, B. McGuinness (red.), Oxford: Blackwell, 1984, pp. 112–21.
  • García-Carpintero, M., 1993, "The Grounds for the Model-Theoretic Account of the Logical Properties", Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 107–31.
  • Gómez-Torrente, M., 1998/9, 'Logical Truth and Tarskian Logical Truth', Synthese, 117: 375–408.
  • –––, 2002, "Het probleem van logische constanten", Bulletin of Symbolische logica, 8: 1–37.
  • –––, 2008, “Zijn er model-theoretische logische waarheden die niet logisch waar zijn?”, In D. Patterson (red.), New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press, pp. 340–68.
  • Grice, P. en PF Strawson, 1956, "In Defense of a Dogma", in Grice, Studies in the Way of Words, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1989, pp. 196–212.
  • Griffiths, O., 2014, 'Formal and Informal Consequence', Thought, 3: 9–20.
  • Hacking, I., 1979, "What Is Logic?", Journal of Philosophy, 76: 285–319.
  • Hanna, R., 2001, Kant en de grondslagen van de analytische filosofie, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 2006, Rationality and Logic, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Hanson, W., 1997, "The Concept of Logical Consequence", Philosophical Review, 106: 365–409.
  • –––, 2006, “Werkelijkheid, noodzaak en logische waarheid”, Philosophical Studies, 130: 437–59.
  • –––, 2014, "Logical Truth in Modal Languages: Reply to Nelson and Zalta", Philosophical Studies, 167: 327–39.
  • Hobbes, T., "Troisièmes-bezwaren", in Descartes, Œuvres Philosophiques, vol. II, F. Alquié (red.), Paris: Garnier, 1967, pp. 599-631.
  • Hodes, H., 2004, 'Over de zin en referentie van een logische constante', Philosophical Quarterly, 54: 134–65.
  • Husserl, E., 1901, Logical Investigations, Vol. II, Londen: Routledge, 2001.
  • Iacona, A., 2018, logische vorm. Tussen logica en natuurlijke taal, Cham: Springer.
  • Jané, I., 2006, "Wat is Tarski's algemene concept van consequentie?", Bulletin of Symbolische logica, 12: 1–42.
  • Kant, I., Critique of Pure Reason, vertaling door P. Guyer en AW Wood, Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
  • Kneale, W., 1956, "The Province of Logic", in HD Lewis (red.), Contemporary British Philosophy, 3rd Series, London: Allen & Unwin.
  • Kneale, W. en M. Kneale, 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.
  • Knuuttila, S., 1982, "Modal Logic", in N. Kretzmann, A. Kenny en J. Pinborg (red.), The Cambridge History of Later Medieval Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 342-57.
  • Kreisel, G., 1967, "Informal Rigor and Completeness Proofs", in I. Lakatos (red.), Problemen in de filosofie van de wiskunde, Amsterdam: Noord-Holland, pp. 138-71.
  • Kretzmann, N., 1982, "Syncategoremata, Sophismata, Exponibilia", in N. Kretzmann, A. Kenny en J. Pinborg (red.), The Cambridge History of Later Medieval Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 211– 45.
  • Leibniz, GW, Brief aan Bourguet (XII), in CI Gerhardt (red.), Die Philosophische Schriften von GW Leibniz, Hildesheim: Olms, 1965, vol. III, blz. 572-6.
  • –––, “Primæ Veritates”, in L. Couturat (red.), Opuscules et Fragments Inédits de Leibniz, Hildesheim: Olms, 1961, pp. 518–23.
  • –––, "Discours de Métaphysique", in CI Gerhardt (red.), Die Philosophische Schriften von GW Leibniz, Hildesheim: Olms, 1965, vol. IV, blz. 427-63.
  • –––, “Analysis Linguarum”, in L. Couturat (red.), Opuscules et Fragments Inédits de Leibniz, Hildesheim: Olms, 1961, pp. 351–4.
  • Lewis, DK, 1986, On the Plurality of Worlds, Oxford: Blackwell.
  • Łukasiewicz, J., 1957, Aristoteles 'syllogistiek vanuit het oogpunt van moderne formele logica, tweede editie, Oxford: Clarendon Press.
  • McCarthy, T., 1981, 'The Idea of a Logical Constant', Journal of Philosophy, 78: 499–523.
  • MacFarlane, J., 2000, wat betekent het dat logica formeel is?, Ph. D. scriptie, Universiteit van Pittsburgh, afdeling Filosofie.
  • –––, 2002, “Frege, Kant, and the Logic in Logicism”, Philosophical Review, 111: 25–65.
  • McGee, V., 1992, "Two Problems with Tarski's Theory of Consequence", Proceedings of the Aristotelian Society (nieuwe serie), 92: 273–92.
  • –––, 1996, "Logical Operations", Journal of Philosophical Logic, 25: 567–80.
  • Maddy, P., 1999, "Logic and the Discursive Intellect", Notre Dame Journal of Formal Logic, 40: 94–115.
  • –––, 2002, "A Naturalistic Look at Logic", Proceedings and Addresses of the American Philosophical Association, 76 (2): 61–90.
  • –––, 2007, Tweede filosofie. Een naturalistische methode, Oxford: Oxford University Press.
  • Mates, B., 1961, Stoic Logic, Berkeley: University of California Press.
  • Mill, JS, 1843, A System of Logic, in zijn Collected Works, vol. 7, Toronto: University of Toronto Press, 1973.
  • Nelson, M. en EN Zalta, 2012, "A Defense of Contingent Logical Truths", Philosophical Studies, 157: 153–62.
  • Orayen, R., 1989, Lógica, Significado y Ontología, Mexico City: UNAM.
  • Pap, A., 1958, Semantiek en noodzakelijke waarheid, New Haven: Yale University Press.
  • Parsons, C., 1969, "Kant's Philosophy of Arithmetic", in zijn Mathematics in Philosophy, Ithaca: Cornell University Press, 1983, pp. 110–49.
  • Paseau, AC, 2014, "The Overgeneration Argument (en): een beknopte weerlegging", Analyse, 74: 40–7.
  • Peacocke, C., 1987, 'Understanding Logical Constants: A Realist's Account', Proceedings of the British Academy, 73: 153-200.
  • Prawitz, D., 1985, "Opmerkingen over enkele benaderingen van het concept van logische consequentie", Synthese, 62: 153–71.
  • Priest, G., 2001, "Logic: One or Many?", In J. Woods en B. Brown (red.), Logical Consequence: Rival Approaches, Oxford: Hermes Science Publishing, blz. 23–38.
  • Prior, AN, 1960, "The Runabout Inference-Ticket", Analysis, 21: 38–9.
  • Putnam, H., 1968, "The Logic of Quantum Mechanics", in zijn wiskunde, materie en methode. Philosophical Papers, Volume 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1975, blz. 174–197.
  • Quine, WV, 1936, "Truth by Convention", in zijn The Ways of Paradox and Other Essays, herziene editie, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1976, pp. 77–106.
  • –––, 1951, "Two Dogmas of Empiricism", in zijn From a Logical Point of View, tweede editie herzien, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1980, pp. 20–46.
  • –––, 1954, “Carnap and Logical Truth”, in zijn The Ways of Paradox and Other Essays, herziene editie, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1976, pp. 107–32.
  • –––, 1963, "Necessary Truth", in zijn The Ways of Paradox and Other Essays, herziene editie, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1976, pp. 68–76.
  • –––, 1970, Philosophy of Logic, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.
  • Ray, G., 1996, "Logical Consequence: a Defense of Tarski", Journal of Philosophical Logic, 25: 617–77.
  • Rayo, A. en G. Uzquiano, 1999, "Toward a Theory of Second-Order Consequence", Notre Dame Journal of Formal Logic, 40: 315–25.
  • Lees, S., 1994, 'Formal and Material Consequence', Journal of Philosophical Logic, 23: 247–65.
  • Rumfitt, I., 2015, The Boundary Stones of Thought. Een essay in de filosofie van de logica, Oxford: Clarendon Press.
  • Russell, B., 1903, The Principles of Mathematics, New York: Norton, 1938.
  • –––, 1912, The Problems of Philosophy, Oxford: Oxford University Press, 1976.
  • –––, 1920, Inleiding tot de wiskundige filosofie, tweede editie. New York: Macmillan.
  • Sagi, G., 2014, "Models and Logical Consequence", Journal of Philosophical Logic, 43: 943–964.
  • Sainsbury, M., 1991, Logical Forms, Oxford: Blackwell.
  • Shalkowski, S., 2004, "Logica en absolute noodzaak", Journal of Philosophy, 101: 55–82.
  • Shapiro, S., 1991, Foundations without Foundationalism: a Case for Second-Order Logic, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 1998, "Logical Consequence: Models and Modality", in M. Schirn (red.), The Philosophy of Mathematics Today, Oxford: Oxford University Press, pp. 131–56.
  • Sher, G., 1991, The Bounds of Logic, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 1996, "Heeft Tarski 'Tarski's Fallacy' gepleegd?", Journal of Symbolic Logic, 61: 653–86.
  • –––, 2013, "Het fundamentele probleem van logica", Bulletin of Symbolische logica, 19: 145–98.
  • Smith, P., 2011, "Squeezing Arguments", analyse, 71: 22–30.
  • Smith, R., 1989, "Notes to Book A", in Aristoteles, Prior Analytics, R. Smith (red.), Indianapolis, IN: Hackett, pp. 105–81.
  • Soames, S., 1999, Understanding Truth, New York: Oxford University Press.
  • Tarski, A., 1935, "The Concept of Truth in Formalized Languages", vertaald door JH Woodger in A. Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics, tweede editie, J. Corcoran (red.), Indianapolis, IN: Hackett, 1983, blz. 152–278.
  • –––, 1936a, "On the Concept of Logical Consequence", vertaald door JH Woodger in A. Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics, tweede editie, J. Corcoran (red.), Indianapolis, IN: Hackett, 1983, pp 409-20.
  • –––, 1936b, "Over het concept van logisch volgen", vertaald door M. Stroińska en D. Hitchcock, History and Philosophy of Logic, 23 (2002): 155–96.
  • –––, 1941, Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Science, vertaald door O. Helmer, New York: Oxford University Press.
  • –––, 1966, "Wat zijn logische begrippen?", Ed. door J. Corcoran, History and Philosophy of Logic, 7 (1986): 143-54.
  • Tarski, A. en S. Givant, 1987, A Formalization of Set Theory without Variables, Providence, RI: American Mathematical Society.
  • Wagner, SJ, 1987, "The Rationalist Conception of Logic", Notre Dame Journal of Formal Logic, 28: 3–35.
  • Warmbrōd, K., 1999, "Logical Constants", Mind, 108: 503–38.
  • Williamson, T., 2003, 'Everything', in D. Zimmerman en J. Hawthorne (red.), Philosophical Perspectives 17: Language and Philosophical Linguistics, Oxford: Blackwell, pp. 415–65.
  • Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, vertaald door CK Ogden, London: Routledge, 1990.
  • –––, 1978, Remarks on the Foundations of Mathematics, herziene editie, GH Von Wright, R. Rhees en GEM Anscombe (red.), Cambridge, MA: MIT Press.
  • Woods, J., 2016, 'Characterizing Invariance', Ergo, 3: 778–807.
  • Zalta, E., 1988, 'Logische en analytische waarheden die niet nodig zijn', Journal of Philosophy, 85: 57–74.

Academische hulpmiddelen

sep man pictogram
sep man pictogram
 Hoe deze vermelding te citeren.
sep man pictogram
sep man pictogram
 Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
inpho icoon
inpho icoon
 Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papieren pictogram
phil papieren pictogram
 Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

  • Logical Consequence and Entailment, categorie PhilPapers bewerkt door Salvatore Florio.
  • Grondslagen van het Logical Consequence Project bij Arché, Philosophical Research Center for Logic, Language, Metaphysics and Epistemology, University of Saint Andrews.

Aanbevolen:

Axiomatische Theorieën Van De Waarheid

Axiomatische Theorieën Van De Waarheid

Toegang navigatie Inhoud van het item Bibliografie Academische hulpmiddelen Vrienden PDF-voorbeeld Info over auteur en citaat Terug naar boven Axiomatische theorieën van de waarheid Voor het eerst gepubliceerd op 26 december 2005;

De Deflatoire Theorie Van De Waarheid

De Deflatoire Theorie Van De Waarheid

Toegang navigatie Inhoud van het item Bibliografie Academische hulpmiddelen Vrienden PDF-voorbeeld Info over auteur en citaat Terug naar boven De deflatoire theorie van de waarheid Voor het eerst gepubliceerd op 28 augustus 1997;

De Identiteitstheorie Van De Waarheid

De Identiteitstheorie Van De Waarheid

Toegang navigatie Inhoud van het item Bibliografie Academische hulpmiddelen Vrienden PDF-voorbeeld Info over auteur en citaat Terug naar boven De identiteitstheorie van de waarheid Voor het eerst gepubliceerd op 1 mei 2015 De identiteitstheorie van de waarheid was van invloed in de beginjaren van de moderne analytische filosofie en is onlangs weer op de voorgrond getreden.

Pluralistische Theorieën Van De Waarheid

Pluralistische Theorieën Van De Waarheid

Toegang navigatie Inhoud van het item Bibliografie Academische hulpmiddelen Vrienden PDF-voorbeeld Info over auteur en citaat Terug naar boven Pluralistische theorieën van de waarheid Voor het eerst gepubliceerd op 5 maart 2012;

Waarheid

Waarheid

Dit is een bestand in de archieven van de Stanford Encyclopedia of Philosophy. Waarheid Voor het eerst gepubliceerd op 13 juni 2006 Waarheid is een van de centrale onderwerpen in de filosofie. Het is tevens een van de grootste. Waarheid is al duizenden jaren op zichzelf een onderwerp van discussie.

Populair voor de dag

Al-Ghazali

Al-Ghazali

De Algebra Van De Logische Traditie

De Algebra Van De Logische Traditie

Biologisch Altruïsme

Biologisch Altruïsme

Robert Alyngton

Robert Alyngton

Ammonius

Ammonius

Middeleeuwse Theorieën Van Analogie

Middeleeuwse Theorieën Van Analogie