Platonisme In De Filosofie Van De Wiskunde

Inhoudsopgave:

Platonisme In De Filosofie Van De Wiskunde
Platonisme In De Filosofie Van De Wiskunde

Video: Platonisme In De Filosofie Van De Wiskunde

Video: Platonisme In De Filosofie Van De Wiskunde
Video: Deductie 2024, Maart
Anonim

Toegang navigatie

  • Inhoud van het item
  • Bibliografie
  • Academische hulpmiddelen
  • Vrienden PDF-voorbeeld
  • Info over auteur en citaat
  • Terug naar boven

Platonisme in de filosofie van de wiskunde

Voor het eerst gepubliceerd op za 18 juli 2009; inhoudelijke herziening do 18 jan. 2018

Platonisme over wiskunde (of wiskundig platonisme) is de metafysische opvatting dat er abstracte wiskundige objecten zijn waarvan het bestaan onafhankelijk is van ons en onze taal, gedachte en praktijken. Net zoals elektronen en planeten onafhankelijk van ons bestaan, zo ook cijfers en sets. En net zoals uitspraken over elektronen en planeten waar of onwaar gemaakt worden door de objecten waarmee ze te maken hebben en de perfect objectieve eigenschappen van deze objecten, zo zijn uitspraken over getallen en verzamelingen. Wiskundige waarheden worden daarom ontdekt, niet uitgevonden.

Het belangrijkste argument voor het bestaan van abstracte wiskundige objecten komt uit Gottlob Frege en gaat als volgt (Frege 1953). De taal van de wiskunde beweert te verwijzen naar en te kwantificeren over abstracte wiskundige objecten. En een groot aantal wiskundige stellingen is waar. Maar een zin kan niet waar zijn tenzij de subuitdrukkingen erin slagen te doen wat ze beweren te doen. Er bestaan dus abstracte wiskundige objecten waarnaar deze uitdrukkingen verwijzen en waarover ze kwantificeren.

Ondanks het argument van Frege hebben filosofen verschillende bezwaren tegen wiskundig platonisme ontwikkeld. Zo wordt beweerd dat abstracte wiskundige objecten epistemologisch ontoegankelijk en metafysisch problematisch zijn. Wiskundig platonisme is de afgelopen decennia een van de meest besproken onderwerpen in de wiskundefilosofie geweest.

  • 1. Wat is wiskundig platonisme?

    • 1.1 Historische opmerkingen
    • 1.2 De filosofische betekenis van wiskundig platonisme
    • 1.3 Objectrealisme
    • 1.4 Waarheidswaarde realisme
    • 1.5 De wiskundige betekenis van platonisme
  • 2. Het Fregean argument voor het bestaan

    • 2.1 De structuur van het argument
    • 2.2 Klassieke semantiek verdedigen
    • 2.3 Waarheid verdedigen
    • 2.4 Het begrip ontologisch engagement
    • 2.5 Van bestaan naar wiskundig platonisme?
  • 3. Bezwaren tegen het wiskundig platonisme

    • 3.1 Epistemologische toegang
    • 3.2 Een metafysisch bezwaar
    • 3.3 Andere metafysische bezwaren
  • 4. Tussen objectrealisme en wiskundig platonisme

    • 4.1 Hoe u onafhankelijkheid kunt begrijpen
    • 4.2 Overvloedig platonisme
    • 4.3 Lichtgewicht semantische waarden
    • 4.4 Twee andere lichtgewicht vormen van objectrealisme
  • Bibliografie
  • Academische hulpmiddelen
  • Andere internetbronnen
  • Gerelateerde vermeldingen

1. Wat is wiskundig platonisme?

Wiskundig platonisme kan worden gedefinieerd als de combinatie van de volgende drie stellingen:

Bestaan.

Er zijn wiskundige objecten.

Abstractheid.

Wiskundige objecten zijn abstract.

Onafhankelijkheid.

Wiskundige objecten zijn onafhankelijk van intelligente agenten en hun taal, gedachten en praktijken.

Enkele representatieve definities van 'wiskundig platonisme' staan in het supplement

Enkele definities van platonisme

en documenteer dat de bovenstaande definitie redelijk standaard is.

Platonisme in het algemeen (in tegenstelling tot platonisme over wiskunde in het bijzonder) is elke mening die voortvloeit uit de bovenstaande drie claims door het bijvoeglijk naamwoord 'wiskundig' te vervangen door een ander bijvoeglijk naamwoord.

De eerste twee claims zijn voor de huidige doeleinden aanvaardbaar duidelijk. Bestaan kan worden geformaliseerd als '∃ x Mx', waarbij 'Mx' het predikaat 'x is een wiskundig object' afkortt, wat geldt voor alle en alleen de objecten die door pure wiskunde worden bestudeerd, zoals getallen, verzamelingen en functies. Abstractheid zegt dat elk wiskundig object abstract is, waarbij wordt gezegd dat een object abstract is voor het geval het niet-ruimtetemporeel en (daarom) causaal inefficiënt is. (Zie het item over abstracte objecten voor verdere discussie.)

Onafhankelijkheid is minder duidelijk dan de andere twee claims. Wat betekent het om dit soort onafhankelijkheid toe te schrijven aan een object? De meest voor de hand liggende glans is waarschijnlijk de contrafeitelijke voorwaarde dat, als er geen intelligente agenten waren geweest, of als hun taal, gedachte of praktijken anders waren geweest, er nog steeds wiskundige objecten zouden zijn geweest. Het is echter twijfelachtig of deze glans al het werk zal doen dat Independence zou moeten doen (zie paragraaf 4.1). Voorlopig wordt Independence enigszins schematisch gelaten.

1.1 Historische opmerkingen

Het platonisme moet worden onderscheiden van de opvatting van het historische Plato. Er zijn maar weinig partijen in het hedendaagse debat over platonisme die sterke exegetische beweringen doen over Plato's visie, laat staan deze verdedigen. Hoewel de opvatting die we 'platonisme' noemen, is geïnspireerd op Plato's beroemde theorie van abstracte en eeuwige vormen (zie de vermelding over Plato's metafysica en epistemologie), wordt platonisme nu onafhankelijk van zijn oorspronkelijke historische inspiratie gedefinieerd en besproken.

Niet alleen is het besproken platonisme niet dat van Plato, platonisme zoals hierboven gekarakteriseerd is een puur metafysische visie: het moet worden onderscheiden van andere opvattingen die een inhoudelijke epistemologische inhoud hebben. Veel oudere kenmerken van platonisme voegen sterke epistemologische claims toe aan het effect dat we een onmiddellijk begrip hebben van of inzicht hebben in het rijk van abstracte objecten. (Zie bijv. Rees 1967.) Maar het is nuttig (en tegenwoordig redelijk standaard) om de term 'platonisme' te reserveren voor de puur metafysische visie die hierboven is beschreven. Veel filosofen die het platonisme in deze puur metafysische zin verdedigen, zouden de aanvullende epistemologische beweringen afwijzen. Voorbeelden hiervan zijn Quine en andere filosofen aangetrokken tot de zogenaamde onmisbaarheid argument, dat gericht is op een breed empirische verdediging van wiskundige platonisme geven.(Zie de vermelding over onmisbaarheidsargumenten in de filosofie van de wiskunde.)

Ten slotte sluit de bovenstaande definitie van 'wiskundig platonisme' de bewering uit dat alle waarheden van zuivere wiskunde noodzakelijk zijn, hoewel deze bewering van oudsher door de meeste platonisten wordt gedaan. Nogmaals, deze uitsluiting wordt gerechtvaardigd door het feit dat sommige filosofen die algemeen worden beschouwd als platonisten (bijvoorbeeld Quine en sommige aanhangers van het bovengenoemde onmisbaarheidsargument) deze aanvullende modale claim afwijzen.

1.2 De filosofische betekenis van wiskundig platonisme

Wiskundig platonisme heeft een aanzienlijke filosofische betekenis. Als de opvatting waar is, zal dit een grote druk uitoefenen op het fysieke idee dat de realiteit uitgeput is door het fysieke. Platonisme houdt namelijk in dat de werkelijkheid zich tot ver buiten de fysieke wereld uitstrekt en objecten omvat die geen deel uitmaken van de door de natuurwetenschappen bestudeerde causale en tijdruimtelijke orde. [1] Wiskundige platonism, als het waar is, zal ook grote druk op veel naturalistische theorieën van kennis. Want er bestaat weinig twijfel over dat we over wiskundige kennis beschikken. De waarheid van wiskundig platonisme zou daarom aantonen dat we kennis hebben van abstracte (en dus causaal inefficiënte) objecten. Dit zou een belangrijke ontdekking zijn, waar veel naturalistische theorieën over kennis moeite mee zouden hebben.

Hoewel deze filosofische consequenties zijn niet uniek voor wiskundige platonism, wordt deze bijzondere vorm van platonisme buitengewoon goed geschikt om dergelijke gevolgen te ondersteunen. Wiskunde is een opmerkelijk succesvolle discipline, zowel op zichzelf als als hulpmiddel voor andere wetenschappen. [2] Er zijn maar weinig hedendaagse analytische filosofen die bereid zijn de kernclaims van een vakgebied te tegenspreken waarvan de wetenschappelijke geloofwaardigheid even sterk is als die van de wiskunde (Lewis 1991, pp. 57–9). Dus als uit filosofische analyse zou blijken dat wiskunde vreemde en verrassende gevolgen heeft, zou het onaantrekkelijk zijn om wiskunde simpelweg te verwerpen. [3]Een vorm van platonisme gebaseerd op een discipline waarvan de wetenschappelijke geloofwaardigheid minder indrukwekkend is dan die van de wiskunde, zou niet in deze gelukkige situatie zijn. Wanneer theologie bijvoorbeeld vreemde en verrassende filosofische gevolgen blijkt te hebben, aarzelen veel filosofen niet om de relevante delen van de theologie te verwerpen.

1.3 Objectrealisme

Laat objectrealisme de opvatting zijn dat er abstracte wiskundige objecten bestaan. Objectrealisme is dus slechts de combinatie van Bestaan en Abstractheid. [4] Objectrealisme staat tegenover nominalisme, dat in de hedendaagse filosofie typisch wordt gedefinieerd als de opvatting dat er geen abstracte objecten zijn. (In meer traditioneel filosofisch gebruik verwijst het woord 'nominalisme' in plaats daarvan naar de opvatting dat er geen universaliteit bestaat. Zie Burgess & Rosen 1997, pp. 13–25 en de vermelding op abstracte objecten.)

Omdat objectrealisme onafhankelijkheid weglaat, is deze opvatting logischerwijs zwakker dan wiskundig platonisme. De filosofische gevolgen van objectrealisme zijn dus niet zo sterk als die van platonisme. Veel fysici accepteren niet-fysieke objecten op voorwaarde dat deze afhankelijk zijn van of herleidbaar zijn tot fysieke objecten. Ze kunnen bijvoorbeeld objecten accepteren zoals bedrijven, wetten en gedichten, op voorwaarde dat deze op gepaste wijze afhankelijk zijn van of herleidbaar zijn tot fysieke objecten. Bovendien lijkt er geen mysterie te bestaan over epistemische toegang tot niet-fysieke objecten die we op de een of andere manier hebben gemaakt of 'geconstrueerd'. Als bedrijven, wetten en gedichten door ons worden gemaakt of 'samengesteld', verwerven we vermoedelijk kennis ervan tijdens het maken of 'construeren' ervan.

Sommige opvattingen in de wiskundefilosofie zijn objectrealistisch zonder platonist te zijn. Een voorbeeld zijn traditionele intuïtionistische opvattingen, die het bestaan van wiskundige objecten bevestigen, maar volhouden dat deze objecten afhankelijk zijn van of worden gevormd door wiskundigen en hun activiteiten. [5] Enkele andere voorbeelden van visies die objectrealistisch zijn zonder platonist te zijn, worden besproken in paragraaf 4.

1.4 Waarheidswaarde realisme

Waarheidswaarde-realisme is de opvatting dat elke goedgevormde wiskundige verklaring een unieke en objectieve waarheidswaarde heeft die onafhankelijk is van of deze bij ons bekend kan zijn en of deze logisch voortvloeit uit onze huidige wiskundige theorieën. Het standpunt is ook dat de meeste wiskundige uitspraken die als waar worden beschouwd, in feite waar zijn. Waarheidswaarde realisme is dus duidelijk een metafysische visie. Maar in tegenstelling tot platonisme is het geen ontologische visie. Want hoewel waarheidswaarde-realisme beweert dat wiskundige uitspraken unieke en objectieve waarheidswaarden hebben, is het niet toegewijd aan het kenmerkende platonistische idee dat deze waarheidswaarden moeten worden uitgelegd in termen van een ontologie van wiskundige objecten.

Wiskundige platonism motiveert duidelijk waarheid-waarde realisme door middel van een verslag van hoe wiskundige verklaringen hun waarheid-waarden te krijgen. Maar het eerste standpunt houdt niet het tweede in, tenzij er nieuwe premissen worden toegevoegd. Want zelfs als er wiskundige objecten zijn, kan referentiële en kwantificerende onbepaaldheid wiskundige uitspraken een unieke en objectieve waarheidswaarde ontnemen. Omgekeerd houdt het waarheidswaarde-realisme op zichzelf geen Bestaan in en impliceert het dus noch object-realisme, noch platonisme. Want er zijn verschillende verslagen over hoe wiskundige uitspraken unieke en objectieve waarheidswaarden kunnen gaan bezitten die niet tot een rijk van wiskundige objecten leiden. [6]

In feite onderschrijven veel nominalisten het waarheidswaarde-realisme, althans over meer basale takken van de wiskunde, zoals rekenen. Nominalisten van dit type zijn toegewijd aan de ietwat vreemd klinkende opvatting die, hoewel de gewone wiskundige verklaring

(1) Er zijn priemgetallen tussen 10 en 20.

is waar, er zijn in feite geen wiskundige objecten en dus in het bijzonder geen getallen. Maar er is hier geen tegenspraak. We moeten onderscheid maken tussen de taal L M waarin wiskundigen hun vorderingen en de taal L P waarin nominalisten en andere filosofen maken van hen. De verklaring (1) in L M. Maar de stelling nominalistische dat (1) waar is, maar dat er geen abstracte objecten in L P. Stelling van de nominalistische wordt dus volstrekt coherent mits (1) is niet homofoon vertaald van L M in L P. En inderdaad, wanneer de nominalist beweert dat de waarheidswaarden van zinnen van L Mzijn vastgelegd op een manier die niet een beroep op wiskundige objecten, het is juist dit soort non-homofone vertalen ze in gedachten heeft. De in de vorige opmerking genoemde weergave is een voorbeeld.

Dit toont aan dat de bewering dat Bestaan het beoogde effect heeft, moet worden uitgedrukt in de taal L P die door ons filosofen wordt gebruikt. Als de claim werd uitgedrukt in de taal LM die door wiskundigen werd gebruikt, konden nominalisten de claim accepteren terwijl ze nog steeds ontkenden dat er wiskundige objecten zijn, in strijd met het doel van de claim.

Een kleine maar belangrijke traditie van filosofen dringt erop aan dat het debat over platonisme wordt vervangen door, of op zijn minst wordt omgezet in, een debat over waarheidswaarde-realisme. Een van de redenen die hiervoor wordt aangevoerd, is dat het eerste debat hopeloos onduidelijk is, terwijl het laatste beter hanteerbaar is (Dummett 1978a, pp. 228–232 en Dummett 1991b, pp. 10–15). Een andere reden is dat het debat over waarheidsrealisme van groter belang is voor zowel filosofie als wiskunde dan dat over platonisme. [7]

1.5 De wiskundige betekenis van platonisme

Werkend realisme is de methodologische opvatting dat wiskunde moet worden beoefend alsof platonisme waar is (Bernays 1935, Shapiro 1997, pp. 21–27 en 38–44). Dit vereist enige uitleg. In debatten over de grondslagen van de wiskunde is platonisme vaak gebruikt om bepaalde wiskundige methoden te verdedigen, zoals:

  1. Klassieke eerste-orde (of sterkere) talen waarvan de enkelvoudige termen en kwantoren lijken te verwijzen naar en zich uitstrekken over wiskundige objecten. (Dit staat in contrast met de talen die eerder domineerden in de geschiedenis van de wiskunde, die meer leunde op constructieve en modale vocabulaire.)
  2. Klassieke in plaats van intuïtionistische logica.
  3. Niet-constructieve methoden (zoals niet-constructieve bewijzen van bestaan) en niet-constructieve axioma's (zoals het keuzeaxioma).
  4. Impredicatieve definities (dat wil zeggen definities die kwantificeren over een totaliteit waartoe het te definiëren object behoort).
  5. 'Hilbertiaans optimisme', dat is de overtuiging dat elk wiskundig probleem in principe oplosbaar is. [8]

Volgens werken realisme, deze en andere klassieke methoden aanvaardbaar en verkrijgbaar in alle wiskundig redeneren. Maar werkrealisme staat niet op het standpunt of deze methoden enige filosofische verdediging vereisen, en zo ja, of deze verdediging op platonisme moet zijn gebaseerd. Kortom, waar de platonism is een expliciet filosofische opvatting, het werken realisme is eerst en vooral een uitzicht binnen de wiskunde zelf over de juiste methodologie van deze discipline. Platonisme en werken realisme zijn dus twee verschillende standpunten.

Er kunnen echter natuurlijk logische verbanden zijn tussen de twee standpunten. Gezien de oorsprong van het werkende realisme, is het niet verwonderlijk dat het standpunt sterke steun krijgt van het wiskundige platonisme. Neem aan dat wiskundig platonisme waar is. Dan moet de taal van de wiskunde duidelijk zijn zoals beschreven in (i). Ten tweede voorwaarde is legitiem reden klassiek wat één onafhankelijk bestaand onderdeel van de werkelijkheid, (ii) zou ook volgen. Ten derde, aangezien platonisme ervoor zorgt dat wiskunde wordt ontdekt in plaats van uitgevonden, zouden wiskundigen zich niet hoeven te beperken tot constructieve methoden en axioma's, wat vaststelt (iii). Ten vierde is er een machtige en invloedrijke argument als gevolg van Gödel (1944) dat impredicatieve definities legitiem zijn wanneer de objecten onafhankelijk gedefinieerd bestaan van onze definities.('De langste jongen van de klas' lijkt bijvoorbeeld niet problematisch, ondanks dat hij niet geschikt is.) Als dit juist is, zou (iv) volgen. Als wiskunde tenslotte gaat over een of andere onafhankelijk bestaande realiteit, dan heeft elk wiskundig probleem een uniek en bepaald antwoord, dat op zijn minst enige motivatie biedt voor Hilbertiaans optimisme. (Zie echter, de bespreking van plenitudinous platonism in paragraaf 4.2.)

De waarheid van het wiskundig platonisme zou daarom belangrijke gevolgen hebben binnen de wiskunde zelf. Het zou de klassieke methoden die verband houden met werkrealisme rechtvaardigen en de zoektocht naar nieuwe axioma's aanmoedigen om vragen (zoals de continuümhypothese) op te lossen die door onze huidige wiskundige theorieën open worden gelaten.

Maar realistisch werken impliceert op geen enkele manier platonisme. Hoewel het werken realisme zegt dat we gerechtvaardigd zijn in het gebruik van de platonistic taal van de hedendaagse wiskunde, is dit lager dan dat van het platonisme in ten minste twee manieren. Zoals de bovenstaande bespreking van waarheidswaarde-realisme aantoonde, kan de platonistische taal van de wiskunde zo worden geanalyseerd dat verwijzing naar en kwantificering van wiskundige objecten wordt vermeden. Zelfs indien een nominale waarde analyse van de taal van de wiskunde te rechtvaardigen, zou object realisme maar niet platonism ondersteunen. Een extra argument nodig zou zijn voor de derde component van platonism, namelijk Independence. De vooruitzichten voor een dergelijk argument worden besproken in paragraaf 4.1.

2. Het Fregean argument voor het bestaan

We beschrijven nu een sjabloon van een argument voor het bestaan van wiskundige objecten. Aangezien de eerste filosoof die een argument van deze algemene vorm ontwikkelde, Frege was, wordt dit het Fregean-argument genoemd. Maar de sjabloon is algemeen en abstraheert van de meest specifieke aspecten van Frege's eigen verdediging van het bestaan van wiskundige objecten, zoals zijn opvatting dat rekenkunde tot logica herleidbaar is. Fregean logicism is slechts één manier waarop dit sjabloon kan worden ontwikkeld; enkele andere manieren zullen hieronder worden genoemd.

2.1 De structuur van het argument

Het Fregean-argument is gebaseerd op twee premissen, waarvan het eerste de semantiek van de taal van de wiskunde betreft:

Klassieke semantiek.

De enkelvoudige termen van de taal van de wiskunde beweren te verwijzen naar wiskundige objecten, en de eerste-orde kwantoren uitputtende reeks over dergelijke objecten.

Het woord 'strekking' moet worden uitgelegd. Wanneer een zin S beweert op een bepaalde manier te verwijzen of te kwantificeren, betekent dit dat S waar moet zijn om S waar te laten zijn om te verwijzen of te kwantificeren op deze manier.

De tweede vooronderstelling vereist niet veel uitleg:

Waarheid.

De meeste als wiskundige stellingen aanvaarde zinnen zijn waar (ongeacht hun syntactische en semantische structuur).

Overweeg zinnen die worden geaccepteerd als wiskundige stellingen en die een of meer wiskundige enkelvoudige termen bevatten. Door de waarheid zijn de meeste van deze zinnen waar. [9] Laat S zo'n zin zijn. Volgens de klassieke semantiek vereist de waarheid van S dat de enkelvoudige termen erin slagen te verwijzen naar wiskundige objecten. Daarom moeten er wiskundige objecten zijn, zoals wordt beweerd door Bestaan. [10]

2.2 Klassieke semantiek verdedigen

Klassieke Semantiek beweert dat de taal van de wiskunde semantisch functioneert, net zoals taal in algemene functies (of in ieder geval traditioneel wordt aangenomen dat ze functioneert): de semantische functies van enkelvoudige termen en kwantoren zijn om respectievelijk naar objecten te verwijzen en over objecten te reiken. Dit is een algemeen empirische bewering over de werking van een semi-formele taal die wordt gebruikt door de gemeenschap van professionele wiskundigen.. (In het algemeen aanvaarde terminologie van Burgess & Rosen 1997, pp 6-7, klassieke semantiek een hermeneutische conclusie, dat wil zeggen, het is een beschrijvende conclusie over een bepaalde taal daadwerkelijk wordt gebruikt, geen normatieve bewering over hoe deze taal zou moeten worden gebruikt.) Merk ook op dat klassieke semantiekis compatibel met de meeste traditionele opvattingen over semantiek; in het bijzonder is het compatibel met alle standaardopvattingen over de betekenis van zinnen, namelijk dat het waarheidswaarden, proposities of verzamelingen mogelijke werelden zijn.

Classical Semantiek geniet een sterke prima facie plausibiliteit. De taal van de wiskunde blijkt namelijk sterk dezelfde semantische structuur te hebben als de gewone niet-wiskundige taal. Zoals Burgess (1999) neemt de volgende twee zinnen lijken dezelfde eenvoudige semantische structuur van een predikaat worden toegeschreven aan een subject (288 blz.)

(4) Evelyn is prim.

(5) Elf is prime.

Deze verschijning wordt ook bevestigd door de standaard semantische analyses die worden voorgesteld door taalkundigen en semantici.

Toch wordt de Klassieke Semantiek uitgedaagd, bijvoorbeeld door nominalisten als Hellman (1989) en Hofweber (2005 en 2016). (Zie ook Moltmann (2013) voor enkele uitdagingen met betrekking tot rekenkundige woordenschat in natuurlijke taal.) Dit is niet de plaats voor een uitgebreide bespreking van dergelijke uitdagingen. Ik wil alleen opmerken dat er veel werk nodig is om dit soort uitdagingen te onderbouwen. De uitdager zal moeten betogen dat de schijnbare semantische overeenkomsten tussen wiskundige en niet-wiskundige taal misleidend zijn. En deze argumenten zullen van het soort moeten zijn dat taalkundigen en semantici - zonder belang bij de filosofie van de wiskunde - als belangrijk zouden kunnen gaan beschouwen. [11]

2.3 Waarheid verdedigen

Waarheid kan op verschillende manieren worden verdedigd. Gemeenschappelijk voor alle verdedigingen is dat ze eerst een standaard identificeren waarmee de waarheidswaarden van wiskundige uitspraken kunnen worden beoordeeld en vervolgens beweren dat wiskundige stellingen aan deze standaard voldoen.

Een mogelijkheid is om een beroep te doen op een norm die fundamenteler is dan die van de wiskunde zelf. Logica is een voorbeeld. Frege en andere logicisten beweren eerst dat elke stelling van pure logica waar is. Vervolgens proberen ze aan te tonen dat de stellingen van bepaalde takken van de wiskunde alleen kunnen worden bewezen door pure logica en definities.

Een andere mogelijkheid is een beroep te doen op de normen van de empirische wetenschap. Het onmisbaarheidsargument Quine-Putnam is een voorbeeld. Ten eerste wordt betoogd dat elk onmisbaar onderdeel van de empirische wetenschap waarschijnlijk waar zal zijn en daarom iets dat we terecht mogen geloven. Vervolgens wordt gesteld dat grote hoeveelheden wiskunde onmisbaar zijn voor de empirische wetenschap. Als beide beweringen juist zijn, volgt daaruit dat Waarheid waarschijnlijk waar is en dat geloof in Waarheid daarom gerechtvaardigd is. (Zie de vermelding over onmisbaarheidsargumenten in de filosofie van de wiskunde.)

Een derde mogelijkheid is een beroep te doen op de maatstaven van de wiskunde zelf. Waarom zou men een beroep moeten doen op niet-wiskundige normen, zoals die van logica of empirische wetenschap, om de waarheid van wiskundige stellingen te verdedigen? Als we de waarheid van de vorderingen van de logica en fysica te verdedigen, hoeven we niet om een beroep op normen buiten respectievelijk logica en fysica. We gaan er eerder van uit dat logica en fysica hun eigen sui generis-rechtvaardigingsnormen verschaffen. Waarom zou wiskunde anders zijn? Deze derde strategie heeft de afgelopen jaren veel aandacht gekregen, vaak onder de noemer 'naturalisme' of 'wiskundig naturalisme'. (Zie Burgess & Rosen 1997, Maddy 1997 en, voor een kritische discussie, zie de vermelding over naturalisme in de filosofie van de wiskunde.)

Hier is een voorbeeld van hoe een naturalistische strategie kan worden ontwikkeld. Noem de houding die wiskundigen aannemen ten opzichte van de stellingen van de wiskunde 'acceptatie'. Dan lijken de volgende beweringen aannemelijk:

(6) Wiskundigen zijn gerechtvaardigd in het accepteren van de stellingen van de wiskunde.

(7) Het accepteren van een wiskundige verklaring S houdt in dat je S als waar neemt.

(8) Als een wiskundige een wiskundige stelling S accepteert, is de inhoud van deze houding in het algemeen de letterlijke betekenis van S.

Uit deze drie beweringen volgt dat wiskundige experts gerechtvaardigd zijn om de stellingen van de wiskunde als letterlijke waarheden te beschouwen. In het verlengde van de rest van ons ook gerechtvaardigd zijn in het geloof Waarheid. Merk op dat de experts met wie (6) zich bezighoudt niet zelf hoeven te geloven (7) en (8), laat staan gerechtvaardigd zijn in een dergelijke overtuiging. Het gaat erom dat de drie beweringen waar zijn. De taak van het vaststellen van de waarheid van (7) en (8) ligt misschien bij taalkundigen, psychologen, sociologen of filosofen, maar zeker niet bij de wiskundigen zelf.

2.4 Het begrip ontologisch engagement

Versies van het Fregeïsche argument worden soms vermeld in termen van het begrip ontologische betrokkenheid. Stel dat we werken met het standaard Quineese criterium van ontologische betrokkenheid:

Quine's criterium.

Een eerste-orde zin (of verzameling van dergelijke zinnen) is ontologisch toegewijd aan objecten waarvan aangenomen moet worden dat ze in het bereik van de variabelen liggen om de zin (of verzameling van zinnen) waar te laten zijn.

Dan volgt uit de Klassieke Semantiek dat veel zinnen van de wiskunde ontologisch zijn toegewijd aan wiskundige objecten. Om dit te zien, overweeg dan een typische wiskundige stelling S, die een normaal extensief voorkomen van enkelvoudige termen of eerste orde kwantoren met zich meebrengt. Volgens Klassieke Semantiek beweren deze uitdrukkingen te verwijzen naar of te reiken over wiskundige objecten. Wil S waar zijn, dan moeten deze uitdrukkingen slagen om te doen wat ze beweren te doen. Om S waar te laten zijn, moeten er dus wiskundige objecten in het bereik van de variabelen zijn. Door Criterion Quine Dit betekent dat S is ontologisch vastbesloten om wiskundige objecten.

Quine en vele anderen nemen Quine's Criterion weinig meer dan een definitie van de term 'ontologische commitment' (Quine 1969 en Burgess 2004). Maar het criterium is niettemin betwist. Sommige filosofen ontkennen dat enkelvoudige termen en eerste-orde kwantoren automatisch ontologische verplichtingen veroorzaken. Misschien is wat 'van de wereld vereist' om de zin waar te maken, het bestaan van enkele maar niet alle objecten in het bereik van de kwantoren (Rayo 2008). Of misschien moeten we het verband tussen de existentiële kwantificeerder van de eerste orde verbreken en het idee van ontologische betrokkenheid (Azzouni 2004, Hofweber 2000 en 2016).

Een antwoord op deze uitdagingen is te constateren dat het Fregeïsche argument hierboven is ontwikkeld zonder de term 'ontologisch commitment' te gebruiken. Elke uitdaging om de definitie van 'ontologische vastlegging' geleverd door Quine's Criterion lijkt dus niet relevant voor de versie van de Fregeaanse argument hiervoor ontwikkeld. Het is echter onwaarschijnlijk dat deze reactie de uitdagers tevreden zal stellen, die zullen antwoorden dat de conclusie van het hierboven ontwikkelde argument te zwak is om het beoogde effect te hebben. Bedenk dat de conclusie, Bestaan, is geformaliseerd in onze filosofische metataal L Pals '∃ x Mx'. Deze formalisering zal dus niet het beoogde effect hebben, tenzij deze meta-taalzin van het soort is dat ontologische betrokkenheid oproept. Maar dat is precies wat de uitdagers betwisten. Deze controverse kan hier niet verder worden voortgezet. Voor nu zien we eenvoudig dat de uitdagers moeten uitleggen waarom hun niet-standaard idee van ontologische betrokkenheid beter en theoretisch interessanter is dan het standaard Quinean-idee.

2.5. Van bestaan tot wiskundig platonisme?

Stel dat we het bestaan accepteren, misschien gebaseerd op het Fregeïsche argument. Zoals we hebben gezien, is dit nog niet het accepteren van wiskundig platonisme, wat het resultaat is van het toevoegen aan het bestaan van de twee verdere claims abstractheid en onafhankelijkheid. Zijn deze twee andere claims verdedigbaar?

Volgens de maatstaven van de filosofie is abstractheid relatief onomstreden gebleven. Een van de weinige filosofen die het hebben aangevochten zijn Maddy (1990) (over onzuivere sets) en Bigelow (1988) (over sets en verschillende soorten nummers). Dit relatieve gebrek aan controverse betekent dat er weinig expliciete verdedigingen van abstractheid zijnzijn ontwikkeld. Maar het is niet moeilijk te zien hoe zo'n verdediging zou kunnen gaan. Hier is een idee. Het is op het eerste gezicht een plausibele beperking voor elke filosofische interpretatie van de wiskundige praktijk dat het moet voorkomen dat aan de wiskunde kenmerken worden toegeschreven die de feitelijke wiskundige praktijk misleidend of ontoereikend zouden maken. Deze beperking maakt het moeilijk te ontkennen dat de objecten van pure wiskunde abstract zijn. Want als deze objecten had spatiotemporele locaties, dan eigenlijk de wiskundige praktijk zouden worden misleid en onvoldoende, omdat pure wiskundigen behoort dan tot een belang in de locaties van hun objecten te maken, net zoals zoölogen nemen een belang in de locaties van de dieren. Het feit dat pure wiskundigen geen interesse hebben in deze vraag, suggereert dat hun objecten abstract zijn.

Independence zegt dat wiskundige objecten, als die er zijn, onafhankelijk zijn van intelligente agenten en hun taal, denken en praktijken. We zullen bespreken wat dit proefschrift zou kunnen betekenen, en hoe het zou kunnen worden verdedigd, in paragraaf 4.

3. Bezwaren tegen het wiskundig platonisme

Er zijn verschillende bezwaren tegen wiskundig platonisme ontwikkeld. Dit zijn de belangrijkste.

3.1 Epistemologische toegang

Het meest invloedrijke bezwaar is waarschijnlijk het bezwaar dat is geïnspireerd door Benacerraf (1973). Wat volgt is een verbeterde versie van Benacerraf's bezwaar vanwege Field (1989). [12] Deze versie is gebaseerd op de volgende drie premissen.

Gebouw 1. Wiskundigen zijn betrouwbaar, in die zin dat voor bijna elke wiskundige zin S, als wiskundigen S accepteren, S waar is.
Gebouw 2. Om geloof in wiskunde te rechtvaardigen, moet het in principe mogelijk zijn om de betrouwbaarheid die in premisse 1 is beschreven uit te leggen.
Gebouw 3. Als wiskundig platonisme waar is, kan deze betrouwbaarheid zelfs in principe niet worden verklaard.

Als deze drie premissen juist zijn, volgt hieruit dat wiskundig platonisme onze rechtvaardiging voor het geloven in wiskunde ondermijnt.

Maar klopt het uitgangspunt? De eerste twee gebouwen zijn relatief onomstreden. De meeste platonisten zijn al toegewijd aan premisse 1. En premisse 2 lijkt redelijk veilig. Als de betrouwbaarheid van een of andere geloofsvormingsprocedure niet eens in principe zou kunnen worden verklaard, dan zou de procedure louter bij toeval werken, waardoor de rechtvaardiging die we hebben voor de op deze manier geproduceerde overtuigingen wordt ondermijnd.

Premisse 3 is veel meer omstreden. Field verdedigt dit uitgangspunt door te observeren dat "de waarheidswaarden van onze wiskundige beweringen afhangen van feiten met platonische entiteiten die zich in een rijk buiten de ruimtetijd bevinden" (Field 1989, p. 68) en dus oorzakelijk geïsoleerd zijn van ons, zelfs in beginsel. Deze verdediging gaat er echter van uit dat elke adequate verklaring van de betrouwbaarheid in kwestie een oorzakelijk verband moet hebben. Dit wordt betwist door een verscheidenheid aan filosofen die meer minimale verklaringen van de betrouwbaarheidsclaim hebben voorgesteld. (Zie Burgess & Rosen 1997, p. 41–49 en Lewis 1991, p. 111–112; vgl. Ook Clarke-Doane 2016. Zie Linnebo 2006 voor een kritiek.) [13]

3.2 Een metafysisch bezwaar

Een ander beroemd artikel van Benacerraf ontwikkelt een metafysisch bezwaar tegen wiskundig platonisme (Benacerraf 1965, cf. ook Kitcher 1978). Hoewel Benacerraf richt zich op rekenkunde, het bezwaar generaliseert natuurlijk voor de meeste pure wiskundige objecten.

Benacerraf opent met een verdediging van wat nu bekend staat als een structuralistische kijk op de natuurlijke getallen, volgens welke de natuurlijke getallen geen andere eigenschappen hebben dan die ze hebben omdat ze posities zijn in een ω-reeks. Er is bijvoorbeeld niets meer om de nummer 3 te zijn dan bepaalde intructureel gedefinieerde relationele eigenschappen te hebben, zoals slagen voor 2, de helft van 6 zijn en prime zijn. Hoe hard we ook rekenkunde en verzamelingenleer bestuderen, we zullen nooit weten of 3 identiek is met de vierde von Neumann-ordinaal, of met de corresponderende Zermelo-ordinaal, of misschien, zoals Frege suggereerde, met de klas van alle driedelige klassen (in een systeem dat dergelijke klassen toestaat).

Benacerraf trekt nu de volgende conclusie:

Getallen zijn dus helemaal geen objecten, want bij het geven van de eigenschappen… van getallen karakteriseer je slechts een abstracte structuur - en het onderscheid ligt in het feit dat de “elementen” van de structuur geen andere eigenschappen hebben dan die welke ze relateren aan andere “elementen”van dezelfde structuur. (Benacerraf 1965, p.291)

Met andere woorden, Benacerraf stelt dat er geen objecten kunnen zijn die niets anders hebben dan structurele eigenschappen. Alle objecten moeten ook enkele niet-structurele eigenschappen hebben. (Zie Benacerraf 1996 voor enkele latere beschouwingen over dit argument.)

Beide stappen van het argument van Benacerraf zijn controversieel. De eerste stap - dat natuurlijke getallen alleen structurele eigenschappen hebben - is onlangs verdedigd door een verscheidenheid aan wiskundige structuralisten (Parsons 1990, Resnik 1997 en Shapiro 1997). Maar deze stap wordt ontkend door logici en neologicaisten, die beweren dat de natuurlijke getallen intrinsiek verbonden zijn met de kardinalen van de collecties die ze tellen. En de tweede stap - dat er geen objecten kunnen zijn met alleen structurele eigenschappen - wordt expliciet verworpen door alle structuralisten die de eerste stap verdedigen. (Voor enkele stemmen die sympathiseren met de tweede stap, zie Hellman 2001 en MacBride 2005. Zie ook Linnebo 2008 voor discussie.)

3.3 Andere metafysische bezwaren

Naast Benacerraf's is er een verscheidenheid aan metafysische bezwaren tegen wiskundig platonisme ontwikkeld. Een van de bekendere voorbeelden is een argument van Nelson Goodman tegen de verzamelingenleer. Goodman (1956) verdedigt het principe van nominalisme, dat stelt dat wanneer twee entiteiten dezelfde basisbestanddelen hebben, ze identiek zijn. Dit principe kan worden beschouwd als een versterking van het bekende set-theoretische axioma van extensie. Het axioma van extensionaliteit stelt dat als twee sets x en y dezelfde elementen hebben - dat wil zeggen, als ∀ u (u ∈ x ↔ u ∈ y) - dan identiek zijn. Het principe van nominalisme wordt verkregen door de lidmaatschapsrelatie te vervangen door de transitieve sluiting. [14]Het principe stelt dus dat als x en y ∈ * worden gedragen door dezelfde individuen - dat wil zeggen, als ∀ u (u ∈ * x ↔ u ∈ * y) - dan zijn x en y identiek. Door dit principe te onderschrijven, verbiedt Goodman de vorming van sets en klassen, waardoor alleen de vorming van mereologische sommen en de toepassing op de standaard mereologische operaties (zoals beschreven door zijn "calculus van individuen") wordt toegestaan.

Goodmans verdediging van het principe van het nominalisme wordt nu algemeen beschouwd als niet overtuigend, zoals blijkt uit de brede acceptatie door filosofen en wiskundigen van de verzamelingenleer als een legitieme en waardevolle tak van de wiskunde.

4. Tussen objectrealisme en wiskundig platonisme

Objectrealisme zegt dat er abstracte wiskundige objecten bestaan, terwijl platonisme onafhankelijkheid toevoegt, wat zegt dat wiskundige objecten onafhankelijk zijn van intelligente agenten en hun taal, denken en praktijken. Deze laatste sectie onderzoekt enkele lichtgewicht vormen van objectrealisme die stoppen met volwaardig platonisme.

4.1 Hoe u onafhankelijkheid kunt begrijpen

Een natuurlijke glans op Onafhankelijkheid is de contrafeitelijke voorwaarde dat, als er geen intelligente agenten waren geweest, of als hun taal, gedachte of praktijken passend waren veranderd, er nog steeds wiskundige objecten zouden zijn geweest.

Deze contrafeitelijke onafhankelijkheid (zoals we het kunnen noemen) wordt door de meeste analytische filosofen geaccepteerd. Om te zien waarom, overweeg dan de rol die wiskunde speelt in onze redenering. We redeneren vaak over scenario's die niet actueel zijn. Zouden we bijvoorbeeld een brug over deze kloof moeten bouwen, hoe sterk zou het moeten zijn om de krachtige windstoten te weerstaan? Helaas is de vorige brug ingestort. Zou dat zijn gebeurd als de stalen balken twee keer zo dik waren geweest? Deze vorm van redeneren over contrafeitelijke scenario's is onmisbaar voor zowel onze dagelijkse beraadslagingen als voor de wetenschap. De toelaatbaarheid van een dergelijke redenering heeft een belangrijk gevolg. Aangezien op de waarheden van pure wiskunde vrijelijk een beroep kan worden gedaan in al onze contrafeitelijke redeneringen, volgt hieruit dat deze waarheden contrafeitelijk onafhankelijk zijn van ons mensen,en al het andere intelligente leven wat dat betreft. Dat wil zeggen, als er geen intelligent leven was geweest, zouden deze waarheden nog steeds hetzelfde zijn gebleven.

Pure wiskunde is in dit opzicht heel anders dan gewone empirische waarheden. Als intelligent leven nooit had bestaan, zou dit artikel niet zijn geschreven. Interessanter is dat pure wiskunde ook contrasteert met verschillende sociale conventies en constructies, waarmee het soms wordt vergeleken (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Als intelligent leven nooit had bestaan, zouden er geen wetten, contracten of huwelijken zijn geweest, en toch zouden de wiskundige waarheden hetzelfde zijn gebleven.

Dus als onafhankelijkheid alleen wordt opgevat als contrafeitelijke onafhankelijkheid, dan zou iedereen die objectrealisme accepteert, ook platonisme moeten accepteren.

Het is echter twijfelachtig of dit begrip van onafhankelijkheid voldoende is. For Independence is bedoeld om een analogie tussen wiskundige objecten en gewone fysieke objecten te onderbouwen. Net zoals elektronen en planeten onafhankelijk van ons bestaan, zo ook cijfers en sets. En net zoals uitspraken over elektronen en planeten waar of onwaar gemaakt worden door de objecten waarmee ze te maken hebben en de perfect objectieve eigenschappen van deze objecten, zo zijn uitspraken over getallen en verzamelingen. Kortom, wiskundige objecten zijn net zo "echt" als gewone fysieke objecten (zo niet nog meer, zoals Plato dacht).

Laten we nu eens enkele opvattingen bekijken die dit sterkere begrip van onafhankelijkheid in termen van de genoemde analogie verwerpen. Deze opvattingen zijn dus lichtgewicht vormen van objectrealisme, die ophouden met volwaardig platonisme.

4.2 Overvloedig platonisme

Een lichtgewicht vorm van objectrealisme is het 'volbloed platonisme' van Balaguer 1998. Deze opvatting wordt gekenmerkt door een volheidsbeginsel dat alle wiskundige objecten die zouden kunnen bestaan echt bestaan. Omdat de continuümhypothese bijvoorbeeld onafhankelijk is van de standaard axiomatisatie van verzamelingenleer, is er een universum van verzamelingen waarin de hypothese waar is en een ander waarin deze onwaar is. En geen van beide universums is metafysisch bevoorrecht. Daarentegen beweert het traditionele platonisme dat er een uniek universum van verzamelingen is waarin de continuümhypothese ofwel absoluut waar is ofwel bepaald onwaar. [15]

Een vermeend voordeel van deze veelomvattende visie is de epistemologie van de wiskunde. Als elke consistente wiskundige theorie waar is voor een universum van wiskundige objecten, dan zal wiskundige kennis in zekere zin gemakkelijk te verkrijgen zijn: op voorwaarde dat onze wiskundige theorieën consistent zijn, zijn ze gegarandeerd waar voor een universum van wiskundige objecten.

'Volbloed platonisme' heeft echter veel kritiek gekregen. Colyvan en Zalta 1999 bekritiseren het omdat het de mogelijkheid om naar wiskundige objecten te verwijzen ondermijnt, en Restall 2003 omdat het een precieze en coherente formulering mist van het plenitudeprincipe waarop de visie is gebaseerd. Martin (2001) stelt voor dat verschillende universa van sets worden samengevoegd tot één maximaal universum, dat zal worden geprivilegieerd door onze conceptie van set beter te passen dan welk ander universum van sets dan ook.

Een andere versie van overvloedig platonisme wordt ontwikkeld in Linsky & Zalta 1995 en een reeks andere artikelen. (Zie bijvoorbeeld Linsky & Zalta 2006 en andere artikelen die daarin worden aangehaald.) Het traditionele platonisme gaat mis door 'het bedenken van abstracte objecten naar het model van fysieke objecten' (Linsky & Zalta 1995, p. 533), ook in met name het idee dat dergelijke objecten eerder "schaars" zijn dan overvloedig. Linsky & Zalta ontwikkelen een alternatieve benadering op basis van de 'objectentheorie' van de tweede auteur. Het belangrijkste kenmerk van de objecttheorie is een zeer algemeen begripsbeginsel dat het bestaan van een overvloed aan abstracte objecten bevestigt: voor elke verzameling eigenschappen is er een abstract object dat precies deze eigenschappen "codeert". In object theorie, bovendien,twee abstracte objecten zijn identiek voor het geval ze precies dezelfde eigenschappen coderen. Het begripsbeginsel en het identiteitscriterium van de objecttheorie zouden 'de link vormen tussen ons cognitieve begripsvermogen en abstracte objecten' (ibid., P. 547). (Zie Ebert & Rossberg 2007 voor kritische discussie.)

4.3 Lichtgewicht semantische waarden

Neem aan dat objectrealisme waar is. Ga voor het gemak ook uit van klassieke semantiek. Deze aannames zorgen ervoor dat de enkelvoudige termen en kwantificatoren van wiskundige taal verwijzen naar en variëren over abstracte objecten. Zou men, gezien deze aannames, ook een wiskundige platonist moeten zijn? Met andere woorden, voldoen de objecten waarnaar wiskundige zinnen verwijzen en kwantificeren over onafhankelijkheid of een vergelijkbare voorwaarde?

Het is nuttig om onze aannames in neutralere termen te herformuleren. We kunnen dit doen door een beroep te doen op de notie van een semantische waarde, die een belangrijke rol speelt in de semantiek en de taalfilosofie. Op deze gebieden wordt algemeen aangenomen dat elke uitdrukking een bepaalde bijdrage levert aan de waarheidswaarde van zinnen waarin de uitdrukking voorkomt. Deze bijdrage staat bekend als de semantische waarde van de uitdrukking. Er wordt algemeen aangenomen dat (althans in extensieve contexten) de semantische waarde van een enkelvoudige term slechts de referent is.

Onze aannames kunnen nu neutraal worden gesteld als de bewering dat wiskundige enkelvoudige termen abstracte semantische waarden hebben en dat de kwantoren ervan variëren over het soort item dat als semantische waarden dient. Laten we ons concentreren op de bewering over enkelvoudige termen. Wat is de filosofische betekenis van deze bewering? Ondersteunt het in het bijzonder een versie van Independence ? Het antwoord hangt af van wat er nodig is om een wiskundige enkelvoudige term een semantische waarde te geven.

Sommige filosofen beweren dat er niet veel nodig is (Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Wright 1983, Hale & Wright 2000, Rayo 2013 en Linnebo 2012 en 2018). Het is voldoende dat de term t een zekere bijdrage levert aan de waarheidswaarden van zinnen waarin deze voorkomt. Het hele doel van het idee van een semantische waarde was om dergelijke bijdragen te vertegenwoordigen. Het is daarom voldoende dat een enkele term een semantische waarde bezit, dat het zo'n geschikte bijdrage levert.

Dit kan zelfs de weg openen voor een vorm van niet-eliminerend reductionisme over wiskundige objecten (Dummett 1991a, Linnebo 2018). Hoewel het volkomen waar is dat de wiskundige enkelvoudige term t een abstract object als semantische waarde heeft, kan deze waarheid worden verkregen dankzij meer fundamentele feiten die het relevante abstracte object niet vermelden of erbij betrokken zijn. Vergelijk bijvoorbeeld de eigendomsrelatie die ontstaat tussen een persoon en haar bankrekening. Hoewel het volkomen waar is dat de persoon de bankrekening bezit, kan deze waarheid worden verkregen op grond van meer basale sociologische of psychologische feiten die de bankrekening niet vermelden of erbij betrokken zijn.

Als een lichtgewicht verslag van semantische waarden verdedigbaar is, kunnen we de aannames van objectrealisme en klassieke semantiek accepteren zonder ons te committeren aan een traditionele of robuuste vorm van platonisme.

4.4 Twee andere lichtgewicht vormen van objectrealisme

We sluiten af met nog twee voorbeelden van lichtgewicht vormen van objectrealisme die de platonistische analogie tussen wiskundige objecten en gewone fysieke objecten verwerpen.

Ten eerste bestaan misschien wiskundige objecten alleen op een potentiële manier, wat in contrast staat met de feitelijke bestaanswijze van gewone fysieke objecten. Dit idee vormt de kern van het oude idee van potentiële oneindigheid (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). Volgens Aristoteles zijn de natuurlijke getallen potentieel oneindig in die zin dat, hoe groot een getal we ook hebben geproduceerd (door het in de fysieke wereld te instantiëren), het mogelijk is om een nog groter aantal te produceren. Maar Aristoteles ontkent dat de natuurlijke getallen eigenlijk oneindig zijn: hiervoor zou de fysieke wereld oneindig moeten zijn, wat volgens hem onmogelijk is.

In navolging van Cantor verdedigen de meeste wiskundigen en filosofen nu de werkelijke oneindigheid van de natuurlijke getallen. Dit wordt gedeeltelijk mogelijk gemaakt door de Aristotelische vereiste te ontkennen dat elk nummer in de fysieke wereld moet worden geconcretiseerd. Wanneer dit wordt ontkend, betekent de werkelijke oneindigheid van de natuurlijke getallen niet langer de werkelijke oneindigheid van de fysieke wereld.

Een vorm van potentialisme over de hiërarchie van sets blijft echter aanzienlijk worden ondersteund, vooral in verband met de iteratieve conceptie van sets (Parsons 1977, Jané 2010, Linnebo 2013, Studd 2013). Het maakt niet uit hoeveel sets er zijn gevormd, het is mogelijk om nog meer te vormen. Als dat waar is, zou dit betekenen dat sets een potentiële bestaansvorm hebben die ze scherp onderscheidt van gewone fysieke objecten.

Ten tweede, misschien zijn wiskundige objecten ontologisch afhankelijk of afgeleid op een manier die ze onderscheidt van onafhankelijk bestaande fysieke objecten (Rosen 2011, Donaldson 2017). Bij de zojuist genoemde aristotelische opvatting hangt een natuurlijk getal bijvoorbeeld voor zijn bestaan af van een of andere instantiatie in de fysieke wereld. Er zijn ook andere versies van de weergave. Zo stellen Kit Fine (1995) en anderen dat een set ontologisch afhankelijk is van zijn elementen. (Deze opvatting hangt ook nauw samen met het hierboven genoemde set-theoretische potentialisme.)

Bibliografie

  • Azzouni, Jody, 2004, Deflating Existential Consequence: A Case for Nominalism, Oxford: Oxford University Press.
  • Balaguer, Mark, 1998, Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2001, "Een theorie van wiskundige correctheid en wiskundige waarheid", Pacific Philosophical Quarterly, 82: 87–114.
  • Benacerraf, Paul, 1965, "Welke getallen konden niet zijn", Philosophical Review, 74: 47–73.
  • –––, 1973, "Mathematical Truth", Journal of Philosophy, 70 (19): 661–679.
  • –––, 1996, "Welke wiskundige waarheid kon niet zijn, ik", in Benacerraf and His Critics, A. Morton en S. Stich, eds., Oxford: Blackwell.
  • Benacerraf, Paul en Putnam, Hilary (red.), 1983, Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press. Tweede druk.
  • Bernays, Paul, 1935, “On Platonism in Mathematics”, herdrukt in Benacerraf en Putnam (1983).
  • Bigelow, John, 1988, The Reality of Numbers: A Physicalist's Philosophy of Mathematics, Oxford: Clarendon.
  • Burgess, John P., 1999, "Review of Stewart Shapiro, Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology", Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (2): 283–91.
  • –––, 2004, "Review of Jody Azzouni, Deflating Existential Consequence: A Case for Nominalism", Bulletin of Symbolische Logica, 10 (4): 573–577.
  • Burgess, John P. en Rosen, Gideon, 1997, A Subject with No Object, Oxford: Oxford University Press.
  • Cole, Julian C., 2009, "Creativiteit, vrijheid en autoriteit: een nieuw perspectief op de metafysica van de wiskunde", Australasian Journal of Philosophy, 87: 589–608.
  • Clarke-Doane, Justin, 2017, "What is the Benacerraf Problem?", In New Perspectives on the Philosophy of Paul Benacerraf: Truth, Objects, Infinity (Volume 28: Logic, Epistemology, and Unity of Science), F. Pataut (red.), Cham: Springer, 17–43.
  • Colyvan, Mark en Zalta, Edward N., 1999, "Mathematics: Truth and Fiction?", Philosophia Mathematica, 7 (3): 336–349.
  • Donaldson, Thomas, 2017, "The (metaphysical) foundations of cithmetic?", Noûs, 51 (4): 775–801.
  • Dummett, Michael, 1978a, "De filosofische basis van intuïtionistische logica", in Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press, 215–247; herdrukt in Benacerraf en Putnam (1983).
  • –––, 1978b, Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1981, Frege: Taalfilosofie, Cambridge, MA: Harvard University Press, tweede druk.
  • –––, 1991a, Frege: filosofie van de wiskunde, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1991b, The Logical Basis of Metaphysics, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Ebert, Philip en Rossberg, Marcus, 2007, "Wat is het doel van neo-logicisme?", Travaux de Logique, 18: 33–61.
  • Feferman, Solomon, 2009, "Conceptions of the continuum", Intellectica, 51: 169–89.
  • Field, Hartry, 1989, Realisme, Wiskunde en Modaliteit, Oxford: Blackwell.
  • Fine, Kit, 1994, 'Ontologische afhankelijkheid', Proceedings of the Aristotelian Society, 95: 269–290.
  • Frege, Gottlob, 1953, Foundations of Arithmetic, Oxford: Blackwell. Vert. door JL Austin.
  • Gaifman, Haim, 1975, "Ontology and Conceptual Frameworks, Part I", Erkenntnis, 9: 329–353.
  • Gödel, Kurt, 1944, "Russell's Mathematical Logic", In Benacerraf and Putnam (1983).
  • –––, 1964, "Wat is de continuümhypothese van Cantor?", In Benacerraf en Putnam (1983).
  • –––, 1995, "Enkele fundamentele stellingen over de grondslagen van de wiskunde en hun implicaties", in Collected Words, S. Feferman et al, red., Oxford: Oxford University Press, vol. III, 304–323.
  • Goodman, Nelson, 1956, "A World of Individuals", herdrukt. in P. Benacerraf en H. Putnam, eds., Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 1st ed., Prentice-Hall.
  • Hale, Bob, 1987, Abstract Objects, Oxford: Blackwell.
  • Hale, Bob and Wright, Crispin, 2000, "Implicit Definition and the A Priori", in New Essays on the A Priori, Paul Boghossian en Christopher Peacocke, eds., Oxford: Oxford University Press. Herdrukt in Hale and Wright (2001).
  • –––, 2001, Reason's Proper Study, Oxford: Clarendon.
  • Hellman, Geoffrey, 1989, Mathematics without Numbers, Oxford: Clarendon.
  • –––, 2001, “Drie varianten van wiskundig structuralisme”, Philosophia Mathematica, 9 (3): 184–211.
  • Hersh, Reuben, 1997, wat is wiskunde eigenlijk?, Oxford: Oxford University Press.
  • Hilbert, David, 1996, "Wiskundige problemen", in From Kant to Hilbert, William Ewald, ed., Oxford: Oxford University Press, vol. 2, 1096–1105.
  • Hofweber, Thomas, 2000, "Quantification and non-existent objects", in Empty Names, Fiction and the Puzzle of Non-Existence, Anthony Everett en Thomas Hofweber, eds., Stanford, CA: CSLI Publications, 249–73.
  • –––, 2005, “Getalbepalers, getallen en rekenen”, Philosophical Review, 114 (2): 179–225.
  • –––, 2016, Ontology and The Ambitions of Metaphysics, Oxford: Oxford University Press.
  • Isaacson, Daniel, 1994, "Mathematical intuition and objectivity", in Mathematics and Mind, Alexander George, red., Oxford: Oxford University Press, hfst. 5.
  • Jané, Ignasi, 2010, "Idealistische en realistische elementen in Cantors benadering van verzamelingenleer", Philosophia Mathematica, 18 (2): 193–226.
  • Kitcher, Philip, 1978, "De benarde toestand van de platonist", Noûs, 12: 119–136.
  • Kreisel, Georg, 1958, "Review of Wittgensteins opmerkingen over de grondslagen van de wiskunde", British Journal for the Philosophy of Science, 9: 135–158.
  • Lear, Jonathan, 1980, "Aristotelian infinity", Proceedings of the Aristotelian Society, 80: 187–210.
  • Lewis, David, 1991, delen van klassen, Oxford: Blackwell.
  • Linnebo, Øystein, 2006, 'Epistemologische uitdagingen voor wiskundig platonisme', Philosophical Studies, 129 (3): 545–574.
  • –––, 2008, “Structuralisme en het begrip afhankelijkheid”, Philosophical Quarterly, 58: 59–79.
  • –––, 2012, “Reference by abstraction”, Proceedings of the Aristotelian Society, 112: 45–71.
  • –––, 2013: "De potentiële hiërarchie van verzamelingen", Overzicht van symbolische logica, 6 (2): 205–228.
  • –––, 2017, Wiskundige filosofie, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 2018, Thin Objects: An Abstractionist Account, Oxford: Oxford University Press.
  • Linnebo, Øystein en Shapiro, Stewart, 2017, "Actual and Potential Infinity", Noûs, doi: 10.1111 / nous.12208.
  • Linsky, Bernard en Zalta, Edward N., 1995, "Naturalised platonism versus platonized naturalism", Journal of Philosophy, 92 (10): 525-555.
  • Linsky, Bernard en Zalta, Edward N., 2006, "Wat is neologisme?", Bulletin of Symbolische logica, 12 (1): 60–99.
  • MacBride, Fraser, 2005, "Structuralism Reconsidered", in Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Stewart Shapiro, ed., Oxford: Clarendon, 563–589.
  • Maddy, Penelope, 1990, Realisme in de wiskunde, Oxford: Clarendon.
  • –––, 1997, Naturalisme in de wiskunde, Oxford: Clarendon.
  • Martin, Donald A., 2001, 'Meerdere universums van verzamelingen en onbepaalde waarheidswaarden', Topoi, 20 (1): 5–16.
  • Moltmann, Friederike, 2013, "Verwijzing naar getallen in natuurlijke taal", Philosophical Studies, 162: 499–536.
  • Parsons, Charles, 1977, "Wat is de iteratieve opvatting van Set?" in Logic, Foundations of Mathematics, and Computability Theory (The University of Western Ontario Series in Philosophy of Science: Volume 9), RE Butts en J. Hintikka (red.), Dortrecht: Springer, 335-367.
  • –––, 1980, "Mathematical Intuition", Proceedings of the Aristotelian Society, 80: 145–68.
  • –––, 1983, Wiskunde in de wijsbegeerte, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • –––, 1990, "The Structuralist View of Mathematical Objects", Synthese, 84: 303–346.
  • –––, 1995, “Platonisme en wiskundige intuïtie in het denken van Kurt Gödel”, Bulletin of Symbolische logica, 1 (1): 44–74.
  • Quine, WV, 1969, 'Existence and quantification', in Ontological Relativity and Other Essays, New York: Columbia University Press, 91–113.
  • Rayo, Agustín, 2008, "Over het specificeren van waarheidscondities", Philosophical Review, 117 (3): 385–443.
  • –––, 2013, The Construction of Logical Space, Oxford: Oxford University Press.
  • Rees, DA, 1967, "Platonism and the platonic tradition", in The Encyclopedia of Philosophy, Paul Edwards, red., New York: Macmillan, vol. 5, 333–341.
  • Resnik, Michael, 1980, Frege and the Philosophy of Mathematics, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • –––, 1997, Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Oxford University Press.
  • Restall, Greg, 2003, "Precies wat is volbloed platonisme?", Philosophia Mathematica, 11 (1): 82–91.
  • Rosen, Gideon, 2011, 'The reality of mathematical objects', in Meaning in Mathematics, J. Polkinghorne (red.), Oxford: Oxford University Press, 113–132.
  • Shapiro, Stewart, 1997, Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology, Oxford: Oxford University Press.
  • Studd, James, 2013, "The Iterative Conception of Set: a (Bi-) Modal Axiomatisation", Journal of Philosophical Logic, 42 (5): 1–29.
  • Wright, Crispin, 1983, Frege's Conception of Numbers as Objects, Aberdeen: Aberdeen University Press.
  • –––, 1992, Truth and Objectivity, Cambridge, MA: Harvard University Press.

Academische hulpmiddelen

sep man pictogram
sep man pictogram
Hoe deze vermelding te citeren.
sep man pictogram
sep man pictogram
Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
inpho icoon
inpho icoon
Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papieren pictogram
phil papieren pictogram
Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

[Neem contact op met de auteur voor suggesties.]

Aanbevolen: