Theorie Instellen

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-05-24 11:17

Toegang navigatie

• Inhoud van het item
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Vrienden PDF-voorbeeld
• Info over auteur en citaat
• Terug naar boven

Theorie instellen

Voor het eerst gepubliceerd op 8 oktober 2014; inhoudelijke herziening di 12 feb.2019

Verzamelingenleer is de wiskundige theorie van welbepaalde verzamelingen, sets genoemd, van objecten die leden of elementen van de set worden genoemd. Pure verzamelingenleer behandelt uitsluitend sets, dus de enige sets die worden overwogen, zijn die waarvan de leden ook sets zijn. De theorie van de erfelijk eindige verzamelingen, namelijk die eindige verzamelingen waarvan de elementen ook eindige verzamelingen zijn, waarvan de elementen ook eindige verzamelingen zijn, enzovoort, is formeel equivalent aan rekenen. De essentie van verzamelingenleer is dus de studie van oneindige verzamelingen, en daarom kan het worden gedefinieerd als de wiskundige theorie van het werkelijke - in tegenstelling tot het potentiële - oneindige.

Het begrip set is zo eenvoudig dat het meestal informeel wordt geïntroduceerd en als vanzelfsprekend wordt beschouwd. In de verzamelingenleer worden verzamelingen echter, zoals gebruikelijk in de wiskunde, axiomatisch gegeven, zodat hun bestaan en basiseigenschappen worden gepostuleerd door de juiste formele axioma's. De axioma's van de verzamelingenleer impliceren het bestaan van een verzamelingenleer zo rijk dat alle wiskundige objecten als verzamelingen kunnen worden opgevat. Ook stelt de formele taal van pure verzamelingenleer je in staat om alle wiskundige begrippen en argumenten te formaliseren. Zo is verzamelingenleer de standaardbasis geworden voor wiskunde, aangezien elk wiskundig object als een verzameling kan worden beschouwd, en elke stelling van wiskunde kan logisch worden afgeleid uit de axioma's van verzamelingenleer in de predicaatcalculus.

Beide aspecten van de verzamelingenleer, namelijk als wiskundige wetenschap van het oneindige en als grondslag van de wiskunde, zijn van filosofisch belang.

• 1. De oorsprong

• 2. De axioma's van de verzamelingenleer

  2.1 De axioma's van ZFC

• 3. De theorie van transfinite ordinals en cardinals

  3.1 Kardinalen

• 4. De universe (V) van alle sets

• 5. Zet theorie als de basis van wiskunde

  • 5.1 Metamathematica
  • 5.2 Het fenomeen van onvolledigheid

• 6. De verzamelingenleer van het continuüm

  • 6.1 Beschrijvende verzamelingenleer
  • 6.2 Vastberadenheid
  • 6.3 De continuüm-hypothese
• 7. Het bouwbare universum van Gödel

• 8. Dwingen

  8.1 Andere toepassingen van forceren

• 9. De zoektocht naar nieuwe axioma's

• 10. Grote kardinalen

  • 10.1 Innerlijke modellen van grote kardinalen
  • 10.2 Gevolgen van grote kardinalen
• 11. Axioma's forceren
• Bibliografie
• Academische hulpmiddelen
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. De oorsprong

De verzamelingenleer begint als een aparte wiskundige discipline in het werk van Georg Cantor. Je zou kunnen zeggen dat de verzamelingenleer eind 1873 werd geboren, toen hij de verbazingwekkende ontdekking deed dat het lineaire continuüm, dat wil zeggen de echte lijn, niet telbaar is, wat betekent dat de punten ervan niet kunnen worden geteld met de natuurlijke getallen. Dus hoewel de reeks natuurlijke getallen en de reeks reële getallen beide oneindig zijn, zijn er meer reële getallen dan er natuurlijke getallen zijn, wat de deur opende voor het onderzoek naar de verschillende oneindigheidsgroottes. Zie het artikel over de vroege ontwikkeling van verzamelingenleer voor een bespreking van de oorsprong van verzamelingenleerideeën en hun gebruik door verschillende wiskundigen en filosofen voor en rond de tijd van Cantor.

Volgens Cantor hebben twee sets (A) en (B) dezelfde grootte, of kardinaliteit, als ze bijecteerbaar zijn, dat wil zeggen dat de elementen van (A) in één-op-één kunnen worden geplaatst overeenstemming met de elementen van (B). De verzameling (mathbb {N}) natuurlijke getallen en de verzameling (mathbb {R}) reële getallen hebben dus verschillende kardinaliteiten. In 1878 formuleerde Cantor de beroemde Continuum Hypothese (CH), die stelt dat elke oneindige reeks reële getallen ofwel telbaar is, dat wil zeggen, het heeft dezelfde kardinaliteit als (mathbb {N}), of heeft dezelfde kardinaliteit als (mathbb {R}). Met andere woorden, er zijn slechts twee mogelijke maten van oneindige reeksen reële getallen. De CH is het meest bekende probleem van de verzamelingenleer. Cantor heeft er zelf veel moeite in gestoken, evenals vele andere vooraanstaande wiskundigen uit de eerste helft van de twintigste eeuw, zoals Hilbert,die de CH noemde als het eerste probleem in zijn gevierde lijst van 23 onopgeloste wiskundige problemen die in 1900 werd gepresenteerd op het Tweede Internationale Congres van Wiskundigen in Parijs. De pogingen om de CH te bewijzen, leidden tot grote ontdekkingen in de verzamelingenleer, zoals de theorie van bouwbare verzamelingen, en de dwangtechniek, die aantoonden dat de CH niet bewezen of ontkracht kan worden van de gebruikelijke axioma's van de verzamelingenleer. Tot op de dag van vandaag blijft de CH open. Tot op de dag van vandaag blijft de CH open. Tot op de dag van vandaag blijft de CH open.

Al vroeg ontstonden sommige inconsistenties of paradoxen door een naïef gebruik van het begrip set; in het bijzonder vanuit de bedrieglijk natuurlijke aanname dat elke eigenschap een set bepaalt, namelijk de set objecten die de eigenschap hebben. Een voorbeeld is Russell's Paradox, ook bekend bij Zermelo:

beschouw het eigendom van sets van niet-lid zijn van zichzelf. Als de eigenschap een set bepaalt, noem het dan (A), dan is (A) een lid van zichzelf als en alleen als (A) geen lid van zichzelf is.

Sommige verzamelingen, zoals de verzameling van alle verzamelingen, de verzameling van alle rangnummers of de verzameling van alle hoofdnummers, zijn dus geen verzamelingen. Dergelijke collecties worden eigen klassen genoemd.

Om de paradoxen te vermijden en vast te stellen, moest de verzamelingenleer axiomatisch worden gemaakt. De eerste axiomatisatie was te danken aan Zermelo (1908) en kwam voort uit de noodzaak om de fundamentele set-theoretische principes te onderbouwen die ten grondslag lagen aan zijn bewijs van Cantor's Well-Ordering Principle. Zermelo's axiomatisatie vermijdt Russell's Paradox door middel van het separatie-axioma, dat is geformuleerd als kwantificering over eigenschappen van verzamelingen, en is dus een verklaring van de tweede orde. Verder werk van Skolem en Fraenkel leidde tot de formalisering van het separatie-axioma in termen van formules van eerste orde, in plaats van het informele begrip eigendom, en tot de introductie van het axioma van vervanging, dat ook is geformuleerd als een axioma schema voor formules van de eerste orde (zie volgende sectie). Het axioma van vervanging is nodig voor een goede ontwikkeling van de theorie van transfinite ordinals en cardinals, met behulp van transfinite recursion (zie paragraaf 3). Het is ook nodig om het bestaan van zulke eenvoudige verzamelingen te bewijzen als de verzameling van erfelijk eindige verzamelingen, dat wil zeggen die eindige verzamelingen waarvan de elementen eindig zijn, waarvan de elementen ook eindig zijn, enzovoort; of om fundamentele set-theoretische feiten te bewijzen, zoals dat elke set zich in een transitieve set bevindt, dat wil zeggen een set die alle elementen van zijn elementen bevat (zie Mathias 2001 voor de zwakke punten van de set-theorie van Zermelo). Een verdere toevoeging, door von Neumann, van het axioma van Foundation, leidde tot het standaard axiomasysteem van de verzamelingenleer, bekend als de Zermelo-Fraenkel-axioma's plus het Axiom of Choice, of ZFC. Het is ook nodig om het bestaan van zulke eenvoudige verzamelingen te bewijzen als de verzameling van erfelijk eindige verzamelingen, dat wil zeggen die eindige verzamelingen waarvan de elementen eindig zijn, waarvan de elementen ook eindig zijn, enzovoort; of om fundamentele set-theoretische feiten te bewijzen, zoals dat elke set zich in een transitieve set bevindt, dat wil zeggen een set die alle elementen van zijn elementen bevat (zie Mathias 2001 voor de zwakke punten van de set-theorie van Zermelo). Een verdere toevoeging, door von Neumann, van het axioma van Foundation, leidde tot het standaard axiomasysteem van de verzamelingenleer, bekend als de Zermelo-Fraenkel-axioma's plus het Axiom of Choice, of ZFC. Het is ook nodig om het bestaan van zulke eenvoudige verzamelingen te bewijzen als de verzameling van erfelijk eindige verzamelingen, dat wil zeggen die eindige verzamelingen waarvan de elementen eindig zijn, waarvan de elementen ook eindig zijn, enzovoort; of om fundamentele set-theoretische feiten te bewijzen, zoals dat elke set zich in een transitieve set bevindt, dat wil zeggen een set die alle elementen van zijn elementen bevat (zie Mathias 2001 voor de zwakke punten van de set-theorie van Zermelo). Een verdere toevoeging, door von Neumann, van het axioma van Foundation, leidde tot het standaard axiomasysteem van de verzamelingenleer, bekend als de Zermelo-Fraenkel-axioma's plus het Axiom of Choice, of ZFC.of om fundamentele set-theoretische feiten te bewijzen, zoals dat elke set zich in een transitieve set bevindt, dat wil zeggen een set die alle elementen van zijn elementen bevat (zie Mathias 2001 voor de zwakke punten van de set-theorie van Zermelo). Een verdere toevoeging, door von Neumann, van het axioma van Foundation, leidde tot het standaard axiomasysteem van de verzamelingenleer, bekend als de Zermelo-Fraenkel-axioma's plus het Axiom of Choice, of ZFC.of om fundamentele set-theoretische feiten te bewijzen, zoals dat elke set zich in een transitieve set bevindt, dat wil zeggen een set die alle elementen van zijn elementen bevat (zie Mathias 2001 voor de zwakke punten van de set-theorie van Zermelo). Een verdere toevoeging, door von Neumann, van het axioma van Foundation, leidde tot het standaard axiomasysteem van de verzamelingenleer, bekend als de Zermelo-Fraenkel-axioma's plus het Axiom of Choice, of ZFC.

Andere axiomatisaties van de verzamelingenleer, zoals die van von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) of Morse-Kelley (MK), maken ook een formele behandeling van goede klassen mogelijk.

2. De axioma's van de verzamelingenleer

ZFC is een axioma-systeem dat is geformuleerd in eerste-orde logica met gelijkheid en met slechts één binair relatiesymbool (in) voor lidmaatschap. Daarom schrijven we (A \ in B) om uit te drukken dat (A) lid is van de set (B). Zie de

Supplement op basisset-theorie

voor verdere details. Zie ook de

Supplement op Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer

voor een geformaliseerde versie van de axioma's en verdere opmerkingen. We vermelden informeel de axioma's van ZFC.

2.1 De axioma's van ZFC

• Extensionality: Als twee sets (A) en (B) dezelfde elementen hebben, zijn ze gelijk.
• Nulset: Er bestaat een set, aangeduid met ({ varnothing}) en de lege set genoemd, die geen elementen bevat.
• Pair: Gegeven alle sets (A) en (B), bestaat er een set, aangeduid met ({A, B }), die (A) en (B) bevat als zijn enige elementen. In het bijzonder bestaat er de set ({A }) die (A) als enig element heeft.
• Power Set: Voor elke set (A) bestaat er een set, aangeduid met (mathcal {P} (A)) en de power set genoemd van (A), waarvan de elementen alle subsets zijn van (EEN).
• Union: Voor elke set (A) bestaat er een set, aangeduid met (bigcup A) en de union van (A) genoemd, waarvan de elementen alle elementen zijn van de elementen van (A).

• Oneindigheid: Er bestaat een oneindige set. In het bijzonder bestaat er een set (Z) die ({ varnothing}) bevat en zodanig dat als (A \ in Z) dan (bigcup {A, {A } } in Z).

• Scheiding: voor elke set (A) en elke gegeven eigenschap is er een set die precies de elementen van (A) bevat die die eigenschap hebben. Een eigenschap wordt gegeven door een formule (varphi) van de eerste-orde taal van de verzamelingenleer.

  Scheiding is dus geen enkel axioma maar een axioma-schema, dat wil zeggen een oneindige lijst van axioma's, één voor elke formule (varphi).

• Vervanging: Voor elke gegeven definieerbare functie met domein een set (A), is er een set waarvan de elementen alle waarden van de functie zijn.

  Vervanging is ook een axioma-schema, aangezien definieerbare functies worden gegeven door formules.

• Foundation: Elke niet-lege set (A) bevat een (in) - minimaal element, dat wil zeggen een zodanig element dat geen enkel element van (A) erbij hoort.

Dit zijn de axioma's van de verzamelingenleer van Zermelo-Fraenkel of ZF. De axioma's van Null Set en Pair volgen op de andere ZF-axioma's, dus ze kunnen worden weggelaten. Vervanging houdt ook scheiding in.

Ten slotte is er het Axiom of Choice (AC):

• Keuze: voor elke set (A) paarsgewijs gescheiden niet-lege sets bestaat er een set die precies één element bevat van elke set in (A).

De AC was lange tijd een controversieel axioma. Enerzijds is het erg nuttig en wordt het veel gebruikt in de wiskunde. Aan de andere kant heeft het nogal intuïtieve gevolgen, zoals de Banach-Tarski Paradox, die zegt dat de eenheidsbal in eindig veel stukken kan worden verdeeld, die vervolgens kunnen worden herschikt tot twee eenheidsballen. De bezwaren tegen het axioma komen voort uit het feit dat het stelt dat er sets bestaan die niet expliciet kunnen worden gedefinieerd. Maar Gödel's bewijs uit 1938 van zijn consistentie, in verhouding tot de consistentie van ZF, verdreef alle vermoedens die er over waren.

De Axiom of Choice is equivalent, modulo ZF, aan het Well-ordering Principle, dat stelt dat elke set goed geordend kan zijn, dat wil zeggen dat het lineair kan worden geordend zodat elke niet-lege subset een minimaal element heeft.

Hoewel niet formeel noodzakelijk, gebruikt men naast het symbool (in) normaal gesproken voor het gemak andere hulpgedefinieerde symbolen. (A \ subseteq B) geeft bijvoorbeeld aan dat (A) een subset is van (B), dat wil zeggen dat elk lid van (A) lid is van (B). Andere symbolen worden gebruikt om sets aan te geven die zijn verkregen door basisbewerkingen uit te voeren, zoals (A \ cup B), die de vereniging van (A) en (B) aangeeft, dwz de set waarvan de elementen die zijn van (A) en (B); of (A \ cap B), wat het snijpunt van (A) en (B) aangeeft, dat wil zeggen, de verzameling waarvan de elementen dezelfde zijn als (A) en (B). Het geordende paar ((A, B)) wordt gedefinieerd als de set ({ {A }, {A, B } }). Dus twee geordende paren ((A, B)) en ((C, D)) zijn gelijk als en alleen als (A = C) en (B = D). En het Cartesiaanse product (A \ maal B) wordt gedefinieerd als de set van alle geordende paren ((C,D)) zodat (C \ in A) en (D \ in B). Gegeven elke formule (varphi (x, y_1, \ ldots, y_n)) en sets (A, B_1, \ ldots, B_n), kan men de set vormen van al die elementen van (A) die voldoen aan de formule (varphi (x, B_1, \ ldots, B_n)). Deze set wordt aangeduid met ({a \ in A: \ varphi (a, B_1, \ ldots, B_n) }). In ZF kun je gemakkelijk bewijzen dat al deze sets bestaan. Zie het Supplement on Basic Set Theory voor verdere bespreking.

3. De theorie van transfinite ordinals en cardinals

In ZFC kan men de Cantoriaanse theorie van transfinite (dwz oneindige) ordinale en kardinale getallen ontwikkelen. Volgens de definitie gegeven door Von Neumann in de vroege jaren 1920, worden de ordinale getallen, of kortweg de ordinalen, verkregen door te beginnen met de lege set en twee bewerkingen uit te voeren: de onmiddellijke opvolger nemen en tot het uiterste gaan. Het eerste rangnummer is dus ({ varnothing}). Gegeven een ordinale (alpha), is de directe opvolger, aangegeven met (alpha +1), de set (alpha \ cup { alpha }). En gegeven een niet-lege set (X) van rangorde zodat voor elke (alpha \ in X) de opvolger (alpha +1) ook in (X) is, verkrijgt men de limiet ordinale (bigcup X). Men laat zien dat elke ordinale (strikt) goed geordend is door (in), dat wil zeggen dat deze lineair geordend is door (in) en dat er geen oneindige (in) - aflopende volgorde is. Elke goed geordende set is ook isomorf met een unieke rangorde, het ordertype.

Merk op dat elke ordinal de set van zijn voorgangers is. De klasse (ON) van alle rangtelwoorden is echter geen verzameling. Anders zou (ON) een rangtelwoord groter zijn dan alle rangtelwoorden, wat onmogelijk is. De eerste oneindige ordinaal, de verzameling van alle eindige ordinalen, wordt aangegeven met de Griekse letter omega ((omega)). In ZFC identificeert men de eindige ordinalen met de natuurlijke getallen. Dus (({ varnothing} = 0), ({{ varnothing} } = 1), ({{ varnothing}, {{ varnothing} } } = 2), etc., dus (omega) is slechts de verzameling (mathbb {N}) van natuurlijke getallen.

Men kan de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen uitbreiden tot alle ordinalen. De ordinale (alpha + \ beta) is bijvoorbeeld het ordertype van de goed-ordening die wordt verkregen door een goed geordende set ordertype (alpha) en een goed geordende set van orders samen te voegen -type (beta). De volgorde van de ordinalen, goed geordend door (in), begint als volgt

0, 1, 2, …, (n), …, (omega), (omega + 1), (omega + 2), …, (omega + \ omega), …, (n \ cdot \ omega), …, (omega \ cdot \ omega), …, (omega ^ n), …, (omega ^ \ omega), …

De ordinals voldoen aan het principe van transfinite inductie: stel dat (C) een klasse van ordinals is, zodat wanneer (C) alle ordinals (beta) kleiner dan een aantal ordinal (alpha) bevat, dan (alpha) staat ook in (C). Dan bevat de klasse (C) alle rangtelwoorden. Met behulp van transfinite inductie kan men in ZFC bewijzen (en men heeft het axioma van vervanging nodig) het belangrijke principe van transfinite recursie, dat zegt dat, gegeven elke definieerbare class-functie (G: V \ to V), men een class kan definiëren -function (F: ON \ to V) zodat (F (alpha)) de waarde is van de functie (G) toegepast op de functie (F) beperkt tot (alpha). Men gebruikt bijvoorbeeld transfinite recursie om de rekenkundige bewerkingen van optellen, product en machtsverheffen op de ordinalen goed te definiëren.

Bedenk dat een oneindige set telbaar is als het bijbaar is, dat wil zeggen dat het in een één-op-één correspondentie kan worden geplaatst, met (omega). Alle bovenstaande verordeningen zijn eindig of telbaar. Maar de verzameling van alle eindige en telbare ordinalen is ook een ordinale, genaamd (omega_1), en is niet telbaar. Evenzo is de set van alle ordinalen die bijecteerbaar zijn met een ordinale kleiner dan of gelijk aan (omega_1) ook een ordinale, genaamd (omega_2), en is niet bijecteerbaar met (omega_1), en spoedig.

3.1 Kardinalen

Een kardinaal is een ordinaal die niet bij te werken is met een kleinere ordinale. Elke eindige ordinaal is dus een kardinaal en (omega), (omega_1), (omega_2), etc. zijn ook kardinalen. De oneindige kardinalen worden weergegeven door de letter aleph ((aleph)) van het Hebreeuwse alfabet en hun volgorde wordt geïndexeerd door de rangtelwoorden. Zo begint het

(aleph_0), (aleph_1), (aleph_2), …, (aleph_ \ omega), (aleph _ { omega +1}), …, (aleph _ { omega + \ omega}), …, (aleph _ { omega ^ 2}), …, (aleph _ { omega ^ \ omega}), …, (aleph _ { omega_1}), …, (aleph _ { omega_2}), …

Dus (omega = \ aleph_0), (omega_1 = \ aleph_1), (omega_2 = \ aleph_2), enz. Voor elke kardinaal is er een grotere en de limiet van een toenemende reeks van kardinalen is ook een kardinaal. De klasse van alle kardinalen is dus geen set, maar een echte klasse.

Een oneindige kardinaal (kappa) wordt regelmatig genoemd als het niet de vereniging is van minder dan (kappa) kleinere kardinalen. (Aleph_0) is dus normaal, en dat geldt ook voor alle oneindige opeenvolgende kardinalen, zoals (aleph_1). Niet-reguliere oneindige kardinalen worden enkelvoud genoemd. De eerste enkelvoudige kardinaal is (aleph_ \ omega), omdat het de vereniging is van talloze kleinere kardinalen, namelijk (aleph_ \ omega = \ bigcup_ {n <\ omega} aleph_n).

De cofinaliteit van een kardinaal (kappa), aangegeven met (cf (kappa)) is de kleinste kardinaal (lambda) zodat (kappa) de vereniging is van (lambda) -veel kleinere ordinals. Dus (cf (aleph_ \ omega) = \ aleph_0).

Door de AC (in de vorm van het Well-Ordering Principle), kan elke set (A) goed geordend worden, vandaar dat deze te combineren is met een unieke kardinaal, de kardinaliteit van (A) genoemd. Gegeven twee kardinalen (kappa) en (lambda), wordt de som (kappa + \ lambda) gedefinieerd als de kardinaliteit van de set die bestaat uit de vereniging van twee willekeurige afzonderlijke sets, een van de kardinaliteit (kappa) en een van kardinaliteit (lambda). En het product (kappa \ cdot \ lambda) wordt gedefinieerd als de kardinaliteit van het Cartesiaanse product (kappa \ times \ lambda). De bewerkingen van som en product van oneindige kardinalen zijn triviaal, want als (kappa) en (lambda) oneindige kardinalen zijn, dan (kappa + \ lambda = \ kappa \ cdot \ lambda = maximum { kappa, \ lambda }).

Kardinale machtsverheffing daarentegen is hoogst niet-triviaal, want zelfs de waarde van de eenvoudigste niet-triviale oneindige exponentieel, namelijk (2 ^ { aleph_0}), is niet bekend en kan niet worden bepaald in ZFC (zie hieronder). De kardinaal (kappa ^ \ lambda) wordt gedefinieerd als de kardinaliteit van het Cartesiaanse product van (lambda) kopieën van (kappa); equivalent, als de kardinaliteit van de verzameling van alle functies van (lambda) in (kappa). De stelling van König stelt dat (kappa ^ {cf (kappa)}> \ kappa), wat impliceert dat de cofinaliteit van de kardinaal (2 ^ { aleph_0}), wat die kardinaal ook is, ontelbaar moet zijn. Maar dit is in wezen alles wat ZFC kan bewijzen over de waarde van de exponentiële (2 ^ { aleph_0}).

In het geval van machtsverheffing van enkelvoudige kardinalen heeft ZFC veel meer te zeggen. In 1989 bewees Shelah het opmerkelijke resultaat dat als (aleph_ \ omega) een sterke limiet is, dat wil zeggen (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ \ omega), voor elke (n <\ omega), dan (2 ^ { aleph_ \ omega} <\ aleph _ { omega_4}) (zie Shelah (1994)). De door Shelah ontwikkelde techniek om deze en soortgelijke stellingen in ZFC te bewijzen, wordt pcf-theorie genoemd (voor mogelijke cofinaliteiten) en heeft veel toepassingen gevonden in andere wiskundige gebieden.

4. De universe (V) van alle sets

A posteriori kunnen de ZF-axioma's anders dan Extensionality - die geen rechtvaardiging behoeft omdat het alleen een definiërende eigenschap van sets vermeldt - gerechtvaardigd worden door hun gebruik bij het opbouwen van de cumulatieve hiërarchie van sets. Namelijk, in ZF definiëren we met behulp van transfinite recursion de class-functie die aan elke ordinale (alpha) de set (V_ \ alpha) toewijst, als volgt gegeven:

• (V_0 = { varnothing})
• (V _ { alpha +1} = \ mathcal {P} (V_ \ alpha))
• (V_ \ alpha = \ bigcup _ { beta <\ alpha} V_ \ beta), telkens wanneer (alpha) een limiet ordinal is.

Het Power Set axioma wordt gebruikt om (V _ { alpha +1}) te verkrijgen van (V_ \ alpha). Vervanging en Union maken het mogelijk om (V_ \ alpha) te vormen voor (alpha) een limiet ordinal. Overweeg inderdaad de functie die aan elke (beta <\ alpha) de set (V_ \ beta) toewijst. Bij vervanging is de verzameling van alle (V_ \ beta), voor (beta <\ alpha), een verzameling, vandaar dat het axioma van de Unie dat op die verzameling wordt toegepast, opbrengsten (V_ \ alpha) oplevert. Het axioma van Infinity is nodig om het bestaan van (omega) en daarmee van de transfinite volgorde van ordinalen te bewijzen. Ten slotte is het axioma van Foundation, uitgaande van de andere axioma's, equivalent aan de bewering dat elke set tot sommige (V_ \ alpha) behoort, voor sommige ordinale (alpha). Zo bewijst ZF dat het verzamelingenleer, aangeduid met (V), de vereniging is van alle (V_ \ alpha), (alpha) een ordinale.

De juiste klasse (V), samen met de (in) relatie, voldoet aan alle ZFC-axioma's en is dus een model van ZFC. Het is het beoogde model van ZFC, en men zou kunnen denken dat ZFC een beschrijving geeft van (V), een beschrijving die echter zeer onvolledig is, zoals we hieronder zullen zien.

Een belangrijke eigenschap van (V) is het zogenaamde Reflection Principle. Namelijk, voor elke formule (varphi (x_1, \ ldots, x_n)), bewijst ZFC dat er een (V_ \ alpha) bestaat die het weerspiegelt, dat wil zeggen voor elke (a_1, \ ldots, a_n \ in V_ \ alpha),

(varphi (a_1, \ ldots, a_n)) geldt voor (V) als en alleen als (varphi (a_1, \ ldots, a_n)) geldt voor (V_ \ alpha).

(V) kan dus niet worden gekenmerkt door een zin, omdat elke zin die waar is in (V), ook moet gelden in een bepaald beginsegment (V_ \ alpha). In het bijzonder is ZFC niet eindig axiomatiseerbaar, want anders zou ZFC bewijzen dat (V_ \ alpha), voor onbeperkt veel ordinalen, een model van ZFC is, in tegenspraak met Gödel's tweede onvolledigheidsstelling (zie paragraaf 5.2).

Het reflectieprincipe omvat de essentie van de ZF-verzamelingenleer, want zoals aangetoond door Levy (1960), de axioma's van extensie, scheiding en fundament, samen met het reflectieprincipe, geformuleerd als het axioma-schema dat stelt dat elke formule wordt weerspiegeld door een bepaalde verzameling dat alle elementen en alle subsets van zijn elementen bevat (merk op dat de (V_ \ alpha) zo zijn), is gelijk aan ZF.

5. Zet theorie als de basis van wiskunde

Elk wiskundig object kan als een set worden beschouwd. De natuurlijke getallen worden bijvoorbeeld geïdentificeerd met de eindige rangtelwoorden, dus (mathbb {N} = \ omega). De reeks gehele getallen (mathbb {Z}) kan worden gedefinieerd als de reeks equivalentieklassen van paren van natuurlijke getallen onder de equivalentierelatie ((n, m) equiv (n ', m')) als en alleen als (n + m '= m + n'). Door elk natuurlijk getal (n) te identificeren met de equivalentieklasse van het paar ((n, 0)), kan men de bewerkingen van de som en het product van natuurlijke getallen natuurlijk uitbreiden tot (mathbb {Z}) (zie Enderton (1977) voor details en Levy (1979) voor een andere constructie). Verder kan men de rationelen (mathbb {Q}) definiëren als de reeks equivalentieklassen van paren ((n, m)) gehele getallen, waarbij (m \ ne 0), onder de equivalentierelatie ((n, m) equiv (n ', m')) als en alleen als (n \ cdot m '= m \ cdot n'). Nogmaals, de bewerkingen (+) en (cdot) op (mathbb {Z}) kunnen natuurlijk worden uitgebreid tot (mathbb {Q}). Bovendien wordt de volgorde (leq _ { mathbb {Q}}) op de rationelen gegeven door: (r \ leq _ { mathbb {Q}} s) als en alleen als er bestaat (t \ in \ mathbb {Q}) zodat (s = r + t). De reële getallen kunnen worden gedefinieerd als Dedekind-afsnijdingen van (mathbb {Q}), namelijk een reëel getal wordt gegeven door een paar ((A, B)) niet-lege disjuncte sets zodat (A \ cup B = \ mathbb {Q}), en (a \ leq _ { mathbb {Q}} b) voor elke (a \ in A) en (b \ in B). Men kan dan de bewerkingen van (+) en (cdot) op (mathbb {Q}) opnieuw uitbreiden, evenals de volgorde (leq _ { mathbb {Q}}), aan de set van reële getallen (mathbb {R}).de bewerkingen (+) en (cdot) op (mathbb {Z}) kunnen natuurlijk worden uitgebreid tot (mathbb {Q}). Bovendien wordt de volgorde (leq _ { mathbb {Q}}) op de rationelen gegeven door: (r \ leq _ { mathbb {Q}} s) als en alleen als er bestaat (t \ in \ mathbb {Q}) zodat (s = r + t). De reële getallen kunnen worden gedefinieerd als Dedekind-afsnijdingen van (mathbb {Q}), namelijk een reëel getal wordt gegeven door een paar ((A, B)) niet-lege disjuncte sets zodat (A \ cup B = \ mathbb {Q}), en (a \ leq _ { mathbb {Q}} b) voor elke (a \ in A) en (b \ in B). Men kan dan de bewerkingen van (+) en (cdot) op (mathbb {Q}) opnieuw uitbreiden, evenals de volgorde (leq _ { mathbb {Q}}), aan de set van reële getallen (mathbb {R}).de bewerkingen (+) en (cdot) op (mathbb {Z}) kunnen natuurlijk worden uitgebreid tot (mathbb {Q}). Bovendien wordt de volgorde (leq _ { mathbb {Q}}) op de rationelen gegeven door: (r \ leq _ { mathbb {Q}} s) als en alleen als er bestaat (t \ in \ mathbb {Q}) zodat (s = r + t). De echte getallen kunnen worden gedefinieerd als Dedekind-afsnijdingen van (mathbb {Q}), namelijk een reëel getal wordt gegeven door een paar ((A, B)) niet-lege disjuncte sets zodat (A \ cup B = \ mathbb {Q}), en (a \ leq _ { mathbb {Q}} b) voor elke (a \ in A) en (b \ in B). Men kan dan de bewerkingen van (+) en (cdot) op (mathbb {Q}) opnieuw uitbreiden, evenals de volgorde (leq _ { mathbb {Q}}), aan de set van reële getallen (mathbb {R}).(r \ leq _ { mathbb {Q}} s) als en alleen als er (t \ in \ mathbb {Q}) bestaat zodat (s = r + t). De reële getallen kunnen worden gedefinieerd als Dedekind-afsnijdingen van (mathbb {Q}), namelijk een reëel getal wordt gegeven door een paar ((A, B)) niet-lege disjuncte sets zodat (A \ cup B = \ mathbb {Q}), en (a \ leq _ { mathbb {Q}} b) voor elke (a \ in A) en (b \ in B). Men kan dan de bewerkingen van (+) en (cdot) op (mathbb {Q}) opnieuw uitbreiden, evenals de volgorde (leq _ { mathbb {Q}}), aan de set van reële getallen (mathbb {R}).(r \ leq _ { mathbb {Q}} s) als en alleen als er (t \ in \ mathbb {Q}) bestaat zodat (s = r + t). De echte getallen kunnen worden gedefinieerd als Dedekind-afsnijdingen van (mathbb {Q}), namelijk een reëel getal wordt gegeven door een paar ((A, B)) niet-lege disjuncte sets zodat (A \ cup B = \ mathbb {Q}), en (a \ leq _ { mathbb {Q}} b) voor elke (a \ in A) en (b \ in B). Men kan dan de bewerkingen van (+) en (cdot) op (mathbb {Q}) opnieuw uitbreiden, evenals de volgorde (leq _ { mathbb {Q}}), aan de set van reële getallen (mathbb {R}).evenals de volgorde (leq _ { mathbb {Q}}), tot de set echte getallen (mathbb {R}).evenals de volgorde (leq _ { mathbb {Q}}), tot de set echte getallen (mathbb {R}).

Laten we benadrukken dat er niet wordt beweerd dat, bijvoorbeeld, reële getallen Dedekind-bezuinigingen zijn, omdat ze ook kunnen worden gedefinieerd met behulp van Cauchy-reeksen, of op andere verschillende manieren. Wat vanuit fundamenteel oogpunt belangrijk is, is dat de set-theoretische versie van (mathbb {R}), samen met de gebruikelijke algebraïsche bewerkingen, voldoet aan de categorische axioma's waaraan de reële getallen voldoen, namelijk die van een volledig besteld veld. De metafysische vraag wat de werkelijke getallen werkelijk zijn, is hier niet relevant.

Algebraïsche structuren kunnen ook als sets worden gezien, aangezien elke (n) - ary relatie op de elementen van een set (A) kan worden bekeken als een set van (n) - tuples ((a_1, \ ldots, a_n)) van elementen van (A). En elke (n) - ary-functie (f) op (A), met waarden op een bepaalde set (B), kan worden gezien als de set van (n + 1) - tuples (((a_1, \ ldots, a_n), b)) zodat (b) de waarde van (f) op ((a_1, \ ldots, a_m)) is. Zo is een groep bijvoorbeeld slechts een drievoudige ((A, +, 0)), waarbij (A) een niet-lege set is, (+) een binaire functie is op (A) dat associatief is, (0) is een element van (A) zodat (a + 0 = 0 + a = a), voor alle (a \ in A), en voor elke (a \ in A) er is een element van (A), aangegeven met (- a), zodat (a + (- a) = (- a) + a = 0). Ook is een topologische ruimte slechts een set (X) samen met een topologie (tau) erop, dat wil zeggen,(tau) is een subset van (mathcal {P} (X)) die (X) en ({ varnothing}) bevat, en gesloten onder willekeurige vakbonden en eindige kruispunten. Elk willekeurig wiskundig object kan altijd als een set of een echte klasse worden beschouwd. De eigenschappen van het object kunnen dan worden uitgedrukt in de taal van de verzamelingenleer. Elke wiskundige verklaring kan worden geformaliseerd in de taal van de verzamelingenleer en elke wiskundige stelling kan worden afgeleid met behulp van de calculus van de eerste-orde logica, uit de axioma's van ZFC of van een uitbreiding van ZFC. Het is in die zin dat verzamelingenleer een basis vormt voor wiskunde. De eigenschappen van het object kunnen dan worden uitgedrukt in de taal van de verzamelingenleer. Elke wiskundige verklaring kan worden geformaliseerd in de taal van de verzamelingenleer en elke wiskundige stelling kan worden afgeleid met behulp van de calculus van de eerste-orde logica, uit de axioma's van ZFC of van een uitbreiding van ZFC. Het is in die zin dat verzamelingenleer een basis vormt voor wiskunde. De eigenschappen van het object kunnen dan worden uitgedrukt in de taal van de verzamelingenleer. Elke wiskundige verklaring kan worden geformaliseerd in de taal van de verzamelingenleer en elke wiskundige stelling kan worden afgeleid met behulp van de calculus van de eerste-orde logica, uit de axioma's van ZFC of van een uitbreiding van ZFC. Het is in die zin dat verzamelingenleer een basis vormt voor wiskunde.

De fundamentele rol van verzamelingenleer voor wiskunde, hoewel significant, is zeker niet de enige rechtvaardiging voor haar studie. De ideeën en technieken die binnen de verzamelingenleer zijn ontwikkeld, zoals oneindige combinatoriek, dwingen of de theorie van grote kardinalen, hebben er een diepe en fascinerende wiskundige theorie van gemaakt, die het waard is om op zichzelf te studeren en met belangrijke toepassingen voor praktisch alle wiskundige gebieden.

5.1 Metamathematica

Het opmerkelijke feit dat vrijwel alle wiskunde binnen ZFC kan worden geformaliseerd, maakt een wiskundige studie van de wiskunde zelf mogelijk. Dus alle vragen over het bestaan van een wiskundig object of de bewijsbaarheid van een vermoeden of hypothese kunnen een wiskundig nauwkeurige formulering krijgen. Dit maakt metamathematica mogelijk, namelijk de wiskundige studie van de wiskunde zelf. Dus de vraag over de bewijsbaarheid of onbewijsbaarheid van een bepaalde wiskundige verklaring wordt een verstandige wiskundige vraag. Wanneer u wordt geconfronteerd met een open wiskundig probleem of vermoeden, is het logisch om te vragen naar de bewijsbaarheid of niet-bewijsbaarheid in het formele ZFC-systeem. Helaas is het antwoord mogelijk geen van beide, omdat ZFC, indien consistent, onvolledig is.

5.2 Het fenomeen van onvolledigheid

De volledigheidsstelling van Gödel voor eerste-orde logica impliceert dat ZFC consistent is - dat wil zeggen, er kan geen tegenstrijdigheid uit worden afgeleid - als en alleen als het een model heeft. Een model van ZFC is een paar ((M, E)), waarbij (M) een niet-lege set is en (E) een binaire relatie is op (M) zodat alle axioma's van ZFC zijn waar wanneer geïnterpreteerd in ((M, E)), dat wil zeggen wanneer de variabelen die in de axioma's voorkomen, over elementen van (M) gaan en (in) wordt geïnterpreteerd als (E). Dus als (varphi) een zin is van de taal van de verzamelingenleer en men kan een model van ZFC vinden waarin (varphi) geldt, dan kan de ontkenning ervan (neg \ varphi) niet worden bewezen in ZFC. Dus als men een model van (varphi) en ook een model van (neg \ varphi) kan vinden, dan is (varphi) in ZFC niet aantoonbaar noch weerlegbaar, in welk geval we zeggen dat (varphi) is onbeslist in,of onafhankelijk van, ZFC.

In 1931 kondigde Gödel zijn opvallende onvolledigheidsstellingen aan, die beweren dat elk redelijk formeel systeem voor wiskunde noodzakelijk onvolledig is. In het bijzonder, als ZFC consistent is, dan zijn er onbeslisbare proposities in ZFC. Bovendien impliceert Gödel's tweede onvolledigheidsstelling dat de formele (rekenkundige) verklaring (CON (ZFC)), die stelt dat ZFC consistent is, hoewel waar, niet kan worden bewezen in ZFC. En evenmin kan de ontkenning ervan. (CON (ZFC)) is dus onbeslisbaar in ZFC.

Als ZFC consistent is, kan het het bestaan van een model van ZFC niet bewijzen, anders zou ZFC zijn eigen consistentie bewijzen. Een bewijs van consistentie of onbeslisbaarheid van een bepaalde zin (varphi) is dus altijd een relatief consistent consistentiebewijs. Dat wil zeggen, men gaat ervan uit dat ZFC consistent is, vandaar dat het een model heeft, en dan construeert men een ander model van ZFC waarbij de zin (varphi) waar is. We zullen verschillende voorbeelden zien in de volgende secties.

6. De verzamelingenleer van het continuüm

Vanaf Cantor en tot ongeveer 1940 ontwikkelde de verzamelingenleer zich voornamelijk rond de studie van het continuüm, dat wil zeggen de echte lijn (mathbb {R}). Het belangrijkste onderwerp was de studie van de zogenaamde regelmatigheidseigenschappen, evenals andere structurele eigenschappen, van eenvoudig te definiëren reeksen reële getallen, een gebied van de wiskunde dat bekend staat als Descriptive Set Theory.

6.1 Beschrijvende verzamelingenleer

Beschrijvende verzamelingenleer is de studie van de eigenschappen en structuur van definieerbare verzamelingen van reële getallen en, meer in het algemeen, van definieerbare subsets van (mathbb {R} ^ n) en andere Poolse ruimtes (dat wil zeggen topologische ruimtes die homeomorf zijn aan een scheidbare complete metrische ruimte), zoals de Baire-ruimte (mathcal {N}) van alle functies (f: \ mathbb {N} to \ mathbb {N}), de ruimte van complexe getallen, Hilbert ruimte en scheidbare Banach-ruimtes. De eenvoudigste reeksen reële getallen zijn de basisopeningen (dwz de open intervallen met rationele eindpunten) en hun aanvullingen. De sets die worden verkregen in een telbaar aantal stappen door uit te gaan van de basis open sets en de bewerkingen toepassen van het nemen van het complement en het vormen van een telbare eenheid van eerder verkregen sets, zijn de Borel-sets. Alle Borel-sets zijn normaal, dat wil zeggen,ze genieten van alle klassieke regelmaateigenschappen. Een voorbeeld van een regelmatigheidseigenschap is de Lebesgue-meetbaarheid: een set reals is Lebesgue-meetbaar als deze verschilt van een Borel-set met een nulset, namelijk een set die kan worden gedekt door sets van open basisintervallen van willekeurig kleine totale lengte. Daarom is elke Borel-set triviaal meetbaar, maar sets gecompliceerder dan de Borel-sets misschien niet zijn. Andere klassieke regelmatigheidseigenschappen zijn de eigenschap Baire (een set reals heeft de eigenschap Baire als deze verschilt van een open set door een magere set, namelijk een set die een telbare unie is van sets die in geen enkele interval dicht zijn), en de perfecte set-eigenschap (een set reals heeft de perfecte set-eigenschap als deze ofwel telbaar is of een perfecte set bevat, namelijk een niet-lege gesloten set zonder geïsoleerde punten). In ZFC kan men bewijzen dat er niet-reguliere sets reals bestaan, maar daarvoor is de AC noodzakelijk (Solovay 1970).

De analytische sets, ook wel (mathbf { Sigma} ^ 1_1) genoemd, zijn de doorlopende afbeeldingen van Borel-sets. En de co-analytische of (mathbf { Pi} ^ 1_1) -sets zijn de aanvullingen van analytische sets.

Beginnend met de analytische (of de co-analytische) sets en de projectiebewerkingen toepassen (van de productruimte (mathbb {R} times \ mathcal {N}) tot (mathbb {R})) en complementatie, men verkrijgt de projectieve sets. De projectieve sets vormen een hiërarchie van toenemende complexiteit. Als (A \ subseteq \ mathbb {R} times \ mathcal {N}) bijvoorbeeld co-analytisch is, dan is de projectie ({x \ in \ mathbb {R}: \ bestaat y \ in \ mathcal {N} ((x, y) in A) }) is een projectieve set in het volgende niveau van complexiteit boven de co-analytische sets. Die sets worden (mathbf { Sigma} ^ 1_2) genoemd en hun aanvullingen worden (mathbf { Pi} ^ 1_2) genoemd.

De projectieve sets komen heel natuurlijk naar voren in de wiskundige praktijk, want het blijkt dat een set (A) reals projectief is als en alleen als het definieerbaar is in de structuur

(mathcal {R} = (mathbb {R}, +, \ cdot, \ mathbb {Z}).)

Dat wil zeggen, er is een eerste-orde formule (varphi (x, y_1, \ ldots, y_n)) in de taal voor de structuur zodat voor sommige (r_1, \ ldots, r_n \ in \ mathbb {R }), [A = {x \ in \ mathbb {R}: \ mathcal {R} models \ varphi (x, r_1, \ ldots, r_n) }.)

ZFC bewijst dat elke analytische set, en dus elke co-analytische set, Lebesgue meetbaar is en de eigenschap Baire heeft. Het bewijst ook dat elke analytische set de perfecte set-eigenschap heeft. Maar de perfecte set-eigenschap voor co-analytische sets houdt in dat de eerste ontelbare kardinaal, (aleph_1), een grote kardinaal is in het bouwbare universum (L) (zie sectie 7), namelijk een zogenaamde ontoegankelijke kardinaal (zie sectie 10), wat inhoudt dat men in ZFC niet kan bewijzen dat elke co-analytische set de perfecte set-eigenschap heeft.

De theorie van projectieve reeksen complexiteit groter dan co-analytisch is volledig onbepaald door ZFC. In (L) is er bijvoorbeeld een (mathbf { Sigma} ^ 1_2) set die niet meetbaar is voor Lebesgue en niet de eigenschap Baire heeft, terwijl als Martin's axioma geldt (zie paragraaf 11), elke zo'n set heeft die regelmatigheidseigenschappen. Er is echter een axioma, het axioma van Projective Determinacy of PD genoemd, dat consistent is met ZFC, modulo de consistentie van sommige grote kardinalen (in feite volgt het uit het bestaan van enkele grote kardinalen), en impliceert dat alle projectieve sets zijn regelmatig. Bovendien lost PD in wezen alle vragen over de projectieve sets op. Zie de vermelding op grote kardinalen en determinatie voor meer details.

6.2 Vastberadenheid

Een regelmatigheidseigenschap van verzamelingen die alle andere klassieke regelmatigheidseigenschappen ondergaat, is die van bepaling. Voor de eenvoud werken we met de Baire-ruimte (mathcal {N}). Bedenk dat de elementen van (mathcal {N}) functies (f: \ mathbb {N} to \ mathbb {N}) zijn, dat wil zeggen reeksen van natuurlijke aantallen lengte (omega). De spatie (mathcal {N}) is topologisch equivalent (dwz homeomorf) aan de reeks irrationele punten van (mathbb {R}). Aangezien we geïnteresseerd zijn in de regelmatigheidseigenschappen van subsets van (mathbb {R}), en aangezien telbare sets, zoals de set rationals, verwaarloosbaar zijn in termen van die eigenschappen, kunnen we net zo goed werken met (mathcal {N}), in plaats van (mathbb {R}).

Gezien (A \ subseteq \ mathcal {N}), heeft het spel dat is gekoppeld aan (A), aangeduid met ({ mathcal G} _A), twee spelers, I en II, die afwisselend spelen (n_i \ in \ mathbb {N}): ik speel (n_0), dan speel ik (n_1), dan speel ik (n_2), enzovoort. Dus in fase (2k) speelt speler I (n_ {2k}) en in fase (2k + 1) speelt speler II (n_ {2k + 1}). We kunnen een run van het spel als volgt visualiseren:

(mathbf {I})

(n_0)

(n_2)

(n_4)

(cdots)

(n_ {2k})

(cdots)

(mathbf {II})

(n_1)

(n_3)

(cdots)

(cdots)

(n_ {2k + 1})

(cdots)

Na oneindig veel zetten produceren de twee spelers een oneindige reeks (n_0, n_1, n_2, \ ldots) natuurlijke getallen. Speler I wint het spel als de reeks behoort tot (A). Anders wint speler II.

Het spel ({ mathcal {G}} _ A) wordt bepaald als er een winnende strategie is voor een van de spelers. Een winnende strategie voor een van de spelers, bijvoorbeeld voor speler II, is een functie (sigma) uit de reeks eindige reeksen natuurlijke getallen in (mathbb {N}), zodat als de speler speelt volgens aan deze functie, dwz ze speelt (sigma (n_0, \ ldots, n_ {2k})) bij de (k) - de beurt, ze zal altijd het spel winnen, ongeacht wat de andere speler doet.

We zeggen dat een subset (A) van (mathcal {N}) wordt bepaald als en alleen als het spel ({ mathcal {G}} _ A) wordt bepaald.

Men kan in ZFC bewijzen - en het gebruik van de AC is noodzakelijk - dat er niet-vastgestelde sets zijn. Het Axiom of Determinacy (AD), dat stelt dat alle subsets van (mathcal {N}) zijn bepaald, is dus niet compatibel met de AC. Maar Donald Martin bewees in ZFC dat elke Borel-set bepaald is. Verder toonde hij aan dat als er een grote kardinaal bestaat die meetbaar wordt genoemd (zie paragraaf 10), zelfs de analytische sets worden bepaald. Het axioma van Projective Determinacy (PD) stelt dat elke projectieve set wordt bepaald. Het blijkt dat PD impliceert dat alle projectieve reals regelmatig zijn, en Woodin heeft aangetoond dat PD in zekere zin in wezen alle vragen over de projectieve sets oplost. Bovendien lijkt PD daarvoor noodzakelijk. Een ander axioma, (AD ^ {L (Bbb R)}), beweert dat de AD geldt in (L (Bbb R)),wat de minst transitieve klasse is die alle ordinalen en alle reële getallen bevat en voldoet aan de ZF-axioma's (zie Sectie 7). (AD ^ {L (Bbb R)}) houdt dus in dat elke set reals die tot (L (Bbb R)) behoort, regelmatig is. Omdat (L (Bbb R)) alle projectieve sets bevat, impliceert (AD ^ {L (Bbb R)}) PD.

6.3 De continuüm-hypothese

De Continuum Hypothesis (CH), opgesteld door Cantor in 1878, stelt dat elke oneindige reeks reële getallen kardinaliteit heeft (aleph_0) of dezelfde kardinaliteit als (mathbb {R}). De CH is dus gelijk aan (2 ^ { aleph_0} = \ aleph_1).

Cantor bewees in 1883 dat gesloten reeksen reële getallen de perfecte eigenschap hebben, waaruit volgt dat elke ontelbare gesloten verzameling reële getallen dezelfde kardinaliteit heeft als (mathbb {R}). De CH geldt dus voor gesloten sets. Meer dan dertig jaar later breidde Pavel Aleksandrov het resultaat uit tot alle Borel-sets en vervolgens Mikhail Suslin tot alle analytische sets. Alle analytische sets voldoen dus aan de CH. De pogingen om te bewijzen dat co-analytische sets aan de CH voldoen, zouden echter niet slagen, aangezien dit in ZFC niet kan worden bewezen.

In 1938 bewees Gödel de consistentie van de CH met ZFC. Ervan uitgaande dat ZF consistent is, bouwde hij een model van ZFC, bekend als het bouwbare universum, waarin de CH geldt. Het bewijs toont dus aan dat als ZF consistent is, dan geldt dat ook voor ZF samen met de AC en de CH. Ervan uitgaande dat ZF consistent is, kan de AC niet worden weerlegd in ZF en kan de CH niet worden weerlegd in ZFC.

Zie de vermelding op de continuümhypothese voor de huidige status van het probleem, inclusief de laatste resultaten van Woodin.

7. Het bouwbare universum van Gödel

Het bouwbare universum van Gödel, aangegeven met (L), wordt gedefinieerd door transfinite recursie op de ordinalen, vergelijkbaar met (V), maar bij opeenvolgende stappen, in plaats van de machtsset van (V_ \ alpha) te nemen om te verkrijgen (V _ { alpha +1}), men neemt alleen die subsets van (L_ \ alpha) die definieerbaar zijn in (L_ \ alpha), gebruikmakend van elementen van (L_ \ alpha) als parameters. Dus (mathcal {P} ^ {Def} (X)) de set van alle subsets van (X) die definieerbaar zijn in de structuur ((X, \ in)) door een formule van de taal van de verzamelingenleer, met elementen van (X) als parameters van de definitie, laten we

• (L_0 = { varnothing})
• (L _ { alpha +1} = \ mathcal {P} ^ {Def} (L_ \ alpha))
• (L_ \ lambda = \ bigcup _ { alpha <\ lambda} L_ \ alpha), telkens wanneer (lambda) een limiet ordinal is.

Dan is (L) de vereniging van alle (L_ \ alpha), voor (alpha) een ordinale, dat wil zeggen (L = \ bigcup _ { alpha \ in ON} L_ \ alpha).

Gödel toonde aan dat (L) voldoet aan alle ZFC-axioma's, en ook aan de CH. In feite voldoet het aan de Generalized Continuum Hypothesis (GCH), namelijk (2 ^ { aleph_ \ alpha} = \ aleph _ { alpha +1}), voor elke ordinale (alpha).

De verklaring (V = L), het axioma van de constructibiliteit genoemd, stelt dat elke set tot (L) behoort. Het geldt in (L), dus het is consistent met ZFC, en impliceert zowel de AC als de GCH.

De juiste klasse (L), samen met de (in) relatie beperkt tot (L), is een innerlijk model van ZFC, dat wil zeggen een transitief (dat wil zeggen, het bevat alle elementen van zijn elementen) klasse die alle ordinalen bevat en voldoet aan alle ZFC-axioma's. Het is in feite het kleinste binnenmodel van ZFC, zoals elk ander binnenmodel het bevat.

Meer in het algemeen kan men, gezien elke set (A), het kleinste transitieve model van ZF bouwen dat (A) en alle ordinalen bevat op een vergelijkbare manier als (L), maar nu beginnend met de transitieve sluiting van ({A }), dat wil zeggen de kleinste transitieve set die (A) bevat, in plaats van ({ varnothing}). Het resulterende model, (L (A)), hoeft echter geen model van de AC te zijn. Een heel belangrijk dergelijk model is (L (mathbb {R})), het kleinste transitieve model van ZF dat alle rangtelwoorden en alle reële getallen bevat.

De theorie van bouwbare decors heeft veel te danken aan het werk van Ronald Jensen. Hij ontwikkelde de zogenaamde fijne structuur theorie van (L) en isoleerde enkele combinatorische principes, zoals de diamant ((diamondsuit)) en vierkant ((Box)), die gebruikt kunnen worden om te dragen ingewikkelde constructies van ontelbare wiskundige objecten uit. De theorie van de fijne structuur speelt ook een belangrijke rol bij de analyse van grotere (L) - achtige modellen, zoals (L (mathbb {R})) of de innerlijke modellen voor grote kardinalen (zie paragraaf 10.1).

8. Dwingen

In 1963, vijfentwintig jaar na Gödel's bewijs van de consistentie van de CH en de AC, ten opzichte van de consistentie van ZF, bewees Paul Cohen (1966) de consistentie van de negatie van de CH, en ook van de negatie van de AC, ten opzichte van de consistentie van ZF. Dus als ZF consistent is, dan is de CH onbeslisbaar in ZFC, en de AC is onbeslisbaar in ZF. Om dit te bereiken bedacht Cohen een nieuwe en extreem krachtige techniek, genaamd forcing, voor het uitbreiden van telbare transitieve modellen van ZF.

Aangezien de axioma (V = L) de AC en de CH impliceert, moet elk model van de negatie van de AC of de CH (V = L) schenden. Laten we dus het idee van forceren illustreren in het geval van het bouwen van een model voor de negatie van (V = L). We beginnen met een transitief model (M) van ZFC, waarvan we kunnen aannemen, zonder verlies van algemeenheid, als model van (V = L). Om (V = L) te overtreden, moeten we (M) uitbreiden door een nieuwe set (r) toe te voegen, zodat (r) in het uitgebreide model niet-constructeerbaar zal zijn. Omdat alle erfelijk eindige sets bouwbaar zijn, streven we ernaar om een oneindige reeks natuurlijke getallen toe te voegen. Het eerste probleem dat we tegenkomen is dat (M) mogelijk al alle subsets van (omega) bevat. Gelukkig heeft (M) volgens de stelling van Löwenheim-Skolem voor eerste-orde logica een telbaar elementair submodel (N). Omdat we alleen geïnteresseerd zijn in de uitspraken in (M),en niet in (M) zelf, kunnen we net zo goed met (N) werken in plaats van (M), en dus mogen we aannemen dat (M) zelf telbaar is. Omdat (mathcal {P} (omega)) ontelbaar is, zijn er tal van subsets van (omega) die niet tot (M) behoren. Maar helaas kunnen we niet zomaar een oneindige subset (r) van (omega) kiezen die niet van (M) is en deze toevoegen aan (M). De reden is dat (r) veel informatie kan coderen, zodat (M) bij toevoeging aan (M) niet langer een model van ZFC is, of nog steeds een model van (V = L). Om dit te voorkomen, moet men zeer zorgvuldig (r) kiezen. Het idee is om (r) generiek over (M) te kiezen, wat betekent dat (r) zo is opgebouwd uit zijn eindige benaderingen dat het geen eigenschap heeft die kan worden gedefinieerd in (M) en kan worden vermeden. Bijvoorbeeld,door (r) te zien als een oneindige reeks natuurlijke getallen in oplopende volgorde, kan de eigenschap van (r) die slechts eindig veel even getallen bevat, worden vermeden, omdat bij gegeven eindige benadering van (r) - dat wil zeggen, elke eindig toenemende reeks natuurlijke getallen - men kan deze altijd uitbreiden door meer even getallen toe te voegen, zodat aan het einde van de constructie (r) oneindig veel even getallen zal bevatten; terwijl de eigenschap van het bevatten van het getal 7 niet kan worden vermeden, want als een eindige benadering van (r) het getal 7 bevat, dan blijft het daar, ongeacht hoe de constructie van (r) verloopt. Omdat (M) telbaar is, zijn er zulke generieke (r). Vervolgens wordt het uitgebreide model (M [r]), dat (M) bevat en de nieuwe set (r) bevat, een generieke extensie van (M) genoemd. Omdat we aannamen dat (M) een transitief model is van (V = L),het model (M [r]) is gewoon (L_ \ alpha (r)), waarbij (alpha) het supremum is van de rangtelwoorden van (M). Vervolgens kan men, gebruikmakend van de dwingende relatie tussen eindige benaderingen tot (r) en formules in de taal van de verzamelingenleer, uitgebreid met zogenaamde namen voor verzamelingen in de generieke extensie, dat (M [r]) een model van ZFC en (r) is niet bouwbaar in (M [r]), vandaar dat het axioma van bouwbaarheid (V = L) mislukt.

Over het algemeen wordt een geforceerde uitbreiding van een model (M) verkregen door aan (M) een generieke subset (G) toe te voegen van een gedeeltelijk geordende set (mathbb {P}) die behoort tot (M). In het bovenstaande voorbeeld zou (mathbb {P}) de verzameling zijn van alle eindig toenemende reeksen natuurlijke getallen, gezien als eindige benaderingen van de oneindige reeks (r), geordend door (subseteq); en (G) zou de verzameling zijn van alle eindige initiële segmenten van (r).

In het geval van het consistentiebewijs van de ontkenning van de CH, begint men vanuit een model (M) en voegt (aleph_2) nieuwe subsets van (omega) toe, zodat in de generieke extensie de CH mislukt. In dit geval moet men een geschikte deelvolgorde (mathbb {P}) gebruiken, zodat (aleph_2) van (M) niet wordt samengevouwen, dat wil zeggen, het is hetzelfde als de (aleph_2) van de generieke extensie, en dus de generieke extensie (M [G]), zal voldoen aan de zin die zegt dat er (aleph_2) reële getallen zijn.

8.1 Andere toepassingen van forceren

Naast de CH, zijn veel andere wiskundige vermoedens en problemen over het continuüm, en andere oneindig veel wiskundige objecten, onbeslisbaar gebleken in ZFC met behulp van de dwangtechniek.

Een belangrijk voorbeeld is Suslin's Hypothesis (SH). Cantor had aangetoond dat elke lineair geordende set (S) zonder eindpunten die dicht is (dwz tussen twee verschillende elementen van (S) is er een andere), compleet (dwz elke subset van (S) dat is begrensd hierboven heeft een supremum), en met een telbare dichte subset isomorf met de echte lijn. Suslin vermoedde dat dit nog steeds waar is als men de eis versoepelt om een telbare dichte subset te bevatten tot ccc, dat wil zeggen dat elke verzameling paarsgewijs gescheiden intervallen telbaar is. Begin jaren zeventig produceerde Thomas Jech een consistent tegenvoorbeeld met behulp van forceren, en Ronald Jensen liet zien dat er een tegenvoorbeeld bestaat in (L). Ongeveer tegelijkertijdRobert Solovay en Stanley Tennenbaum (1971) ontwikkelden en gebruikten voor het eerst de iteratieve forceringstechniek om een model te produceren waar de SH op rust, waarmee het zijn onafhankelijkheid van ZFC aantoont. Om er zeker van te zijn dat de SH in de generieke extensie blijft, moet men alle tegenvoorbeelden vernietigen, maar door een bepaald tegenvoorbeeld te vernietigen, kan men onbedoeld nieuwe creëren, en dus moet men keer op keer forceren; in feite moet men minstens (omega_2) - vele stappen doorgaan. Dit is waarom een gedwongen iteratie nodig is.in feite moet men minstens (omega_2) - vele stappen doorgaan. Dit is waarom een gedwongen iteratie nodig is.in feite moet men minstens (omega_2) - vele stappen doorgaan. Dit is waarom een gedwongen iteratie nodig is.

Naast andere beroemde wiskundige problemen die dankzij de dwangtechniek onbeslisbaar zijn gebleken in ZFC, met name door gebruik te maken van herhaalde forcering en soms gecombineerd met grote kardinalen, kunnen we het maatprobleem en het Borel-vermoeden in de meettheorie noemen, Kaplansky's vermoeden over de alchra van Banach, en Whitehead's probleem in groepentheorie.

9. De zoektocht naar nieuwe axioma's

Als resultaat van 50 jaar ontwikkeling van de dwangtechniek en de toepassing ervan op vele openstaande problemen in de wiskunde, zijn er nu letterlijk duizenden vragen, op praktisch alle gebieden van de wiskunde, die onafhankelijk van ZFC zijn getoond. Deze bevatten bijna alle vragen over de structuur van ontelbare sets. Men zou kunnen zeggen dat het fenomeen van de onbeslisbaarheid alomtegenwoordig is, tot het punt dat het onderzoek naar het ontelbare bijna alleen mogelijk is gemaakt in ZFC (zie echter Shelah (1994) voor opmerkelijke uitzonderingen).

Dit roept de vraag op naar de waarheidswaarde van de uitspraken die door ZFC niet worden beslist. Moet men er tevreden mee zijn dat ze onbeslisbaar zijn? Heeft het überhaupt zin om naar hun waarheidswaarde te vragen? Hierop zijn verschillende mogelijke reacties. Een daarvan is het standpunt van de scepticus: de uitspraken die in ZFC niet te beslissen zijn, hebben geen definitief antwoord; en ze kunnen zelfs inherent vaag zijn. Een andere, die veel voorkomt bij wiskundigen, is de positie van Gödel: de onbeslisbaarheid laat alleen zien dat het ZFC-systeem te zwak is om die vragen te beantwoorden, en daarom moet men zoeken naar nieuwe axioma's die ze ooit aan ZFC zouden toevoegen. De zoektocht naar nieuwe axioma's staat bekend als het Gödel-programma. Zie Hauser (2006) voor een grondige filosofische bespreking van het programma,en ook de vermelding over grote kardinalen en determinatie voor filosofische overwegingen over de rechtvaardiging van nieuwe axioma's voor verzamelingenleer.

Een centraal thema van de verzamelingenleer is dus het zoeken en classificeren van nieuwe axioma's. Deze vallen momenteel in twee hoofdtypen: de axioma's van grote kardinalen en de dwingende axioma's.

10. Grote kardinalen

Men kan in ZFC niet bewijzen dat er een kardinale limiet bestaat (kappa), want als (kappa) zo'n kardinaal is, dan is (L_ \ kappa) een model van ZFC, en dus zou ZFC zijn eigen consistentie bewijzen, in tegenspraak met Gödel's tweede onvolledigheidsstelling. Het bestaan van een kardinale limiet moet dus worden gepostuleerd als een nieuw axioma. Zo'n kardinaal wordt zwak ontoegankelijk genoemd. Als (kappa) bovendien een sterke limiet is, dat wil zeggen (2 ^ \ lambda <\ kappa), voor elke kardinaal (lambda <\ kappa), dan is (kappa) riep sterk ontoegankelijk. Een kardinaal (kappa) is sterk ontoegankelijk als en alleen als het normaal is en (V_ \ kappa) een model van ZFC is. Als de GCH stand houdt, is elke zwak ontoegankelijke kardinaal sterk ontoegankelijk.

Grote kardinalen zijn ontelbare kardinalen die voldoen aan enkele eigenschappen waardoor ze erg groot zijn en waarvan het bestaan niet kan worden bewezen in ZFC. De eerste zwak ontoegankelijke kardinaal is slechts de kleinste van alle grote kardinalen. Naast ontoegankelijke kardinalen is er een rijke en complexe verscheidenheid aan grote kardinalen, die een lineaire hiërarchie vormen in termen van consistentie, en in veel gevallen ook in termen van regelrechte implicatie. Zie het artikel over onafhankelijkheid en grote kardinalen voor meer details.

Om het volgende sterkere idee van een grote kardinaal te formuleren, laten we zeggen dat een subset (C) van een oneindige kardinaal (kappa) is gesloten als elke limiet van elementen van (C) ook in (C); en is onbeperkt als er voor elke (alpha <\ kappa) (beta \ in C) groter dan (alpha) bestaat. De set van limiet-ordinalen kleiner dan (kappa) is bijvoorbeeld gesloten en niet gebonden. Ook wordt een subset (S) van (kappa) stationair genoemd als deze elke gesloten onbegrensde subset van (kappa) kruist. Als (kappa) regelmatig en ontelbaar is, dan is de verzameling van alle ordinalen kleiner dan (kappa) van cofinaliteit (omega) een voorbeeld van een stationaire verzameling. Een gewone kardinaal (kappa) wordt Mahlo genoemd als de reeks sterk ontoegankelijke kardinalen kleiner dan (kappa) stationair is. Dus,de eerste Mahlo-kardinaal is veel groter dan de eerste sterk ontoegankelijke kardinaal, aangezien er (kappa) zijn - veel sterk ontoegankelijke kardinalen kleiner dan (kappa).

Veel sterkere kardinale begrippen komen voort uit het overwegen van sterke reflectie-eigenschappen. Bedenk dat het reflectieprincipe (sectie 4), dat aantoonbaar is in ZFC, stelt dat elke ware zin (dat wil zeggen, elke zin die in (V) staat) in sommige (V_ \ alpha) waar is. Een versterking van dit principe tot tweede-orde zinnen levert enkele grote kardinalen op. (Kappa) is bijvoorbeeld sterk ontoegankelijk als en alleen als elke (Sigma ^ 1_1) zin (dwz existentiële tweede-orde-zin in de taal van de verzamelingenleer, met één extra predikaatsymbool) waar is in elke structuur van de vorm ((V_ \ kappa, \ in, A)), waar (A \ subseteq V_ \ kappa), waar is in sommige ((V_ \ alpha, \ in, A \ cap V_ \ alpha)), met (alpha <\ kappa). Hetzelfde type reflectie, maar nu voor (Pi ^ 1_1) zinnen (dwz universele tweede-orde zinnen),geeft een veel sterkere grote kardinale eigenschap van (kappa), zwakke compactheid genoemd. Elke zwak compacte kardinaal (kappa) is Mahlo en de set Mahlo-kardinalen kleiner dan (kappa) is stationair. Door reflectie toe te staan voor meer complexe tweede-orde of zelfs hogere-orde zinnen, verkrijgt men grote kardinale begrippen die sterker zijn dan zwakke compactheid.

De beroemdste grote kardinalen, meetbaar genoemd, werden in 1930 ontdekt door Stanisław Ulam als resultaat van zijn oplossing voor het meetprobleem. Een (tweewaardige) maat of ultrafilter op een kardinaal (kappa) is een subset (U) van (mathcal {P} (kappa)) met de volgende eigenschappen: (i) het snijpunt van twee elementen van (U) is in (U); (ii) als (X \ in U) en (Y) een subset is van (kappa) zodat (X \ subseteq Y), dan (Y \ in U); en (iii) voor elke (X \ subseteq \ kappa), ofwel (X \ in U) of (kappa -X \ in U), maar niet beide. Een maat (U) wordt (kappa) genoemd - compleet als elke kruising van minder dan (kappa) elementen van (U) zich ook in (U) bevindt. En een maat wordt non-principal genoemd als er geen (alpha <\ kappa) is die tot alle elementen van (U) behoort. Een kardinaal (kappa) wordt meetbaar genoemd als er een meting bestaat op (kappa) die (kappa) is - compleet en niet-hoofdsom.

Meetbare kardinalen kunnen worden gekenmerkt door elementaire inbedding van het universum (V) in een of andere transitieve klasse (M). Dat een dergelijke inbedding (j: V \ to M) elementair is, betekent dat (j) de waarheid bewaart, dat wil zeggen voor elke formule (varphi (x_1, \ ldots, x_n)) van de taal van set theorie, en elke (a_1, \ ldots, a_n), de zin (varphi (a_1, \ ldots, a_n)) geldt in (V) als en alleen als (varphi (j (a_1), \ ldots, j (a_n))) geldt in (M). Het blijkt dat een kardinaal (kappa) meetbaar is als en alleen als er een elementaire inbedding bestaat (j: V \ to M), met (M) transitief, zodat (kappa) is de eerste ordinale verplaatst door (j), dat wil zeggen de eerste ordinale zodat (j (kappa) ne \ kappa). We zeggen dat (kappa) het kritieke punt is van (j) en schrijven (crit (j) = \ kappa). De inbedding (j) kan worden gedefinieerd vanuit een (kappa) - volledige niet-hoofdmaatregel op (kappa), met behulp van de zogenaamde ultrapower-constructie. Omgekeerd, als (j: V \ to M) een elementaire inbedding is, met (M) transitief en (kappa = crit (j)), dan is de set (U = {X \ subseteq \ kappa: \ kappa \ in j (X) }) is een (kappa) - compleet niet-principieel ultrafilter op (kappa). Een maat (U) verkregen op deze manier uit (j) wordt normaal genoemd.

Elke meetbare kardinaal (kappa) is zwak compact en er zijn veel zwak compacte kardinalen kleiner dan (kappa). In feite zijn er onder (kappa) veel kardinalen die totaal niet te beschrijven zijn, dat wil zeggen, ze weerspiegelen alle zinnen, van elke complexiteit, en in elke hogere orde taal.

Als (kappa) meetbaar is en (j: V \ to M) wordt gegeven door de ultrapower-constructie, dan (V_ \ kappa \ subseteq M), en elke reeks van lengte kleiner dan of gelijk aan (kappa) van elementen van (M) behoort tot (M). (M) lijkt dus behoorlijk op (V), maar kan niet (V) zelf zijn. Inderdaad, een beroemde stelling van Kenneth Kunen laat zien dat er geen andere elementaire inbedding (j: V \ to V) kan zijn dan de triviale, dat wil zeggen de identiteit. Alle bekende bewijzen van dit resultaat gebruiken het axioma van keuze en het is een buitengewoon belangrijke vraag of het axioma nodig is. Kunens stelling opent de deur naar het formuleren van grote kardinale begrippen die sterker zijn dan meetbaarheid door te eisen dat (M) dichter bij (V) ligt.

(Kappa) wordt bijvoorbeeld sterk genoemd als er voor elke ordinale (alpha) een elementaire inbedding bestaat (j: V \ to M), voor sommige (M) transitieve, zodat (kappa = crit (j)) en (V_ \ alpha \ subseteq M).

Een ander belangrijk en veel sterker kardinaal begrip is supercompactheid. Een kardinaal (kappa) is supercompact als er voor elke (alpha) een elementaire inbedding bestaat (j: V \ to M), met (M) transitief en kritiek punt (kappa), zodat (j (kappa)> \ alpha) en elke reeks elementen van (M) met lengte (alpha) tot (M) behoort.

Woodin-kardinalen vallen tussen sterk en supercompact. Elke supercompacte kardinaal is Woodin en als (delta) Woodin is, dan is (V_ \ delta) een model van ZFC waarin er een goede klasse van sterke kardinalen is. Dus hoewel een Woodin-kardinaal (delta) zelf niet erg sterk hoeft te zijn - de eerste is niet eens zwak compact - impliceert het het bestaan van veel grote kardinalen in (V_ \ delta).

Naast supercompacte kardinalen vinden we de uitschuifbare kardinalen, de enorme, de supergrote, enz.

Kunens stelling over het niet bestaan van een niet-triviale elementaire inbedding (j: V \ tot V) laat eigenlijk zien dat er geen elementaire inbedding kan zijn (j: V _ { lambda +2} to V _ { lambda +2}) verschilt van de identiteit, voor elke (lambda).

De sterkste grote hoofdconcepten waarvan niet bekend is dat ze inconsistent zijn, modulo ZFC, zijn de volgende:

• Er bestaat een elementaire inbedding (j: V _ { lambda +1} tot V _ { lambda +1}) die verschilt van de identiteit.
• Er bestaat een elementaire inbedding (j: L (V _ { lambda +1}) tot L (V _ { lambda +1})) die verschilt van de identiteit.

Grote kardinalen vormen een lineaire hiërarchie met toenemende consistentie. In feite zijn ze de springplank naar de interpreteerbaarheidshiërarchie van wiskundige theorieën. Zie het artikel over onafhankelijkheid en grote kardinalen voor meer details. Gegeven elke zin (varphi), heeft precies één van de volgende drie mogelijkheden betrekking op de theorie ZFC plus (varphi):

• ZFC plus (varphi) is niet consistent.
• ZFC plus (varphi) komt overeen met ZFC.
• ZFC plus (varphi) is in overeenstemming met ZFC plus het bestaan van een grote kardinaal.

Grote kardinalen kunnen dus worden gebruikt om te bewijzen dat een bepaalde zin (varphi) geen andere zin (psi), modulo ZFC, inhoudt door te laten zien dat ZFC plus (psi) de consistentie van sommige grote kardinaal, terwijl ZFC plus (varphi) consistent is, uitgaande van het bestaan van een kleinere grote kardinaal, of gewoon uitgaande van de consistentie van ZFC. Met andere woorden, (psi) heeft een hogere consistentie dan (varphi), modulo ZFC. Dan, volgens Gödel's tweede onvolledigheidsstelling, kan ZFC plus (varphi) niet bewijzen (psi), ervan uitgaande dat ZFC plus (varphi) consistent is.

Zoals we al hebben opgemerkt, kan men in ZFC niet bewijzen dat er grote kardinalen bestaan. Maar alles wijst erop dat hun bestaan niet alleen niet kan worden weerlegd, maar in feite is de veronderstelling van hun bestaan een zeer redelijk axioma van de verzamelingenleer. Om te beginnen is er veel bewijs voor hun consistentie, vooral voor die grote kardinalen waarvoor het mogelijk is om een innerlijk model te construeren.

10.1 Innerlijke modellen van grote kardinalen

Een innerlijk model van ZFC is een transitieve eigen klasse die alle ordinalen bevat en voldoet aan alle ZFC-axioma's. (L) is dus het kleinste binnenmodel, terwijl (V) het grootste is. Sommige grote kardinalen, zoals ontoegankelijk, Mahlo of zwak compact, kunnen voorkomen in (L). Dat wil zeggen, als (kappa) een van deze grote kardinale eigenschappen heeft, dan heeft het ook de eigenschap in (L). Maar sommige grote kardinalen kunnen niet bestaan in (L). Scott (1961) toonde inderdaad aan dat als er een meetbare kardinaal (kappa) bestaat, (V \ ne L). Het is belangrijk op te merken dat (kappa) tot (L) behoort, aangezien (L) alle ordinalen bevat, maar het is niet meetbaar in (L) omdat a (kappa) -volledige niet-hoofdmeting op (kappa) kan daar niet bestaan.

Als (kappa) een meetbare kardinaal is, dan kan men een (L) - achtig model construeren waarin (kappa) meetbaar is door een (kappa) - volledig niet-principaal te nemen en normale maat (U) op (kappa), en gaat verder zoals in de definitie van (L), maar gebruikt nu (U) als een extra predikaat. Het resulterende model, (L [U]) genaamd, is een innerlijk model van ZFC waarin (kappa) meetbaar is, en in feite is (kappa) de enige meetbare kardinaal. Het model is canoniek, in die zin dat elke andere normale maatstaf voor de meetbaarheid van (kappa) hetzelfde model zou opleveren, en heeft veel van de eigenschappen van (L). Het heeft bijvoorbeeld een projectieve putvolgorde van de reals en voldoet aan de GCH.

Het bouwen van vergelijkbare (L) - achtige modellen voor sterkere grote kardinalen, zoals sterk of Woodin, is veel moeilijker. Die modellen hebben de vorm (L [E]), waarbij (E) een reeks extenders is, waarbij elke extender een systeem van maatregelen is, die coderen voor de relevante elementaire inbedding.

De grootste (L) - achtige binnenmodellen voor grote kardinalen die tot nu toe zijn verkregen, kunnen Woodin-limieten van Woodin-kardinalen bevatten (Neeman 2002). Het bouwen van een (L) - achtig model voor een supercompacte kardinaal is echter nog steeds een uitdaging. De supercompacte barrière lijkt de cruciale te zijn, want Woodin heeft aangetoond dat voor een soort (L) - achtig innerlijk model voor een supercompacte kardinaal, die hij de Ultimate noemt - (L), alle sterkere grote kardinalen die kan voorkomen in (V), zoals uitbreidbaar, enorm, I1, etc. zou ook in het model voorkomen. De constructie van Ultimate - (L) is nog steeds onvolledig en het is nog niet duidelijk of het zal lukken, want het berust op enkele technische hypothesen die moeten worden bevestigd.

10.2 Gevolgen van grote kardinalen

Het bestaan van grote kardinalen heeft dramatische gevolgen, zelfs voor eenvoudig definieerbare kleine sets, zoals de projectieve sets van reële getallen. Zo bewees Solovay (1970), aangenomen dat er een meetbare kardinaal bestaat, dat alle reeksen (mathbf { Sigma} ^ 1_2) meetbaar Lebesgue zijn en de eigenschap Baire hebben, die niet kan worden bewezen in ZFC alleen. En Shelah en Woodin (1990) toonden aan dat het bestaan van een goede klasse van Woodin-kardinalen impliceert dat de theorie van (L (mathbb {R})), zelfs met reële getallen als parameters, niet kan worden veranderd door te forceren, wat houdt in dat alle reeksen reële getallen die tot (L (mathbb {R})) behoren, regelmatig zijn. Verder bewezen Martin en Steel (1989) onder een zwakkere hypothese van grote kardinalen, namelijk het bestaan van oneindig veel Woodin-kardinalen, dat elke projectieve reeks reële getallen wordt bepaald, i.e., het axioma van PD geldt, vandaar dat alle projectieve sets regelmatig zijn. Bovendien toonde Woodin aan dat het bestaan van oneindig veel Woodin-kardinalen, plus een meetbare kardinaal erboven, impliceert dat elke set reals in (L (mathbb {R})) wordt bepaald, dat wil zeggen de axioma (AD ^ {L (mathbb {R})}) geldt, dus alle reeksen reële getallen die tot (L (mathbb {R})) behoren, en dus alle projectieve reeksen, zijn normaal. Hij toonde ook aan dat Woodin-kardinalen de optimale grote kardinale veronderstellingen bieden door te bewijzen dat de volgende twee verklaringen:vandaar dat alle reeksen reële getallen die tot (L (mathbb {R})) behoren, en dus alle projectieve reeksen, regelmatig zijn. Hij toonde ook aan dat Woodin-kardinalen de optimale grote kardinale veronderstellingen bieden door te bewijzen dat de volgende twee verklaringen:vandaar dat alle reeksen reële getallen die tot (L (mathbb {R})) behoren, en dus alle projectieve reeksen, regelmatig zijn. Hij toonde ook aan dat Woodin-kardinalen de optimale grote kardinale veronderstellingen bieden door te bewijzen dat de volgende twee verklaringen:

1. Er zijn oneindig veel Woodin-kardinalen.
2. (AD ^ {L ({ Bbb R})}).

zijn gelijkwaardig, dwz ZFC plus 1 is consistent als en alleen als ZFC plus 2 consistent is. Zie de vermelding op grote kardinalen en determinatie voor meer details en gerelateerde resultaten.

Een ander gebied waarin grote kardinalen een belangrijke rol spelen, is de machtsverheffing van enkelvoudige kardinalen. De zogenaamde Singular Cardinal Hypothesis (SCH) bepaalt volledig het gedrag van de machtsverheffing voor singuliere kardinalen, modulo de machtsverheffing voor reguliere kardinalen. De SCH volgt uit de GCH, en dus geldt in (L). Een gevolg van de SCH is dat als (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ \ omega), voor alle eindige (n), dan (2 ^ { aleph _ { omega}} = \ aleph_ { omega +1}). Dus als de GCH geldt voor kardinalen kleiner dan (aleph_ \ omega), dan geldt het ook voor (aleph_ \ omega). De SCH houdt boven de eerste supercompacte kardinaal (Solovay). Maar Magidor (1977) toonde aan dat het opmerkelijk is dat, uitgaande van het bestaan van grote kardinalen, het mogelijk is om een model van ZFC te bouwen waarbij de GCH eerst faalt bij (aleph_ \ omega), en daarom faalt de SCH. Hiervoor zijn eigenlijk grotere kardinalen nodig die sterker zijn dan meetbaar. Daarentegen volstaat ZFC echter alleen om te bewijzen dat als de SCH geldt voor alle kardinalen kleiner dan (aleph _ { omega_1}), dan geldt dit ook voor (aleph _ { omega_1}). Bovendien, als de SCH geldt voor alle singuliere kardinalen met telbare cofinaliteit, dan geldt dit voor alle singuliere kardinalen (zilver).

11. Axioma's forceren

Dwingende axioma's zijn axioma's van de verzamelingenleer die beweren dat bepaalde existentiële uitspraken absoluut zijn tussen het universum (V) van alle verzamelingen en de (ideale) dwingende uitbreidingen, dat wil zeggen sommige existentiële uitspraken die in sommige dwingende uitbreidingen van (V \ gelden)) zijn al waar in (V). Het eerste forceren axioma werd geformuleerd door Donald Martin in het kielzog van het Solovay-Tennenbaum-bewijs van de consistentie van Suslin's hypothese, en staat nu bekend als Martin's Axiom (MA). Voordat we het zeggen, laten we zeggen dat een gedeeltelijke ordening een niet-lege set (P) is, samen met een binaire relatie (leq) op (P) die reflexief en transitief is. Twee elementen, (p) en (q), van (P) worden compatibel genoemd als er (r \ in P) bestaan zodat (r \ leq p) en (r \ leq q). Een antichain van (P) is een subset van (P) waarvan de elementen paarsgewijs niet compatibel zijn. Een gedeeltelijke ordening (P) wordt ccc genoemd als elk antichain van (P) telbaar is. Een niet-lege subset (G) van (P) wordt een filter genoemd als (i) elke twee elementen van (G) compatibel zijn, en (ii) if (p \ in G) en (p \ leq q), dan ook (q \ in G). Ten slotte wordt een subset (D) van (P) dicht genoemd als er voor elke (p \ in P) (q \ in D) zodanig is dat (q \ leq p).

MA stelt het volgende:

Voor elke ccc gedeeltelijke bestelling (P) en elke set ({D_ \ alpha: \ alpha <\ omega_1 }) van dichte subsets van (P), bestaat er een filter (G \ subseteq P) dat is generiek voor de set, dwz (G \ cap D_ \ alpha \ ne { varnothing}), voor alle (alpha <\ omega_1).

Martin en Solovay (1970) bewezen dat MA consistent is met ZFC, met behulp van herhaalde forcering met de ccc-eigenschap. Op het eerste gezicht lijkt MA misschien niet op een axioma, namelijk een voor de hand liggende, of op zijn minst redelijke bewering over sets, maar eerder op een technische verklaring over ccc-deelbestellingen. Het ziet er echter natuurlijker uit, wanneer het in topologische termen wordt uitgedrukt, want het is gewoon een veralgemening van de bekende Baire Category Theorem, die stelt dat in elke compacte topologische ruimte van Hausdorff de kruising van veel dichte dichte sets niet is leeg. MA staat inderdaad gelijk aan:

In elke compacte Hausdorff ccc-topologische ruimte is het snijpunt van (aleph_1) - veel dichte open sets is niet leeg.

MA heeft veel verschillende equivalente formuleringen en is zeer succesvol gebruikt om een groot aantal openstaande problemen op andere gebieden van de wiskunde op te lossen. Het impliceert bijvoorbeeld Suslin's hypothese en dat elke (mathbf { Sigma} ^ 1_2) reeks reeksen meetbaar is voor Lebesgue en de eigenschap Baire heeft. Het impliceert ook de ontkenning van de CH en dat (2 ^ { aleph_0}) een gewone kardinaal is, maar het beslist niet welke kardinaal het is. Zie Fremlin (1984) voor veel meer gevolgen van MA en andere gelijkwaardige formuleringen. Desondanks is de status van MA als axioma van de verzamelingenleer nog steeds onduidelijk. Misschien is de meest natuurlijke formulering van MA, vanuit een fundamenteel oogpunt, in termen van reflectie. HC schrijven voor de set van erfelijk telbare sets (dwz telbare sets waarvan de elementen telbaar zijn, waarvan de elementen ook telbaar zijn,enzovoort), MA is gelijk aan:

Voor elke partiële ccc-bestelling (P), als een existentiële verklaring over (HC) een (ideale) generieke extensie van (V) bevat die is verkregen door te forceren met (P), dan is de verklaring waar, dat wil zeggen, het houdt in (V). Met andere woorden, als een set met een eigenschap die alleen afhangt van sets in (HC) bestaat in een (ideale) generieke extensie van (V) verkregen door te forceren met een ccc gedeeltelijke ordening, dan is een set met die eigenschap bestaat al in (V).

Het idee van ideale generieke uitbreiding van (V) kan nauwkeurig worden gemaakt in termen van zogenaamde Booleaans gewaardeerde modellen, die een alternatieve versie van forceren bieden.

In de jaren tachtig werden veel sterkere dwang axioma's geïntroduceerd dan MA, zoals J. Baumgartner's Proper Forcing Axiom (PFA) en de sterkere Martin's Maximum (MM) van Foreman, Magidor en Shelah (1988), wat in wezen de sterkst mogelijke forcering is axioma. Zowel de PFA als MM zijn consistent met betrekking tot het bestaan van een supercompacte kardinaal. De PFA beweert hetzelfde als MA, maar voor gedeeltelijke bestellingen die een eigenschap hebben die zwakker is dan de ccc, properness genaamd, geïntroduceerd door Shelah. En MM beweert hetzelfde voor de bredere klasse van gedeeltelijke ordeningen die, wanneer ze ermee dwingen, stationaire subsets van (omega_1) niet vernietigen.

Krachtige axioma's, zoals de PFA en MM, impliceren dat alle projectieve reeksen worden bepaald (PD), en hebben veel andere sterke gevolgen in oneindige combinatoriek. Ze impliceren met name dat de kardinaliteit van het continuüm (aleph_2) is.

Bibliografie

• Bagaria, J., 2008, "Set Theory", in The Princeton Companion to Mathematics, onder redactie van Timothy Gowers; June Barrow-Green en Imre Leader, associate editors. Princeton: Princeton University Press.
• Cohen, PJ, 1966, Set Theory and the Continuum Hypothesis, New York: WA Benjamin, Inc.
• Enderton, HB, 1977, Elements of Set Theory, New York: Academic Press.
• Ferreirós, J., 2007, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics, tweede herziene editie, Basel: Birkhäuser.
• Foreman, M., M. Magidor en S. Shelah, 1988, 'Martins maximale, verzadigde idealen en niet-reguliere ultrafilters', deel I, Annals of Mathematics, 127: 1-47.
• Fremlin, DH, 1984, "Consequences of Martin's Axiom", Cambridge traktaten in Mathematics # 84. Cambridge: Cambridge University Press.
• Gödel, K., 1931, "Über formele unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I", Monatshefte für Mathematik Physik, 38: 173–198. Engelse vertaling in Gödel 1986, 144–195.
• –––, 1938, “De consistentie van het keuzeaxioma en van de gegeneraliseerde continuümhypothese”, Proceedings of the National Academy of Sciences, USA 24: 556–557.
• –––, 1986, Collected Works I. Publications 1929–1936, S. Feferman et al. (redactie), Oxford: Oxford University Press.
• Hauser, K., 2006, "Gödel's programma opnieuw bezocht, deel I: de wending naar fenomenologie", Bulletin of Symbolische logica, 12 (4): 529–590.
• Jech, T., 2003, verzamelingenleer, 3D-editie, New York: Springer.
• Jensen, RB, 1972, "The fine structure of the constructible hierarchy", Annals of Mathematical Logic, 4 (3): 229–308.
• Kanamori, A., 2003, The Higher Infinite, Second Edition. Springer-monografieën in de wiskunde, New York: Springer.
• Kechris, AS, 1995, Klassieke beschrijvende verzamelingenleer, Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer Verlag.
• Kunen, K., 1980, Set Theory, An Introduction to Independence Proofs, Amsterdam: Noord-Holland.
• Levy, A., 1960, "Axiom-schema's van sterke oneindigheid in axiomatische verzamelingenleer", Pacific Journal of Mathematics, 10: 223–238.
• –––, 1979, Theorie van de basisset, New York: Springer.
• Magidor, M., 1977, "On the singular cardinals problem, II", Annals of Mathematics, 106: 514–547.
• Martin, DA en R. Solovay, 1970, "Internal Cohen Extensions", Annals of Mathematical Logic, 2: 143–178.
• Martin, DA en JR Steel, 1989, "A proof of projective determinacy", Journal of the American Mathematical Society, 2 (1): 71–125.
• Mathias, ARD, 2001, "Slim models of Zermelo Set Theory", Journal of Symbolic Logic, 66: 487–496.
• Neeman, I., 2002, "Innerlijke modellen in de regio van een Woodin-limiet van Woodin-kardinalen", Annals of Pure and Applied Logic, 116: 67–155.
• Scott, D., 1961, "Meetbare kardinalen en bouwbare sets", Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques, 9: 521–524.
• Shelah, S., 1994, "Cardinal Arithmetic", Oxford Logic Guides, 29, New York: The Clarendon Press, Oxford University Press.
• –––, 1998, Juiste en onjuiste forcering, 2e editie, New York: Springer-Verlag.
• Shelah, S. en WH Woodin, 1990, "Grote kardinalen impliceren dat elke redelijk definieerbare set reals Lebesgue meetbaar is", Israel Journal of Mathematics, 70 (3): 381–394.
• Solovay, R., 1970, "Een model van verzamelingenleer waarin elke reeks realen Lebesgue meetbaar is", Annals of Mathematics, 92: 1–56.
• Solovay, R. en S. Tennenbaum, 1971, "Iterated Cohen extensions and Souslin's problem", Annals of Mathematics (2), 94: 201–245.
• Todorcevic, S., 1989, "Partition Problems in Topology", Contemporary Mathematics, Volume 84. American Mathematical Society.
• Ulam, S., 1930, 'Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre', Fundamenta Mathematicae, 16: 140–150.
• Woodin, WH, 1999, The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms, and the Nonstationary Ideal, De Gruyter Series in Logic and Its Applications 1, Berlijn-New York: Walter de Gruyter.
• –––, 2001, "The Continuum Hypothesis, Part I", Kennisgevingen van de AMS, 48 (6): 567–576, en "The Continuum Hypothesis, Part II", Kennisgevingen van de AMS 48 (7): 681– 690.
• Zeman, M., 2001, Inner Models and Large Cardinals, De Gruyter Series in Logic and Its Applications 5, Berlijn-New York: Walter de Gruyter.
• Zermelo, E., 1908, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I", Mathematische Annalen 65: 261–281. Herdrukt in Zermelo 2010: 189–228, met een tegenoverliggende Engelse vertaling en een inleiding door Ulrich Felgner (2010). Engelse vertaling ook in van Heijenoort 1967: 201–215.

Academische hulpmiddelen

	Hoe deze vermelding te citeren.
	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen