Proof-theoretische Semantiek

Inhoudsopgave:

Proof-theoretische Semantiek
Proof-theoretische Semantiek

Video: Proof-theoretische Semantiek

Video: Proof-theoretische Semantiek
Video: F. N. Pakhomov. Iterated ω-model reflection and Π12 proof-theoretic analysis 2024, Maart
Anonim

Toegang navigatie

  • Inhoud van het item
  • Bibliografie
  • Academische hulpmiddelen
  • Vrienden PDF-voorbeeld
  • Info over auteur en citaat
  • Terug naar boven

Proof-theoretische semantiek

Voor het eerst gepubliceerd op 5 december 2012; inhoudelijke herziening do 1 feb. 2018

Proof-theoretische semantiek is een alternatief voor waarheidsconditie-semantiek. Het is gebaseerd op de fundamentele veronderstelling dat de centrale notie in termen van betekenissen die worden toegekend aan bepaalde uitdrukkingen van onze taal, in het bijzonder aan logische constanten, eerder het bewijs dan de waarheid is. In die zin is proof-theoretische semantiek semantiek in termen van bewijs. Proof-theoretische semantiek betekent ook de semantiek van bewijzen, dat wil zeggen de semantiek van entiteiten die beschrijven hoe we tot bepaalde beweringen komen, gegeven bepaalde veronderstellingen. Beide aspecten van bewijstheoretische semantiek kunnen met elkaar verweven zijn, dat wil zeggen dat de semantiek van beproevingen zelf vaak wordt gegeven in termen van beproevingen.

Bewijs-theoretische semantiek heeft verschillende wortels, de meest specifieke is de opmerking van Gentzen dat de introductieregels in zijn calculus van natuurlijke deductie de betekenissen van logische constanten definiëren, terwijl de eliminatieregels kunnen worden verkregen als gevolg van deze definitie (zie paragraaf 2.2. 1). Meer in het algemeen behoort het tot wat Prawitz de algemene bewijstheorie noemde (zie paragraaf 1.1). Sterker nog, het maakt deel uit van de traditie volgens welke de betekenis van een term moet worden uitgelegd aan de hand van de manier waarop deze in onze taal wordt gebruikt.

Binnen de filosofie komt de proof-theoretische semantiek meestal voor onder de noemer 'theorie van de betekenis'. Deze terminologie volgt Dummett, die beweerde dat de theorie van de betekenis de basis is van de theoretische filosofie, een visie die hij aan Frege toeschreef. De term 'proof-theoretische semantiek' werd voorgesteld door Schroeder-Heister (1991; al gebruikt in lezingen in Stockholm in 1987) om de term 'semantiek' niet alleen aan denotationalisme over te laten - 'semantiek' is tenslotte de standaardterm voor onderzoeken die betrekking hebben op de betekenis van taaluitdrukkingen. Bovendien omvat de term "proof-theoretic semantics", in tegenstelling tot "theorie van betekenis", eveneens filosofische en technische aspecten. In 1999 vond de eerste conferentie met deze titel plaats in Tübingen, de tweede in 2013. Het eerste leerboek met deze titel verscheen in 2015.

  • 1. Achtergrond

    • 1.1 Algemene bewijstheorie: consequentie versus bewijzen
    • 1.2 Inferentialisme, intuïtionisme, antirealisme
    • 1.3 Gentzen-achtige bewijstheorie: reductie, normalisatie, eliminatie van snijwonden
  • 2. Enkele versies van proof-theoretische semantiek

    • 2.1 De semantiek van implicaties: ontvankelijkheid, afleidbaarheid, regels

      • 2.1.1 Operatieve logica
      • 2.1.2 Gentzen semantiek
      • 2.1.3 Natuurlijke aftrek met regels op hoger niveau
    • 2.2 De semantiek van afleidingen op basis van introductieregels

      • 2.2.1 Inversieprincipes en harmonie
      • 2.2.2 Bewijs-theoretische validiteit
      • 2.2.3 Constructieve typetheorie
    • 2.3 Clausule-definities en redenering

      • 2.3.1 De uitdaging van logisch programmeren
      • 2.3.2 Definitieve reflectie
    • 2.4 Structurele karakterisering van logische constanten
    • 2.5 Categoriale bewijstheorie
  • 3. Uitbreidingen en alternatieven voor standaard proof-theoretische semantiek

    • 3.1 Eliminatieregels als basis
    • 3.2 Ontkenning en ontkenning
    • 3.3 Harmonie en reflectie in de opeenvolgende calculus
    • 3.4 Subatomaire structuur en natuurlijke taal
    • 3.5 Klassieke logica
    • 3.6 Hypothetisch redeneren
    • 3.7 Intensieve proof-theoretische semantiek
  • 4. Conclusie en vooruitzichten
  • Bibliografie
  • Academische hulpmiddelen
  • Andere internetbronnen
  • Gerelateerde vermeldingen

Dit item bevat ook de volgende aanvullende documenten die aan de tekst zijn gekoppeld:

  • Voorbeelden van Proof-theoretische validiteit
  • Definitieve reflectie en paradoxen

1. Achtergrond

1.1 Algemene bewijstheorie: consequentie versus bewijzen

De term 'algemene bewijstheorie' is bedacht door Prawitz. In algemene bewijstheorie, "worden bewijzen op zichzelf bestudeerd in de hoop hun aard te begrijpen", in tegenstelling tot Hilbert-achtige "reductieve bewijstheorie", wat de "poging is om de bewijzen van wiskundige theorieën te analyseren met de bedoeling ze terug te brengen tot een meer elementair onderdeel van de wiskunde, zoals finitistische of constructieve wiskunde”(Prawitz, 1972, p. 123). Op een vergelijkbare manier vraagt Kreisel (1971) om een heroriëntatie van de bewijstheorie. Hij wil 'recent werk in de bewijstheorie vanuit een verwaarloosd gezichtspunt uitleggen. Bewijzen en hun representaties door formele afleidingen worden behandeld als de belangrijkste studieobjecten, niet als loutere hulpmiddelen voor het analyseren van de gevolgrelatie.” (Kreisel, 1971, p.109) Terwijl Kreisel zich richt op de tweedeling tussen een theorie van bewijzen en een theorie van bewijsbaarheid, concentreert Prawitz zich op de verschillende doelen die de theorie van bewijzen kan nastreven. Beiden benadrukken echter de noodzaak van het bestuderen van bewijzen als fundamentele entiteiten waarmee we demonstratieve (vooral wiskundige) kennis verwerven. Dit betekent met name dat bewijzen bewijzen zijn die epistemische entiteiten zijn en niet mogen worden samengevoegd met formele bewijzen of afleidingen. Ze zijn eerder wat afleidingen aanduiden wanneer ze worden beschouwd als representaties van argumenten. (In het volgende gebruiken we echter vaak "bewijs" als synoniem voor "afleiding", waarbij we het aan de lezer overlaten om te bepalen of formele bewijzen of bewijzen als epistemische entiteiten bedoeld zijn.) Bij het bespreken van Prawitz's (1971) onderzoek, Kreisel (1971, p.111) spreekt expliciet van een "mapping" tussen afleidingen en mentale handelingen en beschouwt het als een taak van de bewijstheorie om deze mapping te verduidelijken, inclusief het onderzoeken van de identiteit van bewijzen, een onderwerp dat Prawitz en Martin-Löf op de agenda hadden gezet.

Dit betekent dat we in de algemene bewijstheorie niet alleen geïnteresseerd zijn in de vraag of B uit A volgt, maar in de manier waarop we vanaf A bij B komen. In die zin is de algemene bewijstheorie intensief en epistemologisch van aard, terwijl de modeltheorie, die geïnteresseerd is in de consequentieverhouding en niet in de manier om deze vast te stellen, extensief en metafysisch is.

1.2 Inferentialisme, intuïtionisme, antirealisme

Proof-theoretische semantiek is inherent inferentieel, aangezien het inferentiële activiteit is die zich manifesteert in bewijzen. Het behoort dus tot inferentialisme (zie Brandom, 2000) volgens welke gevolgtrekkingen en de regels van gevolgtrekking de betekenis van uitdrukkingen bepalen, in tegenstelling tot denotationalisme, volgens welke aanduidingen de primaire soort betekenis zijn. Inferentialisme en de 'betekenis-als-gebruik'-kijk op semantiek is het brede filosofische raamwerk van bewijstheoretische semantiek. Dit algemene filosofische en semantische perspectief fuseerde met constructieve opvattingen die hun oorsprong vonden in de filosofie van de wiskunde, vooral in het wiskundige intuïtionisme. De meeste vormen van bewijstheoretische semantiek zijn intuïtionistisch van geest,wat met name inhoudt dat principes van klassieke logica zoals de wet van uitgesloten midden of de dubbele negatie wet worden verworpen of in ieder geval als problematisch worden beschouwd. Dit is gedeeltelijk te wijten aan het feit dat het belangrijkste instrument van de bewijstheoretische semantiek, de calculus van natuurlijke deductie, vooringenomen is in de richting van intuïtionistische logica, in die zin dat de eenvoudige formulering van de eliminatieregels ervan intuïtionistisch is. De klassieke logica is alleen beschikbaar door middel van een of andere regel van indirect bewijs, die, althans tot op zekere hoogte, de symmetrie van de redeneerprincipes vernietigt (zie paragraaf 3.5). Als men het standpunt van natuurlijke deductie aanneemt, dan is intuïtionistische logica een natuurlijk logisch systeem. Ook de BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov) interpretatie van de logische tekens speelt een belangrijke rol. Deze interpretatie is geen unieke benadering van semantiek, maar omvat verschillende ideeën die vaak informeler zijn dan formeel beschreven. Van bijzonder belang is het functionele implicatiebeeld, volgens welk een bewijs van A → B een constructieve functie is die, wanneer toegepast op een bewijs van A, een bewijs van B oplevert. Dit functionele perspectief ligt ten grondslag aan vele opvattingen over de proof-theoretische semantiek, in het bijzonder die van Lorenzen, Prawitz en Martin Löf (zie paragrafen 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3). Dit functionele perspectief ligt ten grondslag aan vele opvattingen over de proof-theoretische semantiek, in het bijzonder die van Lorenzen, Prawitz en Martin Löf (zie paragrafen 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3). Dit functionele perspectief ligt ten grondslag aan vele opvattingen over de proof-theoretische semantiek, in het bijzonder die van Lorenzen, Prawitz en Martin Löf (zie paragrafen 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3).

Volgens Dummett komt de logische positie van het intuïtionisme overeen met de filosofische positie van het antirealisme. De realistische kijk op een onafhankelijke herkenningsrealiteit is de metafysische tegenhanger van de opvatting dat alle zinnen waar of onwaar zijn, onafhankelijk van onze manier om die te herkennen. Na Dummett worden grote delen van de proof-theoretische semantiek geassocieerd met antirealisme.

1.3 Gentzen-achtige bewijstheorie: reductie, normalisatie, eliminatie van snijwonden

Gentzen's berekening van natuurlijke deductie en de weergave ervan door Prawitz is de achtergrond van de meeste benaderingen van proof-theoretische semantiek. Natuurlijke aftrek is gebaseerd op ten minste drie belangrijke ideeën:

  • Kwijting van aannames: Aannames kunnen tijdens een afleiding worden "ontladen" of "geëlimineerd", dus het centrale begrip van natuurlijke aftrek is dat van een afleiding afhankelijk van aannames.
  • Scheiding: elk primitief regelschema bevat slechts één logische constante.
  • Introducties en eliminaties: De regels voor logische constanten komen in paren. Met de inleidingsregel (en) kan (kunnen) een formule worden afgeleid met de constante in kwestie als hoofdoperator, de eliminatieregel (s) staan / kunnen de consequenties toe om uit een dergelijke formule te halen.

In Gentzen's natuurlijke afleidingssysteem voor eerste-orde logische afleidingen worden geschreven in boomvorm en gebaseerd op de welbekende regels. Implicatie heeft bijvoorbeeld de volgende introductie- en eliminatieregels

[EEN]
B → ik
A → B
A → BA → E
B

waarbij de haakjes de mogelijkheid aangeven om voorvallen van de aanname A te ontladen. De open aannames van een afleiding zijn die aannames waarvan de eindformule afhangt. Een afleiding wordt gesloten genoemd als deze geen open veronderstelling heeft, anders wordt deze open genoemd. Als we met kwantoren omgaan, moeten we ook rekening houden met open individuele variabelen (ook wel "parameters" genoemd). Metalogische kenmerken die cruciaal zijn voor proof-theoretische semantiek en voor het eerst systematisch onderzocht en gepubliceerd door Prawitz (1965) zijn onder meer:

Reductie: Voor elke omweg die bestaat uit een inleiding onmiddellijk gevolgd door een eliminatie is er een reductiestap die deze omweg verwijdert.

Normalisatie: door opeenvolgende toepassingen van reducties kunnen afleidingen worden omgezet in normale vormen zonder omwegen.

Ter implicatie is de standaard reductiestap die omwegen verwijdert de volgende:

[EEN]
B |
A → B EEN
B
reduceert tot

|

A

B

Een eenvoudig, maar zeer belangrijk gevolg van normalisatie is het volgende: Elke gesloten afleiding in intuïtionistische logica kan worden gereduceerd tot een afleiding met behulp van een introductieregel in de laatste stap. We zeggen ook dat intuïtionistische natuurlijke afleiding voldoet aan de "introductie vorm eigenschap". In de proof-theoretische semantiek komt dit resultaat prominent voor onder de noemer “fundamentele veronderstelling” (Dummett, 1991, p. 254). De 'fundamentele veronderstelling' is een typisch voorbeeld van een filosofische herinterpretatie van een technisch proof-theoretisch resultaat.

Verder lezen:

Voor de algemene oriëntatie van proof-theoretische semantiek de speciale uitgave van Synthese (Kahle en Schroeder-Heister, 2006) de lezer onder redactie van Piecha en Schroeder-Heister (2016b), het leerboek van Francez (2015), Schroeder-Heister (2008b, 2016a) en Wansing (2000).

Voor de filosofische positie en ontwikkeling van bewijstheorie de vermeldingen op Hilbert's programma en de ontwikkeling van bewijstheorie evenals Prawitz (1971).

Voor intuïtionisme de vermeldingen over intuïtionistische logica, intuïtionisme in de filosofie van de wiskunde en de ontwikkeling van intuïtionistische logica.

Voor antirealisme de toegang tot uitdagingen voor metafysisch realisme evenals Tennant (1987); Tennant (1997), Tranchini (2010); Tranchini (2012a).

Voor Gentzen-stijl bewijstheorie en de theorie van natuurlijke deductie: naast Gentzen's (1934/35) originele presentatie, Jaśkowski's (1934) veronderstellingstheorie en Prawitz (1965) klassieke monografie, Tennant (1978), Troelstra en Schwichtenberg (2000) en Negri en von Plato (2001).

2. Enkele versies van proof-theoretische semantiek

2.1 De semantiek van implicaties: ontvankelijkheid, afleidbaarheid, regels

De semantiek van implicatie vormt de kern van de proof-theoretische semantiek. In tegenstelling tot de klassieke semantiek van de waarheidsconditie, is implicatie op zichzelf een logische constante. Het heeft ook het karakteristieke kenmerk dat het verbonden is met het concept van consequentie. Het kan worden gezien als uiting van consequentie op sentimenteel niveau vanwege modus ponens en wat in Hilbert-achtige systemen de deductiestelling wordt genoemd, dwz de gelijkwaardigheid van Γ, A ⊢ B en Γ ⊢ A → B.

Een heel natuurlijk begrip van een implicatie A → B is het lezen ervan als de gevolgtrekkingsregel waarmee iemand van A naar B kan gaan. Het licentiëren van de stap van A naar B op basis van A → B is precies wat modus ponens zegt. En de deductiestelling kan worden gezien als het middel om een regel vast te stellen: nadat we hebben aangetoond dat B kan worden afgeleid uit A, rechtvaardigt de regel dat we van A naar B kunnen overgaan. Een op regels gebaseerde semantiek van implicatie langs dergelijke lijnen ligt ten grondslag aan verschillende opvattingen van bewijstheoretische semantiek, met name die van Lorenzen, von Kutschera en Schroeder-Heister.

2.1.1 Operatieve logica

Lorenzen begint in zijn Introduction to Operative Logics and Mathematics (1955) met logica-vrije (atomaire) calculi, die overeenkomen met productiesystemen of grammatica's. Hij noemt een regel die in een dergelijk systeem toelaatbaar is als hij eraan kan worden toegevoegd zonder de verzameling van zijn afleidbare atomen te vergroten. De implicatiepijl → wordt geïnterpreteerd als een uitdrukking van ontvankelijkheid. Een implicatie A → B wordt als geldig beschouwd, als het, als het in de regel wordt gelezen, toelaatbaar is (met betrekking tot de onderliggende calculus). Voor herhaalde implicaties (= regels) ontwikkelt Lorenzen een theorie van ontvankelijkheidsverklaringen van hogere niveaus. Bepaalde uitspraken zoals A → A of ((A → B), (B → C)) → (A → C) zijn onafhankelijk van de onderliggende calculus. Ze worden universeel toelaatbaar genoemd ["allgemeinzulässig"]) en vormen een systeem van positieve implicationele logica. Op een verwante manier,wetten voor universele kwantificering ∀ zijn gerechtvaardigd met behulp van ontvankelijkheidsverklaringen voor regels met schematische variabelen.

Lorenzen gebruikt voor de rechtvaardiging van de wetten voor de logische constanten ∧, ∨, ∃ en ⊥ een inversieprincipe (een term die hij bedacht heeft). In een zeer vereenvoudigde vorm, zonder rekening te houden met variabelen in regels, zegt het inversieprincipe dat alles wat kan worden verkregen uit elke bepalende voorwaarde van A, kan worden verkregen uit A zelf. Bijvoorbeeld, in het geval van disjunctie, laten A en B elk een bepalende voorwaarde zijn van A ∨ B zoals uitgedrukt door de primitieve regels A → A ∨ B en B → A ∨ B. Vervolgens zegt het inversieprincipe dat A ∨ B → C toelaatbaar is, uitgaande van A → C en B → C, wat de eliminatieregel voor disjunctie rechtvaardigt. De overige connectieven worden op een vergelijkbare manier behandeld. In het geval van ⊥ wordt de absurditeitsregel ⊥ → A verkregen uit het feit dat er geen bepalende voorwaarde is voor ⊥.

2.1.2 Gentzen semantiek

In wat hij 'Gentzen semantiek' noemt, geeft von Kutschera (1968), als Lorenzen, een semantiek van logisch complexe implicatie-achtige verklaringen A 1, …, A n → B met betrekking tot calculi K die de redenering met atoomzinnen beheersen. Het fundamentele verschil met Lorenzen is het feit dat A 1, …, A n → B nu eerder een afleidbaarheid dan een ontvankelijkheidsverklaring uitdrukt.

Om dit om te zetten in een semantiek van de logische constanten van de propositielogica, betoogt von Kutschera als volgt: Bij het opgeven van bivalentie kunnen we geen klassieke waarheidswaarde-opdrachten meer gebruiken in atoomformules. In plaats daarvan kunnen we calculi gebruiken die atoomzinnen bewijzen of weerleggen. Aangezien calculi niet alleen bewijzen of weerleggingen genereren, maar willekeurige afleidingsrelaties, is het idee om direct te beginnen met afleidbaarheid in een atoomsysteem en deze uit te breiden met regels die de logische connectieven kenmerken. Daarom geeft von Kutschera een sequentieve calculus met regels voor de introductie van n -ary propositionele connectieven in het succedent en antecedent, wat een sequentiaal systeem oplevert voor gegeneraliseerde propositionele connectieven. Von Kutschera laat vervolgens zien dat de zo gedefinieerde gegeneraliseerde connectieven allemaal kunnen worden uitgedrukt door de standaard connectieven van intuïtionistische logica (conjunctie, disjunctie, implicatie, absurditeit).

2.1.3 Natuurlijke aftrek met regels op hoger niveau

Binnen een programma voor het ontwikkelen van een algemeen schema voor regels voor willekeurige logische constanten, stelde Schroeder-Heister (1984) voor dat een logisch complexe formule de inhoud of gemeenschappelijke inhoud van regelsystemen zou moeten uitdrukken. Dit betekent dat niet de introductieregels als basis worden beschouwd, maar de gevolgen van het definiëren van voorwaarden. Een regel R is ofwel een formule A of heeft de vorm R 1, …, R n ⇒ A, waarbij R 1, …, R nzijn zelf regels. Deze zogenaamde "regels op hoger niveau" veralgemenen het idee dat regels aannames kunnen ontladen voor het geval dat deze aannames zelf regels kunnen zijn. Voor de standaard logische constanten betekent dit dat A ∧ B de inhoud van het paar (A, B) uitdrukt; A → B geeft de inhoud van regel A ⇒ B weer; A ∨ B drukt de gemeenschappelijke inhoud van A en B uit; en absurditeit ⊥ drukt de gemeenschappelijke inhoud uit van de lege familie van regelsystemen. In het geval van willekeurige n -ary propositionele connectieven leidt dit tot een natuurlijk aftreksysteem met algemene introductie- en eliminatieregels. Deze algemene connectieven blijken definieerbaar te zijn in termen van de standaard connectieven, waarmee de expressieve volledigheid van de standaard intuïtionistische connectieven wordt vastgesteld.

Verder lezen:

Voor Lorenzen's benadering in relatie tot proof-theoretische semantiek in Prawitz-stijl: Schroeder-Heister (2008a). Voor uitbreidingen van expressieve volledigheid in de stijl van von Kutschera: Wansing (1993a).

2.2 De semantiek van afleidingen op basis van introductieregels

2.2.1 Inversieprincipes en harmonie

In zijn onderzoeken naar logische deductie maakt Gentzen enkele, tegenwoordig zeer vaak geciteerde, programmatische opmerkingen over de semantische relatie tussen introductie en eliminatie-gevolgtrekkingen in natuurlijke deductie.

De inleidingen vertegenwoordigen als het ware de 'definities' van de betreffende symbolen, en de eliminaties zijn uiteindelijk niet meer dan de gevolgen van deze definities. Dit feit kan als volgt worden uitgedrukt: Bij het elimineren van een symbool mogen we de formule gebruiken met wiens eindsymbool we alleen te maken hebben 'in de zin die het wordt geboden door de introductie van dat symbool'. (Gentzen, 1934/35, p.80)

Dit kan natuurlijk niet betekenen dat de eliminatieregels af te leiden zijn van de introductieregels in letterlijke zin van het woord; in feite zijn ze dat niet. Het kan alleen maar betekenen dat ze op de een of andere manier door hen kunnen worden gerechtvaardigd.

Door deze ideeën nauwkeuriger te maken, zou het mogelijk moeten zijn om de E-gevolgtrekkingen weer te geven als unieke functies van hun overeenkomstige I-gevolgtrekkingen, op basis van bepaalde vereisten. (ibid., p.81)

Het idee achter het programma van Gentzen is dus dat we 'definities' hebben in de vorm van introductieregels en een soort semantische redenering die, door 'bepaalde vereisten' te gebruiken, de eliminatieregels valideert.

Door de term van Lorenzen over te nemen en haar onderliggende idee aan te passen aan de context van natuurlijke deductie, formuleerde Prawitz (1965) een 'inversieprincipe' om de opmerkingen van Gentzen nauwkeuriger te maken:

Laat α een toepassing zijn van een eliminatieregel die B als gevolg heeft. Vervolgens bevatten “inhoudingen” die voldoen aan de voldoende voorwaarde […] voor het afleiden van de belangrijkste premisse van α, in combinatie met aftrekkingen van de kleinere premissen van α (indien die er zijn), al een aftrek van B “bevatten”; de aftrek van B is dus direct te verkrijgen uit de gegeven aftrek zonder toevoeging van α. (Blz.33)

Hier worden de voldoende voorwaarden gegeven door de premissen van de overeenkomstige introductie regels. Het inversieprincipe zegt dus dat een afleiding van de conclusie van een eliminatieregel kan worden verkregen zonder toepassing van de eliminatieregel als de belangrijkste premisse is afgeleid met behulp van een introductieregel in de laatste stap, wat betekent dat een combinatie

Ik-gevolgtrekking
EEN
{D i } E-gevolgtrekking
B

van stappen, waarbij {D i } staat voor een (mogelijk lege) lijst met aftrekposten van kleine premissen, kan worden vermeden.

De relatie tussen introductie- en eliminatieregels wordt vaak beschreven als 'harmonie' of als beheerst door een 'principe van harmonie' (zie bijvoorbeeld Tennant, 1978, p. 74). Deze terminologie is niet uniform en soms zelfs niet helemaal duidelijk. Het drukt in wezen uit wat ook wordt bedoeld met "inversie". Zelfs als "harmonie" een term is die een symmetrische relatie suggereert, wordt het vaak begrepen als een conceptie die is gebaseerd op introductieregels, zoals bijvoorbeeld in Read's (2010) "algemene eliminatieharmonie" (hoewel af en toe ook een conceptie op basis van eliminatie wordt gebruikt)). Soms wordt aangenomen dat harmonie betekent dat connectieven in een bepaalde zin het sterkst of zwakst zijn, gezien hun introductie of hun eliminatieregels. Dit idee ligt ten grondslag aan Tennant's (1978) harmonieprincipe,en ook de structurele karakteristieken van Popper en Koslow (zie paragraaf 2.4). De specifieke relatie tussen introductie- en eliminatieregels zoals geformuleerd in een inversieprincipe sluit vermeende inferentiële definities uit zoals die van de connectieve tonk, die een introductieregel voor disjunctie combineert met een eliminatieregel voor conjunctie, en die heeft geleid tot een nog steeds lopend debat over het formaat van inferentiële definities (zie Humberstone, 2010).en dat heeft geleid tot een nog steeds lopend debat over het formaat van inferentiële definities (zie Humberstone, 2010).en dat heeft geleid tot een nog steeds lopend debat over het formaat van inferentiële definities (zie Humberstone, 2010).

2.2.2 Bewijs-theoretische validiteit

Proof-theoretische validiteit is de dominante benadering van proof-theoretische semantiek. Als technisch concept werd het ontwikkeld door Prawitz (1971; 1973; 1974), door een proof-theoretic validity-notie gebaseerd op ideeën van Tait (1967) om te zetten in een aanvankelijk sterke normalisatie, in een semantisch concept. Dummett heeft dit idee veel filosofisch onderbouwd (zie Dummett, 1991). De objecten die primair geldig zijn, zijn bewijzen als representaties van argumenten. In secundaire zin kunnen afzonderlijke regels geldig zijn als ze van geldige bewijzen naar geldige bewijzen leiden. In die zin is validiteit eerder een globaal dan een lokaal begrip. Het is van toepassing op willekeurige afleidingen over een bepaald atoomsysteem, dat de afleidbaarheid voor atomen definieert. Een bewijs dat een inleidende regel in de laatste stap canoniek noemt, is gebaseerd op de volgende drie ideeën:

  1. De prioriteit van gesloten canonieke bewijzen.
  2. De reductie van gesloten niet-canonieke bewijzen tot canonieke bewijzen.
  3. De vervangende kijk op open bewijzen.

Ad 1: De definitie van validiteit is gebaseerd op het idee van Gentzen dat introductieregels 'zelfrechtvaardigend' zijn en de logische constanten hun betekenis geven. Deze zelfrechtvaardige functie wordt alleen gebruikt voor gesloten proeven, die als primair worden beschouwd boven open proeven.

Ad 2: Niet-canonieke bewijzen worden gerechtvaardigd door ze te herleiden tot canonieke bewijzen. Reductieprocedures (omleidingsverminderingen) zoals gebruikt in normalisatieproeven spelen dus een cruciale rol. Omdat ze argumenten rechtvaardigen, worden ze door Prawitz ook wel 'rechtvaardigingen' genoemd. Deze definitie is wederom alleen van toepassing op gesloten bewijzen, wat overeenkomt met de inleidende vormeigenschap van gesloten normale afleidingen in natuurlijke aftrek (zie paragraaf 1.3).

Ad 3: Open proeven zijn gerechtvaardigd door hun gesloten exemplaren te beschouwen. Deze gesloten instanties worden verkregen door hun open aannames te vervangen door gesloten bewijzen ervan en hun open variabelen door gesloten termen. Een bewijs van B van A wordt bijvoorbeeld als geldig beschouwd, als elk gesloten bewijs, dat wordt verkregen door de open aanname A te vervangen door een gesloten bewijs van A, geldig is. Op deze manier worden open aannames beschouwd als tijdelijke aanduidingen voor gesloten bewijzen, waardoor we kunnen spreken van een vervangende interpretatie van open bewijzen.

Dit levert de volgende definitie van proof-theoretische validiteit op:

  1. Elk gesloten bewijs in het onderliggende atomaire systeem is geldig.
  2. Een gesloten canoniek bewijs wordt als geldig beschouwd als de onmiddellijke subproeven geldig zijn.
  3. Een gesloten niet-canoniek bewijs wordt als geldig beschouwd als het wordt gereduceerd tot een geldig gesloten canoniek bewijs of tot een gesloten bewijs in het atoomsysteem.
  4. Een open bewijs wordt als geldig beschouwd als elk gesloten bewijs dat is verkregen door de open aannames te vervangen door gesloten bewijzen en zijn open variabelen door gesloten termen geldig is.

Formeel moet deze definitie worden gerelativeerd naar het beschouwde atomaire systeem en naar de set van verantwoordingen (bewijsreducties). Bovendien worden bewijzen hier begrepen als kandidaten voor geldige bewijzen, wat betekent dat de regels waaruit ze zijn samengesteld niet vaststaan. Ze zien eruit als proefbomen, maar hun individuele stappen kunnen een willekeurig (eindig) aantal premissen hebben en willekeurige aannames elimineren. De definitie van geldigheid onderscheidt die bewijsstructuren die 'echte' bewijzen zijn op basis van de gegeven reductieprocedures.

Geldigheid met betrekking tot elke keuze van een atoomsysteem kan worden gezien als een algemeen begrip van logische validiteit. In feite, als we de standaardreducties van intuïtionistische logica beschouwen, dan zijn alle afleidingen in intuïtionistische logica geldig onafhankelijk van het beschouwde atomaire systeem. Dit is semantische correctheid. We kunnen vragen of het omgekeerde geldt, namelijk. of, aangezien een afleiding geldig is voor elk atoomsysteem, er een overeenkomstige afleiding is in de intuïtionistische logica. Die intuïtionistische logica is in deze zin volledig bekend als het vermoeden van Prawitz (zie Prawitz, 1973; Prawitz, 2013). Er is echter geen bevredigend bewijs van geleverd. Er zijn aanzienlijke twijfels over de geldigheid van dit vermoeden voor systemen die verder gaan dan impliciete logica. Het hangt in ieder geval af van de precieze formulering van het begrip validiteit, in het bijzonder van de omgang met atoomsystemen.

Voor een meer formele definitie en gedetailleerde voorbeelden die de geldigheid aantonen, evenals enkele opmerkingen over het vermoeden van Prawitz, zie de

Aanvulling op voorbeelden van bewijstheoretische validiteit.

2.2.3 Constructieve typetheorie

De typetheorie van Martin-Löf (Martin-Löf, 1984) is een toonaangevende benadering in constructieve logica en wiskunde. Filosofisch deelt het met Prawitz de drie fundamentele aannames van standaard proof-theoretische semantiek, genoemd in paragraaf 2.2.2: de prioriteit van gesloten canonieke bewijzen, de reductie van gesloten niet-canonieke bewijzen tot canonieke en de vervangende opvatting van open bewijzen. De typetheorie van Martin-Löf heeft echter ten minste twee karakteristieke kenmerken die verder gaan dan andere benaderingen in de proof-theoretische semantiek:

  1. De overweging van proefobjecten en het bijbehorende onderscheid tussen proefdrukken als voorwerpen en proefdrukken als demonstraties.
  2. De opvatting van formatieregels als intrinsiek aan het bewijssysteem in plaats van als externe regels.

Het eerste idee gaat terug naar de Curry-Howard-correspondentie (zie de Groote, 1995; Sørensen en Urzyczyn, 2006), waarin het feit dat een formule A een bepaald bewijs heeft, kan worden gecodificeerd als het feit dat een bepaalde term t is van type A, waarbij de formule A wordt geïdentificeerd met het type A. Dit kan worden geformaliseerd in een calculus voor typetoewijzing, waarvan de verklaringen de vorm hebben van t: A. Een bewijs van t: A in dit systeem kan worden gelezen als een bewijs dat t een bewijs is van A. Martin-Löf (1995; 1998) heeft dit in een filosofisch perspectief geplaatst door dit tweevoudige bewijsgevoel op de volgende manier te onderscheiden. Eerst hebben we bewijzen van verklaringen van het formulier t: A. Deze verklaringen worden oordelen genoemd, hun bewijzen worden demonstraties genoemd. Binnen dergelijke uitspraken vertegenwoordigt de term t een bewijs van de stelling A. Een proef in de laatste zin wordt ook wel een proefobject genoemd. Bij het aantonen van een oordeel t: A, laten we zien dat t een bewijs (object) is voor de stelling A. Binnen dit tweelaags systeem is de demonstratielaag de argumentatielaag. In tegenstelling tot proefobjecten hebben demonstraties epistemische betekenis; hun oordelen dragen een assertieve kracht. De proeflaag is de laag waarop betekenissen worden uitgelegd: De betekenis van een zin A wordt uitgelegd door te vertellen wat telt als een proef (object) voor A. Het onderscheid dat gemaakt wordt tussen canonieke en niet-canonieke bewijzen is een onderscheid in de propositionele en niet in de beoordelingslaag. Dit impliceert een zekere explicietheidseis. Als ik iets heb bewezen, moet ik niet alleen een rechtvaardiging hebben voor mijn bewijs zoals in Prawitz 'idee van geldigheid,maar moet er tegelijkertijd zeker van zijn dat deze rechtvaardiging zijn doel vervult. Deze zekerheid wordt gegarandeerd door een demonstratie. Wiskundig gezien ontwikkelt dit tweevoudige bewijs alleen zijn werkelijke kracht wanneer typen zelf afhankelijk kunnen zijn van termen. Afhankelijke typen zijn een basisingrediënt van Martin-Löf's typetheorie en gerelateerde benaderingen.

Het tweede idee zorgt ervoor dat de benadering van Martin-Löf sterk verschilt van alle andere definities van bewijstheoretische validiteit. Het cruciale verschil, bijvoorbeeld, voor de procedure van Prawitz is dat het niet metalinguïstisch van aard is, waarbij "metalinguïstisch" betekent dat voorstellen en kandidaten voor bewijzen eerst worden gespecificeerd en vervolgens, door middel van een definitie in de metataal, wordt vastgelegd welke van ze zijn geldig en welke niet. Stellingen en bewijzen komen eerder alleen in het kader van demonstraties in het spel. Als we bijvoorbeeld aannemen dat iets een bewijs is van een implicatie A → B, hoeven we niet noodzakelijkerwijs aan te tonen dat zowel A als B regelrechte goedgevormde proposities zijn, maar naast dat we weten dat A een propositie is, hebben we alleen weten dat B een voorstel is, mits A is bewezen. Een propositie zijn wordt uitgedrukt door een specifieke vorm van oordeel, die is vastgelegd in hetzelfde demonstratiesysteem dat wordt gebruikt om vast te stellen dat een bewijs van een propositie is behaald.

In de theorie van Martin-Löf krijgt de proof-theoretische semantiek een sterk ontologische component. Een recent debat gaat over de vraag of proefobjecten een puur ontologische status hebben of dat ze kennis codificeren, ook al zijn het zelf geen epistemische handelingen.

Verder lezen:

Zie Schroeder-Heister (2007) voor inversieprincipes.

Zie Francez (2015) en Schroeder-Heister (2016a) voor varianten van proof-theoretische harmonie. Voor Prawitz's definitie van proof-theoretic validity, zie Schroeder-Heister (2006).

Voor Matin-Löf's typetheorie, zie de vermelding over typetheorie en Sommaruga (2000).

2.3 Clausule-definities en redenering

Proof-theoretische semantiek richt zich normaal gesproken op logische constanten. Deze focus wordt praktisch nooit in twijfel getrokken, blijkbaar omdat het als zo voor de hand liggend wordt beschouwd. In de bewijstheorie is er weinig aandacht besteed aan atomaire systemen, hoewel er vroege werk van Lorenzen is geweest (zie paragraaf 2.1.1), waar de rechtvaardiging van logische regels is ingebed in een theorie van willekeurige regels, en die van Martin-Löf (1971) theorie van iteratieve inductieve definities waarbij introductie- en eliminatieregels voor atomaire formules worden voorgesteld. De opkomst van logische programmering heeft dit perspectief verruimd. Vanuit bewijstheoretisch oogpunt is logische programmering een theorie van atomair redeneren met betrekking tot clausale definities van atomen. Definitionele reflectie is een benadering van proof-theoretische semantiek die deze uitdaging aangaat en probeert een theorie op te bouwen waarvan het toepassingsbereik verder gaat dan logische constanten.

2.3.1 De uitdaging van logisch programmeren

Bij logisch programmeren hebben we te maken met programmaclausules van het formulier

A ⇐ B 1,…, B m

die atoomformules definiëren. Dergelijke clausules kunnen natuurlijk worden geïnterpreteerd als een beschrijving van inleidingsregels voor atomen. Vanuit de bewijstheoretische semantiek zijn de volgende twee punten essentieel:

(1) Introductieregels (clausules) voor logisch samengestelde formules worden in principe niet onderscheiden van introductieregels (clausules) voor atomen. Het interpreteren van logisch programmeren bewijst theoretisch een uitbreiding van bewijstheoretische semantiek naar willekeurige atomen, wat een semantiek oplevert met een veel breder toepassingsgebied.

(2) Programmaclausules zijn niet noodzakelijkerwijs gegrond. De kop van een clausule kan bijvoorbeeld in zijn lichaam voorkomen. Goed onderbouwde programma's zijn slechts een bepaald soort programma's. Het gebruik van willekeurige clausules zonder verdere vereisten in logische programmering is een motivatie om hetzelfde idee na te streven in de proof-theoretische semantiek, waarbij alle soorten introductieregels worden toegelaten en niet alleen die van een speciale vorm, en in het bijzonder niet noodzakelijk die welke goed zijn -Gesticht. Dit brengt het idee van definitievrijheid, die een hoeksteen is van logische programmering, over op semantiek, waardoor het toepassingsgebied van bewijstheoretische semantiek weer wordt verbreed.

Het idee om introductieregels te beschouwen als betekenisgevende regels voor atomen hangt nauw samen met de theorie van inductieve definities in zijn algemene vorm, volgens welke inductieve definities regelsystemen zijn (zie Aczel, 1977).

2.3.2 Definitieve reflectie

De theorie van definitiereflectie (Hallnäs, 1991; Hallnäs, 2006; Hallnäs en Schroeder-Heister, 1990/91; Schroeder-Heister, 1993) gaat de uitdaging aan van logische programmering en geeft een bewijstheoretische semantiek, niet alleen voor logische constanten, maar voor willekeurige uitdrukkingen, waarvoor een clausuleuze definitie kan worden gegeven. Formeel begint deze benadering met een lijst van clausules die de overwogen definitie is. Elke clausule heeft de vorm

EEN ⇐ Δ

waar de kop A een atoomformule (atoom) is. In het eenvoudigste geval is het lichaam Δ een lijst van atomen B 1,…, B m, in welk geval een definitie eruit ziet als een bepaald logisch programma. We beschouwen vaak een uitgebreid geval waarin Δ ook enige structurele implicatie '⇒' kan bevatten, en soms zelfs een structurele universele implicatie, die in wezen wordt afgehandeld door vervanging te beperken. Als de definitie van A de vorm heeft

dan heeft A de volgende introductie- en eliminatieregels

Δ 1 · · · Δ n A A

1] n]
EEN C · · · C
C

De inleidingsregels, ook wel regels van de definitieve sluiting genoemd, drukken de redenering 'langs' de clausules uit. De eliminatieregel wordt het principe van definitiereflectie genoemd, aangezien het reflecteert op de definitie als geheel. Als Δ 1, …, Δ nput alle mogelijke voorwaarden uit om A te genereren volgens de gegeven definitie, en als elk van deze voorwaarden dezelfde conclusie C met zich meebrengt, dan impliceert A zelf deze conclusie. Als de clausule-definitie wordt gezien als een inductieve definitie, kan dit principe worden gezien als een uitdrukking van de extreme clausule in inductieve definities: niets anders dan de gegeven clausules definieert A. Het is duidelijk dat definitiereflectie een gegeneraliseerde vorm is van de besproken inversieprincipes. Het ontwikkelt zijn echte kracht in definitiecontexten met vrije variabelen die verder gaan dan puur propositioneel redeneren, en in contexten die niet goed gefundeerd zijn. Een voorbeeld van een niet goed gefundeerde definitie is de definitie van een atoom R door zijn eigen ontkenning:

D R {R | )
D R {R | )

Dit voorbeeld wordt in detail besproken in de

Supplement op Definitieve reflectie en paradoxen.

Verder lezen:

Zie voor niet-gegrondheid en paradoxen de vermeldingen over zelfreferentie en Russell's paradox, evenals de verwijzingen in het supplement waarnaar wordt verwezen.

2.4 Structurele karakterisering van logische constanten

Er is een groot veld aan ideeën en resultaten met betrekking tot wat de 'structurele karakterisering' van logische constanten zou kunnen worden genoemd, waarbij 'structureel' hier wordt bedoeld, zowel in de proof-theoretische betekenis van 'structurele regels' als in de zin van een raamwerk dat heeft een bepaalde structuur, waar dit raamwerk weer proof-theoretisch wordt beschreven. Sommige van de auteurs gebruiken een semantische vocabulaire en suggereren op zijn minst impliciet dat hun onderwerp tot de proof-theoretische semantiek behoort. Anderen ontkennen deze connotaties expliciet en benadrukken dat ze geïnteresseerd zijn in een karakterisering die de logica van een constante vaststelt. De vraag 'Wat is een logische constante?' kan bewijstheoretisch worden beantwoord, zelfs als de semantiek van de constanten zelf waarheidsvoorwaardelijk is:Namelijk door te eisen dat de (wellicht waarheidsconditioneel gedefinieerde) constanten een bepaald inferentief gedrag vertonen dat in proof-theoretische termen kan worden beschreven. Aangezien sommige auteurs hun karakterisering tegelijkertijd beschouwen als een semantiek, is het passend dat we enkele van deze benaderingen hier noemen.

De meest uitgesproken structuralist met betrekking tot logische constanten, die zichzelf als zodanig expliciet begrijpt, is Koslow. In zijn Structuralist Theory of Logic (1992) ontwikkelt hij een theorie van logische constanten, waarin hij ze karakteriseert door bepaalde 'implicatierelaties', waarbij een implicatierelatie grofweg overeenkomt met een eindige consequentierelatie in de betekenis van Tarski (die weer kan worden beschreven door bepaalde structurele regels van een sequent-achtig systeem). Koslow ontwikkelt een structurele theorie in de precieze metamathematische zin, die het domein van objecten op geen enkele manier specificeert buiten de gegeven axioma's. Als een taal of een ander domein van objecten met een implicatierelatie wordt gegeven, kan de structurele benadering worden gebruikt om logische verbindingen te onderscheiden door hun implicationele eigenschappen te controleren.

In zijn vroege artikelen over de grondslagen van de logica geeft Popper (1947a; 1947b) inferentiële karakterisaties van logische constanten in bewijstheoretische termen. Hij gebruikt een calculus van sequenties en karakteriseert logische constanten door bepaalde afleidingsvoorwaarden van dergelijke sequenties. Zijn terminologie suggereert duidelijk dat hij een proof-theoretische semantiek van logische constanten beoogt, aangezien hij spreekt van "inferentiële definities" en de "trivialisering van wiskundige logica" die bereikt worden door constanten op de beschreven manier te definiëren. Hoewel zijn presentatie niet vrij is van conceptuele onnauwkeurigheid en fouten, was hij de eerste die het sequentiële achtige gedrag van logische constanten beschouwde om ze te karakteriseren. Dit is des te opmerkelijker omdat hij dat waarschijnlijk helemaal niet was,en zeker niet volledig op de hoogte van Gentzen's opeenvolgende calculus en Gentzen's verdere prestaties (hij was echter in correspondentie met Bernays). Tegen zijn eigen mening in kan zijn werk echter beter worden begrepen als een poging om de logicaliteit van constanten te definiëren en ze structureel te karakteriseren, dan als een proof-theoretische semantiek in de ware zin van het woord. Desalniettemin anticipeerde hij op veel ideeën die nu in de proof-theoretische semantiek voorkomen, zoals de karakterisering van logische constanten door middel van bepaalde minimaliteits- of maximaliteitsvoorwaarden met betrekking tot introductie- of eliminatieregels.dan als een proof-theoretische semantiek in de echte zin. Desalniettemin anticipeerde hij op veel ideeën die nu in de proof-theoretische semantiek voorkomen, zoals de karakterisering van logische constanten door middel van bepaalde minimaliteits- of maximaliteitsvoorwaarden met betrekking tot introductie- of eliminatieregels.dan als een proof-theoretische semantiek in de echte zin. Desalniettemin anticipeerde hij op veel ideeën die nu in de proof-theoretische semantiek voorkomen, zoals de karakterisering van logische constanten door middel van bepaalde minimaliteits- of maximaliteitsvoorwaarden met betrekking tot introductie- of eliminatieregels.

Belangrijke bijdragen aan het logicaliteitsdebat dat logische constanten inferentieel kenmerken in termen van opeenvolgende rekenregels zijn die van Kneale (1956) en Hacking (1979). Došen (1980; 1989) stelt een grondig verslag van de logicaliteit voor in zijn theorie van logische constanten als "leestekens", die structurele kenmerken op logisch niveau uitdrukken. Hij begrijpt dat logische constanten worden gekenmerkt door bepaalde dubbele-lijnregels voor sequenties die in beide richtingen kunnen worden gelezen. Conjunctie en disjunctie worden bijvoorbeeld (in klassieke logica, met meerdere formules succedenten) gekenmerkt door de regels met dubbele lijnen

Γ⊢ A, Δ Γ⊢ B, Δ
Γ⊢ A ∧ B, Δ
Γ, A ⊢ Δ Γ, B ⊢ Δ
Γ⊢ A ∨ B, Δ

Došen is in staat karakteristieken te geven die systemen van modale logica omvatten. Hij beschouwt zijn werk expliciet als een bijdrage aan het logicaliteitsdebat en niet aan enige opvatting van proof-theoretische semantiek. Sambin et al. Begrijpen in hun Basic Logic (Sambin, Battilotti en Faggian, 2000) expliciet wat Došen dubbellijnregels noemt als fundamentele betekenisgevende regels. De dubbele-lijnregels voor samenvoeging en disjunctie worden gelezen als impliciete definities van deze constanten, die door een of andere procedure kunnen worden omgezet in de expliciete sequentiestijlregels die we gewend zijn. Dus Sambin et al. gebruik hetzelfde uitgangspunt als Došen, maar interpreteer het niet als een structurele beschrijving van het gedrag van constanten, maar semantisch als hun impliciete definitie (zie Schroeder-Heister, 2013).

Er zijn verschillende andere benaderingen voor een uniforme proof-theoretische karakterisering van logische constanten, die allemaal op zijn minst de problematiek van de proof-theoretische semantiek raken. Dergelijke theorieën zijn Belnap's Display Logic (Belnap, 1982), Wansing's Logic of Information Structures (Wansing, 1993b), generieke bewerkingssystemen voor bewijs en hun implementaties zoals het Edinburgh logical framework (Harper, Honsell en Plotkin, 1987) en vele opvolgers die staat de specificatie van een verscheidenheid aan logische systemen toe. Sinds de opkomst van lineaire en, meer in het algemeen, substructurele logica (Di Cosmo en Miller, 2010; Restall, 2009) zijn er verschillende benaderingen die zich bezighouden met logica die verschillen met betrekking tot beperkingen van hun structurele regels. Een recente beweging weg van het uitkiezen van een bepaalde logica als de ware naar een meer pluralistische houding (zie bv. Beall and Restall, 2006) die geïnteresseerd is in wat verschillende logica's gemeen hebben zonder enige voorkeur voor een bepaalde logica, kan worden gezien als een verschuiving van semantische rechtvaardiging naar structurele karakterisering.

2.5 Categoriale bewijstheorie

Er is een aanzienlijke literatuur over categorietheorie in relatie tot bewijstheorie, en, na baanbrekend werk van Lawvere, Lambek en anderen (zie Lambek en Scott, 1986, en de referenties daarin), kan categorie zelf worden gezien als een soort abstract bewijs theorie. Als je naar een pijl A → B in een categorie kijkt als een soort abstract bewijs van B van A, dan hebben we een representatie die verder gaat dan de pure afleidbaarheid van B van A (aangezien de pijl zijn individualiteit heeft), maar niet omgaat met de specifieke syntactische structuur van dit bewijs. Voor intuïtionistische systemen komt proof-theoretische semantiek in categoriale vorm waarschijnlijk het dichtst bij wat denotationele semantiek in het klassieke geval is.

Een van de meest ontwikkelde benaderingen van de theorie van categoriale bewijzen is te danken aan Došen. Hij heeft niet alleen de toepassing van categoriale methoden in de bewijstheorie bevorderd (bijv. Došen en Petrić, 2004), maar ook aangetoond hoe bewijstheoretische methoden kunnen worden gebruikt in de categorietheorie zelf (Došen, 2000). Het belangrijkste voor categoriale logica in relatie tot bewijstheoretische semantiek is dat in categoriale logica pijlen altijd samenkomen met een identiteitsrelatie, die in bewijstheorie overeenkomt met de identiteit van bewijzen. Op deze manier hebben ideeën en resultaten van categoriale bewijstheorie betrekking op wat men intensieve bewijstheoretische semantiek zou kunnen noemen, dat wil zeggen de studie van bewijzen als zelfstandige entiteiten, niet alleen als voertuigen om gevolgen vast te stellen (Došen, 2006, 2016). Een ander kenmerk van categoriale bewijstheorie is dat het inherent hypothetisch van aard is, wat betekent dat het uitgaat van hypothetische entiteiten. Op deze manier overwint het een paradigma van standaard, in het bijzonder op validiteit gebaseerde, bewijstheoretische semantiek (zie paragraaf 3.6 hieronder).

Verder lezen:

Voor de theorie van logische constanten van Popper, zie Schroeder-Heister (2005).

Zie logische constanten voor logische constanten en hun logicaliteit.

Zie voor categoriale benaderingen het item over categorietheorie.

3. Uitbreidingen en alternatieven voor standaard proof-theoretische semantiek

3.1 Eliminatieregels als basis

De meeste benaderingen van proof-theoretische semantiek beschouwen introductieregels als fundamenteel, dat wil zeggen geven, of zichzelf rechtvaardigen, terwijl de eliminatie-gevolgtrekkingen gerechtvaardigd zijn als geldig met betrekking tot de gegeven introductieregels. Deze opvatting heeft tenminste drie wortels: De eerste is een verificatie-theorie van betekenis volgens welke de assertibiliteitsvoorwaarden van een zin de betekenis ervan vormen. Het tweede is het idee dat we onderscheid moeten maken tussen wat de betekenis geeft en wat de gevolgen van deze betekenis zijn, aangezien niet alle inferentiële kennis kan bestaan uit toepassingen van definities. De derde is het primaat van bewering boven andere spraakhandelingen zoals aannemen of ontkennen, wat impliciet is in alle tot dusver overwogen benaderingen.

Je zou kunnen onderzoeken hoe ver je komt door eliminatieregels te beschouwen in plaats van introductieregels als basis voor proof-theoretische semantiek. Sommige ideeën voor een proof-theoretische semantiek gebaseerd op eliminatie in plaats van introductieregels zijn geschetst door Dummett (1991, Ch. 13), zij het in een zeer rudimentaire vorm. Een nauwkeuriger definitie van validiteit op basis van eliminatie-gevolgtrekkingen is te danken aan Prawitz (1971; 2007; zie ook Schroeder-Heister 2015). Het essentiële idee is dat een gesloten bewijs als geldig wordt beschouwd, als het resultaat van het toepassen van een eliminatieregel op de eindformule een geldig bewijs is of tot één wordt teruggebracht. Een gesloten bewijs van een implicatie A → B is bijvoorbeeld geldig, als voor een bepaald gesloten bewijs van A het resultaat van het toepassen van modus ponens

A → BA
B

op deze twee bewijzen is een geldig bewijs van B, of reduceert tot een dergelijk bewijs. Deze opvatting behoudt twee van de drie basisingrediënten van de proof-theoretische semantiek in Prawitz-stijl (zie paragraaf 2.2.2): de rol van reductie van bewijzen en de vervangende kijk op aannames. Alleen de canoniciteit van bewijzen die eindigen met inleidingen wordt gewijzigd in de canoniciteit van bewijzen die eindigen met eliminaties.

3.2 Ontkenning en ontkenning

Standaard proof-theoretische semantiek is assertiegericht omdat assertibiliteitsvoorwaarden de betekenis van logische constanten bepalen. Overeenkomstig de intuïtionistische manier van handelen, wordt de ontkenning ¬ A van een formule A normaal gesproken opgevat als absurditeit A → ⊥, waarbij ⊥ een constante is die niet kan worden beweerd, dat wil zeggen waarvoor geen assertibiliteitsvoorwaarde is gedefinieerd. Dit is een 'indirecte' manier om negatie te begrijpen. In de literatuur is besproken wat volgens von Kutschera (1969) 'directe' ontkenning zou kunnen worden genoemd. Daarmee begrijpt men een primitieve operator van negatie op één plaats, die niet, althans niet, kan worden gereduceerd tot het impliceren van absurditeit. Het is ook geen klassieke ontkenning. Het houdt zich eerder aan regels die de gebruikelijke regels voor de logische constanten verdubbelen. Soms wordt het de "ontkenning" van een zin genoemd,soms ook 'sterke negatie' (zie Odintsov, 2008). Typische regels voor de ontkenning ~ A van A zijn

~ A ~ B ~ A ~ B
~ (A ∨ B) ~ (A ∧ B) ~ (A ∧ B)

In wezen komen de weigeringsregels voor een operator overeen met de beweringsregels voor de dubbele operator. Er zijn verschillende logica's van ontkenning onderzocht, in het bijzonder Nelsons logica van "constructible falsity" die eerst door Nelson (1949) werd gemotiveerd met betrekking tot een bepaalde realiseerbaarheidssemantiek. De belangrijkste focus lag op zijn systemen, later N3 en N4 genoemd, die verschillen met betrekking tot de behandeling van tegenstrijdigheid (N4 is N3 zonder ex contradictione quodlibet). Door ontkenning te gebruiken, kan elke benadering van bewijstheoretische semantiek worden gedualiseerd door gewoon bewering en ontkenning uit te wisselen en van logische constanten naar hun dualen te gaan. Daarbij verkrijgt men een systeem op basis van weerlegging (= bewijs van ontkenning) in plaats van bewijs. Het kan worden opgevat als het toepassen van een popperiaanse visie op proof-theoretische semantiek.

Een andere benadering zou zijn om niet alleen assertion-centred proof-theoretic semantics te dualiseren ten gunste van een denial-centered refutation-theoretic semantics, maar om de relatie tussen regels voor assertion en for denial te zien zoals bepaald door een inversieprincipe of principe van definitie-reflectie van zichzelf. Dit zou een principe zijn van wat men zou kunnen noemen "assertion-denial-harmony". Terwijl in standaard proof-theoretische semantiek inversieprincipes de relatie tussen beweringen en veronderstellingen (of gevolgen) beheersen, zou een dergelijk principe nu de relatie tussen bewering en ontkenning regelen. Gegeven bepaalde bepalende voorwaarden van A, zou het zeggen dat de ontkenning van elke bepalende voorwaarde van A leidt tot de ontkenning van A zelf. Samenvoeging en disjunctie leidt tot de gemeenschappelijke regels voor bewering en ontkenning

EEN B ~ A ~ B
A ∨ B A ∨ B ~ (A ∨ B)
AB ~ A ~ B
A ∧ B ~ (A ∧ B) ~ (A ∧ B)

Dit idee kan gemakkelijk worden gegeneraliseerd naar definitieve reflectie, wat een redeneringssysteem oplevert waarin bewering en ontkenning met elkaar verweven zijn. Het heeft parallellen met de deductieve relaties tussen de beoordelingsvormen bestudeerd in het traditionele oppositievierkant (Schroeder-Heister, 2012a; Zeilberger, 2008). Benadrukt moet worden dat de ontkenningsoperator hier een extern teken is dat een vorm van oordeel aangeeft en niet als een logische operator. Dit betekent met name dat het niet kan worden herhaald.

3.3 Harmonie en reflectie in de opeenvolgende calculus

Gentzen's sequent calculus vertoont een symmetrie tussen rechts en links introductieregels die suggereren te zoeken naar een harmonieprincipe dat deze symmetrie belangrijk maakt voor de proof-theoretische semantiek. Er zijn ten minste drie lijnen gevolgd om dit fenomeen aan te pakken. (i) De regels voor rechtsintroductie of de regels voor linksintroductie worden beschouwd als introductieregels. De tegenovergestelde regels (respectievelijk links-inleidingen en rechts-inleidingen) worden dan gerechtvaardigd met behulp van de bijbehorende eliminatieregels. Dit betekent dat de eerder besproken methoden worden toegepast op hele sequenties in plaats van formules binnen sequenties. In tegenstelling tot deze formules zijn de sequenties niet logisch gestructureerd. Daarom bouwt deze aanpak voort op definitieve reflectie,die harmonie en inversie toepast op regels voor willekeurig gestructureerde entiteiten in plaats van alleen voor logische composieten. Het is nagestreefd door de Campos Sanz en Piecha (2009). (ii) De inleidende regels voor rechts en links zijn afgeleid van een karakterisering in de zin van Došen's regels met dubbele lijnen (paragraaf 2.4), die vervolgens wordt gelezen als een soort definitie. De top-down richting van een dubbele-regelregel is al een rechts- of een linksintroductieregel. De andere kan worden afgeleid uit de bottom-up richting door middel van bepaalde principes. Dit is het fundamentele betekenis-theoretische ingrediënt van Sambin et al.'s Basic Logic (Sambin, Battilotti en Faggian, 2000). (iii) De rechts- en linksintroductieregels worden gezien als een interactie tussen sequenties die de snijlijn gebruiken. Gezien de regels rechts of links,de complementaire regels geven aan dat alles wat op een bepaalde manier met zijn premissen interageert, dat ook doet met zijn conclusie. Dit idee van interactie is een algemeen symmetrisch principe van definitiereflectie. Het kan worden beschouwd als een veralgemening van het inversieprincipe, waarbij het begrip interactie wordt gebruikt in plaats van de afleidbaarheid van gevolgen (zie Schroeder-Heister, 2013). Alle drie de benaderingen zijn van toepassing op de sequentrekening in zijn klassieke vorm, met mogelijk meer dan één formule in de opvolging van een sequent, inclusief structureel beperkte versies zoals onderzocht in lineaire en andere logica. Het kan worden beschouwd als een veralgemening van het inversieprincipe, waarbij het begrip interactie wordt gebruikt in plaats van de afleidbaarheid van gevolgen (zie Schroeder-Heister, 2013). Alle drie de benaderingen zijn van toepassing op de sequentrekening in zijn klassieke vorm, met mogelijk meer dan één formule in de opvolging van een sequent, inclusief structureel beperkte versies zoals onderzocht in lineaire en andere logica. Het kan worden beschouwd als een veralgemening van het inversieprincipe, waarbij het begrip interactie wordt gebruikt in plaats van de afleidbaarheid van gevolgen (zie Schroeder-Heister, 2013). Alle drie de benaderingen zijn van toepassing op de sequentrekening in zijn klassieke vorm, met mogelijk meer dan één formule in de opvolging van een sequent, inclusief structureel beperkte versies zoals onderzocht in lineaire en andere logica.

3.4 Subatomaire structuur en natuurlijke taal

Zelfs als we, zoals bij de definitiereflectie, de definitieregels voor atomen overwegen, ontleden hun bepalende voorwaarden deze atomen normaal niet. Wieckowski (2008; 2011; 2016) stelt een proof-theoretische benadering voor die rekening houdt met de interne structuur van atoomzinnen. Hij gebruikt introductie- en eliminatieregels voor atoomzinnen, waarbij deze atoomzinnen niet alleen worden gereduceerd tot andere atoomzinnen, maar tot subatomaire uitdrukkingen die de betekenis van predikaten en individuele namen vertegenwoordigen. Dit kan worden gezien als een eerste stap in de richting van natuurlijke taaltoepassingen van proof-theoretische semantiek. Een volgende stap in deze richting is gezet door Francez, die een proof-theoretische semantiek heeft ontwikkeld voor verschillende fragmenten van het Engels (zie Francez, Dyckhoff en Ben-Avi, 2010; Francez en Dyckhoff, 2010,Francez en Ben-Avi 2015).

3.5 Klassieke logica

Proof-theoretische semantiek is intuïtionistisch bevooroordeeld. Dit komt door het feit dat natuurlijke deductie als voorkeursraamwerk bepaalde kenmerken heeft die het bijzonder geschikt maken voor intuïtionistische logica. In klassieke natuurlijke aftrek de ex falso quodlibet

EEN

wordt vervangen door de regel van klassieke reductio ad absurdum

[A → ⊥]
EEN

Door toe te staan dat A → ⊥ wordt ontladen om A af te leiden, ondermijnt deze regel het subformuleprincipe. Bovendien, omdat het zowel ⊥ als A → ⊥ bevat, verwijst het naar twee verschillende logische constanten in een enkele regel, dus er is geen scheiding meer van logische constanten. Ten slotte volgt het als eliminatieregel voor ⊥ niet het algemene patroon van inleidingen en eliminaties. Als gevolg hiervan vernietigt het de eigenschap van het introductieformulier dat elke gesloten afleiding kan worden gereduceerd tot een waarde die in de laatste stap een introductie-regel gebruikt.

Klassieke logica past heel goed bij de meervoudige opeenvolgende calculus. Daar hebben we geen andere principes nodig dan die in het intuïtionistische geval worden aangenomen. Alleen het structurele kenmerk van het toestaan van meer dan één formule in het vervolg is voldoende om klassieke logica te verkrijgen. Aangezien er plausibele benaderingen zijn om een harmonie te creëren tussen rechtsintroducties en linksintroductie in de sequent calculus (zie paragraaf 3.3), lijkt klassieke logica perfect gerechtvaardigd. Dit is echter alleen overtuigend als redenering op de juiste manier is geformuleerd als een proces met meerdere conclusies, zelfs als dit niet overeenkomt met onze standaardpraktijk waarbij we ons concentreren op afzonderlijke conclusies. Men zou kunnen proberen een geschikte intuïtie te ontwikkelen door te stellen dat redenering naar meerdere conclusies het gebied afbakent waarin waarheid ligt in plaats van dat één enkele propositie waar is. Deze intuïtie is echter moeilijk vol te houden en kan niet zonder ernstige moeilijkheden formeel worden vastgelegd. Filosofische benaderingen zoals die van Shoesmith en Smiley (1978) en proof-theoretische benaderingen zoals proof-nets (zie Girard, 1987; Di Cosmo en Miller, 2010) zijn pogingen in deze richting.

Een fundamentele reden voor het falen van de inleidende vormeigenschap in de klassieke logica is het indeterminisme dat inherent is aan de disjunctiewetten. A ∨ B kan zowel uit A als uit B worden afgeleid. Dus als de disjunctiewetten de enige manier waren om A ∨ B af te leiden, zou de afleidbaarheid van A ∨¬ A, wat een sleutelprincipe is van de klassieke logica, die van A of van ¬ A met zich meebrengen, wat absurd is. Een uitweg uit deze moeilijkheid is om de onbepaalde disjunctie op te heffen en in plaats daarvan het klassieke de Morgan-equivalent ¬ (¬ A ∧¬ B) te gebruiken. Dit leidt in wezen tot een logica zonder juiste disjunctie. In het geval van de kwantor zou er ook geen goede existentiële kwantor zijn, aangezien ∃ xA zou worden begrepen in de zin van ¬∀ x ¬ A. Als men bereid is deze beperking te accepteren, dan kunnen bepaalde harmonieprincipes worden geformuleerd voor klassieke logica.

3.6 Hypothetisch redeneren

Standaardbenaderingen van bewijstheoretische semantiek, vooral Prawitz's op validiteit gebaseerde benadering (paragraaf 2.2.2), nemen gesloten afleidingen als basis. De geldigheid van open afleidingen wordt gedefinieerd als de overdracht van geldigheid van gesloten afleidingen van de aannames naar een gesloten afleiding van de bewering, waarbij deze laatste wordt verkregen door een gesloten afleiding te vervangen door een open aanname. Daarom, als men gesloten afleidingen 'categorisch' en open afleidingen 'hypothetisch' noemt, kan men deze benadering karakteriseren als volgt volgens twee fundamentele ideeën: (I) het primaat van het categorische boven het hypothetische, (II) de transmissie van consequenties. Deze twee aannames (I) en (II) kunnen worden gezien als dogma's van standaard semantiek (zie Schroeder-Heister 2012c). 'Standaard semantiek' betekent hier niet alleen standaard proof-theoretische semantiek,maar ook klassieke model-theoretische semantiek, waarbij ook deze dogma's worden aangenomen. Daar begint men met de definitie van waarheid, het categorische concept, en definieert consequentie, het hypothetische concept, als de overdracht van waarheid van voorwaarden naar consequentie. Vanuit dit oogpunt wisselen constructieve semantiek, inclusief proof-theoretische semantiek, het concept van waarheid uit met een concept van constructie of bewijs, en interpreteren ze "transmissie" in termen van een constructieve functie of procedure, maar laten ze het kader anders onaangeroerd.constructieve semantiek, inclusief proof-theoretische semantiek, wisselen het concept van waarheid uit met een concept van constructie of bewijs, en interpreteren "transmissie" in termen van een constructieve functie of procedure, maar laten het kader anders onaangetast.constructieve semantiek, inclusief proof-theoretische semantiek, wisselen het concept van waarheid uit met een concept van constructie of bewijs, en interpreteren "transmissie" in termen van een constructieve functie of procedure, maar laten het kader anders onaangetast.

Met deze dogma's is in principe niets mis. Er zijn echter fenomenen die moeilijk te behandelen zijn in het standaardkader. Een dergelijk fenomeen is ongegrondheid, vooral circulariteit, waar we gevolgen kunnen hebben zonder de overdracht van waarheid en bewijsbaarheid. Een ander fenomeen zijn substructurele verschillen, waarbij het van cruciaal belang is om vanaf het begin de structurering van aannames mee te nemen. Bovendien, en dit is het meest cruciaal, kunnen we dingen op een bepaalde manier definiëren zonder van tevoren te weten of onze definitie of keten van definities al dan niet gegrond is. We betrekken ons niet eerst bij de metalinguistische studie van de definitie waarmee we beginnen, maar willen meteen beginnen met redeneren. Dit probleem ontstaat niet als we ons beperken tot het geval van logische constanten,waar de bepalende regels triviaal gegrond zijn. Maar het probleem doet zich onmiddellijk voor als we kijken naar meer gecompliceerde gevallen die verder gaan dan logische constanten.

Dit maakt het de moeite waard om de andere kant op te gaan en te beginnen met het hypothetische concept van consequentie, dat wil zeggen, de consequentie direct karakteriseren zonder het terug te brengen tot het categorische geval. Filosofisch betekent dit dat het categorische concept een beperkend concept is van het hypothetische concept. In het klassieke geval zou waarheid een beperkend geval van consequentie zijn, namelijk consequentie zonder hypothesen. Dit programma is nauw verwant aan de benadering van de theorie van categoriale bewijzen (paragraaf 2.5), die is gebaseerd op het primaat van hypothetische entiteiten ("pijlen"). Formeel zou het de voorkeur geven aan de sequent-calculus boven natuurlijke aftrek, aangezien de sequent-calculus de aannamezijde van een sequentie kan manipuleren door middel van links-introductie regels.

3.7 Intensieve proof-theoretische semantiek

Zoals vermeld in de eerste sectie (1.1), is de proof-theoretische semantiek intensief van geest, omdat het geïnteresseerd is in bewijzen en niet alleen in bewijsbaarheid. Voor de proof-theoretische semantiek is niet alleen relevant of B uit A volgt, maar ook op welke manier we kunnen vaststellen dat B uit A volgt. Met andere woorden, de identiteit van bewijzen is een belangrijk punt. Hoewel dit op het eerste gezicht voor de hand ligt en bewijstheoretische semantici normaal gesproken instemmen met deze abstracte claim, is de praktijk in bewijstheoretische semantiek vaak anders en is het onderwerp identiteit van bewijzen een veel verwaarloosd onderwerp. Het komt heel vaak voor dat regels worden vastgesteld die even krachtig zijn. Bijvoorbeeld wanneer harmonieprincipes worden besproken en men de standaard introductie regel voor voeging beschouwt

AB
A ∧ B

veel bewijstheoretische semantici zouden het irrelevant vinden of men het paar projecties kiest

A ∧ B A ∧ B
EEN B

of het paar

A ∧ B A ∧ BA
EEN B

als de eliminatieregels voor conjunctie. Het tweede paar regels zou vaak worden beschouwd als een meer gecompliceerde variant van het paar projecties. Intensief zijn deze twee paar regels echter niet identiek. Het identificeren ervan komt overeen met het identificeren van A ∧ B en A ∧ (A → B), die alleen in het verlengde, maar niet opzettelijk correct is. Zoals Došen vaak heeft betoogd (bijv. Došen 1997, 2006), zijn formules als A ∧ B en A ∧ (A → B) equivalent, maar niet isomorf. Hier betekent "isomorf" dat wanneer we de ene formule van de andere bewijzen en vice versa, we, door deze twee bewijzen te combineren, het identiteitsbewijs verkrijgen. Dit is in dit voorbeeld niet het geval.

Het volgen van dit idee leidt tot principes van harmonie en inversie die verschillen van de standaard. Omdat harmonie en inversie de kern vormen van de proof-theoretische semantiek, worden veel van de problemen aangeraakt. Het serieus nemen van het onderwerp intensionaliteit kan veel terreinen van bewijstheoretische semantiek hervormen. En aangezien de identiteit van bewijzen een basisonderwerp is van de categoriale bewijsleer, zal deze laatste meer aandacht moeten krijgen in de bewijstheoretische semantiek dan nu het geval is.

Verder lezen

Zie Tranchini (2012b) voor ontkenning en ontkenning; Wansing (2001).

Zie Francez (2015) voor natuurlijke taalsemantiek.

Zie voor klassieke logica de vermelding over klassieke logica.

Voor hypothetische redenering en theoretische semantiek voor intensief bewijs, zie Došen (2003, 2016) en Schroeder-Heister (2016a).

4. Conclusie en vooruitzichten

Standaard proof-theoretische semantiek is vrijwel uitsluitend bezig geweest met logische constanten. Logische constanten spelen een centrale rol in redenering en gevolgtrekking, maar zijn zeker niet de exclusieve en misschien niet eens de meest typische soort entiteiten die inferentief kunnen worden gedefinieerd. Er is een raamwerk nodig dat inferentiële definities in bredere zin behandelt en zowel logische als extra-logische inferentiële definities omvat. Het idee van definitiereflectie met betrekking tot willekeurige definitieregels (zie 2.3.2) en ook natuurlijke taaltoepassingen (zie 3.4) wijzen in deze richting, maar verder reikende opvattingen zijn denkbaar. Bovendien is de concentratie op harmonie, inversieprincipes, definitie-reflectie en dergelijke enigszins misleidend,omdat het zou kunnen suggereren dat de bewijstheoretische semantiek alleen daaruit bestaat. Benadrukt moet worden dat, al als het om rekenen gaat, naast inversie ook sterkere principes nodig zijn. Ondanks deze beperkingen heeft de bewijstheoretische semantiek echter al zeer substantiële verworvenheden behaald die kunnen concurreren met de meer wijdverbreide benaderingen van de semantiek.

Bibliografie

  • Aczel, Peter (1977). 'An Introduction to Inductive Definitions', in Handbook of Mathematical Logic, John Barwise (red.), Amsterdam: Noord-Holland, pp. 739–782.
  • Beall, JC en Greg Restall (2006). Logical Pluralism, Oxford: Oxford University Press.
  • Belnap, Nuel D. (1982). "Display Logic", Journal of Philosophical Logic, 11: 375–417.
  • Brandom, Robert B. (2000). Articulerende redenen: An Introduction to Inferentialism, Cambridge Mass.: Harvard University Press.
  • de Campos Sanz, Wagner en Thomas Piecha (2009). 'Omkering door definitiereflectie en de toelaatbaarheid van logische regels', overzicht van symbolische logica, 2: 550–569.
  • –––, Thomas Piecha en Peter Schroeder-Heister (2014). "Constructieve semantiek, toelaatbaarheid van regels en de geldigheid van de wet van Peirce", Logic Journal of the IGPL, 22: 297–308.
  • de Groote, Philippe, uitg. (1995). The Curry-Howard Isomorphism, Volume 8 van Cahiers du Centre de Logique, Academia-Bruyland.
  • Di Cosmo, Roberto en Dale Miller (2010). "Linear Logic", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2010 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL =
  • Došen, Kosta (1980). Logical Constants: An Essay in Proof Theory, D. Phil. Scriptie, afdeling Filosofie, Universiteit van Oxford.
  • ––– (1989). "Logische constanten als leestekens", Notre Dame Journal of Formal Logic, 30: 362–381.
  • ––– (1997). "Logical Consequence: A Turn in Style", in: Dalla Chiara, ML, K. Doets, D. Mundici, J. van Benthem (red.), Logica en wetenschappelijke methoden: deel één van het tiende internationale congres van logica, methodologie and Philosophy of Science, Florence, augustus 1995, Dordrecht: Kluwer, 289–311.
  • ––– (2000). Snijd eliminatie in categorieën, Berlijn: Springer.
  • ––– (2003). "Identiteit van bewijzen gebaseerd op normalisatie en algemeenheid", Bulletin of Symbolische Logica, 9: 477–503.
  • ––– (2006). "Modellen van aftrek", in: Kahle en Schroeder-Heister, eds. (2006), pp. 639-657.
  • ––– (2016). "Op de paden van categorieën", in: Piecha en Schroeder-Heister, eds. (2016b), pp. 65-77.
  • ––– en Zoran Petrić (2004). Proof-theoretische samenhang, London: College Publications.
  • Dummett, Michael (1991). The Logical Basis of Metaphysics, London: Duckworth.
  • Francez, Nissim (2015). Proof-theoretische Semantiek, London: College Publications.
  • ––– en Gilad Ben-Avi (2015). 'Een proof-theoretische reconstructie van gegeneraliseerde kwantoren', Journal of Semantics, 32: 313–371.
  • ––– en Roy Dyckhoff (2010). “Proof-theoretische semantiek voor een natuurlijk taalfragment”, taalkunde en filosofie, 33: 447–477.
  • –––, Roy Dyckhoff en Gilad Ben-Avi (2010). “Proof-Theoretic Semantics for Subsentential Phrases”, Studia Logica, 94: 381–401.
  • Gentzen, Gerhard (1934/35). “Untersuchungen über das logische Schließen”, Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210, 405–431; Engelse vertaling in The Collected Papers of Gerhard Gentzen, ME Szabo (red.), Amsterdam: North Holland, 1969, pp. 68–131.
  • Girard, Jean-Yves (1987). 'Lineaire logica', theoretische informatica, 50: 1–102.
  • Hacking, Ian (1979). 'Wat is logica?', Journal of Philosophy, 76: 285–319.
  • Hallnäs, Lars (1991). 'Partiële inductieve definities', theoretische informatica, 87: 115–142.
  • ––– (2006). 'Op de bewijstheoretische basis van de algemene definitietheorie', Synthese, 148: 589–602.
  • Hallnäs, Lars en Peter Schroeder-Heister (1990/91). “Een proof-theoretische benadering van logisch programmeren: I. Clausules als regels. II. Programma's als definities”, Journal of Logic and Computation, 1: 261–283, 635–660.
  • Harper, Robert, Furio Honsell en Gordon Plotkin (1987). "A Framework for Defining Logics", Journal of the Association for Computing Machinery, 40: 194–204.
  • Humberstone, Lloyd (2010). "Zinsverbindingen in formele logica", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (editie zomer 2010), Edward N. Zalta (red.), URL =
  • Jaśkowski, Stanisław (1934). 'Over de regels van veronderstellingen in formele logica', Studia Logica, 1: 5–32 (herdrukt in S. McCall (red.), Polish Logic 1920-1939, Oxford 1967, pp. 232–258.
  • Jäger, Gerhard en Robert F. Stärk (1998). 'A Proof-Theoretic Framework for Logic Programming', Handbook of Proof Theory, Samuel R. Buss (red.), Amsterdam: Elsevier, pp. 639–682.
  • Kahle, Reinhard en Peter Schroeder-Heister, eds. (2006). Proof-Theoretic Semantics, Special issue of Synthese, Volume 148.
  • Kneale, William (1956). “The Province of Logic”, Contemporary British Philosophy, HD Lewis (red.), London: Allen en Unwin, pp. 237–261.
  • Koslow, Arnold (1992). A Structuralist Theory of Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Kreisel, Georg (1971). 'A Survey of Proof Theory II', Proceedings of the Second Scandinavian Logic Symposium, JE Renstad (red.), Amsterdam: Noord-Holland, pp. 109–170.
  • Kremer, Philip (2009). "The Revision Theory of Truth", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (lente 2009 editie), Edward N. Zalta (red.), URL =
  • Kreuger, Per (1994). “Axioms in Definitions Calculi”, Extensions of Logic Programming: Proceedings of the 4th International Workshop, ELP'93, St. Andrews, UK, maart / april 1993 (Lecture Notes in Computer Science, Voluem 798), Roy Dyckhoff (red.), Berlijn: Springer, pp. 196–205.
  • Lambek, J. en PJ Scott (1986). Inleiding tot categorische logica van hogere orde, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lorenzen, Paul (1955). Einführung in de operatieve Logik und Mathematik, Berlijn: Springer; 2e editie, 1969.
  • Martin-Löf, Per (1971). “Hauptsatz for the intuitionistic theory of iterated inductive definitions”, Proceedings of the Second Scandinavian Logic Symposium, JE Fenstad (red.), Amsterdam: Noord-Holland, pp. 179–216.
  • ––– (1984). Intuitionistische typetheorie, Napoli: Bibliopolis.
  • ––– (1995). 'Verificationism Then and Now', The Foundational Debate: Complexity and Constructivity in Mathematics and Physics, Werner DePauli-Schimanovich, Eckehart Köhler en Friedrich Stadler (red.), Dordrecht: Kluwer, pp. 187–196.
  • ––– (1998). 'Truth and Knowability: On the Principles C and K of Michael Dummett', Truth in Mathematics, Harold G. Dales en Gianluigi Oliveri (red.), Oxford: Clarendon Press, pp. 105–114.
  • Negri, Sara en Jan von Plato (2001). Structural Proof Theory, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Nelson, David (1949). 'Constructible Falsity', Journal of Symbolische logica, 14: 16–26.
  • Odintsov, Sergei P. (2008). Constructieve negaties en paraconsistentie, Berlijn: Springer.
  • Piecha, Thomas (2016). “Compleetheid in proof-theoretische semantiek”. In: Piecha en Schroeder-Heister, eds. (2016b), blz. 231-251.
  • –––, Wagner de Campos Sanz en Peter Schroeder-Heister (2015). 'Mislukking van volledigheid in proof-theoretische semantiek', Journal of Philosophical Logic, 44: 321–335.
  • ––– en Peter Schroeder-Heister (2016a). "Atomic Systems in Proof-Theoretic Semantics: Two Approaches", in: Redmond, J., OP Martins, Á. N. Fernández Epistemology, Knowledge and the Impact of Interaction, Cham: Springer, pp. 47–62.
  • ––– en Peter Schroeder-Heister, eds. (2016b). Vooruitgang in Proof-Theoretic Semantics, Cham: Springer (Open Access)
  • Popper, Karl Raimund (1947a). 'Logica zonder aannames', Proceedings of the Aristotelian Society, 47: 251–292.
  • ––– (1947b). 'Nieuwe grondslagen voor logica', Mind, 56: 193–235; correcties, Mind, 57: 69–70.
  • Prawitz, Dag (1965). Natuurlijke aftrek: een proof-theoretische studie, Stockholm: Almqvist & Wiksell; herdrukt Mineola, NY: Dover Publications, 2006.
  • ––– (1971). 'Ideas and Results in Proof Theory', Proceedings of the Second Scandinavian Logic Symposium (Oslo 1970), Jens E. Fenstad (red.), Amsterdam: Noord-Holland, pp. 235–308.
  • ––– (1972). 'The Philosophical Position of Proof Theory', Contemporary Philosophy in Scandinavia, RE Olson en AM Paul (red.), Baltimore, London: John Hopkins Press, pp. 123–134.
  • ––– (1973). "Op weg naar een fundament van een algemene bewijstheorie", logica, methodologie en wetenschapsfilosofie IV, Patrick Suppes, et al. (redactie), Amsterdam: Noord-Holland, pp. 225–250.
  • ––– (1974). 'Over het idee van een algemene bewijstheorie', Synthese, 27: 63–77.
  • ––– (1985). 'Opmerkingen over enkele benaderingen van het concept van logische consequentie', Synthese, 62: 152–171.
  • ––– (2006). 'Betekenis benaderd via bewijzen', Synthese, 148: 507-524.
  • ––– (2007). 'Pragmatistische en verificatie-theorieën van betekenis', The Philosophy of Michael Dummett, Randall E. Auxier en Lewis Edwin Hahn (red.), La Salle: Open Court, pp. 455–481.
  • ––– (2013). 'Een benadering van de algemene bewijstheorie en een vermoeden van een soort volledigheid van intuïtionistische logica herzien', Advances in Natural Deduction, Edward Hermann Haeusler, Luiz Carlos Pereira en Valeria de Paiva (red.), Berlin: Springer.
  • Lees, Stephen (2010). 'Algemene eliminatieharmonie en de betekenis van de logische constanten', Journal of Philosophical Logic, 39: 557–576.
  • Restall, Greg (2009). "Substructural Logics", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (editie zomer 2009), Edward N. Zalta (red.), URL =.
  • Sambin, Giovanni, Giulia Battilotti en Claudia Faggian (2000). "Basic Logic: Reflection, Symmetry, Visibility", Journal of Symbolische Logica, 65: 979-1013.
  • Sandqvist, Tor (2009). 'Klassieke logica zonder bivalentie', analyse, 69: 211–218.
  • Schroeder-Heister, Peter (1984). 'Een natuurlijke uitbreiding van natuurlijke afleiding', Journal of Symbolic Logic, 49: 1284–1300.
  • ––– (1991). "Uniform Proof-Theoretic Semantics for Logical Constants (Abstract)", Journal of Symbolische Logica, 56: 1142.
  • ––– (1992). “Cut Elimination in Logics with Definitional Reflection”, Nonclassical Logics and Information Processing: Proceedings of the International Workshop, Berlin, november 1990 (Lezingen in informatica: volume 619). David Pearce en Heinrich Wansing (red.), Berlijn: Springer, pp. 146–171.
  • ––– (1993). "Rules of Definitions Reflection", Proceedings of the 8th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science, Los Alamitos: IEEE Press, pp. 222–232.
  • ––– (2004). 'Over het idee van aanname in logische systemen', Selected Papers Contributed to the Sections of GAP5 (Fifth International Congress of the Society for Analytical Philosophy, Bielefeld, 22-26 September 2003), R. Bluhm en C. Nimtz (red.), Paderborn: mentis online beschikbaar), pp. 27–48.
  • ––– (2005). "Structuralistische logische theorie van Popper", Karl Popper: A Centenary Assessment. Vol. III: Science, Ian Jarvie, Karl Milford en David Miller (red.), Aldershot: Ashgate, pp. 17-36.
  • ––– (2006). 'Geldigheidsconcepten in proof-theoretische semantiek', Synthese, 148: 525-571.
  • ––– (2007). 'Generalized Definition Definition Reflection and the Inversion Principle', Logica Universalis, 1: 355–376.
  • ––– (2008a). "Lorenzen's Operatieve Rechtvaardiging van Intuitionistische Logica", Honderd Jaar Intuitionisme (1907-2007): The Cerisy Conference, Mark van Atten, et al. (redactie), Basel: Birkhäuser, 214–240 [Referenties voor het hele boek: 391–416].
  • ––– (2008b). “Proof-Theoretic versus Model-Theoretic Consequence”, The Logica Yearbook 2007, M. Peliš (red.), Praag: Filosofia, pp. 187-200.
  • ––– (2012a). “Definitioneel redeneren in de proeftheoretische semantiek en het oppositieplein”, The Square of Opposition: A General Framework for Cognition, Jean-Yves Béziau en Gillman Payette (red.), Bern: Peter Lang, pp. 323–349.
  • ––– (2012b). “Proof-Theoretic Semantics, Self-Contradiction, and the Format of Deductive Reasoning”. In: Topoi 31, pp. 77-85.
  • ––– (2012c). "De categorische en de hypothetische: een kritiek op enkele fundamentele veronderstellingen van standaardsemantiek". In: Synthese 187, pp. 925–942.
  • ––– (2012d). "Paradoxen en structurele regels". In: Dutilh Novaes, Catarina en Ole T. Hjortland, eds., Insolubles and Consequences. Essays ter ere van Stephen Read. London: College Publications, blz. 203–211.
  • ––– (2013). 'Definitionele reflectie en basislogica', Annalen van pure en toegepaste logica, 164 (4): 491–501.
  • ––– (2015). “Proof-theoretische validiteit gebaseerd op eliminatieregels”. In: Haeusler, Edward Hermann, Wagner de Campos Sanz en Bruno Lopes, eds., Waarom is dit een bewijs? Festschrift voor Luiz Carlos Pereira. London: College Publications, pp. 159–176.
  • ––– (2016a). "Open problemen in proof-theoretische semantiek". In: Piecha en Schroeder-Heister, eds. (2016b), pp. 253–283.
  • ––– (2016b). 'Beperkende beginsequenties: de wisselwerking tussen identiteit, contractie en knippen'. In: Kahle, Reinhard, Thomas Strahm en Thomas Studer, eds. Advances in Proof Theory Basel: Birkhäuser, pp. 339-351.
  • Shoesmith, DJ en Timothy J. Smiley (1978). Logica met meerdere conclusies, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Sommaruga, Giovanni (2000). Geschiedenis en filosofie van de constructieve typetheorie, Dordrecht: Kluwer.
  • Sørensen, Morten Heine B. en Pawel Urzyczyn (2006). Lezingen over het Curry-Howard-isomorfisme, Amsterdam: Elsevier.
  • Tait, W. W: (1967). “Intensieve interpretaties van functionaliteiten van eindige type I”, Journal of Symbolische logica, 32: 198–212.
  • Tennant, Neil (1978). Natural Logic, Edinburgh: Edinburgh University Press.
  • ––– (1982). 'Proof and Paradox', Dialectica, 36: 265–296.
  • ––– (1987). Anti-realisme en logica: Truth as Eternal, Oxford: Clarendon Press.
  • ––– (1997). The Taming of the True, Oxford: Clarendon Press.
  • Tranchini, Luca (2010). Proof and Truth: An Anti-Realist Perspective, Milano: Edizioni ETS, 2013; herdruk van Ph. D. proefschrift, Departement Wijsbegeerte, Universiteit van Tuebingen, 2010, online beschikbaar.
  • ––– (2012a). “Waarheid vanuit een proof-theoretisch perspectief”. In: Topoi 31, pp. 47-57.
  • ––– (2012b). 'Natuurlijke aftrek voor dubbele intuïtionistische logica', Studia Logica, 100: 631–648.
  • ––– (2016). 'Proof-Theoretic Semantics, Paradoxes, and the Distinction between Sense and Denotation', Journal of Logic and Computation, 26, pp. 495–512.
  • Troelstra, Anne S. en Dirk van Dalen (1988). Constructivisme in de wiskunde: een inleiding, Amsterdam: Noord-Holland.
  • Troelstra, AS en H. Schwichtenberg (2000). Basic Proof Theory, Cambridge University Press, tweede editie.
  • von Kutschera, Franz (1968). "Die Vollständigkeit des Operatorensystems {¬, ∧, ∨, ⊃} für die intuitionistische Aussagenlogik im Rahmen der Gentzensemantik", Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung, 11: 3–16.
  • ––– (1969). "Ein verallgemeinerter Widerlegungsbegrifff für Gentzenkalküle", Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung, 12: 104–118.
  • Wansing, Heinrich (1993a). "Functionele volledigheid voor subsystemen van intuïtionistische propositionele logica", Journal of Philosophical Logic, 22: 303–321.
  • ––– (1993b). The Logic of Information Structures (Lecture Notes in Artificial Intelligence, Volume 681), Berlijn: Springer Springer.
  • ––– (2000). 'Het idee van een proof-theoretische semantiek', Studia Logica, 64: 3–20.
  • ––– (2001). "Negation", The Blackwell Guide to Philosophical Logic, L. Goble (red.), Cambridge, MA: Blackwell, blz. 415–436.
  • Wieckowski, Bartosz (2008). "Predication in Fiction", in The Logica Yearbook 2007, M. Peliš (red.), Praag: Filosofia, pp. 267–285.
  • ––– (2011). 'Regels voor subatomaire afleiding', overzicht van symbolische logica, 4: 219–236.
  • ––– (2016). “Subatomaire natuurlijke aftrek voor een naturalistische eerste-orde taal met niet-primitieve identiteit”, Journal of Logic, Language and Information, 25: 215–268.
  • Zeilberger, Noam (2008). 'Over de eenheid van dualiteit', Annalen van pure en toegepaste logica, 153: 66–96.

Academische hulpmiddelen

sep man pictogram
sep man pictogram
Hoe deze vermelding te citeren.
sep man pictogram
sep man pictogram
Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
inpho icoon
inpho icoon
Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papieren pictogram
phil papieren pictogram
Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

  • de Campos Sanz, Wagner en Thomas Piecha (2012). "Opmerkingen over constructieve semantiek voor klassieke en intuïtionistische logica", online manuscript.
  • Tranchini, Luca (2012b). "Proof-theoretische semantiek, paradoxen en het onderscheid tussen gevoel en denotatie", online manuscript.

Aanbevolen: