Onafhankelijkheid En Grote Kardinalen

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-05-24 11:17

Toegang navigatie

Inhoud van het item
Bibliografie
Academische hulpmiddelen
Vrienden PDF-voorbeeld
Info over auteur en citaat
Terug naar boven

Voor het eerst gepubliceerd op 20 april 2010

De onafhankelijkheid resulteert in rekenkunde en verzamelingenleer en leidde tot een wildgroei aan wiskundige systemen. Een zeer algemene manier om de ruimte van mogelijke wiskundige systemen te onderzoeken, is onder de relatie van interpreteerbaarheid. In deze relatie vormt de ruimte van mogelijke wiskundige systemen een ingewikkelde hiërarchie van steeds sterkere systemen. Grote kardinale axioma's bieden een canonieke manier om deze hiërarchie te beklimmen en ze spelen een centrale rol bij het vergelijken van systemen vanuit conceptueel verschillende domeinen.

Dit artikel is een inleiding tot onafhankelijkheid, interpreteerbaarheid, grote kardinalen en hun onderlinge relaties. Deel 1 onderzoekt de klassieke onafhankelijkheidsresultaten in rekenkunde en verzamelingenleer. Sectie 2 introduceert de interpreteerbaarheidshiërarchie en beschrijft enkele van de basiskenmerken. Sectie 3 introduceert het idee van een groot hoofd axioma en bespreekt enkele van de centrale voorbeelden. Hoofdstuk 4 brengt de voorgaande thema's samen door de manier te bespreken waarop grote kardinale axioma's een canoniek middel vormen om de hiërarchie van interpreteerbaarheid te beklimmen en als intermediair te dienen bij de vergelijking van systemen uit conceptueel verschillende domeinen. Hoofdstuk 5 gaat kort in op enkele filosofische overwegingen.

1. Onafhankelijkheid
2. De interpreteerbaarheidshiërarchie
3. Grote kardinale axioma's
4. Grote kardinale axioma's en de interpreteerbaarheidshiërarchie
5. Enkele filosofische overwegingen
Bibliografie
Academische hulpmiddelen
Andere internetbronnen
Gerelateerde vermeldingen

1. Onafhankelijkheid

Laten we beginnen met het idee van een axioma-systeem. Om dit idee te motiveren, moet je nadenken over de manier waarop rechtvaardiging traditioneel in de wiskunde verloopt. Door te redeneren over een bepaald domein van de wiskunde (of eigenlijk elk domein) wordt de rechtvaardigingsvraag achtereenvolgens steeds verder teruggeduwd totdat men uiteindelijk principes bereikt die geen meer fundamentele rechtvaardiging toelaten. De uitspraken in deze terminale fase worden gekozen als axioma's en het onderwerp wordt vervolgens georganiseerd in termen van afleidbaarheid van de basis van axioma's. In het geval van rekenen leidde dit tot het axioma-systeem PA (Peano-rekenen) en in het geval van de verzamelingenleer tot het axiomasysteem ZFC (Zermelo-Frankel-verzamelingenleer met het Axiom of Choice).

Er ontstaan twee natuurlijke vragen: (1) Als de axioma's geen meer fundamentele rechtvaardiging toelaten, hoe rechtvaardigt men ze dan? (2) Is de basis van axioma's voldoende rijk om elke zin op deze basis te kunnen verrekenen?

Er zijn twee traditionele opvattingen over de epistemologische status van axioma's. Op het eerste gezicht geven de axioma's geen verdere rechtvaardiging toe, aangezien ze vanzelfsprekend zijn. Op het tweede gezicht geven de axioma's geen verdere rechtvaardiging, aangezien ze definitief zijn voor het onderwerp. Elk van deze opvattingen over onze eerste vraag leidt tot een bijbehorende optimistische kijk op onze tweede vraag - volgens de eerste optimistische opvatting zijn alle wiskundige waarheden af te leiden (in eerste orde logica) van vanzelfsprekende waarheden, terwijl volgens de tweede optimistische Alle wiskundige waarheden zijn (in eerste orde logica) af te leiden uit uitspraken die bepalend zijn voor het onderwerp. Mocht een van deze optimistische opvattingen juist blijken te zijn, dan zou de vraag naar rechtvaardiging in de wiskunde een bijzonder eenvoudige vorm aannemen:Ofwel zou een verklaring een axioma zijn (in welk geval het vanzelfsprekend of definitief zou zijn van het onderwerp (afhankelijk van de mening die wordt overwogen)) of het zou in eerste orde logica kunnen worden afgeleid van sommige van dergelijke verklaringen.

Helaas werden deze optimistische opvattingen in 1931 ter discussie gesteld door Gödel's onvolledigheidsstellingen. Hier is een versie van de tweede onvolledigheidsstelling:

Stelling 1.1 (Gödel, 1931). Neem aan dat PA consistent is. Dan bewijst PA Con (PA) niet.

Hier is Con (PA) een rekenkundige verklaring die de informele verklaring uitdrukt dat PA consistent is. ^[1] Onder iets sterkere aannames (bijvoorbeeld dat PA Σ01-gezond is ^[2]) kan men de conclusie versterken door toe te voegen dat PA niet ¬Con (PA) bewijst; met andere woorden, onder deze sterkere aanname is Con (PA) onafhankelijk van PA. We hebben hier dus een geval van een rekenkundige verklaring (en in feite een zeer eenvoudige) die niet kan worden geregeld op basis van de standaard axioma's. Bovendien is de stelling volledig algemeen - hij geldt niet alleen voor PA maar voor elk voldoende sterk formeel systeem T.

Dit roept een uitdaging op voor de twee bovengenoemde optimistische opvattingen over de aard van de wiskundige waarheid. Om te beginnen laat het zien dat we niet kunnen werken met een vast axioma-systeem T. We zullen altijd nieuwe axioma's moeten introduceren. Wat nog belangrijker is, het roept de vraag op hoe men deze nieuwe axioma's moet rechtvaardigen, want naarmate men steeds sterkere axioma's blijft toevoegen, zal de bewering dat ze ofwel vanzelfsprekend of definitief zijn over het onderwerp steeds moeilijker te verdedigen worden.

Al in 1931 wees Gödel op een natuurlijke manier om nieuwe axioma's te rechtvaardigen. Hij wees erop dat als men verder gaat dan de natuurlijke getallen en de hiërarchie van typen (de verzamelingen van natuurlijke getallen, de verzamelingen van verzamelingen van natuurlijke getallen, enz.) Klimt, men tot axioma's komt (de axioma's van rekenkunde van de tweede orde PA ₂, de axioma's van rekenkunde van de derde orde PA ₃, enz.) die de onbesliste verklaringen die hij ontdekte, afhandelen. Het axioma-systeem voor het tweede niveau, PA ₂, regelt de onbesliste verklaring op het eerste niveau, namelijk Con (PA); PA ₂ bewijst in feite Con (PA), wat het gewenste resultaat is. Maar nu hebben we een probleem op het tweede niveau. Voor de tweede onvolledigheidsstelling blijkt dat (onder vergelijkbare achtergrondaannames als hierboven) PA₂ regelt Con (PA ₂) niet. Gelukkig regelt het axioma-systeem voor het derde niveau, PA ₃, de verklaring die onbeslist is gebleven op het tweede niveau, namelijk Con (PA ₂). Dit patroon zet zich voort. Voor elk probleem is er een oplossing en voor elke oplossing is er een nieuw probleem. Op deze manier, door de hiërarchie van typen te beklimmen, komt men tot systemen die achtereenvolgens de consistentie-verklaringen afronden die zich onderweg voordoen.

De bovenstaande hiërarchie van typen kan worden herschikt in de uniforme setting van verzamelingenleer. De set-theoretische hiërarchie wordt inductief gedefinieerd door te beginnen met de lege set, de powerset te nemen in de opeenvolgende stadia α + 1 en de union te nemen op limietniveaus λ:

V ₀	= ∅
V _{α + 1}	= P (V _α)
V _λ	= ∪ _{α <λ} V _α

Het universum van verzamelingen V is de vereniging van al dergelijke stadia: V = ∪ _α∈On V _α, waarbij On de klasse van ordinalen is. Het eerste oneindige niveau V _ω bestaat uit alle erfelijk eindige sets ^[3] en dit niveau voldoet aan ZFC-Infinity. De sets op dit niveau kunnen worden gecodeerd door natuurlijke getallen en op deze manier kan worden aangetoond dat PA en ZFC-Infinity onderling interpreteerbaar zijn. ^[4] Het tweede oneindige niveau V _{ω + 1} is in wezen P (ℕ) (of equivalent ℝ) en dit niveau voldoet aan (een theorie die onderling interpreteerbaar is met) PA ₂. Het derde oneindige niveau V _{ω + 2}is in wezen P (P (ℕ)) (of equivalent als de verzameling functies van reële getallen) en dit niveau voldoet (een theorie die onderling interpreteerbaar is met) PA ₃. De eerste drie oneindige niveaus omvatten dus rekenkunde, analyse en functionele analyse en daarmee de meeste standaardwiskunde. Op deze manier omvat de hiërarchie van verzamelingen en bijbehorende verzamelingen-theoretische systemen de objecten en systemen van de standaardwiskunde.

Mocht het zo zijn dat de consistentiezinnen (en de andere verwante zinnen die Gödel in 1931 ontdekte) de enige gevallen waren van onbeslisbare verklaringen, dan zou de opeenvolging van systemen in de bovenstaande hiërarchie elk probleem dat zich voordoet, opvangen.. En hoewel we nooit een enkel systeem zouden hebben dat ons een volledige axiomatisering van de wiskundige waarheid zou geven, zouden we een reeks systemen hebben die gezamenlijk de totaliteit van de wiskundige waarheden bestreken.

Helaas was het niet zo eenvoudig. Het probleem is dat wanneer men op deze manier de hiërarchie van verzamelingen beklimt, de grotere expressieve middelen die beschikbaar komen, leiden tot meer hardnekkige gevallen van onbeslisbare zinnen en dit geldt al voor het tweede en derde oneindige niveau. Zo kan men op het tweede oneindige niveau de stelling PM formuleren (dat alle projectieve verzamelingen Lebesgue-meetbaar zijn) en op het derde oneindige niveau CH (de continuümhypothese van Cantor). ^[5] Deze verklaringen werden intensief onderzocht tijdens het vroege tijdperk van de verzamelingenleer, maar er werd weinig vooruitgang geboekt. De verklaring werd uiteindelijk gegeven door de daaropvolgende onafhankelijkheidstechnieken van Gödel en Cohen.

Gödel vond (in 1938) de methode van binnenmodellen uit door het minimale binnenmodel L te definiëren. Dit model is gedefinieerd zoals V is gedefinieerd, behalve dat in opeenvolgende stadia in plaats van de volledige powerset van de vorige fase te nemen, men de definieerbare powerset van de vorige fase neemt, waarbij voor een gegeven set X de definieerbare powerset Def (X) van X is de set van alle subsets van X die definieerbaar zijn over X met parameters van X:

L ₀	= ∅
L _{α + 1}	= Def (L _α)
L _λ	= ∪ _{α <λ} L _α

Het binnenste model L is de vereniging van al dergelijke stadia: L = ∪ _α∈On L _α. Gödel toonde aan dat L samen met CH voldoet aan (willekeurig grote fragmenten van) ZFC. Hieruit volgt dat ZFC CH niet kan weerleggen. Cohen vulde dit resultaat aan door (in 1963) de methode van forceren (of buitenmodellen) uit te vinden. Gegeven een complete Boolean algebra B hij een model V gedefinieerd ^B en toonde aan dat ¬CH houdt in V ^B. ^[6] Dit had tot gevolg dat ZFC CH niet kon bewijzen. Deze resultaten lieten dus samen zien dat CH onafhankelijk is van ZFC. Soortgelijke resultaten gelden voor PM en tal van andere vragen in de verzamelingenleer.

Deze gevallen van onafhankelijkheid zijn onhandelbaarder omdat geen eenvoudige iteratie van de hiërarchie van typen tot hun oplossing leidt. Ze leidden tot een diepere zoektocht naar nieuwe axioma's.

Gödel zette opnieuw de eerste stappen in de zoektocht naar nieuwe axioma's. In 1946 stelde hij als nieuwe axioma's grote kardinale axioma's voor - axioma's van oneindigheid die beweren dat er zeer hoge niveaus van de hiërarchie van typen zijn - en hij ging zelfs zover dat hij een algemene volledigheidsstelling voor dergelijke axioma's koesterde, volgens welke alle verklaringen van verzamelingenleer zou kunnen worden vastgesteld door dergelijke axioma's (Gödel 1946, 151).

Het doel van de rest van dit artikel is het beschrijven van de aard van onafhankelijkheid (samen met de hiërarchie van interpreteerbaarheid) en het verband tussen onafhankelijkheid en grote kardinale axioma's.

Verder lezen: Voor meer informatie over de onvolledigheidsstellingen, zie Smoryński (1977), Buss (1998a) en Lindström (2003). Zie Jech (2003) en Kunen (1980) voor meer informatie over de onafhankelijkheidstechnieken in de verzamelingenleer.

2. De interpreteerbaarheidshiërarchie

Ons doel is om de ruimte van wiskundige theorieën te onderzoeken (opgevat als recursief opsommen axioma-systemen). De ordening op de ruimte van dergelijke theorieën die we zullen beschouwen, is die van interpreteerbaarheid. Het informele begrip interpreteerbaarheid is alomtegenwoordig in de wiskunde; Poincaré gaf bijvoorbeeld een interpretatie van tweedimensionale hyperbolische meetkunde in de euclidische meetkunde van de eenheidscirkel; Dedekind gaf een interpretatie van analyse in verzamelingenleer; en Gödel gaf een interpretatie van de theorie van de formele syntaxis in rekenen.

We zullen een precieze formele regimentering van dit informele idee gebruiken. Laten T ₁ en T ₂ recursief opsommen axioma-systemen zijn. We zeggen dat T ₁ interpreteerbaar is in T ₂ (T ₁ ≤ T ₂) wanneer er ruwweg een vertaling τ is van de taal van T ₁ naar de taal van T ₂ zodat, voor elke zin φ van de taal van T ₁, als T ₁ ⊢φ dan T ₂ ⊢τ (φ). ^[7] We schrijven T ₁ <T ₂ wanneer T ₁ ≤ T ₂ en T ₂≰ T ₁ en we schrijven T ₁ ≡ T ₂ wanneer zowel T ₁ ≤ T ₂ als T ₂ ≤ T ₁. In het laatste geval zouden T ₁ en T ₂ wederzijds interpreteerbaar zijn. De equivalentieklasse van alle theorieën die onderling interpreteerbaar zijn met T wordt de interpreteerbaarheid van T genoemd.

Voor het gemak van de uiteenzetting zullen we drie vereenvoudigende aannames doen met betrekking tot de theorieën die worden besproken. Ten eerste gaan we ervan uit dat al onze theorieën in de taal van de verzamelingenleer zijn ondergebracht. Er is geen verlies van algemeenheid in deze veronderstelling, aangezien elke theorie onderling interpreteerbaar is met een theorie in deze taal. Zoals eerder opgemerkt, zijn PA en ZFC-Infinity onderling interpreteerbaar. Ten tweede gaan we ervan uit dat al onze theorieën ZFC-Infinity bevatten. Ten derde gaan we ervan uit dat al onze theorieën Σ01-correct zijn.

De interpreteerbaarheidshiërarchie is de verzameling van alle theorieën (die voldoen aan onze drie vereenvoudigende aannames) geordend onder de relatie ≤. We gaan nu over tot een bespreking van de structuur van deze hiërarchie.

Om te beginnen is er een nuttige karakterisering van de relatie ≤. Laten we schrijven T ₁ ⊆ _Π01 T ₂ om aan te geven dat elke Π01-statement bewijsbaar in T ₁ is ook bewijsbaar in T ₂. Een centraal resultaat in de theorie van interpreteerbaarheid is dat (afgezien van onze vereenvoudigende veronderstellingen) T ₁ ≤ T ₂ iff T ₁ ⊆ _Π01 T ₂. Uit deze karakterisering en de tweede onvolledigheidsstelling volgt dat voor elke theorie T de theorie T + Con (T) strikt sterker is dan T, dat wil zeggen T <T + Con (T). Bovendien volgt uit de rekenkundige volledigheidsstelling dat de theorie T + ¬Con (T) interpreteerbaar is in T, vandaar T ≡ T + ¬Con (T).

In termen van interpreteerbaarheid zijn er drie mogelijke manieren waarop een uitspraak φ onafhankelijk kan zijn van een theorie T.

Enkele sprong. Slechts één van φ of ¬φ leidt tot een sprong in kracht, dat wil zeggen,

T + φ> T en T + ¬φ ≡ T

(of ook met φ en ¬φ verwisseld).
Geen sprong. Noch φ noch ¬φ leiden tot een sprong in kracht, dat wil zeggen,

T + φ ≡ T en T + ¬φ ≡ T.
Dubbele sprong. Zowel φ als ¬φ leiden tot een sprong in kracht, dat wil zeggen,

T + φ> T en T + ¬φ> T.

Het blijkt dat elk van deze mogelijkheden is gerealiseerd. Voor het eerste volstaat het om de Π01-zin Con (T) te nemen. Voor de tweede is het gemakkelijk te zien dat er geen voorbeeld is dat Π01 is; de eenvoudigste mogelijke complexiteit van een dergelijke zin is Δ02 en het blijkt dat er zulke voorbeelden zijn; voorbeelden van dit type onafhankelijkheid worden Orey-zinnen genoemd. Voor de derde vorm van onafhankelijkheid zijn er Π01 gevallen. (Dit is een uitvloeisel van Lemma 14 op pagina's 128–129 van Lindström (2003).)

Dit zijn allemaal metamathematische voorbeelden, het soort voorbeeld dat alleen een logicus zou construeren. Het is normaal om te vragen of er "natuurlijke" voorbeelden zijn, ongeveer het soort voorbeeld dat voorkomt in de normale wiskunde. In het set-theoretische geval zijn dergelijke voorbeelden overvloedig aanwezig in de eerste twee gevallen. PM is bijvoorbeeld een voorbeeld van de eerste vorm van onafhankelijkheid en CH is een voorbeeld van de tweede vorm van onafhankelijkheid. Er zijn geen 'natuurlijke' voorbeelden bekend van de derde vorm van onafhankelijkheid. In het rekenkundige geval zijn dergelijke voorbeelden zeldzaam. Er zijn voorbeelden van het eerste soort onafhankelijkheid (waarvan de bekendste een klassiek voorbeeld is dankzij Parijs en Harrington), maar geen van het tweede of derde type onafhankelijkheid.

Merk op dat in het geval van het derde voorbeeld de twee bovenstaande theorieën T onvergelijkbaar zijn in de interpreteerbaarheid. Om een paar van dergelijke Π01-uitspraken te construeren, gebruikt men een wederzijdse vorm van het diagonale lemma om twee Π01-uitspraken te maken die naar elkaar verwijzen. Het gebruik van dergelijke technieken kan aantonen dat de volgorde van interpreteerbaarheid vrij complex is. Bijvoorbeeld, voor twee theorieën T ₁ en T ₂ zodanig dat T ₁ <T ₂ is een derde theorie T zodanig dat T ₁ <T <T ₂. De volgorde van de graden van interpreteerbaarheid is dus niet lineair geordend noch gegrond. (Zie Feferman (1960).)

Opvallend is dat wanneer men zich beperkt tot die theorieën die 'in de natuur ontstaan', de volgorde van interpreteerbaarheid vrij eenvoudig is: er zijn geen dalende ketens en er zijn geen onvergelijkbare elementen - de interpreteerbaarheid van theorieën die 'in de natuur ontstaan' is een goed bestellen. Hoewel er in het bijzonder natuurlijke voorbeelden zijn van de eerste en tweede vorm van onafhankelijkheid (bijv. Respectievelijk PM en CH, waarnaar we hierna zullen terugkeren), zijn er geen bekende natuurlijke voorbeelden van de derde vorm van onafhankelijkheid.

Dus voor theorieën die "in de natuur ontstaan" hebben we een goed geordende hiërarchie onder de interpreteerbaarheid. Aan de basis van de ordening staat de graad die wordt vertegenwoordigd door onze minimale theorie ZFC-Infinity en er is maar één manier om door te gaan, namelijk opwaarts in termen van kracht.

We hebben al een manier gezien om de hiërarchie van de graden van interpreteerbaarheid te beklimmen, namelijk door consistentie-uitspraken toe te voegen. Deze benadering heeft twee nadelen. Ten eerste, als men begint met een theorie die "ontstaat in de natuur" en de consistentie-verklaring toevoegt, komt men terecht in een graad die geen bekende vertegenwoordiger heeft die "ontstaat in de natuur". Ten tweede gaat de consistentie-instructie niet ver in de hiërarchie. Beide nadelen worden verholpen door een zeer natuurlijke klasse van axioma's - de grote hoofd axioma's.

Verder lezen: Voor meer informatie over de structuur van de interpreteerbaarheidshiërarchie, zie hoofdstuk 6–8 van Lindström (2003).

3. Grote kardinale axioma's

Laat Z ₀ de theorie ZFC-Infinity-Replacement zijn. (Deze theorie is logisch equivalent aan onze basistheorie ZFC-Infinity.) We zullen Z ₀ achtereenvolgens versterken door reflectief axioma's toe te voegen die beweren dat bepaalde niveaus van het universum van verzamelingen bestaan.

Het standaardmodel van Z ₀ is V _ω. De Axiom of Infinity (in één formulering) stelt eenvoudig dat deze set bestaat. Dus als we de Axiom of Infinity toevoegen, bewijst de resulterende theorie Z ₁ (bekend als Zermelo verzamelingenleer met Choice) niet alleen de consistentie van Z ₀; het bewijst dat er een standaardmodel van Z _{0 is}. Nu is het standaardmodel van Z ₁ V _{ω + ω}. Het Axiom of Replacement houdt in dat deze set bestaat. Dus als we het Axiom of Replacement toevoegen, bewijst de resulterende theorie Z ₂ (bekend als ZFC) niet alleen de consistentie van Z ₁; het bewijst dat er een standaardmodel van Z _{1 is}.

Een standaardmodel van Z ₂ heeft de vorm V _κ waarbij κ een gewone kardinaal is, zodat voor alle α <κ, 2 ^α <κ. Zo'n kardinaal wordt een (sterk) ontoegankelijke kardinaal genoemd. Het volgende axioma in de beschouwde hiërarchie is de bewering dat zo'n kardinaal bestaat. De resulterende theorie ZFC + "Er is een sterk ontoegankelijke kardinaal" bewijst dat er een niveau van het universum is dat voldoet aan ZFC. Als je op deze manier doorgaat, kom je tot steeds sterkere axioma's die het bestaan van steeds grotere niveaus van het universum van decors bevestigen. Voordat we verder gaan met een overzicht van dergelijke axioma's, laten we eerst de verbinding leggen met de hiërarchie van interpreteerbaarheid.

Denk aan onze classificatie van de drie soorten onafhankelijkheid. We merkten op dat er geen natuurlijke voorbeelden bekend zijn van het derde type onafhankelijkheid, maar dat er natuurlijke voorbeelden zijn van het eerste en tweede type onafhankelijkheid.

Natuurlijke voorbeelden van het tweede soort onafhankelijkheid worden verschaft door de dubbele methode van binnen- en buitenmodellen. Deze methoden laten bijvoorbeeld zien dat de theorieën ZFC + CH en ZFC + ¬CH onderling interpreteerbaar zijn met ZFC, dat wil zeggen dat alle drie theorieën in dezelfde mate liggen. Met andere woorden, CH is een Orey-zin met betrekking tot ZFC. Hoe zit het met die andere zin die we hebben geïntroduceerd: PM?

Met behulp van de methode van innerlijke modellen liet Gödel zien dat ¬PM geldt in L. Hieruit volgt dat ZFC + ¬PM wederzijds interpreteerbaar is met ZFC. Maar hoe zit het met PM? Om te laten zien dat ZFC + PM wederzijds interpreteerbaar is met ZFC, zou het een natuurlijke benadering zijn om de benadering die wordt gebruikt voor CH te volgen en een buitenmodel van ZFC te bouwen dat voldoet aan PM. Het is echter bekend dat dit niet kan worden gedaan vanaf ZFC alleen. Want het blijkt (door Shelah (1984)) dat ZFC + PM de consistentie van ZFC impliceert en dit impliceert, volgens de tweede onvolledigheidsstelling, dat ZFC + PM niet interpreteerbaar is in ZFC. In zekere zin hebben we hier een geval van onafhankelijkheid van onafhankelijkheid. Meer bepaald, zelfs als we aannemen dat ZFC consistent is, kunnen we (in tegenstelling tot het geval van CH) niet bewijzen dat PM onafhankelijk is van ZFC. Om de onafhankelijkheid van PM van ZFC vast te stellen, moeten we uitgaan van de consistentie van een sterkere theorie, namelijk die van ZFC + "Er is een sterk ontoegankelijke kardinaal". Want het blijkt dat ZFC + PM niet ligt in de interpreteerbaarheid van ZFC maar in die van ZFC + “Er is een sterk ontoegankelijke kardinaal”. Samenvattend: terwijl CH een geval is van de tweede type-onafhankelijkheid, is PM een geval van de eerste type-onafhankelijkheid; het is vergelijkbaar met Con (ZFC) omdat het een zin φ is zodat slechts één van φ of ¬φ tot een sprong in kracht leidt, alleen nu zijn er twee verschillen; de sprong landt in een mate die veel sterker is en wordt weergegeven door een natuurlijke theorie. Want het blijkt dat ZFC + PM niet ligt in de interpreteerbaarheid van ZFC maar in die van ZFC + “Er is een sterk ontoegankelijke kardinaal”. Samenvattend: terwijl CH een geval is van de tweede type-onafhankelijkheid, is PM een geval van de eerste type-onafhankelijkheid; het is vergelijkbaar met Con (ZFC) omdat het een zin φ is zodat slechts één van φ of ¬φ tot een sprong in kracht leidt, alleen nu zijn er twee verschillen; de sprong landt in een mate die veel sterker is en wordt weergegeven door een natuurlijke theorie. Want het blijkt dat ZFC + PM niet ligt in de interpreteerbaarheid van ZFC maar in die van ZFC + “Er is een sterk ontoegankelijke kardinaal”. Samenvattend: terwijl CH een geval is van de tweede type-onafhankelijkheid, is PM een geval van de eerste type-onafhankelijkheid; het is vergelijkbaar met Con (ZFC) omdat het een zin φ is zodat slechts één van φ of ¬φ tot een sprong in kracht leidt, alleen nu zijn er twee verschillen; de sprong landt in een mate die veel sterker is en wordt weergegeven door een natuurlijke theorie.de sprong landt in een mate die veel sterker is en wordt weergegeven door een natuurlijke theorie.de sprong landt in een mate die veel sterker is en wordt weergegeven door een natuurlijke theorie.

Over het algemeen lijken de (bekende) zinnen van de verzamelingenleer op CH of PM. Sommige lijken op CH doordat zowel ZFC + φ als ZFC + ¬φ in de mate van ZFC liggen. Anderen zijn zoals PM in die zin dat een van ZFC + φ en ZFC + ¬φ in de mate van ZFC ligt, terwijl de andere in de mate van uitbreiding van ZFC ligt via een groot kardinaal axioma.

Laten we nu terugkeren naar ons overzicht van grote kardinale axioma's. Na sterk ontoegankelijke kardinalen zijn er Mahlo-kardinalen, onbeschrijfelijke kardinalen en onuitsprekelijke kardinalen. Al deze grote kardinale axioma's kunnen op een uniforme manier worden afgeleid met behulp van de traditionele verscheidenheid aan reflectieprincipes (zie Tait 2005), maar er zijn beperkingen in hoeverre deze verscheidenheid aan reflectieprincipes er een kan brengen. Want onder een zeer algemene karakterisering van dergelijke principes is bekend dat ze de Erdős-kardinaal κ (ω) niet kunnen opleveren. Zie Koellner (2009).

De tot dusver beschouwde grote kardinalen (inclusief κ (ω)) staan bekend als kleine grote kardinalen. Een grote kardinaal is klein als het bijbehorende grote kardinale axioma in Gödel's bouwbare universum L kan blijven, dat wil zeggen, als "V ⊨ κ is een φ-kardinaal" consistent is, dan is "L ⊨ κ een φ-kardinaal" consistent. Anders is de grote kardinaal groot.

Er is een eenvoudige sjabloon voor het formuleren van (grote) grote hoofd axioma's in termen van elementaire inbedding. In het algemeen beweert zo'n axioma dat er een transitieve klasse M en een niet-triviale elementaire inbedding is

j: V → M.

Zeggen dat de inbedding niet-triviaal is, wil alleen zeggen dat het niet de identiteit is, in welk geval er een minste ordinale moet worden verplaatst. Deze ordinaal wordt het kritieke punt van j genoemd en wordt crit (j) genoemd. Het kritieke punt is (meestal) de grote kardinaal die bij de inbedding hoort. Een kardinaal κ zou meetbaar zijn als het het kritieke punt is van een dergelijke inbedding. ^[8]

Het is gemakkelijk te zien dat voor een dergelijke inbedding V _{κ + 1} ⊆ M waarbij κ = crit (j). Deze mate van overeenstemming stelt iemand in staat om aan te tonen dat κ sterk ontoegankelijk is, Mahlo, onbeschrijfelijk, onuitsprekelijk, enz. Laten we om dit te illustreren aannemen dat we hebben aangetoond dat κ sterk ontoegankelijk is en laten we zien dat κ veel sterkere kardinale eigenschappen heeft. Omdat κ sterk ontoegankelijk is in V en aangezien (V _{κ + 1}) ^M = V _{κ + 1}M denkt ook dat κ sterk ontoegankelijk is. M denkt met name dat er onder j (κ) een sterk ontoegankelijke kardinaal (namelijk κ) is. Maar dan door de elementariteit van j, moet V hetzelfde denken aan het voorbeeld van j (κ), namelijk κ, dat wil zeggen, V moet denken dat er een sterk ontoegankelijke onder κ is. Dus κ kan niet de minst sterk ontoegankelijke kardinaal zijn. Als we op deze manier doorgaan, kan worden aangetoond dat er veel sterk ontoegankelijke onder κ zijn en in feite dat κ Mahlo is, onbeschrijfelijk, onuitsprekelijk, enz. Dus meetbare kardinalen nemen de kleine grote kardinalen onder.

Scott toonde zelfs aan dat (in tegenstelling tot de kleine grote kardinalen) meetbare kardinalen niet kunnen bestaan in het bouwbare universum van Gödel. Laten we hierover nauwkeurig zijn. Laat V = L de bewering zijn die stelt dat alle sets bouwbaar zijn. Dan voor elk klein groot kardinaal axioma φ (om precies te zijn die hierboven opgesomd) als de theorie ZFC + φ consistent is, dan is de theorie ZFC + φ + V = L dat ook. Daarentegen bewijst de theorie ZFC + "Er is een meetbare kardinaal" ¬ V = L. Dit lijkt misschien enigszins contra-intuïtief omdat L alle ordinalen bevat en dus als κ een meetbare kardinaal is, dan is κ een ordinale in L. Het punt is dat L niet kan erkennen dat κ een meetbare kardinaal is omdat het te "dun" is om het ultrafilter te bevatten dat getuigt van de meetbaarheid van κ.

Een manier om een groot kardinaal axioma te versterken op basis van de bovenstaande sjabloon, is om meer overeenstemming tussen M en V te eisen. Als men bijvoorbeeld eist dat V _{κ + 2} ⊆ M dan kan het feit dat κ meetbaar is (iets waar een subset van P (κ) getuige van is) door M worden herkend. En dus, door precies hetzelfde argument dat we hierboven hebben gebruikt, moet er een meetbare kardinaal onder κ zijn.

Dit leidt tot een progressie van steeds sterkere grote cardiale axioma's. Het zal nuttig zijn om enkele van de belangrijkste stapstenen in deze hiërarchie te bespreken.

Als κ een kardinaal is en η> κ een ordinale is, dan is κ η- sterk als er een transitieve klasse M is en een niet-triviale elementaire inbedding j: V → M zodat crit (j) = κ, j (κ) > η en V _η ⊆ M. Een kardinaal κ is sterk als het η-sterk is voor alle η> κ. Men kan ook eisen dat de inbedding bepaalde klassen behoudt: als A een klasse is, κ is een kardinaal en η> κ een ordinale is, dan is κ η- A - sterk als er aj: V → M is die getuigt dat κ is η-sterk en dat heeft als bijkomend kenmerk dat j (A ∩ V _κ) ∩ V _η = A ∩ V _η. Het volgende grote kardinale begrip speelt een centrale rol bij het zoeken naar nieuwe axioma's.

Definitie 3.1. Een kardinaal κ is een Woodin-kardinaal als κ sterk ontoegankelijk is en voor alle A ⊆ V _{κ is} er een kardinaal κ _A <κ zodat

κ _A is η- A -strong,

voor elke η zodanig dat κ _A <η <κ. ^[9]

Men kan sterkere kardinale axioma's verkrijgen door een verband te smeden tussen de inbedding j en de mate van gelijkenis tussen M en V. Een kardinaal κ is bijvoorbeeld supersterk als er een transitieve klasse M is en een niet-triviale elementaire inbedding j: V → M zodat crit (j) = κ en V _{j (κ)} ⊆ M. Als κ supersterk is, dan is κ een Woodin-kardinaal en er zijn willekeurig grote Woodin-kardinalen onder κ.

Men kan ook sterke grote kardinale axioma's verkrijgen door afsluitcondities op het doelmodel M te plaatsen. Bijvoorbeeld, γ ≥ κ een kardinaal κ laten is γ-supercompact als er een transitieve klasse M is en een niet-triviale elementaire inbedding j: V → M zodat crit (j) = κ en ^γ M ⊆ M, dat wil zeggen, M is gesloten onder γ-sequenties. (Het is eenvoudig om te zien dat als M gesloten is onder γ-sequenties, H (γ ⁺) ⊆ M; dus deze benadering gaat uit van de vorige benadering.) Een kardinaal κ is supercompact als het γ-supercompact is voor alle γ ≥ κ. Net als bij de vorige aanpak kunnen deze axioma's nu worden versterkt door een verband te leggen tussen de inbedding j en de sluitingsvoorwaarden op het doelmodel. Een kardinaal κ is n-enorm als er een transitieve klasse M is en een niet-triviale elementaire inbedding j: V → M zodat ^{j ⁿ (κ)} M ⊆ M, waarbij κ = crit (j) en j ^{i +1} (κ) is gedefinieerd als j (j ⁱ (κ)).

Men kan in deze geest doorgaan en een grotere overeenkomst tussen M en V eisen. Het ultieme axioma in deze richting zou natuurlijk eisen dat M = V. Dit axioma werd voorgesteld door Reinhardt en werd kort daarna door Kunen inconsequent (in ZFC) aangetoond. Kunen toonde zelfs aan dat, uitgaande van ZFC, er een transitieve klasse M kan zijn en een niet-triviale elementaire inbedding j: V → M zodat j '' λ ∈ M, waar λ = sup _{n <ω} j ⁿ (κ) en κ = crit (j). In het bijzonder kan er niet zo'n M en j bestaan dat V _{λ + 1} ⊆ M. Dit legde een limiet op de mate van sluiting van het doelmodel (in relatie tot de inbedding). ^[10]

Desalniettemin is er veel ruimte onder de bovenstaande bovengrens. Een zeer sterk axioma is bijvoorbeeld de stelling dat er een niet-triviale elementaire inbedding is j: V _{λ + 1} → V _{λ + 1}. Het sterkste grote kardinale axioma in de huidige literatuur is het axioma dat beweert dat er een niet-triviale elementaire inbedding is j: L (V _{λ + 1}) → L (V _{λ + 1}) zodat crit (j) <λ. In recent werk heeft Woodin axioma's ontdekt die veel sterker zijn dan dit.

Verder lezen: Zie Kanamori (2003) voor meer informatie over grote kardinale axioma's.

4. Grote kardinale axioma's en de interpreteerbaarheidshiërarchie

De hierboven besproken grote kardinale axioma's zijn van nature goed geordend in termen van sterkte. ^[11] Dit biedt een natuurlijke manier om de hiërarchie van interpreteerbaarheid te beklimmen. Aan de basis beginnen we met de theorie ZFC-Infinity en klimmen we vervolgens naar ZFC en omhoog door ZFC + Φ voor verschillende grote kardinale axioma's Φ. Merk op dat voor twee grote kardinale axioma's Φ en Ψ, als Ψ sterker is dan Ψ, Ψ impliceert dat er een standaardmodel is van Φ en dat we dus een natuurlijke interpretatie hebben van ZFC + Φ in ZFC + Ψ.

We hebben al opgemerkt dat ZFC + ¬PM wederzijds interpreteerbaar is met ZFC + LC waarbij LC het grote kardinale axioma is "Er is een sterk ontoegankelijke kardinaal" en dat dit wordt aangetoond met behulp van de dubbele technieken van de innerlijke en uiterlijke modeltheorie. Het is een opmerkelijk empirisch feit dat voor elke "natuurlijke" verklaring in de taal van de verzamelingenleer φ men in het algemeen een groot kardinaal axioma Φ kan vinden, zodat ZFC + φ en ZFC + Φ wederzijds interpreteerbaar zijn. Nogmaals, dit wordt vastgesteld met behulp van de dubbele technieken van de binnen- en buitenmodeltheorie, maar nu komen grote kardinalen in de mix. Om vast te stellen dat ZFC + Φ ZFC + φ interpreteert, begint men over het algemeen met een model van ZFC + Φ en gebruikt dwingen om een model van ZFC + φ te construeren. In veel gevallen omvat de dwingende constructie het "instorten" van de grote kardinaal geassocieerd met Φ en het zo inrichten van de instorting dat φ in het "puin" blijft. In de andere richting begint men over het algemeen met een model van ZFC + φ en construeert vervolgens een innerlijk model (een model dat lijkt op L maar in staat is om grote kardinaal axioma's te huisvesten) dat de grote kardinaal bevat waarvan wordt beweerd dat hij bestaat door Φ. De tak van de verzamelingenleer die bekend staat als de innerlijke-modeltheorie is gewijd aan de constructie van dergelijke "L-achtige" modellen voor sterkere en sterkere kardinale axioma's. De tak van de verzamelingenleer die bekend staat als de innerlijke-modeltheorie is gewijd aan de constructie van dergelijke "L-achtige" modellen voor sterkere en sterkere kardinale axioma's. De tak van de verzamelingenleer die bekend staat als de innerlijke-modeltheorie is gewijd aan de constructie van dergelijke "L-achtige" modellen voor sterkere en sterkere kardinale axioma's.

Op deze manier vormen de theorieën van de vorm ZFC + LC, waarbij LC een groot hoofd axioma is, een maatstaf voor het meten van de kracht van theorieën. Ze fungeren ook als tussenpersonen voor het vergelijken van theorieën uit conceptueel verschillende domeinen: gezien ZFC + φ en ZFC + ψ vindt men grote kardinale axioma's Φ en Ψ zodanig dat (met behulp van de methoden van binnen- en buitenmodellen) ZFC + φ en ZFC + Φ onderling zijn interpreteerbaar en ZFC + ψ en ZFC + Ψ zijn onderling interpreteerbaar. Vervolgens vergelijkt men ZFC + φ en ZFC + ψ (in termen van interpreteerbaarheid) door te bemiddelen via de natuurlijke interpreteerbaarheidrelatie tussen ZFC + Φ en ZFC + Ψ. Zo grote kardinale axioma's (in combinatie met de dubbele methode van binnen- en buitenmodellen) vormen de kern van het opmerkelijke empirische feit dat natuurlijke theorieën uit volledig verschillende domeinen kunnen worden vergeleken in termen van interpreteerbaarheid.

5. Enkele filosofische overwegingen

De belangrijkste vraag die zich voordoet in het licht van de onafhankelijkheidsresultaten is of men nieuwe axioma's kan rechtvaardigen die de uitspraken die door de standaard axioma's zijn afgehandeld, regelen. Er zijn twee weergaven. Op het eerste gezicht wordt het antwoord als negatief beschouwd en men omarmt een radicale vorm van pluralisme waarin men een overvloed aan even legitieme uitbreidingen van de standaard axioma's heeft. In het tweede opzicht wordt het antwoord (althans gedeeltelijk) als bevestigend beschouwd, en de resultaten geven eenvoudig aan dat ZFC te zwak is om de wiskundige waarheden vast te leggen. Dit onderwerp is behoorlijk betrokken en valt buiten het bestek van dit artikel.

Maar er zijn andere filosofische vragen die directer verband houden met de thema's van dit artikel. Ten eerste: wat is de betekenis van het empirische feit dat de grote kardinale axioma's goed geordend lijken onder interpreteerbaarheid? Ten tweede, wat is de betekenis van het empirische feit dat grote kardinale axioma's een centrale rol spelen bij het vergelijken van veel theorieën uit conceptueel verschillende domeinen? Laten we deze twee vragen achtereenvolgens bekijken.

Men zou kunnen beweren dat het feit dat de grote kardinale axioma's goed geordend zijn onder interpreteerbaarheid een overweging in hun voordeel is. Dit zou echter een zwak argument zijn. Want, zoals we hierboven hebben opgemerkt, lijken alle 'natuurlijke' theorieën goed geordend onder interpreteerbaarheid en dit omvat theorieën die niet compatibel zijn met elkaar. Het is bijvoorbeeld eenvoudig om 'natuurlijke' theorieën te selecteren uit hogere en hogere graden van theorieën in de goed geordende volgorde die niet compatibel zijn met elkaar. Hieruit volgt dat het kenmerk van een goede ordening onder interpreteerbaarheid, hoewel opmerkelijk, geen punt voor de waarheid kan zijn.

Maar grote kardinale axioma's hebben extra kenmerken die hen onderscheiden van de klasse van natuurlijke theorieën in de overzichtelijke volgorde van graden. Om te beginnen bieden ze de meest natuurlijke manier om de hiërarchie van interpreteerbaarheid te beklimmen - ze zijn de eenvoudigste en meest natuurlijke manifestatie van pure wiskundige kracht. Maar belangrijker is het tweede hierboven genoemde onderdeel, namelijk de grote kardinale axioma's fungeren als tussenpersonen bij het vergelijken van theorieën uit conceptueel verschillende domeinen. Om te onthouden hoe dit werkt: gezien ZFC + φ en ZFC + ψ vindt men grote kardinale axioma's Φ en Ψ zodat (met behulp van de methoden van binnen- en buitenmodellen) ZFC + φ en ZFC + Φ wederzijds interpreteerbaar zijn en ZFC + ψ en ZFC + Ψ zijn onderling interpreteerbaar. Vervolgens vergelijkt men ZFC + φ en ZFC + ψ (in termen van interpreteerbaarheid) door te bemiddelen via de natuurlijke interpreteerbaarheidrelatie tussen ZFC + Φ en ZFC + Ψ.

Het blijkt dat in veel gevallen dit de enige bekende manier is om ZFC + φ en ZFC + ψ te vergelijken, dat wil zeggen dat er in veel gevallen geen directe interpretatie in beide richtingen is, maar dat men door de grote kardinale axioma's moet gaan. Kan deze extra functie worden gebruikt om een pleidooi te houden voor grote kardinaal axioma's? Het antwoord is onduidelijk. Wat wel duidelijk is, is de absolute centraliteit van grote kardinale axioma's in de verzamelingenleer.

Bibliografie

Ackermann, Wilhelm, 1937, 'Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre', Mathematische Annalen, 114: 305–315.
Barwise, Jon K., 1977, Handbook of Mathematical Logic (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics: 90), Amsterdam: Noord-Holland.
Buss, Samuel R., 1998a, "First-Order Proof Theory of Arithmetic", in Buss 1998b, 79–147.
–––, 1998b, Handbook of Proof Theory (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics: 137), Amsterdam: Noord-Holland.
Feferman, Solomon, 1960, "Arithmetization of metamathematics in a general setting", Fundamenta Mathematicae, 49: 35–92.
Foreman, Matthew en Kanamori, Akihiro, 2009, Handbook of Set Theory, Berlin: Springer-Verlag.
Gödel, Kurt, 1946, 'Opmerkingen voor de tweehonderdste conferentie van Princeton over wiskundige problemen', in Gödel 1990, 150–153.
–––, 1986, Collected Works I: Publications 1929–1936, S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay en J. van Heijenoort (red.), Oxford: Oxford University Press.
–––, 1990, Collected Works II: Publications 1938–1974, S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay en J. van Heijenoort (red.), Oxford: Oxford University Press.
Jech, Thomas J., 2003, Set Theory (Third Millennium Edition, Revised and Expanded), Berlijn: Springer-Verlag.
Kanamori, Akihiro, 2003, The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings (Springer Monographs in Mathematics), 2e editie, Berlin: Springer.
Koellner, Peter, 2009, "On Reflection Principles", Annals of Pure and Applied Logic, 157: 206–219.
Kunen, Kenneth, 1980, Verzamelingenleer: An Introduction to Independence Proofs (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics: 102), Amsterdam: North-Holland.
Lindström, Per, 2003, Aspects of Incompleteness (Lecture Notes in Logic: 10), 2e editie, CITY: Association of Symbolic Logic.
Shelah, Saharon, 1984, "Kun je Solovay's ontoegankelijke wegnemen?", Israel Journal of Mathematics, 48 (1): 1–47.
Smoryński, Craig A., 1977, 'The Incompleteness Theorems', in Barwise 1977, 821–865.
Tait, William W., 2005a, 'Kardinalen van onderaf construeren', in Tait 2005b, 133-154.
–––, 2005b, The Provenance of Pure Reason: Essays in the Philosophy of Mathematics and Its History, Oxford: Oxford University Press.

Academische hulpmiddelen

sep man pictogram	Hoe deze vermelding te citeren.
sep man pictogram	Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
inpho icoon	Zoek dit itemonderwerp op bij het Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papieren pictogram	Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.