Temporal Logic

2023 Auteur: Noah Black | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-11-26 16:11

Dit is een bestand in de archieven van de Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Temporal Logic

Voor het eerst gepubliceerd op 29 november 1999; inhoudelijke herziening do 7 feb. 2008

De term Temporal Logic wordt algemeen gebruikt om alle benaderingen van de representatie van temporele informatie binnen een logisch kader te omvatten, en ook om meer specifiek te verwijzen naar het modaal-logische type benadering dat rond 1960 door Arthur Prior werd geïntroduceerd onder de naam Tense Logic en vervolgens verder ontwikkeld door logici en informatici.

Toepassingen van tijdelijke logica omvatten het gebruik ervan als een formalisme voor het verduidelijken van filosofische vraagstukken over tijd, als een kader waarbinnen de semantiek van tijdelijke uitdrukkingen in natuurlijke taal kan worden gedefinieerd, als een taal voor het coderen van tijdelijke kennis in kunstmatige intelligentie, en als een hulpmiddel voor het hanteren de temporele aspecten van de uitvoering van computerprogramma's.

• 1. Modaal-logische benaderingen van temporele logica
• 2. Predicaat-logische benaderingen van temporele logica
• 3. Filosofische kwesties
• 4. Toepassingen
• Bibliografie
• Andere internetbronnen
• Gerelateerde vermeldingen

1. Modaal-logische benaderingen van temporele logica

1.1 Gespannen logica

Tense Logic werd geïntroduceerd door Arthur Prior (1957, 1967, 1969) als gevolg van interesse in de relatie tussen tijd en modaliteit toegeschreven aan de Megarische filosoof Diodorus Cronus (ca. 340-280 vGT). Voor de historische context voorafgaand aan de introductie van Tense Logic, evenals de daaropvolgende ontwikkelingen, zie Øhrstrøm en Hasle, 1995.

De logische taal van Tense Logic bevat, naast de gebruikelijke waarheidsfunctionele operatoren, vier modale operatoren met de volgende betekenis:

P	"Het is ooit voorgekomen dat …"
F	"Het zal op een gegeven moment zo zijn dat …"
H	"Het is altijd zo geweest dat …"
G	"Het zal altijd zo zijn dat …"

P en F staan bekend als de zwakke gespannen operatoren, terwijl H en G bekend staan als de sterke gespannen operatoren. De twee paren worden over het algemeen beschouwd als interdefinieerbaar door de gelijkwaardigheid

P p	≡	¬ H ¬ p
F p	≡	¬ G ¬ p

Op basis van deze bedoelde betekenissen gebruikte Prior de operatoren om formules te bouwen die verschillende filosofische stellingen over tijd uitdrukken, die desgewenst als axioma's van een formeel systeem kunnen worden beschouwd. Enkele voorbeelden van dergelijke formules, met Prior's eigen glossen (uit Prior 1967), zijn:

G p → F p	"Wat altijd zal zijn, zal zijn"
G (p → q) → (G p → G q)	"Als p altijd q betekent, dan zal p altijd het geval zijn, dus q"
F p → FF p	"Als het zo is dat p, dan is het - tussendoor - dat het zal zijn"
¬ F p → F ¬ F p	"Als het nooit die p zal zijn, dan zal het zijn dat het nooit die p zal zijn"

Prior (1967) rapporteert over het uitgebreide vroege werk aan verschillende systemen van Tense Logic, verkregen door verschillende combinaties van axioma's te postuleren, en in het bijzonder overwoog hij in detail welk licht een logische behandeling van tijd kan werpen op klassieke problemen met betrekking tot tijd, noodzaak en bestaan; bijvoorbeeld "deterministische" argumenten die door de eeuwen heen naar voren zijn gebracht in de zin dat "wat zal zijn, zal noodzakelijkerwijs zijn", overeenkomend met de modale gespannen-logische formule F p → □ F p.

Van bijzonder belang is het systeem van Minimal Tense Logic K _t, dat wordt gegenereerd door de vier axioma's

p → HF p	"Wat is, zal altijd zijn"
p → huisarts p	"Wat is, zal altijd zijn geweest"
H (p → q) → (H p → H q)	"Wat altijd is gevolgd uit wat altijd is geweest, is altijd geweest"
G (p → q) → (G p → G q)	"Wat altijd zal volgen uit wat altijd zal zijn, zal altijd zijn"

samen met de twee regels van tijdelijke gevolgtrekking:

RH:	Leid uit een bewijs van p een bewijs af van H p
RG:	Leid uit een bewijs van p een bewijs af van G p

en natuurlijk alle regels van de gewone Propositionele Logica. De stellingen van K _t express, in essentie, die eigenschappen van de gespannen operators die niet afhankelijk zijn van een bepaalde veronderstellingen over de tijdelijke orde. Deze karakterisering wordt hieronder nauwkeuriger gemaakt.

Tense Logic wordt verkregen door de gespannen operators toe te voegen aan een bestaande logica; daarboven werd stilzwijgend aangenomen dat het de klassieke Propositionele Calculus was. Andere spanningslogische systemen worden verkregen door verschillende logische grondslagen te nemen. Van groot belang is de gespannen predikaatlogica, waarbij de gespannen operatoren worden opgeteld bij de klassieke predicaatcalculus van de eerste orde. Dit stelt ons in staat om belangrijke onderscheidingen uit te drukken over de logica van tijd en bestaan. Zo kan de uitspraak Een filosoof een koning zijn, op verschillende manieren worden geïnterpreteerd, zoals

∃ x (Filosoof (x) & F King (x))	Iemand die nu filosoof is, zal in de toekomst koning worden
∃ x F (filosoof (x) & koning (x))	Er bestaat nu iemand die in de toekomst zowel filosoof als koning zal zijn
F ∃ x (Filosoof (x) & F King (x))	Er zal iemand zijn die filosoof is en later koning
F ∃ x (Filosoof (x) & King (x))	Er zal iemand zijn die tegelijkertijd zowel filosoof als koning is

De interpretatie van dergelijke formules is echter niet probleemloos. Het probleem betreft het kwantificatiedomein. Om de tweede twee formules hierboven de interpretaties te laten geven, is het noodzakelijk dat het kwantificatiedomein altijd relatief is aan een tijd: in de semantiek zal het dus nodig zijn om voor elke keer een kwantificatiedomein D (t) in te voeren t. Maar dit kan tot problemen leiden als we relaties willen leggen tussen objecten die op verschillende tijdstippen bestaan, zoals bijvoorbeeld in de stelling 'Een van mijn vrienden stamt af van een volgeling van Willem de Veroveraar'.

Deze problemen houden verband met de zogenaamde Barcan-formules van modale logica, waarvan een temporeel analoog is

F ∃ xp (x) → ∃ x F p (x) ("Als er iets is dat p is, dan is er nu iets dat p zal zijn")

Deze formule kan alleen gegarandeerd waar zijn als er een constant domein is dat geldt voor alle tijdstippen; onder deze veronderstelling zal het naakte bestaan (zoals uitgedrukt door de existentiële kwantificator) moeten worden aangevuld met een tijdelijk beperkt bestaanspredikaat (dat kan worden gelezen als 'is aanwezig') om te verwijzen naar verschillende objecten die op verschillende tijden bestaan. Voor meer hierover en aanverwante zaken, zie van Benthem, 1995, Sectie 7.

1.2 Uitbreidingen voor Tense Logic

Al snel na de introductie werd de basissyntaxis van "PFGH" van Tense Logic op verschillende manieren uitgebreid en dergelijke uitbreidingen zijn tot op de dag van vandaag doorgegaan. Enkele belangrijke voorbeelden zijn:

De binaire temporele operatoren S en U ("sinds" en "tot"). Deze zijn geïntroduceerd door Kamp (1968). De bedoelde betekenissen zijn

S pq	"Q is waar sinds een tijd dat p waar was"
U pq	"Q zal waar zijn totdat p waar is"

Het is mogelijk om de one-place gespannen operators in termen van S en U als volgt te definiëren:

P p	≡	S p (p ∨¬ p)
F p	≡	U p (p ∨¬ p)

Het belang van de S- en U-operators is dat ze expressief compleet zijn met betrekking tot eerste-orde temporele eigenschappen op continue, strikt lineaire temporele ordes (wat niet geldt voor de één-plaats-operators alleen).

Metrische gespannen logica. Vooraf introduceerde de notatie Fnp om te betekenen "Het zal het geval zijn het interval n vandaar dat p". We hebben geen aparte notatie Pnp nodig omdat we F (- n) p kunnen schrijven voor "Het was het geval n interval dat P". De zaak n = 0 geeft ons de tegenwoordige tijd. We kunnen de algemene, niet-metrische operatoren definiëren door

P p	≡	∃ n (n <0 & F np)
F p	≡	∃ n (n> 0 & F np)
H p	≡	∀ n (n <0 → F np)
G p	≡	∀ n (n> 0 → F np)

De “volgende keer” operator O. Deze operator gaat ervan uit dat de tijdreeks bestaat uit een discrete opeenvolging van atoomtijden. Met de formule O p wordt dan bedoeld dat p waar is in de onmiddellijk volgende tijdsstap. Aangezien tijd discreet is, kan het worden gedefinieerd in termen van de "totdat" operator U door

O p ≡ U p (p & ¬ p)

wat zegt dat p op een bepaald moment in de toekomst waar zal zijn, waartussen en tot op heden niets waar is. Dit kan alleen de tijd betekenen die onmiddellijk volgt op het heden in een afzonderlijke temporele volgorde.

In discrete tijd is de toekomstbestendige operator F door de equivalentie gerelateerd aan de operator van de volgende keer

F p ≡ O p ∨ OF p.

F kan hier inderdaad worden gedefinieerd als het minst vaste punt van de transformatie dat een willekeurige propositionele operator X op de operator λ p afbeeldt. O p ∨ OX p.

Op dezelfde manier zou je een versie van O uit het verleden kunnen definiëren; maar aangezien het belangrijkste nut van deze specifieke operator was in verband met de logica van computerprogrammering, waar men vooral geïnteresseerd is in uitvoeringssequenties van programma's die zich in de toekomst uitstrekken, is dit niet zo vaak gedaan.

1.3 Semantiek van gespannen logica

De standaard model-theoretische semantiek van Tense Logic is nauw gemodelleerd naar die van Modal Logic. Een temporeel frame bestaat uit een set T van entiteiten genaamd tijden samen met een ordeningsrelatie <op T. Dit definieert de "stroom van tijd" waarover de betekenissen van de gespannen operatoren moeten worden gedefinieerd. Een interpretatie van de tijd-logische taal kent aan elke atoomformule op elk moment in het temporele frame een waarheidswaarde toe. Met een dergelijke interpretatie kunnen de betekenissen van de zwakke gespannen operators worden gedefinieerd met behulp van de regels

P p is waar op t	als en alleen als	p klopt op een gegeven moment t 'zodat t' <t
F p is waar op t	als en alleen als	p klopt op een gegeven moment t 'zodat t <t'

waaruit blijkt dat de betekenis van de sterke operatoren wordt gegeven door

H p is waar op t	als en alleen als	p is altijd waar t 'zodat t' <t
G p is waar op t	als en alleen als	p is altijd waar t 'zodat t <t'

We kunnen nu een nauwkeurige karakterisering van systeem K _t van Minimal Tense Logic bieden. De stellingen van K _t zijn precies die formules die te allen tijde waar zijn onder alle interpretaties over alle temporele kaders.

Er is gesuggereerd dat veel gespannen logische axioma's deze of gene eigenschap van de tijd weergeven en de semantiek geeft ons een precieze manier om deze overeenkomst tussen gespannen logische formules en eigenschappen van tijdelijke frames te definiëren. Een formule p zou een reeks frames F karakteriseren als

• p is te allen tijde waar onder alle interpretaties over elk frame in F.
• Voor elk frame dat niet in F staat, is er een interpretatie die p op een bepaald moment onwaar maakt.

Elke stelling van K _t kenmerkt dus de klasse van alle frames.

Een eerste-orde formule in <bepaalt een klasse van frames, namelijk die waarin de formule waar is. Een gespannen-logische formule p komt overeen met een eerste-orde formule q zolang p de klasse van frames kenmerkt waarvoor q waar is. Enkele bekende voorbeelden van dergelijke formulesparen zijn:

H p → P p	∀ t ∃ t '(t' <t)	(onbegrensd in het verleden)
G p → F p	∀ t ∃ t '(t <t')	(onbegrensd in de toekomst)
F p → FF p	∀ t, t '(t <t' → ∃ t ″ (t <t ″ <t '))	(dichte volgorde)
FF p → F p	∀ t, t '(∃ t ″ (t <t ″ <t') → t <t ')	(transitieve volgorde)
FPp → Pp∨ p ∨ F p	∀ t, t ', t ″ ((t <t ″ & t' <t ″) → (t <t '∨ t = t' ∨ t '<t))	(lineair in het verleden)
PFp → Pp∨ p ∨ F p	∀ t, t ', t ″ ((t ″ <t & t ″ <t') → (t <t '∨ t = t' ∨ t '<t))	(lineair in de toekomst)

Er zijn echter gespannen logische formules (zoals GF p → FG p) die niet overeenkomen met tijdelijke frame-eigenschappen van de eerste orde, en er zijn tijdelijke frame-eigenschappen van de eerste orde (zoals irreflexiviteit, uitgedrukt door ∀ t ¬ (t <t)) die niet overeenkomen met een gespannen logische formule. Zie voor details van Benthem (1983).

2. Predicaat-logische benaderingen van temporele logica

2.1 De methode van tijdelijke argumenten

In deze methode wordt de temporele dimensie vastgelegd door elke tijdvariabele propositie of predikaat uit te breiden met een extra argumentplaats, te vullen met een uitdrukking die een tijd aanduidt, zoals bijvoorbeeld

Dood (Brutus, Caesar, 44BCE).

Als we in de eerste-orde taal een binair infix-predikaat <introduceren dat de temporele ordeningsrelatie "eerder dan" aanduidt, en een constante "nu" die het huidige moment aangeeft, dan kunnen de gespannen operatoren gemakkelijk worden gesimuleerd door middel van de volgende correspondenties, die niet verrassend meer dan een voorbijgaande gelijkenis vertonen met de formele semantiek voor Tense Logic hierboven gegeven. Waar p (t) het resultaat is van het introduceren van een extra tijdelijke argumentplaats voor de tijdvariabele predikaten die voorkomen in p, hebben we:

P p	∃ t (t
F p	∃ t (nu <t & p (t))
H p	∀ t (t
G p	∀ t (nu <t → p (t))

Vóór de komst van Tense Logic was de methode van temporele argumenten de natuurlijke keuze van het formalisme voor de logische expressie van temporele informatie.

2.2 Hybride benaderingen

De reorganisatie van tijdsinstanties die wordt geïmpliceerd door de methode van temporele argumenten, kan als filosofisch verdacht worden beschouwd, aangezien het eerder kunstmatige constructen zijn die niet geschikt zijn om een fundamentele rol te spelen in het temporele discours. Op voorstel van Prior (1968, hoofdstuk XI) zou men een moment kunnen gelijkstellen aan 'de samenvoeging van al die stellingen die normaal gesproken op dat moment waar zouden zijn'. Instanties worden dus vervangen door stellingen die ze uniek kenmerken. Een verklaring met de vorm “Waar (p, t)”, die zegt dat propositie p waar is op moment t, kan dan worden geparafraseerd als “□ (t → p)”, dat wil zeggen, de instant-propositie t impliceert noodzakelijkerwijs p.

Dit soort manoeuvre ligt aan de basis van hybride temporele logica waarin het standaardapparaat van proposities en gespannen operators wordt aangevuld met proposities die waar zijn op unieke momenten, waardoor deze momenten effectief worden genoemd zonder een beroep te doen op filosofisch dubieuze reificatie. Dit kan een deel van de expressieve kracht van een predikaat-logische benadering geven, terwijl het modale karakter van de logica behouden blijft. (Zie Areces en Ten Cate, 2006)

2.3 Staats- en evenementtype reificatie

De methode van tijdelijke argumenten stuit op moeilijkheden als het gewenst is om aspectuele verschillen tussen bijvoorbeeld toestanden, gebeurtenissen en processen te modelleren. Stellingen die staten rapporteren (zoals "Mary is in slaap") hebben een homogene temporele incidentie, in die zin dat ze alle subintervallen van een interval waarin ze aanhouden, moeten aanhouden (bijvoorbeeld als Mary slaapt van 1 uur tot 6 uur dan ze slaapt van 1 uur tot 2 uur, van 2 uur tot 3 uur, enzovoort). Stellingen die gebeurtenissen rapporteren (zoals "John wandelt naar het station") hebben daarentegen een inhomogene temporele incidentie; meer precies, een dergelijke stelling is niet waar voor een juist subinterval van een interval waarvan het waar is (bv. als John over het interval van 1 uur tot kwart over één naar het station loopt,dan is het niet zo dat hij naar het station loopt over het interval van 1 uur tot vijf over één - in plaats daarvan loopt hij een deel van de weg naar het station).

Om dit soort onderscheidingen mogelijk te maken, werd de methode van staats- en evenementtype-reificatie geïntroduceerd. Het is een benadering die vooral populair is in kunstmatige intelligentie, waar het vooral wordt geassocieerd met de naam James Allen, wiens invloedrijke paper (Allen 1984) in dit verband vaak wordt aangehaald. In deze benadering worden status- en gebeurtenistypen aangeduid met termen in een eerste-orde theorie; hun tijdelijke incidentie wordt uitgedrukt met behulp van relationele predikaten "Holds" en "Occurs", zoals bijvoorbeeld

Houdt vast (In slaap (Mary), (13:00, 18:00))

Komt voor (Walk-to (John, Station), (13:00, 13:15))

waar termen van de vorm (t, t ') tijdsintervallen op de voor de hand liggende manier aanduiden.

De homogeniteit van staten en inhomogeniteit van gebeurtenissen wordt verzekerd door axioma's zoals

∀ s, i, i '(Holds (s, i) & In (i', i) → Holds (s, i '))

∀ e, i, i' (Komt voor (e, i) & In (i ', i) → ¬ Komt voor (e, i '))

waarbij "In" de juiste subintervalrelatie uitdrukt.

2.4 Herkenning van event-token

Donald Davidson (1967) stelde de methode voor reificatie van gebeurtenisfiches voor als een oplossing voor het zogenaamde "variabele polyadiciteit" -probleem. Het probleem is om een formele verklaring te geven van de geldigheid van dergelijke gevolgtrekkingen als

John zag Mary dinsdag in Londen.

Daarom zag John dinsdag Maria.

Het belangrijkste idee is dat elk gebeurtenisvormend predikaat wordt voorzien van een extra argumentplaats die moet worden gevuld met een variabele die zich uitstrekt over gebeurtenisfiches, dat wil zeggen bepaalde gedateerde gebeurtenissen. De bovenstaande conclusie wordt dan in logische vorm gegoten als

∃ e (Zie (John, Mary, e) & Place (e, London) & Time (e, Tuesday)),

Daarom ∃ e (Zie (John, Mary, e) & Time (e, Tuesday)).

In deze vorm vereist de gevolgtrekking geen extra logisch apparaat bovenop de standaard predikaatlogica van de eerste orde; op basis daarvan wordt de geldigheid van de gevolgtrekking geacht te zijn verklaard. Deze benadering is ook gebruikt in een computationele context in de Event Calculus van Kowalski en Sergot (1986).

3. Filosofische kwesties

Prior's motivatie om Tense Logic uit te vinden was grotendeels filosofisch, zijn idee was dat de precisie en helderheid die een formele logische notatie biedt onmisbaar was voor de zorgvuldige formulering en oplossing van filosofische vraagstukken met betrekking tot tijd. Zie het artikel over Arthur Prior voor een bespreking van enkele hiervan.

3.1 Realistische versus reductionistische benaderingen van de tijd

De rivaliteit tussen de modale en eerste-orde benaderingen om de logica van tijd te formaliseren, weerspiegelt een belangrijke reeks onderliggende filosofische kwesties die verband houden met het werk van McTaggart. Dit werk is vooral bekend, in de context van temporele logica, voor het introduceren van het onderscheid tussen de "A-serie" en de "B-serie". Met de "A-serie" wordt in wezen bedoeld de karakterisering van gebeurtenissen als verleden, heden of toekomst. De "B-serie" daarentegen heeft betrekking op hun karakterisering als relatief "vroeger" of "later". A-serie representaties van tijd kiezen onvermijdelijk een bepaald moment als aanwezig uit; natuurlijk zijn er op verschillende tijdstippen verschillende momenten aanwezig - een omstandigheid die, naar aanleiding van wat de logische conclusie leek te zijn, McTaggart ertoe bracht te beweren dat de tijd zelf onwerkelijk was (zie Mellor, 1981). B-series representaties hebben geen plaats voor een concept van het heden, in de vorm van een synoptisch beeld van alle tijd en de (tijdloze) onderlinge relaties tussen de delen.

Er is een duidelijke affiniteit tussen de A-serie en de modale benadering en tussen de B-serie en de eerste-orde benadering. In de terminologie van Massey (1969) worden aanhangers van de eerste benadering 'tensers' genoemd, terwijl aanhangers van de laatste 'detensers' worden genoemd. Deze kwestie houdt op zijn beurt verband met de vraag hoe serieus de representatie van ruimte-tijd moet worden genomen als een enkele vierdimensionale entiteit waarin de vier dimensies in sommige opzichten op een vergelijkbare basis staan. Gezien de relativiteitstheorie zou men kunnen stellen dat deze kwestie niet zozeer een zaak is voor de filosofie als wel voor de natuurkunde.

3.2 Determinisme versus niet-determinisme

De keuze van het tijdsverloop kan van filosofische betekenis zijn. Een manier om bijvoorbeeld het onderscheid tussen deterministische en niet-deterministische theorieën vast te leggen, is om de eerste te modelleren met een strikt lineaire stroom van tijd, en de laatste met een temporele structuur die vertakking naar de toekomst mogelijk maakt. Als we de laatste benadering gebruiken, is het nuttig om de semantiek van gespannen en andere operatoren te beschrijven om het idee van een geschiedenis te introduceren, wat een maximaal lineair geordende reeks momenten is. Het vertakkende toekomstige model zal dan bepalen dat er voor elke twee geschiedenissen een moment is dat beide geschiedenissen alle tijden delen tot en met dat moment, maar niet daarna. Voor elke geschiedenis die een bepaald moment bevat,de tijden in die geschiedenis die later zijn dan het moment, vormen voor dat moment een 'mogelijke toekomst'.

In vertakkende tijdssemantiek is het normaal om formules te evalueren met betrekking tot een moment en een geschiedenis, in plaats van slechts een moment. Met betrekking tot het paar (h, t) zouden we "F p" kunnen interpreteren als waar, zolang "p" op een bepaald moment in de toekomst van t waar is zoals bepaald door de geschiedenis h. Er kan een afzonderlijke operator introduced worden geïntroduceerd om in feite kwantificering over geschiedenissen mogelijk te maken: "◊ p" is waar bij (h, t) zolang er enige geschiedenis h 'is zodat "p" waar is voor (h', t). Vervolgens zegt '◊ F p' dat 'p' in een mogelijke toekomstige toekomst geldt, en '□ F p' (waarbij '□' de sterke modale operator is die overeenkomt met '◊') zegt dat 'p' onvermijdelijk is (dwz houdt in alle mogelijke toekomsten). Prior noemde dit soort interpretatie "Ockhamist".

Een andere interpretatie (door Prior "Peircean" genoemd) neemt aan dat "F p" equivalent is aan de Ockhamist "□ F p", dat wil zeggen dat "p" op een bepaald moment in elke mogelijke toekomst waar is. Onder deze interpretatie is er geen formule die equivalent is aan de Ockhamist "F p"; vandaar Peircean gespannen logica is een goed fragment van Ockhamist gespannen logica. Prior gaf er de voorkeur aan omdat toekomstige contingente proposities echt geen waarheidswaarde hebben: alleen als een toekomstgerichte propositie onvermijdelijk is (alle mogelijke toekomsten) of onmogelijk (geen mogelijke toekomsten), kunnen we er nu een waarheidswaarde aan toekennen. Voor Prior's bespreking van deze kwesties, zie Prior 1967, hoofdstuk VII. Verdere discussie is te vinden in Øhrstrøm en Hasle 1995, hoofdstukken 2.6 en 3.2.

Het niet-determinisme dat impliciet is in vertakkende tijdframes heeft ertoe geleid dat ze worden gebruikt om theorieën over actie en keuze te ondersteunen. Een belangrijk voorbeeld is de STIT-logica van Belnap en Perloff (1988), met veel opeenvolgende varianten (zie Xu, 1995). De primitieve uitdrukking van keuzevrijheid in STIT-theorieën is dat een agent een 'ervoor zorgt dat' een of andere stelling P geldt, geschreven [een stit: P]. De betekenis van deze constructie is gespecificeerd in relatie tot een vertakkende tijdstructuur, waarin de keuzes gemaakt door agenten worden weergegeven door middel van sets van mogelijke toekomsten die vanuit het keuzepunt naar voren vertakken. De precieze interpretatie van [een stit: P] varieert van het ene systeem tot het andere, maar meestal wordt gespecificeerd dat het op een bepaald moment waar is als P alle geschiedenissen bezit die op dat moment door de keuzefunctie van de agent zijn geselecteerd,met de bijkomende voorwaarde gewoonlijk toegevoegd dat P niet slaagt in ten minste één geschiedenis die niet zo is geselecteerd (dit is om de ongewenste conclusie te vermijden die een agent ervoor zorgt dat sommige tautologie geldt).

4. Toepassingen van tijdelijke logica

4.1 Toepassingen op natuurlijke taal

Prior (1967) noemt onder de voorlopers van Tense Logic Hans Reichenbach's (1947) analyse van de Engelse tijd, volgens welke de functie van elke tijd is om de temporele relaties te specificeren tussen een set van drie keer gerelateerd aan de uiting, namelijk S, de spreektijd, R, de referentietijd en E, de gebeurtenistijd. Op deze manier was Reichenbach netjes in staat om onderscheid te maken tussen het eenvoudige verleden "Ik zag John", waarvoor R = E <S, en het huidige perfecte "Ik heb John gezien", waarvoor E <R = S, de vorige verklaring die verwijst naar naar een verleden tijd die samenviel met de gebeurtenis dat ik John zag, waarbij de laatste verwijst naar de huidige tijd, ten opzichte waarvan mijn zien John voorbij is.

Vooraf merkt hij op dat de analyse van Reichenbach onvoldoende is om rekening te houden met het volledige scala van gespannen gebruik in natuurlijke taal. Vervolgens is er veel werk verricht om de analyse te verfijnen, niet alleen van tijden maar ook van andere temporele taaluitingen zoals de temporele voorzetsels en connectieven ("voor", "na", "sinds", "tijdens", "tot"), gebruikmakend van de vele varianten van temporele logica. Zie voor enkele voorbeelden Dowty (1979), Galton (1984), Taylor (1985), Richards et al. (1989). Een nuttige verzameling mijlpaalpapieren op dit gebied is Mani et al. (2005).

4.2 Toepassingen in kunstmatige intelligentie

We hebben al het werk van Allen (1984) genoemd, dat zich bezighoudt met het vinden van een algemeen kader dat geschikt is voor alle tijdelijke representaties die vereist zijn voor AI-programma's. De Event Calculus van Kowalski en Sergot (1986) wordt meer in het bijzonder nagestreefd in het kader van logische programmering, maar is verder evenzo algemeen van karakter. Een nuttig overzicht van kwesties met betrekking tot tijd en temporeel redeneren bij AI is Galton (1995), en een uitgebreide recente dekking van het gebied is Fisher et al. (2005).

Veel van het werk aan temporeel redeneren bij AI is nauw verbonden met het beruchte frameprobleem, dat voortvloeit uit de noodzaak voor elke geautomatiseerde redener om niet alleen die eigenschappen van de wereld te kennen of te kunnen afleiden, die veranderen als de resultaat van een gebeurtenis of actie, maar ook die eigenschappen die niet veranderen. In het dagelijks leven gaan we normaal gesproken vloeiend met dergelijke feiten om zonder er bewust voor te adverteren: we nemen het vanzelfsprekend zonder erbij na te denken dat de kleur van een auto normaal gesproken niet verandert als iemand van versnelling verandert. Het frameprobleem houdt zich bezig met hoe de logica van acties en gebeurtenissen zo te formaliseren dat oneindig veel van dergelijke gevolgtrekkingen beschikbaar worden gemaakt zonder dat we ze allemaal expliciet hoeven te coderen. Een baanbrekend werk op dit gebied is McCarthy and Hayes (1969). Een nuttige recente referentie voor het frameprobleem is Shanahan, 1997.

4.3 Toepassingen in de informatica

In navolging van Pnueli (1977) is de modale stijl van Temporal Logic uitgebreid toegepast op het gebied van informatica, die zich bezighoudt met de specificatie en verificatie van programma's, vooral gelijktijdige programma's waarbij de berekening wordt uitgevoerd door twee of meer parallel werkende processors. Om een correct gedrag van een dergelijk programma te verzekeren, is het noodzakelijk om de manier te specificeren waarop de acties van de verschillende processors met elkaar samenhangen. De relatieve timing van de acties moet zorgvuldig worden gecoördineerd om ervoor te zorgen dat de integriteit van de informatie die door de verwerkers wordt gedeeld, behouden blijft. Een van de belangrijkste begrippen hier is het onderscheid tussen "levendigheid" -eigenschappen van de gespannen logische vorm F p, die ervoor zorgen dat gewenste toestanden tijdens de berekening zullen worden verkregen, en "veiligheid" -eigenschappen van de vorm G p,die ervoor zorgen dat er nooit ongewenste toestanden ontstaan.

Non-determinisme is een belangrijk onderwerp in informatica-toepassingen en daarom is er veel gebruik gemaakt van vertakkende tijdmodellen. Twee belangrijke dergelijke systemen zijn CTL (Computation Tree Logic) en een meer expressief systeem CTL *; deze komen vrijwel overeen met de hierboven besproken semantiek van Ockhamist en Peircean.

Verdere informatie is te vinden in Galton (1987), Goldblatt (1987), Kroger (1987), Bolc en Szalas (1995).

Bibliografie

• Allen, JF, 1984, "Towards a general theory of action and time", Artificial Intelligence, volume 23, pagina's 123-154.
• Areces, C. en ten Cate, B., 2006, "Hybrid Logics", in Blackburn et al., 2006.
• Belnap, N. en Perloff, M., 1988, "Ervoor zorgen dat: een canonieke vorm voor agenten", Theoria, volume 54, pagina's 175-199, herdrukt met correcties in HE Kyberg et al. (red.), Knowledge Representation and Defeasible Reasoning, Dordrecht: Kluwer, 1990, pagina's 167-190.
• van Benthem, J., 1983, The Logic of Time, Dordrecht, Boston en London: Kluwer Academic Publishers, eerste editie (tweede editie, 1991).
• van Benthem, J., 1995, "Temporal Logic", in DM Gabbay, CJ Hogger en JA Robinson, Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, Volume 4, Oxford: Clarendon Press, pagina's 241-350.
• Blackburn, P., van Benthem, J, en Wolter, F., 2006, Handbook of Modal Logics, Elsevier.
• L. Bolc en A. Szalas (red.), 1995, Time and Logic: A Computational Approach, Londen: UCL Press.
• Davidson, D., 1967, "The Logical Form of Action Sentences", in N. Rescher (red.), The Logic of Decision and Action, University of Pittsburgh Press, 1967, pagina's 81-95. Herdrukt in D. Davidson, Essays on Actions and Events, Oxford: Clarendon Press, 1990, pagina's 105-122.
• Dowty, D., 1979, Woord Betekenis en Montague Grammar, Dordrecht: D. Reidel.
• Fisher, M., Gabbay, D., en Vila, L., 2005, Handbook of Temporal Reasoning in Artificial Intelligence, Amsterdam: Elsevier.
• Gabbay, DM, Hodkinson, I., en Reynolds, M., 1994, Temporal Logic: Mathematical Foundations and Computational Aspects, Volume 1,. Oxford: Clarendon Press.
• Galton, AP, 1984, The Logic of Aspect, Oxford: Clarendon Press.
• Galton, AP, 1987, Temporal Logics and their Applications, London: Academic Press.
• Galton, AP, 1995, "Time and Change for AI", in DM Gabbay, CJ Hogger en JA Robinson, Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, Volume 4, Oxford: Clarendon Press, pagina's 175-240.
• Goldblatt, R., 1987, Logics of Time and Computation, Center for the Study of Language and Information, CSLI Lecture Notes 7.
• Hodkinson, I. en Reynolds, M., 2006, "Temporal Logic", in Blackburn et al., 2006.
• Kamp, JAW, 1968. Tense Logic and the Theory of Linear Order, Ph. D. proefschrift, University of California, Los Angeles.
• Kowalski, RA en Sergot, MJ, 1986, "A Logic-Based Calculus of Events", New Generation Computing, volume 4, pagina's 67-95.
• Kroger, F., 1987, "Temporal Logic of Programs", Springer-Verlag.
• Mani, I., Pustejovsky, J., en Gaizauskas, R., 2005, The Language of Time: A Reader, Oxford: Oxford University Press.
• Massey, G., 1969, "Tense Logic! Waarom moeite doen?”, Noûs, volume 3, pagina's 17-32.
• McCarthy, J. en Hayes, PJ, 1969, "Some Philosophical Problems from the Pointpoint of Artificial Intelligence", in D. Michie en B. Meltzer (red.), Machine Intelligence 4, Edinburgh University Press, pagina's 463-502.
• Mellor, DH, 1981, Real Time, Cambridge: Cambridge University Press. (Hoofdstuk 6 herdrukt met herzieningen als "The Unreality of Tense" in R. Le Poidevin en M. MacBeath (red.), The Philosophy of Time, Oxford University Press, 1993.)
• Øhrstrøm, P. en Hasle, P., 1995, Temporal Logic: From Ancient Ideas to Artificial Intelligence, Dordrecht, Boston en Londen: Kluwer Academic Publishers.
• Pnueli, A., 1977, "De temporele logica van programma's", Proceedings of the 18th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, pagina's 46-67.
• Prior, AN, 1957, Time and Modality, Oxford: Clarendon Press.
• Prior, AN, 1967, Past, Present and Future, Oxford: Clarendon Press.
• Prior, AN, 1969, Papers on Time and Tense, Oxford: Clarendon Press.
• Reichenbach, H., 1947, Elementen van symbolische logica, New York: Macmillan
• Rescher, N. en Urquhart, A., 1971, Temporal Logic, Springer-Verlag.
• Richards, B., Bethke, I., van der Does, J., en Oberlander, J., 1989, Temporal Representation and Inference, London: Academic Press.
• Shanahan, M., 1997, Solving the Frame Problem, Cambridge MA en London: The MIT Press.
• Taylor, B., 1985, Modes of Occurrence, Aristotelian Society Series, Volume 2, Oxford: Basil Blackwell.
• Xu, M., 1995, "On the basic logic of STIT with a single agent", Journal of Symbolic Logic, volume 60, pagina's 459-483.

Andere internetbronnen