Motivering Logica

Inhoudsopgave:

Motivering Logica
Motivering Logica
Video: Motivering Logica
Video: LHPS-1-2-02 Силлогизмы 2023, Februari
Anonim

Dit is een bestand in de archieven van de Stanford Encyclopedia of Philosophy. Info over auteur en citaat | Vrienden PDF Preview | InPho Zoeken | PhilPapers bibliografie

Motivering Logica

Voor het eerst gepubliceerd op woensdag 22 juni 2011; inhoudelijke herziening wo 20 jul.2011

Je zou kunnen zeggen: 'Ik weet dat Abraham Lincoln een lange man was. 'Op zijn beurt wordt je misschien gevraagd hoe je dat weet. Je zou vrijwel zeker niet semantisch antwoorden, in Hintikka-stijl, dat Abraham Lincoln groot was in alle situaties die compatibel waren met jouw kennis. In plaats daarvan zou je eerder zeggen: 'Ik heb in verschillende boeken over de lengte van Abraham Lincoln gelezen en ik heb foto's van hem gezien naast andere mensen. 'Men certificeert kennis door een reden op te geven, een rechtvaardiging. Hintikka semantiek legt kennis vast als ware overtuiging. Rechtvaardigingslogica levert het ontbrekende derde onderdeel van Plato's karakterisering van kennis als gerechtvaardigde ware overtuiging.

  • 1. Waarom logica voor rechtvaardiging?

    • 1.1 Epistemische traditie
    • 1.2 Wiskundige logische traditie
  • 2. De basiscomponenten van de rechtvaardigingslogica

    • 2.1 De taal van de logica voor rechtvaardiging
    • 2.2 Basisverantwoording Logica J 0
    • 2.3 Logisch bewustzijn en constante specificaties
    • 2.4 Factiviteit
    • 2.5 Positieve introspectie
    • 2.6 Negatieve introspectie
  • 3. Semantiek

    • 3.1 Single-Agent Possible World Motivering Modellen voor J
    • 3.2 Zwakke en sterke volledigheid
    • 3.3 De single-agent-familie
    • 3.4 Single World Motivering Modellen
  • 4. Realisatie stellingen
  • 5. Generalisaties

    • 5.1 Expliciete en impliciete kennis combineren
    • 5.2 Mogelijke wereldverantwoordingmodellen met meerdere agenten
  • 6. Russell's voorbeeld: geïnduceerde factor
  • 7. Zelfreferentie van rechtvaardigingen
  • 8. Quantifiers in Motivering Logica
  • 9. Historische aantekeningen
  • Bibliografie
  • Academische hulpmiddelen
  • Gerelateerde vermeldingen
  • Andere internetbronnen

1. Waarom logica voor rechtvaardiging?

Rechtvaardigingslogica's zijn epistemische logica's die het mogelijk maken kennis- en geloofsmodaliteiten te 'ontvouwen' in rechtvaardigingstermen: in plaats van □ X schrijft men t: X en leest het als "X wordt gerechtvaardigd door reden t". Men zou traditionele modale operatoren kunnen beschouwen als impliciete modaliteiten en rechtvaardigingstermen als hun expliciete uitwerkingen die modale logica aanvullen met fijnmaziger epistemische machinerie. De familie van motiveringstermen heeft structuur en werking. Keuze van bewerkingen geeft aanleiding tot verschillende rechtvaardigingslogica's. Voor alle gangbare epistemische logica's kunnen hun modaliteiten volledig worden uitgevouwen in een expliciete verantwoordingsvorm. In dit opzicht onthult en gebruikt de logica de expliciete, maar verborgen inhoud van traditionele epistemische modale logica.

Rechtvaardigingslogica is ontstaan ​​als onderdeel van een succesvol project om een ​​constructieve semantiek te bieden voor intuïtionistische logica-rechtvaardigingstermen die alle behalve de meest elementaire kenmerken van wiskundige bewijzen hebben weggenomen. Bewijzen zijn rechtvaardigingen in misschien wel hun puurste vorm. Vervolgens werden rechtvaardigingslogica geïntroduceerd in de formele epistemologie. Dit artikel presenteert de algemene reeks logica's voor rechtvaardiging zoals die momenteel wordt begrepen. Het bespreekt hun relaties met conventionele modale logica. Naast technische machinerie onderzoekt het artikel op welke manier het gebruik van uitdrukkelijke motiveringstermen licht werpt op een aantal traditionele filosofische problemen. Het onderwerp als geheel is nog volop in ontwikkeling. Wat hier wordt gepresenteerd, is een momentopname ervan op het moment van schrijven.

De wortels van de rechtvaardigingslogica zijn terug te voeren op veel verschillende bronnen, waarvan er twee in detail worden besproken: epistemologie en wiskundige logica.

1.1 Epistemische traditie

De eigenschappen van kennis en overtuiging zijn in ieder geval sinds von Wright en Hintikka onderwerp van formele logica (Hintikka 1962, von Wright 1951). Kennis en overtuiging worden beide behandeld als modaliteiten op een manier die nu heel vertrouwd is: epistemische logica. Maar van Plato's drie criteria voor kennis, gerechtvaardigd, waar, geloof (Gettier 1963, Hendricks 2005), werkt epistemische logica echt met slechts twee ervan. Mogelijke werelden en niet te onderscheiden model geloof - men gelooft wat er onder alle omstandigheden mogelijk wordt geacht. Factiviteit brengt een juistheidscomponent in het spel - als iets in de werkelijke wereld niet zo is, kan het niet worden gekend, maar alleen worden aangenomen. Maar er is geen verklaring voor de rechtvaardigingsvoorwaarde. Niettemin,de modale benadering is opmerkelijk succesvol geweest in het mogelijk maken van de ontwikkeling van een rijke wiskundige theorie en toepassingen (Fagin, Halpern, Moses en Vardi 1995, van Ditmarsch, van der Hoek en Kooi 2007). Toch is het niet het hele plaatje.

De modale benadering van de logica van kennis is in zekere zin gebouwd rond de universele kwantor: X is bekend in een situatie als X waar is in alle situaties die niet van die te onderscheiden zijn. Rechtvaardigingen daarentegen brengen een existentiële kwantificeerder in beeld: X is bekend in een situatie als er in die situatie een rechtvaardiging is voor X. Deze universele / existentiële tweedeling is bekend bij logici - in formele logica bestaat er een bewijs voor een formule X als en alleen als X waar is in alle modellen voor de logica. Men beschouwt modellen als inherent niet-constructief en bewijst als constructieve dingen. Bij het bedenken van rechtvaardigingen in het algemeen zal men niet veel mis gaan, net zoals wiskundige bewijzen. Inderdaad, de eerste rechtvaardigingslogica was expliciet ontworpen om wiskundige bewijzen in rekenkunde vast te leggen,iets dat verder zal worden besproken in paragraaf 1.2.

In Motivering Logica is er naast de categorie formules een tweede categorie rechtvaardigingen. Rechtvaardigingen zijn formele termen, opgebouwd uit constanten en variabelen met verschillende bewerkingssymbolen. Constanten vertegenwoordigen rechtvaardigingen voor algemeen aanvaarde waarheden - typisch axioma's. Variabelen geven niet-gespecificeerde rechtvaardigingen aan. Verschillende rechtvaardigingslogica verschillen op welke bewerkingen zijn toegestaan ​​(en ook op andere manieren). Als t een rechtvaardigingsterm is en X een formule is, is t: X een formule en moet worden gelezen:

t is een rechtvaardiging voor X.

Een bewerking die gemeenschappelijk is voor alle logica's voor rechtvaardiging, is toepassing, geschreven als vermenigvuldiging. Het idee is dat als s een rechtvaardiging is voor A → B en t een rechtvaardiging is voor A, dan is [s ⋅ t] een rechtvaardiging voor B [1]. Dat wil zeggen dat de geldigheid van het volgende algemeen wordt aangenomen:

(1) s:(A → B) → (t: A → [s ⋅ t]: B).

Dit is de expliciete versie van de gebruikelijke distributie van kennisoperators, en modale operators in het algemeen, over implicaties:

(2) □ (A → B) → (□ A → □ B).

In feite zit formule (2) achter veel van de problemen van logische alwetendheid. Er wordt beweerd dat een agent alles weet wat wordt geïmpliceerd door de kennis van de agent, waardoor deze wordt gesloten. Hoewel kenbaar in principe, kenbaarheid, bijgevolg wordt gesloten, kan hetzelfde niet worden gezegd voor een plausibele versie van feitelijke kennis. Het onderscheid tussen (1) en (2) kan worden benut in een bespreking van het paradigmatische Red Barn-voorbeeld van Goldman en Kripke; hier is een vereenvoudigde versie van het verhaal uit (Dretske 2005).

Stel, ik rijd door een wijk waar, buiten mij medeweten, schuren van papier-maché verspreid liggen, en ik zie dat het object voor mij een schuur is. Omdat ik perceptie voor de boer heb, geloof ik dat het object voor me een schuur is. Onze intuïties suggereren dat ik schuur niet ken. Maar stel nu dat de buurt geen neprode schuren heeft, en ik merk ook dat het object voor me rood is, dus ik weet dat er een rode schuur is. Deze nevenschikking, zijnde een rode schuur, die ik ken, houdt in dat er een schuur is, die ik niet heb, “is een schaamte”.

In de eerste formalisering van het Red Barn-voorbeeld zal logische afleiding worden uitgevoerd in een modale basislogica waarin □ wordt geïnterpreteerd als de 'geloofsmodaliteit'. Vervolgens worden enkele van de gebeurtenissen van □ extern geïnterpreteerd als 'kennis' volgens de probleembeschrijving. Laat B de zin zijn 'het object voor me is een schuur' en laat R de zin zijn 'het object voor me is rood'.

  1. □ B: 'Ik geloof dat het object voor me een schuur is'
  2. □ (B ∧ R), 'Ik geloof dat het object voor mij een rode schuur is'.

Op het metaalniveau is 2 eigenlijk kennis, terwijl volgens de probleembeschrijving 1 geen kennis is.

□ (B ∧ R → B), een kennisverklaring van een logisch axioma

Binnen deze formalisatie lijkt het erop dat epistemische sluiting in zijn modale vorm (2) wordt geschonden: lijn 2, □ (B ∧ R) en lijn 3, □ (B ∧ R → B) zijn gevallen van kennis, terwijl □ B (lijn 1) is geen kennis. De modale taal hier lijkt niet te helpen dit probleem op te lossen.

Bekijk vervolgens het voorbeeld van de rode schuur in de logica voor rechtvaardiging waarbij t: F wordt geïnterpreteerd als 'ik geloof dat F om reden t'. Laat u een specifieke individuele rechtvaardiging zijn voor de overtuiging dat B, en v, voor de overtuiging dat B ∧ R. Laat bovendien een rechtvaardiging zijn voor de logische waarheid B ∧ R → B. Dan is de lijst met aannames:

  1. u: B, 'u is een reden om te geloven dat het object voor mij een schuur is'
  2. v:(B ∧ R), 'v is een reden om te geloven dat het object voor mij een rode schuur is'
  3. a:(B ∧ R → B).

Op metaalniveau stelt de probleembeschrijving dat 2 en 3 gevallen van kennis zijn, en niet alleen geloof, terwijl 1 geloof is dat geen kennis is. Hier is hoe de formele redenering gaat:

  1. a:(B ∧ R → B) → (v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B), volgens principe (1);
  2. v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B, van 3 en 4, door propositielogica;
  3. [a ⋅ v]: B, van 2 en 5, door propositielogica.

Merk op dat conclusie 6 [a ⋅ v]: B is, en niet u: B; epistemische sluiting. Door te redeneren in de rechtvaardigingslogica werd geconcludeerd dat [a ⋅ v]: B een geval van kennis is, dat wil zeggen 'ik ken B om reden a ⋅ v'. Het feit dat u: B geen kennisgeval is, doet niets af aan het sluitingsprincipe, aangezien laatstgenoemde kennis specifiek claimt voor [a ⋅ v]: B. Dus na het observeren van een rode gevel ken ik inderdaad B, maar deze kennis heeft niets te maken met 1, wat eerder een geval van geloof blijft dan van kennis. De rechtvaardigingslogica-formalisatie geeft de situatie eerlijk weer.

Het bijhouden van rechtvaardigingen vertegenwoordigt de structuur van het Red Barn-voorbeeld op een manier die niet wordt vastgelegd door traditionele epistemische modale tools. De Motivering Logische formalisering modelleert wat er in een dergelijk geval lijkt te gebeuren; sluiting van kennis onder logisch gevolg blijft gehandhaafd, ook al is 'schuur' niet perceptueel bekend. [2]

1.2 Wiskundige logische traditie

Waarheid in constructieve (intuïtionistische) wiskunde betekent volgens Brouwer het bestaan ​​van een bewijs, vgl. (Troelstra en van Dalen 1988). In 1931-1934 gaven Heyting en Kolmogorov een informele beschrijving van de beoogde op bewijzen gebaseerde semantiek voor intuïtionistische logica (Kolmogorov 1932, Heyting 1934), die nu de semantiek Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK) wordt genoemd. Volgens de BHK-voorwaarden is een formule 'waar' als deze een bewijs heeft. Bovendien wordt een bewijs van een samengestelde verklaring op de volgende manier verbonden met bewijzen van zijn componenten:

  • een bewijs van A ∧ B bestaat uit een bewijs van voorstel A en een bewijs van voorstel B;
  • een bewijs van A ∨ B wordt geleverd door een bewijs van A of een bewijs van B te overleggen;
  • een bewijs van A → B is een constructie die bewijzen van A omzet in bewijzen van B;
  • onwaarheid ⊥ is een stelling die geen bewijs heeft, ¬ A is een afkorting voor A → ⊥.

Kolmogorov suggereerde expliciet dat de proefachtige objecten in zijn interpretatie ("probleemoplossingen") afkomstig waren van de klassieke wiskunde (Kolmogorov 1932). Vanuit fundamenteel oogpunt heeft het inderdaad niet veel zin om de 'bewijzen' hierboven te begrijpen als bewijzen in een intuïtionistisch systeem dat deze voorwaarden zouden moeten specificeren.

De fundamentele waarde van de BHK-semantiek is dat het informeel maar ondubbelzinnig suggereert om rechtvaardigingen, hier wiskundige bewijzen, te behandelen als objecten met bewerkingen.

In (Gödel 1933) zette Gödel de eerste stap naar het ontwikkelen van een rigoureuze, op bewijzen gebaseerde semantiek voor intuïtionisme. Gödel beschouwde de klassieke modale logica S4 als een calculus die eigenschappen van bewijsbaarheid beschrijft:

  • Axioma's en regels van klassieke propositionele logica;
  • □ (F → G) → (□ F → □ G);
  • □ F → F;
  • □ F → □□ F;
  • Noodregel: als ⊢ F, dan ⊢ □ F.

Gebaseerd op Brouwers begrip van logische waarheid als bewijsbaarheid, definieerde Gödel een vertaling tr (F) van de propositionele formule F in de intuïtionistische taal in de taal van de klassieke modale logica: tr (F) wordt verkregen door elke subformule van F te prefixen met de bewijsbaarheid modaliteit □. Informeel gesproken zal, wanneer de gebruikelijke procedure voor het bepalen van de klassieke waarheid van een formule wordt toegepast op tr (F), het de bewijsbaarheid (niet de waarheid) van elk van de subformules van F testen, in overeenstemming met de ideeën van Brouwer. Uit de resultaten van Gödel en het McKinsey-Tarski-werk aan topologische semantiek voor modale logica volgt dat de vertaling tr (F) een goede inbedding van de Intuitionistic Propositionele Calculus, IPC, in S4 biedt, dat wil zeggen een inbedding van intuïtionistische logica in klassieke logica verlengd door de bewijsbaarheid operator.

(3) Als IPC F bewijst, bewijst S4 tr (F).

Toch werd Gödel's oorspronkelijke doel om intuïtionistische logica te definiëren in termen van klassieke bewijsbaarheid niet bereikt, aangezien de verbinding van S4 met de gebruikelijke wiskundige notie van bewijsbaarheid niet was vastgesteld. Bovendien merkte Gödel op dat het rechtlijnige idee van interpretatie van modaliteit □ F als F in een bepaald formeel systeem aantoonbaar is T in tegenspraak was met de tweede onvolledigheidsstelling van Gödel. Inderdaad, □ (□ F → F) kan in S4 worden afgeleid door de regel van noodzaak uit het axioma □ F → F. Aan de andere kant zet het interpreteren van modaliteit □ als het predikaat van formele bewijsbaarheid in theorie T en F als tegenstrijdigheid deze formule om in een valse bewering dat de consistentie van T intern bewijsbaar is in T.

De situatie na (Gödel 1933) kan worden beschreven door de volgende afbeelding waar 'X ↪ Y' moet worden gelezen als 'X wordt geïnterpreteerd in Y'

IPC ↪ S4 ↪? ↪ KLASSIEKE BEWIJZEN

In een openbare lezing in Wenen in 1938 merkte Gödel op dat het gebruik van de vorm van expliciete bewijzen:

(4) t is een bewijs van F

kan helpen bij het interpreteren van zijn bewijsbaarheidsrekening S4 (Gödel 1938). Helaas bleef het werk van Gödel (Gödel 1938) tot 1995 onuitgegeven, waarna de Gödeliaanse logica van expliciete bewijzen al was herontdekt en als de Logic of Proofs LP was uitgekristalliseerd en voorzien van volledigheidsstellingen die het verbinden met zowel S4 als klassieke bewijzen (Artemov 1995).

De Logic of Proofs LP werd de eerste in de Motivering Logic-familie. Prooftermen in LP zijn niets anders dan BHK-termen die worden begrepen als klassieke bewijzen. Met LP kreeg de propositionele intuïtionistische logica de gewenste rigoureuze BHK-semantiek:

IPC ↪ S4 ↪ LP ↪ KLASSIEKE BEWIJZEN

Voor verdere bespreking van de wiskundige logische traditie, zie Sectie 1 van het aanvullende document Some More Technical Matters.

2. De basiscomponenten van de rechtvaardigingslogica

In deze sectie worden de syntaxis en axiomatiek van de meest voorkomende systemen voor rechtvaardigingslogica gepresenteerd.

2.1 De taal van de logica voor rechtvaardiging

Om een ​​formele verklaring van rechtvaardigingslogica op te bouwen, moet men een structurele basisaanname maken: rechtvaardigingen zijn abstracte objecten met structuur en bewerkingen erop. Een goed voorbeeld van rechtvaardiging wordt gegeven door formele bewijzen, die lange tijd het voorwerp zijn geweest van studie in de wiskundige logica en informatica (vgl. Paragraaf 1.2).

Motivering Logica is een formeel logisch kader waarin epistemische beweringen t: F zijn opgenomen, en staat voor 't is een rechtvaardiging voor F'. Motivering Logica analyseert niet direct wat het betekent om t te rechtvaardigen buiten het formaat t: F, maar probeert deze relatie axiomatisch te karakteriseren. Dit is vergelijkbaar met de manier waarop de Booleaanse logica haar connectieven, bijvoorbeeld disjunctie, behandelt: het analyseert de formule p ∨ q niet, maar veronderstelt eerder bepaalde logische axioma's en waarheidstabellen over deze formule.

Er zijn verschillende ontwerpbeslissingen genomen. Motivering Logica begint met de eenvoudigste basis: klassieke Booleaanse logica, en om goede redenen. Rechtvaardigingen vormen zelfs op het eenvoudigste niveau een voldoende serieuze uitdaging. De paradigmatische voorbeelden van Russell, Goldman-Kripke, Gettier en anderen kunnen worden behandeld met Booleaanse rechtvaardigingslogica. De kern van Epistemic Logic bestaat uit modale systemen met een klassieke Booleaanse basis (K, T, K4, S4, K45, KD45, S5, enz.), En elk van hen is voorzien van een overeenkomstige metgezel voor logica op basis van Booleaanse logica. Ten slotte wordt niet altijd uitgegaan van de feitelijkheid van rechtvaardigingen. Dit maakt het mogelijk om de essentie van discussies in epistemologie vast te leggen die betrekking hebben op zaken van overtuiging en niet van kennis.

De basisbewerking voor rechtvaardigingen is toepassing en som. De applicatiebewerking neemt rechtvaardigingen s en t en produceert een rechtvaardiging s ⋅ t zodat als s:(F → G) en t: F, dan [s ⋅ t]: G. Symbolisch,

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G)

Dit is een basiseigenschap van rechtvaardigingen die worden aangenomen in combinatorische logica en λ -calculi (Troelstra en Schwichtenberg 1996), Brouwer-Heyting-Kolmogorov semantiek (Troelstra en van Dalen 1988), Kleene-realiseerbaarheid (Kleene 1945), de Logic of Proofs LP, enz..

Elke twee rechtvaardigingen kunnen veilig worden gecombineerd tot iets met een breder toepassingsgebied. Dit wordt gedaan met de bewerkingssom '+'. Als s: F, wat voor bewijs t ook is, het gecombineerde bewijs s + t blijft een rechtvaardiging voor F. Beter gezegd, de bewerking '+' neemt rechtvaardigingen s en t en produceert s + t, wat een rechtvaardiging is voor alles wat wordt gerechtvaardigd door s of door t.

s: F → [s + t]: F en t: F → [s + t]: F

Als motivatie zou je s en t kunnen zien als twee delen van een encyclopedie, en s + t als de verzameling van die twee delen. Stel je voor dat een van de delen, zeg s, een voldoende rechtvaardiging bevat voor een voorstel F, dat wil zeggen, s: F is het geval. Dan bevat de grotere set s + t ook een voldoende rechtvaardiging voor F, [s + t]: F. In de Logic of Proofs LP, paragraaf 1.2, kan 's + t' worden geïnterpreteerd als een aaneenschakeling van bewijzen s en t.

2.2 Basisverantwoording Logica J 0

Rechtvaardigingstermen worden opgebouwd uit rechtvaardigingsvariabelen x, y, z, … en rechtvaardigingsconstanten a, b, c, … (met indices i = 1, 2, 3, … die worden weggelaten wanneer het veilig is) door middel van de operaties ' ⋅ 'en' + '. Meer uitgebreide logica die hieronder wordt overwogen, maakt ook aanvullende bewerkingen op rechtvaardigingen mogelijk. Constanten geven atomaire rechtvaardigingen aan die het systeem niet analyseert; variabelen geven niet-gespecificeerde rechtvaardigingen aan. De basislogica van rechtvaardigingen, J 0, wordt als volgt axiomatisch gemaakt.

Klassieke logica

Klassieke propositionele axioma's en de regel Modus Ponens

Toepassing Axiom

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G),

Som Axioma's

s: F → [s + t]: F, s: F → [t + s]: F.

J 0 is de logica van algemene (niet noodzakelijkerwijs feitelijke) rechtvaardigingen voor een absoluut sceptische agent voor wie geen formule aantoonbaar gerechtvaardigd is, dwz J 0 leidt t niet af: F voor elke t en F. Een dergelijke agent is echter in staat om relatieve rechtvaardigingsconclusies van het formulier te trekken

Als x: A, y: B,…, z: C vasthouden, dan t: F.

Met deze capaciteit is J 0 in staat om andere Motivering Logische systemen in zijn taal adequaat na te bootsen.

2.3 Logisch bewustzijn en constante specificaties

Het Logical Awareness-principe stelt dat logische axioma's ambtshalve gerechtvaardigd zijn: een agent accepteert logische axioma's als gerechtvaardigd (inclusief die met betrekking tot rechtvaardigingen). Zoals zojuist vermeld, kan logisch bewustzijn in sommige epistemische situaties te sterk zijn. Maar Motivering Logica biedt het flexibele mechanisme van Constante Specificaties om verschillende tinten Logisch Bewustzijn te vertegenwoordigen.

Uiteraard wordt onderscheid gemaakt tussen een aanname en een terechte aanname. In Motivering Logische constanten worden gebruikt om veronderstellingen te rechtvaardigen in situaties waarin ze niet verder worden geanalyseerd. Stel dat het wenselijk is te veronderstellen dat een axioma A gerechtvaardigd is voor de kenner. Men post eenvoudigweg e 1: A voor enige bewijskrachtconstante e 1 (met index 1). Als men verder wil stellen dat dit nieuwe principe e 1: A ook gerechtvaardigd is, kan men e 2:(e 1: A) voor een constante e 2 postuleren.(met index 2). Enzovoort. Het bijhouden van indices is niet nodig, maar het is gemakkelijk en helpt bij besluitvormingsprocedures (Kuznets 2008). De verzameling van alle aannames van deze soort voor een gegeven logica wordt een constante specificatie genoemd. Hier is de formele definitie:

Een constante specificatie CS voor een gegeven rechtvaardigingslogica L is een set formules van het formulier

e n: e n −1:…: e 1: A (n ≥ 1),

waar A een axioma is van L, en e 1, e 2, …, e n zijn vergelijkbare constanten met indices 1, 2, …, n. Aangenomen wordt dat CS alle tussentijdse specificaties bevat, dat wil zeggen, telkens wanneer e n: e n −1:…: e 1: A in CS zit, dan is e n −1:…: e 1: A ook in CS.

Er zijn een aantal bijzondere voorwaarden die in de literatuur aan constante specificaties zijn gesteld. De volgende komen het meest voor.

Leeg

CS = ∅. Dit komt overeen met een absoluut sceptisch middel. Het komt neer op het werken met de logica J 0.

Eindig

CS is een eindige reeks formules. Dit is een volledig representatief geval, aangezien elke specifieke afleiding in Motivering Logica slechts een eindige reeks constanten zal omvatten.

Axiomatisch passend

Elk axioma, inclusief die welke nieuw zijn verworven door de constante specificatie zelf, heeft een rechtvaardiging. In de formele setting is er voor elk axioma A een constante e 1 zodat e 1: A in CS staat, en als e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS, dan is e n +1: e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS, voor elke n ≥ 1. Axiomatisch geschikte constante specificaties zijn nodig om de internalisatie-eigenschap te verzekeren, die aan het einde van deze sectie wordt besproken.

Totaal

Voor elk axioma A en eventuele constanten e 1, e 2, … e n,

e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS.

De naam TCS is gereserveerd voor de totale constante specificatie (voor een gegeven logica). Uiteraard is de totale constante specificatie axiomatisch passend.

We kunnen nu specificeren:

Logica van rechtvaardigingen met gegeven constante specificatie:

Laat CS een constante specificatie zijn. J CS is de logische J 0 + CS; de axioma's zijn die van J 0 samen met de leden van CS, en de enige inferentieregel is Modus Ponens. Merk op dat J 0 J ∅ is.

Logica van rechtvaardigingen

J is de logische J 0 + Axiom-internalisatieregel. De nieuwe regel luidt:

Voor elk axioma A en eventuele constanten e 1, e 2,…, e n infer e n: e n −1:…: e 1: A.

De laatste belichaamt het idee van onbeperkt logisch bewustzijn voor J. Een soortgelijke regel verscheen in de Logic of Proofs LP en werd ook verwacht in Goldman's (Goldman 1967). Logisch bewustzijn, zoals uitgedrukt door axiomatisch geschikte constante specificaties, is een expliciete incarnatie van de noodzaakregel in modale logica: ⊢ F ⇒ ⊢ □ F, maar beperkt tot axioma's. Merk op dat J samenvalt met J TCS.

Het belangrijkste kenmerk van de logische systemen voor rechtvaardiging is hun vermogen om hun eigen afleidingen te internaliseren als aantoonbare rechtvaardigingsverklaringen binnen hun talen. Deze eigenschap werd verwacht in (Gödel 1938).

Stelling 1: Voor elke axiomatisch geschikte constante specificatie CS geniet J CS van internalisatie:

Als ⊢ F, dan ⊢ p: F voor een rechtvaardigingsterm p.

Bewijs. Inductie op afleidingslengte. Stel ⊢ F. Als F een lid is van J 0, of een lid van CS, is er een constante e n (waar n mogelijk 1 is) zodat e n: F in CS is, aangezien CS axiomatisch geschikt is. Dan is e n: F afleidbaar. Als F wordt verkregen door Modus Ponens van X → F en X, dan, door de inductiehypothese, ⊢ s:(X → F) en ⊢ t: X voor sommige s, t. Gebruikmakend van de Application Axiom, ⊢ [s ⋅ t]: F.

Zie sectie 2 van het aanvullende document Some More Technical Matters voor voorbeelden van concrete syntactische afleidingen in rechtvaardigingslogica.

2.4 Factiviteit

Factivity stelt dat een agent voldoende rechtvaardigingen heeft om de waarheid te concluderen. Dit komt tot uiting in het volgende.

Factivity Axiom t: F → F.

Het Factivity Axiom heeft een vergelijkbare motivatie als het Waarheids-axioma van epistemische logica, □ F → F, dat algemeen wordt geaccepteerd als een fundamentele eigenschap van kennis.

In tegenstelling tot de principes van toepassing en som, is feitelijkheid van rechtvaardigingen niet vereist in basisverantwoordingslogica-systemen, waardoor ze zowel gedeeltelijke als feitelijke rechtvaardigingen kunnen vertegenwoordigen. Het Factivity Axiom verscheen in de Logic of Proofs LP, sectie 1.2, als een belangrijk kenmerk van wiskundige bewijzen. In deze setting is Factivity inderdaad duidelijk geldig: als er een wiskundig bewijs t van F is, dan moet F waar zijn.

Het Factivity Axiom wordt gebruikt voor rechtvaardigingen die tot kennis leiden. Factiviteit alleen rechtvaardigt echter geen kennis, zoals is aangetoond door de Gettier-voorbeelden (Gettier 1963).

Logica van feitelijke rechtvaardigingen

  • JT 0 = J 0 + Factiviteit;
  • JT = J + Factiviteit.

Systemen JT CS die overeenkomen met Constant Specificaties CS worden gedefinieerd zoals in Sectie 2.3.

2.5 Positieve introspectie

Een van de gemeenschappelijke principes van kennis is het identificeren van weten en weten dat men weet. In een modale setting komt dit overeen met □ F → □□ F. Dit principe heeft een adequate expliciete tegenhanger: het feit dat een agent t accepteert als voldoende bewijs voor F geldt als voldoende bewijs voor t: F. Vaak heeft zo'n 'meta-evidence' een fysieke vorm: een referentenrapport waarin wordt bevestigd dat een proof in een paper correct is; een computerverificatie-output gegeven een formeel bewijs t van F als input; een formeel bewijs dat t een bewijs is van F, etc. Een positieve introspectie operatie '!' kan voor dit doel aan de taal worden toegevoegd; men gaat er dan van uit dat, gegeven t, de agent een rechtvaardiging geeft! t van t: F zodat t: F →! t:(t: F). Positieve introspectie in deze operationele vorm verscheen voor het eerst in de Logic of Proofs LP.

Positieve introspectie Axioma: t: F →! t:(t: F).

Vervolgens definiëren we:

  • J4: = J + positieve introspectie;
  • LP: = JT + positieve introspectie. [3]

Logica J4 0, J4 CS, LP 0 en LP CS worden op natuurlijke wijze gedefinieerd (zie paragraaf 2.3). De directe analoog van Theorem 1 geldt ook voor J4 CS en LP CS.

In aanwezigheid van het positieve introspectie-axioma kan men de reikwijdte van de Axiom-internalisatieregel beperken tot internaliserende axioma's die niet de vorm e: A hebben. Dit is hoe het werd gedaan in LP: Axiom Internalization kan vervolgens worden nagebootst met behulp van !! e:(! e:(e: A)) in plaats van e 3:(e 2:(e 1: A)), enz. Het begrip constante specificatie kan ook dienovereenkomstig worden vereenvoudigd. Dergelijke wijzigingen zijn klein en hebben geen invloed op de belangrijkste stellingen en toepassingen van de rechtvaardigingslogica.

2.6 Negatieve introspectie

(Pacuit 2006, Rubtsova 2006) beschouwde de Negatieve Introspectie-operatie '?' die verifieert dat een bewering voor een bepaalde rechtvaardiging onjuist is. Een mogelijke motivatie om zo'n operatie te overwegen is dat de positieve introspectie operatie '!' kan worden beschouwd als in staat om overtuigende verificatieoordelen te geven over de geldigheid van rechtvaardigingsverklaringen t: F, dus als t geen rechtvaardiging is voor F, dan is zo'n '!' moet concluderen dat ¬ t: F. Dit is normaal gesproken het geval voor computer-proof verificateurs, proof-checkers in formele theorieën, enz. Deze motivatie is echter genuanceerd: de voorbeelden van proof-verificateurs en proof-checkers werken met zowel t als F als invoer, terwijl het Pacuit-Rubtsova-formaat? t suggereert dat de enige invoer voor '?' is een rechtvaardiging t, en het resultaat? t zou stellingen moeten rechtvaardigen ¬ t:F uniform voor alle F s waarvoor t: F niet geldt. Zo'n operatie '?' bestaat er sindsdien niet meer voor formele wiskundige bewijzen? t zou dan een enkel bewijs moeten zijn van oneindig veel stellingen ¬ t: F, wat onmogelijk is.

Negatieve introspectie Axioma ¬ t: F →? t: (¬ t: F)

We definiëren de systemen:

  • J45 = J4 + negatieve introspectie;
  • JD45 = J45 + ¬ t: ⊥;
  • JT45 = J45 + Factiviteit

en breid deze definities natuurlijk uit naar J45 CS, JD45 CS en JT45 CS. De directe analoog van Stelling 1 geldt voor J45 CS, JD45 CS en JT45 CS.

3. Semantiek

De nu standaard semantiek voor rechtvaardigingslogica vindt zijn oorsprong in (Fitting 2005) - de gebruikte modellen worden in de literatuur algemeen Fitting-modellen genoemd, maar worden hier mogelijke wereldrechtvaardigingsmodellen genoemd. Mogelijke wereldrechtvaardigingsmodellen zijn een samensmelting van de bekende mogelijke wereldsemantiek voor logica van kennis en overtuiging, dankzij Hintikka en Kripke, met machines die specifiek zijn voor rechtvaardigingstermen, geïntroduceerd door Mkrtychev in (Mkrtychev 1997), (zie Sectie 3.4).

3.1 Single-Agent Possible World Motivering Modellen voor J

Om precies te zijn, een semantiek voor J CS, waar CS een constante specificatie is, moet worden gedefinieerd. Formeel is een mogelijk logisch model voor wereldrechtvaardiging voor J CS een structuur M = ⟨G, R, E, V⟩. Hiervan is ⟨G, R⟩ een standaard K-frame, waarbij G een verzameling mogelijke werelden is en R een binaire relatie daarop is. V is een afbeelding van propositionele variabelen naar deelverzamelingen van G en specificeert atoomwaarheid op mogelijke werelden.

Het nieuwe item is E, een bewijsfunctie, die zijn oorsprong vindt in (Mkrtychev 1997). Dit brengt rechtvaardigingstermen en formules in kaart aan reeksen werelden. Het intuïtieve idee is, als de mogelijke wereld Γ in E (t, X) is, dan is t relevant of toelaatbaar bewijs voor X bij wereld Γ. Men mag relevant bewijs niet als overtuigend beschouwen. Zie het eerder als bewijs dat kan worden toegelaten in een rechtbank: deze getuigenis, dit document is iets dat een jury zou moeten onderzoeken, iets dat relevant is, maar iets waarvan de waarheidsbepalende status nog moet worden overwogen. Bewijsfuncties moeten aan bepaalde voorwaarden voldoen, maar deze worden iets later besproken.

Gegeven een J CS mogelijk wereldrechtvaardigingsmodel M = ⟨G, R, E, V⟩, wordt de waarheid van formule X bij mogelijke wereld Γ aangeduid met M, Γ ⊩ X, en moet aan de volgende standaardvoorwaarden voldoen:

Voor elke Γ ∈ G:

  1. M, Γ ⊩ P iff Γ ∈ V (P) voor P een zinbrief;
  2. het is niet zo dat M, Γ ⊩ ⊥;
  3. M, Γ ⊩ X → Y als het niet zo is dat M, Γ ⊩ X of M, Γ ⊩ Y.

Deze zeggen alleen maar dat atomaire waarheid willekeurig wordt gespecificeerd, en propositionele connectieven gedragen zich waarheid-functioneel in elke wereld. Het belangrijkste item is het volgende.

M, Γ ⊩ (t: X) als en alleen als Γ ∈ E (t, X) en, voor elke Δ ∈ G met Γ R Δ, hebben we die M, Δ ⊩ X

Deze toestand valt uiteen in twee delen. De clausule die vereist dat M, Δ ⊩ X voor elke Δ ∈ G zodanig is dat Γ R Δ de bekende Hintikka / Kripke-voorwaarde is voor X om te geloven of geloofwaardig te zijn bij Γ. De clausule die eist dat Γ ∈ E (t, X) eraan toevoegt dat t relevant bewijs moet zijn voor X op Γ. Dan, informeel, is t: X waar in een mogelijke wereld als X geloofwaardig is in die wereld in de gebruikelijke zin van epistemische logica, en t is relevant bewijs voor X in die wereld.

Het is belangrijk om te beseffen dat je in deze semantiek iets om een ​​bepaalde reden in een wereld misschien niet gelooft, omdat het simpelweg niet geloofwaardig is, of omdat het zo is, maar de reden is niet geschikt.

Er moeten nog enkele voorwaarden worden gesteld aan bewijsfuncties en de constante specificatie moet ook in beeld worden gebracht. Stel dat men s en t krijgt als rechtvaardiging. Men kan deze op twee verschillende manieren combineren: gebruik tegelijkertijd de informatie van beide; of gebruik de informatie van slechts één van hen, maar kies eerst welke. Elk geeft aanleiding tot een basishandeling op rechtvaardigingsvoorwaarden, ⋅ en +, axiomatisch geïntroduceerd in paragraaf 2.2.

Stel dat s relevant bewijs is voor een implicatie en t relevant bewijs is voor het antecedent. Dan levert s en t samen relevant bewijs voor de consequent. Er wordt uitgegaan van de volgende voorwaarde voor bewijstaken:

E (s, X → Y) ∩E (t, X) ⊆ E (s ⋅ t, Y)

Met deze voorwaarde toegevoegd, de geldigheid van

s:(X → Y) → (t: X → [s ⋅ t]: Y)

is beveiligd.

Als s en t bewijsstukken zijn, zou je kunnen zeggen dat iets gerechtvaardigd is door een van s of t, zonder de moeite te nemen om te specificeren wat, en dit zal nog steeds bewijs zijn. De volgende vereiste wordt opgelegd aan bewijsfuncties.

E (s, X) ∪ E (t, X) ⊆ E (s + t, X)

Het is niet verrassend dat beide

s: X → [s + t]: X

en

t: X → [s + t]: X

houd nu vast.

Ten slotte moet rekening worden gehouden met de Constant Specification CS. Bedenk dat constanten bedoeld zijn om redenen te vertegenwoordigen voor basisaannames die ronduit worden geaccepteerd. Een model M = ⟨G, R, E, V⟩ voldoet aan Constant Specification CS, mits: als c: X ∈ CS dan E (c, X) = G.

Possible World Motivering Model Een mogelijk model ter rechtvaardiging van de wereld voor J CS is een structuur M = ⟨G, R, E, V⟩ die aan alle bovengenoemde voorwaarden voldoet en die voldoet aan Constant Specification CS.

Ondanks hun overeenkomsten, laten mogelijke modellen voor wereldverantwoording een fijnmazige analyse toe die niet mogelijk is met Kripke-modellen. Zie sectie 3 van het aanvullende document Some More Technical Matters voor meer details.

3.2 Zwakke en sterke volledigheid

Een formule X is geldig in een bepaald model voor J CS als het waar is in alle mogelijke werelden van het model. Axiomatica voor J CS werd gegeven in secties 2.2 en 2.3. Een volledigheidsstelling neemt nu de verwachte vorm aan.

Stelling 2: Een formule X is aantoonbaar in J CS als en alleen als X geldig is in alle J CS- modellen.

De zojuist genoemde volledigheidsstelling wordt soms aangeduid als zwakke volledigheid. Het is misschien een beetje verrassend dat het voor de modale logica K. aanzienlijk eenvoudiger is om te bewijzen dan volledigheid. Opmerkingen over dit punt volgen. Aan de andere kant is het heel algemeen en werkt het voor alle constante specificaties.

In (Fitting 2005) werd ook een sterkere versie van de semantiek geïntroduceerd. Een model M = ⟨G, R, E, V⟩ wordt volledig verklarend genoemd als het aan de volgende voorwaarde voldoet. Voor elke Γ ∈ G, als M, Δ ⊩ X voor alle Δ ∈ G zodanig dat Γ R Δ, dan M, Γ ⊩ t: X voor een of andere rechtvaardigingsterm t. Merk op dat de voorwaarde, M, Δ ⊩ X voor alle Δ ∈ G zodat Γ R Δ, de gebruikelijke voorwaarde is om X geloofwaardig te maken bij at in de zin van Hintikka / Kripke. Dus volledig verklarend zegt echt dat als een formule geloofwaardig is in een mogelijke wereld, er een rechtvaardiging voor is.

Niet alle zwakke modellen voldoen aan de volledig verklarende voorwaarde. Modellen die dat wel doen, worden sterke modellen genoemd. Als CS met constante specificatie rijk genoeg is zodat een internalisatiestelling geldt, dan heeft men volledigheid met betrekking tot sterke modellen die aan CS voldoen. In de juiste zin staat volledigheid met betrekking tot sterke modellen gelijk aan het kunnen bewijzen van internalisatie.

Het bewijs van volledigheid met betrekking tot sterke modellen vertoont grote gelijkenis met het bewijs van volledigheid met behulp van canonieke modellen voor de modale logica K. Op hun beurt kunnen sterke modellen worden gebruikt om een ​​semantisch bewijs te geven van de realisatiestelling (zie sectie 4).

3.3 De single-agent-familie

Tot dusver is een mogelijke wereldse semantiek voor één rechtvaardigingslogica besproken, voor J, de tegenhanger van K. Nu worden de dingen verbreed om rechtvaardigingsanalogen van andere bekende modale logica's te omvatten.

Door simpelweg reflexiviteit van de toegankelijkheidsrelatie R toe te voegen aan de voorwaarden voor een model in sectie 3.1, verkrijgt men de geldigheid van t: X → X voor elke t en X, en verkrijgt een semantiek voor JT, de rechtvaardigingslogica-analoog van de modale logica T, de zwakste logica van kennis. Als M inderdaad Γ ⊩ t: X is, dan geldt in het bijzonder X voor elke staat die toegankelijk is vanaf Γ. Omdat de toegankelijkheidsrelatie reflexief moet zijn, M, Γ ⊩ X. Zwakke en sterke volledigheidsstellingen zijn aantoonbaar met dezelfde machine die werd toegepast in het geval van J, en er is ook een semantisch bewijs van een Realisatiestelling die JT en T verbindt. Hetzelfde geldt voor de logica die hieronder wordt besproken.

Voor een rechtvaardiging analoog van K4 een extra unaire operator '!' wordt toegevoegd aan de term taal, zie paragraaf 2.5. Bedenk dat deze operator rechtvaardigingen toewijst aan rechtvaardigingen, waarbij het idee is dat als t een rechtvaardiging is voor X, dan! t zou een rechtvaardiging moeten zijn voor t: X. Semantisch voegt dit als volgt voorwaarden toe aan een model M = ⟨G, R, E, V⟩.

Ten eerste moet R natuurlijk transitief zijn, maar niet noodzakelijk reflexief. Ten tweede is een monotoonheidsvoorwaarde voor bewijstaken vereist:

Als Γ R Δ en Γ ∈ E (t, X) dan Δ ∈ E (t, X)

En tot slot is er nog een voorwaarde voor bewijsfunctie nodig.

E (t, X) ⊆ E (! T, t: X)

Deze voorwaarden samen betekenen de geldigheid van t: X →! t: t: X en produceer een semantiek voor J4, een rechtvaardigingsanaloog van K4, met een realisatiestelling die ze verbindt. Het toevoegen van reflexiviteit leidt tot een logica die om historische redenen LP wordt genoemd.

Men kan ook een negatieve introspectie-operator toevoegen, '?', Zie paragraaf 2.6. Modellen voor rechtvaardigingslogica die deze operator bevatten, voegen drie voorwaarden toe. Eerste R is symmetrisch. Ten tweede voegt men een aandoening toe die bekend is geworden als sterk bewijs: M, Γ ⊩ t: X voor alle Γ ∈ E (t, X). Ten slotte is er een voorwaarde voor de bewijsfunctie:

E (t, X) ⊆ E (? T, ¬ t: X)

Als deze machine wordt toegevoegd aan die voor J4, krijgen we de logica J45, een rechtvaardigingstegenhanger van K45. Axiomatische degelijkheid en volledigheid kunnen worden bewezen. Op soortgelijke wijze kunnen verwante logica's JD45 en JT45 worden geformuleerd.

Een realisatiestelling die rekening houdt met deze operator werd getoond in (Rubtsova 2006).

3.4 Single World Motivering Modellen

Single World Justification-modellen werden aanzienlijk ontwikkeld voordat de algemenere mogelijke World Justification-modellen die we hebben besproken (Mkrtychev 1997). Tegenwoordig kunnen ze het eenvoudigst worden beschouwd als mogelijke modellen voor wereldrechtvaardiging die toevallig een enkele wereld hebben. Het volledigheidsbewijs voor J en de andere hierboven genoemde rechtvaardigingslogica's kunnen gemakkelijk worden gewijzigd om volledigheid vast te stellen met betrekking tot modellen voor de rechtvaardiging van een enkele wereld, hoewel dit natuurlijk niet het oorspronkelijke argument was. Wat volledigheid met betrekking tot single-world-rechtvaardigingsmodellen ons vertelt, is dat informatie over de mogelijke wereldstructuur van rechtvaardigingsmodellen volledig kan worden gecodeerd door de toelaatbare evidence-functie, althans voor de tot nu toe besproken logica. Mkrtychev gebruikte single-world rechtvaardigingsmodellen om de beslisbaarheid van LP vast te stellen,en anderen hebben er fundamenteel gebruik van gemaakt bij het stellen van complexiteitsgrenzen voor rechtvaardigingslogica's, en voor het tonen van conservativiteitsresultaten voor rechtvaardigingslogica's van geloof (Kuznets 2000, Kuznets 2008, Milnikel 2007, Milnikel 2009). Complexiteitsresultaten zijn verder gebruikt om het probleem van logische alwetendheid aan te pakken.

4. Realisatie stellingen

De natuurlijke modale epistemische tegenhanger van de bewering van bewijsmateriaal t: F is □ F, lees voor wat x, x: F. Deze waarneming leidt tot het idee van vergeetachtige projectie die elk voorkomen van t: F door □ F vervangt en daarom een ​​zin voor logische rechtvaardiging S omzet in een overeenkomstige modale logische zin S o. De vergeetachtige projectie strekt zich op natuurlijke wijze uit van zinnen tot logica.

Het is duidelijk dat verschillende zinnen in Motivering Logica dezelfde vergeetachtige projectie kunnen hebben, en daarom verliest S o bepaalde informatie die in S stond. Er kan echter gemakkelijk worden opgemerkt dat de vergeetachtige projectie altijd geldige formules van Motiveringlogica (bijv. Axioma's van J) toewijst aan geldige formules van een overeenkomstige epistemische logica (K in dit geval). Het omgekeerde geldt ook: elke geldige formule van epistemische logica is de vergeetachtige projectie van een geldige formule van rechtvaardigingslogica. Dit volgt uit de Correspondentiestelling 3.

Stelling 3: J o = K.

Deze correspondentie geldt voor andere paren van rechtvaardigings- en epistemische systemen, bijvoorbeeld J4 en K4, of LP en S4, en vele andere. In zo'n uitgebreide vorm laat de Correspondentiestelling zien dat belangrijke modale logica's zoals K, T, K4, S4, K45, S5 en sommige andere exacte tegenhangers voor logica hebben.

De kern van de correspondentiestelling is de volgende realisatiestelling.

Stelling 4: Er is een algoritme dat, voor elke modale formule F afleidbaar in K, bewijstermen toewijst aan elk voorkomen van modaliteit in F op een zodanige manier dat de resulterende formule F r afleidbaar is in J. Bovendien kent de realisatie bewijsvariabelen toe aan de negatieve gebeurtenissen van modale operatoren in F, waardoor de existentiële lezing van epistemische modaliteit wordt gerespecteerd.

Bekende realisatie-algoritmen die bewijstermen in modale stellingen terugwinnen, gebruiken cut-free-afleidingen in de bijbehorende modale logica. Als alternatief kan de realisatiestelling semantisch worden vastgesteld door de methode van Fitting of de juiste aanpassingen ervan. Deze semantische argumenten leveren in principe ook realisatieprocedures op die zijn gebaseerd op een grondige zoektocht.

Het zou een vergissing zijn om te concluderen dat elke modale logica een redelijke tegenhanger van de Motivering heeft. De logica van formele bewijsbaarheid, GL, (Boolos 1993) bevat bijvoorbeeld het Löb-principe:

(5) □ (□ F → F) → □ F,

die geen epistemisch aanvaardbare expliciete versie lijkt te hebben. Beschouw bijvoorbeeld het geval waarin F de propositionele constante ⊥ is voor false. Als een analoog van Stelling 4 het Löb-principe zou dekken, zouden er rechtvaardigingsvoorwaarden s en t zijn zodat x:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥. Maar dit is intuïtief onjuist voor feitelijke rechtvaardiging. Inderdaad, s: ⊥ → ⊥ is een voorbeeld van het Factivity Axiom. Pas Axiom Internalization toe om c:(s: ⊥ → ⊥) te verkrijgen voor een constante c. Deze keuze van c maakt het antecedent van c:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥ intuïtief waar en de conclusie onwaar [4]. In het bijzonder is het Löb-principe (5) niet geldig voor de bewijsinterpretatie (cf. (Goris 2007) voor een volledig overzicht van welke principes van GL realiseerbaar zijn).

De Correspondentiestelling geeft een nieuw inzicht in epistemische modale logica. Het biedt met name een nieuwe semantiek voor de belangrijkste modale logica. Naast de traditionele Kripke-stijl 'universele' lezing van □ F zoals F geldt in alle mogelijke situaties, is er nu een rigoureuze 'existentiële' semantiek voor □ F die kan worden gelezen omdat er een getuige (bewijs, rechtvaardiging) is voor F.

Rechtvaardiging semantiek speelt een soortgelijke rol in Modal Logic als die gespeeld door Kleene realiseerbaarheid in Intuitionistic Logic. In beide gevallen is de beoogde semantiek existentieel: de Brouwer-Heyting-Kolmogorov-interpretatie van Intuitionistic Logic (Heyting 1934, Troelstra en van Dalen 1988, van Dalen 1986) en Gödel's bewijs van S4 (Gödel 1933, Gödel 1938). In beide gevallen is er een mogelijke wereldsemantiek van universeelkarakter dat een zeer krachtig en dominant technisch hulpmiddel is. Het behandelt echter niet het existentiële karakter van de beoogde semantiek. Het kostte Kleene de realiseerbaarheid (Kleene 1945, Troelstra 1998) om de computationele semantiek van intuïtionistische logica en de logica van bewijzen te onthullen om exacte BHK-semantiek van bewijzen voor intuïtionistische en modale logica te verschaffen.

In de epistemische context voegen de rechtvaardigingslogica en de correspondentiestelling een nieuwe 'rechtvaardigings'-component toe aan de modale logica van kennis en overtuiging. Nogmaals, deze nieuwe component was in feite een oud en centraal begrip dat algemeen werd besproken door reguliere epistemologen, maar dat buiten het bereik van de klassieke epistemische logica bleef. De Correspondentiestelling vertelt ons dat rechtvaardigingen compatibel zijn met Hintikka-achtige systemen en daarom veilig kunnen worden opgenomen in de basis voor Epistemic Modal Logic.

Zie sectie 4 van het aanvullende document Some More Technical Matters voor meer informatie over realisatiestellingen.

5. Generalisaties

Tot dusver zijn in dit artikel alleen logica's voor de verantwoording van één agent overwogen, analoog aan logica van kennis van één agent. Motivering Logica kan worden gezien als logica van expliciete kennis, gerelateerd aan meer conventionele logica van impliciete kennis. Een aantal andere systemen dan de hierboven besproken systemen zijn in de literatuur onderzocht, waarbij meerdere agenten betrokken zijn, of die zowel impliciete als expliciete operatoren hebben, of een combinatie hiervan.

5.1 Expliciete en impliciete kennis combineren

Aangezien rechtvaardigingslogica's expliciete rechtvaardigingen bieden, terwijl conventionele kennislogica's een impliciete kennisoperator bieden, is het logisch om te overwegen om deze twee in één systeem te combineren. De meest voorkomende gezamenlijke logica van expliciete en impliciete kennis is S4LP (Artemov en Nogina 2005). De taal van S4LP is als die van LP, maar met een impliciete kennisoperator toegevoegd, geschreven K of □. De axiomatiek lijkt op die van LP, gecombineerd met die van S4 voor de impliciete operator, samen met een verbindend axioma, t: X → □ X, alles dat een expliciete rechtvaardiging heeft, is bekend.

Semantisch hoeven mogelijke modellen voor LP ter wereld niet te worden gewijzigd, omdat ze al alle machines van Hintikka / Kripke-modellen hebben. Eén modelleert de □ operator op de gebruikelijke manier, gebruikmakend van alleen de toegankelijkheidsrelatie, en één modelleert de rechtvaardigingstermen zoals beschreven in Paragraaf 3.1 met behulp van zowel toegankelijkheid als de bewijsfunctie. Aangezien de gebruikelijke voorwaarde dat □ X waar is in een wereld een van de twee clausules is van de voorwaarde dat t: X waar is, levert dit onmiddellijk de geldigheid op van t: X → □ X, en de degelijkheid volgt gemakkelijk. Axiomatische volledigheid is ook vrij eenvoudig.

In S4LP is zowel impliciete als expliciete kennis vertegenwoordigd, maar in mogelijke semantiek van het wereldrechtvaardigingsmodel dient één toegankelijkheidsrelatie voor beide. Dit is niet de enige manier om dit te doen. Meer in het algemeen kan een expliciete kennistoegankelijkheidsrelatie een goede uitbreiding zijn van die voor impliciete kennis. Dit vertegenwoordigt de visie van expliciete kennis als het hebben van strengere normen voor wat bekend staat als die van impliciete kennis. Het gebruik van verschillende toegankelijkheidsrelaties voor expliciete en impliciete kennis wordt noodzakelijk wanneer deze epistemische noties verschillende logische wetten gehoorzamen, bijvoorbeeld S5 voor impliciete kennis en LP voor expliciete. Het geval van meerdere toegankelijkheidsrelaties is in de literatuur algemeen bekend als Artemov-Fitting-modellen, maar zal hier multi-agent mogelijke wereldmodellen worden genoemd. (Zie paragraaf 5.2).

Vreemd genoeg is, hoewel de logica S4LP vrij natuurlijk lijkt, een realisatiestelling er problematisch voor: geen dergelijke stelling kan worden bewezen als men aandringt op zogenaamde normale realisaties (Kuznets 2010). Het realiseren van impliciete kennismodaliteiten in S4LP door expliciete rechtvaardigingen die de epistemische structuur zouden respecteren, blijft op dit gebied een grote uitdaging.

Interacties tussen impliciete en expliciete kennis kunnen soms nogal delicaat zijn. Beschouw als voorbeeld het volgende gemengde principe van negatieve introspectie (opnieuw moet □ gelezen worden als een impliciete epistemische operator),

(6) ¬ t: X → □ ¬ t: X.

Vanuit het perspectief van bewijsbaarheid is dit de juiste vorm van negatieve introspectie. Laat □ F inderdaad interpreteren als F is aantoonbaar en t: F als t is een bewijs van F in een gegeven formele theorie T, bijvoorbeeld in Peano Arithmetic PA. Vervolgens (6) staat een aantoonbaar principe. Als t inderdaad geen bewijs van F is, kan deze verklaring, aangezien deze beslisbaar is, binnen T worden vastgesteld, dus in T is deze zin aantoonbaar. Aan de andere kant, het bewijs p van 't is geen bewijs van F' hangt af van zowel t als F, p = p (t, F) en kan niet alleen met t worden berekend. In dit opzicht kan □ niet worden vervangen door een specifieke bewijsterm die alleen afhankelijk is van t en (6) kan niet worden gepresenteerd in een volledig expliciete rechtvaardigingsstijl.

De eerste voorbeelden van expliciete / impliciete kennissystemen verschenen op het gebied van bewijsbaarheidslogica. In (Sidon 1997, Yavorskaya (Sidon) 2001) werd een logische LPP geïntroduceerd die de logica van bewijsbaarheid GL combineerde met de logica van bewijzen LP, maar om ervoor te zorgen dat het resulterende systeem gewenste logische eigenschappen had, moesten sommige aanvullende bewerkingen van buiten de oorspronkelijke talen van GL en LP werden toegevoegd. In (Nogina 2006, Nogina 2007) werd een compleet logisch systeem, GLA, voor bewijzen en bewijsbaarheid aangeboden, in de som van de oorspronkelijke talen van GL en LP. Zowel LPP als GLA genieten van volledigheid ten opzichte van de klasse van rekenkundige modellen, en ook ten opzichte van de klasse van mogelijke wereldrechtvaardigingsmodellen.

Een ander voorbeeld van een bewijsbaarheidsprincipe dat niet volledig expliciet kan worden gemaakt, is het Löb-principe (5). Voor elk van LPP en GLA is het gemakkelijk om een ​​bewijsterm l (x) te vinden zodat

(7) x: (□ F → F) → l (x): F

houdt. Er is echter geen realisatie die alle drie de □ s in (5) expliciet maakt. In feite is het geheel van haalbare principes van bewijsbaarheid het snijpunt van GL en S4 (Goris 2007).

5.2 Mogelijke wereldverantwoordingmodellen met meerdere agenten

In Multi-Agent mogelijke wereldrechtvaardigingsmodellen worden meerdere toegankelijkheidsrelaties gebruikt, met onderlinge verbindingen (Artemov 2006). Het idee is dat er meerdere agenten zijn, elk met een impliciete kennisoperator, en er zijn rechtvaardigingsvoorwaarden die elke agent begrijpt. Losjes begrijpt iedereen expliciete redenen; deze komen neer op evidence-based algemene kennis.

Een n-agent mogelijk wereldrechtvaardigingsmodel is een structuur ⟨G, R 1,…, R n, R, E, V⟩ die aan de volgende voorwaarden voldoet. G is een verzameling mogelijke werelden. Elk van R 1, …, R n is een toegankelijkheidsrelatie, één voor elke agent. Deze kunnen naar wens reflexief, transitief of symmetrisch zijn. Ze worden gebruikt om impliciete kennis van agenten te modelleren voor de familie van agenten. De toegankelijkheidsrelatie R voldoet aan de LP-voorwaarden, reflexiviteit en transitiviteit. Het wordt gebruikt bij het modelleren van expliciete kennis. E is een bewijskrachtfunctie en voldoet aan dezelfde voorwaarden als die voor LP in paragraaf 3.3. V wijst zoals gewoonlijk propositiebrieven toe aan sets werelden. Er wordt een speciale voorwaarde opgelegd: voor elke i = 1,…, n, R i ⊆ R.

Als M = ⟨G, R 1,…, R n, R, E, V⟩ een multi-agent mogelijk wereldrechtvaardigingsmodel is, wordt een waarheid-op-een-wereldrelatie, M, Γ ⊩ X, gedefinieerd met de meeste de gebruikelijke clausules. Deze zijn van bijzonder belang:

  • M, Γ ⊩ K i X als en alleen als, voor elke Δ ∈ G met Γ R i Δ, hebben we die M, Δ ⊩ X.
  • M, Γ ⊩ t: X als en alleen als Γ ∈ E (t, X) en, voor elke Δ ∈ G met Γ R Δ, hebben we die M, Δ ⊩ X.

De voorwaarde R i ⊆ R houdt de geldigheid in van t: X → K i X, voor elke agent i. Als er maar één agent is en de toegankelijkheidsrelatie voor die agent reflexief en transitief is, biedt dit een andere semantiek voor S4LP. Ongeacht het aantal agenten, elke agent accepteert expliciete redenen om kennis op te bouwen.

Een versie van LP met twee agenten werd geïntroduceerd en bestudeerd in (Yavorskaya (Sidon) 2008), hoewel deze kan worden gegeneraliseerd naar een eindig aantal agenten. Hierin heeft elke agent zijn eigen set van rechtvaardigingsoperatoren, variabelen en constanten, in plaats van één set voor iedereen te hebben, zoals hierboven. Bovendien kan enige beperkte communicatie tussen agenten zijn toegestaan, met behulp van een nieuwe operator waarmee de ene agent de juistheid van de rechtvaardigingen van de andere agent kan verifiëren. Versies van zowel een enkele wereld als meer algemeen mogelijke wereldrechtvaardiging semantiek zijn gemaakt voor de twee-agent logica. Dit omvat een eenvoudige uitbreiding van het begrip bewijsfunctie en voor mogelijke modellen voor wereldrechtvaardiging, met gebruikmaking van twee toegankelijkheidsrelaties. Realisatiestellingen zijn syntactisch bewezen,hoewel vermoedelijk een semantisch bewijs ook zou werken.

Er is recentelijk onderzoek gedaan naar de rol van openbare aankondigingen in de logica voor de verantwoording van meerdere agenten (Renne 2008, Renne 2009).

In paragraaf 5 van het aanvullende document Some More Technical Matters staat meer over het begrip evidence-based common knowledge.

6. Russell's voorbeeld: geïnduceerde factor

Er is een techniek om Motiveringlogica te gebruiken om verschillende rechtvaardigingen voor hetzelfde feit te analyseren, met name wanneer sommige rechtvaardigingen feitelijk zijn en andere niet. Om de techniek te demonstreren, overweeg een bekend voorbeeld:

Als een man gelooft dat de achternaam van wijlen de premier begon met een 'B', gelooft hij wat waar is, aangezien wijlen de premier Sir Henry Campbell Bannerman was [5]. Maar als hij gelooft dat de heer Balfour wijlen premier was [6], zal hij nog steeds geloven dat de achternaam van wijlen premier begon met een 'B', maar dit geloof zou, hoewel waar, niet als kennis worden beschouwd. (Russell 1912)

Net als in het voorbeeld van de rode schuur, besproken in paragraaf 1.1, heeft men hier te maken met twee rechtvaardigingen voor een waarheidsgetrouwe verklaring, waarvan er één juist is en één niet. Laat B een zin zijn (propositioneel atoom), w een aangewezen rechtvaardigingsvariabele zijn voor de verkeerde reden voor B en ra een aangewezen rechtvaardigingsvariabele zijn voor de juiste (vandaar feitelijke) reden voor B. Vervolgens geeft Russell's voorbeeld aanleiding tot de volgende reeks aannames [7]:

R = {w: B, r: B, r: B → B}

Enigszins in tegenspraak met de intuïtie, kan men logisch de factiviteit van w afleiden uit R:

  1. r: B (aanname)
  2. r: B → B (aanname)
  3. B (van 1 en 2 door Modus Ponens)
  4. B → (w: B → B) (propositionele axioma)
  5. w: B → B (van 3 en 4 door Modus Ponens)

Deze afleiding maakt echter gebruik van het feit dat r een feitelijke rechtvaardiging is voor B om w: B → B te concluderen, wat een geval is van 'geïnduceerde factiviteit' voor w: B. De vraag is, hoe kan men de 'echte' factiviteit van r: B onderscheiden van de 'geïnduceerde factiviteit' van w: B? Hier is een soort van waarheidsregistratie nodig, en Motivering Logica is een geschikt hulpmiddel. De natuurlijke benadering is om de set aannames te beschouwen zonder r: B, dat wil zeggen,

S = {w: B, r: B → B}

en stel vast dat de factiviteit van w, dat wil zeggen w: B → B niet kan worden afgeleid van S. Hier is een mogelijk wereldrechtvaardigingsmodel M = (G, R, E, V) waarin S geldt, maar w: B → B niet:

  • G = { 1 },
  • R = ∅,
  • V (B) = ∅ (en dus niet- 1 ⊩ B),
  • E (t, F) = { 1 } voor alle paren (t, F) behalve (r, B) en
  • E (r, B) = ∅.

Het is gemakkelijk te zien dat aan de sluitingsvoorwaarden Application en Sum on E is voldaan. Op 1 geldt w: B, dwz

1 ⊩ w: B

aangezien w toelaatbaar bewijs is voor B bij 1 en er zijn geen mogelijke werelden toegankelijk vanaf 1. Bovendien

niet- 1 ⊩ r: B

aangezien volgens E r niet toelaatbaar bewijs is voor B op 1. Vandaar:

1 ⊩ r: B → B

Anderzijds,

niet- 1 ⊩ w: B → B

aangezien B niet op 1 staat.

7. Zelfreferentie van rechtvaardigingen

De realisatiealgoritmen produceren soms constante specificaties die zelfreferentiële rechtvaardigingsverklaringen c: A (c) bevatten, dat wil zeggen beweringen waarin de rechtvaardiging (hier c) voorkomt in de beweerde propositie (hier A (c)).

Zelfreferentialiteit van rechtvaardigingen is een nieuw fenomeen dat niet aanwezig is in de conventionele modale taal. Behalve dat het intrigerende epistemische objecten zijn, bieden dergelijke zelfreferentiële beweringen vanuit semantisch oogpunt een speciale uitdaging vanwege de ingebouwde vicieuze cirkel. Om c te evalueren, zou men inderdaad eerst A moeten evalueren en vervolgens een rechtvaardigingsobject voor A aan c toewijzen. Dit kan echter niet, aangezien A c bevat die nog moet worden geëvalueerd. De vraag of modale logica al dan niet gerealiseerd kan worden zonder gebruik te maken van zelfreferentiële rechtvaardigingen was een grote open vraag op dit gebied.

Het belangrijkste resultaat van Kuznets in (Brezhnev en Kuznets 2006) stelt dat de zelfreferentie van rechtvaardigingen onvermijdelijk is bij de realisatie van S4 in LP. De huidige stand van zaken wordt gegeven door de volgende stelling vanwege Kuznets:

Stelling 5: Zelfreferentialiteit kan worden vermeden bij realisaties van modale logica K en D. Zelfreferentie kan niet worden vermeden bij realisaties van modale logica T, K4, D4 en S4.

Deze stelling stelt vast dat een systeem van rechtvaardigingstermen voor S4 noodzakelijkerwijs naar zichzelf verwijst. Dit creëert een serieuze, maar niet direct zichtbare beperking op de semantiek van de bewijsbaarheid. In de Gödeliaanse context van rekenkundige bewijzen werd het probleem aangepakt door een algemene methode om rekenkundige semantiek toe te kennen aan zelfreferentiële beweringen c: A (c) waarin staat dat c een bewijs is van A (c). In de Logic of Proofs LP werd het behandeld door een niet-triviale vaste-puntconstructie.

Zelfreferentialiteit geeft een interessant perspectief op Moore's Paradox. Zie sectie 6 van het aanvullende document Some More Technical Matters voor details.

8. Quantifiers in Motivering Logica

Hoewel het onderzoek naar propositionele logica verre van volledig is, is er ook sporadisch gewerkt aan eerste-orde-versies. Gekwantificeerde versies van Modal Logic bieden al complexiteiten die verder gaan dan de standaard eerste-orde logica. Kwantificering heeft een nog breder speelveld als het gaat om rechtvaardigingslogica. Klassiek kwantificeert men meer dan 'objecten' en modellen zijn uitgerust met een domein waarover kwantoren zich uitstrekken. Mogelijk heeft men een enkel domein dat alle mogelijke werelden gemeen heeft, of men kan voor elke wereld afzonderlijke domeinen hebben. De rol van de Barcan-formule is hier bekend. Er zijn ook constante en variërende domeinopties beschikbaar voor Motivering Logica. Daarnaast is er een mogelijkheid die geen analoog heeft voor Modal Logic: men zou zelf de rechtvaardigingen kunnen kwantificeren.

De eerste resultaten met betrekking tot de mogelijkheid van gekwantificeerde logica waren met name ongunstig. De rekenkundige semantiek van de Logica of Proofs LP, generaliseert natuurlijk naar een eerste-orde versie met conventionele kwantoren, en naar een versie met kwantificatoren over proeven. In beide gevallen werden vragen over axiomatiseerbaarheid negatief beantwoord.

Stelling 6: De eerste-orde logica van bewijzen is niet recursief op te noemen (Artemov en Yavorskaya (Sidon) 2001). De logica van bewijzen met kwantoren boven bewijzen is niet recursief op te noemen (Yavorsky 2001).

Hoewel een rekenkundige semantiek niet mogelijk is, werd in (Fitting 2008) een mogelijke wereldsemantiek en een axiomatische bewijstheorie gegeven voor een LP-versie met kwantificatoren die zich uitstrekken over rechtvaardigingen. Deugdelijkheid en volledigheid werden bewezen. Op dit punt scheidt mogelijke wereldse semantiek zich van rekenkundige semantiek, wat al dan niet een reden tot ongerustheid kan zijn. Er werd ook aangetoond dat S4 insluit in de gekwantificeerde logica door □ Z te vertalen als "er bestaat een rechtvaardiging x zodat x: Z * ", waarbij Z * de vertaling is van Z. Hoewel deze logica enigszins gecompliceerd is, heeft het toepassingen gevonden, bijvoorbeeld in (Dean en Kurokawa 2009b) die wordt gebruikt om de Knower Paradox te analyseren, hoewel er bezwaren zijn opgeworpen tegen deze analyse in (Arlo-Costa en Kishida 2009).

Er is ook gewerkt aan versies van Motiveringlogica met kwantoren boven objecten, zowel met als zonder een analoog van de Barcan-formule. Niets van dit alles is gepubliceerd en het moet worden beschouwd als werk in uitvoering.

9. Historische aantekeningen

Het oorspronkelijke systeem voor logica van de rechtvaardiging, de Logic of Proofs LP, werd in 1995 geïntroduceerd in (Artemov 1995) (zie ook (Artemov 2001)), waar eerst basiseigenschappen als internalisatie, realisatie en rekenkundige volledigheid werden vastgesteld. LP bood een beoogde bewijsbaarheidssemantiek voor Gödel's bewijsbaarheidslogica S4, en bood daarmee een formalisering van Brouwer-Heyting-Kolmogorov-semantiek voor intuïtionistische propositionele logica. Epistemische semantiek en volledigheid (Fitting 2005) werden voor het eerst vastgesteld voor LP. Symbolische modellen en beslisbaarheid voor LP zijn te danken aan Mkrtychev (Mkrtychev 1997). Complexiteitsschattingen verschenen voor het eerst in (Brezhnev en Kuznets 2006, Kuznets 2000, Milnikel 2007). Een uitgebreid overzicht van alle resultaten op het gebied van beslisbaarheid en complexiteit is te vinden in (Kuznets 2008). Systemen J, J4,en JT werden voor het eerst overwogen in (Brezhnev 2001) onder verschillende namen en in een iets andere setting. JT45 verscheen onafhankelijk in (Pacuit 2006) en (Rubtsova 2006) en JD45 in (Pacuit 2006). De logica van uni-conclusie bewijzen is gevonden in (Krupski 1997). Een meer algemene benadering van gemeenschappelijke kennis op basis van gerechtvaardigde kennis werd aangeboden in (Artemov 2006). Spelsemantiek van de rechtvaardigingslogica en dynamische epistemische logica met rechtvaardigingen werden bestudeerd in (Renne 2008, Renne 2009). Verbanden tussen Motivering Logica en het probleem van logische alwetendheid werden onderzocht in (Artemov en Kuznets 2009, Wang 2009). De naam Motivering Logica werd geïntroduceerd in (Artemov 2008), waarin voorbeelden van Kripke, Russell en Gettier werden geformaliseerd; deze formalisatie is gebruikt voor het oplossen van paradoxen, verificatie,analyse van verborgen veronderstellingen en het elimineren van ontslagen. In (Dean en Kurokawa 2009a) werd Motiveringlogica gebruikt voor de analyse van kennis- en kenbaarheidsparadoxen.

Bibliografie

  • Antonakos, E. (2007). "Gerechtvaardigde en algemene kennis: beperkte conservativiteit", in S. Artemov en A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, International Symposium, LFCS 2007, New York, NY, VS, 4–7 juni 2007, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 4514), Berlin: Springer, pp. 1–11.
  • Arlo-Costa, H. en K. Kishida (2009). "Drie bewijzen en de Kenner in de gekwantificeerde logica van bewijzen", in Formal Epistemology Workshop / FEW 2009. Proceedings, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, VS.
  • Artemov, S. (1995). "Operational modal logic", technisch rapport MSI 95–29, Cornell University.
  • –––. (2001). 'Expliciete bewijsbaarheid en constructieve semantiek', The Bulletin of Symbolic Logic, 7 (1): 1–36.
  • –––. (2006). 'Gerechtvaardigde algemene kennis', Theoretische informatica, 357 (1–3): 4–22.
  • –––. (2008). "De logica van rechtvaardiging", The Review of Symbolische Logica, 1 (4): 477-513.
  • Artemov, S. en R. Kuznets (2009). "Logical alwetendheid als een computationeel complexiteitsprobleem", in A. Heifetz (red.), Theoretische aspecten van rationaliteit en kennis, Proceedings of the Twelfth Conference (TARK 2009), ACM Publishers, pp. 14–23.
  • Artemov, S. en E. Nogina (2005). "Introductie van rechtvaardiging in epistemische logica", Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059-1073.
  • Artemov, S. en T. Yavorskaya (Sidon) (2001). "Over eerste orde logica van bewijzen", Moscow Mathematical Journal, 1 (4): 475–490.
  • Boolos, G. (1993). The Logic of Provability, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Brezhnev, V. (2001). "Over de logica van bewijzen", in K. Striegnitz (red.), Proceedings of the Sixth ESSLLI Student Session, 13th European Summer School in Logic, Language and Information (ESSLLI'01), pp. 35–46.
  • Brezhnev, V. en R. Kuznets (2006). 'Kennis expliciet maken: hoe moeilijk het is', Theoretische informatica, 357 (1–3): 23–34.
  • Cubitt, RP en R. Sugden (2003). 'Algemene kennis, opvallendheid en conventie: een reconstructie van de speltheorie van David Lewis', Economie en filosofie, 19: 175–210.
  • Dean, W. en H. Kurokawa (2009a). 'Van de kenbaarheidsparadox tot het bestaan ​​van bewijzen', Synthese,, 176 (2): 177–225.
  • –––. (2009b). “Knowledge, proof and the Knower”, in A. Heifetz (red.), Theoretische aspecten van rationaliteit en kennis, Proceedings of the Twelfth Conference (TARK 2009), ACM Publications, pp. 81–90.
  • Dretske, F. (2005). 'Wordt kennis gesloten onder bekende bekentenis? The Case against Closure”, in M. Steup en E. Sosa (red.), Contemporary Debates in Epistemology, Oxford: Blackwell, pp. 13–26.
  • Fagin, R., J. Halpern, Y. Moses en M. Vardi (1995). Reasoning About Knowledge, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Fitting, M. (2005). 'De logica van bewijzen, semantisch', Annals of Pure and Applied Logic, 132 (1): 1–25.
  • –––. (2006). "Een vervangingsstelling voor LP ", Technisch Rapport TR-2006002, Afdeling Computerwetenschappen, City University of New York.
  • –––. (2008). 'Een gekwantificeerde logica van bewijs', Annals of Pure and Applied Logic, 152 (1–3): 67–83.
  • –––. (2009). 'Realisaties en LP ', Annals of Pure and Applied Logic, 161 (3): 368–387.
  • Gettier, E. (1963). 'Is gerechtvaardigde ware geloofskennis?' Analyse, 23: 121–123.
  • Girard, J.-Y., P. Taylor en Y. Lafont (1989). Bewijzen en typen (Cambridge Tracts in Computer Science: Volume 7), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Gödel, K. (1933). "Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls", Ergebnisse Math. Kolloq., 4: 39–40. Engelse vertaling in: S. Feferman et al. (redactie), Kurt Gödel Collected Works (Volume 1), Oxford en New York: Oxford University Press en Clarendon Press, 1986, pp. 301–303.
  • –––. (1938). "Vortrag bei Zilsel / Lecture at Zilsel's" (* 1938a), in S. Feferman, JJ Dawson, W. Goldfarb, C. Parsons en R. Solovay (red.), Niet-gepubliceerde essays en lezingen (Kurt Gödel Collected Works: Volume III), Oxford: Oxford University Press, 1995, pp. 86–113.
  • Goldman, A. (1967). 'Een causale theorie van betekenis', The Journal of Philosophy, 64: 335–372.
  • Goodman, N. (1970). 'Een constructietheorie komt overeen met rekenen', in J. Myhill, A. Kino en R. Vesley (red.), Intuitionism and Proof Theory, Amsterdam: Noord-Holland, pp. 101–120.
  • Goris, E. (2007). "Expliciete bewijzen in formele bewijsbaarheidslogica", in S. Artemov en A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, International Symposium, LFCS 2007, New York, NY, VS, 4–7 juni 2007, Proceedings (ecture Notes in Computer Science: Volume 4514), Berlin: Springer, pp. 241–253.
  • Hendricks, V. (2005). Mainstream en formele epistemologie, New York: Cambridge University Press.
  • Heyting, A. (1934). Mathematische Grundlagenforschung. Intuïtionisme. Beweistheorie, Berlijn: Springer.
  • Hintikka, J. (1962). Kennis en overtuiging, Ithaca: Cornell University Press.
  • Kleene, S. (1945). “Over de interpretatie van de intuïtionistische getaltheorie”, The Journal of Symbolic Logic, 10 (4): 109–124.
  • Kolmogorov, A. (1932). “Zur Deutung der Intuitionistischen Logik”, Mathematische Zeitschrift, 35: 58–65. Engelse vertaling in VM Tikhomirov (red.), Geselecteerde werken van AN Kolmogorov. Deel I: Wiskunde en mechanica, Dordrecht: Kluwer, 1991, pp. 151–158.
  • Kreisel, G. (1962). "Foundations of intuitionistic logic", in E. Nagel, P. Suppes, en A. Tarski (red.), Logica, Methodologie en Wetenschapsfilosofie. Proceedings of the 1960 International Congress, Stanford: Stanford University Press, pp. 198–210.
  • –––. (1965). "Mathematical logic", in T. Saaty (red.), Lectures in Modern Mathematics III, New York: Wiley and Sons, pp. 95–195.
  • Krupski, V. (1997). "Operational logic of proofs with functionalitity condition on proof predicate", in S. Adian en A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, 4th International Symposium, LFCS'97, Yaroslavl, Rusland, 6–12 juli 1997, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 1234), Berlin: Springer, pp. 167–177.
  • Kurokawa, H. (2009). "Tableaux en hypersequenten voor rechtvaardigingslogica", in S. Artemov en A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, International Symposium, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, VS, 3–6 januari 2009, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 5407), Berlin: Springer, pp. 295–308.
  • Kuznets, R. (2000). “On the Complexity of Explicit Modal Logics”, in P. Clote en H. Schwichtenberg (red.), Computer Science Logic, 14th International Workshop, CSL 2000, jaarlijkse conferentie van de EACSL, Fischbachau, Duitsland, 21–26 augustus 2000, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 1862), Berlin: Springer, pp. 371–383.
  • –––. (2008). Complexiteitskwesties in rechtvaardigingslogica, proefschrift, informatica-afdeling, City University of New York Graduate Center.
  • –––. (2010). "Een opmerking over de abnormaliteit van realisaties van S4LP ", in K. Brünnler en T. Studer (red.), Proof, Computation, Complexity PCC 2010, International Workshop, Proceedings, IAM Technical Reports IAM-10-001, Institute of Computer Wetenschap en toegepaste wiskunde, Universiteit van Bern.
  • McCarthy, J., M. Sato, T. Hayashi en S. Igarishi (1978). "Over de modeltheorie van kennis", Technisch Rapport STAN-CS-78-667, Departement Computerwetenschappen, Stanford University.
  • Milnikel, R. (2007). "Afleidbaarheid in bepaalde subsystemen van de Logic of Proofs is p 2 p -compleet", Annals of Pure and Applied Logic, 145 (3): 223–239.
  • –––. (2009). "Conservativity for Logics of Justified Belief", in S. Artemov en A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, International Symposium, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, USA, 3–6 januari 2009, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 5407), Berlin: Springer, pp. 354–364.
  • Mkrtychev, A. (1997). "Models for the Logic of Proofs", in S. Adian en A. Nerode (eds.), Logical Foundations of Computer Science, 4th International Symposium, LFCS'97, Yaroslavl, Rusland, 6-12 juli 1997, Proceedings (Lezing Notes in Computer Science: Volume 1234), Berlin: Springer, pp. 266–275.
  • Nogina, E. (2006). “On logic of proofs and provability”, in 2005 Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic, Logic Colloquium'05, Athene, Griekenland (28 juli - 3 augustus 2005), The Bulletin of Symbolische Logica, 12 (2): 356.
  • –––. (2007). "Epistemische volledigheid van GLA ", in 2007 Jaarvergadering van de Association for Symbolic Logic, University of Florida, Gainesville, Florida (10–13 maart 2007), The Bulletin of Symbolic Logic, 13 (3): 407.
  • Pacuit, E. (2006). “A Note on Some Explicit Modal Logics”, Technical Report PP – 2006–29, Institute for Logic, Language and Computation, Universiteit van Amsterdam.
  • Plaza, J. (2007). 'Logica van openbare communicatie', Synthese, 158 (2): 165–179.
  • Renne, B. (2008). Dynamische epistemische logica met motivering, proefschrift D. Computerwetenschappen, CUNY Graduate Center, New York, NY, VS.
  • –––. (2009). “Evidence Elimination in Multi-Agent Motivering Logic”, in A. Heifetz (red.), Theoretische aspecten van rationaliteit en kennis, Proceedings of the Twelfth Conference (TARK 2009), ACM Publications, pp. 227–236.
  • Rose, G. (1953). 'Propositionele calculus en realiseerbaarheid', Transactions of the American Mathematical Society, 75: 1–19.
  • Rubtsova, N. (2006). "On Realization of S5 -modality by Evidence Terms", Journal of Logic and Computation, 16 (5): 671–684.
  • Russell, B. (1912). De problemen van de filosofie, Oxford: Oxford University Press.
  • Sidon, T. (1997). "Provability logic with operations on proofs", in S. Adian en A. Nerode (eds.), Logical Foundations of Computer Science, 4th International Symposium, LFCS'97, Yaroslavl, Rusland, 6-12 juli 1997, Proceedings (Lezing Notes in Computer Science: Volume 1234), Berlin: Springer, pp. 342-353.
  • Troelstra, A. (1998). "Realizability", in S. Buss (red.), Handbook of Proof Theory, Amsterdam: Elsevier, pp. 407–474.
  • Troelstra, A. en H. Schwichtenberg (1996). Basic Proof Theory, Amsterdam: Cambridge University Press.
  • Troelstra, A. en D. van Dalen (1988). Constructivisme in de wiskunde (jaargangen 1, 2), Amsterdam: Noord-Holland.
  • van Dalen, D. (1986). 'Intuitionistic logic', in D. Gabbay en F. Guenther (red.), Handbook of Philosophical Logic (Volume 3), Bordrecht: Reidel, pp. 225–340.
  • van Ditmarsch, H., W. van der Hoek, en B. Kooi (red.), (2007). Dynamic Epistemic Logic (Synthese Library, Volume 337), Berlin: Springer..
  • von Wright, G. (1951). An Essay in Modal Logic, Amsterdam: Noord-Holland.
  • Wang, R.-J. (2009). 'Kennis, tijd en logische alwetendheid', in H. Ono, M. Kanazawa en R. de Queiroz (red.), Logica, taal, informatie en berekeningen, 16e internationale workshop, WoLLIC 2009, Tokyo, Japan, 21 juni -24, 2009, Proceedings (Lecture Notes in Artificial Intelligence: Volume 5514), Berlin: Springer, pp. 394–407.
  • Yavorskaya (Sidon), T. (2001). 'Logica van bewijzen en bewijsbaarheid', Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 345–372.
  • –––. (2008). 'Interacting Explicit Evidence Systems', Theory of Computing Systems, 43 (2): 272–293.
  • Yavorsky, R. (2001). 'Logica van bruikbaarheid met kwantoren op bewijzen', Annals of Pure en Applied Logic, 113 (1-3): 373-387.

Academische hulpmiddelen

sep man pictogram
sep man pictogram
Hoe deze vermelding te citeren.
sep man pictogram
sep man pictogram
Bekijk een voorbeeld van de PDF-versie van dit item bij de Vrienden van de SEP Society.
inpho icoon
inpho icoon
Zoek dit onderwerp op bij het Indiana Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papieren pictogram
phil papieren pictogram
Verbeterde bibliografie voor dit item op PhilPapers, met links naar de database.

Andere internetbronnen

Motivering Logische bibliografie, een complete bibliografie van materiaal over rechtvaardigingslogica. Onderhouden door Roman Kuznets, onderzoeker bij de Onderzoeksgroep voor Theoretische Informatica en Logica (TIL) in het Instituut voor Informatica en Toegepaste Wiskunde (IAM) van de Universiteit van Bern

Populair per onderwerp