The Revision Theory Of Truth

Inhoudsopgave:

The Revision Theory Of Truth
The Revision Theory Of Truth
Video: The Revision Theory Of Truth
Video: Theories of Truth 2023, Februari
Anonim

Dit is een bestand in de archieven van de Stanford Encyclopedia of Philosophy.

The Revision Theory of Truth

Voor het eerst gepubliceerd op 15 december 1995; inhoudelijke herziening vr 28 jul. 2006

Beschouw de volgende zin:

(1) is niet waar. (1)

Het is al lang bekend dat de zin (1) een paradox produceert, de zogenaamde leugenaarsparadox: het lijkt onmogelijk om consequent te volhouden dat (1) waar is, en onmogelijk om consequent te beweren dat (1) niet waar is. (Voor details, zie Sectie 1 hieronder.) Gezien een dergelijke paradox, zou men sceptisch kunnen zijn over het idee van waarheid, of in ieder geval over de vooruitzichten om een ​​wetenschappelijk respectabel verslag van waarheid te geven. Alfred Tarski's grote prestatie was om te laten zien hoe je - in weerwil van deze scepsis - een formele definitie van waarheid kunt geven aan een brede klasse van geformaliseerde talen. Tarski liet echter niet zien hoe een definitie van waarheid te geven voor talen (zoals Engels) die hun eigen waarheidspredikaten bevatten. Hij dacht dat dit niet mogelijk was, juist vanwege de leugenaarsparadox.Hij rekende erop dat elke taal met zijn eigen waarheidspredikaat inconsistent zou zijn, zolang hij maar de regels van de klassieke klassieke logica in acht nam en de mogelijkheid had om naar zijn eigen zinnen te verwijzen.

Gezien het nauwe verband tussen betekenis en waarheid, wordt algemeen aangenomen dat elke semantiek voor een taal L, dat wil zeggen elke betekenistheorie voor L, nauw verwant zal zijn aan een waarheidstheorie voor L: inderdaad wordt algemeen aangenomen dat iets zoals een Tarskiaanse waarheidstheorie voor L een centraal onderdeel zal zijn van een semantiek voor L. De onmogelijkheid om een ​​Tarskiaanse waarheidstheorie te geven voor talen met hun eigen waarheidspredikaten, bedreigt dus het project om een ​​semantiek te geven voor talen met hun eigen waarheidspredikaten.

We moesten wachten tot het werk van Kripke 1975 en van Martin & Woodruff 1975 voor een systematisch formeel voorstel van een semantiek voor talen met hun eigen waarheidspredikaten. De basisgedachte is eenvoudig: neem de aanstootgevende zinnen, zoals (1), niet waar of onwaar. Vooral Kripke laat zien hoe deze gedachte kan worden geïmplementeerd voor een grote verscheidenheid aan talen, in feite gebruikmakend van een semantiek met drie waarden: waar, onwaar en geen van beide. [1] Het is veilig om te zeggen dat de benaderingen van Kripkean het Tarskische pessimisme hebben vervangen als de nieuwe orthodoxie over talen door hun eigen waarheidspredikaten.

Een van de belangrijkste rivalen van de drievoudige semantiek is de Revision Theory of Truth, of RTT, onafhankelijk bedacht door Hans Herzberger en Anil Gupta, en voor het eerst gepresenteerd in publicatie in Herzberger 1982a en 1982b, Gupta 1982 en Belnap 1982 - de eerste monografieën over het onderwerp zijn Yaqūb 1993 en de locus classicus, Gupta & Belnap 1993. De RTT is ontworpen om het soort redenering te modelleren waartoe de leugenaarszin leidt, binnen een context met twee waarden. Het centrale idee is het idee van een herzieningsproces: een proces waarmee we hypothesen over de waarheidswaarde van een of meer zinnen herzien. Het doel van dit artikel is de Revision Theory of Truth te schetsen. We gaan als volgt te werk:

  • 1. Semiformele introductie
  • 2. Het probleem inlijsten

    • 2.1 Waarheidstalen
    • 2.2 Grondmodellen
    • 2.3 De leugenaarsparadox (opnieuw)
  • 3. Basisbegrippen van de RTT

    • 3.1 Herzieningsregels
    • 3.2 Revisiereeksen
  • 4. Interpretatie van het formalisme

    • 4.1 De betekenis van T
    • 4.2 De 'iff' in de T-biconditionals
    • 4.3 De paradoxale redenering
    • 4.4 Het betekenissen proefschrift
    • 4.5 De ​​supervenience van semantiek
    • 4.6 Yaqūb's interpretatie van het formalisme
  • 5. Verdere problemen

    • 5.1 Drie-waardige semantiek
    • 5.2 Wijzigingen in de RTT
    • 5.3 Revisietheorie voor circulair gedefinieerde concepten
    • 5.5 Toepassingen
    • 5.5 Een open vraag
  • Bibliografie
  • Andere internetbronnen
  • Gerelateerde vermeldingen

1. Semiformele introductie

Laten we de zin (1) van hierboven eens nader bekijken:

(1) is niet waar. (1)

Het zal nuttig zijn om de paradoxale redenering expliciet te maken. Stel eerst dat

(1) is niet waar. (2)

Het lijkt een intuïtief principe met betrekking tot de waarheid dat we voor elke zin p de zogenaamde T-biconditioneel hebben

'p' is waar iff p. (3)

(Hier gebruiken we 'iff' als afkorting voor 'if and only if'.) In het bijzonder zouden we moeten hebben

'(1) is niet waar' is waar als f (1) niet waar is. (4)

Dus van (2) en (4) krijgen we

'(1) is niet waar' is waar. (5)

Dan kunnen we de identiteit toepassen,

(1) = '(1) is niet waar.' (6)

om te concluderen dat (1) waar is. Dit alles toont aan dat als (1) niet waar is, dan (1) waar is. Evenzo kunnen we ook beweren dat als (1) waar is, (1) niet waar is. Dus (1) lijkt zowel waar als niet waar te zijn: vandaar de paradox. Zoals hierboven vermeld, vereist de drievoudige benadering van de paradox dat de leugenzin (1) niet waar of onwaar is. Precies hoe, of zelfs of, deze zet bovenstaande redenering blokkeert, is een kwestie van discussie. De RTT is niet ontworpen om redenering van de bovenstaande soort te blokkeren, maar om deze - of het meeste ervan - te modelleren. [2] Zoals hierboven vermeld, is het centrale idee het idee van een herzieningsproces: een proces waarmee we hypothesen over de waarheidswaarde van een of meer zinnen herzien.

Overweeg de redenering met betrekking tot de leugenaarzin, (1) hierboven. Stel dat we veronderstellen dat (1) niet waar is. Vervolgens, met een toepassing van de relevante T-biconditioneel, zouden we onze hypothese als volgt kunnen herzien:

Hypothese: (1) is niet waar.
T-biconditioneel: '(1) is niet waar' is waar als f (1) niet waar is.
Daarom: '(1) is niet waar' is waar.
Bekende identiteit: (1) = '(1) is niet waar'.
Gevolgtrekking: (1) is waar.
Nieuwe herziene hypothese: (1) is waar.

We zouden het herzieningsproces kunnen voortzetten door onze hypothese nogmaals als volgt te herzien:

Nieuwe hypothese: (1) is waar.
T-biconditioneel: '(1) is niet waar' is waar als f (1) niet waar is.
Daarom: '(1) is niet waar' is niet waar.
Bekende identiteit: (1) = '(1) is niet waar'.
Gevolgtrekking: (1) is niet waar.
Nieuwe nieuwe herziene hypothese: (1) is niet waar.

Terwijl het herzieningsproces doorgaat, wisselen we heen en weer tussen het nemen van de leugenzin als waar en niet waar.

Voorbeeld 1.1

Het is de moeite waard om te zien hoe dit soort herzieningsredenering werkt in een zaak met meerdere zinnen. Laten we het revisie-idee toepassen op de volgende drie zinnen:

(8) is waar of (9) is waar. (7)
(7) is waar. (8)
(7) is niet waar. (9)

Informeel kunnen we als volgt redeneren. Ofwel (7) is waar of (7) is niet waar. Dus (8) is waar of (9) is waar. Dus (7) is waar. Dus (8) is waar en (9) is niet waar, en (7) is nog steeds waar. Nogmaals het proces herhalend, krijgen we nogmaals (8) is waar, (9) is niet waar en (7) is waar. Formeler, overweeg elke initiële hypothese, h 0, over de waarheidswaarden van (7), (8) en (9). Ofwel h 0 zegt dat (7) waar is of h 0 zegt dat (7) niet waar is. In beide gevallen kunnen we de T-biconditioneel gebruiken om onze herziene hypothese h 1 te genereren: als h 0 zegt dat (7) waar is, dan zegt h 1 dat '(7) waar is' waar is, dat wil zeggen dat (8) is waar; en als h 0zegt dat (7) waar is, dan zegt h 1 dat '(7) niet waar is' waar is, dat wil zeggen dat (9) waar is. Dus h 1 zegt dat (8) waar is of (9) waar is. Dus h 2 zegt dat '(8) waar is of (9) waar is' waar is. Met andere woorden, h 2 zegt dat (7) waar is. Dus ongeacht met welke hypothese h 0 we beginnen, twee herhalingen van het herzieningsproces leiden tot een hypothese dat (7) waar is. Evenzo leiden drie of meer herhalingen van het herzieningsproces tot de hypothese dat (7) waar is, (8) waar is en (9) onwaar is - ongeacht onze oorspronkelijke hypothese. In paragraaf 3 zullen we dit voorbeeld heroverwegen in een meer formele context.

Een ding om op te merken is dat, in Voorbeeld 1.1, het herzieningsproces stabiele waarheidswaarden oplevert voor alle drie de zinnen. Het idee van een zin die in alle revisiesequenties stabiel is, zal een centraal begrip zijn voor de RTT. De revisie-theoretische behandeling staat in dit geval in contrast met de drievoudige benadering: op de meeste manieren om het drievoudige idee te implementeren, blijken alle drie de zinnen (7), (8) en (9) geen van beide te zijn waar of niet waar. [3] In dit geval vat de RTT aantoonbaar de juiste informele redenering beter vast dan de drievoudige benadering: de RTT kent de zinnen (7), (8) en (9) de waarheidswaarden toe die aan hen zijn toegewezen. door de informele redenering aan het begin van het voorbeeld.

2. Het probleem inlijsten

2.1 Waarheidstalen

Het doel van de RTT is om een ​​verslag te geven van onze vaak onstabiele en vaak paradoxale redenering over waarheid - een tweeledig account dat zinnen toewijst aan stabiele klassieke waarheidswaarden, terwijl intuïtief redeneren stabiele klassieke waarheidswaarden zou toewijzen. We zullen een formele semantiek presenteren voor een formele taal: we willen dat die taal zowel een waarheidspredikaat heeft als de middelen om naar zijn eigen zinnen te verwijzen.

Laten we een eerste-orde taal L beschouwen, met verbindende &, ∨ en ¬, kwantoren ∀ en ∃, het gelijkteken =, variabelen en een aantal namen, functiesymbolen en relatiesymbolen. We zullen zeggen dat L een waarheidstaal is, als het een onderscheidend predikaat T en aanhalingstekens 'en' heeft, dat zal worden gebruikt om aanhalingstekens te vormen: als A een zin van L is, dan is 'A' een naam. Laat Sent L = {A: A is een zin van L}.

2.2 Grondmodellen

Afgezien van het waarheidspredikaat, gaan we ervan uit dat onze taal volledig klassiek wordt geïnterpreteerd. We zullen dus het T- vrije fragment van een waarheidstaal L representeren door een grondmodel, dat wil zeggen een klassieke interpretatie van het T- vrije fragment van L. Door de T -gratis fragment van l, bedoelen we de eerste orde taal L - die dezelfde naam, functiesymbolen en relatiesymbolen als L heeft, behalve de unaire predikaat T. Omdat L - dezelfde namen heeft als L, inclusief dezelfde citaatnamen, zal L - een citaatnaam 'A' hebben voor elke zin A van L. Dus ∀ x T x is geen zin van L -, maar '∀ xT x 'is een naam van L - en ∀ x (x =' ∀ x T x ') is een zin van L -. Gegeven een basismodel, zullen we de vooruitzichten overwegen om een ​​bevredigende interpretatie van T te geven. Het meest voor de hand liggende desideratum is dat het grondmodel, uitgebreid met een interpretatie van T, voldoet aan Tarski's T-biconditionals, dat wil zeggen de biconditionals van de vorm

T  'A' als A

voor elke A ∈ verzonden L. Om de zaken precies te maken, laat een grondmodel voor L een klassiek model zijn M = <D, I> voor het T- vrije fragment van L, dat voldoet aan het volgende:

  1. D is een niet-leeg domein van vertoog;
  2. Ik is een functie toewijzen

    1. aan elke naam van L een lid van D;
    2. aan elk n-arief functiesymbool van L een functie van D n tot D; en
    3. voor elk n -ary relatiesymbool, anders dan T, van L een functie van D n tot een van de twee waarheidswaarden in de verzameling { t, f }; [4]
  3. Verzonden L ∈ D; en
  4. I (A) = A voor elke A ∈ verzonden L.

Clausules (1) en (2) specificeren eenvoudig wat het is dat M een klassiek model is van het T- vrije fragment van L. Clausules (3) en (4) zorgen ervoor dat L, wanneer geïnterpreteerd, over zijn eigen zinnen kan praten. Gegeven een grondmodel M voor L en een naam, functiesymbool of relatiesymbool X, kunnen we I (X) beschouwen als de interpretatie of, om een ​​term te lenen van Gupta en Belnap, de betekenis van X. Gupta en Belnap karakteriseren de betekenis van een uitdrukking of concept in een wereld als "een abstract iets dat alle informatie bevat over alle extensieve relaties van de uitdrukking [of concept] in w." Als we T x willen interpreteren als 'x is waar', dan zouden we, gegeven een grondmodel M, een geschikte betekenis of een passend bereik van betekenissen willen vinden voorT.

2.3 De leugenaarsparadox (opnieuw)

We kunnen proberen om toe te wijzen aan T een klassieke betekenis, door de uitbreiding van M naar een klassieke model M '= <D', I '> voor alle L, met inbegrip van T. Bedenk dat we willen dat M 'de T-biconditionals bevredigt: de meest voor de hand liggende gedachte hier is om de' iff 'te begrijpen als de standaard waarheidsconditionele biconditioneel. Helaas kan niet elk grondmodel M = <D, I> worden uitgebreid tot zo'n M '. Beschouw een waarheidstaal L met een naam λ, en een grondmodel M = <D, I> zodat I (λ) = ¬ T λ. En stel dat M 'een klassieke uitbreiding is van M naar heel L. Omdat M 'een uitbreiding is van M, zijn ik en ik' het eens over alle namen van L. Zo

Ik '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I' ('¬ T λ').

De zinnen T λ en T  '¬ T λ' hebben dus dezelfde waarheidswaarde in M ​​'. Dus de T-biconditioneel

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

is onwaar in M ​​'. Dit is een formalisering van de paradox van de leugenaar, met de zin ¬ T λ als de zin van de overtredende leugenaar.

In een semantiek voor talen die hun eigen waarheidsconcepten kunnen uitdrukken, zal T in het algemeen geen klassieke betekenis hebben; en de 'iff' in de T-biconditionals zal niet gelezen worden als de klassieke biconditioneel. We nemen deze suggesties op in paragraaf 4 hieronder.

3. Basisbegrippen van de RTT

3.1 Herzieningsregels

In paragraaf 1 schetsten we informeel de centrale gedachte van de RTT, namelijk dat we de T-biconditionals kunnen gebruiken om een ​​herzieningsregel te genereren - een regel voor het herzien van een hypothese over de uitbreiding van het waarheidspredikaat. Hier zullen we dit idee formaliseren en een voorbeeld uit paragraaf 1 doornemen.

Laat L in het algemeen een waarheidstaal zijn en M een grondmodel voor L. Een hypothese is een functie h: D → { t, f }. Een hypothese zal in feite een hypothetische klassieke interpretatie voor T zijn. Laten we werken met een voorbeeld dat zowel de paradox van de leugenaar als voorbeeld 1.1 uit sectie 1 weergeeft. We zullen het voorbeeld formeel, maar op een semi-formele manier redeneren, om over te stappen van de ene veronderstelde uitbreiding van T naar de andere.

Voorbeeld 3.1

Stel dat L bevat vier niet-quote namen, α, β, γ en λ en geen andere dan predikaten T. Stel ook dat M = <D, I> als volgt is:

D = Verzonden L
Ik (α) = T β ∨ T γ
Ik (β) = T α
Ik (γ) = ¬ T α
Ik (λ) = ¬ T λ

Het is handig om te verhuren

EEN de zin zijn T β ∨ T γ
B de zin zijn T α
C de zin zijn ¬ T α
X de zin zijn ¬ T λ

Dus:

D = Verzonden L
Ik (α) = EEN
Ik (β) = B
Ik (γ) = C
Ik (λ) = X

Stel dat de hypothese h 0 veronderstelt dat A onwaar is, B waar is, C onwaar is en X waar is. Dus

h 0 (A) = f
h 0 (B) = t
h 0 (C) = f
h 0 (X) = f

Nu gaan we aan de hand van hypothese h 0 een of andere semiformele redenering aan. Van de vier zinnen, A, B, C en X, h 0 zet alleen B in het verlengde van T. Dus, redenerend vanuit h 0, concluderen we dat

¬ T α aangezien de referent van α niet in de extensie van T ligt
T β aangezien de referent van β in de extensie van T ligt
¬ T γ aangezien de referent van γ niet in de extensie van T ligt
¬ T λ aangezien de referent van λ niet in de extensie van T ligt.

De T-biconditioneel voor de vier zinnen A, B, C en X zijn als volgt:

(T A) A is waar als T β ∨ T γ
(T B) B is waar als T α
(T C) C is waar als ¬ T α
(T X) X is waar iff ¬ T λ

Dus, redenerend vanuit h 0, concluderen we dat

A is waar
B is niet waar
C is waar
X is waar

Dit levert onze nieuwe hypothese h 1 op:

h 1 (A) = t
h 1 (B) = f
h 1 (C) = t
h 1 (X) = t

Laten we onze hypothese nogmaals herzien. Dus nu gaan we een semiformele redenering gebruiken, op basis van hypothese h 1. Hypothese h 1 puts A, C en X, maar niet B, in het verlengde van de T. Dus, redenerend vanuit h 1, concluderen we dat

T α aangezien de referent van a in het verlengde van T ligt
¬ T β aangezien de referent van β in de extensie van T ligt
T γ aangezien de referent van γ niet in de extensie van T ligt
T λ aangezien de referent van λ niet in de extensie van T ligt

Denk aan de T-biconditioneel voor de vier zinnen A, B, C en X, hierboven gegeven. Redenerend vanuit h 1 en deze T-biconditionals, concluderen we dat

A is waar
B is waar
C is niet waar
X is niet waar

Dit levert onze nieuwe nieuwe hypothese h 2 op:

h 2 (A) = t
h 2 (B) = t
h 2 (C) = f
h 2 (X) = f

Laten we de semiformele redenering in voorbeeld 3.1 formaliseren. Eerst veronderstelden we dat bepaalde zinnen wel of niet in de extensie van T zaten. Overweeg de gewone klassieke modeltheorie. Stel dat onze taal een predikaat G en een naam a heeft, en dat we een model M = <D, I> hebben dat de referent van een binnen de extensie van G plaatst:

Ik (G) (I (α)) = t

Dan concluderen we klassiek dat de zin Ga waar is in M. Het is handig om een ​​notatie te hebben voor de klassieke waarheidswaarde van een zin S in een klassiek model M. We zullen Val M (S) schrijven. In dit geval is Val M (Ga) = t. In Voorbeeld 3.1 zijn we niet begonnen met een klassiek model van de hele taal L, maar alleen met een klassiek model van het T- vrije fragment van L. Maar toen hebben we een hypothese toegevoegd om een ​​klassiek model van heel L te krijgen. Laten we de notatie M + h gebruiken voor het klassieke model van heel L dat je krijgt als je M verlengt door T een extensie toe te kennen via de hypothese h. Zodra u een extensie aan het predikaat T heeft toegewezen, kunt u de waarheidswaarden van de verschillende zinnen van L berekenen. Dat wil zeggen dat we voor elke zin S van L kunnen berekenen

Val M + h (S)

In Voorbeeld 3.1 zijn we als volgt begonnen met hypothese h 0:

h 0 (A) = f
h 0 (B) = t
h 0 (C) = f
h 0 (X) = f

Vervolgens berekenden we als volgt:

Val M + h 0 (T α) = f
Val M + h 0 (T β) = t
Val M + h 0 (T γ) = f
Val M + h 0 (T λ) = f

En toen concludeerden we als volgt:

Val M + h 0 (A) = Val M + h 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B) = Val M + h 0T α) = f
Val M + h 0 (C) = Val M + h 0 (T α) = t
Val M + h 0 (X) = Val M + h 0T λ) = t

Deze conclusies genereerden onze nieuwe hypothese, h 1:

h 1 (A) = t
h 1 (B) = f
h 1 (C) = t
h 1 (X) = t

Merk op dat in het algemeen

h 1 (S) = Val M + h 0 (S).

We zijn nu bereid om de revisieregel te definiëren die wordt gegeven door een grondmodel M = <D, I>. In het algemeen, gegeven een hypothese h, laat M + h = <D, I '> het model van L zijn dat overeenkomt met M op het T- vrije fragment van L, en dat is zodanig dat I' (T) = h. Dus M + h is gewoon een klassiek model voor heel L. Voor elk model M + h van heel L en elke zin A als L, laat Val M + h (A) de gewone klassieke waarheidswaarde van A zijn in M ​​+ h.

Definitie 3.2

Stel dat L een waarheidstaal is en dat M = <D, I> een grondmodel is voor L. De herzieningsregel, τ M, is de functie die hypothesen toewijst aan hypothesen, als volgt:

τ M (h) (d) = { t, als d ∈ D een zin is van L en Val M + h (d) = t

f, anders

De 'anders'-clausule vertelt ons dat als d geen zin van L is, we na één keer toepassen van herziening vasthouden aan de hypothese dat d niet waar is. [5] Merk op dat in Voorbeeld 3.1 h 1 = τ M (h 0) en h 2 = τ M (h 1). We zullen de onderschreven 'M' vaak laten vallen als de context duidelijk maakt welk grondmodel in het geding is.

3.2 Revisiereeksen

Laten we Voorbeeld 3.1 oppakken en kijken wat er gebeurt als we de toepassing van de revisieregel herhalen.

Voorbeeld 3.3 (voorbeeld 3.2 vervolg)

Bedenk dat L bevat vier niet-quote namen, α, β, γ en λ en geen andere dan predikaten T. Bedenk ook dat M = <D, I> als volgt is:

D = Verzonden L
Ik (α) = EEN = T β ∨ T γ
Ik (β) = B = T α
Ik (γ) = C = ¬ T α
Ik (λ) = X = ¬ T λ

De volgende tabel geeft aan wat er gebeurt bij herhaalde toepassingen van de herzieningsregel τ M op de hypothese h 0 uit voorbeeld 3.1. In deze tabel schrijven we τ in plaats van τ M:

S h 0 (S) τ (h 0) (S) τ 2 (h 0) (S) τ 3 (h 0) (S) τ 4 (h 0) (S)
EEN f t t t t
B t f t t t
C f t f f f
X f t f t f

Dus h 0 genereert een revisievolgorde (zie definitie 3.7 hieronder). En A en B zijn stabiel waar in die revisievolgorde (zie definitie 3.6 hieronder), terwijl C stabiel onwaar is. De leugenaar-zin X is, niet verwonderlijk, niet stabiel waar of stabiel onwaar: de leugenaar-zin is onstabiel. Een vergelijkbare berekening zou aantonen dat A stabiel waar is, ongeacht de initiële hypothese: A is dus categorisch waar (zie definitie 3.8).

Voordat we een precieze definitie van een revisiereeks geven, geven we een voorbeeld waar we het revisieproces verder willen brengen dan de eindige stadia, h, τ 1 (h), τ 2 (h), τ 3 (h), en zo Aan.

Voorbeeld 3.4

Stel dat L niet-aanhalingstekens α 0, α 1, α 2, α 3, … en unaire predikaten G en T bevat. Nu zullen we een grondmodel specificeren M = <D, I> waarbij de naam α 0 verwijst naar een tautologie, en waar

de naam α 1 verwijst naar de zin T α 0

de naam α 2 verwijst naar de zin T α 1

de naam a 3 verwijst naar de zin T a 2

Meer formeel, laat A 0 de zin T α 0 ∨ ¬ T α 0 zijn, en voor elke n ≥ 0, laat A n +1 de zin T α n zijn. Dus A 1 is de zin T α 0, en A 2 is de zin T α 1, en A 3 is de zin T α 2, enzovoort. Ons grondmodel M = <D, I> is als volgt:

D = Verzonden L
Ik (α n) = Een n
Ik (G) (A) = t iff A = A n voor sommige n

De extensie van G is dus de volgende reeks zinnen: {A 0, A 1, A 2, A 3, …} = {(T α 0 ∨ ¬ T α 0), T α 0, T a 1, T een 2, T een 3, …}. Laat B tenslotte de zin ∀ x zijn (Gx ⊃ T x). Laat h elke hypothese zijn waarvoor we hebben, voor elk natuurlijk getal n,

h (A n) = h (B) = f.

De volgende tabel geeft aan wat er gebeurt bij herhaalde toepassingen van de herzieningsregel τ M op de hypothese h. In deze tabel schrijven we τ in plaats van τ M:

S h (S) t (h) (S) τ 2 (h) (S) τ 3 (h) (S) τ 4 (h) (S)
Een 0 f t t t t
Een 1 f f t t t
Een 2 f f f t t
Een 3 f f f f t
Een 4 f f f f f
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
B f f f f f

Voor 0 ste fase elke A n is buiten de veronderstelde uitbreiding van T. Maar vanaf de n ste graad wordt de A n is in de veronderstelde uitbreiding van T. Dus voor elke n wordt de zin A n uiteindelijk stabiel verondersteld waar te zijn. Desondanks is er geen eindige fase waarin alle A n 's verondersteld worden waar te zijn: als resultaat blijft de zin B = ∀ x (Gx ⊃ T x) onwaar in elke eindige fase. Dit suggereert om het proces als volgt uit te breiden:

S h (S) τ (h) (S) τ 2 (h) (S) τ 3 (h) (S) ω ω + 1 ω + 2
Een 0 f t t t t t t
Een 1 f f t t t t t
Een 2 f f f t t t t
Een 3 f f f f t t t
Een 4 f f f f t t t
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
B f f f f f t t

Dus als we toestaan ​​dat het revisieproces verder gaat dan de eindige stadia, dan is de zin B = ∀ x Gx ⊃ T x) stabiel waar vanaf de ω + 1 ste fase. □

In voorbeeld 3.4 is het intuïtieve oordeel dat niet alleen elke A n een stabiele waarheidswaarde van t moet krijgen, maar ook de zin B = ∀ x (Gx ⊃ T x). De enige manier om dit te garanderen is door het revisieproces voorbij de eindige fasen te brengen. We zullen dus revisiesequenties beschouwen die erg lang zijn: niet alleen zal een revisiesequentie een e fase hebben voor elk eindige getal n, maar een η de fase voor elk rangnummer η. (De volgende alinea is bedoeld om de lezer te helpen onbekend te zijn met rangnummers.)

Een manier om de rangnummers te bedenken is als volgt. Begin met de eindige natuurlijke getallen:

0, 1, 2, 3, …

Voeg een getal ω toe dat groter is dan al deze, maar niet de directe opvolger van een van deze:

0, 1, 2, 3,…, ω

En neem dan de opvolger van ω, zijn opvolger, enzovoort:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3 …

Voeg vervolgens een getal ω + ω of ω × 2 toe, groter dan al deze (en nogmaals, niet de directe opvolger van een van deze), en begin opnieuw, en herhaal dit proces keer op keer:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,…, ω × 2, (ω × 2) +1, (ω × 2) +2, (ω × 2) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

verticale stippen
verticale stippen

Aan het einde hiervan voegen we een rangnummer ω × ω of ω 2 toe:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, Ω 2, ω 2 +1, …

De rangnummers hebben de volgende structuur: elk rangnummer heeft een directe opvolger die bekend staat als een opvolger; en voor elke oneindig stijgende reeks van rangnummers is er een limiet van rangorde die groter is dan alle leden van de reeks en die niet de onmiddellijke opvolger is van enig lid van de reeks. Dit zijn dus de volgende volgorden: 5, 178, ω + 12, (ω × 5) +56, ω 2 +8; en de volgende zijn limiet-ordinalen: ω, ω × 2, ω 2, (ω 2 + ω), enz. Gegeven een limiet-ordinale η, is een reeks S van objecten een η-lange sequentie als er een object S δ is voor elke ordinale δ <η. We zullen de klasse van ordinalen aanduiden als Aan. Elke reeks S van objecten is een aaneengesloten reeks als er een object S δ is voor elke ordinale δ.

Bij het beoordelen of een zin een stabiele waarheidswaarde ontvangt, houdt de RTT rekening met reeksen hypothesen met lengte Aan. Stel dat S een aaneengesloten reeks hypothesen is, en laat ζ en η over ordinalen lopen. Duidelijk, zodat Z de herziening proces vertegenwoordigen, hebben we de ζ + 1 ste hypothese wordt gegenereerd uit de ζ th hypothese met de herziening regel. We staan ​​er dus op dat S ζ + 1 = τ M (S ζ). Maar wat moeten we doen in een limiet stadium? Dat wil zeggen, hoe moeten we S η (δ) instellen als η een ordinale limiet is? Het is duidelijk dat elk object dat tot dat stadium stabiel is [false], in dat stadium waar [false] moet zijn. Beschouw dus voorbeeld 3.2. De zin A 2Bijvoorbeeld, waar aan de ω ste trap; dus hebben we A 2 ingesteld om waar te zijn in de ω de fase. Voor objecten die tot die fase niet stabiliseren, hanteren Gupta en Belnap 1993 een liberaal beleid: bij het construeren van een revisiesequentie S, als de waarde van het object d ∈ D niet is gestabiliseerd tegen de tijd dat je in de limietfase η komt, dan kun je S η (δ) instellen op de gewenste t of f. Voordat we de precieze definitie van een revisievolgorde geven, gaan we verder met voorbeeld 3.3 om een ​​toepassing van dit idee te zien.

Voorbeeld 3.5 (voorbeeld 3.3 vervolg)

Bedenk dat L bevat vier niet-quote namen, α, β, γ en λ en geen andere dan predikaten T. Bedenk ook dat M = <D, I> als volgt is:

D = Verzonden L
Ik (α) = EEN = T β ∨ T γ
Ik (β) = B = T α
Ik (γ) = C = ¬ T α
Ik (λ) = X = ¬ T λ

De volgende tabel geeft aan wat er gebeurt bij herhaalde toepassingen van de herzieningsregel τ M op de hypothese h 0 uit voorbeeld 3.1. Voor elke ordinale η geven we de η de hypothese aan met S η (de index M op τ onderdrukkend). Dus S 0 = h 0, S 1 = τ (h 0), S 2 = τ 2 (h 0), S 3 = τ 3 (h 0), en S ω, de ω de hypothese, wordt op de een of andere manier bepaald van de hypothesen die eraan voorafgaan. Dus beginnend met h 0 vanaf Voorbeeld 3.3 begint onze revisievolgorde als volgt:

S S 0 (S) S 1 (S) S 2 (S) S 3 (S) S 4 (S)
EEN f t t t t
B t f t t t
C f t f f f
X f t f t f

Wat gebeurt er op de ω th podium? A en B zijn tot en met de ω de fase stabiel en C is tot en met de stage de fase stabiel. Dus aan het ω ste fase, moeten we het volgende:

S S 0 (S) S 1 (S) S 2 (S) S 3 (S) S 4 (S) S ω (S)
EEN f t t t t t
B t f t t t t
C f t f f f f
X f t f t f ?

Maar de invoer voor S ω (X) kan t of f zijn. Met andere woorden, de oorspronkelijke hypothese h 0 genereert ten minste twee revisiesequenties. Elke revisiereeks S met h 0 als beginhypothese moet S ω (A) = t, S ω (B) = t en S ω (C) = f hebben. Maar er is een revisiereeks S, met h 0 als initiële hypothese, en met S ω (X) = t; en er is een herzieningssequentie S ', met h 0 als initiële hypothese, en met S ω'(X) = f. □

We zijn nu klaar om het concept van een revisievolgorde te definiëren:

Definitie 3.6

Stel dat L een waarheidstaal is en dat M = <D, I> een grondmodel is. Stel dat S een aaneengesloten reeks hypothesen is. Dan zeggen we dat d ∈ D stabiel t [f] is in S iff voor een of andere ordinale θ die we hebben

S ζ (d) = t [f], voor elke ordinale ζ ≥ θ.

Stel dat S een η-lange hypothese is voor een bepaalde limiet ordinale η. Dan zeggen we dat d ∈ D stabiel t [f] is in S iff voor een ordinale θ <η die we hebben

S ζ (d) = t [f], voor elke ordinale ζ zodat ζ ≥ θ en ζ <η.

Als S een aan-lange reeks hypothesen is en η een ordinale limiet, dan is S | η is het beginsegment van S tot maar niet inclusief η. Merk op dat S | η is een η-lange reeks hypothesen.

Definitie 3.7

Stel dat L een waarheidstaal is en dat M = <D, I> een grondmodel is. Stel dat S een aaneengesloten reeks hypothesen is. S is een revisievolgorde voor M iff

  • S ζ + 1 = τ M (S ζ), voor elke ζ ∈ aan, en
  • voor elke limiet ordinale η en elke d ∈ D, als d stabiel t [f] is in S | η, dan S η (d) = t [f].

Definitie 3.8

Stel dat L een waarheidstaal is en dat M = <D, I> een grondmodel is. We zeggen dat de zin A categorisch waar [false] is in M ​​alsf A stabiel t [f] is in elke revisievolgorde voor M. We zeggen dat A categorisch is in M ​​alsf A categorisch waar is of categorisch onwaar in M.

We illustreren deze concepten nu met een voorbeeld. Het voorbeeld illustreert ook een nieuw concept dat naderhand zal worden gedefinieerd.

Voorbeeld 3.9

Stel dat L een waarheidstaal is die niet-aanhalingstekens β, α 0, α 1, α 2, α 3, … en unaire predikaten G en T bevat. Laat B de zin zijn

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x & Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

Laat A 0 de zin ∃ x zijn (Gx & ¬ T x). En voor elke n ≥ 0, laat A n +1 de zin T α n zijn. Beschouw het volgende grondmodel M = <D, I>

D = Verzonden L
Ik (β) = B
Ik (α n) = Een n
Ik (G) (A) = t iff A = A n voor sommige n

De extensie van G is dus de volgende reeks zinnen: {A 0, A 1, A 2, A 3, …} = { T α 0, T α 1, T α 2, T α 3, …}. Laat h elke hypothese zijn waarvoor we hebben, h (B) = f en voor elk natuurlijk getal n,

h (A n) = f.

En laat S een revisiereeks zijn waarvan de aanvankelijke hypothese h is, dwz S 0 = h. De volgende tabel geeft enkele waarden van S γ (C) aan, voor zinnen C ∈ {B, A 0, A 1, A 2, A 3, …}. In de bovenste rij geven we alleen het rangnummer aan dat de fase in het herzieningsproces vertegenwoordigt.

0 1 2 3 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω × 2 (ω × 2) +1 (ω × 2) +2
B f f f f f t t t t t t
Een 0 f t t t t f t t t f t
Een 1 f f t t t t f t t t f
Een 2 f f f t t t t f t t t
Een 3 f f f f t t t t t t t
Een 4 f f f f t t t t t t t
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen
verticale stippen

Het is de moeite waard om het gedrag van zin B en zin A 0 te contrasteren. Vanaf de ω + 1 ste etappe stabiliseert B zich als waar. In feite is B stabiel waar in elke revisievolgorde voor M. B is dus categorisch waar in M. De zin A 0 stabiliseert zich echter nooit helemaal: het is meestal waar, maar binnen een paar eindige stadia van een ordinale limiet kan de zin A 0 onjuist zijn. In deze omstandigheden zeggen we dat A 0 bijna stabiel waar is (zie definitie 3.10 hieronder.) In feite is A 0 bijna stabiel waar in elke revisievolgorde voor M. □

Voorbeeld 3.9 illustreert niet alleen het idee van stabiliteit in een revisievolgorde, maar ook van bijna stabiliteit, die we nu definiëren:

Definitie 3.10.

Stel dat L een waarheidstaal is en dat M = <D, I> een grondmodel is. Stel dat S een aaneengesloten reeks hypothesen is. Vervolgens zeggen we dat d ∈ D bijna stabiel t [f] is in S iff voor een of andere ordinale θ die we hebben

voor elke ζ ≥ θ is er een natuurlijk getal n zodat, voor elke m ≥ n, S ζ + m (d) = t [f].

Gupta en Belnap 1993 karakteriseren het verschil tussen stabiliteit en bijna-stabiliteit als volgt: “Stability simpliciter vereist dat een element [in ons geval een zin] tot een waarde x [in ons geval een waarheidswaarde] neerzakt nadat enkele initiële fluctuaties zeggen tot [een ordinale η]… Bijna-stabiliteit maakt daarentegen ook fluctuaties na η mogelijk, maar deze fluctuaties moeten worden beperkt tot eindige gebieden net na de limiet-ordinalen”(p. 169). Gupta en Belnap 1993 introduceren twee waarheidstheorieën, T * en T #, gebaseerd op stabiliteit en vrijwel stabiliteit. Stellingen 3.12 en 3.13 hieronder illustreren een voordeel van het systeem T #, dat wil zeggen het systeem gebaseerd op bijna stabiliteit.

Definitie 3.11

Stel dat L een waarheidstaal is en dat M = <D, I> een grondmodel is. We zeggen dat een zin A geldig is in M ​​door T * alsf A stabiel waar is in elke revisiereeks. En we zeggen dat een zin A geldig is in M ​​door T # alsf A bijna stabiel waar is in elke revisiereeks.

Stelling 3.12

Stel dat L een waarheidstaal is en dat M = <D, I> een grondmodel is. Vervolgens geldt voor elke zin A van L het volgende in M ​​bij T #:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

Stelling 3.13

Er is een waarheidstaal L en een grondmodel M = <D, I> en een zin A van L zodat het volgende niet geldig is in M ​​door T *:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

In Gupta en Belnap 1993, sectie 6C, worden soortgelijke voordelen van T # boven T * opgemerkt. T # valideert bijvoorbeeld, maar T * niet, de volgende semantische principes:

T  'A & B' ≡ T  'A' & T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Gupta en Belnap blijven vrijblijvend over welke van T # en T * (en een verder alternatief dat zij definiëren, T c) heeft de voorkeur.

4. Interpretatie van het formalisme

De belangrijkste formele noties van de RTT zijn de notie van een herzieningsregel (definitie 3.2), dat wil zeggen een regel voor het herzien van hypothesen; en een revisievolgorde (definitie 3.7), een reeks hypothesen die is gegenereerd in overeenstemming met de toepasselijke revisieregel. Met behulp van deze begrippen kunnen we, gegeven een grondmodel, specificeren wanneer een zin stabiel, of bijna stabiel, waar of onwaar is in een bepaalde revisiereeks. Zo konden we twee waarheidstheorieën definiëren, T * en T #, gebaseerd op stabiliteit en bijna-stabiliteit. Het uiteindelijke idee is dat elk van deze theorieën een oordeel geeft over welke zinnen van de taal categorisch betrouwbaar zijn, gegeven een basismodel.

Merk op dat we revisietheoretische begrippen zouden kunnen gebruiken om tamelijk fijnmazige onderscheid tussen zinnen te maken: sommige zinnen zijn onstabiel in elke revisiereeks; anderen zijn stabiel in elke revisievolgorde, hoewel stabiel waar in sommige en stabiel onjuist in andere; enzovoort. Zo kunnen we revisie-theoretische ideeën gebruiken om een ​​fijnmazige analyse te geven van de status van verschillende zinnen, en van de relaties van verschillende zinnen met elkaar.

Denk aan de suggestie aan het einde van sectie 2:

In een semantiek voor talen die hun eigen waarheidsconcepten kunnen uitdrukken, zal T in het algemeen geen klassieke betekenis hebben; en de 'iff' in de T-biconditionals zal niet gelezen worden als de klassieke biconditioneel.

Gupta en Belnap vullen deze suggesties op de volgende manier in.

4.1 De betekenis van T

Ten eerste suggereren ze dat de betekenis van T, gegeven een grondmodel M, de herzieningsregel τ M zelf is. Zoals in de voorgaande paragraaf, kunnen we een fijnkorrelige analyse van statussen en onderlinge zinnen geven op basis van begrippen direct en natuurlijk gegenereerd uit de herziening regel τ M. Dus τ M is een goede kandidaat voor de betekenis van T, aangezien het “een abstract iets lijkt te zijn dat alle informatie over alle [van T 's] extensieve relaties” in M draagt. (Zie Gupta en Belnap's karakterisering van de betekenis van een uitdrukking, gegeven in Sectie 2 hierboven.)

4.2 De 'iff' in de T-biconditionals

De verwante suggestie van Gupta en Belnap met betrekking tot de 'iff' in de T-biconditionals is dat, in plaats van de klassieke biconditioneel te zijn, deze 'iff' de onderscheidende biconditioneel is die wordt gebruikt om een ​​voorheen ongedefinieerd concept te definiëren. In 1993 presenteren Gupta en Belnap de revisie-theorie van de waarheid als een speciaal geval van een revisie-theorie van circulair gedefinieerde concepten. Stel dat L een taal is met een unair predikaat F en een binair predikaat R. Overweeg een nieuw concept uitgedrukt door een predikaat G, geïntroduceerd door een definitie als deze:

Gx = df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

Stel dat we beginnen met een discoursdomein, D, en een interpretatie van het predikaat F en het relatiesymbool R. Gupta en Belnap's revisie-theoretische behandeling van aldus circulair geïntroduceerde concepten maakt het mogelijk om categorische uitspraken te doen, voor bepaalde d ∈ D over de vraag of d al dan niet voldoet aan G. Andere objecten zullen instabiel zijn ten opzichte van G: we zullen categorisch kunnen beweren dat d niet aan G voldoet en dat d niet aan G voldoet. In het geval van waarheid nemen Gupta en Belnap de set T-biconditionals van de vorm aan

T  'A' = df A (10)

samen om de definitie van het begrip waarheid te geven. Het is hun behandeling van '= df ' (de 'iff' van de introductie van een definitief concept), samen met de T-biconditionals van de vorm (10), die de herzieningsregel τ M bepalen.

4.3 De paradoxale redenering

Denk aan de leugenaarzin (1) vanaf het begin van dit artikel:

(1) is niet waar (1)

In paragraaf 1 beweerden we dat de RTT is ontworpen om het soort paradoxale redenering met betrekking tot (1) te modelleren in plaats van te blokkeren. Maar we merkten in voetnoot 2 op dat de RTT tegenstrijdigheden in deze situaties vermijdt. U kunt dit op twee manieren zien. Ten eerste, terwijl de RTT de biconditionele wel onderschrijft

(1) is waar als f (1) niet waar is,

het relevante 'iff' is niet de materiële biconditionele, zoals hierboven uitgelegd. Het betekent dus niet dat zowel (1) waar is als (1) niet waar is. Merk ten tweede op dat we op geen enkele hypothese kunnen concluderen dat beide (1) waar is en (1) niet waar is. Als we er zeker van zijn dat revisie-theoretische redenering eerder hypothetisch dan categorisch is, dan zullen we geen tegenstrijdigheden afleiden uit het bestaan ​​van een zin als (1) hierboven.

4.4 Het betekenissen proefschrift

De suggesties van Gupta en Belnap, betreffende de betekenis van T en de interpretatie van de 'iff' in de T-biconditionals, sluiten mooi aan bij twee nauw verwante intuïties die zijn verwoord in Gupta & Belnap 1993. De eerste intuïtie, losjes uitgedrukt, is 'dat de T -biconditionals zijn analytisch en fixeren de betekenis van 'waar'”(p. 6). Strakker uitgedrukt wordt het de "Signification Thesis" (p. 31): "De T-biconditionals fixeren de betekenis van waarheid in elke wereld [waar een wereld wordt voorgesteld door een grondmodel]." [6] Gegeven de revisie-theoretische behandeling van het begrip 'iff' en kregen een grondmodel M, de T-biconditionals (10) kan, zoals opgemerkt, lossen de voorgestelde betekenis van T, dat wil zeggen, de herziening regel τ M.

4.5 De ​​supervenience van semantiek

De tweede intuïtie is de supervisie van de betekenis van waarheid. Dit is een afstammeling van M. Kremer's in 1988 voorgestelde supervenience van semantiek. Het idee is simpel: welke zinnen onder het begrip waarheid vallen, moet worden vastgesteld door (1) de interpretatie van de niet-semantische woordenschat en (2) de empirische feiten. In niet-cirkelvormige gevallen is deze intuïtie bijzonder sterk: de standaardinterpretatie van 'sneeuw' en 'wit' en het empirische feit dat sneeuw wit is, zijn voldoende om te bepalen dat de zin 'sneeuw is wit' onder het begrip waarheid valt. De supervisie van de betekenis van waarheid is de stelling dat de betekenis van waarheid, wat die ook is, wordt bepaald door het grondmodel M. Het is duidelijk dat de RTT aan dit principe voldoet.

Het is de moeite waard om te zien hoe een waarheidstheorie dit principe zou kunnen schenden. Beschouw de waarheidsgetrouwe zin, dat wil zeggen de zin die op zichzelf zegt dat het waar is:

(11) is waar (11)

Zoals hierboven vermeld, staat de drievoudige semantiek van Kripke drie waarheidswaarden toe, true (t), false (f) en geen van beide (n). Gegeven een grondmodel M = <D, I> voor een waarheidstaal L, zijn de kandidaatinterpretaties van T drievoudige interpretaties, dat wil zeggen functies h: D → {  t, f, n  }. Gegeven een drievoudige interpretatie van T en een schema voor het evalueren van de waarheidswaarde van samengestelde zinnen in termen van hun delen, kunnen we een waarheidswaarde Val M + h (A) = t, f of n specificeren, voor elke zin A van L. De centrale stelling van de drievoudige semantiek is dat er, gegeven elk grondmodel M, een drievoudige interpretatie h van T is, zodat we voor elke zin A Val M + h (T  'A') = Val hebben M + h (A). [7] We zullen een dergelijke interpretatie van T een acceptabele interpretatie noemen. Ons punt hier is dit: als er een waarheidsverteller is, zoals in (11), dan is er niet slechts één acceptabele interpretatie van T; er zijn er drie: één volgens welke (11) waar is, één volgens welke (11) onwaar is en één volgens welke (11) geen van beide is. Er is dus geen enkele "correcte" interpretatie van Tgegeven een grondmodel M. Dus de drievoudige semantiek lijkt de supervenience van semantiek te schenden. [8]

De RTT kent de waarheidsverteller geen waarheidswaarde toe (11). Het geeft eerder een analyse van het soort redenering dat men zou kunnen aangaan met betrekking tot de waarheidsteller: als we beginnen met een hypothese h volgens welke (11) waar is, dan blijft bij herziening (11) waar. En als we beginnen met een hypothese h volgens welke (11) niet waar is, dan blijft bij herziening (11) niet waar. En dat is alles wat het concept van waarheid ons achterlaat. Gezien dit gedrag van (11), vertelt de RTT ons dat (11) noch categorisch noch categorisch onwaar is, maar dit is heel anders dan een oordeel dat (11) noch waar, noch onwaar is.

4.6 Yaqūb's interpretatie van het formalisme

We zien een alternatieve interpretatie van het revisie-theoretisch formalisme. Yaqūb 1993 is het met Gupta en Belnap eens dat de T-biconditionals eerder definities zijn dan materiële biconditionals, en dat het concept van waarheid daarom circulair is. Maar Yaqūb interpreteert deze circulariteit op een onderscheidende manier. Hij stelt dat,

aangezien de waarheidscondities van sommige zinnen verwijzen naar de waarheid op een essentiële, onherleidbare manier, kunnen deze voorwaarden alleen slagen of mislukken in een wereld die al een uitbreiding van het waarheidspredikaat omvat. Om het herzieningsproces een uitbreiding van het waarheidspredikaat te laten bepalen, moet daarom een ​​initiële uitbreiding van het predikaat worden geponeerd. Dit komt veel voort uit circulariteit en bivalentie. (1993, 40)

Net als Gupta en Belnap, Yaqub poneert geen bevoorrechte extensie voor T. En net als Gupta en Belnap ziet hij de revisiesequenties van uitbreidingen van T, elke sequentie gegenereerd door een aanvankelijke veronderstelde extensie, "in staat om de verschillende soorten problematische en niet-problematische zinnen van de beschouwde talen te accommoderen (en te diagnosticeren)" (1993 41). Maar, in tegenstelling tot Gupta en Belnap, concludeert hij uit deze overwegingen dat "de waarheid in een tweewaardige taal niet toezichthoudend is" (1993, 39). Hij legt in een voetnoot uit: om waarheid waar te kunnen nemen, moet de waarheidsstatus van elke zin 'volledig worden bepaald door niet-semantische feiten'. Yaqūb gebruikt niet expliciet het begrip betekenis van een concept. Maar Yaqūb lijkt vast te houden aan de bewering dat de betekenis vanT - dwz dat wat de waarheidstatus van elke zin bepaalt - wordt gegeven door een bepaalde revisievolgorde zelf. En geen enkele revisievolgorde wordt bepaald door de niet-semantische feiten, dat wil zeggen alleen door het grondmodel: een revisievolgorde wordt op zijn best bepaald door een grondmodel en een initiële hypothese. [9]

5. Verdere problemen

5.1 Drie-waardige semantiek

We hebben alleen de kleinste uiteenzetting gegeven van de drievoudige semantiek, in onze bespreking van het toezicht op de betekenis van de waarheid hierboven. Gegeven een waarheidstaal L en een grondmodel M, definieerden we een acceptabele drievoudige interpretatie van T als een interpretatie h: D → {  t, f, n  } zodat Val M + h (T 'A') = Val M + h (A) voor elke zin A van L. In het algemeen gezien een terrein model M, zijn er vele aanvaardbare interpretaties van T. Stel dat elk van deze inderdaad een werkelijk acceptabele interpretatie is. Dan schendt de drievoudige semantiek de supervenience van de betekenis van T.

Veronderstel, anderzijds, dat per grondstation model M, kunnen we een bevoorrechte acceptabele uitlegging isoleert de juiste interpretatie van T. Gupta en Belnap presenteren een aantal overwegingen tegen de drievoudige semantiek, zo opgevat. (Zie Gupta & Belnap 1993, hoofdstuk 3.) Een van de belangrijkste argumenten is dat de centrale stelling, dat wil zeggen dat er voor elk grondmodel een acceptabele interpretatie is, alleen geldt wanneer de onderliggende taal op bepaalde manieren expressief verarmd is: bijvoorbeeld de drievoudige benadering mislukt als de taal een connectieve ~ heeft met de volgende waarheidstabel:

EEN ~ A
t f
f t
n t

De enige negation-operator die de drievoudige benadering aankan, heeft de volgende waarheidstabel:

EEN ¬ A
t f
f t
n t

Maar denk eens aan de leugenaar die van zichzelf zegt dat het 'niet' waar is, in deze laatste zin van 'niet'. Gupta en Belnap dringen aan op de bewering dat deze zin 'niet langer intuïtief paradoxaal is' (1993, 100). Het geclaimde voordeel van de RTT is het vermogen om het gedrag van echt paradoxale zinnen te beschrijven: de echte leugenaar is onstabiel onder semantische evaluatie: "Het maakt niet uit wat we veronderstellen dat de waarde ervan is, semantische evaluatie weerlegt onze hypothese." De drievoudige semantiek kan alleen de 'zwakke leugenaar' aan, dat wil zeggen een zin die zichzelf slechts zwak ontkracht, maar die niet gegarandeerd paradoxaal is: 'Er zijn schijnverschijningen hier, maar die bedriegen.'

5.2 Wijzigingen in de RTT

We noemen drie manieren om de RTT te wijzigen. Ten eerste zouden we beperkingen kunnen stellen aan welke hypothesen acceptabel zijn. Zo introduceren Gupta en Belnap 1993 een theorie, T c, van waarheid gebaseerd op consistente hypothesen: een hypothese h is consistent als de set {A: h (A) = t } een complete consistente set zinnen is. De relatieve verdiensten van T *, T # en T c worden besproken in Gupta & Belnap 1993, hoofdstuk 6.

Ten tweede zouden we een restrictiever limietbeleid kunnen hanteren dan Gupta en Belnap. Denk aan de vraag die in paragraaf 3 wordt gesteld: Hoe moeten we S η (d) instellen als η een ordinale limiet is? We gaven een gedeeltelijk antwoord: elk object dat tot dat stadium stabiel is [false], moet in dat stadium true [false] zijn. We merkten ook op dat voor een object d ∈ D dat niet stabiliseert tot het stadium η, Gupta en Belnap 1993 ons in staat stellen om S η (d) in te stellen op t of f. In een vergelijkbare context kennen Herzberger 1982a en 1982b de waarde f toe aan de onstabiele objecten. En Gupta suggereerde oorspronkelijk, in Gupta 1982, dat onstabiele elementen elke waarde krijgen die ze kregen bij de oorspronkelijke hypothese S 0.

Deze eerste twee manieren om de RTT te wijzigen, beperken beide in feite het idee van een revisiesequentie, door beperkingen op te leggen op welke van onze revisiesequenties echt gelden als acceptabele revisiesequenties. De beperkingen zijn in zekere zin lokaal: de eerste beperking wordt bereikt door beperkingen op te leggen aan welke hypothesen kunnen worden gebruikt, en de tweede beperking wordt bereikt door beperkingen op te leggen aan wat er gebeurt bij grensverordeningen. Een derde optie zou zijn om meer algemene beperkingen op te leggen waarop vermoedelijke revisiereeksen als acceptabel gelden. Yaqūb 1993 suggereert in feite een limietregel waarbij aanvaardbare uitspraken over onstabiele straffen in een bepaalde limietfase η afhankelijk zijn van uitspraken in andere limietfasen. Yaqūb stelt dat deze beperkingen ons in staat stellen bepaalde "artefacten" te vermijden. Stel dat een grondmodel M = <D, I>heeft twee onafhankelijke leugenaars, door twee namen α en β te hebben, waarbij I (α) = ¬T α en I (β) = ¬ T β. Yaqūb stelt dat het slechts een "artefact" is van de naïef gepresenteerde revisie-semantiek dat er revisiesequenties zijn waarin de zin ¬ T α ≡ ¬ T β stabiel waar is, aangezien de twee leugenaars onafhankelijk zijn. Zijn wereldwijde beperkingen zijn ontwikkeld om dergelijke reeksen uit te sluiten. (Zie Chapuis 1996 voor verdere discussie.)

5.3 Revisietheorie voor circulair gedefinieerde concepten

Zoals aangegeven in onze discussie, in paragraaf 4 van de 'iff' in de T-biconditionals, presenteren Gupta en Belnap de RTT als een speciaal geval van een herzieningstheorie van circulair gedefinieerde concepten. Om het voorbeeld uit paragraaf 4 te heroverwegen. Stel dat L een taal is met een unair predikaat F en een binair predikaat R. Overweeg een nieuw concept uitgedrukt door een predikaat G, geïntroduceerd door een definitie, D, als volgt:

Gx = df A (x, G)

waar A (x, G) de formule is

∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

In deze context is een grondmodel een klassiek model M = <D, I> van de taal L: we beginnen met een discoursdomein, D, en een interpretatie van het predikaat F en het relatiesymbool R. We willen M uitbreiden tot een interpretatie van de taal L + G. In deze context zal een hypothese dus worden beschouwd als een veronderstelde uitbreiding voor het nieuw geïntroduceerde concept G. Formeel is een hypothese gewoon een functie h: D → { t, f}. Gegeven een hypothese h, nemen we M + h als het klassieke model M + h = <D, I '>, waar ik' F en R interpreteert op dezelfde manier als ik, en waar ik '(G) = h. Gegeven een veronderstelde interpretatie h van G, genereren we een nieuwe interpretatie van G als volgt: en object d ∈ D bevindt zich in de nieuwe extensie van G voor het geval de bepalende formule A (x, G) waar is voor d in het model M + h. Formeel gebruiken we het grondmodel M en de definitie D om een ​​revisieregel, δ D, M, te definiëren, waarbij hypothesen worden toegewezen aan hypothesen, dwz hypothetische interpretaties van G aan hypothetische interpretaties van G. In het bijzonder kunnen we voor elke formule B met één vrije variabele x en d ∈ D de waarheidswaarde Val M + h, d (B) op de standaardmanier definiëren. Vervolgens,

δ D, M (h) (d) = Val M + h, d (A)

Bij een wijziging regel δ D, M, kunnen we het begrip herziening sequentie, die nu een reeks hypothetische uitbreiding van G in plaats van generaliseren T. We kunnen het idee generaliseren dat een zin B stabiel waar, bijna stabiel waar, enz. Is, relatief ten opzichte van een revisievolgorde. Gupta en Belnap introduceren de systemen S * en S #, analoog aan T * en T #, als volgt: [10]

Definitie 5.1.

  • Een zin B geldt de definitie D in het grondmodel M in het systeem S * (notatie M ⊨ *, D B) iff B is stabiel waar onderling revisie sequentie voor de herziening regel δ D, M.
  • Een zin B geldt de definitie D in het grondmodel M in het systeem S # (notatie M ⊨ #, D B) iff B nagenoeg stabiel waar onderling revisie sequentie voor de herziening regel δ D, M.
  • Een zin B is geldig op de definitie D in het systeem S * (notatie ⊨ *, D B) als voor alle klassieke grondmodellen M, we hebben M ⊨ *, D B.
  • Een zin B is geldig op de definitie D in het systeem S # (notatie ⊨ #, D B) als voor alle klassieke grondmodellen M, we hebben M ⊨ #, D B.

Een van de open vragen van Gupta en Belnap is of er een volledige calculus is voor deze systemen: dat wil zeggen of voor elke definitie D een van de volgende twee reeksen zinnen recursief axiomatiseerbaar is: {B: ⊨ *, D B} en {B: ⊨ #, D B}. Kremer 1993 bewijst dat het antwoord nee is: hij laat zien dat er een definitie D is zodat elk van deze reeksen zinnen minstens Π 1 2 complex is, waardoor de complexiteit van S * en S # een ondergrens wordt gesteld. (Antonelli 1994b en 2002 laten zien dat dit ook een bovengrens is.)

Kremer's bewijs maakt gebruik van een intieme relatie tussen circulaire definities begrepen revisie - theoretisch en circulaire definities begrepen als inductieve definities: de theorie van inductieve definities is al geruime tijd goed begrepen. Kremer bewijst met name dat elk inductief gedefinieerd concept revisie-theoretisch kan worden gedefinieerd. De expressieve kracht en andere aspecten van de revisie-theoretische behandeling van circulaire definities is het onderwerp van veel interessant werk: zie Welch 2001, Löwe 2001, Löwe en Welch 2001, en Kühnberger et al. 2005.

5.5 Toepassingen

Gezien Gupta en Belnap's algemene revisie-theoretische behandeling van circulaire definities, waarvan hun behandeling van waarheid een speciaal geval is, zou men verwachten dat revisie-theoretische ideeën op andere concepten zouden worden toegepast. Antonelli 1994a past deze ideeën toe op niet-gefundeerde sets: een niet-gefundeerde set X kan als circulair worden beschouwd, aangezien we voor sommige X 0, …, X n X ∈ X 0 ∈ … ∈ X n hebben ∈ X. En Chapuis 2003 past revisietheoretische ideeën toe op rationele besluitvorming.

5.5 Een open vraag

We sluiten af ​​met een open vraag over T * en T #. Denk aan definitie 3.11 hierboven, die definieert wanneer een zin A van een waarheidstaal L geldig is in het grondmodel M door T * of door T #. We zullen zeggen dat A geldig is door T * [of door T #] als A geldig is in het grondmodel M door T * [of door T #] voor elk grondmodel M. Onze open vraag is deze: wat is de complexiteit van de reeks zinnen geldig voor T * [T #]?

Bibliografie

  • Antonelli, GA, 1994, "The complexity of revision", Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 204–218.
  • Antonelli, GA, 1994, "Niet-gefundeerde sets via revisieregels", Journal of Philosophical Logic, 23: 633–679.
  • Antonelli, GA, 2002, "The complexity of revision, revised", Notre Dame Journal of Formal Logic, 43: 75–78.
  • Belnap, N., 1982, "Gupta's regel van de herzieningstheorie van de waarheid", Journal of Philosophical Logic, 11: 103–116.
  • Chapuis, A., 1996, "Alternatieve revisie-theorieën van de waarheid", Journal of Philosophical Logic, 25: 399–423.
  • Chapuis, A., 2003, "Een toepassing van circulaire definities: rationele beslissing", in Löwe, Malzkorn en Räsch (red.), Foundations of the Formal Sciences II: Applications of Mathematical Logic in Philosophy and Linguistics, Dordrecht: Kluwer, 47-54.
  • Gupta, A., 1982, "Truth and paradox", Journal of Philosophical Logic, 11: 1–60.
  • Gupta, A., en Belnap, N., 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Hammer, E., 2003, "The Revision Theory of Truth", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2003 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL = .
  • Herzberger, HG, 1982, "Notes on naive semantics", Journal of Philosophical Logic, 11: 61–102.
  • Herzberger, HG, 1982, "Naïeve semantiek en de leugenaarsparadox", Journal of Philosophy, 79: 479–497.
  • Kremer, M., 1988, "Kripke en de logica van de waarheid", Journal of Philosophical Logic, 17: 225–78.
  • Kremer, P., 1993, "De Gupta-Belnap-systemen S # en S * zijn niet axiomatiseerbaar", Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
  • Kripke, S., 1975, 'Outline of a theory of truth', Journal of Philosophy, 72: 690–716.
  • Kühnberger, K., Löwe, B., Möllerfeld, M., en Welch, P., 2005, "Inductieve en circulaire definities vergelijken: parameters, complexiteit en games", Studia Logica, 81: 79–98.
  • Löwe, B., 2001 "Revisiereeksen en computers met een oneindige hoeveelheid tijd", Journal of Logic and Computation, 11: 25–40.
  • Löwe, B., en Welch, P., 2001, "Set-theoretische absoluutheid en de revisie-theorie van de waarheid", Studia Logica, 68/1: 21–41.
  • Martin, R., en Woodruff, P., 1975, "Over het vertegenwoordigen van 'True-in-L' in L", Philosophia, 5: 217–221.
  • Welch, P., 2001, "Over Gupta-Belnap revisie theorieën van de waarheid, Kripkean vaste punten, en de volgende stabiele set", Bulletin for Symbolische Logica, 7: 345-360.
  • Yaqūb, A., 1993, The Liar Speaks the Truth: A Defense of the Revision Theory of Truth, Oxford: Oxford University Press.

Andere internetbronnen

Hammer, E., 2003, "The Revision Theory of Truth", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2003 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL = . (Dit was de vermelding op de herzieningstheorie van de waarheid die verscheen in het actieve deel van de SEP van 1997-2006.)

Populair per onderwerp