George Boole

Inhoudsopgave:

George Boole
George Boole
Video: George Boole
Video: The Genius of George Boole | RTÉ One 2023, Februari
Anonim

Dit is een bestand in de archieven van de Stanford Encyclopedia of Philosophy.

George Boole

Voor het eerst gepubliceerd op woensdag 21 april 2010

George Boole (1815–1864) was een Engelse wiskundige en grondlegger van de algebraïsche traditie in de logica. Hij werkte als schoolmeester in Engeland en van 1849 tot aan zijn dood als professor in de wiskunde aan de Queen's University, Cork, Ierland. Hij zorgde voor een revolutie in de logica door methoden uit het toen opkomende gebied van de symbolische algebra toe te passen op de logica. Waar de traditionele (aristotelische) logica gebaseerd was op het catalogiseren van de geldige syllogismen van verschillende eenvoudige vormen, leverde de methode van Boole algemene algoritmen op in een algebraïsche taal die van toepassing was op een oneindige verscheidenheid aan argumenten van willekeurige complexiteit. Deze methoden werden beschreven in twee grote werken, The Mathematical Analysis of Logic (1847) en The Laws of Thought (1854).

  • 1. Leven en werk
  • 2. De context en achtergrond van Boole's werk in logica
  • 3. De wiskundige analyse van logica (1847)
  • 4. De wetten van het denken (1854)
  • 5. Latere ontwikkelingen

    • 5.1 Bezwaar tegen Boole's Algebra of Logic
    • 5.2. Moderne reconstructie van Boole's systeem
  • 6. Boole's methoden

    • 6.1 De drie methoden voor argumentanalyse gebruikt door Boole in LT
    • 6.2. Boole's General Method for Primary Propositions
    • 6.3. Boole's algemene methode voor secundaire stellingen
  • Bibliografie
  • Andere internetbronnen
  • Gerelateerde vermeldingen

1. Leven en werk

George Boole werd geboren op 2 november 1815 in Lincoln, Lincolnshire, Engeland, in een familie van bescheiden middelen, met een vader die duidelijk meer een goede metgezel was dan een goede kostwinner. Zijn vader was een schoenmaker wiens echte passie een toegewijde dilettant was op het gebied van wetenschap en technologie, iemand die graag deelnam aan de Lincoln Mechanics 'Institution; dit was in wezen een sociale gemeenschap van de gemeenschap die lezen, discussies en lezingen over wetenschap promootte. Het werd opgericht in 1833 en in 1834 werd de vader van Boole de curator van de bibliotheek. Deze liefde voor leren werd duidelijk geërfd door Boole. Zonder het voordeel van een elite-opleiding, maar met een ondersteunend gezin en toegang tot uitstekende boeken, met name van Sir Edward Bromhead, FRS, die slechts een paar kilometer van Lincoln woonde,Boole kon zichzelf in wezen vreemde talen en geavanceerde wiskunde leren.

Vanaf de leeftijd van 16 jaar moest Boole een betaalde baan vinden, omdat zijn vader niet langer in staat was om voor het gezin te zorgen. Na 3 jaar als leraar op privéscholen te hebben gewerkt, besloot Boole op 19-jarige leeftijd zijn eigen kleine school in Lincoln te openen. Hij zou de volgende 15 jaar schoolmeester zijn, tot 1849 toen hij professor werd aan de onlangs geopende Queen's University in Cork, Ierland. Met zware verantwoordelijkheden voor zijn ouders en broers en zussen, is het opmerkelijk dat hij in de loop van de jaren als schoolmeester toch tijd vond om zijn eigen opleiding voort te zetten en een onderzoeksprogramma te starten, voornamelijk over differentiaalvergelijkingen en de calculus van variaties die verband houden met de werken van Laplace en Lagrange (die hij in het origineel Frans studeerde).

Er is een wijdverbreide overtuiging dat Boole in de eerste plaats een logicus was - in werkelijkheid werd hij al lang voordat hij een enkel woord over logica had geschreven een erkend wiskundige, terwijl hij zijn privéschool leidde om voor zijn ouders en broers en zussen te zorgen. Het vermogen van Boole om Frans, Duits en Italiaans te lezen, bracht hem in een goede positie om serieuze wiskundige studies te beginnen toen hij op 16-jarige leeftijd Lacroix's Calcul Différentiel las, een geschenk van zijn vriend dominee GS Dickson uit Lincoln. Zeven jaar later, in 1838, schreef hij zijn eerste wiskundige paper (hoewel niet de eerste die werd gepubliceerd), 'Over bepaalde stellingen in de calculus van variaties', waarbij hij zich concentreerde op het verbeteren van de resultaten die hij in Lagrange's Méchanique Analytique had gelezen.

Begin 1839 reisde Boole naar Cambridge om de jonge wiskundige Duncan F. Gregory (1813–1844) te ontmoeten, de redacteur van het Cambridge Mathematical Journal (CMJ) -Gregory, had dit tijdschrift in 1837 opgericht en bewerkte het totdat zijn gezondheid faalde. 1843 (hij stierf begin 1844, op 30-jarige leeftijd). Gregory, hoewel slechts 2 jaar na zijn studie in 1839, werd een belangrijke mentor van Boole. Met de steun van Gregory, waaronder het coachen van Boole bij het schrijven van een wiskundig artikel, betrad Boole in 1841 de openbare arena van de wiskundige publicatie.

Boole's wiskundige publicaties omvatten de 24 jaar van 1841 tot 1864, het jaar dat hij stierf aan longontsteking. Als we deze 24 jaar opsplitsen in drie segmenten, de eerste 6 jaar (1841–1846), de tweede 8 jaar (1847–1854) en de laatste 10 jaar (1855–1864), zien we dat zijn werk op het gebied van logica volledig was in het midden van 8 jaar.

In zijn eerste zes carrièrejaren publiceerde Boole 15 wiskundige artikelen, op twee na, in de CMJ en de opvolger van 1846, The Cambridge and Dublin Mathematical Journal. Hij schreef over standaard wiskundige onderwerpen, voornamelijk differentiaalvergelijkingen, integratie en variatierekening. Boole had al vroeg succes bij het gebruik van de nieuwe symbolische methode in analyse, een methode die een differentiaalvergelijking nam, zeg:

d 2 y / dx 2 - dy / dx - 2 y = cos (x),

en schreef het in de vorm Operator (y) = cos (x). Dit werd (formeel) bereikt door te verhuren:

D = d / dx, D 2 = d 2 / dx 2, enz.

wat leidt tot een uitdrukking van de differentiaalvergelijking als:

(D 2 - D - 2) y = cos (x).

Nu kwam symbolische algebra in het spel door simpelweg de operator D 2 - D - 2 te behandelen alsof het een gewone veelterm in algebra was. Boole's paper uit 1841 “Over de integratie van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten” gaf een mooie verbetering aan Gregory's methode voor het oplossen van dergelijke differentiaalvergelijkingen, een verbetering gebaseerd op een standaardtool in algebra, het gebruik van partiële breuken.

In 1841 publiceerde Boole ook zijn eerste paper over invarianten, een paper die Eisenstein, Cayley en Sylvester sterk zou beïnvloeden om het onderwerp te ontwikkelen. Arthur Cayley (1821–1895), de toekomstige Sadleriaanse professor in Cambridge en een van de meest productieve wiskundigen in de geschiedenis, schreef zijn eerste brief aan Boole in 1844, waarin hij hem complimenteerde met zijn uitstekende werk op het gebied van invarianten. Hij werd een goede persoonlijke vriend, iemand die naar Lincoln zou gaan om Boole te bezoeken en er te blijven in de jaren voordat Boole naar Cork, Ierland verhuisde. In 1842 begon Boole een correspondentie met Augustus De Morgan (1806-1871) die een nieuwe levenslange vriendschap op gang bracht.

In 1843 voltooide de schoolmeester Boole een lange paper over differentiaalvergelijkingen, waarbij hij een exponentiële substitutie en variatie van parameters combineerde met de methode van scheiding van symbolen. De krant was te lang voor de CMJ-Gregory en later moedigde De Morgan hem aan om hem in te dienen bij de Royal Society. De eerste scheidsrechter wees het werk van Boole af, maar de tweede raadde het aan voor de gouden medaille voor het beste wiskundige papier dat in de jaren 1841-1844 was geschreven, en deze aanbeveling werd aanvaard. In 1844 publiceerde de Royal Society het artikel van Boole en kende hem de gouden medaille toe - de eerste gouden medaille die door de Society aan een wiskundige werd toegekend. Het volgende jaar las Boole een paper tijdens de jaarlijkse bijeenkomst van de British Association for the Advancement of Science in Cambridge in juni 1845. Dit leidde tot nieuwe contacten en vrienden,in het bijzonder William Thomson (1824–1907), de toekomstige Lord Kelvin.

Niet lang nadat hij was begonnen met het publiceren van artikelen, wilde Boole graag een manier vinden om lid te worden van een instelling voor hoger onderwijs. Hij overwoog de universiteit van Cambridge te volgen om een ​​diploma te behalen, maar kreeg de raad dat het voldoen aan de verschillende vereisten zijn onderzoeksprogramma waarschijnlijk ernstig zou verstoren, om nog maar te zwijgen van de problemen bij het verkrijgen van financiering. Ten slotte behaalde hij in 1849 een lectoraat bij een nieuwe universitaire opening in Cork, Ierland. In de jaren dat hij hoogleraar was in Cork (1849–1864) informeerde hij af en toe naar de mogelijkheid van een functie in Engeland.

Het achtjarige traject van 1847 tot 1854 begint en eindigt met Boole's twee boeken over wiskundige logica. Bovendien publiceerde Boole in deze periode nog 24 artikelen over traditionele wiskunde, terwijl er slechts één artikel over logica werd geschreven, namelijk in 1848. Hij ontving een ere-LL.D. diploma van de Universiteit van Dublin in 1851, en dit was de titel die hij naast zijn naam gebruikte in zijn boek over logica uit 1854. Boole's boek uit 1847, Mathematical Analysis of Logic, wordt MAL genoemd; het boek uit 1854, Laws of Thought, als LT.

Gedurende de laatste 10 jaar van zijn carrière, van 1855 tot 1864, publiceerde Boole 17 artikelen over wiskunde en twee wiskundeboeken, één over differentiaalvergelijkingen en één over differentiaalvergelijkingen. Beide boeken werden beschouwd als state-of-the-art en werden gebruikt voor instructie in Cambridge. Ook gedurende deze tijd kwamen er belangrijke onderscheidingen binnen:

1857 Fellowship of the Royal Society
1858 Ere-lid van de Cambridge Philosophical Society
1859 Diploma van DCL, honoris causa uit Oxford

Helaas leidde zijn scherpe plichtsbesef ertoe dat hij eind 1864 door een regenbui liep en vervolgens in natte kleren les gaf. Niet lang daarna, op 8 december 1864 in Ballintemple, County Cork, Ierland, stierf hij op 49-jarige leeftijd aan longontsteking. mortem.

De lezer die geïnteresseerd is in een uitstekend en grondig verslag van het persoonlijke leven van Boole wordt verwezen naar Desmond MacHale's George Boole, His Life and Work, 1985, een bron waaraan dit artikel veel dank verschuldigd is.

  • 1815 - Geboorte in Lincoln, Engeland
  • 1830 - Zijn vertaling van een Grieks gedicht gedrukt in een lokale krant
  • 1831 - Leest Lacroix's Calcul Différentiel
  • Schoolmeester
  • 1834 - Opent zijn eigen school
  • 1835 - Geeft openbare toespraak over de prestaties van Newton
  • 1838 - Schrijft eerste wiskunde-paper
  • 1839 - Bezoekt Cambridge om Duncan Gregory te ontmoeten, redacteur van het Cambridge Mathematical Journal (CMJ)
  • 1841 - Eerste vier wiskundige publicaties (allemaal in de CMJ)
  • 1842 - Begint correspondentie met Augustus De Morgan - ze worden vrienden voor het leven
  • 1844 - Correspondentie met Cayley begint (geïnitieerd door Cayley) - ze worden vrienden voor het leven
  • 1844 - Gouden medaille van de Royal Society voor een paper over differentiaalvergelijkingen
  • 1845 - spreekt op de jaarlijkse bijeenkomst van de British Association for the Advancement of Science, en ontmoet William Thompson (later Lord Kelvin) - ze worden vrienden voor het leven
  • 1847 - Publiceert wiskundige analyse van logica
  • 1848 - Publiceert zijn enige paper over de algebra van de logica
  • Hoogleraar wiskunde
  • 1849 - Aanvaardt de functie van hoogleraar wiskunde aan de nieuwe Queen's University in Cork, Ierland
  • 1851 - Eredoctoraat, LL.D., van Trinity College, Dublin
  • 1854 - Publiceert wetten van denken
  • 1855 - Huwelijk met Mary Everest, nicht van George Everest, landmeter-generaal van India, naar wie Mt. Everest is genoemd
  • 1856 - Geboorte van Mary Ellen Boole
  • 1857 - Verkozen tot de Royal Society
  • 1858 - Geboorte van Margaret Boole
  • 1859 - Publiceert differentiaalvergelijkingen; gebruikt als leerboek in Cambridge
  • 1860 - Geboorte van Alicia Boole, die het woord "polytope" zal gebruiken
  • 1860 - Publiceert verschillenvergelijkingen; gebruikt als leerboek in Cambridge
  • 1862 - Geboorte van Lucy Everest Boole
  • 1864 - Geboorte van dochter Ethel Lilian Boole, die The Gadfly zou schrijven, een buitengewoon populair boek in Rusland na de revolutie van 1917
  • 1864 - Dood door longontsteking, Cork, Ierland

2. De context en achtergrond van Boole's werk in logica

Om te begrijpen hoe Boole in zo'n korte tijd zijn indrukwekkende algebra van logica ontwikkelde, is het nuttig om de grote lijnen te begrijpen van het werk over de grondslagen van de algebra dat was uitgevoerd door wiskundigen die verbonden waren aan Cambridge University in de 19e eeuw voorafgaand aan de begin van de wiskundige uitgeverij van Boole. Een uitstekende referentie voor verder lezen in verband met deze sectie is het geannoteerde bronboek From Kant to Hilbert van Ewald (1996).

De 19e eeuw opende in Engeland met wiskunde in het slop. De Engelse wiskundigen hadden met de continentale wiskundigen ruzie gemaakt over de kwesties van prioriteit bij de ontwikkeling van de calculus, waardoor de Engelsen de notatie van Newton volgden en die op het continent die van Leibniz. Een van de obstakels die moesten worden overwonnen bij het bijwerken van de Engelse wiskunde was het feit dat de grote ontwikkelingen van algebra en analyse waren gebouwd op dubieuze grondslagen, en er waren Engelse wiskundigen die vrij uitgesproken waren over deze tekortkomingen. In de gewone algebra veroorzaakte het gebruik van negatieve getallen en denkbeeldige getallen zorg. De eerste grote poging onder de Engelsen om de fundamentele problemen van de algebra op te lossen was George Peacock's Treatise on Algebra, 1830 (een tweede editie verscheen als twee delen,1842/1845). Hij verdeelde het onderwerp in twee delen, het eerste deel was rekenkundige algebra, de algebra van de positieve getallen (die operaties zoals aftrekken niet toestonden in gevallen waarin het antwoord geen positief getal zou zijn). Het tweede deel was symbolische algebra, die niet werd bepaald door een specifieke interpretatie, zoals het geval was bij rekenkundige algebra, maar door wetten. In symbolische algebra waren er geen beperkingen op het gebruik van aftrekken, enz.In symbolische algebra waren er geen beperkingen op het gebruik van aftrekken, enz.In symbolische algebra waren er geen beperkingen op het gebruik van aftrekken, enz.

De terminologie van algebra was in de 19e eeuw enigszins anders dan wat tegenwoordig wordt gebruikt. In het bijzonder gebruikten ze het woord "variabele" niet; de letter x in een uitdrukking als 2 x + 5 werd een symbool genoemd, vandaar de naam "symbolische algebra". In dit artikel wordt soms een voorvoegsel toegevoegd, zoals in cijfersymbool of klassensymbool, om de beoogde interpretatie van een symbool te benadrukken.

Peacock was van mening dat, om symbolische algebra een nuttig onderwerp te laten zijn, de wetten nauw verbonden moesten zijn met die van rekenkundige algebra. Daartoe introduceerde hij zijn principe van de bestendigheid van gelijkwaardige vormen, een principe dat resultaten in rekenkundige algebra verbindt met die in symbolische algebra. Dit principe bestaat uit twee delen:

(1) Algemene resultaten in rekenkundige algebra behoren tot de wetten van symbolische algebra.

(2) Telkens wanneer een interpretatie van een resultaat van symbolische algebra zinvol was in de setting van rekenkundige algebra, zou het resultaat een correct resultaat opleveren in rekenen.

Een fascinerend gebruik van algebra werd in 1814 geïntroduceerd door François-Joseph Servois (1776–1847) toen hij differentiaalvergelijkingen aanpakte door het differentiële operatorgedeelte te scheiden van het subjectfunctiegedeelte, zoals beschreven in een hierboven gegeven voorbeeld. Deze toepassing van algebra trok de interesse van Duncan Gregory, die een aantal artikelen publiceerde over de methode van de scheiding van symbolen, dat wil zeggen de scheiding in operatoren en objecten, in de CMJ. Hij schreef ook over de grondslag van de algebra, en het was Gregory's grondslag die Boole bijna woordelijk omarmde. Gregory had Peacock's principe van de bestendigheid van gelijkwaardige vormen opgegeven ten gunste van twee eenvoudige wetten. Helaas voldeden deze wetten niet aan wat nodig is om zelfs enkele van de meest elementaire resultaten in de algebra te rechtvaardigen. In "Op de grondslag van de algebra", 1839,de eerste van vier artikelen over dit onderwerp van De Morgan die verscheen in de Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vindt men een eerbetoon aan de scheiding van symbolen in de algebra, en de bewering dat moderne algebraïsten de symbolen gewoonlijk beschouwen als aanduidende operatoren (bijv. de afgeleide bewerking) in plaats van objecten zoals getallen. De voetnoot:

Professor Peacock is naar mijn mening de eerste die duidelijk het verschil heeft uiteengezet tussen wat ik de technische en de logische takken van de algebra heb genoemd.

beschouwt Peacock als de eerste die de syntactische en de semantische aspecten van algebra scheidt (wat nu wordt genoemd). In het tweede stichtingsartikel (in 1841) stelde De Morgan voor wat hij beschouwde als een complete set van acht regels voor het werken met symbolische algebra.

3. De wiskundige analyse van logica (1847)

Boole's pad naar logische roem begon op een merkwaardige manier. Begin 1847 werd hij gestimuleerd om zijn onderzoek naar logica te starten door een triviaal maar zeer openbaar geschil tussen De Morgan en de Schotse filosoof Sir William Hamilton (niet te verwarren met de Ierse wiskundige Sir William Rowan Hamilton). Dit geschil draaide om wie de eer verdiende voor het idee om het predikaat te kwantificeren (bijv. "Alles A is alles B", "Alles A is een beetje B", enz.). Binnen een paar maanden had Boole zijn monografie van 82 pagina's geschreven, Mathematical Analysis of Logic, waarmee hij een algebraïsche benadering van de aristotelische logica gaf. (Sommigen zeggen dat deze monografie en Het Morgan's boek Formal Logic op dezelfde dag in november 1847 verschenen.)

Het inleidende hoofdstuk begint met Boole die de symbolische methode herziet. In het tweede hoofdstuk, First Principles, laat het symbool 1 het universum vertegenwoordigen dat 'elke denkbare klasse van objecten omvat, al dan niet bestaand'. Hoofdletters X, Y, Z,… duiden klassen aan. Vervolgens, ongetwijfeld sterk beïnvloed door zijn zeer succesvolle werk met behulp van algebraïsche technieken op differentiële operatoren, en in overeenstemming met de bewering van De Morgan in 1839 dat algebraïsten symbolen liever interpreteerden als operatoren, introduceerde Boole het keuzevak x dat overeenkomt met de klasse X, het keuzevak y dat overeenkomt naar Y, enz. De electieve symbolen duidden verkiezingsoperatoren aan - bijvoorbeeld de verkiezingsoperator rood wanneer toegepast op een klasse zou de rode items in de klasse kiezen (selecteren).(Men kan de keuzevaksymbolen eenvoudig vervangen door hun overeenkomstige klassensymbolen en de interpretatie ervan gebruiken in LT in 1854.)

Vervolgens introduceerde Boole de eerste operatie, de vermenigvuldiging xy van keuzevakken. De standaardnotatie xy voor vermenigvuldiging had ook een standaardbetekenis voor operatoren (bijvoorbeeld differentiaaloperatoren), namelijk één toegepast op een object en vervolgens wordt x toegepast op het resultaat. (In moderne terminologie is dit de samenstelling van de twee operatoren.) Dus, zoals opgemerkt door Hailperin (1986), lijkt het waarschijnlijk dat deze gevestigde notatieconventie Boole zijn definitie van vermenigvuldiging van electieve symbolen als samenstelling van operatoren heeft gegeven. Wanneer men overschakelt naar het gebruik van klassen in plaats van keuzevakken zoals in LT, resulteert de overeenkomstige vermenigvuldiging van twee klassen in hun kruising.

De eerste wet in MAL was de distributieve wet x (u + v) = xu + xv, waar Boole zei dat u + v overeenkwam met het verdelen van een klasse in twee delen. Dit was de eerste vermelding van toevoeging. Op p. 17 Boole voegde de commutatieve wet xy = yx en de idempotente wet x 2 = x toe (die Boole de indexwet noemde). Toen deze twee wetten van Gregory eenmaal waren vastgesteld, geloofde Boole dat hij het recht had om de gewone algebra van zijn tijd volledig te gebruiken, en inderdaad ziet men Taylor-serie en Lagrange-vermenigvuldigers in MAL. De wet van idempotente klassensymbolen, x 2 = x, verschilde van de twee fundamentele wetten van symbolische algebra - ze was alleen van toepassing op de individuele keuzevakken, niet in het algemeen op samengestelde termen die men uit deze symbolen kon bouwen. Zo heeft men in het algemeen niet (x + y)2 = x + y in het systeem van Boole omdat, door gewone algebra met idempotente klassensymbolen, dit 2 xy = 0 zou betekenen, en dan xy = 0, wat x en y zou dwingen om onsamenhangende klassen voor te stellen. Maar het is niet zo dat elk paar klassen onsamenhangend is.

Boole concentreerde zich op de aristotelische logica in MAL, met zijn 4 soorten categorische proposities en een open verzameling hypothetische proposities. In het hoofdstuk van expressie en interpretatie zei Boole dat de klasse niet-X noodzakelijkerwijs wordt uitgedrukt door 1− x. Dit is de eerste keer dat je aftrekt. Vervolgens gaf hij vergelijkingen om de categorische stellingen uit te drukken (zie in paragraaf 6.2 hieronder). De eerste die werd uitgedrukt was All X is Y, waarvoor hij xy = x gebruikte, die hij vervolgens omzet in x (1-y) = 0. Dit was de eerste verschijning van 0 in MAL -it werd niet geïntroduceerd als het symbool voor de lege klas. Inderdaad verscheen de lege klasse niet in MAL. Blijkbaar heeft een vergelijking E = 0 de rol van een predikaat in MAL vervuld, door te beweren dat de klasse die wordt aangeduid met E simpelweg niet bestond. (In LT wordt de lege klasse aangeduid met 0.) Boole ging verder dan de grondslagen van symbolische algebra die Gregory in 1844 had gebruikt - hij voegde De Morgan's enkele regel van gevolgtrekking uit 1841 toe, dat gelijkwaardige operaties uitgevoerd op gelijkwaardige onderwerpen gelijkwaardige resultaten opleveren.

In het hoofdstuk over conversies, zoals Conversion by Limitation-All X is Y, daarom vond Some Y is X -Boole vond de Aristotelische classificatie defect omdat het complementen, zoals niet-X, niet op dezelfde voet behandelde als de genoemde klassen X, Y, Z, enz. Met zijn uitgebreide versie van Aristotelische logica in gedachten (niet-X gelijke facturering), gaf hij (p. 30) een set van drie transformatieregels waarmee men alle geldige tweelijnsregels kon construeren categorische argumenten (op voorwaarde dat u de ongeschreven conventie accepteerde dat eenvoudige namen zoals X en niet-X niet-lege klassen aanduidden).

Wat syllogismen betreft, gaf Boole niet om de Aristotelische classificatie in figuren en stemmingen, omdat ze nogal willekeurig leken en niet bijzonder geschikt waren voor de algebraïsche setting. Zijn eerste waarneming was dat syllogistisch redeneren slechts een oefening in eliminatie was, namelijk dat de middellange termijn werd weggelaten om de conclusie te trekken. Eliminatie was goed bekend in de gewone algebraïsche theorie van vergelijkingen, dus leende Boole eenvoudig een standaardresultaat om te gebruiken in zijn algebra van logica. Als de premissen van een syllogisme betrekking hadden op de klassen X, Y en Z, en men wilde y elimineren, dan zette Boole de vergelijkingen voor de twee premissen in de vorm:

ay + b = 0

a 'y + b' = 0.

Het resultaat van het elimineren van y in gewone algebra gaf de vergelijking

ab '- a' b = 0,

en dit is wat Boole gebruikte in zijn algebra van logica om de vergelijkingsvergelijking af te leiden. Hoewel de conclusie inderdaad juist is, zou dit eliminatieresultaat helaas te zwak zijn voor zijn algebra van logica als hij alleen zijn primaire vertalingen in vergelijkingen zou gebruiken. In de gevallen waarin beide premissen werden vertaald als vergelijkingen van de vorm ay = 0, bleek de eliminatieconclusie 0 = 0 te zijn, ook al zou de aristotelische logica een niet-triviale conclusie kunnen vereisen. Dit was de reden waarom Boole de alternatieve equationele vertalingen van categorische proposities introduceerde, om alle geldige aristotelische syllogismen te kunnen afleiden (zie p. 32). Met deze conventie, van het gebruik van secundaire vertalingen wanneer dat nodig was, bleek dat de enige gevallen die leidden tot 0 = 0 die waren waarvoor de premissen niet tot een geldig syllogisme behoorden.

Boole benadrukte dat wanneer een premisse over X en Y wordt vertaald in een vergelijking met x, y en v, het begrip was dat v zou worden gebruikt om "sommige" uit te drukken, maar alleen in de context waarin het in de premisse verscheen. 'Sommige X is Y' heeft bijvoorbeeld de primaire vertaling v = xy, wat de secundaire vertaling vx = vy impliceerde. Dit kan ook worden gelezen als "Sommige X is Y". Een ander gevolg van v = xy is v (1− x) = v (1− y). Het was echter niet toegestaan ​​om dit te lezen als "Sommige niet- X is niet- Y" omdat v niet met 1x in de premisse verscheen. Het gebruik van v door Boole bij het vertalen van stellingen in vergelijkingen, evenals het gebruik ervan bij het oplossen van vergelijkingen, is al lang een twistpunt.

Boole analyseerde de zeven vormen van hypothetische syllogismen die in de aristotelische logica zaten, van het disjunctieve syllogisme tot het complexe destructieve dilemma, en wees erop dat het gemakkelijk zou zijn om nog veel meer van dergelijke vormen te creëren. In het Postscript to MAL erkende Boole dat de propositielogica een tweewaardig systeem gebruikte, maar hij bood geen propositielogica aan om hiermee om te gaan.

Beginnend met het hoofdstuk Eigenschappen van keuzefuncties, ontwikkelde Boole algemene stellingen voor het werken met vergelijkingen in zijn algebra van logica - de expansiestelling en de eigenschappen van componenten worden in dit hoofdstuk besproken. Tot nu toe was zijn enige focus om aan te tonen dat de aristotelische logica kon worden afgehandeld met eenvoudige algebraïsche methoden, voornamelijk door het gebruik van een eliminatiestelling die was ontleend aan gewone algebra.

Het was logisch dat Boole vergelijkingen in zijn algebra van logica wilde oplossen, aangezien dit een hoofddoel van de gewone algebra was geweest en tot veel moeilijke vragen had geleid (bijv. Hoe een 5e-graadvergelijking op te lossen). Gelukkig voor Boole was de situatie in zijn logische algebra veel eenvoudiger - hij kon altijd een vergelijking oplossen, en het vinden van de oplossing was belangrijk voor toepassingen van zijn systeem, om conclusies te trekken in de logica. Een vergelijking werd gedeeltelijk opgelost door uitbreiding na het uitvoeren van deling te gebruiken. Deze methode van oplossing was het resultaat waar hij het meest trots op was - het beschreef hoe een keuzevergelijking voor een van de symbolen in termen van de andere op te lossen, en dit is wat Boole beweerde (in het Inleiding-hoofdstuk van MAL) zou bieden "de middelen voor een perfecte analyse van elke denkbare reeks voorstellen, …".In LT zou Boole deze tool blijven beschouwen als het hoogtepunt van zijn werk.

Het laatste voorbeeld van Boole (p. 78) in MAL gebruikte een bekende techniek voor het omgaan met beperkende voorwaarden in analyse genaamd Lagrange Multipliers - deze methode werd, net als zijn gebruik van Taylor-series, overduidelijk beschouwd als overkill, zo niet enigszins twijfelachtig, en verscheen niet in LT (Taylor-serie verscheen in een voetnoot in LT -Boole had ze niet helemaal opgegeven).

4. De wetten van het denken (1854)

Boole's tweede logische boek, An Investigation of The Laws of Thought, waarop de wiskundige theorieën van logica en waarschijnlijkheden zijn gebaseerd, gepubliceerd in 1854, was een poging om zijn boek over logica uit 1847 te corrigeren en te perfectioneren. De tweede helft van dit 424 pagina's tellende boek presenteerde de kansrekening als een uitstekend onderwerp om de kracht van zijn algebra van logica te illustreren. Boole besprak de theoretische mogelijkheid om waarschijnlijkheidstheorie (versterkt door zijn algebra van logica) te gebruiken om fundamentele wetten te ontdekken die de samenleving beheersen door grote hoeveelheden sociale gegevens te analyseren.

Boole zei dat hij eenvoudige letters zoals x zou gebruiken om klassen weer te geven, hoewel hij later ook hoofdletters zoals V zou gebruiken. Het universum was een klasse; en er werd een klasse beschreven die 'geen wezens' had, die we de lege klasse noemen. De werking van vermenigvuldiging werd gedefinieerd als doorsnede, en dit leidde tot zijn eerste wet, xy = yx. Vervolgens (enkele pagina's later) gaf hij de idempotente wet x 2 = x. Toevoeging werd als aggregatie geïntroduceerd toen de klassen niet met elkaar in overeenstemming waren. Hij noemde de commutatieve wet voor optellen, x + y = y + x, en de distributieve wet z (x + y) = zx + zy. Daarna volgden x - y = - y + x en z (x - y) = zx - zy.

Men zou kunnen verwachten dat Boole naar een axiomatische basis voor zijn algebra van logica bouwde, net als in MAL, kennelijk beseffend dat de drie wetten in MAL niet genoeg waren. Hij besprak inderdaad de regels van gevolgtrekking, dat het optellen of aftrekken van gelijken van gelijken gelijk is, en het vermenigvuldigen van gelijk met gelijk is geeft gelijk. Maar toen kwam de ontwikkeling van een axiomatische benadering abrupt tot stilstand. Er was geen discussie over de vraag of deze axioma's en regels voldoende waren om zijn logische algebra op te bouwen. In plaats daarvan presenteerde hij eenvoudig en kort, met opmerkelijk weinig tamtam, een radicaal nieuwe basis voor zijn algebra van logica.

Hij zei dat aangezien de enige idempotente getallen 0 en 1 waren, dit suggereerde dat de correcte algebra voor logica de gewone algebra zou zijn van de gewone getallen die zijn gewijzigd door de symbolen te beperken tot de waarden 0 en 1. Hij verklaarde wat, in deze artikel wordt de regel van 0 en 1 genoemd, dat een wet of argument in de logica als het na vertaling in een equationele vorm in de algemene algebra stond met deze 0,1-beperking op de mogelijke interpretaties (dwz waarden) van de symbolen. Boole zou deze regel gebruiken om zijn belangrijkste stellingen (uitbreiding, reductie, eliminatie) te rechtvaardigen, en voor geen enkel ander doel. De belangrijkste stellingen leverden op hun beurt Boole's Algemene Methode op voor het analyseren van de gevolgen van propositionele premissen.

In hoofdstuk V besprak hij de rol van oninterpreteerbare elementen in zijn werk; als (gedeeltelijke) rechtvaardiging voor het gebruik van niet-interpreteerbare stappen in symbolische algebra wees hij op het bekende gebruik van √ − 1. In daaropvolgende hoofdstukken gaf hij de expansiestelling, de nieuwe volledige eliminatiestelling, een reductiestelling en het gebruik van deling om een ​​vergelijking op te lossen.

Na veel voorbeelden en resultaten voor speciale gevallen van het oplossen van vergelijkingen, wendde Boole zich tot het onderwerp van de interpreteerbaarheid van een logische functie. Boole had al verklaard dat elke vergelijking interpreteerbaar is (door deze om te zetten in een verzameling samenstellende vergelijkingen). Termen hoeven echter niet interpreteerbaar te zijn, bijv. 1 + 1 is niet interpreteerbaar.

Het hoofdstuk van Boole over secundaire stellingen was in wezen hetzelfde als in MAL, behalve dat hij veranderde van het gebruik van "de gevallen waarin X waar is" naar "de tijden waarin X waar is". In Hoofdstuk XIII selecteerde Boole enkele bekende argumenten van Clarke en Spinoza, over de aard van een eeuwig wezen, om onder het vergrootglas van zijn algebra van logica te plaatsen, te beginnen met de opmerking:

2. De voornaamste praktische moeilijkheid van dit onderzoek zal niet liggen in het toepassen van de methode op het eenmaal vastgestelde terrein, maar in het vaststellen wat het pand is.

Een conclusie was:

19. Ik denk dat het niet mogelijk is om uit de inzage van de argumenten van Clarke en Spinoza op te staan ​​zonder een diepe overtuiging van de zinloosheid van alle pogingen om, a priori, het bestaan ​​van een Oneindig Wezen, Zijn eigenschappen en Zijn relatie tot het universum.

In het laatste hoofdstuk over logica, hoofdstuk XV, presenteerde Boole zijn analyse van de conversies en syllogismen van de aristotelische logica. Hij beschouwde deze oude logica als een zwakke, gefragmenteerde poging tot een logisch systeem. Dit veel verwaarloosde hoofdstuk is best interessant omdat het het enige hoofdstuk is waarin hij bepaalde stellingen analyseerde, waarbij hij essentieel gebruik maakte van aanvullende letters zoals "v" om "sommige" te coderen. Dit is ook het hoofdstuk waar hij (helaas onvolledig) de regels voor het werken met "sommigen" heeft beschreven.

Kort gezegd gaf Boole de lezer een samenvatting van de traditionele Aristotelische categorische logica en analyseerde hij enkele eenvoudige voorbeelden met behulp van ad hoc-technieken met zijn algebra van logica. Vervolgens begon hij een alomvattend resultaat te bewijzen door zijn algemene methode toe te passen op het paar vergelijkingen:

vx = v 'y

w z = w' y,

opmerkend dat de premissen van veel categorische syllogismen in deze vorm kunnen worden geplaatst. Zijn doel was om y te elimineren en uitdrukkingen voor x, 1− x en vx te vinden in termen van z, v, v ', w, w'. Dit leidde tot drie vergelijkingen met grote algebraïsche uitdrukkingen. Boole liet bijna alle details van zijn afleiding weg, maar vatte de resultaten samen in termen van de vastgestelde resultaten van de Aristotelische logica. Vervolgens merkte hij op dat de resterende categorische syllogismen zodanig zijn dat hun premissen in de vorm kunnen worden gebracht:

vx = v 'y

wz = w '(1− y),

en dit leidde tot nog een drievoud van grote vergelijkingen.

5. Latere ontwikkelingen

5.1 Bezwaar tegen Boole's Algebra of Logic

Door de jaren heen zijn er veel bezwaren tegen het systeem van Boole verschenen; drie van de belangrijkste zorgen:

  • het gebruik van niet-interpreteerbare stappen in afleidingen,
  • de behandeling van bepaalde stellingen door vergelijkingen, en
  • de methode van omgaan met verdeeldheid.

We kijken naar een ander bezwaar, namelijk naar het Boole / Jevons-geschil over het toevoegen van X + X = X als wet. In Laws of Thought, p. 66, Boole zei:

De uitdrukking x + y lijkt inderdaad niet te interpreteren, tenzij wordt aangenomen dat de dingen die worden voorgesteld door x en de dingen die worden vertegenwoordigd door y volledig gescheiden zijn; dat ze geen individuen gemeen hebben.

[De volgende details komen uit "De ontwikkeling van de theorieën van de wiskundige logica en de principes van de wiskunde, William Stanley Jevons", door Philip Jourdain, 1914.]

In een brief aan Boole uit 1863 over een concept van een commentaar op het systeem van Boole dat Jevons overwoog voor zijn aanstaande boek (Pure Logic, 1864), zei Jevons:

Het is echter duidelijk dat x + x alleen equivalent is aan x, …

De notatie van professor Boole [proces van aftrekken] is niet in overeenstemming met een voor de hand liggende wet.

Als mijn mening juist is, zal zijn systeem worden beschouwd als een zeer opmerkelijke combinatie van waarheid en dwaling.

Boole antwoordde:

Dus de vergelijking x + x = 0 is equivalent aan de vergelijking x = 0; maar de uitdrukking x + x is niet gelijk aan de uitdrukking x.

Jevons reageerde door te vragen of Boole de waarheid van x + x = x kon ontkennen.

Boole antwoordt duidelijk geïrriteerd:

Om expliciet te zijn, antwoord ik nu echter dat het niet waar is dat in Logica x + x = x, hoewel het waar is dat x + x = 0 gelijk is aan x = 0. Als ik niet meer schrijf, is het niet van enige onwil om het onderwerp met u te bespreken, maar simpelweg omdat als we op dit fundamentele punt verschillen, het onmogelijk is dat we het met anderen eens zijn.

Jevons laatste poging om Boole het probleem te laten begrijpen was:

Ik twijfel er niet aan dat het voor jou openstaat om vast te houden … [dat x + x = x niet waar is] volgens de wetten van je systeem, en met deze uitleg is je systeem waarschijnlijk perfect consistent met zichzelf … Maar de vraag wordt dan een bredere: komt uw systeem overeen met de logica van algemeen denken?

De nieuwe wet van Jevons, X + X = X, kwam voort uit zijn overtuiging dat "+" zou moeten duiden op wat we nu vakbond noemen, waarbij het lidmaatschap van X + Y wordt gegeven door een inclusief "of". Boole zag eenvoudigweg geen enkele manier om X + Y als klasse te definiëren, tenzij X en Y disjunct waren, zoals al opgemerkt.

Er zijn verschillende verklaringen gegeven waarom Boole de mogelijkheid van Jevons 'suggestie niet kon begrijpen. Boole had duidelijk het semantische concept van unie - hij drukte de unie van X en Y uit als x + (y - x), een unie van twee onsamenhangende klassen, en wees erop dat de elementen van deze klasse degenen zijn die behoren tot X of Y of beide. Dus hoe kon hij zo volledig de mogelijkheid niet zien om vakbond te nemen voor zijn fundamentele operatie + in plaats van zijn nieuwsgierige gedeeltelijke vakbondsoperatie?

Het antwoord is simpel: de wet x + x = x zou zijn vermogen om gewone algebra te gebruiken hebben vernietigd: van x + x = x heeft men, door gewone algebra, x = 0. Dit zou elk klassensymbool dwingen de lege klasse aan te duiden. Jevons 'voorgestelde wet x + x = x was gewoon niet waar als men zich ertoe wilde verbinden de gewone algebra te laten functioneren als de algebra van de logica.

5.2. Moderne reconstructie van Boole's systeem

Gezien de enorme mate van verfijning die in de moderne algebra in de 20e eeuw is bereikt, is het nogal verrassend dat er pas in Theodore Hailperins boek uit 1976 een wetgevende algebra-uitbreiding van Boole's partiële algebra van klassen verscheen - de vertraging werd waarschijnlijk veroorzaakt door lezers niet te geloven dat Boole gewone algebra gebruikte. De extensie van Hailperin was om te kijken naar labels van het universum met gehele getallen, dat wil zeggen dat elk element van het universum is gelabeld met een geheel getal. Elke labelling van het universum creëert een multi-set (misschien zou je moeten zeggen multi-class) bestaande uit die gelabelde elementen waar het label niet nul is - men kan het label van een element zien als een beschrijving van hoeveel kopieën van het element er zijn in de multi-set. Boole 's klassen komen overeen met de multi-sets waar alle labels 1 zijn (de elementen die niet in de klasse zitten hebben het label 0). De oninterpreteerbare elementen van Boole worden interpreteerbaar wanneer ze worden gezien als meerdere sets - ze worden gegeven door labels van het universum waarbij een label niet 0 of 1 is.

Om twee multi-sets toe te voegen, voegt u eenvoudig de labels toe aan elk element van de universe. Evenzo voor aftrekken en vermenigvuldigen. (Voor de lezer die bekend is met moderne abstracte algebra, kan men de uitbreiding van Boole's partiële algebra beschouwen als Z U, waarbij Z de ring van gehele getallen is en U het universum van het discours.) De multi-sets die overeenkomen met klassen zijn precies de idempotente multi-sets. Het blijkt dat de wetten en principes die Boole gebruikte in zijn algebra van logica gelden voor dit systeem. Op deze manier is bewezen dat de methoden van Boole correct zijn voor de algebra van de logica van universele proposities. De analyse van Hailperin was niet van toepassing op bepaalde stellingen.

Boole kon geen vertaling vinden die zo netjes werkte voor de specifieke proposities als voor de universele proposities. In 1847 gebruikte Boole de volgende twee vertalingen, waarvan de tweede een gevolg was van de eerste:

Sommige X's zijn Y's …………. v = xy en vx = vy.

Aanvankelijk gebruikte hij het symbool v om de essentie van "sommige" vast te leggen. Later gebruikte hij ook andere symbolen, en ook gebruikte hij v met andere betekenissen (zoals voor de coëfficiënten in een uitbreiding). Een van de problemen met zijn vertaalschema met v was dat men soms "kanttekeningen" nodig had om bij te houden aan welke klasse (n) de v was gehecht toen deze werd geïntroduceerd. De regels voor het vertalen van vergelijkingen met v 's terug naar bepaalde uitspraken zijn nooit duidelijk geformuleerd. In Hoofdstuk XV ziet men bijvoorbeeld een afleiding van x = vv 'y die vervolgens wordt vertaald als Sommige X is Y. Maar hij had geen regels voor wanneer een product van v 's de import van' sommige 'draagt. Dergelijke problemen doen afbreuk aan het systeem van Boole; zijn uitleg laat twijfels over welke procedures legitiem zijn in zijn systeem bij het behandelen van bepaalde verklaringen.

Er is een punt waarop zelfs Hailperin niet trouw was aan het werk van Boole, namelijk dat hij moderne semantiek gebruikte, waarbij de eenvoudige symbolen x, y, enz. Zowel naar de lege klasse als naar een niet-lege klasse kunnen verwijzen. Met moderne semantiek kan men niet de Conversion by Limitation hebben die in de aristotelische logica gold: van Alles X is Y volgt Sommige Y is X. In zijn Formal Logic van 1847 wees De Morgan erop dat alle schrijvers over logica hadden aangenomen dat de klassen waarnaar in een categorische propositie wordt verwezen, niet leeg waren. Deze beperking van de klassensymbolen tot niet-lege klassen en tweevoudig tot niet-universum-klassen zal Aristotelische semantiek worden genoemd. Boole had deze aristotelische conventie kennelijk gevolgd omdat hij alle aristotelische resultaten had afgeleid, zoals bekering door beperking. Een juiste interpretatie (trouw aan Boole 's werk) van het systeem van Boole vereist aristotelische semantiek voor de klassensymbolen x, y, z,…; helaas lijkt het erop dat de gepubliceerde literatuur over het systeem van Boole dit niet heeft opgemerkt.

6. Boole's methoden

Bij het doorlezen van dit gedeelte, over de technische details van de methoden van Boole, kan de lezer het misschien nuttig vinden om de

aanvulling van voorbeelden uit de twee boeken van Boole.

Deze voorbeelden zijn aangevuld met opmerkingen die in elke stap van een afleiding door Boole uitleggen welk aspect van zijn methoden wordt gebruikt.

6.1 De drie methoden voor argumentanalyse gebruikt door Boole in LT

Boole gebruikte drie methoden om argumenten in LT te analyseren:

(1) De eerste waren de puur ad-hoc algebraïsche manipulaties die (in combinatie met een zwakke versie van de eliminatiestelling) werden gebruikt op de aristotelische argumenten in MAL.

(2) Ten tweede vindt men in sectie 15 van Hoofdstuk II van LT de methode die in dit artikel de Regel van 0 en 1 wordt genoemd.

De stellingen van LT combineren om het hoofdresultaat te geven, (3) Algemene methode van Boole (in dit artikel zal er altijd naar worden verwezen met beginletters in hoofdletters - Boole noemde het gewoon "een methode").

Bij het toepassen van de ad-hocmethode gebruikte hij delen van de gewone algebra samen met de idempotente wet x 2 = x om vergelijkingen te manipuleren. Er was geen vooraf vastgestelde procedure om succes met deze methode te volgen, afhankelijk van intuïtieve vaardigheden die door ervaring waren ontwikkeld.

De tweede methode, de Regel van 0 en 1, is erg krachtig, maar het hangt ervan af of je een verzameling premisse vergelijkingen en een vergelijkingsvergelijking krijgt. Het is een waarheidstabelachtige methode (maar Boole heeft nooit een tabel getekend bij het toepassen van de methode) om te bepalen of het argument juist is. Boole heeft deze methode alleen gebruikt om de stellingen vast te stellen die zijn algemene methode rechtvaardigen, ook al is het een uitstekend hulpmiddel voor eenvoudige argumenten zoals syllogismen. De regel van 0 en 1 is een ietwat schimmig cijfer in LT -it heeft geen naam en er wordt nooit naar verwezen door sectie- of paginanummer.

De derde methode om argumenten te analyseren was het hoogtepunt van het werk van Boole in de logica, zijn Algemene Methode (onmiddellijk daarna besproken). Dit is degene die hij gebruikte voor alles behalve de eenvoudigste voorbeelden in LT; voor de eenvoudigste voorbeelden nam hij zijn toevlucht tot de eerste methode van ad-hoc algebraïsche technieken omdat, voor iemand die bekwaam is in algebraïsche manipulaties, het gebruik ervan meestal veel efficiënter is dan het doorlopen van de algemene methode.

De definitieve versie (van LT) van zijn algemene methode voor het analyseren van argumenten is, kort gezegd, om:

(1) de proposities omzetten (of vertalen) in vergelijkingen, (2) pas een voorgeschreven reeks algebraïsche processen toe op de vergelijkingen, processen die de gewenste vergelijkingen opleveren, en dan

(3) zet de equationele conclusies om in propositionele conclusies, met de gewenste gevolgen van de oorspronkelijke verzameling proposities.

Met deze methode had Boole de redeneerkunst vervangen van premisse stellingen tot stellingen door een routinematige mechanische algebraïsche procedure.

In LT verdeelde Boole proposities in twee soorten, primair en secundair. Deze komen overeen met, maar zijn niet precies hetzelfde als, de Aristotelische indeling in categorische en hypothetische proposities. Eerst bespreken we zijn algemene methode toegepast op primaire stellingen.

6.2. Boole's General Method for Primary Propositions

Boole herkende drie vormen van primaire proposities:

  • Alle X is Y
  • Alle X is allemaal Y
  • Sommige X is Y

Dit was zijn versie van de categorische proposities van Aristoteles, waar X de subjectterm is en Y de predikaatterm. De termen X en Y kunnen complexe namen zijn, X kan bijvoorbeeld X 1 of X 2 zijn.

STAP 1: Namen worden als volgt omgezet in algebraïsche termen:

Voorwaarden MAL LT
universum 1 p. 15 1 p. 48
lege klasse 0 p. 47
niet X 1 - x p. 20 1 - x p. 48
X en Y xy p. 16 xy p. 28
X of Y (inclusief)
x + y (1 - x)
xy + x (1 - y) + y (1− x)
p. 56
X of Y (exclusief) x (1 - y) + y (1 - x) p. 56

We zullen de letters x, y, … klassensymbolen noemen (zoals eerder opgemerkt, de algebra van de jaren 1800 gebruikte de woordvariabelen niet).

STAP 2: Nadat u namen voor de termen hebt omgezet in algebraïsche termen, zet u de proposities vervolgens om in vergelijkingen met behulp van het volgende:

Primaire stellingen MAL (1847) LT (1854)
Alle X is Y x (1− y) = 0 p. 26 x = vy p. 64, 152
Geen X is Y xy = 0 (niet primair)
Alle X is allemaal Y (niet primair) x = y
Sommige X is Y v = xy vx = vy
Sommige X is niet Y v = x (1− y) (niet primair)

Boole gebruikte de vier categorische stellingen als zijn primaire vormen in 1847, maar in 1854 elimineerde hij de negatieve propositionele vormen, waarbij hij opmerkte dat men "niet Y" kon veranderen in "niet-Y". Dus in 1854 zou hij "Nee X is Y" uitdrukken met "Alle X is niet- Y", met de vertaling

x (1 - (1 - y)) = 0,

wat vereenvoudigt tot xy = 0.

STAP 3: Na het omzetten van de premissen in algebraïsche vorm heeft men bijvoorbeeld een verzameling vergelijkingen

p 1 = q 1, p 2 = q 2, …, p n = q n.

Druk deze uit als vergelijkingen met 0 aan de rechterkant, dat wil zeggen, zoals

r 1 = 0, r 2 = 0, …, r n = 0,

met

r 1: = p 1 - q 1, r 2: = p 2 - q 2, …, r n: = p n - q n.

STAP 4: (VERMINDERING) [LT (p. 121)]

Verminder het systeem van vergelijkingen

r 1 = 0, r 2 = 0, …, r n = 0,

tot een enkele vergelijking r = 0. Boole had hiervoor drie verschillende methoden - hij leek een voorkeur te hebben voor het optellen van de vierkanten:

r: = r 1 2 + · · · + r n 2 = 0.

Stappen 1 tot en met 4 zijn verplicht in de algemene methode van Boole. Na het uitvoeren van deze stappen zijn er verschillende opties om door te gaan, afhankelijk van het doel.

STAP 5: (ELIMINATIE) [LT (p. 101)]

Stel dat men de meest algemene vergelijking van r = 0 wil hebben die betrekking heeft op enkele, maar niet alle, klassensymbolen in r. Vervolgens wil je bepaalde symbolen elimineren. Stel dat r betrekking heeft op de klassensymbolen

x 1,…, x j en y 1,…, y k.

Dan kan men r schrijven als r (x 1,…, x j, y 1,…, y k).

Boole procedure om de symbolen te elimineren x 1, …, x j van

r (x 1,…, x j, y 1,…, y k) = 0

verkrijgen

s (y 1,…, y k) = 0

was als volgt:

1. vorm alle mogelijke uitdrukkingen r (a 1,…, a j, y 1,…, y k) waarbij a 1,…, a j elk 0 of 1 zijn, dan

2. vermenigvuldig al deze uitdrukkingen samen om s (y 1,…, y k) te verkrijgen.

Bijvoorbeeld x 1, x 2 elimineren van

r (x 1, x 2, y) = 0

geeft

s (y) = 0

waar

s (y): = r (0, 0, y) · r (0, 1, y) · r (1, 0, y) · r (1, 1, y).

STAP 6: (ONTWIKKELING of UITBREIDING) [MAL (pp. 60), LT (pp. 72, 73)]

Gegeven een term, zeg r (x 1,…, x j, y 1,…, y k), kan men de term uitbreiden met betrekking tot een subset van de klassensymbolen. Te breiden naar x 1, …, x j geeft

r = som van de termen

r (een 1,…, een j, y 1,…, y k) · C (een 1, x 1) · · · C (een j, x j),

waar een 1, …, a j bereik over alle reeksen van 0s en 1s van lengte j, en waar de C (a i, x i) worden gedefinieerd door:

C (1 x i) = x i en C (0, x i) = 1 x i.

Boole zei dat de producten:

C (een 1, x 1) · · · C (een j, x j)

waren de bestanddelen van x 1,…, x j. Er zijn 2 j verschillende onderdelen voor j-symbolen. De regio's van een Venn-diagram bieden een populaire manier om onderdelen te visualiseren.

STAP 7: (AFDELING: OPLOSSEN VOOR EEN KLASSIESYMBOOL) [MAL (p. 73), LT (pp. 86, 87)]]

Stel, gegeven een vergelijking r = 0, dat je deze vergelijking wilt oplossen voor een van de klassensymbolen, zeg x, in termen van de andere klassensymbolen, zeg dat ze y 1,…, y k zijn. Oplossen:

r (x, y 1,…, y k) = 0

laat voor x eerst:

N (y 1,…, y k) = - r (0, y 1,…, y k)

D (y 1,…, y k) = r (1, y 1,…, y k) - r (0, y 1,…, y k).

Vervolgens:

x = s (y 1,…, y k)

waar s (y 1,…, y k) is:

(1) de som van alle bestanddelen

C (een 1, y 1) · · · C (een k, y k),

waar een 1, …, een k bereik over alle reeksen van 0s en 1s waarvoor:

N (een 1,…, een k) = D (een 1,…, een k) ≠ 0,

plus

(2) de som van alle voorwaarden van het formulier

V een 1 … een k · C (een 1, y 1) · · · C (een k, y k)

waarvoor:

N (een 1,…, een k) = D (een 1,…, een k) = 0.

De V a 1 … a k zijn parameters die willekeurige klassen aanduiden (vergelijkbaar met wat men ziet in de studie van lineaire differentiaalvergelijkingen, een onderwerp waarin Boole een expert was).

Aan deze vergelijking voor x grenzen de randvoorwaarden (die we samenstellende vergelijkingen zullen noemen)

C (een 1, y 1) · · · C (een k, y k) = 0

wanneer

D (een 1, …, een k) ≠ N (een 1, …, een k) ≠ 0.

Merk op dat men de termen moet evalueren:

D (een 1, …, een k) en N (een 1, …, een k)

met gewone rekenkunde. Dus het oplossen van een vergelijking r = 0 voor een klassensymbool x geeft een vergelijking

x = s (y 1,…, y k),

misschien met vergelijkingen van samenstellende delen.

STAP 8: (INTERPRETATIE) [MAL pp. 64–65, LT (hoofdstuk VI, esp. Pp. 82–83)]

Stel dat de vergelijking r (y 1,…, y k) = 0 is verkregen met de methode van Boole uit een gegeven verzameling premisse vergelijkingen. Dan is deze vergelijking gelijk aan de verzameling samenstellende vergelijkingen

C (een 1, y 1) · · · C (een k, y k) = 0

waarvoor r (a 1,…, a k) niet 0 is. Een samenstellende vergelijking stelt alleen dat een bepaald snijpunt van de oorspronkelijke klassen en hun complementen leeg is. Bijvoorbeeld,

y 1 (1-y 2) (1-y 3) = 0

drukt de stelling uit "Alle Y 1 is Y 2 of Y 3 " of equivalent: "Alle Y 1 en niet Y 2 is Y 3. " Het is routine om samenstellende vergelijkingen om te zetten in proposities.

6.3. Boole's algemene methode voor secundaire stellingen

Secundaire stellingen waren Boole's versie van de stellingen die men tegenkomt bij de studie van hypothetische syllogismen in de Aristotelische logica, uitspraken als 'If X or Y then Z'. De symbolen X, Y, Z, etc. van secundaire proposities verwezen niet naar klassen, maar naar (primaire) proposities. In overeenstemming met het onvolledige karakter van de Aristotelische behandeling van hypothetische stellingen, gaf Boole geen nauwkeurige beschrijving van mogelijke vormen voor zijn secundaire stellingen.

De belangrijkste (maar niet originele) opmerking die Boole gebruikte was simpelweg dat men secundaire proposities kan omzetten in primaire proposities. In MAL nam hij de conventie van Whately (1826) aan, dat gegeven een propositioneel symbool X, het symbool x "de gevallen waarin X waar is" zal aanduiden, terwijl in LT Boole x "de tijden aangeeft waarvoor X waar is"”. Hiermee wordt de secundaire propositie "Als X of Y dan Z" simpelweg "Alle x of y is z". De vergelijking x = 1 is de vergelijking van "X is waar" (in alle gevallen of voor alle tijden), en x = 0 zegt "X is onwaar" (in alle gevallen of voor altijd).

Met dit vertaalschema is het duidelijk dat Boole's behandeling van secundaire proposities kan worden geanalyseerd door de methoden die hij had ontwikkeld voor primaire proposities. Dit was de propositionele logica van Boole.

Boole werkte alleen met aristotelische proposities in MAL, waarbij hij de traditionele indeling in categorische en hypothetische factoren gebruikte. Men beschouwt "X en Y", "X of Y", etc. niet in categoriale proposities, alleen in hypothetische proposities. In LT werd deze indeling vervangen door de vergelijkbare maar meer algemene primaire versus secundaire classificatie, waarbij het subject en het predikaat complexe namen mochten worden en het aantal stellingen in een argument onbeperkt werd. Hiermee werden de parallellen tussen de logica van primaire proposities en die van secundaire proposities duidelijk, met één opmerkelijk verschil, namelijk het lijkt erop dat de secundaire proposities zich altijd vertalen in universele primaire proposities.

Secundaire stellingen MAL (1847) LT (1854)
X is waar x = 1 p. 51 x = 1 p. 172
X is onwaar x = 0 " x = 1 "
X en Y xy = 1 " xy = 1 "
X of Y (inclusief) x + y - xy = 1 p. 52
X of Y (exclusief) x −2 xy + y = 1 p. 53 x (1 - y) + y (1 - x) = 1 p. 173
Als X dan Y x (1− y) = 0 p. 54 x = vy p. 173

Bibliografie

  • Boole, G., 1841, 'Onderzoekt naar de theorie van analytische transformaties, met een speciale toepassing op de reductie van de algemene vergelijking van de tweede orde', The Cambridge Mathematical Journal, 2: 64–73.
  • –––, 1841, 'Over bepaalde stellingen in de variatierekening', The Cambridge Mathematical Journal, 2: 97–102.
  • –––, 1841, "Over de integratie van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten", The Cambridge Mathematical Journal, 2: 114–119.
  • ––– 1847, The Mathematical Analysis of Logic, Being a Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning, Oorspronkelijk gepubliceerd in Cambridge door Macmillan, Barclay en Macmillan. Herdrukt in Oxford door Basil Blackwell, 1951.
  • –––, 1848, "The Calculus of Logic", The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 3: 183–198.
  • –––, 1854, An Investigation of The Laws of Thought on Where Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, Oorspronkelijk uitgegeven door Macmillan, London. Herdruk door Dover, 1958.
  • –––, 1859, A Treatise on Differential Equations, Cambridge: Macmillan.
  • –––, 1860, A Treatise on the Calculus of Finite Differences, Cambridge: Macmillan.
  • De Morgan, A., 1839, 'On the foundation of algebra', Transactions of the Cambridge Philosophical Society, VII, 174–187.
  • –––, 1841, “On the foundation of algebra, No. II”, Transactions of the Cambridge Philosophical Society VII, 287–300.
  • –––, 1847, Formal Logic: or, the Calculus of Inference, Necessary and Probable, Oorspronkelijk gepubliceerd in Londen door Taylor en Walton. Herdrukt in Londen door The Open Court Company, 1926.
  • –––, 1966, On the Syllogism, and Other Logical Writings, P. Heath (red.), New Haven: Yale University Press. (Een postume verzameling van De Morgan's papers over logica.)
  • Ewald, W. (red.), 1996, From Kant to Hilbert. Een bronnenboek in de geschiedenis van de wiskunde, 2 Vols, Oxford: Oxford University Press.
  • Grattan-Guiness, I., 2001, The Search for Mathematical Roots, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Gregory, DF 1839, "Demonstraties in de differentiaalrekening en de calculus van eindige verschillen", The Cambridge Mathematical Journal, Vol. I, 212–222.
  • ––– 1839, “I. – Over de elementaire principes van de toepassing van algebraïsche symbolen op geometrie”, The Cambridge Mathematical Journal, Vol. II, nr. VII, 1-9.
  • –––, 1840: "Over de werkelijke aard van symbolische algebra." Transacties van de Royal Society of Edinburgh, 14: 208–216. Ook in [Gregory 1865, pp. 1-13].
  • –––, 1865, The Mathematical Writings of Duncan Farquharson Gregory, MA, W. Walton (red.), Cambridge, UK: Deighton, Bell.
  • Hailperin, T., 1976, Boole's Logic and Probability, (Series: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 85), Amsterdam, New York, Oxford: Elsevier Noord-Holland. 2e editie, herzien en vergroot, 1986.
  • –––, 1981, "Boole's algebra is geen Booleaanse algebra", Mathematics Magazine, 54: 172–184.
  • Jevons, WS, 1864, Pure Logic of de Logic of Quality, afgezien van kwantiteit: met opmerkingen over Boole's System en over de relatie van logica en wiskunde, London: Edward Stanford. Herdrukt 1971 in Pure Logic and Other Minor Works, R. Adamson en HA Jevons (red.), New York: Lennox Hill Pub. & Dist. Co.
  • Jourdain, PEB, 1914: 'De ontwikkeling van de theorieën van de wiskundige logica en de principes van de wiskunde. William Stanley Jevons”, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 44: 113–128.
  • Lacroix, SF, 1797/1798, Traité du calcul différentiel et du calcul integraal, Parijs: Chez Courcier.
  • Lagrange, JL, 1797, Théorie des fonctions analytique, Paris: Imprimerie de la Republique.
  • –––, 1788, Méchanique Analytique, Parijs: Desaint.
  • MacHale, D., 1985, George Boole, His Life and Work, Dublin: Boole Press.
  • Peacock, G., 1830, Treatise on Algebra, 2e ed., 2 delen, Cambridge: J. & J.J. Deighton, 1842/1845.
  • –––, 1833, "Report on the Recent Progress and Present State of some Branches of Analysis", In Report of the Third Meeting of the British Association for the Advancement of Science gehouden in Cambridge in 1833, pp. 185-352. Londen: John Murray.
  • Schröder, E., 1890–1910, Algebra der Logik, Vols. Ik – III. Leipzig, BG Teubner; herdruk Chelsea 1966.

Andere internetbronnen

  • George Boole, The MacTutor History of Mathematics Archive
  • Augustus De Morgan, Duncan Farquharson Gregory, William Jevons, George Peacock, Ernst Schröder, The MacTutor History of Mathematics Archive
  • Algebraic Logic Group, Alfred Reyni Institute of Mathematics, Hongaarse Academie van Wetenschappen

Populair per onderwerp