Grens

Inhoudsopgave:

Grens
Grens
Video: Grens
Video: RBDJAN - De Grens (Prod. by City Lights) 2023, Februari
Anonim

Dit is een bestand in de archieven van de Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Grens

Voor het eerst gepubliceerd op 9 februari 2004; inhoudelijke herziening za 29 mrt. 2008

We denken aan een grens wanneer we denken aan een entiteit die is afgebakend van haar omgeving. Er is een grens (een oppervlak) die de binnenkant van een bol van zijn buitenkant scheidt; er is een grens (een grens) die Maryland en Pennsylvania scheidt. Soms is de exacte locatie van een grens onduidelijk of anderszins controversieel (zoals wanneer je de randen van de Mount Everest probeert te achterhalen, of zelfs de grens van je eigen lichaam). Soms ligt de grens scheef bij elke fysieke discontinuïteit of kwalitatieve differentiatie (zoals bij de grens van Wyoming, of de grens tussen de bovenste en onderste helften van een homogene bol). Maar of het nu scherp of wazig is, natuurlijk of kunstmatig, voor elk object lijkt er een grens te zijn die het onderscheidt van de rest van de wereld. Gebeurtenissen hebben ook grenzen - althans temporele grenzen.Ons leven wordt begrensd door onze geboorten en door onze dood; de voetbalwedstrijd begon stipt om 15.00 uur en eindigde om 16.45 uur met het laatste fluitsignaal van de scheidsrechter. En soms wordt gesuggereerd dat abstracte entiteiten, zoals concepten of sets, hun eigen grenzen hebben. Of al dit grensoverleg coherent is en of het de structuur van de wereld weerspiegelt of de organiserende activiteit van ons intellect, het zijn kwesties van diepe filosofische controverse.zijn kwesties van diepe filosofische controverse.zijn kwesties van diepe filosofische controverse.

  • 1. Problemen

    • 1.1 Eigendom versus niet-bezeten grenzen
    • 1.2 Natuurlijke versus kunstmatige grenzen
    • 1.3 Scherpe versus vage grenzen
    • 1.4 Bodiless vs. omvangrijke grenzen
  • 2. Theorieën

    • 2.1 Realistische theorieën
    • 2.2 Eliminativistische theorieën
  • Bijlage: Een boeket offertes
  • Bibliografie
  • Andere internetbronnen
  • Gerelateerde vermeldingen

1. Problemen

Euclid definieerde een grens als "dat wat een uiterste is van wat dan ook" (Elementen Bk I, Df 13), en Aristoteles maakte dit nauwkeuriger door de extremiteit van een ding x te definiëren als "het eerste waarbuiten geen deel [van x] is te vinden, en het eerste waarbinnen elk deel [van x] te vinden is.” (Metafysica 1022 a) Deze definitie is intuïtief genoeg en kan worden beschouwd als het natuurlijke startpunt voor elk onderzoek naar het concept van een grens. Hoewel de definitie van Aristoteles inderdaad alleen bedoeld was om op materiële objecten van toepassing te zijn, is ze intuïtief ook van toepassing op gebeurtenissen (voor zover ze een mereologische structuur hebben) en bij uitbreiding ook op abstracte entiteiten zoals concepten en decors (vergelijk het topologisch standaardbegrip van de grens van een set x als de set van die punten die alle buurten zowel x als het complement van x kruisen.) Op het eerste gezicht is deze intuïtieve karakterisering echter de bron van verschillende puzzels die filosofische bezorgdheid rechtvaardigen, vooral met betrekking tot de grenzen van spatio-temporele bijzonderheden zoals objecten en gebeurtenissen.

1.1 Eigendom versus niet-bezeten grenzen

Het eerste soort puzzel heeft betrekking op de intuïtie dat een grens twee entiteiten (of twee delen van dezelfde entiteit) scheidt, waarvan wordt gezegd dat ze continu met elkaar zijn. Stel je voor dat we van Maryland naar Pennsylvania reizen. Wat gebeurt er als we de Mason-Dixon-lijn oversteken? Gaan we door een laatste punt p in Maryland en een eerste punt q in Pennsylvania? Duidelijk niet, gezien de dichtheid van het continuüm; want dan moeten we een oneindig aantal andere punten tussen p en q toegeven die in geen van beide staten zouden zijn. Maar even duidelijk kunnen we het bestaan ​​van slechts één van p en q nauwelijks erkennen, zoals voorgeschreven door de standaard wiskundige behandeling van het continuüm; dit zou betekenen dat de grens tussen de twee staten aan slechts één van de staten wordt toegewezen,en beide keuzes zouden neerkomen op een bijzonder voorrecht van de ene staat op de andere. En we kunnen p ook niet identificeren met q, want we hebben het over twee aangrenzende staten, dus hun territoria kunnen geen delen gemeen hebben. Dus, waar is de Mason-Dixon-lijn en hoe verhoudt deze zich tot de twee aangrenzende entiteiten die het scheidt?

De puzzel is niet specifiek voor dit voorbeeld. Overweeg Aristoteles 'eigen raadsel over beweging: op het moment dat een object stopt met bewegen, is het in beweging of staat het stil? (Physics VI, 234a ff.) Of overweeg het dilemma dat Leonardo in zijn Notebooks opwerpt: wat is het dat de atmosfeer van het water scheidt? Is het lucht of is het water? (1938: 75-76). Of, nogmaals, overweeg de puzzel van Peirce: welke kleur is de scheidslijn tussen een zwarte vlek en de witte achtergrond? (1893: 98) Misschien zouden figuur / grondoverwegingen kunnen worden ingeroepen om in dit laatste geval een antwoord te geven, gebaseerd op het principe dat de grens altijd eigendom is van de figuur - de achtergrond is topologisch open (Jackendoff 1987, Appendix B).Maar wat is figuur en wat is grond als het gaat om twee aangrenzende helften van de zwarte vlek? Wat is figuur en wat is grond als het gaat om Maryland en Pennsylvania? Wat gebeurt er als we in het water duiken? In dergelijke gevallen heeft intuïtie geen duidelijke account te bieden. Toch kan men moeilijk ontkennen dat deze vragen belangrijke keuzes definiëren die gemaakt moeten worden door enige theorie van grenzen - of enige op grenzen gebaseerde theorie van de wereld van ruimtelijk-temporeel uitgebreide entiteiten.

1.2 Natuurlijke versus kunstmatige grenzen

Een tweede soort puzzel houdt verband met het feit dat de mereologische definitie van Aristoteles (en de logische intuïtie die deze vastlegt) alleen van toepassing lijkt te zijn op een rijk van continue entiteiten. Modulo de bovengenoemde moeilijkheid, de gedachte dat Maryland en Pennsylvania worden begrensd door de Mason-Dixon-lijn is eerlijk genoeg. Maar gewone materiële objecten - zo kan worden opgemerkt - zijn strikt genomen niet continu (of dicht) en spreken over de grens van een object is hetzelfde als spreken over de 'platte bovenkant' van een fakirs spijkerbed (Simons 1991: 91). Bij nadere beschouwing zijn de ruimtelijke grenzen van fysieke objecten denkbeeldige entiteiten die zwermen subatomaire deeltjes omringen,en hun exacte vorm en locatie hebben dezelfde mate van willekeur als die van een wiskundige grafiek die uit verspreide en onnauwkeurige gegevens (of die van de figuren van een impressionistisch schilderij) is geëgaliseerd. Evenzo komt bij nader inzien het in beweging zijn van een lichaam neer op het feit dat de vectorsom van de bewegingen van ontelbare rusteloze deeltjes, gemiddeld over de tijd, niet nul is, daarom heeft het geen zin om te spreken van het moment waarop een lichaam stopt met bewegen (Galton 1994: 4). Dus de vraag rijst, zijn grenzen imaginaire entiteiten - projecties van de geest - of zijn het echte bewoners van de werkelijkheid?daarom heeft het geen zin om te spreken over het moment waarop een lichaam stopt met bewegen (Galton 1994: 4). Dus de vraag rijst, zijn grenzen imaginaire entiteiten - projecties van de geest - of zijn het echte bewoners van de werkelijkheid?daarom heeft het geen zin om te spreken over het moment waarop een lichaam stopt met bewegen (Galton 1994: 4). Dus de vraag rijst, zijn grenzen imaginaire entiteiten - projecties van de geest - of zijn het echte bewoners van de werkelijkheid?

Zelfs met verwijzing naar de Mason-Dixon-lijn - en, meer in het algemeen, naar die grenzen die aangrenzende delen van een continu verdeelstuk afbakenen, zoals wanneer een individuele cognitieve agent een zwarte vlek conceptualiseert als zijnde gemaakt van twee helften - kan men de vraag opwerpen van hun ontologische status. Dergelijke grenzen weerspiegelen in verschillende mate de organiserende activiteit van ons intellect, of van onze sociale praktijken. En men zou kunnen stellen dat het geloof in hun objectiviteit een vorm van metafysisch realisme belichaamt dat om rechtvaardiging roept. We kunnen in dit verband een conceptueel onderscheid introduceren tussen natuurlijke of bonafide grenzen, die gebaseerd zijn op een fysieke discontinuïteit of kwalitatieve heterogeniteit tussen een entiteit en zijn omgeving, en kunstmatige of fiatgrenzen, die niet zo gegrond zijn op het autonome,geestonafhankelijke wereld (Smith 1995). Geo-politieke grenzen zoals de Mason-Dixon-lijn zijn van het Fiat-type, en het kan heel goed zijn dat zelfs de oppervlakken van gewone materiële objecten zoals tafels of tennisballen, bij nader inzien, een soort Fiat-articulaties met zich meebrengen. Dus de vraag is, zijn er bonafide grenzen? En zo niet, is het fiat-karakter van onze grenspraat een reden om een ​​antirealistische houding tegenover grenzen helemaal te rechtvaardigen? (Vergelijk ook hoe het probleem zich voordoet op het gebied van abstracte entiteiten: zijn er concepten die de wereld 'in de gewrichten' snijden, volgens Plato's recept in de Phaedrus 265e?)bij nader inzien, fiat-articulaties van een soort. Dus de vraag is, zijn er bonafide grenzen? En zo niet, is het fiat-karakter van onze grenspraat een reden om een ​​antirealistische houding tegenover grenzen helemaal te rechtvaardigen? (Vergelijk ook hoe het probleem zich voordoet op het gebied van abstracte entiteiten: zijn er concepten die de wereld 'in de gewrichten' snijden, volgens Plato's recept in de Phaedrus 265e?)bij nader inzien, fiat-articulaties van een soort. Dus de vraag is, zijn er bonafide grenzen? En zo niet, is het fiat-karakter van onze grenspraat een reden om een ​​antirealistische houding tegenover grenzen helemaal te rechtvaardigen? (Vergelijk ook hoe het probleem zich voordoet op het gebied van abstracte entiteiten: zijn er concepten die de wereld 'in de gewrichten' snijden, volgens Plato's recept in de Phaedrus 265e?)

Bovendien, zodra de fiat / bonafide oppositie is erkend, is het duidelijk dat deze ook kan worden getrokken met betrekking tot hele objecten en gebeurtenissen (Smith e Varzi 2000, Smith 2001). Voor zover (een deel van) de grens van een geheel van de fiat-soort is, kan het geheel zelf worden gezien als een conceptuele constructie, vandaar dat de kwestie van de ontologische status van grenzen een stuk wordt met de meer algemene kwestie van de conventionele status van gewone objecten en gebeurtenissen (Heller 1990). Dit wil niet zeggen dat we eindigen met denkbeeldige of anderszins onwerkelijke gehelen: zoals Frege schreef, de objectiviteit van de Noordzee 'wordt niet beïnvloed door het feit dat het een kwestie is van onze willekeurige keuze welk deel van al het water op de aardoppervlak markeren we en kiezen ervoor om de 'Noordzee' te noemen”(1884, §26). Het doet echter welvolgen dat de entiteiten in kwestie alleen een individualiteit zouden genieten als gevolg van onze fiat, zoals de koekjes die uit het grote deeg zijn gesneden: hun objectiviteit is onafhankelijk, maar hun individualiteit - hun wezen wat ze zijn, misschien zelfs hun identiteit en persistentieomstandigheden die ze hebben - hangt af van de actie van de bakker.

1.3 Scherpe versus vage grenzen

Een derde puzzel heeft betrekking op vaagheid. De definitie van Aristoteles (evenals de standaardtopologie) suggereert dat er altijd een scherpe afbakening is tussen de binnenkant en de buitenkant van een ding. Toch kan worden opgemerkt dat gewone objecten en gebeurtenissen, evenals de uitbreidingen van veel gewone concepten, grenzen kunnen hebben die in zekere zin vaag of onbepaald zijn. Wolken, woestijnen, bergen, laat staan ​​de figuren van een impressionistisch schilderij, ze lijken allemaal het geïdealiseerde idee van een scherp begrensd object te ontwijken. Evenzo lijken de temporele grenzen van veel gebeurtenissen (laat staan ​​hun ruimtelijke grenzen) onbepaald. Wanneer begon precies de industriële revolutie? Wanneer is het afgelopen? (Waar vond het plaats?) En zeker de begrippen die overeenkomen met predikaten als 'kaal' of 'lang' hebben geen scherpe grenzen; zoals Frege het uitdrukte,met zulke concepten lijkt er "een gebied te zijn dat niet overal een scherpe grenslijn heeft, maar op plaatsen die slechts vaag naar de achtergrond verdwijnen" (1903: §56)

Hoe moet zo'n vaagheid worden opgevat? Een optie is aandringen op een puur epistemisch verslag: de wazigheid zou uitsluitend liggen in onze onwetendheid over de exacte locatie van de relevante grenzen (Sorensen 1988, Williamson 1994). Als alternatief kan hier onderscheid worden gemaakt tussen een re-account en een de-dicto-account. Op het laatste gezicht is de wazigheid echt ontologisch; de grens van de Mount Everest (zeg maar) zou vaag zijn voor zover er geen objectief, vaststaand feit is over de vraag welke percelen aan welke kant liggen (Tye 1990; Copeland 1995). Evenzo zou om deze reden een predikaat als 'kaal' vaag zijn omdat het staat voor een vage set, een set met echt vage grenzen. Het de dicto-verslag komt daarentegen overeen met een puur taalkundig (of conceptueel) begrip van vaagheid.Er is geen vage grens die de Mount Everest afbakent op dit uitzicht; er zijn veel verschillende percelen, elk met een precieze grens, maar onze taalpraktijken hebben niet tot een keuze van een van hen gedwongen als de officiële referent van de naam 'Everest' (Lewis 1986; McGee 1997). Evenzo heeft in deze visie het stel kale mensen geen vage grens; in plaats daarvan specificeren onze taalkundige bepalingen niet volledig welke groep mensen overeenkomt met de uitbreiding van 'kaal'. Voor grenzen van het soort fiat soort suggereert een de-dicto-rekening vanzelfsprekend: voor zover het proces dat leidt tot het definiëren van een grens niet precies is, kan de vraag of iets binnen of buiten de grens ligt semantisch onbepaald zijn. Maar dit verslag past niet goed bij de grenzen van de bonafide soort (indien aanwezig);als een dergelijke grens vaag zou zijn, dan zou deze zo onafhankelijk zijn van onze cognitieve of sociale articulaties, en daarom lijkt een verslag nodig te zijn, wat betekent dat er een echte wereldlijke onbepaaldheid zou zijn.

1.4 Bodiless vs. omvangrijke grenzen

Een vierde bron van zorg heeft betrekking op de intuïtie, impliciet in de definitie van Aristoteles, dat grenzen lager-dimensionale entiteiten zijn, dat wil zeggen dat ze minstens één dimensie minder hebben dan de entiteiten waaraan ze gebonden zijn. Het oppervlak van een (continue) bol is bijvoorbeeld tweedimensionaal (het heeft geen "substantie" of "deelbare massa"), de Mason-Dixon-lijn is eendimensionaal (het heeft "lengte" maar geen "breedte")), en een grenspunt zoals de top van een piramide is nul-dimensionaal (het strekt zich uit in geen enkele richting). Deze intuïtie is essentieel voor veel van wat we gewoonlijk zeggen over grenzen. Maar het is problematisch voor zover het in contrast staat met verschillende onafhankelijke intuïties die een stuk zijn met zowel gezond verstand als filosofische theorievorming. Bijvoorbeeld,er is een staande traditie in de epistemologie (van Moore 1925 tot Gibson 1979) volgens welke grenzen een cruciale rol spelen in de perceptie: we zien (ondoorzichtige) fysieke objecten indirect door hun oppervlakken te zien. Maar het is niet duidelijk hoe men entiteiten kan zien die fysieke massa missen. Evenzo spreken we vaak over oppervlakken als dingen die kuiltjes of vochtig zijn, of die kunnen worden bekrast, gepolijst, geschuurd enzovoort, en het is onduidelijk of dergelijke predikaten kunnen worden toegepast op immateriële entiteiten. In dergelijke gevallen lijkt het er eerder op dat oppervlakken (en grenzen in het algemeen; zie Jackendoff 1991) moeten worden opgevat als "dunne lagen" die schematisch minder afmetingen hebben dan de gehelen waarop ze van toepassing zijn.Maar het is niet duidelijk hoe men entiteiten kan zien die fysieke massa missen. Evenzo spreken we vaak over oppervlakken als dingen die kuiltjes of vochtig zijn, of die kunnen worden bekrast, gepolijst, geschuurd enzovoort, en het is onduidelijk of dergelijke predikaten kunnen worden toegepast op immateriële entiteiten. In dergelijke gevallen lijkt het er eerder op dat oppervlakken (en grenzen in het algemeen; zie Jackendoff 1991) moeten worden opgevat als "dunne lagen" die schematisch minder afmetingen hebben dan de gehelen waarop ze van toepassing zijn.Maar het is niet duidelijk hoe men entiteiten kan zien die fysieke massa missen. Evenzo spreken we vaak over oppervlakken als dingen die kuiltjes of vochtig zijn, of die kunnen worden bekrast, gepolijst, geschuurd enzovoort, en het is onduidelijk of dergelijke predikaten kunnen worden toegepast op immateriële entiteiten. In dergelijke gevallen lijkt het er eerder op dat oppervlakken (en grenzen in het algemeen; zie Jackendoff 1991) moeten worden opgevat als "dunne lagen" die schematisch minder afmetingen hebben dan de gehelen waarop ze van toepassing zijn.zie Jackendoff 1991) moeten worden opgevat als "dunne lagen" die schematisch zijn weergegeven met minder afmetingen dan de gehelen waarop ze van toepassing zijn.zie Jackendoff 1991) moeten worden opgevat als "dunne lagen" die schematisch zijn weergegeven met minder afmetingen dan de gehelen waarop ze van toepassing zijn.

Deze conceptuele spanning tussen grenzen die worden opgevat als lager-dimensionale entiteiten en grenzen die worden begrepen als dunne lagen weerspiegelt ongetwijfeld een onherleidbare dubbelzinnigheid in gewone spraak (Stroll 1979, 1988). En misschien is het slechts de eerste opvatting die aanleiding geeft tot de puzzels die in de voorgaande secties zijn geschetst; omvangrijke grenzen kunnen worden behandeld als gewone eigenlijke delen van de lichamen waaraan ze zijn gebonden. Toch lijdt het geen twijfel dat een algemene theorie van grenzen ook iets te zeggen zou moeten hebben over de tweede opvatting - en meer in het algemeen over de interactie tussen de wiskundige idealisering geassocieerd met de eerste opvatting en de fysieke, cognitieve en filosofische betekenis van de laatste. (Galton 2007)

2. Theorieën

Grenzen staan ​​dus aan de ene kant centraal in het gezond verstand van de wereld en aan de andere kant zijn ze erg problematisch. We kunnen dienovereenkomstig twee hoofdsoorten theorieën onderscheiden, afhankelijk van het feit of men bereid is de problemen onder ogen te zien (realistische theorieën) of ze helemaal te omzeilen door grenzen te behandelen als louter façons de parler (eliminativistische theorieën).

2.1 Realistische theorieën

De meeste realistische theorieën over grenzen, opgevat als lager-dimensionale entiteiten, delen de mening dat zulke entiteiten ontologische parasieten zijn. Grenzen kunnen niet los staan ​​van de entiteiten waaraan ze zijn gebonden, hoewel er onenigheid bestaat over de vraag of deze ontologische afhankelijkheid algemeen is (een grens kan niet bestaan ​​behalve als een grens van iets) of specifiek (de grens van iets kan niet bestaan ​​behalve als een grens van dat ding) (Brentano 1976; Chisholm 1984). Deze opvatting doet recht aan de intuïtie dat grenzen, als ze echt zijn, enigszins 'minder echt' zijn dan omvangrijke entiteiten. Realistische theorieën kunnen echter aanzienlijk verschillen met betrekking tot hoe dergelijke afhankelijke, lager-dimensionale entiteiten zich verhouden tot de uitgebreide entiteiten die ze hebben gebonden (Varzi 1997). Dus, verwijzend naar de eerste puzzel van sectie 1,laten A en B twee uitgebreide entiteiten zijn, gescheiden door een gemeenschappelijke grens (zoals Maryland en Pennsylvania). Dan kunnen we vier hoofdtheorieën onderscheiden:

  1. De grens mag noch bij A noch bij B horen. Dit was uiteindelijk Leonardo's opvatting, hoewel deze niet veel steun vindt bij recente filosofen (mogelijk met uitzondering van Hestevold 1986 en, binnen bepaalde grenzen, Sorensen 1986). Het impliceert dat er contact kan ontstaan ​​tussen A en B, zelfs als zowel A als B topologisch open zijn, zolang er niets tussen hen ligt behalve hun gemeenschappelijke buitengrens (dwz zolang de sluiting van A de sluiting van B overlapt). Volgens deze opvatting is er dus geen laatste punt p van Maryland en geen eerste punt q van Pennsylvania: de staten van de Unie gebruiken strikt genomen niet het hele grondgebied.
  2. De grens moet ofwel van A ofwel van B zijn, hoewel het onbepaald kan zijn tot welke van A en B het behoort. Deze theorie bouwt voort op de visie van Bolzano (1851), die op zijn beurt wordt weerspiegeld door het standaardverslag van puntenset-topologie. Het houdt in dat contact tussen A en B alleen kan worden verkregen als A of B topologisch gesloten is, terwijl de andere topologisch open is in het relevante contactgebied; maar het beroep op onbepaaldheid stelt iemand in staat de zaak onbehandeld te laten. Deze onbepaaldheid kan op zijn beurt worden opgevat als semantisch of epistemisch, afhankelijk van of de relevante grens van de fiat-soort is, zoals bij de Mason-Dixon-lijn, of van de bonafide soort (zie voor een formele behandeling van deze theorie, Casati en Varzi 1999, hoofdstuk 5, en Varzi 2007, §2.4.1).
  3. De grens kan zowel bij A als bij B horen, maar de relevante overlap is sui generis juist voor zover het gaat om lager dimensionale delen. Grenzen nemen geen ruimte in beslag en daarom is het volgens deze theorie niet onaannemelijk om te zeggen dat (bijvoorbeeld) de Mason-Dixon-lijn tot zowel Maryland als Pennsylvania behoort. In sommige gevallen kan deze theorie echter een dialethisch bijten van de kogel vereisen (Priest 1987). Als we bijvoorbeeld naar de puzzel van Peirce kijken, als de scheidslijn tussen een zwarte vlek en zijn witte achtergrond bij beide hoort, dan moet deze zowel wit als zwart zijn. Een uitweg zou zijn om te ontkennen dat grenzen, als lager dimensionaal, dezelfde soort eigenschappen kunnen hebben die uitgebreide lichamen kenmerken, zoals kleureigenschappen (Galton 2003: 167f). Het is echter onduidelijk of deze strategie kan worden gegeneraliseerd. Bijvoorbeeld,een dialetheia lijkt weer op te duiken met verwijzing naar Aristoteles 'puzzel: op het moment dat een (homogeen) object de overgang van stationair naar bewegend ondergaat, moet het zowel stationair als bewegend zijn.
  4. Er kunnen echt twee grenzen zijn, één van A en één van B, en deze twee grenzen zouden zich op dezelfde locatie bevinden - dat wil zeggen, ze zouden ruimtelijk samenvallen zonder mereologisch te overlappen. Deze opvatting is terug te voeren op Brentano (1976) en is tot in detail uitgewerkt door Chisholm (1984, 1992/1993). Het stelt iemand in staat het onderscheid tussen gesloten en open entiteiten (die Brentano als "monsterlijk" beschouwde) te verwerpen, waarbij alle uitgebreide lichamen als gesloten worden behandeld. In het geval van materiële lichamen zou het ruimtelijk samenvallen van hun grenzen neerkomen op een schending van Locke's principe van één object op een plaats (Essays, II-xxvii-1), maar nogmaals, de schending zou sui generis zijn, precies voor zover de entiteiten in kwestie nemen geen ruimte in beslag (zie voor een formele behandeling van deze theorie ook Smith 1997).

Deze theorieën sluiten elkaar wederzijds uit, maar ze hoeven niet uitputtend te zijn en kunnen verder worden verwoord of geïntegreerd om de problemen aan te pakken die door de andere puzzels van sectie 1 worden opgeworpen. Bijvoorbeeld, verwijzend naar de tweede puzzel (sectie 1.2), Smith en Varzi (2000) hebben een dubbelgebarsten theorie die van type (2) is met betrekking tot bonafide grenzen en van type (4) met betrekking tot fiatgrenzen. (Er is dus geen samenloop van echte grenzen, maar alleen van fiatarticulaties.) Evenzo kan de door type- (2) theorieën bepleitte onbepaaldheidshypothese worden beschouwd als zijnde van een stuk met het soort onbepaaldheid dat betrokken is bij het verschijnsel vaagheid (Sectie 1.3). Voor fiat-grenzen kan bijvoorbeeld in beide gevallen een de-dictorekening worden toegepast: uitspraken over dergelijke grenzen zijn waar als ze superwaar zijn, dat wil zeggen,waar onder elke toelaatbare manier om de relevante fiatarticulaties te preciseren (Varzi 2001 en referenties daarin).

2.2 Eliminativistische theorieën

Eliminativistische theorieën gaan uit van het idee dat praten over grenzen een vorm van abstractie inhoudt - een idee dat al te vinden is in het middeleeuwse en moderne debat over anti-indivisibilisme (Zimmerman 1996, Holden 2004). Om wat voor soort abstractie gaat het? En hoe kunnen we ons gewone (en wiskundige) gesprek over grenzen verklaren als deze als fictieve abstracties moeten worden uitgelegd? Met bijzondere aandacht voor de grenzen van spatio-temporele bijzonderheden, kunnen we twee hoofdbenaderingen onderscheiden.

  1. Substantivalisten over ruimtetijd kunnen de abstractie zien als een gevolg van de relatie tussen een bepaalde en zijn ruimtelijk-temporele vergaarbak, vertrouwend op de topologie van ruimtetijd om rekening te houden met onze grenspraat als het gaat om andere entiteiten. Zo is aangenomen dat lichamen de materiële inhoud zijn van (reguliere) open gebieden van de ruimte, waarbij grenscontact tussen lichamen wordt uitgelegd in termen van overlap tussen de sluitingen van hun houders. Deze theorie is terug te voeren op Descartes (Principles 2.xv) en is expliciet verwoord door Cartwright (1975). Het levert zeker een hybride verslag op, een verslag dat alleen de grenzen van materiële lichamen (en, bij uitbreiding, gebeurtenissen) opheft; hun houders zijn onderworpen aan een standaardtopologie waarin grenzen worden behandeld volgens de theorie (2) hierboven.Maar dit verslag is voldoende om de bovengenoemde puzzels te omzeilen, voor zover er geen dringend probleem is bij het aannemen van een standaardtopologie voor ruimtetijd. Het belangrijkste probleem van de theorie is eerder de bewering te rechtvaardigen dat slechts enkele regio's (bijvoorbeeld open reguliere regio's) vergaarbakken zijn. (Zie Hudson 2002 voor een uitdaging voor deze opvatting.) Aan de andere kant zijn er radicalere, niet-hybride theorieën die ook zonder grenzen grenzen met betrekking tot de structuur van ruimte-tijd (de meest invloedrijke instantie is de zogenaamde RCC-calculus van Randell, Cui en Cohn 1992). Op dit moment blijft de interpretatie van dergelijke theorieën echter een open filosofische vraag.om de bewering te rechtvaardigen dat slechts enkele regio's (bijvoorbeeld open reguliere regio's) ontvangers zijn. (Zie Hudson 2002 voor een uitdaging voor deze opvatting.) Aan de andere kant zijn er radicalere, niet-hybride theorieën die ook zonder grenzen grenzen met betrekking tot de structuur van ruimte-tijd (de meest invloedrijke instantie is de zogenaamde RCC-calculus van Randell, Cui en Cohn 1992). Op dit moment blijft de interpretatie van dergelijke theorieën echter een open filosofische vraag.om de bewering te rechtvaardigen dat slechts enkele regio's (bijvoorbeeld open reguliere regio's) ontvangers zijn. (Zie Hudson 2002 voor een uitdaging voor deze opvatting.) Aan de andere kant zijn er radicalere, niet-hybride theorieën die ook zonder grenzen grenzen met betrekking tot de structuur van ruimte-tijd (de meest invloedrijke instantie is de zogenaamde RCC-calculus van Randell, Cui en Cohn 1992). Op dit moment blijft de interpretatie van dergelijke theorieën echter een open filosofische vraag.de interpretatie van dergelijke theorieën blijft echter een open filosofische vraag.de interpretatie van dergelijke theorieën blijft echter een open filosofische vraag.
  2. Als men geen substantivalist is over ruimte en / of tijd, kan men de abstractie omschrijven als het idee van steeds dunnere lagen van de begrensde entiteit op te roepen (Stroll 1979: 279). De beste formulering van dit idee is Whiteheads theorie van 'uitgebreide abstractie' (1916, 1919), die op zijn beurt terug te voeren is op tenminste Lobachevskii (1835/1938). (Alternatieve formuleringen zijn onder meer te vinden in Tarski 1929, Menger 1940 en Clarke 1985.) Om deze reden worden grenselementen niet opgenomen in de primaire entiteiten, die alleen uit uitgebreide lichamen bestaan, maar ze worden niettemin opgehaald als entiteiten van hogere orde namelijk. als equivalentieklassen van convergente reeksen geneste lichamen. Bijvoorbeeld, de reeks van alle concentrische bollen die in een bepaalde bol zijn opgenomen, convergeert naar het punt in het midden,de reeks van alle concentrische rechter cilinders van gelijke lengte die in een bepaalde cilinder is opgenomen, komt samen met de axiale lijn, enzovoort. Noem een ​​convergente reeks van deze soort een abstractieve klasse als deze geen bodem heeft, dat wil zeggen, als geen enkel object deel uitmaakt van elk lid van de klasse. En noem twee co-convergente abstractieve klassen equivalent als elk lid van de eerste klasse een lid van de tweede als onderdeel heeft, en omgekeerd. (Een abstractieve klasse van bollen is bijvoorbeeld equivalent aan de klasse van alle kubussen die zijn ingeschreven in de bollen, die convergeren naar hetzelfde punt in het midden.) Elk grenselement kan dus worden beschouwd als een equivalentieklasse van convergerende abstractieve klassen, en men kan gewoon praten over lagere dimensionale grenzen reconstrueren als praten over zulke hogere orde entiteiten. Deze benadering heeft ook analogen in de tijd,waar momenten soms worden opgevat als sets van tijdsintervallen, die op hun beurt soms worden opgevat als sets van overlappende gebeurtenissen. (De locus classicus is Russell 1914; zie ook Walker 1947, Kamp 1979 en van Benthem 1983.)

Een standaardbezwaar tegen type- (2) theorieën is dat de abstractheid van grenzen in strijd lijkt te zijn met de abstractheid van set-theoretische constructies. Men kan het oppervlak van een tafel zien en schilderen, en men kan zelfs een oneindige reeks steeds dunnere lagen tafeldelen zien en schilderen. Maar je kunt de set van deze onderdelen niet schilderen (tenzij dit natuurlijk gewoon een andere manier is om te zeggen dat de onderdelen zijn geverfd). De Laguna (1922), een van de allereerste sponsors van Whitehead's methode, merkte zelfs op dat de identificatie van punten en andere grenzen met klassen van vaste stoffen ernstig kan worden geïnterpreteerd: "Hoewel we vaste stoffen waarnemen, zien we geen abstractieve verzamelingen vaste stoffen […] Door de abstractieve set te accepteren, gaan we net zo ver voorbij de ervaring als door de vaste stof van lengte nul te accepteren”(922: 460).

Een derde optie, alternatief voor zowel type- (1) als type- (2) theorieën, zou een 'operationalistisch' verslag zijn van het soort dat Adams voorstaat (1884, 1996), waar het abstractieve proces waarmee grenselementen worden afgeleid concrete waarnemingen worden uitgelegd in termen van "operationele tests". Een dergelijk verhaal kan echter het best worden beschouwd als een parallel verhaal, een verhaal dat een verklaring biedt voor empirische kennis over grenzen, terwijl het uiteindelijk neutraal blijft met betrekking tot hun ontologische status.

Bijlage: Een boeket offertes

'Een punt is dat wat geen rol speelt. Een lijn is breedteloos. De uiteinden van een lijn zijn punten. […] Een oppervlak is dat wat alleen lengte en breedte heeft. De uiteinden van een oppervlak zijn lijnen. […] Een grens is dat wat een extremiteit is van wat dan ook.” [Euclid, Elements, Bk I, Dfs 1-3, 5-6, 13]

“We noemen een limiet het uiterste van elk ding, dat wil zeggen, het eerste waarbuiten geen deel [van het ding] te vinden is, en het eerste waarbinnen elk deel [van het ding] te vinden is. " [Aristoteles, Metafysica 1022 a]

'Er zijn twee soorten onstoffelijke. Sommigen van hen, zoals God en de ziel, kunnen in hun onstoffelijkheid blijven bestaan ​​buiten de zintuigen. Maar anderen, zoals een regel zonder onderwerp, kunnen absoluut niet buiten de zintuigen waarin ze zich bevinden. ' [Abelard, Logica 'nostrorum petitioni sociorum' (1994: 26)]

'Het bolvormige lichaam raakt het platte lichaam niet in de eerste plaats met een deel dat zodanig is dat elk van zijn delen het platte lichaam raakt. Daarom raakt het het niet in de eerste plaats aan met een deel dat voor alle andere aanrakende delen ligt. Integendeel, een bepaald aanrakend onderdeel is nog steeds van dien aard dat de helft ervan niet onmiddellijk raakt, en de helft van die helft raakt niet onmiddellijk aan, enzovoort tot in het oneindige. ' [William of Ockham, Quodlibetal Questions, I, q. 9, een. 2 (1991:…)]

Punten zijn "dingen volledig ondeelbaar", lijnen zijn "dingen deelbaar in slechts één dimensie" en oppervlakken zijn "dingen deelbaar in twee dimensies". [Gregorius van Rimini, commentaar van de zinnen, In secundum Sententiarum (Eng. Trans. Uit Duhem 1913/1959: 25-26)]

'Wat is […] dat de atmosfeer van het water scheidt? Het is noodzakelijk dat er een gemeenschappelijke grens is die geen lucht of water is maar geen substantie heeft, omdat een lichaam tussen twee lichamen hun contact verhindert, en dit gebeurt niet in water met lucht. […] Daarom is een oppervlak de gemeenschappelijke grens van twee lichamen die niet continu zijn en geen deel uitmaakt van het een of het ander, want als het oppervlak er deel van uitmaakte, zou het deelbare massa hebben, terwijl het echter is niet deelbaar en niets scheidt deze lichamen van elkaar. ' [Leonardo da Vinci, Notebooks (1938: 75-76)]

“Echt contact vindt plaats in een entiteit die werkelijk en formeel in dingen bestaat; want het contact zelf is echt, en bestaat in werkelijkheid correct en formeel; daarom komt het voor in een echte entiteit die formeel in het ding bestaat; en toch komt het voor in een ondeelbaar ding; daarom bestaat zo'n ondeelbare entiteit formeel in het ding zelf.” [Francisco Suarez, Disputationes Metaphysicae §19 (Eng. Trans. Uit Zimmerman 1996: 160)]

'[B] y oppervlakkigheid bedoelen we hier niet enig deel van het omringende lichaam, maar slechts het uiteinde dat zich tussen het omsingelde lichaam en dat omsingelde lichaam bevindt, wat slechts een modus is; of […] we bedoelen het gemeenschappelijke oppervlak dat een oppervlak is dat geen deel uitmaakt van het ene lichaam in plaats van het andere, en dat altijd als hetzelfde wordt beschouwd, zolang het dezelfde grootte en figuur behoudt.” [René Descartes, principes van de filosofie, deel 2, principe XV (1911: 261)]

“[S] ome Schoolfilosofen […] veronderstellen dat de natuur enkele wiskundige punten heeft vermengd met de oneindig deelbare delen om als verbindingen tussen hen te dienen en de uiteinden van lichamen te vormen. Hierdoor geloofden ze dat ze ook het bezwaar over het penetrerende contact van twee oppervlakken konden beantwoorden, maar deze uitvlucht is zo absurd dat het niet verdient te worden weerlegd. ' [Pierre Bayle, historisch en kritisch woordenboek (1697: 370)]

“Ik definieer de limiet van een lichaam als het geheel van alle extreme (äusserst) etheratomen die er nog bij horen. […] Bij nadere beschouwing blijkt verder dat veel lichamen op bepaalde plaatsen helemaal geen beperkende atomen hebben; geen van hun atomen kan worden beschreven als de extreme van de atomen die er nog bij horen en zou het vergezellen als het zou gaan bewegen. [Twee lichamen staan ​​in contact] wanneer de extreme atomen van de ene, […] samen met bepaalde atomen van de andere, een continue uitbreiding vormen.” [Bernard Bolzano Paradoxen van het oneindige § 66 (1851: 167-68)]

“Een van de twee lijnen waarin de lijn bij deling zou worden gesplitst, zou […] een eindpunt hebben, maar de andere geen beginpunt. Deze gevolgtrekking is volkomen juist getrokken door Bolzano, die daardoor werd geleid tot zijn monstrueuze leer dat er lichamen zouden bestaan ​​met en zonder oppervlakken, waarbij de ene klasse er zoveel zou bevatten als de andere, omdat contact alleen mogelijk zou zijn tussen een lichaam met een oppervlak en een andere zonder. Hij had veeleer zijn aandacht moeten laten trekken door zulke gevolgen voor het feit dat de hele opvatting van de lijn en van andere continua als verzamelingen punten in strijd is met het concept van contact en schrapt daarmee precies wat de essentie van de continuüm. ' [Franz Brentano, nativistische, empiristische en anoetistische theorieën over onze presentatie van de ruimte (1976: 146)]

'Als een rood vlak en een blauw vlak met elkaar in contact staan, vallen een rode en een blauwe lijn samen.' [Franz Brentano, On What is Continuous (1976: 41)]

'Men noemt de evenaar een denkbeeldige lijn, maar het zou verkeerd zijn om het een lijn te noemen die alleen maar is bedacht. Het is niet door het denken gecreëerd als resultaat van een psychologisch proces, maar wordt alleen door het denken begrepen of begrepen. Als de aanhouding ervan een kwestie was van het ontstaan ​​ervan, dan konden we voor deze veronderstelde totstandkoming gedurende enige tijd niets positiefs zeggen over de evenaar. ' [Gottlob Frege, The Foundations of Arithmetic § 26 (1884: 35)]

“Een definitie van een concept (van een mogelijk predikaat) moet […] voor elk object ondubbelzinnig bepalen of het al dan niet onder het concept valt (of het predikaat er wel of niet echt voor geldt). […] We kunnen dit metaforisch als volgt uitdrukken: het concept moet een scherpe grens hebben. Bij een concept zonder scherpe grens zou er een gebied zijn dat niet rondom een ​​scherpe grenslijn had, maar op plaatsen die slechts vaag naar de achtergrond verdwenen.” [Gottlob Frege, The Fundamental Laws of Arithmetic, Vol. II, §56 (1903: 159)]

“[We moeten onderscheid maken tussen de categorie natuurlijke grenzen en] de categorie kunstmatige grenzen, waarmee die grenslijnen worden bedoeld die, voor hun selectie, niet afhankelijk van natuurlijke kenmerken van het aardoppervlak, kunstmatig of willekeurig door de mens zijn gecreëerd. ' [Lord Curzon van Kedleston, Frontiers (1907: 12)].

“Als we een definitie kunnen geven van punten waardoor ze aan een bepaald paar voorwaarden voldoen, dan maakt het niet uit, hoewel punten op zich heel andere entiteiten zouden moeten blijken te zijn dan we dachten dat ze waren. De twee voorwaarden zijn (i) dat punten met elkaar het soort relaties moeten hebben dat geometrie vereist; en (ii) dat punten een zodanige relatie moeten hebben met eindige gebieden en volumes dat een redelijke zin kan worden gegeven aan de stelling dat dergelijke gebieden en volumes uitputtend kunnen worden geanalyseerd in reeksen punten. " [CD Broad, Scientific Thought (1959: 39)]

'' Surface 'is inderdaad een inhoudelijke grammatica; maar het is niet de naam van een bepaald bestaan, maar van een attribuut. ' [HH Price, Perception (1932: 106)]

'Ik ben ervan overtuigd dat ik mijn hand niet direct waarneem; en dat wanneer ik wordt gezegd (zoals ik terecht kan zeggen) om het 'waar te nemen', dat ik 'waar te nemen', dit betekent dat ik iets (in een andere en meer fundamentele zin) waarneem dat (in een geschikte zin) representatief is voor het, namelijk een bepaald deel van het oppervlak.” [GE Moore, A Defense of Common Sense (1925: 217)]

“Het is […] verkeerd om te suggereren dat alles een oppervlak heeft. Waar en wat is precies het oppervlak van een kat? ' [John L. Austin, Sense en Sensibilia (1962: 100)]

'De oppervlakte is waar de meeste actie plaatsvindt. Het oppervlak is waar licht wordt gereflecteerd of geabsorbeerd, niet het interieur van de stof. Het oppervlak raakt het dier, niet het interieur. Op het oppervlak vinden meestal chemische reacties plaats. Het oppervlak is waar verdamping of diffusie van stoffen in het medium plaatsvindt. En het oppervlak is waar trillingen van de stof worden overgedragen op het medium.” [JJ Gibson, The Ecological Approach to Visual Perception (1979: 23)]

'Als het doorlopende object in tweeën wordt gesneden, wordt de ene grens [die twee aangrenzende delen scheidt] twee grenzen, en wordt één ding dus twee dingen? […] Maar hoe kan één ding - ook al is het maar een grens - twee dingen worden? En betekent dit dat wanneer twee dingen continu worden, twee verschillende dingen identiek met elkaar worden en twee dingen dus één ding worden? ' [Roderick Chisholm, grenzen als afhankelijke bijzonderheden (1984: 88)]

'De reden waarom het vaag is waar de outback begint, is niet dat er iets is, de outback, met onnauwkeurige grenzen; er zijn veel meer dingen, met verschillende grenzen, en niemand is zo dwaas geweest om te proberen de keuze van een van hen als de officiële referent van het woord 'outback' af te dwingen. ' [David K. Lewis, The Plurality of Worlds (1986: 212)]

“Er is geen lijn die de materie waaruit [Mount] Everest bestaat scherp scheidt van de materie daarbuiten. De grenzen van Everest zijn vaag. Sommige moleculen zitten in de Everest en sommige moleculen daarbuiten. Maar sommige hebben een onbepaalde status: er is geen objectief, vaststaand feit of ze zich binnen of buiten bevinden. ' [Michael Tye, Vague Objects (1990: 535)]

“Een vaag concept is grenzeloos omdat geen grens de dingen die eronder vallen markeert van de dingen die dat niet doen, en geen grens de dingen die er definitief onder vallen van de dingen die dat niet zeker doen; enzovoort. Manifestaties zijn de onwil van het kennen van proefpersonen om dergelijke grenzen te trekken, de cognitieve onmogelijkheid om dergelijke grenzen te identificeren, en de nodeloosheid en zelfs onbruikbaarheid van dergelijke grenzen.” [Mark Sainsbury, Concepts without Boundaries (1990: 257)]

Bibliografie

  • Abelard, 1994, Logica 'nostrorum petitioni sociorum': glossula super Porphyrium, Eng. trans. door PV Spade, 'From the "Glosses on Porphyry"', in PV Spade, Five Texts on the Medieval Problem of Universals, Indianapolis: Hackett, pp. 26-56.
  • Adams, EW, 1984, 'On the Superficial', Pacific Philosophical Quarterly 65: 386-407.
  • Adams, EW, 1996, 'Topology, Empiricism and Operationalism', The Monist 79: 1-20.
  • Aristoteles, natuurkunde, in J. Barnes (red.) The Complete Works of Aristoteles, Princeton (NJ): Princeton University Press, 1995, vol. 1.
  • Aristoteles, Metafysica, in J. Barnes (red.) The Complete Works of Aristoteles, Princeton (NJ): Princeton University Press, 1995, vol. 2.
  • Austin, JL, 1962, Sense and Sensibilia (red. Door GJ Warnock), Oxford, Oxford University Press
  • Bayle, P., 1697, Dictionaire historique et kritiek, Rotterdam: Reinier Leers; Eng. Trans. door RH Popkin, Historical and Critical Dictionary: Selections, Indianapolis: Bobbs-Merrill, 1965.
  • Bolzano, B., 1851, Paradoxien des Unendlichen, ed. F. Pihonsk, Leipzig: Reclam; Eng. trans. door DA Steele, Paradoxes of the Infinite, London: Routledge & Kegan Paul, 1950.
  • Brentano, F., 1976, Philosophische Untersuchungen zu Raum, Zeit und Kontinuum (red. Door S. Körner en RM Chisholm), Hamburg: Meiner; Eng. trans. door B. Smith, Philosophical Investigations on Space, Time and the Continuum, London: Croom Helm, 1988.
  • Broad, CD, 1923, Scientific Thought, New York: Harcourt.
  • Cartwright, R., 1975, 'Scattered Objects', in K. Lehrer (red.), Analysis and Metaphysics, Dordrecht: Reidel, pp. 153-171.
  • Casati, R., en Varzi, AC, 1999, Parts and Places. The Structures of Spatial Representation, Cambridge (MA) en Londen: MIT Press.
  • Chisholm, RM, 1984, 'Boundaries as Dependent Particulars', Grazer filosofophische Studien 10: 87-95.
  • Chisholm, RM, 1992/1993, 'Spatial Continuity and the Theory of Part and Whole. A Brentano Study ', Brentano Studien 4: 11-23.
  • Clarke, BL, 1985, 'Individuals and Points', Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75.
  • Copeland, J., 1995, 'On Vague Objects, Fuzzy Logic and Fractal Boundaries', Southern Journal of Philosophy 33 (Suppl.): 83-96.
  • Curzon, GN, 1907, Frontiers - The Romanes Lecture, Oxford: Clarendon Press.
  • De Laguna, T., 1922, 'Point, Line, and Surface, as Sets of Solids', Journal of Philosophy 19: 449-461.
  • Descartes, R., The Principles of Philosophy, in ES Hildane en GRT Ross (red.), Cambridge: The University Press, 1911.
  • Duhem, P., 1913/1959, Le système du monde; histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic, Parijs, Hermann; gedeeltelijke Eng. trans. door R. Ariew, Medieval Cosmology: Theories of Infinity, Place, Time, Void and the Plurality of Worlds, Chicago: University of Chicago Press, 1985.
  • Euclid, The Thirteen Books of Euclid's Elements, Eng. trans. door TL Heath. Cambridge: The University Press, 1908 (1926 2).
  • Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau: Köbner; Eng. trans. door JL Austin, The Foundations of Arithmetic, Oxford: Basil Blackwell, 1950.
  • Frege, G., 1903, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Band II, Jena, Pohle; gedeeltelijke Eng. trans. door PT Geach, 'The Fundamental Laws of Arithmetic II', in PT Geach en M. Black (red.), Vertalingen uit de filosofische geschriften van Gottlob Frege, Oxford: Blackwell, 1952, pp. 159-181, 234-244.
  • Galton, AP, 1994, 'Instantaneous Events', in HJ Ohlbach (red.), Temporal Logic: Proceedings of the ICTL Workshop, Saarbrücken: Max-Planck-Institut für Informatik, Technical Report MPI-I-94-230, pp. 4-11.
  • Galton, AP, 2003, 'On the Ontological Status of Geographical Boundaries', in M. Duckham et al. (redactie), Foundations of Geographic Information Science, London: Taylor and Francis, blz. 151-171.
  • Galton, AP, 2007, 'On the Paradoxical Nature of Surfaces: Ontology at the Physics / Geometry Interface', The Monist 90, in druk.
  • Gibson, JJ, 1979, The Ecological Approach to Visual Perception, Boston: Houghton Mifflin.
  • Heller, M., 1990, The Ontology of Physical Objects: Four Dimensional Hunks of Matter, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hestevold, HS, 1986, 'Boundaries, Surfaces, and Continuous Wholes', Southern Journal of Philosophy 24: 235-245.
  • Holden T., 2004, The Architecture of Matter: Galileo to Kant, Oxford: Clarendon.
  • Hudson, H., 2002, 'The Liberal View of Receptacles', Australasian Journal of Philosophy 80: 432-439.
  • Jackendoff, R., 1987, Consciousness and the Computational Mind, Cambridge (MA): MIT Press.
  • Jackendoff, R., 1991, 'Parts and Bounds', Cognition 41: 9-45.
  • Kamp, H., 1979, 'Events, Instants, and Temporal Reference', in R. Bäuerle, U. Egli en A. von Stechow (red.), Semantics from Different Points of View, Berlin en Heidelberg: Springer-Verlag, blz. 376-417.
  • Leonardo da Vinci, 1938, The Notebooks of Leonardo da Vinci, selecteerde Eng. trans. red. door E. MacCurdy, London: Reynal en Hitchock.
  • Lewis, DK, 1986, On the Plurality of Worlds, Oxford: Blackwell.
  • Lobachevskii, NI, 1835/1938, 'Novye naala geometrii s polnoj teoriej parallel'nyh' [New Principles of Geometry with Complete Theory of Parallels], Kazan, Izdatel'stvo Kazanskogo universiteta.
  • McGee, V., 1997, '' Kilimanjaro '', Canadian Journal of Philosophy 23 (Suppl.): 141-195.
  • Menger, K., 1940, 'Topology Without Points', Rice Institute Pamphlets 27, 80-107.
  • Moore, GE, 1925, 'A Defense of Common Sense', in JH Muirhead (red.), Contemporary British Philosophy (Second Series), London: Allen & Unwin, pp. 193-223.
  • Ockham, William of, Quodlibetal Questions, Eng. trans. door AJ Freddoso en FE Kelly, New Haven (CN): Yale University Press, 1991.
  • Peirce, CS, 1893, "The Logic of Quantity", in Collected Papers van Charles Sanders Peirce, Vol. IV, uitg. door C. Hartshorne en P. Weiss, Cambridge (MA): Harvard University Press, 1933.
  • Price, HH, 1932, Perception, Londen: Methuen.
  • Priest, G., 1987, In tegenspraak. A Study of the Transconsistent, Boston and Dordrecht: Nijhoff.
  • Randell, DA, Cui, Z. en Cohn, AG, 1992, 'A Spatial Logic Based on Regions and Connection', in B. Nebel et al. (red.), Principes van kennisrepresentatie en redenering. Proceedings of the Third International Conference, Los Altos (CA): Morgan Kaufmann, pp.165-176.
  • Russell, B., 1914, Our Knowledge of the External World, London: Allen & Unwin.
  • Sainsbury, M., 1990, 'Concepts Without Boundaries', Inaugurale lezing, Department of Philosophy, King's College, Londen; herdrukt in R. Keefe en P. Smith (red.), Vagueness. A Reader, Cambridge (MA): MIT Press, 1996, blz. 251-264.
  • Simons, PM, 'Faces, Boundaries, and Thin Layers', in AP Martinich en MJ White (red.), Zekerheid en Surface in Epistemology and Philosophical Method. Essays ter ere van Avrum Stroll, Lewiston: Edwin Mellen Press, pp. 87-99.
  • Smith, B., 1995, 'On Drawing Lines on a Map', in AU Frank en W. Kuhn (red.), Spatial Information Theory. Een theoretische basis voor GIS. Proceedings of the Third International Conference, Berlin: Springer, blz. 475-484.
  • Smith, B., 1997, 'Boundaries: An Essay in Mereotopology', in LH Hahn (red.), The Philosophy of Roderick Chisholm, Chicago en La Salle, IL: Open Court, pp. 534-61.
  • Smith, B., 2001, 'Fiat Objects', Topoi 20: 131-148.
  • Smith, B., en Varzi, AC, 2000, 'Fiat and Bona Fide Boundaries, Philosophy and Phenomenological Research 60: 401-420.
  • Sorensen, RA, 1986, 'Transitions', Philosophical Studies 50: 187-193.
  • Sorensen, RA, 1988, Blindspots, Oxford: Clarendon Press.
  • Stroll, A., 1979, 'Two Concepts of Surfaces', Midwest Studies in Philosophy 4: 277-291.
  • Stroll, A., 1988, Surfaces, Minneapolis: University of Minnesota Press.
  • Tarski A., 1929, 'Les fondements de la géométrie des corps', Ksiga Pamitkowa Pierwszkego Polskiego Zjazdu Matematycznego, suppl. aan Annales de la Société Polonaise de Mathématique 7: 29-33; Eng. trans. door JH Woodger, 'Foundations of the Geometry of Solids', in A. Tarski, Logics, Semantics, Metamathematics. Papers van 1923 tot 1938, Oxford: Clarendon, 1956, pp. 24-29.
  • Tye, M., 1990, 'Vague Objects', Mind 99: 535-557.
  • van Benthem, J., 1983, The Logic of Time, Dordrecht: Kluwer (2e druk 1991).
  • Varzi, AC, 1997, 'Grenzen, continuïteit en contact', Noûs 31: 26-58.
  • Varzi, AC, 2001, 'Vagueness in Geography', Philosophy & Geography 4: 49-65.
  • Varzi, AC, 2007, 'Spatial Reasoning and Ontology: Parts, Wholes, and Locations', in M. Aiello et al. (red.), Handbook of Spatial Logics, Berlijn, Springer, pp. 945-1038.
  • Walker, AG, 1947, 'Durées et instants', Revue Scientifique 85: 131-34.
  • Whitehead, AN, 1916, 'La théorie relationniste de l'espace', Revue de Métaphysique et de Morale 23: 423-454; Eng. trans. door PJ Hurley, 'The Relational Theory of Space', Philosophy Research Archives 5 (1979): 712-741.
  • Whitehead, AN, 1919, een onderzoek met betrekking tot de principes van menselijke kennis, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Williamson, T., 1994, Vagueness. Londen: Routledge.
  • Zimmerman, DW, 1996, 'Ondeelbare delen en uitgebreide objecten: enkele filosofische afleveringen uit de prehistorie van Topology', The Monist 79: 148-180.

Andere internetbronnen

Grensgerelateerde links (van IBRU - de International Boundaries Research Unit)

Populair per onderwerp