Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Inhoudsopgave:

Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Video: Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Video: BètaBreak - Topoloog en intuïntionist L.E.J. Brouwer 2023, Februari
Anonim

Dit is een bestand in de archieven van de Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Voor het eerst gepubliceerd op wo 26 maart 2003; inhoudelijke herziening zo 25 sep. 2005

Nederlandse wiskundige en filosoof die leefde van 1881 tot 1966. Hij wordt traditioneel 'LEJ Brouwer' genoemd, met volledige initialen, maar werd door zijn vrienden 'Bertus' genoemd.

In de klassieke wiskunde stichtte hij de moderne topologie door bijvoorbeeld de topologische invariantie van de dimensie en de fixpointstelling te bepalen. Hij gaf ook de eerste juiste definitie van dimensie.

In de filosofie is zijn geesteskind intuïtionisme, een revisionistische basis van wiskunde. Intuitionisme beschouwt wiskunde als een vrije activiteit van de geest, onafhankelijk van elke taal of platonisch rijk van objecten, en baseert daarom wiskunde op een filosofie van de geest. De implicaties zijn tweeledig. Ten eerste leidt het tot een vorm van constructieve wiskunde, waarbij grote delen van de klassieke wiskunde worden afgewezen. Ten tweede introduceert het vertrouwen op een filosofie van de geest kenmerken die afwezig zijn in zowel de klassieke wiskunde als in andere vormen van constructieve wiskunde: in tegenstelling tot deze is intuïtionistische wiskunde geen goed onderdeel van de klassieke wiskunde.

  • 1. De persoon
  • 2. Chronologie
  • 3. Korte karakterisering van Brouwer's intuïtionisme
  • 4. Brouwer's ontwikkeling van intuïtionisme
  • Bibliografie
  • Andere internetbronnen
  • Gerelateerde vermeldingen

1. De persoon

Brouwer studeerde aan de (gemeentelijke) Universiteit van Amsterdam waar zijn belangrijkste docenten Diederik Korteweg (van de Korteweg-de Vries-vergelijking) en vooral filosofisch Gerrit Mannoury waren. De belangrijkste studenten van Brouwer waren Maurits Belinfante en Arend Heyting; laatstgenoemde was op haar beurt de leraar van Anne Troelstra en Dirk van Dalen. De lessen van Brouwer werden ook bijgewoond door Max Euwe, de latere wereldkampioen schaken, die vanuit intuïtionistisch oogpunt een speltheoretisch artikel over schaken publiceerde (Euwe, 1929), en die veel later de begrafenisrede van Brouwer zou houden. Onder de assistenten van Brouwer bevonden zich Heyting, Hans Freudenthal, Karl Menger en Witold Hurewicz, van wie de laatste twee niet intuïtionistisch geneigd waren. De meest invloedrijke supporter van Brouwer 'Het intuïtionisme buiten Nederland was destijds een aantal jaren Hermann Weyl.

Brouwer lijkt een onafhankelijke en briljante man van hoge morele maatstaven te zijn geweest, maar met een overdreven gevoel voor rechtvaardigheid, waardoor hij soms strijdlustig werd. Als gevolg hiervan vocht hij in zijn leven energiek vele veldslagen.

Van 1914 tot 1928 was Brouwer lid van de redactieraad van de Mathematische Annalen en was hij de oprichtende redacteur van Compositio Mathematica, dat voor het eerst verscheen in 1934.

Hij was onder meer lid van de Koninklijke Nederlandse Academie van Wetenschappen, de Royal Society in Londen, de Preußische Akademie der Wissenschaften in Berlijn en de Akademie der Wissenschaften in Göttingen.

Brouwer ontving eredoctoraten van de universiteiten van Oslo (1929) en Cambridge (1954) en werd in 1932 benoemd tot Ridder in de Orde van de Nederlandse Leeuw.

Het archief van Brouwer wordt bewaard bij de afdeling Wijsbegeerte van de Universiteit Utrecht, Nederland. Een editie van correspondentie en manuscripten is in voorbereiding.

2. Chronologie

1881 27 februari geboren in Overschie (sinds 1941 onderdeel van Rotterdam), Nederland.

1897 Gaat naar de Universiteit van Amsterdam om wiskunde en natuurkunde te studeren.

1904 Verkrijgt doctorandustitel (MA-graad) in wiskunde; eerste publicatie (over rotaties in vierdimensionale ruimte); trouwt met Lize de Holl (geboren 1870). Ze zouden geen kinderen krijgen, maar Lize had een dochter uit een eerder huwelijk. Ze verhuizen naar Blaricum, vlakbij Amsterdam, waar ze de rest van hun leven zouden wonen, hoewel ze ook op andere plaatsen huizen hadden.

1907 Verkrijgt doctorstitel met proefschrift Over de Grondslagen der Wiskunde (On the Foundations of Mathematics), onder leiding van Korteweg aan de Universiteit van Amsterdam. Het markeert het begin van zijn intuïtionistische reconstructie van de wiskunde. Later dat jaar studeert de vrouw van Brouwer af en wordt apotheker. Zijn hele leven heeft Brouwer voor haar de boekhouding gedaan, de belastingformulieren ingevuld en soms assisteerde hij achter de balie.

1908 Eerste deelname aan een internationale conferentie, de vierde internationale conferentie van wiskundigen in Rome.

1909-1913 In een zeer productieve vier jaar sticht Brouwer moderne topologie, als een hoofdstuk van de klassieke wiskunde. Hoogtepunten: invariantie van dimensie, stelling met vast punt, afbeeldingsgraad, definitie van dimensie. Een pauze in zijn intuïtionistische programma.

1909 Wordt privaat-docent (onbezoldigd docent) aan de Universiteit van Amsterdam. Inauguratie 'Het Wezen der Meetkunde' ('The Nature of Geometry').

1909 Ontmoet Hilbert in de Nederlandse badplaats Scheveningen. Brouwer bewondert Hilbert enorm en beschrijft hun ontmoeting in een brief aan een vriend als 'een prachtige nieuwe lichtstraal door mijn leven' (Brouwer & Adama van Scheltema, 1984, p.100). Twintig jaar later zou Brouwers relatie met Hilbert zuur worden.

1911 Eerste verschijning van de namen 'formalisme' en 'intuïtionisme' in Brouwers geschriften, in een bespreking van Gerrit Mannoury's boek Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik (methodologische en filosofische opmerkingen over elementaire wiskunde) uit 1909.

1912 Verkozen tot lid van de Koninklijke Academie van Wetenschappen (tijdens de Tweede Wereldoorlog 'Nederlandse Academie van Wetenschappen' en vervolgens 'Koninklijke Nederlandse Academie van Wetenschappen').

1912 Benoemd tot hoogleraar extraordinarius op het gebied van 'verzamelingenleer, functietheorie en axiomatiek'. Zijn filosofische oratie 'Intuitionisme en Formalisme' wordt in het Engels vertaald als 'Intuitionisme en Formalisme' en wordt daarmee in 1913 de eerste publicatie over intuïtionisme in die taal.

1913 Benoemd tot gewoon hoogleraar ordinarius, als opvolger van Korteweg, die genereus had aangeboden zijn leerstoel voor dat doel te ontruimen.

1914 uitgenodigd voor de redactie van de Mathematische Annalen; accepteert de eer.

1918 Brouwer begint de systematische intuïtionistische reconstructie van de wiskunde met zijn paper 'Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil, Allgemeine Mengenlehre. ' ('Founding Set Theory, onafhankelijk van het principe van het uitgesloten midden. Deel één, General Set Theory.')

1919 Ontvangt aanbiedingen voor hoogleraren in Göttingen en in Berlijn; weigert beide.

1920 Start van de 'Grundlagenstreit' (basisdebat) met Brouwer's lezing op de 'Naturforscherversammlung' in Bad Nauheim, gepubliceerd in 1921 als 'Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruch-Entwickelung?' ('Heeft elk reëel getal een decimale uitbreiding?'); versterkt door Weyls verdediging van het intuïtionisme in 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik' ('Over de nieuwe fundamentele crisis van de wiskunde'); beantwoord door Hilbert in 1922, 'Neubegründung der Mathematik' ('De nieuwe grondslag van de wiskunde').

1920 'Intuitionistische Mengenlehre' ('Intuitionistic Set Theory') is het eerste stuk intuïtionistische wiskunde in een veel gelezen internationaal tijdschrift, het Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung.

1922 richt samen met Gerrit Mannoury, de auteur Frederik van Eeden en anderen, de 'Signifische Kring' op, een samenleving die streeft naar spirituele en politieke vooruitgang door taalhervorming, vertrekkend van de ideeën van Victoria Lady Welby in haar artikel 'Sense, Meaning and Interpretation' (Welby, 1896). The Circle beëindigt haar vergaderingen in 1926, maar Mannoury zet haar werk voort.

Lezing van 1926 in Göttingen; als gevolg van een groepsdiner bij Emmy Noether thuis zijn Hilbert en Brouwer (voor een korte periode) weer goed bevriend.

Lezingenreeks 1927 in Berlijn; zijn latere assistent Freudenthal zit in het publiek. De krant Berliner Tageblatt stelt een openbaar debat tussen Brouwer en Hilbert voor, dat op haar pagina's wordt gehouden, maar om de een of andere reden wordt dit niet gerealiseerd. Brouwer maakt ook niet het boek af dat hij van de Duitse uitgever Walter de Gruyter mag schrijven. De lezingen en een onvolledig boek worden postuum gepubliceerd (Brouwer, 1992).

1928 10 en 14 maart: twee lezingen in Wenen. Gödel zit in het publiek, net als Wittgenstein. Er wordt gezegd dat Wittgenstein door de eerste lezing terugkeerde naar de filosofie. Brouwer brengt een dag door met Wittgenstein.

1928 april: gesprekken met Husserl, die in Amsterdam is om te spreken.

1928 Conflict over de Bologna-conferentie. De Duitse wiskundigen worden voor het eerst sinds het einde van de Eerste Wereldoorlog weer toegelaten tot een internationale conferentie, maar niet zo gelijkwaardig. Brouwer houdt vol dat dit niet eerlijk is en dat de conferentie geboycot moet worden tenzij de Duitsers beter behandeld worden. Hilbert, die deze mening niet deelt, is erg teleurgesteld door de actie van Brouwer en woont de conferentie bij als leider van de Duitse delegatie, het grootste geschenk.

1928-1929'Mathematische Annalenstreit', het conflict in de redactie van Mathematische Annalen. Hilbert, die denkt dat hij op het punt staat te sterven, heeft de behoefte ervoor te zorgen dat Brouwer na zijn dood niet al te invloedrijk wordt en zet hem op onwettige wijze uit het bestuur. [Hilbert's motivatie zoals hier beschreven is gedocumenteerd in brieven van mensen die dicht bij hem staan: Carathéodory aan Einstein, 20 oktober 1928; Blumenthal aan de uitgever en redacteuren van de Mathematische Annalen, 16 november 1928; Geboren te Einstein, 20 november 1928. Kopieën van deze brieven staan ​​in het Brouwer Archief van de Universiteit Utrecht. Relevante citaten hiervan zijn te vinden in van Dalen, 2005, p. 604 en p. 613]. Einstein, ook bestuurslid, weigert Hilbert's actie te steunen en wil niets met de hele zaak te maken hebben;de meeste andere bestuursleden willen Hilbert niet irriteren door hem tegen te werken. Brouwer protesteert heftig. Uiteindelijk wordt het hele bord ontbonden en onmiddellijk opnieuw samengesteld zonder Brouwer, in een sterk verkleinde omvang (met name Einstein en Carathéodory verval). Het conflict maakt Brouwer mentaal gebroken en geïsoleerd, en maakt in zijn werk een einde aan een zeer creatief decennium. Nu de twee belangrijkste deelnemers het niet meer kunnen volhouden, is de 'Grundlagenstreit' voorbij.Nu de twee belangrijkste deelnemers het niet meer kunnen volhouden, is de 'Grundlagenstreit' voorbij.Nu de twee belangrijkste deelnemers het niet meer kunnen volhouden, is de 'Grundlagenstreit' voorbij.

1928-1930 Conflict met Karl Menger over de prioriteit voor de eerste juiste definitie van het begrip dimensie.

1929 augustus: diefstal van Brouwers koffertje in de tram in Brussel, en daarmee van zijn wiskundig notitieboek. Wanneer noch de politie, noch een voor dit doel ingehuurde privédetective het kan terugvinden, wanhoopt hij ervan ooit de inhoud ervan te kunnen reconstrueren. Brouwer zei later dat dit verlies een rol speelde bij de verschuiving van zijn voornaamste interesse van wiskunde naar filosofie.

1929 Begint met de voorbereidingen voor de oprichting van een nieuw wiskundig tijdschrift.

1934 Verschijning van het eerste nummer van Brouwer's eigen internationale tijdschrift, getiteld Compositio Mathematica.

Lezingenreeks 1934 in Genève.

1935-1941 Lid van de gemeenteraad van Blaricum voor de lokale Neutrale Partij (in 1939 wint hij de verkiezingen door 310 van de 1601 stemmen te ontvangen).

1940-1945 Tijdens de Duitse bezetting van Nederland in de Tweede Wereldoorlog helpt Brouwer het verzet en probeert hij zijn joodse vrienden en zijn studenten te helpen. In 1943 adviseert hij de studenten de door de Duitsers geëiste loyaliteitsverklaring te ondertekenen. Een deel van zijn verklaring, na de oorlog, is dat ondertekening de studenten de relatieve rust zou geven die nodig is om verzetsactiviteiten op te bouwen en uit te voeren. Hij wordt met scepsis ontvangen. Vanwege deze en enkele soortgelijke misschien ongelukkige pogingen tot sluwheid tijdens de bezetting, wordt hij na de bevrijding voor enkele maanden geschorst. Diep beledigd overweegt Brouwer emigratie naar Zuid-Afrika of de Verenigde Staten.

1942 Publiceert opnieuw drie korte aantekeningen over intuïtionistische grondslagen, de eerste sinds 1933.

1945-1950 Conflict over de tijdschrift Compositio Mathematica. Het dagboek is tijdens de oorlog niet verschenen en er wordt naar gestreefd het weer tot leven te brengen. Door de beschadigde reputatie van Brouwer ontstaan ​​moeilijkheden bij het samenstellen van een nieuwe redactie. Uiteindelijk blijft de naam van Brouwer op het titelblad staan, maar in feite wordt hij verwijderd uit het bestuur van het tijdschrift dat hij had opgericht.

1947-1951 Jaarlijkse lezingenreeks in Cambridge, Engeland. Brouwer is van plan er een boek van te maken, maar dit gebeurt niet. Hij voltooit echter vijf van de geplande zes hoofdstukken en deze worden poshetisch gepubliceerd (Brouwer, 1981).

1948 Hervat zijn basisprogramma met een paper dat gebruik maakt van het idee van het scheppende onderwerp. Begin van een nieuwe creatieve periode.

1949 verzet zich tegen een plan om zijn verzamelde documenten openbaar te maken, omdat hij geen tijd heeft om aantekeningen te maken die zowel zijn origineel als zijn huidige opvattingen daarover weerspiegelen, wat volgens hem het wetenschappelijk verantwoordste is om te doen.

1951 gaat met pensioen aan de Universiteit van Amsterdam. Afkoeling van zijn relatie met Arend Heyting, zijn opvolger bij de functie van directeur van het Mathematisch Instituut, als gevolg van onenigheid over de exacte rol die de gepensioneerde Brouwer daar nog zou kunnen spelen.

1952 Lezingen in Londen en in Kaapstad.

1953 Lezingen in Helsinki, waar hij bij Von Wright verblijft. Lezingstour door de VS (oa MIT, Princeton, University of Wisconsin-Madison, Berkeley, Chicago) en Canada (Canadian Mathematical Congress in Kingston, Ontario). In Princeton bezoekt hij Gödel.

1955 Publiceert zijn laatste nieuwe paper (gebaseerd op zijn lezing op de Boole-conferentie in Dublin het jaar ervoor).

1959 Overlijden van mevrouw Brouwer, 89 jaar oud. Brouwer weigert een bod voor 1 jaar aan de University of British Columbia in Vancouver.

1962 Brouwer krijgt een baan aangeboden in Montana.

1966 2 december: sterft in Blaricum, Nederland, 85 jaar oud, wanneer hij voor zijn huis wordt aangereden door een auto.

3. Korte karakterisering van Brouwer's intuïtionisme

Vanuit zijn denkfilosofie, waarop Kant en Schopenhauer de belangrijkste invloeden waren, typeerde Brouwer wiskunde vooral als de vrije activiteit van exact denken, een activiteit die is gebaseerd op de pure intuïtie van (innerlijke) tijd. Geen onafhankelijk rijk van objecten en geen taal spelen een fundamentele rol. Hij streefde er dus naar de Scylla van platonisme (met zijn epistemologische problemen) en de Charybdis van formalisme (met zijn armoede van inhoud) te vermijden. Aangezien er volgens Brouwer geen bepalende factor is voor de wiskundige waarheid buiten de denkactiviteit, wordt een zin pas waar als het subject de waarheid ervan heeft ervaren (door een passende mentale constructie te hebben uitgevoerd); evenzo,een zin wordt pas vals als de proefpersoon zijn leugen heeft ervaren (door te beseffen dat een geschikte mentale constructie niet mogelijk is). Vandaar dat Brouwer kan beweren dat 'er geen niet-ervaren waarheden zijn' (Brouwer, 1975, p.488).

Brouwer was bereid om zijn filosofie tot de uiteindelijke conclusies te volgen; of de gereconstrueerde wiskunde wel of niet verenigbaar was met de klassieke wiskunde, was een secundaire vraag en nooit doorslaggevend. Door zo filosofie voorrang te geven boven traditionele wiskunde, toonde hij zich een revisionist. En inderdaad, intuïtionistische rekenkunde is een subsysteem van klassieke rekenkunde, maar in analyse is de situatie anders: niet alle klassieke analyse is intuïtionistisch acceptabel, maar evenmin is alle intuïtionistische analyse klassiek acceptabel. Brouwer accepteerde deze consequentie van harte.

4. Brouwer's ontwikkeling van intuïtionisme

Brouwers boekje Life, Art and Mysticism of 1905, hoewel hij zijn grondslagen van de wiskunde als zodanig niet heeft ontwikkeld, is een sleutel tot die grondslagen zoals ontwikkeld in zijn proefschrift waaraan hij tegelijkertijd werkte en dat twee jaar later werd voltooid. Naast een aantal andere zaken, zoals beruchte opvattingen over de samenleving en met name vrouwen, bevat het boek zijn basisideeën over geest, taal, ontologie en epistemologie.

Deze ideeën worden toegepast op de wiskunde in zijn proefschrift Over de Grondslagen der Wiskunde (On the Foundations of Mathematics), verdedigd in 1907; het is de algemene filosofie en niet de paradoxen die de ontwikkeling van het intuïtionisme in gang zetten (toen dit eenmaal was begonnen, kwamen er oplossingen voor de paradoxen). Net als Kant, baseert Brouwer wiskunde op een pure intuïtie van tijd (terwijl hij pure intuïtie van ruimte afwijst).

Brouwer stelt dat wiskunde in wezen een taalloze activiteit is, en dat taal achteraf alleen beschrijvingen van wiskundige activiteiten kan geven. Dit leidt ertoe dat hij axiomatische benaderingen elke fundamentele rol in de wiskunde ontkent. Hij interpreteert logica ook als de studie van patronen in taalkundige vertolkingen van wiskundige activiteit, en daarom is logica afhankelijk van wiskunde (als de studie van patronen) en niet andersom. Het zijn deze overwegingen die hem motiveren om het onderscheid tussen wiskunde en metamathematica (waarvoor hij de term 'tweede orde wiskunde' gebruikte) te introduceren, dat hij Hilbert in gesprekken in 1909 zou uitleggen.

Met deze opvatting op zijn plaats wil Brouwer de Cantoriaanse verzamelingenleer reconstrueren. Wanneer een poging (in een concept van het proefschrift) om constructief zin te geven aan Cantor's tweede nummerklasse (de klasse van alle ontelbaar oneindige ordinalen) en hogere klassen van nog grotere ordinalen mislukt, realiseert hij zich dat dit niet kan en verwerpt de hogere getallenklassen, waardoor alleen alle eindige ordinalen overblijven en een onafgemaakte of open verzameling van ontelbaar oneindige ordinalen overblijft. Als gevolg van zijn filosofische opvattingen zet hij dus bewust een deel van de algemeen aanvaarde wiskunde opzij. Binnenkort zou hij hetzelfde doen met een principe van logica, het principe van het uitgesloten midden (PEM), maar in het proefschrift beschouwt hij het nog steeds als in orde maar nutteloos, waarbij hij p ∨ ¬ p interpreteert als ¬ p → ¬ p.

In 'De Onbetrouwbaarheid der Logische Principes' van 1908 formuleert Brouwer in algemene termen zijn kritiek op PEM: hoewel het principe in de eenvoudige vorm van p ¬ ¬ p nooit zal leiden tot een tegenstrijdigheid, er zijn gevallen van waarvoor men constructief gesproken geen positieve reden heeft om ze waar te houden. Brouwer noemt er een paar. Omdat ze PEM niet in strikte zin weerleggen, staan ​​ze bekend als 'zwakke tegenvoorbeelden'. Zie het aanvullende document voor verdere bespreking van dit onderwerp:

Zwakke tegenvoorbeelden

De innovatie die het intuïtionisme een veel groter bereik geeft dan andere varianten van constructieve wiskunde (inclusief die in Brouwers proefschrift) zijn de keuzereeksen. Dit zijn potentieel oneindige reeksen getallen (of andere wiskundige objecten) die achter elkaar zijn gekozen door de individuele wiskundige. Keuzesequenties verschenen voor het eerst als intuïtionistisch aanvaardbare objecten in een boekrecensie uit 1914; het principe dat ze wiskundig traceerbaar maakt, het continuïteitsprincipe, werd geformuleerd in Brouwer's dictaten van 1916. Het belangrijkste gebruik van keuzereeksen is de reconstructie van analyse; punten op het continuüm (reële getallen) worden geïdentificeerd met keuzereeksen die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Keuzereeksen worden samen verzameld met behulp van een apparaat dat een 'spread' wordt genoemd,die een functie vervult die vergelijkbaar is met die van de Cantoriaanse set in klassieke analyse, en aanvankelijk gebruikt Brouwer zelfs het woord 'Menge' ('set') voor spreads. Brouwer ontwikkelt een theorie van spreads, en een theorie van daarop gebaseerde puntensets, in het tweedelige document uit 1918/1919 'Begründung der Mengenlehre unabhängig vom Satz vom ausgeschlossenen Dritten' ('Founding Set Theory Independent of the Principle of the Excluded') Midden').

Het antwoord op de vraag in de titel van Brouwers paper 'Heeft elk reëel getal een decimale uitbreiding?' (1921) blijkt nee te zijn. Brouwer laat zien dat men keuzereeksen kan construeren die voldoen aan de Cauchy-voorwaarde die in hun exacte ontwikkeling afhankelijk is van een tot nu toe open probleem. Er kan geen decimale uitbreiding worden geconstrueerd totdat het open probleem is opgelost; volgens Brouwers strikte constructivistische visie betekent dit dat er geen decimale expansie bestaat totdat het open probleem is opgelost. In die zin kan men reële getallen (dwz convergerende keuzereeksen) construeren die geen decimale uitbreiding hebben.

In 1923 bedenkt Brouwer, opnieuw gebruikmakend van keuzereeksen en open problemen, een algemene techniek, nu bekend als 'Brouweriaanse tegenvoorbeelden', om zwakke tegenvoorbeelden van klassieke principes te genereren ('Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik', 'On the Betekenis van het principe van het uitgesloten midden in de wiskunde ').

De basistheorieën van intuïtionistische analyse - de stelling van staven, ventilatoren en continuïteitstheorie - staan ​​in 'Über Definitionsbereiche von Funktionen' ('Over de domeinen van de definitie van functies') van 1927. De eerste twee zijn structurele stellingen over spreads; de derde (niet te verwarren met het continuïteitsprincipe voor keuzereeksen) stelt dat elke totale functie [0,1] → ℜ continu en zelfs uniform continu is. De stelling van de ventilator is in feite een uitvloeisel van de stelling van de bar; gecombineerd met het continuïteitsprincipe, dat niet klassiek geldig is, levert het de continuïteitsstelling op. In de klassieke analyse zouden beide delen van die stelling onjuist zijn. De stellingen van bar en fan daarentegen zijn klassiek geldig, hoewel de klassieke en intuïtionistische bewijzen daarvoor niet inwisselbaar zijn.De klassieke bewijzen zijn intuïtionistisch niet acceptabel omdat ze afhankelijk zijn van het principe uitgesloten midden; de intuïtionistische bewijzen zijn klassiek niet acceptabel omdat ze afhankelijk zijn van reflectie op de structuur van mentale bewijzen. In deze reflectie introduceerde Brouwer de notie van de 'volledig geanalyseerde' of 'canonieke' vorm van een bewijs, die veel later zou worden overgenomen door Martin-Löf en door Dummett. In een voetnoot vermeldt Brouwer dat dergelijke bewijzen, die hij identificeert met mentale objecten in de geest van het onderwerp, vaak oneindig zijn.die veel later door Martin-Löf en door Dummett zou worden overgenomen. In een voetnoot vermeldt Brouwer dat dergelijke bewijzen, die hij identificeert met mentale objecten in de geest van het onderwerp, vaak oneindig zijn.die veel later door Martin-Löf en door Dummett zou worden overgenomen. In een voetnoot vermeldt Brouwer dat dergelijke bewijzen, die hij identificeert met mentale objecten in de geest van het onderwerp, vaak oneindig zijn.

'Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus' ('Intuitionist Reflections on Formalism') van 1928 identificeert en bespreekt vier belangrijke verschillen tussen formalisme en intuïtionisme, die allemaal te maken hebben met de rol van PEM of met de relatie tussen wiskunde en taal. (Hier verwijst Brouwer in een voetnoot naar de hierboven genoemde gesprekken met Hilbert uit 1909.) Brouwer benadrukt, zoals hij in zijn proefschrift had gedaan, dat formalisme inhoudelijke wiskunde veronderstelt op metaalniveau. Hij presenteert hier ook zijn eerste sterke tegenvoorbeeld, een weerlegging van één vorm van PEM, door te laten zien dat het onjuist is dat elk reëel getal rationeel of irrationeel is. Zie het aanvullende document voor verdere bespreking van dit onderwerp:

Sterke tegenvoorbeelden

Van de twee lezingen die in 1928 in Wenen werden gehouden - 'Mathematik, Wissenschaft und Sprache' ('Wiskunde, wetenschap en taal') en 'Die Struktur des Kontinuum' ('De structuur van het continuüm') - is de eerste van filosofische aard terwijl de tweede meer wiskundig is. In 'Wiskunde, Wetenschap en Taal' geeft Brouwer zijn algemene visie op de relaties tussen de drie onderwerpen genoemd in de titel, volgens een genetische benadering, en met nadruk op de rol van de wil. Een langere versie van deze lezing werd in 1932 in het Nederlands gepresenteerd als 'Willen, Weten, Spreken' ('Volition, Knowledge, Language'); het bevat de eerste expliciete opmerkingen over een idee dat vanaf het begin aanwezig was, nu bekend als dat van de 'geïdealiseerde wiskundige' of 'scheppend onderwerp'.

De lezing 'Bewustzijn, Filosofie en Wiskunde' uit 1948 gaat opnieuw door Brouwers denkfilosofie en enkele gevolgen voor de wiskunde. Vergelijking met Life, Art and Mysticism, de eerste Weense lezing en 'Willen, Weten, Spreken' laat zien dat Brouwers algemene filosofie zich in de loop der jaren aanzienlijk heeft ontwikkeld, maar alleen diepgaand.

In 1949 publiceert Brouwer (1949a) het eerste voorbeeld van een nieuwe klasse van sterke tegenvoorbeelden, een klasse die verschilt van Brouwer's eerdere sterke tegenvoorbeeld (1928, zie hierboven) doordat het type argument, dat nu de naam 'creëren' draagt subject argument ', betreft een essentiële verwijzing naar de temporele structuur van de wiskundige activiteit van het scheppende subject (Heyting, 1956, hoofdstukken III en VIII; van Atten, 2003, hoofdstukken 4 en 5).

Uit het voorbeeld van Brouwer blijkt dat er een geval is waarin het dubbele negatieprincipe in de vorm van ∀ x ∈ℜ (¬¬ P (x) → P (x)) tot tegenstrijdigheid leidt ('De Non-aequivalentie van de Constructieve en de Negatieve Orderelatie in het Continuum ',' The Non-equivalence of the Constructive and the Negative Order Relation on the Continuum '). De eerste publicatie van deze nieuwe klasse van sterke tegenvoorbeelden (en van sterke tegenvoorbeelden in het algemeen) in het Engels moest wachten tot 1954, in 'An Example of Contradictority in Classical Theory of Functions'. Deze polemische titel moet als volgt worden opgevat: als men zich houdt aan de letter van de klassieke theorie, maar in zijn interpretatie intuïtionistische begrippen vervangt voor hun klassieke tegenhangers, komt men tot een tegenstrijdigheid. Het is dus geen tegenvoorbeeld in de strikte zin van het woord,maar eerder een niet-interpreteerbaar resultaat. Aangezien intuïtionistische logica formeel deel uitmaakt van klassieke logica en intuïtionistische rekenkunde deel uitmaakt van klassieke rekenkunde, moet het bestaan ​​van sterke tegenvoorbeelden afhangen van een in wezen niet-klassiek ingrediënt, en dit zijn natuurlijk de keuzereeksen.

Het scheppende subjectargument is, na de eerdere introductie van keuzereeksen en het bewijs van de maatstaf, een nieuwe stap in de exploitatie van de subjectieve aspecten van intuïtionisme. Er is geen principiële reden waarom het de laatste zou moeten zijn.

Bibliografie

Teksten van Brouwer

Vrijwel alle papieren van Brouwer zijn te vinden in

  • Brouwer, LEJ, 1975, Collected Works 1. Philosophy and Foundations of Mathematics, A. Heyting (red.), Amsterdam: Noord-Holland.
  • Brouwer, LEJ, 1976, Collected Works 2. Geometry, Analysis, Topology and Mechanics, H. Freudenthal (red.), Amsterdam: Noord-Holland.

In de Collected Works zijn papieren in het Nederlands vertaald in het Engels, maar papers in het Frans of Duits niet. Engelse vertalingen van een aantal van hen zijn te vinden in

  • van Heijenoort, J., red., 1967, From Frege to Gödel. A Sourcebook in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge (MA): Harvard University Press.
  • Mancosu, P., ed., 1998, From Hilbert to Brouwer. Het debat over de grondslagen van de wiskunde in de jaren 1920, Oxford: Oxford University Press.

Een Engelse vertaling van Brouwers boekje Leven, Kunst en Mystiek uit 1905, waarvan de Collected Works alleen fragmenten bevatten, is

Brouwer, LEJ, 1996, 'Life, Art and Mysticism', Notre Dame Journal of Formal Logic, 37 (3): 389-429. Vertaald door Walter van Stigt, die een inleiding geeft op pp.381-387

De Berlijnse lezingen van 1927 zijn gepubliceerd in

Brouwer, LEJ, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (red.), Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag

De Cambridge-lezingen van 1946-1951, die worden aanbevolen als Brouwers eigen inleiding tot intuïtionisme, zijn gepubliceerd als

Brouwer, LEJ, 1981, Cambridge Cambridge Lectures on Intuitionism, D. van Dalen (red.), Cambridge: Cambridge University Press

Van bijzonder biografisch belang, maar niet vertaald, is de correspondentie tussen Brouwer en zijn vriend, de socialistische dichter CS Adama van Scheltema, die de jaren 1898-1924 beslaat:

Brouwer, LEJ, & Adama van Scheltema, CS, 1984, Droeve Snaar, Vriend van Mij. Brieven, D. van Dalen (red.), Amsterdam: De Arbeiderspers

Citeerde primaire teksten van anderen

  • Euwe, M., 1929, 'Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel', Ned. Akad. Wetensch. Proc. 32: 633-644.
  • Hilbert, D., 1922, 'Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung ', Hamburger Math. Seminarabhandlungen, 1: 157-177. Engelse vertaling 'The New Grounding of Mathematics: first report' in (Mancosu 1998).
  • Mannoury, G., 1909, Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik, Haarlem: Visser.
  • Welby, V., 1896, 'Sense, Meaning and Interpretation', Mind, NS, 5 (17): 24-37; (18): 186-202.
  • Weyl, H., 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik', Mathematische Zeitschrift, 10: 39-79. Engelse vertaling 'Over de nieuwe fundamentele crisis van de wiskunde' in (Mancosu 1998).

Secundaire literatuur

  • van Atten, M., 2004, On Brouwer, Belmont (CA): Wadsworth.

    Een filosofische inleiding tot intuïtionisme zoals bedacht door Brouwer, met uitgebreide behandelingen van het bewijs van de stelling van de bar, het scheppende onderwerp en intersubjectiviteit

  • van Dalen, D., 1990, 'The War of the Frogs and the Mice, or the Crisis of the Mathematische Annalen', Mathematical Intelligencer, 12 (4): 17-31.
  • van Dalen, D., 1999/2005, Mystic, Geometer en Intuitionist, 2 delen, Oxford: Clarendon Press.

    De standaardbiografie van Brouwer. Volume 1, The Dawning Revolution, beslaat de jaren 1881-1928, volume 2, Hope and Disillusion, beslaat 1929-1966

  • van Dalen, D., 2001, LEJ Brouwer 1881-1966. Een Biografie. Het Heldere Licht van de Wiskunde, Amsterdam: Bert Bakker.

    Een populaire biografie in 1 deel, in het Nederlands

  • Dummett, M., 1977, Elements of Intuitionism, Oxford: Oxford University Press. 2e, herziene editie, 2000, Oxford: Clarendon Press.

    Een overzicht van intuïtionisme. Filosofisch gezien lijkt het dichter bij Wittgenstein dan bij Brouwer

  • Hesseling, DE, 2003, Gnomes in the Fog. De receptie van Brouwer's intuïtionisme in de jaren 1920, Basel: Birkhauser.

    . Een gedetailleerde historische bespreking van de reacties op het volwassen intuïtionisme van Brouwer tijdens het gronddebat

  • Heyting, A., 1956, intuïtionisme. Een introductie, Amsterdam: Noord-Holland. 2e, herziene editie, 1966. 3e, herziene editie, 1971.

    Waarschijnlijk het meest invloedrijke boek over het onderwerp dat ooit is geschreven. In een stijl die nuchter en oecumenisch is dan Brouwer's, presenteert Heyting de intuïtionistische versies van verschillende basisonderwerpen in de dagelijkse wiskunde. Brouwer en Heyting hebben enkele filosofische meningsverschillen die een verschil maken in hun waardering voor sommige aspecten van intuïtionistische wiskunde. Er zijn geen opmerkingen van Brouwer over dit boek bekend

  • Largeault, J., 1993, Intuition et Intuitionisme, Paris: Vrin.

    Een overzicht van het intuïtionisme, dicht bij Brouwer blijven en een goed beeld geven van de historische achtergrond van Brouwers intuïtie

  • Placek, T., 1999, Mathematical Intuitionism and Intersubjectivity, Dordrecht: Kluwer.

    Een vergelijking van de argumenten voor intuïtionisme die respectievelijk door Brouwer, Heyting en Dummett naar voren zijn gebracht, in het bijzonder met betrekking tot de mogelijkheid van intersubjectieve validiteit van intuïtionistische wiskunde

  • van Stigt, W., 1990, Brouwer's intuïtionisme, Amsterdam: Noord-Holland.

    Bevat interessante filosofische discussies en geeft Engelse vertalingen van materiaal uit het Brouwer-archief. De biografische schets is inmiddels vervangen door (van Dalen, 1999/2005) en (van Dalen, 2001)

Andere internetbronnen

  • Herziening van Hesseling's Kabouters in de Mist in het Bulletin of Symbolische Logica (Postscript)
  • Dirk van Dalen's Brouwer bibliografie (Naschrift)

[Neem contact op met de auteur voor verdere suggesties.]

Populair per onderwerp